Generalized boundary values of solutions of quasilinear elliptic equations with linear principal part
We establish conditions for the nonlinear part of a quasilinear elliptic equation of order $2m$ with linear principal part under which a solution regular inside a domain and belonging to a certain weighted $L_1$-space takes boundary values in the space of generalized functions.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3421 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509512109129728 |
|---|---|
| author | Lopushanskaya, G. P. Лопушанська, Г. П. |
| author_facet | Lopushanskaya, G. P. Лопушанська, Г. П. |
| author_sort | Lopushanskaya, G. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:47Z |
| description | We establish conditions for the nonlinear part of a quasilinear elliptic equation of order $2m$ with linear principal part under which a solution regular inside a domain and belonging to a certain weighted $L_1$-space takes boundary values in the space of generalized functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Г. П. Лопушанська (Львiв. нац. ун-т)
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ
КВАЗIЛIНIЙНИХ З ЛIНIЙНОЮ ГОЛОВНОЮ ЧАСТИНОЮ
ЕЛIПТИЧНИХ РIВНЯНЬ
The conditions are obtained for the nonlinear part under which the solution (from a certain weighted
L1-space, regular inside a domain) of a quazilinear elliptic equation of order 2m takes boundary values
from a space of generalized functions.
Получены условия относительно нелинейной части, при которых регулярное внутри области и из
некоторого весового L1-пространства решение квазилинейного с линейной главной частью эллип-
тического уравнения порядка 2m принимает граничные значения из пространства обобщенных
функций.
У роботi [1] для q ∈ (1, qc), де qc =
n+ 1
n− 1
, у [2] для q = 2, у [3] для q ∈ [qc, 2],
у [4] для q > qc (в тому числi для q > 2) дослiджено природу крайових значень g
розв’язкiв задачi
∆u = |u|q−1u, x ∈ Ω, u |∂Ω = g.
Встановлено, що при q ∈ (1, qc) задача однозначно розв’язна для довiльного зна-
чення g з простору обмежених мiр Бореля на ∂Ω, а при q ≥ 1 +
2
n− 1
узагальненi
крайовi значення-мiри для її розв’язку можуть не iснувати.
Вiдомо (див. роботи [5 – 7] та наведену в них бiблiографiю), що регулярний в
областi розв’язок лiнiйного однорiдного рiвняння набуває узагальнених крайових
значень iз простору (C∞)′ тодi i тiльки тодi, коли вiн належить до певного вагового
L1-простору.
Дослiдження розв’язностi квазiлiнiйних елiптичних рiвнянь у L1-просторах,
зокрема при даних-мiрах, проводились у [8 – 13] та iнших працях, напiвлiнiй-
них елiптичних рiвнянь при крайових даних iз просторiв узагальнених функцiй
((C∞(S))′ та iз сильними степеневими особливостями) — в [14 – 16]. З результатiв
[15] випливає, зокрема, розв’язнiсть задачi
∆u = |u|q, x ∈ Ω, u |∂Ω = g
у певному ваговому L1-просторi при довiльнiй узагальненiй функцiї g ∈ (C∞(S))′
та q ∈ (0, q0), де q0 ∈ (0, 1) та залежить вiд порядку сингулярностi узагальненої
функцiї g.
У цiй роботi ми встановимо умови щодо нелiнiйних доданкiв, за яких регу-
лярний всерединi областi та iз певного вагового L1-простору розв’язок напiвлi-
нiйного елiптичного рiвняння порядку 2m набуває узагальнених крайових значень
iз простору (C∞)′ та просторiв узагальнених функцiй iз сильними степеневими
особливостями. Також буде доведено рiвнозначнiсть двох формулювань задачi про
знаходження регулярного в областi розв’язку такого рiвняння при заданих на межi
областi узагальнених функцiях.
c© Г. П. ЛОПУШАНСЬКА, 2007
1674 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ З ЛIНIЙНОЮ ... 1675
1. Основнi позначення, функцiональнi простори. Нехай Ω — обмежена
область в Rn з межею S класу C∞, у якiй задано елiптичний диференцiальний
вираз A(x,D) =
∑
|α|≤2m
aα(x)Dα порядку 2m < n, aα ∈ C∞(Ω), на S задано
крайовi диференцiальнi вирази Bj(x,D) =
∑
|α|≤mj
bjα(x)Dα, bjα ∈ C∞(S), j =
= 1,m, система {Bj(x,D)}m
j=1 є нормальною i задовольняє умову Лопатинського
для A(x,D), Tj , B̂j , T̂j — такi нормальнi системи крайових диференцiальних вира-
зiв вiдповiдно порядкiв 2m−mj − 1, m̂j , 2m− m̂j − 1, j = 1,m, що правильною
є формула Грiна (див., наприклад, [17])∫
Ω
(vAu− uA∗v)dx =
m∑
j=1
∫
S
(T̂jvBju− B̂jvTju)dS, u, v ∈ C∞(Ω). (1)
Нехай ε1 — фiксоване мале число, d(x) = dist(x, S). Через %(x) (x ∈ Ω) позна-
чимо нескiнченно диференцiйовну додатну в Ω функцiю, яка має порядок d(x) при
d(x) ≤ ε1
2
. Для фiксованої точки x̂ ∈ S позначимо через %(x, x̂) (x ∈ Ω) нескiнчен-
но диференцiйовну додатну в Ω функцiю, яка має порядок |x− x̂| при |x− x̂| ≤ ε1
2
,
%(x̂, x̂) = 0. Також вважаємо %(x) ≤ 1, %(x, x̂) ≤ 1 (x ∈ Ω), %(x, x̂) = 1 та %(x) = 1
при d(x) ≥ ε1.
При k > 0, t > 0 визначаємо функцiональнi простори [7, 16]:
Z̃k(Ω, x̂) =
{
ϕ ∈ C∞(Ω \ x̂) : для довiльного мультиiндексу α
∣∣Dαϕ(x)
∣∣ ≤ %k−|α|(x, x̂)ϕα(x), x ∈ Ω, де ϕα ∈ C(Ω)
}
,
Z̃k(S, x̂) =
{
ϕ ∈ C∞(S \ x̂) : для довiльного мультиiндексу α
|Dαϕ(x)| ≤ %k−|α|(x, x̂)ϕα(x), x ∈ S, де ϕα ∈ C(S)
}
,
Zk(Ω, x̂) =
{
ϕ ∈ C∞(Ω \ x̂) : для довiльного мультиiндексу α
∣∣Dαϕ(x)
∣∣ ≤ (%k−|α|(x, x̂) + 1)ϕα(x), x ∈ Ω, де ϕα ∈ C(Ω)
}
,
Zk(S, x̂) =
{
ϕ ∈ C∞(S \ x̂) : для довiльного мультиiндексу α
∣∣Dαϕ(x)
∣∣ ≤ (%k−|α|(x, x̂) + 1)ϕα(x), x ∈ S, де ϕα ∈ C(S)
}
,
Xk(Ω) =
{
ϕ ∈ C∞(Ω): (A∗ϕ)(x) = O(dk(x)) при
d(x) → 0, B̂jϕ = 0, j = 1,m
}
,
Xk(Ω, x̂) =
{
ϕ ∈ Zk+2m(Ω, x̂) : (A∗ϕ)(x) = O(|x− x̂|k)
при x→ x̂, T̂jϕ ∈ Zk+mj+1(S, x̂), B̂jϕ = 0, j = 1,m
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1676 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
X̃k,t(Ω, x̂) =
{
ϕ ∈ Z̃k+2m(Ω, x̂) : (A∗ϕ)(x) = O(dk(x)|x− x̂|t−k)
при d(x) → 0 та x→ x̂, T̂jϕ ∈ Z̃k+mj+1(S, x̂), B̂jψ = 0, j = 1,m
}
.
