Problems of approximation theory in linear spaces
We present a survey of results related to the approximation characteristics of the spaces $S^{\rho}_{\varphi}$ and their generalizations. The proposed approach enables one to obtain solutions of problems of classical approximation theory in abstract linear spaces in explicit form. The results obtain...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3434 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509527143612416 |
|---|---|
| author | Stepanets, O. I. Степанець, О. І. |
| author_facet | Stepanets, O. I. Степанець, О. І. |
| author_sort | Stepanets, O. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:54:30Z |
| description | We present a survey of results related to the approximation characteristics of the spaces $S^{\rho}_{\varphi}$ and their generalizations. The proposed approach enables one to obtain solutions of problems of classical approximation theory in abstract linear spaces in explicit form. The results obtained yield statements that are new even in the case of approximations in the functional Hilbert spaces $L_2$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. И. Степанец (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ
В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
A review of results related to approximation characteristics of spaces Sp
ϕ and their generalizations is
presented. The approach suggested in the paper allows one to obtain solutions of problems of the classical
approximation theory in abstract linear spaces in the explicit form. The obtained results imply corrolaries
whose statements are new even in the case of approximations in the functional Hilbert spaces L2.
Наведено огляд результатiв, пов’язаних з апроксимацiйними характеристиками просторiв Sp
ϕ та
їхнiх узагальнень. Пiдхiд, що пропонується, дає можливiсть отримувати розв’язки задач класичної
теорiї наближень в абстрактних лiнiйних просторах у явному виглядi. Як наслiдки, з отриманих
результатiв випливають твердження, що є новими навiть у випадку наближень у функцiональних
гiльбертових просторах L2.
В настоящей работе приведен обзор результатов, связанных с аппроксимационны-
ми характеристиками пространств Spϕ и их обобщений. Этот материал является ре-
зультатом поиска новых подходов к задачам теории приближения функций многих
переменных и, в частности, периодических функций. В этой теории существует
много проблем и определяющими, наверное, являются следующие: выбор прибли-
жающих агрегатов, выбор классов функций и аппроксимационных характеристик.
В то время, как в одномерном случае вид простейшего агрегата диктуется есте-
ственным порядком натурального ряда, в многомерном случае, т. е. когда имеется
множество X — банахово пространство функций f(t) = f(tn, . . . , tm), t ∈ Rm,m
переменных, выбор простейших агрегатов становится проблематичным. Первые
трудности здесь начинаются уже с того, что именно следует считать аналогом
частной суммы для кратного ряда∑
k∈Zm
ck, k = (k1, . . . , km), (0.1)
где Zm — целочисленная решетка в Rm.
Естественно напрашивается введение „прямоугольных” сумм; соответствую-
щие им приближающие агрегаты в периодическом cлучае — тригонометрические
полиномы вида
n1∑
k1=−n1
. . .
nm∑
km=−nm
ck1,...,kme
i(k1t1+...+kmtm). (0.2)
Однако частные суммы кратного ряда можно определять многими способами, на-
пример следующим.
Пусть {Gα} — семейство ограниченных областей в Rm, которые зависят от
числового параметра α и такие, что любой вектор n ∈ Zm принадлежит всем
областям Gα при достаточно больших значениях α. Тогда выражение∑
k∈ Gα
ck
называют частной суммой ряда (0.1), соответствующей области Gα. По аналогии
с этим вводятся и соответствующие частные суммы тригонометрических рядов:
c© А. И. СТЕПАНЕЦ, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1 47
48 А. И. СТЕПАНЕЦ∑
k∈ Gα
cke
ikx =
∑
k∈ Gα
ck1,...,kme
i(k1x1+...+kmxm). (0.3)
Достаточно быстро обнаружилось, что в случае приближения функций из клас-
сов Соболева W r
p (Rm) вместо прямоугольных сумм вида (0.2) „выгоднее” исполь-
зовать суммы (0.3), построенные по областям, образованным определенными ги-
перболами. Такие области впервые были введены К. И. Бабенко в [1, 2] и получили
название гиперболических крестов.
Появление гиперболических крестов дало существенный толчок в развитии
теории приближения функций многих переменных. В этом направлении получено
множество важных и интересных результатов, ознакомиться с которыми можно,
например, в работах [3 – 13].
Однако попытки использования гиперболических крестов при приближении
функций из классов, отличных от соболевских, желаемых результатов не дают. В
связи с этим, естественно, возникают предположения, что для каждого конкретного
класса N (или же для какого-либо семейства таких классов) нужно подбирать„свое”
семейство областей Gα, определяющееся параметрами данного класса.
Следует также признать, что качество многих результатов, полученных с ис-
пользованием гиперболических крестов, для соболевских классов нельзя считать
безукоризненным. Как правило, результаты по приближениям в пространствах
Lp(Rm) имеют только порядковый характер, а точные результаты получаются лишь
в гильбертовых пространствах при p = 2. Является ли такое положение следствием
недостаточности анализа или же здесь дисгармония исходных данных с поставлен-
ными целями — покажет время. По крайней мере, можно предположить, что наряду
с удачным выбором приближающих агрегатов другой причиной, усложняющей по-
лучение точных результатов по приближениям в многомерном (да и в одномерном)
случае является исторически сложившаяся практика рассматривать задачи именно
в пространствах Lp(Rm). В периодическом случае норма в этих пространствах
‖ f ‖
Lp(R
m)
=
∫
Qm
|f(t)|pdt
1
p
, Qm = {t ∈ Rm, 0 ≤ ti ≤ 2π, i = 1,m },
характеризует всего лишь величину среднего значения p-й степени модуля рас-
сматриваемой функции и, наверное, этой информации недостаточно для получения
желаемых результатов в общем случае.
При p = 2 хорошо известно равенство
‖ f ‖
L2(R
m)
=
∑
|k|≥0
|ck|2
1
2
,
где ck = ck1...km — коэффициенты Фурье функции f. Т. е. в этом случае норма
функции f полностью характеризует все множество {ck}k∈Zm (при других зна-
чениях p, разумеется, подобные равенства возможны лишь в тривиальных ситуа-
циях). Поэтому представляется целесообразной попытка введения норм функций
посредством величин, связанных с их коэффициентами Фурье. Такой подход рас-
сматривается в цикле работ автора и его последователей [14 – 32]. Этот подход,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 49
в частности, позволяет распространение идей и методов теории приближений на
абстрактные линейные пространства, что, в свою очередь, дает возможность рас-
сматривать функции с общих позиций анализа и приводит к достаточно содержа-
тельным результатам, часть из которых излагается в настоящей работе.
1. Пространства Sp
Φ. Определим пространства, в которых будем затем ста-
вить и решать задачи теории приближений.
Пусть X и Y — некоторые линейные пространства векторов x и y соответ-
ственно. Предположим, что на X задан линейный оператор Φ, действующий в
Y, а на некотором подмножестве Y ′ ⊂ Y определен функционал f. Пусть, далее,
E(Φ) — множество значений оператора Φ и X′ — прообраз множества Y ′E(Φ) при
отображении Φ. В таком случае на X′ можно определить функционал f ′, положив
f ′(x) = f(Φ(x)), x ∈ X′. (1.1)
Если в качестве f выбрать функционал, задающий на Y ′ норму (или квазинор-
му), то равенство (1.1) будет определять аналогичную величину на X′. Именно эти
соображения и лежат в основе дальнейших построений.
Пусть (Rm, dµ), m ≥ 1, — m-мерное евклидово пространство точек t =
= (t1, . . . , tm), оснащенное некоторой σ-конечной мерой dµ, A — µ-измеримое
подмножество из (Rm, dµ), µ-мера которого равна a, где a — конечное, или же
a = ∞ :
mesµ A = |A|µ = a, a ∈ (0,∞];
Y = Y (A, dµ) — множество всех заданных на A функций y = y(t), измеримых
относительно меры dµ. При заданном p ∈ (0,∞] через Lp (A, dµ) обозначаются
подмножества функций из Y (A, dµ), для которых конечна величина
‖y‖
Lp(A,dµ)
=
(∫
A
| y(t)|p dt
)1/p
, p ∈ (0,∞),
ess sup
t∈A
| y(t)|, p = ∞.
(1.2)
Известно, что этот функционал при p ≥ 1 задает норму, а при p ∈ (0, 1) — квази-
норму на Lp (A, dµ).
Пусть теперь X — некоторое линейное пространство векторов x и Φ — линейный
оператор, действующий из X в Y :
Φ : X → Y (A, dµ), Φ(x) df= x̂, x ∈ X, x̂ = Y (A, dµ).
Положим
SpΦ = SpΦ (X;Y ) =
{
x ∈ X : ‖x̂‖
Lp(A,dµ)
<∞
}
, p ∈ (0,∞]. (1.3)
Таким образом, множество SpΦ — прообраз в X при отображении Φ множества
Lp (A, dµ).
Элементы x1, x2 ∈ SpΦ cчитаются тождественными, если почти всюду по мере
dµ x̂1(t) = x̂2(t).
Для элементов x1, x2 ∈ SpΦ, p ∈ (0,∞], определим Φ-расстояние между ними с
помощью равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
50 А. И. СТЕПАНЕЦ
ρΦ(x1;x2)p = ‖Φ(x1 − x2)‖Lp(A,dµ)
.
Нулевым элементом множества SpΦ называется элемент θ, для которого почти всюду
на A θ̂(t) = 0.
Расстояние ρΦ(θ;x)
p
, x ∈ SpΦ, называется Φ-нормой элемента и обозначается
через ‖ x‖p = ‖ x‖p, Φ. Таким образом, по определению,
‖ x‖p = ‖ x‖p, Φ = ρΦ(θ;x)
p
= ‖x̂‖
Lp(A,dµ)
. (1.4)
В таком случае SpΦ — линейное пространство: операции сложения элементов и
умножения их на числа, заданные в X, остаются пригодными и для любой пары
x1, x2 ∈ SpΦ. Кроме того, для любых чисел λ1 и λ2 элемент x3 = λ1x1 + λ1x2
принадлежит SpΦ. Действительно, поскольку x3 ∈ X, то x̂3(t) = λ1x̂1(t) + λ2x̂2(t).
Если теперь p ≥ 1, то в силу неравенства Минковского
‖ x3‖p = ‖ x̂3(t)‖Lp(A,dµ) ≤ |λ1| ‖ x̂1‖Lp(A,dµ) + |λ2| ‖ x̂2‖Lp(A,dµ) =
= |λ1‖ ‖ x1‖p + |λ2| ‖ x2‖p.
Если же p ∈ (0, 1), то, используя неравенство
| a+ b |p ≤ | a |p + | b |p, 0 ≤ p < 1,
получаем
‖ x3‖p =
∫
A
∣∣∣∣ λ1x̂1(t) + λ2x̂2(t)
∣∣∣∣p
dµ
1
p
≤
≤ 21/p( |λ1| ‖ x1‖p + |λ2| ‖ x2‖p),
т. е. всегда x3 ∈ SpΦ.
Ясно, что функционал ‖ · ‖p при p ≥ 1 удовлетворяет всем аксиомам нормы, а
при p ∈ (0, 1) — аксиомам квазинормы. Следовательно, SpΦ при p ≥ 1 — линейное
нормированное пространство, а при p ∈ (0, 1) — пространство с квазинормой.
Рассмотрим несколько простейших реализаций рассматриваемых построений.
При этом будем говорить, что некоторое пространство N является частным случаем
пространства SpΦ, если его можно получить путем надлежащего выбора простран-
ства X, меры dµ и оператора Φ.
1.1. Пространство Sp
ϕ. Пусть X — некоторое линейное комплексное про-
странство и ϕ = {ϕk}∞k=1 — фиксированная счетная система в нем. Предположим,
что для любой пары x, y ∈ X, в которой хотя бы один из векторов принадлежит ϕ,
определено некоторое число —„скалярное произведение” (x, y), удовлетворяющее
условиям:
1) (x, y) = (y, x), где z — число, комплексно-сопряженное c z;
2) (λx1 + µx2, y) = λ(x1, y) + µ(x2, y), λ, µ — произвольные числа;
3) (ϕk, ϕl) =
{
0, k 6= l;
1, k = l.
Каждому элементу x ∈ X сопоставляется система чисел x̂(k) посредством ра-
венств
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 51
x̂(k) = x̂ϕ(k) = (x, ϕk), k = 1, 2, . . . (k ∈ N), (1.5)
и при фиксированном p ∈ (0,∞) полагается
Spϕ = Spϕ(X) =
{
x ∈ X :
∞∑
k=1
∣∣∣∣f̂ϕ(k)
∣∣∣∣p <∞
}
. (1.6)
Элементы x, y ∈ Spϕ считаются тождественными, если при всех k ∈ N x̂ϕ(k) =
= ŷϕ(k).
Для векторов x, y ∈ X определяется ϕ-расстояние между ними с помощью
равенства
ρϕ(x, y)p =
( ∞∑
k=1
∣∣∣∣x̂ϕ(k)− ŷϕ(k)
∣∣∣∣p
)1
p
.
Нулевым элементом пространства Spϕ называется вектор θ, для которого θ̂ϕ(k) = 0
при всех k ∈ N. Расстояние ρ
ϕ
(θ, x)p, x ∈ Spϕ, называется ϕ-нормой элемента x и
обозначается через ‖ x‖p,ϕ. Таким образом,
‖ x‖p,ϕ = ρ
ϕ
(θ, x)p =
( ∞∑
k=1
∣∣∣∣x̂ϕ(k)
∣∣∣∣p
)1
p
. (1.7)
Пространства Spϕ являются частным случаем пространств SpΦ. Действительно,
определим в данном пространстве X оператор Φ, который каждому x ∈ X ставит
в соответствие последовательность y = {x̂k}∞k=1 . В качестве множества (Rm, dµ)
возьмем пространство R1 с мерой dµ, носителем которой является множество Z1
целочисленных точек k, в которых µ(k) ≡ 1, и положим A =
{
k ∈ Z1, k ≥ 1
}
.
В таком случае Y (A, dµ) — множество всех последовательностей y и функционал
(1.2) имеет вид
‖ y‖
Lp(A,dµ) =
( ∞∑
k=1
|yk|p
)1
p
, p ∈ (0,∞).
Пусть S — множество всех последовательностей комплексных чисел
S = {x = (x1, x2, . . .), xk ∈ C},
в котором операции сложения и умножения определяются стандартным способом:
(x1, x2, . . .) + (y1, y2, . . .) = (x1 + y1, x2 + y2, . . .),
λ(x1, x2, . . .) = (λx1, λx2, . . .), λ ∈ C.
В этом случае S — линейное пространство. Выберем в качестве X множество S, а
в качестве ϕ — систему e = {ek}∞k=1 , где ek = (ε1, ε2, . . .), причем
εi =
{
1, i = k,
0, i 6= k.
„Скалярное произведение” определим, положив
(x, ek) = x̂e(k) = xk, (ek, x) = xk (x = (x1, . . . , xk, . . .)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
52 А. И. СТЕПАНЕЦ
Для такой операции условия 2 и 3 будут выполняться автоматически. Каждому
элементу x ∈ X сопоставляется система чисел x̂(k),
x̂(k) = xk, k = 1, 2, . . . ,
и при фиксированном p ∈ (0,∞) в соответствии с (1.6) определяются пространства
Spe :
Spe = Spe (X) =
{
x ∈ X :
∞∑
k=1
∣∣xk∣∣p <∞
}
.
В этом случае, согласно (1.7), ϕ-норма элемента x ∈ Spe имеет вид
‖ x‖p,e =
( ∞∑
k=1
∣∣xk∣∣p)
1
p
.
Видим, что Spe совпадают с известными пространствами lp.
Возьмем, как и ранее, в качестве X пространство S, а в качестве ϕ систему e′,
полученную из e путем удаления из нее некоторых элементов eij , j = 1, 2, . . . , и
по рассмотренной схеме построим пространства Spe′ .
Ясно, что ϕ-норма в Spe′ , построенная согласно (1.7), удовлетворяет неравенству
‖ x‖p,e′ ≤ ‖ x‖p,e,
и поэтому Spe ⊂ Spe′ . Ясно также, что множество Spe′ \ Spe может быть не пустым,
т. е. множество Spe′ может быть шире множества lp.
1.1′. Пространства Sp,µ
ϕ . Эти пространства вводятся по аналогии с простран-
ствами Spϕ, только в этом случае функционалы( ∞∑
k=1
∣∣ · ∣∣p)1
p
в равенствах, соответствующих (1.5) – (1.7), заменяются функционалами( ∞∑
k=1
∣∣ · ∣∣pµpk
)1
p
,
где µ = {µk}∞k=1 — заданная система неотрицательных чисел, µk ≥ 0, k ∈ N ; в
частности, если µk ≡ 1, то Sp,µϕ = Spϕ.
Понятно, что и эти пространства являются частным случаем пространств SpΦ.
В качестве множества (Rm, dµ) здесь, как и для пространств Spϕ, используется
пространство R1 с мерой dµ, сосредоточенной на множестве Z1 целочисленных
точек k, в которых µ(k) = µk и A = {k ∈ Z1, k ≥ 1}.
Более детально об этих пространствах см. п. 4 настоящей работы.
1.2. Пространство Sp
F(L). Пусть, как и ранее, Rm, m ≥ 1, — m-мерное,
евклидово пространство, X = (X1, . . . ,Xm) — его элементы, Zm — целочисленная
решетка в Rm, xy = x1y1 + . . .+ xmym, x, y ∈ Rm. Пусть, далее, L = L(Rm, 2π)
— множество всех 2π-периодических по каждой из переменных функций f(x) =
= f(x1, . . . , xm), суммируемых относительно обычной меры Лебега на кубе пери-
одов Qm,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 53
Qm = {x : x ∈ Rm, −π ≤ xk ≤ π, k = 1, 2, . . . ,m} .
Возьмем в качестве X пространство L(Rm, 2π) и определим на нем оператор Φ
(который будем обозначать через F), положив
F(f) = (2π)−m/2
∫
Qm
f(x) e−ikxdx = f̂(k), k ∈ Zm.
Этот оператор отображает пространство L(Rm, 2π) во множество Y функций y(t),
заданных на целочисленной решетке Zm. Пусть еще dµ — мера в пространстве
Rm, носителем которой является множество Zm, где она равна единице. В этом
случае функционал (1.2) принимает вид
‖ y ‖
Lp(R
m,dµ)
=
( ∫
Rm
|y(t)|pdµ
)1
p
=
( ∑
k∈Zm
∣∣∣∣f̂(k)∣∣∣∣p
)1
p
, p ∈ (0,∞),
и пространство SpΦ ( которое обозначим через SpF(L) ) определяется соотношением
SpF(L) =
f ∈ L :
( ∑
k∈Zm
∣∣∣∣f̂(k)∣∣∣∣p
)1
p
≤ ∞
.
Заметим, что пространства SpF(L) совпадают с рассмотренными выше простран-
ствами Spϕ(L), порождаемыми множеством L и системой ϕ = {τs}∞s=1 ,
τs = (2π)−m/2eiksx, ks ∈ Zm, s = 1, 2, . . . ,
которая получается из системы
(2π)−m/2eikx, k ∈ Zm,
путем произвольной фиксированной нумерации ее членов.
1.3. Рассмотрим пример, в котором пространства SpΦ могут не быть сепара-
бельными.
Выберем в качестве X пространство функций L2(Rm), а в качестве А простран-
ство L2(Rm) с обычной нормой Лебега и зададим оператор Φ преобразованием
Фурье:
Φ(f) = f̂(t) = F(f ; t) = (2π)−m/2
∫
Rm
f(x) e−itxdx, f ∈ L2(Rm).
Известно (см., например, [33], гл. I), что оператор F является унитарным по
L2(Rm). Следовательно, Φ-норма ‖ f‖2,Φ элемента f совпадает с его нормой в
пространстве L2(Rm):
‖ f‖2,F = ‖ f‖L2(Rm), (1.8)
и в этом случае пространство S2
Φ(L2(Rm), Rm, dx) в силу формулы (1.3) имеет вид
S2
Φ = {f : f ∈ L2(Rm)}, т. е. S2
Φ = X = L2(Rm).
1.4. По схеме, изложенной в предыдущем примере, строятся пространства
S2
Φ, когда вместо преобразования Фурье берется любой оператор, унитарный на
множестве L2(A, dµ), где A — некоторое многообразие в Rm, а dµ — некоторая
σ-конечная мера в Rm. Пусть, к примеру, L2(A, dµ) является множеством L2(R1
+)
функций f(t), суммируемых по Лебегу с квадратом на полуоси (0,∞), а Φ —
преобразование Ганкеля
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
54 А. И. СТЕПАНЕЦ
Hvf = Hv(f ;x) = f̂(x) = f̂v(x) =
= x−(v+1/2) d
dx
∞∫
0
xv+1Jv+1(xt)
f(t)√
t
dt, (1.9)
где v — некоторое число, v ≥ −1, а Jα(z) — функция Бесселя I рода порядка α.
Известно, что преобразование Ганкеля порождает оператор Hv, унитарный на
L2(R1
+) и совпадающий со своим обратным (см., например, [34], гл. III). Поэтому
выполняется аналог равенства (1.15):
‖ f‖2,Hv = ‖ f‖L2(R1
+).
Следовательно, S2
Hv
= {f : L2(R1
+)}, т. е. и в этом случае
S2
Hv = X = L2(R1
+).
1.5. Рассмотрим еще частный случай пространств SpΦ, которые порождаются
тождественным оператором, т. е. когда Φ ≡ I. Ясно, что тогда должно быть X =
= Y (A, dµ), x̂ = x и согласно (1.3)
SpL = {x ∈ X : ‖x‖Lp(A,dµ) <∞} = Lp(A, dµ), p ∈ (0,∞).
2. Мультипликаторы. Приближающие агрегаты и объекты приближений.
В качестве приближающих агрегатов для элементов x ∈ SpΦ используются элемен-
ты из SpΦ, у которых образы имеют носители γσ заданной меры σ. Понятно, что
именно этот принцип заложен в классическом случае при построении, например,
тригонометрических полиномов для приближения данной периодической функции,
если под оператором Φ понимать отображение функций во множество их коэффи-
циентов Фурье. В общем случае здесь возникают проблемы, которые в конечном
счете вызваны тем, что пространства SpΦ могут быть не полными. В связи с этим
дадим следующие определения.
Пусть ω = ω(t) — некоторая функция из Y (A, dµ). Тогда через Mω
Φ обо-
значим оператор, действующий из X в X, который данному x ∈ X ставит в
соответствие элемент xω ∈ X такой, что если Φ(x) = x̂(t), то почти всюду
x̂ω(t) = Φ(xω) = ω(t)x̂(t). Оператор Mω
Φ будем называть мультипликатором опе-
ратора Φ, порождаемым функцией ω; через ΩΦ(X) = ΩΦ(X, Y ) обозначим подмно-
жество функций ω из Y (A, dµ), для которых мультипликаторы Mω
Φ существуют.
Если N и N′ — некоторые подмножества из X, ω ∈ ΩΦ(X) и оператор Mω
Φ
отображает N в N′, то будем говорить, что Mω
Φ имеет тип (N,N′). В частности,
если Mω
Φ отображает SpΦ в SpΦ, то оператор Mω
Φ имеет тип (SpΦ, S
p
Φ) или, короче,
тип (p, p). Множество функций ω, порождающих операторы типа (p, p), обозначим
через ΩpΦ.
Итак, если ω ∈ ΩpΦ и оператор Mω
Φ действует из SpΦ, то он действует также в
SpΦ; при этом каждому x ∈ SpΦ соответствует элемент xω = Mω
Φ (x), для которого
почти всюду на A выполняется равенство
x̂ω(t) = Φ(xω) = ω(t)x̂(t), x̂ω ∈ Lp(A, dµ). (2.1)
Пусть при заданном σ > 0 γσ — µ-измеримое множество в A,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 55
mesµγσ
df= |γσ| = σ, σ ≤ a,
и λ = λ(t) — измеримая функций с носителем γσ. Предположим, что при заданном
p ∈ (0,∞) λ ∈ ΩpΦ и Uγσ (x;λ) df= xλ = Mλ
Φ(x), так что согласно (2.1)
Ûγσ (x;λ) = Φ(Uγσ (x;λ)) =
λ(t)x̂(t), t ∈ γσ,
0, t∈̄γσ, x ∈ SpΦ.
(2.2)
Именно элементы Uγσ (x;λ) и рассматриваются в качестве приближающих агрега-
тов для x ∈ SpΦ. Если при этом λ(t) ≡ 1 на γσ, т. е. когда λ(t) совпадает с характе-
ристической функцией χγσ (t) множества γσ, то полагаем Uγσ (x;χγσ ) = Uγσ (x).
Пусть Γσ = Γσ(A) — множество всех измеримых подмножеств из A, меры
которых равны σ. Будем говорить, что при данном p > 0 оператор Φ удовлетворяет
условию (Ap), если функции χγσ (t) для всех множеств γσ ∈ Γσ принадлежат ΩpΦ
при любых σ ∈ [0, a). Таким образом, если Φ удовлетворяет условию (Ap), то
все элементы Uγσ (x) определены при любом x ∈ SpΦ и находятся в SpΦ. Элемент
Uγσ (x) называется сужением элемента x ранга σ, элемент Uγσ (x;λ) — λ-сужением
x ранга σ.
Пусть p — любое положительное число и x ∈ SpΦ. Тогда в силу (1.4) и (2.2)
имеем
‖x− Uγσ (x;λ)‖p
p
= ‖x̂(t)− Ûγσ (x;λ; t)‖pLp (A,dµ) =
=
∫
γσ
|1− λ(t)|p| x̂(t)|p dµ+
∫
A/γσ
|x̂(t)|pdµ.
Отсюда приходим к следующему утверждению.
Предложение 2.1. Пусть p ∈ (0,∞), x ∈ SpΦ = SpΦ(X;Y ), γσ ∈ Γσ и оператор
Φ удовлетворяет условию (Ap). Тогда
Eγσ (x)p
df= inf
λ∈ΩpΦ
‖x− Uγσ (x;λ)‖p = ‖x− Uγσ (x)‖p.
При этом выполняется равенство
Eγσ (x)p = ‖x‖pp −
∫
γσ
|x̂(t)|pdµ. (2.3)
Таким образом, если χγσ ∈ ΩpΦ, то среди всех элементов Uγσ (x;λ), порождае-
мых мультипликаторами Mλ
Φ и удовлетворяющих условию (2.2), наименее уклоня-
ется от элемента x по Φ-норме в пространстве SpΦ элемент Uγσ (x), т. е. среди всех
λ-сужений x данного ранга σ ближайшим к x оказывается именно его сужение при
λ(t) ≡ 1. Понятно, что это свойство является аналогом минимального свойства
сумм Фурье в пространствах Гильберта L2.
Пусть Γ = {γσ}σ>0, | γσ| = σ, — семейство измеримых подмножеств из A,
исчерпывающее при σ → ∞ все множество A, т. е. обладающее тем свойством,
что любая точка t ∈ A находится во всех множествах γσ при всех достаточно
больших значениях σ, так что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
56 А. И. СТЕПАНЕЦ
lim
σ→∞
∫
γσ∈Γ
| x̂(t)|p dµ =
∫
A
| x̂(t)|p dµ ∀x ∈ SpΦ. (2.4)
Объединяя соотношения (2.3) и (2.4), видим, что
lim
σ→∞
γσ∈Γ
Eγσ (x)p = 0 ∀x ∈ SpΦ.
Определим теперь объекты приближения — объединения элементов x ∈ X, со-
ответствующих в теории приближений понятию класса функций. Такие объекты,
как и приближающие агрегаты, вводятся с помощью мультипликаторов. Однако
здесь представляется более удобным использование несколько другой терминоло-
гии, более близкой к традиционной. Пусть Ψ = Ψ(t) — произвольная функция
из ΩΦ(X) и MΨ
Φ — мультипликатор оператора Φ, порождаемый этой функцией.
В таком случае образ xΨ элемента x при отображении MΨ
Φ будем называть Ψ-
интегралом элемента x и записывать MΨ
Φ (x) = xΨ = Ψx; при этом x иногда
удобно называть Ψ-производной для xΨ и записывать x = DΨxΨ.
Таким образом, если xΨ является Ψ-интегралом для x, то почти всюду
x̂Ψ = Φ(Ψx) = Ψ(t)x̂(t). (2.5)
Если N — некоторое подмножество из X, то через ΨN обозначается множество
Ψ-интегралов всех тех x ∈ N, для которых они существуют. В частности, если UpΦ
— единичный шар в некотором пространстве SpΦ,
UpΦ = {x : x ∈ SpΦ, ‖x‖p,Φ ≤ 1},
то ΨUpΦ — множество Ψ-интегралов всех x ∈ UpΦ, для которых эти интегралы
существуют.
Сопоставляя соотношения (2.5) и (2.1), видим, что в качестве функций Ψ, для
которых определение Ψ-интеграла корректно, можно выбрать любую функцию из
ΩΦ(SpΦ). В этом случае справедливо включение ΨSpΦ ⊂ SpΦ.
Множества ΨUpΦ и являются теми объектами, для которых в работе рассматри-
ваются традиционные задачи теории приближений.
3. Аппроксимационные характеристики множеств ΨUp
Φ. Будем рассмат-
ривать следующие величины. Для каждого γσ ∈ Γ положим
Eγσ (x)q = inf
λ∈ΩpΦ
‖x− Uγσ (x;λ)‖q,Φ x ∈ SpΦ,
Eγσ (ΨU
p
Φ)q = sup
x∈ΨUpΦ
Eγσ (x)q
и
Dσ(ΨU
p
Φ)q = inf
γσ∈Γσ
Eγσ (ΨU
p
Φ)q.
В случае приближения периодических функций тригонометрическими полинома-
ми величине Eγσ (x)q будет соответствовать наилучшее приближение функции x
посредством полиномов степени σ; величине Eγσ (ΨU
p
Φ)q — верхняя грань на за-
данном множестве функций таких наилучших приближений; величина Dσ(ΨU
p
Φ)q
напоминает тригонометрический поперечник порядка σ множества ΨUpΦ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 57
Рассматриваются также следующие характеристики, которым в периодическом
случае соответствуют величины, связанные с наилучшим σ-членным приближением:
eσ(x)q = inf
γσ∈Γσ
Eγσ (x)q = inf
γσ∈Γσ
inf
λ∈ΩpΦ
‖x− Uγσ (x;λ)‖ q,Φ x ∈ SpΦ (3.1)
и
eσ(ΨU
p
Φ)q = sup
x∈ΨUpΦ
eσ(x)q. (3.2)
Ближайшие рассмотрения ограничиваются случаем, когда p = q. Кроме того,
предполагается, что соответствующие характеристические функции χγσ (·) принад-
лежат ΩpΦ, т. е. оператор Φ удовлетворяет условию (Ap). В таком случае, согласно
предложению 2.1, наибольший интерес представляют величины (3.1), (3.2), когда
λ(t) = χγσ (t). В связи с этим полагаем
Eγσ (x)p = ‖x− Uγσ (x)‖p,Φ, x ∈ SpΦ, (3.3)
Eγσ (ΨU
p
Φ)p = sup
x∈ΨUpΦ
Eγσ (x)p (3.4)
и
Dσ(ΨU
p
Φ)p = inf
γσ∈Γσ
Eγσ (ΨU
p
Φ)p. (3.5)
Аналогично,
eσ(x)p = inf
γσ∈Γσ
‖x− Uγσ (x)‖p,Φ (3.6)
и
eσ(ΨU
p
Φ)p = sup
x∈ΨUpΦ
eσ(x)p.
3.1. Величины Eγσ
(ΨUp
Φ)p и Dσ(ΨUp
Φ)p. В дальнейшем используется по-
нятие перестановки функции в убывающем порядке. Это понятие, по-видимому,
впервые появилось в работах Харди и Литтлвуда (см. [35], гл. Х) и затем с успехом
использовалось многими авторами. Приведем здесь необходимые определения,
придерживаясь текста из книги Н. П. Корнейчука [36] (гл. 6). Там рассматривают-
ся перестановки функций одной переменной, но основные определения пригодны
и в общем случае.
Пусть на µ-измеримом множестве A ⊂ Rm, m ≥ 1,mesµA = a, где a — конечно
или бесконечно, задана неотрицательная и µ-измеримая функция f(x), у которой
функция распределения
mf (y) = mesµEy, Ey = {x : x ∈ A, f(x) ≥ y}, y ≥ 0,
принимает при y > 0 только конечные значения.
