On the solution of the basic integral equation of actuarial mathematics by the method of successive approximations
We study the basic integral equation of actuarial mathematics for the probability of (non)ruin of an insurance company regarded as a function of the initial capital. We establish necessary and sufficient conditions for the existence of a solution of this equation, general sufficient conditions for i...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3422 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509511896268800 |
|---|---|
| author | Norkin, B. V. Норкин, Б. В. Норкин, Б. В. |
| author_facet | Norkin, B. V. Норкин, Б. В. Норкин, Б. В. |
| author_sort | Norkin, B. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:47Z |
| description | We study the basic integral equation of actuarial mathematics for the probability of (non)ruin of an insurance company regarded as a function of the initial capital. We establish necessary and sufficient conditions for the existence of a solution of this equation, general sufficient conditions for its existence and uniqueness, and conditions for the uniform convergence of the method of successive approximations for finding the solution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
B. V. Norkyn (Yn-t kybernetyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
O REÍENYY OSNOVNOHO YNTEHRAL|NOHO URAVNENYQ
AKTUARNOJ MATEMATYKY METODOM
POSLEDOVATEL|NÁX PRYBLYÛENYJ
The basic actuarial integral equation satisfied by the probability of survival of an insurance company
treated as a function of its initial capital is investigated. Necessary and sufficient conditions for the
existence and general sufficient conditions for the existence and uniqueness of the solution of this
equation are established as well as conditions of the uniform convergence of a successive approximation
method for finding the solution.
DoslidΩeno osnovne intehral\ne rivnqnnq straxovo] matematyky, qke zadovol\nq[ jmovirnist\
(ne)rozorennq straxovo] kompani] qk funkciq poçatkovoho kapitalu. Vstanovleno neobxidni ta
dostatni umovy isnuvannq i zahal\ni dostatni umovy isnuvannq ta [dynosti rozv’qzku c\oho
rivnqnnq, a takoΩ umovy rivnomirno] zbiΩnosti metodu poslidovnyx nablyΩen\ dlq poßuku
rozv’qzku.
Rassmotrym sluçajn¥j process ryska (so sluçajn¥my trebovanyqmy y determy-
nyrovann¥my y sluçajn¥my premyqmy) ξt , opys¥vagwyj πvolgcyg vo vreme-
ny t kapytala straxovoj kompanyy y udovletvorqgwyj stoxastyçeskomu urav-
nenyg [1]
ξt = u c ds S
t
s t+ −∫
0
( )ξ , t ≥ 0, (1)
hde u ≥ 0 — naçal\n¥j kapytal; c( )⋅ — neotrycatel\naq kusoçno-neprer¥v-
naq funkcyq, v¥raΩagwaq yntensyvnost\ postuplenyq determynyrovann¥x
premyj kak funkcyg tekuweho kapytala; St = zkk
Nt
=∑ 1
— ahrehyrovann¥e
sluçajn¥e straxov¥e trebovanyq y premyy; zk — nezavysym¥e sluçajn¥e vely-
çyn¥ (trebovanyq v sluçae zk ≥ 0 yly sluçajn¥e premyy v sluçae zk ≤ 0 ) s
obwej funkcyej raspredelenyq F ( z ) ; Nt — çyslo postupyvßyx k momentu t
sluçajn¥x trebovanyj y premyj ( ob¥çn¥j process vosstanovlenyq s funkcyej
raspredelenyq vremeny meΩdu posledovatel\n¥my sob¥tyqmy K ( t )) . Rassmot-
rym veroqtnost\ bankrotstva straxovoj kompanyy ψ ( u ) = P{ }:∃ ≥ <t t0 0ξ
na beskoneçnom yntervale vremeny t ∈ + ∞[ , )0 y sootvetstvugwug veroqtnost\
nebankrotstva ϕ ( u ) = 1 – ψ ( u ) kak funkcyy naçal\noho kapytala u ≥ 0.
Opredelym funkcyg rosta kapytala pry otsutstvyy straxov¥x trebovanyj
U ( u, t ) kak reßenye zadaçy Koßy dlq ob¥knovennoho dyfferencyal\noho
uravnenyq
dU
dt
= c U( ), U ( u, 0 ) = u.
Naprymer, esly c( )⋅ ≡ a, to U ( u, t ) = u + at . Esly kapytal straxovoj kompa-
nyy xranytsq na depozyte s neprer¥vnoj procentnoj stavkoj δ y c t( )ξ ≡
≡ a t+ δξ , δ > 0, to
dU
dt
= a + δ U, U ( u, 0 ) = u,
y, takym obrazom,
U ( u, t ) = ue a et tδ δ
δ
+ −( )1 ≥ u a u t+ +( )δ . (2)
© B. V. NORKYN, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12 1689
1690 B. V. NORKYN
PredpoloΩenye%1. Funkcyq c( )⋅ ≥ 0 y, takym obrazom, U ( u, t ) ne ub¥vaet
po svoym arhumentam.
