Linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$
We obtain exact order estimates for the linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for certain values of the parameters $p$ and $q$.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3435 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509524319797248 |
|---|---|
| author | Fedunyk, O. V. Федуник, О. В. |
| author_facet | Fedunyk, O. V. Федуник, О. В. |
| author_sort | Fedunyk, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:54:30Z |
| description | We obtain exact order estimates for the linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for certain values of the parameters $p$ and $q$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
O. V. Fedunyk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θθ
ΩΩ
PERIODYÇNYX FUNKCIJ BAHAT|OX ZMINNYX
U PROSTORI Lq
We obtain exact order estimates of linear widths of the classes Bp,θ
Ω of periodic multivariable functions
in the space Lq for some values of the parameters p and q.
OderΩano toçni za porqdkom ocinky linijnyx popereçnykiv klasiv Bp,θ
Ω
periodyçnyx funkcij
bahat\ox zminnyx u prostori Lq dlq deqkyx znaçen\ parametriv p ta q.
1. Poznaçennq i dopomiΩni tverdΩennq. Nexaj R
d
— evklidiv prostir z ele-
mentamy x = ( x1 , … , xd ) i πd = [ ; ]0 2
1
π
j
d
=∏ . Poznaçymo çerez Lp d( )π , 1 ≤ p ≤
≤ ∞ , prostir 2π-periodyçnyx po koΩnij zminnij funkcij f ( x ) = f ( x1 , … , xd ) zi
skinçennog normog, qka vyznaça[t\sq takym çynom:
f Lp d( )π = f p = ( ) ( )
/
2
1
π
π
− ∫
d p
p
f x dx
d
, 1 ≤ p < ∞ ,
i
f L d∞ ( )π = f ∞ = ess sup
x d
f x
∈π
( ) .
Dali budemo vvaΩaty, wo dlq funkcij f ∈ Lp d( )π vykonu[t\sq dodatkova
umova
f x dx j( )
−
∫
π
π
= 0, j = 1, d .
Dlq f ∈ Lp d( )π poznaçymo çerez
S f[ ] = ˆ( ) ( , )f k ei k x
k
∑
]] rqd Fur’[, de
ˆ( )f k = ( ) ( ) ( , )2π
π
− −∫d i k tf t e dt
d
— koefici[nty Fur’[, k =
= ( k1 , … , kd ) , kj ∈ Z, j = 1, d , i ( k, x ) = k1 x1 + … + kd xd .
KoΩnomu vektoru s ∈ N
d
postavymo u vidpovidnist\ mnoΩynu
ρ ( s ) = k k j d
s
j
sj j: , ,2 2 1
1− ≤ < ={ }
i dlq f ( x ) poznaçymo
δs f x( , ) = ˆ( ) ( , )
( )
f k ei k x
k s∈
∑
ρ
.
Todi rqd Fur’[ funkci] f moΩna zapysaty u vyhlqdi
S f[ ] = δs
s
f x( , )∑ .
© O. V. FEDUNYK, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1 93
94 O. V. FEDUNYK
Za dopomohog rivnosti
∆h
l
j
f x( ) = ( ) ( , , , , , , )− … + …−
− +
=
∑ 1 1 1 1
0
l n
l
n
j j j j d
n
l
C f x x x nh x x
oznaçymo l-tu riznycg funkci] f ( x ) z krokom hj za zminnog xj .
Dlq f ( x ) = f ( x1 , … , xd ) i h = ( h1 , … , hd ) vvedemo mißanu l-tu riznycg
∆h
l f x( ) = ∆ ∆h
l
h
l
d
f x…
1
( ) = ∆ ∆h
l
h
l
d
f x( ( ( )))…
1
.
Oznaçymo dlq f ∈ Lp d( )π mißanyj modul\ neperervnosti porqdku l
Ωl
pf t( , ) = sup ( )
, ,h t j d
h
l
p
j j
f
< =
⋅
1
∆ .
Nexaj Ω ( t ) = Ω ( t1 , … , td ) — zadana funkciq typu mißanoho modulq nepe-
rervnosti porqdku l, qka zadovol\nq[ taki umovy:
1) Ω( )t > 0, t j > 0, j d= 1, ; Ω( )t = 0, t jj
d
=∏ >
1
0;
2) Ω ( t ) zrosta[ po koΩnij zminnij;
3) Ω Ω( , , ) ( )m t m t m td d jj
d l
1 1 1
… ≤ ( )=∏ , mj ∈N , j d= 1, ;
4) Ω ( t ) neperervna pry t j ≥ 0, j d= 1, .
Budemo vvaΩaty, wo Ω ( t ) zadovol\nq[ umovy ( S ) , ( Sl ) , qki nazyvagt\ umo-
vamy Bari – St[çkina [1]. Ce oznaça[ nastupne.
Funkciq odni[] zminno] ϕ ( τ ) ≥ 0 zadovol\nq[ umovu ( S ) , qkwo ϕ τ τα( )/
majΩe zrosta[ pry deqkomu α > 0, tobto isnu[ taka ne zaleΩna vid τ1 i τ2
stala C1 > 0, wo
ϕ τ
τα
( )1
1
≤ C1
2
2
ϕ τ
τα
( )
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Funkciq ϕ ( τ ) ≥ 0 zadovol\nq[ umovu ( Sl ) , qkwo ϕ τ τγ( )/ majΩe spada[
pry deqkomu 0 < γ < l, tobto isnu[ taka ne zaleΩna vid τ1 i τ2 stala C2 > 0,
wo
ϕ τ
τγ
( )1
1
≥ C2
2
2
ϕ τ
τγ
( )
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Budemo hovoryty, wo Ω ( t ) zadovol\nq[ umovy ( S ) i ( Sl ) , qkwo Ω ( t ) zado-
vol\nq[ ci umovy po koΩnij zminnij tj pry fiksovanyx ti , i ≠ j .
