Separately continuous mappings with values in nonlocally convex spaces
We prove that the collection $(X, Y, Z)$ is the Lebesgue triple if $X$ is a metrizable space, $Y$ is a perfectly normal space, and $Z$ is a strongly $\sigma$-metrizable topological vector space with stratification $(Z_m)^{\infty}_{m=1}$, where, for every $m \in \mathbb{N}$, $Z_m$ is a closed metriza...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3418 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509507599204352 |
|---|---|
| author | Karlova, O. O. Maslyuchenko, V. K. Карлова, О. О. Маслюченко, В. К. |
| author_facet | Karlova, O. O. Maslyuchenko, V. K. Карлова, О. О. Маслюченко, В. К. |
| author_sort | Karlova, O. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:47Z |
| description | We prove that the collection $(X, Y, Z)$ is the Lebesgue triple if $X$ is a metrizable space, $Y$ is a perfectly normal space, and $Z$ is a strongly $\sigma$-metrizable topological vector space with stratification
$(Z_m)^{\infty}_{m=1}$, where, for every $m \in \mathbb{N}$, $Z_m$ is a closed metrizable separable subspace of $Z$ arcwise connected and locally arcwise connected. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.51
O. O. Karlova, V. K. Maslgçenko (Çerniv. nac. un-t)
NARIZNO NEPERERVNI VIDOBRAÛENNQ ZI ZNAÇENNQMY
V NE LOKAL|NO OPUKLYX PROSTORAX
We prove that the collection (X, Y, Z) is the Lebesgue triple if X is a metrizable space, Y is a
perfectly normal space, and Z is a strongly σ-metrizable topological vector space with stratification
( ) =
∞Zm m 1, where, for every m ∈ N , Zm is a closed metrizable separable subspace of Z arcwise
connected and locally arcwise connected.
Dokazano, çto dlq metryzuemoho prostranstva X, soverßenno normal\noho prostranstva Y y
syl\no σ-metryzuemoho topolohyçeskoho vektornoho prostranstva Z , ymegweho ysçerp¥va-
nye, kotoroe sostoyt yz zamknut¥x metryzuem¥x separabel\n¥x lynejno svqzn¥x y lokal\no
lynejno svqzn¥x podprostranstv Zm prostranstva Z, nabor ( , , )X Y Z qvlqetsq trojkoj Le-
beha.
1. Dlq topolohiçnyx prostoriv X i Y poznaçymo çerez B X Y1( , ) sukupnist\
vsix funkcij f : X → Y perßoho klasu Bera, tobto potoçkovyx hranyc\ posli-
dovnostej neperervnyx funkcij fn : X → Y. Qkwo Z — we odyn topolohiçnyj
prostir, to CC X Y Z( , )× — ce sukupnist\ vsix narizno neperervnyx vidobra-
Ωen\ f : X × Y → Z . Nabir ( , , )X Y Z topolohiçnyx prostoriv my nazyva[mo
trijkog Lebeha, qkwo vykonu[t\sq vklgçennq CC X Y Z( , )× ⊂ B X Y Z1( , )× .
A.4Lebeh u svo]j perßij drukovanij praci [1] pokazav, wo R R R, ,( ) [ trij-
kog Lebeha. U 1981 r. V.4Rudin [2] doviv, wo nabir ( , , )X Y Z [ trijkog Lebeha,
qkwo X — metryzovnyj prostir, Y — topolohiçnyj prostir i Z — lokal\no
opuklyj prostir. Pryrodno postalo pytannq: çy moΩna v teoremi Rudina pozba-
vytysq vid umovy lokal\no] opuklosti topolohiçnoho vektornoho prostoru Z?
Rozvyvagçy metod Lebeha, v [3] pokazano, wo CC Y Z( , )R × ⊆ B Y Z1( , )R × ,
qkwo Y — topolohiçnyj prostir i Z — topolohiçnyj vektornyj prostir. Dali
v [4] z’qsovano, wo pry cyx Ωe umovax na prostory Y ta Z nabir ( , , )R
m Y Z [
trijkog Lebeha. Zastosovugçy metod Rudina, wo spyra[t\sq na teoremu Stouna
pro parakompaktnist\ metryzovnoho prostoru i qk osnovnyj texniçnyj zasib vy-
korystovu[ rozbyttq odynyci, u [5] pokazano, wo umovu lokal\no] opuklosti
prostoru Z moΩna znqty u tomu vypadku, koly X — metryzovnyj prostir zi
skinçennog vymirnistg Lebeha – Çexa. T. Banax [6] doviv, wo ( , , )X Y Z [ trij-
kog Lebeha, qkwo X — metryçno çvert\-vyçerpnyj parakompaktnyj syl\no
zliçennovymirnyj prostir, Y — topolohiçnyj prostir i Z — rivnomirno zv’qz-
nyj prostir. Nareßti, v [7] vstanovleno, wo CC X Y Z( , )× ⊆ B X Y Z1( , )× u vy-
padku, koly X — metryzovnyj prostir, Y — topolohiçnyj prostir i Z — met-
ryzovnyj separabel\nyj topolohiçnyj vektornyj prostir.
NezvaΩagçy na pereraxovani vywe znaçni prosuvannq v naprqmku rozv’qzan-
nq postavleno] problemy, vona vse we zalyßa[t\sq vidkrytog. U zv’qzku z cym
avtory zvernuly uvahu na odyn klas ne lokal\no opuklyx prostoriv, qkyj buv
uvedenyj u [8]. A same, tam na prostori �p vsix sumovnyx z p-m stepenem posli-
dovnostej skalqriv bulo pobudovano stroho zrostagçu sim’g ( κs : 0 < s ≤ p)
linijnyx hausdorfovyx topolohij, pryçomu dlq 0 < s < 1 i s ≤ p topolohi] κs
ne [ lokal\no opuklymy. OtΩe, vynyklo pytannq: çy ( , , )X Y Z [ trijkog Le-
beha, qkwo X — metryçnyj prostir, Y — topolohiçnyj prostir i Z = ( , )�p sκ ?
V procesi doslidΩennq c\oho pytannq bulo z’qsovano, wo prostir Z = ( , )�p sκ
syl\no σ-metryzovnyj, pryçomu joho vyçerpuvannq budut\ utvorgvaty kuli
Bm = { x p∈� : x p ≤ m}, qki [ zamknenymy metryzovnymy separabel\nymy li-
nijno zv’qznymy i lokal\no linijno zv’qznymy pidprostoramy prostoru Z . Vyko-
© O. O. KARLOVA, V. K. MASLGÇENKO, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12 1639
1640 O. O. KARLOVA, V. K. MASLGÇENKO
rystovugçy uzahal\nennq odnoho rezul\tatu Fos©erau [9], wo bulo anonsovano
v [10] (dovedennq dyv. v [11]), my v cij statti vstanovlg[mo, wo dlq metryzov-
noho prostoru X, doskonalo normal\noho prostoru Y i syl\no σ-metryzovnoho
topolohiçnoho vektornoho prostoru Z, qkyj ma[ vyçerpuvannq, wo sklada[t\sq
z zamknenyx metryzovnyx separabel\nyx linijno zv’qznyx i lokal\no linijno
zv’qznyx pidprostoriv Zm prostoru Z, nabir ( , , )X Y Z [ trijkog Lebeha.
2. Rozhlqnemo na prostori �p , 0 < p < ∞, topolohig, porodΩenu naborom
perednorm
x y
k
k k
s
s
=
=
∞
∑
1
1
ξ η
/
pry 1 ≤ s < p i naborom s-perednorm
x y
k
k k
s=
=
∞
∑
1
ξ η
pry 0 < s < 1 i s < p, de x = ( )ξk k p=
∞ ∈1 � , y = ( )ηk k q=
∞ +∈1 � , 1
p
+ 1
q
= 1
s
i �q
+ =
= {y = ( )ηk k q=
∞ ∈1 � : ηk ≥ 0 dlq koΩnoho k}. Bazu okoliv nulq v cij topolohi]
utvorggt\ mnoΩyny
U x xy p y= ∈ ≤{ }� : 1 , y q∈ +� .
Budemo poznaçaty taku topolohig symvolom κs . Dlq elementa x = ( )ξk k =
∞
1 z
prostoru �p poklademo x p =
k k
p p
=
∞∑( )1
1
ξ
/
.
Nahada[mo, wo topolohiçnyj prostir Z nazyva[t\sq σ-metryzovnym, qkwo
joho moΩna podaty u vyhlqdi ob’[dnannq zrostagço] poslidovnosti svo]x zamk-
nenyx metryzovnyx pidprostoriv Zm , i syl\no σ-metryzovnym, qkwo do toho Ω
koΩna zbiΩna v Z poslidovnist\ toçok zk cilkom mistyt\sq u deqkomu dohra-
nyçnomu prostori Zm . Taku poslidovnist\ pidprostoriv Zm nazyvagt\ vyçer-
puvannqm prostoru Z.
Teorema 1. Prostir �p z topolohi[g κs pry 0 < s < p [ syl\no σ-
metryzovnym z vyçerpuvannqm Bm = { x p∈� : x p ≤ m} pry m = 1, 2, … .
