Finite A-groups with complementable nonmetacyclic subgroups
We study groups G, satisfying the following conditions: 1)G — is a finite soluble group with nontrivial prime-power metacyclic second commutator subgroup; 2)all Sylow subgroups of G are elementary Abelian. We describe the structure of these groups with complemented nonmetacyclic subgroup.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3479 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509577626255360 |
|---|---|
| author | Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. |
| author_facet | Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. |
| author_sort | Baryshovets, P. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:55:42Z |
| description | We study groups G, satisfying the following conditions:
1)G — is a finite soluble group with nontrivial prime-power metacyclic second commutator subgroup;
2)all Sylow subgroups of G are elementary Abelian.
We describe the structure of these groups with complemented nonmetacyclic subgroup. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.41/47
P. P. Bar¥ßovec (Nac. avyac. un-t, Kyev)
KONEÇNÁE A-HRUPPÁ S DOPOLNQEMÁMY
NEMETACYKLYÇESKYMY PODHRUPPAMY
We study groups G, satisfying the following conditions:
1) G — is a finite soluble group with nontrivial prime-power metacyclic second commutator
subgroup;
2) all Sylow subgroups of G are elementary Abelian.
We describe the structure of these groups with complemented nonmetacyclic subgroup.
Vyvçagt\sq hrupy G, qki zadovol\nqgt\ taki umovy:
1) G — skinçenna rozv’qzna hrupa z neodynyçnym prymarnym metacykliçnym druhym komu-
tantom;
2) vsi sylovs\ki pidhrupy iz G elementarni abelevi.
Navedeno opys budovy takyx hrup z dopovngvanymy nemetacykliçnymy pidhrupamy.
1. Metacyklyçeskoj naz¥vaetsq hruppa, qvlqgwaqsq rasßyrenyem cyklyçes-
koj (v çastnosty, edynyçnoj) hrupp¥ s pomow\g cyklyçeskoj. Svojstva cyk-
lyçeskyx (metacyklyçeskyx) yly necyklyçeskyx (nemetacyklyçeskyx) pod-
hrupp vo mnohyx sluçaqx opredelqgt stroenye vsej hrupp¥. ∏ty svojstva mo-
hut otnosyt\sq k otdel\n¥m yly ko vsem podhruppam takoho vyda. Naprymer, v
[1] dokazano, çto koneçnaq hruppa, qvlqgwaqsq proyzvedenyem dvux svoyx me-
tacyklyçeskyx podhrupp, razreßyma. Çto kasaetsq yzuçenyq hrupp, v kotor¥x
vse metacyklyçeskye (nemetacyklyçeskye) podhrupp¥ ymegt opredelennoe
svojstvo, to v kaçestve takoho svojstva v¥byralas\, naprymer, prymarnost\ yn-
deksa [2], normal\nost\ [3] y dopolnqemost\ [4]. Hrupp¥ s uslovyem dopolnqe-
mosty dlq tex yly yn¥x system podhrupp yzuçaly F. Xoll, N. V. Çernykova
(Baeva), S. N. Çernykov, G. M. Horçakov, D. Y. Zajcev, Q. P. S¥sak, N. S. Çer-
nykov y dr. (sm. [5]). Polnoe opysanye proyzvol\n¥x (kak koneçn¥x, tak y bes-
koneçn¥x) hrupp, v kotor¥x dopolnqem¥ vse podhrupp¥, poluçyvßyx nazvanye
vpolne faktoryzuem¥x, b¥lo poluçeno v rabote [6] (sm. takΩe [7 – 9]). V rabo-
tax [10, 11] b¥lo pokazano, çto proyzvol\n¥e vpolne faktoryzuem¥e hrupp¥
sovpadagt s hruppamy, v kotor¥x dopolnqem¥ vse abelev¥ podhrupp¥. Dlq
koneçn¥x hrupp polnaq faktoryzuemost\ sleduet yz uslovyq dopolnqemosty
odnyx tol\ko πlementarn¥x abelev¥x podhrupp [10] yly daΩe cyklyçeskyx
πlementarn¥x abelev¥x podhrupp [11]. V svqzy s πtymy rezul\tatamy po yny-
cyatyve S. N. Çernykova b¥ly v¥delen¥ y yzuçalys\ hrupp¥ s temy yly yn¥my
systemamy dopolnqem¥x necyklyçeskyx podhrupp (sm. [12]). Pry πtom v polu-
çenn¥x klassax hrupp narqdu s ne vpolne faktoryzuem¥my poqvylys\ y neraz-
reßym¥e hrupp¥ [4]. V [13 – 15] avtorom naçato yzuçenye koneçn¥x razreßy-
m¥x hrupp s abelev¥my sylovskymy podhruppamy, ymegwyx svojstvo dopolnqe-
mosty nemetacyklyçeskyx podhrupp. Okazalos\, v çastnosty, çto yx stupen\
razreßymosty ne prev¥ßaet çysla 3. V nastoqwej rabote zaverßaetsq yzuçe-
nye takyx hrupp.
Dokazana sledugwaq teorema.
