Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. II
We develop topological methods for the investigation of operator inclusions in Banach spaces, prove the generalized Ky Fan inequality, and study the critical points of many-valued mappings in topological spaces.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3470 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509565285564416 |
|---|---|
| author | Mel'nik, V. S. Мельник, В. С. Мельник, В. С. |
| author_facet | Mel'nik, V. S. Мельник, В. С. Мельник, В. С. |
| author_sort | Mel'nik, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:55:25Z |
| description | We develop topological methods for the investigation of operator inclusions in Banach spaces, prove the generalized Ky Fan inequality, and study the critical points of many-valued mappings in topological spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
V. S. Mel\nyk
(Yn-t prykl. systemn. analyza NAN Ukrayn¥ y M-va obrazovanyq y nauky Ukrayn¥, Kyev)
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX
VKLGÇENYJ V BANAXOVÁX PROSTRANSTVAX. II
Topological methods of the investigation of operator inclusions in Banach spaces are developed. The
Kee Fan generalized inequality is proved and critical points of many-valued mappings in topological
spaces are investigated.
Rozroblqgt\sq topolohiçni metody doslidΩennq operatornyx vklgçen\ u banaxovyx prostorax.
Dovedeno uzahal\nenu nerivnist\ Ki Fanq ta doslidΩeno krytyçni toçky bahatoznaçnyx vidobra-
Ωen\ u topolohiçnyx prostorax.
Nastoqwaq rabota qvlqetsq prodolΩenyem [1], poπtomu v nej prodolΩena nu-
meracyq punktov, teorem, formul y t. d.
3. Obobwennaq nesymmetryçnaq teorema o mynymakse y nuly mul\ty-
otobraΩenyj. Pryvedenn¥e zdes\ rezul\tat¥ çastyçno anonsyrovan¥ v [8].
Pust\ X — xausdorfovo topolohyçeskoe prostranstvo, Y — topolohyçes-
koe vektornoe prostranstvo, N — v¥pukloe podmnoΩestvo v Y , f : X × N → R
— nekotoraq funkcyq. Krome toho, pust\ Bc N X( ; ) — sovokupnost\ vsex
strohyx poluneprer¥vn¥x sverxu mnohoznaçn¥x otobraΩenyj [9] s
kompaktn¥my znaçenyqmy (obrazamy).
Dlq kaΩdoho D N Xc∈B ( ; ) poloΩym
f D#( ) = sup inf ( ( ), )
y N d D
f d y y
∈ ∈
, f D◊( ) = inf sup ( ( ), )
d D y N
f d y y
∈ ∈
,
hde zapys\ d ∈ D oznaçaet, çto d — selektor mnohoznaçnoho otobraΩenyq D
( t. e. d ( y ) ∈ D ( y ) ∀ y ∈ N ) . Oçevydno, v¥polnqetsq neravenstvo
f D#( ) ≤ f D◊( ) ∀ D N Xc∈B ( ; ).
Teorema.1. Pust\ v¥polnen¥ sledugwye uslovyq:
1) najdetsq y0 ∈ N takoe, çto dlq lgboho λ ∈ R mnoΩestvo {x X∈
f x y( , ) }0 ≤ λ otnosytel\no kompaktno v X ;
2) dlq lgboho y ∈ N funkcyq X � x � f ( x, y ) poluneprer¥vna snyzu, a
dlq lgboho x ∈ X funkcyq N � y � f ( x, y ) vohnuta.
Tohda suwestvuet πlement x X∈ takoj, çto
sup ( , )
y N
f x y
∈
≤ f D#( ) ≤ f D◊( ) ∀ D N Xc∈B ( ; ). (15)
Dokazatel\stvo. Pust\ Ξ ( N ) — sovokupnost\ vsex koneçn¥x podmno-
Ωestv v N . V sylu teorem¥ 6.2.6 [10] najdetsq takoj πlement x X∈ , çto
sup ( , )
y N
f x y
∈
= sup inf sup ( , )
( )K N x X y K
f x y
∈ ∈ ∈Ξ
. (16)
PoloΩym K = { y1 , … , yn } y Sn
+ = λ λ∈ ={ }+ =∑Rn
ii
n
1
1
. Poskol\ku N —
v¥pukloe mnoΩestvo, to K N⊂ , pryçem D K X( )co ⊂ ∀ ∈D N XcB ( ; ). V takom
sluçae
inf max ( , )
, ,x X i n if x y
∈ = …1
= inf sup ( , )
x X
S i
n
i i
n
f x y
∈ ∈ =+
∑
λ
λ
1
≤ inf sup ( , )
( )x D K
S i
n
i i
n
f x y
∈ ∈ =+
∑
co λ
λ
1
≤
≤ inf sup ,
µ λ
λ µ
∈ ∈ = =+ +
∑ ∑
S S i
n
i i
j
n
j j in n
f d y y
1 1
, (17)
© V. S. MEL|NYK, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4 505
506 V. S. MEL|NYK
hde d N Xi : → , 1, … , n, — nekotor¥j fyksyrovann¥j nabor selektorov mno-
hoznaçnoho otobraΩenyq D.
Rassmotrym funkcyg F ( µ, λ ) =
i
n
i i j
n
j j if d y y= =∑ ∑( )( )( )1 1
λ µ , , v kotoroj
selektor¥ di ∈ D v¥byragtsq yz uslovyq f d y yi i( ( ), ) = inf ( ( ), )
d D if d y y
∈
∀ y?∈
∈ N .
Vsledstvye poluneprer¥vnosty snyzu funkcyy f po pervomu arhumentu pry
fyksyrovannom vtorom y kompaktnoznaçnosty otobraΩenyq D takye selekto-
r¥ suwestvugt.
PredloΩenye.13. Funkcyq F ( µ, λ ) poluneprer¥vna snyzu po µ pry fyk-
syrovannom λ .
Dokazatel\stvo. DokaΩem vnaçale, çto pry kaΩdom i = 1, … , n funk-
cyq
S F f d y yn
i i i j
n
j j i+ =∈ = ( )( )∑µ µ λ µ� ( ) ,
1
poluneprer¥vna snyzu.
Spravedlyvo sledugwee utverΩdenye, ymegwee samostoqtel\noe znaçenye.
Lemma.3. Pust\ X , Y — xausdorfov¥ topolohyçeskye prostranstva y
G X Y: ⇒ — kompaktnoznaçnoe otobraΩenye.
Tohda sledugwye svojstva ravnosyl\n¥:
a) otobraΩenye G poluneprer¥vno sverxu v toçke x0 ∈ X ;
b) dlq proyzvol\noj napravlennosty { xα } , sxodqwejsq k x0 , y ξ α ∈
∈ G ( xα ) moΩno v¥delyt\ takug podnapravlennost\ { ξν } , çto ξν → ξ0 v
Y y ξ0 ∈ G ( x0 ) .
Dokazatel\stvo. DokaΩem ymplykacyg a) ⇒ b) .
Pust\ otobraΩenye G poluneprer¥vno sverxu v toçke x0 . Rassmotrym pro-
yzvol\nug xα → x0 v X y ξ α ∈ G ( xα ) . Kak yzvestno [9] (utverΩdenye 1.4.8),
otobraΩenye G poluneprer¥vno sverxu v toçke x0 tohda y tol\ko tohda, kohda
yz xα → x0 sleduet, çto mnoΩestvo G ( x0 ) prytqhyvaet napravlennost\
mnoΩestv { G ( xα ) } . Esly pry πtom otobraΩenye G ne udovletvorqet svojstvu
b), to najdetsq xotq b¥ odna napravlennost\ ξα ∈ G ( xα ) , ne ymegwaq
podnapravlennosty, sxodqwejsq v Y k kakomu-lybo πlementu yz G ( x0 ) . ∏to
oznaçaet, çto dlq proyzvol\noho ν ∈ G ( x0 ) suwestvuet okrestnost\ N ( ν ) ,
kotoraq redko vstreçaetsq s napravlennost\g { ξα } , t. e. najdetsq takoe s =
= s ( N ( ν )) , çto { ξα } ∩ N ( ν ) = ∅ ∀ α ≥ s.
Vsledstvye kompaktnosty G ( x0 ) sovokupnost\ { N ( ν ) ν ∈ G ( x0 ) } obrazu-
et pokr¥tye, yz kotoroho moΩno v¥delyt\ koneçnoe podpokr¥tye { N ( νk ) k =
= 1, … , m } . Pry πtom esly α ≥
max ( )
, ,
( )
k m
ks
= …1
N ν , to
{ } ( )ξ να ∩ ∪ N kk
m
=( )1
= ∅,
çto protyvoreçyt prytqΩenyg { G ( xα ) } k mnoΩestvu G ( x0 ) . Sledovatel\no,
proyzvol\naq napravlennost\ ξα ∈ G ( xα ) ymeet podnapravlennost\ { ξν } , sxo-
dqwugsq v prostranstve Y k πlementu ξ0 .
DokaΩem, çto ξ0 ∈ G ( x0 ) . Esly ξ0 ∉ G ( x0 ) , to v sylu kompaktnosty obraza
G ( x0 ) v Y suwestvugt neperesekagwyesq okrestnosty N ( G ( x0 )) y N ( ξ0 ) .
Dejstvytel\no, dlq kaΩdoho ξ ∈ G ( x0 ) suwestvugt neperesekagwyesq okre-
stnosty N ( ξ ) y N ( ξ0 ) y sovokupnost\ { }( ) ( )N ξ ξ ∈G x0 pokr¥vaet G x( )0 .