Dovedennq. Nexaj r > 0 i B = { x p∈� : x p ≤ r}. Dovedemo, wo pidprostir
B prostoru ( , )�p sκ [ metryzovnym. Dovedennq budemo provodyty dlq vypadku
s ≤ 1, qkyj nas najbil\ße cikavyt\. U vypadku s > 1 u mirkuvannq treba vnesty
neznaçni texniçni zminy. Krim toho, dlq prostoty vvaΩatymemo, wo pole skalq-
riv — ce çyslova prqma R .
Viz\memo zliçennu mnoΩynu
E = z n k nk k k k= ∃ ∈ = > ∈( ){ }=
∞( ) : ( )ζ ζ ζ1 0N Qpry i = z z zm1 2, , , ,… …{ }
i vyznaçymo na ( , )�p sκ funkcig
x
x
xm
z
m
z
m
m
=
+( )=
∞
∑
1 2 1
.
Lehko pereviryty, wo d x x( , )′ ′′ = ′ − ′′x x — metryka na ( , )�p sκ . Dovedemo,
wo cq metryka i topolohiq κs indukugt\ na B odnu i tu Ω topolohig. Dlq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
NARIZNO NEPERERVNI VIDOBRAÛENNQ ZI ZNAÇENNQMY … 1641
c\oho dosyt\ pereviryty, wo koΩnyj okil nulq v B s B, κ( ) [ okolom nulq v
metryçnij topolohi] na B i navpaky.
Nexaj y = ( )ηk k q=
∞ +∈1 � , 1
p
+ 1
q
= 1
s
i
U x B x y= ∈ ≤{ }: 1 .
Oskil\ky rqd
k k
q
=
∞∑ 1
η [ zbiΩnym, to isnu[ takyj nomer n, wo
rs
k n
k
q
s q
>
∞
∑
≤η
/
1
2
.
Dali, viz\memo racional\ni çysla ζ1, ζ2, … , ζn taki, wo
rs
k
n
k k
s
=
∑ − ≤
1
1
4
η ζ .
Toçka z = (ζ1, ζ2, … , ζn, 0, 0, … ) naleΩyt\ do mnoΩyny E, tomu isnu[ nomer
m takyj, wo z = zm .
Rozhlqnemo kulg
V = x B d x m∈ ≤
⋅
: ( , )0 1
5 2
i pokaΩemo, wo V ⊆ U. Prypustymo, wo x = ( )ξk k V=
∞ ∈1 . Ocinymo x y , vyko-
rystavßy nerivnist\ Hel\dera z pokaznykamy p s/ i q s/ :
x y =
k
k k
s
=
∞
∑
1
ξ η =
k
n
k k
s
=
∑
1
ξ η +
k n
k k
s
>
∑ ξ η ≤
≤
k
n
k k
s
=
∑
1
ξ η +
k n
k
p
s
p
>
∑
ξ
k n
k
q
s
q
>
∑
η ≤
≤
k
n
k k
s
=
∑
1
ξ η +
k n
k
p
s
p
>
∑
ξ 1
2 rs .
Z toho, wo x ∈ B, vyplyva[, wo
k k
p
=
∞∑ 1
ξ ≤ r p
, tomu
x y ≤
k
n
k k
s
=
∑
1
ξ η + r
r
s
s⋅ 1
2
=
k
n
k k
s
=
∑
1
ξ η + 1
2
.
Krim toho,
k
n
k k
s
=
∑
1
ξ η ≤
k
n
k k k
s
k
n
k k
s
= =
∑ ∑− +
1 1
ξ η ζ ξ ζ( ) ≤
≤ rs
k
n
k k
s
k
n
k k
s
= =
∑ ∑− +
1 1
η ζ ξ ζ ≤ 1
4 1
+
=
∑
k
n
k k
sξ ζ .
Oskil\ky x V∈ , to
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1642 O. O. KARLOVA, V. K. MASLGÇENKO
x
x
d x
z
m
z
m
m
m
2 1
0 1
5 2+( ) ≤ ≤
⋅
( , ) ,
zvidky
x
x
z
z
m
m
1 +
≤ 1
5
i x zm
≤ 1
4
.
Vraxovugçy, wo
k
n
k k
s
=∑ 1
ξ ζ = x zm
, ma[mo
x xy zm
≤ + + ≤ + + =1
4
1
2
1
4
1
4
1
2
1.
Takym çynom, x U∈ .