Функция t = mf (y) не возрастает при всех y ≥ 0, при этом mf (0) = a. Ес-
ли mf (y) непрерывна и строго убывает, то на промежутке t ∈ (0, a) существует
строго убывающая обратная к ней функция y = ϕ(t), которую и называют пере-
становкой функции f(x) в убывающем порядке. В общем случае, в зависимости
от функции f(·), mf (y) может иметь промежутки постоянства, а также разрывы
первого рода в конечном или же счетном множестве точек. Чтобы однозначно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
58 А. И. СТЕПАНЕЦ
определить обратную к ней функцию, исправим график функции mf (y) следую-
щим образом. В каждой точке разрыва yj функции mf (y) дополним ее график
отрезком y = yj , mf (yj + 0) ≤ t ≤ m(yj + 0), а на каждом промежутке [α, β], где
mf (y) постоянна, оставим в ее графике только одну точку с координатами, напри-
мер, y = (α + β)/2, t = mf ((α + β)/2). В таком случае каждому t ∈ (0, a) будет
соответствовать единственная точка с координатами (t,m−1
f (t)). Это отображение
и определяет функцию y = ϕ(t) — перестановку функции ϕ(x) в рассматриваемом
случае.
При любом y ≥ 0 мера Лебега множества точек t ∈ (0, a), на котором ϕ(t) ≥ y,
равна mf (y). Таким образом,
mes {t : t ∈ (0, a), ϕ(t) ≥ y} =
= mesµ{x : x ∈ A, f(x) ≥ y} = mf (y).
Отсюда, в частности, следует справедливость равенства
a∫
0
F (ϕ(t))dt =
∫
A
F (f(x))dµ
для любой функции F, для которой эти интегралы существуют (см. [35], гл. Х).
В принятых обозначениях справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.1. Пусть Ψ = Ψ(t) — произвольная функция из Y (A, dµ), суще-
ственно ограниченная на А:
ess sup
t∈A
|Ψ(t)| = ‖Ψ‖M <∞, (3.7)
и в случае, когда множество А не ограничено,
lim
|t|→∞
Ψ(t) = 0. (3.8)
Тогда для произвольных X, A ⊂ Rm, m ≥ 1, γσ ∈ Γσ, σ < a и p ∈ (0,∞), для
любого оператора Φ, удовлетворяющего условию (Ap), справедливы оценки
Epγσ (ΨU
p
Φ)p ≤ ϕγσ (0 + 0), (3.9)
где ϕγσ (v) — перестановка в убывающем порядке функции
ϕσ(t) = ϕγσ (t) =
{
|Ψ(t)|p, t ∈ A \ γσ,
0, t ∈ γσ,
и
Dσ(ΨU
p
Φ)p ≤ Ψ(σ + 0), (3.10)
где Ψ(v) — перестановка в убывающем порядке функции |Ψ(t)|.
Если, к тому же, функции χγσ (t) для любых γσ ∈ Γσ и σ ∈ (0, a) принадлежат
множествуE(Φ) значений оператора Φ, а их прообразы Uγσ имеют Ψ-интегралы,
то соотношения (3.9) и (3.10) являются равенствами. При этом в Γσ имеется
множество γ∗σ, для которого выполняются равенства
Eγ∗σ (ΨU
p
Φ)p = Dσ(ΨU
p
Φ)p = Ψ(σ + 0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 59
Это множество определяется соотношением
γ∗σ = {t ∈ A : |Ψ(t)| ≥ Ψ(σ + 0)}, mesµ γ∗σ = σ.
Доказательство этой теоремы содержится в [23]. Здесь только отметим, что
условия (3.7) и (3.8) гарантируют тот факт, что для функции |Ψ(t)| ее функция
распределения m|Ψ|(y),
m|Ψ|(y) = mesµEy, Ey = {t ∈ A : |Ψ(t)| ≥ y}, y ≥ 0,
принимает при любом y > 0 только конечные значения из промежутка [0, a]. По-
этому величины ϕσ(0 + 0) и Ψ(σ + 0) всегда определены.
Заметим также, что в случае, когда E(Φ) = Lp(A, dµ), оператор Φ удовлетво-
ряет условию (Ap) и в силу условий (3.7) и (3.8) также выполняются требования,
обеспечивающие равенства в соотношениях (3.9) и (3.10).
3.2. Величины eσ(ΨUp
Φ)p. В принятых обозначениях справедлива следующая
теорема.
Теорема 3.2. Пусть Ψ = Ψ(t) — произвольная функция из Y (A, dµ), существен-
но ограниченная наA и в случае, когда множествоA не ограничено, удовлетворяет
условию (3.8).
Тогда для произвольных X, A ⊂ Rm, m ≥ 1, σ ≤ a и p ∈ (0,∞), для любого
оператора Φ, удовлетворяющего условию (Ap), выполняется соотношение
epσ(ΨU
p
Φ) ≤ sup
σ<q≤a
q − σ∫ q
0
dt
Ψ
p
(t)
, (3.11)
в котором Ψ(v) — перестановка в убывающем порядке функции |Ψ(t)|. Величина
точной верхней грани в (3.11) достигается при некотором конечном значении
q = q∗.
Если, к тому же, множество E(Φ) значений оператора Φ совпадает со всем
пространством Lp(A, dµ), то соотношение (3.11) на самом деле является равен-
ством.
Доказательство приведено в [23]. Его существенной частью является те-
орема 3.3, которая доказана в [23]. Здесь наметим только узловые фрагменты
доказательства теоремы 3.2.
Для любого x ∈ SpΦ согласно (3.6) и (1.2) имеем
epσ(x)p = inf
γσ∈Γσ
‖Φ(x− Uγσ (x))‖
p
Lp
= inf
γσ∈Γσ
‖ x̂(t)(1− χγσ (t))‖
p
Lp
=
= inf
γσ∈Γσ
∫
A
| x̂(t)|p dµ −
∫
γσ
|x̂(t)|p dµ
=
=
∫
A
| x̂(t)|p dµ − sup
γσ∈Γσ
∫
γσ
|x̂(t)|p dµ, Lp
df= Lp(A, dµ).
Следовательно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
60 А. И. СТЕПАНЕЦ
epσ(ΨU
p
Φ)p = sup
x∈ΨUpΦ
(∫
A
| x̂(t)|p dµ − sup
γσ∈Γσ
∫
γσ
|x̂(t)|p dµ
)
. (3.12)
Если x ∈ ΨUpΦ, то x̂(t) = Ψ(t)ŷ(t), где y — некоторый элемент из Up. Поэтому
справедливо соотношение
sup
x∈ΨUpΦ
∫
A
| x̂(t)|p dµ − sup
γσ∈Γσ
∫
γσ
|x̂(t)|p dµ
≤
≤ sup
ν∈Up
∫
A
|Ψ(t)|p |y(t) |p dµ − sup
γσ∈Γσ
∫
γσ
|Ψ(t)|p| y(t) |p dµ
=
= sup
h∈U+
1
∫
A
|Ψ(t)|p |h(t) | dµ − sup
γσ∈Γσ
∫
γσ
|Ψ(t)|p|h(t) | dµ
, (3.13)
где U+
1 — подмножество неотрицательных функций из U1.
Для нахождения значений правой части (3.13) воспользуемся следующим утвер-
ждением. Это утверждение, наверное, представляет и самостоятельный интерес,
поэтому сформулируем его в виде теоремы.
Теорема 3.3. Пусть A — любое µ-измеримое множество из Rm,m ≥ 1,
mesµA = a, где a — конечно или бесконечно, ϕ(x) — неотрицательная суще-
ственно ограниченная на A функция, для которой в случае, когда множество A не
ограниченное, предполагается, что
lim
|x|→∞
ϕ(x) = 0.
Тогда при любом σ < a выполняется равенство
Eσ(ϕ) = sup
h∈U+
1
inf
γσ∈Γσ
∫
A
ϕ(x)h(x) dµ −
∫
γσ∈Γσ
ϕ(x)h(x) dµ
=
= sup
σ<q≤a
q − σ∫ q
0
dt
ϕ(t)
, (3.14)
где Γσ = Γσ(A) — множество всех µ-измеримых подмножеств γσ из A, мера
которых равна σ, а ϕ(t) — убывающая перестановка функции ϕ(x).
Точная верхняя грань в правой части (3.14) достигается при некотором конеч-
ном значении q = q∗.
Полагая ϕ(x) = |Ψ(x)|p и объединяя соотношения (3.12) – (3.14), получаем
соотношение (3.11).
Заметим теперь, что знак строгого неравенства в (3.11) может быть только
в том случае, когда такой же знак будет в (3.13). Строгое неравенство в (3.11)
возможно только из-за того, что не каждая функция y ∈ Up имеет свой прообраз в
UpΦ, обладающий к тому же Ψ-интегралом. Однако в случае, когда E(Φ) = Lp(A),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 61
такого быть не может: для любого y ∈ Up существует свой прообраз, в силу
ограниченности Ψ произведение Ψ(t)y(t) принадлежитLp(A, dµ) и, следовательно,
также имеет свой прообраз в SpΦ, а точнее, в ΨUpΦ. Таким образом, в этом случае
соотношение (3.11) является равенством.
4. Экстремальные задачи в пространствах Sp,µ
ϕ . К настоящему времени
наиболее полные и окончательные результаты получены для пространств Sp,µϕ .
Здесь дается краткий обзор полученных ранее результатов, связанных с наилуч-
шими приближениями и поперечниками множеств, соответствующих множествам
ΨUpΦ, и устанавливаются новые утверждения для этих величин в ряде еще не рас-
смотренных случаев. Пространства Sp,µϕ уже упоминались в п. 1. Однако с целью
полноты и строгости изложения здесь приводятся все необходимые для дальней-
шего определения.
4.1. Пространства S
p,µ
ϕ
. Пусть X — некоторое линейное комплексное про-
странство и ϕ = {ϕk}∞k=1 — фиксированная счетная система в нем. Предположим,
что любой паре элементов x, y ∈ X, в которой хотя бы один из векторов принадле-
жит ϕ, поставлено в соответствие число (x, y) — „скалярное произведение” — так,
что выполняются условия:
1) (x, y) = (y, x), где z — число, комплексно-сопряженное c z;
2) (λx1 + νx2, y) = λ(x1, y) + ν(x2, y), λ, ν — произвольные числа;
3) (ϕk, ϕl) =
{
0, k 6= l,
1, k = l.
Пусть, далее, µ = {µk}∞k=1 — некоторая система неотрицательных чисел, µk ≥ 0
k ∈ N = {1, 2, . . .}.
Каждому элементу x ∈ X сопоставим систему чисел x̂(k) = x̂ϕ(k) посредством
равенств
x̂(k) = x̂ϕ(k) = (x, ϕk), k ∈ N,
и при данном фиксированном p ∈ (0,∞) положим
S
p,µ
ϕ
= S
p,µ
ϕ
(X) =
{
x ∈ X :
∞∑
k=1
|µkx̂ϕ(k)|
p
<∞
}
.
Элементы x, y ∈ S
p,µ
ϕ
считаются тождественными, если при всех k ∈ N x̂ϕ(k) =
= ŷϕ(k). Таким образом, множество S
p,µ
ϕ
порождается пространством X, системами
ϕ и µ, операцией (·, ·) и числом p.
В случае, когда µk ≡ 1, k ∈ N, множества S
p,µ
ϕ
, как уже отмечалось, совпадают
с множествами S
p
ϕ
, которые введены и изучались в [14 – 23]; в общем случае они
впервые рассматривались в [20].
Для произвольных векторов x, y ∈ X определим ϕ, µ-расстояние между ними с
помощью равенства
ρ(x, y)p,µ
df= ‖x− y‖p,µ = ‖x− y‖p,µ,ϕ =
( ∞∑
k=1
∣∣∣∣x̂ϕ(k)− ŷϕ(k)
∣∣∣∣p µpk
)1
p
.
Нулевым элементом пространства S
p,µ
ϕ
называется вектор θ, для которого θ̂ϕ(k) = 0
при всех k ∈ N. Расстояние ρ(θ, x)
p,µ
, x ∈ Sp,µ
ϕ
, называется ϕ, µ-нормой элемента
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
62 А. И. СТЕПАНЕЦ
x и обозначается через ‖x‖
p,µ
. Таким образом, по определению,
‖ x‖p,µ = ‖ x‖
p,µ,ϕ
= ρ(θ, x)
p,µ
=
( ∞∑
k=1
∣∣∣∣µkx̂ϕ(k)
∣∣∣∣p
)1
p
. (4.1)
В [20] показано, что множество S
p,µ
ϕ
— линейное пространство с теми же операци-
ями сложения и умножения числа векторов, которые определены во всем X.
Если в системе µ все числа µk отличны от нуля, то равенство ‖x‖
p,µ
= 0 воз-
можно только при x = θ. Отсюда вытекает, что при p ≥ 1 и µk > 0, k ∈ N,
функционал ‖ · ‖p,µ , определяемый равенством (4.1) удовлетворяет всем аксиомам
нормы, а при p ∈ (0, 1) — квазинормы. Поэтому если µk > 0, k ∈ N, то при
p ≥ 1 S
p,µ
ϕ
— линейное нормированное пространство, а при p ∈ (0, 1) — простран-
ство с квазинормой, содержащее ортогональную систему ϕ = {ϕk}∞k=1, причем
‖ϕk‖p,µ = µk.
Пусть теперь f — произвольный элемент пространства S
p,µ
ϕ
и
S[ f ]ϕ =
∞∑
k=1
f̂ϕ(k)ϕk (4.2)
— его формальный ряд по системе ϕ.
Пространства S
p,µ
ϕ
наследуют важнейшие свойства сепарабельных гильберто-
вых пространств — равенство Парсеваля в виде соотношения (4.1) и минимальное
свойство частных сумм Фурье, которые формулируются следующим образом.
Предложение 4.1. Пусть {gα} — семейство ограниченных подмножеств
множества N, зависящих от параметра α и таких, что любое число n ∈ N
принадлежит всем множествам {gα} с достаточно большими индексами α.
Пусть, далее, f ∈ Sp,µ
ϕ
, p ∈ (0,∞), и
Sα(f) = Sgα(f) =
∑
k∈gα
f̂(k)ϕk
— частная сумма ряда Фурье S[f ]ϕ элемента f, соответствующая множеству
{gα}. Тогда среди всех сумм вида
Φα =
∑
k∈gα
ckϕk
наименее уклоняется от f в пространстве S
p,µ
ϕ
частная сумма Sα(f), т. е.
inf
ck
‖f − Φα‖p,µ = ‖f − Sα(f)‖
p,µ
.
При этом
‖f − Sα(f)‖
p
p,µ
= ‖f‖
p
p,µ
−
∑
k∈gα
∣∣∣∣µkf̂(k)
∣∣∣∣p
и
lim
α→∞
‖f − Sα(f)‖p,µ = 0.
Ясно, что это утверждение является перефразировкой предложения 2.1. Отсюда
вытекает следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 63
Предложение 4.1′. Пусть f ∈ Sp,µ
ϕ
, p ∈ (0,∞), и
Sn(f) = Sn(f)ϕ =
n∑
k=1
f̂(k)ϕk, n ∈ N,
— частная сумма ряда (4.2). Тогда среди всех сумм вида
Φn =
n∑
k=1
ck ϕk
при данном n ∈ N наименее уклоняется от f в пространстве S
p,µ
ϕ
частная сумма
Sn(f), т. е.
inf
ck
‖f − Φn‖p,µ = ‖f − Sn(f)‖p,µ .
При этом
‖f − Sn(f)‖
p
p,µ
= ‖f‖
p
p,µ
−
n∑
k=1
∣∣∣∣µkf̂(k)
∣∣∣∣p
и
lim
n→∞
‖f − Sn(f)‖p,µ = 0. (4.3)
Из (4.3) следует, что для любого элемента f ∈ Sp,µϕ его ряд Фурье (4.2) по
системе ϕ сходится к f по норме пространства Sp,µϕ , т. е. система ϕ полна в Sp,µϕ
и Sp,µϕ сепарабельно.
4.2. ψ-Интегралы. Выделим в пространствах Sp,µϕ объекты приближения —
объединения элементов f ∈ X, соответствующих в теории аппроксимаций понятию
класса функций и отвечающих множествам ΨUpΦ.
Пусть ψ = {ψk}∞k=1 — произвольная система комплексных чисел. Если для
данного элемента f ∈ X, ряд Фурье которого имеет вид (4.2), существует элемент
F ∈ X, для которого
S[ f ]ϕ =
∞∑
k=1
ψk f̂(k)ϕk, (4.4)
т. е. когда
F̂ϕ(k) = ψk f̂(k), k ∈ N, (4.5)
то вектор F называется ψ-интегралом вектора f. В таком случае записываем
F = J ψf. Если N — некоторое подмножество из X, то через ψN обозначается
множество ψ-интегралов всех элементов из N. В частности, ψSp,µϕ — множество
ψ-интегралов всех векторов, принадлежащих данному пространству Sp,µϕ .
Если f и F связаны соотношением (4.4) или (4.5), то иногда удобно f называть
ψ-производной элемента F и писать f = D ψF = F ψ.
