Sets of linear expansions of dynamical systems on a torus for a fixed Lyapunov function
We consider sets of linear expansions of dynamical systems on a torus with general alternating Lyapunov function.
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3425 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509513157705728 |
|---|---|
| author | Astaf’eva, M. M. Stepanenko, N. V. Астаф'єва, М. М. Степаненко, Н. В. |
| author_facet | Astaf’eva, M. M. Stepanenko, N. V. Астаф'єва, М. М. Степаненко, Н. В. |
| author_sort | Astaf’eva, M. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:47Z |
| description | We consider sets of linear expansions of dynamical systems on a torus with general alternating Lyapunov function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.938
M. M. Astaf’[va (Ky]v. slavist. un-t),
N. V. Stepanenko (Nac. texn. un-t Ukra]ny „KPI”, Ky]v)
MNOÛYNY LYNIJNYX ROZÍYREN|
DYNAMIÇNYX SYSTEM NA TORI
PRY FIKSOVANIJ FUNKCI} LQPUNOVA
We consider sets of linear expansions of dynamical systems on a torus with the common alternating
Lyapunov function.
Rassmotren¥ mnoΩestva lynejn¥x rasßyrenyj dynamyçeskyx system na tore s obwej znakope-
remennoj funkcyej Lqpunova.
Rozhlqnemo systemu dyferencial\nyx rivnqn\
˙ ( )x A x= ϕ , ˙ ( )ϕ ϕ= a , (1)
de ϕ = ( ϕ1, … , ϕ
m
) , A( )ϕ — kvadratna n-vymirna matrycq, elementamy qko] [
neperervni 2 π-periodyçni po koΩnij zminnij ϕ
j
, j = 1, m , funkci], x Rn∈ , ẋ =
=9
dx
dt
, ϕ ∈Rm
, ϕ̇ =
d
dt
ϕ
, a( )ϕ ∈ C TmLip( ) . Prypustymo, wo isnu[ kvadratyçna
forma
V S x x= 0( ) ,ϕ (2)
z symetryçnog neperervno dyferencijovnog matryceg koefici[ntiv S0( )ϕ ∈
∈ C Tm
1( ), poxidna qko] v sylu systemy (1) [ dodatno vyznaçenog, tobto
˙ ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,V
S
a S A A S x xT= + +
∂ ϕ
∂ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ0
0 0 ≥ γ x 2, (3)
γ = >const 0 .
Todi vidomo [1, 2], wo pry vykonanni umovy
det ( )S0 0ϕ ≠ ∀ ∈ϕ Tm (4)
systema (1) [ rehulqrnog, tobto ma[ [dynu funkcig Hrina – Samojlenka z eks-
ponencial\nog ocinkog. Porqd iz hlybokymy doslidΩennqmy problemy rehu-
lqrnosti systemy (1) [3, 4] vynykagt\ nastupni pytannq. Qkwo zafiksuvaty
kvadratyçnu formu (2), a zmingvaty pravu çastynu systemy (1), to qkyj zahal\-
nyj vyhlqd bude maty prava çastyna systemy (1), wob poxidna kvadratyçno]
formy (2) v sylu cyx system takoΩ bula dodatno vyznaçenog? Çy isnugt\ re-
hulqrni systemy vyhlqdu (1), v qkyx by det A ( ϕ ) ≡ 0 pry vsix ϕ ∈ Tm?
Vidpovidi na postavleni pytannq navedemo v proponovanij statti.