Navpaky, nexaj V = { x B∈ : d x( , )0 ≤ ε} — bazysnyj okil nulq v metryçnij
topolohi] na B z 0 < ε < 1 i δ =
ε
ε
/
/
2
1 2−
. Viz\memo nomer n nastil\ky velykym,
wob
m n m>∑ 1
2
≤ ε
2
. Nexaj zm = ( ),ζm k k =
∞
1 dlq m = 1, … , n, de ζm k, = 0 pry
k > km . Poklademo N = max { k1, k2 , … , kn } i ηk = max ,
1≤ ≤m n
m kζ pry k ∈N .
Zrozumilo, wo ηk = 0 pry k > N. Rozhlqnemo y = 1
1
1δ
η/ s k
k
q
∈
=
∞
+� i pokaΩemo,
wo Uy = { x B∈ : x y ≤ 1} ⊆ V. Qkwo x = ( )ξk k yU=
∞ ∈1 , to
k
k s k
s
k
N
k k
s
=
∞
=
∑ ∑= ≤
1
1
1
1 1 1ξ
δ
η
δ
ξ η/ ,
zvidky
k
N
k k
s
=
∑ ≤
1
ξ η δ .
Todi dlq koΩnoho m = 1, … , n ma[mo
x z
k
N
k m k
s
k
N
k k
s
m
= ≤ ≤
= =
∑ ∑
1 1
ξ ζ ξ η δ, .
Takym çynom,
x =
m
z
m
z
x
x
m
m=
∞
∑ +( )1 2 1
≤
m
n
z
m
z m n
m
x
x
m
m= >
∑ ∑+( ) +
1 2 1
1
2
≤
≤
m
n
m
=
∑ +
+
1 2 1 2
δ
δ
ε
( )
≤ ε ε
2 2
+ = ε,
otΩe, x V∈ .
Lehko pereviryty, wo kulq B [ zamknenog v prostori ( , )�p sκ . Spravdi,
topolohiq κs maΩoru[ topolohig pokoordynatno] zbiΩnosti, a kulq B [ zamk-
nenog v topolohi] pokoordynatno] zbiΩnosti. Takym çynom, kuli Bm pry m =
= 1, 2, … metryzovni v topolohi] κs , zamkneni u prostori ( , )�p sκ , pryçomu
Bm ⊆ Bm +1 i �p =
m mB=
∞
1∪ .
Zalyßylos\ dovesty, wo koΩna zbiΩna v ( , )�p sκ poslidovnist\ leΩyt\
v4qkijs\ kuli Bm . Nexaj { zn: n ∈N} ⊆ �p i zn → 0 v ( , )�p sκ . PokaΩemo, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
NARIZNO NEPERERVNI VIDOBRAÛENNQ ZI ZNAÇENNQMY … 1643
zn
s → 0 v slabkij topolohi] prostoru �p s/ , de dlq poslidovnosti z = ( )ζk k =
∞
1
çerez z s
poznaça[t\sq poslidovnist\ ζk
s
k
( ) =
∞
1
. Spravdi, viz\memo dovil\ne
y = ( ) /ηk k q s=
∞ ∈1 � , 1
p s/
+ 1
q s/
= 1. Oçevydno, wo ỹ =
ηk
s
k q
1
1
/( ) ∈
=
∞ +� . Todi,
vraxovugçy, wo zn → 0 v ( , )�p sκ , ma[mo
k
k
s
n k
s
k
k n k
s
n=
∞
=
∞
→∞
∑ ∑= →
1
1
1
0η ζ η ζ/
, , ,
otΩe, zn
s
slabko zbiha[t\sq do nulq u prostori �p s/ . Zvidsy zhidno z [12,
s.4118] vyplyva[, wo
sup
n
n pz
∈N
< ∞. Takym çynom, isnu[ nomer m ∈N takyj, wo
{ zn: n ∈N} ⊆ Bm .
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩymo, wo kulq B = { x p∈� : x p ≤ r} [ linijno zv’qznog i lokal\no
linijno zv’qznog v ( , )�p sκ , tomu wo topolohiq κs linijna. Krim toho, pid-
prostir B prostoru ( , )�p sκ [ separabel\nym, oskil\ky finitni poslidovnosti z
B z racional\nymy koordynatamy utvorggt\ wil\nu v B zliçennu pidmnoΩynu.
3. Dlq vidobraΩennq f : X × Y → Z i toçky ( , )x y ∈ X × Y budemo vykorys-
tovuvaty standartni poznaçennq f yx( ) = f xy( ) = f x y( , ).
TverdΩennq 1. Nexaj X — metryzovnyj prostir, Y — topolohiçnyj
prostir, Z — syl\no σ-metryzovnyj prostir iz vyçerpuvannqm ( )Zn n=
∞
1 i
f ∈ CC X Y Z( , )× . Todi isnu[ zrostagça poslidovnist\ ( )Fn n=
∞
1 zamknenyx v
X × Y mnoΩyn taka, wo
n nF=
∞
1∪ = X × Y i f Fn( ) ⊆ Zn dlq koΩnoho n ∈N .
Dovedennq. Dlq koΩnoho m ∈N rozhlqnemo vidkryte pokryttq (Um x, :
x X∈ ) prostoru X vidkrytymy kulqmy Um x, iz centrom u toçci x i radiusom
1
m
. Zhidno z [13, s.4446] dlq koΩnoho m isnu[ lokal\no skinçenne zamknene
pokryttq (Vm x, : x X∈ ) prostoru X take, wo Vm x, ⊆ Um x, dlq koΩnoho
x X∈ . Poklademo Im = { x X∈ : Vm x, ≠ ∅}. Zrozumilo, wo diam ,Vm i ≤ 2
m
dlq
koΩnoho i Im∈ , pryçomu X =
i I m i
m
V∈∪ , .
Dlq koΩno] pary ( , )m i ∈ N × Im vyberemo toçku x Vm i m i, ,∈ i poklademo
Am n i, , = ( ) ( ),f Z
x
n
m i −1
dlq koΩnoho n ∈N . Poznaçymo
Bm n, =
i I
m i m n i
m
V A
∈
×∪ ( ), , , , Bn =
m
m nB
=
∞
1
∩ , .
Oskil\ky vidobraΩennq f [ neperervnym vidnosno druho] zminno], to dlq koΩno-
ho n mnoΩyna Am n i, , [ zamknenog v Y dlq vsix m ∈N ta i Im∈ . Zhidno z [13,
s.440] mnoΩyna Bm n, [ zamknenog v X × Y , oskil\ky systema { Vm i, × Am n i, , :
i Im∈ } lokal\no skinçenna v X × Y . Todi i mnoΩyna Bn bude zamknenog v
X × Y dlq koΩnoho n.
Dovedemo, wo f Bn( ) ⊆ Zn dlq koΩnoho n. Zafiksu[mo nomer n ∈N i
toçku ( , )x y Bn∈ . Todi isnu[ poslidovnist\ ( )im m =
∞
1 taka, wo x Vm im
∈ , i
f x ym im
( , ), ∈ Zn . Z toho, wo diam ,Vm im
→
→∞m
0, vyplyva[, wo xm im, →
→∞m
x .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1644 O. O. KARLOVA, V. K. MASLGÇENKO
Oskil\ky f [ neperervnym vidnosno perßo] zminno], to f x ym im
( , ), →
→∞m
f x y( , ).
MnoΩyna Zn zamknena, tomu f x y( , ) ∈ Zn .
PokaΩemo, wo
n nB=
∞
1∪ = X × Y. Nexaj ( , )x y ∈ X × Y . Todi isnu[ poslidov-
nist\ ( )im m =
∞
1 taka, wo x Vm im
∈ , . Oskil\ky xm im, →
→∞m
x, to f x ym im
( , ), →
→∞m
→
→∞m
f x y( , ). Z toho, wo prostir Z [ syl\no σ-metryzovnym, vyplyva[, wo
isnu[ nomer n takyj, wo { f x ym im
( , ), : m ∈N} ⊆ Zn , tobto y Am n i∈ , , dlq koΩ-
noho m ∈N . Takym çynom, ( , )x y ∈ Bn .
Poklademo Fn =
k
n
kB=1∪ . Todi X × Y =
n nF=
∞
1∪ i f Fn( ) ⊆ Zn , adΩe posli-
dovnist\ ( )Zn n=
∞
1 [ zrostagçog. Krim toho, mnoΩyny Fn zamkneni v X × Y.
4. Budemo poznaçaty çerez H X Y1( , ) sukupnist\ usix vidobraΩen\ f : X → Y
perßoho klasu Lebeha, dlq qkyx proobraz f F−1( ) [ Gδ-mnoΩynog v X dlq
dovil\no] zamkneno] v Y mnoΩyny F.
MnoΩynu A ⊆ X nazyvatymemo funkcional\nog Fσ-mnoΩynog (funkcio-
nal\nog Gδ-mnoΩynog), qkwo vona poda[t\sq u vyhlqdi zliçennoho ob’[dnan-
nq (peretynu) funkcional\no zamknenyx (vidkrytyx) v X mnoΩyn. MnoΩynu A
budemo nazyvaty funkcional\no dvostoronn\og, qkwo vona vodnoças [ funk-
cional\nog typu Fσ i funkcional\nog typu Gδ v X. Çerez H X Y1
*( , ) budemo
poznaçaty sukupnist\ usix vidobraΩen\ f : X → Y perßoho funkcional\noho
klasu Lebeha, dlq qkyx proobraz f F−1( ) [ funkcional\nog Gδ-mnoΩynog v
X dlq dovil\no] zamkneno] v Y mnoΩyny F . Zrozumilo, wo H X Y1
*( , ) ⊆
⊆ H X Y1( , ), pryçomu dlq doskonalo normal\noho prostoru X ci klasy zbiha-
gt\sq.
Lema. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Z — topolohiçnyj vektornyj
prostir, F1, … , Fn — dyz’gnktni funkcional\no zamkneni v X mnoΩyny i
vidobraΩennq gi : X → Z neperervni dlq koΩnoho i = 1, … , n. Todi isnu[
neperervne vidobraΩennq g : X → Z take, wo g x( ) = g xi( ) na Fi dlq koΩno-
ho i = 1, … , n.
Dovedennq. Zhidno z lemog 3.4 [7] isnugt\ dyz’gnktni funkcional\no vid-
kryti v X mnoΩyny Gi taki, wo Fi ⊆ Gi dlq koΩnoho i = 1, … , n. Poklademo
Ai = X Gi\ . Todi dlq koΩnoho i = 1, … , n isnu[ neperervna funkciq ϕi : X →
→ [ , ]0 1 taka, wo Fi = ϕi
−1 1( ) i Ai = ϕi
−1 0( ). Dlq koΩnoho x X∈ poklademo
g x( ) =
i
n
i ix g x=∑ 1
ϕ ( ) ( ). Oçevydno, wo vidobraΩennq g : X → Z [ neperervnym.
Qkwo x Fi∈ dlq deqkoho 1 ≤ i ≤ n, to ϕi x( ) = 1 i ϕ j x( ) = 0 pry j ≠ i. Takym
çynom, g x( ) = g xi( ) na Fi .
Lemu dovedeno.
TverdΩennq 2. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Z — topolohiçnyj
vektornyj prostir, f ∈ H X Z1
*( , ), Z =
n nZ=
∞
1∪ , de Zn — taki neporoΩni pid-
prostory prostoru Z, wo H X Zn1
*( , ) ⊆ B X Zn1( , ) dlq koΩnoho n ∈N ,
( )Fn n=
∞
1 — zrostagça poslidovnist\ funkcional\nyx Fσ-mnoΩyn v X taka,
wo X =
n nF=
∞
1∪ i f Fn( ) ⊆ Zn dlq koΩnoho n. Todi f ∈ B X Z1( , ) .
Dovedennq. Z lemy 3.2 [7] vyplyva[, wo isnu[ poslidovnist\ ( )Bn n=
∞
1
dyz’gnktnyx funkcional\no dvostoronnix mnoΩyn v X taka, wo Bn ⊆ Fn i
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
NARIZNO NEPERERVNI VIDOBRAÛENNQ ZI ZNAÇENNQMY … 1645
X =
n nB=
∞
1∪ . Nexaj fn
* = f Bn
: Bn → Zn . Todi f H B Zn n n
* *( , )∈ 1 . Zafiksu[mo
toçku z Zn n∈ dlq koΩnoho n i poklademo f xn( ) = f xn
*( ) , qkwo x Bn∈ , i
f xn( ) = zn, qkwo x Bn∉ . Lehko pereviryty, wo dlq dovil\no] vidkryto] v Z
mnoΩyny G mnoΩyna f G Bn n
−1( ) ∩ [ funkcional\nog typu Fσ v X dlq koΩ-
noho n . Todi zhidno z lemog 1 [14] f H X Zn n∈ 1
*( , ) dlq koΩnoho n ∈N .
Oskil\ky H X Zn1
*( , ) ⊆ B X Zn1( , ) , to isnu[ poslidovnist\ ( ),gn m m =
∞
1 nepererv-
nyx funkcij gn m, : X Zn→ taka, wo g xn m, ( ) →
→∞m
f xn( ) na X. Zokrema,
lim ( ),
m
n mg x
→∞
= f x( ) na Bn . Oskil\ky mnoΩyny Bn [ funkcional\nymy typu
Fσ, to Bn =
m n mB=
∞
1∪ , , de ( ),Bn m m =
∞
1 — zrostagça poslidovnist\ funkcio-
nal\no zamknenyx v X mnoΩyn. Poklademo Fn m, = ∅, qkwo n > m, i Fn m, =
= Bn m, , qkwo n ≤ m. Todi z dovedeno] lemy vyplyva[, wo dlq koΩnoho m ∈N
isnu[ neperervne vidobraΩennq gm : X → Y take, wo gm Fn m,
= gn m, , adΩe
systema { Fn m, : n ∈N} [ skinçennog dlq koΩnoho m ∈N . Zalyßylos\ pokaza-
ty, wo g xm( ) → f x( ) na X. Zafiksu[mo x X∈ . Todi isnu[ nomer n takyj, wo
x Bn∈ . Poslidovnist\ ( ),Fn m m =
∞
1 zrosta[ i
m n mF=
∞
1∪ , = Bn . Tomu isnu[ takyj
nomer m0 ≥ n, wo x Fn m∈ , dlq vsix m ≥ m0 . Todi g xm( ) = g xn m, ( ) dlq vsix
m ≥ m0 . Takym çynom, lim ( )
m
mg x
→∞
= lim ( ),
m
n mg x
→∞
= f xn( ) = f x( ).
TverdΩennq dovedeno.
Teorema 2. Nexaj X — metryzovnyj prostir, Y — doskonalo normal\-
nyj prostir i Z — syl\no σ-metryzovnyj topolohiçnyj vektornyj prostir iz
vyçerpuvannqm ( )Zn n=
∞
1 , d e Zn — metryzovni separabel\ni linijno zv’qzni i
lokal\no linijno zv’qzni prostory. Todi CC X Y Z( , )× ⊆ B X Y Z1( , )× .
Dovedennq. Nexaj f CC X Y Z∈ ×( , ). Zhidno z naslidkom 4.1.6 [15] prostir
Z [ doskonalo normal\nym, tomu z teoremy 8.5.5 [15] (dyv. takoΩ [16]) vyply-
va[, wo f H X Y Z∈ ×1( , ) . Zastosuvavßy tverdΩennq 1, otryma[mo, wo isnu[
zrostagça poslidovnist\ ( )Fn n=
∞
1 zamknenyx v X × Y mnoΩyn taka, wo
n nF=
∞
1∪ = X × Y i f Fn( ) ⊆ Zn dlq koΩnoho n ∈N . Oskil\ky z [10] vyplyva[,
wo H X Y Zn1( , )× ⊆ B X Y Zn1( , )× dlq koΩnoho n ∈N , to zhidno z tverdΩen-
nqm42 ma[mo, wo f B X Y Z∈ ×1( , ) .
Z teorem 1 i 2 bezposeredn\o vyplyva[ taka teorema.
Teorema 3. Nexaj X — metryzovnyj prostir, Y — doskonalo normal\-
nyj prostir. Todi nabir X Y p s, , ( , )� κ( ) [ trijkog Lebeha.
1. Lebesque H. Sur l’approximation des fonctions // Bull. Sci. Math. – 1898. – 22. – P. 278 – 287.
2. Rudin W. Lebesque first theorem // Math. Anal. and Appl., Pt B. – Acad. Press, 1981. – P. 741 –
747.
3. Maslgçenko V. K., Myxajlgk O. V., Sobçuk O. V. DoslidΩennq pro narizno neperervni
vidobraΩennq // Mat. miΩnar. mat. konf., prysv. pam’qti Hansa Hana. – Çernivci: Ruta, 1995. –
S. 192 – 246.
4. Kalança A. K., Maslgçenko V. K. Berivs\ka klasyfikaciq vektornoznaçnyx narizno nepe-
rervnyx funkcij na dobutkax iz skinçennovymirnym spivmnoΩnykom // Zb. nauk. pr.
Kam’qnec\-Podil. ped. un-tu. Ser. fiz.-mat. (matematyka). – 1998. – 4. – S. 43 – 46.
5. Kalança A. K., Maslgçenko V. K. Rozmirnist\ Lebeha – Çexa ta berivs\ka klasyfikaciq
vektornoznaçnyx narizno neperervnyx vidobraΩen\ // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 11. –
S.41596 – 1599.
6. Banakh T. O. (Metrically) quarter-stratifiable spaces and their applications // Mat. studi]. – 2002.
– 18, # 1. – S. 10 – 28.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1646 O. O. KARLOVA, V. K. MASLGÇENKO
7. Karlova O. O. Perßyj funkcional\nyj lebehivs\kyj klas i berivs\ka klasyfikaciq nariz-
no neperervnyx vidobraΩen\ // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Matematyka. – 2004. – Vyp. 191-192.
– S. 52 – 60.
8. Maslgçenko V. K., Pliçko A. M. Pro odnu sim’g topolohij na prostori � p // Mat. metody i
fiz.-mex. polq. – 1992. – 35. – S. 194 – 198.
9. Fosgerau M. When are Borel functions Baire functions? // Fund. math. – 1993. – 143. – P. 137 –
152.
10. Karlova O. O., Myxajlgk V. V. Rivnomirna hranycq vidobraΩen\ perßoho klasu Bera i
berivs\ka klasyfikaciq vidobraΩen\ perßoho klasu Lebeha // Konf. mol. uçenyx iz suçasnyx
problem mexaniky i matematyky im. akad. Q. S. Pidstryhaça (24 – 27 travnq, 2005 r.): Tezy
dop. – L\viv, 2005. – S. 202 – 203.
11. Karlova O. O., Myxajlgk V. V. Funkci] perßoho klasu Bera zi znaçennqmy v metryzovnyx
prostorax // Ukr. mat. Ωurn. – 2006. – 58, # 4. – S. 568 – 572.
12. Banax S. Kurs funkcional\noho analizu. – Ky]v: Rad. ßk., 1948. – 216 s.
13. ∏nhel\kynh R. Obwaq topolohyq. – M.: Myr, 1986. – 752 s.
14. Karlova O. O. Berivs\ka klasyfikaciq vidobraΩen\ zi znaçennqmy u pidmnoΩynax skinçen-
novymirnyx prostoriv // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Matematyka. – 2005. – Vyp. 239. – S. 59 –
65.
15. Maslgçenko V. K. Narizno neperervni funkci] i prostory Kete: Dys. … d-ra fiz.-mat. nauk.
– Çernivci, 1999. – 445 s.
16. Maslgçenko V. K., Maslgçenko O. V., Myxajlgk V. V. Parakompaktnist\ i lebehivs\ka kla-
syfikaciq // Mat. metody i fiz.-mex. polq. – 2004. – 47, # 2. – S. 65 – 72.
OderΩano 22.02.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3418 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:12Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d0/134bbe14f24bf957ffd38afbe372f6d0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34182020-03-18T19:53:47Z Separately continuous mappings with values in nonlocally convex spaces Нарізно неперервні відображення зі значеннями в не локально опуклих просторах Karlova, O. O. Maslyuchenko, V. K. Карлова, О. О. Маслюченко, В. К. We prove that the collection $(X, Y, Z)$ is the Lebesgue triple if $X$ is a metrizable space, $Y$ is a perfectly normal space, and $Z$ is a strongly $\sigma$-metrizable topological vector space with stratification $(Z_m)^{\infty}_{m=1}$, where, for every $m \in \mathbb{N}$, $Z_m$ is a closed metrizable separable subspace of $Z$ arcwise connected and locally arcwise connected. Доказано, что для метризуемого пространства $X$, совершенно нормального пространства $Y$ и сильно $\sigma$-метризуемого топологического векторного пространства $Z$, имеющего исчерпывание, которое состоит из замкнутых метризуемых сепарабельных линейно связных и локально линейно связных подпространств $Z_m$ пространства $Z$, набор $(X, Y, Z)$ является тройкой Лебега. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3418 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 12 (2007); 1639–1646 Український математичний журнал; Том 59 № 12 (2007); 1639–1646 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3418/3579 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3418/3580 Copyright (c) 2007 Karlova O. O.; Maslyuchenko V. K. |
| spellingShingle | Karlova, O. O. Maslyuchenko, V. K. Карлова, О. О. Маслюченко, В. К. Separately continuous mappings with values in nonlocally convex spaces |
| title | Separately continuous mappings with values in nonlocally convex spaces |
| title_alt | Нарізно неперервні відображення зі значеннями в не локально опуклих просторах |
| title_full | Separately continuous mappings with values in nonlocally convex spaces |
| title_fullStr | Separately continuous mappings with values in nonlocally convex spaces |
| title_full_unstemmed | Separately continuous mappings with values in nonlocally convex spaces |
| title_short | Separately continuous mappings with values in nonlocally convex spaces |
| title_sort | separately continuous mappings with values in nonlocally convex spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3418 |
| work_keys_str_mv | AT karlovaoo separatelycontinuousmappingswithvaluesinnonlocallyconvexspaces AT maslyuchenkovk separatelycontinuousmappingswithvaluesinnonlocallyconvexspaces AT karlovaoo separatelycontinuousmappingswithvaluesinnonlocallyconvexspaces AT maslûčenkovk separatelycontinuousmappingswithvaluesinnonlocallyconvexspaces AT karlovaoo naríznoneperervnívídobražennâzíznačennâmivnelokalʹnoopuklihprostorah AT maslyuchenkovk naríznoneperervnívídobražennâzíznačennâmivnelokalʹnoopuklihprostorah AT karlovaoo naríznoneperervnívídobražennâzíznačennâmivnelokalʹnoopuklihprostorah AT maslûčenkovk naríznoneperervnívídobražennâzíznačennâmivnelokalʹnoopuklihprostorah |