Pust\ { }( ) , ,N ξi i l= …1 — koneçnoe podpokr¥tye, tohda dostatoçno polo-
Ωyt\
N ( ( ))G x0 =
i
l
i
=1
∪ N ( )ξ , N ( )ξ0 =
i
l
i=1
0∪ N
ξ
ξ( ).
Ytak, napravlennost\ { }ξα qvlqetsq çastoj v N ( )ξ0 y ne v¥xodyt yz
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 507
N ( ( ))G x0 , naçynaq s nekotoroho yndeksa α0, çto protyvoreçyvo.
Ymplykacyq b) ⇒ a) dokazana v [9] (utverΩdenye 1.4.11) .
Lemma 3 dokazana.
ProdolΩym dokazatel\stvo predloΩenyq 13. Pust\ µ
α → µ
0
v Sn
+ . Ras-
smotrym ξα ∈ D ( y
α
) , hde y
α = µα
j jj
n
y=∑ 1
, ξα = di ( y
α
) . Tohda y
α → y
0 =
= µ j jj
n
y0
1=∑ , y v sylu lemm¥ 3 najdetsq takaq podnapravlennost\ { ξν } , çto
ξ ν → ξ 0 v X, pryçem ξ 0 ∈ D ( y
0
) . A poskol\ku funkcyq f poluneprer¥vna
snyzu po pervomu arhumentu, to
λ ξi if y( , )0 ≤ lim ,
v
i i
j
n
j
v
j if d y yλ µ
=
∑
1
,
pryçem Fi ( µ
0
) ≤ λ ξi if y( ),0 . DokaΩem, çto y lim
α
Fi ( µ
α
) ≥ Fi ( µ
0
) . Oboznaçym
b = lim
α
Fi ( µ
α
) y dopustym protyvnoe, t. e. b < Fi ( µ
0
) . Rassmotrym takug
podposledovatel\nost\ { µ
β
} ⊂ { µ
α
} , çto b = lim
β
Fi ( µ
β
) y, sootvetstvenno,
y
β = µβ
j jj
n
y=∑ 1
, ξβ ∈ D ( y
β
) .
Sohlasno uslovyg b) lemm¥ 3, moΩno ukazat\ takye podnapravlennosty
{ }y
′β , { }ξβ′ napravlennostej { }yβ , { }ξβ sootvetstvenno, çto y y
′ →β 0
v N,
ξ ξβ′ → ′
v X, pryçem
′ ∈ξ D y( )0 . Pry πtom
b = lim ( )
β
βµFi = lim ( )
′
′
β
βµFi = lim ,( ( ) )
′
′
β
βλi i if d y y ≥
≥ λ ξi if y( ),′ ≥ λi i if d y y( ( ) ),0 = Fi( )µ0 , hde d yi( )′β = ξβ′ .
Poluçennoe protyvoreçye dokaz¥vaet poluneprer¥vnost\ snyzu funkcyj
Fi , i = 1, … , n. Tohda poluneprer¥vnoj snyzu budet y funkcyq Sn
+ � µ ? �
� F( , )µ λ kak koneçnaq summa poluneprer¥vn¥x snyzu funkcyj.
PredloΩenye 13 dokazano.
Dlq kaΩdoho µ ∈ +Sn
funkcyq S Fn
+ � λ µ λ� ( , ) affynnaq, poπtomu v
sylu klassyçeskoho neravenstva Ky Fanq dlq koneçnomern¥x prostranstv
inf sup ( , )
µ λ
µ λ
∈ ∈+ +
S S
n n
F ≤ sup ( , )
λ
λ λ
∈ +Sn
F .
S druhoj storon¥, funkcyq y � f ( x, y ) vohnuta, sledovatel\no, dlq kaΩ-
doho selektora d ∈ D ymeem
F( , )λ λ =
i
n
i i
j
n
j j if d y y
= =
∑ ∑
1 1
λ λ , ≤
≤
i
n
i
j
n
j j if d y y
= =
∑ ∑
1 1
λ λ , ≤ f d y y
j
n
j j
i
n
i i
= =
∑ ∑
1 1
λ λ, .
Poskol\ku poslednee sootnoßenye spravedlyvo dlq lgboho d ∈ D, to
F( , )λ λ ≤ inf ,
d D j
n
j j
i
n
i if d y y
∈ = =
∑ ∑
1 1
λ λ ≤ f D#( ) ∀ λ ∈ Sn
+ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
508 V. S. MEL|NYK
Otsgda naxodym inf sup ( , )
x X y K
f x y
∈ ∈
≤ f D#( ) .
Poskol\ku poslednee neravenstvo v¥polnqetsq dlq lgboho K ∈ Ξ ( N ) , s
uçetom (16) poluçaem (15).
Teorema dokazana.
KaΩdomu K = { y1 , … , yN } ∈ Ξ ( N ) sootvetstvuet otobraΩenye βk
nS N: + → ,
opredelqemoe po pravylu β λk ( ) =
i
n
i iy=∑ 1
λ . Koneçnaq topolohyq na N — πto
fynal\naq topolohyq [9] otnosytel\no sovokupnosty otobraΩenyj
{ }( )βk K N∈Ξ . MnoΩestvo N s koneçnoj topolohyej budem oboznaçat\ çerez
Nf , a prostranstvo poluneprer¥vn¥x sverxu otobraΩenyj yz Nf v X s kom-
paktn¥my obrazamy — çerez Bc fN X( ; ).
UtverΩdenye.1. Dlq toho çtob¥ D N Xc f∈B ( ; ), neobxodymo y dostatoç-
no, çtob¥ dlq proyzvol\noho K ∈ Ξ ( N ) kompozycyq D D S Xk k c
n= ∈ +� β B ( ; ) .
Dokazatel\stvo v¥tekaet yz obwyx svojstv mnohoznaçn¥x otobraΩenyj [9].
Analyzyruq dokazatel\stvo teorem¥ 1, pryxodym k sledugwemu utverΩde-
nyg.
Teorema.2. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq 1, 2 teorem¥ 1. Tohda suwestvuet
x X∈ takoe, çto
sup ( , )
y N
f x y
∈
≤ f D#( ) ≤ f D◊( ) ∀ D N Xc f∈B ( ; ).
Nuly mnohoznaçn¥x otobraΩenyj. Pust\ Y y Y
*
— dual\naq para topo-
lohyçeskyx vektorn¥x prostranstv, P Y⊂ ∗
— zamknut¥j v¥pukl¥j konus,
P Y− ⊂ — eho otrycatel\n¥j polqrn¥j konus ( t. e. P− = { ,y Y y p Y∈ 〈 〉 ≤ 0
∀ ∈p P}, hde 〈⋅ ⋅〉 × →∗, Y Y Y R — kanonyçeskaq dvojstvennost\ ) , K — kom-
paktnoe prostranstvo.
Teorema.3. Pust\ F K Y: ⇒ ∗
— strohoe mnohoznaçnoe otobraΩenye y v¥-
polnen¥ sledugwye uslovyq:
1) otobraΩenye F — P-xemyneprer¥vno sverxu, t. e. dlq lgboho y P∈ −
vewestvennaq funkcyq
K x F x y g x y
g F
Y� � [ ( ), ] sup ( ),+
∈
= 〈 〉 poluneprer¥vna
sverxu;
2) F x P C YV( ) ( )+ ∈ ∗
∀ x ∈ K ;
3) suwestvuet D P Kc∈ −B ( ; ) takoe, çto sup ( ( )), )
d D
F d y y
∈ +[ ] ≥ 0 ∀ y ∈ P
–
.
Tohda mnoΩestvo Z ( P ) = x K F x P∈ ∈ +{ }0 ( ) nepusto y zamknuto.
Dokazatel\stvo. Vvedem na K × P
–
funkcyg f ( x, y ) = – F x y( ), )[ ]+ , ko-
toraq poluneprer¥vna snyzu po x y vohnuta po y . V sylu teorem¥ 1 najdetsq
takoj πlement x K∈ , dlq kotoroho sup
y P∈ −
f x y f D( , ) ( )#≤ ∀ ∈ −D P KcB ( ; ).
Sledovatel\no (uslovye 3), inf ( ( ), )
d D
f d y y
∈
≤ 0 , a znaçyt, f D#( ) ≤ 0 , y poπtomu
F x y( ),[ ]+ ≥ 0 ∀ y ∈ P
–
.
Zameçaq, çto
[ , ]P y + =
0, ,
, ,
y P
y P
∈
+ ∞ ∉
−
−
y yspol\zuq svojstva verxnyx form, poluçaem
0 ≤ [ ( ), ] [ , ]F x y P y+ ++ = [ ( ) , ]F x P y+ + ∀ y ∈ Y ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 509
otkuda (uslovye 2) 0 ∈ +F x P( ) .
Teorema 3 dokazana.
Sledstvye.1. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq 1, 2 teorem¥?3 y sup [ ( ), ]
x K
F x y
∈
+ ≥
≥ 0 ∀ ∈ −y P . Tohda mnoΩestvo Z ( P ) nepusto y zamknuto.
Dokazatel\stvo. Dostatoçno rassmotret\ „postoqnnoe” mnohoznaçnoe
otobraΩenye D P K: − ⇒ ( )( )D y K y P= ∀ ∈ − . Na osnovanyy lemm¥ 3 netrud-
no zaklgçyt\, çto D P Kc∈ −B ( ; ).