Nasampered slid zaznaçyty, wo nerivnist\ (3) sutt[vo ne zminyt\sq pry dos-
tatn\o malyx (v zvyçajnij evklidovij normi) zminax vektor-funkci] a( )ϕ i mat-
ryci A( )ϕ . Perevirymo, wo pry vykonanni umovy nevyrodΩenosti (4) nerivnist\
(3) vykonu[t\sq, qkwo vektor-funkcig a( )ϕ zaminyty na bud\-qku inßu b( )ϕ 9∈
∈ C TmLip( ) i pry c\omu vybraty matrycg A( )ϕ u vyhlqdi
A S B M
S
b( ) ( ) ( ) ( ) ,
( )
( )ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ϕ
∂ϕ
ϕ= + −
−
0
1 00 5 , (5)
de B( )ϕ , M( )ϕ — neperervni matryci, wo zadovol\nqgt\ nastupni umovy:
B BT ( ) ( )ϕ ϕ≡ , B x x x( ) ,ϕ β≥ 2, β = >const 0 , (6)
M MT ( ) ( )ϕ ϕ≡ − . (7)
© M. M. ASTAF’{VA, N. V. STEPANENKO, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12 1707
1708 M. M. ASTAF’{VA, N. V. STEPANENKO
Rozhlqdagçy livu çastynu nerivnosti (3) pry zamini a( )ϕ na bud\-qku inßu vek-
tor-funkcig b( )ϕ i zaminggçy matrycg A( )ϕ pravog çastynog rivnosti (5),
ma[mo
∂ ϕ
∂ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕS
a S A A ST0
0 0
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + =
∂ ϕ
∂ϕ
ϕS
b0( )
( ) + B( )ϕ + M( )ϕ –
– 0 5 0,
( )
( )
∂ ϕ
∂ϕ
ϕS
b + B( )ϕ + MT ( )ϕ – 0 5 0,
( )
( )
∂ ϕ
∂ϕ
ϕS
b = 2B( )ϕ .
Zvidsy baçymo, wo pry umovi (6) nerivnist\ (3) vykonu[t\sq zi stalog γ = 2β.
Takym çynom, pryxodymo do nastupnoho vysnovku.
Vysnovok 1. KoΩnij fiksovanij nevyrodΩenij symetryçnij matryci
S0( )ϕ ∈ C Tm
1( ) vidpovida[ mnoΩyna rehulqrnyx system vyhlqdu
˙ ( ) ( ) ( ) ,
( )
( )x S B M
S
b x= + −
−
0
1 00 5ϕ ϕ ϕ ∂ ϕ
∂ϕ
ϕ , ˙ ( )ϕ ϕ= b , (8)
de b( )ϕ — bud\-qka fiksovana vektor-funkciq, b( )ϕ ∈ C TmLip( ) , B( )ϕ , M( )ϕ
— dovil\ni neperervni matryci, wo zadovol\nqgt\ umovy (6), (7).
ZauvaΩennq 1. Poxidna v sylu systemy rivnqn\ (8) kvadratyçno] formy
(2) z symetryçnog nevyrodΩenog matryceg koefici[ntiv S0( )ϕ ∈ C Tm
1( ) ma[
vyhlqd V̇ = 2 Bx x, .
Slid zvernuty uvahu na te, wo isnugt\ rehulqrni systemy (1), v qkyx vektor-
funkciq a( )ϕ nabuva[ nul\ovyx znaçen\ pry deqkyx ϕ ∈ Tm. Qkwo Ω u takyx
systemax zaminyty cg vektor-funkcig a( )ϕ deqkym stalym vektorom ω i ne
zmingvaty matryci A( )ϕ , to otrymana systema moΩe j ne buty rehulqrnog.