Zaznaçymo, wo funkci], qki zadovol\nqgt\ umovy 1 – 4, ( S ) ta ( Sl ) , moΩut\
maty vyhlqd
Ω ( t ) = t t
t t
r
d
r
m
d
m
d
d
1
1
1
11 1…
…
log log ,
de 0 < rj < l, j = 1, d , a mj , j = 1, d , — fiksovani dijsni çysla.
Oznaçymo deqki porqdkovi spivvidnoßennq, qki budemo vykorystovuvaty dali.
Funkci] µ ( n ) i ν ( n ) budemo nazyvaty funkciqmy odnakovoho porqdku i py-
saty µ ( n ) � ν ( n ) , qkwo dlq bud\-qkoho natural\noho n vykonu[t\sq neriv-
nist\ C3 µ ( n ) ≤ ν ( n ) ≤ C4 µ ( n ), de stali C3 , C4 > 0 moΩut\ zaleΩaty til\ky
vid parametriv, wo vxodqt\ v oznaçennq klasu, metryky, v qkij vymirg[t\sq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θ
Ω
PERIODYÇNYX FUNKCIJ … 95
poxybka nablyΩennq, ta rozmirnosti d prostoru R
d. Qkwo Ω µ ( n ) ≤
≤ C5 ν ( n ) abo µ ( n ) ≥ C 6 ν ( n ), to poznaçymo vidpovidno µ ( n ) < < ν ( n ) i
µ ( n ) >> ν ( n ).
V podal\ßomu otrymani rezul\taty budut\ mistyty porqdkove spivvidnoßen-
nq M � 2 1n dn − , M, n ∈ N, qke rozumi[t\sq takym çynom, wo isnugt\ stali 0 <
< C7 < C8, taki, wo vykonugt\sq nerivnosti
C nn d
7
12 − ≤ M ≤ C nn d
8
12 − .
Dlq 1 ≤ p ≤ ∞ , 1 ≤ θ ≤ ∞ i zadano] funkci] typu mißanoho modulq nepe-
rervnosti Ω ( t ) , qka zadovol\nq[ umovy 1 – 4, ( S ) i ( Sl ) , klas Bp,θ
Ω
vyznaça-
[t\sq takym çynom:
Bp,θ
Ω : = f L fp d Bp
∈ ≤{ }( ) :
,
π
θ
Ω 1 ,
f Bp,θ
Ω =
Ω
Ω
l
p j
jj
df t
t
dt
t
d
( , )
( )
/
=
∏∫
θ
π
θ
1
1
, 1 ≤ θ < ∞ ,
f Bp,∞
Ω = sup
( , )
( )t
l
pf t
t>0
Ω
Ω
.
U roboti [2] dlq 1 < p < ∞ dovedeno, wo
f Bp,θ
Ω � δ θ θ
θ
s p
s
s
f( , ) ( )
/
⋅
− −∑ Ω 2
1
, 1 ≤ θ < ∞ , (1)
f Bp,∞
Ω � sup
( , )
( )s
s p
s
fδ ⋅
−Ω 2
, (2)
de Ω( )2−s = Ω( ), ,2 21− −…s sd , sj ∈ N, j = 1, d .
Zaznaçymo, wo klasy funkcij Bp,θ
Ω
buly rozhlqnuti v roboti [2]. U vypadku
Ω ( t ) = t j
r
j
d j
=∏ 1
z (1), (2) vyplyvagt\ zobraΩennq
f Bp
r
,θ
� 2
1
( , )
/
( , )r s
s p
s
fθ θ
θ
δ ⋅
∑ , 1 ≤ θ < ∞ ,
f Bp
r
,∞
� sup ( , )( , )
s
r s
s pf2 δ ⋅ ,
qki buly vstanovleni v [3]. Pry θ = ∞ klas Bp,θ
Ω
zbiha[t\sq z uvedenym v [4]
klasom Hp
Ω
.
U danij roboti budemo rozhlqdaty klasy Bp,θ
Ω , qki vyznaçagt\sq funkci[g
typu mißanoho modulq neperervnosti porqdku l deqkoho special\noho vyhlqdu
Ω ( t ) = ω t j
j
d
=
∏
1
, (3)
de ω ( τ ) — zadana funkciq (odni[] zminno]) typu modulq neperervnosti porqdku
l, qka zadovol\nq[ umovy ( S ) i ( Sl ) . Lehko perekonatysq, wo dlq Ω ( t ) vyhlq-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
96 O. V. FEDUNYK
du (3) vykonugt\sq vlastyvosti 1 – 4 funkci] typu mißanoho modulq nepererv-
nosti porqdku l, a takoΩ umovy ( S ) i ( Sl ) . Tomu pry takij funkci] typu mißa-
noho modulq neperervnosti Ω ( t ) , za qkog vyznaça[t\sq klas Bp,θ
Ω , 1 < p < ∞ ,
1 ≤ θ ≤ ∞ , zberihagt\sq zobraΩennq (1), (2) dlq norm funkcij c\oho klasu.