V rabotax [2, 3] pokazano, çto funkcyq veroqtnosty nerazorenyq ϕ ( u ) udov-
letvorqet sledugwemu yntehral\nomu uravnenyg (osnovnomu uravnenyg aktu-
arnoj matematyky (sm. takΩe [4], uravnenye (3.74) s U ( u, t ) = u + at y F ( 0 ) =
= 0 )):
ϕ ( u ) = A ϕ ( u ) , (3)
hde yntehral\n¥j operator A zadaetsq v¥raΩenyem
A ϕ ( u ) : =
0
∞
−∞
∫ ∫ −
U u t
U u t z dF z dK t
( , )
( ( , ) ) ( ) ( )ϕ , u ≥ 0. (4)
Zdes\ funkcyy ϕ ( )⋅ , U ( , )⋅ ⋅ predpolahagtsq monotonn¥my po svoym arhumen-
tam, a yntehral¥ ponymagtsq v sm¥sle Lebeha – Styl\t\esa. ∏to lynejnoe od-
norodnoe yntehral\noe uravnenye s operatorom A s neohranyçennoj oblast\g
yntehryrovanyq y neotrycatel\n¥m qdrom, operator A opredelen na ohrany-
çenn¥x neub¥vagwyx funkcyqx ϕ ( u ) , u ≥ 0. Uravnenye (3), (4) vsehda ymeet
tryvyal\noe (nulevoe) reßenye. Nas Ωe ynteresuet neub¥vagwee po u reße-
nye ϕ ( u ) , 0 ≤ ϕ ( u ) ≤ 1, udovletvorqgwee sledugwemu hranyçnomu uslovyg
na beskoneçnosty:
ϕ ( + ∞ ) = lim ( )
u
u
→ +∞
ϕ = 1. (5)
∏to uslovye oznaçaet, çto pry neohranyçennom naçal\nom kapytale straxovaq
kompanyq ne razorqetsq.
V klassyçeskom sluçae tak naz¥vaemoho sloΩnoho puassonovskoho processa
(model\ Kramera – Lundberha), kohda U ( u, t ) = u + at, K ( t ) = 1 − −e tα y
F ( z ) = 0 pry z ≤ 0, zadaça (3) – (5) dlq veroqtnosty (ne)razorenyq svodytsq k
reßenyg yntehral\noho uravnenyq vosstanovlenyq (typa Vol\terra s qdrom,
zavysqwym ot raznosty arhumentov, sm. [1, 4]). Yssledovanyg πtoho sluçaq v
teoryy sluçajn¥x bluΩdanyj y aktuarnoj matematyke posvqwena obßyrnaq
lyteratura (sm. rabotu [5] y ymegwugsq v nej byblyohrafyg). Odnako v ob-
wem sluçae zadaça (3) – (5) ne svodytsq k uravnenyg Vol\terra y trebuet specy-
al\noho yzuçenyq.
V rabotax [2, 3] poluçen¥ dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq y edynstven-
nosty reßenyq zadaçy (3) – (5) y obosnovan metod posledovatel\n¥x pryblyΩe-
nyj dlq reßenyq πtoj zadaçy:
ϕk u+1( ) =
0
∞
−∞
∫ ∫ −
U u t
k U u t z dF z dK t
( , )
( ( , ) ) ( ) ( )ϕ , k = 0, 1, … , (6)
hde k — nomer yteracyy, 0 ≤ ϕ0( )u ≤ 1. Tam Ωe pryveden¥ rezul\tat¥ çys-
lenn¥x πksperymentov. V [2] rassmotren sluçaj K ( t ) = 1 − −e tα
(puassonov-
skyj potok straxov¥x trebovanyj yntensyvnosty α > 0 ), a v [3] — sluçaj ob-
weho raspredelenyq K ( t ) . Model\ (1) dopuskaet kak poloΩytel\n¥e (trebova-
nyq), tak y otrycatel\n¥e plateΩy (premyy), pryxodqwye v sluçajn¥e momen-
t¥ vremeny. Poπtomu pry K ( t ) = 1 − −e tα
ona oxvat¥vaet modely so sluçajn¥-
my premyqmy yz [6, 7], hde predpolahalos\ c( )⋅ ≡ 0.
V nastoqwej stat\e obobwagtsq rezul\tat¥ rabot [2, 3], a ymenno:
rassmatryvaetsq bolee obwaq model\ (1) processa ryska, dopuskagwaq kak
sluçajn¥e trebovanyq, tak y stoxastyçeskye premyy;
problema suwestvovanyq y naxoΩdenyq reßenyq zadaçy (3) – (5) rassmatry-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
O REÍENYY OSNOVNOHO YNTEHRAL|NOHO URAVNENYQ … 1691
vaetsq s obwej operatornoj toçky zrenyq, dlq operatora A yz (4) ustanovlen¥
svojstva monotonnosty (lemmaM1) y sΩatyq (sledstvyeM3);
ustanovlen¥ obwye neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq re-
ßenyq zadaçy (3) – (5) (teoremaM2);
ustanavlyvagtsq nov¥e obwye dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq y edyn-
stvennosty reßenyq zadaçy (3) – (5) (sledstvyeM5);
dokazana ne tol\ko potoçeçnaq, no y ravnomernaq sxodymost\ metoda posle-
dovatel\n¥x pryblyΩenyj (6) (teoremaM4).
Oboznaçym çerez Φ (metryçeskoe) prostranstvo neub¥vagwyx po u ∈ [ 0,
+ ∞ ) funkcyj ϕ ( u ) takyx, çto 0 ≤ ϕ ( u ) ≤ 1, s rasstoqnyem meΩdu funkcyq-
my ϕ1 , ϕ2 ∈ Φ :
ρ ϕ ϕ( ),1 2 : = sup ( ) ( )
u
u u
≥
−
0
1 2ϕ ϕ .
Opredelym çastyçn¥j porqdok na Φ : ϕ1 ≤ ϕ2 , esly ϕ1 ( u ) ≤ ϕ2 ( u ) dlq lg-
boho u ≥ 0.
Lemma%1. Lynejn¥j yntehral\n¥j operator A dejstvuet yz Φ v Φ y
qvlqetsq monotonn¥m, t. e. dlq lgb¥x ϕ1 ≤ ϕ2 v¥polneno A ϕ1 ≤ A ϕ2 , y
nerastqhyvagwym (y, sledovatel\no, neprer¥vn¥m otnosytel\no metryky
ρ( , )⋅ ⋅ ) :
ρ ϕ ϕ( ),A A1 2 ≤ ρ ϕ ϕ( ),1 2 ∀ ϕ1 , ϕ2 ∈ Φ .
Dokazatel\stvo. Funkcyq φu t z, ( ) = ϕ ( ( , ) )U u t z− monotonna y ohranyçe-
na, poπtomu opredelen yntehral ϕ ( ( , ) ) ( )
( , )
U u t z dF z
U u t
−
−∞∫ = ψu t( ). V svog oçe-
red\, funkcyq ψu t( ) takΩe monotonna po t y 0 ≤ ψu t( ) ≤ 1, poπtomu ynteh-
ral (4) suwestvuet. Dlq lgboho ϕ ( u ) , 0 ≤ ϕ ( u ) ≤ 1, oçevydno, A ϕ ( u ) ≥ 0 y
A ϕ ( u ) ≤
0
∞
−∞
∫ ∫
U u t
dF z dK t
( , )
( ) ( ) ≤
0
∞
∫ F U u t dK t( ( , )) ( ) ≤ 1.
Neub¥vanye po u funkcyy A ϕ ( u ) sleduet yz monotonnosty U ( ⋅ , t ) y ϕ ( ⋅ ) .
Takym obrazom, A : Φ → Φ . Monotonnost\ yntehral\noho operatora A sledu-
et yz eho lynejnosty y neotrycatel\nosty qdra. Y, nakonec, dlq lgb¥x ϕ1 , ϕ2
ρ ϕ ϕ( ),A A1 2 ≤
0 0
1 2
∞
−∞ ≥
∫ ∫ −
U u t
u
u u dF z dK t
( , )
sup ( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ≤
≤
0
1 2
∞
∫ F U u t dK t( ( , )) ( ) ,( )ρ ϕ ϕ ≤ ρ ϕ ϕ( ),1 2
y, takym obrazom, operator A qvlqetsq nerastqhyvagwym.
Lemma dokazana.
PredpoloΩenye%2. Suwestvuet neub¥vagwaq funkcyq ϕ∗( )u takaq, çto
0 ≤ ϕ∗( )u ≤ 1, lim ( )
u
u
→ +∞
∗ϕ = 1 y A ϕ∗ ( u ) ≥ ϕ∗ ( u ) .
V sledugwej teoreme ustanavlyvagtsq dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq
funkcyy ϕ∗( )u , udovletvorqgwej predpoloΩenygM2.
PredpoloΩenye%3. Suwestvugt konstant¥ u∗ ≥ 0, c∗ ≥ 0 y L > 0 takye,
çto:
a) U ( u, t ) ≥ u + c∗ t dlq vsex u ≥ u∗ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1692 B. V. NORKYN
b)
−∞
+∞ +∞
−∫ ∫ ∗e dF z e dK tLz c Lt( ) ( )
0
≤ 1,
c) lim ( ( ))z
Lze F z→ +∞ −1 = 0.
Teorema%1. Pust\ v¥polnen¥ predpoloΩenyqM1,M3, tohda v¥polneno predpo-
loΩenyeM2 s funkcyej ϕ∗ ( u ) = max ,{ }( )0 1 − − − ∗e L u u .
Dokazatel\stvo. Dostatoçno proveryt\, çto A ϕ∗ ( u ) ≥ ϕ∗ ( u ) . Rassmot-
rym
A ϕ∗ ( u ) =
0
+∞
−∞
∗∫ ∫ −
U u t
U u t z dF z dK t
( , )
( ( , ) ) ( ) ( )ϕ =
=
0
0 1
+∞
−∞
− − −∫ ∫ − ∗
U u t
L U u t u ze dF z dK t
( , )
( ( , ) )max , ( ) ( ){ } =
=
0
1
+∞
−∞
−
− − −∫ ∫
∗
∗−
U u t u
L U u t u ze dF z dK t
( , )
( ( , ) )( ) ( ) ( ) .
Yntehryruq vnutrennyj yntehral po çastqm y yspol\zuq F ( – ∞ ) = 0, poluçaem
−∞
−
− − −
∗
∗∫ −
U u t u
L U u t u ze dF z
( , )
( ( , ) )( ) ( )1 =
= ( )( ( , ) ) ( , ) ( ( , ) )
( , )
( ) ( )1 − +− − −
−∞
− − −
−∞
−
∗ ∗ ∗
∗
∫e F z e L e F z dzL U u t u z U u t u L U u t u
U u t u
Lz =
= e L e F z dzL U u t u
U u t u
Lz− −
−∞
−
∗
∗
∫( ( , ) )
( , )
( ) .
Preobrazuem
L e F z dz
U u t u
Lz
−∞
− ∗
∫
( , )
( ) = L e F z dz
U u t u
Lz
−∞
− ∗
∫ − −( )
( , )
( ( ))1 1 =
= e L e F z dzL U u t u
U u t u
Lz( ( , ) )
( , )
( ( ))−
−∞
−
∗
∗
− −∫ 1 ≥
≥ e L e F z dzL U u t u Lz( ( , ) ) ( ( ))−
−∞
+∞
∗ − −∫ 1 =
= e e dF zL U u t u Lz( ( , ) ) ( )−
−∞
+∞
∗ − ∫ .
Takym obrazom, pry u ≥ u∗ s uçetom predpoloΩenyqM3a
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
O REÍENYY OSNOVNOHO YNTEHRAL|NOHO URAVNENYQ … 1693
A ϕ∗ ( u ) ≥
0
+∞
− − −
−∞
+∞
∫ ∫∗ ∗ −
dK t e e e dF zL U u t u L U u t u Lz( ) ( )( ( , ) ) ( ( , ) ) =
= 1
0
−
−∞
+∞ +∞
− −∫ ∫ ∗e dF z e dK tLz L U u t u( ) ( )( ( , ) ) ≥
≥ 1
0
− − −
−∞
+∞ +∞
−∗ ∗∫ ∫e e dF z e dK tL u u Lz c Lt( ) ( ) ( ) ≥ 1 − − − ∗e L u u( ) ,
y tak kak A ϕ∗ ≥ 0, to dlq vsex u ≥ 0 budet A ϕ∗ ( u ) ≥ max ,{ }( )0 1 − − − ∗e L u u =
= ϕ∗ ( u ) .
Teorema dokazana.
Zameçanye%1. V rabotax [2, 3] rol\ ϕ∗ ( u ) yhrala hranyca Kramera – Lund-
berha ϕ∗ ( u ) = 1 − −e Lu, hde L — nekotoraq poloΩytel\naq konstanta (Lund-
berha).
Zameçanye%2. Esly straxov¥e trebovanyq ohranyçen¥ s veroqtnost\gMM1,
t. e. F z( ) = 1 pry vsex dostatoçno bol\ßyx z, to uslovyeMM3c zavedomo v¥pol-
neno, a uslovyeMM3b v¥polneno s lgb¥m c∗ > max ,{ / }0 z τ pry z ≥ 0 y s lg-
b¥m c∗ ≥ 0 pry z < 0, hde z = z dF z( )
−∞
+∞
∫ — srednee znaçenye plateΩej,
τ = t dK t( )
0
+∞
∫ — srednee vremq meΩdu plateΩamy. Dlq U ( u, t ) vyda (2) zave-
domo suwestvugt u∗ ≥ 0 y c∗ > 0 takye, çto c∗ > max { / },0 z τ y U ( u, t ) ≥
≥ u + c∗ t dlq vsex u ≥ u∗ , y, takym obrazom, v¥polneno uslovyeMM3a.
Opredelym podmnoΩestvo Φ∗ ⊂ Φ neub¥vagwyx funkcyj ϕ ( u ) : [ 0, + ∞ ) →
→ [ 0, 1 ] takyx, çto ϕ∗ ( u ) ≤ ϕ ( u ) ≤ 1, hde ϕ∗ ( u ) udovletvorqet predpoloΩe-
nygM2.
Lemma%2. A : Φ∗ → Φ∗
.
UtverΩdenye lemm¥ oçevydn¥m obrazom sleduet yz lemm¥M1 y predpoloΩe-
nyqM2.
V sylu lemm¥M1 operator A : Φ → Φ qvlqetsq nerastqhyvagwym, no, voob-
we hovorq, ne qvlqetsq sΩymagwym na mnoΩestve funkcyj Φ , poπtomu m¥ ne
moΩem yspol\zovat\ pryncyp sΩymagwyx otobraΩenyj. Xotq A : Φ∗ → Φ∗
,
pryçem mnoΩestvo Φ∗
qvlqetsq kompaktom otnosytel\no topolohyy potoçeç-
noj sxodymosty (v sylu vtoroj teorem¥ Xelly), πtoho takΩe ne dostatoçno dlq
dokazatel\stva suwestvovanyq nepodvyΩnoj toçky A v Φ∗
, t. e. reßenyq za-
daçy (3) – (5). Sledugwaq teorema ustanavlyvaet suwestvovanye reßenyq zada-
çy (3) – (5), osnov¥vaqs\ na svojstve monotonnosty operatora A : Φ∗ → Φ∗
.
Teorema%2 (o neobxodym¥x y dostatoçn¥x uslovyqx suwestvovanyq reße-
nyq). Pust\ v¥polneno predpoloΩenyeM1. Dlq suwestvovanyq reßenyq zadaçy
(3) – (5) neobxodymo y dostatoçno suwestvovanyq funkcyy ϕ∗ ( u ) , udovletvo-
rqgwej predpoloΩenygM2.
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\ oçevydna, v kaçestve ϕ∗ ( u ) moΩno
vzqt\ lgboe reßenye zadaçy (3) – (5). DokaΩem dostatoçnost\ putem postro-
enyq posledovatel\nosty funkcyj, potoçeçno sxodqwejsq k reßenyg zadaçy.
A ymenno, rassmotrym posledovatel\nost\ pryblyΩenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1694 B. V. NORKYN
ϕ ϕ ϕk ku A u u k+ = ≡ = …{ }1 0 1 0 1( ) ( ), ( ) , , , .
V sylu monotonnosty U ( ⋅ , t ) vse funkcyy ϕk u( ) ne ub¥vagt po u . DokaΩem
po yndukcyy, çto posledovatel\nost\ ϕk u k( ), , ,= …{ }0 1 monotonno ub¥vaet.
Dejstvytel\no,
ϕ1( )u = A uϕ0( ) =
0
∞
−∞
∫ ∫
U u t
dF z dK t
( , )
( ) ( ) =
0
∞
∫ F U u t dK t( ( , )) ( ) ≤ 1 = ϕ0( )u .
V sylu monotonnosty operatora A yz predpoloΩenyq ϕk u( ) ≤ ϕk u−1( ) sledu-
et
ϕk u+1( ) = A ukϕ ( ) ≤ A ukϕ −1( ) = ϕk u( ) .
Analohyçno, po yndukcyy dokaz¥vaetsq, çto ϕk u( ) ≥ ϕ∗( )u dlq vsex k . Dej-
stvytel\no, ϕ0( )u ≡ 1 ≥ ϕ∗( )u . Yz predpoloΩenyq ϕk u( ) ≥ ϕ∗( )u v sylu mo-
notonnosty operatora A sleduet
ϕk u+1( ) = A ukϕ ( ) ≥ A uϕ∗( ) ≥ ϕ∗( )u .
Takym obrazom, posledovatel\nost\ funkcyj { }( )ϕk u monotonno ub¥vaet y oh-
ranyçena snyzu funkcyej ϕ∗( )u . Poπtomu suwestvuet predel\naq funkcyq
ϕ ( u ) = lim ( )
k
k u
→ +∞
ϕ , kotoraq, kak y vse ϕk u( ) , ne ub¥vaet po u , 1 ≥ ϕ ( u ) ≥
≥ ϕ∗ ( u ) , y, takym obrazom, lim ( )
u
u
→ +∞
ϕ = 1. Perejdem k predelu po k v (6). V
sylu teorem¥ Lebeha moΩno vnesty predel pod znak yntehral\noho operatora.
Takym obrazom, predel\naq funkcyq ϕ ( u ) udovletvorqet uravnenyg (3).
Teorema dokazana.
Sledstvye%1. Pry v¥polnenyy predpoloΩenyjM1, 2 posledovatel\nost\
pryblyΩenyj { }( )ϕk u , postroennaq sohlasno (6) y naçynagwaqsq s ϕ0( )u ≡
≡ 1, monotonno ub¥vaet y potoçeçno sxodytsq sverxu k nekotoromu reßenyg
zadaçy (3) – (5).
Sledstvye%2. V predpoloΩenyqxM1,M2 posledovatel\nost\ pryblyΩenyj
{ }( )ϕk u , naçynagwaqsq s ϕ0( )u = ϕ∗( )u , monotonno vozrastaet y potoçeçno
sxodytsq snyzu k nekotoromu reßenyg zadaçy (3) – (5).
Dlq toho çtob¥ harantyrovat\ edynstvennost\ reßenyq zadaçy (3) – (5), sde-
laem dopolnytel\n¥e predpoloΩenyq otnosytel\no operatora A.
PredpoloΩenye%4. Funkcyy U ( u, t ) , F ( z ) , K ( t ) v operatore A udov-
letvorqgt odnomu yz uslovyj:
a) F ( z ) < 1 ∀ z ;
b) F ( z ) > 0 ∀ z ;
c) K ( t ) < 1 ∀ t ≥ 0, F ( z ) = 1 ∀ z ≥ z ≥ 0 y lim ( , )t U t→ +∞ 0 = + ∞ .
Sledugwaq lemma pokaz¥vaet, çto pry predpoloΩenyqxM1, 2, 4 operator A
ymeet opredelennoe sΩymagwee svojstvo na Φ∗ ⊂ Φ , otkuda sleduet (sledst-
vyeM3), çto on qvlqetsq neravnomerno sΩymagwym na Φ∗. Neravnomernoho sΩa-
tyq ne dostatoçno dlq suwestvovanyq reßenyq zadaçy (3) – (5), poπtomu suwe-
stvovanye nezavysymo dokazano v teoremeM2. Dlq dokazatel\stva edynstven-
nosty reßenyq dostatoçno svojstva neravnomernoho sΩatyq (sledstvyeM4).
Lemma%3. Pust\ v¥polnen¥ predpoloΩenyqM1, 2, 4. Tohda dlq lgboho ε > 0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
O REÍENYY OSNOVNOHO YNTEHRAL|NOHO URAVNENYQ … 1695
suwestvuet q∗( )ε , 0 ≤ q∗( )ε < 1, takoe, çto dlq lgb¥x ϕ1 , ϕ2 ∈ Φ∗
s ras-
stoqnyem ρ ϕ ϕ( ),A A1 2 ≥ ε budet
ρ ϕ ϕ( ),A A1 2 ≤ q∗ ⋅( ) ,( )ε ρ ϕ ϕ1 2 .
Dokazatel\stvo. Snaçala dokaΩem lemmu v predpoloΩenyyM4a. Zafyksy-
ruem ε > 0. Najdem çyslo u∗( )ε ≥ 0 takoe, çto 1 − ∗ϕ ( )u ≤ ε / 2 dlq vsex u ≥
≥ u∗( )ε . PoloΩym
q∗( )ε =
0
∞
∗∫ F U u t dK t( ( ( ), )) ( )ε . (7)
Poskol\ku F ( ⋅ ) < 1 y dK t( )
0
∞
∫ = 1, to q∗( )ε < 1. Pust\ funkcyy ϕ1 , ϕ2 ∈ Φ∗
takov¥, çto ρ ϕ ϕ( ),A A1 2 ≥ ε . Po opredelenyg, suwestvuet posledovatel\nost\
{ }us
takaq, çto
lim ( ) ( )
s
s sA u A u
→ +∞
−ϕ ϕ1 2 = ρ ϕ ϕ( ),A A1 2 ≥ ε > 0.
Tak kak ϕ∗ ( u
s
) ≤ A ϕ1 ( u
s
) ≤ 1 y ϕ∗ ( u
s
) ≤ A ϕ2 ( u
s
) ≤ 1, dlq dostatoçno bol\-
ßyx s
ε / 2 < A u A us sϕ ϕ1 2( ) ( )− ≤ 1 – ϕ∗ ( u
s
) .
Otsgda sleduet, çto u
s ≤ u∗
( ε ) pry vsex dostatoçno bol\ßyx s. Dlq bol\ßyx
yndeksov s spravedlyva ocenka
A u A us sϕ ϕ1 2( ) ( )− ≤
0
1 2
∞
−∞
∫ ∫ − − −
U u t
s s
s
U u t z U u t z dF z dK t
( , )
( ( , ) ) ( ( , ) ) ( ) ( )ϕ ϕ ≤
≤ ρ ϕ ϕ( ), ( ( , )) ( )1 2
0
∞
∫ F U u t dK ts ≤ ρ ϕ ϕ ε( ), ( ( ( ), )) ( )1 2
0
∞
∗∫ F U u t dK t .
