Conditions for the existence of bounded solutions of one class of nonlinear differential equations
For systems of nonlinear differential equations (dx/dt) = A(x)x + f(t) in a Banach space, we establish sufficient conditions for the existence of their solutions bounded on the entire real axis R.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3456 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509550239547392 |
|---|---|
| author | Hrod, I. M. Грод, І. М. |
| author_facet | Hrod, I. M. Грод, І. М. |
| author_sort | Hrod, I. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:55:07Z |
| description | For systems of nonlinear differential equations (dx/dt) = A(x)x + f(t) in a Banach space, we establish sufficient conditions for the existence of their solutions bounded on the entire real axis R. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:42:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
I. M. Hrod (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
UMOVY ISNUVANNQ OBMEÛENYX ROZV’QZKIV ODNOHO
KLASU NELINIJNYX DYFERENCIAL|NYX RIVNQN|
For systems of nonlinear differential equations ( d x / d t ) = A ( x ) x + f ( t ) in the Banach space, sufficient
conditions for the existence of solutions bounded on the whole real axis R are obtained.
Dlq system nelinijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ ( d x / d t ) = A ( x ) x + f ( t ) u banaxovomu prostori
otrymano dostatni umovy isnuvannq obmeΩenyx na vsij çyslovij prqmij R rozv’qzkiv.
Odnym iz vaΩlyvyx pytan\ teori] dyferencial\nyx rivnqn\ [ pytannq isnuvannq
obmeΩenyx na R rozv’qzkiv dyferencial\nyx system.
Na s\ohodnißnij den\ dostatn\o vyvçeni linijni systemy vyhlqdu dx
dt
=
= A ( t ) x + f ( t ) , de f ( t ) ∈ C
0
( R ) . Zokrema, v roboti [1] pokazano, wo systema ma[
[dynyj obmeΩenyj na R rozv’qzok pry bud\-qkomu f ( t ) ∈ C
0
( R ) todi i til\ky
todi, koly isnu[ nevyrodΩena obmeΩena neperervno dyferencijovna symetryçna
matrycq S ( t ) taka, wo
S t S t A t A t S t x xT(̇ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,+ +[ ] ≥ || x || , x ∈ R
n,
pry vsix t ∈ R .
U vypadku, koly A — stala matrycq, ce rivnosyl\no tomu, wo dlq ]] spektra
σ ( A ) spravedlyvym [ spivvidnoßennq
σ ( A ) ⊂ { λ ∈ C : Re λ ≠ 0 } .
Systemy, qki magt\ taku vlastyvist\, nazyvagt\ we rehulqrnymy na osi R [1].
Dlq nelinijnyx system vyhlqdu
dx
dt
= A ( x ) x + f ( t ) ,
de A ( x ) — neperervna j obmeΩena na R matryçna funkciq, vykonannq spivvid-
noßennq
σ ( A ( x ) ) ⊂ { λ ∈ C : Re λ ≠ 0 } ,
qk pokazugt\ pryklady, ne6harantu[ isnuvannq obmeΩenoho na R rozv’qzku.
Tomu cikavym [ znaxodΩennq dodatkovyx umov, qki b zabezpeçyly dlq systemy
(2) isnuvannq takyx rozv’qzkiv. Rozhlqnemo bil\ß zahal\nu zadaçu, a dlq c\oho
vvedemo deqki poznaçennq.
Nexaj C0 — banaxiv prostir obmeΩenyx i neperervnyx na vsij osi R funk-
cij x = x ( t ) zi znaçennqmy v skinçennovymirnomu banaxovomu prostori E z
normog
|| x ||
C0 = sup
t∈R
|| x ( t ) ||
E
i C1 — banaxiv prostir usix tyx funkcij x ∈ C
0, dlq koΩno] z qkyx dx
dt
∈ C
0 z
normog
© I.6M.6HROD, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3 317
318 I.6M.6HROD
|| x ||
C1 = max ,x
dx
dtC
C
0
0
.
Poznaçymo çerez A ( x ) neperervnu na E funkcig zi znaçennqmy v L ( E , E ) ,
de L ( E, E ) — banaxiv prostir usix linijnyx neperervnyx operatoriv, wo digt\ u
prostori E .
Rozhlqnemo nelinijne dyferencial\ne rivnqnnq
dx
dt
= A ( x ) x + f ( t ) . (1)
Dlq otrymannq osnovnyx tverdΩen\ vvedemo do rozhlqdu dopomiΩni opera-
tory L : C1 → C
0 i Ly : C1 → C
0, y ∈ C
0, wo vyznaçagt\sq rivnostqmy
( L x ) ( t ) = dx
dt
– A ( x ( t ) ) x ( t ),
( Ly x ) ( t ) = dx
dt
– A ( y ( t ) ) x ( t ),
de t ∈ R, x ∈ C
1.
ZauvaΩymo, wo zavdqky neperervnosti A ( x ) na E ta skinçennij rozmirnosti
prostoru E zadani operatory L , L y [ neperervnymy j obmeΩenymy na C 1.
Krim c\oho, operator Ly [ linijnym operatorom pry koΩnomu fiksovanomu y
∈ C
0. Poznaçymo çerez R ( L ) mnoΩynu znaçen\ operatora L. Zrozumilo, wo
isnuvannq rozv’qzkiv dlq rivnqnnq (1) pry koΩnomu f ∈ C
0 zada[t\sq rivnistg
R ( L ) = C0. (2)
Dlq operatora ( Ly x ) vymahatymemo, wob vykonuvalys\ umovy:
a) dlq koΩnoho y ∈ C
0 operator L y : C
1 → C
0 ma[ obernenyj neperervnyj
( Ly )
–
1 : C0 → C
1;
b) sup
,
y
y C C
L
∈
−
( )
( )
C
L0
0 1
1 < + ∞.
Sformulg[mo osnovnu teoremu.
Teorema 1. Prypustymo, wo funkciq A ( x ) taka, wo vykonugt\sq umovy a)
i b). Todi dlq koΩno] funkci] f ∈ C
0 dyferencial\ne rivnqnnq (1) ma[ xoça b
odyn rozv’qzok x ∈ C
1.
Rozhlqnemo rivnqnnq
dx
dt
= A ( y ( t ) ) x + f ( t ), t ∈ R, (3)
de y = y ( t ) — dovil\nyj element prostoru C
0. Oskil\ky ce rivnqnnq [ linij-
nym, dlq n\oho moΩna zastosuvaty teorig, vykladenu, napryklad, u robotax [1 –
4]. Zavdqky prypuwenng a) [dynyj rozv’qzok x ∈ C
1 rivnqnnq (3), wo vidpovi-
da[ funkci] f ∈ C
0, zobraΩu[t\sq za dopomohog operatora ( Ly )
–
1 u vyhlqdi
x = ( Ly )
–
1 f. (4)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
UMOVY ISNUVANNQ OBMEÛENYX ROZV’QZKIV ODNOHO KLASU NELINIJNYX … 319
Dali, vvaΩagçy, wo funkcig f ∈ C
0 zafiksovano, rozhlqnemo vidobraΩennq
U f : C
0 → C
0, qke koΩnomu elementu y ∈ C
0 stavyt\ u vidpovidnist\ element
( Ly )
–
1 f c\oho Ω prostoru. Ce vidobraΩennq, oçevydno, vyznaça[t\sq rivnistg
U f = ( Ly )
–
1 f, (5)
de y ∈ C
0.
Zavdqky (4) i (5) oçevydnog [ taka teorema.
Teorema 2. KoΩna neruxoma toçka vidobraΩennq U f : C
0 → C
0 [ obmeΩe-
nym rozv’qzkom dyferencial\noho rivnqnnq (1).
Takym çynom, dlq ob©runtuvannq teoremy61 dostatn\o dovesty nastupne
tverdΩennq.
Teorema 3. U vypadku vykonannq umov a) i b) dlq koΩnoho f ∈ C
0 mnoΩyna
neruxomyx toçok vidobraΩennq U f : C
0 → C
0 [ neporoΩn\og.
Perß niΩ dovodyty cg teoremu, navedemo deqki vlastyvosti vidobraΩen\
U f , f ∈ C
0.
Lema&1. Operator U f : C
0 → C
0 [ neperervnym dlq koΩnoho f ∈ C
0.
Dovedennq. Zafiksu[mo dovil\ni elementy y = y ( t ) i z = z ( t ) prostoru C0
i rozhlqnemo dyferencial\ni rivnqnnq
dx
dt
= A ( y ( t ) ) x + f ( t ),
t ∈ R. (6)
dx
dt
= A ( z ( t ) ) x + f ( t ),
Nexaj xy = xy ( t ) i xz = xz ( t ) — vidpovidni rozv’qzky cyx rivnqn\, tobto
dx t
dt
y( ) ≡ A ( y ( t ) ) xy ( t ) + f ( t ),
t ∈ R. (7)
dx t
dt
z( ) ≡ A ( z ( t ) ) xz ( t ) + f ( t ),
Todi
xy = ( Ly )
–
1 f = U f y (8)
i
xz = ( Lz )
–
1 f = U f z. (9)
Podamo (7) u vyhlqdi
dx t
dt
z( ) – A ( y ( t ) ) xz ( t ) ≡ [ A ( z ( t ) ) – A ( y ( t ) ) ] xz ( t ) + f ( t ), t ∈ R.
Zvidsy otrymu[mo
xz = ( Ly )
–
1 ( [ A ( z ) – A ( y ) ] xz + f ) =
= ( Ly )
–
1 f + ( Ly )
–
1 ( [ A ( z ) – A ( y ) ] xz ) =
= ( Ly )
–
1 f + ( Ly )
–
1 ( [ A ( z ) – A ( y ) ] ( Lz )
–
1 f ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
320 I.6M.6HROD
OtΩe, na pidstavi (8) ta (9) ma[ misce rivnist\
U f z – U f y = ( Ly )
–
1 ( [ A ( z ) – A ( y ) ] U f z ). (10)
Dali, rozhlqnemo dovil\nu poslidovnist\ ( yn ) n ≥ 1 funkcij yn ∈ C
0
, n ≥ 1,
dlq qko]
lim
n→∞
|| yn – y ||
C0 = 0. (11)
Vykorystovugçy otrymanu rivnist\ (10), zapysu[mo
U f yn – U f y = ( Ly )
–
1 ( [ A ( yn ) – A ( y ) ] U f yn ) (12)
dlq vsix n ≥ 1.
Vraxovugçy (11), prypuwennq b) ta rivnist\ (5), moΩemo stverdΩuvaty, wo
isnu[ çyslo a > 0 take, wo
sup
n≥0
|| U f yn ||
C0 ≤ a.
Oskil\ky
|| [ A ( yn ) – A ( y ) ] U f yn ||
C0 = sup
t∈R
|| [ A ( yn ( t ) ) – A ( y ( t ) ) ] ( U f yn ) ( t ) ||
E
≤
≤ sup
t∈R
|| A ( yn ( t ) ) – A ( y ( t ) ) ||
L
( E,
E
) || U f yn ||
C0 ≤
≤ a sup
t∈R
|| A ( yn ( t ) ) – A ( y ( t ) ) ||
L
( E,
E
) , n ≥ 1,
operatorna funkciq A ( x ) [ neperervnog na E, a banaxiv prostir E — skinçen-
novymirnym, to zavdqky (11)
lim
n→∞
sup
t∈R
|| A ( yn ( t ) ) – A ( y ( t ) ) ||
L
( E,
E
) = 0.
Todi na pidstavi umovy b)
lim
n→∞
|| [ A ( yn ) – A ( y ) ] U f yn ||
C0 = 0
i
lim
n→∞
|| ( Ly )
–
1 ( [ A ( yn ) – A ( y ) ] U f yn ) ||
C0 = 0.
Zvidsy ta z (12) otrymu[mo
lim
n→∞
|| U f yn – U f y ||
C0 = 0. (13)
OtΩe, qkwo vykonu[t\sq spivvidnoßennq (11), to ma[ misce takoΩ rivnist\ (13).
Ce oznaça[, wo vidobraΩennq U f : C
0 → C
0 [ neperervnym u toçci y ∈ C
0. Os-
kil\ky toçku y ∈ C
0 bulo vybrano dovil\no, to U f [ neperervnym na C0 dlq
koΩnoho f ∈ C
0.
Lemu61 dovedeno.
Dali, poznaçymo çerez Br zamknenu kulg
{ x ∈ C
0
: || x ||
C0 ≤ r }
i rozhlqnemo çyslo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
UMOVY ISNUVANNQ OBMEÛENYX ROZV’QZKIV ODNOHO KLASU NELINIJNYX … 321
d = sup
,
y
y L
L
∈
−
( )
( )
C
C C0
0 1
1 .
Zavdqky umovi b) ce çyslo [ skinçennym.
Lema&2. Zamknena kulq Bd f C0 ( d f C0 — radius ci[] kuli) [ invariant-
nog po vidnoßenng do operatora U f , tobto
|| U f y || C
0 ≤ d f C0
dlq vsix y ∈ C
0.
Spravedlyvist\ ci[] lemy vyplyva[ zi spivvidnoßennq
|| U f y || C
0 = || ( Ly )
–
1 f || C
0 ≤ ( ) ≤−
( )
L f d fy L C C
1
0 1 0 0
C C,
,
qke spravdΩu[t\sq dlq vsix y ∈ C
0 ta f ∈ C
0 zavdqky umovi b) 6ta rivnosti (5).
ZauvaΩennq&1. Qkby vidobraΩennq U f na zamknenij kuli Bd f C0 bulo
cilkom neperervnym, to do n\oho moΩna bulo b zastosuvaty teoremu Íaudera
pro neruxomu toçku [5].
Odnak, qk pokazu[ nastupnyj pryklad, operator U f tako] vlastyvosti ne
ma[.
Pryklad&1. Nexaj E = R. Rozhlqnemo funkcig
a ( x ) = – 2 + sin ( x ), x ∈ R,
ta dyferencial\ne rivnqnnq vyhlqdu (1)
dx
dt
= ( – 2 + sin ( x ) ) x + f ( t ), t ∈ R.
Budemo vvaΩaty, wo f ( t ) ≡ 1. Rozhlqnemo takoΩ rivnqnnq vyhlqdu (3)
dx
dt
= ( – 2 + sin ( y ( t ) ) ) x + f ( t ), t ∈ R.
Zavdqky tomu, wo
– 3 ≤ a ( y ( t ) ) ≤ – 1
dlq vsix t ∈ R, dlq operatora Ly : C1 → C
0, wo vyznaça[t\sq rivnistg
( Ly x ) ( t ) = dx
dt
– ( – 2 + sin ( y ( t ) ) ) x ( t ) + f ( t ), x ∈ R,
vykonugt\sq umovy a), b) teoremy61.
PokaΩemo, wo operator U f
, vyznaçenyj spivvidnoßennqm (5), pry f ( t ) ≡ 1
(dali budemo poznaçaty joho U1
) ne6[ cilkom neperervnym.
Rozhlqnemo dovil\ne çyslo ε ∈ ( 0, 1 ), funkcig
yn, ε ( t ) =
εcos , , ,
, \ , ,
( ) ∈ π − π π + π[ ]
∈ π − π π + π[ ]
t t n n
t n n
qkwo
qkwo
2 2 2 2
0 2 2 2 2R
n ∈ Z,
i dyferencial\ne rivnqnnq
dx
dt
= ( – 2 + sin ( yn, ε ( t ) ) ) x + 1, t ∈ R. (14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
322 I.6M.6HROD
Nexaj xn, ε = xn, ε ( t ) — rozv’qzok rivnqnnq (14). Lehko perekonatys\ u tomu,
wo
xn, ε ( t ) = x0, ε ( t – 2nπ ), n ∈ Z ,
xn, ε ≠ xm, ε , qkwo n ≠ m,
i
lim ,
t
nx t
→∞
( ) =ε
1
2 . (15)
Zavdqky (15) ta tomu, wo xn , ε ( t ) ne6moΩe dorivngvaty totoΩno
1
2 , moΩna
pidibraty take dostatn\o velyke çyslo n0 ∈ N, wo vykonuvatymet\sq nerivnist\
inf
, :n m kn k n m∈{ ∈ } ≠0 Z
|| xn , ε – xm, ε || C0 > 0. (16)
Oskil\ky
xn, ε + U1
yn, ε
, n ∈ Z,
i mnoΩyna
{ yn, ε : n ∈ n0
Z }
[ obmeΩenog v C
0, zavdqky (16) mnoΩyna
{ xn , ε : n ∈ n0
Z } = U1
{ yn , ε : n ∈ n0
Z }
ne6[ peredkompaktnog v C
0 (ni6dlq qkoho ε ∈ ( 0, 1 ) ). Ce oznaça[, wo operator
U1 ne6[ cilkom neperervnym.
Lema&3. VidobraΩennq U f : C
0 → C
0, f ∈ C
0, [ c -neperervnym.
Dovedennq. ZauvaΩymo, wo v danomu vypadku, vraxovugçy linijnist\ ope-
ratora ( Ly ) i te, wo dim E < ∞, operator ( Ly )
–
1 : C
0 → C
1 bude c -neperer-
vnym [6 – 11].
Rozhlqnemo dovil\ni y ∈ C
0 i poslidovnist\ yk ∈ C
0, k ∈ N, dlq qkyx
y yk
Clok.,
0
→ pry k → ∞. (17)
Nexaj xy ∈ C1 i xyk
∈ C1, k ∈ N, — taki funkci], wo
dx
dt
y ≡ A ( y ( t ) ) xy ( t ) + f ( t ) (18)
i
dx
dt
yk ≡ A ( yk ( t ) ) xyk
( t ) + f ( t ).
Podamo druhe iz cyx spivvidnoßen\ u vyhlqdi
dx
dt
yk ≡ A ( y ( t ) ) xyk
( t ) + [ A ( yk ( t ) ) – A ( y ( t ) ) ] xyk
( t ) + f ( t ). (19)
Zhidno z prypuwennqmy a) ta b), a takoΩ (18), (19) otrymu[mo
xy = ( Ly )
–
1 f
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
UMOVY ISNUVANNQ OBMEÛENYX ROZV’QZKIV ODNOHO KLASU NELINIJNYX … 323
i
xyk
= ( Ly )
–
1 ( f + [ A ( yk ( t ) ) – A ( y ( t ) ) ] xyk
( t ) ), k ≥ 1.
Na pidstavi (5) ta lemy62 poslidovnist\ ( xyk
) k ≥ 1 [ obmeΩenog. Tomu zavdqky
(17), neperervnosti A ( x ) na E ta skinçennij rozmirnosti prostoru E
[ A ( yk ( t ) ) – A ( y ( t ) ) ] xyk
( t ) lok., C0
→ 0 pry k → ∞.
Tomu
f + [ A ( yk ( t ) ) – A ( y ( t ) ) ] xyk
( t )
lok., C0
→ f pry k → ∞.
Zvidsy z uraxuvannqm c -neperervnosti operatora ( Ly )
–
1 : C0 → C
1 otrymu[mo
xyk
lok., C0
→ xy pry k → ∞. (20)
Oskil\ky na pidstavi (5)
xy = U f y = ( Ly )
–
1 f
i
xyk
= U f yk = ( Lyk
)
–
1 f, r ≥ 1,
to
U f yk
lok., C0
→ U f y pry k → ∞, (21)
wo j dovodyt\ lemu63.
ZauvaΩymo, wo zavdqky (20) vykonu[t\sq ne6lyße spivvidnoßennq (21), a j
spivvidnoßennq
U f yk
lok., C1
→ U f y pry k → ∞.
Dali navedemo we odnu vlastyvist\.
Lema&4. VidobraΩennq U f : C
0 → C
0, f ∈ C
0, [ c -cilkom neperervnym.
Spravdi, zavdqky prypuwenng b) 6ta rivnosti (5) vykonu[t\sq ne6til\ky ne-
rivnist\
|| U f y || C
0 ≤ d f C0
dlq vsix y ∈ C
0 ta f ∈ C
0, a j nerivnist\
|| U f y || C0 ≤ d f C0 , y, f ∈ C
0.
Tomu
sup
t
fd y t
dt∈
( )( )
R
U
≤ d f C0
dlq dovil\no] funkci] y ∈ C0. Cq nerivnist\ na pidstavi teoremy Arcela [12]
oznaça[, wo mnoΩyna
{ ( U f y ) | [ a, b ] : y ∈ C
0
}
[ peredkompaktnog v C0
[ a, b ] dlq dovil\nyx a, b ∈ R ( a < b ) ( z | [ a, b ] — zvu-
Ωennq funkci] z = z ( t ) na vidrizok [ a, b ] ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
324 I.6M.6HROD
Zvidsy ta z c -neperervnosti vidobraΩennq U f : C
0 → C
0, f ∈ C
0, vyplyva[,
wo ci vidobraΩennq [ c -cilkom neperervnymy.
Lemu64 dovedeno.
Dovedennq teoremy&3. U vypadku vykonannq prypuwen\ a) i b) dlq koΩ-
noho f ∈ C
0 na pidstavi lem 1, 2
U f d f d fB B
C C2 0 0⊂ ,
i vidobraΩennq U f : B d f C2 0 → Bd f C0 [ c -cilkom neperervnym.
Qk vidomo [11], qkwo operator L : Br1
→ Br2
[ c -cilkom neperervnym i r1 >
> r2
, to L ma[ v Br2
xoça6b odnu neruxomu toçku. Tomu v zamknenij kuli
Bd f C0 vidobraΩennq U f takoΩ ma[ xoça6b odnu neruxomu toçku.
Teoremu dovedeno.
Pryklad&2. Rozhlqnemo neperervnu na R funkcig
a ( x ) =
1 1
1
1
3
2
1
1
2
3
2
, ,
, ,
, .
qkwo
qkwo
qkwo
x
x
x
x
x
≤
< ≤
− >
Oçevydno, wo
2
3
≤ a ( x ) ≤ 1 (22)
dlq vsix x ∈ R.
Rozhlqnemo dyferencial\ne rivnqnnq
dx
dt
= a ( x ) x + f ( t ), t ∈ R. (23)
Zavdqky (22) dlq (23) vykonugt\sq vymohy, zaznaçeni v prypuwennqx a) ta b).
Nexaj f ( t ) ≡ – 1 ≠ 0. Oskil\ky todi
a ( x ) x – 1 = 0
dlq vsix x ∈ 1
3
2
,
, to rivnqnnq (23) pry f ( t ) ≡ – 1 ≠ 0 ma[ neskinçenne çyslo
rozv’qzkiv x ( t ) ≡ C, de C ∈ 1
3
2
,
. OtΩe, rivnqnnq vyhlqdu (1) moΩut\ maty
dlq deqkyx f ∈ C0 ne6[dynyj rozv’qzok x ∈ C1.
ZauvaΩennq&2. Vymohy, wo mistqt\sq u prypuwennqx a) i b), spravdΩugt\-
sq dlq dyferencial\noho rivnqnnq (1) u vypadku E = R, qkwo:
1) funkciq [ neperervnog na R;
2) vykonu[t\sq spivvidnoßennq inf
t
a x
∈
( )
R
> 0.
1. Mytropol\skyj5G.5A., Samojlenko5A.5M., Kulyk5V.5L. Yssledovanye dyxotomyy lynejn¥x
system dyfferencyal\n¥x uravnenyj s pomow\g funkcyj Lqpunova. – Kyev: Nauk. dumka,
1990. –62726s.
2. Daleckyj5G.5L., Krejn5M.5H. Ustojçyvost\ reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj v bana-
xovom prostranstve. – M.: Nauka, 1970. –65356s.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
UMOVY ISNUVANNQ OBMEÛENYX ROZV’QZKIV ODNOHO KLASU NELINIJNYX … 325
3. Massera5X.5L., Íefrer5X.5X. Lynejn¥e dyfferencyal\n¥e uravnenyq y funkcyonal\n¥e
prostranstva. – M.: Myr, 1970. –64566s.
4. Krasnosel\skyj5M.5A., Burd5V.5Í., Kolesov55G.5S. Nelynejn¥e poçty peryodyçeskye kole-
banyq. – M.: Nauka, 1970. –63526s.
5. Nyrenberh5L. Lekcyy po nelynejnomu funkcyonal\nomu analyzu. – M.: Myr, 1997. – 2326s.
6. Slgsarçuk5V.5E. Obratymost\ poçty peryodyçeskyx c -neprer¥vn¥x funkcyonal\n¥x ope-
ratorov // Mat. sb. – 1981. – 1166(158), #646(12). – S.6483 – 501.
7. Muxamadyev5∏. Yssledovanyq po teoryy peryodyçeskyx y ohranyçenn¥x reßenyj dyffe-
rencyal\n¥x uravnenyj: Dys.6… d-ra fyz.-mat. nauk. – Dußanbe, 1978. – 2896s.
8. Slgsarçuk5V.5E. Obratymost\ neavtonomn¥x dyfferencyal\no-funkcyonal\n¥x operato-
rov // Mat. sb. – 1986. – 1306(172), #616(5). – S.686 – 104.
9. Slgsarçuk5V.5E. Slabo nelynejn¥e vozmuwenyq normal\no razreßym¥x funkcyonal\no-
dyfferencyal\n¥x y dyskretn¥x uravnenyj // Ukr. mat. Ωurn. – 1987. – 39 , # 65. –
S.6660 – 662.
10. Slgsarçuk5V.5E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq obratymosty neavtonomn¥x funk-
cyonal\no-dyfferencyal\n¥x operatorov // Mat. zametky. – 1987. – 42, #62. – S.6262 – 267.
11. Slgsarçuk5V.5E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq obratymosty ravnomerno c -nepre-
r¥vn¥x funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x operatorov // Ukr. mat. Ωurn. – 1989. – 41,
#62. – S.6201 – 205.
12. Kolmohorov5A.5N., Fomyn5S.5V. ∏lement¥ teoryy funkcyj y funkcyonal\noho analyza. –
M.: Nauka, 1968. –64966s.
OderΩano 07.04.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3456 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:42:53Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1b/954715a218d7f904f081c548f40f591b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34562020-03-18T19:55:07Z Conditions for the existence of bounded solutions of one class of nonlinear differential equations Умови існування обмежених розв'язків одного класу нелінійних диференціальних рівнянь Hrod, I. M. Грод, І. М. For systems of nonlinear differential equations (dx/dt) = A(x)x + f(t) in a Banach space, we establish sufficient conditions for the existence of their solutions bounded on the entire real axis R. Для систем нелінійних диференціальних рівнянь $(dx/dt) = A(x)x +f(t)$ у банаховому просторі отримано достатні умови існування обмежених на всій числовій прямій $\mathbb{R}$ розв'язків. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3456 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 3 (2006); 317–325 Український математичний журнал; Том 58 № 3 (2006); 317–325 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3456/3649 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3456/3650 Copyright (c) 2006 Hrod I. M. |
| spellingShingle | Hrod, I. M. Грод, І. М. Conditions for the existence of bounded solutions of one class of nonlinear differential equations |
| title | Conditions for the existence of bounded solutions of one class of nonlinear differential equations |
| title_alt | Умови існування обмежених розв'язків одного класу нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full | Conditions for the existence of bounded solutions of one class of nonlinear differential equations |
| title_fullStr | Conditions for the existence of bounded solutions of one class of nonlinear differential equations |
| title_full_unstemmed | Conditions for the existence of bounded solutions of one class of nonlinear differential equations |
| title_short | Conditions for the existence of bounded solutions of one class of nonlinear differential equations |
| title_sort | conditions for the existence of bounded solutions of one class of nonlinear differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3456 |
| work_keys_str_mv | AT hrodim conditionsfortheexistenceofboundedsolutionsofoneclassofnonlineardifferentialequations AT grodím conditionsfortheexistenceofboundedsolutionsofoneclassofnonlineardifferentialequations AT hrodim umoviísnuvannâobmeženihrozv039âzkívodnogoklasunelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT grodím umoviísnuvannâobmeženihrozv039âzkívodnogoklasunelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |