Absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay
We establish necessary and sufficient conditions for the absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2007
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3426 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509516722864128 |
|---|---|
| author | Kushnir, V. P. Кушнір, В. П. |
| author_facet | Kushnir, V. P. Кушнір, В. П. |
| author_sort | Kushnir, V. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:53:47Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions for the absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
V. P. Kußnir (Nac. un-t vod. hosp-va ta pryrodokorystuvannq, Rivne)
ABSOLGTNA ASYMPTOTYÇNA STIJKIST| ROZV’QZKIV
LINIJNYX PARABOLIÇNYX DYFERENCIAL|NYX RIVNQN|
IZ ZAHAGVANNQMY
We establish necessary and sufficient conditions of the absolute asymptotic stability of solutions of
linear parabolic differential equations with delays.
Ustanovlen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq absolgtnoj asymptotyçeskoj ustojçyvosty
reßenyj lynejn¥x parabolyçeskyx dyfferencyal\n¥x uravnenyj s zapazd¥vanyem.
Stijkist\ rozv’qzkiv zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\ iz zahagvannqmy vy-
vçeno dostatn\o dobre (dyv., napryklad, [1, 2] ).
Nul\ovyj rozv’qzok dyferencial\noho rivnqnnq iz zahagvannqmy nazyvagt\
absolgtno eksponencial\no (asymptotyçno) stijkym, qkwo vin eksponencial\no
(asymptotyçno) stijkij pry bud\-qkyx stalyx nevid’[mnyx zahagvannqx (dyv.,
napryklad, [1] ).
Absolgtnu stijkist\ dyferencial\no-riznycevyx rivnqn\ vyhlqdu
x t a x tn
k
k
k
n
( ) ( )( ) ( )+
=
−
∑
0
1
+ b x tkj
k
j
j
m
k
n
( )( )− =
==
∑∑ τ 0
10
, (1)
de ak , k = 1 1, n − , bkj , k = 0, n , j = 1, m , — stali koefici[nty, τ j , j = 1, m , —
dovil\ni nevid’[mni çysla, doslidΩuvaly L.6A.6Ûyvotovs\kyj [3], G.6M.6R[pin
[4], D.6H.6Korenivs\kyj [5, 6], V.6G.6Slgsarçuk [7 – 9].
U roboti V.6G.6Slgsarçuka [7] bulo pokraweno teoremu Ûyvotovs\koho, a
same, otrymano nastupnu teoremu.
Teorema 1. Nexaj vykonu[t\sq umova
bk j
j
m
<
=
∑ 1
1
.
Todi dlq toho wob nul\ovyj rozv’qzok rivnqnnq (1) buv absolgtno eksponenci-
al\no stijkym, neobxidno i dostatn\o, wob vykonuvalys\ umovy:
1) z P z: ( ) ={ }0 ⊂ λ λ: �e <{ }0 ;
2) Q iyjj
m
( )=∑ 1
< P iy( ) dlq vsix y > 0;
3) b jj
m
01=∑ ≠ −a0 .
Tut P z( ) = zn + a zk
k
k
n
=∑ 0
1–
, Q zj ( ) = b zk j
k
k
n
=∑ 0
, j = 1, m , a
F( )z = P z( ) +
+ Q z ej
z
j
m j( )
−
=∑ τ
1
— xarakterystyçnyj kvazipolinom, wo vidpovida[ rivnqn-
ng6(1).
Analohiçne pytannq dlq rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy vyvçeno znaçno
menße.
Rozhlqnemo mißanu zadaçu dlq rivnqnnq teploprovidnosti iz zahagvannqmy
∂
∂
u x t
t
( , )
= a
u x t
x
∂
∂
2
2
( , )
+ b
u x t
xk
k
k
m ∂ τ
∂
2
2
1
( , )−
=
∑ , t > 0, x ∈( , )0 π ,
u x t( , ) = ϕ( , )x t , ( , ) , ,x t T∈[ ] × −[ ]0 0π , (2)
u t( , )0 = u t( , )π = 0, t T≥ − ,
© V. P. KUÍNIR, 2007
1714 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
ABSOLGTNA ASYMPTOTYÇNA STIJKIST| ROZV’QZKIV LINIJNYX … 1715
de τk ≥ 0, k = 1, m , T = max
1≤ ≤k m
kτ , bk , k = 1, m , — stali koefici[nty.