Зауважимо, що Zk(Ω, x̂) ⊂ C [k](Ω), Zk(S, x̂) ⊂ C [k](S), Z̃t(Ω, x̂) ⊂ Zt(Ω, x̂),
а згiдно з [7, 16] при всiх k > 0, t ≥ max
1≤j≤m
{2m − mj − 1} простори Xk(Ω) та
X̃k,t−k(Ω, x̂) є непорожнiми.
Через V ′(S) позначимо простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв (узагаль-
нених функцiй) на V (S), через 〈ϕ, F 〉 — значення узагальненої функцiї F ∈ V ′(S)
на основнiй функцiї ϕ ∈ V (S), запис s(F ) ≤ k′ означає, що порядок сингулярностi
узагальненої функцiї F ∈ V ′(S) не бiльший, нiж k′.
Далi вважаємо D(S) = C∞(S). Зауважимо, що при F ∈ V ′(S), s(F ) ≤ k′ та
k′ ≥ 0
〈ϕ, F 〉 =
∑
|α|≤k′
∫
S
DαϕfαdS ∀ϕ ∈ V (S),
де fα ∈ L1(S) у випадку V (S) = D(S), %k−|α|(·, x̂)fα ∈ L1(S) у випадку V (S) =
= Z̃k(S, x̂) (див. [18, 16]).
Нехай
M̃k(Ω) =
v ∈ L1,loc(Ω): ‖v‖k =
∫
Ω
%k(x)|v(x)|dx < +∞
,
Mk(Ω, x̂) =
v :
∫
Ω
%k(x, x̂)|v(x)|dx < +∞
,
M̃k,t(Ω, x̂) =
v :
∫
Ω
%k(x)%t(x, x̂)|v(x)|dx < +∞
.
Зауважимо, що M̃k(Ω), Mk(Ω, x̂) є просторами регулярних узагальнених функ-
цiй на просторах Z̃k(Ω), Zk(Ω, x̂) вiдповiдно (див. [18]).
Вiдомо, що паралельнi до поверхнi S класу C∞ поверхнi Sε при ε ∈ (0, ε0)
також є класу C∞. Мiж точками S та Sε є взаємно однозначна вiдповiднiсть: xε =
= x+εν(x) = ψ(x, ε), x ∈ S, де ν(x) — орт внутрiшньої нормалi до S у точцi x ∈ S,
тодi x = ψ−1(xε, ε). Гомеоморфiзми ψ та ψ−1 є нескiнченно диференцiйовними та
обмеженими разом з усiма похiдними (див. [17]).
Для ϕ iз простору гладких функцiй V (S) визначимо їхнi значення ψ∗ϕ на
поверхнях Sε: (ψ∗ϕ)(xε) = ϕ(ψ(x, ε)) = ϕ(x) для ε ∈
[
0,
ε0
2
]
та (ψ∗ϕ)(xε) = 0
для ε > ε0.
Якщо B̃j
(
x,
∂
∂x
)
=
∑
|α|≤j
b̃jα(x)
(
∂
∂x
)α
, j = 0, 2m− 1, — система Дiрiхле
порядку 2m на S [17], то, продовжуючи iз S всередину Ω коефiцiєнти b̃jα опе-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ З ЛIНIЙНОЮ ... 1677
раторiв B̃j
(
x,
∂
∂x
)
, на Sε визначаємо B̃j
(
xε,
∂
∂xε
)
v =
∑
|α|≤j
(ψ∗b̃jα)(xε) ×
×
(
∂
∂xε
)α
v(xε), v ∈ V (Ω).
Так визначенi оператори B̃j
(
xε,
∂
∂xε
)
, j = 0, 2m− 1, також утворюють систе-
му Дiрiхле на Sε (див. [19], ч. 111). У [20] на прикладi задачi Дiрiхле для системи
рiвнянь другого порядку показано, що при досить малих ε умова Лопатинського
виконується на Sε, якщо вона виконувалась на S.
Зауважимо, що за вибраною на S системою Дiрiхле {Bj , Tj}m
j=1 крайовi дифе-
ренцiальнi вирази B̂j , T̂j на S, при яких правильною є формула (1), визначаються
однозначно. Так само за продовженими на Sε виразами {Bj , Tj}m
j=1 визначаються
однозначно такi B̂j , T̂j на Sε, при яких правильною є формула∫
Ωε
(vAu− uA∗v)dx =
m∑
j=1
∫
Sε
(T̂jvBju− B̂jvTju)dS, u, v ∈ C∞(Ω). (2)
Iз iснування границi при ε → 0 лiвої частини випливає iснування границi
при ε → 0 правої частини цiєї рiвностi. Виберемо функцiю u так, що Tju |S =
= 0, j = 1,m, Bju |S = 0, j 6= i, Biu |S = ϕi ∈ C∞(S). Тодi iснує границя
lim
ε→0
∫
Sε
(T̂iv)(xε)(Biu)(xε)dS, яка за лемою з [18, c. 70] дорiвнює lim
ε→0
∫
Sε
(T̂iv)(xε)×
×ϕi(x)dS. Вiднiмаючи (1), (2), маємо
lim
ε→0
∫
Sε
(T̂iv)(xε)ϕi(x)dS =
∫
S
(T̂iv)(x)ϕi(x)dS,
тобто ∫
S
[
lim
ε→0
(T̂iv)(x+ εν(x)) lim
ε→0
Wε(x)− (T̂iv)(x)
]
ϕi(x)dS = 0,
деWε(x) — якобiан перетворення xε = x+εν(x), x ∈ S. За довiльнiстю ϕi ∈ C∞(S)
та з того, що Wε(x) → 1 при ε→ 0, одержуємо
lim
ε→0
(T̂iv)(x+ εν(x)) = (T̂iv)(x), i = 1,m.
Так само показуємо, що lim
ε→0
(B̂iv)(xε) = (B̂iv)(x), i = 1,m.
2. Узагальненi крайовi значення регулярних розв’язкiв.
Означення. Будемо говорити, що регулярна всерединi областi Ω функцiя u на-
буває на S узагальнених крайових значень F ∈ V ′(S) (див. [5 – 7] та бiблiографiю),
якщо iснує
lim
ε→0
∫
Sε
ϕ(xε)u(xε)dS = 〈ϕ, F 〉 ∀ϕ ∈ V (S).
Ця границя не залежить вiд того, як визначено продовження ϕ ∈ V (S) до фун-
кцiї з V (Sε). Справдi, iнтегруючи по S, одержуємо
∫
Sε
ϕ(xε)u(xε)dSε =
∫
S
ϕ(x+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1678 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
+ εν(x))u(x+ εν(x))Wε(x)dS. За лемою [18, c. 70] з iснування границi цього ви-
разу випливає, що iснує також lim
ε→0
∫
S
(
lim
ε→0
ϕ(x+ εν(x))
)
u(x+ εν(x))Wε(x)dS =
= lim
ε→0
∫
S
ϕ(x)u(x+ εν(x))dS = lim
ε→0
∫
Sε
ϕ(x)u(xε)dSε.
Через Drv позначимо M(r)-вимiрний вектор, компонентами якого є функцiя v
та її похiднi до порядку r ≤ 2m− 1.
Будемо вважати функцiю f(x, z) визначеною та неперервною в Ω × RM , де
M = M(r).
Теорема 1. Нехай s — довiльне цiле невiд’ємне число, k > s, u — розв’язок
класу C2m(Ω) ∩ M̃s(Ω) рiвняння
A(x,D)u(x) = f(x,Dru(x)), x ∈ Ω, (3)
та iснує ∫
Ω
∣∣f(x,Dru(x))
∣∣dx < +∞. (4)
Тодi для довiльних крайових диференцiальних виразiв B̃j(x,D) порядкiв j =
= 0, 2m− 1 з нескiнченно диференцiйовними коефiцiєнтами, якi утворюють сис-
тему Дiрiхле, функцiї B̃ju набувають на S узагальнених крайових значень F̃j ∈
∈ D′(S), а також F̃j ∈ Z̃ ′k+j+1(S, x̂) для довiльної точки x̂ ∈ S, порядкiв сингу-
лярностей s(F̃j) ≤ s+ j + 1, j = 0, 2m− 1.
Доведення. Через Ωε позначимо пiдобласть Ω з межею Sε. Нехай {αj(x)}m
j=1
— розклад одиницi, що вiдповiдає покриттю поверхнi S крайовими координатними
околами Uj , x→ ξ = hj(x) — вiдображення точки x ∈ Uj у цилiндр
{
(ξ′, ξn) : |ξ′| ≤
≤ 1, −1 < ξn < 1
}
, при якому Uj ∩ S → {ξn = 0}. Для v ∈ V (Ω) визначено
h∗j (αjv)(ξ′, 0) = (αjv)(h−1
j (ξ′, 0)), а продовживши v для |ξn| ≥ 1, одержимо вiд-
ображення v → h∗j (αjv) V (S) у V (Rn−1
ξ′ ), яке далi записуватимемо як v.
У розпрямляючих локальних координатах ξ = (ξ′, ξn) точки x ∈ S мають
координати (ξ′, 0), а вiдповiднi їм точки xε ∈ Sε — координати (ξ′, ε), (αjv)(xε) =
= (αjv)(h−1
j (ξ′, ε)).
Нехай S̃ — така замкнена нескiченно диференцiйовна поверхня всерединi Ω, що
S̃ ⊂
l0⋃
l=1
Ul (dist (S̃, S) > ε), Ω∗ε — пiдобласть Ω, розмiщена мiж Sε та S̃, ε ∈ (0, ε0),
функцiя Φε у кожному крайовому координатному околi Ul у розпрямляючих коор-
динатах ξ має вигляд
Φε(ξ) =
2m+s−1∑
i=0
(ξn − ε)iϕi(ξ′, ε),
де ϕi(ξ′, 0) — довiльнi функцiї iз Z̃k+2m−i(Ul ∩ S, x̂), i = 0, 2m− 1, а ϕ2m+j ∈
∈ Z̃k−j(Ul ∩ S, x̂), j = 0, s, i такi, що A∗Φε(ξ) = (ξn − ε)sϕε(ξ′, ξn), де ϕε —
рацiональна по ξn та ε i обмежена в Ω∗ε функцiя. З доведення леми 4 в [16]
випливає iснування таких функцiй ϕ2m+j , j = 0, s, при цьому функцiї ϕ2m+j ,
j = 0, s, виражаються через ϕi, i = 0, 2m− 1, та їх похiднi до порядкiв 2m+ j − i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ З ЛIНIЙНОЮ ... 1679
(звiдки ϕj ∈ Z̃k+2m−j(S, x̂), j = 0, 2m+ s− 1), iснує lim
ε→0
ϕε(ξ′, ξn) = ϕ(ξ′, ξn) та
ϕ |ξn=0 ∈ Z̃k−s(S, x̂), обмежена в областi Ω∗ (мiж S̃ та S) i є лiнiйною функцiєю
вiд ϕ0, . . . , ϕ2m+s−1 та їх похiдних:
∣∣ϕ(ξ′, ξn)
∣∣ ≤ C̃j
∑
|γ|≤2m+s−j
sup
ξ′⊂S
∣∣∣∣( ∂
∂ξ′
)γ
ϕj(ξ′)
∣∣∣∣ ∀ξ ∈ Ul, (5)
де C̃j = const > 0, j = 0, 2m+ s− 1. Зрозумiло, що lim
ε→0
Φε ∈ Z̃k+2m(Ω, x̂).
Запишемо формулу Грiна в Ω∗ε для розв’язку u рiвняння (3) та функцiї Φε:∫
Ω∗
ε
uA∗Φεdx =
∫
Ω∗
ε
Φεfdx+
2m∑
j=1
∫
Sε
B̃ju · T̃jΦεdS, (6)
де T̃j — крайовi диференцiальнi оператори порядкiв 2m − j − 1 вiдповiдно, якi
також утворюють систему Дiрiхле порядку 2m на Sε. Оскiльки оператори B̃j i
T̃j є нормальними, то для них у крайовому координатному околi Ul має мiсце
зображення
B̃j =
j∑
t=0
B̃jt
(
ξ′,
∂
∂ξ′
) (
∂
∂ξn
)j−t
,
T̃j =
2m−1−j∑
t=0
T̃jt
(
ξ′,
∂
∂ξ′
) (
∂
∂ξn
)2m−1−j−t
, j = 0, 2m− 1,
де B̃jt, T̃jt — дотичнi диференцiальнi оператори порядкiв≤ t, Bj0 = Bj0(ξ′, ε) 6= 0,
T̃j0 = T̃j0(ξ′, ε) 6= 0, j = 0, 2m− 1. Формула (6) набирає вигляду
∫
Ω∗
ε
u(ξn − ε)sϕε(ξ′, ξn)dξ =
∫
Ω∗
ε
2m+s−1∑
i=0
(ξn − ε)iϕi(ξ′, ε)f(ξ,Dru)dξ+
+
∫
Sε
2m−1∑
j=0
B̃ju
{
2m−1−j∑
t=0
T̃jtϕ2m−1−t−j(2m− 1− t− j)!
}
dS. (7)
За умовою u ∈ M̃s(Ω) та обмеженiстю ϕ в Ω∗ послiдовнiсть функцiоналiв∫
Ω∗
ε
uξs
nϕ(ξ′, ξn)dξ є обмеженою й iснує lim
ε→0
∫
Ω∗
ε
uξs
nϕ(ξ′, ξn)dξ =
∫
Ω∗
uξs
n ×
×ϕ(ξ′, ξn)dξ. Тодi за лемою [18, c. 70] iснує
lim
ε→0
∫
Ω∗
ε
u(ξn − ε)sϕε(ξ′, ξn)dξ = lim
ε→0
∫
Ω∗
ε
u lim
ε→0
((ξn − ε)sϕε(ξ′, ξn))dξ =
= lim
ε→0
∫
Ω∗
ε
uξs
nϕ(ξ′, ξn)dξ =
∫
Ω∗
uξs
nϕ(ξ′, ξn)dξ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1680 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
Оскiльки
∑2m+s−1
i=0
ξi
nϕi(ξ′) ∈ Z̃k+2m(Ω, x̂) ∩ Z̃k−s+1(S, x̂) та обмежена в Ω∗, то
за умовою (4) також iснує
lim
ε→0
∫
Ω∗
ε
2m+s−1∑
i=0
(ξn − ε)iϕi(ξ′, ε)f(ξ,Dru)dξ =
∫
Ω∗
2m+s−1∑
i=0
ξi
nϕi(ξ′)f(ξ,Dru)dξ.
Тодi з (7) випливає iснування
lim
ε→0
∫
Sε
2m−1∑
j=0
B̃ju
{
2m−1−j∑
t=0
T̃jtϕ2m−1−t−j(2m− 1− t− j)!
}
dS. (8)
Якщо ϕ0 ≡ ϕ1 ≡ . . . ≡ ϕ2m−2 ≡ 0, то в (8) залишається один доданок (при
t = j = 0) (2m− 1)!
∫
Sε
B̃0u · T̃00ϕ2m−1dS.
Введемо лiнiйний функцiонал F̃0: 〈ϕ, F̃0〉 = lim
ε→0
∫
Sε
B̃0u ·ϕdS, ϕ ∈ Z̃k+1(S, x̂).
Iз (7) маємо
T̃00(2m− 1)!〈ϕ2m−1, F̃0〉 =
=
∫
Ω∗
ξs
nuϕdξ −
∫
Ω∗
[
ξ2m−1
n ϕ2m−1(ξ′) + ξ2m
n ϕ2m(ξ′) + . . .
. . .+ ξ2m+s−1
n ϕ2m+s−1(ξ′)
]
f(ξ,Dru)dξ. (9)
Iз формули (5) отримуємо
∣∣ϕ(ξ′, ξn)
∣∣ ≤ C̃2m−1
∑
|γ|≤s+1
sup
ξ′⊂S
∣∣∣∣( ∂
∂ξ′
)γ
ϕ2m−1(ξ′)
∣∣∣∣,
тому ∫
Ω∗
ξs
n
∣∣uϕ(ξ′, ξn)
∣∣dξ ≤ C̃ ′2m−1
∑
|γ|≤s+1
sup
ξ′⊂S
∣∣∣∣( ∂
∂ξ′
)s
ϕ2m−1(ξ′)
∣∣∣∣ ,
C̃ ′2m−1 = C̃2m−1
∫
Ω∗
ξs
n|u|dξ.
Оскiльки функцiя ξ2m−1
n ϕ2m−1(ξ′) + . . . + ξ2m+s−1
n ϕ2m+s−1(ξ′) належить
Z̃k+2m(Ω, x̂) та ∣∣ξ2m−1
n ϕ2m−1(ξ′) + . . .+ ξ2m+s−1
n ϕ2m+s−1(ξ′)
∣∣ ≤
≤ C̃ ′
∑
|γ|≤s
sup
ξ′
∣∣∣∣( ∂
∂ξ′
)γ
ϕ2m−1(ξ′)
∣∣∣∣ ,
то, враховуючи умову (4), iз (9) одержуємо
∣∣〈ϕ, F̃0〉
∣∣ ≤ C ′1
∑
|γ|≤s+1
sup
ξ′
∣∣∣∣( ∂
∂ξ′
)γ
ϕ(ξ′)
∣∣∣∣ ∀ϕ ∈ Z̃k+1(S, x̂), C ′1 = C ′1
(
‖u‖k
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ З ЛIНIЙНОЮ ... 1681
Отже, функцiонал F̃0 є лiнiйним, неперервним на Z̃k+1(S, x̂) i має порядок
сингулярностi s(F̃0) ≤ s+ 1.
Вважаючи далi по черзi вiдмiнними вiд нуля тiльки по однiй iз функцiй
ϕ2m−2, . . . , ϕ1, ϕ0, з (7) та (8) так само одержуємо iснування
lim
ε→0
∫
Sε
ϕ · B̃judS = 〈ϕ, F̃j〉, ϕ ∈ Z̃k+j+1(S, x̂), j = 0, 2m− 2.
Справдi, F̃0 ∈ Z̃ ′k+1, а припустивши iснування F̃j ∈ Z̃ ′k+j+1(S, x̂) порядкiв
сингулярностей s(F̃j) ≤ s + j + 1 при j = 0, l − 1, де l = 0, 2m− 1, та поклавши
ϕ2m−1−j = 0 для всiх j 6= l, у (8) матимемо вiдмiнними вiд нуля тiльки доданки
при t+ j = l. Тодi з (7) одержуємо iснування
lim
ε→0
∫
Sε
B̃luT̃l0ϕ2m−l−1dS =
=
1
(2m− l − 1)!
∫
Ω∗
ξs
nuϕ(ξ′, ξn)dξ −
l−1∑
i=0
〈
T̃i l−iϕ2m−l−1, F̃i
〉
(2m− 1− l)! −
−
∫
Ω∗
[
ξ2m−l−1
n ϕ2m−l−1(ξ′) + . . .+ ξ2m+s−1
n ϕ2m+s−1(ξ′)
]
f(ξ,Dru)dξ,
де T̃i l−i — дотичний диференцiальний оператор порядку l − i (звiдки
T̃i l−iϕ2m−l−1 ∈ Z̃k+1+i(S, x̂)). Узагальненi функцiї F̃i за припущенням iндукцiї
мають порядки сингулярностей ≤ i+ s+ 1, тому∣∣∣〈T̃i l−iϕ2m−l−1, F̃i〉
∣∣∣ ≤ C ′i
∑
|γ|≤s+i+1
sup
ξ′
∣∣∣∣( ∂
∂ξ′
)γ
T̃i l−iϕ2m−l−1(ξ′)
∣∣∣∣ ≤
≤ C̃ ′i
∑
|γ|≤s+l+1
sup
ξ′
∣∣∣∣( ∂
∂ξ′
)γ
ϕ2m−l−1(ξ′)
∣∣∣∣ , i = 0, l − 1.