Metog roboty [ vstanovlennq toçnyx za porqdkom ocinok linijnyx popereç-
nykiv klasiv Bp,θ
Ω
u prostori Lq d( )π dlq deqkyx znaçen\ parametriv p ta q.
Zaznaçymo, wo ponqttq linijnoho popereçnyka bulo vvedeno V. M. Tyxomyrovym
[5]. Sformulg[mo teper ce oznaçennq.
Nexaj W — mnoΩyna v banaxovomu prostori X. Todi linijnyj popereçnyk
mnoΩyny W u prostori X (poznaça[t\sq λM W X( , )) vyznaça[t\sq za formu-
log
λM W X( , ) = inf sup
A f W
Xf A f
∈
− , (4)
de nyΩnq meΩa beret\sq po vsix digçyx v X linijnyx operatorax A, rozmir-
nist\ oblasti znaçen\ qkyx ne perevywu[ M.
Kolmohorovs\kym popereçnykom central\no-symetryçno] mnoΩyny W u
prostori X (poznaça[t\sq d W XM ( , )) nazyva[t\sq velyçyna
d W XM ( , ) = inf sup inf
L f W h L X
M M
f h
∈ ∈
− ,
de LM — pidprostir v X, rozmirnist\ qkoho ne perevywu[ M.
Nahada[mo, wo linijnyj popereçnyk λM W X( , ) pov’qzanyj iz popereçnykom
Kolmohorova d W XM ( , ) nerivnistg
d W XM ( , ) ≤ λM W X( , ). (5)
U zv’qzku z cym cikavo z’qsuvaty, v qkyx vypadkax (dlq konkretnyx mnoΩyn
W i prostoriv X ) popereçnyky d W XM ( , ) i λM W X( , ) rivni za porqdkom, a v
qkyx vypadkax ma[ misce porqdkova nerivnist\
d W XM ( , ) << λM W X( , ).
Na danyj ças [ velyka kil\kist\ robit, v qkyx doslidΩuvalys\ linijni pope-
reçnyky tyx çy inßyx klasiv funkcij, abo skinçennovymirnyx mnoΩyn [6, 7].
Tut zhada[mo lyße roboty [8 – 10], v qkyx vyvçalys\ velyçyny (4) dlq klasiv
funkcij bahat\ox zminnyx Wp
r , Hp
r i Bp
r
,θ , a takoΩ vidomi knyhy [11 – 13], v
qkyx navedeno dosyt\ detal\nu bibliohrafig.
Pry vykladi rezul\tativ nam budut\ neobxidni deqki vidomi tverdΩennq.
Nexaj lp
m
poznaça[ prostir R
m
, v qkomu vvedeno normu
x lp
m =
x p
x p
i
p
i
m p
i m i
=
≤ ≤
∑( ) ≤ < ∞
= ∞
1
1
1
1
/
, ,
max , ,
i Bp
m
— odynyçna kulq v lp
m .
Ma[ misce nastupna teorema.
Teorema/A [6]. Nexaj M < m, 1 ≤ p < 2 ≤ q < ∞ , 1 / p + 1 / q ≥ 1. Todi
λM p
m
q
mB l( , ) � max , min ,/ / / /m m M
M
m
q p q1 1 1 1 21 1− −{ } −
.
ZauvaΩymo, wo u vypadku p = 1, q > 2 vidpovidnyj rezul\tat vyplyva[ z
tverdΩennq, vstanovlenoho B. S. Kaßynym [7].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θ
Ω
PERIODYÇNYX FUNKCIJ … 97
Nexaj s ∈ N
d
i T ( ρ ( s )) — mnoΩyna funkcij vyhlqdu
f ( x ) = c ek
i k x
k s
( , )
( )∈
∑
ρ
.
Teorema/B [14]. MiΩ prostorom tryhonometryçnyx polinomiv T ( ρ ( s )) i
prostorom R
2 1( , )s
isnu[ izomorfizm, qkyj stavyt\ u vidpovidnist\ funkci] f ( ⋅ )
vektor δs
jf = { }( )fn jτ ∈ R
2 1( , )s ,
f tn( ) = c ek
i k t
k nl l
( , )
sgn sgn=
∑ , l = 1, d , n = ( , , )± … ±1 1 ∈ R
d,
τj = ( ), ,π π2 22
1
21− −…s s
dj jd , ji = 1, 2, … , 2 1si − , i = 1, d ,
i pry c\omu magt\ misce spivvidnoßennq
δs pf x( , ) � 2 1
1
2
11
−
=
∑
( , )
/( , )
s
s
j p
j
p
f
s
δ , p ∈ ( 1, ∞ ) .
Dlq funkcij odni[] zminno] vidpovidnu teoremu navedeno v [15, c. 46] (t.L2).
Teorema/V (Littlvuda – Peli, dyv., napryklad, [16, c. 65]). Nexaj p ∈ ( 1,
∞ ) . Todi isnugt\ dodatni çysla C9 , C10 taki, wo dlq koΩno] funkci] f ( x )L∈
∈ Lp d( )π vykonu[t\sq spivvidnoßennq
C f p9 ≤ δs
s p
f( , )
/
⋅
∑ 2
1 2
≤ C f p10 .
TeoremaLV [ uzahal\nennqm na bahatovymirnyj vypadok vidomo] teoremy
Littlvuda – Peli (dyv. [15], t.L2, hl. 15).