Perexodq zdes\ k predelu po s, poluçaem utverΩdenye lemm¥.
DokaΩem lemmu v predpoloΩenyyMM4b. V sylu lemm¥MM1 ρ ϕ ϕ( ),1 2 ≥
≥ ρ ϕ ϕ( ),A A1 2 ≥ ε . Yspol\zuq ϕ ϕ1 2( ) ( )u u− ≤ 1 − ∗ϕ ( )u , poluçaem ocenky
A u A uϕ ϕ1 2( ) ( )− ≤
0
1 2
+∞
−∞
∫ ∫ − − −
U u t
U u t z U u t z dF z dK t
( , )
( ( , ) ) ( ( , ) ) ( ) ( )ϕ ϕ ≤
≤
0
1 2 1
+∞
−∞
∗∫ ∫ − −{ }
U u t
U u t z dF z dK t
( , )
min , , ( ( , ) ) ( ) ( )( )ρ ϕ ϕ ϕ ≤
≤
0
1 2 1 0
+∞
−∞
+∞
∗∫ ∫ − −{ }min , , max , ( ) ( )( ) ( { })ρ ϕ ϕ ϕ z dF z dK t ≤
≤ ρ ϕ ϕ ϕ ε( ) ( { }), min , max , ( )1 2 1 1 0
−∞
+∞
∗∫ − −( ){ }z dF z .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1696 B. V. NORKYN
V sdelann¥x predpoloΩenyqx q ( ε ) = min , max , ( )( { })1 1 0− −( ){ }∗−∞
+∞
∫ ϕ εz dF z <
< 1. Otsgda sleduet utverΩdenye lemm¥.
Teper\ dokaΩem lemmu v predpoloΩenyyM 4c. Ytak, pust\ K ( ⋅ ) < 1 y F ( z ) =
= 1 dlq z ≥ z ≥ 0. Oçevydno, ϕ ϕ1 2( ) ( )u u− ≤ 1 − ∗ϕ ( )u . Tohda dlq lgboho
u ≥ 0 spravedlyv¥ ocenky
A u A uϕ ϕ1 2( ) ( )− ≤
0
1 2
+∞
−∞
∫ ∫ − − −
U u t
U u t z U u t z dF z dK t
( , )
( ( , ) ) ( ( , ) ) ( ) ( )ϕ ϕ ≤
≤
0
1 2 1
+∞
−∞
∗∫ ∫ − −{ }
U u t
U u t z dF z dK t
( , )
min , , ( ( , ) ) ( ) ( )( )ρ ϕ ϕ ϕ ≤
≤
0
1 2 1
+∞
−∞
∗∫ ∫ − −{ }
min{ ( , ), }
min , , ( ( , ) ) ( ) ( )( )
U u t z
U u t z dF z dK tρ ϕ ϕ ϕ ≤
≤
0
1 2 1 0
+∞
−∞
∗∫ ∫ − −{ }
min{ ( , ), }
min , , (max{ , ( , ) }) ( ) ( )( )
U u t z
U u t z dF z dK tρ ϕ ϕ ϕ ≤
≤
0
1 2 1 0
+∞
∗∫ − −{ } ( )min , , (max{ , ( , ) }) min{ ( , ), } ( )( )ρ ϕ ϕ ϕ U u t z F U u t z dK t ≤
≤
0
1 2 1 0
+∞
∗∫ − −{ }min , , (max{ , ( , ) }) ( )( )ρ ϕ ϕ ϕ U u t z dK t .
V sylu lemm¥MM1 ρ ϕ ϕ( ),1 2 ≥ ρ ϕ ϕ( ),A A1 2 ≥ ε , tohda
ρ ϕ ϕ( ),A A1 2 ≤ ρ ϕ ϕ ϕ ε( ) ( { }), min , max , ( , ) ( )1 2
0
1 1 0 0
+∞
∗∫ − −( ){ }U t z dK t .
No tak kak po predpoloΩenyg U ( 0, t ) → + ∞ , to ( ( { }))max , ( , )1 0 0− −∗ϕ U t z →
→ 0 pry t → + ∞ y, takym obrazom, min , max , ( , )( { })1 1 0 0− −( ){ }∗ϕ εU t z <
< 1 dlq vsex dostatoçno bol\ßyxMMt . Otsgda s uçetom dK t( )
0
+∞
∫ = 1 sleduet
q ( ε ) =
0
1 1 0 0
+∞
∗∫ − −( ){ }min , max , ( , ) ( )( { })ϕ εU t z dK t < 1.
Lemma dokazana.
Sledstvye%3 (o neravnomernom sΩatyy). V predpoloΩenyqxM1,M2, 4 dlq lg-
b¥x ϕ1 , ϕ2 ∈ Φ∗
, ϕ1 ≠ ϕ2 , ymeet mesto
ρ ϕ ϕ( ),A A1 2 < ρ ϕ ϕ( ),1 2 .
Sledstvye%4. V predpoloΩenyqxM1,M2, 4 suwestvuet edynstvennoe reße-
nye ϕ ( u ) zadaçy (3) – (5) na mnoΩestve Φ∗.
SledstvyeM4 ewe ne ysklgçaet suwestvovanye druhyx reßenyj zadaçy (3) –
(5) na bolee ßyrokom mnoΩestve Φ Φ⊃ ∗.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
O REÍENYY OSNOVNOHO YNTEHRAL|NOHO URAVNENYQ … 1697
Teorema%3. V predpoloΩenyqxM1,M4 moΩet suwestvovat\ tol\ko odno re-
ßenye zadaçy (3) – (5).