Також ∣∣∣∣∫
Ω∗
ξs
nuϕdξ
∣∣∣∣ ≤ C̃ ′2m−l−1
∑
|γ|≤s+l+1
sup
ξ′
∣∣∣∣( ∂
∂ξ′
)γ
ϕ2m−l−1(ξ′)
∣∣∣∣ ,
ξ2m−l−1
n ϕ2m−l−1(ξ′) + . . .+ ξ2m+s−1
n ϕ2m+s−1(ξ′) ∈ Z̃k+2m(Ω, x̂) ∩ Zk−s(S, x̂)
та ∣∣∣ξ2m−l−1
n ϕ2m−l−1(ξ′) + . . .+ ξ2m+s−1
n ϕ2m+s−1(ξ′)
∣∣∣ ≤
≤ C̃”2m−l−1
∑
|γ|≤s+l
sup
ξ′
∣∣∣∣( ∂
∂ξ′
)γ
ϕ2m−l−1(ξ′)
∣∣∣∣ .
Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1682 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА∣∣∣∣∣∣ limε→0
∫
Sε
B̃luϕ2m−l−1dS
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣〈T̃l0ϕ2m−l−1, F̃l〉
∣∣∣ ≤
≤ C ′l
∑
|γ|≤s+l+1
sup
ξ′
∣∣∣∣( ∂
∂ξ′
)γ
ϕ2m−l−1(ξ′)
∣∣∣∣ ,
а оскiльки T̃l0 6= 0, то лiнiйний функцiонал F̃l є неперервним на Z̃k+l+1(S, x̂) i має
порядок сингулярностi s(F̃l) ≤ s+ l + 1.
Зокрема, iснують lim
ε→0
∫
Sε
ϕ ·BjudS = 〈ϕ, Fj〉, ϕ ∈ Z̃k+mj+1(S, x̂), узагальненi
функцiї Fj мають порядки сингулярностей s(Fj) ≤ s+mj + 1, j = 1,m.
Вибираючи для пробної функцiї Φ функцiї ϕi ∈ Zk−i(S, x̂)
(
ϕi ∈ C∞(S)
)
,
i = 0, 2m− 1, так само доводимо, що за умови (4) функцiї B̃ju набувають на S
узагальнених крайових значень F̃j ∈ Z ′k+j+1(S, x̂)
(
F̃j ∈ D′(S)
)
порядкiв сингу-
лярностей s(F̃j) < k + j + 1 (≤ s+ j + 1), j = 0, 2m− 1.
Зауваження 1. Використовуючи подiбнi мiркування та формулу (7), показу-
ємо таке: якщо для розв’язку u ∈ C2m(Ω) рiвняння (3) виконується умова (4)
та
(
∂
∂ν
)t
u для всiх t = 0, 2m− 1 набувають узагальнених крайових значень
iз D′(S)
(
Z̃ ′k+t+1(S, x̂)
)
порядкiв сингулярностей ≤ s + t + 1, то u ∈ M̃s(Ω)(
u ∈ M̃s,k−s(Ω, x̂)
)
.
3. Формулювання узагальненої крайової задачi. Нехай функцiя f(x, z)
визначена та неперервна в Ω × RM(r), Fj ∈ Z̃ ′pj
(S, x̂), x̂ ∈ S, s(Fj) ≤ sj < pj ,
j = 1,m.
Зауважимо, що при F ∈ D′(S), s(F ) ≤ s′ також F ∈ Z ′k(S, x̂) ⊂ Z̃ ′k(S, x̂) для
всiх k > s′ та x̂ ∈ S.
Розглядаємо узагальнену нормальну елiптичну крайову задачу
A(x,D) = f(x,Dru), x ∈ Ω, Bj(x,D)u |S = Fj , j = 1,m, (10)
за умови, що вiдповiдна їй лiнiйна однорiдна крайова задача є однозначно розв’язною.
Далi вважаємо
s ≥ s0 = max
1≤j≤m
(sj −mj − 1), k1 > max
1≤j≤m
(pj −mj − 1),
k ≥ k0 = max
{
k1, max
1≤j≤m
(2m−mj − 1)
}
та k > s.
Тодi Z̃k+mj+1(S, x̂) ⊂ Z̃pj
(S, x̂), звiдки Z̃ ′pj
(S, x̂) ⊂ Z̃ ′k+mj+1(S, x̂).
Формулювання 1 задачi. Знайти функцiю u ∈ M̃s(Ω) ∩ C2m(Ω)
(
u ∈
∈ M̃s,k−s(Ω, x̂) ∩ C2m(Ω)
)
, яка задовольняє рiвняння (3) та крайовi умови
lim
ε→0
∫
Sε
ϕBjudS = 〈ϕ, Fj〉 ∀ϕ ∈ Z̃pj (S, x̂), j = 1,m (11)
(
i iснують границi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ З ЛIНIЙНОЮ ... 1683
lim
ε→0
∫
Sε
ϕTjudS ∀ϕ ∈ Zk+m̂j+1(S, x̂), j = 1,m
)
. (12)
Якщо Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂) ⊂ Z̃ ′pj
(S, x̂), j = 1,m, то у формулюваннi 1 задачi можна
вважати u ∈Mk(Ω, x̂)∩C2m(Ω), в умовах (11) ϕ ∈ Zpj
(S, x̂) замiсть ϕ ∈ Z̃pj
(S, x̂),
а при Fj ∈ D′(S), j = 1,m, вважаємо u ∈ M̃s(Ω) ∩ C2m(Ω) та ϕ ∈ D(S) в
умовах (11).
Формулювання 2 задачi. Знайти функцiю u ∈ M̃s(Ω) (u ∈ M̃s,k−s(Ω, x̂)), яка
задовольняє (4) та виконується тотожнiсть∫
Ω
A∗ψudx =
∫
Ω
ψfdx+
m∑
j=1
〈T̂jψ, Fj〉 ∀ψ ∈ Xs(Ω) (∀ψ ∈ X̃s,k(Ω, x̂)). (13)
Якщо Fj ∈ D′(S)
(
Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂)
)
, j = 1,m, то у формулюваннi 2 задачi
шукаємо u ∈ M̃s(Ω) (вiдповiдно u ∈ Mk(Ω, x̂)) та вимагаємо виконання (13) при
ψ ∈ Xs(Ω) (вiдповiдно ψ ∈ Xk(Ω, x̂)).
Зауважимо, що згiдно з [7, 16] при s ∈ N, k > k0, k > s, ψ ∈ Xk(Ω) (вiдповiдно
ψ ∈ Xk(Ω, x̂), ψ ∈ X̃s,k(Ω)) маємо T̂jψ ∈ D(S) ( вiдповiдно T̂jψ ∈ Zk+mj+1(S, x̂),
T̂jψ ∈ Z̃k+mj+1(S, x̂)), а тому вираз
∑m
j=1
〈T̂jψ, Fj〉 iснує.
Зауважимо також, що розв’язок задачi (10) у формулюваннi 2 не обов’язково
повинен належати просторовi C2m(Ω).
Теорема 2. Функцiя u ∈ M̃s(Ω) ∩ C2m(Ω), при якiй виконується (4), є
розв’язком задачi (10) у формулюваннi 1 тодi й тiльки тодi, коли вона є розв’язком
цiєї задачi у формулюваннi 2. Розв’язок u ∈ M̃s,k−s(Ω, x̂) ∩ C2m(Ω) задачi (10) у
формулюваннi 1, який задовольняє (4), також є розв’язком цiєї задачi у формулю-
ваннi 2.
Доведення. Нехай u ∈ M̃s(Ω) ∩ C2m(Ω)
(
u ∈ C2m(Ω) ∩ M̃s,k−s(Ω, x̂)
)
є
розв’язком задачi (10) у формулюваннi 1 та виконується (4). За теоремою 1 (при-
пущенням (12)) також iснують lim
ε→0
∫
Sε
ϕTjudS для довiльної ϕ ∈ Z̃k+m̂j+1(S, x̂),
j = 1,m.
Оскiльки B̂jψ ∈ Z̃k+m̂j+1(S, x̂) при ψ ∈ X̃s,k(Ω, x̂), то за лемою [18, c. 70]
iснують границi
lim
ε→0
∫
Sε
(
lim
ε→0
B̂jψ
)
TjudS = 0 для всiх ψ ∈ X̃s,k(Ω, x̂), j = 1,m.
Запишемо формулу Грiна в Ωε для u та ψ ∈ X̃s,k(Ω, x̂) :
∫
Ωε
A∗ψ · udx =
∫
Ωε
ψ(x) · f(x,Dru)dx+
m∑
j=1
∫
Sε
(
Bju · T̂jψ − TjuB̂jψ
)
dS. (14)
Переходячи в (14) до границi при ε → 0 i використовуючи лему [18, c. 70], одер-
жуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1684 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА∫
Ω
A∗ψ · udx =
=
∫
Ω
ψ(x) · f(x,Dru)dx+ lim
ε→0
m∑
j=1
∫
Sε
(Bju)(xε)
(
lim
ε→0
T̂jψ(xε)
)
dS (15)
для всiх ψ ∈ X̃k(Ω, x̂). Згiдно iз зауваженням 1 та умовами (11) рiвнiсть (15)
набирає вигляду (13).
Нехай тепер u ∈ M̃s(Ω)∩C2m(Ω) є розв’язком задачi (10) у формулюваннi 2 та
виконується (4). Iз (13) при suppψ ⊂ Ωε, ε > 0, матимемо
∫
Ω
A∗ψ ·udx =
∫
Ω
ψ(x) ·
·f(x,Dru)dx, тобто
∫
Ω
ψ·Audx =
∫
Ω
ψ(x)·f(x,Dru)dx, звiдки за гiпоелiптичнiстю
оператора A, регулярнiстю u, неперервнiстю f та довiльнiстю ψ одержуємо, що
функцiя u задовольняє у класичному розумiннi рiвняння (3). За теоремою 1 Bju та
Tju набувають на S деяких узагальнених крайових значень iз Z̃ ′k+m̂j+1(S, x̂), k > s.
Залишається показати, що Bju набувають на S заданих узагальнених крайових
значень Fj , j = 1,m.
Оскiльки iснує границя при ε → 0 кожного з доданкiв у (14), то маємо (15).
Вiднiмаючи (15) вiд (13), одержуємо
lim
ε→0
m∑
j=1
∫
Sε
(Bju)(xε)(T̂jψ)(x)dSε =
m∑
j=1
〈T̂jψ, Fj〉 ∀ψ ∈ X̃s,k(Ω, x̂). (16)
Згiдно з [7] та лемою 4 iз [16] для довiльних ϕj ∈ D(S)
(
ϕj ∈ Z̃pj (S, x̂)
)
, j = 1,m,
iснує така ψ ∈ Xs(Ω) (вiдповiдно ψ ∈ X̃s,k(Ω, x̂)), що T̂jψ = ϕj , j = 1,m, тому iз
(16) одержуємо (11).
Позначимо через
(
G0(x, y), G1(x, y), . . . , Gm(x, y)
)
вектор-функцiю Грiна зада-
чi (10), iснування якої та властивостi встановлено в [22, 23]. Також використовуємо
позначення
g(x) =
m∑
j=1
gj(x) =
m∑
j=1
〈Gj(x, y), Fj(y)〉, x ∈ Ω.
Зауваження 2. При Fj ∈ D′(S), s(Fj) ≤ sj , j = 1,m, s ≥ s0 +n−1, функцiя
g ∈ M̃s(Ω) (див. [15]). При Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂), s(Fj) ≤ sj < pj , sj ≤ mj , j = 1,m,
k ≥ k0 маємо g ∈ Mk(Ω, x̂) (випливає iз леми 2 та доведення теореми 2 у [16]).
При Fj ∈ Z̃ ′pj
(S, x̂), s(Fj) ≤ sj < pj , sj ≤ mj , j = 1,m, s ≥ max
1≤j≤m
(pj −mj − 1),
та k ≥ k0 маємо g ∈ M̃s,k−s(Ω, x̂).
Розв’язком у просторi M̃s(Ω)
(
M̃s,k−s(Ω, x̂)
)
iнтегро-диференцiального рiвнян-
ня
u(x)−
∫
Ω
G0(x, y)f(y,Dru(y))dy =
m∑
j=1
〈Gj(x, y), Fj(y)〉, x ∈ Ω, (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ З ЛIНIЙНОЮ ... 1685
називаємо таку u ∈ M̃s(Ω)
(
u ∈ M̃s,k−s(Ω, x̂)
)
, що рiвнiсть (17) виконується
майже скрiзь у Ω. Зрозумiло, що для розв’язку u рiвняння (17) у просторi M̃s(Ω)(
M̃s,k−s(Ω, x̂)
)
також
∫
Ω
G0(·, y)f(y,Dru(y))dy ∈ M̃s(Ω) (∈ M̃s,k−s(Ω, x̂)).
Теорема 3. Функцiя u, яка задовольняє (4), є розв’язком рiвняння (17) у M̃s(Ω)(
M̃s,k−s(Ω, x̂)
)
тодi й лише тодi, коли u ∈ M̃s(Ω) (u ∈ M̃s,k−s(Ω, x̂)) є розв’язком
задачi (10) у формулюваннi 2.
Доведення. Розглянемо випадок u ∈ M̃s,k−s(Ω, x̂) (доведення у випадку u ∈
∈ M̃s(Ω) є аналогiчним). Для розв’язку u рiвняння (17) в M̃s,k−s(Ω, x̂) при всiх
x̂ ∈ S, x ∈ Ω
%s(x)%k−s(x, x̂)[u(x)−
∫
Ω
G0(x, y)f(y,Dru(y))dy−
m∑
j=1
〈Gj(x, y), Fj(y)〉] = 0. (18)
Оскiльки A∗ψ(x) = O(%s(x)%k−s(x, x̂)) при x→ x̂ для ψ ∈ X̃s,k(Ω, x̂), то iснує
∫
Ω
A∗ψ(x)u(x)dx =
∫
Ω
A∗ψ(x)
∫
Ω
G0(x, y)f(y,Dru(y))dy
dx+
+
∫
Ω
A∗ψ(x)
m∑
j=1
〈Gj(x, y), Fj(y)〉dx, ψ ∈ X̃s,k(Ω, x̂), j = 1,m. (19)
Згiдно з лемою 6 iз [16] при k ≥ k0 та при ψ ∈ X̃s,k(Ω, x̂) ⊂ Xk(Ω, x̂) правильними
є тотожностi ∫
Ω
A∗ψ(x)G0(x, y)dx = ψ(y), y ∈ Ω,
∫
Ω
A∗ψ(x)Gj(x, y)dx = T̂jψ(y), y ∈ S, j = 1,m.
(20)
Тодi
∫
Ω
( ∫
Ω
A∗ψ(x)G0(x, y)dx
)
f(y,Dru(y))dy =
∫
Ω
ψ(y)f(y,Dru(y))dy, а за
теоремою Фубiнi також∫
Ω
A∗ψ(x)
( ∫
Ω
G0(x, y)f(y,Dru(y))dy
)
dx =
∫
Ω
ψ(y)f(y,Dru(y))dy.
За аналогом теореми Фубiнi [21]∫
Ω
A∗ψ(x)〈Gj(x, y), Fj(y)〉dx =
=
〈∫
Ω
A∗ψ(x)Gj(x, y)dx, Fj(y)
〉
= 〈T̂jψ(y), Fj(y)〉, j = 1,m.
Тому iз (19) одержуємо (13).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1686 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
Якщо u є розв’язком задачi (10) у формулюваннi 2, то u ∈ M̃s,k−s(Ω, x̂) та
виконується тотожнiсть (13). Використовуючи формули (20), теорему Фубiнi та
її аналог, одержуємо
∫
Ω
G0(·, y)f(y,Dru(y))dy ∈ M̃s,k−s(Ω, x̂) та подаємо тотож-
нiсть (13) у виглядi (19). За лемою 4 iз [16] для довiльного s ∈ N ∪{0} та довiльної
ϕ ∈ Z̃k(Ω, x̂) такої, що ϕ(x) = O
(
%s(x)%k−s(x, x̂)
)
при d(x) → 0 та x → x̂, iснує
така функцiя ψ ∈ X̃s,k(Ω, x̂), що A∗ψ = ϕ. Тому (19) набуває вигляду∫
Ω
ϕ(x)[u(x)−
∫
Ω
G0(x, y)f(y,Dru(y))dy −
m∑
j=1
〈Gj(x, y), Fj(y)〉]dx = 0,
тобто u — розв’язок рiвняння (17) у M̃s,k−s(Ω, x̂).
Теорема 4. Нехай u ∈ M̃s(Ω)
(
u ∈ M̃s,k−s(Ω, x̂)
)
— розв’язок задачi (10),
виконано умову (4) та для довiльної пiдобластi Ω′ областi Ω, розмiщеної строго
всерединi Ω, рiвномiрно збiгаються iнтеграли∫
Ω′
|x−y|2m−n−t
∣∣f(y,Drv(y))
∣∣dy, x ∈ Ω′, t ≤ r, Drv ∈ [L1(Ω′)]M(r). (21)
Тодi u ∈ C2m−1(Ω). Якщо, крiм того, r ≤ 2m− 2, функцiя f(x, z) має неперервнi
похiднi першого порядку за всiма аргументами x ∈ Ω, z ∈ RM(r), то u ∈ C2m(Ω).
Доведення. Нехай Sε — паралельна до S поверхня, розмiщена всерединi Ω
на вiдстанi ε > 0 вiд S, Ωε — область, обмежена поверхнею Sε, u — розв’язок
задачi (10). При x ∈ Ωε запишемо рiвняння (17) у виглядi u(x) = (Hu)(x), де
(Hu)(x) =
∫
Ω ε
2
G0(x, y)f(y,Dαu(y))dy +
∫
Ω\Ω ε
2
G0(x, y)f(y,Dru(y))dy + g(x).
За властивостями узагальнених функцiй, залежних вiд параметрiв, та вектор-
функцiї Грiна маємо g ∈ C∞(Ωε). З умови (4) i того, що G0 ∈ C∞
(
Ωε× (Ω \Ω ε
2
)
)
,
одержуємо
∫
Ω\Ω ε
2
G0(·, y)f(y,Dru(y))dy ∈ C∞(Ωε). Тодi, враховуючи оцiнки по-
хiдних вектор-функцiї Грiна та (21), одержуємо неперервнiсть Dγ(Hu)(x), |γ| ≤ r,
в Ωε, зокрема неперервнiсть та обмеженiсть функцiї f(x,Dru(x)), x ∈ Ωε, для до-
вiльного ε > 0, а звiдси неперервнiсть Dγu = Dγ(Hu) в Ωε для всiх |γ| ≤ 2m− 1.
Використовуючи „перекидання” диференцiювання на f(y,Dru(y)) у виразi∫
Ω ε
2
Dγ
xG0(x, y)f(y,Dru(y))dy, x ∈ Ωε, за додаткових умов теореми доводимо
неперервнiсть Dγu в Ωε i при |γ| = 2m. Оскiльки довiльна Ω′, розмiщена стро-
го всерединi Ω, належить також Ωε при достатньо малому значеннi ε > 0, то
u ∈ C2m(Ω′), тобто u ∈ C2m(Ω).
Зауваження 3. У [14 – 16] для випадку f = f(x, u) знайдено достатнi умови
розв’язностi задачi (10). Використовуючи принцип Шаудера, для функцiї f = µ|u|q
при q > 0, µ ∈ L∞(Ω), також знаходимо достатнi умови розв’язностi задачi у
пiдпросторах CM
l (Ω) =
{
v ∈ C(Ω) : %−lv ∈ C(Ω), ‖v‖′ = sup
x∈Ω
%−l(x)
∣∣v(x)∣∣},
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КВАЗIЛIНIЙНИХ З ЛIНIЙНОЮ ... 1687
l + k > −1, та CM
l (Ω, x̂) =
{
v ∈ C(Ω \ x̂) : %−l(·, x̂)v ∈ C(Ω), ‖v‖′ =
= sup
x∈Ω
%−l(x, x̂)
∣∣v(x)∣∣}, l+ k > −n− 1, просторiв M̃k(Ω) та Mk(Ω, x̂) вiдповiдно:
якщо Fj ∈ D′(S), s(Fj) ≤ sj , j = 1,m, −n < s0 <
1
q
− n, k ≥
≥ max
{
max
1≤j≤m
(2m−mj − 1), s0 + n
}
, −min
{
1
q
, k+ 1
}
< l ≤ −min{s0 + n, 0}
при q > 0, 2m ≥ n та q ∈
(
0,
1
n− 2m
)
, 2m < n, то при всiх µ ∈ L∞(Ω) у випадку
q ∈ (0, 1) та за достатньо малих значень sup
x∈Ω
|µ(x)| у випадку q ≥ 1 iснує розв’язок
u ∈ CM
l (Ω) ⊂ M̃k(Ω) задачi (10) (при q = 1 єдиний);
якщо Fj ∈ D′(S), s(Fj) ≤ sj , suppFj = x̂, j = 1,m, 1− n < s0 <
n
q
− n+ 1,
k ≥ max
{
max
1≤j≤m
(2m−mj −1), s0−1
}
, −min
{
k+n,
n
q
}
< l ≤ l1 = −min{s0 +
+ n − 1, 0} для q > 0 при 2m ≥ n та для q ∈
(
0,
n
n− 2m
]
при 2m < n, 1 − n <
< s0 ≤
2m
q − 1
− n + 1, − 2m
q − 1
≤ l ≤ l1 при q >
n
n− 2m
, 2m < n, то при всiх
µ ∈ L∞(Ω) у випадку q ∈ (0, 1) та за достатньо малих значень sup
x∈Ω
∣∣µ(x)
∣∣ у випадку
q ≥ 1 iснує розв’язок задачi (10) у CM
l (Ω, x̂) (при q = 1 єдиний).
1. Gmira A., Veron L. Boundary singularities of solutions of some nonlinear elliptic equation // Indiana
Univ. Math. J. – 1991. – 64. – P. 271 – 324.
2. Le Gall J.-F. The Brounian snake and the solutions of ∆u = u2 in a domain // Probab. Theory and
Related Fields. – 1995. – 102. – P. 393 – 432.
3. Dynkin E. B., Kuznetsov S. E. Trace on the boundary for solutions of nonlinear equations // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1998. – 350. – P. 4499 – 4519.
4. Marcus M., Veron L. Removable singularities and boundary traces // J. math. pures et appl. – 2001.
– 80, № 1. – P. 879 – 900.
5. Грушин В. В. О поведении решений дифференциальных уравнений вблизи границы // Докл.
АН СССР. – 1964. – 158. – C. 264 – 267.
6. Гупало Г. С. Про узагальнену задачу Дiрiхле // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1967. – № 7. –
C. 843 – 846.
7. Лопушанська Г. П. Крайовi задачi у просторi узагальнених функцiй D′. – Львiв: Вид. центр
Львiв. нац. ун-ту, 2002. – 287 c.
8. Boccardo L., Gallovet Th. Non-linear elliptic and parabolic equations involving measure data // J.
Funct. Anal. – 1989. – 87. – P. 149 – 169.
9. Rakotoson J. M. Generalized solutions in a new-type of sets for problems with measures as data //
Different. Integral Equats. – 1993. – 6. – P. 27 – 36.
10. Alvino A., Ferone V., Trombetti G. Nonlinear elliptic equations with lower-order terms // Ibid. –
2001. – 14. – P. 1169 – 1180.
11. Benilan Ph., Boccardo L., Gallouet T., Gariepy R., Pierre M., Vazquez J. L. An L1-theory of
existence and uniquenessof solutions of nonlinear elliptic equations // Ann. Scuola norm. super. Pisa.
Sci. fis. e mat. – 1995. – 22. – P. 241 – 273.
12. Kovalevskii A. A. Integrability of solutions of nonlinear elliptic equations with right-hand sides from
classes close to L1 // Math. Notes. – 2001. – 70. – P. 337 – 346.
13. Poretta A. Nonlinear equations with natural growth terms and measure data // 2002-Fez Conf. Part.
Different. Equat. Electron. J. Different. Equat. – 2002. – P. 183 – 202.
14. Лопушанська Г. П. Задача Дiрiхле для квазiлiнiйних елiптичних рiвнянь у просторi розподiлiв
// Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1990. – Вип. 35. – C. 26 – 31.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
1688 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
15. Лопушанська Г. П., Жидик У. В. Про узагальненi граничнi значення розв’язкiв квазiлiнiйного
елiптичного рiвняння 2-го порядку // Там же. – 2001. – Вип. 59. – C. 126 – 138.
16. Лопушанська Г. П. Узагальненi крайовi задачi для лiнiйних та напiвлiнiйних елiптичних рiв-
нянь // Укр. мат. вiсн. – 2005. – 2, № 3. – C. 377 – 394.
17. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир,
1971. – 372 c.
18. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй спецкурс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
19. Ройтберг Я. А. Эллиптические граничные задачи в обобщенных функциях. I – IV. – Чернигов:
Изд-во Чернигов. пед. ин-та, 1990, 1991.
20. Лопатинский Я. Б. Граничные свойства решений дифференциальных уравнений второго по-
рядка эллиптического типа // Докл. АН УССР. – 1956. – № 2. – С 107 – 112.
21. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512 с.
22. Березанский Ю. М., Ройтберг Я. А. Теорема о гомеоморфизмах и функция Грина для общих
эллиптических граничных задач // Укр. мат. журн. – 1967. – 19, № 5. – C. 3 – 32.
23. Красовский Ю. П. Свойства функций Грина и обобщенные решения эллиптических граничных
задач // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1969. – 33, № 1. – C. 109 – 137.
Одержано 14.04.06
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-3421 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:17Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/19/d9f44fd17bc9f00d894c9e5e87712919.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34212020-03-18T19:53:47Z Generalized boundary values of solutions of quasilinear elliptic equations with linear principal part Узагальнені крайові значення розв'язків квазілінійних з лінійною головною частиною еліптичних рівнянь Lopushanskaya, G. P. Лопушанська, Г. П. We establish conditions for the nonlinear part of a quasilinear elliptic equation of order $2m$ with linear principal part under which a solution regular inside a domain and belonging to a certain weighted $L_1$-space takes boundary values in the space of generalized functions. Получены условия относительно нелинейной части, при которых регулярное внутри области и из некоторого весового $L_1$-пространства решение квазилинейного с линейной главной частью эллиптического уравнения порядка $2m$ принимает граничные значения из пространства обобщенных функций. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3421 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 12 (2007); 1674–1688 Український математичний журнал; Том 59 № 12 (2007); 1674–1688 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3421/3585 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3421/3586 Copyright (c) 2007 Lopushanskaya G. P. |
| spellingShingle | Lopushanskaya, G. P. Лопушанська, Г. П. Generalized boundary values of solutions of quasilinear elliptic equations with linear principal part |
| title | Generalized boundary values of solutions of quasilinear elliptic equations with linear principal part |
| title_alt | Узагальнені крайові значення розв'язків квазілінійних з лінійною головною частиною еліптичних рівнянь |
| title_full | Generalized boundary values of solutions of quasilinear elliptic equations with linear principal part |
| title_fullStr | Generalized boundary values of solutions of quasilinear elliptic equations with linear principal part |
| title_full_unstemmed | Generalized boundary values of solutions of quasilinear elliptic equations with linear principal part |
| title_short | Generalized boundary values of solutions of quasilinear elliptic equations with linear principal part |
| title_sort | generalized boundary values of solutions of quasilinear elliptic equations with linear principal part |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3421 |
| work_keys_str_mv | AT lopushanskayagp generalizedboundaryvaluesofsolutionsofquasilinearellipticequationswithlinearprincipalpart AT lopušansʹkagp generalizedboundaryvaluesofsolutionsofquasilinearellipticequationswithlinearprincipalpart AT lopushanskayagp uzagalʹneníkrajovíznačennârozv039âzkívkvazílíníjnihzlíníjnoûgolovnoûčastinoûelíptičnihrívnânʹ AT lopušansʹkagp uzagalʹneníkrajovíznačennârozv039âzkívkvazílíníjnihzlíníjnoûgolovnoûčastinoûelíptičnihrívnânʹ |