Singular Cauchy problem for the equation of flow of thin viscous films with nonlinear convection
For multidimensional equations of flow of thin capillary films with nonlinear diffusion and convection, we prove the existence of a strong nonnegative generalized solution of the Cauchy problem with initial function in the form of a nonnegative Radon measure with compact support. We determine the ex...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3450 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509543311605760 |
|---|---|
| author | Taranets, R. M. Shishkov, A. E. Таранец, Р. М. Шишков, А. Е. Таранец, Р. М. Шишков, А. Е. |
| author_facet | Taranets, R. M. Shishkov, A. E. Таранец, Р. М. Шишков, А. Е. Таранец, Р. М. Шишков, А. Е. |
| author_sort | Taranets, R. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:54:47Z |
| description | For multidimensional equations of flow of thin capillary films with nonlinear diffusion and convection, we prove the existence of a strong nonnegative generalized solution of the Cauchy problem with initial function in the form of a nonnegative Radon measure with compact support. We determine the exact upper estimate (global in time) for the rate of propagation of the support of this solution. The cases where the degeneracy of the equation corresponds to the conditions of “strong” and “weak” slip are analyzed separately. In particular, in the case of “ weak” slip, we establish the exact estimate of decrease in the $L^2$-norm of the gradient of solution. It is well known that this estimate is not true for the initial functions with noncompact supports. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Р. М. Таранец, А. Е. Шишков
(Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕЧЕНИЯ ТОНКИХ ВЯЗКИХ ПЛЕНОК
С НЕЛИНЕЙНОЙ КОНВЕКЦИЕЙ
For multidimensional equations of flow of thin cappilary films with nonlinear diffusion and convection,
we prove the existence of a strong nonnegative generalized solution of the Cauchy problem whose initial
function is a nonnegative Radon measure with a compact support. We establish the exact upper bound
global in time for the speed of propogation of a support of this solution. We sepately consider cases where
the degeneracy of the equation satisfies the conditions of “strong” and “weak” slippage to interface. In
particular, in the case of “weak” slippage to interface, we obtain the exact estimate of the decay of L2-
norm of gradient of the solution that, as is well known, does no take place in the case of initial functions
with noncompact supports..
Для багатовимiрних рiвнянь течiї тонких капiлярних плiвок з нелiнiйною дифузiєю та конвекцiєю
доведено iснування сильного невiд’ємного узагальненого розв’язку задачi Кошi з початковою фун-
кцiєю — невiд’ємною мiрою Радона, яка має компактний носiй. Знайдено точну глобальну за часом
оцiнку зверху для швидкостi розповсюдження носiя цього розв’язку. Розглянуто окремо випадки,
коли виродження рiвняння вiдповiдає умовам „сильного” та „слабкого” проковзування. Зокрема, у
випадку „слабкого” проковзування отримано точну оцiнку згасання L2-норми градiєнта розв’язку,
яка, як вiдомо, не має мiсця у випадку початкових функцiй з некомпактними носiями.
1. Введение. Изучается задача Коши для квазилинейного вырождающегося пара-
болического уравнения четвертого порядка:
ut + div(a0u
n∇∆u− a1u
m∇u) = −→χ · ∇b(u), (t, x) ∈ R+ × RN , (1.1)
u(0, x) = µ0 в RN , (1.2)
|b′(z)| 6 c |z|λ−1 ∀z ∈ R1, b(0) = 0, λ > 0, c < ∞, (1.3)
где u = u(t, x), n > 0, m ∈ R1, N 6 3, a0 > 0, a1 > 0, −→χ =
−−−−−−−−−→
(χ1, . . . , χN ) ∈ RN , µ0
— неотрицательная мера Радона. Уравнения вида (1.1) появляются при моделирова-
нии различных физических процессов в теории материалов, теории пластичности,
в частности, при описании течения тонких вязких пленок по твердой поверхности
(см. [1 – 8]). В последней модели параметр n > 0 определяет характер контакта
жидкости и твердой поверхности: при n = 3 — касание без проскальзывания, при
n ∈ [2, 3) — „слабое” проскальзывание, при n ∈ (0, 2) — „сильное” проскальзыва-
ние.
Уравнение (1.1) не относится к классу квазилинейных дивергентных парабо-
лических уравнений высокого порядка, к которым применимы общие хорошо раз-
витые методы, например методы теории монотонных операторов (см. [9]). По-
строение теории уравнений вида (1.1) было начато в известной работе F. Bernis и
A. Friedman [10]. В ней изучалась смешанная задача Коши – Неймана для одномер-
ного уравнения следующего вида:
ut + div (|u|n∇∆u) = 0. (1.4)
Было определено обобщенное решение этой задачи и доказано существование
неотрицательного обобщенного решения при произвольной неотрицательной на-
чальной функции из H1. Важное свойство неотрицательности решения выделяет
c© Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ, 2006
250 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 251
класс уравнений структуры (1.1) из множества параболических уравнений высо-
кого порядка. Большое количество работ было посвящено описанию качествен-
ных свойств решений, зависящих от параметра n > 0 и связанных с указанной
неотрицательностью строящихся решений, которая, в свою очередь, является есте-
ственной для конкретных физических приложений (см., например, [11 – 15]). В
частности, в работе [13] показано, что при n ∈ (0, 3), N = 1 построенное неотри-
цательное решение для (1.4) имеет оптимальную регулярность. Регулярность этого
решения соответствует регулярности решения типа источника (с u(0, x) = δ0, где
δ0 — функция Дирака), построенного в [16] при N = 1 и в [17] при N = 2, 3. В
этих работах показано также, что при n > 3 такого решения с конечной массой не
существует. Для одномерного уравнения (1.1) с b(u) = 0 при n > 0 и 0 < m < 1 во-
просы разрешимости и качественного поведения решений изучались в [3, 18 – 20],
разрешимость и асимптотическое поведение границы носителя решения одномер-
ного уравнения тонких пленок с нелинейной конвекцией ((1.1) с a1 = 0) изучена
в [21].
Первые исследования вырождающихся уравнений четвертого порядка типа урав-
нения тонких пленок и уравнения Каана – Хиллиарда были осуществлены, соответ-
ственно, в работах G. Grün [6] и С. М. Elliot, H. Garke [5], где были построены
неотрицательные обобщенные решения соответствующих начально-граничных за-
дач в многомерных областях. В дальнейшем эти исследования были продолжены
для различных классов уравнений вида (1.1) в работах [22 – 26]. Так, решения зада-
чи Коши с финитными неотрицательными начальными данными из пространства
H1 были построены для уравнения (1.4) при N 6 3, n ∈ (1/8, 3) в [11, 14, 23, 26],
для уравнения (1.1) с a1 = 0, n ∈ (0, 3), N = 1, λ ∈ (max{3n/4 − 1, 1/8}, 9/2) в
[21], для уравнения (1.1) при m > 0, n ∈
(
1/8, 2
)
, λ ∈ (max{1, (3n− 1)/4}, (5N +
+8)/(4N)+min{n, 5/4}), если N < 3, и λ ∈ (max{1, (3n−1)/4}, 2+min{n, 5/4}),
если N = 3, в [25].
В работе R. Dal Passo, H. Garcke [27] для уравнения (1.4) с n ∈ (0, 2), N = 1
было впервые построено неотрицательное обобщенное сохраняющее массу реше-
ние задачи (1.1) – (1.3) с начальной функцией — мерой Радона. На многомерные
(N 6 3) уравнения (1.1) с b(u) = 0 этот результат был обобщен в [24].
Замечание 1.1. Отметим, что используемый в указанных работах термин
„решение задачи Коши” имеет, в определенной степени, условный характер. Фак-
тически речь идет о решениях задачи с неизвестной свободной границей ∂P (P =
= {(t, x) : u(t, x) > 0}), на которой выполняются граничные условия:
u = ∇u · ~n = (a0u
n∇∆u− a1u
m∇u− ~χb(u)) · ~n = 0.
До сих пор остается открытой проблема описания точных классов функций, в
которых построенные решения являются единственными. Поэтому вполне допу-
стимо существование незнакоопределенных, с большей гладкостью, чем постро-
енные выше, решений, имеющих, по этой причине, большее основание считаться
решениями задачи Коши.
В настоящей работе в случае „сильного” проскальзывания (0 < n < 2) на
основе результатов из [24, 25, 27] построено глобальное сильное неотрицательное
решение задачи (1.1) – (1.3) с начальной функцией — произвольной мерой Радо-
на, имеющей компактный носитель. Получены оценки убывания этого решения
в различных интегральных нормах. В четвертом пункте изучен случай „слабого”
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
252 Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ
проскальзывания (2 6 n < 3). Построенное при этом решение является новым
даже в случае многомерного (N 6 3) уравнения (1.4) (т. е. при a1 = 0, b(u) = 0).
Основным в этом построении является не зависящая от ε доказанная в работе
точная оценка (4.22) убывания по t нормы градиентов
∫
RN
|∇uε(t, x)|2dx прибли-
жающих решений uε(t, x), имеющих равномерную по ε оценку сверху скорости
распространения по t носителей. Эта оценка является весьма деликатной. Как
показано в [27], такая оценка в принципе не может иметь места
(
пример реше-
ния u(t, x):
∫
RN
|∇u(t, x)|2dx = ∞ ∀ t > 0
)
, если мера µ0 имеет некомпактный
носитель.
2. Формулировка основных результатов. Пусть Qt2
t1 = (t1, t2)×RN , B(0, r) =
= {x ∈ RN : |x| < r}, D(0, r) = {x ∈ RN : x1 < r}, для N ×N -матрицы A и век-
торов a, b ∈ RN определим 〈a,A, b〉 :=
∑N
i,j=1
aiAijbj , χA — характеристическая
функция множества A, для произвольной измеримой функции v(t, x) определим
множество положительности P := P(v) = {v > 0} = {(t, x) ∈ Dom(v) : v(t, x) >
> 0}, Ck
c (Q) := {v ∈ Ck(Q) : supp v ⊂ Q}, Hk(RN ) := W k
2 (RN ); ‖.‖p :=
:= ‖.‖Lp(RN ),
Ψ0(z) :=
zm−n+2
(m− n + 1)(m− n + 2)
+
Rm−n+1
m− n + 2
− Rm−n+1
m− n + 1
z,
m− n + 2 6= 0, 1,
− ln z + z − 1, m− n + 2 = 0,
z ln z − z + 1, m− n + 2 = 1,
(2.1)
где R = 0, если m − n + 1 > 0, и R = 1, если m − n + 1 < 0. В случаях, когда
из контекста понятно, по какой области проводится интегрирование, соответству-
ющие дифференциалы будем опускать.
Определение 2.1. Пусть N 6 3, µ0 — неотрицательная мера Радона в RN ,
m > 0, n > 0, λ > 0. Будем называть неотрицательную функцию u(t, x) ∈
∈ L∞(R+;L1(RN )) ∩ L∞loc(R+;H1
loc(RN )) слабым обобщенным решением зада-
чи (1.1) – (1.3), если:
1) χPun−2|∇u|3, χPun−1|∇u|2, un|∇u|, um|∇u| и b(u) принадлежат про-
странству L1
loc([0,∞);L1
loc(RN )), где P = P(u);
2) для любой функции ζ ∈ C3
c ([0,∞)× RN ) имеет место равенство
−
∞∫
0
∫
RN
uζt −
∫
RN
ζ(0, x) dµ0(x) +
∞∫
0
∫
RN
−→χ · ∇ζ b(u) =
=
n(n− 1)
2
a0
∫∫
P(u)
un−2|∇u|2∇u∇ζ +
n
2
a0
∫∫
P(u)
un−1|∇u|2∆ζ +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 253
+ na0
∫∫
P(u)
un−1
〈
∇u, D2ζ,∇u
〉
+ a0
∞∫
0
∫
RN
un∇u∇∆ζ −
− a1
∞∫
0
∫
RN
um∇u∇ζ. (2.2)
Замечание 2.1. Концепция слабых решений для многомерных уравнений
типа тонких пленок была предложена в [5, 6, 22, 24].
Теорема 2.1. Пусть m > 0, 1/8 < n < 2,
max
{
1,
3n
4
}
< λ <
3nN + 2
4N
+
1
4
max
{
n +
2
N
,m
}
(2.3)
и µ0 — неотрицательная мера Радона с конечной массой такая, что supp(µ0) ком-
пактен. Тогда существует решение u(t, x) задачи (1.1) – (1.3) из определения 2.1
такое, что:
i) для любого q′ ∈ ∆1 :=
(
max
{
1,
2
n + 1
}
,
4N
2N + n(N − 2)
)
(∆1 := {2},
если N = 1) существует вектор-функция
−→
J ∈ L2
loc(R+;Lq′(RN ; RN )) ∀ q′ ∈ ∆1
такая, что
ut = −div
−→
J +−→χ · ∇b(u) в L2
loc(R+; (W 1
q (RN ))∗), q =
q′
q′ − 1
; (2.4)
ii) для произвольного
α ∈ ∆n,λ :=
(
(1/2− n)+ ,min {(n + 1)/3, 2− n}
)
, (2.5)
дополнительно удовлетворяющего условию λ > max
{
3(α + n)
4
, 1
}
(легко прове-
рить, что для λ из интервала (2.3) множество таких α непусто), имеют место
включения:
um−n+2 ∈ L∞loc([0,∞);L1(RN )), u
α+n+1
4 ∈ L4
loc([0,∞);W 1
4 (RN )),
u
α+n+1
2 ∈ L2
loc([0,∞);H2(RN )), u
α+m+1
2 ∈ L2
loc([0,∞);H1(RN ));
iii) u(t, .)
∗
⇀
t→0
µ0, т. е.
∫
RN
u(t, x)ϕ(x) dx →
t→0
∫
RN
ϕ(x) dµ0(x) ∀ϕ ∈ C0
c (RN );
iv)
∫
RN
u(t) =
∫
RN
dµ0 для любого t > 0.
Определение 2.2. Сильным решением задачи (1.1) – (1.3) будем называть сла-
бое решение u(t, x) из определения 2.1, дополнительно имеющее регулярность ii)
из теоремы 2.1.
Теорема 2.2. Пусть µ0 — неотрицательная мера Радона с компактным носи-
телем и supp (µ0) ⊂ D(0, R0), R0 < ∞. Тогда построенное в теореме 2.1 сильное
решение u(t, x) имеет компактный носитель для всех t > 0, причем supp u(t, .)
распространяется непрерывно по t так, что существует неубывающая непре-
рывная функция Γ(t), Γ(0) = 0, такая, что supp u(t, .) ⊂ D(0, R0 + Γ(t)) и имеют
место следующие оценки:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
254 Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ
a) универсальные оценки фронта носителя:
Γ(t) 6 c1 max
{
Γ0(t), t1−
N(λ−1)
nN+4
}
∀ t > 0, 1 < λ 6 n + 1 +
4
N
,
или
Γ(t) 6 c1 max
{
Γ0(t), t1−
N(λ−1)
mN+2
}
∀ t > 0, 1 < λ 6 m + 1 +
2
N
;
b) оценки „медленного” фронта, соответствующего χ1 > 0, b(s) > 0:
i) если χ1 = 0 или χ1 > 0, b(u) > d0 uλ, d0 > 0 и λ < min{n + 1,m + 1}, то
Γ(t) 6 c3Γ0(t) ∀t > 0;
ii) если χ1 > 0, b(u) > d0 uλ, d0 > 0 и λ > max{n + 1,m + 1}, то
Γ(t) 6 c2 min
{
Γ0(t),max
{
t
λ−n−1
4(λ−1)−n , t
λ−m−1
2(λ−1)−m
}}
∀ t > 0;
iii) если χ1 > 0, b(u) > d0 uλ, d0 > 0 и n+1 < λ < m+1 (или m+1 < λ < n+1),
то
Γ(t) 6 c4Γ0(t) ∀ t > 0,
где Γ0(t) = max
{
t1/(nN+4), t1/(mN+2)
}
, 0 < ci = ci(n, m, λ, N, d0, ‖µ0‖1).
Замечание 2.2. Выполняя соответствующую линейную замену координат,
произвольное направление ~̀ можно перевести в направление (x1, 0, 0) и тем самым
получить оценки распространения supp u(t, .) в направлении ~̀.
Теорема 2.3. Пусть µ0 — неотрицательная мера Радона с компактным но-
сителем и supp (µ0) ⊂ B(0, R0), кроме того,
n ∈ [2, 3), λ ∈
(
1 +
n
4
, 2 +
1
N
)
, a1 = 0. (2.6)
Тогда существует локальное по t ∈ (0, Tloc) сильное решение u(t, x) задачи (1.1) –
(1.3) такое, что:
i) для произвольного α ∈ (−1, 2− n) имеют место включения
u
α+n+1
4 ∈ L4
loc((0, Tloc);W 1
4 (RN )), u
α+n+1
2 ∈ L2
loc((0, Tloc);H2(RN ));
ii) supp u(t, .) компактен для любого t ∈ [0, Tloc] и supp u(t, .) ⊂ B(0, R0 +Γ(t))
с Γ(t) 6 ct
1
N(n+1)+3 , где 0 < c = c(n, λ, N, ‖µ0‖1) и λ из (2.6) дополнительно
удовлетворяет условию λ >
n + 2
2
;
iii) из теоремы 2.1;
iv) из теоремы 2.1.
3. Случай „сильного” проскальзывания: 0 < n < 2. Доказательство
теоремы 2.1 начнем с регуляризации начальной функции µ0. Выберем после-
довательность {u0ε}ε>0 неотрицательных функций из H1(RN ) ∩ Lm−n+2(RN ) с
компактным носителем таких, что
u0ε
∗
⇀ µ0,
∫
RN
u0ε =
∫
RN
dµ0, supp(u0ε) ⊂ supp(µ0) + B(0, ε). (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 255
Пусть uε(t, x) — решение задачи (1.1) – (1.3) с начальной функцией u0ε, построен-
ное в теореме A.1. Из закона сохранения массы для uε следует, что последователь-
ность
{uε}ε>0 равномерно ограничена в L∞([0,∞);L1(RN )). (3.2)
Поскольку {uε}ε>0 удовлетворяет оценкам v) – vii) из леммы A.3 с правой частью,
не зависящей от ε > 0, то
{∇uε}ε>0 ограничена в L∞loc((0,∞);L2(RN )), (3.3)
{Ψ0(uε)}ε>0 ограничена в L∞loc((0,∞);L1(RN )). (3.4)
Из (3.3) в силу неравенства Ниренберга – Гальярдо [29] следует равномерная огра-
ниченность
{uε}ε>0 в L∞loc((0,∞);Lq(RN )) ∀q < ∞, N < 3 и ∀q < 6, N = 3. (3.5)
Из неравенства (A.2) (с ζ = 1) для любого α из (2.5) имеем
{u
α+n+1
2
ε }ε>0 ограничена в L2
loc((0,∞);H2(RN )), (3.6)
{u
α+n+1
4
ε }ε>0 ограничена в L4
loc((0,∞);W 1
4 (RN )), (3.7)
{u
α+m+1
2
ε }ε>0 ограничена в L2
loc((0,∞);H1(RN )). (3.8)
Из п. iv) теоремы A.1 в силу (A.3), оценок v) – vii) из леммы A.3 и неравенства iii)
из леммы A.4 получаем
{
−→
J ε}ε>0 равномерно ограничена в L2
loc((0,∞);Lq′(RN )) (3.9)
для любого q′ ∈ ∆1 (∆1 взято из п. i) теоремы 2.1) и λ из (2.3). Из (3.9) и
неравенства ii) из леммы A.4, в частности, следует, что последовательность
{∂tuε}ε>0 ограничена в L2
loc((0,∞); (W 1
q (Ω))∗), q =
q′
q′ − 1
. (3.10)
Интегрируя по времени неравенства (A.3), находим, что
{uε}ε>0 равномерно ограничена в Lq
loc([0,∞);Lq(RN )) (3.11)
для любого q: 1 < q < 1 + max{n + 4/N, m + 2/N}.
На основании априорных оценок (3.2) – (3.11), по аналогии с [24, 27], осуще-
ствляются предельные переходы по ε → 0. Покажем такую сходимость в новом,
по сравнению с [24], слагаемом из (2.2), связанном с конвективным переносом.
Заметим, что
∞∫
0
∫
RN
−→χ · ∇ζ b(uε) =
=
∞∫
σ
∫
RN
−→χ · ∇ζ b(uε) +
σ∫
0
∫
RN
−→χ · ∇ζ b(uε) =: I1(σ) + I2(σ) ∀σ > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
256 Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ
Сначала перейдем к пределу по ε → 0 в интегралах Ii(σ). Очевидно, b(uε) →
ε→0
→
ε→0
b(u) 6 c uλ почти всюду в (0,∞)×RN . Из (3.11) следует равномерная по ε > 0
ограниченность мажорирующей последовательности {uλ
ε}ε>0 в L1+γ
loc ((0,∞)×RN )
для λ из (2.3) и достаточно малого γ > 0. Отсюда, учитывая, что uλ
ε →
ε→0
uλ почти
всюду в (0,∞)× RN , в силу теоремы Витали получаем
uλ
ε ⇒
ε→0
uλ в L1
loc((0,∞)× RN ).
Применяя обобщенную лемму Лебега, устанавливаем
b(uε) ⇒
ε→0
b(u) в L1
loc((0,∞)× RN ),
откуда следует, что
I1(σ) →
ε→0
∞∫
σ
∫
RN
−→χ · ∇ζ b(u).
Из неравенства i) леммы A.4 вытекает, что |I2(σ)| 6 ¯̄oσ, где ¯̄oσ равномерно ограни-
чено по ε > 0 и ¯̄oσ →
σ→0
0. Таким образом, учитывая произвольность выбора σ > 0,
получаем необходимую сходимость.
Рассуждая, как и в [27], находим подпоследовательность uε(t, x) решений зада-
чи (1.1) – (1.3) с начальными функциями u0ε, которые сходятся к решению u(t, x)
этой задачи, имеющему свойства i), ii) из теоремы 2.1.
Покажем справедливость свойства iii). Положим в тождестве (2.2) в качестве
пробной функции ζ = ϕh,t(τ, x), где
ϕh,t(τ, x) = ϕ(x)ξh,t(τ), ϕ(x) ∈ C3
c (RN ),
ξh,t(τ) =
1, если τ 6 t,
1− τ − t
h
, если t < τ < t + h,
0, если τ > t + h.
В силу (3.3), (3.10) и леммы о компактности J. Simon (см., например, [5]) решение
u(t, x) ∈ C0
loc((0,∞);L1
loc(RN )), поэтому
− lim
h→0
∞∫
0
∫
RN
u(τ, x)(ϕh,t(τ, x))τ dxdτ =
= lim
h→0
1
h
t+h∫
t
∫
RN
u(τ, x)ϕ(x) dxdτ =
∫
RN
u(t, x)ϕ(x) dx
для всех t. Учитывая, что χPun−2|∇u|3, χPun−1|∇u|2, un|∇u|, um|∇u| и b(u)
принадлежат пространству L1
loc([0,∞)×RN ), из равенства (2.2), после предельного
перехода по h → 0, получаем∫
RN
u(t, x)ϕ(x) dx →
t→0
∫
RN
ϕ(x) dµ0(x) ∀ϕ ∈ C3
c (RN ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 257
Поскольку u(t, x) ∈ C0
loc((0,∞);L1
loc(RN )), в тождестве (2.2) в качестве проб-
ной функции, как легко проверить, можно положить ζ = χ[0, t]ϕR(x), R > 1,
где ϕR(x) ∈ C3(RN ) такая, что ϕR(x) = 1, если x ∈ B(0, R), ϕR(x) = 0, если
x ∈ RN\B(0, 2R), 0 6 ϕR(x) 6 1, если x ∈ B(0, R)\B(0, 2R), и
|∇ϕR| 6
c
R
, |D2ϕR| 6
c
R2
, |D3ϕR| 6
c
R3
.
Здесь постоянная c не зависит от R и x. Переходя в получающемся равенстве к
пределу при R →∞, как и в работе [27], приходим к свойству iv).
Теорема 2.1 доказана.
Доказательство теоремы 2.2. В работе [28] исследовалась эволюция носи-
теля решения задачи (1.1) – (1.3) с начальной функцией из H1 и были получены
оценки а), ii) с постоянными, зависящими только от L1-нормы начальной функции
и параметров задачи. При их получении существенно использовалось локальное
энтропийное неравенство (A.2). Таким образом, приближая, как и в теореме 2.1,
начальную функцию µ0 функциями u0ε из (3.1), затем переходя к пределу по ε → 0
в неравенстве (A.2) и применяя при этом оценку iv) из леммы A.4 к нелинейному
конвективному члену, как и в работе [28], получаем необходимые оценки а), ii).
Не зависящие от λ оценки i), iii) устанавливаются аналогично [24] в силу того, что
в соответствующем локальном энтропийном неравенстве слагаемое, связанное с
конвективным членом, входит в левую часть неравенства с положительным знаком
и поэтому может быть опущено.
Аналогичные оценки движения фронта носителя решения задачи (1.1) – (1.3)
для одномерного уравнения (1.1) с a1 = 0 и начальной функцией из H1 были
найдены в работе [21].
4. Случай „слабого” проскальзывания: 2 6 n < 3. Доказательство те-
оремы 2.3. В начале докажем свойство конечности скорости распространения
носителя произвольного сильного решения вспомогательной задачи Неймана для
уравнения (1.1) с a1 = 0 в ограниченной области Ω с гладкой границей и произволь-
ной неотрицательной начальной функцией u0(x) ∈ H1(Ω) такой, что supp u0(x) ⊂
⊂ B(0, R0) b Ω.
Следуя [23], регуляризуем (параметры ε2 → 0, σ1 → 0) уравнение (1.1) с a1 = 0
и введем в него „штрафующий” член (параметр ε1 → 0), связанный со значениями
решения из произвольного интервала [δ, L], δ > 0, L < ∞:
Ut + div((|U |n + ε2)∇(∆U − σ1Ut)) +
1
ε1
((U − L)+ − (δ − U)+) =
= −→χ∇b(U), (t, x) ∈ (0, T )× Ω. (4.1)
Решение U(t, x) = Uε1,ε2,σ1,δ,L задачи Неймана для уравнения (4.1) понимается в
смысле интегрального тождества
0 =
∫∫
QT
Utζ +
1
ε1
∫∫
QT
((U − L)+ − (δ − U)+)ζ −
−
∫∫
QT
(|U |n + ε2)∇(∆U − σ1Ut)∇ζ−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
258 Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ
−
∫∫
QT
−→χ b′(U)∇Uζ ∀ζ ∈ L2(0, T ;H1(Ω)). (4.2)
Полагаем в равенстве (4.2) ζ = −div(ϕ6∇U) + σ1ϕ
6Ut. После предельных пе-
реходов по ε1 → 0, ε2 → 0, σ1 → 0, как и в [23], для предельного решения
ū(t, .) := U0,0,0,δ,L(t, .) ∈ Kδ,L := {v ∈ L2(Ω) : v > δ и v 6 L п. в. в Ω} устанавли-
ваем следующее соотношение:
1
2
∫
Ω
ϕ6|∇ū(T )|2 dx + c−1
∫∫
QT
ϕ6ūn|∇∆ū|2 6
≤ 1
2
∫
Ω
ϕ6|∇u0(x)|2 dx + c
{∫∫
QT
ϕ2ūn(∇ϕ∇ū)2|∇ϕ|2+
+
∫∫
QT
ϕ4ūn|D2ϕ∇u|2 +
∫∫
QT
ϕ4ūn|D2ū∇ϕ|2+
+
∫∫
QT
ϕ4ūn|∆ū|2|∇ϕ|2 +
∫∫
QT
ϕ6ūλ−1|∇ū∆ū|+
+
∫∫
QT
ϕ5ūλ|D2ū∇ϕ|+
∫∫
QT
ϕ4ūλ|D2ϕ∇ū|
}
=:
=:
1
2
∫
Ω
ϕ6|∇u0(x)|2 dx +
7∑
k=1
Ik, (4.3)
где ϕ ∈ C2(Ω) — произвольная неотрицательная функция такая, что тангенциаль-
ная компонента ∇ϕ равна нулю на ∂Ω. Применяя к правой части (4.3) неравенство
Коши и лемму Б.3, получаем
I5 6 ε
∫∫
QT
ϕ6ūn−2|D2ū|2|∇ū|2 + c
∫∫
QT
ϕ6ū2λ−n 6
≤ c
∫∫
QT
ϕ6ū2λ−n + ε
∫∫
QT
ϕ6ūn|∇∆ū|2 +
∫∫
QT
ūn+2|∇ϕ|6
∀ε > 0,
I6 6 ε
∫∫
QT
ϕ4ūn|D2ū∇ϕ|2 + c
∫∫
QT
ϕ6ū2λ−n 6
≤ c
∫∫
QT
ϕ6ū2λ−n + ε
∫∫
QT
ϕ6ūn|∇∆ū|2 +
∫∫
QT
ūn+2|∇ϕ|6
∀ε > 0,
I7 6 ε
∫∫
QT
ϕ4ūn|D2u∇ϕ|2 + c
∫∫
QT
ϕ6ū2λ−n 6
≤ ε
∫∫
QT
ϕ6ūn−4|∇ū|6 + c
∫∫
QT
ϕ6ū2λ−n + c
∫∫
QT
ūn+2|∇ϕ|6 ∀ε > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 259
Остальные Ik оцениваются, как и в работе [23]. Правую часть (4.3) оцениваем
описанным выше способом и выбираем ε > 0 достаточно малым. Переходя к
пределу в полученном неравенстве по δ → 0, L−1 → 0, для предельного решения
u(t, x) получаем следующую априорную энергетическую оценку:
1
2
∫
Ω
ϕ6|∇u(t2)|2 dx + c−1
t2∫
t1
∫
Ω
ϕ6{|∇u
n+2
6 |6 + |∇∆u
n+2
2 |2} 6
≤ 1
2
∫
Ω
ϕ6|∇u(t2)|2 dx + c−1
∫∫
{u>0}
ϕ6un|∇∆u|2 6
≤ 1
2
∫
Ω
ϕ6|∇u(t1)|2 dx + c
t2∫
t1
∫
{ϕ>0}
ϕ6u2λ−n + c
t2∫
t1
∫
{ϕ>0}
un+2
{
|∇ϕ|6+
+ϕ2|D2ϕ|2|∇ϕ|2 + ϕ3|∆ϕ|3
}
, 0 6 t1 < t2 6 Tloc, (4.4)
где t1 = 0, t2 = Tloc, n ∈
(
2−
√
1− N
N + 8
, 3
)
, λ >
n
2
(
λ <
n + 6
2
, если N = 3
)
и ϕ(x) взято из (4.3). Неравенство (4.4) для произвольных t1, t2 таких, что 0 6
≤ t1 < t2 6 Tloc, получаем аналогично (в (4.2) полагаем ζ = −χ[t1,t2]div(ϕ6∇U)+
+σ1χ[t1,t2]ϕ
6Ut).
Пусть {`µ(t)}µ>0 ⊂ C∞
c (0, T ) такая, что `µ →
µ→0
χ(0,T ). Возьмем в предельном
интегральном тождестве для u(t, .) := U0,0,0,0,0(t, .), получающемся из (4.2) после
предельного перехода по ε1 → 0, ε2 → 0, σ1 → 0, δ → 0, L−1 → 0, в качестве
пробной функции ζ = −`µ(t)ϕ4(u + γ)β , β >
1− n
3
, ∀γ > 0. После несложных
преобразований и предельного перехода по µ → 0 и γ → 0 (см., например, [21]),
для T 6 Tloc получаем следующую оценку:
1
β + 1
∫
Ω
ϕ4uβ+1(T ) dx 6
≤ 1
β + 1
∫
Ω
ϕ4uβ+1
0 (x) dx + ε
∫∫
{u>0}
ϕ6un|∇∆u|2 + ε
∫∫
QT
ϕ6|∇u
n+2
6 |6+
+c
T∫
0
∫
{ϕ(t)>0}
{un+2β |∇ϕ|2 + uλ+β |∇ϕ4|+ un+3β−1}, (4.5)
β >
1− n
3
, ∀ε > 0,
где n ∈
(
2−
√
1− N
N + 8
, 3
)
, λ > 1, ϕ ∈ C1(Ω) — произвольная неотрицатель-
ная срезающая функция.
Пусть Ω(s) = Ω\B(0, R0+s), QT (s) = (0, T )×Ω(s) и supp u0 ⊂ B(0, R0) b Ω.
Введем в рассмотрение неотрицательную срезающую функцию ξ(τ), принадлежа-
щую пространству C2(R1) и имеющую следующие свойства: ξ = 0, если τ 6 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
260 Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ
ξ = 1, если τ > 1; 0 6 ξ(τ) 6 1 ∀τ ∈ R1. Определим семейство основных
срезающих функций:
ξs,δ(x) = ξ
(
|x| − (R0 + s)
δ
)
∀s ∈ R1, δ > 0.
Здесь δ > 0 такое, что B(0, R0 + s + δ) b Ω. Для всех x выполняются неравенства
|∇ξs,δ| 6
c
δ
, |∆ξs,δ| 6
c
δ2
.
Суммируя неравенства (4.4), (4.5) и полагая ϕ(x) = ξs,δ(x), после простых пре-
образований получаем∫
Ω(s+δ)
|∇u(T )|2 dx +
∫
Ω(s+δ)
uβ+1(T ) dx + c−1
∫∫
QT (s+δ)
{|∇u
n+2
6 |6 + |∇∆u
n+2
2 |2} 6
6 c
{
δ−6
∫∫
QT (s)
un+2 + δ−2
∫∫
QT (s)
un+2β+
+δ−1
∫∫
QT (s)
uλ+β +
∫∫
QT (s)
un+3β−1 +
∫∫
QT (s)
u2λ−n
}
=:
=: c
5∑
i=1
δ−αi
∫∫
QT (s)
uξi . (4.6)
Применим интерполяционное неравенство Ниренберга – Гальярдо (лемма Б.1) в
области Ω(s + δ) к функции v := u
n+2
2 с a =
2ξi
n + 2
, b =
2(β + 1)
n + 2
, d = 2, i = 0,
j = 3, θi =
N(n + 2)(ξi − β − 1)
ξi(N(n + 2) + (6−N)(β + 1))
при условии
β < ξi − 1 для i = 1, 5. (4.7)
Интегрируя получающиеся неравенства по времени, с учетом (4.6) приходим к
следующим соотношениям:∫∫
QT (s+δ)
uξi 6 cT 1− θiξi
n+2
(
5∑
i=1
δ−αi
∫∫
QT (s)
uξi
)1+νi
+ cT
(
5∑
i=1
δ−αi
∫∫
QT (s)
uξi
) ξi
β+1
,
где νi =
6(ξi − β − 1)
N(n + 2) + (6−N)(β + 1)
. Полученные неравенства имеют место при
выполнении следующих соотношений:
θiξi
n + 2
< 1 ⇔ β >
N(ξi − n− 2)
6
− 1. (4.8)
Простые вычисления показывают, что неравенства (4.7), (4.8) выполняются с не-
которым β >
1− n
3
в том и только в том случае, если
n ∈
(
2−
√
1− N
N + 8
, 3
)
, λ ∈
(
1 +
n
4
, n + 1 +
3(n + 2)
N
)
. (4.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 261
Поскольку все интегралы в правой части полученных интегральных неравенств
стремятся к нулю при T → 0, из леммы Б.2 с s1 = 0 и достаточно малым T
следует
supp u(t, .) ⊂ B(0, R0 + Γ(t)) b Ω ∀t 6 Tloc = Tloc(R0), (4.10)
т. е. носитель нашего решения распространяется с конечной скоростью. Про-
должая функцию u(t, x) нулем вне ее носителя, получаем локальное по времени
решение задачи (1.1) – (1.3).
Теперь установим оценку сверху для Γ(t) из (4.10). Пусть Ω(s) = RN\B(0, s),
QT (s) = (0, T )× Ω(s) ∀s > R0, supp u0 ⊂ B(0, R0) и Γ(T ) = R(T )− R0. В силу
малости временного интервала в (4.10) можно считать, что R(T ) < 2R0. Таким
образом, для всех s ∈ (R0, 2R0) в (4.4) можно взять (вплоть до регуляризации)
ϕ(x) = (|x| − s)+. В итоге получим
1
2
∫
Ω(s)
(|x| − s)6+|∇u(T )|2 dx + c−1δ6
∫∫
QT (s+δ)
|∇∆u
n+2
2 |2 6
6 c
∫∫
QT (s)
{un+2 + (R(T )− s)6+u2λ−n} ∀T 6 Tloc, s ∈ (R0, 2R0). (4.11)
Применяя неравенство Харди∫
Ω(s)
(|x| − s)4+u2 dx 6 c
∫
Ω(s)
(|x| − s)6+|∇u|2 dx,
приходим к следующей оценке:
∫
Ω(s+δ)
u dx 6
∫
Ω(s+δ)
(|x| − s)4+u2 dx
1
2
∫
Ω(s+δ)
(|x| − s)−4
+ dx
1
2
6
6 c
∫
Ω(s)
(|x| − s)6+|∇u|2 dx
1
2
∫
Ω(s+δ)
(|x| − s)−4
+ dx
1
2
6
6 c(δN−4 + sN−1δ−3)
1
2
∫
Ω(s)
(|x| − s)6+|∇u|2 dx
1
2
∀δ > 0, s ∈ (R0, 2R0),
откуда следует ∫
Ω(s+δ)
u dx
2
6 cf(δ, s)
∫
Ω(s)
(|x| − s)6+|∇u|2 dx, f(δ, s) := δN−4 + sN−1δ−3.
(4.12)
Подставляя полученную оценку в (4.11), находим
sup
t∈(0,T )
∫
Ω(s+δ)
u dx
2
+ cδ6f(δ, s)
∫∫
QT (s+δ)
|D3u
n+2
2 |2 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
262 Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ
≤ cf(δ, s)
∫∫
QT (s)
{un+2 + Γ6(T )u2λ−n} =:
=: cf(δ, s)
2∑
i=1
Γηi(T )
∫∫
QT (s)
uξi ∀T 6 Tloc, s ∈ (R0, 2R0). (4.13)
Применяя неравенства Ниренберга – Гальярдо, Гельдера и Юнга, после простых
вычислений для ε > 0 получаем
Γηi(T )
∫∫
QT (s)
uξi 6 εδ6
∫∫
QT (s)
|D3u
n+2
2 |2 + c(ε)
Γ`i(T )
δγi
T∫
0
∫
Ω(s)
u
ξi(6−N)+N(n+2)
N(n+2−ξi)+6
.
Здесь `i =
ηi(nN + N + 6)
N(n + 2− ξi) + 6
, γi =
6N(ξi − 1)
N(n + 2− ξi) + 6
при условии, что 1 < ξi <
< n + 2 +
6
N
. Условия на ξi эквивалентны соотношению
n + 1
2
< λ < n + 1 +
3
N
.
Подставляя полученные выше оценки в (4.13) и проводя стандартную итерацион-
ную процедуру, приходим к неравенству
sup
t∈(0,T )
∫
Ω(s+δ)
u dx
2
6 cf(δ, s)
2∑
i=1
G
(i)
T (s)
δγi
,
G
(i)
T (s) := Γ`i(T )
T∫
0
∫
Ω(s)
u
ξi(6−N)+N(n+2)
N(n+2−ξi)+6
,
откуда для δ 6 R0 (⇒ f(δ, s)δ−γi 6 c δ−γi−3 ∀s ∈ (R0, 2R0)) имеем
G
(i)
T (s + δ) 6 cTΓ`i(T )
(
2∑
i=1
G
(i)
T (s)
δαi
)βi
∀s ∈ (R0, 2R0), s > δ > 0, (4.14)
где βi =
ξi(6−N) + N(n + 2)
2(N(n + 2− ξi) + 6)
, αi = γi + 3 =
3(ξiN + nN + 6)
N(n + 2− ξi) + 6
. Применяя к
(4.14) лемму Б.2, получаем G
(i)
T (s0(T )) = 0, где
Γ(T ) 6 s0(T ) = c(T
1
N(n+1)+3 + Tα2Γ
`2
α2 (T )), c = c(n, λ, N, ‖u0‖1) > 0.
Поскольку
`2
α2
> 1, для произвольного T 6 Tloc имеем
Γ(T ) 6 cT
1
N(n+1)+3 . (4.15)
Замечание 4.1. При N = 1 оценка (4.15) совпадает с полученной в [27]
оценкой носителей решений уравнения (1.4) и с оценкой из [21] для уравнения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 263
(1.1) с a1 = 0. При N > 1 эта оценка является новой и наша гипотеза состоит в
том, что она точна и достигается на классе мер Радона, сосредоточенных на сфере
радиуса R0.
Далее, как и при доказательстве теоремы 2.1, будем приближать решение за-
дачи (1.1) – (1.3) с помощью сильных решений задачи Неймана, носители которых
распространяются с конечной скоростью (свойство (4.10)). Выберем последова-
тельность {u0ε}ε>0 неотрицательных функций в H1(RN ) с компактным носителем
из (3.1). В силу (4.10) и (4.15) получаем, что supp uε(t, .) ⊂ B(0, R0ε + ĉt
1
N(n+1)+3 ),
где uε(t, x) — локальное по времени решение задачи Коши для уравнения (1.1) с
a1 = 0. Для произвольного α ∈ (−1, 0) справедлива оценка∫
RN
uα+1
ε (t, x) dx 6 ‖u0ε‖α+1
1 |supp uε(t)|−α 6 c‖u0ε‖α+1
1 R−αN
0 (t),
R0(t) := |R0 + ĉt
1
N(n+1)+3 |.
(4.16)
Здесь мы воспользовались тем, что для всех t 6 Tloc имеет место закон сохранения
массы. По аналогии с [23] доказывается существование энтропийной оценки вида
T∫
0
∫
RN
{∣∣∣D2u
α+n+1
2
ε
∣∣∣2+
∣∣∣∇u
α+n+1
4
ε
∣∣∣4} 6
≤ c
α(α + 1)
∫
RN
uα+1
0ε (x)dx− c
α(α + 1)
∫
RN
uα+1
ε (T, x) dx (4.17)
для всех T 6 Tloc при α ∈ (−1, 2 − n). Из (4.17) и (4.16), в силу компактности
носителя решения и закона сохранения, следует свойство i) теоремы 2.3. Для
решения ū(t, .) из (4.3) при n ∈ [2, 3) и почти всех t 6 Tloc справедлива следующая
оценка:
∫
Ω
|∇ū(t, x)|2 ū
n−4
3
ū
n−4
3
dx 6 c(n)
∫
Ω
|∇ū
n+2
6 (t)|6 dx
1
3
∫
Ω
ū
4−n
2 (t) dx
2
3
6
6 c(n)‖u0ε‖
4−n
3
1 |Ω|
n−2
3
∫
Ω
|∇ū
n+2
6 (t)|6 dx
1
3
.
Возведем обе части этого неравенства в третью степень и проинтегрируем его
по времени от t1 до t2. После предельных переходов по δ → 0, L−1 → 0 для
предельного решения uε(t, x), имеющего свойство (4.10), получаем
c−1(n)‖u0ε‖n−4
1 R2−n
0 (Tloc)
t2∫
t1
∫
RN
|∇uε(t, x)|2dx
3
6
∫∫
Q
t2
t1
|∇u
n+2
6
ε (t)|6 dx.
(4.18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
264 Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ
Для почти всех 0 6 t1 < t2 6 Tloc и λ >
n
2
(
λ <
n + 6
2
, если N = 3
)
, используя
теоремы вложения и неравенство Юнга, находим
t2∫
t1
∫
RN
u2λ−n
ε 6 γ
t2∫
t1
∫
RN
|∇uε(t, x)|2dx
3
+ c(γ)(t2 − t1) ∀ γ > 0. (4.19)
Подставляя (4.18) и (4.19) в (4.4) с ϕ = 1, имеем
1
2
∫
RN
|∇uε(t2)|2 dx + (c−1(n)‖u0ε‖n−4
1 R2−n
0 (Tloc)− γ)
t2∫
t1
∫
RN
|∇uε(t, x)|2dx
3
6
6
1
2
∫
RN
|∇uε(t1)|2 dx + c(γ)(t2 − t1), t1 < t2 6 Tloc. (4.20)
Пусть F (t) :=
∫
RN
|∇uε(t)|2 dx− c(γ)t. Выбирая в (4.20) γ =
1
2
c−1(n)‖u0ε‖n−4
1 ×
×R2−n
0 (Tloc) и полагая t1 = s, t2 = s + τ, для невозрастающей функции F (t)
получаем оценку
c−1(n)‖u0ε‖n−4
1 R2−n
0 (Tloc)τ F 3(s + τ) 6 F (s),
откуда следует, что
F (s + τ) 6 c(n)‖u0ε‖
4−n
3
1 R
n−2
3
0 (Tloc)
(
F (s)
τ
) 1
3
. (4.21)
Применяя к (4.21) лемму Б.4, имеем необходимую оценку убывания:∫
RN
|∇uε(t, x)|2dx 6 c̃(n)t−
1
2 ‖u0ε‖
4−n
2
1 R
N(n−2)
2
0 (Tloc) ∀t ∈ (0, Tloc]. (4.22)
Применяя неравенство Ниренберга – Гальярдо (лемма Б.1), для всех p ∈ (1,∞),
если N = 1, 2, и p ∈ (1, 6), если N = 3, в силу (4.22) находим
‖uε(t)‖p 6 ‖∇uε(t)‖
2N(p−1)
p(N+2)
2 ‖u0ε‖
2N+p(2−N)
p(N+2)
1 6
≤ c‖u0ε‖
1− 2nN(p−1)
4p(N+2)
1 t−
N(p−1)
2p(N+2) (R0(Tloc))
N2(p−1)(n−2)
2p(N+2) . (4.23)
Используя (4.16) и (4.23), для всех t ∈ (0, Tloc] при выполнении (2.6) устанавливаем
оценки всех нелинейных слагаемых в (2.2) и (4.4), необходимые для предельного
перехода по ε → 0. Покажем, например, получение оценки для нелинейного сла-
гаемого из (2.2), связанного с наличием конвекции. Для λ ∈
(
1
p
, 2 +
1
p
+
4
N
)
,
p > 1, в силу (4.23) имеем
t∫
0
‖b(uε(τ))‖p dτ 6 c
t∫
0
‖uε(τ))‖λ
λp dτ 6 c t1−
N(λp−1)
2p(N+2) ∀t ∈ [0, Tloc],
где c = c(Tloc, R0, ‖u0ε‖1, N, n) < ∞. Переходя к пределу по ε → 0, как и в
теореме 2.1, получаем требуемое решение задачи Коши.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 265
Приложение A.
Теорема A.1 [25]. Пусть N 6 3, m > 0, 1/8 < n < 2,
max
{
1,
3n− 1
4
}
< λ <
5N + 8
4N
+ min
{
n,
5
4
}
, если N < 3;
max
{
1,
3n− 1
4
}
< λ < 2 + min
{
n,
5
4
}
, если N = 3,
(A.1)
и u0(x) ∈ H1(RN ) ∩ Lm−n+2(RN ) — неотрицательная функция с supp u0 ⊂
⊂ B(0, R0), R0 < +∞. Тогда существует решение u(t, x) задачи (1.1) – (1.3) из
определения 2.1 такое, что:
i) supp u(t, .) компактен для почти всех t > 0 и существует неубывающая
непрерывная функция Γ(t), Γ(0) = 0, такая, что supp u(t, .) ⊂ D(0, R0 + Γ(t))
∀t > 0;
ii) для произвольного α из (2.5), дополнительно удовлетворяющего условиям
max
{
3(α + n)− 1
4
, 1
}
< λ 6
N + 2
N
+
3(α + n)
4
при N < 3;
max
{
3(α + n)− 1
4
, 1
}
< λ 6
3(α + n) + 7
4
при N = 3
(легко проверить, что в предположениях (A.1) множество таких α непусто),
имеют место включения
um−n+2 ∈ L∞loc([0,∞);L1(RN )), u
α+n+1
4 ∈ L4
loc([0,∞);W 1
4 (RN )),
u
α+n+1
2 ∈ L2
loc([0,∞);H2(RN )), u
α+m+1
2 ∈ L2
loc([0,∞);H1(RN ));
iii) для почти всех 0 6 t1 < t2 и произвольной неотрицательной функции
ζ ∈ C2([t1, t2]×RN ) выполняется следующее локальное энтропийное неравенство:
1
α(α + 1)
∫
RN
ζ4uα+1(t2, x)dx− 1
α(α + 1)
t2∫
t1
∫
RN
(ζ4)tu
α+1+
+ c−1
3
t2∫
t1
∫
RN
ζ4
{∣∣∣∇u
α+m+1
2
∣∣∣2 +
∣∣∣∇u
α+n+1
4
∣∣∣4 +
∣∣∣D2u
α+n+1
2
∣∣∣2} 6
6
1
α(α + 1)
∫
RN
ζ4uα+1(t1, x)dx + c3
t2∫
t1
∫
{ζ(t)>0}
uα+m+1(ζ2 |∇ζ|2 + ζ3 |∆ζ|)+
+ c3
t2∫
t1
∫
{ζ(t)>0}
uα+n+1(|∇ζ|4 + ζ2 |∆ζ|2)−
t2∫
t1
∫
{ζ(t)>0}
−→χB(α)(u)∇ζ4, (A.2)
где B(α)(z) := α−1
∫ z
0
b′(τ)τα dτ , α взято из ii);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
266 Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ
iv) для почти всех 0 6 t1 < t2 (t1 = 0, если m − n + 2 6 0) при любом
q′ ∈
(
1,
4N
2N + n(N − 2)
)
(q′ = 2, если N = 1) для потока
−→
J из (2.4) справедлива
оценка
t2∫
t1
∥∥∥−→J (t)
∥∥∥2
q′
dt 6 sup
t∈(t1,t2)
‖un(t)‖ q′
2−q′
E(u(t1))−
∫∫
Q
t2
t1
−→χ χP b′(u)∇u∆u
,
где E(u(t)) :=
1
2
‖∇u(t)‖2
2 +
∫
RN
Ψ0(u(t))dx, Ψ0(z) взято из (2.1);
v) u(t, .) ⇒
t→0
u0(.) в L2(RN ).
Замечание A.1. Кроме того, в [25] теорема А.1 доказана для t ∈ (0, Tloc) при
более слабых ограничениях на параметр λ, а именно,
1 < λ < κ + 1 + max{n + κ, m} при N < 3,
1 < λ < min
{
4n + 7
3
, 4
}
при N = 3; κ :=
2
N
min
{
n + 4
3
, 3− n
}
.
Лемма A.1 [11]. Пусть f : [0,∞) → R — непрерывная справа в 0 функция,
такая, что f(t2) − f(t1) 6 M(t2 − t1)at−b
1 ∀t2 > t1 > 0, где M > 0, a > b > 0.
Тогда f(t)− f(0) 6
M
1− 2b−a
ta−b ∀t > 0.
Лемма A.2 [24, 26]. Пусть u(t, x) — сильное решение задачи (1.1) – (1.3), по-
строенное в теореме A.1. Тогда для произвольного p ∈ (1, 3 − n) существует
постоянная 0 < c = c(n, m, p, N) такая, что для произвольного t > 0 справедли-
вы следующие оценки:
‖u(t)‖p 6 c‖u0‖
nN+4p
p(nN+4)
1 t−
N(p−1)
p(nN+4) , ‖u(t)‖p 6 c‖u0‖
mN+2p
p(mN+2)
1 t−
N(p−1)
p(mN+2) . (A.3)
Лемма A.3 [24]. Пусть u(t, x) — сильное решение задачи (1.1) – (1.3), постро-
енное в теореме A.1. Тогда для произвольного t > 0 справедливы следующие оценки
убывания:
i)
∫ t
0
‖u(τ)‖γ
p̂ dτ 6 c1‖u0‖
γ(nN+4p̂)
p̂(nN+4)
1 t1−
γN(p̂−1)
p̂(nN+4) ∀ p̂ > 1, γ ∈
(
0,
p̂(nN + 4)
N(p̂− 1)
)
;∫ t
0
‖u(τ)‖γ
p̂ dτ 6 c1‖u0‖
γ(mN+2p̂)
p̂(mN+2)
1 t1−
γN(p̂−1)
p̂(mN+2) ∀ p̂ > 1 (p̂ < 3(m − n + 3),
если N = 3), γ ∈
(
0,
p̂(mN + 2)
N(p̂− 1)
)
;
ii)
∫ t
0
‖χPun−2(τ)|∇u(τ)|3‖p dτ 6 c1‖u0‖
nN+p(n+4)
p(nN+4)
1 t
N−p(N−1)
p(nN+4)
∀ p ∈
(
max
{
4
n + 4
,
8
8n + 5
}
,
4
3
)
;
iii)
∫ t
0
‖χPun−1(τ)|∇u(τ)|2‖p dτ 6 c1‖u0‖
nN+p(2n+4)
p(nN+4)
1 t
N−p(N−2)
p(nN+4)
∀ p ∈
(
3
n + 3
,
3
2
)
;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 267
iv)
∫ t
0
‖χPun(τ)∇u(τ)‖p dτ 6 c1‖u0‖
nN+p(3n+4)
p(nN+4)
1 t
N−p(N−3)
p(nN+4)
∀ p ∈
(
2
n + 2
, 2
)
;∫ t
0
‖um(τ)∇u(τ)‖p dτ 6 c2‖u0‖
mN+p(m+2)
p(mN+2)
1 t
N−p(N−1)
p(mN+2)
∀ p ∈
(
max
{
2
m + 2
,
4
2m + 2n + 3
}
,min
{
N
N − 1
, 2
})
;
v) E(u(t)) 6 c2‖u0‖
8+n(N−2)
nN+4
1 t−
N+2
nN+4 + c2‖u0‖
mN+2(m−n+2)
mN+2
1 t−
N(m−n+1)
mN+2 ,
если m− n + 1 > 0;
vi) E(u(t)) 6 c2‖u0‖
8+n(N−2)
nN+4
1 t−
N+2
nN+4 + c2‖u0‖
mN+2s
mN+2
1 t−
N(s−1)
mN+2 ∀ s ∈ (1, 3 − n),
если m− n + 1 = 0;
vii) E(u(t)) 6 c2‖u0‖
8+n(N−2)
nN+4
1 t−
N+2
nN+4 , если m− n + 1 < 0,
где 0 < c1 = c1(n, m, p, N), 0 < c2 = c2(n, m, N) (кроме того, в vii) постоянная
c2 дополнительно зависит от s), E(u(t)) взято из iv) теоремы А.1.
Лемма A.4. Пусть u(t, x) — сильное решение задачи (1.1) – (1.3), построен-
ное в теореме A.1. Тогда для произвольного t > 0 справедливы следующие оценки:
i)
∫ t
0
‖b(u(τ))‖p dτ 6 c‖u0‖
nN+4pλ
p(nN+4)
1 t1−
N(λp−1)
p(nN+4) ∀λ ∈
(
1
p
, n +
1
p
+
4
N
)
, p > 1;∫ t
0
‖b(u(τ))‖p dτ 6 c‖u0‖
mN+2pλ
p(mN+2)
1 t1−
N(λp−1)
p(mN+2) ∀λ ∈
(
1
p
,m +
1
p
+
2
N
)
(
λ <
3
p
(m− n + 3) при N = 3
)
, p > 1;
ii)
∫ t
0
‖b(u(τ))‖2q′ dτ 6 c‖u0‖
2(nN+4λq′)
q′(nN+4)
1 t
1− 2N(λq′−1)
q′(nN+4)
∀ q′ ∈ ∆1, λ ∈
(
1,
2N + 8 + n(3N − 2)
4N
)
;∫ t
0
‖b(u(τ))‖2q′ dτ 6 c‖u0‖
2(mN+2λq′)
q′(mN+2)
1 t
1− 2N(λq′−1)
q′(mN+2)
∀ q′ ∈ ∆1, λ ∈
(
1,
2N + 4 + n(N − 2) + 2mN
4N
)
(
λ <
(n + 6)(m− n + 3)
4
при N = 3
)
;
iii)
∫∫
Q
t2
t1
−→χ χP b′(u)∇u∆u 6 c‖u0‖
1+
4λ−3(α+n)+α
nN+4
1 t
1+N(n−λ)
nN+4
∀λ ∈
(
3(α + n)
4
, n +
1
N
)
;∫∫
Q
t2
t1
−→χ χP b′(u)∇u∆u 6 c‖u0‖
1+
4λ−3(α+n)+α
mN+2
1 t
2+N(m+3n−4λ)
4(mN+2)
∀λ ∈
(
3(α + n)
4
,
m + 3n
4
+
1
2N
) (
λ <
3(α + m) + 8
4
при N = 3
)
;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
268 Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ
iv)
∫ t
0
‖B(α)(u(τ))‖p dτ 6 c‖u0‖
nN+4p(λ+α)
p(nN+4)
1 t1−
N(p(λ+α)−1)
p(nN+4)
∀λ ∈
(
1
p
− α, n +
1
p
+
4
N
− α
)
, p > 1;∫ t
0
‖B(α)(u(τ))‖p dτ 6 c‖u0‖
mN+2p(λ+α)
p(mN+2)
1 t1−
N(p(λ+α)−1)
p(mN+2)
∀λ ∈
(
1
p
− α, m +
1
p
+
2
N
− α
) (
λ <
3
p
(m − n + 3) − α при N = 3
)
и
p > 1,
где 0 < c = c(n, m, p, N), ∆1 взято из i) теоремы 2.1, α — из (2.5), B(α)(z) —
из (A.2).
Доказательство леммы A.4.
i) Поскольку b(z) 6 c zλ, то
∫ t
0
‖b(u(τ))‖p dτ 6 c
∫ t
0
‖u(τ)‖λ
λp dτ . Применяя
к правой части неравенства оценку i) из леммы A.3 с p̂ = λp, γ = λ, получаем
требуемые оценки.
ii) Из неравенства
∫ t
0
‖b(u(τ))‖2q′ dτ 6 c
∫ t
0
‖u(τ)‖2λ
λq′ dτ и оценки i) из лем-
мы A.3 с p̂ = λq′, γ = 2λ следует требуемое.
iii) Так же, как и в работе [25], воспользуемся тождеством uxixj =
= γ−1u1−γ(uγ)xixj
−(γ−1)u−1uxi
uxj
с γ =
α + n + 1
2
на положительных прибли-
жающих решениях. Тогда после необходимых предельных переходов для интеграла
I :=
∫∫
Q
t2
t1
−→χ χP b′(u)∆u∇u получаем следующую оценку:
I 6 c
∫∫
Q
t2
t1
u
4λ−3(α+n)+1
4
∣∣∣∇u
α+n+1
4
∣∣∣3 + c
∫∫
Q
t2
t1
u
4λ−3(α+n)+1
4
∣∣∣∇u
α+n+1
4
∣∣∣ ∣∣∣∆u
α+n+1
2
∣∣∣.
Применяя к первому слагаемому неравенство Гельдера с показателями 4,
4
3
, а ко
второму — с показателями 4, 4 и 2, имеем
I 6 c
∫∫
Q
t2
t1
u4λ−3(α+n)+1
1
4
∫∫
Q
t2
t1
∣∣∣∇u
α+n+1
4
∣∣∣4
3
4
+
+c
∫∫
Q
t2
t1
∣∣∣∇u
α+n+1
4
∣∣∣4
1
4
∫∫
Q
t2
t1
u4λ−3(α+n)+1
1
4
∫∫
Q
t2
t1
∣∣∣D2u
α+n+1
2
∣∣∣2
1
2
.
Отсюда, используя глобальное энтропийное неравенство (A.2) (ζ = 1), находим
I 6 c
∫
RN
uα+1(t1)
3
4
t2∫
t1
‖u(τ)‖4λ−3(α+n)+1
4λ−3(α+n)+1dτ
1
4
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 269
Применяя к первому множителю неравенство (A.3) с p = α + 1, а ко второму —
оценку i) из леммы A.3 с p̂ = γ = 4λ− 3(α + n) + 1, получаем
I 6 c‖u0‖
1+
4λ−3(α+n)+α
nN+4
1 t1
−b1(t2 − t1)a1 ,
3(α + n)
4
< λ <
3(α + n) + n
4
+
1
N
;
I 6 c‖u0‖
1+
4λ−3(α+n)+α
2(mN+2)
1 t1
−b2(t2 − t1)a2 ,
3(α + n)
4
< λ <
3(α + n) + m
4
+
1
2N
, λ <
3(α + m) + 8
4
при N = 3,
где a1 =
1
4
(
1− N(4λ− 3(α + n))
nN + 4
)
, a2 =
1
4
(
1− N(4λ− 3(α + n))
mN + 2
)
, b1 =
=
3Nα
4(nN + 4)
, b2 =
3Nα
4(mN + 2)
. Отсюда при условии, что ai − bi > 0, используя
лемму A.1, получаем требуемые оценки.
iv) Поскольку B(α)(z) 6 c zλ+α, то
∫ t
0
‖B(α)(u(τ))‖p dτ 6 c
t∫
0
‖u(τ)‖λ+α
p(λ+α) dτ .
Применяя к правой части неравенства оценку i) из леммы A.3 с p̂ = p(λ + α),
γ = λ + α, получаем необходимые оценки.
Приложение Б.
Лемма Б.1 [29]. Если Ω ⊂ RN — ограниченная область с кусочно-гладкой
границей, a > 1, b ∈ (0, a), d > 1, 0 6 i < j, i и j ∈ N, то существуют
положительные постоянные d1 и d2 (d2 = 0, если Ω = RN ), зависящие только от
Ω, d, j, b и N, такие, что для любой функции v(x) ∈ W j
d (Ω) ∩ Lb(Ω) выполняется
неравенство ∥∥Div
∥∥
La(Ω)
6 d1
∥∥Djv
∥∥θ
Ld(Ω)
‖v‖1−θ
Lb(Ω) + d2 ‖v‖Lb(Ω) ,
где θ =
1
b
+
i
N
− 1
a
1
b
+
j
N
− 1
d
∈
[
i
j
, 1
)
.
Лемма Б.2 [21]. Пусть (β1, . . . , βm) ∈ Rm, m > 1 и β =
m∏
j=1
βj , βi =
=
β
βi
=
m∏
j=1,j 6=i
βj . Предположим, что неотрицательные невозрастающие фун-
кции Gi(s) удовлетворяют условиям
Gi(s + δ) 6 ci
(
m∑
i=1
Gi(s)
δαi
)βi
∀s > 0, δ > 0, i = 1,m,
с действительными числами ci > 0, βi > 1, αi > 0 для i = 1,m и αi > 0 для
i = 1, `. Пусть G(s) =
∑m
i=1
(cβi
i ) (Gi(s))
βi и предположим далее, что функция
H(s) = mβ
∑m
i=`+1
c
βi
i (cβi
i )
1−βi
(Gi(s))
βi−1 такая, что H(s1) < 1 в некоторой
точке s1 > 0. Тогда существует положительная постоянная c > 1, зависящая
от m, αi, βi, ` и H(s1), такая, что Gi(s0) ≡ 0 для всех i = 1, `, где s0 =
= s1 + c
∑`
i=1
(
c
βi
i (cβi
i )
1−βi
(G(s1))
βi−1
) 1
αiβ
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
270 Р. М. ТАРАНЕЦ, А. Е. ШИШКОВ
Лемма Б.3 [23]. Пусть Ω ⊂ RN , N < 6, — ограниченная выпуклая область
с гладкой границей, n ∈
(
2−
√
1− N
N + 8
, 3
)
. Тогда для произвольных строго
положительных функций v ∈ H2(Ω) таких, что∇v ·~n = 0 на ∂Ω и
∫
Ω
vn|∇∆v|2 <
< ∞, справедливы оценки∫
Ω
ϕ6{vn−4|∇v|6 + vn−2|D2v|2|∇v|2} 6
6 c
{∫
Ω
ϕ6vn|∇∆v|2 +
∫
{ϕ>0}
vn+2|∇ϕ|6
}
,
∫
Ω
ϕ6|∇∆v
n+2
2 |2 6 c
{∫
Ω
ϕ6vn|∇∆v|2+
+
∫
{ϕ>0}
vn+2{|∇ϕ|6 + ϕ2|D2ϕ|2|∇ϕ|2 + ϕ3|∆ϕ|3}
}
,
где ϕ ∈ C2(Ω) — произвольная неотрицательная функция такая, что тангенци-
альная компонента ∇ϕ равна нулю на ∂Ω; постоянная c > 0 не зависит от v.
Лемма Б.4 [30]. Предположим, что неотрицательная неубывающая функция
f(s) : [0,∞) → R удовлетворяет условию
f(s + δ) 6 c0
(
f(s)
δα
)β
∀ s > 0, δ > 0,
с действительными числами c0 > 0, 0 < β < 1, α > 0. Тогда f(s) 6
6 2
αβ
1−β c
1
1−β
0 s−
αβ
1−β ∀s > 0.
1. Bernis F. Viscous flows, fourth order nonlinear degenerate parabolic equations and singular elliptic
problems // Free Boundary Problems: Theory and Appl. Pitman Res. Notes Math. / Eds J. I. Diaz,
M. A. Herrero, A. Linan, J. L. Vazquez. – Harlow: Longman, 1995. – Vol. 323. – P. 40 – 56.
2. Bertozzi A. L., Münch A., Shearer M. Undercompressive shocks in thin film flows // Physica D. –
1999. – 134. – P. 431 – 464.
3. Bertozzi A. L., Pugh M. The lubrication approximation for thin viscous films: the moving contact
line with a porous media cutoff of the Van der Waals interactions // Nonlinearity. – 1994. – 7. –
P. 1535 – 1564.
4. Bertozzi A. L., Pugh M. Long-wave instabilities and saturation in thin film equations // Communs
Pure and Appl. Math. – 1998. – 51, № 6. – P. 625 – 661.
5. Elliot C. M., Garcke H. On the Cahn – Hilliard equation with degenerate mobility // SIAM J. Math.
Anal. – 1996. – 27, № 2. – P. 404 – 423.
6. Grün G. Degenerate parabolic differential equations of fourth order and plasticity model with
non-local hardening // Z. anal. Anwendungen. – 1995. – 14. – S. 541 – 574.
7. Bertozzi A. L., Münch A., Shearer M., Zumbrun K. Stability of compressive and undercompressive
thin film traveling waves. The dynamics of thin fluid films // Eur. J. Appl. Math. – 2001. – 12, № 3.
– P. 253 – 291.
8. Bertozzi A. L., Shearer M. Existence of undercompressive traveling waves in thin film equations //
SIAM J. Math. Anal. – 2000. – 32. – P. 194 – 213.
9. Lions J.-L. Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. – Dunod:
Gauthier-Villars, 1969.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ... 271
10. Bernis F., Friedman A. Higher order nonlinear degenerate parabolic equations // J. Different. Equat.
– 1990. – 83. – P. 179 – 206.
11. Bernis F. Finite speed of propagation and continuity of the interface for thin viscous flows // Adv.
Different. Equat. – 1996. – 1, № 3. – P. 337 – 368.
12. Kersner R., Shishkov A. Existence of free-boundaries in thin-film theory. – Donetsk, 1996. – 15 p.
– (Preprint / NAS Ukraine. Inst. Appl. Math. and Mech., № 6).
13. Beretta E., Bertsch M., Dal Passo R. Nonnegative solutions of a fourth-order nonlinear degenerate
parabolic equation // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1995. – 129, № 2. – P. 175 – 200.
14. Bernis F. Finite speed of propagation for thin viscous flows when 2 6 n < 3 // C. r. Acad. sci. Ser.
Math. – 1996. – 322. – P. 1169 – 1174.
15. Hulshof J., Shishkov A. The thin film equation with 2 6 n < 3: Finite speed of propagation in
terms of the L1-norm // Adv. Different. Equat. – 1998. – 3. – P. 625 – 642.
16. Bernis F., Peletier L. A., Williams S. M. Source type solutions of a fourth order nonlinear degenerate
parabolic equation // Nonlinear Anal. – 1992. – 18. – P. 217 – 234.
17. Bernis F., Ferreira R. Source-type solutions to thin-film equations in higher dimensions // Eur. J.
Appl. Math. – 1997. – 8. – P. 507 – 524.
18. Beretta E. Selfsimilar source solutions of a fourth order degenerate parabolic equation // Nonlinear
Anal. – 1997. – 29, № 7. – P. 741 – 760.
19. Bertozzi A. L., Pugh M. The lubrication approximation for thin viscous films: regularity and long
time behavior of weak solutions // Communs Pure and Appl. Math. – 1994. – 49, № 2. – P. 85 – 123.
20. Giacomelli L. A fourth-order degenerate parabolic equation describing thin viscous flows over an
inclined plane // Appl. Math. Lett. – 1999. – 12, № 8. – P. 107 – 111.
21. Giacomelli L., Shishkov A. Propagation of support in one-dimensional convected thin-film flow //
Indiana Univ. Math. J. – 2005. – 54, № 4. – P. 1181 – 1215.
22. Dal Passo R., Garcke H., Grün G. On a fourth-order degenerate parabolic equation: Global entropy
estimates, existence and qualitative behavior of solutions // SIAM J. Math. Anal. – 1998. – 29, № 2.
– P. 321 – 342.
23. Grün G. On free boundary problems arising in thin film flow // Habilitat. Thesis. – Univ. Bonn,
2001 (accepted).
24. Dal Passo R., Giacomelli L., Shishkov A. The thin film equation with nonlinear diffusion // Communs
Part. Different. Equat. – 2001. – 26. – P. 1509 – 1557.
25. Таранец Р. М., Шишков А. Е. Об уравнении течения тонких пленок с нелинейной конвекцией
в многомерных областях // Укр. мат. вiсн. – 2004. – 1, № 3. – С. 402 – 444.
26. Bertsch M., Dal Passo R., Garcke H., Grün G. The thin viscous flow equation in higher space
dimension // Adv. Different. Equat. – 1998. – 3. – P. 417 – 440.
27. Dal Passo R., Garcke H. Solutions of a fourth order degenerate parabolic equation with weak initial
trace // Ann. S. N. S., Classe Sci. – 1999. – 28. – P. 153 – 181.
28. Таранец Р. М. Разрешимость и качественные свойства решений уравнений тонких капилляр-
ных пленок с нелинейной диффузией, конвекцией и абсорбцией: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.
– Донецк, 2005. – 166 с.
29. Nirenberg L. An extended interpolation inequality // Ann. Scuola norm. super. Pisa. – 1966. – 20. –
P. 733 – 737.
30. Stampacchia G. Equations elliptiques du second order a coefficients discontinues // Press. Univ.
Montreal. – Montreal, 1966.
Получено 01.11.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-3450 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:46Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a9/f74b4baf62c660a34a1d80588864a2a9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34502020-03-18T19:54:47Z Singular Cauchy problem for the equation of flow of thin viscous films with nonlinear convection Сингулярная задача Коши для уравнения течения тонких вязких пленок с нелинейной конвекцией Taranets, R. M. Shishkov, A. E. Таранец, Р. М. Шишков, А. Е. Таранец, Р. М. Шишков, А. Е. For multidimensional equations of flow of thin capillary films with nonlinear diffusion and convection, we prove the existence of a strong nonnegative generalized solution of the Cauchy problem with initial function in the form of a nonnegative Radon measure with compact support. We determine the exact upper estimate (global in time) for the rate of propagation of the support of this solution. The cases where the degeneracy of the equation corresponds to the conditions of “strong” and “weak” slip are analyzed separately. In particular, in the case of “ weak” slip, we establish the exact estimate of decrease in the $L^2$-norm of the gradient of solution. It is well known that this estimate is not true for the initial functions with noncompact supports. Для багаговимiрних рівнянь течії тонких капілярних плівок з нєлінійною диФузією та конвекцією доведено існування сильного невід'ємного узагальненого розв'язку задачі Коші з початковою функцією — невід'ємною мірою Радона, яка має компактний носій. Знайдено точну глобальну за часом оцінку зверху для швидкості розповсюдження носія цього розв'язку. Розглянуто окремо випадки, коли виродження рівняння відповідає умовам „сильного" та „слабкого" проковзування. Зокрема, у випадку „слабкого" проковзування отримано точну оцінку згасання $L^2$-норми градієнта розв'язку, яка, як відомо, не має місця у випадку початкових функцій з некомпактними носіями. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3450 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 2 (2006); 250–271 Український математичний журнал; Том 58 № 2 (2006); 250–271 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3450/3638 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3450/3639 Copyright (c) 2006 Taranets R. M.; Shishkov A. E. |
| spellingShingle | Taranets, R. M. Shishkov, A. E. Таранец, Р. М. Шишков, А. Е. Таранец, Р. М. Шишков, А. Е. Singular Cauchy problem for the equation of flow of thin viscous films with nonlinear convection |
| title | Singular Cauchy problem for the equation of flow of thin viscous films with nonlinear convection |
| title_alt | Сингулярная задача Коши для уравнения течения тонких вязких пленок с нелинейной конвекцией |
| title_full | Singular Cauchy problem for the equation of flow of thin viscous films with nonlinear convection |
| title_fullStr | Singular Cauchy problem for the equation of flow of thin viscous films with nonlinear convection |
| title_full_unstemmed | Singular Cauchy problem for the equation of flow of thin viscous films with nonlinear convection |
| title_short | Singular Cauchy problem for the equation of flow of thin viscous films with nonlinear convection |
| title_sort | singular cauchy problem for the equation of flow of thin viscous films with nonlinear convection |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3450 |
| work_keys_str_mv | AT taranetsrm singularcauchyproblemfortheequationofflowofthinviscousfilmswithnonlinearconvection AT shishkovae singularcauchyproblemfortheequationofflowofthinviscousfilmswithnonlinearconvection AT taranecrm singularcauchyproblemfortheequationofflowofthinviscousfilmswithnonlinearconvection AT šiškovae singularcauchyproblemfortheequationofflowofthinviscousfilmswithnonlinearconvection AT taranecrm singularcauchyproblemfortheequationofflowofthinviscousfilmswithnonlinearconvection AT šiškovae singularcauchyproblemfortheequationofflowofthinviscousfilmswithnonlinearconvection AT taranetsrm singulârnaâzadačakošidlâuravneniâtečeniâtonkihvâzkihplenoksnelinejnojkonvekciej AT shishkovae singulârnaâzadačakošidlâuravneniâtečeniâtonkihvâzkihplenoksnelinejnojkonvekciej AT taranecrm singulârnaâzadačakošidlâuravneniâtečeniâtonkihvâzkihplenoksnelinejnojkonvekciej AT šiškovae singulârnaâzadačakošidlâuravneniâtečeniâtonkihvâzkihplenoksnelinejnojkonvekciej AT taranecrm singulârnaâzadačakošidlâuravneniâtečeniâtonkihvâzkihplenoksnelinejnojkonvekciej AT šiškovae singulârnaâzadačakošidlâuravneniâtečeniâtonkihvâzkihplenoksnelinejnojkonvekciej |