Nexaj ϕ( , )x t ∈ C T0 0, ,π[ ] × −[ ]( ) � C T( , ) ( , ) ,2 0 0 0π × −( ]( ) i vykonu[t\sq
umova uzhodΩennq ϕ( , )0 t = ϕ π( , )t = 0, t ∈ −[ ]T, 0 . Klasyçnym rozv’qzkom ci[]
zadaçi nazvemo funkcig u x t( ), ∈ C 0 0, ,π[ ] × +∞[ )( ) � C( , ) , ,2 1 0 0π( ) × +∞( )( ),
qka zadovol\nq[ (2). (Poznaçennq prostoriv dyv., napryklad, u [10].)
U stattqx [11, 12] navedeno neobxidni i dostatni umovy stabilizaci] rozv’qzkiv
zadaçi (2), a same , otrymano ocinku rozv’qzku ci[] zadaçi çerez poçatkovu funk-
cig ta ]] poxidnu po x abo po t pry bud\-qkyx zahagvannqx.
Metog dano] statti [ vstanovlennq neobxidnyx i dostatnix umov absolgtno]
asymptotyçno] stijkosti nul\ovoho rozv’qzku zadaçi (2).
U statti [12] navedeno umovy isnuvannq rozv’qzku zadaçi (2), dovedeno joho
[dynist\ i pokazano, wo joho moΩna podaty u vyhlqdi rqdu Fur’[
u x t( ), = T t nxn
n
( ) sin
=
∞
∑
1
, (3)
de T tn( ) — rozv’qzky zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\ iz zahagvannqmy
′T tn( ) + n aT tn
2 ( ) + b n T tk n k
k
m
2
1
0( )− =
=
∑ τ , t > 0, n ∈N , (4)
qki zadovol\nqgt\ poçatkovi umovy
T tn( ) = ψn t( ) = 2
0
π
ϕ
π
( , ) sinx t nx dx∫ , t T∈ −[ ], 0 .
Rivnqnnqm (4) vidpovidagt\ xarakterystyçni kvazipolinomy
h sn( ) = s n a b n sk k
k
m
+ + −{ }
=
∑2 2
1
exp τ , s ∈C .
ZauvaΩymo, wo zhidno z teoremog 1 nul\ovyj rozv’qzok koΩnoho z rivnqn\
(4) [ absolgtno eksponencial\no stijkym todi i til\ky todi, koly vykonugt\sq
taki umovy:
a > 0, b ak
k
m
≤
=
∑
1
, b ak
k
m
≠
=
∑ –
1
. (5)
Krim toho, u statti avtora [11] dovedeno, wo qkwo vykonugt\sq umovy
a > 0, b ak
k
m
<
=
∑
1
, (6)
to dlq bud\-qkyx τk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ m, isnugt\ dodatni stali ε, β, γ taki, wo dlq
bud\-qko] funkci] ϕ( , )x t , neperervno] na 0, π[ ] × −[ ]T, 0 razom iz svo]my ças-
tynnymy poxidnymy ′ϕx x t( ), , ′′ϕx x x t( ), , dlq rozv’qzku zadaçi (2) spravdΩu[t\sq
ocinka
u x t( , ) < e x xt
T
x
−
∈ −[ ]
+ ′
ε
θ
β ϕ γ ϕ θ( , ) max ( , )
,
0
0
, t ≥ 0 ,
de u x t( , ) =
2 2
0π
π
u x t dx( , )∫ .
Dali vvaΩatymemo, wo isnu[ ′′′ϕ
x
x t3 ( , ) pry koΩnomu t ∈ −[ ]T; 0 i
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1716 V. P. KUÍNIR
max ( , )
,t T x
x t
∈ −[ ]
′′′ < ∞
0
3ϕ . (7)
Dovedemo teoremu pro absolgtnu asymptotyçnu stijkist\ nul\ovoho roz-
v’qzku zadaçi (2).
Teorema 2. Nul\ovyj rozv’qzok zadaçi (2) absolgtno asymptotyçno stij-
kyj todi i til\ky todi, koly vykonugt\sq umovy (5).
Dovedennq. Neobxidnist\. Zhidno iz zauvaΩennqm pered teoremog, rivnqn-
nq (4) [ absolgtno eksponencial\no stijkymy todi i til\ky todi, koly vykonu-
gt\sq umovy (5).
Prypustymo, wo umovy (5) ne vykonugt\sq. Ce oznaça[, wo dlq vsix n ≥ 1
isnugt\ zahagvannq τk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ m, i koreni vidpovidnyx xarakterystyçnyx
kvazipolinomiv h sn( ) — çysla sn = pn + iqn ∈ C, pn ≥ 0, qn ∈ R. Todi funkci]
T tn( ) = e q tp t
n
n cos( ) zadovol\nqgt\ rivnqnnq (4) ta poçatkovi umovy ψn t( ) =
= e q tp t
n
n cos( ) , t ∈ −[ ]T, 0 , a funkci] u x tn( , ) = e q t nxp t
n
n cos( ) sin , t ∈ − +∞[ )T, ,
x ∈ 0, π[ ] , [ rozv’qzkamy zadaçi (1) z poçatkovog funkci[g ϕ( , )x t =
= e q t nxp t
n
n cos( ) sin , t ∈ −[ ]T, 0 , x ∈ 0, π[ ]. Ale lim ( , )
t
nu x t
→ +∞
= lim
t
p te n
→ +∞
×
× cos( )q tn ≠ 0.
Neobxidnist\ dovedeno.
Dostatnist\. Qkwo vykonugt\sq umovy (6), to, zhidno iz zauvaΩennqm pe-
red teoremog, oçevydno, ma[ misce rivnist\ lim ( , )
t
u x t
→ +∞
= 0.
Zalyßylosq rozhlqnuty vypadok, koly vykonugt\sq umovy
a > 0, b ak
k
m
=
=
∑
1
, b ak
k
m
≠ −
=
∑
1
. (8)
Vyberemo εn > 0, n ≥ 1, — rozv’qzky rivnqn\
n e anT2 2ε( ) – an n
2 2
−( )ε = π
4
2
T
. (9)
Oçevydno, wo
εn = O n( )1 4 , n → ∞ , (10)
otΩe, isnu[ take n1 ≥ 1, wo dlq vsix n > n1 vykonu[t\sq εn < a.
Dovedemo, wo dlq bud\-qkyx zahagvan\ τk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ m, i dlq vsix dostat-
n\o velykyx n vykonu[t\sq
s h s en n: ( ) :={ } ⊂ < −{ }0 λ λ ε� . (11)
Nexaj n > n1. Poznaçymo çerez
H( , )R nε zamknutyj kontur u plowyni kom-
pleksnyx çysel, wo sklada[t\sq z prqmo] i pravoho pivkola, qki spoluçagt\
toçky −εn – iR ta −εn + iR.
Zamist\ h sn( ) rozhlqdatymemo funkci]
h s
s an
n( )
+ 2 = 1
2
2− −
+
−b n e
s an
k
skτ
,
nuli qkyx zbihagt\sq z nulqmy kvazipolinomiv h sn( ) pry �es ≥ −εn , n > n1.
Poznaçymo
w snk ( ) = –
b n e
s an
k
sk2
2
−
+
τ
, 1 ≤ ≤k m.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
ABSOLGTNA ASYMPTOTYÇNA STIJKIST| ROZV’QZKIV LINIJNYX … 1717
Hranyçne poloΩennq pry R → ∞ obrazu kontura
H( , )R nε pry vidobraΩenni
U sn( ) = w snkk
m
( )=∑ 1
nazvemo amplitudno-fazovog xarakterystykog.
Nulqm funkci] h sn( ) vidpovidagt\ toçky, v qkyx U sn( ) = 1. Tomu za pryn-
cypom arhumentu [1] kil\kist\ nuliv h sn( ) dorivng[ kil\kosti obxodiv ampli-
tudno-fazovog xarakterystykog toçky z = 1.
Pry vidobraΩenni w snk ( ) obraz pivkola, wo vxodyt\ do skladu kontura
H( , )R nε , pry R → ∞ stqhu[t\sq v toçku z = 0, i tomu potribno buduvaty
til\ky obraz prqmo] �es = −εn .
Spoçatku znajdemo hranyçni xarakterystyky, qki [ obrazamy prqmo] �es =
= −εn pry vidobraΩennqx
v snk ( ) = −
+
b n e
s an
k
k n2
2
τ ε
, 1 ≤ ≤k m.
Ce budut\ kola Knk z rivnqnnqm
z r rnk nk+ = ,
de
rnk =
b n e
an
k
n
k n2
22
τ ε
ε−( ) .
Z umov teoremy vyplyva[, wo isnugt\ bk > 0, a kola, qki ]m vidpovidagt\, le-
Ωat\ u livij pivplowyni.
Ne obmeΩugçy zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo b1 > 0.
Znagçy hranyçni xarakterystyky, dostatn\o vraxuvaty vplyv mnoΩnykiv
e iy k− τ
, qki povertagt\ bez zminy modulq radiusy-vektory toçok hranyçnyx xa-
rakterystyk, wo vidpovidagt\ znaçenng y, na kut −y kτ , tomu wo
w iynk n( )− +ε = v iy enk n
iy k( )− + −ε τ
.
Pry koΩnomu znaçenni y toçky v iynk n( )− +ε leΩat\ na dvox prqmyx, wo pro-
xodqt\ çerez toçku z = 0 pid deqkymy kutamy ±α( , )n y , wo ne zaleΩat\ vid k.
Poznaçymo çerez yn znaçennq y, pry qkomu
v iynk n
k
m
( )− + =
=
∑ ε
1
1,
i αn — dodatnyj kut, qkyj vidpovida[ yn . Todi ma[mo
v iynk n
k
m
( )− +
=
∑ ε
1
=
n b e
an
k nk
m
n
k n2
1
2
τ ε α
ε
cos=∑
−
=
n b e
an y
kk
m
n n
k n2
1
2 2 2
1
τ ε
ε
=∑
− +
=
( )
. (12)
Amplitudno-fazova xarakterystyka moΩe obijty toçku z = 1 til\ky pry y <
< yn
.
Iz (12), (9) otrymu[mo
yn
2 ≤ ( )n e anT2 2ε – ( )an n
2 2− ε = π
4
2
T
, (13)
a takoΩ αn = O n( )1 2
pry n → ∞. Zvidsy vyplyva[, wo isnu[ take n2 ≥ n1, wo
α πn < 8, n n> 2 . (14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1718 V. P. KUÍNIR
Iz (13), (14) vyplyva[, wo toçky w iyn n1( )− +ε pry y < yn ne perejdut\ u pravu
pivplowynu.
Ocinymo inßi dodanky sumy U iyn n( )− +ε .
Iz (10) dista[mo, wo isnu[ take n0 ≥ n2, wo dlq vsix n ≥ n0
b ek
T
k
m
nε
=
∑
2
< a nn− ε 2
. (15)
Todi U iyn n( )− +ε pry y < yn leΩatyme liviße toçky z = 1, i amplitudno-
fazova xarakterystyka Ωodnoho razu ne obijde cg toçku, tobto dlq bud\-qkyx
τk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ m, i dlq vsix n ≥ n0 vykonu[t\sq (11).
Ocinymo intehral
dy
h iyn n( )− +
∞
∫ ε 2
0
.
Qkwo 0 ≤ y < π ( )2T – αn T , to dlq vsix n ≥ n0, vraxovugçy (15), ma[mo
h iyn n( )− +ε ≥ an iy b n en
r iyn2
1
2 1− + + −ε ε( ) – b n ek
iy
k
m
k n2
2
τ ε( )−
=
∑ ≥
≥ n a
n
b en
k
T
k
m
n2
2
2
− −
=
∑ε ε > 0.
