Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. I
We develop topological methods for the investigation of operator inclusions in Banach spaces, prove the generalized Ky Fan inequality, and study the critical points of many-valued mappings in topological spaces.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3446 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509539287171072 |
|---|---|
| author | Mel'nik, V. S. Мельник, В. С. |
| author_facet | Mel'nik, V. S. Мельник, В. С. |
| author_sort | Mel'nik, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:54:47Z |
| description | We develop topological methods for the investigation of operator inclusions in Banach spaces, prove the generalized Ky Fan inequality, and study the critical points of many-valued mappings in topological spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
V. S. Mel\nyk
(Yn-t prykl. systemn. analyza NAN Ukrayn¥ y M-va obrazovanyq y nauky Ukrayn¥, Kyev)
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX
VKLGÇENYJ V BANAXOVÁX PROSTRANSTVAX. I
Topological methods of the investigation of operator inclusions in Banach spaces are developed. The
Kee Fan generalized inequality is proved and critical points of many-valued mappings in topological
spaces are investigated.
Rozroblqgt\sq topolohiçni metody doslidΩennq operatornyx vklgçen\ u banaxovyx prostorax.
Dovedeno uzahal\nenu nerivnist\ Ki Fanq ta doslidΩeno krytyçni toçky bahatoznaçnyx vidobra-
Ωen\ u topolohiçnyx prostorax.
1. Vvedenye. Postanovka zadaçy. Xoroßo yzvestna rol\ operatorn¥x y to-
polohyçeskyx metodov v teoryy nelynejn¥x uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x
[1 – 3]. Pry yzuçenyy dyfferencyal\n¥x uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x
voznykaet neobxodymost\ v obobwenyy metodov [1 – 3] na operatorn¥e vklgçe-
nyq v banaxov¥x prostranstvax [4, 5]. Krome toho, operatorn¥e vklgçenyq ças-
to voznykagt pry yssledovanyy varyacyonn¥x neravenstv. V nastoqwej rabote
predstavleno dal\nejßee razvytye metodov [5 – 7].
Pust\ X — banaxovo prostranstvo, X
*
— eho topolohyçeskoe dvojstvennoe,
〈⋅ ⋅〉 × →∗, :X X X R — kanonyçeskaq forma, A X X: ⇒ ∗
— mnohoznaçnoe oto-
braΩenye, gr A = { }( , ) ( )v y X X v A y∈ × ∈∗
— eho hrafyk, D ( A ) = {y X∈
A y( ) }≠ ∅ — πffektyvnoe mnoΩestvo. OtobraΩenye A naz¥vaetsq strohym,
esly D ( A ) = X. S kaΩd¥m mnohoznaçn¥m otobraΩenyem A X X: ⇒ ∗
svqΩem
verxngg a y v+( , ) = [ ( ), ]A y v + = sup ,
( )d A y
Xd v
∈
〈 〉 y nyΩngg a y v−( , ) = [ ( ), ]A y v − =
= inf ,
( )d A y Xd v
∈
〈 〉 form¥ na X X× , a takΩe verxngg A y( ) + = sup
( )d A y
Xd
∈
∗ y
nyΩngg A y( ) − = sup
( )d A y
Xd
∈
∗ norm¥ operatora A, pryçem esly y ∉ D ( A ) ,
to sootvetstvenno polahaem a y v+( , ) = a y v−( , ) = 0 ∀ v ∈ X , A y( ) + = A y( ) − =
= 0. Mnohoznaçnomu operatoru A X X: ⇒ ∗
sootvetstvuet otobraΩenye
∗
∗co A X X: ⇒ , opredelqemoe sootnoßenyem
∗
co A y( ) =
∗
co ( ( ))A y , hde symvol
∗— oznaçaet zam¥kanye mnoΩestva co A y( ) v σ( ; )X X∗ -topolohyy prostranstva
X∗ , pryçem D ( A ) =
∗
D A( )co . Oboznaçym çerez C XV ( )∗
sovokupnost\ vsex ne-
pust¥x *-slabo zamknut¥x v¥pukl¥x podmnoΩestv prostranstva X∗ .
Prost¥my v¥çyslenyqmy proverqetsq spravedlyvost\ sledugweho utverΩ-
denyq.
PredloΩenye*1. Pust\ A B X X, : ⇒ ∗
— strohye otobraΩenyq. Tohda
dlq y v v v X, , ,1 2 ∈ spravedlyv¥ sledugwye svojstva:
1) funkcyonal X w a y w� � +( , ) — v¥pukl¥j, poloΩytel\no odnorodn¥j,
poluneprer¥vn¥j snyzu;
2)>>[ ( ), ] [ ( ), ]A y v A y v1 2+ −+ ≤ [ ( ), ]A y v v1 2+ + ≤ [ ( ), ] [ ( ), ]A y v A y v1 2+ ++ ,
[ ( ), ] [ ( ), ]A y v A y v1 2− −+ ≤ [ ( ), ]A y v v1 2+ − ≤ [ ( ), ] [ ( ), ]A y v A y v1 2− ++ ;
3) [ ( ) ( ), ]A y B y v+ + = [ ( ), ] [ ( ), ]A y v B y v+ ++ , [ ( ) ( ), ]A y B y v+ − =
= [ ( ), ] [ ( ), ]A y v B y v− −+ ;
© V. S. MEL|NYK, 2006
184 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 185
4) [ ( ), ]A y w + = [ ( ), ]B y w + ∀ ∈w X ⇔
∗
co A y( ) =
∗
co B y( ) , [ ( ), ]A y w + ≥
≥ 〈 〉d w X, ∀ ∈w X ⇔ d ∈
∗
co A y( ) ;
5) [[ ( ), ]]A y v + ≤ A y v X( ) + , [[ ( ), ]]A y v − ≤ A y v X( ) − , hde [[ ( ), ]]A y v + =
= sup ,
( )d A y
Xd v
∈
〈 〉 , [[ ( ), ]]A y v − = inf ,
( )d A y Xd v
∈
〈 〉 ;
6) funkcyonal ⋅ →+
∗
+: ( )C XV R opredelqet normu na ohranyçenn¥x pod-
mnoΩestvax yz C XV ( )∗
;
7) funkcyonal ⋅ →−
∗
+: ( )C XV R korrektno opredelen, pryçem:
a) 0 ∈ ∈ ∗A y C XV( ) ( ) ⇔ A y( ) − = 0 ;
b) α αA y A y( ) ( )− −= ;
v) A y B y A y B y( ) ( ) ( ) ( )+ ≤ +− − − ;
8) d A y B yH ( ( ), ( )) ≥ A y B y( ) ( )+ +− , d A y B yH ( ( ), ( )) ≥ A y B y( ) ( )− −− ,
A y B y( ) ( )− + ≥ A y B y( ) ( )+ −− , A y B y( ) ( )− − ≥ A y B y( ) ( )− +− , h d e
dH — metryka Xausdorfa.
Zameçanye*1. Nesmotrq na to çto funkcyonal ⋅ →+
∗
+: ( )C XV R zadaet
normu na ohranyçenn¥x podmnoΩestvax C XV ( )∗ , poroΩdennaq πtoj normoj
metryka d A y B y( ( ), ( )) = A y B y( ) ( )− + ymeet rqd patolohyçeskyx svojstv. V
çastnosty, d A y B y( ( ), ( )) = 0 tohda y tol\ko tohda, kohda A ( y ) = B ( y ) — odno-
toçeçn¥e mnoΩestva. Poπtomu bolee estestvennoj metryçeskoj strukturoj na
C XV ( )∗
qvlqetsq struktura metryçeskoho prostranstva s metrykoj Xausdorfa.
Pust\ V, W — banaxov¥ prostranstva, A V V: ⇒ ∗ , A W W: ⇒ ∗
— mnoho-
znaçn¥e otobraΩenyq. Predpolahaem, çto prostranstvo X s normoj y X =
= y yV W+ plotno v V y v W. V πtom sluçae X V W∗ ∗ ∗= + .
V rabote rassmatryvagtsq operatorn¥e vklgçenyq
A ( y ) + B ( y ) � f . (1)
∏lement y ∈ X , udovletvorqgwyj (1), naz¥vaetsq strohym reßenyem vklgçe-
nyq y, sootvetstvenno, slab¥m reßenyem (1), esly v¥polnqetsq neravenstvo
[ ( ), ] [ ( ), ]A y w B y w+ ++ ≥ 〈 〉f w X, ∀ w ∈ X . (2)
Otmetym, çto kaΩdoe strohoe reßenye qvlqetsq slab¥m, no ne naoborot.
2. Klass¥ otobraΩenyj. V πtom punkte vvodqtsq y yzuçagtsq osnovn¥e
konstrukcyy mnohoznaçn¥x otobraΩenyj, dejstvugwyx yz banaxova prostran-
stva X v soprqΩennoe X∗ . Dlq uprowenyq v¥kladok ohranyçymsq strohymy
otobraΩenyqmy. Pry πtom zametym, çto [ ( ), ] ( ),[ ]A y v A y v+
∗
+= co , [ ( ), ]A y v − =
= [ ]( ),
∗
−co A y v ∀ y, v ∈ X ,
∗
+
co A y( ) = A y( ) + , a esly prostranstvo X ref-
leksyvno, to
∗
−
co A y( ) = A y( ) − , a takΩe
[ ( ), ]A y v + ≥ 〈 〉d v X, ∀ v ∈ D ⊂ X ⇔
∗
co A y( ),
hde D — vsgdu plotnoe mnoΩestvo, A ( y ) — ohranyçennoe mnoΩestvo v X∗ .
Opredelenye*1. OtobraΩenye A X X: ⇒ ∗
naz¥vaetsq:
a) λ-psevdomonotonn¥m, esly yz toho, çto y yn → slabo v X, y neraven-
stva
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
186 V. S. MEL|NYK
lim ,
n
n n Xd y y
→∞
〈 − 〉 ≤ 0, (3)
hde dn ∈
∗
co A y( ) , sleduet suwestvovanye podposledovatel\nostej { }ym ⊂
⊂ { }yn , { } { }d dm n⊂ , dlq kotor¥x
lim ,
m
m m Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ( ), ]A y y v− − ∀ v ∈ X ; (4)
b) λ0-psevdomonotonn¥m, esly yz y yn → slabo v X ,
∗
→co A y d dn n( ) �
* -slabo v X∗
y neravenstva (3) poluçaem (4).
Zameçanye*2. Ydeq perexoda k podposledovatel\nostqm v opredelenyy 1
pozaymstvovana u Y. V. Skr¥pnyka [1].
Zameçanye*3. Oçevydno, kaΩdoe λ-psevdomonotonnoe otobraΩenye qvlq-
etsq λ0-psevdomonotonn¥m. Dlq ohranyçenn¥x otobraΩenyj verna y obratnaq
ymplykacyq. Dejstvytel\no, pust\ A X X: ⇒ ∗
— λ0-psevdomonotonnoe oto-
braΩenye, y yn → slabo v X, ymeet mesto (3), hde dn ∈
∗
co A yn( ). Yz ohrany-
çennosty operatora A neposredstvenno sleduet ohranyçennost\
∗
co A , a zna-
çyt, y posledovatel\nosty { }dn v X∗
. Sledovatel\no, najdutsq podposledo-
vatel\nosty { } { }d dm n⊂ y, sootvetstvenno, { } { }y ym n⊂ takye, çto d dm →
* -slabo v X∗ , y pry πtom
lim ,
m m m Xd y y
→∞
〈 − 〉 ≤ lim ,
n n n Xd y y
→∞
〈 − 〉 ≤ 0.
Odnako operator A — λ0-psevdomonotonn¥j, poπtomu najdetsq ewe odna pod-
posledovatel\nost\ (soxranym dlq nee preΩnee oboznaçenye), dlq kotoroj
lim ,
m
m m Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ( ), ]A y y v− − ∀ v ∈ X ,
çto y dokaz¥vaet nuΩnoe utverΩdenye. (Obratym vnymanye, çto dlq klassyçe-
skyx opredelenyj (bez perexoda k podposledovatel\nostqm) πto utverΩdenye
problematyçno.)
V rabote [4] vveden klass obobwenno psevdomonotonn¥x operatorov. Opera-
tor A X X: ⇒ ∗
naz¥vaetsq psevdomonotonn¥m, esly:
1) A y C XV( ) ( )∈ ∗
y A ( y ) ohranyçeno v X
*
∀ y ∈ D ( A ) ;
2) dlq kaΩdoj par¥ posledovatel\nostej { }yn , { }dn takoj, çto dn>∈
∈ A ( yn ) , y yn → slabo v X, d dn → * -slabo v X
*, y neravenstva (4) ymeem d ∈
∈ A ( y ) y 〈 〉 → 〈 〉d y d yn n X X, , .
PredloΩenye*2. KaΩd¥j obobwenno psevdomonotonn¥j operator qvlqet-
sq λ0-psevdomonotonn¥m.
Dokazatel\stvo. Pust\ y yn → slabo v X, A y d dn n( ) � → * -slabo v X
*
y v¥polnqetsq (3). Tohda v sylu obobwennoj psevdomonotonnosty 〈 〉d yn n X, →
→ 〈 〉d y X, , d ∈ A ( y ) , sledovatel\no,
lim ,
n
n n Xd y v
→∞
〈 − 〉 = 〈 − 〉d y v X, ≥ [ ( ), ]A y y v− − ∀ v ∈ X .
PredloΩenye>2 ne qvlqetsq obratym¥m, tem ne menee, spravedlyvo sledug-
wee utverΩdenye.
PredloΩenye*3. Pust\ A X X: ⇒ ∗
— λ 0-psevdomonotonn¥j operator.
Tohda ymeet mesto sledugwee svojstvo:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 187
yz y yn → slabo v X ,
∗
→co A y d dn n( ) � * -slabo v X
*
y neravenstva
(3) v¥tekaet suwestvovanye takyx podposledovatel\nostej { } { }y ym n⊂ ,
{ } { }d dm n⊂ , çto 〈 〉 → 〈 〉d y d ym m X X, , , pryçem d ∈
∗
co A y( ).
Dokazatel\stvo. Pust\ { }yn , { }dn — trebuem¥e posledovatel\nosty,
sledovatel\no, moΩno v¥delyt\ takye podposledovatel\nosty { }ym , { }dm ,
dlq kotor¥x v¥polnqetsq neravenstvo (4). Polahaq v poslednem v = y, polu-
çaem 〈 − 〉d y ym m X, → 0 yly 〈 〉 → 〈 〉d y d ym m X X, , . Pry πtom
〈 − 〉d y v X, = lim ,
m m m Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ( ), ]A y y v− − ∀ v ∈ X .
Otsgda yz predloΩenyq 1 poluçaem d ∈
∗
co A y( ) .
PredloΩenye*4. Pust\ A X X: ⇒ ∗
— ohranyçennoznaçnoe λ-psevdomo-
notonnoe otobraΩenye. Tohda spravedlyvo sledugwee svojstvo: yz y yn →
slabo v X y neravenstva (3) v¥tekaet suwestvovanye takyx podposledova-
tel\nostej { }ym , { }dm , çto dlq kaΩdoho v ∈ X najdetsq ζ ( v ) ∈
∗
co A y( ),
dlq kotoroho
lim ,
m
m m Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ 〈 − 〉ζ( ),v y v X . (5)
Dokazatel\stvo. Pust\ y yn → slabo v X, dn ∈
∗
co A yn( ) y spravedly-
vo>(3). Tohda, v¥delqq sootvetstvugwye podposledovatel\nosty, poluçaem
lim ,
m
m m Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ( ), ]A y y v− − ∀ v ∈ X . (6)
Sledugwee utverΩdenye qvlqetsq varyantom obobwennoj teorem¥ Vejer-
ßtrassa [8].
Lemma*1. Pust\ X — banaxovo prostranstvo, K X⊂ ∗
— * -zamknutoe
mnoΩestvo, L X: { }∗ → = + ∞R R ∪ — * -polukompaktn¥j snyzu funkcyonal.
Pust\, krome toho, lybo mnoΩestvo K ohranyçeno, lybo
lim ( )
v X
L v
∗ →∞
= + ∞ .
Tohda funkcyonal L ohranyçen snyzu na K, dostyhaet na K toçnoj nyΩnej
hrany m y mnoΩestvo E = { }( )v K L v m∈ = * -kompaktno v X∗ .
Dokazatel\stvo analohyçno dokazatel\stvu teorem¥ 9.3 yz [8].
MnoΩestvo
∗
co A y( ) * -slabo zamknuto y ohranyçeno, a funkcyonal X∗ �
� w � 〈 − 〉w y v X, ∀ v ∈ X * -slabo poluneprer¥ven snyzu. Tohda yz lemm¥ 1
sleduet, çto suwestvuet ζ ( v ) ∈
∗
co A y( ) takoe, çto [ ( ), ]A y y v− − =
= 〈 − 〉ζ( ),v y v X . Otsgda y yz neravenstva (6) poluçaem (5).
PredloΩenye 4 dokazano.
PredloΩenye*5. Pust\ A B X X, : ⇒ ∗
— λ -psevdomonotonn¥e otobra-
Ωenyq y odno yz nyx ohranyçennoznaçnoe. Tohda otobraΩenye C A B= + :
X X⇒ ∗
( )( ) ( ) ( )C y A y B y= + qvlqetsq λ-psevdomonotonn¥m.
Opredelenye*2. Mnohoznaçn¥e otobraΩenyq A B X X, : ⇒ ∗
naz¥vagtsq
sovmestno s-ohranyçenn¥my, esly dlq lgboho M > 0 suwestvuet K ( M ) > 0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
188 V. S. MEL|NYK
takoe, çto yz y X ≤ M, 〈 + 〉d y d y y X1 2( ) ( ), ≤ M, hde d y1( ) ∈
∗
co A y( ) , d y2( )>∈
∈
∗
co B y( ), sleduet yly d y X1( ) ∗ ≤ K ( M ) , yly d y X2( ) ∗ ≤ K ( M ) .
PredloΩenye*6. Pust\ A B X X, : ⇒ ∗
— λ 0-psevdomonotonn¥e sovmest-
no s-ohranyçenn¥e otobraΩenyq. Tohda otobraΩenye C = A + B λ 0-psevdo-
monotonnoe.
Dokazatel\stvo (predloΩenye 5 dokaz¥vaetsq analohyçno). Pust\
y yn → slabo v X,
∗
→co C y d dn n( ) � * -slabo v X
*
y ymeet mesto neravenst-
vo (3).
Lemma*2. V uslovyqx predloΩenyq 6 spravedlyvo ravenstvo
∗
+co ( )( ) ( )A y B y =
∗ ∗
+co coA y B y( ) ( ) ∀ y ∈ X .
Dokazatel\stvo. Yzvestno [9], çto co ( )( ) ( )A y B y+ = co coA y B y( ) ( )+ ,
sledovatel\no,
∗
+co ( )( ) ( )A y B y ⊃
∗ ∗
+co coA y B y( ) ( )
y, bolee toho,
∗
+co ( )( ) ( )A y B y =
∗ ∗ ∗
+co co co( )( ) ( )A y B y .
Dejstvytel\no, v sylu svojstv verxnej form¥
∗
++[ ( ) ]( ) ( ) ,co A y B y w = [ ]( ) ( ),A y B y w+ + = [ ] [ ]( ), ( ),A y w B y w+ ++ =
= [ ] [ ]( ), ( ),co coA y w B y w
∗
+
∗
++ = [ ]( ) ( ),co coA y B y w
∗ ∗
++ =
=
∗ ∗ ∗
++[ ( ) ]( ) ( ) ,co co coA y B y w ∀ w ∈ X .
Tohda sohlasno predloΩenyg 1
∗
+co ( )( ) ( )A y B y =
∗ ∗ ∗
+co co co( )( ) ( )A y B y .
Takym obrazom, dlq dokazatel\stva lemm¥ dostatoçno ustanovyt\ zamknutost\
mnoΩestva co coA y B y
∗ ∗
+( ) ( ) v σ( ; )X X∗
-topolohyy. Pust\
ξ n ∈ co co co( )( ) ( )A y B y
∗ ∗
+ = co coA y B y
∗ ∗
+( ) ( ),
ξ ξn → * -slabo v X
*, pryçem ξ ξ ξn n n= ′ + ′′ , hde ′ ∈
∗
ξn A yco ( ), ′′ ∈
∗
ξn B yco ( ).
Yz ohranyçennosty { }ζn v X
*
poluçaem ocenku
〈 ′ + ′′ 〉ξ ξn n Xy, ≤ M,
otkuda v sylu sovmestnoj s-ohranyçennosty par¥ otobraΩenyj ( A; B ) ymeem
yly ′ ≤∗ξn X M , yly ′′ ≤∗ξn X M .
V pervom sluçae yz { }′ξn moΩno v¥delyt\ podposledovatel\nost\ (soxra-
nym dlq nee to Ωe oboznaçenye) takug, çto
′ → ′ξ ξn * -slabo v X
*, pryçem
′ ∈
∗
ξ co A y( ). No tohda ′′ = − ′ → − ′ = ′′ξ ξ ξ ξ ξ ξn n n * -slabo v X
* y ′′ ∈
∗
ξ co B y( ),
t. e. ξ ξ ξ= ′ + ′′ ∈ +
∗ ∗
co coA y B y( ) ( ), çto y dokaz¥vaet zamknutost\ co coA y B y
∗ ∗
+( ) ( ).
Lemma 2 dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 189
Yz lemm¥ 2 sleduet, çto co C yn
∗
( ) = co coA y B yn n
∗ ∗
+( ) ( ) y d d dn n n= ′ + ′′ ,
′ ∈
∗
d A yn nco ( ), ′′ ∈
∗
d B yn nco ( ), pry πtom y Mn X ≤ , 〈 ′ + ′′ 〉 ≤d d y Mn n n X, . Znaçyt,
suwestvuet K K M= >( ) 0 takoe, çto yly ′ ≤∗d Kn X , yly ′′ ≤∗d Kn X .
Tohda, perexodq k podposledovatel\nostqm, moΩno sçytat\, çto ′ → ′d dn * -
slabo v X
*, yly ′′→ ′′d dn * -slabo v X
*.
Yz neravenstva (3) sleduet
0 ≥ lim ,
n n n Xd y y
→∞
〈 − 〉 ≥ lim , lim ,
n
n n X n n n Xd y y d y y
→∞ →∞
〈 ′′ − 〉 + 〈 ′ − 〉 .
V¥berem podposledovatel\nost\ { } { }y ym n⊂ tak, çtob¥
0 ≥ lim , lim ,
n
n n X n n n Xd y y d y y
→∞ →∞
〈 ′′ − 〉 + 〈 ′ − 〉 ≥
≥ lim , lim ,
m m m X m m m Xd y y d y y
→∞ →∞
〈 ′′ − 〉 + 〈 ′ − 〉 . (7)
Otsgda sleduet, çto v¥polneno odno yz dvux uslovyj
lim ,
m m m Xd y y
→∞
〈 ′ − 〉 ≤ 0, lim ,
m m m Xd y y
→∞
〈 ′′ − 〉 ≤ 0.
Bez ohranyçenyq obwnosty budem sçytat\, çto lim ,
m m m Xd y y
→∞
〈 ′ − 〉 ≤ 0. Toh-
da yz λ0-psevdomonotonnosty operatora A zaklgçaem, çto
lim ,
m
m m X
k
k k
d y v
→∞
〈 ′ − 〉 ≥ [ ]( ),A y y v− − ∀ v ∈ X , (8)
hde { } { }y ym mk
⊂ — sootvetstvugwaq podposledovatel\nost\. Podstavlqq v
poslednee neravenstvo y = v, poluçaem
〈 〉′ −d y ym m Xk k
, → 0.
Sledovatel\no, yz (7) naxodym
lim ,
m m m X
k
k k
d y y
→∞
〈 ′′ − 〉 ≤ 0,
znaçyt, najdetsq takaq podposledovatel\nost\ { } { }y ym mk k′ ⊂ , dlq kotoroj
lim ,
′ →∞
′ ′〈 ′′ − 〉
m
m m X
k
k k
d y v ≥ [ ]( ),B y y v− − ∀ v ∈ X . (9)
Uçyt¥vaq (8) y (9), okonçatel\no ymeem
lim ,
′ →∞
′ ′〈 − 〉
m
m m X
k
k k
d y v ≥ lim , lim ,
′ →∞
′ ′
′ →∞
′ ′〈 ′ − 〉 + 〈 ′′ − 〉
m
m m X
m
m m X
k
k k
k
k k
d y v d y v ≥
≥ lim , lim ,
m
m m X
m
m m X
k
k k
k
k k
d y v d y v
→∞ ′ →∞
′ ′〈 ′ − 〉 + 〈 ′′ − 〉 ≥ [ ]( ) ( ),A y B y y v+ − − ∀ v ∈ X .
PredloΩenye 6 dokazano.
PredloΩenye*7. Pust\ A X X: ⇒ ∗
— λ0-psevdomonotonn¥j operator, a
otobraΩenye B X X: → ∗
ymeet sledugwye svojstva:
a) otobraΩenye
∗
∗→co B X X: — kompaktnoe, t. e. obraz ohranyçennoho
v X mnoΩestva predkompakten v X
*
;
b) hrafyk
∗
co B zamknut v X X× ∗
otnosytel\no slaboj topolohyy v X
y syl\noj v X
*
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
190 V. S. MEL|NYK
Tohda otobraΩenye C = A + B λ0-psevdomonotonnoe.
Dokazatel\stvo. Pust\ yn → y slabo v X, d C yn n∈
∗
co ( ), dn → d * -slabo
v X
*
y
lim ,
n n n Xd y y
→∞
〈 − 〉 ≤ 0.
Poskol\ku operator B X X: → ∗
ohranyçen, to (sm. dokazatel\stvo lemm¥ 2)
∗
co C = co coA B
∗ ∗
+ , sledovatel\no, d d dn n n= ′ + ′′ , ′ ∈
∗
d A yn nco ( ), ′′ ∈
∗
d B yn nco ( ).
V sylu ohranyçennosty B moΩno sçytat\, çto ′′→ ′′d dn * -slabo v X
*, a
znaçyt, ′ → ′ = − ′′d d d dn * -slabo v X
*.
Yz neravenstva (3), perexodq k podposledovatel\nosty { } { }y ym n⊂ , naxo-
dym
0 ≥ lim ,
n n n Xd y y
→∞
〈 − 〉 ≥ lim ,
n n n Xd y y
→∞
〈 ′ − 〉 + lim ,
n
n n Xd y y
→∞
〈 ′′ − 〉 ≥
≥ lim ,
m m m Xd y y
→∞
〈 ′ − 〉 + lim ,
m m m Xd y y
→∞
〈 ′′ − 〉 . (10)
V sylu uslovyq a) moΩno sçytat\, çto ′′ → ′′d dm syl\no v X
*
y, bolee toho,
′′d ∈ co B y
∗
( ) (uslovye b) ). Tohda
lim ,
m m m Xd y y
→∞
〈 ′ − 〉 ≤ 0,
y snova perexodq k podposledovatel\nostqm (soxranym preΩnee oboznaçenye), v
sylu λ0-psevdomonotonnosty poluçaem
lim ,
m
m m Xd y v
→∞
〈 ′ − 〉 ≥ [ ]( ),A y y v− − ∀ v ∈ X ,
lim ,
m
m m Xd y v
→∞
〈 − 〉 = lim ,
m
m m Xd y v
→∞
〈 ′ − 〉 + lim ,
m m m Xd y y
→∞
〈 ′′ − 〉 ≥
≥ [ ]( ), ,A y y v d y v X− + 〈 ′′ − 〉− ≥ [ ]( ),C y y v− − ∀ v ∈ X .
PredloΩenye 7 dokazano.
PredloΩenye*8. Pust\ A X X: ⇒ ∗
— λ 0-psevdomonotonn¥j operator,
X kompaktno y plotno v banaxovom prostranstve Y,
∗
∗co B Y Y: ⇒ —
lokal\no ohranyçennoe demyzamknutoe otobraΩenye ( t. e. hrafyk
∗
co B
zamknut v Y Y× ∗
otnosytel\no syl\noj topolohyy v Y y * -slaboj v Y
*
).
Tohda C = A + B — λ0-psevdomonotonnoe otobraΩenye.
Dokazatel\stvo. Pust\ v¥polneno neravenstvo (3). Operator
∗
co B lo-
kal\no ohranyçen, t. e. dlq lgboho y ∈ X suwestvugt N > 0 y ε > 0 takye,
çto
∗
+
co B( )ξ ≤ N pry ξ − y X ≤ ε .
Oçevydno, lokal\no ohranyçenn¥j operator ohranyçennoznaçn¥j, poπtomu
co C y
∗
( ) = co coA y B y
∗ ∗
+( ) ( ) y dn = ′ + ′′d dn n , ′ ∈
∗
d A yn nco ( ), ′′∈
∗
d B yn nco ( ).
Posledovatel\nost\ yn → y syl\no v Y y v sylu lokal\noj ohranyçennosty
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 191
co B
∗
posledovatel\nost\ { }′′dn ohranyçena v Y
*
(y v X
*
) . Znaçyt, najdetsq
podposledovatel\nost\ { } { }′′ ⊂ ′′d dm n takaq, çto ′′ → ′′d dm * -slabo v Y
*. V
uslovyqx predloΩenyq operator vloΩenyq I Y X∗ ∗ ∗→: neprer¥ven, a znaçyt,
I
*
neprer¥ven y v * -slab¥x topolohyqx [10]. Sledovatel\no, ′′ → ′′d dm * -
slabo v X
*, tohda ′ = − ′′ → ′ = − ′′d d d d d dm m m * -slabo v X
*. Yz neravenstva
(9) poluçaem odno yz dvux sootnoßenyj
lim ,
m m m Xd y y
→∞
〈 ′ − 〉 ≤ 0, lim ,
m m m Xd y y
→∞
〈 ′′ − 〉 ≤ 0.
V sylu kompaktnosty vloΩenyq X ⊂ Y ym → y syl\no v Y, a posledovatel\-
nost\ { }′′dm ohranyçena v Y
*, poπtomu 〈 ′′ − 〉d y ym m X, → 0. Tohda yz (10) sle-
duet lim ,
m m m X
k
d y v
→∞
〈 ′ − 〉 ≤ 0, otkuda posle perexoda k podposledovatel\nosty
ymeem
lim ,
m
m m X
k
k k
d y v
→∞
〈 ′ − 〉 ≥ [ ]( ),A y y v− − ∀ v ∈ X .
Dalee, poskol\ku operator co B
∗
demyzamknut, to d ″ ∈ co B y
∗
( ) y
lim ,
m
m m X
k
k k
d y v
→∞
〈 − 〉 = lim , lim ,
m
m m X
m
m m X
k
k k
k
k k
d y v d y v
→∞ →∞
〈 ′ − 〉 + 〈 ′′ − 〉 ≥
≥ [ ] [ ]( ), ( ),A y y v B y y v− + −− − = [ ]( ),C y y v− − ∀ v ∈ X .
PredloΩenye 8 dokazano.
Opredelenye*3. Operator A X X: ⇒ ∗
naz¥vaetsq:
a) radyal\no neprer¥vn¥m sverxu, esly dlq lgb¥x x, h ∈ X
lim ( ),[ ]
t
A x th h
→ + ++
0
≤ [ ]( ),A x h + ;
b) radyal\no poluneprer¥vn¥m, esly dlq lgb¥x x, h ∈ X
lim ( ),[ ]
t
A x th h
→ + −+
0
≤ [ ]( ),A x h + .
(Oçevydno, spravedlyva ymplykacyq a) ⇒ b) . )
PredloΩenye*9. Pust\ A X X: ⇒ ∗
— poluneprer¥vn¥j sverxu operator
yz prostranstva X s syl\noj topolohyej v X
*
s topolohyej σ ( );X X∗ .
Tohda A — radyal\no poluneprer¥ven.
Dokazatel\stvo. KaΩd¥j poluneprer¥vn¥j sverxu operator yz prostran-
stva X s syl\noj topolohyej v X
*
s topolohyej σ ( );X X∗
qvlqetsq xemyne-
prer¥vn¥m sverxu [11], t. e. yz toho, çto xn → x syl\no, sleduet
lim ( ),[ ]
n nA x v
→∞ + ≤ [ ]( ),A x v + ∀ v ∈ X .
Ostalos\ zametyt\, çto xemyneprer¥vn¥j sverxu operator qvlqetsq radyal\no
neprer¥vn¥m sverxu, a znaçyt, y radyal\no poluneprer¥vn¥m.
Oboznaçym çerez Φ0 klass neprer¥vn¥x funkcyj C : R R R+ +× → takyx,
çto t C r tr− →1
1 2 0( ; ) pry t → + 0 ∀ ≥r r1 2 0, .
Opredelenye*4. OtobraΩenye A X X: ⇒ ∗
naz¥vaetsq:
a) operatorom s poluohranyçennoj varyacyej (p. o. v.), esly dlq lgboho R >
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
192 V. S. MEL|NYK
> 0 y proyzvol\n¥x y1 , y2 ∈ X takyx, çto y Ri X ≤ , i = 1, 2, v¥polnqetsq
neravenstvo
[ ]( ),A y y y1 1 2− − ≥ [ ]( ), ;A y y y C R y y X2 1 2 1 2− − − ′( )+ , (11)
hde C ∈Φ0 , ⋅ ′
X — kompaktnaq norma na X ;
b) operatorom s l -p. o. v., esly vmesto (11) v¥polnqetsq sledugwee:
[ ]( ),A y y y1 1 2− − ≥ [ ]( ), ;A y y y C R y y X2 1 2 1 2− − − ′( )− . (12)
PredloΩenye*10. Pust\ A A A X X= + ∗
0 1 : ⇒ , hde A X X0 : ⇒ ∗
— mo-
notonnoe otobraΩenye, a operator A X X1 : ⇒ ∗
ymeet sledugwye svojstva:
1) suwestvuet lynejnoe normyrovannoe prostranstvo Y , v kotoroe X
vloΩeno kompaktno y plotno;
2) operator A Y Y1 : ⇒ ∗
odnoznaçn¥j y lokal\no polynomyal\n¥j, t. e.
dlq lgboho R > 0 najdutsq natural\noe n = n ( R ) y polynom P tR( ) =
= λα
α
α ( )R t
n0< ≤∑ s neprer¥vn¥my koπffycyentamy λα( )R ≥ 0 takye, çto
spravedlyva ocenka
A y A y Y1 1 1 2( ) ( )− ∗ ≤ P y yR Y1 2−( ) ∀ ≤y Ri Y , i = 1, 2.
Tohda A — operator s p. o. v.
PredloΩenye*11. Pust\ v predloΩenyy 10 operator A X X0 : ⇒ ∗
l -mo-
notonn¥j, t. e.
[ ]( ),A y y y0 1 1 2− − ≥ [ ]( ),A y y y0 2 1 2− − ∀ y1 , y2 ∈ X ,
a vmesto uslovyq 2 v¥polnqetsq sledugwee:
2 ′>) otobraΩenye (mnohoznaçnoe) A Y Y1 : ⇒ ∗
lokal\no polynomyal\noe v
tom sm¥sle, çto dlq lgboho R > 0 suwestvugt n = n ( R ) y polynom P tR( ) ,
dlq kotor¥x
dist ( )( ), ( )A y A y1 1 1 2 ≤ P y yR Y1 2−( ), y Ri Y ≤ , i = 1, 2. (13)
Tohda A = A0 + A1 — operator s l -p. o. v.
DokaΩem predloΩenye>11 (predloΩenye>10 dokaz¥vaetsq analohyçno).
Poskol\ku
[ ]( ),A y y y0 1 1 2− − ≥ [ ]( ),A y y y0 2 1 2− − ∀ y1 , y2 ∈ X ,
dostatoçno ocenyt\ [ ] [ ]( ), ( ),A y y y A y y y1 1 1 2 1 2 1 2− − −− − . Dlq proyzvol\n¥x
d A y1 1 1∈ ( ), d A y2 1 2∈ ( ) naxodym
〈 − 〉 − 〈 − 〉d y y d y yX X2 1 2 1 1 2, , = 〈 − 〉 − 〈 − 〉d y y d y yY Y2 1 2 1 1 2, , ≤
≤ d d y yY Y1 2 1 2− −∗ ,
sledovatel\no,
[ ] [ ]( ), ( ),A y y y A y y y1 2 1 2 1 1 1 2− − −− − ≤ dist ( )( ), ( )A y A y y y Y1 1 1 2 1 2− .
Otsgda y yz ocenky (13) pry y Ri Y ≤ , i = 1, 2 (sootvetstvenno y Ri X ≤ ˆ
),
poluçaem
[ ]( ),A y y y1 1 1 2− − ≥ [ ]( ), ˆ;A y y y C R y y X1 2 1 2 1 2− − − ′( )− ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 193
hde ⋅ ′ = ⋅X Y , C R t P t tR( , ) ( )= . Netrudno proveryt\, çto C ∈Φ0 .
PredloΩenye 11 dokazano.
PredloΩenye*12. Pust\ v¥polneno odno yz dvux uslovyj:
1) A X X: ⇒ ∗
— radyal\no poluneprer¥vn¥j operator s p. o. v.;
2) A X X: ⇒ ∗
— radyal\no neprer¥vn¥j sverxu operator s l - p. o. v. y
kompaktn¥my znaçenyqmy.
Tohda A — λ0-psevdomonotonnoe otobraΩenye.
Dokazatel\stvo. Pust\ y yn → slabo v X , co A y d dn n
∗
→( ) � * -slabo v
X
*
y lim ,
n n n Xd y y
→∞
〈 − 〉 ≤ 0.
Yspol\zuq svojstvo p.>o.>v. operatora A, zaklgçaem, çto
〈 − 〉d y vn n X, ≥ [ ]( ),A y y vn n − − ≥ [ ]( ), ;A v y v C R y vn n X− − − ′( )+ ∀ v ∈ X .
Funkcyq X w A v w� � [ ]( ), + v¥puklaq y poluneprer¥vnaq snyzu, a znaçyt,
y slabo poluneprer¥vnaq snyzu. Poπtomu, podstavlqq v poslednee neravenstvo
v y= y perexodq k predelu, s uçetom svojstv funkcyy C poluçaem
lim ,
n
n n Xd y y
→∞
〈 − 〉 ≥ 0, t. e. 〈 − 〉d y yn n X, → 0.
Dlq proyzvol\n¥x h ∈ X y τ ∈ [ 0, 1 ] poloΩym w ( τ ) = τ h + ( 1 – τ ) y , tohda
〈 − 〉d y wn n X, ( )τ ≥ [ ]( ( )), ( ) ; ( )A w y w C R y wn n Xτ τ τ− − − ′( )+ ,
yly v predele
τ lim ,
n
n Xd y h
→∞
〈 − 〉 ≥ τ τ τ[ ]( ( )), ;A w y h C R y h X− − − ′( )+ .
Razdelyv poluçennoe neravenstvo na τ y perejdq k predelu po τ → + 0 , s uçe-
tom radyal\noj poluneprer¥vnosty y svojstv funkcyy C poluçym
lim ,
n
n Xd y h
→∞
〈 − 〉 ≥ lim ( ( )), lim ;[ ]
τ τ
τ
τ
τ
→ +
+ → +
− + − ′( )
0 0
1
A w y h C R y h X ≥
≥ [ ]( ),A y y h− − ∀ h ∈ X .
A poskol\ku 〈 − 〉d y yn n X, → 0, to
lim ,
n
n n Xd y h
→∞
〈 − 〉 = lim ,
n
n Xd y h
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ]( ),A y y h− − ∀ h ∈ X ,
çto dokaz¥vaet pervoe utverΩdenye predloΩenyq 12.
Ostanovymsq na osnovn¥x otlyçytel\n¥x momentax vtoroho utverΩdenyq.
Yz l -p.>o.>v. operatora A zaklgçaem, çto
lim ,
n
n n Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ lim ( ),[ ]
n
n nA y y v
→∞
−− ≥
≥ lim ( ), ;[ ]
n
n XA v y v C R y v
→∞
−− − − ′( ). (14)
Ocenym pervoe slahaemoe v pravoj çasty (14). DokaΩem, çto funkcyq X �
� h A v h� [ ]( ), − slabo poluneprer¥vna snyzu dlq lgboho v ∈ X . Pust\ z n → z
slabo v X , tohda pry kaΩdom n = 1, 2, … suwestvuet ξn ∈ co A v
∗
( ) takoe, çto
[ ]( ),A v zn − = 〈 〉ξn n Xz, .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
194 V. S. MEL|NYK
Yz posledovatel\nosty { };ξn nz v¥delym podposledovatel\nost\ { };ξm mz
takug, çto
lim ( ),[ ]
n
nA v z
→∞
− = lim ,
n
n n Xz
→∞
〈 〉ξ = lim ,
m m m Xz
→∞
〈 〉ξ .
V sylu kompaktnosty mnoΩestva co A v
∗
( ) moΩno sçytat\, çto ξ m → ξ syl\no
v X
*, pryçem ξ ∈ co A v
∗
( ). Sledovatel\no,
lim ( ),[ ]
n
nA v z
→∞
− = lim ,
m m m Xz
→∞
〈 〉ξ = 〈 〉ξ, z X = [ ]( ),A v z − ,
çto dokaz¥vaet slabug poluneprer¥vnost\ snyzu h A v h� [ ]( ), − .
V takom sluçae yz (14) poluçaem neravenstva
lim ,
n
n n Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ lim ( ),[ ]
n
n nA y y v
→∞
−− ≥ [ ]( ), ;A v y v C R y v X− − − ′( )− ,
podstavlqq v kotor¥e v y= , ymeem 〈 − 〉d y yn n X, → 0, poπtomu
lim ,
n
n n Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ]( ), ;A v y w C R y v X− − − ′( )− ∀ v ∈ X .
Podstavlqq v poslednee neravenstvo v = t w + ( 1 – t ) y , w ∈ X , t ∈ [ 0, 1 ] , delq
rezul\tat na t y perexodq k predelu pry t → + 0, s uçetom radyal\noj nepre-
r¥vnosty sverxu naxodym
lim ,
n
n n Xd y w
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ]( ),A y y w− − ∀ w ∈ X .
PredloΩenye 12 dokazano.
1. Skr¥pnyk Y. V. Metod¥ yssledovanyq nelynejn¥x πllyptyçeskyx hranyçn¥x zadaç. – M.:
Nauka, 1990.>– 442>s.
2. Lyons Û.-L. Nekotor¥e metod¥ reßenyq nelynejn¥x kraev¥x zadaç. – M.: Myr, 1972.>–
587>s.
3. Browder F. E. On a principle of H. Brecis and its applications // J. Funct. Anal. – 1977. – 25. –
P. 356 – 365.
4. Browder F. E., Hess P. Nonlinear mapping of monotone type in Banach spaces // Funct. Anal. –
1972. – 11, # 2. – P. 251 – 294.
5. Mel\nyk V. S. Mul\tyvaryacyonn¥e neravenstva y operatorn¥e vklgçenyq v banaxov¥x
prostranstvax s otobraΩenyem klassa ( )S + // Ukr. mat. Ωurn. – 2000. – 52 , # 11. –
S.>1513 – 1523.
6. Mel\nyk V. S. K teoryy topolohyçeskoj stepeny mnohoznaçn¥x otobraΩenyj // Dokl. RAN.
– 1998. – 361, # 2. – S.>164 – 168.
7. Melnik V. S., Vakulenko A. N. On topological method in the theory of operator inclusions with
dencely defined mapping in Banach spaces // Nonlinear Boundary Value Problems. – 2000. – 10. –
P. 125 – 142.
8. Vajnberh M. M. Varyacyonn¥j metod y metod monotonn¥x otobraΩenyj. – M.: Nauka,
1972.>– 415>s.
9. Pßenyçn¥j B. N. V¥pukl¥j analyz y πkstremal\n¥e zadaçy. – M.: Nauka, 1980.>– 320>s.
10. Ryd M., Sajmon B. Metod¥ sovremennoj matematyçeskoj fyzyky. T.1. Funkcyonal\n¥j
analyz. – M.: Myr, 1977.>– 357>s.
11. Obπn Û.-P., ∏kland Y. Prykladnoj nelynejn¥j analyz. – M.: Myr, 1988.>– 510>s.
Poluçeno 31.10.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3446 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:42Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/09/e6f18e76f2360a8f89906995919c0b09.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34462020-03-18T19:54:47Z Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. I Топологические методы в теории операторных включений в банаховых пространствах. I Mel'nik, V. S. Мельник, В. С. We develop topological methods for the investigation of operator inclusions in Banach spaces, prove the generalized Ky Fan inequality, and study the critical points of many-valued mappings in topological spaces. Розробляються топологічні методи дослідження операторних включень у банахових просторах. Доведено узагальнену нерівність Кі Фаня та досліджено критичні точки багатозначних відображень у топологічних просторах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3446 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 2 (2006); 184–194 Український математичний журнал; Том 58 № 2 (2006); 184–194 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3446/3630 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3446/3631 Copyright (c) 2006 Mel'nik V. S. |
| spellingShingle | Mel'nik, V. S. Мельник, В. С. Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. I |
| title | Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. I |
| title_alt | Топологические методы в теории операторных включений в банаховых пространствах. I |
| title_full | Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. I |
| title_fullStr | Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. I |
| title_full_unstemmed | Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. I |
| title_short | Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. I |
| title_sort | topological methods in the theory of operator inclusions in banach spaces. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3446 |
| work_keys_str_mv | AT mel039nikvs topologicalmethodsinthetheoryofoperatorinclusionsinbanachspacesi AT melʹnikvs topologicalmethodsinthetheoryofoperatorinclusionsinbanachspacesi AT mel039nikvs topologičeskiemetodyvteoriioperatornyhvklûčenijvbanahovyhprostranstvahi AT melʹnikvs topologičeskiemetodyvteoriioperatornyhvklûčenijvbanahovyhprostranstvahi |