Teorema. V koneçnoj hruppe G s abelev¥my sylovskymy podhruppamy y ne-
edynyçn¥m metacyklyçeskym prymarn¥m vtor¥m kommutantom vse nemetacyk-
lyçeskye podhrupp¥ dopolnqem¥ tohda y tol\ko tohda, kohda ona qvlqetsq
hruppoj odnoho yz sledugwyx typov:
1) G = G′′ l (T l 〈 d 〉 ), hde G′′ = 〈 a1 〉 × 〈 a2 〉, | a1 | = | a2 | = p, p — neçetnoe
prostoe çyslo, p > 5, T = 〈 b 〉 × L , 〈 b, d 〉 ′ = 〈 b 〉, d
– 1
L d = L, 〈 L, d 〉 ′ = Z ( G′ ),
d
– 1
a1 d = a2 , d
– 1
a2 d = a1 , | d | = 2, ( 2p, | b | ) = 1, p2 � | L |, [ G′′, L p ] = 1,
NG ( 〈 a1 〉 ) = NG ( 〈 a2 〉 ) = Y = G′′ l T, NG ( 〈 a1
, a2 〉 ) = 〈 G′′, L, d 〉, hruppa L meta-
© P. P. BARÁÍOVEC, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 607
608 P. P. BARÁÍOVEC
cyklyçna, a T 〈 d 〉 vpolne faktoryzuema y esly x — πlement prostoho porqd-
ka yz 〈 b 〉, to 〈 G′′, x, d 〉 — mynymal\naq ne vpolne faktoryzuemaq hruppa;
krome toho, v¥polnqetsq odno yz sledugwyx utverΩdenyj:
a) | b | — prostoe çyslo y [ L, G ′′ ] = 1; esly Ωe [ L, G ′′ ] ≠ 1, to p � | L′ | y
L / CL ( Y ′ ) — cyklyçeskaq hruppa;
b) | b | — sostavnoe çyslo, p � | L′ |, ( | b |
2, | L | ) / | b | y Y / CY ( Y ′ ) — cykly-
çeskaq hruppa;
2) G = ( ( G′′ × C ) l 〈 b 〉 ) l 〈 d 〉, hde G ′′ = 〈 a1 〉 × 〈 a2 〉, | a1 | = | a2 | = p, p —
prostoe çyslo, p > 3, 〈 b 〉 = 〈 b1 〉 × 〈 b2 〉 × 〈 b3 〉, | d | = 2, πlement¥ yz 〈 b1 〉
dejstvugt na G′′ nepryvodymo, b– 1
C b = C , d
– 1
C d = C , [ 〈 b1
, b2 〉, C ] = 1,
d
– 1
a1 d = a2 , d
– 1
a2 d = a1 , [ G′′, Lp ] = 1, L = 〈 b3
, C 〉, 4 � | L |, p2 � | L |, C 〈 b, d 〉,
〈 G′′, C, b2
, b3 〉 y 〈 G′′, b3
, d 〉 — vpolne faktoryzuem¥e hrupp¥;
krome toho, v¥polnqetsq odno yz sledugwyx utverΩdenyj:
a) 〈 b2
, b3 〉 = 1, 〈 〈 k, d 〉 ′, C, d 〉 — metacyklyçeskaq hruppa;
b) b2 = 1, [ b3 , d ] = 1, 〈 L, d 〉 — metacyklyçeskaq hruppa, p � | 〈 L, d 〉 ′ |,
( | C / C ′ |, | b3 | ) = 1 y esly 2 | | b3 |, t o 2 � | S / CS ( C ′ ) |, a esly 2 | | C |, t o
hruppa Φ / CΦ ( Φ′ ) cyklyçeskaq, hde S = 〈 L, d 〉, Φ = G′′ S;
v) b2 ≠ 1, 〈 b2
, d 〉 ′ = b2
, [ b3 , d ] = 1, 〈 a1
, a2 , C, b2
, b3 〉 — hruppa typa 1 nas-
toqwej teorem¥.
V nemetacyklyçeskoj hruppe so svojstvom: lgbaq nemetacyklyçeskaq pod-
hruppa dopolnqema, vse nemetacyklyçeskye podhrupp¥ y nemetacyklyçeskye
faktor-hrupp¥ ymegt to Ωe svojstvo. Krome toho, faktor-hruppa takoj hrup-
p¥ po ee nemetacyklyçeskomu normal\nomu delytelg vpolne faktoryzuema.
Koneçn¥e razreßym¥e hrupp¥ s abelev¥my sylovskymy podhruppamy naz¥-
vagtsq A-hruppamy [16]. V A-hruppax pereseçenye centra s kommutantom try-
vyal\no y kommutant¥ vsex normal\n¥x delytelej dopolnqem¥ [16].
NyΩe rassmatryvagtsq tol\ko A-hrupp¥. Poπtomu sylovskye p-podhrupp¥
kommutantov G′ y H′ budem oboznaçat\ çerez ′Gp y ′Hp.
2. Dokazatel\stvo teorem¥. Neobxodymost\. Pust\ G — koneçnaq
hruppa s πlementarn¥my abelev¥my sylovskymy podhruppamy, v kotoroj dopol-
nqem¥ vse nemetacyklyçeskye podhrupp¥, a vtoroj kommutant G′′ qvlqetsq
prymarnoj needynyçnoj metacyklyçeskoj hruppoj. Tohda v sylu lemm¥ 1 [14]
G′′ — necyklyçeskaq hruppa porqdka p2
, hde p — prostoe çyslo. Sohlasno
lemme 3 [14]
G = ( B × C ) l D, (1)
hde D — abeleva hruppa, B � G , C � G, G ′′ ⊆ B ⊆ G ′ y CG ( G′′ ) = G′′ × C .
Pust\ U — dopolnenye podhrupp¥ K = G′′ v B D. Tohda U moΩno otoΩdest-
vyt\ s podhruppoj hrupp¥ G L ( 2, p ). Poskol\ku K — mynymal\n¥j normal\-
n¥j delytel\ hrupp¥ G v sylu lemm¥ 2 [14], U — nepryvodymaq podhruppa yz
G L ( 2, p ). Oboznaçym H = K U.
