On the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from Orlicz spaces of random variables. I
We establish conditions under which there exists a function c(t) > 0 such that $\sup\cfrac{X (t)}{c(t)} < \infty$, where X(t) is a random process from an Orlicz space of random variables. We obtain estimates for the probabilities $P\left\{ \sup\cfrac{X (t)}{c(t)} > \varepsilon\...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3419 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509508853301248 |
|---|---|
| author | Kozachenko, Yu. V. Perestyuk, M. M. Козаченко, Ю. В. Перестюк, М. М. |
| author_facet | Kozachenko, Yu. V. Perestyuk, M. M. Козаченко, Ю. В. Перестюк, М. М. |
| author_sort | Kozachenko, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:47Z |
| description | We establish conditions under which there exists a function c(t) > 0 such that $\sup\cfrac{X (t)}{c(t)} < \infty$, where X(t) is a random process from an Orlicz space of random variables. We obtain estimates for the probabilities $P\left\{ \sup\cfrac{X (t)}{c(t)} > \varepsilon\right\}, \quad \varepsilon > 0$.. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
G. V. Kozaçenko, M. M. Perestgk (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
PRO RIVNOMIRNU ZBIÛNIST| VEJVLET-ROZKLADIV
VYPADKOVYX PROCESIV IZ PROSTORIV ORLIÇA
VYPADKOVYX VELYÇYN. I
We establish conditions under which there exists a function c t( ) > 0 such that sup
( )
( )t R
X t
c t∈
< ∞ ,
where X t( ) is a random process from the Orlicz space of random variables. We obtain estimates of the
probabilities P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε , ε > 0 .
Najden¥ uslovyq, pry kotor¥x suwestvuet takaq funkcyq c t( ) > 0 , çto sup
( )
( )t R
X t
c t∈
< ∞ , hde
X t( ) — sluçajn¥j process yz prostranstva Orlyça sluçajn¥x velyçyn. Poluçen¥ ocenky
veroqtnostej P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε , ε > 0 .
1. Vstup. Vejvlet-rozklady funkcij intensyvno vyvçagt\sq ostanni 10 – 15
rokiv. Ce zumovleno tym, wo ci rozklady ßyroko vykorystovugt\ u riznyx ob-
lastqx nauky. Ostannim çasom vejvlet-rozklady poçaly zastosovuvaty v teori]
vypadkovyx procesiv. Prote tut vynykly pevni trudnowi, oskil\ky, v osnovno-
mu, vyvçalys\ vejvlet-rozklady funkcij z L R2( ) abo rozklady neperervnyx ob-
meΩenyx funkcij, todi qk tra[ktori] bil\ßosti vaΩlyvyx klasiv vypadkovyx
procesiv ne [ obmeΩenymy ta ne naleΩat\ L R2( ). Zokrema, tra[ktori] stacio-
narnyx vypadkovyx procesiv druhoho porqdku ne naleΩat\ L R2( ), a, qk poka-
zano v roboti [1], tra[ktori] stacionarnyx haussovyx procesiv iz neperervnym
spektrom [ neobmeΩenymy z imovirnistg odynycq. ZauvaΩymo, wo v pevnyx ro-
botax iz teori] vejvletiv neob©runtovano vvaΩagt\, wo tra[ktori] stacionarnyx
procesiv obmeΩeni z imovirnistg odynycq. ZauvaΩymo takoΩ, wo pry znaxod-
Ωenni umov rivnomirno] zbiΩnosti vejvlet-rozkladiv klgçovymy [ povedinka na
neskinçennosti funkcij, wo rozkladagt\sq v rqd po vejvletax. Osnovni polo-
Ωennq teori] vejvletiv ta pevni zastosuvannq do teori] vypadkovyx procesiv
moΩna znajty v robotax [2 – 5]. Neobxidni vidomosti z teori] vypadkovyx proce-
siv iz prostoriv Orliça vypadkovyx velyçyn navedeno v roboti [6].
U cij roboti vyvçagt\sq vlastyvosti vypadkovyx procesiv iz prostoriv Orli-
ça vypadkovyx velyçyn, zokrema z prostoriv L Rp( ). Znajdeno ocinky dlq roz-
podiliv supremumiv cyx procesiv na skinçennyx intervalax ta doslidΩeno pove-
dinku cyx procesiv pry t → ∞ . Otrymani rezul\taty zastosovano do vyvçennq
umov rivnomirno] zbiΩnosti vejvlet-rozkladiv cyx procesiv.
Podibni rezul\taty dlq ϕ - subhaussovyx procesiv otrymano v roboti [7].
Opyßemo korotko budovu ci[] statti. U druhomu punkti navedeno neobxidni
vidomosti z teori] vypadkovyx procesiv iz prostoriv Orliça vypadkovyx velyçyn,
a takoΩ teoremy pro ocinky rozpodilu supremumu cyx procesiv na skinçennomu
intervali ta umovy vybirkovo] neperervnosti z imovirnistg odynycq cyx procesiv.
U tret\omu punkti dovedeno zahal\nu teoremu pro povedinku vypadkovyx proce-
siv X t( ) z prostoriv Orliça vypadkovyx velyçyn pry t → ∞ , a same pobudo-
vano taki funkci] c t( ) > 0 , wo z imovirnistg odynycq sup
( )
( )t R
X t
c t∈
< ∞ , ta ot-
rymano ocinky jmovirnostej P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε , ε > 0 . U çetvertomu punkti
© G. V. KOZAÇENKO, M. M. PERESTGK, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12 1647
1648 G. V. KOZAÇENKO, M. M. PERESTGK
oderΩani v zahal\nomu vypadku rezul\taty zastosovano do vypadkovyx procesiv
iz prostoriv Lp( )Ω .
2. Vypadkovi procesy z prostoriv Orliça vypadkovyx velyçyn.
Oznaçennq52.1 [6]. Neperervna parna opukla funkciq U = U x x R( ), ∈{ }
nazyva[t\sq C-funkci[g, qkwo U( )0 0= ta U ( x ) monotonno zrosta[ pry
x > 0.
Pryklad52.1. Prykladamy C-funkci] [ funkci] U x A x p( ) = , p ≥ 1, A >
> 0; U ( x ) = exp x α{ } − 1, α ≥ 1.
Nexaj { Ω , L , P } — standartnyj imovirnisnyj prostir.
Oznaçennq52.2 [6]. Nexaj U ( x ) — dovil\na C-funkciq. Prostorom Orli-
ça vypadkovyx velyçyn LU( )Ω nazyva[mo taku sim’g vypadkovyx velyçyn, wo
dlq koΩno] ξ ∈ LU( )Ω isnu[ konstanta rξ > 0 taka, wo EU
r
ξ
ξ
< ∞ .
Teorema52.1 [6]. Prostir Orliça LU( )Ω [ banaxovym vidnosno normy
Lgksemburha ξ U = inf : /r U r> ( ) ≤{ }0 1E ξ .