OtΩe,
dy
h iyn n
T
n
( )− +
−
∫ ε
π α
2
0
2
2
= O n1 4( ) , n → ∞ . (16)
Qkwo y ≥ π ( )2T – αn T > π ( )4T (zhidno z (14)), to, vykorystavßy (9), dis-
tanemo
h iyn n( )− +ε ≥ an iyn
2 − +ε – b n e ek
iy
k
m
k n k2
1
τ ε τ−
=
∑ ≥
≥ ( )an yn
2 2 2− +ε – ( )an
Tn
2 2
2
4
− +
ε π ≥
y T
an yn
2 2
2 2 2
4
2
−
− +
( ( ))
( )
π
ε
. (17)
Pidstavyvßy nerivnist\ (17) v intehral
dy
h iyn n
T
n
( )− +−
+∞
∫ επ α
2
2
2
,
otryma[mo
dy
h iyn n
T
n
( )− +−
+∞
∫ επ α
2
2
2
≤
4
4
2 2 2
2 2 2
2
2
( )
( ( ))
an y
y T
dy
n
T
n
− +( )
−( )−
+∞
∫
ε
ππ α
=
= 4
4 4
4
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
an y T T
y T
dy
n
T
n
−( ) + − ( ) + ( )
− ( )( )−
+∞
∫
ε π π
ππ α
( ) ( )
( )
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
ABSOLGTNA ASYMPTOTYÇNA STIJKIST| ROZV’QZKIV LINIJNYX … 1719
= 4
42 2
2
2
dy
y T
n
T
− ( )−
+∞
∫ ππ α ( )
+ 4
4 4
2 2
2
2 2 2
2
2
( )
( )
an
T
dy
y T
n
T
n
− +
− ( )( )−
+∞
∫ε π
ππ α
.
Perßyj z intehraliv ostann\o] rivnosti asymptotyçno dorivng[
2 3T
π
ln , a dru-
hyj —
2 4
3
3T
π
−
ln pry n → ∞.
Vraxuvavßy (9), (10), (16), oderΩymo
J O nn = ( )4 , n → ∞ . (18)
Vykorystavßy (18), qk u statti [11], ocinymo T tn( ) .
Oskil\ky ϕ( , )x t neperervna na 0, π[ ] × −[ ]T, 0 , to ]] koefici[nty Fur’[
ψn t( ) takoΩ neperervni na −[ ]T, 0 . Todi dlq εn i n0, vybranyx raniße, pry
vsix n > n0 koreni xarakterystyçnyx kvazipolinomiv h sn( ) leΩat\ na komp-
leksnij plowyni zliva vid prqmo] �es = −εn .
Vykorysta[mo teoremu pro rozv’qzky zvyçajnyx dyferencial\nyx rivnqn\ iz
zahagvannqmy, podanu u [2] dlq rivnqn\ (4) pry n > n0:
T tn( ) = e
h s
e n b e e d ds
ts
n
n
Ts
k
k
m
n
s
n
k n
k
( )
( ) ( )
( )−
− −
=
−
−
∫ ∑ ∫−
ε
τ ε θ
τ
ψ ψ θ θ0 2
1
0
, t > 0. (19)
Tut i dali F s ds( )
( )ε∫ =df
lim ( ) .
T iT
iT
i
F s ds
→∞ −
+
∫
1
2π ε
ε
Rozhlqnemo intehral vid perßoho dodanka u (19):
e
h s
ds
t T s
n
n
( )
( )
( )
−
−
∫
ε
=
e s an
h s s an
ds
t T s
n
n
( )
( )
( )
( ) ( )
−
−
+
+ +∫
2
2
ε
=
=
e s n b n e
h s s an
ds
t T s
k
s
k
m
n
k
n
( )
( )
( )
( )( )
− −
=
−
−
+
∑
∫
2 2
1
2
τ
ε
=
=
e
s an
ds
t T s
n
( )
( ) ( )
−
− +∫ 2
ε
– n b e
h s s an
dsk
t T s
nk
m k
n
2
2
1
( )
( ) ( )( )
− −
−= +∫∑
τ
ε
=
= e an t T− −2 ( )
– n b e
h s s an
dsk
t T s
nk
m k
n
2
2
1
( )
( ) ( )( )
− −
−= +∫∑
τ
ε
. (20)
Pidstavyvßy (20) v (19), oderΩymo
T tn( ) = ψn
an t Te( ) ( )0
2− − –
– n b
e
h s s an
e d ds
k
m
k
t T s
n
n
n
T sk
n k
2
1
2
0
0
=
− −
−
−
−
∑ ∫ ∫+
+
( )
( )
( )
( )
( )
( )
τ
ε
θ
τ
ψ ψ θ θ . (21)