1. U — ymprymytyvnaq podhruppa hrupp¥ G L ( 2, p ), t. e. K = 〈 a1 〉 × 〈 a2 〉,
| a1 | = | a2 | = p y dlq lgboho πlementa x ∈ U podhruppa x– 1
〈 ai 〉 x , i = 1, 2,
sovpadaet yly s 〈 a1 〉, yly s 〈 a2 〉. Tohda, kak pokazano v [18, s. 149], U soder-
Ωyt abelevu podhruppu N yndeksa 2, qvlqgwugsq normalyzatorom podhrupp
〈 a1 〉 y 〈 a2 〉 v U . Poskol\ku sylovskye podhrupp¥ hrupp¥ G πlementarn¥e
abelev¥, to U = N l 〈 d 〉, hde | d | = 2. Tohda moΩno tak v¥brat\ obrazugwye a1
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5
KONEÇNÁE A-HRUPPÁ S DOPOLNQEMÁMY NEMETACYKLYÇESKYMY … 609
y a2 , çto d
– 1
a1 d = a2 , d
– 1
a2 d = a1 . Oçevydno, [ a1 a2 , d ] = 1 y poπtomu
〈 K, d 〉 ′ = 〈 a3 〉, | a3 | = p, 〈 a3 〉 ≠ 〈 a1 〉 y 〈 a3 〉 ≠ 〈 a2 〉. Podhrupp¥ 〈 a1 a2 〉 y 〈 a3 〉
qvlqgtsq edynstvenn¥my podhruppamy porqdka p yz K , normalyzuem¥my
πlementom d (t. e. soderΩawymy d v svoem normalyzatore). Esly [ x, d ] = 1
dlq nekotoroho πlementa x ∈ N, to hruppa 〈 K, d, x 〉 vsledstvye rezul\tatov
[19] vpolne faktoryzuema. No tohda K razlahaetsq v prqmoe proyzvedenye
podhrupp porqdka p, normalyzuem¥x oboymy πlementamy: x y d. Yz yzloΩen-
noho sleduet, çto x– 1
〈 a1 a2 〉 x = 〈 a1 a2 〉 y x– 1
〈 a3 〉 x = 〈 a3 〉. Tohda x transfor-
myruet vse πlement¥ yz K, otlyçn¥e ot 1, v odnu y tu Ωe stepen\ [20, s. 9, 10],
y vse podhrupp¥ porqdka p yz K normalyzugtsq πlementom x. Obratno, esly
kakoj-nybud\ πlement yz U transformyruet vse needynyçn¥e πlement¥ yz K
v odnu y tu Ωe stepen\, to on soderΩytsq v centre podhrupp¥ U. Poskol\ku
G / G′′ — vpolne faktoryzuemaq hruppa, N razlahaetsq v prqmoe proyzvedenye
normal\n¥x v U podhrupp prost¥x porqdkov. Tohda N = N1 × N 2 , hde
〈 N1
, d 〉 = N1
, 〈 N2
, d 〉 ′ = 1, t. e. N2 = Z ( U ). Dalee, tak kak U — nepryvodymaq
podhruppa yz G L ( 2, p ), Z ( U ) — cyklyçeskaq hruppa [21, s. 12]. Ytak, N2 —
cyklyçeskaq hruppa.
∏lement¥ yz N1 transformyrugt a1 y a2 v stepeny s razlyçn¥my needy-
nyçn¥my pokazatelqmy, a πlement¥ yz N2 — s odynakov¥my (ne ravn¥my 1).
Esly Q — necyklyçeskaq sylovskaq podhruppa yz N1
, to lgbaq podhruppa yz
Q normalyzuema πlementom d. Dejstvytel\no, tohda 〈 Q, d 〉 ′ = Q, y tak kak
| d | = 2, d perevodyt vse needynyçn¥e πlement¥ yz Q v odnu y tu Ωe stepen\.
K Q ne qvlqetsq hruppoj Frobenyusa. Pust\ 1 ≠ y ∈ K, 1 ≠ z ∈ Q, [ y, z ] = 1.
Tohda | 〈 K, z 〉 ′ | = p. No K 〈 z 〉 � H = K U. Znaçyt, 〈 K z 〉 ′ � H. Poluçyly proty-
voreçye s mynymal\nost\g normal\noho delytelq K hrupp¥ H. Znaçyt, N1 —
cyklyçeskaq hruppa.
Esly [ C, N1 ] ≠ 1, to u hrupp¥ 〈 C, N1 , d 〉 kommutant neabelev y, znaçyt,
C ∩ G′′ ≠ 1. ∏to protyvoreçyt v¥boru podhrupp¥ C. Sledovatel\no, [ C, N1 ] =
= 1 y N1 ≠ 1, ynaçe ( H / K ) ′ = 1 vopreky uslovyg. Oboznaçym N1 = 〈 b 〉. Tohda
G = ( ( K l 〈 b 〉 ) × C ) l ( N2 × 〈 d 〉 ). Dalee, oboznaçym C N2 = L. Oçevydno, [ b,
L ] = 1, d
– 1
L d = L y 〈 L, d 〉 ′ = C1 = Z ( G′ ), L′ � G. Hruppu 〈 b, L 〉 = 〈 b 〉 × L oboz-
naçym çerez T.
Pust\ F — podhruppa yz G, udovletvorqgwaq uslovyg F = F1 l ( F2 × L ),
hde F1 = K ∩ F — podhruppa porqdka p yz F, normal\naq v F, a F2 — pod-
hruppa prostoho yndeksa (naprymer, q ) yz 〈 b 〉 (esly | b | — prostoe çyslo q,
to F2 = 1 ) (uslovye α ). Podhruppa F, oçevydno, soderΩyt podhruppu C yz
CG ( G′′ ).
PredpoloΩym, çto podhruppa F dopolnqema v G. Pust\ G = F X, F ∩ X = 1.
Tohda podhruppa F / C dopolnqema v hruppe G = G / C (sm. razloΩenye (1))
podhruppoj X C / C � X. Poπtomu v dal\nejßyx rassuΩdenyqx (do poluçenyq
protyvoreçyq s dopolnqemost\g podhrupp¥ F ) moΩno sçytat\, çto C = 1, y
yspol\zovat\ vse pred¥duwye oboznaçenyq, podrazumevaq pod G hruppu B D �
� G / C. Poskol\ku K — normal\naq sylovskaq p-podhruppa hrupp¥ G (pry
uslovyy, çto C = 1 ), to | K ∩ X | = p y Xp � X. Otmetym, çto | X | = 2p q. Dalee,
tak kak G = F X, F ∩ X = 1 y F ⊂ Y = NG ( 〈 a1 〉 ) = NG ( 〈 a2 〉 ), to Y = F X1
, F ∩
∩ X1 = 1, hde X1 = X ∩ Y — hruppa porqdka p q. Tohda sohlasno teoreme 4.7 [22]
(hl. VI) suwestvugt sylovskye q-podhrupp¥ Q, Q 1 y Q2 hrupp Y, F y X1
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5
610 P. P. BARÁÍOVEC
takye, çto Q = Q1 Q2 . Esly Q1 ≠ 1, to πlement¥ yz Q 1 vsledstvye v¥bora
hrupp¥ F transformyrugt πlement¥ yz K v odynakov¥e stepeny. ∏lement¥
yz Q2 ne mohut ymet\ takoho svojstva. V protyvnom sluçae πlement¥ yz Q
budut transformyrovat\ πlement¥ yz K v odynakov¥e stepeny, a πto protyvo-
reçyt sootnoßenyg q | | b |. Dalee, x ∉ Y y G = K U, pryçem v sylu predpolo-
Ωenyq C = 1 U qvlqetsq xollovskoj p′-podhruppoj hrupp¥ G. No tohda bez
potery obwnosty moΩno sçytat\, çto podhruppa W porqdka 2q yz X soder-
Ωytsq v U, a podhruppa W1 porqdka q — v N. Poskol\ku πlement¥ porqdka
q yz X transformyrugt πlement¥ yz 〈 a1 〉 y 〈 a2 〉 v razn¥e stepeny, to W1 ⊄
⊄ Z ( U ). No N — abeleva hruppa, a X ⊄ Y = NG ( K1 ) = NG ( K2 ). Znaçyt, W — ne-
abeleva hruppa. Tohda W1 � U y, znaçyt, ( K W1 ) ′ � G, a poπtomu ( K W1 ) ′ = K.
