Investigation of one convective Stefan problem by the Ritz method
A plane stationary convective Stefan problem is analyzed in the case where the convection is caused by the presence of a prescribed rotation of intensity μ. A method of studying this problem is proposed which consists in a series expansion of the solution in terms of powers of a small pa...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3410 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509496763219968 |
|---|---|
| author | Minenko, A. S. Миненко, А. С. Миненко, А. С. |
| author_facet | Minenko, A. S. Миненко, А. С. Миненко, А. С. |
| author_sort | Minenko, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:28Z |
| description | A plane stationary convective Stefan problem is analyzed in the case where the convection is caused by the presence of a prescribed rotation of intensity μ.
A method of studying this problem is proposed which consists in a series expansion of the solution in terms of powers of a small parameter μ.
The null expansion term is defined by the Rietz method. The formula describing the dependence of free boundary equation on μ is obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.988
A. S. Mynenko (Yn-t probl. yskusstv. yntellekta NAN Ukrayn¥, Doneck)
YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ
ZADAÇY STEFANA METODOM RYTCA
A plane stationary convective Stefan problem is analyzed in the case where the convection is caused by
the presence of a prescribed rotation of intensity µ. A method of studying this problem is proposed
which consists in a series expansion of the solution in terms of powers of a small parameter µ. The null
expansion term is defined by the Rietz method. The formula describing the dependence of free boundary
equation on µ is obtained.
DoslidΩu[t\sq ploska stacionarna konvektyvna zadaça Stefana, koly konvekciq vyklykana
naqvnistg zadanoho vyxoru intensyvnosti µ . Zaproponovano metod vyvçennq ci[] zadaçi, wo
polqha[ u rozvynenni rozv’qzku v rqd za stepenqmy maloho parametra µ . Pry c\omu nul\ovyj
çlen rozkladu znaxodyt\sq metodom Ritca. Dovedeno formulu zaleΩnosti rivnqnnq vil\no]
hranyci vid77µ .
Process¥ krystallyzacyy, vstreçagwyesq v pryrode, soprovoΩdagtsq konvek-
tyvn¥my peremeßyvanyqmy v Ωydkoj faze. NyΩe budet pryvedena postanovka
zadaçy, v kotoroj konvekcyq v¥zvana nalyçyem zadannoho vyxrq. Osnovnaq cel\
stat\y sostoyt v pryblyΩennom analyze svobodnoj hranyc¥ v zavysymosty ot
yntensyvnosty vyxrq.
Analyz ymegwyxsq rezul\tatov y byblyohrafyg po dannomu klassu zadaç
konvektyvnoj teploprovodnosty moΩno najty v [1, 2].
1. Postanovka zadaçy. Budem rassmatryvat\ stacyonarn¥j sluçaj v polo-
se D = { },− < < < <1 1 0x H y . Oboznaçym çerez γ kryvug, otdelqgwug
Ωydkug fazu Dγ
+
ot tverdoj Dγ
− , pry πtom konc¥ γ leΩat na vertykalqx
x = ± 1. Budem sçytat\, çto temperaturnoe pole monotonno ub¥vaet vmeste s
vertykal\noj koordynatoj y. Takym obrazom, v nyΩnej çasty polos¥ budet
raspoloΩena tverdaq faza, a v verxnej — Ωydkaq. Obe oblasty Dγ
+
y Dγ
−
predpolahagtsq odnosvqzn¥my y symmetryçn¥my otnosytel\no osy y. Pust\
ψ ( , )x y — funkcyq toka, udovletvorqgwaq uravnenyg
∂
∂
+ ∂
∂
2
2
2
2
ψ ψ
x y
= µ, ( , )x y D∈ +
γ , µ = const. (1)
Zdes\ µ — zadann¥j dostatoçno mal¥j çyslenn¥j parametr. Hranyçn¥m uslo-
vyem dlq funkcyy ψ qvlqetsq sledugwee:
ψ = 0, ( , )x y D∈∂ +
γ . (2)
Esly µ = 0, to sootvetstvugwaq funkcyq toΩdestvenno ravna nulg, y, takym
obrazom, v Ωydkoj faze konvekcyy net. Krome toho, v Ωydkoj faze, temperatu-
ru kotoroj oboznaçym çerez u x y+( , ) , dolΩno v¥polnqt\sq uravnenye konvek-
tyvnoho teploperenosa
λ ψ ψ
+
+ + + +∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
u
x
u
y y
u
x x
u
y
= 0, ( , )x y D∈ +
γ , λ+ = const > 0.
(3)
Budem predpolahat\ v¥polnenn¥my sledugwye hranyçn¥e uslovyq na tempera-
turu u+
:
u x+( , )0 = v, – 1 ≤ x ≤ 1, v = const > 1, (4)
na vertykal\noj çasty hranyc¥ Ωydkoj faz¥ v¥polnqetsq uslovye tret\eho
roda
© A. S. MYNENKO, 2007
1546 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA … 1547
u ux
+ + ++ ω0 = 0, x = ± 1, ( , )x y D∈∂ +
γ , (5)
na svobodnoj hranyce γ — uslovye
u x y+( , ) = 1, ( , )x y ∈γ . (6)
Perejdem k opysanyg tverdoj faz¥. Oboznaçym çerez u−
temperaturu
tverdoj faz¥. Ona udovletvorqet uravnenyg
∂
∂
+ ∂
∂
− −2
2
2
2
u
x
u
y
= 0, ( , )x y D∈ −
γ . (7)
Na vertykal\noj çasty hranyc¥ tverdoj faz¥ zadadym uslovye tret\eho roda
u ux
− − −+ ω0 = 0, x = ± 1, ( , )x y D∈∂ −
γ . (8)
Pry y = H budem sçytat\, çto
u x H−( , ) = 0, (9)
tohda kak na svobodnoj hranyce
u x y−( , ) = 1, ( , )x y ∈γ . (10)
Esly b¥ kryvaq γ b¥la zadannoj, to pryvedenn¥e sootnoßenyq korrektno op-
redelqly b¥ zadaçu. V sylu Ωe toho, çto γ podleΩyt opredelenyg, na nej za-
daetsq ewe odno uslovye, a ymenno, zakon soxranenyq πnerhyy
∇ − ∇− +u u
2 2 2
κ = 0, ( , )x y ∈γ , κ = const, 0 < κ ≤ 1. (11)
Zadaça (1) – (11) nelynejna y „osnovnoe” neyzvestnoe — πto hranyca γ .
Otmetym takΩe, çto razreßymost\ podobnoho klassa zadaç yzloΩena v [1].
V nastoqwej rabote predloΩen metod yzuçenyq zadaçy (1) – (11), sostoqwyj
v razloΩenyy reßenyq v rqd po stepenqm maloho parametra µ .
2. Lynearyzacyq zadaçy po yntensyvnosty vyxrq. PredpoloΩym, çto
neyzvestn¥e rassmatryvaemoj zadaçy moΩno predstavyt\ v vyde stepennoho rqda
po µ :
ψ µ( , ; )x y =
k
k
k x y
=
∞
∑
0
µ ψ ( , ),
u x y+( , ; )µ =
k
k
ku x y
=
∞
+∑
0
µ ( , ) , (12)
u x y−( , ; )µ =
k
k
ku x y
=
∞
−∑
0
µ ( , ) .
Budem sçytat\, çto svobodnaq hranyca γ dopuskaet qvnoe predstavlenye
y = y x( , )µ , – 1 ≤ x ≤ 1, (13)
pryçem
y x( , )µ =
k
k
ky x
=
∞
∑
0
µ ( ), – 1 ≤ x ≤ 1. (14)
Podstavlqq πty razloΩenyq v sootnoßenyq (1) – (11) y pryravnyvaq çlen¥ pry
odynakov¥x stepenqx µ , poluçaem beskoneçnoe çyslo zadaç. Zapyßem vnaçale
nulevoe pryblyΩenye, sootvetstvugwee µ v nulevoj stepeny. PreΩde vseho
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1548 A. S. MYNENKO
yz uravnenyq (1) poluçaem, çto funkcyq ψ0( , )x y harmonyçna. Poskol\ku ona
udovletvorqet nulev¥m hranyçn¥m uslovyqm Dyryxle, to ψ0( , )x y ≡ 0 v Dγ
+
.
Pryvedem teper\ uslovyq, opredelqgwye u0
+
:
∂
∂
+ ∂
∂
± ±2
0
2
2
0
2
u
x
u
y
= 0, ( , )x y D∈ ±
γ 0
,
u x0 0+( , ) = v, – 1 ≤ x ≤ 1,
u x y u x yx0 0 0
± ± ±+( , ) ( , )ω = 0, x = ± 1, ( , )x y D∈∂ ±
γ 0
,
(15)
u x y0
±( , ) = 1, ( , )x y ∈γ 0 ,
u x H0
−( , ) = 0, – 1 ≤ x ≤ 1,
∇ − ∇− +u u0
2 2
0
2
κ = 0, ( , )x y ∈γ 0.
Zadaça (15) rassmotrena v stat\qx [3, 4]. Yz rezul\tatov πtyx rabot sleduet, çto
πta zadaça ymeet, y prytom edynstvennoe, klassyçeskoe reßenye v klasse
funkcyj u y0
+ > 0, u y0
− > 0 sootvetstvenno v Dγ 0
+
y Dγ 0
−
. Pry πtom hranyca
γ 0 qvlqetsq analytyçeskoj kryvoj, monotonno vozrastagwej v pravoj polovy-
ne, a funkcyy u x y0
+( , ) , u x y0
−( , ) neprer¥vn¥ v Dγ 0
+
y Dγ 0
−
sootvetstvenno y
neprer¥vno dyfferencyruem¥ vsgdu, za ysklgçenyem uhlov¥x toçek.
Rassmotrym çastn¥j sluçaj dannoj zadaçy:
κ = 1, ω0
+ = ω0
− = ω0. (16)
Pry πtom pervoe uslovye vsehda v¥polnymo, esly vvesty zamenu
ũ± =
κ
κ
γ
γ
u x y x y D
u x y x y D
+ +
− −
∈
+ − ∈
( , ), ( , ) ,
( , ) , ( , ) ,1
kotoraq pryvodyt zadaçu (15) k sluçag κ = 1. Tohda na γ 0 budut v¥polnqt\-
sq dva uslovyq: u0
+ = u0
− = 1 y ∇ +u0 = ∇ −u0 . Sledovatel\no, teper\ (15) —
πto ob¥çnaq zadaça o raspredelenyy temperatur¥ v oblasty D bez fazov¥x
prevrawenyj vewestva. Poπtomu moΩno postroyt\ funkcyg u x y0( , ) po for-
mule
u x y0( , ) =
u x y x y D
u x y x y D
0
0
0
0
+ +
− −
∈
∈
( , ), ( , ) ,
( , ), ( , ) ,
γ
γ
(17)
kotoraq qvlqetsq reßenyem zadaçy
∆u0 = 0, ( , )x y D∈ , u x y0( , ) = v, 0 ≤ x ≤ 1, u yx0 0( , ) = 0, H ≤ y ≤ 0,
(18)
u x H0( , ) = 0, 0 ≤ x ≤ 1, u y u yx0 0 01 1( , ) ( , )+ ω = 0, H ≤ y ≤ 0.
Funkcyq u x y0( , ) moΩet b¥t\ πffektyvno najdena, naprymer, s pomow\g me-
toda Fur\e. Otnosytel\no funkcyy u x y0( , ) moΩno zaklgçyt\, çto u x yy0 ( , ) >
> 0 v D (sm. teoremu74.3 v [1]). Sledovatel\no, uravnenye u x y0 1( , ) − = 0,
( , )x y D∈ , vsehda razreßymo v vyde nekotoroj funkcyy y = y x0( ), zadagwej
kryvug γ 0 , t. e. γ 0 0: ( )y y x= , – 1 ≤ x ≤ 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA … 1549
Lemma*1. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq (16). Tohda funkcyq u0 ( x , y ) , oprede-
lennaq sootnoßenyqmy (17), (18), qvlqetsq nulev¥m pryblyΩenyem (po ynten-
syvnosty vyxrq µ ) zadaçy (1) – (11).
Pry πtom u0 y ( x , y ) > 0 v D y u x y0( , ) neperer¥vna vmeste s proyzvodn¥my
pry perexode çerez γ 0, hde γ 0 0: ( )y y x= , – 1 ≤ x ≤ 1, — reßenye uravnenyq
u x y0 1( , ) − = 0.
3. Pervoe pryblyΩenye. Zapyßem kraevug zadaçu, kotoraq sootvetstvuet
mnoΩytelg µ v pervoj stepeny. Yz uslovyj (1) – (11) y yz razloΩenyj (12) –
(14) dlq funkcyj ψ1( , )x y y u x y1
±( , ) v¥tekaet sledugwaq zadaça:
ψ ψ1 1xx yy+ = 1, ( , )x y D∈ +
γ 0
, (19)
ψ1( , )x y = 0, ( , )x y D∈∂ +
γ 0
, (20)
λ ψ ψ+
+ + + ++( ) − +u u u uxx yy y x x y1 1 1 0 1 0 = 0, ( , )x y D∈ +
γ 0
, (21)
u x1 0+( , ) = 0, – 1 ≤ x ≤ 1, (22)
u ux1 0 1
± ± ±+ ω = 0, x = ± 1, ( , )x y D∈∂ ±
γ 0
, (23)
u y x uy0 1 1
0
± ±+( )
γ
= 0, (24)
u uxx yy1 1
− −+ = 0, ( , )x y D∈ −
γ 0
, (25)
u x H1
−( , ) = 0, – 1 ≤ x ≤ 1. (26)
Krome toho, na γ 0 dolΩno v¥polnqt\sq uslovye
y x u u u u u u u u u u u ux xy y yy x xy y yy x x y y1 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0 1 0 1( ) − − − − + + + + − − − −+( ) − +( )[ ] + +[ ]κ –
– κ2
0 1 0 1u u u ux x y y
+ + + ++[ ] = 0, ( , )x y ∈γ 0. (27)
Poluçyvßeesq pervoe pryblyΩenye ymeet sledugwye xaraktern¥e çert¥.
Vo-perv¥x, πta zadaça lynejna, vo-vtor¥x, ee nuΩno reßat\ v yzvestnoj oblas-
ty, sootvetstvugwej nulevomu pryblyΩenyg. Posle toho, kohda funkcyy
u x y0
±( , ) y ψ1( , )x y opredelen¥ sootvetstvenno v oblastqx Dγ 0
±
y Dγ 0
+ , yz so-
otnoßenyj (21) – (27) naxodym funkcyy u x y1
±( , ) , zadann¥e v tex Ωe oblastqx
Dγ 0
±
y y x1( ) , – 1 ≤ x ≤ 1.
4. Postroenye nulevoho pryblyΩenyq varyacyonn¥m metodom. Zadaça
(15) πkvyvalentna probleme mynymuma sledugweho yntehral\noho funkcyo-
nala:
I u u( ), ,+ − γ 0 =
D
x y
D
x yu u dxdy u u dxdy
γ γ
κ
0 0
2 2 2 2 2
− +
∫∫ ∫∫− − + ++[ ] + +[ ] +
+ κ ω ω
γ γ
2
0
2
0
2
1 1+ + − −
+ −
∫ ∫−[ ] + −[ ]
Γ Γ
u dy u dy (28)
na sootvetstvugwem mnoΩestve dopustym¥x funkcyj [3]. Zdes\ Γγ
+ = ∂ +Dγ ∩
∩ { }x = ±1 , Γγ
− = ∂ −Dγ ∩ { }x = ±1 . PryderΩyvaqs\ metodyky Frydryxsa [5],
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1550 A. S. MYNENKO
predstavym funkcyonal (28) v klasse funkcyj uy
± > 0 v Dγ
±
sledugwym ob-
razom [6]:
I y y1 1 2( , ) =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫+ + + + − [+
∆ ∆1 2
1 1
1 11
2
1
2 2
2
2
0
2
1
2
2
y
y
dxdu
y
y
dxdu u y ux
u
x
u
uκ ω κ
v
( ) ( , ) +
+ y u du u y u y u duu u u2 0
0
2
1 11 1 1 1( , ) ( ) ( , ) ( , )− ] + − + −[ ]− ∫ω
1
, (29)
hde
∆1 = ( , )− < < < <1 1 0 1x u , ∆2 = ( , )− < < < <1 1 1x u v ,
y x u1( , ) y y x u2( , ) — reßenyq uravnenyj u x y u1 1( , ) − = 0, u x y u2 2( , ) − = 0.