Ocinymo dodanky sumy v (21):
e
h s s an
e d ds
t T s
n
n
n
T sk
kn
( )
( )
( )
( )
( )
( )
− −
−
−− +
+
∫∫
τ
θ
τε
ψ ψ θ θ0
2
0
≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
1720 V. P. KUÍNIR
≤ e
h iy
n kt T
n n
− − −
−∞
∞
− +∫
ε τ
π ε
( )
( )2
1 ×
× ψ
ε
ψ θ θε θ θ
τ
n
n
n
T iy T
an iy
e e d dyn
k
( )
( ) ( ) ( )0
2
0
− + +
+
− − − −
−
∫ ≤
≤ e n kt T− − −ε τ
π
( )
2
dy
h iyn n( )− +
−∞
∞
∫ ε 2
1 2
ψ
εn
n
dy
an y
2
2 2 2
1 2
0( )
( )−∞
∞
∫ − +
+
+ ψ θ θε θ θ
τ
n
T iy Te e d dyn
k
( ) ( ) ( )− − − −
−−∞
∞
∫∫
0
2 1 2
=
= e n kt T− − −ε τ
π
( )
2
2 2
0
1 2
dy
h iyn n( )− +
+∞
∫ ε
×
× ψ π
ε
π ψ θ θε θ
τ
n
n
n
T
an
e dn
k
2
2
1 2
2 2
0
1 2
0
2
( )
( ) ( )
−
+
− −
−
∫ . (22)
(Bulo vykorystano teoremu Planßerelq – Parsevalq.)
Iz (21), (22), (18) vyplyva[ isnuvannq takoho B > 0, wo dlq vsix n > n0 vyko-
nu[t\sq nerivnist\
T tn( ) ≤ Bn e dnt
n
T
3 2
0
1 2
−
−
∫
ε ψ θ θ( ) . (23)
Zhidno z umovog (8) pry vsix θ ∈6 −[ ]T; 0 rqd n
n n n
6 2
0=
∞∑ ψ θ( ) zbiha[t\sq. Todi z
(23) vyplyva[, wo pry vsix t > 0 rqd T tnn n
2
0
( )=
∞∑ maΩoru[t\sq zbiΩnym rqdom
TB n nn n
2 6 2
0
ψ θ( )=
∞∑ .
Takym çynom, rqd T tnn n
2
0
( )=
∞∑ zbiha[t\sq rivnomirno, i z (23) dista[mo
lim ( )
t
n
n n
T t
→∞ =
∞
∑ 2
0
≤ B e n d
tn n
t
n
T
n2 2 6 2
0
0
lim ( )
→∞=
∞
−
−
∑ ∫ε ψ θ θ = 0. (24)
Zhidno iz zauvaΩennqm 1 nul\ovi rozv’qzky rivnqn\ (4) absolgtno eksponen-
cial\no stijki i dlq koΩnoho z nyx isnu[ take δn > 0, wo
s h sn: ( ) ={ }0 ⊂ λ λ δ: �e n< −{ }.
Todi, zhidno z [2], isnugt\ taki Mn > 0, wo
T tn( ) ≤ M en
tn−δ , t > 0 .
OtΩe, vraxuvavßy (24), distanemo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
ABSOLGTNA ASYMPTOTYÇNA STIJKIST| ROZV’QZKIV LINIJNYX … 1721
u x t( , ) = T tn
n
2
1=
∞
∑ ( ) ≤ M en
n
n
tn2
1
1
2
0
=
−
−∑ δ + T tn
n
2
0=
∞
∑ → +∞( ) , t → +∞ .
Teoremu dovedeno.
1. ∏l\shol\c L. ∏., Norkyn S. B. Vvedenye v teoryg dyfferencyal\n¥x uravnenyj s otklo-
nqgwymsq arhumentom. – M.: Nauka, 1971. – 296 s.
2. Belman R., Kuk K. Dyfferencyal\no-raznostn¥e uravnenyq. – M.: Myr, 1967. – 548 s.
3. Ûyvotovskyj L. A. Absolgtnaq ustojçyvost\ reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj s
neskol\kymy zapazd¥vanyqmy // Tr. sem. po teoryy dyfferenc. uravnenyj s otklonqgwym-
sq arhumentom. – 1969. – # 7. – S. 219 – 292.
4. Repyn G. M. Ob uslovyqx ustojçyvosty system lynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj
pry lgb¥x zapazd¥vanyqx // Uç. zap. Ural. un-ta. – 1960. – 23. – S. 31 – 34.