Opredelenye.5. Toçka x K∈ naz¥vaetsq P -krytyçeskoj toçkoj otob-
raΩenyq F, esly ona udovletvorqet sootnoßenyg 0 ∈ +F x P( ) .
Teorema.4. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq 1, 2 teorem¥ 3 y vse P -krytyçe-
skye toçky v K otobraΩenyq F yzolyrovan¥. Tohda yx çyslo koneçno.
Dokazatel\stvo. Dopustym protyvnoe, t. e. sovokupnost\ P-krytyçeskyx
toçek v K beskoneçna. Tohda vsledstvye kompaktnosty K yz πtoj sovokupno-
sty moΩno v¥delyt\ sxodqwugsq podnapravlennost\ x α → x 0 v K, hde 0?∈
∈ F x P( )α + . Otsgda sohlasno uslovyg 1 naxodym
0 ≤ lim [ ( ) , ]
α
αF x P y+ + = lim [ ( ), ]
α
αF x y + ≤ [ ( ), ]F x y0 + ∀ ∈ −y P ,
a znaçyt,
0 ≤ [ ( ) , ]F x P y0 + + = [ ( ), ] [ , ]F x y P y0 + ++ ∀ y ∈ Y
yly (uslovye 2) 0 0∈ +F x P( ) , t. e. x0 — P-krytyçeskaq toçka otobraΩenyq F,
pryçem neyzolyrovannaq, çto protyvoreçyt uslovyqm teorem¥.
Teorema 4 dokazana.
Teorema.5. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq 1, 2 teorem¥ 3 y dlq lgboho ε > 0
najdetsq D P Kcε ∈ −B ( ; ) takoe, çto sup ( ( )), )
d D
F d y y
∈ +[ ] ≥ −
ε
ε ∀ ∈ −y P .
Tohda suwestvuet, po krajnej mere, odyn πlement x K∈ takoj, çto 0?∈
∈ F x P( ) + y mnoΩestvo Z ( P ) zamknuto.
Dokazatel\stvo. Kak y pry dokazatel\stve teorem¥ 3, ustanavlyvaetsq
neravenstvo
sup ( , )
y P
f x y
∈ −
≤ sup inf ( ( ), )
y P
d D
f d y y
∈ ∈− ε
= f D#( )ε ∀ ε > 0,
hde f ( x, y ) = – [ ( ), ]F x y + , a znaçyt, sup ( , )
y P
f x y
∈ −
≤ inf ( )#
ε ε>0
f D . Otsgda, a takΩe
yz uslovyq (17) poluçaem ocenku
inf inf ( ( ), )
ε ε> ∈0 d D
f d y y ≤ inf
ε
ε
>0
= 0 ∀ ∈ −y P .
Zaverßaetsq dokazatel\stvo tak Ωe, kak y dokazatel\stvo teorem¥ 3.
Rassmotrym çastn¥j sluçaj, kohda Y — refleksyvnoe banaxovo prostranst-
vo, Yw — prostranstvo Y, snabΩennoe slaboj topolohyej, K — zamknutoe v¥-
pukloe ohranyçennoe podmnoΩestvo v Y (a znaçyt, y v Yw ) .
Tohda opredeleno (voobwe hovorq, mnohoznaçnoe) otobraΩenye proektyrova-
nyq πK Y K: ⇒ yz Y na K po formule
πK y( ) = w K w y v yY v K Y∈ − = −
∈
inf .
Oçevydno, dom πK = Y y πK y( ) = y ∀ y ∈ K, t. e. πK — mnohoznaçnaq re-
trakcyq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
510 V. S. MEL|NYK
Lemma.4. OtobraΩenye πK Y K: ⇒ zamknuto v¥pukloznaçnoe y polune-
prer¥vnoe sverxu yz Y v K ⊂ Yw .
Dokazatel\stvo. Zamknutost\ y v¥puklost\ πK y( ) ∀ y ∈ Y oçevydna.
Dlq dokazatel\stva poluneprer¥vnosty sverxu vospol\zuemsq lemmoj 3, zame-
tyv, çto K — kompaktnoe podmnoΩestvo v Yw , a otobraΩenye πK kompaktno-
znaçnoe. Pust\ yn → y0 v Y. Rassmotrym posledovatel\nost\ ξ πn K ny∈ ( ). Bez
ohranyçenyq obwnosty moΩno sçytat\, çto ξn → ξ0 slabo v Y (v protyvnom
sluçae sleduet perejty k podposledovatel\nosty), pryçem ξ0 ∈ K. Tohda dlq
lgboho w ∈ K
ξn n Yy− = inf
v K n Yv y
∈
− ≤ w yn Y− .
Perexodq zdes\ k predelu, s uçetom slaboj poluneprer¥vnosty snyzu norm¥ v
banaxovom prostranstve naxodym
ξ0 0− y Y ≤ lim
n
n n Yy
→∞
−ξ ≤ lim
n n Yw y
→∞
− = w y Y− 0 ∀ w ∈ K,
yly
ξ0 0− y Y ≤ inf
w K Yw y
∈
− 0 ,
hde ξ0 ∈ K, t. e. ξ π0 0∈ K y( ). Ostalos\ vospol\zovat\sq lemmoj 3.
Zameçanye.4. Esly K — kompakt v Y , to otobraΩenye πK Y K: ⇒ kom-
paktnoznaçnoe y poluneprer¥vnoe sverxu yz Y v K ⊂ Y.
Teorema.6. Pust\ Y , Y
*
— otdelym¥e lokal\no v¥pukl¥e prostranstva v
dvojstvennosty, P ⊂ Y — v¥pukloe mnoΩestvo, K — kompakt, F K Y: ⇒ ∗
y v¥polnen¥ sledugwye uslovyq:
1) F : K → C YV ( )∗
y F ( x ) — ravnostepenno neprer¥vnoe mnoΩestvo v Y∗
[11] dlq lgboho x K∈ ;
2) dlq lgboho y ∈ P funkcyonal K � x � [ F ( x ), y ] + poluneprer¥ven
sverxu;
3) suwestvuet D P Kc∈ −B ( ; ), dlq kotoroho
sup [ ( ( )), ]
d D
F d y y
∈
+ ≥ 0 ∀ y ∈ P .
Tohda najdetsq πlement x K∈ takoj, çto
0 ∈ + −F x P( ) ,
hde P− = w Y w y y PY∈ 〈 〉 ≤ ∀ ∈{ }∗ , 0 .
Dokazatel\stvo osnovano na sledugwem utverΩdenyy, qvlqgwemsq obobwe-
nyem lemm¥ 1 [1] na sluçaj lokal\no v¥pukl¥x prostranstv.
Lemma.5. Pust\ W — lokal\no v¥pukloe prostranstvo, W
*
— eho topo-
lohyçeskoe dvojstvennoe, E W⊂ ∗
— mnoΩestvo, zamknutoe v topolohyy
σ ( ; )W W∗
, L E: ˆ { }→ = − ∞R R ∪ — sobstvenn¥j, poluneprer¥vn¥j sverxu
funkcyonal v topolohyy σ ( ; )W W∗ . Krome toho, pust\ lybo mnoΩestvo E
ravnostepenno neprer¥vno v W
*
, lybo v¥polnen sledugwyj analoh koπrcy-
tyvnosty: dlq proyzvol\noho mnoΩestva U ⊂ W
*, ne qvlqgwehosq ravno-
stepenno neprer¥vn¥m, y λ ⊂ R suwestvuet wλ ∈ U takoe, çto L ( wλ ) ≤
≤ λ .
Tohda funkcyonal L ohranyçen sverxu na E y dostyhaet na E verxnej
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 511
hrany l, pryçem mnoΩestvo { }( )w E L w l∈ = kompaktno v topolohyy
σ ( ; )W W∗ .
Sledugwaq teorema qvlqetsq v opredelennom sm¥sle dvojstvennoj k teo-
reme 6.
Teorema.7. Pust\ Y — otdelymoe refleksyvnoe lokal\no v¥pukloe pro-
stranstvo, K — kompakt, P — v¥pukloe mnoΩestvo v Y
*
y ymegt mesto
sledugwye svojstva:
1) F : K → C YV( ), F ( x ) — ohranyçennoe mnoΩestvo v Y dlq vsex x ∈ K ;
2) dlq lgboho y ∈ P funkcyq K � x � [ F ( x ), y ] + poluneprer¥vna
sverxu;
3) dlq nekotoroho D P Kc∈B ( ; )
sup [ ( ( )), ]
d D
F d y y
∈
+ ≥ 0 ∀ y ∈ P .
Tohda vklgçenye 0 ∈ + −F x P( ) ymeet reßenye x K∈ .
Pry dokazatel\stve teorem¥ 7, kak y teorem¥ 6, yspol\zuetsq sledugwyj
varyant obobwennoj teorem¥ Vejerßtrassa.
Lemma.6. Pust\ E — slabo zamknutoe mnoΩestvo v refleksyvnom lokal\-
no v¥puklom prostranstve W, funkcyonal L E: { }→ = + ∞R R ∪ slabo
poluneprer¥ven snyzu y v¥polneno odno yz uslovyj:
a) E — ohranyçennoe mnoΩestvo v W ;
b) funkcyonal L koπrcytyven na E, t. e. dlq lgboho λ ∈ R suwestvu-
et yλ ∈ E takoe, çto L ( yλ ) ≥ λ .
