Artinian rings with nilpotent adjoint group
Let $R$ be an Artinian ring (not necessarily with unit element), let $Z(R)$ be its center, and let $R ^{\circ}$ be the group of invertible elements of the ring $R$ with respect to the operation $a ∘ b = a + b + ab$. We prove that the adjoint group $R ^{\circ}$ is nilpotent and the set $Z (R) + R ^{...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3464 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509559303438336 |
|---|---|
| author | Evstaf’ev, R. Yu. Євстафьєв, Р. Ю. |
| author_facet | Evstaf’ev, R. Yu. Євстафьєв, Р. Ю. |
| author_sort | Evstaf’ev, R. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:55:07Z |
| description | Let $R$ be an Artinian ring (not necessarily with unit element), let $Z(R)$ be its center, and let $R ^{\circ}$ be the group of invertible elements of the ring $R$ with respect to the operation $a ∘ b = a + b + ab$. We prove that the adjoint group $R ^{\circ}$ is nilpotent and the set $Z (R) + R ^{\circ}$ generates $R$ as a ring if and only if $R$ is the direct sum of finitely many ideals each of which is either a nilpotent ring or a local ring with nilpotent multiplicative group. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 519.1
R. G. Evstaf\ev (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
ARTYNOVÁ KOL|CA S NYL|POTENTNOJ
PRYSOEDYNENNOJ HRUPPOJ
Let R be an Artinian ring not necessarily with identity element, let Z ( R ) be its center , and let R° be a
group of invertible elements of the ring R with respect to the operation a ° b = a + b + a b. We prove
that the adjoint group R° is nilpotent and the set Z ( R ) + R° generates R as a ring if and only if R is a
direct sum of finite number of ideals each of which is either a nilpotent ring or a local ring with nilpotent
multiplicative group.
Nexaj R — artynove kil\ce, neobov’qzkovo z odynyceg, Z ( R ) — joho centr i R° — hrupa obo-
rotnyx elementiv kil\cq R vidnosno operaci] a ° b = a + b + a b. Dovodyt\sq, wo pry[dnana
hrupa R° nil\potentna ta mnoΩyna Z ( R ) + R° porodΩu[ R qk kil\ce todi i til\ky todi, koly
R [ prqmog sumog skinçennoho çysla idealiv, koΩen z qkyx [ abo nil\potentnym kil\cem, abo
lokal\nym kil\cem z nil\potentnog mul\typlikatyvnog hrupog.
1. Vvedenye. Pust\ R — assocyatyvnoe kol\co, neobqzatel\no s edynycej.
MnoΩestvo vsex πlementov kol\ca R obrazuet poluhruppu Rad
s edynyçn¥m
πlementom 0 otnosytel\no operacyy prysoedynennoho umnoΩenyq a ° b = a +
+ b + a b dlq vsex πlementov a y b yz R. Hruppa vsex obratym¥x πlementov
πtoj poluhrupp¥ naz¥vaetsq prysoedynennoj hruppoj kol\ca R y oboznaçaetsq
çerez R°. Esly kol\co R ymeet edynycu, to 1 + R° sovpadaet s mul\typly-
katyvnoj hruppoj R*
kol\ca R y otobraΩenye r � 1 + r dlq r ∈ R° qvlqetsq
yzomorfyzmom R° na R*
.
Napomnym, çto kol\co naz¥vaetsq artynov¥m sprava (neterov¥m sprava),
esly v nem v¥polneno uslovye mynymal\nosty (uslovye maksymal\nosty) dlq
prav¥x ydealov. Vsgdu v rabote pod artynov¥m (neterov¥m) kol\com budem
podrazumevat\ artynovo sprava (neterovo sprava) kol\co.
Radykal DΩekobsona y centr kol\ca R budem oboznaçat\ sootvetstvenno
çerez J ( R ) y Z ( R ). Kol\co R s edynycej naz¥vaetsq lokal\n¥m, esly fak-
tor-kol\co R / J ( R ) qvlqetsq telom.
Yzvestno, çto kaΩdoe kommutatyvnoe artynovo kol\co s edynycej razlaha-
etsq v prqmug summu lokal\n¥x kolec [1] (teorema 8.7). Sledugwaq teorema
obobwaet πtot rezul\tat na proyzvol\n¥e artynov¥ kol\ca s nyl\potentnoj
prysoedynennoj hruppoj, kotor¥e poroΩdagtsq mnoΩestvom Z ( R ) + R°.
Teorema A. Pust\ R — artynovo kol\co. Prysoedynennaq hruppa R °
nyl\potentna y mnoΩestvo Z ( R ) + R° poroΩdaet R kak kol\co tohda y
tol\ko tohda, kohda R — prqmaq summa koneçnoho çysla ydealov, kaΩd¥j yz
kotor¥x qvlqetsq lybo nyl\potentn¥m kol\com, lybo lokal\n¥m kol\com s
nyl\potentnoj mul\typlykatyvnoj hruppoj.
Osnovu dokazatel\stva πtoj teorem¥ sostavlqet yzuçenye prqmo nerazlo-
Ωym¥x artynov¥x kolec, udovletvorqgwyx uslovyqm teorem¥. V çastnosty,
m¥ dokaz¥vaem, çto mynymal\n¥j ydeal takoho kol\ca soderΩytsq v centre, a
samo kol\co qvlqetsq lybo lokal\n¥m, lybo nyl\potentn¥m.
Zametym, çto esly v kol\ce R est\ edynyca, to hrupp¥ R° y R*
yzomorf-
n¥. Poπtomu vse poluçenn¥e strukturn¥e teorem¥ budut spravedlyv¥ y dlq
artynov¥x kolec s nyl\potentnoj mul\typlykatyvnoj hruppoj. V çastnosty,
ymeet mesto sledugwee utverΩdenye.
© R. G. EVSTAF|EV, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3 417
418 R. G. EVSTAF|EV
Sledstvye A. Pust\ R — artynovo kol\co s edynycej, poroΩdaemoe
mul\typlykatyvnoj hruppoj R *
. Tohda hruppa R*
nyl\potentna v tom y
tol\ko v tom sluçae, kohda R — prqmaq summa koneçnoho çysla ydealov,
kaΩd¥j yz kotor¥x qvlqetsq lokal\n¥m kol\com s nyl\potentnoj mul\typly-
katyvnoj hruppoj.
