On the analyticity of solutions of $\overrightarrow{2b}$-parabolic systems
It is proved that if the coefficients of a $\overrightarrow{2b}$ -parabolic system admit analytic extension to a complex region in the space variables, then the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and regular solutions of the system also possess the same property.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3444 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509535321456640 |
|---|---|
| author | Ivasyshen, S. D. Kondur, O. S. Івасишен, С. Д. Кондур, О. С. |
| author_facet | Ivasyshen, S. D. Kondur, O. S. Івасишен, С. Д. Кондур, О. С. |
| author_sort | Ivasyshen, S. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:54:47Z |
| description | It is proved that if the coefficients of a
$\overrightarrow{2b}$ -parabolic system admit analytic extension to a complex region in the space variables, then the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and regular solutions of the system also possess the same property. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.956.4
S.�D.�Ivasyßen (Nac. texn. un-t Ukra]ny „KPI”, Ky]v),
O.�S.�Kondur (Prykarpat. nac. un-t, Ivano-Frankivs\k)
PRO ANALITYÇNIST| ROZV’QZKIV
2b
→→
-PARABOLIÇNYX SYSTEM
We prove that if coefficients of a 2b
→
-parabolic system admit an analytic continuation into a complex
area in space variables, then a fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and regular
solutions of the system possess such property.
Dovedeno, wo qkwo koefici[nty 2b
→
-paraboliçno] systemy dopuskagt\ analityçne prodovΩen-
nq v kompleksnu oblast\ za prostorovymy zminnymy, to taku vlastyvist\ magt\ fundamental\na
matrycq rozv’qzkiv zadaçi Koßi ta rehulqrni rozv’qzky systemy.
U fundamental\nij praci [1] I.7H.7Petrovs\kyj dlq oznaçenyx nym paraboliçnyx
system rivnqn\ u vypadku zaleΩnyx til\ky vid çasovo] zminno] t koefici[ntiv
doviv teoremy pro analityçnist\ za prostorovymy zminnymy x 1 , … , xn dosyt\
hladkyx rozv’qzkiv. Vyvçagçy fundamental\nu matrycg rozv’qzkiv zadaçi Koßi
( F M R Z K ) u kompleksnij oblasti, S.7D.7Ejdel\man [2 – 4] oderΩav analohiçni
rezul\taty dlq rozv’qzkiv paraboliçnyx za Petrovs\kym system z koefici[nta-
my, qki zaleΩat\ vid usix zminnyx i [ analityçnymy funkciqmy x1 , … , xn .
U 1960 r. S.7D.7Ejdel\man [5] rozhlqnuv novyj klas system rivnqn\, qkyj
uzahal\ngvav klas paraboliçnyx za7Petrovs\kym system. U cyx systemax dyfe-
rencigvannq za riznymy prostorovymy zminnymy magt\, vzahali kaΩuçy, rizni va-
hy vidnosno dyferencigvannq za çasovog zminnog, tobto systemy magt\ vektor-
nu paraboliçnu vahu 2b
→
≡ ( 2b1 , … , 2bn ). Tomu taki systemy nazvani 2b
→
-parabo-
liçnymy. DoslidΩennqm dlq nyx zadaçi Koßi ta, zokrema, FMRZK prysvqçeno
praci [6, 7]. U roboti [6] vyslovleno hipotezu pro moΩlyvist\ analityçnoho
prodovΩennq v kompleksnu oblast\ FMRZK ta rozv’qzkiv 2b
→
-paraboliçno] sys-
temy za zminnymy x1 , … , xr , r < n, qkwo koefici[nty systemy [ analityçnymy
funkciqmy cyx zminnyx i vykonu[t\sq prypuwennq 2b1 = … = 2br > 2br + 1 ≥ …
… ≥ 2bn . U danij statti dovodyt\sq, wo take analityçne prodovΩennq moΩlyve
za vsima prostorovymy zminnymy bez Ωodnyx prypuwen\ wodo vah 2b j , j ∈
∈ { 1, … , n }.