Rozhlqnemo, napryklad, systemu
˙
˙
cos
sin cos
x
x
x
x
1
2
1
2
0
=
−
ϕ
ϕ ϕ
, ˙ sinϕ ϕ= . (9)
Poxidna kvadratyçno] formy
V x x x x= + −1
2
1 2 2
22cos sin cosϕ ϕ ϕ (10)
v sylu systemy (9) [ dodatno vyznaçenog. Ce pidtverdΩu[ rehulqrnist\ syste-
my9(9). Qkwo teper u navedenij systemi rivnqnnq ϕ̇ = sinϕ zaminyty rivnqnnqm
ϕ̇ 9= ω, ω = const ∈R, i zalyßyty tu Ω samu matrycg A( )ϕ =
cos
sin cos
ϕ
ϕ ϕ
0
−
,
to systema vΩe ne bude rehulqrnog, oskil\ky rivnqnnq ẋ = x t1 cos( )ω ϕ+ +
+ f t( ) ne pry koΩnij funkci] f t( ), neperervnij i obmeΩenij na R, ma[ obme-
Ωenyj na R rozv’qzok. Teper znajdemo ( 2 × 2 )-vymirni matryci A( )ϕ ∈ C T0
1( )
taki, wob poxidna kvadratyçno] formy (10) v sylu systemy ẋ = A( )ϕ , ϕ̇ = ω, x =
=9 ( , )x x1 2 bula dodatno vyznaçenog. Matrycq S0( )ϕ , qka vidpovida[ kvadra-
tyçnij formi (10), ma[ vyhlqd
S0( )
cos sin
sin cos
ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
−
. (11)
Pry c\omu lehko baçyty, wo S0( )ϕ ≡ S0
1− ( )ϕ . Zapyßemo rivnist\ (5) z deqkymy
stalymy matrycqmy B =
b b
b b
1
2
, M =
0
0
−
m
m
. Ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
MNOÛYNY LYNIJNYX ROZÍYREN| DYNAMIÇNYX SYSTEM NA TORI … 1709
A( )ϕ =
=
cos sin
sin cos
,
sin cos
cos sin
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ω
ϕ ϕ
ϕ ϕ−
+
−
−
−
b b
b b
m
m
1
2
0
0
0 5 =
=
b b m b m b
b b m b m b
1 2
1 2
0 5
0 5
cos ( )sin ( )cos sin ,
sin ( )cos , ( )sin cos
ϕ ϕ ϕ ϕ ω
ϕ ϕ ω ϕ ϕ
+ + − + −
− + + − −
. (12)
Oskil\ky matrycg B vybyra[mo dodatno abo vid’[mno vyznaçenog, to dlq ]]
elementiv vykonu[t\sq odna iz system nerivnostej
b
b b b
1
1 2
2
0
0
>
− >
,
,
b
b b b
1
1 2
2
0
0
<
− >
,
.
(13),
Takym çynom, poxidna kvadratyçno] formy (10) v sylu systemy rivnqn\
˙
˙
x
x
1
2
=
=
b b m b m b
b b m b m b
1 2
1 2
0 5
0 5
cos ( ) sin ( ) cos sin ,
sin ( ) cos , ( ) sin cos
ϕ ϕ ϕ ϕ ω
ϕ ϕ ω ϕ ϕ
+ + − + −
− + + − −
x
x
1
2
,
(14)
ϕ̇ ω= ,
[ znakovyznaçenog, a ce oznaça[, wo systema (14) rehulqrna pry bud\-qkyx fik-
sovanyx znaçennqx ω, bj, b, m ∈ R, dlq qkyx vykonu[t\sq odna iz nerivnostej
(13). Teper z’qsu[mo, pry qkyx moΩlyvyx znaçennqx ω, bj, b, m ∈ R vyznaçnyk
matryci (12) totoΩno dorivng[ nulg. Bezposeredn\o obçyslggçy cej vy-
znaçnyk, otrymu[mo det ( )A ϕ = b2 – b b1 2 – m2 + 0 25 2, ω – ω ϕbcos +
+ 0 5 1 2, ( )sinω ϕb b− . Zvidsy vydno, wo vyznaçnyk matryci (12) totoΩno dorivng[
nulg pry umovax b = 0, b1 = b2, ω2 = 4 1 2
2( )b b m+ . Perepoznaçagçy bj → b,
ω → 2ω, pryxodymo do nastupnoho vysnovku.
Vysnovok 2. Systema rivnqn\
ϕ̇ ω= 2 ,
˙ cos sin cos sinx b m x m b x1 1 2= +[ ] + − + −[ ]ϕ ϕ ϕ ϕ ω , (15)
˙ cos sin cos sinx m b x b m x2 1 2= − + +[ ] + − −[ ]ϕ ϕ ω ϕ ϕ
rehulqrna pry bud\-qkyx dijsnyx fiksovanyx znaçennqx ω, m, b ∈ R ( b ≠ 0) .
Pry c\omu vyznaçnyk vidpovidno] matryci
A( )ϕ =
b m m b
m b b m
cos sin cos sin
cos sin cos sin
ϕ ϕ ϕ ϕ ω
ϕ ϕ ω ϕ ϕ
+[ ] − + −[ ]
− + +[ ] − −[ ]
(16)
za umovy vykonannq rivnosti
ω = +m b2 2
(17)
totoΩno dorivng[ nulevi.
ZauvaΩymo, wo kvadratyçna forma (10) pry zamini zminnyx
x
x
1
2
=
cos sin
sin cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
2 2
2 2
1
2−
y
y
(18)
zvodyt\sq do kanoniçnoho vyhlqdu V = y1
2 – y2
2
. Qkwo Ω teper vykonaty zami-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1710 M. M. ASTAF’{VA, N. V. STEPANENKO
nu zminnyx (18) v systemi rivnqn\ (15), to oderΩymo systemu zi stalymy koefi-
ci[ntamy
ϕ̇ ω= 2 , ẏ by my1 1 2= + , ẏ my by2 1 2= − ,
qka we raz pidtverdΩu[ rehulqrnist\ systemy (15) pry bud\-qkyx fiksovanyx
znaçennqx ω, m, b ∈ R (b ≠ 0) .
ZauvaΩennq 2. V systemi rivnqn\ (8) do zminnyx ϕ moΩna dodaty we bud\-
qku kil\kist\ zminnyx ψ ∈ Tk, tobto rozhlqnuty systemu
ẋ = S B M
S
b x0
1 00 5− + −
( ) ( , ) ( , ) ,
( )
( , )ϕ ϕ ψ ϕ ψ ∂ ϕ
∂ϕ
ϕ ψ ,
(19)
˙ ( , )ϕ ϕ ψ= b , ˙ ( , )ψ ϕ ψ= b ,
de b( , )ϕ ψ , b( , )ϕ ψ ∈ C Tm kLip( )+ — dovil\ni fiksovani vektor-funkci], mat-
ryci B( , )ϕ ψ i M( , )ϕ ψ zadovol\nqgt\ totoΩnosti BT
≡ B , MT
≡ −M .
Pry c\omu poxidna kvadratyçno] formy (2) v sylu systemy (19) dorivng[ V̇ =
= 2 B x x( , ) ,ϕ ψ .
Teorema 1. Qkwo poxidna nevyrodΩeno] kvadratyçno] formy (2) v sylu de-
qko] systemy rivnqn\ vyhlqdu
˙ ( , )x P x= ϕ ψ , ˙ ( , )ϕ ϕ ψ= b , ˙ ( , )ψ ϕ ψ= b (20)
[ dodatno vyznaçenog, to matrycg P( , )ϕ ψ moΩna zapysaty u vyhlqdi
P( , )ϕ ψ = S B M
S
b0
1 00 5− + −
( ) ( , ) ( , ) ,
( )
( , )ϕ ϕ ψ ϕ ψ ∂ ϕ
∂ϕ
ϕ ψ , (21)
de B( , )ϕ ψ — deqka symetryçna dodatno vyznaçena matrycq, M( , )ϕ ψ — ko-
sosymetryçna matrycq.
Dovedennq. Spravdi, nexaj poxidna kvadratyçno] formy (2) v sylu syste-
my9(20) [ dodatno vyznaçenog, tobto
V̇ =
∂ ϕ
∂ϕ
ϕ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕS
b S P P S x xT0
0 0
( )
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ,+ +
≥ γ x 2,
γ = >const 0 .
Poznaçymo
B( , )ϕ ψ = 0 5 0
0 0,
( )
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )
∂ ϕ
∂ϕ
ϕ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕS
b S P P ST+ +
, (22)
M( , )ϕ ψ = 0 5 0 0, ( ) ( , ) ( , ) ( )S P P STϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ−[ ]. (23)
Dlq matryc\ (22), (23) vykonugt\sq umovy (6), (7) ( / )β γ= 2 i pry c\omu ma[
misce rivnist\ (21).