Funkcyonal (28) budem mynymyzyrovat\ na mnoΩestve dopustym¥x funkcyj
Ω = Ω Ω1 2� , (30)
hde
Ω1 = y x u y x u C y y x H y x y x
x u
u1 1
1
1 1 1 1 2
1
0 0 1 1( , ): ( , ) ( ), min , ( , ) , ( , ) ( , )
( , )
∈ > = =
∈
∆
∆
,
Ω2 =
y x u y x u C y y x y x y x
x u
u2 2
1
2 2 2 1 2
2
0 0 1 1( , ): ( , ) ( ), min , ( , ) , ( , ) ( , )
( , )
∈ > = =
∈
∆
∆
v .
Dalee, pust\ funkcyy y x u1
∗( , ), y x u2
∗( , ) sootvetstvugt klassyçeskomu re-
ßenyg ( ), ,u u+ − γ zadaçy (15). Spravedlyva sledugwaq lemma.
Lemma*2. Para funkcyj y1
∗, y2
∗
dostavlqet naymen\ßee znaçenye funkcy-
onalu (29) na mnoΩestve (30).
Dokazatel\stvo. Yspol\zuq formulu Frydryxsa [5], poluçaem
I y y1 1 2( , ) = I y y d
d
I y y
d I y y
d
d1 1 2 1 1 2 0
0
1 2
1 1 2
21( ), ( , ) ( )
( , )∗ ∗
=
+ + −∫ε
ε
ε
εε ε ε
ε ε ,
hde
d I y y
d
2
1 1 2
2
( , )ε ε
ε
= 2
1
1
2
1 1 1 1
2
1
3
∆
∫∫ + −[ ]δ δ δε ε
ε
y y y y y
dxdu
y
u u x x u
u
( ) +
+ 2
2
2
2
2 2 2 2
2
2
3
∆
∫∫ + −[ ]δ δ δε ε
ε
y y y y y
dxdu
y
u u x x u
u
( ) ,
( , )y y1 2 — proyzvol\n¥j πlement yz Ω , y1ε = y y y1 1 1
∗ ∗+ −ε ( ), y2ε = y2
∗ +
+ ε ( )y y2 2− ∗ , 0 ≤ ε ≤ 1. Uçyt¥vaq teper\, çto pervaq varyacyq funkcyonala
I y y1 1 2( , ) , v¥çyslennaq na πlemente ( ),y y1 2
∗ ∗ , ravna nulg, zaklgçaem, çto para
( ),y y1 2
∗ ∗
dostavlqet naymen\ßee znaçenye funkcyonalu (29) na mnoΩestve (30),
tak kak d I d2
1
2/ ε — poloΩytel\no opredelenn¥j funkcyonal na varyacyqx
δy1 = y y1 1− ∗ , δy2 = y y2 2− ∗.
Lemma dokazana.
Budem mynymyzyrovat\ funkcyonal (29) na mnoΩestve (30) s pomow\g summ
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA … 1551
y x u an kj1 ( , ; ) = y x un1 ( , ) =
j
L
k
T
kj
j k
j
a x u H
= =
∑ ∑ +
0 1
2 , ( , )x u ∈∆1,
y x u bn kj2 ( , ; ) = y x un2 ( , ) =
v
v
−
− = =
∑ ∑u
b x u
j
L
k
kj
j k
j
1 0 0
2
Θ
, ( , )x u ∈∆2 , (31)
n = sup ;
0
2 2
≤ ≤
+ +{ }
j L
j jj T j Θ .
Vklgçenye ( , )y yn n1 2 ∈Ω v¥delqet v evklydovom prostranstve Er koπffycy-
entov ( , )a bkj kj oblast\ dopustymosty Ωr , hde
r =
j
L
j jT
=
∑ + +( )
0
1Θ , Ωr =
˜ ˜Ω Ω1 2
0� ∩ E ,
Ω̃1 = a ykj
x u
nu: min
( , )∈
>
∆1
1 0 , Ω̃2 = b ykj
x u
nu: min
( , )∈
>
∆2
2 0 ,
pry πtom koπffycyent¥ ( , )a bkj st dolΩn¥ leΩat\ v hyperploskostqx
E H a
k
T
k0
0
1
0
0
: +
=
∑ =
k
kb
=
∑
0
0
0Θ
, E aj
k
T
kj
j
0
1
:
=
∑ =
k
kj
j
b
=
∑
0
Θ
,
t. e. E0 = E E EL0
0
1
0 0� � �… .
Neyzvestn¥e koπffycyent¥ ( , )a bkj st y mnoΩytel\ LahranΩa λt oprede-
lqgtsq yz nelynejnoj system¥ Rytca
∂
∂
+
I a b
a
kj kj
pq
q
2( , )
λ = 0, p = 1, 2, … , Tq ; q = 0, 1, … , L ,
∂
∂
−
I a b
b
kj kj
st
t
2( , )
λ = 0, s = 0, 1, … , Θt ; t = 0, 1, … , L ,
(32)
k
T
k
k
ka b H
= =
∑ ∑− +
1
0
0
0
0 0Θ
= 0,
k
T
kj
k
kj
j j
a b
= =
∑ ∑−
1 0
Θ
= 0, j = 1, 2, … , L ,
I a bkj kj2( , ) =
I a x u H
u
b x u
j
L
k
T
kj
j k
j
L
k
kj
j k
j j
1
0 1
2
0 0
2
1= = = =
∑ ∑ ∑ ∑+ −
−
;
v
v
Θ
.