1. Budemo vykorystovuvaty taki poznaçennq: n, N, b1 , … , bn — zadani natu-
ral\ni çysla; 2b
→
≡ ( 2b1 , … , 2bn ) ; b — najmenße spil\ne kratne çysel b1 , …
… , bn
; mj ≡ b / bj
, qj ≡ 2bj / ( 2bj – 1 ), j ∈ { 1, … , n }; M ≡ ( ( ))=∑ m bjj
n
/ 2
1
; k ≡
≡ m kj jj
n
=∑ 1
, qkwo k ≡ ( k1 , … , kn ) — mul\tyindeks; T — zadane dodatne çyslo;
i — uqvna odynycq; { x ≡ ( x1 , … , xn ), ξ ≡ ( ξ1 , … , ξn ), y ≡ ( y1 , … , yn ) } ⊂ R n,
{ x( j ) ≡ ( x1 , … , xj – 1 , xj + 1 , … , xn ), ξ( j ) ≡ ( ξ1 , … , ξj – 1 , ξj + 1 , … , ξn ), y( j ) ≡ ( y1 , …
… , yj – 1 , yj + 1 , … , yn ) } ⊂ Rn
–
1; { zj ≡ xj + ix j′ , ζj ≡ ξj + i j′ξ , sj ≡ yj + iyj′ } ⊂ C ,
z( j ) ≡ ( x1 , … , xj – 1 , zj , xj + 1 , … , xn ), ζ( j ) ≡ ( ξ1 , … , ξj – 1 , ζj , ξj + 1 , … , ξn ), s ( j ) ≡
≡ ( y1 , … , yj – 1 , sj , yj + 1 , … , yn ), j ∈ { 1, … , n }, z ≡ ( z1 , … , zn ), ζ ≡ ( ζ1 , … , ζn ),
Ec ( t, x; τ, ξ ) ≡ exp − ( − ) −{ }−
=∑c t x
q
j j
q
j
n j jτ ξ1
1
, t > τ, { x, ξ } ⊂ Rn, c — stala;
© S.7D.7IVASYÍEN, O.7S.7KONDUR, 2006
160 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
PRO ANALITYÇNIST| ROZV’QZKIV 2b
→
-PARABOLIÇNYX SYSTEM 161
x0 ≡ ( … )x xn1
0 0, , , r ≡ ( r1 , … , rn ) — fiksovani toçky z R
n, pryçomu rj > 0, j ∈
∈ { 1, … , n }; Uj — promiΩok ( − + )x r x rj j j j
0 0, ; Vj — kruh u plowyni komplek-
sno] zminno] zj z centrom u toçci x j
0 radiusa r j
, j ∈ { 1, … , n }; U ≡ U1 × …
… × Un i V ≡ V1 × … × Vn — vidpovidno paralelepiped v Rn i kruhovyj policy-
lindr v Cn z centrom u toçci x0 i poliradiusom r; ΩV ≡ { z ≡ x + i x′ ∈ Cn
| z ∈ V
dlq x ∈ U i x′ = 0 dlq x ∈ Rn
\ U }; QV ≡ [ 0, T ] × ΩV .
Rozhlqnemo rivnomirno 2b
→
-paraboliçnu systemu N rivnqn\ vyhlqdu
∂t
u ( t, x ) = P ( t, x, ∂x )
u ( t, x ) + f ( t, x ), t ∈ ( 0, T ], x ∈ Rn, (1)
de
P ( t, x, ∂x ) ≡ P0 ( t, x, ∂x ) + P1 ( t, x, ∂x ) ≡ a t x a t xk x
k
k b
k x
k
k b
( )∂ + ( )∂
= <
∑ ∑, ,
2 2
,
ak i u, f — matryci rozmiru vidpovidno N × N i N × 1.
Budemo vykorystovuvaty taki prypuwennq:
α1) koefici[nty ak ( t, z ), || k || ≤ 2b, vyznaçeni, obmeΩeni ta neperervni po t
v oblasti QV (pry c\omu neperervnist\ po t koefici[ntiv ak ( t, z ), k = 2b,
rivnomirna wodo ΩV
) i [ analityçnymy funkciqmy vid z v oblasti V;
α2) koefici[nty ak ( t, z ), || k || ≤ 2b, zadovol\nqgt\ rivnomirno wodo t umo-
vu Hel\dera po z ∈ ΩV z pokaznykom α ∈ ( 0, 1 ] ;
α3) isnugt\ poxidni ∂x
k ak ( t, x ), k ≤ 2b, qki zadovol\nqgt\ umovy α1 i
α2
.
Osnovnymy rezul\tatamy ci[] statti [ nastupni teoremy.
Teorema 1. Nexaj koefici[nty systemy (1) zadovol\nqgt\ umovy α1 t a
α2 i Z ( t, x; τ, ξ ), 0 ≤ τ < t ≤ T, { x, ξ } ⊂ Rn, — FMRZK dlq systemy (1). Todi
isnu[ oblast\ V̂ ⊂ V taka, wo Z dopuska[ prodovΩennq po x i ξ do funk-
ci] Z ( t, z; τ, ζ ), 0 ≤ τ < t ≤ T, { z, ζ } ⊂ Ω
V̂
, qka [ analityçnog po z i ζ u V̂
i dlq qko] spravdΩugt\sq ocinky
∂ ( ) ≤ ( − ) ( ) ( ′ ′)− − ( )
− ′z
k M k b
c cZ t z C t E t x E t x, ; , , ; , , ; ,/τ ζ τ τ ξ τ ξ2 ,
(2)
0 ≤ τ < t ≤ T, { z ≡ x + i x′, ζ ≡ ξ + i ξ′ } ⊂ Ω
V̂
, || k || < 2b,
de C, c i c′ — deqki dodatni stali.
Teorema 2. Qkwo koefici[nty systemy (1) zadovol\nqgt\ umovy α 1
, α 2
ta α 3
, funkciq f ( t, z ), ( t, z ) ∈ [ 0, T ] × V, neperervna i v oblasti V anali-
tyçna qk funkciq z, to bud\-qkyj rehulqrnyj v oblasti [ 0, T ] × U rozv’qzok
u systemy (1) moΩna prodovΩyty v kompleksnu po z oblast\ V̂ ⊂ V tak,
wob vin tam buv analityçnym.
2. Dovedennq teoremy 1. Vidomo [7, s. 79 – 89], wo FMRZK Z vyznaça[t\-
sq formulog
Z t x Z t x d Z t x y y y dy
t
n
( ) = ( ) + ( ) ( )∫ ∫, ; , , ; , ; , ; , ; , ; ,τ ξ τ ξ ξ β β ϕ β τ ξ
τ
0 0
R
,
(3)
0 ≤ τ < t ≤ T, { x, ξ } ⊂ Rn,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
162 S.7D.7IVASYÍEN, O.7S.7KONDUR
de Z0 ( t, x; τ, ξ ; y ) — FMRZK dlq systemy
∂t
u ( t, x ) = P0 ( t, y, ∂x )
u ( t, x ),
ϕ τ ξ τ ξ( ) ≡ ( )
=
∞
∑t x K t xm
m
, ; , , ; ,
1
,
(4)
K1 ( t, x; τ, ξ ) ≡ ( P0 ( t, x, ∂x ) – P0 ( t, ξ, ∂x ) + P1 ( t, y, ∂x ) ) Z0 ( t, x; τ, ξ ; ξ ),
K t x d K t x y K y dym
t
m
n
( ) = ( ) ( )∫ ∫ −, ; , , ; , , ; ,τ ξ β β β τ ξ
τ
1 1
R
, m ≥ 2.
Oskil\ky
Z t x y i x V t y dn
n
0 02( ) = ( π) ( − ) ( )− { }∫, ; , ; exp , , , ;τ ξ ξ σ τ σ σ
R
,
de V0 — rozv’qzok zadaçi
dV
dt
P t y i V0
0 0= ( ), , σ , V t y t0( ) =, , ;τ σ τ = I
( I — odynyçna matrycq porqdku N ), to na pidstavi prypuwen\ α 1
, α2 z uraxu-
vannqm vlastyvostej matryci V0 i lemy 1.1 [7, s. 28] FMRZK Z0 dopuska[ ana-
lityçne prodovΩennq po x, ξ, y do funkci] Z t z s0( ), ; , ;τ ζ , { z, ζ, s } ⊂ ΩV , pry-
çomu spravdΩugt\sq ocinky
∂ ( ) ≤ ( − ) ( ) ( ′ ′)− − ( )
− ′z
k M k b
c cZ t z C t E t x E t x0
2
0 0
, ; , ; , ; , , ; ,/τ ζ ζ τ τ ξ τ ξ ,
(5)
|| k || ≤ 2b,
z deqkymy dodatnymy stalymy C, c0 i ′c0 . Todi na pidstavi (4) funkciq
K1 ( t, z; τ, ζ ), 0 ≤ τ < t, { z, ζ } ⊂ ΩV , [ analityçnog po z ta ζ v oblasti V i
vykonu[t\sq ocinka
K t z C t E t x E t xM b
c c1 1
1 2
1 1
( ) ≤ ( − ) ( ) ( ′ ′)− − + ( )
− ′, ; , , ; , , ; ,/τ ζ τ τ ξ τ ξα , (6)
de 0 < c1 < c0 , ′ > ′c c1 0 .
Dlq qder Km , m ≥ 2, analityçne prodovΩennq zdijsnymo za odni[g z pros-
torovyx zminnyx, napryklad x1 . U c\omu vypadku za ΩV viz\memo ΩV1
≡ { z( 1 ) ≡
≡ ( z1 , x2 , … , xn ) | z1 ≡ x1 + ix′1 ∈ V1 dlq x1 ∈ U1 i ′x1 = 0 dlq x1 ∈ R \ U1 ; xj ∈
∈ R, j ∈ { 2, … , n } }. Zahal\nu sxemu mirkuvan\ navedemo dlq qdra K2 .