ZauvaΩennq 3. Zafiksuvavßy nevyrodΩenu kvadratyçnu formu (2), roz-
hlqnemo mnoΩynu system vyhlqdu (1) takyx, wo poxidna ci[] kvadratyçno] for-
my v sylu system [ znakovyznaçenog. Vywe my z’qsuvaly (zauvaΩennq 2), wo
kil\kist\ zminnyx v systemi (1) moΩna zbil\ßuvaty. Vyqvlq[t\sq, wo zmenßen-
nq kil\kosti zminnyx ϕ ne zavΩdy [ moΩlyvym.
Rozhlqnemo pryklad, qkyj pidtverdΩu[ navedene zauvaΩennq. Nexaj ma[mo
( 2 × 2 ) -vymirnu matrycg
S0( )θ =
cos sin
sin cos
θ θ
θ θ−
, θ ϕ ϕ ϕ= + + … +1 2 m . (24)
Poznaçymo ϕ̃ = ( , , )ϕ ϕ2 … m , φ = ( , ˜ )ϕ ϕ1 i prypustymo, wo isnugt\ funkci]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
MNOÛYNY LYNIJNYX ROZÍYREN| DYNAMIÇNYX SYSTEM NA TORI … 1711
aj ( ˜ )ϕ ∈ C TmLip( )−1 , j = 2, m , i neperervna matrycq A( ˜ )ϕ , dlq qkyx vyko-
nu[t\sq nerivnist\
∂ θ
∂ϕ
ϕ θ ϕ ϕ θS
a S A A S x x
j
j
T
j
m
0
0 0
2
( )
( ˜ ) ( ) ( ˜ ) ( ˜ ) ( ) ,+ +
=
∑ ≥ γ x 2, (25)
γ = >const 0 .
Vraxovugçy totoΩnosti
S S0 0 01 1
( ) ( )θ θϕ ϕ π= =≡ − ,
∂ θ
∂ϕ
∂ θ
∂ϕϕ ϕ
S S
j j
0
0
0
1 1
( ) ( )
= = π
≡ − , j m= 2, ,
iz nerivnosti (25) otrymu[mo
∂ θ
∂ϕ
ϕ θ ϕ ϕ θS
a S A A S x x
j
j
T
j
m
0
0 0
2
( )
( ˜ ) ( ) ( ˜ ) ( ˜ ) ( ) ,+ +
=
∑ ≡
≡ − + +
=
∑ ∂ θ
∂ϕ
ϕ θ ϕ ϕ θS
a S A A S x x
jj
m
j
T0
2
0 0
( )
( ˜ ) ( ) ( ˜ ) ( ˜ ) ( ) , ≥ γ x 2.
Pryjßly do supereçnosti.
Spravdi, navedenyj pryklad matryci (24) pokazu[, wo ne isnu[ matryci A( ˜ )ϕ ,
neperervno zaleΩno] vid menßoho çysla zminnyx ϕ̃ , niΩ çyslo zminnyx ϕ, dlq
qko] b vykonuvalasq nerivnist\ S A A S x xT
0 0( ) ( ˜ ) ( ˜ ) ( ) ,θ ϕ ϕ θ+[ ] ≥ γ x 2
, γ =
= const > 0.
Vidomo, wo, napryklad, systema rivnqn\
˙
˙
x
x
1
2
=
sin cos
sin
θ θ
θ
2
1
21 −
x
x
, ˙ ( )ϕ ϕ= a , θ ϕ ϕ= +…+1 m , (26)
[ rehulqrnog pry bud\-qkyx fiksovanyx vektor-funkciqx a( )ϕ ∈ C TmLip( ) .
U9c\omu moΩna perekonatysq, vybyragçy kvadratyçnu formu u vyhlqdi
V px x x= −2 1 2 2
2 sinθ (27)
i obçyslggçy poxidnu v sylu systemy (26). Vyqvlq[t\sq, wo qkog b ne bula
vektor-funkciq a( )ϕ ∈ C TmLip( ) , zavΩdy moΩna vybraty v kvadratyçnij formi
(27) dostatn\o velyke fiksovane znaçennq parametra p > 0 take, wo poxidna
kvadratyçno] formy (27) v sylu systemy (26) bude dodatno vyznaçenog. Pry
c\omu ne isnu[ kvadratyçno] formy zi stalymy koefici[ntamy V = s x1 1
2 +
+ 2 12 1 2s x x + s x2 2
2
, qka b mala dodatno vyznaçenu poxidnu v sylu systemy (26).