MoΩno ustanovyt\, çto funkcyq I a bkj kj2( , ) prynymaet svoe naymen\ßee
znaçenye v nekotoroj vnutrennej toçke ( ),a bkj kj
∗ ∗
mnoΩestva Ωr , leΩawej na
koneçnom rasstoqnyy ot naçala koordynat prostranstva Er [7]. Sledovatel\-
no, v toçke ( ),a bkj kj
∗ ∗
çastn¥e proyzvodn¥e pervoho porqdka sootvetstvugwej
funkcyy LahranΩa ravn¥ nulg. Takym obrazom, systema uravnenyj (32) ymeet
reßenye.
Ytak, reßyv systemu uravnenyj (32) pry kaΩdom n, moΩno zatem postroyt\
posledovatel\nost\ pryblyΩenyj (31) v vyde y x u an kj1 ( ), ; ∗ = y n1
∗ , y x u bn kj2 ( ), ; ∗ =
= y n2
∗ .
Lemma*3. PryblyΩenyq y n1
∗ , y n2
∗ , postroenn¥e po metodu Rytca, obrazu-
gt mynymyzyrugwug posledovatel\nost\ dlq funkcyonala (29) na mnoΩest-
ve7(30).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1552 A. S. MYNENKO
Dokazatel\stvo. Pust\ para y1
∗, y2
∗
dostavlqet naymen\ßee znaçenye
funkcyonalu (29) na mnoΩestve (30). Pry πtom spravedlyv¥ predstavlenyq
y x u1
∗( ), = u x u Hη1( , ) + , y x u2
∗( ), = ( ) ( , )v − u x uη2 =
v
v
−
−
u
x u
1 2˜ ( , )η ,
hde η1
1
1∈C ( )∆ , ˜ ( )η2
1
2∈C ∆ , η1 0 0( , )x ≠ , η2 0( , )x v ≠ . V sylu teorem¥ Ve-
jerßtrassa funkcyy η1( , )x u y ˜ ( , )η2 x u mohut b¥t\ approksymyrovan¥ mno-
hoçlenamy v norme prostranstv C1
1( )∆ y C1
2( )∆ sootvetstvenno. Voz\mem
proyzvol\noe çyslo ε > 0 y pust\ P x un( , ), Q x un( , ) — mnohoçlen¥ takye, çto
η1 1
1
( , ) ( , ) ( )x u P x un C− ∆ < ε , ˜ ( , ) ( , )
( )
η2 1
2
x u Q x un C
− ∆ < ε .
Tohda
y x u uP x u Hn C1 1
1
∗ − −( , ) ( , )
( )∆
= u x u P x un Cη1 1
1
( , ) ( , ) ( )−[ ] ∆ < C ε ,
y x u
u
Q x un
C
2 1 1
1
∗ − −
−
( , ) ( , )
( )
v
v ∆
=
v
v
−
−
−[ ]u
x u Q x un
C1 2
1
1
˜ ( , ) ( , )
( )
η
∆
< C ε ,
hde C — nekotoraq poloΩytel\naq postoqnnaq.
PokaΩem teper\, çto funkcyy
f1 = uP x u Hn( , ) + , f2 =
v
v
−
−
u
Q x un1
( , )
moΩno sçytat\ dopustym¥my, t. e. f1 1∈Ω , f2 2∈Ω . Dejstvytel\no, esly
f x f x1 21 1( , ) ( , )≠ , to, poloΩyv
H a b
k
T
k
k
k+ −
= =
∑ ∑
1
0
0
0
0 0Θ
= ε0,
k
T
kj
k
kj
j j
a b
= =
∑ ∑−
0 1
Θ
= ε j , ãT jj
= aT j jj
− ε ,
ãT0 0 = aT0 0 0− ε , akj = ãkj
(esly k ≠ Tj , j = 1, 2, … , L ), postroym mnohoçlen
˜ ( , )P x un takoj, çto
˜ ( , )f x1 1 = f x2 1( , ), hde
˜ ( , )f x u1 = uP x u Hñ( , ) + =
j
L
k
T
kj
j k
j
a x u H
= =
∑ ∑ +
0 1
2˜ ,
pry πtom norma f f
C1 1 1
1
− ˜
( )∆
dostatoçno mala, tak kak yznaçal\no vse vely-
çyn¥ ε j moΩno v¥brat\ mal¥my.
Dalee, ymeem min y u1
∗ > 0 pry ( , )x u ∈∆1 y min y u2
∗ > 0 pry ( , )x u ∈∆2 .
Sledovatel\no, po krajnej mere, naçynaq s nekotoroho bol\ßoho nomera N
min f u1 > 0 pry ( , )x u ∈∆1 y min f u2 > 0 pry ( , )x u ∈∆2 . Ytak, poluçaem
f1 1∈Ω , f2 2∈Ω .
Dalee, dejstvuq analohyçno [7], [8] (sm. lemmu76), postroym cepoçku nera-
venstv
I y y dn n1 1 2( ),∗ ∗ − ≤ I y y dn n1 1 2( ), − ≤ I y y I y yn n1 1 2 1 1 2( ) ( ), ,− ∗ ∗ < ε̃ ,
hde d — naymen\ßee znaçenye funkcyonala (29) na mnoΩestve (30),
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA … 1553
y n1 = uP x u Hñ( , ) + , y n2 =
v
v
−
−
u
Q x un1
( , ), a d = I y y1 1 2( ),∗ ∗
v sylu lemm¥71. Otsgda vsledstvye proyzvol\nosty çysla ε̃ sleduet utverΩ-
denye lemm¥.