Lema/1 [8]. Nexaj s ∈ N
d i f ( ⋅ ) ∈ T ( ρ ( s )) , Ms ∈ Z+ , Ms ≤ 2 1( , )s . Qkwo 1 <
< p , q < ∞ , to isnu[ linijnyj operator
ΛMs
s s: ( ( )) ( ( ))T Tρ ρ→ , rozmir-
nist\ oblasti znaçen\ qkoho ne perevywu[ Ms , takyj, wo
f fM qs
( ) ( )⋅ − ⋅Λ � λM p q
s p q
ps
s s
B l f( )
( , ) ( , )
, ( )( , )( / / )2 2 1 1 11 1
2 − ⋅ . (6)
Lema/2 [17, c. 25]. Nexaj 1 ≤ p < q < ∞ i f ∈ Lp d( )π . Todi ma[ misce spiv-
vidnoßennq
f q
q << δs p
s p q q
s
f( , ) ( , )( / / )⋅( )−∑ 2 1 1 1 . (7)
Lema/3 [6]. Nexaj M < n. Todi pry 1 ≤ p < 2 ≤ q < ∞ vykonu[t\sq
d B lM p
n
q
n( , ) � max , min ,/ / / /n n M
M
n
q p q1 1 1 1 21 1− −{ } −
. (8)
Lema/4 (dyv., napryklad, [17, c. 16]). Nexaj Tn nd1, ,… — tryhonometryçnyj
polinom stepenq nj za zminnog xj, j = 1, d . Todi pry 1 ≤ q < p ≤ ∞ ma[
misce nerivnist\
Tn n pd1, ,… ≤ 2
1
1 1
1
d
j
j
d q p
n n q
n T
d=
−
…∏
/ /
, , . (9)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
98 O. V. FEDUNYK
Spivvidnoßennq (9) vidome pid nazvog „nerivnist\ Nikol\s\koho riznyx
metryk”.
2. Osnovni rezul\taty.
Teorema/1. Nexaj 1 < p ≤ 2, p ′ < q < ∞ , 2 ≤ θ ≤ q i Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) ,
de ω ( τ ) zadovol\nq[ umovu ( S ) z deqkym α > 1 – 1 / q ta umovu ( Sl ) . T odi
dlq bud\-qkyx natural\nyx M ta n takyx, wo M � 2 1n dn − , ma[ misce spiv-
vidnoßennq
λ θM p qB L( , ),
Ω � ω ( ) ( / / )2 2 1 2 1− −n n q , (10)
de 1 1/ /p p+ ′ = 1.
Dovedennq. Vstanovymo spoçatku v (10) ocinku zverxu. Nexaj f ( x ) — do-
vil\na funkciq z klasu Bp,θ
Ω
i zadano dostatn\o velyke çyslo M. Pidberemo n
iz spivvidnoßennq M � 2 1n dn −
i koΩnomu vektoru s ∈ N
d
postavymo u vidpo-
vidnist\ çysla
Ms =
2 1
2 1
1
1
( , )
( ( , ))
, ( , ) ,
( , ) ,[ ],
s
n n s
s n
s n
≤
>
+ −ν
(11)
de ν > 0 — deqke çyslo, qke my pidberemo pizniße, [ a ] — cila çastyna çysla
a. Ocinymo Ms
s
∑ . Dlq c\oho skorysta[mos\ tym, wo
( , )
( , )
s n
s
1
12
≤
∑ =
j d
n
s j
s
= =
∑ ∑
( , )
( , )
1
12 =
j d
n
j
s j= =
∑ ∑2 1
1( , )
�
j d
n
j dj
=
−∑ 2 1 << 2 1n dn − (12)
i
2 1
1
−
>
∑ ν( , )
( , )
s
s n
=
j n s j
s
= +
∞
=
−∑ ∑
1 1
12
( , )
( , )ν = 2 1
1 1
−
= +
∞
=
∑ ∑νj
j n s j( , )
�
� 2 1
1
− −
= +
∞
∑ νj d
j n
j << 2 1− −νn dn (13)
pry ν > 0. Vraxovugçy (12) i (13), ma[mo
Ms
s
∑ ≤
( , )
( , )
( , )
( ( , ))
s n
s
s n
n n s
1
1
1
12 2
≤ >
+ −∑ ∑+ ν << 2 1n dn − � M.
Rozhlqnemo linijnyj operator, qkyj di[ na funkcig f ( x ) za formulog
Λ M f ( x ) =
s
M ss
f x∑ Λ δ ( , ),
de operatory ΛMs
pobudovano zhidno z lemog 1, tobto vony zadovol\nqgt\ spiv-
vidnoßennq (6). Ocinymo f x f xM q( ) ( )− Λ . Vykorysta[mo dlq c\oho lemu 2.
Oskil\ky za umovog teoremy 2 ≤ p ′ < q < ∞ , to, vykonugçy u formuli (7)
zaminu indeksu p na p ′, znaxodymo
f q
q << δs p
s p q q
s
f( , ) ( , )( / / )⋅( )′
′ −∑ 2 1 1 1 .