U9zv’qzku z cym vyda[t\sq cikavog taka zadaça:
zafiksuvaty kvadratyçnu formu vyhlqdu
V p x x Sx x= +2 1 2 2 2, , sinθ, x x Rn
1 2, ∈ , θ ϕ ϕ= +…+1 m , (28)
pry deqkomu fiksovanomu znaçenni parametra p > 0 i deqkij ( n × n )-vymirnij
stalij symetryçnij matryci S i zapysaty systemy linijnyx rozßyren\ (8),
poxidna kvadratyçno] formy (28) v sylu qkyx bula b dodatno vyznaçenog.
Kvadratyçnij formi (28) vidpovida[ matrycq
S0( )ϕ =
0 pI
pI S
n
sinθ
, θ ϕ=
=
∑ j
j
m
1
,
qka [ nevyrodΩenog, i obernena do ne] ma[ vyhlqd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1712 M. M. ASTAF’{VA, N. V. STEPANENKO
S0
1− ( )ϕ = p
S pI
pI
n
n
−
−
2
0
sinθ
.
Obçyslggçy dobutok matryc\ u pravij çastyni (5) z zapysanymy vywe matry-
cqmy S0 , S0
1−
i pokladagçy pry c\omu
B( )ϕ =
B B
B BT
1 12
12 2
( ) ( )
( ) ( )
ϕ ϕ
ϕ ϕ
, M( )ϕ =
0
0
M
MT
( )
( )
ϕ
ϕ−
, (29)
otrymu[mo
S B M
S
a0
1 00 5− + −
( ) ( ) ( ) ,
( )
( )ϕ ϕ ϕ ∂ ϕ
∂ϕ
ϕ =
=
− + −( ) − +( ) + −
+( )
− − − −
=
− −
∑p SB p B M p S B M p B S a
p B p B M
T T
j
j
m
2
1
1
12
2
12
1
2
1
1
1
1
12
0 5sin sin , cosθ θ θ
.
Qk pidsumok vykladenoho vywe, moΩna stverdΩuvaty nastupne.
Teorema 2. Nexaj ( 2n × 2n ) -vymirna symetryçna matrycq B( )ϕ ∈ C Tm
0( ) ,
qka zapysana v poznaçennqx (29), [ dodatno vyznaçenog. Todi systema rivnqn\
ẋ1 = − + −[ ][ ]−p SB p B M xT T2
1
1
12 1( ) sin ( ) ( )–ϕ θ ϕ ϕ +
+ − +[ ] + −
− −
=
∑p S B M p B S a xj
j
m
2
12
1
2
1
20 5( ) ( ) sin ( ) , ( ) cosϕ ϕ θ ϕ ϕ θ ,
ẋ2 = p B x p B M x− −+ +[ ]1
1 1
1
12 2( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ , θ ϕ=
=
∑ j
j
m
1
, ˙ ( )ϕ ϕ= a (30)
rehulqrna pry bud\-qkij fiksovanij vektor-funkci] a( )ϕ ∈ C TLip( ) i dovil\nyx
matrycqx M( )ϕ ∈ C Tm
0( ) , S = ST (p = const > 0) . Pry c\omu poxidna kvadra-
tyçno] formy (28) v sylu systemy (30) [ dodatno vyznaçenog.
Oskil\ky v systemi (30) moΩna dovil\no vybyraty matrycg M( )ϕ ∈ C Tm
0( ) ,
to, vybyragçy M( )ϕ = −B12( )ϕ , B1( )ϕ ≡ In
, p = 1, otrymu[mo systemu vyhlqdu
ẋ1 = − +[ ]S B xTsin ( )θ ϕ2 12 1 + B S a xj
j
m
2
1
20 5( ) , ( ) cosϕ ϕ θ−
=
∑ ,
(31)
ẋ x2 1= , ˙ ( )ϕ ϕ= a ,
qka takoΩ [ rehulqrnog pry dodatno vyznaçenij matryci
I B
B B
n
T
12
12 2
( )
( ) ( )
ϕ
ϕ ϕ
.
Pry c\omu lehko perekonatysq, wo poxidna kvadratyçno] formy V = 2 1 2x x, +
+ Sx x2 2, sinθ v sylu systemy (31) dorivng[ V̇ = 2 x1
2( + 2 12 1 2B x xT , +
+ B x x2 2 2, ), tobto [ dodatno vyznaçenog.
Uzahal\nggçy vyhlqd systemy (31), rozhlqda[mo systemu
ẋ1 = M x( )ϕ 1 + N
L
a x
j
j
j
m
( )
( )
( )ϕ ∂ ϕ
∂ϕ
ϕ+
=
⋅
∑
1
2 , ẋ x2 1= , ˙ ( )ϕ ϕ= a . (32)
Prypustymo, wo matryci M( )ϕ , N( )ϕ [ neperervnymy, M( )ϕ , N( )ϕ ∈
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
MNOÛYNY LYNIJNYX ROZÍYREN| DYNAMIÇNYX SYSTEM NA TORI … 1713
∈ C Tm
0( ) , matrycq L( )ϕ [ neperervno dyferencijovnog, L( )ϕ ∈ C Tm
1( ), pry-
çomu vsi matryci ne obov’qzkovo [ symetryçnymy. Ma[ misce nastupne tverd-
Ωennq.
Teorema 3. Nexaj v systemi rivnqn\ (32) ( n × n ) -vymirni matryci M( )ϕ ,
N( )ϕ , L( )ϕ taki, wo skladena z nyx nastupna ( 2n × 2n ) -vymirna symetryçna
matrycq
F =
I M L L
M L L N N
n
T T
T T
0 5
0 5 0 5
, ( ) ( ) ( )
, ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −( )
− −( ) +( )
(33)
[ dodatno vyznaçenog. Todi systema (32) pry bud\-qkij vektor-funkci] a( )ϕ ∈
∈ C TmLip( ) [ rehulqrnog, tobto ma[ [dynu ( 2n × 2n ) -vymirnu funkcig Hrina –
Samojlenka G0( , )τ ϕ z eksponencial\nog ocinkog.
Dovedennq. Zapyßemo poxidnu kvadratyçno] formy
V x x L x x= −1 2 2 2, ( ) ,ϕ (34)
v sylu systemy (32). Otrymu[mo
V̇ = M x N
L
a x x
j
j
j
m
( ) ( )
( )
( ) ,ϕ ϕ ∂ ϕ
∂ϕ
ϕ1
1
2 2+ +
=
∑ +
+ x x1 1, –
∂ ϕ
∂ϕ
ϕL
a x x
j
j
j
m ( )
( ) ,
=
∑
1
2 2 – L x x( ) ,ϕ 1 2 – L x x( ) ,ϕ 2 1 =
= x x1 1, + M L L x xT− −( ) 1 2, + Nx x2 2, = Fx x, .
Oskil\ky matrycq (33) [ dodatno vyznaçenog, to j poxidna nevyrodΩeno] kvad-
ratyçno] formy (34) v sylu systemy (32) [ dodatno vyznaçenog. C\oho dosyt\,
wob systema (32) bula rehulqrnog.
ZauvaΩennq 4. Dlq toho wob matrycq (33) bula dodatno vyznaçenog, do-
syt\ prypustyty vykonannq dvox nerivnostej
N x x x( ) ,ϕ γ≥ 2, γ = >const 0 , M L LT( ) ( ) ( ) ,ϕ ϕ ϕ γ− − < 2 0 5
. (35)
Pokladagçy v systemi rivnqn\ (32) M ≡ 0 i L ≡ 0, pryxodymo do nastupnoho
naslidku.
Naslidok. Nexaj deqka ( n × n ) -vymirna matrycq N( )ϕ ∈ C Tm
0( ) zado-
vol\nq[ perßu z nerivnostej (35). Todi systema rivnqn\
ẋ y= ,
˙ ( ) ( )y N x f= +ϕ ϕ ,
˙ ( )ϕ ϕ= a
ma[ [dynyj invariantnyj tor x = u( )ϕ pry koΩnij fiksovanij vektor-funkci]
f ( )ϕ ∈ C Tm
0( ) .
1. Mytropol\skyj G. A., Samojlenko A. M., Kulyk V. L. Yssledovanye dyxotomyy lynejn¥x
system dyfferencyal\n¥x uravnenyj s pomow\g funkcyj Lqpunova. – Kyev: Nauk. dumka,
1990. – 270 s.
2. Samojlenko A. M. O nekotor¥x problemax teoryy vozmuwenyj hladkyx ynvaryantn¥x to-
rov dynamyçeskyx system // Ukr. mat. Ωurn. – 1994. – 46, #912. – S. 1665 – 1699.
3. Bojçuk A. A. Uslovye suwestvovanyq edynoj funkcyy Hryna – Samojlenko zadaçy ob ynva-
ryantnom tore // Tam Ωe. – 2001. – 53, # 4. – S. 556 – 559.
4. Kenneth J. Palmer. On the reducibility of almost periodic systems of linear differential systems //
J. Different. Equat. – 1980. – 36, # 3. – P. 374 – 390.
OderΩano 17.05.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3425 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:18Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ae/f44e7814ba88d81862833f83f5c0e2ae.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34252020-03-18T19:53:47Z Sets of linear expansions of dynamical systems on a torus for a fixed Lyapunov function Множини лінійних розширень динамічних систем на торі при фіксованій функції Ляпунова Astaf’eva, M. M. Stepanenko, N. V. Астаф'єва, М. М. Степаненко, Н. В. We consider sets of linear expansions of dynamical systems on a torus with general alternating Lyapunov function. Рассмотрены множества линейных расширений динамических систем на торе с общей знакопеременной функцией Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3425 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 12 (2007); 1707–1713 Український математичний журнал; Том 59 № 12 (2007); 1707–1713 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3425/3592 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3425/3593 Copyright (c) 2007 Astaf’eva M. M.; Stepanenko N. V. |
| spellingShingle | Astaf’eva, M. M. Stepanenko, N. V. Астаф'єва, М. М. Степаненко, Н. В. Sets of linear expansions of dynamical systems on a torus for a fixed Lyapunov function |
| title | Sets of linear expansions of dynamical systems on a torus for a fixed Lyapunov function |
| title_alt | Множини лінійних розширень динамічних систем на торі при фіксованій функції Ляпунова |
| title_full | Sets of linear expansions of dynamical systems on a torus for a fixed Lyapunov function |
| title_fullStr | Sets of linear expansions of dynamical systems on a torus for a fixed Lyapunov function |
| title_full_unstemmed | Sets of linear expansions of dynamical systems on a torus for a fixed Lyapunov function |
| title_short | Sets of linear expansions of dynamical systems on a torus for a fixed Lyapunov function |
| title_sort | sets of linear expansions of dynamical systems on a torus for a fixed lyapunov function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3425 |
| work_keys_str_mv | AT astafevamm setsoflinearexpansionsofdynamicalsystemsonatorusforafixedlyapunovfunction AT stepanenkonv setsoflinearexpansionsofdynamicalsystemsonatorusforafixedlyapunovfunction AT astaf039êvamm setsoflinearexpansionsofdynamicalsystemsonatorusforafixedlyapunovfunction AT stepanenkonv setsoflinearexpansionsofdynamicalsystemsonatorusforafixedlyapunovfunction AT astafevamm množinilíníjnihrozširenʹdinamíčnihsistemnatoríprifíksovaníjfunkcíílâpunova AT stepanenkonv množinilíníjnihrozširenʹdinamíčnihsistemnatoríprifíksovaníjfunkcíílâpunova AT astaf039êvamm množinilíníjnihrozširenʹdinamíčnihsistemnatoríprifíksovaníjfunkcíílâpunova AT stepanenkonv množinilíníjnihrozširenʹdinamíčnihsistemnatoríprifíksovaníjfunkcíílâpunova |