В дальнейшем предполагается, что система ϕ подчинена условию
lim
k→∞
|ψk| = 0. (4.6)
Ясно, что это условие обеспечивает включение ψSp,µϕ ⊂ Sp,µϕ и для такого вклю-
чения необходимым и достаточным является условие ограниченности множества
чисел |ψk|, k ∈ N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
64 А. И. СТЕПАНЕЦ
Пусть
Up,µϕ =
{
f ∈ Sp,µϕ : ‖f‖p,µ ≤ 1
}
(4.7)
— единичный шар в данном пространстве Sp,µϕ и ψ Up,µϕ — множество ψ-интегралов
всех элементов из Up,µϕ . Множества ψ Up,µϕ и являются основными объектами, чьи
аппроксимационные характеристики здесь изучаются. Заметим, что если
ψk 6= 0 ∀k ∈ N,
то в силу (4.6) и (4.8)
ψ Up,µϕ =
{
f ∈ Sp,µϕ :
∞∑
k=1
∣∣∣∣µk f̂(k)
ψk
∣∣∣∣p ≤ 1
}
, (4.7′)
т. е. множество ψ Up,µϕ является p-эллипсоидом в пространстве Sp,µϕ с полуосями,
равными |ψk|.
4.3. Приближающие агрегаты и аппроксимационные характеристики. Кон-
струкция агрегатов, используемых для приближения элементов f ∈ Sp,µϕ , опреде-
ляется характеристическими последовательностями ε(ψ), g(ψ) и δ(ψ) системы ψ,
которые задаются следующим образом.
Пусть ψ = {ψk}∞k=1 — произвольная система комплексных чисел, удовлетво-
ряющая условию (4.6). Тогда через ε(ψ) = ε1, ε2, . . . обозначается множество
значений величин |ψk|, упорядоченное по их убыванию, через g(ψ) = g1, g2, . . . —
система множеств
gn = gψn = {k ∈ N : |ψk | ≥ εn}
и через δ(ψ) = δ1, δ2, . . . — последовательность чисел δn = |gn|, где |gn| — количе-
ство чисел k ∈ N, содержащихся во множестве gn. Последовательности ε(ψ), g(ψ)
и δ(ψ) называются характеристическими для системы ψ. Заметим, что при таком
определении любое число n∗ ∈ N принадлежит всем множествам gψn с достаточно
большими номерами n и
lim
k→∞
δk = ∞.
В дальнейшем удобно через g0 = gψ0 обозначать пустое множество и считать, что
δ0 = 0.
Пусть множество Sp,µϕ порождается пространством X, системами ϕ, µ и числом
p, p > 0, и ψ = {ψk}∞k=1 — произвольная система комплексных чисел, удовлетво-
ряющая условию (4.6).
В качестве приближающих агрегатов для элементов f ∈ ψ Sp,µϕ будем рассмат-
ривать полиномы
Sn(f)ϕ,ψ = Sgψn (f) =
∑
k∈gψn
f̂(k)ϕk, n = 1, 2, . . . , S0(f)ϕ,ψ = θ, (4.8)
где gψn — элементы последовательности g(ψ), θ — нулевой вектор пространства
Sp,µϕ . При этом полагаем
En(f)ψ,p,µ = ‖ f − Sn−1(f)ϕ,ψ‖p,µ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 65
En(ψ Uq,µϕ )ψ,p,µ = sup
f∈ψ Uq,µϕ
En(f)ψ,p,µ, p, q > 0. (4.9)
Величина En(f)ψ,p,µ называется приближением элемента f ∈ Sp,µϕ суммами
Фурье, построенными по областям gψn−1, а En(ψ Uq,µϕ )ψ,p,µ — приближением мно-
жества ψ Uq,µϕ такими суммами в пространстве Sp,µϕ . Пусть, далее,
En(f)ψ,p,µ = inf
ck
∥∥∥∥∥ f − ∑
k∈gψn−1
ck ϕk
∥∥∥∥∥
p,µ
— наилучшее приближение элемента f ∈ ψ Sp,µϕ полиномами, построенными по
областям gψn−1, и
En(ψ Uq,µϕ )ψ,p,µ = sup
f∈ψ Uq,µϕ
En(f)ψ,p,µ, p, q > 0, (4.10)
— наилучшее приближение множества ψ Uq,µϕ такими полиномами.
Как обычно,
dn(M;Y ) = inf
Fn∈Fn
sup
x∈M
inf
u∈Fn
‖x− u‖Y
— поперечник по Колмогорову множества M в пространстве Y. Здесь Fn — мно-
жество всех подпространств размерности n ∈ N пространства Y. Согласно нера-
венству Иенсена, для любой неотрицательной последовательности a = {ak}∞k=1,
ak ≥ 0, ( ∞∑
k=1
apk
)1
p
≤
( ∞∑
k=1
aqk
)1
q
, 0 < q ≤ p.
Поэтому справедливы включения
S q,µϕ ⊂ S p,µϕ , 0 < q ≤ p, (4.11)
и
ψ Uq,µϕ ⊂ ψ Up,µϕ , 0 < q ≤ p. (4.12)
Отсюда, в частности, заключаем, что величины (4.9) и (4.10) корректно опреде-
лены, по крайней мере, для всех систем ψ, удовлетворяющих условию (4.6), в
предположении, что 0 < q ≤ p.
4.4. Наилучшие приближения и поперечники q-эллипсоидов. Справедливо
следующее утверждение.
Теорема 4.1. Пусть ψ = {ψk}∞k=1 — система чисел, удовлетворяющая условию
(4.6). Тогда при любых n ∈ N и 0 < q ≤ p <∞ выполняются соотношения
En(ψ Uq,µϕ )ψ,p,µ ≤ En(ψ Uq,µϕ )ψ,p,µ ≤ εn. (4.13)
Если при этом
µk 6= 0 и ψk 6= 0 ∀k ∈ N, (4.14)
то в (4.13) знаки неравенств заменяются знаками равенств. Величина εn — n-й
член характеристической последовательности ε(ψ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
66 А. И. СТЕПАНЕЦ
Построенные по областям gψn частные суммы вида (4.8) являются оптимальным
аппаратом приближения элементов из множеств ψ Uq,µϕ в смысле колмогоровских
поперечников. Точнее, справедлива следующая теорема.
Теорема 4.2. Пусть ψ = {ψk}∞k=1 и µ = {µk}∞k=1 удовлетворяют условиям
(4.6) и (4.14) и
dν
(
ψ Up,µϕ
)
p,µ
= dν(ψ Up,µϕ ;S p,µϕ ) =
= inf
Fn∈Fn
sup
f∈ψ Up,µϕ
inf
u∈Fn
‖f − u‖p,µ, ν = 0, 1, . . . ,
— поперечники по Колмогорову множеств ψ Up,µϕ в пространстве Sp,µϕ . Тогда при
любых p ∈ [1,∞) и n ∈ N выполняются равенства
dδn−1(ψ U
p,µ
ϕ ) p,µ = dδn−1+1(ψ Up,µϕ ) = . . . = dδn−1(ψ Up,µϕ ) p,µ = εn,
в которых δs и εs, s = 1, 2, . . . , — элементы характеристических последователь-
ностей δ(ψ) и ε(ψ) системы ψ, а δ0 = 0.
Пусть теперь наряду с числами p, q и последовательностью µ = {µk}∞k=1 задана
последовательность λ = {λk}∞k=1 неотрицательных чисел, среди которых имеется
хотя бы одно отличное от нуля. По данному пространству X и системе ϕ построим
множества Sp,µϕ и Sq,λϕ . Если 0 < q ≤ p и последовательности λ и µ совпадают,
то справедливы включения (4.11) и (4.12). Ясно также, что при любом p ∈ (0,∞)
будет выполняться включение
S p,λϕ ⊂ S p,µϕ
при условии, что
λk ≥ Cµk ∀k ∈ N,
где C — любая положительная постоянная. Поэтому справедливо включение
S q,λϕ ⊂ S p,µϕ ∀p, q, 0 < q ≤ p, λk ≥ Cµk ∀k ∈ N.
Получим аналоги теорем 4.1 и 4.2 в случае, когда приближаемые элементы нахо-
дятся в пространстве S q,λϕ , а приближение ищется в пространстве S p,µϕ . В этом
случае приближающие агрегаты будут строиться опять согласно формулам (4.8),
только в качестве последовательности ψ, входящей в определение областей gψn и
последовательности ε(ψ), будет использоваться последовательность
ψ′ = {ψ′k}∞k=1 =
{
ψk
µk
λk
}∞
k=1
, (4.15)
в которой числа ψk, k ∈ N, те же, что и в определении приближаемых множеств
ψ Uq,λϕ .
Теорема 4.1′. Пусть ψ = {ψk}∞k=1, µ = {µk}∞k=1 и λ = {λk}∞k=1 — фиксиро-
ванные последовательности, подчиняющиеся условию
lim
k→∞
ψk
µk
λk
= 0. (4.16)
Тогда при любых n ∈ N и 0 < q ≤ p выполняются соотношения
En(ψ Uq,λϕ )ψ′,p,µ ≤ En(ψ Uq,λϕ )ψ′,p,µ ≤ ε′n, (4.17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 67
где
En(ψ Uq,λϕ )ψ′,p,µ = sup
f∈ψ Uq,λϕ
En(f)ψ′,p,µ,
En(f)ψ′,p,µ = inf
ck
∥∥∥∥∥ f − ∑
k∈gψ
′
n−1
ck ϕk
∥∥∥∥∥
p,µ
,
и
En(ψ Uq,λϕ )ψ′,p,µ = sup
f∈ψ Uq,λϕ
En(f)ψ′,p,µ,
En(f)ψ′,p,µ = ‖f − Sn−1(f)ϕ,ψ′‖ p,µ, (4.18)
ε′n и gψ
′
n−1 — члены характеристической последовательности системы (4.15). Если
при этом выполнены условия (4.14), то в (4.17) знаки неравенств заменяются
знаками равенств.
Для колмогоровских поперечников в этом случае выполняется следующий ана-
лог теоремы 4.2.
Теорема 4.2′. Пусть системы ψ = {ψk}∞k=1 и µ = {µk}∞k=1 удовлетворяют
условиям (4.6) и (4.14). Тогда для любой последовательности λ = {λk}∞k=1, для
которой выполняется условие (4.16), при любых p ∈ [1,∞) и n ∈ N справедливы
равенства
dδ′n−1(ψ U
p,λ
ϕ ) p,µ = dδ′n−1+1(ψ Up,λϕ )p,µ = . . . = dδ′n−1(ψ Up,λϕ ) p,µ = ε′n, (4.19)
в которых δ′s и ε′s, s = 1, 2, . . . , — элементы характеристических последователь-
ностей δ(ψ′) и ε(ψ′) системы (4.15), а δ′0 = 0.
4.5. Величины Dn(ψUq,λ
ϕ )p,µ. Пусть x = {xk}∞k=1 — произвольная по-
следовательность комплексных чисел, ε(x) = {εk(x)}∞k=1, g(x) = {gk(x)}∞k=1 и
δ(x) = {δk(x)}∞k=1 — ее характеристические последовательности. Обозначим через
x = {xk}∞k=1 перестановку последовательности {|xk|}∞k=1 в убывающем порядке.
Ясно, что значения xk, k ∈ N, можно определить согласно формулам
xk = εn(x), k ∈ (δn−1(x), δn(x)], n ∈ N, δ0 = 0.
В этих обозначениях равенство (4.19) принимает вид
dn(ψ Up,λϕ ) p,µ = ψ′n+1, n ∈ N, (4.19′)
где ψ′n — n-й член последовательности ψ′. Пусть, далее, γn — любой набор из n
натуральных чисел и Fn — множество всех полиномов вида
Pγn =
∑
k∈γn
ck ϕk, (4.20)
где ck — некоторые комплексные числа. В силу определения понятия поперечника
из (4.19′) заключаем, что всегда
inf
γn
sup
f∈ψ Up,λϕ
inf
Pγn∈Fn
‖f − Pγn‖p,µ ≥ ψ′n+1, (4.21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
68 А. И. СТЕПАНЕЦ
а из теоремы 4.1′ следует, что при выполнении условий (4.14) соотношение (4.21)
на самом деле является равенством. В связи с этим в принятых здесь обозначениях
для любого подмножества N ⊂ X положим
Dn(N)p,µ = inf
γn
sup
f∈N
inf
Pγn∈Fn
‖f − Pγn‖ p,µ. (4.22)
Тогда доказанное соотношение можно записать в виде
Dn(ψ Uq,λϕ ) p,µ = ψ′n+1, p = q.
(Понятно, что величина Dn(ψ Uq,λϕ ) соответствует величине, определенной соот-
ношением (3.5).)
Оказывается, что это соотношение остается в силе и при 0 < q < p. Точнее,
справедлива следующая теорема.
Теорема 4.3. Пусть ψ = {ψk}∞k=1, µ = {µk}∞k=1 и λ = {λk}∞k=1 — произвольные
системы чисел, удовлетворяющих условию
lim
k→∞
ψk
µk
λk
= 0. (4.23)
Пусть, далее, γn — любой набор из n натуральных чисел, q и p — любые положи-
тельные числа, 0 < q ≤ p. Тогда при любом n ∈ N
Dn(ψ Uq,λϕ ) p,µ = inf
γn
sup
f∈ψ Uq,λϕ
inf
Pγn∈Fn
‖f − Pγn‖p,µ = ψ′n+1, (4.24)
где ψ′n+1 — (n+ 1)-й член последовательности ψ′ = {ψk}∞k=1, являющейся пере-
становкой в убывающем порядке последовательности
|ψ′k| =
∣∣∣∣∣ψk µkλk
∣∣∣∣∣, k = 1, 2, . . . .
Доказательства теорем 4.1 – 4.3 приведены в [20]; в случае, когда µk = λk ≡ 1,
эти утверждения установлены в [ 14 – 16]. В [20] показано, что внутренняя нижняя
грань в (4.24) реализуется полиномами вида (4.20) при ck = f̂(k), а внешняя
— множеством γ∗n = {ik}nk=1, где значения ik, k = 1, n, такие, что |ψ′ik | = ψ′k.
Поэтому справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.3′. Пусть выполняются все условия теоремы 4.3. Тогда при любом
n ∈ N
Dn(ψ Uq,λϕ ) p,µ = sup
f∈ψ Uq,λϕ
∥∥∥∥∥∥f −
∑
k∈γ∗n
f̂(k)ϕk,
∥∥∥∥∥∥
p,µ
= ψ′n+1, (4.25)
где γ∗n = {ik}nk=1 и значения ik, k = 1, n, таковы, что∣∣∣∣∣ψik µikλik
∣∣∣∣∣ = ψ′k.
Объединяя (4.25) и (4.19′), видим, что значения поперечников dn(ψ Up,λϕ ) p,µ
в случае приближения элементов f ∈ ψ Up,λϕ в пространстве Sp,µϕ реализуются
суммами Фурье, построенными именно по областям γ∗n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 69
Отметим, что в случае приближения периодических функций тригонометри-
ческими полиномами величинам Dn(N)p,µ соответствуют так называемые триго-
нометрические поперечники. Поэтому эти величины можно назвать, к примеру,
базисными поперечниками порядка n множества N в пространстве Sp,µϕ , и тогда
из теоремы 4.3′ следует, что значения базисных поперечников Dn(ψ Uq,λϕ ) p,µ в
случае, когда 0 < q ≤ p, также реализуются суммами Фурье, построенными по
областям γ∗n.
4.6. Наилучшие приближения q-эллипсоидов в пространствах Sp,µ
ϕ при
q > p. Получим аналог теоремы 4.1′ ( а следовательно, и теоремы 4.1) в случае,
когда 0 < p < q <∞. В этом случае условия (4.16) не достаточны для включения
ψ Uq,λϕ ⊂ Sp,µϕ .
Такое включение на этот раз обеспечивают условия
∞∑
k=1
|ψ′k|p q/(q−p) <∞, ψ′k = ψk
µk
λk
, k ∈ N, (4.26)
в чем нетрудно убедиться с помощью неравенства Гельдера.
Теорема 4.4. Пусть ψ, µ и λ — последовательности, p и q — неотрицательные
числа, q > p > 0, удовлетворяющие условию (4.26).
Тогда при любом натуральном n справедливо равенство
En(ψ Uq,λϕ )ψ′,p,µ = En(ψ Uq,λϕ )ψ′,p,µ =
∞∑
k=δ′n−1+1
(ψ′k)
p q
q−p
q−p
p q
, (4.27)
где ψ′ = {ψk}∞k=1 — последовательность, для которой
ψ′k = ε′k, δ′n−1 < k ≤ δ′n, n ∈ N,
ε′n и δ′n — члены характеристических последовательностей ε(ψ′) и δ(ψ′).