5. Korenivs\kyj D. H. Pro deqki oznaky stijkosti linijnyx stacionarnyx system iz zapiznennqm
// Dop. AN URSR. – 1966. – # 6. – S. 708 – 710.
6. Korenevskyj D. H. Alhebrayçeskye koπffycyentn¥e kryteryy absolgtnoj (ne zavysqwej
ot zapazd¥vanyq) asymptotyçeskoj ustojçyvosty reßenyj system lynejn¥x dyfferency-
al\n¥x uravnenyj s posledejstvyem // Mat. fyzyka y nelynejn. mexanyka. – 1987. – V¥p. 7. –
S. 5 – 9.
7. Slgsarçuk V. E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq absolgtnoj πksponencyal\noj us-
tojçyvosty reßenyj lynejn¥x skalqrn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj nejtral\noho ty-
pa // Problem¥ sovremennoj teoryy peryodyçeskyx dvyΩenyj. – 1982. – # 6. – S.19 – 24.
8. Slgçarçuk V. E. Dostatoçn¥e uslovyq absolgtnoj asymptotyçeskoj ustojçyvosty lynej-
n¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj v banaxovom prostranstve s neskol\kymy zapazd¥vanyq-
my // Mat. zametky. – 1975. – 17, # 6. – S. 919 – 923.
9. Slgsarçuk V. E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq absolgtnoj πksponencyal\noj us-
tojçyvosty reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj zapazd¥vagweho y nejtral\noho typov
// Dokl. AN USSR. Ser. A. – 1983. – # 12. – S. 17 – 19.
10. Myxlyn S. H. Kurs matematyçeskoj fyzyky. – M.: Nauka, 1968. – 576 s.
11. Kußnir V. P. Pro stabilizacig rozv’qzkiv linijnyx paraboliçnyx dyferencial\nyx rivnqn\
iz zahagvannqmy // Intehral\ni peretvorennq ta ]x zastosuvannq do krajovyx zadaç. – 1997. –
Vyp. 15. – S. 111 – 119.
12. Kußnir V. P. Absolgtna eksponencial\na stijkist\ rozv’qzkiv linijnyx paraboliçnyx dy-
ferencial\nyx rivnqn\ iz zahagvannqmy // Nelinijni kolyvannq. – 2002. – 5, # 2. – S. 170 –
178.
OderΩano 23.03.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3426 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:21Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ef/522317d53316e66867f2c54af22730ef.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34262020-03-18T19:53:47Z Absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay Абсолютна асимптотична стійкість розв'язків лінійних параболічних диференціальних рівнянь із загаюваннями Kushnir, V. P. Кушнір, В. П. We establish necessary and sufficient conditions for the absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay. Установлены необходимые и достаточные условия абсолютной асимптотической устойчивости решений линейных параболических дифференциальных уравнений с запаздыванием. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2007-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3426 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 59 No. 12 (2007); 1714–1721 Український математичний журнал; Том 59 № 12 (2007); 1714–1721 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3426/3594 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3426/3595 Copyright (c) 2007 Kushnir V. P. |
| spellingShingle | Kushnir, V. P. Кушнір, В. П. Absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay |
| title | Absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay |
| title_alt | Абсолютна асимптотична стійкість розв'язків лінійних параболічних диференціальних рівнянь із загаюваннями |
| title_full | Absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay |
| title_fullStr | Absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay |
| title_full_unstemmed | Absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay |
| title_short | Absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay |
| title_sort | absolute asymptotic stability of solutions of linear parabolic differential equations with delay |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3426 |
| work_keys_str_mv | AT kushnirvp absoluteasymptoticstabilityofsolutionsoflinearparabolicdifferentialequationswithdelay AT kušnírvp absoluteasymptoticstabilityofsolutionsoflinearparabolicdifferentialequationswithdelay AT kushnirvp absolûtnaasimptotičnastíjkístʹrozv039âzkívlíníjnihparabolíčnihdiferencíalʹnihrívnânʹízzagaûvannâmi AT kušnírvp absolûtnaasimptotičnastíjkístʹrozv039âzkívlíníjnihparabolíčnihdiferencíalʹnihrívnânʹízzagaûvannâmi |