Properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping of the type π2 with degenerate affinor structure
We study an almost geodesic mapping of Riemann spaces with parabolic affinor structure. Some properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping are established.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3412 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509497630392320 |
|---|---|
| author | Grigoreva, T. I. Григорьева, Т. И. Григорьева, Т. И. |
| author_facet | Grigoreva, T. I. Григорьева, Т. И. Григорьева, Т. И. |
| author_sort | Grigoreva, T. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:28Z |
| description | We study an almost geodesic mapping of Riemann spaces with parabolic affinor structure. Some properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping are established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
K O R O T K I P O V I D O M L E N N Q
UDK 513.813
T. Y. Hryhor\eva (Odes. nac. akad. svqzy)
SVOJSTVA PARABOLYÇESKY KELEROVÁX
PROSTRANSTV, DOPUSKAGWYX POÇTY
HEODEZYÇESKOE OTOBRAÛENYE TYPA ππππ 2222
S VÁROÛDENNOJ AFFYNORNOJ STRUKTUROJ
We study the almost geodesic mapping of the Riemannian spaces with parabolic affinor structure. We
establish some properties of the parabolic Kählerian spaces admitting almost geodesic mapping.
Vyvça[t\sq majΩe heodezijne vidobraΩennq rimanovyx prostoriv iz paraboliçnog afinornog
strukturog. Znajdeno deqki vlastyvosti paraboliçno kelerovyx prostoriv, wo dopuskagt\ maj-
Ωe heodezijne vidobraΩennq.
Teoryq poçty heodezyçeskyx otobraΩenyj (PHO) affynno-svqzn¥x y rymano-
v¥x prostranstv bez kruçenyq b¥la razrabotana N. S. Syngkov¥m [1, 2]. V [1]
pokazano, çto suwestvugt try typa PHO: π 1 , π 2 y π 3. PHO vtoroho typa π2
pry uslovyy kovaryantnoho postoqnstva affynora yssledovaly Q.7Taßyro [3],
S.7Ysyxara [4], T.7Sakahuçy [5], V.7S.7Sobçuk [6, 7], J.7Mykeß [8], Y.7N.7Kur-
batova [9, 10] y druhye. Odnako, kak pravylo, rassmatryvalys\ nev¥roΩdenn¥e
affynorn¥e struktur¥ ( e = ± 1) . Avtor yzuçaet PHO π 2 s v¥roΩdennoj
affynornoj strukturoj ( e = 0 ) . Cel\ nastoqwej rabot¥ — rassmotret\
svojstva parabolyçesky kelerov¥x prostranstv, dopuskagwyx poçty heo-
dezyçeskoe otobraΩenye π 2
( e = 0) .
1. Poçty heodezyçeskoe otobraΩenye parabolyçesky kelerov¥x pros-
transtv.
Opredelenye. Rymanovo prostranstvo V n2 budem naz¥vat\ parabolyçes-
ky kelerov¥m prostranstvom (PKP), esly v nem narqdu s metryçeskym tenzo-
rom g xij ( ) suwestvuet affynornaq struktura F xi
h( ), udovletvorqgwaq
sledugwym uslovyqm:
F Fh
iα
α = 0, Fi j
h
, = 0, F g F gi j j i
α
α
α
αε= , ε = ±1,
hde < , > — znak kovaryantnoj proyzvodnoj v V n2 .
Sluçaj ε = − 1 podrobno yzuçen v [11]. V nastoqwej rabote budem rassmat-
ryvat\ PKP pry uslovyy ε = 1, t. e. sohlasov¥vat\ affynornug strukturu s
metrykoj sledugwym obrazom:
g F g Fj i i jα
α
α
α= . (1)
Rassmotrym poçty heodezyçeskoe otobraΩenye π2
( e = 0 ) : V n2 → V n2 parabo-
lyçesky kelerov¥x prostranstv V g Fn ij i
h
2 ( , ) y V g Fn ij i
h
2 ( , ). V obwej po otobra-
Ωenyg systeme koordynat ( x i ) osnovn¥e uravnenyq πtoho otobraΩenyq ymegt
vyd [1, 12]
Hij
h x( ) =
Hij
h
i
h
j i
h
jx x x F x( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )+ +ψ δ ϕ , (2a)
F x F xi
h
i
h( ) ( )= , (2b)
Fi j
h
, = 0 , (2c)
© T. Y. HRYHOR|EVA, 2007
1574 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
SVOJSTVA PARABOLYÇESKY KELEROVÁX PROSTRANSTV … 1575
Fi j
h
/ = 0, (2d)
F Fh
iα
α = 0, (2e)
hde Hij
h x( ) y Hij
h x( ) — komponent¥ obæektov svqznosty prostranstv V n2 y V n2
sootvetstvenno, ψi , ϕi — kovektor¥, „ / ” — znak kovaryantnoj proyzvodnoj v
V n2 , kruhl¥my skobkamy ( ij ) oboznaçena operacyq symmetryrovanyq bez
delenyq.
Operacyg svert¥vanyq s affynorom budem oboznaçat\ sledugwym obrazom:
A A Fβ α β
α= , A A Fβ α
α
β= ,
pry πtom poloΩym
A A Fi j k
h
j k
h
i… …=, ,( )α
α
.
Yssledovanyq budem provodyt\ v specyal\noj systeme koordynat, v kotoroj
komponent¥ affynora Fi
h
ymegt vyd
Fb
a n
b
a+ = δ , F F Fb
a
b n
a
b n
a n= = =+ +
+ 0 , (3)
hde a, b = 1, 2, … , n, t.7e.
( )F
Ej
h
n
=
0 0
0
.
VozmoΩnost\ v¥bora takoj system¥ koordynat pokazana v [12].
Vvedem v rassmotrenye dopolnytel\nug affynornug strukturu Fj
h*
, udov-
letvorqgwug uslovyqm
F F F Fh
i
h
i i
h
α
α
α
α δ
* *
+ = (4)
y
F Fh
j
* *
α
α = 0 . (5)
Rassmotrym affynor Fj
h*
v vyde
F
B D
C Aj
h*( ) =
,
hde A, B, C, D — proyzvol\n¥e kvadratn¥e matryc¥ porqdka n. Tohda, uçy-
t¥vaq strukturu affynora Fj
h
, yz (4) ymeem
D
B A D
E n
0
2+
= .
Sledovatel\no,
( )
*
F
B E
C B
j
h n=
−
.
No yz uslovyj (5) poluçaem
B C
B C
2
2
0
0
0
+
+
= ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1576 T. Y. HRYHOR|EVA
a znaçyt, B
2
+ C = 0. Takym obrazom, affynor Fj
h*
, udovletvorqgwyj uslovy-
qm (4), (5), ymeet vyd
F
B E
B Bj
h n*( ) =
− −
2 ,
hde B — proyzvol\naq kvadratnaq matryca porqdka n.
Netrudno pokazat\, çto F F n
*
β
α
α
β = .
V v¥brannoj systeme koordynat, vsledstvye (1), metryçeskyj tenzor prost-
ranstva V n2 udovletvorqet uslovyqm
( )g
g g
gij
ab ad
cb
=
0
,
hde a, b = 1, 2, … , n, c, d = n + 1, n + 2, … , 2 n, pryçem g gad cb= , a tenzor, vza-
ymn¥j k metryçeskomu,
( )g
g
g g
ij
ad
cb cd
=
0
, (6)
pryçem g gad cb= .
2. Svojstva parabolyçesky kelerov¥x prostranstv. Najdem nekotor¥e
svojstva tenzorov Rymana y Ryççy parabolyçesky kelerova prostranstva (PKP).
Teorema 1. Tenzor Ryççy PKP udovletvorqet uslovyqm
R Rij i j= , (7)
Ri j = 0 . (8)
Dlq tenzora Rymana PKP ymegt mesto sootnoßenyq
R Rhkij hki j= , (9)
Rhki j = 0 , (10)
R Rhijk l hi jk l, ,= , (11)
R F R
ij ij.
*
γ
β
β
γ = 1
2
. (12)
Dokazatel\stvo. Uslovye yntehryruemosty (2c) ymeet vyd
R Rijk
h
i jk
h
. .= , (13)
yly, çto πkvyvalentno,
R Rhijk hi jk= . (14)
Svernuv (13) po yndeksam h y k y yspol\zovav (14) , poluçym
R R R Rij ij ij i j. . . .α
α
α
α
α
α
α
α= = = ,
otkuda sleduet svojstvo (7).
Esly v (7) v¥polnyt\ soprqΩenye po yndeksu i y pry πtom uçest\ uslo-
vye7(2e), to poluçym svojstvo (8).
DokaΩem svojstvo (9). Dlq πtoho v toΩdestve Byanky
R R Rhijk hjki hkij+ = −
v¥polnym pooçeredno soprqΩenye po yndeksam h, k, i, j. S uçetom (14) poluçen-
n¥e sootnoßenyq zapyßutsq tak:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
SVOJSTVA PARABOLYÇESKY KELEROVÁX PROSTRANSTV … 1577
R R Rhi jk hjik hkij
− = − , (15)
R R Rhijk hjik hkij
− = − , (16)
R R Rhi jk hjik hki j− = − , (17)
R R Rhij k hj ik hk ij− = − . (18)
Sklad¥vaq pooçeredno (15) y (16), a zatem (17) y (18), ymeem
R R R R Rhi jk hj ik hij k hjik hkij
− + − = −2 ,
R R R R Rhi jk hjik hij k hj ik hki j− + − = −2 .
Yz dvux poslednyx sootnoßenyj sleduet trebuemoe. Esly teper\ v (9) v¥pol-
nyt\ soprqΩenye po yndeksu i y pry πtom uçest\ uslovye (2e), to poluçym
svojstvo (10).
Yspol\zovav toΩdestvo Byanky, netrudno dokazat\ svojstvo (11). V samom
dele, v sootnoßenyqx
R R Rhijk l hikl j hilj k, , ,= − −
v¥polnym pooçeredno soprqΩenye po yndeksam l y i:
R R R
hijk l hikl j hil j k, , ,
= − − , (19)
R R Rhi jk l hikl j hi lj k, , ,= − − . (20)
Sohlasno (9) y (14), prav¥e çasty sootnoßenyj (19) y (20) ravn¥, sledovatel\no,
ravn¥ y lev¥e çasty, t. e. ymeet mesto (11).
Yspol\zovav (4), moΩno dokazat\ svojstvo (12). Dejstvytel\no, uçyt¥vaq
svojstva tenzora Rymana (9) y (13), ymeem
R F R F R R F R R F
ij ij ij ij ij i j.
*
.
*
.
*
.
*
γ
β
β
γ
γ
β
β
γ
γ
β
β
γ
γ
β
β
γ
= = − = − ,
t.7e.
R F R R F
ij ij i j.
*
.
*
γ
β
β
γ
γ
β
β
γ
= − ,
çto πkvyvalentno (12).
Teorema 2. Skalqrnaq kryvyzna PKP toΩdestvenno ravna nulg.
Dokazatel\stvo. Poskol\ku, kak yzvestno, tenzor Ryççy ymeet svojstvo
symmetryy R Rij ji= , yz (12) sleduet
R F R F
ij ji.
*
.
*
γ
β
β
γ
γ
β
β
γ
= . (21)
Esly tenzor Rymana Rhijα svernut\ s F Fkβ
α β*
po yndeksu α, to sohlasno (4)
ymeet mesto ravenstvo
R F F R R F Fhij k hijk hij kα β
α β
α β
α β* *
= − .
V¥polnym zdes\ soprqΩenye po yndeksu j y svernem rezul\tat s gik
po yndek-
sam i y k. Levaq çast\ pry πtom ravna nulg:
R F Fhij kα β
α β*
= R F Fhij kα β
α β*
= R F F Fhij kγ α
γ
β
α β*
= 0.
Yz pravoj çasty poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
1578 T. Y. HRYHOR|EVA
R g R F Fh j hjα β
αβ
α
γ
β
α
γ
β+
.
*
= − +R R F Fhj hj.
*
α
γ
β
α
γ
β
= − + = −R R F F F Rhj hj hj.
*
α
δ
δ
γ
γ
β
β
α
.
Takym obrazom, v PKP V n2
Rij = 0 . (22)
Yz (22) sleduet, çto v v¥brannoj systeme koordynat komponent¥ tenzora Ryççy
ymegt vyd
( )R
R
ij
ab=
0
0 0
, a, b = 1, 2, … , n. (23)
Tohda, yspol\zovav (6), moΩno najty skalqrnug kryvyznu PKP:
R gαβ
αβ = 0 .
3. Poçty heodezyçeskoe otobraΩenye kasatel\n¥x rassloenyj rymano-
v¥x prostranstv. Odnym yz soderΩatel\n¥x prymerov PHO π2
( e = 0 ) PKP
qvlqetsq otobraΩenye kasatel\n¥x rassloenyj rymanov¥x prostranstv, metry-
ky kotor¥x ynducyrovan¥ metrykamy rymanov¥x prostranstv, naxodqwyxsq v
heodezyçeskom otobraΩenyy.
Pust\ Vn — rymanovo prostranstvo s metryçeskym tenzorom gij , otnesen-
n¥m k lokal\n¥m koordynatam ( x1
, x2, … , x n )
, a T ( Vn
) — eho kasatel\noe ras-
sloenye. Pust\ R ijk
h
. — komponent¥ tenzora Rymana svqznosty
Hij
h
na Vn
, toh-
da nenulev¥e komponent¥ polnoho lyfta tenzora R ijk
h
. v ynducyrovann¥x ko-
ordynatax ( x1
, x2
, … , xn
, xn + 1, … , x2 n
)
predstavlqgtsq v vyde [13, 14]
˜
. .R Rij k
h
ij k
h= , , ˜
. . .R R x Rijk
h n
ijk
h n
ijk
h+ += ≡∂ ∂α
α ,
˜ ˜ ˜
. . . .R R R Ri njk
h n
ij nk
h n
ijk n
h n
ijk
h
+
+
+
+
+
+= = = ,
hde ∂
∂
∂α αR
R
xijk
h ijk
h
.
.= .
Netrudno vydet\, çto tenzor Ryççy y skalqrnaq kryvyzna metryky polnoho
lyfta
c
ijg ymegt vyd
( )R
R
AB
ij=
2 0
0 0
,
R gAB
AB = 0 , A, B, = 1, 2, … , 2n.
Oçevydno, çto najdenn¥e v¥ße svojstva PKP v¥polnqgtsq v kasatel\nom
rassloenyy rymanova prostranstva.
S.7H.7Lejko dokazal, çto netryvyal\n¥j heodezyçeskyj dyffeomorfyzm
mnohoobrazyj affynnoj svqznosty Mn → Mn na kasatel\n¥x rassloenyqx so
svqznostqmy poln¥x lyftov ynducyruet 2-heodezyçeskyj dyffeomorfyzm
pervoho lynejnoho typa, kotor¥j ymeet svojstvo vzaymnosty [14]. Po ter-
mynolohyy N.7S.7Syngkova [1, 2] πto y est\ PHO π2
( e ). Dejstvytel\no, pust\
V gn ij( ) dopuskaet heodezyçeskoe otobraΩenye na rymanovo prostranstvo V gn ij( ),
tohda v obwej po otobraΩenyg systeme koordynat ( x1
, x2, … , xn )
osnovn¥e
uravnenyq πtoho otobraΩenyq ymegt vyd [1]
H Hij
h
ij
h
i j
hx x x( ) ( ) ( )( )= + ψ δ ,
a sledovatel\no, v ynducyrovann¥x koordynatax ( x1
, x2
, … , xn
, xn + 1, … , x2 n
)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
SVOJSTVA PARABOLYÇESKY KELEROVÁX PROSTRANSTV … 1579
H HBC
A
BC
A
B C
A
B C
AF= + +ξ δ ϕ( ) ( ) , A, B, C = 1, 2, … , 2n,
hde HBC
A
, HBC
A
— komponent¥ obæektov svqznosty T ( Vn
) y T Vn( ) sootvetst-
venno,
ξ ψ ψB i i= =v( ) ( , )0 , ϕ ψ ∂ψ ψB
c
i i i= =( ) ( , ),
FB
A
j
i
j
i= =
v( )δ
δ
0 0
0
, δ δ
δ
δB
A c
j
i j
i
j
i= =
( )
0
0
.
Netrudno vydet\, çto
F FB
A
C
B ≡ 0 , FB C
A
, = 0,
pryçem
g gAB AB= ,
hde gAB — komponent¥ polnoho lyfta metryçeskoho tenzora gij .
Takym obrazom, v v¥brannoj systeme koordynat, v kotoroj affynor Fj
h
ymeet vyd (3), najden¥ sledugwye svojstva parabolyçesky kelerova prostran-
stva, dopuskagweho PHO π2
( e = 0 ) : metryçeskyj tenzor PKP V n2 udovletvo-
rqet uslovyqm (6); tenzor Ryççy PKP V n2 ymeet vyd (23); tenzor¥ Rymana y
Ryççy ymegt svojstva (7) – (12). Dokazano takΩe, çto skalqrnaq kryvyzna pa-
rabolyçesky kelerova prostranstva toΩdestvenno ravna nulg. Pryveden pry-
mer parabolyçesky kelerov¥x prostranstv, dopuskagwyx PHO π2
( e = 0 ) .
1. Syngkov N. S. Heodezyçeskye otobraΩenyq rymanov¥x prostranstv. – M.: Nauka, 1979. –
256 s.
2. Syngkov N. S. Poçty heodezyçeskye otobraΩenyq affyno-svqzn¥x y rymanov¥x prost-
ranstv // Ytohy nauky y texnyky. Problem¥ heometryy / VYNYTY. – 1982. – V¥p. 13. –
S.737–726.
3. Tashiro Y. On holomorphically projective correspondences in an almost complex space // Math. J.
Okayama Univ. – 1957. – 6, #72. – P. 147 – 152.
4. Ishihara S. Holomorphically projective changes and their groups in an almost complex manifold //
Tohoku Math. J. – 1957. – 9, #73. – P. 273 – 297.
5. Sakaguchi T. On the holomorphically projective correspondence between Kählerian spaces
preserving complex structure // Hokkaido Math. J. – 1974. – 3, #72. – P. 203 – 212.
6. Sobçuk V. S. Nekotor¥e vopros¥ poçty heodezyçeskyx otobraΩenyj rymanov¥x prost-
ranstv // V Vsesogz. konf. po sovrem. problemam heometryy: Tez. dokl. – Samarkand: Samar-
kand. un-t, 1972. – S. 203.
7. Sobçuk V. S. Poçty heodezyçeskye otobraΩenyq rymanov¥x prostranstv na symmetryçes-
kye rymanov¥ prostranstva // Mat. zametky. – 1975. – 17, # 5. – S. 757 – 763.
8. Mykeß J. Heodezyçeskye y holomorfno proektyvn¥e otobraΩenyq specyal\n¥x rymano-
v¥x prostranstv: Dys. … kand. fyz.-mat. nauk. – Odessa, 1979. –7100 s.
9. Kurbatova Y. N. O kvazyholomorfno-proektyvn¥x otobraΩenyqx K-prostranstv s soxra-
nenyem e-struktur¥ // VII Vsesogz. konf. po sovrem. problemam heometryy: Tez. dokl. –
Mynsk, 1979. – S. 104.
10. Kurbatova Y. N. HP-otobraΩenyq H-prostranstv // Ukr. heom. sb. – 1984. – #727. –
S.7757–782.
11. Íyxa M. Heodezyçeskye y holomorfno-proektyvn¥e otobraΩenyq parabolyçesky kelero-
v¥x prostranstv: Dys. … kand. fyz.-mat. nauk. – M., 1993. –7110 s.
12. Hryhor’[va T. I. Invariantni heometryçni ob’[kty majΩe heodezijnoho vidobraΩennq π 2
( e = 0) // Mat. stud. – 2001. – 16, # 2. – S. 213 – 216.
13. Yano K., Kobayashi S. Prolangations of tensor fields and connections to tangent bundles I //
J. Math. Soc. Jap. – 1996. – 18, #72. – P. 194 – 210.
14. Lejko S. H. Dyfferencyal\naq heometryq obobwenno-heodezyçeskyx otobraΩenyj mnoho-
obrazyj y yx kasatel\n¥x rassloenyj: Dys. … d-ra fyz.-mat. nauk. – Kazan\, 1998. – 326 s.
Poluçeno 27.02.06,
posle dorabotky — 19.06.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3412 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:03Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6b/2ce27ba82b90dfbed5ee74da97bd0c6b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34122020-03-18T19:53:28Z Properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping of the type π2 with degenerate affinor structure Свойства параболически келеровых пространств, допускающих почти геодезическое отображение типа π2 с вырожденной аффинорной структурой Grigoreva, T. I. Григорьева, Т. И. Григорьева, Т. И. We study an almost geodesic mapping of Riemann spaces with parabolic affinor structure. Some properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping are established. Вивчається майже геодезійне відображення ріманових просторів із параболічною афінорною структурою. Знайдено деякі властивості параболічно келерових просторів, що допускають майже геодезійне відображення. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3412 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 11 (2007); 1574–1579 Український математичний журнал; Том 59 № 11 (2007); 1574–1579 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3412/3567 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3412/3568 Copyright (c) 2007 Grigoreva T. I. |
| spellingShingle | Grigoreva, T. I. Григорьева, Т. И. Григорьева, Т. И. Properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping of the type π2 with degenerate affinor structure |
| title | Properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping of the type π2 with degenerate affinor structure |
| title_alt | Свойства параболически келеровых пространств, допускающих почти геодезическое отображение типа π2 с вырожденной аффинорной структурой |
| title_full | Properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping of the type π2 with degenerate affinor structure |
| title_fullStr | Properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping of the type π2 with degenerate affinor structure |
| title_full_unstemmed | Properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping of the type π2 with degenerate affinor structure |
| title_short | Properties of parabolic Kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping of the type π2 with degenerate affinor structure |
| title_sort | properties of parabolic kählerian spaces admitting an almost geodesic mapping of the type π2 with degenerate affinor structure |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3412 |
| work_keys_str_mv | AT grigorevati propertiesofparabolickahlerianspacesadmittinganalmostgeodesicmappingofthetypep2withdegenerateaffinorstructure AT grigorʹevati propertiesofparabolickahlerianspacesadmittinganalmostgeodesicmappingofthetypep2withdegenerateaffinorstructure AT grigorʹevati propertiesofparabolickahlerianspacesadmittinganalmostgeodesicmappingofthetypep2withdegenerateaffinorstructure AT grigorevati svojstvaparaboličeskikelerovyhprostranstvdopuskaûŝihpočtigeodezičeskoeotobraženietipap2svyroždennojaffinornojstrukturoj AT grigorʹevati svojstvaparaboličeskikelerovyhprostranstvdopuskaûŝihpočtigeodezičeskoeotobraženietipap2svyroždennojaffinornojstrukturoj AT grigorʹevati svojstvaparaboličeskikelerovyhprostranstvdopuskaûŝihpočtigeodezičeskoeotobraženietipap2svyroždennojaffinornojstrukturoj |