Dlq vypadku, qkyj rozhlqda[t\sq, ocinka (6) nabyra[ vyhlqdu
K t z C t E t xM b
c1
1 1
1
1 2
1
( ) ≤ ( − ) ( )− − + ( ), ; , , ; ,( ) ( ) /τ ζ τ τ ξα ×
× exp ′( − ) ′ − ′{ }−c t xq q
1
1
1 1
1 1τ ξ . (7)
Zvidsy vyplyva[ isnuvannq takoho çysla η > 0, wo u vypadku vykonannq ne-
rivnosti
′ − ′
−
x
x
1 1
1 1
ξ
ξ
≤ η (8)
pravyl\nog [ ocinka
K t z C t E t xM b
c1
1 1
1
1 2
2
( ) ≤ ( − ) ( )− − + ( ), ; , , ; ,( ) ( ) /τ ζ τ τ ξα . (9)
Qk zaznaçeno vywe, funkci] K1 ( t, x; β, y ), K1 ( β, y; τ, ξ ) vyznaçeni dlq kom-
pleksnyx znaçen\ z1 , ζ1 i s1 z oblasti V1 vidpovidno arhumentiv x1 , ξ1 i y1 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
PRO ANALITYÇNIST| ROZV’QZKIV 2b
→
-PARABOLIÇNYX SYSTEM 163
Vony analityçni za cymy arhumentamy dlq bud\-qkyx { x( 1 ) , ξ( 1 ) , y( 1 ) } ⊂ R n
–
1,
qkwo 0 ≤ τ < β < t ≤ T.
Vyznaçymo funkcig
K t z d K t z s K s dy
t
n
2
1 1
1
1 1
1
1 11 2
1
2
δ δ
τ δ
δ
τ ζ β β β τ ζ( ) ≡ ( ) ( )
+
−
∫ ∫, ; , , ; , , ; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
R
(10)
z analityçnog po z1 , ζ1 , s1 pidintehral\nog funkci[g.
Poznaçymo çerez V̂1 mnoΩynu toçok z1 kompleksno] plowyny, qki leΩat\
vseredyni kruha V1 i taki, wo trykutnyk z verßynamy v toçci A x x( ′)1 1, i v toç-
kax B ta C dijsno] osi O y1 z kutamy θ, tg θ = η, prylehlymy do dijsno] osi,
povnistg znaxodyt\sq v c\omu kruzi. Analohiçnyj trykutnyk z verßynamy v
toçci D( ′ )ξ ξ1 1, i v toçkax E ta F dijsno] osi povynen pomistytysq v cej kruh.
V intehrali z (10) intehruvannq po dijsnij osi Oy1 zaminymo intehruvannqm
po special\nyx konturax Γ, vykorystovugçy pry c\omu analityçnist\ pidinteh-
ral\no] funkci] po s( 1 ) ta intehral\nu teoremu Koßi.
Rozhlqnemo dva moΩlyvyx vypadky: 1) vykonu[t\sq nerivnist\ (8); 2) vyko-
nu[t\sq protyleΩna do (8) nerivnist\.
U perßomu vypadku Γ — lamana, lankamy qko] [ promiΩky ( – ∞, x1
0 – r 1 ),
( x1
0 + r1 , + ∞ ), biçni storony trykutnykiv B A C ta E D F i çastyny dijsno] osi
poza cymy trykutnykamy. Ma[mo
K t z d ds K t z s K s dy
t
n
2
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
1 2
1
2
1
δ δ
τ δ
δ
τ ζ β β β τ ζ( ) ≡ ( ) ( )
+
−
∫ ∫∫
−
, ; , , ; , , ; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
RΓ
. (11)
Vyznaçymo K t z2
1 1( ), ; ,( ) ( )τ ζ formulog
K t z d ds K t z s K s dy
t
n
2
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
1
( ) ≡ ( ) ( )∫ ∫∫
−
, ; , , ; , , ; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )τ ζ β β β τ ζ
τ RΓ
. (12)
Vraxovugçy spivvidnoßennq (8), za dopomohog ocinky (9) moΩna oderΩaty
analohiçni ocinky dlq K t z s1
1 1( ), ; ,( ) ( )β i K s1
1 1( )β τ ζ, ; ,( ) ( ) . Todi, vykorystovu-
gçy lemu75.1 z [4, s. 39], ma[mo
K t z C
d
t b
t
2
1 1
1
2
1 2
1 2
1
2
δ δ
α
τ δ
δ
τ ζ β
β β τ
( ) ≤
( − )( − )( ) − ( )
+
−
∫, ; ,( ) ( )
/ ×
× exp /− ( − ) − +( − ) −( ){ }
( − )( − )
− −
( )∫ ( )
c t x y y
ds
t
q q q q
b2
1
1 1
1
1 1
1
1 2
1 1 1 1
1
β β τ ξ
β β τΓ
×
× exp /− ( − ) − +( − ) −( ){ }
( − )( − )
− −
( )
=
∫∏ ( )
c t x y y
dy
t
q
j j
q q
j j
q j
b
j
n
j j j j
j2
1 1
1 2
2
β β τ ξ
β β τ
R
≤
≤ C t E t x
d
t
M b
c b
t
( )( − ) ( )
( − )( − )
− + ( )
( − ) − ( )
+
−
( )∫ε τ τ ξ β
β β τε α
τ δ
δ
1 2
1 1 1 1 2
1
2
1
2
/
( ) ( ) /, ; , ×
× exp /− ( − ) − +( − ) −( ){ }
( − )( − )
− −
( )∫ ( )
c t x y y
dy
t
q q q q
b2
1
1 1
1
1 1
1
1 2
1 1 1 1
1
β β τ ξ
β β τ
R
, (13)
de ε ∈ ( 0, 1 ).