В случае, когда µk = λk ≡ 1, эта теорема доказана в [18], § 11.8. Используемые
там рассуждения по существу пригодны и в общем случае.
Доказательство. Первое из равенств в (4.27) являяется следствием предложе-
ния 4.1, поэтому достаточно убедиться в справедливости второго из этих равенств.
Пусть ε′n, δ′n и g′n = gn(ψ′) = {k ∈ N : |ψ′k| ≥ ε′n} — характеристические
последовательности системы ψ′,
Sn(f)ϕ,ψ′ = S
gψ
′
n
=
∑
k∈gψ
′
n
f̂ϕ(k)ϕk
— полиномы, построенные согласно (4.8) для элементов f ∈ ψUq,λϕ . Тогда с учетом
формул (4.9) имеем
Epn(f)ψ′,p,µ = ‖f − Sn−1(f)ϕ,ψ′‖pp,µ =
∑
k∈ gψ
′
n−1
|µk f̂ϕ(k)|p =
=
∑
k∈ gψ
′
n−1
|ψk|p |µk f̂ ψϕ (k)|p =
∑
k∈ gψ
′
n−1
|ψ′k|p |f̂ ψϕ (k)|pλpk. (4.28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
70 А. И. СТЕПАНЕЦ
Обозначим через ik, k = 1, 2, . . . , натуральные числа, выбранные из условия
|ψ′ik | = ψ′k, где ψk = ε′k при k ∈ (δ′n−1, δ
′
n]. (4.29)
Тогда (4.28) можно переписать в виде
Epn(f)ψ′,p,µ =
∑
k=δ′n−1+1
∣∣∣ψ′k f̂ ψϕ (ik)λik
∣∣∣p . (4.30)
Положим
mk = |f̂ ψϕ (ik)λik |q. (4.31)
В таком случае
λpik |f̂
ψ
ϕ (ik)|p = mk
p/q
и, следовательно,
Epn(f)ψ′,p,µ =
∞∑
k=δ′n−1+1
(ψ′k)pmr
k, r =
p
q
.
Если f ∈ ψ Uq,λϕ , то
∞∑
k=1
|λk f̂ ψϕ (k)|p ≤ 1.
Поэтому, принимая во внимание соотношения (4.18), (4.31) и (4.30), находим
Epn(ψ Uq,λϕ )ψ′,p,µ ≤ sup
{ ∞∑
k=δ′n−1+1
(ψ′k)pmr
k, r =
p
q
,
∞∑
k=1
mk ≤ 1
}
. (4.32)
Если положить (ψ′k)p = αk, то условие (4.26) запишется в виде
∞∑
k=1
α
1
1−r
k <∞, αk > 0 ∀k ∈ N. (4.33)
Следовательно, нахождение значения правой части (4.32) сводится к решению экс-
тремальной задачи
∞∑
k=δ′n−1+1
αk x
r
k → sup (4.34)
при условиях xk ≥ 0,
∑
k=δn−1+1
xk = 1, а числа αk образуют невозрастающую
последовательность и удовлетворяют условию (4.33).
Решения xk такой задачи получены в [18], § 11.8. Они имеют вид
xk = α
1
1−r
k
∞∑
i=δ′n−1+1
α
1
1−r
i
−1
, k = δ′n−1 + 1, δ′n−1 + 2, . . . . (4.35)
Объединяя соотношения (4.32) – (4.35), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 71
Epn(ψ Uq,λϕ )ψ′,p,µ ≤
∞∑
k=δ′n−1+1
αkx
r
k =
∞∑
k=δ′n−1+1
α
1
1−r
k
1−r
=
=
∞∑
k=δ′n−1+1
(ψ′k)
p q
q−p
q−p
p q
,
и для завершения доказательства теоремы остается показать, что это соотношение
на самом деле является равенством. Для этого достаточно показать, что во мно-
жестве ψ Uq,λϕ при любом ε > 0 найдется элемент fε, для которого выполняется
неравенство
En(fε)ψ′,p,µ >
∞∑
k=δ′n−1+1
(ψ′k)
p q
q−p
q−p
p q
− ε. (4.36)
Построим такой элемент, придерживаясь схемы, изложенной в [18], § 11.8.
Пусть
h =
∞∑
k=1
cik ϕik ,
где числа ik выбраны согласно (4.29), а числа cik такие, что
cqik λ
q
ik
=
0, k = 1, 2, . . . , δ′n−1,
α
1
1−r
k σ−1
2 (δ′n−1), k > δ′n−1,
σ2(s) =
∞∑
i=s
α
1
1−r
i .
Ясно, что
‖h‖q,λ =
∞∑
k=1
cqik λ
q
ik
= 1. (4.37)
Пусть теперь ε — любое положительное число и Nε настолько велико, что при всех
n > Nε выполняется неравенство
σ−r2 (δ′n−1)
∞∑
k=Nε+1
α
1
1−r
k < ε.
Элемент
hε =
Nε∑
k=1
cik ϕik
в силу (4.37) принадлежит Uqϕ, поэтому элемент fε = J ψ hε принадлежит ψ Uqϕ.
Вычисляя согласно (4.9) значение En(fε)ψ′,p,µ, убеждаемся в справедливости оцен-
ки (4.36), и тем самым завершаем доказательство теоремы 4.4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
72 А. И. СТЕПАНЕЦ
4.7. Величины Dn(ψUq,λ
ϕ ) p,µ при q > p > 0. Найдем аналоги теорем
4.3 и 4.3′ в случае, когда q > p > 0. Пусть, как и ранее, γn — любой набор из n
натуральных чисел и Fn — множество всех полиномов вида (4.20),
Eγn(f) p,µ = inf
Pγn∈Fn
‖f − Pγn‖p,µ, f ∈ Sp,µϕ , (4.38)
— наилучшее приближение элемента f посредством полиномов, построенных по
заданному набору γn из n базисных векторов,
Eγn(f)p,µ = ‖ f − Sγn(f)‖p,µ, Sγn(f) =
∑
k∈γn
f̂ϕ(k)ϕk, (4.38′)
Eγn(N) p,µ = sup
f∈N
Eγn(f) p,µ
— верхняя грань величин Eγn(f) p,µ на некотором подмножестве N из Sp,µϕ и
Eγn(N) = sup
f∈N
Eγn(f) p,µ.
В таких обозначениях величинаDn(ψ Uq,λϕ ) p,µ, определяемая соотношением (4.22),
запишется в виде
Dn(ψ Uq,λϕ ) p,µ = inf
γn
Eγn(ψ Uq,λϕ ) p,µ. (4.39)
Введем еще некоторые обозначения. Если ψ = {ψk}∞k=1 = {ψ(k)}∞k=1 — некоторая
система комплексных чисел, µ = {µk}∞k=1 и λ = {λk}∞k=1 — системы неотрица-
тельных чисел и γn — фиксированный набор из n натуральных чисел, то будем
полагать
ψγn = {ψγn(k)}∞k=1,
где
ψγn(k) =
0, k ∈ γn,
ψk = ψ(k), k∈γn,
ψ′ = {ψ′(k)}∞k=1, ψ′(k) = ψ′k = ψk
µk
λk
, (4.40)
ψ′γn = {ψ′γn(k)}∞k=1, (4.41)
где
ψ′γn(k) =
0, k ∈ γn,
ψ′k, k∈γn.
В принятых обозначениях справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.5. Пусть числа p, q и последовательности ψ, µ и λ такие, что
q > p > 0 и выполняется условие (4.26).
Тогда при любом натуральном n выполняется равенство
Eγn(ψ Uq,λϕ ) p,q = Eγn(ψ Uq,λϕ ) p,q =
( ∞∑
k=1
(ψ′γn(k))
p q
q−p
)q−p
p q
, (4.42)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 73
где ψ′γn(k), k ∈ N, — перестановка в убывающем порядке последовательности
|ψ′γn(k)|, k ∈ N.
Доказательство. Прежде всего заметим, что равенство (4.27) является част-
ным случаем (4.42). Действительно, пусть gψ
′
n−1 — (n− 1)-й член характеристиче-
ской последовательности областей gψ
′
k для системы ψ′, т. е.
gψ
′
n−1 = {k ∈ N : |ψ′(k)| ≥ εn−1}, (4.43)
и n′
df= δ′n−1 = |gψ
′
n−1| — количество натуральных чисел, содержащихся в gψ
′
n−1.
Выберем набор γ ∗n′ из условия γ ∗n′ = gψ
′
n−1. В таком случае, согласно (4.40) и (4.41),
будем иметь
ψ′γ∗
n′
(k) = ψ′(k + n′), k = 1, 2, . . . . (4.44)
Следовательно, в силу (4.43), (4.44) и (4.27)
Eγ∗
n′
(ψ Uq,λϕ ) p,q = Eγ∗
n′
(ψ Uq,λϕ ) p,q =
( ∞∑
k=n′+1
(ψ′(k))
p q
q−p
)q−p
p q
= En(ψ Uq,λϕ )ψ′ p,µ.
Таким образом,
Eγ∗δn−1
(ψ Uq,λϕ ) p,q = Eγ∗δn−1
(ψ Uq,λϕ ) p,q =
= En(ψ Uq,λϕ )ψ′ p,µ = En(ψ Uq,λϕ )ψ′ p,µ.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 4.4, поэтому
остановимся только на его узловых моментах. В силу предложения 4.1 доста-
точно доказать только второе из равенств в (4.42). С этой целью сначала с учетом
(4.38′) и (4.41) запишем аналог равенства (4.28):
Epγn(f) p,µ =
∑
k∈ γn
|µkf̂ϕ(k)|p =
∑
k∈ γn
|ψ′k|p |f̂ ψϕ (k)|p λpk =
=
∞∑
k=1
|ψ′γn(k)|p | f̂ ψ(k)|p λpk (4.45)
и через ik, k ∈ 1, 2, . . . , обозначим натуральные числа, выбранные из условия
ψ′γn(ik) = ψ′γn(k), k = 1, 2, . . . .
Тогда (4.45) перепишется в виде
Epγn(f) p,µ =
∞∑
k=1
|ψ′γn(k) f̂ ψϕ (ik)λik |p.
Выполняя замену (4.31), получаем аналог неравенства (4.32):
Epγn(ψ Uq,λϕ ) p,µ ≤ sup
{ ∞∑
k=1
(ψ′γn(k))pmr
k, r =
p
q
,
∞∑
k=1
mk ≤ 1
}
,
после чего доказательство этой теоремы завершается фактически повторением со-
ответствующих рассуждений из доказательства теоремы 4.4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
74 А. И. СТЕПАНЕЦ
Рассматривая нижние грани обеих частей равенства (4.42) по всевозможным
наборам γn из n натуральных чисел, видим, что точная нижняя грань правой части
(4.42) реализуется набором γ∗n, который определяется соотношением
γ∗n = {ik ∈ N : |ψ′ik | = |ψ′ik |, k = 1, 2, . . . , n}, n = 1, 2, . . . .
Согласно (4.40) и (4.41)
ψ′γ∗n(k) = ψ′(k + n), k = 1, 2, . . . .
Поэтому в силу (4.39)
Dn(ψ Uq,λϕ ) p,µ =
( ∞∑
k=1
(ψ′γ∗n(k))
p q
q−p
)q−p
p q
=
( ∞∑
k=n+1
(ψ′(k))
p q
q−p
)q−p
p q
.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.6. Пусть числа p, q и последовательности ψ, µ и λ такие, что q >
> p > 0 и выполняется условие (4.26). Тогда при любом натуральном n выполня-
ется равенство
Dn(ψ Uq,λϕ ) p,µ =
( ∞∑
k=n+1
(ψ′k)
p q
q−p
)q−p
p q
, (4.46)
в котором ψ′k, k ∈ N, — перестановка в убывающем порядке последовательности
{|ψ′k|}∞k=1.
Обратим внимание на то, что последовательность ψ′k, k ∈ N, в общем случае
является ступенчатой. Поэтому, в силу равенства (4.24), такой же характер имеет
и величина Dn(ψ Uq,λϕ ) p,µ при p ≥ q > 0. Если же p < q, то согласно (4.46), эта
величина строго убывает с ростом параметра n.
4.8. Наилучшие n-членные приближения. Пусть Sp,µϕ = Sp,µϕ (X) — про-
странство, определяющееся пространством X, системой ϕ, числом p > 0 и после-
довательностью µ. Пусть, далее, f ∈ Sp,µϕ и Eγn(f)p,µ — величина наилучшего
приближения элемента f посредством полиномов, построенных по заданному на-
бору γn из n базисных векторов, определяемая равенством (4.38). Величина
en(f)p,µ = inf
γn
E γn(f)p,µ (4.47)
называется наилучшим n-членным приближением элемента f в пространстве Sp,µϕ ,
а величина
en(N)p,µ = sup
f∈N
en(f)p,µ (4.48)
— наилучшим n-членным приближением подмножества N из Sp,µϕ в простран-
стве Sp,µϕ . Ясно, что величины en(f)p,µ и en(N)p,µ соответствуют величинам (3.1)
и (3.2).
Величины, аналогичные определяемым равенством (4.48), по-видимому, впер-
вые рассматривались С. Б. Стечкиным [37] и затем изучались в теории приближе-
ний периодических функций многими авторами (см., например, [38 – 50]).
В качестве множеств N будем рассматривать множества ψ Uq,λϕ ψ-интегралов
всех элементов из единичных шаров в пространствах S q,λϕ при условиях, обеспе-
чивающих включение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 75
S q,λϕ ⊂ S p,µϕ .
Теорема 4.7. Пусть p и q — действительные числа такие, что p ≥ q > 0; ψ, µ
и λ — последовательности, удовлетворяющие условию (4.23). Тогда при любом
n ∈ N выполняется равенство
epn(ψ U
q,λ
ϕ )p,µ = sup
l>n
(l − n)
(
l∑
k=1
(ψ′k)−q
)− p
q
= (l∗ − n)
(
l∗∑
k=1
(ψ′k)−q
)− p
q
,
где ψ′ = {ψ′k}∞k=1 — перестановка в убывающем порядке последовательности
|ψ′k| =
∣∣∣∣∣ψk µkλk
∣∣∣∣∣, k = 1, 2, . . . ,
а l∗ — некоторое натуральное число.
Эта теорема, а также теорема 4.8 в случае, когда µk = λk ≡ 1, k ∈ N, доказаны
в работах [14, 15] (см. также [18]). В общем случае они получены в [20]. Су-
щественной частью доказательства теоремы 4.7 является следующее утверждение,
доказанное в [14] (см. также [18]).
Лемма 4.1. Пусть α = {αk}∞k=1 — невозрастающая последовательность по-
ложительных чисел αk ≥ 0, k ∈ N, для которой
lim
k→∞
αk = 0,
и m = {mk}∞k=1 — последовательность неотрицательных чисел mk ≥ 0, k ∈ N,
удовлетворяющая условию
|m| =
∞∑
k=1
mk ≤ 1.
Пусть, далее, r — любое число, r ≥ 1,
S(r)(m) =
∞∑
k=1
αkm
r
k, S(r)
γn (m) =
∑
k∈γn
αkm
r
k,
где γn — произвольный набор из n натуральных чисел,
En(m) = Eα,rn (m) = S(r)(m)− sup
γn
S(r)
γn (m)
и
En = Eα,rn = sup
|m|≤1
Eα,rn (m).
Тогда для любого натурального n существует число l∗ > n такое, что
En = (l∗ − n)
(
l∗∑
k=1
α
−1/r
k
)−r
.
Число l∗ определяется равенством
sup
l>n
(l − n)
(
l∑
k=1
α
−1/r
k
)−r
= (l∗ − n)
(
l∗∑
k=1
α
−1/r
k
)−r
.
При этом для последовательности m′ = {m′k}∞k=1, у которой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
76 А. И. СТЕПАНЕЦ
m′k =
α
−1/r
k
(
l∗∑
i=1
α
−1/r
i
)−r
, k = 1, 2, . . . , l∗,
0, k > l∗,
выполняется равенство
En(m′) = (l∗ − n)
(
l∗∑
i=1
α
−1/r
i
)−r
.
В случае, когда q < p, справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.8. Пусть p и q — произвольные числа, причем q > p; ψ, µ и λ —
последовательности, для которых выполняется условие (4.26). Тогда при любом
n ∈ N выполняется равенство
epn(ψ U
q,λ
ϕ )p,µ = σ
− p
q
1
[
(s− n)
q
q−p + σ
q
q−p
1 σ2
]q−p
q
,
где
σ1 = σ1(s) =
s∑
k=1
(ψ′k)−q, σ2 = σ2(s) =
∞∑
k=s+1
(ψ′k)−pq/(q−p),
ψ′ = {ψ′k}∞k=1 — перестановка в убывающем порядке последовательности
|ψ′k| = |ψk
µk
λk
|, k = 1, 2, . . . ,
а число s выбрано из условия
(ψ′s)−q ≤
1
s− n
s∑
k=1
(ψ′k)−q < (ψ′s+1)−q.
Такое число s всегда существует и единственно.
Доказательство этой теоремы опирается на следующий аналог леммы 4.1,
полученной в [16] (см. также [18]).
Лемма 4.2. Пусть α = {αk}∞k=1 — невозрастающая последовательность по-
ложительных чисел αk ≥ 0, k ∈ N, для которой при данном r ∈ (0, 1)∑
k
α
1
1−r
k <∞,
и m = {mk}∞k=1 — последовательность неотрицательных чисел mk ≥ 0, n ∈ N,
удовлетворяющая условию
|m| =
∞∑
k=1
mk ≤ 1.
Пусть, далее, S(r)(n1), S
(r)
γn (m), En(m) и En — величины, определенные в лемме 4.1.
Тогда для любого натурального n
En = En(α; r) = σ−r1 (s)
[
(s− n)
1
1−r + σ
1
1−r
1 σ2(s)
]1−r
,
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 77
σ1(s) =
s∑
k=1
α
−1/r
k , σ2(s) =
s∑
k=s+1
α
1
1−r
k ,
число s выбрано из условия
a−1/r
s ≤ σ1(s)
s− n
≤ α
−1/r
s+1 , s > n.
Такое число s всегда существует и единственно.
Верхняя грань в соотношении
En = sup
|m|≤1
En(m)
реализуется последовательностью m = {mk}∞k=1, где
mk =
(
ts
αk
)1/r
, k = 1, 2, . . . , s,
1− t
1/r
s σ1(s)
σ2(s)
α
1/(1−r)
k , k > s,
ts =
(
σ1(s) +
(
σ1(s)
s− n
)1/(1−r)
σ2(s)
)−r
.
4.9. Наилучшие n-членные приближения с ограничениями. Пусть Γn —
множество всех наборов γn из n натуральных чисел.
В таком случае величину en(f)p,µ, определяемую равенством (4.47), можно
представить в виде
en(f)p,µ = inf
γn∈Γn
Eγn(f)p,µ.
Наряду с en(f)p,µ можно рассматривать и величины
en(f ; Γ′n)p,µ = inf
γn∈Γn′
Eγn(f)p,µ,
где Γn′ — некоторое собственное подмножество из Γn. В связи с этим величи-
ну en(f)p,µ удобно назвать абсолютным наилучшим n-членным приближением,
а величину en(f ; Γ′n)p,µ — наилучшим n-членным приближением с ограничения-
ми, имея в виду, что здесь термин „ограничение” относится к выбору подмноже-
ства Γ′n.
В качестве Γ′n будем рассматривать два подмножества: Γ(1)
n и Γ(2)
n . Через Γ(1)
n
обозначается множество наборов
γ(1)
n = {i n+ 1, i n+ 2, . . . , (i+ 1)n}, i = 0, 1, . . . ,
а через Γ(2)
n — множество наборов
γ(2)
n = {i+ 1, i+ 2, . . . , i+ n}, i = 0, 1, . . . .
Ясно, что всегда
Γ(1)
n ⊂ Γ(2)
n ⊂ Γn,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
78 А. И. СТЕПАНЕЦ
и поэтому выполняются неравенства
en(f)p,µ ≤ en(f ; Γ(2)
n )p,µ ≤ en(f ; Γ(1)
n )p,µ.
Следовательно, если положить
en(N; Γ′n) = sup
f∈N
en(f ; Γ′n),
где N — некоторое подмножество из Sp,µϕ , то будут выполняться оценки
en(N)p,µ ≤ en(N; Γ(2)
n )p,µ ≤ en(N; Γ(1)
n )p,µ.
Как и ранее, в качестве множеств N будут использоваться множества ψ Uq,λϕ ψ-
интегралов всех элементов единичного шара Uq,λϕ в пространстве Sq,λϕ .
Сначала рассмотрим случай, когда p ≥ q > 0. Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.9. Пусть p и q — действительные числа такие, что p ≥ q > 0; ψ, µ
и λ — последовательности, для которых величины
|ψ′k| =
∣∣∣∣ψkµkλk
∣∣∣∣, k = 1, 2, . . . , (4.49)
не возрастая, стремятся к нулю. Тогда при любом n ∈ N выполняются равенства
en(ψ Uq,λϕ ; Γ(1))p,µ = en(ψ Uq,λϕ ; Γ(2))p,µ =
= (l∗ − 1)1/p
(
l∗∑
k=1
|ψ′(k−1)n+1|−q
)−1/q
,
где l∗ — натуральное число, для которого
sup
l>1
(l − 1)1/p
(
l∑
k=1
|ψ′(k−1)n+1|−q
)−1/q
= (l∗ − 1)
(
l∗∑
k=1
|ψ′(k−1)n+1|−q
)−1/q
.
Такое число l∗ всегда существует.
Доказательство. Эта теорема в случае, когда µk ≡ λk ≡ 1, k ∈ N, по суще-
ству доказана в [20]; в общем случае — в [51]. Ее доказательство получается
фактически с помощью рассуждений из [20] и опирается на доказанное там следу-
ющее утверждение.
Лемма 4.3. Пусть α = {αk}∞k=1 — невозрастающая последовательность по-
ложительных чисел, для которой
lim
k→∞
αk = 0, (4.50)
и m = {mk}∞k=1 — последовательность неотрицательных чисел такая, что
|m| =
∞∑
k=1
mk ≤ 1. (4.51)
(В таком случае записываем α ∈ A и, соответственно, m ∈M.)
Пусть, далее, при каждом n ∈ N
Fn,r(α,m) =
∞∑
k=1
αkm
r
k − sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
αkm
r
k, α ∈ A, m ∈M, r > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 79
и
σn,r(α) = sup
m∈M
Fn,r(α,m).
Тогда при любом r ≥ 1 и n ∈ N выполняется равенство
σn,r(α) = sup
q>1
(q − 1)
(
q∑
i=1
α
−1/r
(i−1)n+1
)−r
. (4.52)
Верхняя грань в правой части (4.52) всегда достигается при некотором значении
q∗. При этом для последовательности m′ = {m′k}∞k=1 из M,
m′k =
α
−1/r
(i−1)n+1
(
q ∗∑
j=1
α
−1/r
(j−1)n+1
)−1
, k = (i− 1)n+ 1, i = 1, 2, . . . , q ∗,
0 при остальных значениях k,
выполняется равенство
Fn,r(α,m′) = (q ∗ − 1)
q ∗∑
i=1
α
−1/r
(i−1)n+1
−r .
В случае, когда q > p > 0, справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.10. Пусть p и q — действительные числа такие, что q > p > 0; ψ, µ
и λ — последовательности, для которых величины (4.49), не возрастая, стремятся
к нулю и, кроме того, удовлетворяют условию (4.26). Тогда при любом n ∈ N
выполняется равенство
epn(ψ U
q,λ
ϕ ; Γ(1)
n )p,µ = σ̃
− p
q
1 (s) [(s− 1)
q
q−p + σ̃
p
q−p
1 (s) σ̃2(s)]
q−p
q ,
в котором
σ̃1(s) =
s∑
k=1
k n∑
i=(k−1)n+1
|ψ′i|
p q
q
−
q−p
q
,
σ̃2(s) =
∞∑
k=s n+1
|ψ′k|
p q
q−p .
Число s выбрано из условия s n∑
k=(s−1)n+1
|ψ′k|
p q
q−p
−
q−p
p
≤ σ̃1(s)
s− 1
<
(s+1)n∑
k=s n+1
|ψ′k|
p q
q−p
−
q−p
p
.
Такое число s всегда существует и единственно.
Доказательство этой теоремы приведено в [51]. Оно опирается на следующий
аналог леммы 4.3.
Лемма 4.4. Пусть α = {αk}∞k=1 — невозрастающая последовательность по-
ложительных чисел, удовлетворяющая условию (4.50), и, кроме того, при данном
r ∈ (0, 1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
80 А. И. СТЕПАНЕЦ
∞∑
k=1
α
1
1−r
k <∞,
а m = {mk}∞k=1 — последовательность неотрицательных чисел, для которой
выполняется условие (4.51). (В таком случае записываем α ∈ Ar и, как и ранее,
m ∈M.)
Пусть, далее, при каждом n ∈ N
Fn,r(α,m) =
∞∑
k=1
αkm
r
k − sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
αkm
r
k, α ∈ Ar, m ∈M, r ∈ (0, 1),
и
σn,r(α) = sup
m∈M
Fn,r(α,m). (4.53)
Тогда при любых r ∈ (0, 1) и n ∈ N выполняется равенство
σn,r(α) = σ−r1 (s) [(s− 1)
1
1−r + σ
r
1−r
1 (s)σ2(s)]1−r,
где
σ1(s) = σ1(α; s) =
s∑
k=1
k n∑
i=(k−1)n+1
α
1
1−r
i
−
1−r
r
,
σ2(s) = σ2(α; s) =
∞∑
k=s n+1
α
1
1−r
i ;
число s выбрано из условия
a
− 1
r
s ≤ σ1(s)
s− 1
< a
− 1
r
s+1, aj =
j n∑
i=(j−1)n+1
α
1
1−r
i
1−r
, j = 1, 2, . . . ;
такое число s всегда существует и единственно.
Верхняя грань в (4.53) реализуется последовательностью m∗, для которой
m ∗
k = µ ∗i α
1
1−r
k a
− 1
1−r
i , (i− 1)n+ 1 ≤ k ≤ i n, i = 1, 2, . . . ,
где
µ ∗i =
(
ts
ai
)1/r
, i = 1, 2, . . . , s,
1− t
1
r
s σ1(s)
σ2(s)
a
1
1−r
i , i > s,
ts =
σ1(s) +
(
σ1(s)
s− 1
) 1
1−r
σ2(s)
−r .
Результаты о величине en
(
ψ Uq,λϕ ; Γ(2)
n
)
p,µ
при q > p > 0 изложены в [51].
5. Приближение индивидуальных элементов в пространствах Sp
Φ. В п. 4
рассматривались экстремальные задачи для различных аппроксимационных харак-
теристик множеств ψ Up,µϕ . В данном же пункте приводятся результаты для наи-
лучших приближений индивидуальных элементов из пространств SpΦ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 81
Пусть, как и в пп. 4.3,
En(f) = En(f)ψ,p,µ = inf
ck
∥∥∥∥∥ f − ∑
k∈gψn−1
ck ϕk
∥∥∥∥∥
p,µ
(5.1)
— наилучшее приближение элемента f ∈ ψ Sp,µϕ полиномами, построенными по
областям gψn−1. В случае, когда последовательность µ такова, что µk ≡ 1, индекс
µ во всех рассматриваемых объектах условимся опускать. В таких обозначениях в
[16] доказаны следующие утверждения.
Теорема 5.1. Пусть f ∈ Spϕ, p > 0, и последовательность ψ = {ψk}∞k=1
удовлетворяет условию (4.6). Тогда ряд
∞∑
k=2
( εpk − εpk−1)E
p
k(f)ψ,p
сходится и при любом n ∈ N справедливо равенство
Epn(f)ψ,p = εpnE
p
n(f
ψ)ψ,p +
∞∑
k=n+1
(εpk − εpk−1)E
p
k(f
ψ)ψ,p, (5.2)
в котором величины En(x)ψ,p определяются равенством (5.1), а εk, k = 1, 2, . . . ,
— элементы характеристической последовательности ε(ψ).
Теорема 5.2. Пусть f ∈ Spϕ, p > 0, и последовательность ψ = {ψk}∞k=1
удовлетворяет условию (4.6). Пусть, далее,
lim
k→∞
ε−1
k Ek(f)ψ,p = 0.
Тогда для того чтобы выполнялось включение
f ∈ Spϕ,
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
∞∑
k=2
( ε−pk − ε−pk−1)E
p
k(f)ψ,p.
Если этот ряд сходится, то при любом n ∈ N выполняется равенство
Epn(f)ψ,p = ε−pn Epn(f
ψ)ψ,p +
∞∑
k=n+1
(ε−pk − ε−pk−1)E
p
k(f)ψ,p,
в котором величины En(x)ψ,p и εk имеют тот же смысл, что и в теореме 5.1.
Теорема 5.1 устанавливает связь между наилучшим приближением элемента f
и наилучшими приближениями его производных. Подобные утверждения в теории
приближений, как известно, принято называть прямыми теоремами. Теорема 5.2
в этом смысле является обратной: в ней по свойствам наилучшего приближения
элемента f указывается о наличии у него производных и дается информация о
наилучшем приближении этих производных.
Величины εn строго убывают, поэтому из (5.2) следует оценка
Epn(f)ψ,p ≤ εpnE
p
n(f
ψ)ψ,p ∀f ∈ ψ Spϕ ∀n ∈ N. (5.3)
Заметим, что в силу предложения 4.1 всегда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
82 А. И. СТЕПАНЕЦ
lim
n→∞
Epn(f
ψ)ψ,p = 0.
На важных подмножествах N из ψ Spϕ соотношение (5.3) дает точный результат.
Отметим один из таких случаев.
Возьмем в качестве N множество ψ Uqϕ при 0 < q < p. Если f ∈ ψ Uqϕ, то fψ ∈
∈ Uqϕ и, тем более, f ψ ∈ Upϕ. Значит, ‖f ψ‖p ≤ 1. Следовательно, и Epn(f
ψ)ψ,p ≤ 1.
Поэтому
Epn(f)ψ,p ≤ εpn ∀ f ∈ ψ Uqϕ, 0 < q ≤ p. (5.4)
С другой стороны, пусть k′ — любая точка из множества gψn \ g
ψ
n−1 и f∗ = ψk′ ϕk′
(ψk′) 6= 0. Поскольку f ψ∗ = ϕk′ , при любом q > 0 ‖f ψ∗ ‖q = 1. Следовательно,
f∗ ∈ ψ Uqϕ при любом q > 0. Но ясно, что
En(f∗)ψ,p = ‖f∗‖ϕ,p = ψk′ = εn. (5.5)
Таким образом, объединяя соотношения (5.4) и (5.5) и полагая
En(ψ Uqϕ)ψ,p = sup
f∈ψ Uqϕ
En(f)ψ,p, En(ψ Uqϕ)ψ,p = sup
f∈ψ Uqϕ
En(f)ψ,p,
приходим к следующему утверждению.
Теорема 5.3. Пусть ψ = {ψk}∞k=1 — система чисел, удовлетворяющая усло-
виям (4.6) и (4.14). Тогда при любых n ∈ N и 0 < q ≤ p < ∞ справедливы
равенства
En(ψ Uqϕ)ψ,p = En(ψ Uqϕ)ψ,p = εn,
где εn — n-й член характеристической последовательности ε(ψ).
Заметим, что это утверждение является частным случаем теоремы 4.1.
6. Приложения полученных результатов к задачам приближения периоди-
ческих функций многих переменных. Рассмотрим одну из возможных конкре-
тизаций пространств Spϕ = Spϕ(X), позволяющую из полученных в пп. 4 и 5 общих
результатов получать утверждения о приближениях периодических функций.
Пусть Rm — m-мерное, m ≥ 1, евклидово пространство, x = (x1, . . . , xm) —
его элементы, Zm — целочисленная решетка в Rm — множество векторов k =
= (k1, . . . , km) с целочисленными координатами, x y = x1 y1 + . . .+ xm ym, |x| =
=
√
(xx) и, в частности, k x = k1 x1 + . . .+ km xm, |k| =
√
k2
1 + . . .+ k2
m.
Пусть, далее, L = L(Rm) — множество всех 2π-периодических по каждой из
переменных функций f(x) = f(x1, . . . , xm), суммируемых на кубе периодов Qm,
Qm = {x : x ∈ Rm, −π ≤ xk ≤ π, k = 1, . . . ,m}.
Если f ∈ L, то через S[f ] обозначается ряд Фурье функции f по тригонометриче-
ской системе
(2π)−m/2 eikx, k ∈ Zm, (6.1)
т. е.
S[f ] = (2π)−m/2
∑
k∈Zm
f̂(k) eikx, f̂(k) = (2π)−m/2
∫
Qm
f(t) eiktdt. (6.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 83
Если считать неразличимыми функции, эквивалентные относительно меры Лебега,
то в качестве X можно взять пространство L(Rm), а в качестве системы ϕ —
тригонометрическую систему τ = {τs}, s ∈ N, где
τs = (2π)−m/2 eiks x, ks ∈ Zm, s = 1, 2, . . . ,
полученную из системы (1.6) путем произвольной фиксированной нумерации ее
элементов; скалярное произведение в таком случае задается известным образом:
(f, τs) = (2π)−m/2
∫
Qm
f(t) e−iks tdt = f̂(ks) = f̂τ (ks).
При фиксированном p ∈ (0,∞) согласно (1.6) положим
Spτ = Spτ (L(Rm)) =
{
f ∈ L(Rm)) :
∞∑
s=1
|f̂(ks)|p ≤ ∞
}
. (6.3)
„ϕ-Норма” в пространстве Spτ вводится согласно (1.7):
‖ f ‖p,τ =
( ∞∑
s=1
∣∣∣∣f̂(ks)
∣∣∣∣p
)1
p
. (6.4)
В силу равенств (6.3) и (6.4) величины ‖ · ‖p,τ и сами пространства Spτ не зависят
от нумерации системы (6.1), и поэтому в дальнейшем полагаем Spτ = Sp.
Пусть теперь ψ = {ψ(k)}k∈Zm — произвольная система комплексных чисел —
кратная последовательность. Для функций f ∈ L наряду с (6.2) рассмотрим ряд
(2π)−m/2
∑
k∈Zm
ψ(k) f̂(k) eikx.
Если этот ряд для данной функции f и системы ψ является рядом Фурье некоторой
функции F из L, то F назовем ψ-интегралом функции f и будем писать F (x) =
= J ψ(f ;x). При этом иногда удобно функцию f называть ψ-производной функции
F и писать f(x) = Dψ(F ;x) = Fψ(x). Множество ψ-интегралов всех функций
f ∈ L обозначается через Lψ. Если N — некоторое подмножество из L, то Lψ N
будет обозначать множество ψ-интегралов всех функций из N. Ясно, что если
f ∈ Lψ, то коэффициенты Фурье функций f и fψ связаны соотношением
f̂(k) = ψ(k) f̂ ψ(k), k ∈ Zm.
Будем рассматривать в качестве N единичный шар Up в пространстве Sp:
Up = {f : f ∈ Sp, ‖f‖p ≤ 1}.
В таком случае полагаем Lψ Up = Lψp = Lψp (Rm). Относительно системы ψ пред-
полагается, что
lim
|k|→∞
ψ(k) = 0. (6.5)
Заметим, что если f ∈ LψSp и |ψ(k)| ≤ C, k ∈ Zm, C > 0, то f ∈ Sp, т. е. условие
(6.5) всегда гарантирует включение Lψp ⊂ Sp.
Определим характеристические последовательности ε(ψ), g(ψ) и δ(ψ) следую-
щим образом:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
84 А. И. СТЕПАНЕЦ
ε(ψ) = ε1, ε2, . . . — множество значений величин |ψ(k)|, k ∈ Zm, упорядочен-
ное по их убыванию; g(ψ) = {gn}∞n=1, где
gn = gψn = {k ∈ Zm : |ψ(k)| ≥ εn};
δ(ψ) = {δn}∞n=1, где δn = δψn = |gn| — количество чисел k ∈ Zm, принадлежа-
щих множеству gn.
Ввиду условия (6.5) в рассматриваемом случае последовательности ε(ψ) и g(ψ)
определяются, как и в пп. 4.3, с учетом того, что k ∈ Zm. Как и ранее, считается,
что g0 = gψ0 — пустое множество и δ0 = δψ0 = 0.
В качестве приближающих агрегатов для функций f ∈ Lψ рассмотрим триго-
нометрические полиномы — аналоги сумм (4.8):
Sn(f ;x) = Sgψn (f ;x) = (2π)−m/2
∑
k∈gψn
f̂(k) eikx, (6.6)
n ∈ N, S0(f ;x) = 0,
где gψn — элементы последовательности g(ψ).
Пусть p и q — произвольные числа, p, q > 0,
En(f)ψ,p = ‖f(x)− Sn−1(f ;x)‖Sp , (6.7)
En(Lψq )p = sup
f∈Lψq
E(f)ψ,p, n = 1, 2, . . . , (6.8)
En(f)ψ,p = inf
ak
‖f(x)− (2π)−m/2
∑
k∈gψn−1
ak e
ikx‖Sp (6.9)
и
En(Lψq )
p
= sup
f∈Lψq
En(f)ψ,p, n = 1, 2, . . . . (6.10)
Пусть, далее,
dn(Lψp )p = inf
Fn∈Gn
sup
f∈Lψp
inf
u∈Fn
‖f − u‖Sp , n ∈ N, d0(Lψp )p
df= sup
f∈Lψp
‖f‖Sp ,
где Gn — множество всех n-мерных подпространств в Sp, — поперечники по Кол-
могорову классов Lψp и
en(Lψq )p = sup
f∈Lψq
inf
ak,γn
‖f(x)− (2π)−m/2
∑
k∈γn
ak e
ikx‖Sp ,
где γn — произвольный набор из n векторов k ∈ Zm, — величина наилучшего
n-членного приближения класса Lψq в пространстве Sp.
В принятых обозначениях справедливы следующие утверждения — аналоги, а
по существу частные случаи теорем, доказанных в пп. 4 и 5.
Теорема 6.1. Пусть ψ = {ψk}k∈Zm — система чисел, удовлетворяющих усло-
виям (6.5) и таких, что
ψ(k) 6= 0 ∀k ∈ Zm. (6.11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 85
Тогда при любых n ∈ N и 0 < q ≤ p <∞ справедливы равенства
En(Lψq )p = En(Lψq )p = εn, (6.12)
en(Lψq )p = sup
l>n
(l − n)
(
l∑
k=1
ψ
−q
k
)− p
q
= (l∗ − n)
(
l∗∑
k=1
ψ
−q
k
)− p
q
, (6.13)
где ψ = {ψk}∞k=1 — последовательность, определяющаяся соотношениями
ψk = εn при k ∈ (δn−1, δn], n = 1, 2, . . . ,
εn и δn — члены характеристических последовательностей системы ψ, а l∗ —
натуральное число, которое в условиях теоремы всегда существует.
Аналогами теорем 5.1 и 5.2 являются следующие утверждения.
Теорема 6.2. Пусть f ∈ Lψp , p > 0, и ψ = {ψk}k∈Zm — система чисел, удовлет-
воряющая условиям (6.5). Тогда ряд
∞∑
k=1
(εpk − εpk−1)E
p
k(f
ψ)ψ,p
сходится и при любых n ∈ N справедливо равенство
Epn(f)ψ,p = εpnE
p
n(f
ψ)ψ,p +
∞∑
k=n+1
(εpk − εpk−1)E
p
k(f
ψ)ψ,p,
где величины Eν(·)ψ,p определяются равенством (6.9), а εk — элементы характе-
ристической последовательности ε(ψ) системы ψ.
Теорема 6.3. Пусть f ∈ Sp, p > 0, и система ψ = {ψk}k∈Zm удовлетворяет
условию (6.9). Пусть, далее,
lim
k→∞
ε−1
k Ek(f)ψ,p = 0.
Тогда для того чтобы выполнялось включение
f ∈ Lψp ,
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
∞∑
k=1
(ε−pk − ε−pk−1)E
p
k(f)ψ,p.
Если этот ряд сходится, то при любом n ∈ N справедливо равенство
Epn(f
ψ)ψ,p = ε−pn Epn(f)ψ,p +
∞∑
k=n+1
(ε−pk − ε−pk−1)E
p
k(f)ψ,p,
в котором величины En(·)ψ,p и εk имеют тот же смысл, что и в теореме 6.2.
Пусть ψ = {ψk}k∈Zm — произвольная система чисел, удовлетворяющая усло-
вию (6.5). Перенумеруем все векторы k ∈ Zm в каком-нибудь порядке, используя
натуральный индекс s. Будем говорить, что система ψ принадлежит множеству
Ap,q при некоторых значениях p и q, q > p > 0, если
∞∑
s=1
|ψ(ks)|
p q
q−p <∞. (6.14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
86 А. И. СТЕПАНЕЦ
Ясно, что множества A p,q не зависят от способа нумерации чисел k ∈ Zm, а
полностью определяются величинами |ψ(k)| и числами p и q.
Теорема 6.4. Пусть система ψ = {ψk}k∈Zm при данных p и q, q > p > 0,
принадлежит множеству Ap,q. Тогда
En(Lψq )p = En(Lψq )p =
∞∑
k=δn−1+1
ψ
p q
q−p
q−p
p q
, n = 1, 2, . . . ,
и
epn(L
ψ
q )p = σ̃
− p
q
1 (s)
[
(s− n)
q
q−p + σ̃
p
q−p
1 (s) σ̃2(s)
] q−p
q
,
где
σ̃1(s) =
s∑
k=1
ψ
−q
k , σ̃2(s) =
∞∑
k=s+1
ψ
p q
q−p
k ,
ψ = {ψk}∞k=1 — последовательность, для которой
ψk = εk при k ∈ (δn−1, δn], n = 1, 2, . . . ,
εn и δn — члены характеристических последовательностей ε(ψ) и δψ; число s в
(6.13) выбрано из условия
ψ
−q
s ≤ 1
s− n
s∑
k=1
ψ
−q
k < ψ−qs+1. (6.15)
Такое число s всегда существует и единственно.
Доказательства этих теорем основаны на соответствующих теоремах из пре-
дыдущих пунктов.
Отправляясь от заданных систем ψ, фигурирующих в этих утверждениях, пе-
ренумеруем все векторы k ∈ Zm так, чтобы числами s при s ∈ (δn−1, δn] были
перенумерованы все векторы k из множеств gψn \ g
ψ
n−1 в каком-нибудь фиксирован-
ном порядке. Затем определим последовательность ψ′ = {ψs}∞s=1, положив
ψ′s = ψ(ks), s = 1, 2, . . . . (6.16)
Тогда
S[f ] = (2π)−m/2
∑
k∈Zm
f̂(k) eikx = (2π)−m/2
∞∑
s=1
f̂(ks) ei ks x,
и, согласно (6.16),
J ψ′(f ;x) = (2π)−m/2
∞∑
s=1
ψ(ks)f̂(ks) ei ks x = J (f ;x) ∀f ∈ L.
Следовательно, Lψ
′
= Lψ. Заметим далее, что Lψ
′
= ψ′Up, где ψ′Up — множество,
определяющееся согласно равенству (4.7′):
ψ′Up = {f ∈ L : f ψ
′
∈ Up},
в котором Up = Upϕ и ϕ = {2π−m/2ei ks x}∞s=1. Кроме того, последовательности
E(ψ′) и Eψ, а также δ(ψ′) и δ(ψ) совпадают и справедливы равенства
S
gψ
′
n
(f) = Sgψn (f ;x), En(f)ψ′,p = En(f)ψ,p, En(ψ′Uq)p = En(Lψq )p,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 87
En(f)ψ′,p = En(f), En(ψ′Uq)p = En(Lψq )p ,
в которых левые части определяются равенствами (4.8), (4.9), а правые — соот-
ношениями (6.6) – (6.10) соответственно. Ясно также, что en(Lψq )p = en(ψ′Uq) и
ψ′ = ψ. Отсюда заключаем, что равенство (6.12) следует из (4.13); равенство (6.13),
— из теоремы 4.7; теоремы 6.2 и 6.3 вытекают из теорем 5.1 и 5.2, теорема 6.4 сле-
дует из теорем 4.4 и 4.8.
Ради полноты изложения приведем здесь переформулировку утверждения тео-
ремы 4.2 для колмогоровских поперечников множеств Lψp .
Теорема 6.5. Пусть ψ = {ψk}k∈Zm — система чисел, удовлетворяющая усло-
виям (6.5) и (6.11) и p ∈ [1,∞). Тогда при любом n ∈ N
dδn−1(L
ψ
p ;Sp) = dδn−1+1(L
ψ
p ;Sp) = . . . = dδn−1(L
ψ
p ;Sp) = En(Lψp )p = εn,
где εn и δn — члены характеристических последовательностей ε(ψ) и δ(ψ).
7. Замечания. 7.1. О последовательностях Ψ. Во всех предыдущих по-
строениях центральное место отводится последовательностям ψ: они определяют
приближаемые множества, по ним строится аппарат приближения и через них вы-
ражаются аппроксимационные характеристики. Кроме условий вида (6.9) и (6.21),
без которых рассмотрения становятся почти бессодержательными, в настоящей ра-
боте на последовательности ψ никаких ограничений не налагалось. Поэтому сами
системы ψ, а с ними и их характеристические последовательности ε(ψ), g(ψ) и
δ(ψ), в общем случае могут быть достаточно сложными.
В многомерном случае, по-видимому, наиболее простыми и естественными
являются системы ψ, у которых числа ψ(k) представляются произведениями
ψ(k) = ψ(k1, . . . , km) =
m∏
j=1
ψj(kj), kj ∈ Z1, j = 1,m, (7.1)
значений одномерных последовательностей ψj = {ψj(kj)}∞kj=1. Если, к тому же,
ψ(−kj) = ψj(kj), j = 1,m
(через z обозначено число, комплексно-сопряженное к z), то множества gψn бу-
дут симметричными относительно всех координатных плоскостей и, как нетрудно
убедиться,∑
k∈Zm
ψ(k) eikt =
∑
k∈Zm+
2m−q(k)
m∏
j=1
|ψj(kj)| cos
(
kjtj −
βkjπ
2
)
, (7.2)
где Zm+ = {k ∈ Zm, ki ≥ 0, i = 1,m}, q(k) — количество координат вектора k,
равных нулю, а числа βkj определяются равенствами
cos
βkjπ
2
=
Reψj(kj)
|ψj(kj)|
, sin
βkjπ
2
=
Imψj(kj)
|ψj(kj)|
.
В этом случае множество Lψ ψ-интегралов действительных функций ϕ из L(Rm)
состоит из действительных функций f, и если при этом ряд в (7.2) является рядом
Фурье некоторой суммируемой функции Dψ(t), то необходимым и достаточным
условием включения f ∈ LψN является возможность представления f сверткой
вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
88 А. И. СТЕПАНЕЦ
f(x) = (2π)−m
∫
Qm
ϕ(x− t)Dψ(t)dt,
в которой ϕ ∈ N и почти всюду ϕ(x) = fψ(x). Это, в частности, означает, что клас-
сы LψN охватывает классы функций, представимых свертками с фиксированными
суммируемыми ядрами (см., например, [52], § 1.9).
7.2. О связи между пространствами Sp и Lp. Пусть Lp = Lp(Rm), p ∈
∈ [1,∞), — пространство функций f ∈ L с конечной нормой ‖ · ‖Lp ,
‖f‖Lp =
( ∫
Qm
|f(t)|pdt
)1/p
. (7.3)
Связь между множествами Lp и Sp устанавливает известная теорема Хаусдорфа –
Юнга (см., например, [53], п. XII.2), утверждающая, что:
I. Если f ∈ Lp, p ∈ (1, 2], и f̂(k) — коэффициенты Фурье функции f, опреде-
ляемые формулой
f̂(k) = (2π)−m/2
∫
Qm
f(t) e−iktdt,
то ( ∑
k∈Zm
|f̂(k)|p
′
)1/p′
≤ (2π)m( 1
2−
1
p ) ‖f‖Lp ,
1
p
+
1
p′
= 1.
II. Пусть {ck}k∈Zm — последовательность комплексных чисел, для которой∑
k∈Zm
|ck|p <∞, p ∈ (1, 2].
Тогда существует функция f ∈ Lp′ , для которой f̂(k) = ck, и
‖f‖Lp′ ≤ (2π)m( 1
2−
1
p )
( ∑
k∈Zm
|ck|p
)1/p
,
1
p
+
1
p′
= 1.
Из этой теоремы следует, что если p ∈ (1, 2], то
Lp ⊂ Sp
′
и ‖f‖Sp ′ ≤ (2π)m( 1
2−
1
p ) ‖f‖Lp , (7.4)
Sp ⊂ Lp ′ и ‖f‖Lp′ ≤ (2π)m( 1
2−
1
p ) ‖f‖Sp . (7.5)
В частности, при p = p ′ = 2 справедливы равенства
L 2 = S 2 и ‖ · ‖L 2 = ‖ · ‖S 2 . (7.6)
В силу соотношений (7.4) и (7.5) теоремы, доказанные для пространств Sp, содер-
жат информацию и для пространств Lp, которая является более полной вследствие
(7.6) в случае, когда p = 2.
Ввиду особой важности этого случая приведем точные формулировки соответ-
ствующих утверждений.