Tohda funkcyonal L ohranyçen snyzu na E, dostyhaet na E svoej nyΩ-
nej hranyc¥ l y mnoΩestvo { }( )y E L y l∈ = slabo kompaktno v W.
Sledstvye.2. Pust\ F K Y: ⇒ , P — v¥pukl¥j konus v Y y spravedlyv¥
uslovyq:
1) F ( x ) + P ∈ C YV ( ) ∀ x ∈ K ;
2) funkcyq K � x � [ F ( x ), ν ] + poluneprer¥vna sverxu dlq lgboho v P∈ − =
= { },z Y z v v PY∈ 〈 〉 ≤ ∀ ∈∗ 0 ;
3) najdetsq D P Kc∈ −B ( ; ) takoe, çto sup ( ( )), )
d D
F d v v
∈
+[ ] ≥
ε
0 ∀ v ∈ P
–
.
Tohda suwestvuet x K∈ , dlq kotoroho 0 ∈ +F x P( ) .
Sledstvye 3. Pust\ K — kompaktnoe podmnoΩestvo v Y (yly Yw ), ymeg-
wee mnohoznaçnug retrakcyg D Y Kc∈B ( ; ). Pust\ takΩe F : K → C YV ( )∗
—
xemyneprer¥vnoe sverxu otobraΩenye y
sup [ ( ( )), ]
d D
F d y y
∈
+ ≥ 0 ∀ y ∈ Y. (18)
Tohda suwestvuet πlement x K∈ takoj, çto 0 ∈F x( ).
Dokazatel\stvo. Dostatoçno v teoreme 2 poloΩyt\ P = { }0 .
Sledugwee utverΩdenye — mnohoznaçn¥j analoh lemm¥ ob ostrom uhle.
Sledstvye.4. Pust\ Y — koneçnomernoe prostranstvo, F B C Yr V: ( )→
— strohoe poluneprer¥vnoe sverxu otobraΩenye, B y Y y rr = ∈ ≤{ }.
Esly pry πtom
[ ( ), ]F y y + ≥ 0 ∀ y = r, (19)
to suwestvuet x Br∈ , dlq kotoroho 0 ∈F x( ).
Dokazatel\stvo. PoloΩym δr y Y y r= ∈ ={ } y rassmotrym mnoho-
znaçnoe otobraΩenye D Y r: ⇒ δ , opredelqemoe sootnoßenyem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
512 V. S. MEL|NYK
D ( y ) =
ry
y
y
y
, ,
, ,
≠
=
0
0Γ
hde Γ ⊂ δr — sovokupnost\ vsex predel\n¥x toçek posledovatel\nostej ξn =
=
ry
y
n
n
pry yn → 0.
Lemma.7. OtobraΩenye D prynadleΩyt klassu Bc rY B( ; ).
Dokazatel\stvo. Oçevydno, otobraΩenye D zamknutoznaçno y neprer¥v-
no vo vsex toçkax y ≠ 0. DokaΩem, çto pry y = 0 ono poluneprer¥vno sverxu.
Poskol\ku δr — kompakt, to D ( 0 ) — kompaktnoe podmnoΩestvo y snova vos-
pol\zuemsq lemmoj 3. Pust\ yn → 0, tohda ξn = r y yn n/ ∈ δr y suwestvuet
podposledovatel\nost\ ξm → ξ0 , pryçem ξ0 ∈Γ , otkuda y v¥tekaet polune-
prer¥vnost\ sverxu.
Lemma 7 dokazana.
Dlq y ≠ 0 v sylu (19) ymeem
r
y
F
ry
y
y
+
, = F
ry
y
ry
y
+
, ≥ 0,
a pry y = 0 sup [ ( ), ]
l
F l
∈
+
Γ
0 = 0 y, takym obrazom, v¥polneno uslovye (17), a zna-
çyt, suwestvuet x Br∈ takoe, çto 0 ∈F x( ).
Sledstvye 4 dokazano.
V prostranstve R
n
rassmotrym sympleks Sn
+ = x xn
ii
n∈ ={ }+ =∑R
1
1 .
Sledstvye.5. Pust\ F S Cn
V
n: ( )+ → R — strohoe xemyneprer¥vnoe sverxu
otobraΩenye y
[ ( ), ]F y y + ≥ 0 y ∈ Sn
+ . (20)
Tohda suwestvuet πlement x Sn∈ + takoj, çto
0 ≤ F x n( ) − +R . (21)
Dokazatel\stvo. PoloΩym Y = Y
* = R
n
, P = – R+
n , P− = R+
n , K = Sn
+
y opredelym mnohoznaçnoe otobraΩenye D Sn n: R+ +⇒ po formule
D ( y ) =
y
y
y
y
ii
n
=∑
≠
=
1
0
0
, ,
, ,Γ
hde mnoΩestvo Γ ⊂ +Sn
v¥byraetsq po tomu Ωe pravylu, çto y pry dokazatel\-
stve sledstvyq 4. Analohyçno dokaz¥vaetsq, çto D Sc
n n∈ + +B ( ; )R . Netrudno
ubedyt\sq, çto yz (20) sleduet uslovye 3 teorem¥ 3, a znaçyt, spravedlyvo (21).
Zameçanye.5. Uslovye kompaktnosty K moΩno oslabyt\, zamenyv eho sle-
dugwym uslovyem: suwestvuet y P0 ∈ − , pry kotorom K0 = { [ ( ),x K F x∈
y0 0] }+ ≥ — kompakt.
4. Razreßymost\ operatorn¥x vklgçenyj. Pust\ V, W — refleksyv-
n¥e banaxov¥ prostranstva, A V V: ⇒ ∗ , B W W: ⇒ ∗
— mnohoznaçn¥e otobra-
Ωenyq, prostranstvo X V W= ∩ plotno v V y v W, tohda dual\noe X
* = V
* +
+ W
*. Dlq f ∈ X
*
y v ∈ X polahaem 〈 〉f v X, = 〈 〉 + 〈 〉f v f vV W1 2, , , hde f = f1 +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 513
+ f2 , f1 ∈ V
*, f2 ∈ W
*. Dlq fyksyrovannoho f ∈ X
*
yzuçagtsq operatornoe
vklgçenye
A ( y ) + B ( y ) � f (22)
y varyacyonnoe neravenstvo
[ ]( ), ( ) ( )A y v y v y− + −+ ϕ ϕ ≥ 〈 − 〉f v y X, ∀ v ∈ X , (23)
hde ϕ : W → R — sobstvennaq v¥puklaq funkcyq.
Oboznaçym çerez F ( X ) fyl\tr koneçnomern¥x podprostranstv v X, dlq F?∈
∈ F ( X ) IF : F → X — operator vloΩenyq, I X FF
∗ ∗ ∗→: — soprqΩenn¥j ope-
rator. Dlq kaΩdoho F ∈ F ( X ) rassmotrym otobraΩenye �F F F: ⇒ ∗, poroΩ-
dennoe otobraΩenyem � = + ∗A B X X: ⇒ po pravylu �F F FI AI= ∗
.
Opredelenye.6. OtobraΩenye � : X X⇒ ∗
koneçnomerno lokal\no ohra-
nyçeno, esly dlq lgboho F ∈ F ( X ) y y F ∈ F suwestvugt N > 0 y ε > 0
takye, çto �F Fv( ) + ≤ N, esly v yF F− + ≤ ε.
Opredelenye.7. Budem hovoryt\, çto otobraΩenye A X X: ⇒ ∗
ymeet
svojstvo ( )π : esly dlq ohranyçennoho mnoΩestva K X⊂ , πlementa v ∈ X
y selektora d ( y ) ∈ co A y( ) spravedlyva ocenka 〈 − 〉 ≤d y y v lX( ), ∀ y ∈ K,
to najdetsq m > 0 takoe, çto d y X( ) ∗ ≤ m ∀ y ∈ K.
Teorema.8. Pust\ A V V: ⇒ ∗ , B W W: ⇒ ∗
— λ -psevdomonotonn¥e ko-
neçnomerno lokal\no ohranyçenn¥e otobraΩenyq, udovletvorqgwye uslovyg
koπrcytyvnosty
[ ]( ),A y y + ≥ γ A V Vy y( ) , (24)
[ ]( ),B y y + ≥ γ B W Wy y( ) , (25)
hde funkcyy γ A( ) :⋅ →+R R , γ B( ) :⋅ →+R R ohranyçen¥ snyzu na otrezke,
γ A s( ) → + ∞ , γ B s( ) → + ∞ pry s → ∞ y odyn yz operatorov ohranyçenno-
znaçn¥j.
Tohda pry kaΩdom f ∈ X
*
operatornoe vklgçenye (22) ymeet slaboe reße-
nye, t. e. suwestvuet y ∈ X takoe, çto
[ ] [ ]( ), ( ),A y v B y v+ ++ ≥ 〈 〉f v X, ∀ v ∈ X . (26)
Teorema.9. Pust\ A V V: ⇒ ∗ , B W W: ⇒ ∗
— λ 0-psevdomonotonn¥e sov-
mestno s -ohranyçenn¥e otobraΩenyq, udovletvorqgwye uslovyqm (24), (25), y
odno yz nyx ohranyçennoznaçnoe, a operator � = + ∗A B X X: ⇒ ymeet svoj-
stvo ( )π y koneçnomerno lokal\no ohranyçen.