Otsgda sleduet, çto podhruppa porqdka p q yz X neabeleva. Poluçaem, çto X
— hruppa porqdka 2p q s neabelev¥m kommutantom. Protyvoreçye. Sledova-
tel\no, podhruppa F nedopolnqema v G. V dal\nejßyx rassuΩdenyqx snova C
— proyzvol\naq hruppa.
Yz dokazannoho utverΩdenyq sleduet, çto F — metacyklyçeskaq hruppa.
Otsgda, v çastnosty, sleduet, çto hruppa L metacyklyçna. Poskol\ku 〈 b 〉
dejstvuet rehulqrno na K, to p � | b |. Yz nedopolnqemosty podhrupp porqdka
p yz K v G sleduet, çto p2 � | L |. Sylovskye podhrupp¥ hrupp¥ G abelev¥ y
poπtomu [ K, Lp ] = 1.
Pust\ | b | = q — prostoe çyslo. Kak pokazano v¥ße, podhrupp¥ F vyda F =
= K l L, hde K = F ∩ K, K = p, nedopolnqem¥ v G y poπtomu metacykly-
çeskye. Esly [ L, K ] = 1, to F = K × L. Poskol\ku K = p, | L | � p2
, to F —
metacyklyçeskaq hruppa. Pust\ [ L, K ] ≠ 1. Esly p | | L′ |, to hruppa K L so-
derΩyt nemetacyklyçeskug podhruppu porqdka p | | L |. Znaçyt, p � | L′ |. Tohda
kommutant hrupp¥ F = K l L s K = p cyklyçeskyj. Dalee, tak kak Y =
= K T = K ( 〈 b 〉 × C N2 ), to CY ( K ) = C KY ( ) dlq lgboj podhrupp¥ K porqdka p
yz K. Poπtomu esly L / CL ( Y ′ ) — necyklyçeskaq hruppa, to y L / CL ( F ′ ) — ne-
cyklyçeskaq hruppa. ∏to znaçyt, çto v L suwestvuet necyklyçeskaq podhrup-
pa R porqdka r2
takaq, çto R ∩ CL ( F ′ ) = 1. No R ⊂ L ⊂ F y, sledovatel\no,
hruppa F / CF ( F ′ ) necyklyçeskaq. Sohlasno lemme 1 [13] F — nemetacykly-
çeskaq hruppa. Yz poluçennoho protyvoreçyq sleduet, çto L / CL ( Y ′ ) — cykly-
çeskaq hruppa.
Pust\ teper\ | b | — sostavnoe çyslo. Tohda p � | L′ |, ynaçe Y soderΩyt ne-
metacyklyçeskug podhruppu F, udovletvorqgwug uslovyg α, kommutant ko-
toroj delytsq na p2
. Dalee, ( | b |
2, | L | ) | | b |, ynaçe Y soderΩyt nemetacykly-
çeskug podhruppu F, udovletvorqgwug uslovyg α, porqdok kotoroj
delytsq na q3
, hde q — prostoe çyslo, takoe, çto q | ( | b |, | L | ) y q 2 | | L |.
PredpoloΩym, çto Y / CY ( Y ′ ) — necyklyçeskaq hruppa. Tohda v Y suwestvuet
necyklyçeskaq podhruppa R porqdka r2
takaq, çto R ∩ CY ( Y ′ ) = 1. Oçevydno,
r ≠ p. Poskol\ku Y = K l ( 〈 b 〉 × L ), a Y ′ = K × L′, to r2 | | T / CT ( Y ′ ) |. Poπtomu,
ne terqq obwnosty, moΩno sçytat\, çto R ⊂ T = 〈 b 〉 × L . Pust\ T = 〈 〉b × L ,
hde 〈 〉b — podhruppa yndeksa q yz 〈 b 〉, q ≠ r. Oçevydno, T ⊃ R. Esly K —
podhruppa porqdka p, normal\naq v Y, to v sylu sootnoßenyq CY ( Y ′ ) =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5
KONEÇNÁE A-HRUPPÁ S DOPOLNQEMÁMY NEMETACYKLYÇESKYMY … 611
= CY ( K L′ ) poluçaem, çto v hruppe F = K T pereseçenye R ∩ CF ( F ′ ) tryvyal\-
no. Znaçyt, F / CF ( F ′ ) — necyklyçeskaq hruppa y hruppa F nemetacyklyçes-
kaq. Yz poluçennoho protyvoreçyq sleduet, çto Y / CY ( Y ′ ) — necyklyçeskaq
hruppa. Netrudno ubedyt\sq, çto G — hruppa typa 1 teorem¥.
2. U — prymytyvnaq podhruppa hrupp¥ G L ( 2, p ). Rassmotrym snova pod-
hruppu H = K l U. Sohlasno lemme 6 [14] U — vpolne faktoryzuemaq hruppa.
V sylu lemm¥ 4 [14] U = N l 〈 d 〉, hde d2 = 1, N — abeleva hruppa.
PredpoloΩym, çto K N — vpolne faktoryzuemaq hruppa. Tohda K = 〈 a1 〉 ×
× 〈 a2 〉, | a1 | = | a2 | = p y 〈 a1 〉 � K N, a2 � K N [ 4]. Pust\ 1 ≠ x ∈ N, tohda
d x d
– 1 = x ∈ N. Dalee,
x– 1
d
– 1
〈 a1 〉 d x = d x a xd− − 〈 〉1 1
1 = d
– 1
〈 a1 〉 d.
No d
– 1
〈 a1 〉 d ≠ 〈 a1 〉, tak kak 〈 a1 〉 � H. Esly vse πlement¥ yz N transformy-
rugt a1 y a2 v odynakov¥e stepeny, to lgbaq podhruppa yz K normal\na v
K N. Poskol\ku K 〈 d 〉 — vpolne faktoryzuemaq hruppa v sylu rezul\tatov [7],
to v K est\ podhrupp¥ porqdka p, normal\n¥e otnosytel\no d. Tohda ony
budut normal\n¥ y v hruppe H vopreky mynymal\nosty normal\noho delytelq
K v hruppe G, a znaçyt, y v H. Poπtomu v N est\ πlement¥, transformy-
rugwye a1 y a2 v razn¥e stepeny. Tohda 〈 a1 〉 y 〈 a2 〉 — edynstvenn¥e N-do-
pustym¥e podhrupp¥ porqdka p yz K [20, s. 10]. Znaçyt, d
– 1
〈 a1 〉 d = 〈 a2 〉.
Poluçyly protyvoreçye s prymytyvnost\g podhrupp¥ U.
Poπtomu K N — ne vpolne faktoryzuemaq hruppa y soderΩyt hruppu Myl-
lera – Moreno porqdka p2
q, q | | N |. Tohda N — prymytyvnaq podhruppa hrup-
p¥ G L ( 2, p ), y poπtomu N — cyklyçeskaq hruppa v sylu lemm¥ 7 [23] y cyk-
lyçnosty mul\typlykatyvnoj hrupp¥ koneçnoho polq. Pust\ N = N1 × N2
, hde
N1 ≠ 1, y dlq lgboho πlementa x prostoho porqdka yz N 1 K 〈 x 〉 — hruppa
Myllera – Moreno, a K N2 — vpolne faktoryzuemaq hruppa. PredpoloΩym,
çto W = 〈 K, x, d 〉 — hruppa s abelev¥m kommutantom, t. e. [ x, d ] = 1. Poskol\ku
G′ — neabeleva hruppa, dlq nekotoroho yz cyklyçeskyx mnoΩytelej, naprymer,
N podhrupp¥ N [ ]N d, ≠ 1. Dalee, tak kak K — mynymal\n¥j normal\n¥j
delytel\ v H y K N � H, N dejstvuet na K rehulqrno. No K N d〈 〉, ne qv-
lqetsq hruppoj Frobenyusa s ynvaryantn¥m mnoΩytelem K. Poπtomu 〈 d 〉
dejstvuet na K nerehulqrno [22, s. 496]. No 〈 K, d 〉 � W. Znaçyt, Z ( 〈 K, d 〉 ) �
� W vopreky tomu, çto W soderΩyt hruppu Myllera – Moreno s necyklyçes-
kym kommutantom porqdka p2
. Poπtomu [ x, d ] ≠ 1 dlq lgboho 1 ≠ x ∈ N1 .
Oboznaçym N1 = 〈 b1 〉, N2
C = L. Tohda vsledstvye cyklyçnosty hrupp¥ N y so-
otnoßenyq C � G 〈 b1
, d 〉 ′ = b1 y d
– 1
L d = L. Dalee, esly [ C, b1 ] ≠ 1, to vto-
roj kommutant hrupp¥ 〈 C, b1
, d 〉 netryvyalen y soderΩytsq v C. Poskol\ku
C ∩ G′′ = 1, otsgda sleduet, çto [ C, b1 ] = 1. Tohda [ b1
, L ] = 1 y G = K l ( T l
l 〈 d 〉 ), hde K = G′′ = 〈 a1 〉 × 〈 a2 〉, | a1 | = | a2 | = p, p — prostoe çyslo, p > 3, T =
= N C = ( N1 × N2 ) C = 〈 b1 〉 × L. Vsledstvye toho çto 〈 K, d 〉 ′ = p, πlement¥ a1 y
a2 moΩno v¥brat\ tak, çto d
– 1
a1 d = a2 , d
– 1
a2 d = a1 . Tak kak sylovskye pod-
hrupp¥ u G abelev¥, to [ K, Lp ] = 1. Poskol\ku p4 � G (sm. sledstvye [14]), to
p2 � | L |.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5
612 P. P. BARÁÍOVEC
Dalee, L 〈 d 〉 � G / K 〈 b1 〉 — vpolne faktoryzuemaq hruppa. Otsgda, vsled-
stvye toho çto 〈 b1 〉 � 〈 b1
, L , d 〉, sleduet polnaq faktoryzuemost\ hrupp¥
T 〈 d 〉. Hrupp¥ L y K
N2 toΩe vpolne faktoryzuem¥e, poπtomu y hruppa K
L =
= K ( N2
C ) = ( K × C ) l N2 vpolne faktoryzuema.
Pust\ F — podhruppa yz G, udovletvorqgwaq uslovyg F ⊃ C, | F ∩ K | = p
(uslovye β ). PredpoloΩym, çto podhruppa F dopolnqema v G : G = F X, F ∩
∩ X = 1. Tohda v faktor-hruppe G = G / C � K ( N l 〈 d 〉 ) podhruppa F / C do-
polnqema podhruppoj X C / C � X. V dal\nejßyx rassuΩdenyqx bez potery ob-
wnosty moΩno sçytat\ (do poluçenyq protyvoreçyq s dopolnqemost\g pod-
hrupp¥ F ), çto C = 1, y yspol\zovat\ vse pred¥duwye oboznaçenyq. Poskol\-
ku ( | b1 |, 2p N2 ) = 1, to 〈 b1 〉 — xollovskaq podhruppa hrupp¥ G. Tohda
| X ∩ K | = p y, tak kak X ∩ K � X, X yly F soderΩyt abelevu podhruppu T po-
rqdka p q, hde q | | b |. No T soderΩytsq v xollovskoj { p, q }-podhruppe yz
K 〈 b1 〉, qvlqgwejsq hruppoj Frobenyusa. Yz poluçennoho protyvoreçyq sle-
duet, çto podhruppa F nedopolnqema v G.
Pust\ snova C — proyzvol\naq hruppa. Esly N2 = 1, to 〈 K, d 〉 ′ C 〈 d 〉 —
podhruppa, soderΩawaq C y ymegwaq s K pereseçenye porqdka p. Znaçyt,
〈 K, d 〉 ′ C 〈 d 〉 — metacyklyçeskaq hruppa.