Beruçy do uvahy vykladene vywe, zapysu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θ
Ω
PERIODYÇNYX FUNKCIJ … 99
f x f xM q( ) ( )− Λ <<
( , )
( , ) ( , )
s n
s M s
q
f x f x
s
1 >
∑ −( )δ δΛ <<
<<
( , )
( , )( / / )
/
( , ) ( , )
s n
s p q
s M s p
q
q
f x f x
s
1
1 1 1
1
2
>
′ −
′∑ −
δ δΛ . (14)
Dali, vykorystovugçy spivvidnoßennq (6), iz (14) otrymu[mo
f x f xM q( ) ( )− Λ <<
<<
( , )
( , )( / / ) ( , )( / / )
/
( , ) ( , )
, ( , )
s n
s p q
M p p
s p p
s p
q
q
s
s s
B l f x
1
1 1 1 2 2 1 1 1
1
2 2
1 1
>
′ −
′
− ′∑ ( )( )
λ δ =
=
( , )
( , )( / / )
/
( , ) ( , )
, ( , )
s n
s p q
M p p s p
q
q
s
s s
B l f x
1
1 1 1 2 2
1
2
1 1
>
−
′∑ ( )( )
λ δ , (15)
a vraxovugçy te, wo zhidno z teoremog A
λM p ps
s s
B l2 21 1( , ) ( , )
, ′( ) << 2 1 1 1 2( , )( / ) /s p
sM′ − ,
iz (15) ma[mo
f x f xM q( ) ( )− Λ <<
( , )
( , )( / / ) ( , )( / ) /
/
( , )
s n
s p q s p
s s p
q
q
M f x
1
1 1 1 1 1 1 2
1
2 2
>
− ′ −∑ ( )
δ =
=
( , )
( , )( / ) /
/
( , )
s n
s q
s s p
q
q
M f x
1
1 1 1 1 2
1
2
>
− −∑ ( )
δ . (16)
Pidstavyvßy teper v (16) zamist\ Ms vidpovidni znaçennq z (11), prodovΩymo
ocinku
f x f xM q( ) ( )− Λ <<
( , )
( , )( / ) / ( ( , )) /
/
( , )
s n
s q n n s
s p
q
q
f x
1
1 1 1 2 1 2
1
2 2
>
− − − −∑ ( )
ν δ =
= 2 22 2
1
1 1 1 2
1
− −
>
− +∑ ( )
n n
s n
s q
s p
q
q
f x/ /
( , )
( , )( / / )
/
( , )ν ν δ =
= 2 2
2
2
2 22 2
1
1 1 1 2
1
1
1 1 1
1
− −
>
− +
−
−
− − −∑
n n
s n
s q
s
s
s s
s p
q q
f x/ /
( , )
( , )( / / )
( , )
( , )
( , ) ( , )
/
( )
( ) ( , )ν ν
α
αω ω δ = I.
Oskil\ky Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) zadovol\nq[ umovu ( S ) iz α > 1 – 1 / q , to
ω
α
( )( , )
( , )
2
2
1
1
−
−
s
s <<
ω
α
( )2
2
−
−
n
n (17)
pry ( s, 1 ) ≥ n .
Pidberemo ν z umovy
1
1
2
− + −
q
ν α < 0. (18)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
100 O. V. FEDUNYK
Todi vnaslidok (17) i (18) oderΩymo
I << 2 2
2
2
22 2
1
1 1 1 2 1 1
1
− −
>
− + −
−
−
− −∑
n n
s n
s q
n
n
s
s p
q q
f x/ /
( , )
( , )( / / ) ( , )
/
( )
( ) ( , )ν ν α
α
ω ω δ =
= 2 2 2 22 2
1
1 1 1 2 1 1
1
− − + −
>
− + − − −∑ ( )
n n n n
s n
s q s
s p
q
q
f x/ /
( , )
( , )( / / ) ( , )
/
( ) ( ) ( , )ν α ν αω ω δ <<
<< 2 2 2 22 2 1 1 2
1
1
1
− − + − − + −
>
− −∑
n n n n n q
s n
q s
s p
q
q
f x/ / ( / / )
( , )
( , )
/
( ) ( ) ( , )ν α ν αω ω δ =
= 2 2 21 2 1
1
1
1
n q n
s n
q s
s p
q
q
f x( / / )
( , )
( , )
/
( ) ( ) ( , )− −
>
− −∑
ω ω δ .
Oskil\ky 2 ≤ θ ≤ q , to, vykorystavßy nerivnist\ (dyv., napryklad, [18])
ak
m
k
m
1
11
∑
/
≤ ak
m
k
m
2
21
∑
/
, ak ≥ 0, 1 ≤ m2 ≤ m1 < ∞ , (19)
budemo maty
I << 2 2 21 2 1
1
1
1
n q n
s n
s
s pf x( / / )
( , )
( , )
/
( ) ( ) ( , )− −
>
− −∑
ω ω δθ θ
θ
<<
<< 2 21 2 1n q n
Bf
p
( / / ) ( )
,
− −ω
θ
Ω ≤ ω ( ) ( / / )2 2 1 2 1− −n n q .
Takym çynom, zhidno z oznaçennqm linijnoho popereçnyka, my otrymaly v
(10) ocinku zverxu.
Perejdemo do vstanovlennq vidpovidno] ocinky znyzu.
Oskil\ky 1 < p ≤ 2, to Bp,θ
Ω ⊃ B2,θ
Ω
i pry θ ≥ 2 vykonu[t\sq B2,θ
Ω ⊃ B2 2,
Ω .
Tomu dlq toho wob otrymaty ocinku znyzu popereçnyka λ θM p qB L( ), ,Ω , dostat-
n\o ocinyty znyzu popereçnyk λM qB L( ), ,2 2
Ω .
Zadamo M i vyberemo çyslo l iz umovy M � 2 1l dl − , 2 1l dl − ≥ 2M. Poklade-
mo S = { }: ( , )s s l1 = , S — kil\kist\ elementiv mnoΩyny S, i poznaçymo çerez
Tl mnoΩynu tryhonometryçnyx polinomiv z nomeramy harmonik iz
ρ( )s
s S∈∪ .