Artynov¥ kol\ca s zadann¥my svojstvamy mul\typlykatyvnoj yly prysoe-
dynennoj hrupp yzuçalys\ v rabotax [2 – 4]: v pervoj yz nyx rassmatryvalys\
kol\ca s edynycej, kotor¥e ymegt cyklyçeskug mul\typlykatyvnug hruppu,
vo vtoroj — kol\ca s cyklyçeskoj prysoedynennoj hruppoj, a v poslednej —
kol\ca s edynycej, mul\typlykatyvnaq hruppa kotor¥x nyl\potentna. V çast-
nosty, v nej dokazano, çto koneçn¥e kol\ca s takym svojstvom, poroΩdaem¥e
svoej mul\typlykatyvnoj hruppoj, razlahagtsq v prqmug summu ydealov, kaΩ-
d¥j yz kotor¥x qvlqetsq homomorfn¥m obrazom hruppovoj alhebr¥ vyda S P
dlq podxodqweho kommutatyvnoho koneçnoho kol\ca S y koneçnoj p-hrupp¥
P, hde p — prostoe çyslo. V sledugwej teoreme faktyçesky opys¥vagtsq ko-
neçn¥e kol\ca s tem Ωe svojstvom, kotor¥e neobqzatel\no poroΩdagtsq svoej
mul\typlykatyvnoj hruppoj.
Opredelym ydeal L kak naybol\ßyj ydeal kol\ca R takoj, çto faktor-
kol\co L / J ( R ) razloΩymo v prqmug summu polej yz dvux πlementov, esly ta-
koe razloΩenye suwestvuet, y L = J ( R ) — v protyvnom sluçae.
Teorema B. Prysoedynennaq hruppa R° koneçnoho kol\ca R tohda y tol\-
ko tohda nyl\potentna, kohda R = Z ( R ) + L.
KaΩdoe assocyatyvnoe kol\co R moΩet b¥t\ rassmotreno kak kol\co Ly
otnosytel\no operacyy [ a, b ] = a b – b a dlq vsex a, b ∈ R, kotoroe naz¥vaetsq
kol\com Ly, assocyyrovann¥m s R. Dlq addytyvn¥x podhrupp V y W kol\ca
R budem oboznaçat\ çerez [ V, W ] addytyvnug podhruppu v R, poroΩdennug
vsemy Ly-kommutatoramy [ v, w ] dlq v ∈ V y w ∈ W. Napomnym, çto verxnyj
central\n¥j rqd kol\ca Ly, assocyyrovannoho s R, opredelqetsq sledugwym
obrazom: Z0 ( R ) = 0 y Zn ( R ) = { z | z ∈ R, ∀r ∈ R : [ z, r ] ∈ Zn – 1 ( R ) } dlq proyz-
vol\noho natural\noho n. Verxnyj central\n¥j rqd prysoedynennoj hrupp¥
R° opredelqetsq analohyçn¥m obrazom, esly kol\cev¥e kommutator¥ zamenyt\
hruppov¥my kommutatoramy.
Napomnym, çto kol\co R naz¥vaetsq Ly-nyl\potentn¥m klassa n , esly
Zn ( R ) = R y n — naymen\ßee çyslo s takym svojstvom. Esly vmesto verxneho
central\noho rqda kol\ca rassmotret\ verxnyj central\n¥j rqd hrupp¥, to po-
luçym opredelenye nyl\potentnoj hrupp¥ klassa n.
Pust\ R — assocyatyvnoe kol\co s edynycej. N. Hupta y F. Levyn [ 5] usta-
novyly, çto esly kol\co R Ly-nyl\potentno klassa n, to mul\typlykatyvnaq
hruppa R*
takΩe nyl\potentna klassa ne v¥ße n.
Sleduq DΩekobsonu [6], kol\co R naz¥vaem radykal\n¥m, esly R = R°.
Poslednee oznaçaet, çto kol\co R sovpadaet so svoym radykalom DΩekobsona
J ( R ). DΩennynhs [7] dokazal, çto prysoedynennaq hruppa R° radykal\noho
kol\ca R nyl\potentna tohda y tol\ko tohda, kohda kol\co R Ly-nyl\potent-
no. On takΩe predpoloΩyl, çto klass¥ nyl\potentnosty kol\ca Ly, assocy-
yrovannoho s R, y hrupp¥ R° sovpadagt, y πto b¥lo podtverΩdeno Du [8], ko-
tor¥j poluçyl sledugwyj rezul\tat: v radykal\nom kol\ce R kaΩd¥j çlen
Zn ( R ) ( n ≥ 0 ) eho verxneho central\noho rqda sovpadaet s sootvetstvugwym
çlenom Zn ( R° ) ( n ≥ 0 ) verxneho central\noho rqda hrupp¥ R°. V sluçae, kohda
kol\co R lokal\no, sootvetstvugwyj rezul\tat b¥l poluçen v rabote [9] y
formulyruetsq sledugwym obrazom: Zn ( R ) * = Zn ( R*
) dlq kaΩdoho n > 0 , hde
Zn ( R*
) — n-j çlen verxneho central\noho rqda hrupp¥ R*
. V çastnosty, mul\-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
ARTYNOVÁ KOL|CA S NYL|POTENTNOJ PRYSOEDYNENNOJ HRUPPOJ 419
typlykatyvnaq hruppa R*
lokal\noho kol\ca R nyl\potentna tohda y tol\ko
tohda, kohda kol\co R Ly-nyl\potentno y klass¥ nyl\potentnosty obeyx
struktur sovpadagt.
Pust\ R — assocyatyvnoe kol\co, neobqzatel\no s edynycej. Amberh y
Q.LP. S¥sak [10] ustanovyly, çto prysoedynennaq poluhruppa Rad
kol\ca R
nyl\potentna klassa n (v sm¥sle A. Mal\ceva [11]) tohda y tol\ko tohda, koh-
da kol\co R Ly-nyl\potentno klassa n. Takym obrazom, esly kol\co R Ly-
nyl\potentno klassa n, to prysoedynennaq hruppa R° takΩe nyl\potentna
klassa ne v¥ße n.
V svqzy s ukazann¥my v¥ße rezul\tatamy predstavlqgt ynteres sledugwye
dve problem¥:
1. Pust\ R — artynovo kol\co, kotoroe poroΩdaetsq svoej prysoedynennoj
hruppoj R°. Budet ly hruppa R° nyl\potentna tohda y tol\ko tohda, kohda
kol\co R Ly-nyl\potentno?
2. Pust\ R — artynovo kol\co, prysoedynennaq hruppa R° kotoroho nyl\-
potentna y poroΩdaet R kak kol\co. V¥polnqetsq ly ravenstvo Zn ( R ) ° =
= Zn ( R° ) dlq kaΩdoho n ≥ 0?
Srazu zametym, çto artynovo kol\co R, prysoedynennaq hruppa R° kotoro-
ho nyl\potentna y ne poroΩdaet R kak kol\co, ne obqzatel\no Ly-nyl\potent-
no. V kaçestve prymera moΩno rassmotret\ kol\co verxnetreuhol\n¥x ( 2 × 2 )-
matryc nad polem yz dvux πlementov.
Yz teorem¥ A v¥tekagt sledugwye utverΩdenyq, kotor¥e dagt reßenyq
postavlenn¥x v¥ße problem.
Teorema S. Pust\ R — artynovo kol\co. Esly prysoedynennaq hruppa R°
nyl\potentna y mnoΩestvo Z ( R ) + R° poroΩdaet R kak kol\co, to:
1) dlq vsex n ≥ 0 v¥polnqetsq ravenstvo Zn ( R ) ° = Zn ( R° );
2) kaΩd¥j ydempotent kol\ca R leΩyt v centre.
Sledstvye V. Pust\ R — artynovo kol\co, poroΩdaemoe mnoΩestvom
Z ( R ) + R°. Tohda prysoedynennaq hruppa R° nyl\potentna v tom y tol\ko v
tom sluçae, kohda kol\co R Ly-nyl\potentno, pryçem klass¥ nyl\potentnos-
ty obeyx struktur sovpadagt.
Kak budet pokazano nyΩe (sm. prymer 3.1), v teoremax A, S y sledstvyy V
uslovye, çto mnoΩestvo Z ( R ) + R° poroΩdaet R kak kol\co, opustyt\ nel\zq.
Symvol R vezde v rabote budet oboznaçat\ assocyatyvnoe kol\co, neobqza-
tel\no s edynycej.
2. Osnovn¥e lemm¥. Podkol\co, poroΩdennoe podmnoΩestvom S ⊂ R, bu-
dem oboznaçat\ çerez 〈 S 〉, pole yz dvux πlementov — çerez F2 . Nekotor¥e
svojstva prysoedynennoj hrupp¥ ustanavlyvagt sledugwye dve lemm¥.
Lemma 2.1. Pust\ J ( R ) — radykal DΩekobsona kol\ca R. Tohda J ( R ) ° —
normal\naq podhruppa v R° y ( R / J ( R ) ) ° ≅ R° / J ( R ) °.
Dokazatel\stvo. Esly r ∈ R°, to r + J ( R ) ∈ ( R / J ( R ) ) °. Esly Ωe r +
+ J ( R ) ∈ ( R / J ( R ) ) °, to suwestvuet πlement s ∈ R takoj, çto r ° s = j ∈ J ( R ).
Pust\ j ′ — prysoedynenno obratn¥j k j. Tohda r ° ( s ° j ′ ) = 0 y, sledovatel\-
no, r prysoedynenno obratym sprava. Analohyçno moΩno dokazat\, çto r pry-
soedynenno obratym sleva y, znaçyt, r ∈ R°.
Estestvennoe otobraΩenye R → R / J ( R ) ynducyruet otobraΩenye ϕ : R° →
→ ( R / J ( R ) ) °. Qsno, çto ϕ qvlqetsq homomorfyzmom hrupp¥ R° na hruppu
( R / J ( R ) ) ° s qdrom Ker ϕ = J ( R ) °. Sohlasno osnovnoj teoreme o homomorfyz-
max ymeem ( R / J ( R ) ) ° ≅ R° / J ( R ) °.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
420 R. G. EVSTAF|EV
Lemma dokazana.
Lemma 2.2. Pust\ kol\co R razlahaetsq v prqmug summu svoyx podkolec
R = R1 ⊕ … ⊕ Rn . Tohda spravedlyv¥ sledugwye utverΩdenyq:
1) prysoedynennaq hruppa R° qvlqetsq prqm¥m proyzvedenyem hrupp Ri°;
2) kol\co R° poroΩdaetsq mnoΩestvom Z ( R ) + R° tohda y tol\ko toh-
da, kohda kaΩdoe kol\co Ri poroΩdaetsq mnoΩestvom Z ( Ri ) + Ri°;
3) kol\co R poroΩdaetsq hruppoj R° v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda
kaΩdoe kol\co Ri poroΩdaetsq svoej prysoedynennoj hruppoj Ri°.
Dokazatel\stvo. UtverΩdenye 1 oçevydno. PokaΩem teper\ spravedly-
vost\ vtoroho utverΩdenyq. Qsno, çto Z ( R ) = Z ( R1 ) ⊕ … ⊕ Z ( Rn ). Dalee, pod-
kol\co, poroΩdennoe mnoΩestvom Z ( R ) + R°, soderΩyt podkol\ca, poroΩden-
n¥e mnoΩestvamy Z ( R1 ) + R1°, … , Z ( Rn ) + Rn°, y, znaçyt, sovpadaet s prqmoj
summoj πtyx podkolec. Poπtomu esly kakoe-to mnoΩestvo Z ( Ri ) + Ri° ne po-
roΩdaet Ri kak kol\co, to y vse kol\co R ne poroΩdaetsq mnoΩestvom
Z ( R ) + R°. Takym obrazom, neobxodymost\ dokazana.
Obratno, pust\ kaΩdoe kol\co Ri poroΩdaetsq mnoΩestvom Z ( Ri ) + Ri°.
Tohda v sylu yzloΩennoho v¥ße podkol\co, poroΩdennoe mnoΩestvom Z ( R ) +
+ R°, sovpadaet s prqmoj summoj kolec R1
, … , Rn , t. e. mnoΩestvo Z ( R ) + R°
poroΩdaet R kak kol\co.
Dokazatel\stvo tret\eho utverΩdenyq provodytsq analohyçno.
Lemma dokazana.
Sledugwaq lemma opys¥vaet artynov¥ kol\ca, kotor¥e poroΩdagtsq svoej
prysoedynennoj hruppoj. Sootvetstvugwyj rezul\tat dlq koneçn¥x kolec s
edynycej, poroΩdaem¥x svoej mul\typlykatyvnoj hruppoj, b¥l poluçen v [12].
Zametym, çto esly artynovo kol\co poroΩdaetsq svoej prysoedynennoj hrup-
poj, to ono obqzatel\no poroΩdaetsq y svoej mul\typlykatyvnoj hruppoj. Ob-
ratnoe utverΩdenye ne vsehda verno.
Lemma 2.3. Prysoedynennaq hruppa R° artynova kol\ca R tohda y tol\-
ko tohda poroΩdaet R kak kol\co, kohda kaΩdaq prostaq komponenta polu-
prostoho kol\ca R / J ( R ) otlyçna ot F2 .
Dokazatel\stvo. PokaΩem snaçala, çto hruppa R° poroΩdaet R kak
kol\co tohda y tol\ko tohda, kohda faktor-kol\co R / J ( R ) poroΩdaetsq svoej
prysoedynennoj hruppoj.
Dejstvytel\no, esly R = 〈 R° 〉, to kaΩd¥j πlement kol\ca R moΩno pred-
stavyt\ v vyde lynejnoj kombynacyy πlementov yz R° s cel¥my koπffycyen-
tamy y, znaçyt, faktor-kol\co R / J ( R ) poroΩdaetsq svoej prysoedynennoj
hruppoj. Obratno, pust\ hruppa ( R / J ( R ) ) ° poroΩdaet R / J ( R ) kak kol\co.
Tohda kaΩd¥j πlement kol\ca R moΩno zapysat\ v vyde summ¥ lynejnoj kom-
bynacyy πlementov yz R° s cel¥my koπffycyentamy y nekotoroho πlementa yz
J ( R ). Poskol\ku J ( R ) = J ( R ) °, hruppa R° poroΩdaet R kak kol\co. Takym
obrazom, dostatoçno najty uslovyq, pry kotor¥x faktor-kol\co R / J ( R ) po-
roΩdaetsq svoej prysoedynennoj hruppoj.
Sohlasno teoreme Vedderberna – Artyna ymeem R / J ( R ) ≅ S1 ⊕ … ⊕ Sk , hde
Si , i = 1, … , k, — polnoe matryçnoe kol\co nad telom. Yzvestno, çto prysoedy-
nennaq hruppa S° polnoho matryçnoho kol\ca S nad telom poroΩdaet S kak
kol\co vsehda, krome sluçaq S = F2 , dlq kotoroho ymeem F2° = 0. Sledova-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
ARTYNOVÁ KOL|CA S NYL|POTENTNOJ PRYSOEDYNENNOJ HRUPPOJ 421
tel\no, v sylu lemm¥ 2.2 faktor-kol\co R / J ( R ) poroΩdaetsq svoej prysoe-
dynennoj hruppoj tohda y tol\ko tohda, kohda kaΩdaq prostaq komponenta Si
otlyçna ot F2 .
Lemma dokazana.
Napomnym, çto kol\co naz¥vaetsq prqmo nerazloΩym¥m, esly πto kol\co
nel\zq predstavyt\ v vyde prqmoj summ¥ dvux nenulev¥x ydealov.
Qsno, çto esly kol\co R razloΩymo v prqmug summu ydealov, to yzuçenye
stroenyq kol\ca R svodytsq k yzuçenyg stroenyq kaΩdoho ydeala. Sledova-
tel\no, dostatoçno rassmatryvat\ kol\ca, kotor¥e nerazloΩym¥ v prqmug
summu ydealov.
Ydempotent¥ 0 y 1 naz¥vagtsq tryvyal\n¥my.
Lemma 2.4. Esly kol\co R prqmo nerazloΩymo, to v centre kol\ca R le-
Ωat tol\ko tryvyal\n¥e ydempotent¥.
Dokazatel\stvo. Zametym, çto esly e — central\n¥j ydempotent, to
kol\co R razlahaetsq v prqmug summu ydealov R = e R ⊕ V , hde V = { r –
– e r | r ∈ R }. Poskol\ku R prqmo nerazloΩymo, to lybo e R = 0, lybo V = 0. V
pervom sluçae zaklgçaem, çto e = 0. Esly Ωe V = 0, to dlq kaΩdoho r ∈ R
ymeem r = r e = e r y, znaçyt, e — edynyca kol\ca R.
Lemma dokazana.
3. Dokazatel\stvo teorem¥ A. Annulqtorom kol\ca R naz¥vaetsq mno-
Ωestvo vsex πlementov a ∈ R, dlq kotor¥x a R = R a = 0. Sledugwaq lemma
xarakteryzuet poluprost¥e artynov¥ kol\ca s nyl\potentnoj prysoedynennoj
hruppoj.
Lemma 3.1. Esly prysoedynennaq hruppa R ° artynova kol\ca R nyl\po-
tentna, to faktor-kol\co R / J ( R ) razloΩymo v prqmug summu polej.
Dokazatel\stvo. Yz teorem¥ Vedderberna – Artyna sleduet, çto
R / J ( R ) ≅ S1 ⊕ … ⊕ Sk , hde Si , i = 1, … , k, — polnoe matryçnoe kol\co nad te-
lom. Poπtomu prysoedynennaq hruppa faktor-kol\ca R / J ( R ) yzomorfna prq-
momu proyzvedenyg hrupp Si° . Poskol\ku hruppa R° nyl\potentna, to v sylu
lemm¥ 2.1 hruppa Si° nyl\potentna dlq kaΩdoho i. Yzvestno, çto prysoedy-
nennaq hruppa kol\ca ( n × n )-matryc nad telom D nyl\potentna tol\ko tohda,
kohda n = 1. Bolee toho, mul\typlykatyvnaq hruppa tela D nyl\potentna
tol\ko v tom sluçae, kohda D kommutatyvno [13]. Sledovatel\no, faktor-
kol\co R / J ( R ) est\ prqmaq summa polej.
Lemma dokazana.
Lemma 3.2. Pust\ kol\co R artynovo y prqmo nerazloΩymo. Esly prysoe-
dynennaq hruppa R° nyl\potentna y mnoΩestvo Z ( R ) + R° poroΩdaet R
kak kol\co, to R lybo lokal\no, lybo nyl\potentno.
Dokazatel\stvo. Pust\ M — mynymal\n¥j ydeal kol\ca R. Tohda ymeem
lybo M J ( R ) = M, lybo M J ( R ) = 0. Esly M J ( R ) = M, to M = M J ( R ) =
= M J ( R ) 2 = … = M J ( R ) k = 0, tak kak J ( R ) k = 0 dlq nekotoroho çysla k. Polu-
çyly protyvoreçye, poskol\ku ydeal M nenulevoj. Takym obrazom, M J ( R ) = 0.
DokaΩem teper\, çto M soderΩytsq v centre kol\ca R. Oboznaçym M ∩
∩ Z ( R ) çerez K. Sohlasno lemme 3.1 faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno y,
znaçyt, dlq lgb¥x r, s ∈ R πlement r s – s r leΩyt v J ( R ). Tohda dlq kaΩdoho
k ∈ K ymeem k ( r s – s r ) = 0. Poskol\ku k leΩyt v centre kol\ca R, to ( k r ) s =
= s ( k r ) y, sledovatel\no, k r ∈ Z ( R ). Analohyçno moΩno pokazat\, çto r k ∈
∈ Z ( R ). Krome toho, k r ∈ M y r k ∈ M. Takym obrazom, K — ydeal. Na osnova-
nyy mynymal\nosty M zaklgçaem, çto K = M yly K = 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
422 R. G. EVSTAF|EV
Vsledstvye toho çto M ∩ J ( R ) qvlqetsq ydealom, lybo M ⊂ J ( R ), lybo
M ∩ J ( R ) = 0. PredpoloΩym snaçala, çto M ⊂ J ( R ). Poskol\ku hruppa R°
nyl\potentna y M° — normal\naq podhruppa v R°, pereseçenye M° s centrom
R° netryvyal\no. Dalee, tak kak mnoΩestvo Z ( R ) + R° poroΩdaet R kak
kol\co, kaΩd¥j πlement yz centra R° leΩyt v Z ( R ). Poslednee oznaçaet, çto
M ∩ Z ( R ) ≠ 0. Sledovatel\no, K = M y M ⊂ Z ( R ).
Pust\ teper\ M ∩ J ( R ) = 0. Poskol\ku [ M, R ] ⊂ M y [ M, R ] ⊂ J ( R ), to [ M,
R ] = 0. Takym obrazom, M ⊂ Z ( R ).
Yzvestno, çto kaΩdaq kvazycyklyçeskaq podhruppa artynova kol\ca leΩyt
v annulqtore. Poπtomu summa vsex kvazycyklyçeskyx podhrupp kol\ca R qv-
lqetsq ydealom v R, kotor¥j oboznaçym çerez N. Esly R ne soderΩyt kvazy-
cyklyçeskyx podhrupp, to poloΩym N = 0. Faktor-kol\co R = R / N ne soder-
Ωyt kvazycyklyçeskyx podhrupp, y poπtomu v nem v¥polnqetsq uslovye maksy-
mal\nosty dlq prav¥x ydealov.
Esly R = 0, to R = N y, znaçyt, R — nyl\potentnoe kol\co. Predpolo-
Ωym, çto R ≠ 0. Poskol\ku R neterovo, v kol\ce R suwestvuet cepoçka
ydealov
R = L0 � L1 � … � Lk � Lk + 1 = N,
v kotoroj Ln + 1 — ydeal, maksymal\n¥j v Ln , n = 0, … , k.
Faktoryzuq po Ln + 1 , poluçaem, çto Ln / Ln + 1 — mynymal\n¥j ydeal
faktor-kol\ca R / Ln + 1 , soderΩawyjsq v eho centre. Pust\ e — proyzvol\n¥j
ydempotent kol\ca R. Tohda [ e, Ln ] ⊂ Ln + 1 dlq kaΩdoho n.
DokaΩem teper\, çto e R — ydeal. Dlq proyzvol\n¥x r, s ∈ R ymeem s e r =
= e s e r + [ s, e ] e r. Sledovatel\no, Ln e R ⊂ e R + [ e, Ln ] e R ⊂ e R + Ln + 1 e R dlq
kaΩdoho n. Teper\ zametym, çto R e R ⊂ e R + L1 e R ⊂ e R + L2 e R ⊂ … ⊂ e R +
+ N e R = e R. Analohyçno moΩno dokazat\, çto R e — ydeal.
Rassmotrym prav¥j V = { r – e r | r ∈ R } y lev¥j W = { r – e r | r ∈ R } ydeal¥.
PokaΩem, çto V — ydeal. Dlq kaΩdoho r – e r ∈ V y dlq kaΩdoho s ∈ R ymeem
s r – s e r = s r – e s r + e s e r – s e r + [ e, s ] r – [ e, s ] e r. Sledovatel\no, Ln V ⊂ V + [ e,
Ln ] V ⊂ V + Ln + 1 V dlq kaΩdoho n. Dalee, R V ⊂ V + L1 V ⊂ V + L2 V ⊂ … ⊂ V +
+ N V = V. Provodq analohyçn¥e rassuΩdenyq, moΩno pokazat\, çto W —
ydeal.
Qsno, çto kol\co R razlahaetsq v prqmug summu ydealov R = e R ⊕ V .
Poskol\ku R prqmo nerazloΩymo, lybo e R = 0, lybo V = 0. V pervom sluçae
delaem v¥vod, çto e = 0. Esly Ωe V = 0, to dlq lgboho r ∈ R ymeem r = e r.
Analohyçno, rassmatryvaq razloΩenye R = R e ⊕ W, poluçaem, çto r e = r dlq
kaΩdoho r ∈ R. No tohda e — edynyca kol\ca R. Poπtomu R soderΩyt tol\ko
tryvyal\n¥e ydempotent¥ y, znaçyt, qvlqetsq lybo lokal\n¥m, lybo nyl\po-
tentn¥m kol\com.
Lemma dokazana.
Dokazatel\stvo teorem¥ A. PredpoloΩym, çto prysoedynennaq hruppa
R° nyl\potentna y mnoΩestvo Z ( R ) + R° poroΩdaet R kak kol\co. Kol\co R
qvlqetsq prqmoj summoj koneçnoho çysla prqmo nerazloΩym¥x kolec
R = R1 ⊕ … ⊕ Rn . (3.1)
Poskol\ku hruppa R° nyl\potentna y R° = R1° × … × Rn°, hruppa Ri° nyl\po-
tentna dlq kaΩdoho i = 1, … , n. Esly v kol\ce Ri est\ edynyca, to vsledstvye
yzomorfyzma hrupp Ri° y Ri
*
mul\typlykatyvnaq hruppa Ri
*
budet takΩe
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
ARTYNOVÁ KOL|CA S NYL|POTENTNOJ PRYSOEDYNENNOJ HRUPPOJ 423
nyl\potentnoj. Krome toho, v sylu lemm¥ 2.2 ymeem Ri = 〈 Z ( Ri ) + Ri°〉. Sledo-
vatel\no, sohlasno lemme 3.2 kaΩdoe yz kolec Ri budet lybo nyl\potentn¥m,
lybo lokal\n¥m. Dalee, tak kak prqmaq summa nyl\potentn¥x kolec qvlqetsq
opqt\ nyl\potentn¥m kol\com, poluçaem utverΩdenye teorem¥.
Obratno, pust\ kol\co R qvlqetsq prqmoj summoj koneçnoho çysla ydea-
lov, kaΩd¥j yz kotor¥x qvlqetsq lybo nyl\potentn¥m kol\com, lybo lokal\-
n¥m kol\com s nyl\potentnoj mul\typlykatyvnoj hruppoj y ymeet razloΩe-
nye (3.1). Qsno, çto v πtom sluçae prysoedynennaq hruppa R° qvlqetsq prqm¥m
proyzvedenyem nyl\potentn¥x hrupp y, znaçyt, sama nyl\potentna. Poskol\ku
nyl\potentnoe kol\co sovpadaet so svoej prysoedynennoj hruppoj y lokal\noe
kol\co poroΩdaetsq svoej mul\typlykatyvnoj hruppoj, kaΩdoe yz kolec Ri
poroΩdaetsq mnoΩestvom Z ( Ri ) + Ri°. Sledovatel\no, v sylu lemm¥ 2.2 mno-
Ωestvo Z ( R ) + R° poroΩdaet R kak kol\co.
Teorema dokazana.
Prymer 3.1. Artynovo kol\co R s nyl\potentnoj prysoedynennoj hrup-
poj R°, nerazloΩymoe v prqmug summu ydealov, ne obqzano b¥t\ lokal\n¥m
yly nyl\potentn¥m.
Dejstvytel\no, rassmotrym kol\co ( 2 × 2 )-matryc
R =
F F2 2
0 0
.
Kol\co R ne qvlqetsq lokal\n¥m, poskol\ku ne soderΩyt edynyc¥, y ne qvlq-
etsq nyl\potentn¥m, tak kak soderΩyt nenulevoj ydempotent. Lehko prove-
ryt\, çto
J ( R ) =
0
0 0
2F
y R / J ( R ) ≅ F2 .
Zametym ewe, çto yz razloΩenyq, ukazannoho v sledstvyy A, ne sleduet, çto
kol\co poroΩdaetsq svoej mul\typlykatyvnoj hruppoj. V samom dele, v kol\-
ce R = F2 ⊕ F2 podkol\co, poroΩdennoe mul\typlykatyvnoj hruppoj R*
, sos-
toyt yz dvux πlementov ( 0, 0 ) y ( 1, 1 ).
Dokazatel\stvo teorem¥ S. Yz teorem¥ A sleduet, çto kol\co R qvlq-
etsq prqmoj summoj koneçnoho çysla ydealov, kaΩd¥j yz kotor¥x qvlqetsq
lybo nyl\potentn¥m kol\com, lybo lokal\n¥m kol\com. Poskol\ku lokal\-
n¥e kol\ca ymegt tol\ko tryvyal\n¥e ydempotent¥, kaΩd¥j ydempotent
kol\ca R central\n¥j, t. e. utverΩdenye 2 spravedlyvo.
Spravedlyvost\ utverΩdenyq 1 dlq nyl\potentn¥x y lokal\n¥x kolec b¥la
pokazana v rabotax sootvetstvenno [8, 9]. Sledovatel\no, esly R ymeet razlo-
Ωenye (3.1), to Zn ( Ri ) ° = Z Rn i( °) dlq vsex n ≥ 0. No tohda prqmaq summa ymeet
to Ωe svojstvo, t. e. Zn ( R ) ° = Zn ( R° ).
Teorema dokazana.
4. Dokazatel\stvo teorem¥ B. Addytyvnug hruppu kol\ca R budem oboz-
naçat\ çerez R+
, centr prysoedynennoj hrupp¥ R° — çerez Z ( R° ). Sledug-
waq lemma opys¥vaet koneçn¥e kol\ca s nyl\potentnoj prysoedynennoj
hruppoj, nerazloΩym¥e v prqmug summu ydealov.
Lemma 4.1. Pust\ kol\co R koneçno y prqmo nerazloΩymo. Tohda R+
qv-
lqetsq p-hruppoj dlq nekotoroho prostoho çysla p. Esly, krome toho, pry-
soedynennaq hruppa R° nyl\potentna, to J ( R ) ° qvlqetsq sylovskoj p-pod-
hruppoj v R° y R° = G × J ( R ) °, hde G ⊂ Z ( R° ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
424 R. G. EVSTAF|EV
Dokazatel\stvo. Yzvestno, çto lgboe artynovo kol\co qvlqetsq prqmoj
summoj nekotoroho artynova kol\ca bez kruçenyq y koneçnoho çysla artynov¥x
p-kolec. Poπtomu yz koneçnosty y nerazloΩymosty kol\ca R v prqmug summu
ydealov sleduet, çto R+
qvlqetsq p-hruppoj dlq nekotoroho prostoho çysla
p. Poskol\ku | J ( R ) ° | = | J ( R ) | y J ( R ) qvlqetsq podhruppoj R+
, J ( R ) ° — p-
hruppa.
Esly hruppa R ° nyl\potentna, to sohlasno lemme 3.1 faktor-kol\co
R / J ( R ) razloΩymo v prqmug summu polej. Dalee, tak kak | R / J ( R ) | = pk
, xa-
rakterystyka kaΩdoho polq ravna p y, sledovatel\no, hruppa vsex obratym¥x
πlementov kaΩdoho yz πtyx polej ymeet porqdok, vzaymno prostoj s p. Otsgda
sleduet, çto porqdok mul\typlykatyvnoj hrupp¥ ( R / J ( R ) ) *, qvlqgwejsq
prqm¥m proyzvedenyem takyx hrupp, takΩe vzaymno prost s p. Poskol\ku
mul\typlykatyvnaq y prysoedynennaq hrupp¥ faktor-kol\ca R / J ( R ) yzo-
morfn¥, v sylu lemm¥ 2.1 ymeem ( | R° / J ( R ) ° |, p ) = 1, t. e. J ( R ) ° — sylovskaq
p-podhruppa v R°.
Vsledstvye toho çto R° nyl\potentna y koneçna, ona predstavyma v vyde
prqmoho proyzvedenyq svoyx sylovskyx p-podhrupp. Takym obrazom, R° = G ×
× J ( R ) °, hde G ≅ R° / J ( R ) ° y ( | G |, p ) = 1. Poskol\ku hruppa G abeleva, to
G ⊂ Z ( R° ).
Lemma dokazana.
Lemma 4.2. Pust\ R+
qvlqetsq p-hruppoj y r = z + s ∈ R dlq z ∈ Z ( R )
y s ∈ R. Esly s — nyl\potentn¥j πlement, to suwestvuet takoe çyslo k,
çto rk = zk
.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto porqdok πlementa z v R+
raven pk
y
sn
+
1 = 0. V¥berem m tak, çto pm
— naybol\ßaq stepen\ p, delqwaq n! . Toh-
da r
p
k
+
m
= ( z + s ) p
k
+
m
= C z s
p
t p t t
t
k m
k m
+
+ −∑ . Lehko proveryt\, çto C
p
t
k m+
delytsq na pk pry t = 1, … , n. Takym obrazom, r
p
k
+
m
= z
p
k
+
m
.
Lemma dokazana.
Teorema 4.1. Pust\ R — koneçnoe kol\co, poroΩdaemoe svoej prysoedynen-
noj hruppoj R°. Tohda hruppa R° nyl\potentna v tom y tol\ko v tom sluçae,
kohda R = Z ( R ) + J ( R ).
Dokazatel\stvo. Kak b¥lo zameçeno v¥ße, dostatoçno rassmatryvat\
kol\ca, nerazloΩym¥e v prqmug summu ydealov.
Pust\ R° nyl\potentna. Yz lemm¥ 4.1 sleduet, çto R° = G × J ( R ) °, hde
G ⊂ Z ( R° ). Poskol\ku R° poroΩdaet R kak kol\co, kaΩd¥j πlement yz R za-
pys¥vaetsq v vyde lynejnoj kombynacyy πlementov yz R° s cel¥my koπffycy-
entamy, y poπtomu G ⊂ Z ( R ). Pust\ A — podkol\co, poroΩdennoe hruppoj G .
Tohda R = A + J ( R ) y A ⊂ Z ( R ). Sledovatel\no, R = Z ( R ) + J ( R ).
DokaΩem obratnoe utverΩdenye. Pust\ r = z + j ∈ R°, hde z ∈ Z ( R ), j ∈
∈ J ( R ), y s — prysoedynenno obratn¥j k r. Tohda 0 = r ° s = z ° s + j + j s y,
znaçyt, z ° s = – j – j s ∈ J ( R ). Sledovatel\no, z ° s ∈ R° y poπtomu z ∈ R°. Esly
y — prysoedynenno obratn¥j k z, to r = z + j = z ° ( j + y j ) y, takym obrazom,
hruppa R° razlahaetsq v proyzvedenye hrupp Z ( R ) ° y J ( R ) °. Poskol\ku
J ( R ) ° nyl\potentna, hruppa R° takΩe nyl\potentna.
Teorema dokazana.
Rassmotrym teper\ sluçaj, kohda koneçnoe kol\co ne poroΩdaetsq svoej
prysoedynennoj hruppoj.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
ARTYNOVÁ KOL|CA S NYL|POTENTNOJ PRYSOEDYNENNOJ HRUPPOJ 425
Lemma 4.3. Pust\ kol\co R koneçno y prqmo nerazloΩymo. Esly hruppa
R° nyl\potentna y ne poroΩdaet R kak kol\co, to R / J ( R ) ≅ F2 ⊕ … ⊕ F2
.
Dokazatel\stvo. Kak sleduet yz lemm¥ 2.3, hruppa R° ne poroΩdaet R
kak kol\co tol\ko tohda, kohda v razloΩenyy faktor-kol\ca R / J ( R ) est\ po-
lq yz dvux πlementov. Sohlasno lemme 4.1 πto vleçet, çto R+
qvlqetsq 2-
hruppoj, J ( R ) ° — sylovskaq 2-podhruppa v R° y R° = G × J ( R ) °, hde G ⊂
⊂ Z ( R° ).
PokaΩem, çto G ⊂ Z ( R ). Poskol\ku G ⊂ Z ( R° ), kaΩd¥j πlement yz G pe-
restanovoçen s kaΩd¥m πlementom yz J ( R ). Uçyt¥vaq, çto faktor-kol\co
R / J ( R ) kommutatyvno, poluçaem, çto dlq lgboho g ∈ G y dlq lgboho r ∈ R
suwestvuet takoj πlement j ∈ J ( R ), çto g ° r ° g′ = r + j, hde g′ — prysoedy-
nenno obratn¥j k g. PredpoloΩym, çto porqdok πlementa j v R+
raven 2k
.
Tohda
g g
k
� �� �� ��…
2
° r °
g g
k
′ … ′� �� �� ��
2
= r + 2k
j = r . Poskol\ku porqdok G neçetn¥j,
to g ° r ° g′ = r. Takym obrazom, G ⊂ Z ( R ).
Sohlasno lemme 3.1 faktor-kol\co R / J ( R ) razloΩymo v prqmug summu
polej, y poπtomu eho moΩno predstavyt\ v vyde R / J ( R ) = S1 ⊕ S2 , hde S1 —
prqmaq summa polej, kaΩdoe yz kotor¥x otlyçno ot polq F2
, y S2 = L / J ( R ).
Pust\ K — ydeal v R takoj, çto K / J ( R ) = S1
. Tak kak S2° = 0, to R° / J ( R ) ° ≅
≅ K° / J ( R ) ° y, znaçyt, R° = K°. Qsno, çto hruppa K° nyl\potentna y sohlasno
lemme 2.3 poroΩdaet K kak kol\co. Sledovatel\no, K = A + J ( R ), hde A = 〈 G 〉
y A ⊂ Z ( R ). Yz πtoho razloΩenyq y lemm¥ 4.2 sleduet, çto kaΩd¥j ydempo-
tent kol\ca K leΩyt v centre R. Sohlasno lemme 2.4 v centre R leΩat
tol\ko tryvyal\n¥e ydempotent¥. Takym obrazom, vozmoΩn¥ dva sluçaq: lybo
edynstvenn¥m ydempotentom kol\ca K est\ 0 y tohda R = L, lybo K soder-
Ωyt edynycu kol\ca R y tohda S2 = 0. Poslednee, odnako, nevozmoΩno, pos-
kol\ku v razloΩenyy faktor-kol\ca R / J ( R ) est\ polq yz dvux πlementov.
Sledovatel\no, R = L.
Lemma dokazana.
Dokazatel\stvo teorem¥ B . Kol\co R razlahaetsq v prqmug summu
koneçnoho çysla prqmo nerazloΩym¥x kolec
R = R1 ⊕ … ⊕ Rn .
Esly nekotoroe Ri poroΩdaetsq svoej prysoedynennoj hruppoj Ri°, to v sylu
teorem¥ 4.1 Ri = Z ( Ri ) + J ( Ri ). V protyvnom sluçae sohlasno lemme 4.3 ymeem
Ri / J ( Ri ) ≅ F2 ⊕ … ⊕ F2 y, takym obrazom, Ri soderΩytsq v ydeale L kol\ca
R, kotor¥j b¥l opredelen vo vvedenyy. Poskol\ku Z ( R ) = Z ( R1 ) ⊕ … ⊕ Z ( Rn )
y J ( R ) = J ( R1 ) ⊕ … ⊕ J ( Rn ), to R = Z ( R ) + L.
Obratno, pust\ R = Z ( R ) + L. Çtob¥ dokazat\, çto hruppa R° nyl\potentna,
dostatoçno ohranyçyt\sq sluçaem, kohda kol\co R nerazloΩymo v prqmug
summu ydealov. Pust\ r = z + l ∈ R°, hde z ∈ Z ( R ), l ∈ L, y s — prysoedynenno
obratn¥j k r. Poskol\ku s = z′ + l′, hde z′ ∈ Z ( R ), l′ ∈ L, to 0 = r ° s = z ° z ′ +
+ l ° l′ + z l′ + z′ l y, znaçyt, z ° z ′ = m ∈ L. Yz opredelenyq ydeala L sleduet,
çto m2 = m + j dlq nekotoroho j ∈ J ( R ). Poπtomu sohlasno lemme 4.2 suwest-
vuet takoe çyslo k, çto ( m2
) k = mk
. Sledovatel\no, e = mk
— central\n¥j
ydempotent kol\ca R. V sylu lemm¥ 2.4 ymeem lybo e = 1, lybo e = 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
426 R. G. EVSTAF|EV
V pervom sluçae 1 ∈ L, tak çto R = L y, takym obrazom, R° = L° = J ( R ) ° —
nyl\potentnaq hruppa. Vo vtorom Ωe sluçae mk = 0 y poπtomu z ° z ′ = m ∈ R°.
No tohda πlement z prysoedynenno obratym, y esly y — prysoedynenno obrat-
n¥j k z, yz ravenstva r ° y = ( z + l ) ° y = l + l y sleduet, çto l + l y ∈ L ∩ R° = L°.
Poskol\ku L° = J ( R ) °, to l + l y ∈ J ( R ) y, znaçyt, l ∈ J ( R ). Sledovatel\no,
hruppa R° razlahaetsq v proyzvedenye hrupp Z ( R ) ° y J ( R ) °. Dalee, tak kak
J ( R ) ° nyl\potentna, hruppa R° takΩe nyl\potentna.
1. At\q M., Makdonal\d Y. Vvedenye v kommutatyvnug alhebru. – M.: Myr, 1972. – 160 s.
2. Fisher I., Eldridge K. E. D.C.C. rings with a cyclic group of units // Duke Math. J. – 1967. – 34. –
P. 243 – 248.
3. Fisher I., Eldridge K. E. Artinian rings with cyclic quasi-regular groups // Ibid. – 1969. – 36, # 1.
– P. 43 – 47.
4. Groza G. Artinian rings having a nilpotent group of units // J. Algebra. – 1989. – 121, # 2. –
P. 253 – 262.
5. Gupta N., Levin F. On the Lie ideals of a ring // Ibid. – 1983. – 81, # 1. – P. 225 – 231.
6. Jacobson N. Structure of rings // Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. – 1964. – 37.
7. Jennings S. A. Radical rings with nilpotent associated groups // Trans. Roy. Soc. Can. – 1955. –
49, # 3. – P. 31 – 38.
8. Du X. The centers of a radical ring // Can. Math. Bull. – 1992. – 35. – P. 174 – 179.
9. Catino F., Miccoli M. M. Local rings whose multiplicative group is nilpotent // Arch. Math.
(Basel). – 2003. – 81, # 2. – P. 121 – 125.
10. Amberg B., Sysak Ya. P. Associative rings whose adjoint semigroup is locally nilpotent // Ibid. –
2001. – 76. – P. 426 – 435.
11. Mal\cev A. Nyl\potentn¥e poluhrupp¥ // Uç. zap. Yvanov. ped. yn-ta. Ser. fyz.-mat.
nauky. – 1953. – 4. – S. 107 – 111.
12. Stewart I. Finite rings with a specified group of units // Math. Z. – 1972. – 126, # 1. – S. 51 – 58.
13. Xuzurbazar M. Y. Mul\typlykatyvnaq hruppa tela // Dokl. AN SSSR. – 1960. – 131, # 6. –
S. 1268 – 1271.
Poluçeno 20.09.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3464 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:02Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4b/a47ec8dd4019b5824a149ae325d9944b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34642020-03-18T19:55:07Z Artinian rings with nilpotent adjoint group Артиновы кольца с нильпотентной присоединенной группой Evstaf’ev, R. Yu. Євстафьєв, Р. Ю. Let $R$ be an Artinian ring (not necessarily with unit element), let $Z(R)$ be its center, and let $R ^{\circ}$ be the group of invertible elements of the ring $R$ with respect to the operation $a ∘ b = a + b + ab$. We prove that the adjoint group $R ^{\circ}$ is nilpotent and the set $Z (R) + R ^{\circ}$ generates $R$ as a ring if and only if $R$ is the direct sum of finitely many ideals each of which is either a nilpotent ring or a local ring with nilpotent multiplicative group. Нехай $R$ — артинове кільце, необов'язково з одиницею, $Z(R)$ — його центр i $R ^{\circ}$ — група оборотних елементів кільця $R$ відносно операції $a ∘ b = a + b + ab$. Доводиться, що приєднана група $R ^\circ$ нільпотентна та множина $Z (R) + R ^{\circ}$ породжує $R$ як кільце тоді і тільки тоді, коли $R$ є прямою сумою скінченного числа ідеалів, кожен з яких є або нільпотентним кільцем, або локальним кільцем з нільпотентною мультиплікативною групою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3464 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 3 (2006); 417–426 Український математичний журнал; Том 58 № 3 (2006); 417–426 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3464/3665 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3464/3666 Copyright (c) 2006 Evstaf’ev R. Yu. |
| spellingShingle | Evstaf’ev, R. Yu. Євстафьєв, Р. Ю. Artinian rings with nilpotent adjoint group |
| title | Artinian rings with nilpotent adjoint group |
| title_alt | Артиновы кольца с нильпотентной присоединенной группой |
| title_full | Artinian rings with nilpotent adjoint group |
| title_fullStr | Artinian rings with nilpotent adjoint group |
| title_full_unstemmed | Artinian rings with nilpotent adjoint group |
| title_short | Artinian rings with nilpotent adjoint group |
| title_sort | artinian rings with nilpotent adjoint group |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3464 |
| work_keys_str_mv | AT evstafevryu artinianringswithnilpotentadjointgroup AT êvstafʹêvrû artinianringswithnilpotentadjointgroup AT evstafevryu artinovykolʹcasnilʹpotentnojprisoedinennojgruppoj AT êvstafʹêvrû artinovykolʹcasnilʹpotentnojprisoedinennojgruppoj |