Пусть, как и ранее, ψ = {ψk}k∈Zm — произвольная система комплексных чи-
сел и LψN — множество ψ-интегралов всех функций f ∈ N, где N — некоторое
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 89
подмножество из L = L(Rm), m ≥ 1. Возьмем в качестве N единичный шар UL 2
в пространстве L 2:
UL 2 = {f : f ∈ L 2, ‖f‖L 2 ≤ 1}. (7.7)
Здесь норма ‖ · ‖L 2 определяется равенством (7.3) при p = 2. В таком случае
положим LψUL 2 = UψL 2
.
Считая выполненным условие (6.5), определим характеристические последова-
тельности ε(ψ), g(ψ) и δ(ψ), а также полиномы Sn(f ;x) согласно формулам (6.6)
и для f ∈ UψL 2
положим
Eψn (f)L 2 = ‖f(x)− Sn−1(f ;x)‖L 2 , En(UψL 2
)L 2 = sup
f∈UψL 2
= Eψn (f)L 2 ,
Eψn (f)L 2 = inf
ak
∥∥∥∥∥∥∥f(x)− (2π)−m/2
∑
k∈gψn−1
ak e
ikx
∥∥∥∥∥∥∥
L 2
и
En(U
ψ
L 2
)L 2 = sup
f∈UψL 2
Eψn (f)L 2 .
Пусть еще
dn(U
ψ
L 2
)L 2 = inf
Fn∈Gn
sup
f∈Lψp
inf
u∈Fn
‖f − u‖L 2 , n ∈ N, d0(U
ψ
L 2
) = sup
f∈UψL 2
‖f‖L 2 ,
где Gn — множество всех n-мерных подпространств в L 2, и
en(U
ψ
L 2
)L 2 = sup
f∈UψL 2
inf
ak,γn
∥∥∥∥∥∥f(x)− (2π)−m/2
∑
k∈γn
ak e
ikx
∥∥∥∥∥∥
L 2
,
где γn — произвольный набор из n векторов k ∈ Zm, — величина наилучшего
n-членного приближения класса UψL 2
в пространстве L 2. Справедливо следующее
утверждение.
Теорема 7.1. Пусть ψ = {ψk}k∈Zm — система чисел, удовлетворяющая усло-
виям (6.3) и (6.9). Тогда при любых n ∈ N выполняются равенства
En(U
ψ
L 2
)L 2 = En(UψL 2
) = εn, (7.8)
dδn−1(U
ψ
L 2
)L 2 = dδn−1+1(U
ψ
L 2
) = . . . = dδn−1(U
ψ
L 2
)L 2 = En(U
ψ
L 2
)L 2 = εn, (7.9)
e 2
n(UψL 2
)L 2 = sup
l>n
(q − n)/
l∑
s=1
ψ
−2
s = (l ∗ − n)/
l ∗∑
s=1
ψ
−2
s . (7.10)
В этих равенствах εs и δs — элементы характеристических последовательностей
ε(ψ) и δ(ψ), δ0 = 0, l∗ — некоторое натуральное число и
ψs = εn, δn−1 < s < δn, n = 1, 2, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
90 А. И. СТЕПАНЕЦ
Доказательство. В силу (7.6) и (7.7) видим, что UL2 = U2 и, следовательно,
UψL2
= Lψ2 . Поэтому справедливы равенства
En(UψL 2
)L 2 = En(Lψ2) 2, En(U
ψ
L 2
)L 2 = En(L
ψ
2) 2, dn(U
ψ
L 2
)L 2 = dn(L
ψ
2) 2
и
en(U
ψ
L 2
)L 2 = en(L
ψ
2) 2, n = 1, 2, . . . .
Отсюда заключаем, что равенства (7.7) – (7.10) следуют из соотношений (6.12),
(6.15) и (6.13).
Отметим, что равенства (7.8) и (7.9) в одномерном случае, т. е. при m = 1,
в несколько другой терминологии были получены в 1936 г. в известной работе
А. Н. Колмогорова [54], положившей начало исследованию поперечников различ-
ных функциональных классов. В общем случае эти равенства можно получить и
путем анализа результатов и рассуждений § 4.4 книги В. М. Тихомирова [55].
Равенство (7.10), по-видимому, является новым даже в одномерном случае.
Отметим также, что, как следует из равенств (7.8) и (7.9), в пространстве L2
значения поперечников множеств UψL2
реализуют приближения суммами (6.6), т. е.
полиномами, которые являются наилучшими в смысле поперечников в простран-
ствах Sp при всех p ∈ [1,∞) для классов Lψp . Это позволяет предположить, что
именно суммы (6.6) будут наилучшим аппаратом приближения (в смысле колмого-
ровских поперечников) и в пространствах Lp при всех p ≥ 1 для соответствующих
множеств UψLp ,
UψLp = LψULp , ULp = {f : f ∈ Lp, ‖f‖Lp ≤ 1},
являющихся прямым обобщением известных пространств Соболева, которые по-
лучаются из UψLp , если взять ψ(k) в виде (7.1) в случае, когда
ψj(kj) =
{
1, kj = 0,
(ikj)rj , kj 6= 0, j = 1,m,
(7.11)
где rj — некоторые действительные числа.
Пусть m = 2 и последовательности ψ1(k1) и ψ2(k2) заданы равенствами (7.11)
при условии r1 = r2 = r > 0.
Классы UψL2
, определяющиеся такими последовательностями, с точки зрения
нахождения их поперечников впервые рассматривал К. И. Бабенко в [1, 2], который
в этом случае фактически получил и соотношение (7.9).
В данном случае характеристическая последовательность ε(ψ) состоит из эле-
ментов εn = n−r, n ∈ N, множества gψn — множества векторов k = (k1, k2) ∈ Z2,
удовлетворяющих условию
k′1k
′
2 ≤ n,
где
k ′j =
{
1, kj = 0,
|kj |, kj 6= 0, j = 1, 2.
Такие множества впервые появились в упомянутых работах К. И. Бабенко, и сейчас
их принято называть гиперболическими крестами.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 91
Все эти комментарии приводились автором в [15]. Там же имеются и более
детальные результаты для периодического случая вплоть до конкретных численных
примеров.
Основное содержание этой статьи анонсировано автором в препринте [56].
1. Бабенко К. И. О приближении периодических функций многих переменных тригонометриче-
скими полиномами // Докл. АН СССР. – 1960. — 132, № 2. — C. 247 – 250.
2. Бабенко К. И. О приближении одного класса периодических функций многих переменных
тригонометрическими полиномами // Там же. – 1960. – 132, № 5. – C. 982 – 985.
3. Теляковский С. А. Об оценках производных тригонометрических полиномов многих перемен-
ных // Сиб. мат. журн. – 1963. – 4, № 6. – C. 1404 – 1411.
4. Теляковский С. А. Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэф-
фициентами // Мат. сб. – 1964. – 63 (105). – C. 426 – 444.
5. Бугров Я. С. Приближение класса функций с доминирующей смешанной производной // Там
же. – 64 (106). – C. 410 – 418.
6. Никольская Н. С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами
Фурье в метрике Lp // Докл. АН СССР. – 1973. – 208, № 5. – C. 1283 – 1285.
7. Никольская Н. С. Приближение периодических функций класса SHr
p∗ суммами Фурье // Сиб.
мат. журн. – 1975. – 16, № 4. – C. 761 – 780.
8. Галеев Э. М. Приближение некоторых классов периодических функций многих переменных
суммами Фурье в метрике Lp // Успехи мат. наук. – 1977. – 32, № 4. – C. 251 – 252.
9. Галеев Э. М. Приближение сумами Фурье классов функций с несколькими ограниченными
производными // Мат. заметки. – 1978. – 23, № 2. – C. 197 – 212.
10. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат.
ин-та АН СССР. – 1986. – 178. – C. 1 – 112.
11. Задерей П. В. Приближение (ψ, β)-дифференцируемых периодических функций многих пе-
ременных // Укр. мат. журн. – 1993. – 45, № 3. – C. 367 – 377.
12. Романюк А. С. О приближении классов периодических функций многих переменных // Там
же. – 1992. – 44, № 5. – C. 662 – 672.
13. Романюк А. С. Приближение классов Бесова периодических функций многих переменных в
пространстве Lq // Там же. – 1991. – 43, № 10. – C. 1398 – 1408.
14. Степанец А. И. Аппроксимационные характеристики пространств Sp
ϕ. – Киев, 2001. – 85 с. –
(Препринт / НАН Украины. Ин-т математики; 2001.2).
15. Степанец А. И. Аппроксимационные характеристики пространств Sp
ϕ // Укр. мат. журн. –
2001. – 53, № 3. – C. 392 – 416.
16. Степанец А. И. Аппроксимационные характеристики пространств Sp
ϕ в разных метриках //
Там же. – № 8. – C. 1121 – 1146.
17. Степанец А. И., Сердюк А. С. Прямые и обратные теоремы теории приближений функций в
пространстве Sp // Там же. – 2002. – 54, № 1. – C. 106 – 124.
18. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Тр. Ин-та математики НАН Украины.
– 2002. – 40, Ч. II. – 468 c.
19. Степанец А. И. Аппроксимационные характеристики пространств Sp // Теорiя наближень та
гармонiйний аналiз: Пр. Укр. мат. конгресу-2001. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2002.
– С. 208 – 226.
20. Степанец А. И., Рукасов В. И. Пространства Sp с несимметричной метрикой // Укр. мат. журн.
– 2003. – 55, № 2. – C. 264 – 277.
21. Степанец А. И., Рукасов В. И. Наилучшие „сплошные” n-членные приближения в простран-
ствах Sp
ϕ // Там же. – № 5. – C. 663 – 670.
22. Степанец А. И., Шидлич А. Л. Наилучшие n-членные приближения Λ-методами в простран-
ствах Sp
ϕ // Там же. – № 8. – C. 1107 – 1126.
23. Степанец А. И. Экстремальные задачи теории приближений в линейных пространствах // Там
же. – № 10. – C. 1392 – 1423.
24. Степанец А. И. Наилучшие приближения q-эллипсоидов в пространствах Sp,µ
ϕ // Там же. –
2004. – 56, № 10. – C. 1378 – 1383.
25. Сердюк А. С. Поперечники в просторi Sp класiв функцiй, що означаються модулями непе-
рервностi їх ψ-похiдних // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Пр. Iн-ту
математики НАН України. – 2003. – 46. – C. 229 – 248.
26. Войцеховський В. Р. Поперечники деяких класiв з простору Sp // Там же. – C. 17 – 26.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
92 А. И. СТЕПАНЕЦ
27. Вакарчук С. Б. Неравенство типа Джексона и точные значения поперечников классов функций
в пространствах Sp, 1 ≤ p <∞ // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 5. – C. 595 – 605.
28. Вакарчук С. Б. О некоторых экстремальных задачах теории аппроксимации в пространствах Sp
(1 ≤ p < ∞) // Воронеж. зим. мат. школа „Современные методы теории функций и смежные
проблемы” (Воронеж, 26 янв. – 2 февр. 2003 г.). – Воронеж: Воронеж. ун-т, 2003. – С. 47 – 48.
29. Войцеховський В. Р. Нерiвностi типу Джексона при наближеннi функцiй з простору Sp сумами
Зигмунда // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Пр. Iн-ту математики НАН
України. – 2002. – 35. – C. 33 – 46.
30. Шидлiч А. Л. Насичення лiнiйних методiв пiдсумовування рядiв Фур’є в просторах Sp
ϕ // Там
же. – C. 215 – 232.
31. Шидлiч А. Л. Найкращi n-членнi наближення Λ-методами в просторах Sp
ϕ // Там же. – 2003.
– 46. – C. 283 – 306.
32. Рукасов В. И. Наилучшие n-членные приближения в пространствах с несимметричной метри-
ках // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 6. – C. 806 – 816.
33. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.:
Мир, 1974. – 333 с.
34. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 407 с.
35. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр. лит., 1948. – 456 с.
36. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
37. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. – 1955. –
102, № 1. – С. 37 – 40.
38. Осколков К. И. Аппроксимационные свойства суммируемых функций на множествах полной
меры // Мат. сб. – 1977. – 103, № 4. – С. 563 – 589.
39. Майоров В. Е. О линейных поперечниках соболевских классов // Докл. АН СССР. – 1978. –
243, № 5. – С. 1127 – 1130.
40. Macovoz G. Y. On trigonometric n-widths and their generalization // J. Approxim. Theory. – 1984.
– 41, № 4. – P. 361 – 366.
41. Кашин Б. С. Об аппроксимационных свойствах полных ортонормированных систем // Тр. Мат.
ин-та АН СССР. – 1985. – 172. – С. 187 – 191.
42. Белинский Э. С. Приближение периодических функций многих переменных ..плавающей”
системой экспонент и тригонометрические поперечники // Докл. АН СССР. – 1985. – 284, № 6.
– С. 1294 – 1297.
43. Кашин Б. С., Темляков В. Н.. О наилучших m-членных приближениях и энтропии множеств
в пространстве L // Мат. заметки. – 1994. – 56, № 5. – С. 57 – 86.
44. Темляков В. Н. Нелинейные поперечники по Колмогорову // Мат. заметки. – 1998. – 63, № 6.
– С. 891 – 902.
45. Temlyakov V. N. Greedy algorithm and m-term trigonometric approximation // Constr. Approxim. –
1998. – 14. – P. 569 – 587.
46. Dinh Dung. Continuons algorithms in n-term approximation and non-linear-widths // J. Approxim.
Theory. – 2000. – 102. – P. 217 – 242.
47. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова
периодических функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. –
C. 61 – 100.
48. De Vore R. A., Temlyakov V. N. Nonlinear approximation in finite-dimensional spaces // J. Complexity.
– 1997. – 13. – P. 489 – 508.
49. De Vore R. A. Nonlinear approximation // Acta Numerica. – 1998. – P. 51 – 150.
50. Temlyakov V. N. Nonlinear methods of approximation // Found. Comput. Math. – 2003. – 3. –
P. 33 – 107.
51. Степанец А. И. Наилучшие n-членные приближения с ограничениями // Укр. мат. журн. –
2005. – 57, № 4. – C. 533 – 553.
52. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Тр. Ин-та математики НАН Украины.
– 2002. – 40, ч. I. – 426 c.
53. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 ч. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 537 с.
54. Kolmogorov A. N. Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklass //
Ann. Math. – 1936. – 37, № 1. – S. 107 – 110.
55. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. –
307 с.
56. Степанец А. И. Экстремальные задачи теории приближений в линейных пространствах. –
Киев, 2005. – 82 с. – (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики; 2005.1).
Получено 04.10.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-3434 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:31Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c7/0c21bd79e94733021c04c015d9cebec7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34342020-03-18T19:54:30Z Problems of approximation theory in linear spaces Задачи теории приближений в линейных пространствах Stepanets, O. I. Степанець, О. І. We present a survey of results related to the approximation characteristics of the spaces $S^{\rho}_{\varphi}$ and their generalizations. The proposed approach enables one to obtain solutions of problems of classical approximation theory in abstract linear spaces in explicit form. The results obtained yield statements that are new even in the case of approximations in the functional Hilbert spaces $L_2$. Наведено огляд результатів, пов'язаних з апроксимаційними характеристиками npocropiB $S^{\rho}_{\varphi}$ та їхніх узагальнень. Підхід, що пропонується, дає можливість отримувати розв'язки задач класичної теорії наближень в абстрактних лінійних просторах у явному вигляді. Як наслідки, з отриманих результатів випливають твердження, що є новими навіть у випадку наближень у функціональних гільбертових просторах $L_2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3434 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 1 (2006); 47–92 Український математичний журнал; Том 58 № 1 (2006); 47–92 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3434/3608 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3434/3609 Copyright (c) 2006 Stepanets O. I. |
| spellingShingle | Stepanets, O. I. Степанець, О. І. Problems of approximation theory in linear spaces |
| title | Problems of approximation theory in linear spaces |
| title_alt | Задачи теории приближений в линейных пространствах |
| title_full | Problems of approximation theory in linear spaces |
| title_fullStr | Problems of approximation theory in linear spaces |
| title_full_unstemmed | Problems of approximation theory in linear spaces |
| title_short | Problems of approximation theory in linear spaces |
| title_sort | problems of approximation theory in linear spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3434 |
| work_keys_str_mv | AT stepanetsoi problemsofapproximationtheoryinlinearspaces AT stepanecʹoí problemsofapproximationtheoryinlinearspaces AT stepanetsoi zadačiteoriipribliženijvlinejnyhprostranstvah AT stepanecʹoí zadačiteoriipribliženijvlinejnyhprostranstvah |