Lema52.1 [6]. Nexaj ξ ∈ LU( )Ω ta ξ U > 0. Todi dlq vsix x > 0 vyko-
nu[t\sq nerivnist\
P ξ >{ }x ≤ U x
Uξ
−1
. (2.1)
Oznaçennq52.3 [6]. Dodatna monotonno nespadna poslidovnist\ ( χU ( n ) ,
n ≥ 1 ) nazyva[t\sq M-xarakterystykog (maΩorugçog xarakterystykog)
prostoru LU( )Ω , qkwo dlq bud\-qkyx n ≥ 1 ta ξ k ∈ LU( )Ω ma[ misce ne-
rivnist\ max
1≤ ≤k n
k
U
ξ ≤ χ ξU
k n
k Un( ) max
1≤ ≤
.
Lema52.2 [6]. Dlq bud\-qkoho x0 0> poslidovnist\ χU n( ) = ( ( ))1 0+ U x ×
× S nx0
( ) , n ≥ 1, de S nx0
( ) = sup ( ( ))( )
x x x
U nU x
>
−
0
1 1 , U x( )( )−1
— obernena do
U ( x ) pry x > 0 funkciq, [ M-xarakterystykog prostoru LU( )Ω .
Oznaçennq52.4 [6]. C-funkciq U zadovol\nq[ g-umovu, qkwo isnugt\ taki
konstanty z0 ≥ 0 , K > 0 ta A > 0, wo dlq vsix x ≥ z0 , y ≥ z0 vykonu-
[t\sq nerivnist\
U x U y( ) ( ) ≤ AU Kxy( ). (2.2)
Pryklad52.2. Funkciq U ( x ) = C x p , p ≥ 1, C > 0, zadovol\nq[ g-umovu,
do toho Ω K = 1, A = C ta z0 = 0. Funkciq U ( x ) = exp c x α{ } − 1, α ≥ 1,
c > 0, zadovol\nq[ g-umovu, pryçomu z0 = 21/α , K = 1 ta A = 1.
Lema52.3 [6]. Nexaj LU( )Ω — prostir Orliça, pryçomu funkciq U zado-
vol\nq[ g-umovu. Todi M-xarakterystykog prostoru LU( )Ω pry n ≥ U z( )0
[ poslidovnist\ χU n( ) = c U nU
( )( )−1 , de CU = K U z A( ( ))max( , )1 10+ .
Pryklad52.3. Prostir LU( )Ω [ prostorom Orliça, wo porodΩu[t\sq funk-
ci[g U ( x ) = x p, p ≥ 1 . Cq funkciq zadovol\nq[ g-umovu, ξ ξU
p p
= ( )E
/1
,
χU
pn n( ) /= 1
.
Oznaçennq52.5. Vypadkovyj proces X = X t t T( ), ∈{ } , de T — deqka pa-
rametryçna mnoΩyna, naleΩyt\ prostoru LU( )Ω , qkwo dlq bud\-qkoho t ∈ T
vypadkova velyçyna X ( t ) naleΩyt\ prostoru LU( )Ω .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
PRO RIVNOMIRNU ZBIÛNIST| VEJVLET-ROZKLADIV VYPADKOVYX PROCESIV … 1649
Vidomosti z teori] prostoriv Orliça vypadkovyx velyçyn ta pryklady moΩna
znajty u knyzi [6].
Nastupna teorema uzahal\ng[ j utoçng[ teoremuL3.3.2 z knyhy [6].
Teorema52.2. Nexaj ( T, ρ ) — metryçnyj (psevdometryçnyj) kompaktnyj
prostir, N ( u ) — metryçna masyvnist\ prostoru ( T, ρ ) , tobto minimal\ne
çyslo zamknenyx kul\ radiusa u, wo pokryvagt\ ( T, ρ ) , X = X t t T( ), ∈{ } —
separabel\nyj vypadkovyj proces iz prostoru LU( )Ω , χU n( ) — M -
xarakterystyka prostoru LU( )Ω . Nexaj isnu[ taka funkciq σ =
= σ ρ( ), sup ( , )
,
h h t s
t s T
0 ≤ ≤
∈
, wo σ( )h monotonno zrosta[, neperervna ta
σ( )0 0= i sup ( ) ( )
( , )ρ t s h
UX t X s
≤
− ≤ σ( )h . Qkwo dlq deqkoho ε > 0 vykonu-
[t\sq umova
0
1
ε
χ σ∫ −( )U N u du( ( ))( ) < ∞ , (2.3)
de σ( )( )−1 u — funkciq, obernena do σ( )h , to z imovirnistg odynycq vypadko-
va velyçyna sup ( )
t T
X t
∈
naleΩyt\ prostoru Lu( )Ω ta
sup ( )
t T U
X t
∈
≤ X t N u duU
w
U( )
( )
( ( ))( )
0
0
11
1
0
+
− ( )∫ −
θ θ
χ σ
θ
= B t( )0 , (2.4)
de t0 — dovil\na toçka z T , w t t
t T
0 0=
∈
σ ρsup ( , ) , 0 < θ < 1. Krim toho, dlq
bud\-qkoho ε > 0 ma[ misce nerivnist\
P sup ( )
t T
X t
∈
>
ε ≤ U
B t
ε
( )0
1
−
. (2.5)
Dovedennq. Z lemyL2.1 vyplyva[, wo pry ε > 0
P X t X s( ) ( )− >{ }ε ≤ U
X t X s U
ε
( ) ( )−
−1
≤ U
t s
ε
σ ρ( ( , ))
−1
.
OtΩe, pry bud\-qkomu ε > 0 P X t X s( ) ( )− >{ }ε → 0 pry ρ( , )t s → 0. Ot-
Ωe, proces X ( t ) [ neperervnym za jmovirnistg na prostori ( T, ρ ) . Tomu bud\-
qka zliçenna skriz\ wil\na mnoΩyna v ( T, ρ ) moΩe buty mnoΩynog separa-
bel\nosti procesu X ( t ) . Nexaj ε ρ0 0=
∈
sup ( , )
t T
t t , ε σ θk
kw= ( )−( )1
0 pry k ≥ 1 ,
de 0 < θ < 1. Nexaj V
kε — mnoΩyna centriv minimal\noho pokryttq prostoru
( T, ρ ) zamknenymy kulqmy radiusa εk , do toho Ω çyslo elementiv u cij mnoΩy-
ni dorivng[ N k( )ε . MnoΩynu Vε0
vybyra[mo tak, wo vona mistyt\ lyße odnu
toçku t0 . Poznaçymo V V
kk
= =
∞
ε0∪ . Zrozumilo, wo V — ce zliçenna skriz\
wil\na mnoΩyna, tomu V [ mnoΩynog separabel\nosti procesu X ( t ) . OtΩe, z
imovirnistg odynycq
sup ( )
t T
X t
∈
= sup ( )
t V
X t
∈
. (2.6)
Vvedemo v V vidobraΩennq αk t( ) takym çynom. Qkwo t V
s
∈ ε , to αs t−1( ) —
taka toçka z V
sε −1
, wo ρ α ε( , ( ))t ts s− −≤1 1. Taka toçka isnu[. Qkwo takyx
toçok dekil\ka, to fiksu[mo odnu z nyx. Qkwo t V
s
∈
−ε 1
, to αs t t− =1( ) . Nexaj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1650 G. V. KOZAÇENKO, M. M. PERESTGK
teper t — dovil\na toçka z V. Zrozumilo, wo t naleΩyt\ qkomus\ Vs .