Tohda dlq kaΩdoho f ∈ X
*
najdetsq r > 0 takoe, çto K Bf r∩ nepusto
y slabo kompaktno, hde Br — zamknut¥j ßar v X radyusa r , K y Xf = ∈{
y udovletvorqet ( )}26 .
Dokazatel\stvo teorem¥.8. Rassmotrym operator � = + ∗A B X X: ⇒
( )( ) ( ) ( ),� y A y B y y X= + ∈ .
Lemma.8. Pust\ A V V: ⇒ ∗ , B W W: ⇒ ∗, t ohda spravedlyvo ravenstvo
cl co
X
y∗ �( ) = cl co cl co
V W
A y B y∗ ∗+( ) ( ), h d e cl
X ∗ — operacyq zam¥kanyq v
prostranstve X
*.
Kak yzvestno, co �( )y = co coA y B y( ) ( )+ [7], sledovatel\no,
cl co
X
y∗ �( ) ⊃
⊃ co coA y B y( ) ( )+ . Otsgda poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
514 V. S. MEL|NYK
cl co
X
y∗ �( ) ⊃ cl co cl co
V W
A y B y∗ ∗+( ) ( ).
Dejstvytel\no, dlq proyzvol\n¥x w ∈ cl co
V
A y∗ ( ) , v ∈ cl co
W
B y∗ ( ) najdutsq
co A y w wn( ) � → syl\no v V∗ , co B y v vn( ) � → syl\no v W∗, znaçyt, wn +
+ vn ∈ co�( )y y wn + vn → w + v syl\no v X
*,
( ) ( )w w v vn n X− + − ∗ ≤ max ,w w v vn V n W− −{ }∗ ∗ ,
t. e. w + v ∈
cl co
X
y∗ �( ), çto dokaz¥vaet trebuemoe vloΩenye. S druhoj storo-
n¥, co�( )y ⊂ cl co cl co
V W
A y B y∗ ∗+( ) ( ) , y ostaetsq dokazat\, çto mnoΩestvo
cl co cl co
V W
A y B y∗ ∗+( ) ( ) zamknuto v X
*. Rassmotrym proyzvol\nug posledova-
tel\nost\ { }ξn ⊂ cl co cl co
V W
A y B y∗ ∗+( ) ( ) , syl\no sxodqwugsq k ξ v X
*.
Pry πtom najdetsq takoe predstavlenye ξn = wn + vn , çto posledovatel\nost\
{ }wn ⊂ cl co
V
A y∗ ( ) ohranyçena v V∗ , a posledovatel\nost\ { }vn ⊂
⊂ cl
W ∗ co B y( ) ohranyçena v W∗
v sylu ohranyçennoznaçnosty odnoho yz otob-
raΩenyj.
Znaçyt, v¥delqq podxodqwye podposledovatel\nosty, ymeem wm → w slabo
v V∗ , vm → v slabo v W∗, pryçem w ∈ cl co
V
A y∗ ( ) , v ∈ cl co
W
B y∗ ( ), otkuda
〈 〉ξm Xf, = 〈 〉 + 〈 〉w f v fm V m W, , → 〈 + 〉w v f X, ∀ f ∈ X , t. e. ξ = w + v.
Teorema 8 dokazana.
Lemma.9. P u s t \ A V V: ⇒ ∗ y B W W: ⇒ ∗
— λ -psevdomonotonn¥e
otobraΩenyq. Tohda operator � = +A B : X X⇒ ∗
λ-psevdomonotonn¥j.
Dokazatel\stvo. Pust\ yn → y slabo v X (a znaçyt, V y W ), d n ∈
∈ co�( )yn y
lim ,
n n n Xd y y
→∞
〈 − 〉 ≤ 0. (27)
Pry πtom v sylu lemm¥ 8 dn = wn + vn , hde wn ∈ co A yn( ) , vn ∈ co B yn( ) . Zdes\
y dalee, esly πto ne pryvodyt k nedorazumenyg, co oznaçaet zam¥kanye v¥puk-
loj oboloçky v sootvetstvugwem prostranstve. Yz neravenstva (27) naxodym
0 ≥ lim , lim ,
n n n V
n
n n Ww y y v y y
→∞ →∞
〈 − 〉 + 〈 − 〉 ,
otkuda, kak y pry dokazatel\stve predloΩenyq 7 [1], pryxodym k odnomu yz
dvux sootnoßenyj (dlq sootvetstvugwej podposledovatel\nosty)
lim ,
m m m Vw y y
→∞
〈 − 〉 ≤ 0, lim ,
m m m Wv y y
→∞
〈 − 〉 ≤ 0. (28)
Pry v¥polnenyy pervoho sootnoßenyq suwestvugt { } { }y ym mk
⊂ y
{ }wmk
⊂ { }wm , dlq kotor¥x
lim ,
m
m m V
k
k k
w y z
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ]( ),A y y z− − ∀ z ∈ V , (29)
sledovatel\no, 〈 − 〉 →w y ym m Vk k
, 0 y yz (28) v¥tekaet lim ,
m m m W
k
k k
v y y
→∞
〈 − 〉 ≤ 0.
Ewe raz perexodq k podposledovatel\nostqm y yspol\zuq λ -psevdomonoton-
nost\ operatora B, zaklgçaem, çto
lim ,
m
m m W
k
k k
v y z
′
′ ′→∞
〈 − 〉 ≥ [ ]( ),B y y z− − ∀ z ∈ W .
Otsgda y yz (29) okonçatel\no ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 515
lim ,
m
m m X
k
k k
d y z
′
′ ′→∞
〈 − 〉 ≥ lim ,
m
m m V
k
k k
w y z
→∞
〈 − 〉 + lim ,
m
m m W
k
k k
v y z
′
′ ′→∞
〈 − 〉 ≥
≥ [ ] [ ]( ), ( ),A y y z B y y z− + −− − = [ ]( ),� y y z− − ∀ z ∈ X .
Lemma.10. Pust\ A V V: ⇒ ∗ , B W W: ⇒ ∗
— koneçnomerno lokal\no oh-
ranyçenn¥e operator¥, udovletvorqgwye uslovyqm (24), (25). Tohda operator
� = + ∗A B X X: ⇒ koneçnomerno lokal\no ohranyçen y
y y yX
−
+
1[ ]( ),� → + ∞ pry y X → ∞ . (30)
Dokazatel\stvo. Pust\ F ( X ) — uporqdoçenn¥j po vklgçenyg fyl\tr
koneçnomern¥x podprostranstv v X . Dlq kaΩdoho F ∈ F ( X ) rassmotrym
� �F Fy I y( ) ( )= ∗
. Pry πtom F — koneçnomernoe podprostranstvo v V y v W,
sledovatel\no, I I I F VF V V F, := →� , I I I F WF W W F, := →� , hde I X VV : → ,
I X WW : → — kanonyçeskye neprer¥vn¥e vloΩenyq. Tohda, polahaq A yF ( ) =
= I I A yF V
∗ ∗( )( ) , B y I I B yF F W( ) ( )( )= ∗ ∗
, ymeem �F y( ) = A y B yF F( ) ( )+ .
Po uslovyg teorem¥ dlq lgboho y ∈ F suwestvugt MV , MW , εV y εW ta-
kye, çto AF ( )ζ + ≤ MV , esly ζ − y F ≤ εV , y, sootvetstvenno, BF ( )ξ + ≤
≤ MW , esly ξ − y F ≤ εW . Znaçyt,
�F ( )ζ + ≤ A BF F( ) ( )ζ ζ+ ++ ≤ M = M MV W+
pry vsex ζ , udovletvorqgwyx ocenke ζ ε ε− ≤y F V Wmin( , ).
Zdes\ uçteno to obstoqtel\stvo, çto norm¥ na F, ynducyrovann¥e yz X, V
y W, πkvyvalentn¥, çto y dokaz¥vaet lokal\nug koneçnomernug ohranyçen-
nost\ operatora � .
DokaΩem svojstvo (30). Rassmotrym posledovatel\nost\ { }y Xn ⊂ takug,
çto y y yn X n V n W= + → ∞ . Pry πtom vozmoΩn¥ try sluçaq:
1. Pust\ yn V → ∞, y kn W ≤ . Tohda A y y y yn n A n V n V( ),[ ] ≥ ( )+ γ y
y A y y y y yn X n n A n V n V n X
−
+
−[ ] ≥ ( )1 1( ), γ → + ∞ , poskol\ku γ A s( ) → + ∞ pry
s → ∞ , a 0 11< <−y yn V n X pry y kn W ≤ . V πtom sluçae
y B y yn X n n
−
+
1[ ]( ), ≥ γ B n W n W n Xy y y( ) −1 → 0,
tak kak funkcyq γ B n Wy( ) ohranyçena snyzu.
Sledovatel\no,
y y yn X n n
−
+
1[ ]( ),� = y A y y y B y yn X n n n X n n
−
+
−
++1 1[ ] [ ]( ), ( ), → + ∞
pry yn V → ∞, y kn W ≤ .
2. Sluçaj yn W → ∞ , y kn V ≤ yssleduetsq analohyçno.
3. Rassmotrym nakonec sluçaj, kohda yn V → ∞ y yn W → ∞ . Tohda
y y yn X n n
−
+
1[ ]( ),� ≥ γ A n V n V n V n Wy y y y( ) +( )−1
+
+ γ B n W n W n V n Wy y y y( ) +( )−1
. (31)
Oçevydno, y yn V n X
−1 > 0, y yn W n X
−1 > 0, y esly odyn yz predelov, napry-
mer y yn W n X
−1, stremytsq k nulg pry n → ∞ , to y yn X n V
−1 = 1 –
– y yn X n W
−1 → 1 y yz (31) poluçaem (30).
Lemma 10 dokazana.
Zameçanye.6. Lemmu 10 moΩno utoçnyt\. OtobraΩenye � = +A B :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
516 V. S. MEL|NYK
X X⇒ ∗
koneçnomerno lokal\no ohranyçeno tohda y tol\ko tohda, kohda ko-
neçnomerno lokal\no ohranyçen¥ A V V: ⇒ ∗
y B W W: ⇒ ∗.
Takym obrazom, zadaça (26) svodytsq k naxoΩdenyg y ∈ X , pry kotorom
[ ]( ),� y v + ≥ 〈 〉f v X, , (32)
hde � : X X⇒ ∗
— koneçnomerno lokal\no ohranyçennoe λ-psevdomonotonnoe
otobraΩenye, udovletvorqgwee uslovyg koπrcytyvnosty (30).
Oboznaçym K f = y X y v f v v XX∈ ≥ 〈 〉 ∈{ }+[ ]( ), , ,� , Br — zamknut¥j ßar
v X radyusa r.
UtverΩdenye.2. Pust\ � : X X⇒ ∗
— koneçnomerno lokal\no ohrany-
çennoe λ -psevdomonotonnoe otobraΩenye y spravedlyvo (30). Tohda dlq kaΩ-
doho f ∈ X
*
najdetsq r > 0 takoe, çto mnoΩestvo K Bf r∩ nepusto y sla-
bo kompaktno.
Dokazatel\stvo. Dlq kaΩdoho F ∈ F ( X ) poloΩym �F = I F FF
∗ ∗co� : ⇒
y zametym, çto �F Vx C F( ) ( )∈ ∗
∀ x ∈ F . Poslednee v¥tekaet yz sledugweho
utverΩdenyq [4].
Lemma.11. Pust\ � : X X⇒ ∗
— nekotoroe otobraΩenye. Tohda dlq
kaΩdoho F ∈ F ( x ) spravedlyvo ravenstvo co coI x I xF F
∗ ∗=� �( ) ( ) ∀ x ∈ F .
Rassmotrym funkcyg γ : R+ → R , opredelqemug sootnoßenyem γ ( r ) =
=
inf ( ),[ ]
y r X
X
y y y
=
−
+
1 � . V sylu uslovyq (30) netrudno ubedyt\sq, çto γ ( r ) →
→ ∞ pry r → ∞ , pryçem [ ]( ) ,� y f y− + ≥ γ y f yX X X( ) −( )∗ , znaçyt,
najdetsq r > 0 takoe, çto
[ ]( ) ,� y f y− + ≥ 0 ∀ y ∈ ∂Br . (33)
Analohyçno dokazatel\stvu lemm¥ 1 [4] moΩno pokazat\, çto dlq lgboho F?∈
∈ F ( x ) �F F F: ⇒ ∗
— poluneprer¥vnoe sverxu otobraΩenye.
PoloΩym B F Br F r, = ∩ , tohda dlq lgboho x Br F∈∂ , ymeet mesto ocenka
[ ]( ) ,�F Fx f x− + ≥ 0, (34)
hde f I fF F= ∗ . Dejstvytel\no, yspol\zuq (33), poluçaem
[ ]( ) ,�F Fx f x− + = sup ,
( )d x
F F F
F F
d f x
∈
〈 − 〉
�
= sup ,
( )d x
Xd f x
∈
〈 − 〉
co �
[ ]( ) ,A x f x− + ≥ 0.
Zdes\ d I dF F= ∗ , d x∈co�( ).
Otsgda s uçetom svojstv verxnyx y nyΩnyx form y lemm¥ 10 zaklgçaem,
çto �F F F: ⇒ ∗
— poluneprer¥vnoe sverxu otobraΩenye. Znaçyt, v¥polne-
n¥ vse uslovyq mnohoznaçnoho analoha lemm¥ ob ostrom uhle (sledstvye 4), yz
kotoroj sleduet suwestvovanye y BF r F∈ , , dlq kotoroho �F F Fy f( ) � , çto
πkvyvalentno neravenstvu
[ ]( ),A y xF + ≥ 〈 〉f x X, ∀ x ∈ F . (35)
Dalee, s nekotor¥my texnyçeskymy modyfykacyqmy dokazatel\stvo utverΩ-
denyq zaverßaetsq tak Ωe, kak sootvetstvugwaq çast\ dokazatel\stva teore-
m¥?1 [4].
Dlq kaΩdoho F F X0 ∈ ( ) opredelym
GF0
=
F F
F r F F F F Fy B y x f x x F
⊃
+∈ ≥ 〈 〉 ∀ ∈{ }
0
∪ , [ ]( ), ,� .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 517
Oçevydno, GF0
≠ ∅ y soderΩytsq v Br , kotor¥j v sylu teorem¥ Banaxa –
Alaohlu qvlqetsq slabo kompaktn¥m mnoΩestvom. Rassmotrym semejstvo
nepust¥x podmnoΩestv G F F XF ∈{ }( ) y G F F XF
w ∈{ }( ) , hde GF
w
— slaboe
zam¥kanye mnoΩestva GF v X.
Dlq kaΩdoho koneçnoho nabora F1 , … , Fn ∈ F ( X ) y F ∈ F ( X ) takyx, çto
F Fii= ⊂
1∪ , ymeem G GF Fi
n
i
⊂ ≠ ∅=1∩ . Znaçyt, semejstvo G F F XF ∈{ }( ) , y
tem bolee G F F XF
w ∈{ }( ) , qvlqetsq centryrovann¥m semejstvom v slabom
kompakte Br , poπtomu [6]
GF
w
F F X∈ ≠ ∅
( )∩ . Rassmotrym
y GF
w
F F X0 ∈ ∈ ( )∩ y
v¥berem F0 ∈ F ( X ) tak, çtob¥ y0 ∈ F0 . Tohda najdetsq posledovatel\nost\ yn?∈
∈ Fn ⊃ F0 ( )y Bn r∈ , Fn ∈ F ( X ) , slabo sxodqwaqsq k y0 v X, a takΩe ′dn ?∈
∈
�F nn
y( ) , ′dn = fn = I fFn
∗ . V takom sluçae
lim ,
n n n Xd y y
→∞
〈 − 〉0 = lim ,
n n n Fd y y
n→∞
〈 ′ − 〉0 =
= lim ,
n n n Ff y y
n→∞
〈 − 〉0 = lim ,
n n Xf y y
→∞
〈 − 〉0 = 0,
hde d yn n∈co�( ) , ′ = ∗d I dn F nn
, tak kak I y IF n Fn n
∗ ∗=co co�( ) � �( ) ( )y yn F nn
= co .
A poskol\ku operator � : X X⇒ ∗
λ -psevdomonotonn¥j, najdutsq podpo-
sledovatel\nosty { }ym y { }dm , dlq kotor¥x
lim ,
m
m m Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ]( ),� y y v0 0 − − ∀ v ∈ X . (36)
S druhoj storon¥, dlq proyzvol\noho v ∈ X najdutsq F ∈ F ( X ) y m0 takye,
çto v ∈ F, y F Fm m∈ ⊃ ∀ ≥m m0 . Tohda
〈 − 〉d y vm m X, = 〈 ′ − 〉d y vm m Fm
, = 〈 − 〉f y vm m Fm
, = 〈 − 〉f y vm X, ∀ m ≥ m0 ,
t. e.
lim ,
m m m Xd y v
→∞
〈 − 〉 = 〈 − 〉f y y X, 0 .
Otsgda y yz (36) poluçaem
〈 − 〉f y v X, 0 ≥ lim ,
m
m m Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ]( ),� y y v0 0 − − ∀ v ∈ X ,
çto πkvyvalentno neravenstvu
[ ]( ),� y w0 + ≥ 〈 〉f w X, ∀ w ∈ X ,
t. e. K Bf r∩ ≠ ∅ .
Pust\ teper\ { }yn ⊂ K Bf r∩ — proyzvol\naq posledovatel\nost\. Ona
ohranyçena y moΩem sçytat\, çto yn → y0 slabo v X (ynaçe sleduet perejty k
podposledovatel\nosty), pryçem
[ ]( ),� y wn + ≥ 〈 〉f w X, ∀ w ∈ X ,
çto πkvyvalentno vklgçenyg co�( )y fn � . Znaçyt, pry kaΩdom n = 1, 2, …
najdetsq d yn n∈co�( ) takoe, çto dn = f . Otsgda neposredstvenno zaklgçaem,
çto lim ,
n n n Xd y y
→∞
〈 − 〉0 ≤ 0, y sohlasno λ-psevdomonotonnosty operatora � su-
westvugt { } { }y ym n⊂ y { } { }d dm n⊂ takye, çto
〈 − 〉f y y X, 0 = lim ,
m
m m Xd y v
→∞
〈 − 〉 ≥ [ ]( ),� y y v0 0 − − ∀ v ∈ X ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
518 V. S. MEL|NYK
t. e. [ ]( ),� y w0 + ≥ 〈 〉f w X, ∀ ∈ ⇒ ∈w X y K Bf r0 ∩ .
Lemma 11 dokazana.
Poskol\ku [ ]( ),� y v + = [ ] [ ]( ), ( ),A y v B y v+ ++ , teorema 8 dokazana.
Zameçanye.7. Teorema 9 dokaz¥vaetsq analohyçno.
Analyzyruq dokazatel\stvo teorem¥ 8, pryxodym k sledugwemu utverΩ-
denyg.
Teorema.10. P u s t \ A V V: ⇒ ∗ , B W W: ⇒ ∗
— λ -psevdomonotonn¥e
otobraΩenyq, udovletvorqgwye uslovyqm (24), (25), y pry kaΩdom F ∈ F ( X )
koneçnomern¥e otobraΩenyq A F FF : ⇒ ∗ , B F FF : ⇒ ∗
poluneprer¥vn¥
sverxu. Tohda spravedlyvo utverΩdenye teorem¥ 8.
Dokazatel\stvo. Dostatoçno zametyt\, çto dlq kaΩdoho F ∈ F ( X ) v sylu
ravenstva �F y( ) = A y B yF F( ) ( )+ (sm. dokazatel\stvo lemm¥ 10) operator
co�F qvlqetsq poluneprer¥vn¥m sverxu.
UtverΩdenye.3. Pust\ A X X: ⇒ ∗
— koneçnomerno lokal\no ohranyçen-
n¥j λ -psevdomonotonn¥j operator, spravedlyvo (30), otobraΩenye B X: ⇒
⇒ X∗
udovletvorqet uslovyqm a), b) predloΩenyq 7 y
[ ]( ),B y y y1 1 2− + ≥ [ ]( ),B y y y2 1 2− − ∀ y1 , y2 ∈ X . (37)
Tohda operator C = A + B udovletvorqet vsem uslovyqm utverΩdenyq 2.
Dokazatel\stvo. Analohyçno predloΩenyg 7 [1] dokaz¥vaetsq, çto C —
λ-psevdomonotonn¥j operator, koneçnomerno lokal\no ohranyçenn¥j v sylu
ohranyçennosty B.
Ostaetsq ustanovyt\ eho koπrcytyvnost\. S uçetom (37) poluçaem
[ ]( ),C y y + = [ ] [ ]( ), ( ),A y y B y y+ ++ ≥ [ ]( ), ( )A y y B y X+ −− 0 .
Poskol\ku B( )0 − — koneçnoe çyslo, yz poluçennoho sootnoßenyq naxodym
y C y yX
−
+ → + ∞1[ ]( ), pry y X → ∞ .
UtverΩdenye dokazano.
Zameçanye .8. UtverΩdenye?3 ostaetsq v syle, esly otobraΩenyq
A X X: ⇒ ∗ , B X X: ⇒ ∗
udovletvorqgt uslovyqm predloΩenyq 8 [1] y v¥-
polnqetsq neravenstvo (37).
Yzuçym varyacyonnoe neravenstvo s mnohoznaçn¥my otobraΩenyqmy vyda
[ ] [ ]( ), ( ), ( ) ( )A y v y B y v y v y− + − + −+ + ϕ ϕ ≥ 〈 − 〉f v y X, ∀ v ∈ X , (38)
hde A V V: ⇒ ∗ , B W W: ⇒ ∗, ϕ : X → R — v¥pukl¥j funkcyonal, f ∈ X
*.
Teorema.11. Pust\ operator¥ A, B udovletvorqgt uslovyqm teorem¥ 8
(yly 9), ϕ : X → R — v¥pukl¥j poluneprer¥vn¥j snyzu funkcyonal. Tohda dlq
lgboho f ∈ X
*
varyacyonnoe neravenstvo (38) ymeet, po krajnej mere, odno
reßenye.
Dokazatel\stvo. V uslovyqx teorem¥ funkcyonal ϕ poroΩdaet strohoe
subdyfferencyal\noe otobraΩenye ∂ ∗ϕ : X X⇒ , kotoroe poluneprer¥vno
sverxu, monotonno y ymeet zamknut¥e v¥pukl¥e ohranyçenn¥e znaçenyq v X
*
[12]. Sledovatel\no, ∂ ∗ϕ : X X⇒ — λ -psevdomonotonnoe koneçnomerno lo-
kal\no ohranyçennoe otobraΩenye.
Narqdu s (38) rassmotrym operatornoe vklgçenye
co coA y B y y( ) ( ) ( )+ + ∂ϕ � f . (39)
Vklgçenye (39) πkvyvalentno varyacyonnomu neravenstvu (38) [4]. Dlq zaver-
ßenyq dokazatel\stva teorem¥ ostalos\ zametyt\, çto operator
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 519
� = co coA B+ + ∂ϕ
udovletvorqet vsem uslovyqm teorem¥ 8 (yly 9), yz kotoroj v¥tekaet razreßy-
most\ (39).
Teorema 11 dokazana.
Teper\ rassmotrym neravenstvo (38), v kotorom B = 0 , a funkcyonal ϕ :
W → R, t. e.
[ ]( ), ( ) ( )A y v y v y− + −+ ϕ ϕ ≥ 〈 − 〉f v y X, ∀ v ∈ X . (40)
Teorema.12. Pust\ operator A V V: ⇒ ∗
udovletvorqet uslovyqm teo-
rem¥ 8 (yly 9), ϕ : W → R — v¥pukl¥j poluneprer¥vn¥j snyzu na W funk-
cyonal, pryçem
ϕ ( y ) ≥ γ ϕ y yW W( ) , (41)
hde γ ϕ( ) :⋅ →+R R — ohranyçennaq snyzu na otrezkax funkcyq y γ ϕ( )s → + ∞
pry s → ∞ .
Tohda varyacyonnoe neravenstvo (40) ymeet reßenye y X V W∈ = ∩ .
Dokazatel\stvo. Pry kaΩdom y ∈ W subdyfferencyal ∂ϕ ( y ) — nepus-
toe zamknutoe v¥pukloe ohranyçennoe mnoΩestvo v W
*
, a otobraΩenye
∂ ∗ϕ : W W⇒ — monotonnoe lokal\no ohranyçennoe poluneprer¥vnoe sverxu.
Rassmotrym assocyatyvnoe s (40) operatornoe vklgçenye
co A y y( ) ( )+ ∂ϕ � f .
OtobraΩenye � = co A + ∂ϕ : X X⇒ ∗
λ -psevdomonotonnoe y, sohlasno
ocenke (41), a takΩe estestvennomu neravenstvu
ϕ ϕ( ) [ ( ), ]0 + ∂ +y y ≥ ϕ ( y ),
pry y W → ∞ poluçaem
y y yW
−
+∂1[ ( ), ]ϕ ≥ γ ϕϕ y yW W( ) − −1 0( ) → + ∞ ,
t. e. operator � koπrcytyven na X y v¥polnen¥ vse uslovyq teorem¥ 8. Dlq
uslovyj teorem¥ 9 rassuΩdenyq analohyçn¥.
Prymer. Pust\ Ω — ohranyçennoe otkr¥toe mnoΩestvo v n-mernom evkly-
dovom prostranstve R
n
s rehulqrnoj hranycej ∂Ω [2], funkcyq h : Ω × R →
→ R udovletvorqet sledugwym uslovyqm:
1) dlq vsex s ∈ R funkcyq Ω � x � h ( x, s ) yzmeryma;
2) dlq poçty vsex x ∈ Ω funkcyq R ∈ s � h ( x, s ) v¥pukla y polunepre-
r¥vna snyzu;
3) suwestvugt funkcyy g g L0 1 1, ( )∈ Ω y çyslo α ≥ 0 takye, çto dlq vsex
s ∈ R y poçty vsex x ∈ Ω spravedlyv¥ ocenky
g x0( ) ≤ h ( x, s ) ≤ g x s p
1( ) + α , (42)
hde 1 < p < ∞ .
V banaxovom prostranstve Lp( )Ω summyruem¥x so stepen\g p funkcyj
rassmotrym yntehral\n¥j funkcyonal
ϕ ( y ) = h x y x dx( , ( ))
Ω
∫ .
Lemma.12. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq 1 – 3. Tohda ϕ : ( )Lp Ω → R — v¥-
pukl¥j poluneprer¥vn¥j snyzu funkcyonal, dom ϕ = Lp( )Ω , pryçem
∂ϕ ( y ) = { }( ) ( ) ( , ( )) . .ξ ξ∈ ∈∂L x h x y xq sΩ p v ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
520 V. S. MEL|NYK
hde p q− −+1 1 = 1, ∂sh x s( , ) — subdyfferencyal funkcyy h ( x, s ) po vtoromu
arhumentu.
Dokazatel\stvo. V¥puklost\ oçevydna, a poluneprer¥vnost\ snyzu sle-
duet yz nyΩnej ocenky (42) y lemm¥ Lebeha – Fatu. Yz verxnej ocenky (42) po-
luçaem dom ϕ = Lp( )Ω . Kak yzvestno, soprqΩenn¥j funkcyonal ymeet vyd
ϕ ξ∗( ) = h x x dx∗∫ ( , ( ))ξ
Ω
,
hde ξ ∈ Lq( )Ω , h x s∗( , ) = sup { ( , )}
t
ts h x s
∈
−
R
.
Sootnoßenye ξ ϕ∈∂ ( )y πkvyvalentno ravenstvu
ϕ ϕ ξ( ) ( )y + ∗ = y x x dx( ) ( )ξ
Ω
∫
yly
h x y x h x x y x x dx( , ( )) ( , ( )) ( ) ( )+ −[ ]∗∫ ξ ξ
Ω
= 0.
Poskol\ku pod¥ntehral\noe v¥raΩenye neotrycatel\noe, to
h x y x h x x( , ( )) ( , ( ))+ ∗ ξ = y x x( ) ( )ξ p. v.,
çto πkvyvalentno vklgçenyg ξ ( ) ( , ( ))x h x y xs∈∂ p. v.
Takym obrazom, dokazano vloΩenye
∂ϕ ( )y ⊂
{ }( ) ( ) ( , ( )) . .ξ ξ∈ ∈∂L x h x y xq sΩ p v = N.
Esly Ωe ξ ∈ N , to, oçevydno,
ϕ ϕ ξ( ) ( )y + ∗ = 〈 〉ξ, y ,
otkuda ξ ϕ∈∂ ( )y .
Lemma 12 dokazana.
Pust\ x = ( x1 , x2 , … , xn ) ∈ Ω , α = ( α1 , … , αn ) — mul\tyyndeks s cel¥my
neotrycatel\n¥my komponentamy αi , α = αii
n
=∑ 1
,
D y xα ( ) =
∂
∂
… ∂
∂
x x
y x
n
n
1
1α α
( ), D yk = D y kα α ={ }.
Oboznaçym çerez M1 , M2 çyslo razlyçn¥x mul\tyyndeksov α, β dlyn¥, ne
bol\ßej çem m y m – 1 sootvetstvenno, Wp
m( )Ω — prostranstvo Soboleva, so-
stoqwee yz funkcyj, prynadleΩawyx Lp( )Ω , obobwenn¥e çastn¥e proyzvod-
n¥e kotor¥x do porqdka m vklgçytel\no takΩe prynadleΩat Lp( )Ω ,
0
Wp
m( )Ω
— podprostranstvo prostranstva Wp
m( )Ω , qvlqgweesq zam¥kanyem hladkyx
fynytn¥x funkcyj v Wp
m( )Ω .
Rassmotrym semejstvo A xα η ξ( , , ) vewestvenn¥x funkcyj α ≤( )m , opre-
delenn¥x v Ω × ×R RM M2 1
y udovletvorqgwyx sledugwym uslovyqm [3]:
a) dlq poçty vsex x ∈ Ω funkcyq R RM M A x2 1× � ( , ) ( , , )η ξ η ξα� nepre-
r¥vna y dlq vsex η , ξ funkcyq Ω � x A x� α η ξ( , , ) yzmeryma;
b) suwestvugt funkcyq l Lq∈ ( )Ω y konstanta c > 0 takye, çto
A xα η ξ( , , ) ≤ C l xp pη ξ− −+ +( )1 1 ( ) p. v. dlq x ∈ Ω ;
v) dlq poçty vsex x ∈ Ω y proyzvol\n¥x ohranyçenn¥x η
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
TOPOLOHYÇESKYE METODÁ V TEORYY OPERATORNÁX VKLGÇENYJ … 521
A x p
m
α α
α
η ξ ξ
ξ ξ
( , , )
1
1+ −
=
∑ → + ∞ pry ξ → ∞ ;
h) dlq poçty vsex x ∈ Ω y vsex η
A x A x
m
α α α α
α
η ξ η ξ ξ ξ( , , ) ( , , )′ − ′′( ) ′ − ′′( )
=
∑ > 0 pry ξ′ ≠ ξ″
.
PoloΩym δ y = { }, , ,y Dy D ym… −1 , tohda dlq lgb¥x y, w ∈ Wp
m( )Ω opredele-
na forma
a ( y, w ) =
α
α
αδ
=
∑ ∫
m
mA x y D y D w dx( , , )
Ω
.
Pust\ V — zamknutoe vektornoe podprostranstvo v Wp
m( )Ω takoe, çto
0
Wp
m( )Ω ⊂ V ⊂ Wp
m( )Ω .
Rassmotrym mnohoznaçnoe otobraΩenye A V V: ⇒ ∗ , poroΩdennoe formu-
loj
〈 〉A y w V( ), = a y w wdx y( , ) ( )+ ∈∂
∫
Ω
ξ ξ ϕ = 〈 〉 + 〈 〉A y w A y wV V1 2( ), ( ), .
Pry v¥polnenyy uslovyj 1 – 3 y a) – h) otobraΩenye A A A V V= + ∗
1 2 : ⇒
qvlqetsq λ-psevdomonotonn¥m.
Teorema.13. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq 1 – 3 y a) – h), f ∈ V
*
y
y a y yV
−1 ( , ) → + ∞ pry y V → ∞ .
Tohda vklgçenye
α
α α
α
≤
∑ − ∂ + ∂
m
m
sD A x y D y h x y( ) ( , , ) ( , )1 � f
ymeet obobwennoe reßenye y ∈ V .
Pry predpoloΩenyqx 1 – 3, a) – h) v¥polnen¥ vse uslovyq teorem¥?8.
1. Mel\nyk V. S. Topolohyçeskye metod¥ v teoryy operatorn¥x vklgçenyj v banaxov¥x
prostranstvax. I // Ukr. mat. Ωurn. – 2006. – 58, # 2. – S.?184 – 194.
2. Skr¥pnyk Y. V. Metod¥ yssledovanyq nelynejn¥x πllyptyçeskyx hranyçn¥x zadaç. – M.:
Nauka, 1990.?– 442?s.
3. Lyons Û.-L. Nekotor¥e metod¥ reßenyq nelynejn¥x kraev¥x zadaç. – M.: Myr, 1972.?–
587?s.
4. Mel\nyk V. S. Mul\tyvaryacyonn¥e neravenstva y operatorn¥e vklgçenyq v banaxov¥x
prostranstvax s otobraΩenyqmy klassa ( )S + // Ukr. mat. Ωurn. – 2000. – 52, # 11. –
S.?1513?–?1523.
5. Melnik V. S., Vakulenko A. N. On topological method in the theory of operator inclusions with
dencely defined mapping in Banach spaces // Nonlinear Boundary Value Problems. – 2000. – 10. –
P. 125 – 142.
6. Ryd M., Sajmon B. Metod¥ sovremennoj matematyçeskoj fyzyky. T.1. Funkcyonal\n¥j
analyz. – M.: Myr, 1977.?– 357?s.
7. Pßenyçn¥j B. N. V¥pukl¥j analyz y πkstremal\n¥e zadaçy. – M.: Nauka, 1980.?– 320?s.
8. Mel\nyk V. S. Uzahal\nena nerivnist\ Ki Fanq i nuli bahatoznaçnyx vidobraΩen\ // Dopov.
NAN Ukra]ny. – 2004. – # 3. – S.?15 – 19.
9. Zhurovskyj M. Z., Mel\nyk V. S. Nelynejn¥j analyz y upravlenye beskoneçnomern¥my sys-
temamy. – Kyev: Nauk. dumka, 1999.?– 630?s.
10. Obπn Û.-P., ∏kland Y. Prykladnoj nelynejn¥j analyz. – M.: Myr, 1988.?– 510?s.
11. Íefer X. Topolohyçeskye vektorn¥e prostranstva. – M.: Myr, 1971.?– 359?s.
12. Kas\qnov P. O., Mel\nyk V. S. Pro vlastyvosti subdyferencial\nyx vidobraΩen\ u prosto-
rax Freße // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 10. – S. 1385 – 1394.
Poluçeno 31.10.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3470 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:07Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5b/2af5d43fab5aff0520475223e68d2d5b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34702020-03-18T19:55:25Z Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. II Топологические методы в теории операторных включений в банаховых пространствах. II Mel'nik, V. S. Мельник, В. С. Мельник, В. С. We develop topological methods for the investigation of operator inclusions in Banach spaces, prove the generalized Ky Fan inequality, and study the critical points of many-valued mappings in topological spaces. Розробляються топологічні методи дослідження операторних включень у банахових просторах. Доведено узагальнену нерівність Кі Фаня та досліджено критичні точки багатозначних відображень у топологічних просторах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3470 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 4 (2006); 505–521 Український математичний журнал; Том 58 № 4 (2006); 505–521 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3470/3677 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3470/3678 Copyright (c) 2006 Mel'nik V. S. |
| spellingShingle | Mel'nik, V. S. Мельник, В. С. Мельник, В. С. Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. II |
| title | Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. II |
| title_alt | Топологические методы в теории операторных включений в банаховых пространствах. II |
| title_full | Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. II |
| title_fullStr | Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. II |
| title_full_unstemmed | Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. II |
| title_short | Topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces. II |
| title_sort | topological methods in the theory of operator inclusions in banach spaces. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3470 |
| work_keys_str_mv | AT mel039nikvs topologicalmethodsinthetheoryofoperatorinclusionsinbanachspacesii AT melʹnikvs topologicalmethodsinthetheoryofoperatorinclusionsinbanachspacesii AT melʹnikvs topologicalmethodsinthetheoryofoperatorinclusionsinbanachspacesii AT mel039nikvs topologičeskiemetodyvteoriioperatornyhvklûčenijvbanahovyhprostranstvahii AT melʹnikvs topologičeskiemetodyvteoriioperatornyhvklûčenijvbanahovyhprostranstvahii AT melʹnikvs topologičeskiemetodyvteoriioperatornyhvklûčenijvbanahovyhprostranstvahii |