Yspol\zuq toΩdestvo y y x u x y≡ ( , ( , )), poluçaem formul¥
ux = –
y
y
x
u
, uy = 1
yu
, uxx = –
y
y
y
y
y
y
x
u x
x
u u
x
u
′
+
′
, uyy = 1 1
y yu u u
′
.
V termynax funkcyj y x u1( , ) , y x u2( , ) zadaça (1) – (11) prymet vyd
–
y
y
y
y
y
y y y
x
u x
x
u u
x
u u u u
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1
+
+
= 0,
( , )x u ∈∆1, y x1 0( , ) = H, – 1 ≤ x ≤ 1,
–
y
y
ux
u
1
1
0± +ω = 0, x = ± 1, 0 ≤ u ≤ 1,
–
y
y
y
y
y
y y y
x
u x
x
u u
x
u u u u
2
2
2
2
2
2 2 2
1 1
+
+
= 0,
( , )x u ∈∆2 , y x2( , )v = 0, – 1 ≤ x ≤ 1,
–
y
y
ux
u
2
2
0± −ω = 0, x = ± 1, 1 ≤ u ≤ v, y x1 1( , ) = y x2 1( , ),
y
y y
x
u u
1
2
1
2
1
2
1+ = κ2 2
2
2
2
2
2
1y
y y
x
u u
+
, u = 1.
Oçevydno, çto reßenye πtoj zadaçy budet zavyset\ ot parametrov ω+ , ω−
y κ :
y1 = y x u1 0 0( , ; , , )ω ω κ+ − , y2 = y x u2 0 0( , ; , , )ω ω κ+ − .
Yssleduem teper\ zavysymost\ koπffycyentov Rytca akj y bkj ot çysel
ω0
+ , ω0
−
y κ .
Lemma*4. Pust\ systema Rytca (32) ymeet reßenye pry nekotor¥x
znaçenyqx parametrov ω0
+ = ω̃0
+ , ω0
− = ω̃0
− , κ = κ̃ . Tohda reßenyq πtoj
system¥ akj( ), ,ω ω κ0 0
+ − , bkj( ), ,ω ω κ0 0
+ −
neprer¥vno zavysqt ot parametrov
ω0
+ , ω0
− , κ v nekotoroj okrestnosty toçky ( )˜ , ˜ , ˜ω ω κ0 0
+ − .
Dokazatel\stvo provodytsq analohyçno dokazatel\stvu teorem¥771 v rabo-
te7[9].
Posledovatel\nost\ funkcyj y x un1 ( , ), y x un2 ( , ), postroennaq s pomow\g
metoda Rytca, pozvolqet dlq zadaçy (15) pryblyΩenno najty svobodnug hrany-
cu γ n y lynyy urovnq y x cn1 ( , ), y x cn2 ( , ) funkcyj u x yn1 ( , ), u x yn2 ( , ). Pry
πtom ymeem
y x cn1 ( , ) =
j
L
k
T
kj
j k
j
a x c H
= =
∑ ∑ +
0 1
2 , 0 ≤ c ≤ 1,
y x cn2 ( , ) =
v
v
−
− = =
∑ ∑c
b x c
j
L
k
kj
j k
j
1 0 0
2
Θ
, 1 ≤ c ≤ v,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1554 A. S. MYNENKO
∂
∂
u
x
n1 = –
∂
∂
∂
∂
y
x
y
u
n u1 1 ,
∂
∂
u
y
n1 = 1 1∂
∂
y
u
n ,
∂
∂
u
x
n2 = –
∂
∂
∂
∂
y
x
y
u
n u2 2 ,
∂
∂
u
y
n2 = 1 2∂
∂
y
u
n ,
hde ( ), ,u un n n1 2 γ — pryblyΩennoe reßenye zadaçy (15).
Postroym teper\ v oblasty D funkcyy u x yn( , ) sledugwym obrazom:
u x yn( , ) =
u x y x y D
u x y x y D
n
n
n
n
1
2
( , ), ( , ) ,
( , ), ( , ) .
∈
∈
−
+
γ
γ
(33)
Perejdem k yssledovanyg sxodymosty pryblyΩenyj (31).
Teorema*1. Pust\ v¥polnen¥ predpoloΩenyq (16). Tohda posledovatel\-
nost\ pryblyΩenyj (33) sxodytsq k reßenyg u x y0( , ) zadaçy (15) po norme v
W D2
1( ) , W D2
1
0
( )γ
+
y W D2
1
0
( )γ
−
.
Dokazatel\stvo. Posledovatel\nost\ mnohoçlenov (31), koπffycyent¥
kotor¥x udovletvorqgt systeme (32), obrazuet mynymyzyrugwug posledova-
tel\nost\ y n1 , y n2 dlq funkcyonala (29) na mnoΩestve (30). Sledovatel\no,
ymeem εn = I y y I y yn n1 1 2 1 1 2( , ) ,( )− ∗ ∗ → 0 pry n → ∞ , tak kak sohlasno lem-
me71 para ( ),y y1 2
∗ ∗
dostavlqet naymen\ßee znaçenye funkcyonalu I y y1 1 2( , )
na mnoΩestve Ω .
Dalee, posledovatel\nosty ( , )y yn n1 2 v ploskosty ( , )x u sootvetstvuet
posledovatel\nost\ ( , )u un n1 2 v ploskosty ( , )x y . Tohda ymeem
˜( )I u0 + η = ˜( ) ˜( ) ˜( , )I u I I u0 02+ +η η , η = u un − 0,
hde
˜( )I u0 =
D H
u dx dy u y u y dy∫∫ ∫∇ + −( ) + − −( )[ ]0
2
0
0
0
2
0
21 1 1 1ω ( , ) ( , ) ,
˜( )I η =
D H
dx dy y y dy∫∫ ∫∇ + −( ) + − −( )[ ]η ω η η2
0
0
2 21 1 1 1( , ) ( , ) ,
˜( , )I u0 η = 2 2 1 10 0 0
0
0 0
D
x x y y
H
u u dx dy u y u y dy∫∫ ∫+ + + −[ ]( ) ( , ) ( , )η η ω η η .
Uçyt¥vaq, çto
˜( ) ˜( )I u I u0 0+ −η = I y y I y yn n1 1 2 1 1 2( , ) ,( )− ∗ ∗ → 0 pry n → ∞ y I u( , )0 η = 0,
poluçaem utverΩdenye teorem¥.
Zameçanye*1. Poskol\ku funkcyy y n1 y y n2 , v sylu lemm¥74, neprer¥v-
no zavysqt ot ω0
+, ω0
−
y κ v nekotoroj okrestnosty toçky ω0
+ = ω0, ω0
− =
ω0 y κ = 1, to y teorema soxranyt sm¥sl v nekotoroj maloj okrestnosty
U( , , )ω ω0 0 1 v prostranstve parametrov ( ), ,ω ω κ0 0
+ − . Sledovatel\no, poluçym
sxodymost\ un po norme v W D2
1( ) , W D2
1
0
( )γ
+
y W D2
1
0
( )γ
−
dlq vsex
( ), ,ω ω κ0 0
+ −
7∈ U( , , )ω ω0 0 1 .
5. Yssledovanye pervoho pryblyΩenyq. Dalee rassmotrym pervoe pry-
blyΩenye ( ), , ,ψ γ1 1 1 1u u+ −
zadaçy (1) – (11). V sylu svojstv neprer¥vnosty
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
YSSLEDOVANYE ODNOJ KONVEKTYVNOJ ZADAÇY STEFANA … 1555
funkcyy u x y0( , ) y ee proyzvodn¥x na γ uslovye (27) moΩno zapysat\ v takom
vyde:
u u u ux x y y0 1 0 1
− −+ = u u u ux x y y0 1 0 1
+ ++ , ( , )x y ∈γ 0, (34)
krome toho, na γ 0, kak y ran\ße, dolΩno v¥polnqt\sq uslovye
u1
+ = u1
− , ( , )x y ∈γ 0. (35)
PokaΩem, çto na γ 0 spravedlyv¥ ravenstva
u x1
+ = u x1
− , u y1
+ = u y1
− , ( , )x y ∈γ 0. (36)
Dejstvytel\no, dyfferencyruq sootnoßenye (35) po x, poluçaem
u u y xx y1 1 0
− −+ ′ ( ) = u u y xx y1 1 0
+ ++ ′ ( ).
Uçyt¥vaq teper\, çto u u y xx y0 0 0+ ′ ( ) = 0, na γ 0 ymeem
u u u uy x x y0 1 0 1
− −− = u u u uy x x y0 1 0 1
+ +− . (37)
Zdes\ vospol\zuemsq takΩe neprer¥vnost\g funkcyy u x y0( , ) y ee proyzvod-
n¥x na γ 0. Tohda yz sootnoßenyj (34) y (37) sleduet
u u u u u ux x x y y y0 1 1 0 1 1( ) ( )− + − +− + − = 0,
u u u u u uy x x x y y0 1 1 0 1 1( ) ( )− + − +− − − = 0.
Rassmatryvaq πty ravenstva kak uravnenyq otnosytel\no ( )u ux x1 1
− +− y
( )u uy y1 1
− +− , poluçaem u ux x1 1
− +− = 0, u uy y1 1
− +− = 0, ( , )x y ∈γ 0, tak kak oprede-
lytel\ πtoj system¥ ∆ = – ( )u ux y0
2
0
2+ otlyçen ot nulq v D . Sledovatel\no,
ravenstva (36) spravedlyv¥.
Takym obrazom, v sylu sootnoßenyj (35) y (36) dlq pervoho pryblyΩenyq
moΩno vvesty funkcyg u x y1( , ) po formule
u x y1( , ) =
u x y x y D
u x y x y D
1
1
0
0
+ +
− −
∈
∈
( , ), ( , ) ,
( , ), ( , ) .
γ
γ
(38)
Oçevydno, çto πta funkcyq qvlqetsq reßenyem zadaçy
∆u = f x y( , ), ( , )x y D∈ ; u x( , )0 = 0, u x H( , ) = 0, 0 ≤ x ≤ 1;
(39)
u yx ( , )0 = 0, H ≤ y ≤ 0; u ux + ω0 = 0, x = 1, H ≤ y ≤ 0,
hde f x y( , ) = ψ ψ1 0 1 0y x x yu u− pry ( , )x y D∈ +
γ 0
y f x y( , ) = 0 pry ( , )x y D∈ −
γ 0
.
Ytak, dokazana sledugwaq lemma.
Lemma*5. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq (16). Tohda funkcyq u x y1( , ) qvlqet-
sq reßenyem zadaçy (19) – (27). Pry πtom funkcyy u x y1( , ), u x y1
+( , ) y
u x y1
− ( , ) svqzan¥ meΩdu soboj ravenstvom (38).
Znaq funkcyy u x y0( , ) y u x y1( , ), yz sootnoßenyq (24) naxodym
y x1( ) = –
u x y
u x yy
1
0
( , )
( , )
, ( , )x y ∈γ 0.
Sledovatel\no, pry mal¥x µ poluçaem predstavlenye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1556 A. S. MYNENKO
y x( , )µ = y x y x0 1 0( ) ( ) ( )+ +µ µ = y x
u x y
u x yy
0
1
0
0( )
( , )
( , )
( )− +µ µ , ( , )x y ∈γ 0.
(40)
Sootnoßenye (40) pozvolqet v pervom pryblyΩenyy yssledovat\ zavysy-
most\ svobodnoj hranyc¥ γ ot µ y v¥qvyt\ naskol\ko suwestvenno konvekcyq
vlyqet na heometryg fronta krystallyzacyy.
Teorema*2. Pust\ velyçyna µ dostatoçno mala y ymeet mesto sootno-
ßenye (16). Tohda spravedlyvo predstavlenye (40), hde funkcyy u x y0( , ) y
u x y1( , ) qvlqgtsq reßenyqmy zadaç sootvetstvenno (19) y (39), a y x0( ) —
reßenye uravnenyq u x y0 1( , ) − = 0 v klasse funkcyj u y0 > 0 v D.
Zameçanye*2. V obwem sluçae, kohda uslovye (16) ne v¥polnqetsq, vmesto
formul¥ (40) pry mal¥x µ yspol\zuetsq predstavlenye
y x( , )µ = y x y x0 1 0( ) ( ) ( )+ +µ µ = y x
u x y
u x yy
0
1
0
0( )
( , )
( , )
( )− +
±
±µ µ , ( , )x y ∈γ 0.
1. Danylgk Y. V. O zadaçe Stefana // Uspexy mat. nauk. – 1985. – 40, # 5. – S.7133 – 185.
2. Mynenko A. S. Varyacyonn¥e zadaçy so svobodnoj hranycej. – Kyev: Nauk. dumka, 2005. –
354 s.
3. Bazalyj B. V., Íelepov V. G. Ob odnoj stacyonarnoj zadaçe Stefana // Dokl. AN USSR.
Ser. A. – 1974. – # 1. – S.75 – 8.
4. Bazalyj B. V., Íelepov V. G. Ob odnom obobwenyy stacyonarnoj zadaçy Stefana // Mat.
fyzyka. – 1975. – V¥p.727. – S.765 – 80.
5. Friedrichs K. O. Uber ein Minimumproblem fur Potentialstromungen mit freiem Rande // Math.
Ann. – 1933. – 109. – S. 60 – 82.
6. Mynenko A. S. Ob odnoj optymyzacyonnoj zadaçe // Mat. fyzyka. – 1978. – V¥p.723. –
S.774 – 77.
7. Mynenko A. S. Osesymmetryçeskoe teçenye so svobodnoj hranycej // Ukr. mat. Ωurn. –
1995. – 47, # 4. – S.7477 – 488.
8. Danylgk Y. V., Mynenko A. S. O metode Rytca v odnoj nelynejnoj zadaçe so svobodnoj
hranycej // Dokl. AN USSR. Ser. A. – 1978. – # 4. – S.7291 – 294.
9. Danylgk Y. V., Mynenko A. S. Ob odnoj optymyzacyonnoj zadaçe so svobodnoj hranycej //
Tam Ωe. – 1976. – # 5. – S.7389 – 392.
Poluçeno 22.02.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3410 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:02Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a0/75cec5db606f0c7cb5fdb66eec5df5a0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34102020-03-18T19:53:28Z Investigation of one convective Stefan problem by the Ritz method Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритца Minenko, A. S. Миненко, А. С. Миненко, А. С. A plane stationary convective Stefan problem is analyzed in the case where the convection is caused by the presence of a prescribed rotation of intensity &mu;. A method of studying this problem is proposed which consists in a series expansion of the solution in terms of powers of a small parameter &mu;. The null expansion term is defined by the Rietz method. The formula describing the dependence of free boundary equation on &mu; is obtained. Досліджується плоска стаціонарна конвективна задача Стефана, коли конвекція викликана наявністю заданого вихору інтенсивності &mu;. Запропоновано метод вивчення цієї задачі, що полягає у розвиненні розв'язку в ряд за степенями малого параметра &mu;. При цьому нульовий член розкладу знаходиться методом Рітца. Доведено формулу залежності рівняння вільної границі від &mu;. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3410 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 11 (2007); 1546–1556 Український математичний журнал; Том 59 № 11 (2007); 1546–1556 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3410/3563 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3410/3564 Copyright (c) 2007 Minenko A. S. |
| spellingShingle | Minenko, A. S. Миненко, А. С. Миненко, А. С. Investigation of one convective Stefan problem by the Ritz method |
| title | Investigation of one convective Stefan problem by the Ritz method |
| title_alt | Исследование одной конвективной задачи Стефана методом Ритца |
| title_full | Investigation of one convective Stefan problem by the Ritz method |
| title_fullStr | Investigation of one convective Stefan problem by the Ritz method |
| title_full_unstemmed | Investigation of one convective Stefan problem by the Ritz method |
| title_short | Investigation of one convective Stefan problem by the Ritz method |
| title_sort | investigation of one convective stefan problem by the ritz method |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3410 |
| work_keys_str_mv | AT minenkoas investigationofoneconvectivestefanproblembytheritzmethod AT minenkoas investigationofoneconvectivestefanproblembytheritzmethod AT minenkoas investigationofoneconvectivestefanproblembytheritzmethod AT minenkoas issledovanieodnojkonvektivnojzadačistefanametodomritca AT minenkoas issledovanieodnojkonvektivnojzadačistefanametodomritca AT minenkoas issledovanieodnojkonvektivnojzadačistefanametodomritca |