Exact inequalities for derivatives of functions of low smoothness defined on an axis and a semiaxis
We obtain new exact inequalities of the form $$∥x(k)∥_q ⩽ K∥x∥^{α}_p ∥x(r)∥^{1−α}_s$$ for functions defined on the axis $R$ or the semiaxis $R_{+}$ in the case where $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s=1,$$ for functions defined on the axis $R$ in the case where $$r = 2,\...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3454 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509546892492800 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Kofanov, V. A. Pichugov, S. A. Бабенко, В. Ф. Кофанов, В. А. Пичугов, С. А. Бабенко, В. Ф. Кофанов, В. А. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Babenko, V. F. Kofanov, V. A. Pichugov, S. A. Бабенко, В. Ф. Кофанов, В. А. Пичугов, С. А. Бабенко, В. Ф. Кофанов, В. А. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:55:07Z |
| description | We obtain new exact inequalities of the form
$$∥x(k)∥_q ⩽ K∥x∥^{α}_p ∥x(r)∥^{1−α}_s$$
for functions defined on the axis $R$ or the semiaxis $R_{+}$ in the case where
$$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s=1,$$
for functions defined on the axis $R$ in the case where
$$r = 2,\; k = 1,\; q ∈ [2,∞),\; p = ∞,\; s= 1,$$
and for functions of constant sign on $R$ or $R_{+}$ in the case where
$$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s = ∞$$
and in the case where
$$r = 2,\; k = 1,\; p ∈ (0,∞),\; q = s = ∞.$$ |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
V. F. Babenko (Dnepropetr. nac. un-t,
Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck),
V. A. Kofanov (Dnepropetr. nac. un-t),
S. A. Pyçuhov (Dnepropetr. nac. transp. un-t)
TOÇNÁE NERAVENSTVA DLQ PROYZVODNÁX FUNKCYJ
MALOJ HLADKOSTY, ZADANNÁX NA OSY Y POLUOSY
We obtain new exact inequalities of the form
x K x xk
q p
r
s
( ) ( )≤
−α α1
in the following cases: for functions defined on the real line R or the halfline R+ in the case
r = 2, k = 0, p ∈ ∞( , )0 , q ∈ ∞( , ]0 , q p> , s = 1;
for functions defined on the real line R in the case
r = 2, k = 1, q ∈ ∞[ , )2 , p = ∞ , s = 1;
for functions of constant signs defined on R or R+ in the case
r = 2, k = 0, p ∈ ∞( , )0 , q ∈ ∞( , ]0 , q p> , s = ∞ ;
for functions of constant signs defined on R or R+ in the case
r = 2, k = 1, p ∈ ∞( , )0 , q s= = ∞ .
Otrymano novi toçni nerivnosti vyhlqdu
x K x xk
q p
r
s
( ) ( )≤
−α α1
dlq takyx funkcij: zadanyx na osi R abo na pivosi R+ u vypadku
r = 2, k = 0, p ∈ ∞( , )0 , q ∈ ∞( , ]0 , q p> , s = 1;
zadanyx na osi R u vypadku
r = 2, k = 1, q ∈ ∞[ , )2 , p = ∞ , s = 1,
a takoΩ dlq znakostalyx na R abo na R+ u vypadkax
r = 2, k = 0, p ∈ ∞( , )0 , q ∈ ∞( , ]0 , q p> , s = ∞
ta
r = 2, k = 1, p ∈ ∞( , )0 , q s= = ∞ .
Vvedenye. Pust\ Lp ( G ) ( G — vewestvennaq os\ R, poluos\ R+ yly koneç-
n¥j otrezok [ a, b ] ) — prostranstvo yzmerym¥x funkcyj x : G → R takyx, çto
x p = x L Gp( ) < ∞ , hde
x L Gp( ) : =
G
p
p
t G
x t dt p
x t p
∫
< < ∞
= ∞
∈
( ) , ,
sup ( ) , .
/1
0esly
eslyvrai
Dlq s ∈ [ 1, ∞ ] y r ∈ N oboznaçym çerez L Gs
r ( ) mnoΩestvo funkcyj x : G →
→ R takyx, çto x r( )−1
lokal\no absolgtno neprer¥vna y x L Gr
s
( ) ( )∈ . Esly p3∈
∈ ( 0, ∞ ] , to poloΩym
© V. F. BABENKO, V. A. KOFANOV, S. A. PYÇUHOV, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3 291
292 V. F. BABENKO, V. A. KOFANOV, S. A. PYÇUHOV
L Gp s
r
, ( ) : = L G L Gp s
r( ) ( )∩ , W Gp s
r
, ( ) : = x L G xp s
r r
s
∈ ≤{ },
( )( ) : 1 .
Dannaq rabota posvqwena ot¥skanyg toçn¥x konstant v neravenstvax typa
Kolmohorova – Nadq
x k
q
( ) ≤ K x xp
r
s
α α( ) 1−
, (1)
hde r ∈ N, k ∈ { 0, 1, … , r – 1 } , α ∈ ( 0, 1 ) , dlq funkcyj maloj hladkosty ( r =
= 2 ) , zadann¥x na osy y poluosy.
Neravenstva vyda (1), osobenno s neuluçßaem¥my konstantamy, yspol\zugt-
sq vo mnohyx oblastqx matematyky, y, naçynaq s rabot ∏. Landau [1], Û. Adama-
ra [2], H. Xardy y DΩ. Lyttlvuda [3], H. Xardy, DΩ. Lyttlvuda y D. Polya [4],
H.3E. Íylova [5], A. N. Kolmohorova [6], B. Sekefalvy-Nadq [7], ot¥skanyg
toçn¥x konstant v takyx neravenstvax posvqweno znaçytel\noe kolyçestvo ra-
bot. Obzor¥ poluçenn¥x v πtom napravlenyy rezul\tatov y neobxodym¥e ss¥l-
ky moΩno najty v [8 – 10].
Yzvestno [11], çto v sluçae G = R yly G = R+ neravenstvo (1) v¥polnq-
etsq dlq vsex funkcyj x L Gp s
r∈ , ( ), esly y tol\ko esly
r k
p
k
s
− + ≥
r
q
, (2)
y pry πtom
α =
r k q s
r p s
− + −
+ −
1 1
1 1
/ /
/ /
.
Symvolom K Gq p s
k r
, ,
, ( ) oboznaçym toçnug konstantu v neravenstve (1), t. e.
K Gq p s
k r
, ,
, ( ) : = sup
,
( )
( )
( )
( )
x L G
x
k
q
p
r
sp s
r
r
x
x x∈
≠
−
0
1α α .
V rabotax [12, 13] najden¥ toçn¥e konstant¥ K Gp∞, ,
, ( )1
0 2
v sluçae G = R
yly G = R+ , p ∈ [ 1, ∞ ] . Metod dokazatel\stva v [12] osnovan na obwej teoryy
πkstremal\n¥x zadaç. V rabote [14] najden¥ toçn¥e konstant¥ K p
k
∞ ∞, ,
, ( )2 R v
sluçae k = 0, 1, p > 0. V πtyx Ωe sluçaqx v rabote [15] v¥çyslen¥ toçn¥e
konstant¥ K p
k
∞ ∞ +, ,
, ( )2 R .
V nastoqwej rabote metodom sravnenyq perestanovok najden¥ toçn¥e kon-
stant¥ K Gq p, ,
, ( )1
0 2
v sluçae G = R yly G = R+ dlq lgb¥x q, p ∈ ( 0, ∞ ] , q >
> p (teorem¥ 2 y 3). S yspol\zovanyem neravenstva Xardy – Lyttlvuda (sm.
(31)) v¥çyslen¥ takΩe konstant¥ Kq, ,
, ( )∞ 1
1 2 R dlq q ≥ 2 (teorema 4). Metodom
sravnenyq perestanovok poluçen¥ takΩe (teorem¥ 5 – 7) toçn¥e neravenstva
vyda (1) dlq znakopostoqnn¥x funkcyj, zadann¥x na osy yly poluosy, v slu-
çaqx:
1) r = 2, k = 0, p ∈ ∞( , )0 , q ∈ ∞( , ]0 , q p> , s = ∞;
2) r = 2, k = 1, p ∈ ∞( , )0 , q s= = ∞ .
Symvolom r x t( , ), t ≥ 0, budem oboznaçat\ perestanovku funkcyy x t( )
(sm., naprymer, [16], §1.3).
Neravenstva dlq funkcyj s summyruemoj vtoroj proyzvodnoj. Sledu-
gwaq teorema poluçena v [12]. NyΩe pryvedeno ee dokazatel\stvo metodom, ot-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
TOÇNÁE NERAVENSTVA DLQ PROYZVODNÁX FUNKCYJ MALOJ HLADKOSTY … 293
lyçn¥m ot toho, kotor¥j prymenqlsq v [12]. Nekotor¥e fakt¥ yz πtoho doka-
zatel\stva budut yspol\zovan¥ pry dokazatel\stve teorem¥ 2.
Teorema 1. Pust\ p ∈ ( 0, ∞ ) . Dlq lgboj funkcyy x Lp∈ , ( )1
2 R ymeet mes-
to neravenstvo
x ∞ ≤
p
x x
p
p
p p p+
′′
+
+ +1
8
1 1
1
1
1 1
/( )
/( ) /( ) . (3)
Neravenstvo (3) toçnoe na klasse Lp, ( )1
2 R .
Dokazatel\stvo. Ne ohranyçyvaq obwnosty moΩno sçytat\, çto x ∞ =
= x ( 0 ) . Rassmotrym πkstremal\nug zadaçu
x ( 0 ) → sup (4)
na klasse W funkcyj x Lp∈ , ( )1
2 R , udovletvorqgwyx uslovyqm
′′x 1 = 1, x p = 1. (5)
Yzvestno (sm., naprymer, [10], §1.7), çto dlq lgb¥x q ≥ p
Kq p, ,
, ( )1
0 2 R = sup :x x Wq ∈{ }, (6)
v çastnosty
K p∞, ,
, ( )1
0 2 R = sup ( ) :x x W0 ∈{ }. (7)
PokaΩem, çto dlq funkcyy x ∈ W najdutsq çysla α, β > 0, α + β = 1 / 2,
takye, çto
– β ≤ ′x t( ) ≤ α, t ∈ R. (8)
Dejstvytel\no, yz uslovyj suwestvovanyq (2) neravenstv vyda (1) sleduet,
çto dlq lgboho q p p≥ +2 1/( ) suwestvuet takaq konstanta C > 0, çto dlq
vsex funkcyj x Lp∈ , ( )1
2 R v¥polneno neravenstvo
′x q ≤ C x xp
α α1 1
1
1′′ − , (9)
hde α1
11 1= + −[ / ]( )q p . Poπtomu dlq funkcyy x ∈ W neobxodymo v¥polnqetsq
vklgçenye ′ ∈x Lq( )R pry q p p≥ +2 1/( ) y, sledovatel\no, najdutsq takye
posledovatel\nosty ′ → ∞tn y ′′ → − ∞tn (pry n → ∞), çto
lim ( )
n nx t
→∞
′ ′ = 0, lim ( )
n nx t
→∞
′ ′′ = 0.
Otsgda, v sylu uslovyq V−∞
∞ ′x = ′′x 1 = 1, sleduet (8).
Zafyksyruem α, β > 0 takye, çto α + β = 1 / 2, y rassmotrym klass W ( α,
β ) funkcyj x ∈ W, udovletvorqgwyx uslovyqm (8). Yz yzloΩennoho v¥ße
sleduet ravenstvo
W = ∪ W ( , ) : , , /α β α β α β> + ={ }0 1 2 . (10)
Zafyksyruem γ > 0 y postroym funkcyg
ϕ ( t ) = ϕ ( t ; α, β ) : =
α αγ γ
β αγ γα β
γ γα β
t t
t t
t
+ ∈ −
− + ∈
∉ −
, [ , ],
, [ , ],
, [ , ].
/
/
esly
esly
esly
0
0
0
V¥berem teper\ γ tak, çtob¥ ϕ p = 1. Netrudno vydet\, çto πto uslovye
moΩno zapysat\ v vyde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
294 V. F. BABENKO, V. A. KOFANOV, S. A. PYÇUHOV
α γ β αγ βp
p
p
p
p p
+ +
+
+
+
1 1
1 1
( )/ = 1. (11)
Zametym, çto ′ =ϕ α β α( ; , )t dlq t ∈ −( , )γ 0 y ′ = −ϕ α β β( ; , )t dlq t ∈
∈ ( , )/0 γα β .
DokaΩem neravenstvo
sup ( ) : ( , )x x W0 ∈{ }α β ≤ ϕ α β( ; , )0 . (12)
Dejstvytel\no, pust\ dlq nekotoroj funkcyy x W∈ ( , )α β budet x ( 0 ) >
> ϕ α β( ; , )0 . Tohda vsledstvye (8) v¥polnqetsq neravenstvo
x ( t ) > ϕ ( t; α, β ) , t ∈ [ – γ, γα / β ] .
Sledovatel\no, x p > ϕ p = 1, çto protyvoreçyt opredelenyg klassa
W ( , )α β .
Yz (7), (10) y (12) sleduet, çto
K p∞, ,
, ( )1
0 2 R ≤ sup ( ; , ) : , , /ϕ α β α β α β0 0 1 2> + ={ }. (13)
Zametym, çto ϕ ( 0; α, β ) = αγ . Vospol\zuemsq uslovyem (11) dlq toho, çtob¥
v¥razyt\ αγ çerez α y β. Dlq πtoho perepys¥vaem (11) v vyde
( )αγ
α β
p
p
+
+
+
1
1
1 1
= 1,
y, uçyt¥vaq, çto α + β = 1 / 2 , poluçaem
ϕ ( 0; α, β ) = αγ = [ ]( ) /( )2 1 1 1αβ p p+ + .
Vvydu posledneho ravenstva qsno, çto toçnaq verxnqq hran\ v pravoj çasty (13)
dostyhaetsq pry α = β = 1 / 4 y
K p∞, ,
, ( )1
0 2 R ≤ ϕ ( ; , )/ /0 1 4 1 4 =
p p+
+1
8
1 1/( )
. (14)
Pust\ h > 0 y ϕ ϕh ht t( ) ( ; , )/ /= 1 4 1 4 — funkcyq Steklova s ßahom h ot
funkcyy ϕ ϕ( ) ( ; , )/ /t t= 1 4 1 4 . Oçevydno, çto ϕh pL∈ , ( )1
2 R y
lim
( )
/( ) /( )h
h
h p
p p
h
p→ + +′′0 1
1
1 1
0ϕ
ϕ ϕ
=
ϕ
ϕ
( )
/( )
0
1
p
p p+ =
p p+
+1
8
1 1/( )
.
Sledovatel\no, v (14) ymeet mesto znak ravenstva.
Teorema dokazana.
Sledugwaq teorema qvlqetsq obobwenyem teorem¥ 1.
Teorema52. Pust\ q, p ∈ ( 0, ∞ ) , q > p. Dlq lgboj funkcyy x Lp∈ , ( )1
2 R
v¥polneno neravenstvo
x q ≤
p
q
x x
q p q
p
q p p q q p p q+
+
′′
+ +
+ + − + +1
8
8
1
1 1 1
1 1
1
1 1 1
( )/( ) /
( ) /[( ) ] ( ) /[( ) ] . (15)
Neravenstvo (15) toçnoe na klasse Lp, ( )1
2 R .
Dokazatel\stvo. Sohlasno (6)
Kq p, ,
, ( )1
0 2 R = sup :x x Wq ∈{ }.
Zafyksyruem x ∈ W. Vsledstvye (10) najdutsq takye α, β > 0, α + β = 1 / 2,
çto x ∈ W ( α, β ) . PokaΩem, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
TOÇNÁE NERAVENSTVA DLQ PROYZVODNÁX FUNKCYJ MALOJ HLADKOSTY … 295
x q ≤ ϕ α β( ; , )⋅ q , (16)
hde γ v opredelenyy ϕ = ϕ α β( ; , )⋅ v¥brano tak, çto ϕ α β( ; , )⋅ p = 1.
Poskol\ku x ∈ W y, znaçyt, x p = 1, to
r x t dtp( , )
0
∞
∫ = x p
p = ϕ α β( ; , )⋅ p
p = r t dtp( ( ; , ), )ϕ α β⋅
∞
∫
0
( napomnym, çto symvolom r x t( , ) oboznaçena perestanovka funkcyy x t( ) ) .
DokaΩem, çto dlq lgboho ξ ≥ 0
r x t dtp( , )
0
ξ
∫ ≤ r t dtp( ( ; , ), )ϕ α β
ξ
⋅∫
0
. (17)
Otsgda v sylu teorem¥ Xardy – Lyttlvuda (sm., naprymer, predloΩenye 1.3.10
yz [16]) pry lgbom q > p poluçym
x q
q = r x t dtq( , )
0
∞
∫ ≤ r t dtq( ( ; , ), )ϕ α β⋅
∞
∫
0
= ϕ α β( ; , )⋅ q
q ,
y (16) budet dokazano.
Dlq dokazatel\stva (17) zametym, çto vsledstvye (12)
r ( x, 0 ) ≤ r( ( ; , ), )ϕ α β⋅ 0 .
Ustanovym, çto raznost\
∆ ( t ) : = r ( x, t ) – r t( ( ; , ), )ϕ α β⋅
menqet znak (s – na + ) ne bolee odnoho raza.
Çtob¥ dokazat\ πtot fakt, zametym, çto v sylu teorem¥ 1 dlq lgboho y ∈
∈ 0, x ∞[ ) najdutsq toçky ti , i = 1, 2, … , m, m ≥ 2 (po krajnej mere, odna na
promeΩutke vozrastanyq x y odna na promeΩutke ub¥vanyq x ), y rovno dve toç-
ky yj takye, çto
y = x ti( ) = ϕ α β( ; , )yj .
Pry πtom na osnovanyy opredelenyq klassa W ( α, β ) y funkcyy ϕ α β( ; , )⋅ dlq
lgboj takoj par¥ toçek ( , )t yi j (yz kotor¥x ti raspoloΩena na promeΩutke
vozrastanyq (ub¥vanyq) funkcyy x, a yj — na promeΩutke vozrastanyq ( ub¥va-
nyq funkcyy ϕ α β( ; , )⋅ ) ymeet mesto neravenstvo
′x ti( ) ≤ ′ϕ α β( ; , )yj .
Poπtomu, v sylu teorem¥ o proyzvodnoj perestanovky (sm., naprymer, [16],
predloΩenye 1.3.2), esly toçky θ1 y θ2 v¥bran¥ tak, çto
y = r ( x, θ1 ) = r ( ( ; , ), )ϕ α β θ⋅ 2 ,
to
′r x( , )θ1 =
i
m
ix t
=
−
−
∑ ′
1
1
1
( ) ≤
j
jy
=
−
−
∑ ′
1
2 1
1
ϕ α β( ; , ) = ′ ⋅r ( ( ; , ), )ϕ α β θ2 .
Otsgda sleduet, çto raznost\ ∆ menqet znak (s – na + ) ne bolee odnoho raza.
Rassmotrym yntehral
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
296 V. F. BABENKO, V. A. KOFANOV, S. A. PYÇUHOV
I ( ξ ) : = r x t r t dtp p( , ) ( ( ; , ), )− ⋅[ ]∫ ϕ α β
ξ
0
.
Yz yzloΩennoho v¥ße sleduet, çto I ( 0 ) = I ( ∞ ) = lim ( )ξ ξ→∞ I = 0, pryçem
I ′ ( t ) menqet znak (s – na + ) ne bolee odnoho raza. Znaçyt, I ( ξ ) ≤ 0 dlq ξ ≥
≥ 0 y neravenstvo (17) dokazano. Tem sam¥m dokazano y neravenstvo (16).
Yz (6), (10) y (16) sleduet, çto
Kq p, ,
, ( )1
0 2 R ≤ sup ( ; , ) : , , /ϕ α β α β α β⋅ > + ={ }q 0 1 2 . (18)
Qsno, çto
ϕ α β( ; , )⋅ q = α γ β αγ βq
q
q
q q
q q
+ +
+
+
+
1 1 1
1 1
( )/
/
=
( )
/
αγ
α β
q q
q
+
+
+
1 1
1
1 1
,
hde γ udovletvorqet (11). Uçyt¥vaq, çto α + β = 1 / 2, perepys¥vaem uslovye
(11) (kak y pry dokazatel\stve teorem¥ 1) v vyde
αγ = 2 1 1 1αβ( ) /( )p p+[ ] + .
Poπtomu
ϕ α β( ; , )⋅ q =
2 1
2 1
1 1 1
αβ
αβ
( )
( )
( )/( ) /
p
q
q p q
+[ ]
+
+ +
,
y teper\ v sylu uslovyq q > p oçevydno, çto supremum v (18) dostyhaetsq pry
α = β = 1 / 4. Pry πtom
Kq p, ,
, ( )1
0 2 R ≤
p
q
q p q
+
+
+ +1
8
8
1
1 1 1( )/( ) /
. (19)
Pust\ h > 0 y ϕ ϕh ht t( ) ( ; , )/ /= 1 4 1 4 — funkcyq Steklova s ßahom h ot
funkcyy ϕ ϕ( ) ( ; , )/ /t t= 1 4 1 4 . Qsno, çto ϕh pL∈ , ( )1
2 R y
lim ( ) /[( ) ] ( ) /[( ) ]h
h q
h p
q p p q
h
q p p q→ + + − + +′′0 1 1
1
1 1 1
ϕ
ϕ ϕ
=
=
ϕ
ϕ
q
h p
q p p q( ) /[( ) ]+ +1 1 =
p
q
q p q
+
+
+ +1
8
8
1
1 1 1( )/( ) /
.
Takym obrazom, v (19) ymeet mesto znak ravenstva.
Teorema dokazana.
Ustanovym analoh teorem¥ 2 dlq funkcyj, zadann¥x na poluosy.
Teorema53. Pust\ p, q ∈ ( 0, ∞ ) , q > p. Ymegt mesto toçn¥e na klasse
funkcyj x Lp∈ +, ( )1
2 R neravenstva
x q ≤
( )
( )
( )/[ ( )]
/
( ) /[ ( )] ( ) /[ ( )]p
q
x x
q q p
q p
q p q p q p q p+
+
′′
+ +
+ + − + +1
1
1 1
1
1 1
1
1 1 1 (20)
y
x ∞ ≤ ( ) /( ) /( ) /( )p x xp
p
p p p p+ ′′+ + − +1 1 1 1
1
1 1 . (21)
Napomnym, çto neravenstvo (21) b¥lo dokazano v [13].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
TOÇNÁE NERAVENSTVA DLQ PROYZVODNÁX FUNKCYJ MALOJ HLADKOSTY … 297
Dokazatel\stvo. Zafyksyruem x Lp∈ +, ( )1
2 R . Vsledstvye odnorodnosty
(20) y (21) moΩno sçytat\, çto
V
0
∞
′x = ′′x 1 = 1, (22)
y dlq funkcyj, udovletvorqgwyx uslovyg (22), dokaz¥vat\ neravenstva
x
x
q
p
q p q p( ) /[ ( )]+ +1 1 ≤
( )
( )
( )/[ ( )]
/
p
q
q q p
q
+
+
+ +1
1
1 1
1 (23)
y
x
x p
p p
∞
+/( )1 ≤ ( ) /( )p p+ +1 1 1 . (24)
Yz uslovyj suwestvovanyq (2) neravenstv vyda (1) sleduet, çto dlq lgboho
q p p≥ +2 1/( ) suwestvuet takaq konstanta C > 0, çto dlq vsex funkcyj
x Lp∈ +, ( )1
2 R v¥polneno neravenstvo (9). Poπtomu ′ ∈ +x Lq ( )R pry q ≥
≥ 2 1p p/( )+ y, sledovatel\no, najdetsq posledovatel\nost\ tn → ∞ (pry
n → ∞) takaq, çto lim ( )n nx t→∞ ′ = 0. Otsgda v sylu (22) sleduet, çto
′x t( ) ≤ 1, t ∈ R+ . (25)
Zafyksyruem γ > 0 y rassmotrym funkcyg
φγ ( )t : =
γ γ
γ
− ∈
≥
t t
t
, [ , ],
, .
esly
esly
0
0
Qsno, çto V0
∞ ′φγ = 1 y ′φγ ( )t = 1 dlq t ∈ ( 0, γ ) .
V¥berem teper\ γ > 0 yz uslovyq
x p = φγ p
(26)
y pokaΩem, çto
x ∞ ≤ φγ ∞
. (27)
Ne ohranyçyvaq obwnosty moΩno sçytat\, çto x x∞ = ( )0 . Teper\ (27)
sleduet yz (25). Dejstvytel\no, predpoloΩyv, çto (27) ne v¥polnqetsq, y pry-
nqv vo vnymanye (25), prydem k v¥vodu, çto x t t( ) ( )> φγ , t ∈ ( 0, γ ) , çto protyvo-
reçyt (26).
Otmetym, çto yz (27) y (26) uΩe sleduet (24). Dejstvytel\no, netrudno vy-
det\, çto φ γγ ∞
= y
φγ p
=
γ ( )/
/( )
p p
pp
+
+
1
11
. (28)
Poπtomu, yspol\zuq (27) y (26), poluçaem
x
x p
p p
∞
+/( )1 ≤
φ
φ
γ
γ
∞
+
p
p p/( )1 = γ
γ
p
p
p
+
+
+
1
1
1 1/( )
= ( ) /( )p p+ +1 1 1 .
DokaΩem, çto pry vsex q > p
x q ≤ φγ q
. (29)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
298 V. F. BABENKO, V. A. KOFANOV, S. A. PYÇUHOV
Dlq πtoho (kak y pry dokazatel\stve teorem¥ 2) dostatoçno ustanovyt\ ne-
ravenstvo
r x t dtp( , )
0
ξ
∫ ≤ r t dtp( , )φγ
ξ
0
∫ , ξ > 0. (30)
Vsledstvye (27) r ( x, 0 ) ≤ r ( φγ , 0 ) . Poπtomu (30) budet sledovat\ yz toho,
çto raznost\ ∆ ( t ) : = r ( x, t ) – r ( φγ , t ) menqet znak (s – na + ) ne bolee odnoho
raza.
Dlq dokazatel\stva πtoho fakta, v svog oçered\, zametym, çto yz (25) v sylu
teorem¥ o proyzvodnoj perestanovky sleduet, çto ′ ≤r x t( , ) 1 dlq vsex t ∈ R+ .
S druhoj storon¥, ′ = −r t( , )φγ 1, t ∈ ( 0, γ ) , tak kak r t t( , ) ( )φ φγ γ= . Otsgda
neposredstvenno sleduet, çto raznost\ ∆ ( t ) menqet znak (s – na + ) ne bolee
odnoho raza, y (30) dokazano.
Yspol\zuq (29), (26) y (28), poluçaem
x
x
q
p
q p q p( ) /[ ( )]+ +1 1 ≤
φ
φ
γ
γ
q
p
q p q p( ) /[ ( )]+ +1 1 =
=
γ
γ
( )/
/
/
( )/
( ) /[ ( )]
( )
( )q q
q
p
p p
q p q p
q
p+
+
+ +
+
+
1
1
1
1
1 1
1
1
=
( )
( )
( )/[ ( )]
/
p
q
q q p
q
+
+
+ +1
1
1 1
1 .
Neravenstvo (23), a znaçyt, y (20) dokazan¥.
Toçnost\ neravenstv teorem¥ 3 proverqetsq s pomow\g semejstva funkcyj
Steklova ( )φγ h , h > 0, tak Ωe, kak y pry dokazatel\stve teorem¥ 2.
Teorema dokazana.
Pryvedem ewe odno neravenstvo dlq funkcyj, zadann¥x na osy, kotoroe po-
luçaetsq s pomow\g sledugweho neravenstva Xardy – Lyttlvuda [4]
′x 2 ≤ x xp p
1 2 1 2/ /′′ ′ (31)
dlq funkcyj x Lp p∈ ′, ( )2 R , hde p ∈ [ 1, ∞ ] , ′ = −p p p/( )1 .
Teorema54. Pust\ q ∈ [ 2, ∞ ) . Ymeet mesto toçnoe na klasse funkcyj x ∈
∈ L∞, ( )1
2 R neravenstvo
′x q ≤ 22 1 1
1
1 1/ / /q q qx x−
∞
−′′ . (32)
Dokazatel\stvo. Zafyksyruem x L∈ ∞, ( )1
2 R . Oçevydno, çto
′x q
q = ′
−∞
∞
∫ x t dtq( ) ≤ ′ ′∞
−x xq 2
2
2. (33)
Poskol\ku ′ ∈x L2( )R vsledstvye (31), suwestvugt posledovatel\nosty
′ → ∞tn y ′′ → − ∞tn (pry n → ∞) takye, çto lim ( )n nx t→∞ ′ ′ = lim ( )n nx t→∞ ′ ′′ =
= 0. Poπtomu
′ ∞x ≤
1
2
V
−∞
∞
′x =
1
2 1′′x .
Ocenyvaq ′ ∞
−x q 2
v pravoj çasty (33) s pomow\g posledneho neravenstva, a
′x 2
2
s pomow\g (31) s p = ∞ , poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
TOÇNÁE NERAVENSTVA DLQ PROYZVODNÁX FUNKCYJ MALOJ HLADKOSTY … 299
′x q
q ≤
1
2 1
2
1′′
′′
−
∞x x x
q
= 22
1
1−
∞
−′′q qx x .
Otsgda sleduet (32).
Toçnost\ (32) proverqetsq tak Ωe, kak y pry dokazatel\stve teorem¥ 2, s po-
mow\g semejstva funkcyj Steklova χh
, h > 0, ot funkcyy
χ ( t ) : =
t t
t t
, [– , ],
sgn , [– , ].
esly
esly
∈
∉
1 1
1 1
Teorema dokazana.
Neravenstva dlq znakopostoqnn¥x funkcyj s ohranyçennoj vtoroj
proyzvodnoj. Pust\ ϕ0( ) : sgn sint t= , t ∈ R , ϕr t( ) — r-j 2π-peryodyçeskyj
yntehral so srednym znaçenyem na peryode, ravn¥m nulg. Dlq λ > 0 poloΩym
ϕ λ ϕ λλr
r
rt t, ( ) : ( )= − , t ∈ R .
Teorema55. Pust\ q , p ∈ ( 0, ∞ ) , q > p. V¥polnqetsq toçnoe na klasse
znakopostoqnn¥x funkcyj x Lp∈ ∞, ( )2 R neravenstvo
x q ≤
ϕ ϕ
ϕ ϕ
π
π
α
α α2 2 0 2
2 2 0 2
1
+
+
′′
∞
∞
∞
−L
L
p
q
p
x x
[ , ]
[ , ]
, (34)
hde α = ( ) ( )/ / /2 1 2 1+ +q p .
Dokazatel\stvo. Zafyksyruem x Lp∈ ∞, ( )2 R . Ne ohranyçyvaq obwnosty
moΩno sçytat\, çto x ( t ) ≥ 0 dlq vsex x ∈ R. Vsledstvye odnorodnosty (34)
moΩno takΩe sçytat\ v¥polnenn¥m uslovye
′′ ∞x = 1. (35)
Tohda x W∈ ∞ ∞, ( )2 R . Dlq λ > 0 poloΩym
ψλ ( )t =
ϕ ϕ π λ π λ
π λ π λ
λ λ, , ( ), [ , ],
, [ , ].
/ /
/ /
2 2 2 3 2
0 2 3 2
∞
− ∈ −
∉ −
t t
t
esly
esly
Qsno, çto ψλ ∈ ∞ ∞W , ( )2 R , pryçem ψλ ( )t ≥ 0 dlq vsex t ∈ R , y ψλ ∞ =
= ψ πλλ ( )/−1 2 . Netrudno takΩe proveryt\, çto
ψλ p = λ ϕ ϕ
π
− −
∞+2 1
2 2 0 2
/
[ , ]
p
Lp
. (36)
V¥berem λ > 0 yz uslovyq
ψλ p = x p (37)
y pokaΩem, çto
x ∞ ≤ ψλ ∞ . (38)
PredpoloΩym, çto x ∞ ∞> ψλ . Perexodq, esly nuΩno, k sdvyhu funkcyy x,
moΩno sçytat\, çto x x∞
−= ( )/πλ 1 2 . Tohda
x ∞ = x ( / )πλ−1 2 > ψ πλλ( / )−1 2 = ψλ ∞ .
Rassmotrym funkcyg y ( t ) = γ x ( t ), hde γ ∈ ( 0, 1 ) v¥brano tak, çtob¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
300 V. F. BABENKO, V. A. KOFANOV, S. A. PYÇUHOV
y ∞ = y( / )πλ−1 2 = ψ πλλ( / )−1 2 = ψλ ∞ .
Qsno, çto y W∈ ∞ ∞, ( )2 R . Poπtomu sohlasno teoreme sravnenyq Kolmohorova [6]
y t t( ) ( )≥ ψλ dlq vsex t ∈ R , y, sledovatel\no, x p > y p ≥ ψλ p , çto
protyvoreçyt (37). Tem sam¥m (38) dokazano.
PokaΩem teper\, çto
x q ≤ ψλ q . (39)
Kak y pry dokazatel\stve teorem¥ 2, dlq dokazatel\stva (39) dostatoçno usta-
novyt\ neravenstvo
r x t dtp( , )
0
ξ
∫ ≤ r t dtp( , )ψλ
ξ
0
∫ , ξ > 0. (40)
Perexodq k dokazatel\stvu (40), zametym, çto yz (38) neposredstvenno sledu-
et, çto r ( x, 0 ) ≤ r ( ψλ, 0 ) . Poπtomu dlq dokazatel\stva (40) dostatoçno ube-
dyt\sq v tom, çto raznost\ ∆ ( t ) : = r ( x, t ) – r ( ψλ, t ) menqet znak (s – na + ) ne
bolee odnoho raza.
Çtob¥ dokazat\ πtot fakt, zametym, çto vsledstvye (38) dlq lgboho z ∈
∈ 0, x ∞[ ] najdutsq ne menee dvux toçek ti y rovno dve toçky yj takye, çto
z = x ti( ) = ψλ ( )yj .
V sylu teorem¥ sravnenyq Kolmohorova [6] dlq lgboj takoj par¥ toçek ( ti, yj )
v¥polneno neravenstvo
′x ti( ) ≤ ′ψλ ( )yj .
Poπtomu sohlasno teoreme o proyzvodnoj perestanovky (sm., naprymer, [16],
predloΩenye 1.3.2), esly toçky θ1 y θ2 v¥bran¥ tak, çto z = r ( x, θ1 ) = r ( ψλ,
θ2 ) , to
′r x( , )θ1 ≤ ′r ( , )ψ θλ 2 .
Otsgda sleduet, çto raznost\ ∆ menqet znak s – na + ne bolee odnoho raza y,
znaçyt, (40) dokazano.
Prymenqq (39), (37), (36) y uçyt¥vaq opredelenye α, poluçaem
x
x
q
p
α ≤
λ ϕ ϕ
λ ϕ ϕ
π
π
α
− −
∞
− −
∞
+
+
2 1
2 2 0 2
2 1
2 2 0 2
/
[ , ]
/
[ , ]
q
L
p
L
q
p
=
ϕ ϕ
ϕ ϕ
π
π
α
2 2 0 2
2 2 0 2
+
+
∞
∞
L
L
q
p
[ , ]
[ , ]
.
Otsgda v sylu (35) sleduet (34). Qsno, çto funkcyq ψλ obrawaet (34) v ra-
venstvo.
Teorema dokazana.
Teorema56. Pust\ p ∈ ( 0, ∞ ) . Ymeet mesto toçnoe na klasse znakoposto-
qnn¥x funkcyj x Lp∈ ∞, ( )2 R neravenstvo
′ ∞x ≤
ϕ
ϕ ϕ
π
α
α α1
2 2 0 2
1∞
∞
∞
−
+
′′
L
p
p
x x
[ , ]
, (41)
hde α = 1 2 1/ /( )+ p .
Dokazatel\stvo. Zafyksyruem x Lp∈ ∞, ( )2 R . Kak y pry dokazatel\stve
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
TOÇNÁE NERAVENSTVA DLQ PROYZVODNÁX FUNKCYJ MALOJ HLADKOSTY … 301
teorem¥ 5, moΩno sçytat\ v¥polnenn¥m uslovye (35). Snova v¥berem λ > 0 yz
uslovyq (37) (tohda v sylu teorem¥ 5 ymeet mesto takΩe (38)) y pokaΩem, çto
′ ∞x ≤ ′ ∞ψλ . (42)
PredpoloΩym, çto ′ >∞ ∞x ψλ . Netrudno vydet\, çto ′ = − ′∞
−ψ ψ πλλ λ ( )1 .
Perexodq, esly nuΩno, k funkcyy ± ⋅ +x s( ), moΩno sçytat\, çto ′ ∞x =
= ′ −x ( )πλ 1 . Tohda
′ ∞x = ′ −x ( )πλ 1 > – ′ −ψ πλλ( )1 = ′ ∞ψλ .
Oçevydno, ′′ ≤x t( ) 1 y ′′ =ψλ ( )t 1 dlq vsex t ∈ − −( , )/ /πλ πλ1 12 3 2 , y ≠ −πλ 1.
Poπtomu
′x t( ) > – ′ψλ ( )t > 0, t ∈ − −( , )/ /πλ πλ1 12 3 2 .
No tohda x ( t ) monotonna na ( / / ),πλ πλ− −1 12 3 2 , y vsledstvye ee znakopostoqn-
stva
x ∞ ≥ ′
−
−
∫ x t dt( )
/
/
πλ
πλ
1
1
2
3 2
> – ′
−
−
∫ ψλ
πλ
πλ
( )
/
/
t dt
1
1
2
3 2
= ψλ ∞ ,
çto protyvoreçyt (38). Tem sam¥m (42) dokazano.
Qsno, çto
′ ∞ψλ = λ ϕ−
∞
1
1 . (43)
Prymenqq (42), (37), (36), (43) y uçyt¥vaq opredelenye α, poluçaem
′ ∞x
x p
α ≤
λ ϕ
λ ϕ ϕ
π
α
−
∞
− −
∞+
1
1
2 1
2 2 0 2
/
[ , ]
p
Lp
=
ϕ
ϕ ϕ
π
α
1
2 2 0 2
∞
∞+
Lp[ , ]
.
Otsgda v sylu (35) sleduet (41). Qsno, çto funkcyq ψλ obrawaet (41) v raven-
stvo.
Teorema dokazana.
NyΩe dlq znakopostoqnn¥x funkcyj, zadann¥x na poluosy, pryveden ana-
loh teorem 5 y 6.
Teorema57. Pust\ p ∈ ( 0, ∞ ) , q ∈ ( 0, ∞ ] , q > p . Ymegt mesto toçn¥e na
klasse znakopostoqnn¥x funkcyj x Lp∈ ∞ +, ( )2 R neravenstva
x q ≤
ϕ ϕ
ϕ ϕ
π
π
α
α α2 2 0
2 2 0
1
+
+
′′
∞
∞
∞
−L
L
p
q
p
x x
[ , ]
[ , ]
, (44)
hde α = ( 2 + 1 / q ) ( 2 + 1 / p ) , y
′ ∞x ≤
ϕ
ϕ ϕ
π
α
α α1
2 2 0
1
1
1 1∞
∞
∞
−
+
′′
L
p
p
x x
[ , ]
, (45)
hde α1 = 1 / ( 2 + 1 / p ) .
Dokazatel\stva neravenstv (44) y (45) analohyçn¥ dokazatel\stvam nera-
venstv (34) y (41) sootvetstvenno. ∏kstremal\noj funkcyej v (44) y (45) qvlq-
etsq suΩenye na R+ funkcyy ψγ , postroennoj pry dokazatel\stve teorem¥ 5.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
302 V. F. BABENKO, V. A. KOFANOV, S. A. PYÇUHOV
1. Landau E. Einige Ungleichungen fur zweimal differenzierbare Funktion // Proc. London Math.
Soc. – 1913. – 13. – P. 43 – 49.
2. Hadamard J. Sur le module maximum d’une fonction et de ses derivees // C. r. Soc. math. France.
– 1914. – 41. – P. 68 – 72.
3. Hardy G. H., Littlewood J. E. Contribution to the arithmetic theory of series // Proc. London Math.
Soc. – 1913. – 11, # 2. – P. 411 – 478.
4. Xardy H. H., Lyttlvud DΩ. E., Polya D. Neravenstva. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1948.3–
4563s.
5. Íylov H. E. O neravenstvax meΩdu proyzvodn¥my // Sb. rabot stud. nauç. kruΩkov MHU. –
1937. – S. 17 – 27.
6. Kolmohorov A. N. O neravenstvax meΩdu verxnymy hranqmy posledovatel\n¥x proyzvod-
n¥x funkcyy na beskoneçnom yntervale // Yzbr. trud¥. Matematyka, mexanyka. – M.: Nauka,
1985. – S.3252 – 263.
7. Szökefalvi-Nagy B. Über Integralungleichungen zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung //
Acta Sci. Math. – 1941. – 10. – P. 64 – 74.
8. Arestov V. V., Habußyn V. N. Nayluçßee pryblyΩenye neohranyçenn¥x operatorov ohra-
nyçenn¥my // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1995. – # 11. – S.342 – 63.
9. Kwong M. K., Zettl A. Norm inequalities for derivatives and differences // Lect. Notes Math. –
1992. – 1536. – 150 p.
10. Babenko V. F., Kornejçuk N. P., Kofanov V. A., Pyçuhov S. A. Neravenstva dlq proyzvodn¥x
y yx pryloΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 2003.3– 5903s.
11. Habußyn V. N. Neravenstva dlq norm funkcyj y yx proyzvodn¥x v metrykax Lp // Mat.
zametky. – 1967. – 1, # 3. – S. 291 – 298.
12. Maharyl-Yl\qev H. H. VloΩenye obobwenn¥x sobolevskyx klassov y neravenstva dlq pro-
yzvodn¥x: Dys. … kand. fyz.-mat. nauk. – M., 1980.
13. Maharyl-Yl\qev H. H. Neravenstva dlq proyzvodn¥x y dvojstvennost\ // Tr. Mat. yn-ta
AN3SSSR. – 1983. – 161. – S. 183 – 194.
14. Habußyn V. N. Nekotor¥e neravenstva meΩdu proyzvodn¥my funkcyj // Metod¥ rehulqry-
zacyy neustojçyv¥x zadaç. – 1976. – S.320 – 26. – (Tr. YMM UNC AN SSSR. V¥p.323).
15. Maharyl-Yl\qev H. H. O neravenstvax Kolmohorova na poluprqmoj // Vestn. Mosk. un-ta.
Ser. mat.-mex. – 1976. – 5. – S. 33 – 41.
16. Kornejçuk N. P., Babenko V. F., Lyhun A. A. ∏kstremal\n¥e svojstva polynomov y splajnov.
– Kyev: Nauk. dumka, 1992.3– 3043s.
Poluçeno 09.07.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3454 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:50Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1b/3f64d97945dd991c971ac2360e8aef1b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34542020-03-18T19:55:07Z Exact inequalities for derivatives of functions of low smoothness defined on an axis and a semiaxis Точные неравенства для производных функций малой гладкости, заданных на оси и полуоси Babenko, V. F. Kofanov, V. A. Pichugov, S. A. Бабенко, В. Ф. Кофанов, В. А. Пичугов, С. А. Бабенко, В. Ф. Кофанов, В. А. Пичугов, С. А. We obtain new exact inequalities of the form $$∥x(k)∥_q ⩽ K∥x∥^{α}_p ∥x(r)∥^{1−α}_s$$ for functions defined on the axis $R$ or the semiaxis $R_{+}$ in the case where $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s=1,$$ for functions defined on the axis $R$ in the case where $$r = 2,\; k = 1,\; q ∈ [2,∞),\; p = ∞,\; s= 1,$$ and for functions of constant sign on $R$ or $R_{+}$ in the case where $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s = ∞$$ and in the case where $$r = 2,\; k = 1,\; p ∈ (0,∞),\; q = s = ∞.$$ Отримано нові точні нерівності вигляду $$∥x(k)∥_q ⩽ K∥x∥^{α}_p ∥x(r)∥^{1−α}_s$$ для таких функцій: заданих на осі $R$ або на півосі $R_{+}$ у випадку $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s=1,$$ заданих на осі $R$ у випадку $$r = 2,\; k = 1,\; q ∈ [2,∞),\; p = ∞,\; s= 1,$$ а також для знакосталих на $R$ або на $R_{+}$ у випадках $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s = ∞$$ та $$r = 2,\; k = 1,\; p ∈ (0,∞),\; q = s = ∞.$$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3454 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 3 (2006); 291–302 Український математичний журнал; Том 58 № 3 (2006); 291–302 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3454/3645 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3454/3646 Copyright (c) 2006 Babenko V. F.; Kofanov V. A.; Pichugov S. A. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Kofanov, V. A. Pichugov, S. A. Бабенко, В. Ф. Кофанов, В. А. Пичугов, С. А. Бабенко, В. Ф. Кофанов, В. А. Пичугов, С. А. Exact inequalities for derivatives of functions of low smoothness defined on an axis and a semiaxis |
| title | Exact inequalities for derivatives of functions of low smoothness defined on an axis and a semiaxis |
| title_alt | Точные неравенства для производных функций малой гладкости, заданных на оси и полуоси |
| title_full | Exact inequalities for derivatives of functions of low smoothness defined on an axis and a semiaxis |
| title_fullStr | Exact inequalities for derivatives of functions of low smoothness defined on an axis and a semiaxis |
| title_full_unstemmed | Exact inequalities for derivatives of functions of low smoothness defined on an axis and a semiaxis |
| title_short | Exact inequalities for derivatives of functions of low smoothness defined on an axis and a semiaxis |
| title_sort | exact inequalities for derivatives of functions of low smoothness defined on an axis and a semiaxis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3454 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf exactinequalitiesforderivativesoffunctionsoflowsmoothnessdefinedonanaxisandasemiaxis AT kofanovva exactinequalitiesforderivativesoffunctionsoflowsmoothnessdefinedonanaxisandasemiaxis AT pichugovsa exactinequalitiesforderivativesoffunctionsoflowsmoothnessdefinedonanaxisandasemiaxis AT babenkovf exactinequalitiesforderivativesoffunctionsoflowsmoothnessdefinedonanaxisandasemiaxis AT kofanovva exactinequalitiesforderivativesoffunctionsoflowsmoothnessdefinedonanaxisandasemiaxis AT pičugovsa exactinequalitiesforderivativesoffunctionsoflowsmoothnessdefinedonanaxisandasemiaxis AT babenkovf exactinequalitiesforderivativesoffunctionsoflowsmoothnessdefinedonanaxisandasemiaxis AT kofanovva exactinequalitiesforderivativesoffunctionsoflowsmoothnessdefinedonanaxisandasemiaxis AT pičugovsa exactinequalitiesforderivativesoffunctionsoflowsmoothnessdefinedonanaxisandasemiaxis AT babenkovf točnyeneravenstvadlâproizvodnyhfunkcijmalojgladkostizadannyhnaosiipoluosi AT kofanovva točnyeneravenstvadlâproizvodnyhfunkcijmalojgladkostizadannyhnaosiipoluosi AT pichugovsa točnyeneravenstvadlâproizvodnyhfunkcijmalojgladkostizadannyhnaosiipoluosi AT babenkovf točnyeneravenstvadlâproizvodnyhfunkcijmalojgladkostizadannyhnaosiipoluosi AT kofanovva točnyeneravenstvadlâproizvodnyhfunkcijmalojgladkostizadannyhnaosiipoluosi AT pičugovsa točnyeneravenstvadlâproizvodnyhfunkcijmalojgladkostizadannyhnaosiipoluosi AT babenkovf točnyeneravenstvadlâproizvodnyhfunkcijmalojgladkostizadannyhnaosiipoluosi AT kofanovva točnyeneravenstvadlâproizvodnyhfunkcijmalojgladkostizadannyhnaosiipoluosi AT pičugovsa točnyeneravenstvadlâproizvodnyhfunkcijmalojgladkostizadannyhnaosiipoluosi |