Z ocinky (13) vyplyva[, wo intehral (11) zbiha[t\sq rivnomirno wodo z1 ∈ V̂1
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
164 S.7D.7IVASYÍEN, O.7S.7KONDUR
ta ζ1 ∈ V̂1 i, otΩe, [ analityçnog funkci[g vid cyx arhumentiv.
Vykorystovugçy znovu lemu75.1 z7[4], oderΩu[mo taku ocinku K2
1 2δ δ , ne za-
leΩnu vid δ1 , δ2 :
K t z C t E t xM b
c2
1 1
1
1
1
1 2
2
δ δ α
ετ ζ ε τ τ ξ( ) ≤ ( )( − ) ( )− − +
( − ), ; , , ; ,( ) ( ) / . (14)
Analohiçno vstanovlg[mo ocinku
I K t z K t z C t M
δ δ
δ δ τ ζ τ ζ ε τ
1 2
1 2
2
1 1
2
1 1
1≡ ( ) − ( ) ≤ ( )( − )−, ; , , ; ,( ) ( ) ( ) ( ) ×
× E t x
d
t
d
t
c b b
t
t
2
1
2
1 1 2 1 2( − ) − ( )
+
− ( )
−
( )
( − )( − )
+
( − )( − )
( ) ( )∫ ∫ε α
τ
τ δ
α
δ
τ ξ β
β β τ
β
β β τ
, ; , / / .
Prypuskagçy, wo δ1 ta δ2 nastil\ky mali, wo τ + δ1 ≤
t + τ
2
i t – δ2 ≥
t + τ
2
,
ma[mo
I C t M b b b
δ δ
α α αε τ δ δ
1 2 2
1 2
1
2
2
2≡ ( )( − ) ( + )− − + ( ) ( ) ( )/ / / .
Zvidsy vyplyva[, wo K2
1 2δ δ rivnomirno wodo { z1 , ζ1 } ⊂ V̂1 zbiha[t\sq pry
δ1 → 0 i δ 2 → 0 do funkci] K2 , vyznaçeno] formulog7(12). OtΩe, funkciq
K2 [ analityçnog funkci[g vid z1 ∈ V̂1, ζ1 ∈ V̂1 i dlq ne] spravdΩu[t\sq ocin-
ka7(14).
U druhomu vypadku Γ — lamana, lankamy qko] [ promiΩky ( – ∞, x1
0 – r 1 ),
( x1
0 + r1 , + ∞ ), vidrizok prqmo] ′y1 = ′ + ′ − ′
− ( − )ξ ξ
τ β τ1
1 1x
t , wo mistyt\sq miΩ biç-
nymy storonamy trykutnyka B A C ( abo E D F ), çastyny biçnyx storin c\oho try-
kutnyka, qki z’[dnugt\ danyj vidrizok z dijsnog vissg, i çastyny dijsno] osi poza
cym trykutnykom. Na7konturi vykonugt\sq nerivnosti ′ − ′x y1 1 ≤
≤ ′ − ′ −
−
x
t
t1 1ξ β
τ
, ′ − ′y1 1ξ ≤ ′ − ′ −
−
x
t1 1ξ β τ
τ
, tomu exp{ ′ ( − ) ′ − ′( −c t x yq q
1
1
1 1
1 1β +
+ ( − ) ′ − ′ }− )β τ ξ1
1 1
1 1q qy ≤ exp ′( − ) ′ − ′{ }−c t xq q
1
1
1 1
1 1τ ξ . Todi, vraxovugçy (7) i
(11), otrymu[mo
K t z C t E t xM b
c2
1 1 1
1
1 2
2
δ δ α
ετ ζ ε τ τ ξ( ) ≤ ( )( − ) ( )− − +
( − ), ; , , ; ,( ) ( ) / ×
× exp ′( − ) ′ − ′{ }−c t xq q
1
1
1 1
1 1τ ξ .
Analohiçno ocing[mo Iδ δ1 2
i dovodymo rivnomirnu wodo z1 , ζ1 z V̂1 zbiΩ-
nist\ K2
1 2δ δ do K2 pry δ1 → 0, δ2 → 0.
OtΩe, dovedeno analityçnist\ funkci] K t z2
1 1( ), ; ,( ) ( )τ ζ za zminnymy z1 i ζ1
v oblasti V̂1 ta oderΩano ocinky
K t z C t M b
2
1 1
2
1( ) ≤ ( )( − )− − +, ; ,( ) ( ) /τ ζ ε τ α ×
×
E t x
x
x
E t x c t x
x
x
c
c
q q
2
2
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
( − )
( − )
−
( ) ′ − ′
−
≤
( ) ′( − ) ′ − ′{ } ′ − ′
−
>
ε
ε
τ ξ ξ
ξ
η
τ ξ τ ξ ξ
ξ
η
, ; , ,
, ; , exp .
pry
pry
Dovedennq analityçno] prodovΩuvanosti inßyx qder Km , m ≥ 3, provodyt\-
sq zaminog intehruvannq za perßog zminnog po dijsnij osi intehruvannqm po
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
PRO ANALITYÇNIST| ROZV’QZKIV 2b
→
-PARABOLIÇNYX SYSTEM 165
vidpovidnyx lamanyx za dopomohog analohiçnyx ocinok. U pidsumku oderΩu[mo
ocinky
K t z C tm m
M m b( ) ≤ ( )( − )− − + ( ), ; ,( ) ( ) /1 1 1 2τ ζ ε τ α ×
×
E t x
x
x
E t x c t x
x
x
c m
c m
q q
2
2
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
( − )
( − )
−
( ) ′ − ′
−
≤
( ) ′( − ) ′ − ′{ } ′ − ′
−
>
ε
ε
τ ξ ξ
ξ
η
τ ξ τ ξ ξ
ξ
η
, ; , ,
, ; , exp ,
pry
pry
m
b M≤ ( + )2 1
α
.
U perßomu vypadku ocinky vsix povtornyx qder Km ( i dlq m > 2b( M +
+ 1 ) / α ) faktyçno zbihagt\sq z ocinkamy v dijsnij oblasti. Tomu rqd
ϕ τ ζ τ ζ( ) = ( )
=
∞
∑t z K t zm
m
, ; , , ; ,( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
1
(15)
rivnomirno zbiΩnyj wodo z( )1
, ζ( )1
z Ω
V̂1
i, otΩe, [ analityçnog funkci[g vid
z1 , ζ1 . Pry c\omu dlq ϕ spravdΩu[t\sq ocinka
ϕ τ ζ τ τ ξα( ) ≤ ( − ) ( )− − + ( )t z C t E t xM b
c, ; , , ; ,( ) ( ) /1 1 1 2
3
.
U druhomu vypadku ocinka povtornyx qder Km z m > 2b( M + 1 ) / α ta vsta-
novlennq rivnomirno] zbiΩnosti rqdu (15) zdijsng[t\sq analohiçno vypadku
paraboliçno] za Petrovs\kym systemy v [3]. Pry c\omu
ϕ τ ζ τ τ ξα( ) ≤ ( − ) ( )− − + ( )t z C t E t xM b
c, ; , , ; ,( ) ( ) /1 1 1 2
3
×
× exp ′( − ) ′ − ′{ }−c t xq q
1
1
1 1
1 1τ ξ . (16)
Za dopomohog otrymanyx ocinok dlq ϕ j ocinky (5) dlq Z0 analohiçno pov-
tornym qdram vyvça[t\sq druhyj çlen z formuly (3). V rezul\tati vstanov-
lg[t\sq analityçnist\ FMRZK Z za zminnymy z1 , ζ1 ta ocinky
Z t z C t M( ) ≤ ( − )−, ; ,( ) ( )1 1τ ζ τ ×
×
E t x
x
x
E t x c t x
x
x
c
c
q q
( ) ′ − ′
−
≤
( ) ′( − ) ′ − ′{ } ′ − ′
−
>
−
, ; , , ,
, ; , exp , .
τ ξ ξ
ξ
η
τ ξ τ ξ ξ
ξ
η
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
ZauvaΩymo, wo FMRZK Z pry t > τ ma[ neperervni poxidni ∂x
k Z , k < 2b,
analityçni za zminnymy z1 , ζ1 i dlq qkyx
∂ ( ) ≤ ( − )− − ( )
z
k
k
M k bZ t z C t( ) , ; ,( ) ( ) /
1
1 1 2τ ζ τ ×
× E t xc( ), ; ,τ ξ exp ′( − ) ′ − ′{ }−c t xq qτ ξ1
1 1
1 1 . (17)
Ce lehko vstanovlg[t\sq za dopomohog zobraΩennq
Z t z Z t z( ) = ( ), ; , , ; , ;( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
0
1 1 1τ ζ τ ζ ζ +
+ d ds Z t z s s s dy
t
n
β β ϕ β τ ζ
τ
∫ ∫∫ ( ) ( )
−
1 0
1 1 1 1 1
1
1
, ; , ; , ; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
RΓ
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
166 S.7D.7IVASYÍEN, O.7S.7KONDUR
v qkomu Γ 1 — kontur, pokazanyj na rys.71, na vidrizku K L ′y1 =
′ + ( ′ − ′ ) −
−ξ ξ β τ
τ1 1 1x t , z1 zming[t\sq u zaßtryxovanij oblasti. Zastosuvavßy do
c\oho zobraΩennq dyferencigvannq vyhlqdu ∂
z
k
( )1 , k < 2b, i vykorystavßy
ocinky (5), (16) i mirkuvannq, navedeni u druhomu vypadku, oderΩymo ocinky (17).
Rys. 1
FMRZK Z dlq systemy (1) moΩna analityçno prodovΩyty za koΩnog z
prostorovyx zminnyx tak samo, qk ce zrobleno vywe za perßog zminnog. Todi na
pidstavi lemy Oshuda [8, s. 13] matymemo ]] analityçne prodovΩennq za sukupnis-
tg zminnyx.
3. Dovedennq teoremy 2. Qk i pry dovedenni teoremy 1, obmeΩymos\ ana-
lityçnym prodovΩennqm rozv’qzku za perßog prostorovog zminnog.
Pry vykonanni prypuwen\ α1
, α2 i α 3
, zhidno z vlastyvistg 2 FMRZK [6,
s. 63], dlq rehulqrnoho v oblasti [ 0, T ] × U rozv’qzku systemy (1) pravyl\nog [
formula
u t x Z t x u d d B Z t x u dS
U
t
j
j
n
U
j( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )∫ ∫ ∑∫ [ ]
=∂
, , ; , , , ; , , ,0 0
0 1
ξ ξ ξ τ τ ξ τ ξ ν ξ +
+ d Z t x f d
t
U
τ τ ξ τ ξ ξ
0
∫ ∫ ( ) ( ), ; , , , ( t, x ) ∈ [ 0, T ] × U, (18)
de ( ν1 , … , νn ) — ort zovnißn\o] normali do meΩi ∂ U paralelepipeda U ,
B
j
[ Z, u ] — bilinijna forma, qka mistyt\ poxidni vyhlqdu ∂ξ
k Z i ∂ξ
ku , || k || <
2b.
Zhidno z vlastyvistg normal\nosti matryci Z [7, s. 93] matrycq
Z t x Z t x* , , , ,( ; ) ≡ ′( ; )τ ξ τ ξ , 0 ≤ τ < t ≤ T, { x, ξ } ⊂ Rn,
de ßtryx oznaça[ transponuvannq matryci, a ryska — kompleksne sprqΩennq, [
FMRZK dlq systemy, sprqΩeno] do (1). Zvidsy ta z teoremy 1 vyplyva[ anali-
tyçnist\ za zminnymy z1 i ζ1 poxidnyx ∂ ( )ζ τ ζ( ) , ; ,( ) ( )
1
1 1k Z t z , k < 2b, ta pra-
vyl\nist\ dlq nyx ocinok, analohiçnyx ocinkam (17).
Poklademo u formuli (18) z( )1 zamist\ x. Todi analityçnist\ po z1 perßo-
ho dodanka pravo] çastyny ci[] formuly vyplyva[ z analityçnosti Z ( t, z( 1 ); 0, ξ )
pry t > 0, neperervnosti u ( 0, ξ ) ta obmeΩenosti oblasti intehruvannq.
Iz rivnomirno] wodo δ > 0 obmeΩenosti funkcij
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
PRO ANALITYÇNIST| ROZV’QZKIV 2b
→
-PARABOLIÇNYX SYSTEM 167
g t z d B Z t z u dS
t
j
j
n
U
jδ
δ
ξτ τ ξ τ ξ ν( ) ≡ ( ) ( )
−
=∂
∫ ∑∫ [ ], , ; , ,( ) ( )1
0
1
1
,
qka lehko vstanovlg[t\sq, na pidstavi teoremy Montelq [9, s. 368] ma[mo kom-
paktnist\ sukupnosti gδ
, δ > 0. Vydilqgçy z ne] rivnomirno zbiΩnu poslidov-
nist\ { gδk
, k ≥ 1 }, oderΩu[mo, wo ]] hranycq
g t z d B Z t z u dS
t
j
j
n
U
j( ) ≡ ( ) ( )∫ ∑∫ [ ]
=∂
, , ; , ,( ) ( )1
0
1
1
τ τ ξ τ ξ ν ξ ,
[ analityçnog za z1 funkci[g.
Analityçne prodovΩennq tret\oho dodanka z pravo] çastyny (18) zdijsng-
[t\sq takym sposobom. Rozhlqda[t\sq poslidovnist\ intehraliv
I t z d Z t z f d
t
U
δ
δ
τ τ ξ τ ξ ξ( ) ≡ ( ) ( )
−
∫ ∫, , ; , ,( ) ( )1
0
1 , δ > 0.
Zhidno z prypuwennqm wodo f i vlastyvostqmy Z funkci] Iδ [ analityçnymy
po z1
, a ]x pidintehral\na funkciq dopuska[ analityçne prodovΩennq v kom-
pleksnu oblast\ za zminnog ξ1
. Vraxovugçy ce, intehruvannq v Iδ po ξ1 p o
vidrizku dijsno] osi zaminymo intehruvannqm po lamanij D A B C E ( rys.72). Todi
lehko vstanovlg[t\sq rivnomirna wodo δ obmeΩenist\ intehraliv Iδ , i za teo-
remog Montelq matymemo analityçnist\ po z1 intehrala
d Z t z f d
t
U
τ τ ξ τ ξ ξ
0
1∫ ∫ ( ) ( ), ; , ,( ) .
Rys. 2
1. Petrovskyj5Y.5H. O probleme Koßy dlq system lynejn¥x uravnenyj s çastn¥my proyz-
vodn¥my v oblasty neanalytyçeskyx funkcyj // Bgll. Mosk. un-ta. Matematyka y mexa-
nyka. – 1938. – 1, #77. – S.71 – 72.
2. ∏jdel\man5S.5D. Ob analytyçnosty reßenyj parabolyçeskyx system // Dokl. AN SSSR. –
1955. – 103, #71. – S.727 – 30.
3. ∏jdel\man5S.5D. O fundamental\n¥x reßenyqx parabolyçeskyx system // Mat.7sb. – 1956.
– 38, #71. – S.751 – 92.
4. ∏jdel\man5S.5D. Parabolyçeskye system¥. – M.: Nauka, 1964. – 4437s.
5. ∏jdel\man5S.5D. Ob odnom klasse parabolyçeskyx system // Dokl. AN SSSR. – 1960. – 133,
#71. – S.740 – 43.
6. Yvasyßen5S.5D., ∏jdel\man5S.5D. 2b
→
-Parabolyçeskye system¥ // Tr. semynara po funkc.
analyzu. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1968. – V¥p.71. – S.73 – 175, 271 – 273.
7. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and
pseudo-differential equations of parabolic type. – Basel etc.: Birkhäuser, 2004. – 390 p.
8. Hannynh5R., Rossy5X. Analytyçeskye funkcyy mnohyx kompleksn¥x peremenn¥x. – M.:
Myr, 1969. – 3957s.
9. Markußevyç5A.5Y. Teoryq analytyçeskyx funkcyj. T.71. Naçala teoryy. – M.: Nauka, 1967.
– 4867s.
OderΩano 19.10.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3444 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:39Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d9/926ba634f2e0d45f3d495db4d4deded9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34442020-03-18T19:54:47Z On the analyticity of solutions of $\overrightarrow{2b}$-parabolic systems Про аналітичність розв'язків $\overrightarrow{2b}$ -параболічних систем Ivasyshen, S. D. Kondur, O. S. Івасишен, С. Д. Кондур, О. С. It is proved that if the coefficients of a $\overrightarrow{2b}$ -parabolic system admit analytic extension to a complex region in the space variables, then the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and regular solutions of the system also possess the same property. Доведено, що якщо коефіцієнти $\overrightarrow{2b}$-параболічної системи допускають аналітичне продовження в комплексну область за просторовими змінними, то таку властивість мають фундаментальна матриця розв'язків задачі Коші та регулярні розв'язки системи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3444 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 2 (2006); 160-167 Український математичний журнал; Том 58 № 2 (2006); 160-167 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3444/3626 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3444/3627 Copyright (c) 2006 Ivasyshen S. D.; Kondur O. S. |
| spellingShingle | Ivasyshen, S. D. Kondur, O. S. Івасишен, С. Д. Кондур, О. С. On the analyticity of solutions of $\overrightarrow{2b}$-parabolic systems |
| title | On the analyticity of solutions of $\overrightarrow{2b}$-parabolic systems |
| title_alt | Про аналітичність розв'язків $\overrightarrow{2b}$ -параболічних систем |
| title_full | On the analyticity of solutions of $\overrightarrow{2b}$-parabolic systems |
| title_fullStr | On the analyticity of solutions of $\overrightarrow{2b}$-parabolic systems |
| title_full_unstemmed | On the analyticity of solutions of $\overrightarrow{2b}$-parabolic systems |
| title_short | On the analyticity of solutions of $\overrightarrow{2b}$-parabolic systems |
| title_sort | on the analyticity of solutions of $\overrightarrow{2b}$-parabolic systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3444 |
| work_keys_str_mv | AT ivasyshensd ontheanalyticityofsolutionsofoverrightarrow2bparabolicsystems AT konduros ontheanalyticityofsolutionsofoverrightarrow2bparabolicsystems AT ívasišensd ontheanalyticityofsolutionsofoverrightarrow2bparabolicsystems AT konduros ontheanalyticityofsolutionsofoverrightarrow2bparabolicsystems AT ivasyshensd proanalítičnístʹrozv039âzkívoverrightarrow2bparabolíčnihsistem AT konduros proanalítičnístʹrozv039âzkívoverrightarrow2bparabolíčnihsistem AT ívasišensd proanalítičnístʹrozv039âzkívoverrightarrow2bparabolíčnihsistem AT konduros proanalítičnístʹrozv039âzkívoverrightarrow2bparabolíčnihsistem |