Todi za oznaçennqm linijnoho popereçnyka
λM qB L( , ),2 2
Ω ≥ λM l qB T L( , ),2 2
Ω ∩ . (20)
Qkwo Pl — operator ortohonal\noho proektuvannq na Tl
, to dlq f ∈ Lq i
tL∈ Tl vykonu[t\sq spivvidnoßennq
f t q− >> P f tl q− . (21)
Tomu z (20) i (21) otrymu[mo
λM qB L( , ),2 2
Ω ≥ λM l q lB T L T( , ),2 2
Ω ∩ ∩ . (22)
Nexaj teper f ∈ L Tl2 ∩ . Zhidno z teoremog B ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θ
Ω
PERIODYÇNYX FUNKCIJ … 101
f B2,θ
Ω �
( , )
( , )
/
( , ) ( )
s l
s
sf x
1
2
2 2 1
1 2
2
=
− −∑
δ ω = ω δ− −
=
∑
1
1
2
2
1 2
2( ) ( , )
( , )
/
l
s l
s f x �
� ω δ− −
=
−
=
∑ ∑
1
1
1
1
2 2
1 2
2 2
1
( )
( , )
( , )
/( , )
l
s l
s
j
s
j
s
f � ω δ− − −
= =
∑ ∑
1 2
1 1
2 2
1 2
2 2
1
( ) /
( , )
/( , )
l l
s l j
s
j
s
f .
(23)
Iz (23) robymo vysnovok, wo qkwo f L Tl∈ 2 ∩ i
( , )
/( , )
s l j
s
j
s
f
1 1
2 2
1 21
= =
∑ ∑
δ ≤ ω ( ) /2 2 2−l l , (24)
to C11 f ∈ B Tl2 2,
Ω ∩ , C11 > 0.
Inßymy slovamy, dovil\nij kuli C Bl l Sl
11
2
2
22 2ω ( ) /−
radiusa C l l
11
22 2ω ( ) /−
z
prostoru l
l S
2
2
stavyt\sq u vidpovidnist\ odynyçna kulq iz B Tl2 2,
Ω ∩ . Krim toho,
qkwo g L Tq l∈ ∩ , q ≥ 2, to na pidstavi teoremy Littlvuda – Peli, nerivnosti
(19) i teoremy B oderΩu[mo
g q >>
s S
s
q
g x
∈
∑
δ ( , )
/
2
1 2
=
( , )
/ /
( , )
s l
s
q q
g x
1
2
2
1
1
=
∑
δ ≥
≥
( , )
/
( , )
s l
s
q
q
g x
1 1
1
=
∑ δ =
( , )
/
( , )
s l
s q
q
q
g x
1
1
=
∑
δ �
�
( , )
( , )
/( , )
s l
s
j
s
j q
qs
f
1
1
1
2
1
2
1
=
−
=
∑ ∑
δ � 2
1 1
2
11
−
= =
∑ ∑
l q
s l j
s
j q
qs
f/
( , )
/( , )
δ . (25)
Takym çynom, iz (22) – (25) otrymu[mo ocinku
λM qB L( , ),2 2
Ω >> ω λ( ) ,( / / )2 2 1 2 1
2
2 2− − ( )l l q
M
S
q
SB l
l l
.
Dali, beruçy do uvahy vidome spivvidnoßennq (dyv., napryklad, [13])
λM
S
q
SB l
l l
2
2 2,( ) = λM q
S SB l
l l
′( )2
2
2, ,
1 1
q q
+
′
= 1,
a potim nerivnist\ (5), ma[mo
λM qB L( , ),2 2
Ω >> ω ( ) ,( / / )2 2 1 2 1 2
2
2− −
′( )l l q
M q
S Sd B l
l l
. (26)
Vykorystovugçy teper spivvidnoßennq (8), oderΩu[mo
d B lM q
S Sl l
′( )2
2
2, >> min , ( ) ( )/ /1 2 2 1
2
1 1 2
12
1 1 2
1
l d l d
l dl C l
M
l
− − −
−{ } − ≥ C13 > 0. (27)
Iz (26) i (27) otrymu[mo ßukanu ocinku znyzu
λ θM p qB L( , ),
Ω >> ω ( ) ( / / )2 2 1 2 1− −l l q .
Takym çynom, ocinku znyzu, a razom z neg i teoremu, dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
102 O. V. FEDUNYK
ZauvaΩennq/1. Qkwo Ω( )t t j
r
j
d= =∏ 1
1
, 1 < p ≤ 2, p ′ < q < ∞ , 2 ≤ θ ≤ q i
α = r1 > 1 – 1 / q, to vykonu[t\sq spivvidnoßennq
λ θM p qB L( , ),
Ω � ( )log / /M Md r q− − − +1 1 1 2 11 ,
vstanovlene A. S. Romangkom [10].
ZauvaΩennq/2. Pry porivnqnni teoremy 1 z vidpovidnog ocinkog kolmoho-
rovs\koho popereçnyka [2] robymo vysnovok, wo dlq 1 < p ≤ 2, p ′ < q < ∞ ,
2 ≤ θ ≤ q, α > 1 – 1 / q ma[ misce porqdkova rivnist\
λ θM p qB L( , ),
Ω � 2 1 1 1 1 1 2n p q d
M p qn d B L( / / ) ( )( / / )
,( , )′ − − −θ
θ
Ω ,
de M � 2 1n dn − .