Poznaçymo t ts= , αs s st t− −=1 1( ) , … , α0 1 0( )t t= . Tomu
X t( ) ≤
k
s
k kX t X t X t
=
−∑ − +
1
1 0( ) ( ) ( ) ≤
≤
k
s
t V
k
k
X t X t X t
= ∈
−∑ − +
1
1 0max ( ) ( ( )) ( )
ε
α . (2.7)
Oskil\ky t — dovil\na toçka z V, to z (2.7) vyplyva[ nerivnist\
sup ( )
t V
X t
∈
≤
k t V
k
k
X t X t X t
=
∞
∈
−∑ − +
1
1 0max ( ) ( ( )) ( )
ε
α .
Tomu
sup ( )
t T U
X t
∈
= sup ( )
t V U
X t
∈
≤ X t X t X tU
k t V
k
Uk
( ) max ( ) ( ( ))0
1
1+ −
=
∞
∈
−∑
ε
α .
Z oznaçennqL2.3 vyplyva[
sup ( )
t T U
X t
∈
≤ X t NU
k
U k k( ) ( ) ( )0
1
1+ ( )
=
∞
−∑ χ ε σ ε =
= X t u( )0 +
k
U
k kN w w
=
∞
− −∑ ( )
1
1
0 0
1χ σ θ θ( )( )( ) ≤
≤ X t N u duU
k w
w
U
k
k
( )
( )
( ( ))( )
0
1
11
1
0
1
0
+
− ( )
=
∞
−∑ ∫
+θ θ
χ σ
θ
θ
=
= X t N u duU
w
U( )
( )
( ( ))( )
0
0
11
1
0
+
− ( )∫ −
θ θ
χ σ
θ
,
tobto my otrymaly (2.4). Teper (2.5) vyplyva[ z nerivnosti (2.1).
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq52.1. TeoremaL2.1 zalyßa[t\sq pravyl\nog, qkwo v (2.4) w0
zaminyty na 2 sup ( )
t T
UX t
∈
(oskil\ky X t X s X tU
t T
U( ) ( ) sup ( )− ≤
∈
2 ), todi ε0 =
= σ( ) sup ( )−
∈
1 2
t T
UX t .
ZauvaΩennq52.2. V teoremiL2.1 χU xn U x S n( ) ( ( )) ( )= +1 0 0
(lemaL2.2), a koly
U zadovol\nq[ g -umovu, to pry n U z≥ ( )0 χU Un C U n( ) ( )( )= −1 (lemaL2.3).
Naslidok52.1. Nexaj T = [ a, b ] , – ∞ < a < b < + ∞ , ρ( , )t s t s= − , vy-
padkovyj proces X = X t t a b( ), [ , ]∈{ } naleΩyt\ prostoru LU( )Ω , U ( x ) za-
dovol\nq[ umovu g, σ = σ( ), )h h b a0 ≤ ≤ −{ } — taka neperervna monotonna
zrostagça funkciq, wo σ( )0 0= ta sup ( ) ( ) ( )
t s h
UX t X s h
− ≤
− ≤ σ .
Qkwo dlq deqkoho ε > 0 vykonu[t\sq umova
0
1
12
1
ε
σ∫ −
−
− +
U
b a
u
du( )
( )( )
< ∞ , (2.8)
to vypadkova velyçyna sup ( )
[ , ]t a b
X t
∈
naleΩyt\ prostoru LU( )Ω ta
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
PRO RIVNOMIRNU ZBIÛNIST| VEJVLET-ROZKLADIV VYPADKOVYX PROCESIV … 1651
sup ( )
[ , ]t a b U
X t
∈
≤ X t
C
U
b a
u
duU
U
w
( )
( ) ( )
( )
( )0
0
1
11 2
1
0
+
−
− +
∫ −
−θ θ σ
θ
= D t( )0 , (2.9)
de t0 — dovil\na toçka z [ a, b ] , w0 = σ sup
[ , ]t a b
t t
∈
−
0 , CU = K U z1 0+( )( ) ×
× max( , )1 A (konstanty z0 , K, A ) z oznaçennqL2.4, θ — dovil\ne çyslo take,
wo θ < min ,
( )
1
2
1
0 0
σ b a
U z w
−
. Pry c\omu pry vsix ε > 0 ma[ misce nerivnist\
P sup ( )
[ , ]t a b
X t
∈
>
ε ≤ U
D t
ε
( )0
1
−
. (2.10)
Dovedennq. U danomu vypadku
b a
u
−
2
≤ N ( u ) ≤
b a
u
− +
2
1. Krim toho,
χU n( ) = C U nU
( )( )−1 , n ≥ U z( )0 . Dlq toho wob vykonuvalas\ ostannq neriv-
nist\ pry n = N wσ θ( )− ( )( )1
0 , potribno, wob vykonuvalas\ nerivnist\
b a
w
−
( )−2 1
0σ θ( ) ≥ U z( )0 . Z ci[] nerivnosti vyplyvagt\ obmeΩennq na θ .
Naslidok dovedeno.
ZauvaΩennq52.3. Oskil\ky v (2.9) 0 ≤ u ≤ w0 θ , to dlq cyx u
1
1σ( )( )− u
≥ 1
1
0σ θ( )( )− w
≥ 1
1
0σ( )( )− w
= 1
0sup
[ , ]t a b
t t
∈
−
.
Todi
0
1
1
0
2
1
w
U
b a
u
du
θ
σ∫ −
−
− +
( )
( )( )
≤
0
1
1 0
0
2
w
t a b
U
b a
u
b a
t t du
θ
σ∫ −
−
∈
− − + −
( )
( )
[ , ]( )
sup ≤
≤
0
1
1
0
3
2
w
U
b a
u
du
θ
σ∫ −
−
−
( )
( )( )
. (2.11)
Krim toho, v (2.9) w0 moΩna zaminyty na 2 sup ( )
[ , ]t a b
UX t
∈
.
Nastupna teorema [ uzahal\nennqm teoremyL3.5.1 z knyhy [6].
Teorema52.3. Nexaj ( T, ρ ) — metryçnyj (psevdometryçnyj) kompaktnyj
prostir, X = { X ( t ) , t ∈ T } — separabel\nyj vypadkovyj proces iz prostoru
LU( )Ω i vykonugt\sq umovy teoremyL2.2. Todi X ( t ) [ vybirkovo neperervnym
z imovirnistg odynycq na ( T, ρ ) . Krim toho, sup ( ) ( )
( , )ρ t s h U
X t X s
≤
− → 0 pry
h → 0.