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym protyvnoe, pust\ suwestvugt dva re-
ßenyq ϕ1 ≠ ϕ2 (t. e. ϕ1 ( u ) ≠ ϕ2 ( u ) dlq nekotoroho u ≥ 0 ) zadaçy (3) – (5).
PoloΩym ϕ0( )u = max ( ), ( ){ }ϕ ϕ1 2u u . Rassmotrym posledovatel\nost\
{ }( ) : ( ), , ,ϕ ϕk ku A u k= = …0 1 . Oçevydno, 1 ≥ ϕ0( )u ≥ ϕ1( )u y 1 ≥ ϕ0( )u ≥
≥ ϕ2( )u . V sylu lemm¥M1 y monotonnosty operatora A v¥polneno 1 ≥ ϕ1( )u =
= A uϕ0( ) ≥ A uϕ1( ) = ϕ1( )u , 1 ≥ ϕ1( )u = A uϕ0( ) ≥ A uϕ2( ) = ϕ2( )u y, takym
obrazom, ϕ1( )u ≥ max ( ), ( ){ }ϕ ϕ1 2u u = ϕ0( )u . Otsgda v sylu monotonnosty A
po yndukcyy sleduet, çto ϕk u+1( ) ≥ ϕk u( ) ≥ ϕ0( )u dlq vsex k ≥ 0. Posledo-
vatel\nost\ { }( )ϕk ⋅ monotonno vozrastaet y ohranyçena sverxu edynycej, po-
πtomu ona ymeet potoçeçn¥j predel ϕ ( )u , 1 ≥ ϕ ( )u ≥ ϕ0( )u , kotor¥j qvlq-
etsq reßenyem uravnenyq (3), (4) v sylu teorem¥ Lebeha o predel\nom perexode
pod znakom yntehrala. Oçevydno, poluçennaq funkcyq ϕ ( )u qvlqetsq reße-
nyem zadaçy (3) – (5), otlyçn¥m xotq b¥ ot odnoho yz reßenyj ϕ1 yly ϕ2 ,
naprymer ot ϕ1. Voz\mem funkcyg ϕ∗( )u = ϕ1( )u , ona udovletvorqet predpo-
loΩenygM2. Tohda na sootvetstvugwem mnoΩestve Φ∗
ymeem dva razlyçn¥x
reßenyq zadaçy (3) – (5), ϕ ( )u y ϕ1( )u , çto protyvoreçyt sledstvygM4.
Teorema dokazana.
Sledstvye%5 (dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq y edynstvennosty reße-
nyq). V predpoloΩenyqxM1,M2 (ylyM3), 4 suwestvuet edynstvennoe reßenye za-
daçy (3) – (5).
Sledstvye%6 (sxodymost\ metoda posledovatel\n¥x pryblyΩenyj). V
predpoloΩenyqxM1,M2,M4 pry lgbom naçal\nom pryblyΩenyy ϕ0 ∈ ∗Φ posledo-
vatel\nost\ { }( ), , ,ϕk u k = …0 1 , poroΩdennaq alhorytmom (6), potoçeçno
sxodytsq k reßenyg zadaçy (3) – (5).
Zameçanye%3. SledstvyqMM1,M2,M4,M6 dokazan¥ v [2, 3] s yspol\zovanyem kon-
kretnoj funkcyy ϕ∗( )u = 1 − −e Lu
s nekotoroj konstantoj L > 0, t. e. doka-
zano suwestvovanye y edynstvennost\ reßenyq zadaçy (3) – (5) na konkretnom
podmnoΩestve Φ Φ∗ ⊂ .
Okaz¥vaetsq, çto pry sdelann¥x predpoloΩenyqx ymeet mesto ne tol\ko
potoçeçnaq, no y ravnomernaq sxodymost\ posledovatel\nosty pryblyΩenyj (6)
k reßenyg zadaçy (3) – (5). Zametym pry πtom, çto reßenye ϕ ( )u zadaçy (3) –
(5) moΩet b¥t\ y razr¥vnoj funkcyej pry razr¥vnoj funkcyy K ( t ) (sm. [6]).
Teorema%4 (o ravnomernoj sxodymosty y skorosty sxodymosty metoda posle-
dovatel\n¥x pryblyΩenyj). V predpoloΩenyqxM1,M2 (ylyM3),M4 metod posledo-
vatel\n¥x pryblyΩenyj (6), startugwyj s naçal\noho pryblyΩenyq ϕ0( )u
takoho, çto ϕ∗( )u ≤ ϕ0( )u ≤ 1, ravnomerno monotonno sxodytsq k reßenyg
ϕ ( )u zadaçy (3) – (5), t.2e. ρ ϕ ϕ( , )k = sup ( ) ( )u
k u u≥ −0 ϕ ϕ monotonno stre-
mytsq k nulg, y bolee toho, metod (6) ravnomerno sxodytsq v lgbug ε -ok-
restnost\ reßenyq zadaçy (3) – (5) so skorost\g heometryçeskoj prohressyy
so znamenatelem q ( )ε , zavysqwym ot ε, t.2e.
ρ ϕ ϕ( , )k ≤ ( )( ) ( , )q kε ρ ϕ ϕ0 , 0 ≤ q ( )ε < 1,
dlq vsex k takyx, çto ρ ϕ ϕ( , )k ≥ ε .
Dokazatel\stvo. V sylu teorem¥MM2 y sledstvyqMM5 reßenye ϕ ( )u zadaçy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1698 B. V. NORKYN
(3) – (5) suwestvuet y edynstvenno. Yz lemm¥M1 sleduet, çto posledovatel\-
nost\ ρ ϕ ϕ( , )k
monotonno ub¥vaet, a sohlasno lemmeM3 dlq lgboho ε > 0 su-
westvuet q ( )ε , 0 ≤ q ( )ε < 1, takoe, çto dlq vsex k takyx, çto ρ ϕ ϕ( , )k ≥ ε ,
v¥polneno ρ ϕ ϕ( , )k ≤ q k( ) ( , )ε ρ ϕ ϕ−1 ≤ ( )( ) ( , )q kε ρ ϕ ϕ0 . Ostaetsq pokazat\,
çto lim ( , )k
k
→∞ ρ ϕ ϕ = 0. PredpoloΩym protyvnoe, çto lim ( , )k
k
→∞ ρ ϕ ϕ = ε >
> 0. Tohda v sylu pred¥duweho dlq vsex k ymeet mesto ε ≤ ρ ϕ ϕ( , )k ≤
≤ ( )( ) ( , )q kε ρ ϕ ϕ0 , çto nevozmoΩno dlq dostatoçno bol\ßyx k .
TeoremaMdokazana.
1. Beard R. E., Pentikäinen T., Pesonen E. Risk theory. The stochastic basis of insurance. – 3-rd ed.
– London; New York: Chapman and Hall, 1984. – 408 p.
2. Norkyn B. V. Metod posledovatel\n¥x pryblyΩenyj dlq reßenyq yntehral\n¥x uravne-
nyj teoryy processov ryska // Kybernetyka y system. analyz. – 2004. – # 4. – S.M10 – 18.
3. Norkyn B. V. O v¥çyslenyy veroqtnosty bankrotstva nepuassonovskoho processa ryska
metodom posledovatel\n¥x pryblyΩenyj // Problem¥ upravlenyq y ynformatyky. – 2005. –
# 2. – S.M133 – 144.
4. Leonenko M. M., Mißura G. S., Parxomenko Q. M., Qdrenko M. J. Teoretyko-jmovirnisni ta
statystyçni metody v ekonometryci ta finansovij matematyci. – Ky]v: Informtexnika, 1995.
– 380 s.
5. Asmussen S. Ruin probabilities. – Singapore: World Sci., 2000. – 385 p.
6. Bojkov A. V. Model\ Kramera – Lundberha so stoxastyçeskymy premyqmy // Teoryq
veroqtnostej y ee prymenenyq. – 2002. – 47, v¥p. 3. – S.M549 – 553.
7. Ûylyna L. S. Ocenka veroqtnosty razorenyq straxovoj kompanyy dlq nekotoroj modely
straxovanyq // Prykladna statystyka, aktuarna ta finansova matematyka (Doneck). – 2000. –
# 1. – S.M67 – 78.
Poluçeno 30.03.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3422 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:16Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/85/0de0cc28d388332a7972874577704085.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34222020-03-18T19:53:47Z On the solution of the basic integral equation of actuarial mathematics by the method of successive approximations О решении основного интегрального уравнения актуарной математики методом последовательных приближений Norkin, B. V. Норкин, Б. В. Норкин, Б. В. We study the basic integral equation of actuarial mathematics for the probability of (non)ruin of an insurance company regarded as a function of the initial capital. We establish necessary and sufficient conditions for the existence of a solution of this equation, general sufficient conditions for its existence and uniqueness, and conditions for the uniform convergence of the method of successive approximations for finding the solution. Досліджено основне інтегральне рівняння страхової математики, яке задовольняє ймовірність (не)розорення страхової компанії як функція початкового капіталу. Встановлено необхідні та достатні умови існування і загальні достатні умови існування та єдиності розв'язку цього рівняння, а також умови рівномірної збіжності методу послідовних наближень для пошуку розв'язку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3422 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 12 (2007); 1689–1698 Український математичний журнал; Том 59 № 12 (2007); 1689–1698 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3422/3587 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3422/3588 Copyright (c) 2007 Norkin B. V. |
| spellingShingle | Norkin, B. V. Норкин, Б. В. Норкин, Б. В. On the solution of the basic integral equation of actuarial mathematics by the method of successive approximations |
| title | On the solution of the basic integral equation of actuarial mathematics by the method of successive approximations |
| title_alt | О решении основного интегрального уравнения актуарной математики методом последовательных приближений |
| title_full | On the solution of the basic integral equation of actuarial mathematics by the method of successive approximations |
| title_fullStr | On the solution of the basic integral equation of actuarial mathematics by the method of successive approximations |
| title_full_unstemmed | On the solution of the basic integral equation of actuarial mathematics by the method of successive approximations |
| title_short | On the solution of the basic integral equation of actuarial mathematics by the method of successive approximations |
| title_sort | on the solution of the basic integral equation of actuarial mathematics by the method of successive approximations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3422 |
| work_keys_str_mv | AT norkinbv onthesolutionofthebasicintegralequationofactuarialmathematicsbythemethodofsuccessiveapproximations AT norkinbv onthesolutionofthebasicintegralequationofactuarialmathematicsbythemethodofsuccessiveapproximations AT norkinbv onthesolutionofthebasicintegralequationofactuarialmathematicsbythemethodofsuccessiveapproximations AT norkinbv orešeniiosnovnogointegralʹnogouravneniâaktuarnojmatematikimetodomposledovatelʹnyhpribliženij AT norkinbv orešeniiosnovnogointegralʹnogouravneniâaktuarnojmatematikimetodomposledovatelʹnyhpribliženij AT norkinbv orešeniiosnovnogointegralʹnogouravneniâaktuarnojmatematikimetodomposledovatelʹnyhpribliženij |