Teorema/2. Nexaj 2 ≤ p < q < ∞ , 2 ≤ θ ≤ q, Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) , de ω ( τ )
zadovol\nq[ umovy ( S ) z deqkym α > 1 / p – 1 / q ta ( Sl ) . Todi dlq bud\-qkyx
natural\nyx M ta n takyx, wo M � 2 1n dn − , ma[ misce spivvidnoßennq
λ θM p qB L( , ),
Ω � ω ( ) ( / / )2 2 1 1− −n n p q . (28)
Dovedennq. Ocinka zverxu v (28) vyplyva[ z vidpovidno] ocinky nablyΩennq
klasu Bp,θ
Ω
sxidçasto-hiperboliçnymy sumamy Fur’[ S f xQn
( , ) [2].
Vstanovymo ocinku znyzu. Nexaj f ( x ) — dovil\na funkciq z klasu Bp,θ
Ω
. Vy-
korystovugçy dlq „blokiv” δs f x( , ) lemu 4 i pokladagçy v nerivnosti (9) q = 2,
oderΩu[mo
δs pf x( , ) << 2 1 1 2 1
2
( , )( / / ) ( , )s p
s f x− δ .
Z ostann\oho spivvidnoßennq vyplyva[
f Bp,θ
Ω �
s
s
s pf x∑ − −
ω δθ θ
θ
( ) ( , )( , )
/
2 1
1
<<
<<
s
s s p
s f x∑ − − −
ω δθ θ θ
θ
( ) ( , )( , ) ( , )( / / )
/
2 21 1 1 2 1
2
1
=
=
s
s
s f x∑ − −
ω δθ θ
θ
1
1
2
1
2( ) ( , )( , )
/
� f B2
1
,θ
Ω ,
de Ω1( )t = ω1 ( t1 … td ) , ω τ1( ) = ω τ τ( ) / /1 2 1− p .
Oçevydno, wo funkciq ω τ1( ) [ funkci[g typu modulq neperervnosti
porqdku l + 1, qka zadovol\nq[ umovy ( S ) z deqkym α1 = α + 1 / 2 – 1 / p >
> 1 / 2 – 1 / q ta ( Sl + 1 ) .
Iz navedenyx vywe mirkuvan\ robymo vysnovok, wo vykonu[t\sq vklgçen-
nqLLLL B Bp2
1
, ,θ θ
Ω Ω⊂ , tomu λ θM qB L( , ),2
1Ω ≤ λ θM p qB L( , ),
Ω . Wob otrymaty ocinku
λ θM B( ,,2
1Ω Lq ) znyzu, skorysta[mos\ teoremog 1:
λ θM qB L( , ),2
1Ω >> ω1
1 2 12 2( ) ( / / )− −n n q =
= ω ( ) ( / / ) ( / / )2 2 21 2 1 1 2 1− − − −n n p n q = ω ( ) ( / / )2 2 1 1− −n n p q .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
LINIJNI POPEREÇNYKY KLASIV Bp,θ
Ω
PERIODYÇNYX FUNKCIJ … 103
Takym çynom, ocinku znyzu v (28) dovedeno.
ZauvaΩennq/3. Qkwo Ω( )t t j
r
j
d= =∏ 1
1
, 2 ≤ p < q < ∞ , 2 ≤ θ ≤ q i α =
= r1 > 1 / p – 1 / q, to vykonu[t\sq porqdkova rivnist\ [10]
λ θM p qB L( , ),
Ω � ( )log / /M Md r p q− − − +1 1 1 11 .
ZauvaΩennq/4. Iz teoremy 2 i ocinok d B LM p q( , ),θ
Ω
[2] pry 2 ≤ p < q < ∞ ,
2 ≤ θ ≤ q, α > 1 / 2 vyplyva[ spivvidnoßennq
λ θM p qB L( , ),
Ω � 2 1 1 1 1 1 2n p q d
M p qn d B L( / / ) ( )( / / )
,( , )− − −θ
θ
Ω ,
de M � 2 1n dn − .
Navedemo we ocinky linijnyx popereçnykiv, qki [ naslidkamy vidomyx ocinok
inßyx aproksymatyvnyx xarakterystyk.
Teorema/3. Nexaj Ω ( t ) = ω ( t1 … td ) , de ω ( τ ) zadovol\nq[ umovy ( S ) z
deqkym α > 0 ta ( Sl ) . Todi dlq bud\-qkyx natural\nyx M t a n takyx,
wo M � 2 1n dn − , vykonu[t\sq:
a) qkwo 1 < q ≤ 2 ≤ p < ∞ , 2 ≤ θ ≤ ∞ , to
λ θM p qB L( , ),
Ω � ω θ( ) ( )( / / )2 1 1 2 1− − −n dn ;
b) qkwo 2 < q ≤ p < ∞ , 1 ≤ θ ≤ ∞ , to
λ θM p qB L( , ),
Ω � ω θ( ) ( )( / / )2 1 1 2 1− − − +n dn ,
de a+ = max{ , }a 0 .
U teoremi 3 ocinky zverxu v obox vypadkax vyplyvagt\ iz vidpovidnyx ocinok
nablyΩennq klasiv Bp,θ
Ω
sxidçasto-hiperboliçnymy sumamy Fur’[, a znyzu — iz
ocinok kolmohorovs\kyx popereçnykiv [19].
Takym çynom, pry vykonanni umov teoremy 3 ma[ misce spivvidnoßennq
d B LM p q( , ),θ
Ω � λ θM p qB L( , ),
Ω .
Naslidok. Pry θ = ∞ iz teoremy 3 u vypadku 1 < q ≤ p < ∞ , p ≥ 2,
otrymu[mo ocinku
λM p qH L( , )Ω � ω ( ) ( )/2 1 2− −n dn .
1. Bary N. K., Steçkyn S. B. Nayluçßye pryblyΩenyq y dyfferencyal\n¥e svojstva dvux
soprqΩenn¥x funkcyj // Tr. Mosk. mat. ob-va. – 1956. – 5. – S.L483 – 522.
2. Sun Youngsheng, Wang Heping. Representation and approximation multivariate periodic functions
with bounded mixed moduli of smoothness // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 1997. – 219. – S.L356 – 377.
3. Lyzorkyn P. Y., Nykol\skyj S. M. Prostranstva funkcyj smeßannoj hladkosty s dekompo-
zycyonnoj toçky zrenyq // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1989. – 187. – S.L143 – 161.
4. Pustovojtov N. N. Predstavlenye y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj mnohyx pere-
menn¥x s zadann¥m smeßann¥m modulem neprer¥vnosty // Anal. Math. – 1994. – 20. –
P. 35 – 48.
5. Tyxomyrov V. M. Popereçnyky mnoΩestv v funkcyonal\nom prostranstve y teoryq nay-
luçßyx pryblyΩenyj // Uspexy mat. Ωurn. – 1960. – 15, # 3. – S.L81 – 120.
6. Hluskyn E. D. Norm¥ sluçajn¥x matryc y popereçnyky koneçnomern¥x mnoΩestv // Mat.
sb. – 1983. – 120, # 2. – S.L180 – 189.
7. Kaßyn B. S. O nekotor¥x svojstvax matryc ohranyçenn¥x operatorov yz prostranstva ln
2
v lm
2 // Yzv. ArmSSR. Matematyka. – 1980. – 15, #L5. – S.L379 – 394.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
104 O. V. FEDUNYK
8. Haleev ∏. M. Lynejn¥e popereçnyky klassov Hel\dera – Nykol\skoho peryodyçeskyx
funkcyj mnohyx peremenn¥x // Mat. zametky. – 1996. – 59, #L2. – S.L189 – 199.
9. Romangk A. S. Lynejn¥e popereçnyky klassov Besova peryodyçeskyx funkcyj mnohyx pe-
remenn¥x. I // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53, # 5. – S.L647 – 661.
10. Romangk A. S. Lynejn¥e popereçnyky klassov Besova peryodyçeskyx funkcyj mnohyx pe-
remenn¥x. II // Tam Ωe. – # 6. – S.L820 – 829.
11. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 424Ls.
12. Tyxomyrov V. M. Nekotor¥e vopros¥ teoryy pryblyΩenyj. – M.: Yzd-vo Mosk. un-ta, 1976.
– 307Ls.
13. Tyxomyrov V. M. Teoryq pryblyΩenyj // Ytohy nauky y texnyky. Sovrem. probl. matema-
tyky. Fundam. napravlenyq / VYNYTY. – 1987. – 14. – S.L103 – 260.
14. Haleev ∏. M. Popereçnyky po Kolmohorovu klassov peryodyçeskyx funkcyj mnohyx
peremenn¥x W̃p
r
y H̃p
r
v prostranstve L̃p // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1985. – 49, #L5. –
S.L916 – 934.
15. Zyhmund A. Tryhonometryçeskye rqd¥: V 2 t. – M.: Myr, 1965. – T. 1, 2.
16. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj mnohyx peremenn¥x y teorem¥ vloΩenyq. – M.:
Nauka, 1969. – 480Ls.
17. Temlqkov V. N. PryblyΩenye funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Tr. Mat.
yn-ta AN SSSR. – 1986. – 178. – 112Ls.
18. Xardy H., Lyttl\vud D., Polya H. Neravenstva. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1948. – 456Ls.
19. Stasgk S. A. Najkrawi nablyΩennq, kolmohorovs\ki ta tryhonometryçni popereçnyky
klasiv Bp,θ
Ω
periodyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 11. –
S.L1557 – 1568.
OderΩano 24.12.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-3435 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:28Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/54/4f36aff011b51c0ad955e796b795f954.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34352020-03-18T19:54:30Z Linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ Лінійні поперечники класів $B^{\Omega}_{p, \theta}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ Fedunyk, O. V. Федуник, О. В. We obtain exact order estimates for the linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for certain values of the parameters $p$ and $q$. Одержано точні за порядком оцінки лінійних поперечників класів $B^{\Omega}_{p, \theta}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ для деяких значень параметрів $p$ та $q$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3435 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 1 (2006); 93–104 Український математичний журнал; Том 58 № 1 (2006); 93–104 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3435/3610 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3435/3611 Copyright (c) 2006 Fedunyk O. V. |
| spellingShingle | Fedunyk, O. V. Федуник, О. В. Linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title | Linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_alt | Лінійні поперечники класів $B^{\Omega}_{p, \theta}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ |
| title_full | Linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_fullStr | Linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_full_unstemmed | Linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_short | Linear widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_sort | linear widths of the classes $b^{\omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $l_q$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3435 |
| work_keys_str_mv | AT fedunykov linearwidthsoftheclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT fedunikov linearwidthsoftheclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT fedunykov líníjnípoperečnikiklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílq AT fedunikov líníjnípoperečnikiklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílq |