Functions of the first Baire class with values in metrizable spaces
We show that every mapping of the first functional Lebesgue class that acts from a topological space into a separable metrizable space that is linearly connected and locally linearly connected belongs to the first Baire class. We prove that the uniform limit of functions of the first Baire class $f_...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3475 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509572821680128 |
|---|---|
| author | Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. |
| author_facet | Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. |
| author_sort | Karlova, O. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:55:25Z |
| description | We show that every mapping of the first functional Lebesgue class that acts from a topological space into a separable metrizable space that is linearly connected and locally linearly connected belongs to the first Baire class. We prove that the uniform limit of functions of the first Baire class $f_n : \; X \rightarrow Y$ belongs to the first Baire class if $X$ is a topological space and $Y$ is a metric space that is linearly connected and locally linearly connected. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 517.51
O. O. Karlova, V. V. Myxajlgk (Çernivec. nac. un-t)
FUNKCI} PERÍOHO KLASU BERA
ZI ZNAÇENNQMY V METRYZOVNYX PROSTORAX
We show that every mapping of the first functional Lebesgue class acting from a topological space into
an arcwise connected and locally arcwise connected separable metric space belongs to the first Baire
class. We prove that the uniform limit of functions of the first Baire class fn : X → Y belongs to the first
Baire class if X is a topological space and Y is an arcwise connected and locally arcwise connected
metric space.
Pokazano, wo koΩne vidobraΩennq perßoho funkcional\noho klasu Lebeha, qke di[ z topolo-
hiçnoho prostoru v linijno zv’qznyj i lokal\no linijno zv’qznyj separabel\nyj metryzovnyj
prostir, naleΩyt\ do perßoho klasu Bera. Vstanovleno, wo rivnomirna hranycq funkcij per-
ßoho klasu Bera fn : X → Y naleΩyt\ do perßoho klasu Bera, qkwo X — topolohiçnyj prostir,
Y — linijno zv’qznyj i lokal\no linijno zv’qznyj metryçnyj prostir.
1. Dlq topolohiçnyx prostoriv X i Y çerez B1 ( X, Y ) poznaçymo klas usix vi-
dobraΩen\ f : X → Y perßoho klasu Bera, tobto potoçkovyx hranyc\ poslidov-
nostej neperervnyx vidobraΩen\ fn : X → Y, a çerez H X Y1
*( , ) — sukupnist\ vi-
dobraΩen\ f : X → Y perßoho funkcional\noho klasu Lebeha, tobto takyx, dlq
qkyx proobraz f –
1(G) vidkryto] v Y mnoΩyny G poda[t\sq u vyhlqdi zliçen-
noho ob’[dnannq funkcional\no zamknenyx u X mnoΩyn. Dlq doskonalo nor-
mal\noho prostoru X klas H X Y1
*( , ) zbiha[t\sq z klasom H1 ( X, Y ) usix vido-
braΩen\ f : X → Y perßoho klasu Lebeha, tobto takyx, dlq qkyx proobraz
f –
1(G) vidkryto] v Y mnoΩyny G poda[t\sq u vyhlqdi zliçennoho ob’[dnannq
zamknenyx u X mnoΩyn.
Nahada[mo [1], wo sim’q B pidmnoΩyn prostoru X nazyva[t\sq bazog dlq
vidobraΩennq f : X → Y , qkwo proobraz f –
1(G) dovil\no] vidkryto] v Y mno-
Ωyny G moΩna podaty u vyhlqdi ob’[dnannq mnoΩyn iz B. Qkwo sim’q B [ σ-
dyskretnog, to nazyva[mo ]] σ-dyskretnog bazog dlq f i hovorymo, wo vido-
braΩennq f [ σ-dyskretnym. Klas usix σ-dyskretnyx vidobraΩen\ f : X → Y
budemo poznaçaty Σ ( X, Y ). ZauvaΩymo, wo koΩne neperervne vidobraΩennq,
qke di[ z metryzovnoho prostoru, a takoΩ dovil\ne vidobraΩennq zi znaçennqmy
u prostori z druhog aksiomog zliçennosti budut\ σ-dyskretnymy. Vstanovleno
[2], wo klas σ-dyskretnyx vidobraΩen\ zamknenyj vidnosno potoçkovyx hra-
nyc\.
Zhidno z klasyçnog teoremog Lebeha – Xausdorfa [3, c. 402], vklgçennq
H1 ( X, Y ) ⊆ B1 ( X, Y ) ma[ misce u vypadku, koly X — metryzovnyj prostir, a Y =
= [ 0, 1 ]
n
, de n ≤ ℵ0 .
U roboti [4] pokazano, wo vklgçennq H X Y1
*( , ) ⊆ B1 ( X, Y ) vykonu[t\sq, qk-
wo X — topolohiçnyj prostir, Y — metryzovnyj separabel\nyj topolohiçnyj
© O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK, 2006
568 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
FUNKCI} PERÍOHO KLASU BERA ZI ZNAÇENNQMY V METRYZOVNYX … 569
vektornyj prostir. R. Hansell [5] doviv, wo koΩne vidobraΩennq f : X → Y
perßoho klasu Lebeha naleΩyt\ do perßoho klasu Bera, qkwo X — normal\-
nyj xausdorfovyj prostir, a Y — povnyj separabel\nyj metryçnyj prostir,
qkyj [ absolgtnym retraktom. U statti [6] vklgçennq H X Y1
*( , ) ⊆ B1 ( X, Y )
vstanovleno dlq topolohiçnoho prostoru X i zv’qzno] lokal\no stqhuvano]
mnoΩyny Y ⊆ R
n
.
ZauvaΩymo, wo u zhadanyx vywe rezul\tatax vklgçennq H1
* ⊆ B1 dovodyt\-
sq za klasyçnog sxemog: spoçatku funkciq f perßoho klasu Lebeha poda[t\sq
u vyhlqdi rivnomirno] hranyci prostyx funkcij perßoho klasu Bera, za dopomo-
hog qkyx potim, iz vykorystannqm diahonal\noho procesu, budu[t\sq potoçkovo
zbiΩna do f poslidovnist\ neperervnyx funkcij.
M. Fosherau [7] zaproponuvav inßyj pidxid do vstanovlennq vklgçennq
H X Y1
*( , ) ⊆ B1 ( X, Y ), qkyj bazu[t\sq na ponqtti σ-dyskretnoho vidobraΩennq i
qkisno vykorystovu[ metryzovnist\ prostoriv X i Y. Vin pokazav, wo koΩne σ-
dyskretne vidobraΩennq f : X → Y perßoho klasu Lebeha naleΩyt\ do perßoho
klasu Bera, qkwo X — metryzovnyj prostir, a Y — linijno zv’qznyj i lokal\no
linijno zv’qznyj metryzovnyj prostir. Krim toho, vin vstanovyv nastupnyj
fakt.
Teorema (Fosherau). Nexaj Y — povnyj metryzovnyj prostir. Todi nas-
tupni umovy [ rivnosyl\nymy:
i) Y zv’qznyj i lokal\no zv’qznyj;
ii) B1 ( [ 0, 1], Y ) = H1 ( [ 0, 1], Y );
iii) B1 ( X, Y ) = H1 ( X, Y ) ∩ Σ ( X, Y ) dlq dovil\noho metryzovnoho prostoru X.
Zokrema, u vypadku, koly prostir X metryzovnyj, a Y — linijno zv’qznyj i
lokal\no linijno zv’qznyj separabel\nyj metryzovnyj prostir, B1 ( X , Y ) =
= H1 ( X, Y ).
U zv’qzku z cym pryrodno vynyka[ pytannq pro rivnist\ B1 ( X, Y ) = H X Y1
*( , ) ,
koly X — dovil\nyj topolohiçnyj prostir, a Y — separabel\nyj linijno zv’qz-
nyj i lokal\no linijno zv’qznyj metryçnyj prostir. Krim toho, na pidstavi no-
vyzny metodu, zaproponovanoho v [7], posta[ zadaça pro naleΩnist\ do perßoho
klasu Bera rivnomirno] hranyci vidobraΩen\ perßoho klasu Bera zi znaçennqmy
v metryçnomu prostori.
U danij roboti, vykorystovugçy teoremu Fosherau, my spoçatku da[mo pozy-
tyvnu vidpovid\ na perße z pytan\, a potim dovodymo, wo dlq dovil\noho topo-
lohiçnoho prostoru X i linijno zv’qznoho i lokal\no linijno zv’qznoho metry-
zovnoho prostoru Y mnoΩyna B1 ( X, Y ) zamknena vidnosno vzqttq rivnomirno]
hranyci. Na zaverßennq navodymo pryklad povnoho linijno zv’qznoho metryçno-
ho prostoru Y i vidobraΩennq f : [ 0, 1] → Y , qke [ rivnomirnog hranyceg vido-
braΩen\ perßoho klasu Bera, pryçomu f � B1 ( [ 0, 1], Y ).
2. Nastupnyj dopomiΩnyj rezul\tat da[ moΩlyvist\ pry vyvçenni vidobra-
Ωen\ f ∈ H X Y1
*( , ) perexodyty do metryzovnoho prostoru X.
TverdΩennq 1. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Y — T1-prostir z dru-
hog aksiomog zliçennosti i f ∈ H X Y1
*( , ) . Todi isnugt\ metryzovnyj prostir
Z, neperervne vidobraΩennq ϕ : X → Z i vidobraΩennq g ∈ H1 ( Z, Y ) taki, wo
f ( x ) = g ( ϕ ( x ) ) dlq koΩnoho x ∈ X.
Dovedennq. Nexaj ( )Vn n=
∞
1 — zliçenna baza u prostori Y . Oskil\ky
f ∈ H X Y1
*( , ) , to En = f –
1( Vn ) [ funkcional\nymy Fσ-mnoΩynamy v X, tobto
En = k nkE=
∞
1∪ , de En k = ϕnk
−1 0( ) i ϕn k : X → [ 0, 1] — neperervni vidobraΩennq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
570 O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK
Dlq dovil\nyx n, k ∈ N poklademo Zn k = [ 0, 1] i rozhlqnemo neperervne vido-
braΩennq ϕ : X →
n k nkZ
, =
∞∏ 1
, ϕ
( x ) = ϕnk n kx( ) ,( ) =
∞
1 . Poznaçymo Z = ϕ
( X ). Zro-
zumilo, wo prostir Z [ metryzovnym.
Nexaj x1 , x2 ∈ X taki, wo ϕ
( x1 ) = ϕ
( x2 ). PokaΩemo, wo f ( x1 ) = f ( x2 ). Pry-
pustymo, wo f ( x1 ) ≠ f ( x2 ). Todi isnu[ n ∈ N take, wo f ( x1 ) ∈ Vn i f ( x2 ) � Vn ,
tobto x1 ∈ En i x2 � En . Vyberemo k ∈ N tak, wo x1 ∈ En k
. Todi ϕn k
( x1 ) = 0 i
x2 � En k , tobto ϕn k
( x2 ) > 0. Tomu ϕ
( x1 ) ≠ ϕ
( x2 ). Takym çynom, vidobraΩennq
g : Z → Y, g
( z ) = f ( x ), qkwo z = ϕ
( x ), vyznaçene korektno.
Zalyßylos\ pereviryty, wo g ∈ H1 ( Z, Y ). Dlq c\oho dosyt\ dovesty, wo
Fn = g
–
1( Vn ) [ Fσ-mnoΩynog v Z dlq koΩnoho n ∈ N. Dlq dovil\nyx n, k ∈ N
poklademo Fn k = z z Z zij i j nk= ∈ ={ }=
∞( ) :, 1 0 i pokaΩemo, wo Fn = k nkF=
∞
1∪ .
Nexaj z = ( ) ,zij i j=
∞
1 ∈ Fn . Viz\memo x ∈ X take, wo ϕ
( x ) = z. Oskil\ky f ( x ) =
= g
( z ) ∈ Vn , to x ∈ En . Tomu isnu[ k ∈ N take, wo x ∈ En k
. Todi ϕn k
( x ) = 0,
tobto zn k = 0, otΩe, z ∈ Fn k
.
Teper nexaj z = ( ) ,zij i j=
∞
1 ∈ Fn k dlq deqkyx n, k ∈ N. Vybravßy x ∈ X tak,
wo ϕ
( x ) = z, oderΩymo ϕn k
( x ) = 0. Tomu x ∈ En k � En i g
( z ) = f ( x ) ∈ Vn , tobto
z ∈ Fn .
Oskil\ky vsi mnoΩyny Fn k zamkneni, to Fn [ Fσ-mnoΩynog.
Teorema 1. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Y — linijno zv’qznyj i lo-
kal\no linijno zv’qznyj metryzovnyj prostir, f : X → Y — vidobraΩennq per-
ßoho funkcional\noho klasu Lebeha take, wo mnoΩyna f ( X ) separabel\na. To-
di f ∈ B1 ( Z, Y ).
Dovedennq. Zhidno z tverdΩennqm 1, isnugt\ metryzovnyj prostir Z , ne-
perervne vidobraΩennq ϕ : X → Z i vidobraΩennq g ∈ H1 ( Z, Y ) taki, wo f ( x ) =
= g ( ϕ ( x ) ) dlq koΩnoho x ∈ X. VidobraΩennq g [ σ-dyskretnym, adΩe mno-
Ωyna g
( Z ) = f ( X ) separabel\na, otΩe, z druhog aksiomog zliçennosti. Tomu z
teoremy Fosherau vyplyva[, wo g ∈ B1 ( Z, Y ), tobto isnu[ poslidovnist\ nepe-
rervnyx vidobraΩen\ gn : Z → Y , qka potoçkovo zbiha[t\sq do vidobraΩennq g
na Z. Pokladagçy fn ( x ) = gn ( ϕ ( x ) ), oderΩu[mo poslidovnist\ neperervnyx vi-
dobraΩen\ fn : X → Y . Todi lim ( )n nf x→∞ = lim ( )n ng x→∞ ( )ϕ = g ( ϕ ( x ) ) = f ( x )
dlq dovil\noho x ∈ X.
Teoremu 1 dovedeno.
3. Teper perejdemo do vstanovlennq naleΩnosti do perßoho klasu Bera riv-
nomirno] hranyci funkcij perßoho klasu Bera.
Teorema 2. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Y — linijno zv’qznyj i lo-
kal\no linijno zv’qznyj metryzovnyj prostir, fn n( ) =
∞
1 — rivnomirno zbiΩna do
vidobraΩennq f : X → Y poslidovnist\ vidobraΩen\ f n ∈ B1 ( X , Y ). Todi
f ∈ B1 ( X, Y ).
Dovedennq. VidobraΩennq fn : X → Y naleΩyt\ do perßoho klasu Bera,
tomu dlq koΩnoho n isnu[ taka poslidovnist\ neperervnyx vidobraΩen\
gn m : X → Y , wo lim ( )m nmg x→∞ = fn ( x ) dlq koΩnoho x ∈ X. Poznaçymo F =
= { gn m : n, m ∈ N } i rozhlqnemo vidobraΩennq ϕ : X → Y
F
, ϕ ( x ) ( g ) = g ( x ). Os-
kil\ky vsi vidobraΩennq g ∈ F [ neperervnymy, to ϕ takoΩ neperervne. Po-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
FUNKCI} PERÍOHO KLASU BERA ZI ZNAÇENNQMY V METRYZOVNYX … 571
klademo Z = ϕ ( X ). Oskil\ky mnoΩyna F ne bil\ß niΩ zliçenna, to prostir Y
F
[ metryzovnym, tomu i prostir Z � Y
F
— metryzovnyj. ZauvaΩymo, wo dlq
koΩnoho g ∈ F vidobraΩennq π g : Z → Y , π g ( z ) = z ( g ), takoΩ neperervne.
Dlq koΩnoho n, m ∈ N poklademo hn m = πgnm
.
Nexaj x ∈ X, z ∈ Z i z = ϕ ( x ). Todi hn m ( z ) = z ( gn m ) = ϕ ( x ) ( gn m ) = gn m ( x ) i
dlq koΩnoho n ∈ N poklademo hn ( z ) = lim ( )m nmh z→∞ = lim ( )m nmg x→∞ = fn ( x )
i h ( z ) = lim ( )n nh z→∞ = lim ( )n nf x→∞ = f ( x ). Zrozumilo, wo vsi hn [ funkciqmy
perßoho klasu Bera i poslidovnist\ hn rivnomirno zbiha[t\sq do h. Todi funk-
ci] hn : Z → Y naleΩat\ do perßoho klasu Lebeha i [ σ-dyskretnymy. Tomu ta-
kog Ω bude i funkciq h. Zhidno z teoremog Fosherau, h ∈ B1 ( Z, Y ). Tomu isnu[
poslidovnist\ neperervnyx funkcij h̃n : Z → Y taka, wo h ( z ) = lim ˜ ( )n nh z→∞
dlq vsix z ∈ Z. Poklademo f̃n : X → Y,
˜ ( )f xn = ˜ ( )h xn ϕ( ) . Zrozumilo, wo vsi f̃n
neperervni i lim ˜ ( )n nf x→∞ = lim ˜ ( )n nh x→∞ ( )ϕ = h ( ϕ ( x ) ) = f ( x ). OtΩe,
f ∈ B1 ( X, Y ).
Teoremu 2 dovedeno.
4. Na zaverßennq navedemo pryklad, qkyj vkazu[ na istotnist\ umovy lo-
kal\no] linijno] zv’qznosti prostoru Y v teoremi 2.
ZauvaΩymo spoçatku, wo, zhidno z teoremog Fosherau, dlq dovil\noho sepa-
rabel\noho linijno zv’qznoho povnoho metryçnoho prostoru Y , qkyj ne [ lo-
kal\no linijno zv’qznym, B1 ( [ 0, 1], Y ) ≠ H1 ( [ 0, 1], Y ). Vraxovugçy, wo B1 ( [ 0,
1], Y ) � H1 ( [ 0, 1], Y ), oderΩu[mo, wo isnu[ funkciq f ∈ H1 \ B1 . Todi, oskil\ky
Y separabel\nyj, f [ rivnomirnog hranyceg prostyx funkcij fn ∈ H1 ( [ 0, 1],
Y ), tobto takyx, wo | fn ( [ 0, 1] ) | ≤ ℵ0 . Z linijno] zv’qznosti prostoru Y vy-
plyva[, wo fn ∈ B1 ( [ 0, 1], Y ).
Navedemo pryklad takoho prostoru Y i vidobraΩennq f.
Dlq koΩnoho n ∈ N poklademo ϕn =
π
2
–
π
2n
, pn = ( cos ϕn , sin ϕn ), ϕ0 =
π
2
.
Poznaçymo
Y =
n
np
=
∞
[ ]
0
0∪ , , Yn =
k
n
kp
=
[ ]
1
0∪ , .
Todi prostir Y [ povnym, separabel\nym, linijno zv’qznym, ale ne [ lokal\no
linijno zv’qznym, a vsi prostory Yn [ povnymy linijno zv’qznymy i lokal\no li-
nijno zv’qznymy.
Zanumeru[mo mnoΩynu racional\nyx çysel Q z vidrizka [ 0, 1] u poslidov-
nist\ { rn : n ∈ N } i dlq koΩnoho t ∈ [ 0, 1] poklademo
f ( t ) =
p x r
p x
n n, ,
, , .\
=
∈[ ]
0 0 1 Q
Dlq koΩnoho n ∈ N rozhlqnemo vidobraΩennq fn : [ 0, 1] → Yn ,
fn ( t ) =
p x r k n
p x r r
k k
n n
, , ,
, , , , .\
= ≤ <
∈[ ] …{ }
−
1
0 1 1 1
VidobraΩennq fn naleΩat\ do perßoho klasu Lebeha. Oskil\ky vsi Y n linijno
zv’qzni i lokal\no linijno zv’qzni, to fn ∈ B1 ( X, Yn ). Zrozumilo, wo poslidov-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
572 O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK
nist\ ( fn ) rivnomirno zbiha[t\sq do f.
PokaΩemo, wo f � B1 ( [ 0, 1], Y ). Prypustymo, wo isnu[ taka poslidovnist\
neperervnyx funkcij g n : [ 0, 1] → Y , wo f ( t ) = lim ( )n ng t→∞ dlq koΩnoho
t ∈ [ 0, 1]. Zhidno z teoremog Oshuda [8], isnugt\ vidkrytyj neporoΩnij interval
U � [ 0, 1] i n0 ∈ N taki, wo | f ( t ) – gn ( t ) | < 1 / 4 dlq vsix t ∈ U i n ≥ n0 . Ne-
xaj t0 ∈ U \ Q i rm ∈ U, t0 < rm . Vyberemo okoly V1 i V2 toçok p0 i pm v Y
tak, wob n V pn> [ ] ≠ ∅{ }0 01: ,∩ = ∅ i n V p n mn≥ [ ] ≠ ∅ ≠{ }0 02: ,∩ i = ∅.
Oskil\ky lim ( )n ng t→∞ 0 = p0 i lim ( )n n mg r→∞ = pm , to isnu[ takyj nomer k ≥ n0 ,
wo gk ( t0 ) ∈ V1 i gk ( rm ) ∈ V2 .
PokaΩemo, wo isnu[ t1 ∈ [ t0 , rm ] take, wo gk ( t1 ) = 0. Nexaj ce ne tak, tobto
g t rk m0,[ ]( ) � Y \ { 0 }. Vyberemo i ∈ N tak, wo gk ( rm ) ∈ ( 0, pi ]. Poznaçymo
G1 = ( 0, pi ] i G 2 =
j i jp≠ ( ]∪ 0, . Todi gk ( t0 ) ∈ G2 . MnoΩyny G 1 i G 2
vidkryti v Y, tomu mnoΩyny g Gk
−1
1( ) i g Gk
−1
2( ) teΩ vidkryti v [ 0, 1], pryçomu
[ t0 , rm ] = g Gk
−1
1( ) � g Gk
−1
2( ) , wo supereçyt\ zv’qznosti vidrizka [ t0 , rm ].
OtΩe, isnu[ take t1 ∈ U, wo gk ( t1 ) = 0. Ale todi | f ( t1 ) | < 1 / 4, wo nemoΩ-
lyvo, zhidno z oznaçennqm funkci] f. Takym çynom, f � B1 ( [ 0, 1], Y ).
1. Hansell R. W. Borel measurable mappings for nonseparable metric spaces // Trans. Amer. Math.
Soc. – 1971. – 161. – P. 145 – 169.
2. Hansell R. W. Extended Bochner measurable selectors // Math. Ann. – 1987. – 277. – P. 79 – 94.
3. Kuratovskyj K. Topolohyq: V 2 t. – M.: Myr, 1966. – T. 1. – 594 s.
4. Karlova O. O. Perßyj funkcional\nyj lebehivs\kyj klas i berivs\ka klasyfikaciq nariz-
no neperervnyx vidobraΩen\ // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Matematyka. – 2004. –
Vyp.R191 – 192. – S. 52 – 60.
5. Hansell R. W. Lebesgue’s theorem on Baire class 1 functions // Topology with Appl., Szekszard
(Hungary). – 1993. – P. 251 – 257.
6. Karlova O. O. Berivs\ka klasyfikaciq vidobraΩen\ zi znaçennqmy u pidmnoΩynax skinçen-
novymirnyx prostoriv // Nauk. visn. Çernivec. un-tu. Matematyka. – 2005. – Vyp. 239. –
S.R59 – 65.
7. Fosgerau M. When are Borel functions Baire functions? // Fund. Math. – 1993. – 143. –
P. 137 – 152.
8. Osgood W. F. Über die ungleichmässige Convergenz und die gliedweise Integration der Reihen //
Nachr. Ges. Wiss. Göttingen. – 1896. – S. 288 – 291.
OderΩano 28.06.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3475 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:14Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3c/def7aa52fa4bc690b831e1572c4c1f3c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34752020-03-18T19:55:25Z Functions of the first Baire class with values in metrizable spaces Функції першого класу Бера зі значеннями в метризовних просторах Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. We show that every mapping of the first functional Lebesgue class that acts from a topological space into a separable metrizable space that is linearly connected and locally linearly connected belongs to the first Baire class. We prove that the uniform limit of functions of the first Baire class $f_n : \; X \rightarrow Y$ belongs to the first Baire class if $X$ is a topological space and $Y$ is a metric space that is linearly connected and locally linearly connected. Показано, що кожне відображення першого функціонального класу Лебега, яке діє з топологічного простору в лінійно зв'язний і локально лінійно зв'язний сепарабельний метризовний простір, належить до першого класу Вера. Встановлено, що рівномірна границя функцій першого класу Вера $f_n : \; X \rightarrow Y$ належить до першого класу Вера, якщо $X$ — топологічний простір, $Y$ — лінійно зв'язний і локально лінійно зв'язний метричний простір. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3475 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 4 (2006); 568–572 Український математичний журнал; Том 58 № 4 (2006); 568–572 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3475/3687 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3475/3688 Copyright (c) 2006 Karlova O. O.; Mykhailyuk V. V. |
| spellingShingle | Karlova, O. O. Mykhailyuk, V. V. Карлова, О. О. Михайлюк, В. В. Functions of the first Baire class with values in metrizable spaces |
| title | Functions of the first Baire class with values in metrizable spaces |
| title_alt | Функції першого класу Бера зі значеннями в метризовних просторах |
| title_full | Functions of the first Baire class with values in metrizable spaces |
| title_fullStr | Functions of the first Baire class with values in metrizable spaces |
| title_full_unstemmed | Functions of the first Baire class with values in metrizable spaces |
| title_short | Functions of the first Baire class with values in metrizable spaces |
| title_sort | functions of the first baire class with values in metrizable spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3475 |
| work_keys_str_mv | AT karlovaoo functionsofthefirstbaireclasswithvaluesinmetrizablespaces AT mykhailyukvv functionsofthefirstbaireclasswithvaluesinmetrizablespaces AT karlovaoo functionsofthefirstbaireclasswithvaluesinmetrizablespaces AT mihajlûkvv functionsofthefirstbaireclasswithvaluesinmetrizablespaces AT karlovaoo funkcííperšogoklasuberazíznačennâmivmetrizovnihprostorah AT mykhailyukvv funkcííperšogoklasuberazíznačennâmivmetrizovnihprostorah AT karlovaoo funkcííperšogoklasuberazíznačennâmivmetrizovnihprostorah AT mihajlûkvv funkcííperšogoklasuberazíznačennâmivmetrizovnihprostorah |