Dovedennq. Nexaj εk , V
kε , V, vidobraΩennq αn t( ) vyznaçeni tak, qk i v
teoremiL2.3. Doslivno povtorggçy dovedennq teoremy 3.5.1 z knyhy [6], otrymu-
[mo, wo dlq bud\-qkoho n isnu[ dn > 0 take, wo z imovirnistg odynycq
sup ( ) ( )
,
( , )
t s T
t s dn
X t X s
∈
≤
−
ρ
≤
k n t V
k
k
X t X t
=
∞
∈
∑
+
−max ( ) ( )( )
ε
α
1
. (2.12)
OtΩe, qk i pry dovedenni teoremyL2.2, otrymu[mo, wo pry 0 < θ < 1
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1652 G. V. KOZAÇENKO, M. M. PERESTGK
sup ( ) ( )
,
( , )
t s T
t s d Un
X t X s
∈
≤
−
ρ
≤
k n
U
k kN w w
=
∞
− −∑ ( )( )χ σ θ θ( )( )1
0 0
1 ≤
≤ 1
1
0
1
0
θ θ
χ σ
θ
( )
( )( )
− ( )( )∫ −
w
U
n
N u du .
Z umovy (2.3) vyplyva[, wo χ σ
θ
U
w
N u du
n
( )( )−( )( )∫ 1
0
0 → 0 pry n → ∞ , tobto
sup ( ) ( )
( , )ρ t s h U
X t X s
≤
− → 0 pry h → 0. OtΩe, z lemyL2.1 vyplyva[, wo
sup ( ) ( )
( , )ρ t s h
X t X s
≤
− prqmu[ do nulq pry h → 0 za jmovirnistg, a oskil\ky
sup ( ) ( )
( , )ρ t s h
X t X s
≤
− monotonno spada[ ta moΩna vydilyty taku poslidovnist\
hn , wo sup ( ) ( )
( , )ρ t s hn
X t X s
≤
− → 0 z imovirnistg odynycq, to i sup ( ) ( )
( , )ρ t s h
X t X s
≤
− →
→ 0 pry h → 0 z imovirnistg odynycq. OtΩe, X ( t ) [ vybirkovo neperervnym z
imovirnistg odynycq.
Teoremu dovedeno.
Naslidok52.2. Nexaj vykonugt\sq umovy naslidkuL2.1. Todi vypadkovyj
proces X = X t t a b( ), [ , ]∈{ } [ vybirkovo neperervnym z imovirnistg odynycq.
NaslidokL2.2 vyplyva[ z teoremyL2.3, qk i naslidokL2.1 — z teoremyL2.2.
Oznaçennq52.6 [8] . Sim’q vypadkovyx velyçyn Ξ nazyva[t\sq stroho
orliçevog z prostoru LU( )Ω , qkwo dlq bud\-qkoho skinçennoho naboru vypad-
kovyx velyçyn ξi , i n= 1, , z Ξ ta bud\-qkyx konstant ci , i n= 1, , vykonu-
[t\sq nerivnist\
ci i
i
n
U
ξ
=
∑
1
≤ C ci i
i
n
E ξ
=
∑
1
2 1 2/
, (2.13)
de C > 0 — deqka konstanta, wo zaleΩyt\ lyße vid Ξ .
U roboti [8] pokazano, wo zamykannq mnoΩyny Ξ v L2( )Ω zbiha[t\sq z za-
mykannqm ci[] mnoΩyny v LU( )Ω . Ce zamykannq takoΩ [ stroho orliçevog
sim’[g z prostoru LU( )Ω . Zamkneni stroho orliçevi sim’] z prostoru LU( )Ω
poznaça[mo SLU( )Ω . Konstantu C v (2.12) nazyva[mo vyznaçal\nog konstan-
tog sim’] SLU( )Ω . ZauvaΩymo, wo nerivnist\ (2.12) vykonu[t\sq dlq bud\-qko]
zliçenno] sim’] vypadkovyx velyçyn z SLU( )Ω i ma[ sens, qkwo E ci ii
ξ∑( )2
< ∞ .
Oznaçennq52.7. Vypadkovyj proces X = X t t T( ), ∈{ } naleΩyt\ SLU( )Ω
z vyznaçal\nog konstantog C X SLU∈( )( )Ω , qkwo sim’q vypadkovyx velyçyn
X t t T( ), ∈{ } [ stroho orliçevog z SLU( )Ω z vyznaçal\nog konstantog C.
Vlastyvosti ta pryklady vypadkovyx stroho orliçevyx procesiv moΩna znaj-
ty v roboti [8]. Navedemo odyn pryklad procesu z SLU( )Ω .
Oznaçennq52.8 [8]. Prostir Orliça ma[ vlastyvist\ A , qkwo isnu[ kon-
stanta D taka, wo dlq bud\-qkyx nezaleΩnyx centrovanyx vypadkovyx vely-
çyn ξi UL∈ ( )Ω ma[ misce nerivnist\
ξi
i
n
U=
∑
1
2
≤ D i
i
n
ξ 2
1=
∑ . (2.14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
PRO RIVNOMIRNU ZBIÛNIST| VEJVLET-ROZKLADIV VYPADKOVYX PROCESIV … 1653
Vidomo [9], wo prostory Lp( )Ω , p ≥ 2, magt\ vlastyvist\ A. Prostory
LU( )Ω , wo porodΩugt\sq C-funkci[g U ( x ) = exp x α{ } − 1, 1 ≤ α ≤ 2, ta-
koΩ magt\ vlastyvist\ A [6]. Umovy, za qkyx dlq prostoriv LU( )Ω vykonu-
[t\sq umova A, moΩna takoΩ znajty v roboti [10].
Nastupna teorema z roboty [8] da[ moΩlyvist\ buduvaty çyslenni pryklady
vypadkovyx procesiv iz simej SLU( )Ω vypadkovyx velyçyn.
Teorema52.4. Nexaj centrovanyj vypadkovyj proces X = X t t T( ), ∈{ } moΩ-
na zobrazyty u vyhlqdi rqdu, wo zbiha[t\sq v normi L2( )Ω :
X ( t ) =
k
k k t
=
∞
∑
1
ξ ϕ ( ). (2.15)
Qkwo vypadkovi velyçyny ξ k [ nezaleΩnymy centrovanymy, ξk UL∈ ( )Ω , pros-
tir LU( )Ω ma[ vlastyvist\ A z konstantog D ta
sup /
k
k U
k≥ ( )1 2 1 2
ξ
ξE
≤ CX < ∞ , (2.16)
to X t SLU( ) ( )∈ Ω z vyznaçal\nog konstantog DCX .
ZauvaΩennq52.4. Umova (2.16) vykonu[t\sq, napryklad, koly ξk odnakovo
rozpodileni ta Eξk
2 ≠ 0.
Oznaçennq52.9 [11]. Vypadkovyj proces Zα = Z t t Rα ( ), ∈{ }, 0 < α < 1,
nazyva[t\sq WSSSI-procesom (avtomodel\nym procesom zi stacionarnymy pry-
rostamy v slabkomu rozuminni), qkwo
Z t Z tα α( ) ( )− = , E Z tα( ) = 0, E ( ( ))Z t tα
α2 2= , t > 0,
E Z t Z s t sα α
α( ) ( )− = −2 2 , t > 0, s > 0.
Qkwo Z tα ( ) — haussivs\kyj proces, to Z tα ( ) — zvyçajnyj proces drobovoho
brounivs\koho ruxu.
Pryklad52.4. Rozhlqnemo zobraΩennq Z tα ( ) u vyhlqdi pevnoho rqdu (dyv.,
napryklad, [12]), wo zbiha[t\sq v L2( )Ω : Z tα ( ) = ξk kk
S t( )=
∞∑ 0
, de S tk ( ) —
pevni funkci]. Qkwo ξk UL∈ ( )Ω — centrovani odnakovo rozpodileni nezaleΩni
vypadkovi velyçyny Eξk = 0, prostir Orliça LU( )Ω ma[ vlastyvist\ A, to
Z tα ( ) — WSSSI-proces z SLU( )Ω .
Oznaçennq52.10. V ypadkovyj proces X = X t t R( ), ∈{ } takyj, wo X L∈
∈ LU( )Ω , nazyva[t\sq kvazistacionarnym (stacionarnym), qkwo X t U( ) ≤
≤ E X t EX U X( ) =( ), de EX — konstanta,
X t X s U( ) ( )− ≤ b t s X t X s b t sU( ) ( ) ( ) ( )− − = −( ) ,
b ( u ) , u ∈ R , — deqka vymirna funkciq.
3. Pro porqdok rostu vypadkovyx procesiv iz prostoriv Orliça na ne-
skinçennosti.
Teorema53.1. Nexaj X = X t t R( ), ∈{ } — separabel\nyj vypadkovyj proces
iz prostoru Orliça LU( )Ω , de U ( x ) zadovol\nq[ umovu g . Prypustymo, wo
vykonugt\sq nastupni umovy:
Bk — intervaly a ak k, +[ ]1 taki, wo − ∞ < < < + ∞+a ak k 1 , k ∈ Z ,
B Rkk Z∈ =∪ ;
na koΩnomu z intervaliv Bk isnugt\ taki funkci] σ k = {σk h( ), 0 ≤ h ≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1654 G. V. KOZAÇENKO, M. M. PERESTGK
≤ a ak k+ − }1 , wo σk h( ) — neperervni monotonno zrostagçi funkci], σk ( )0 = 0,
ta
sup ( ) ( )
,
t s h
t s B
U
k
X t X s
− ≤
∈
− ≤ σk h( ); (3.1)
dlq deqkoho ε > 0 vykonu[t\sq umova
0
1 1
12
1
ε
σ∫ − +
−
− +
U
a a
u
duk k
k
( )
( )( )
< ∞ ; (3.2)
c = c t t R( ), ∈( ) — deqka neperervna funkciq taka, wo
c ( t ) > 0, t ∈ R , rk = sup
( )r Bk
c t∈
1 = 1
inf ( )
t Bk
c t
∈
;
t k0 — deqka toçka z intervalu Bk ;
z0 , K, A — konstanty z oznaçennqL2.4;
D t k( )0 = X t
C
U
a a
u
duk U
U
k k
w
k k
k
k
( )
( ) ( )
( )
( )0
0
1 1
11 2
1
0
+
−
− +
∫ − +
−θ θ σ
θ
,
de
w k0 = σk
t B
k
k
t tsup
∈
−
0 ,
CU vyznaçeno v lemiL2.3, θk — dovil\ne çyslo take, wo
0 < θk < min ,
( )
1
2
11
0 0
σk
k k
k
a a
U z w
+ −
;
dlq deqkoho δ > z r D t
k Z
k k0 0max ( )
∈
zbiha[t\sq rqd
k Z k k
U
r D t∈
−
∑
δ
( )0
1
< ∞ . (3.3)
Todi dlq vsix ε ≥ K zδ 0 ma[ misce nerivnist\
P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε ≤ U
K
A U
r D tk Z k k
ε
δ
δ
−
−
∈
−
∑
1
1
0
1
( )
. (3.4)
Dovedennq. Lehko baçyty, wo pry bud\-qkomu ε > 0
P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε ≤
k Z t Bk
X t
c t∈ ∈
∑ >
P sup
( )
( )
ε ≤ P sup ( )
t B kk
X t
r∈
>
ε
. (3.5)
Z naslidkuL2.1 vyplyva[, wo
P sup ( )
t B kk
X t
r∈
>
ε ≤ U
r D tk k
ε
( )0
1
−
(3.6)
pry 0 < θk < min ,
( )
1
2
11
0 0
σk
k k
k
a a
U z w
+ −
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
PRO RIVNOMIRNU ZBIÛNIST| VEJVLET-ROZKLADIV VYPADKOVYX PROCESIV … 1655
Z oznaçennqL2.4 vyplyva[, wo pry ε > K zδ 0
U
r D tk k
ε
( )0
= U K
K r D tk k
ε
δ
δ
( )0
≥
1
0A
U
K
U
r D tk k
ε
δ
δ
( )
. (3.7)
OtΩe, z (3.4) – (3.7) vyplyva[ nerivnist\ (
ε > K zδ 0
)
P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε ≤ U
K
A U
r D tk Z k k
ε
δ
δ
−
−
∈
−
∑
1
1
0
1
( )
.
Teoremu dovedeno.
Z toho, wo za umov teoremy P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε → 0 pry ε → ∞ , vyplyva[
takyj naslidok.
Naslidok53.1. Za umov teoremyL 3.1 isnu[ vypadkova velyçyna ξ > 0,
P{ }ξ < ∞ = 1, taka, wo z imovirnistg odynycq X t( ) < ξ c ( t )
.
4. Vypadkovi procesy z prostoriv Lp( )ΩΩ .
Teorema54.1. Nexaj X = X t t T( ), ∈{ } , T = [ a, b ] , – ∞ < a < b < + ∞ , —
separabel\nyj vypadkovyj proces iz prostoru Lp( )Ω , p ≥ 1. Nexaj isnu[ taka
funkciq σ = σ( ),h h b a0 ≤ ≤ −{ } , wo σ( )h [ neperervnog, monotonno zro-
sta[, σ( )0 = 0, ta
sup ( ) ( )
, ,
/
t s h
t s a b
p p
X t X s
− ≤
∈[ ]
−( )E
1
≤ σ( )h .. (4.1)
Nexaj dlq deqkoho 0 < ε < b – a zbiha[t\sq intehral
0
1 1
ε
σ∫ − −( )( ) /
( )u du
p
< ∞ . (4.2)
Todi vypadkova velyçyna sup ( )
, ,t s a b
X t
∈[ ]
∈ Lp( )Ω ta dlq bud\-qko] toçky t0 ∈
∈[ a, b ] i dlq bud\-qkoho 0 < θ < 1 ma[ misce nerivnist\
sup ( )
,t a b p
X t
∈[ ]
= E sup ( )
,
/
t a b
p p
X t
∈[ ]
1
≤
≤ E X t
b a
u
dup p
w p
( )
( ) ( )
/
( )
/
0
1
0
1
1
1
1 2
1
0
( ) +
−
− +
∫ −θ θ σ
θ
=
= D tp( )0 ≤ E X t u dup p p
w
p
( )
( )
( )
/ ( ) /
0
1
0
1 1
1
0
( ) +
− ( )∫ − −α
θ θ
σ
θ
=
!
D tp( )0 , (4.3)
de w0 = σ sup
,t a b
t t
∈[ ]
−
0 , αp =
b a
t t
t a b
p
− + −
∈[ ]2 0
1
sup
,
/
.
Krim toho, dlq bud\-qkoho ε > 0
P sup ( )
,t a b
X t
∈[ ]
>
ε ≤
D tp
p
p
( )0[ ]
ε
≤
!
D tp
p
p
( )0[ ]
ε
. (4.4)
Vypadkovyj proces X ( t ) [ neperervnym z imovirnistg odynycq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1656 G. V. KOZAÇENKO, M. M. PERESTGK
Dovedennq. Teorema vyplyva[ z naslidkuL2.1. Tut U x x p( ) = , z0 0= ,
CU = 1, 0 < θ < 1, K = 1, A = 1. Druha nerivnist\ v (4.3) vyplyva[ z zauva-
ΩennqL2.3. TverdΩennq pro neperervnist\ procesu vyplyva[ z naslidkuL2.2.
Pryklad54.1. Nexaj v umovax teoremy σ β( )h ch= , c > 0, β > 0. Todi umo-
va (4.2) vykonu[t\sq pry
!
D tp( )0 = E X t
c
w
p
p p p
p
p
p( )
( )
/
0
1
1
1 0
1 1
1
1
1 1( ) +
−
−
−α
θ θ β
β
β
β , β > 1 / p .
Qkwo minimizuvaty pravu çastynu po θ , to otryma[mo
!
D tp( )0 = E X t
c p w
p
p p p
p p p
( )
( )/
0
1
1 1 1
0
1 1
1
1
( ) +
+
−
+ −
α β
β
β β β
.
Teorema54.2. Nexaj X = X t t R( ), ∈{ } — separabel\nyj vypadkovyj proces
iz prostoru Lp( )Ω , p ≥ 1. Prypustymo, wo vykonugt\sq nastupni umovy:
Bk — intervaly a ak k, +[ ]1 taki, wo − ∞ < < < + ∞+a ak k 1 , k ∈ Z ,
B Rkk Z∈ =∪ ;
na koΩnomu z intervaliv a ak k, +[ ]1 isnugt\ taki funkci] σk = {σk h( ),
0 ≤ h ≤ a ak k+ − }1 , wo σk h( ) — neperervni monotonno zrostagçi funkci],
σk ( )0 = 0, ta
sup ( ) ( )
,
/
t s h
t s B
p p
k
X t X s
− ≤
∈
−( )E
1
≤ σk h( ); (4.5)
dlq deqkoho ε > 0, k ∈ Z vykonu[t\sq umova σ
ε
k
p
u du( ) /
( )− −( )∫ 1 1
0
< ∞ ;
c = c t t R( ), ∈{ } — deqka neperervna funkciq, taka, wo c t( ) > 0, r k =
= 1
inf ( )
t Bk
c t
∈
, t k0 — deqka toçka z intervalu Bk ;
D tp k( )0 = E X t u duk
p p k p
k k
w
k
p
k k
( )
( )
( )
/ , ( ) /
0
1
0
1 1
1
0
( ) +
− ( )∫ − −α
θ θ
σ
θ
,
de θk — bud\-qki çysla, 0 < θ k < 1,
αk p, =
a a
t t
k k
t a b
k
p
k k
+
∈[ ]
−
+ −
1
0
1
2
sup
,
/
, w k0 = σk
t a bk k
t tsup
,∈[ ]
−
0 ;
zbiha[t\sq rqd
r D tk k
p
k Z
( )0( )
∈
∑ < ∞ . (4.6)
Todi dlq vsix ε > 0 ma[ misce nerivnist\
P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε ≤
r D tk k
p
k Z
p
( )0( )
∈
∑
ε
. (4.7)
Krim toho, isnu[ vypadkova velyçyna ξ, P ξ < ∞{ } = 1, taka, wo z imovirnistg
odynycq X t c t( ) ( )< ξ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
PRO RIVNOMIRNU ZBIÛNIST| VEJVLET-ROZKLADIV VYPADKOVYX PROCESIV … 1657
Teorema vyplyva[ z teoremL4.1, 3.1 ta naslidkuL3.1.
Naslidok54.1. Nexaj X = X t t R( ), ∈{ } — separabel\nyj vypadkovyj pro-
ces iz prostoru Lp( )Ω , p ≥ 1 , Bk — intervaly a ak k, +[ ]1 taki, wo − ∞ < ak <
< ak+ < + ∞1 , k ∈ Z ,
B Rkk Z∈ =∪ . Nexaj vykonu[t\sq umova
sup ( ) ( )
,
/
t s h
t s B
p p
k
X t X s
− ≤
∈
−( )E
1
≤ c hk
β , (4.8)
de ck > 0, β > 1/ p , c c t t R= ∈{ }( ), — deqka neperervna funkciq, c t( ) > 0,
rk = inf ( )
t Bk
c t
∈
−
1
, t k0 — bud\-qka toçka z intervalu B k , S X tk k
p p
0 0
1
= ( )E ( )
/
.
Qkwo zbihagt\sq rqdy
r Sk k
p
k Z
0( )
∈
∑ < ∞ , (4.9)
r c a ak
p
k
p
k k
p
k Z
+
∈
−( )∑ 1
β < ∞ , (4.10)
to dlq vsix ε > 0 ma[ misce nerivnist\
P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε ≤
$
r D tk p k
p
k Z
p
( )0( )
∈
∑
ε
, (4.11)
$
D tp k( )0 = S Z c a ak p k k k0 1+ −( )+β
β , de Zpβ = 3
2
1
1
1
1 1
+
−
+
/ ( )p pp
p
β
β
β
.
Krim toho, isnu[ vypadkova velyçyna ξ, P ξ < ∞{ } = 1, taka, wo z imovirnistg
odynycq X t c t( ) ( )< ξ pry vsix t ∈ R .
Dovedennq. NaslidokL4.1 vyplyva[ z teoremyL4.2. Dijsno, zhidno z prykla-
domL4.1,
D tp k( )0 ≤
!
D tp k( )0 ≤ S c w
p
pk pk k
p
k
p
p
0
1
0
1 1
1 1
1
1
+ +
−
−
+
α β
β
β β
β( )
,
de
α pk =
a a
t tk k
t a a
k
p
k k
+
∈[ ]
− + −
+
1
0
1
2
1
sup
,
/
≤
≤
3
2
1
1
1
−+
/
/( )
p
k k
pa a , w k0 ≤ c a ak k k+ −1
β
.
OtΩe,
D tp k( )0 ≤ S Z c a ak p k k k0 1+ −+β
β( ) =
$
D tp k( )0 . (4.12)
Oskil\ky D tp k
p
( )0( ) ≤ 2 1
0 1
p
k
p
p
p
k
p
k k
pS Z c a a−
++ −β
β( ) , to rqd u pravij çastyni
(4.11) zbiha[t\sq, koly zbihagt\sq rqdy (4.9) ta (4.10). OtΩe, (4.11) vyplyva[ z
(4.4) ta (4.12).
ZauvaΩennq54.1. TeoremaLzalyßa[t\sq pravyl\nog, qkwo zamist\ R roz-
hlqnuty [ 0, ∞ ] , a k = 0, 1, 2, … .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1658 G. V. KOZAÇENKO, M. M. PERESTGK
Pryklad54.2. Nexaj X ( t ) , t ∈ R, — separabel\nyj WSSSI-proces z SLp( )Ω
z vyznaçal\nog konstantog c, p > 1 / α . Zrozumilo, wo v terminax naslidkuL4.1
ck ≤ c , β = α , S k0 ≤ c t k0
α
.
Rozhlqnemo X ( t ) pry t ∈ [ 0, ∞ ] . Umovy (4.9) ta (4.10) vykonugt\sq, qkwo
r tk k
p
k
0
0
α( )
=
∞
∑ < ∞ (4.13)
ta
r a ak
p
k k
p
k
( )+
=
∞
−∑ 1
0
α < ∞ . (4.14)
Todi
$
D tp k( )0 ≤ c t c a ak Z p k k0 1
α
α
α+ −( )+ˆ , de Ẑ pα = 3
2
1
1
1
1 1
+
−
+
/ ( )p pp
p
α
α
α
,
tobto
P sup
( )
( )t
X t
c t≥
>
0
ε ≤
c r t z a a
k k k p k k
p
p
=
∞
+∑ + −( )( )( )0 0 1
α
α
α
ε
ˆ
=
F
p
1
ε
.
Qkwo c t( ) — taka funkciq, wo c t( ) = c t( )− , to z oznaçennq X ( t ) vyplyva[
P sup
( )
( )t
X t
c t<
>
0
ε ≤
F
p
1
ε
. (4.15)
OtΩe,
P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε ≤
2 1F
pε
. (4.16)
Qkwo poklasty t k0 = ak = e
k
, to lehko peresvidçytys\, wo funkciq
c t( ) = t tα γln( ) , γ > 1
p
, t ≥ e c t e t e= ≤( )α, ,
zadovol\nq[ umovy naslidkuL4.1. U c\omu vypadku
F1 = c Z e c
k
c Z ep
p
p
k
p
p
1 1 1 1 1
1
+ −( ) +
+ −( )
=
∞
∑α
α
γ α
α( ) ( ) . (4.17)
OtΩe, ma[ misce take tverdΩennq.
Teorema54.3. Nexaj X = X t t R( ), ∈{ } — separabel\nyj WSSSI-proces z
SLp( )Ω z vyznaçal\nog konstantog c, p > 1/ α , c t t t( ) ln= ( )α γ , γ > 1/ p,
t e≥ , c t ep( ) = , t e≤ . Todi ma[ misce nerivnist\
P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε ≤
2 1F
pε
, (4.18)
de F1 zadano v (4.17), ta isnu[ vypadkova velyçyna ξ , P { ξ < ∞ } = 1 , taka,
wo z imovirnistg odynycq X t( ) < ξc t( ) pry vsix t ∈ R .
Teorema54.4. Nexaj X = X t t R( ), ∈( ) — kvazistacionarnyj proces iz pros-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
PRO RIVNOMIRNU ZBIÛNIST| VEJVLET-ROZKLADIV VYPADKOVYX PROCESIV … 1659
toru Lp( )Ω (oznaçennqL2.4), E ( )
/
X t p p( )1 ≤ EX , isnu[ taka neperervna mo-
notonno zrostagça funkciq σ ( h ) , σ ( 0 ) = 0, wo
sup ( ) ( )
/
t s h
p p
E X t X s
− ≤
−( )1 ≤ σ ( h ) , (4.19)
ta zbiha[t\sq intehral σ( ) /
( )− −( )∫ 1 1
0
u du
pEX < ∞ ; B k — intervaly a ak k, +[ ]1 ,
– ∞ < ak < ak + 1 < + ∞ , k ∈ Z ,
Bk
k Z∈
∪ = R .
Nexaj c = c t t R( ), ∈{ } — deqka neperervna funkciq c ( t ) > 0, rk =
= inf ( )
t Bk
c t
∈
−
1
. Qkwo zbihagt\sq rqdy
k Z
k
pr
∈
∑ < ∞ ,
k Z
k
p
k kr a a
∈
+∑ −( )1 < ∞ , (4.20)
to ma[ misce nerivnist\
P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε ≤
LX
pε
,
de
LX =
k Z
k X
p
X k k
p
p
r E I a a
∈
+∑ +
−( )
4
3
2
1
1
1
/
/
, IX =
0
1 1
E
p
X
u du∫ − −( )σ( ) /
( ) .
Krim toho, qkwo isnu[ taka vypadkova velyçyna ξ , wo P{ }ξ < ∞ = 1, to z
imovirnistg odynycq pry vsix t ∈ R X t( ) < ξc t( ).
Dovedennq. Teorema vyplyva[ z teoremyL4.2. Dijsno, zhidno z zauvaΩen-
nqmL2.3, u vyrazi dlq D tp k( )0 w k0 moΩna zaminyty na 2 sup ( )
t B
p
k
X t
∈
≤ 2 EX .
OtΩe, v poznaçennqx teoremyL4.2
D tp k( )0 ≤ E u duX
kp
k k
E
p
k X
+
− ( )∫ − −α
θ θ
σ
θ
( )
( )( ) /
1
0
2
1 1
.
Poklademo θk = 1 / 2 . Oskil\ky αkp ≤ 3
2
1
1
1
−( )+
/
/
p
k k
pa a , to
D tp k( )0 ≤ E a a IX
p
k k
p
X+
−( )+4 3
2
1
1
1
/
/ , de IX =
0
1 1
E
p
X
u du∫ − −( )σ( ) /
( ) .
OtΩe,
k Z
k k
pr D t
∈
∑ ( )( )0 ≤
k Z
k X
p
k k
p
X
p
r E a a I
∈
+∑ +
−( )
4 3
2
1
1
1
/
/ ≤
≤
k Z
p
k
p
X
p p
k k X
pr E a a I
∈
−
+∑ +
−( )
2 4 3
2
1
1 . (4.21)
Teper tverdΩennq teoremy vyplyva[ z (4.21) ta teoremyL4.2.
Naslidok54.2. Nexaj X = { }( ),X t t R∈ — kvazistacionarnyj separabel\-
nyj proces iz prostoru Lp( )Ω , E X t Ep
X
p( ) ≤ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1660 G. V. KOZAÇENKO, M. M. PERESTGK
sup ( ) ( )
/
t s h
p p
X t X s
− ≤
−( )E
1
≤ Chδ , δ > 1
p
, (4.22)
pry dosyt\ malyx h, c t( ) = t tp1/ ln( )γ , γ > 1
p
, t > e, c t( ) = e, t < e.
Todi
P sup
( )
( )t R
X t
c t∈
>
ε ≤ N
pε
, (4.23)
de
N = 2
4 3
2 1
4
3
2
1
1
1
1 1
⋅
+
⋅
+ +
−( )
=
∞
∑
E eI
e e k
E e e I
X
p
X
k
k X
p
k p
X
p/
/ /
( )γ .
Krim toho, isnu[ vypadkova velyçyna ξ taka, wo P{ }ξ < ∞ = 1 ta X t( ) <
< ξc t( ).
Dovedennq. Umova (4.19) zabezpeçu[ zbiΩnist\ intehrala IX
. Qkwo teper
vybraty ak = e
k, k = 0, 1, 2, … , ta rozhlqnuty X t( ) okremo pry t > 0 ta pry
t < 0, to naslidok bude vyplyvaty z teoremyL4.4.
1. Belqev G. K. O neohranyçennosty v¥boroçn¥x funkcyj haussovskyx processov // Teoryq
veroqtnostej y ee prymenenyq. – 1958. – 3, v¥p. 3. – S.L351 – 354.
2. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. – Philadelphia: Soc. Industr. and Appl. Math., 1992. –
324 p. (Dobeßy Y. Desqt\ lekcyj po vejvletam: perevod s anhl. – M.; YΩevsk: RXD, 2001.
– 463 s.)
3. Härdle W., Kerkyacharian G., Picard D., Tsybakov A. Wavelets, approximation and statistical ap-
plications. – New York: Springer, 1998. – 265 p.
4. Walter G., Shen X. Wavelets and other orthogonal systems. – London: Chapman and Hall / CRC,
2000. – 370 p.
5. Kozaçenko G. V. Lekcyy z vejvlet analizu. – Ky]v: TViMS, 2004. – 147 s.
6. Buldygin V. V., Kozachenko Yu. V. Metric characteristics of the random variables and random
processes. – Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 2000. – 257 p.
7. Kozachenko Yu. V., Perestyuk M. M., Vasylyk O. I. On uniform convergence of wavelet expansion
of ϕ-sub-Gaussian random processes // Random Oper. and Stochast. Equat. – 2006. – 14, # 3. –
P. 209 – 232.
8. Kozachenko Yu., Barrasa de la Krus E. Boundary-value problems for equations of mathematical
physics with strictly Orlicz random initial conditions // Ibid. – 1995. – 3, # 3. – P. 201 – 220.
9. Macak Y. K., Plyçko A. N. Nekotor¥e neravenstva dlq summ nezavysym¥x sluçajn¥x
velyçyn v banaxov¥x prostranstvax // Teoryq veroqtnostej y ee prymenenyq. – 1982. – 27,
# 3. – S.L474 – 491.
10. Braverman M. Í. Ocenky dlq summ nezavysym¥x sluçajn¥x velyçyn // Ukr. mat. Ωurn. –
1991. – 43, # 2. – S.L173 – 178.
11. Kozaçenko G., Sottinen T., Vasylyk O. Avtomodel\ni procesy z stacionarnymy pryrostamy
z prostoriv Ssubϕ ( )Ω // Teoriq jmovirnostej ta mat. statystyka. – 2001. – # 65. –
S.L67 – 78.
12. Dzhaparidze K. O., van Zanten J. H. A series expansion of fractional Brownian motion // Probab.
Theory and Related Fields. – 2004. – 130. – P. 39 – 55.
OderΩano 20.02.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3419 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:13Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fd/2ef7609aebd90b52a7c75dfd25c24afd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34192020-03-18T19:53:47Z On the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from Orlicz spaces of random variables. I Про рівномірну збіжність вейвлет-розкладів випадкових процесів із просторів Орліча випадкових величин. І Kozachenko, Yu. V. Perestyuk, M. M. Козаченко, Ю. В. Перестюк, М. М. We establish conditions under which there exists a function c(t) > 0 such that $\sup\cfrac{X (t)}{c(t)} < \infty$, where X(t) is a random process from an Orlicz space of random variables. We obtain estimates for the probabilities $P\left\{ \sup\cfrac{X (t)}{c(t)} > \varepsilon\right\}, \quad \varepsilon > 0$.. Найдены условия, при которых существует такая функция $c(t) > 0$, что $\sup\cfrac{X (t)}{c(t)} < \infty$, где $X (t)$ — случайный процесс из пространства Орлича случайных величин. Получены оценки вероятностей $P\left\{ \sup\cfrac{X (t)}{c(t)} > \varepsilon\right\}, \quad \varepsilon > 0$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3419 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 12 (2007); 1647–1660 Український математичний журнал; Том 59 № 12 (2007); 1647–1660 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3419/3581 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3419/3582 Copyright (c) 2007 Kozachenko Yu. V.; Perestyuk M. M. |
| spellingShingle | Kozachenko, Yu. V. Perestyuk, M. M. Козаченко, Ю. В. Перестюк, М. М. On the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from Orlicz spaces of random variables. I |
| title | On the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from Orlicz spaces of random variables. I |
| title_alt | Про рівномірну збіжність вейвлет-розкладів випадкових процесів із просторів Орліча випадкових величин. І |
| title_full | On the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from Orlicz spaces of random variables. I |
| title_fullStr | On the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from Orlicz spaces of random variables. I |
| title_full_unstemmed | On the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from Orlicz spaces of random variables. I |
| title_short | On the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from Orlicz spaces of random variables. I |
| title_sort | on the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from orlicz spaces of random variables. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3419 |
| work_keys_str_mv | AT kozachenkoyuv ontheuniformconvergenceofwaveletexpansionsofrandomprocessesfromorliczspacesofrandomvariablesi AT perestyukmm ontheuniformconvergenceofwaveletexpansionsofrandomprocessesfromorliczspacesofrandomvariablesi AT kozačenkoûv ontheuniformconvergenceofwaveletexpansionsofrandomprocessesfromorliczspacesofrandomvariablesi AT perestûkmm ontheuniformconvergenceofwaveletexpansionsofrandomprocessesfromorliczspacesofrandomvariablesi AT kozachenkoyuv prorívnomírnuzbížnístʹvejvletrozkladívvipadkovihprocesívízprostorívorlíčavipadkovihveličiní AT perestyukmm prorívnomírnuzbížnístʹvejvletrozkladívvipadkovihprocesívízprostorívorlíčavipadkovihveličiní AT kozačenkoûv prorívnomírnuzbížnístʹvejvletrozkladívvipadkovihprocesívízprostorívorlíčavipadkovihveličiní AT perestûkmm prorívnomírnuzbížnístʹvejvletrozkladívvipadkovihprocesívízprostorívorlíčavipadkovihveličiní |