Esly N2 ≠ 1, no [ N2
, d ] = 1, to oboznaçym N2 = 〈 b3 〉, S = 〈 L, d 〉. Tohda S / C
— abeleva hruppa. Yz dokazannoho v¥ße o podhruppax F sleduet, çto S — me-
tacyklyçeskaq hruppa y p � | S′ |. Esly r | ( | C / C ′ |, | b3 | ), to K S soderΩyt ne-
metacyklyçeskug podhruppu porqdka p q r
2
, hde q | | C ′ |. No tohda K S soder-
Ωyt nemetacyklyçeskug podhruppu F, udovletvorqgwug uslovyg β . Yz po-
luçennoho protyvoreçyq sleduet, çto ( | C / C ′ |, | b3 | ) = 1. Esly | b3 | — çetnoe
çyslo y 2 | | S / CS ( C ′ ) |, to K S soderΩyt nemetacyklyçeskug podhruppu po-
rqdka 4p q, hde q | | C ′ |. Poslednee protyvoreçyt nedopolnqemosty podhrupp,
udovletvorqgwyx uslovyg β yz K S. Znaçyt, 2 � | S / CS ( C ′ ) |.
Esly [ N2
, d ] ≠ 1, to yz dokazannoho v¥ße sleduet, çto 〈 G′′, C , N2
, d 〉 —
hruppa typa 1 teorem¥. Otmetym, çto N2 = 〈 b2 , b3 〉, hde 〈 b2 , d 〉 ′ = 〈 b2 〉, [ b3
,
d ] = 1. V oboznaçenyqx hrupp¥ typa 1 rol\ b yhraet b2 . Za hruppoj 〈 b3 , C 〉
soxranqetsq oboznaçenye L. Takym obrazom, G — hruppa typa 2 teorem¥.
Dostatoçnost\. Netrudno ubedyt\sq, çto u hrupp¥ lgboho yz ukazann¥x v
teoreme typov sylovskye podhrupp¥ πlementarn¥e abelev¥ y yx porqdky delqt
kub¥ sootvetstvugwyx prost¥x çysel.
I. Pust\ G — hruppa typa 1. Poskol\ku G — A-hruppa, kommutant C1 =
= 〈 L, d 〉 ′ v hruppe 〈 L, d 〉 dopolnqem [16]. Pust\ 〈 L, d 〉 = C1 l M. Tohda M =
= M1 × M2
, hde M1 ⊂ Y = NG ( 〈 a1 〉 ) = NG ( 〈 a2 〉 ). Tak kak x– 1
〈 ai 〉 x dlq kaΩdoho
x ∈ G sovpadaet lybo s 〈 a1 〉, lybo s 〈 a2 〉, pryçem 〈 a1 〉 � G, 〈 a2 〉 � G, to
d a d1
1
1 1
− 〈 〉 = 〈 a2 〉, d a d1
1
2 1
− 〈 〉 = 〈 a1 〉, hde 〈 d1 〉 = M2
. Bez potery obwnosty moΩno
sçytat\, çto d1 = d. Tohda G = ( ( K l 〈 b 〉 ) × C1 ) l ( M1 × 〈 d 〉 ) , hde ( K l 〈 b 〉 ) ×
× C1 = G′, podhrupp¥ K l 〈 b 〉 y C1 normal\n¥ v G, [ M1
, b ] = 1, πlement¥ yz
M1 ne transformyrugt a1 y a2 v stepeny s razlyçn¥my pokazatelqmy (ne
ravn¥my 1). Krome toho, C1 = Z ( G′ ).
Esly F — podhruppa yz G, to vozmoΩn¥ sledugwye sluçay:
1. F ⊄ KT. Tohda G = ( K T ) F. Poskol\ku K T — vpolne faktoryzuemaq
hruppa, otsgda sleduet dopolnqemost\ F v G.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5
KONEÇNÁE A-HRUPPÁ S DOPOLNQEMÁMY NEMETACYKLYÇESKYMY … 613
2. F ⊃ K yly F ∩ K = 1. Dopolnqemost\ F v G sleduet yz dopolnqemosty
podhrupp¥ F K v G.
3. F ⊂ KT, | F ∩ K | = p. Esly 〈 K, F, Z ( G′ ) 〉 ⊃ G′, to 〈 F, Z ( G′ ), K, M1
, d 〉 =
= G. Poskol\ku 〈 K, M, Z ( G′ ) 〉 — vpolne faktoryzuemaq hruppa, otsgda sle-
duet dopolnqemost\ v G podhrupp¥ F.
Pust\ 〈 K, F, Z ( G′ ) 〉 /⊃ G ′. PokaΩem, çto F — metacyklyçeskaq hruppa.
Esly F — abeleva, to F = Fp × Fp ′ , hde Fp y Fp ′ — xollovskye p - y p′-pod-
hrupp¥ v F. Tak kak Fp /⊃ K, Fp v sylu sootnoßenyq p2 � | L | metacyklyçna.
Esly R — nemetacyklyçeskaq sylovskaq r-podhruppa yz Fp′ , to r ≠ 2 vsled-
stvye metacyklyçnosty hrupp¥ L y sootnoßenyq F ⊂ Y . Poskol\ku 〈 b 〉 dej-
stvuet rehulqrno na K, to ( | b |, r ) = 1. No Y / K 〈 b 〉 � L — metacyklyçeskaq
hruppa. Otsgda sleduet metacyklyçnost\ hrupp¥ F. Pust\ F — neabeleva
hruppa. Tak kak K ⊄ F, to | F ′′ | | p. Otsgda y yz lemm¥ 8.2 [16] sleduet, çto
F ′′ = 1. Esly R — nemetacyklyçeskaq sylovskaq r-podhruppa yz F, to, oçe-
vydno, r ≠ p, y vvydu metacyklyçnosty L r | | b | y r2 | | L |. Dalee, tak kak 〈 K,
F, Z ( G′ ) 〉 /⊃ G′, to | b | ≠ r, t. e. çyslo | b | sostavnoe. Znaçyt, r2 | ( | b |
2, | L | )
vopreky sootnoßenyg ( | b |
2, | L | ) | | b |. Sledovatel\no, vse sylovskye podhrup-
p¥ hrupp¥ F metacyklyçeskye. Poskol\ku K = K ∩ F � F , F ′ � F , to F ′ ⊂
⊂ C KG′( ) = K × Z ( G′ ). Tohda y K F ′ ⊂ K × Z ( G′ ). PokaΩem, çto F ′ — cykly-
çeskaq hruppa. Dejstvytel\no, oçevydno, p2 � | F ′ |. Tak kak F ′ ⊂ K × C1
, a
C1 = 〈 C1
, M1
, d 〉 ′, yz metacyklyçnosty hrupp¥ 〈 M1
, C1 〉 sleduet, çto r 2 � | F ′ |,
hde r — prostoe çyslo, r ≠ p. Znaçyt, F ′ — cyklyçeskaq hruppa.
Esly | b | — prostoe çyslo y [ L, K ] = 1, to Y = K T = ( K l 〈 b 〉 ) × L . Tohda
F ′ ⊂ Y ′ = K ′ × L ′. Znaçyt, F ′ ⊂ K × L ′, hde K = K ∩ F. Poskol\ku | b | —
prostoe çyslo y 〈 K, F, Z ( G′ ) 〉 /⊃ G ′, to K l 〈 b 〉 ∩ F = K y potomu F ′ = L′.
Tohda F = K × L y v sylu sootnoßenyq p2 � | L | y metacyklyçnosty hrupp¥ L
hruppa F toΩe metacyklyçna. Pust\ [ L, K ] ≠ 1. Tak kak F ⊂ K × L ′ = Y ′, to
F ′ = K × L ′. Esly F — nemetacyklyçeskaq hruppa, to v sylu lemm¥ [15] ona
soderΩyt prqmoe proyzvedenye S neabelev¥x hrupp porqdkov p t y r t, pryçem
p r | F ′. No tohda Lt ∩ CL ( Y ′ ) = 1, çto protyvoreçyt cyklyçnosty faktor-hrup-
p¥ L | CL ( Y ′ ). Znaçyt, F — metacyklyçeskaq hruppa.
Esly | b | — sostavnoe çyslo, to C F ( F ′ ) = CY ( F ′ ) ∩ F , C Y ( F ′ ) � Y y
CY ( F ′ ) ⊃ CY ( Y ′ ). Otsgda, yz cyklyçnosty hrupp¥ Y / CY ( Y ′ ) y sootnoßenyj
F / CF ( F ′ ) = F / CY ( F ′ ) ∩ F � F ⋅ CY ( F ′ ) / CY ( F ′ ) ⊂
⊂ Y / CY ( F ′ ) � ( Y / CY ( Y ′ ) ) / ( CY ( F ′ ) / CY ( Y ′ ) )
sleduet cyklyçnost\ hrupp¥ F / CF ( F ′ ). Znaçyt, F — metacyklyçeskaq hruppa.
II. Pust\ G — hruppa odnoho yz typov 2a) yly 2b). Esly podhruppa F yz G
udovletvorqet sootnoßenyg F ∩ K = 1 yly F ⊃ K, to dopolnqemost\ pod-
hrupp¥ F sleduet yz polnoj faktoryzuemosty hrupp¥ 〈 C, b, d 〉. Pust\ | F ∩
∩ K | = p. Tohda sohlasno lemme 8.2 [16] F ′′ = 1. Esly K = F ∩ K , to K � F ,
F ′ � F. Znaçyt, F ′ ⊂ C KG( ) = K × C. Dalee, F ∩ K 〈 b1 〉 = K . Poπtomu esly F =
= K l F1
, to F1 ∩ K 〈 b1 〉 = 1. Sledovatel\no, 〈 F1
, K, b1 〉 / 〈 K, b1 〉 � F1 / F1 ∩
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5
614 P. P. BARÁÍOVEC
∩ K 〈 b1 〉 � F1 — metacyklyçeskaq hruppa. Znaçyt, ′F1 — cyklyçeskaq hruppa.
Sylovskye podhrupp¥ u F metacyklyçn¥ vsledstvye metacyklyçnosty hrupp¥
〈 L, d 〉 y pryvodymosty avtomorfyzmov, ynducyruem¥x F na hruppe K. Poπto-
mu esly F — abeleva hruppa, to ona metacyklyçna. Esly F — neabeleva y F =
= K × F1
, to vsledstvye metacyklyçnosty F1 y sylovskoj p-podhrupp¥ F
otsgda sleduet metacyklyçnost\ F. Pust\ [ ]K F, 1 ≠ 1.
1. G — hruppa typa 2a), t. e. G = 〈 K, C, b1 , d 〉. Oçevydno, | F / C KF( ) | = 2.
Znaçyt, K = 〈 K, d 〉 ′. Sylovskye r-podhrupp¥ yz F po çyslam r | | b1 | yly
r | | C | dejstvugt na K toΩdestvenno y potomu soderΩatsq v C. Tohda F ⊂
⊂ 〈 〈 K, d 〉 ′, C, d1 〉, hde | d1 | = 2, d1 ∈ C. Otsgda y yz metacyklyçnosty hrupp¥
〈 〈 K, d 〉 ′, C, d 〉 sleduet metacyklyçnost\ hrupp¥ F.
2. G — hruppa typa 2b), t. e. G = ( ( K × C ) l 〈 b1
, b3 〉 ) l 〈 d 〉. Poskol\ku F1
yzomorfna podhruppe hrupp¥ 〈 C, b3
, d 〉 = L 〈 d 〉 y p � | 〈 L, d 〉 ′ |, a F ′ ⊂ KF′1 , to
p2 � | F ′ |. Yz polnoj faktoryzuemosty hrupp¥ 〈 C, b, d 〉 y metacyklyçnosty F1
sleduet, çto r2 � | F ′ |, hde r | | F1 |. Znaçyt, F ′ — cyklyçeskaq hruppa. Esly
F / CF ( F ′ ) — necyklyçeskaq hruppa, to dlq nekotoroj sylovskoj t-podhrupp¥
T yz F porqdka t2 T ∩ CF ( F ′ ) = 1. Oçevydno, t | | 〈 L, d 〉 |, y esly K = K ∩ F,
to | T ∩ C KG( ) | = t. Esly t ≠ 2, to v sylu sootnoßenyq [ K, C ] = 1 porqdky
podhrupp | C / C ′ | y | b3 | dolΩn¥ delytsq na t, çto protyvoreçyt sootnoße-
nyg ( | C / C ′ |, | b3 | ) = 1. Znaçyt, t = 2. No tohda vsledstvye sootnoßenyq
4 � | L | ymeet mesto tol\ko odno yz sootnoßenyj: 2 | | b3 | yly 2 | | C |. V pervom
sluçae poluçaem protyvoreçye s sotnoßenyem 2 � | S / CS ( C ′ ) |, vo vtorom — s
cyklyçnost\g hrupp¥ Φ / CΦ ( Φ ′ ), hde S = L 〈 d 〉, Φ = K S. Znaçyt, F — meta-
cyklyçeskaq hruppa.
Pust\ teper\ G — hruppa typa 2v). Esly dlq podhrupp¥ F yz G F ∩ K = 1
yly F ∩ K = K, to vsledstvye polnoj faktoryzuemosty hrupp¥ 〈 C, b, d 〉 pod-
hruppa F dopolnqema v G. Pust\ | F ∩ K | = p. Esly x ∈ F, | x | / | b1 |, to x ∈
∈ CG ( G′′ ) = G′′ × C. Pust\ π — mnoΩestvo prost¥x çysel, delqwyx | b1 |. Toh-
da xollovskaq π′-podhruppa yz F soderΩytsq v xollovskoj π′-podhruppe Gπ′
hrupp¥ G. Poskol\ku hruppa W = 〈 a1
, a2
, C, b2
, b3
, d 〉 soderΩyt xollovskug
π′-podhruppu, soprqΩennug s Gπ′
, y vse πlement¥ porqdkov, delqwyx | b1 | y
centralyzugwyx G′′, to W soderΩyt hruppu, soprqΩennug s F. Yz dokaza-
tel\stva dostatoçnosty dlq hrupp typa 1 sleduet, çto F — metacyklyçeskaq
hruppa.
Teorema dokazana.
1. Monaxov V. S. Proyzvedenye koneçn¥x hrupp, blyzkyx k nyl\potentn¥m // Koneçn¥e hrup-
p¥. – Mynsk: Nauka y texnyka, 1975. – S. 70 – 100.
2. Zuzuk L. I. Skinçenni nedyspersyvni hrupy, u qkyx vsi pidhrupy neprymarnoho indeksu meta-
cykliçni // Ukr. mat. Ωurn. – 1995. – 47, # 6. – S. 775 – 759.
3. Kovalenko V. I. Budova skinçennyx nedyspersyvnyx hrup, v qkyx koΩna nemetacykliçna pid-
hrupa normal\na // Tam Ωe. – 1996. – 48, # 6. – S. 1337 – 1342.
4. Bar¥ßovec P. P. Koneçn¥e nerazreßym¥e hrupp¥ s dopolnqem¥my nemetacyklyçeskymy
podhruppamy // Tam Ωe. – 1987. – 39, # 5. – S. 547 – 551.
5. Çernykov S. N. Hrupp¥ s zadann¥my svojstvamy system¥ podhrupp. – M.: Nauka, 1980. –
384Ts.
6. Baeva N. V. Vpolne faktoryzuem¥e hrupp¥ // Dokl. AN SSSR. – 1953. – 92, # 5. – S. 877 –
880.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5
KONEÇNÁE A-HRUPPÁ S DOPOLNQEMÁMY NEMETACYKLYÇESKYMY … 615
7. Çernykova N. V. Hrupp¥ s dopolnqem¥my podhruppamy // Mat. sb. – 1956. – 39. – S. 273 –
292.
8. Çernykova N. V. K osnovnoj teoreme o vpolne faktoryzuem¥x hruppax // Hrupp¥ s systema-
my dopolnqem¥x podhrupp. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1972. – S. 49 – 58.
9. DovΩenko S. A. K teoreme N. V. Çernykovoj o vpolne faktoryzuem¥x hruppax // Ukr. mat.
Ωurn. – 1999. – 51, # 6. – S. 854 – 855.
10. Çernykov S. N. Hrupp¥ s systemamy dopolnqem¥x podhrupp // Mat. sb. – 1954. – 35. – S. 93
– 128.
11. Horçakov G. M. Prymytyvno faktoryzuem¥e hrupp¥ // Uçen. zap. Perm. un-ta. – 1960. – 17,
v¥p. 2. – S. 15 – 31.
12. Çernykov S. N. Yssledovanye hrupp s zadann¥my svojstvamy podhrupp // Ukr. mat. Ωurn. –
1969. – 21, # 2. – S. 193 – 209.
13. Bar¥ßovec P. P. O koneçn¥x A-hruppax, v kotor¥x vse nemetacyklyçeskye podhrupp¥ do-
polnqem¥ // Tam Ωe. – 1988. – 40, # 3. – S. 297 – 302.
14. Bar¥ßovec P. P. O koneçn¥x A-hruppax, v kotor¥x dopolnqem¥ nemetacyklyçeskye pod-
hrupp¥ // Tam Ωe. – 1995. – 47, # 9. – S. 1162 – 1169.
15. Bar¥ßovec P. P. O koneçn¥x A-hruppax s dopolnqem¥my nemetacyklyçeskymy podhruppa-
my // Tam Ωe. – 2002. – 54, # 7. – S. 1004 – 1007.
16. Taunt D. On A-groups // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1949. – 45, # 1. – P. 24 – 42.
17. Bar¥ßovec P. P. O koneçn¥x A-hruppax, v kotor¥x dopolnqem¥ nemetacyklyçeskye pod-
hrupp¥ // Ukr. mat. Ωurn. – 1995. – 47, # 9. – S. 1162 – 1169.
18. Zub O. N. Hrupp¥, necyklyçeskye podhrupp¥ kotor¥x dopolnqem¥ // Hrupp¥ s ohranyçe-
nyqmy dlq podhrupp. – Kyev: Nauk. dumka, 1971. – S. 134 – 158.
19. Malan\yna H. A., Xlebutyna V. Y., Íevcov H. S. Koneçn¥e mynymal\n¥e ne vpolne fakto-
ryzuem¥e hrupp¥ // Mat. zametky. – 1972. – 12, # 12. – S. 157 – 162.
20. Zajcev D. Y. Normal\no faktoryzuem¥e hrupp¥ // Hrupp¥ s systemamy dopolnqem¥x pod-
hrupp. – Kyev: Yn-t matematyky AN USSR, 1972. – S. 5 – 34.
21. Belonohov V. A., Fomyn A. P. Matryçn¥e predstavlenyq v teoryy koneçn¥x hrupp. – M.:
Nauka, 1976. – 128 s.
22. Huppert B. Endliche Gruppen. I. – Berlin etc.: Springer, 1967. – 793 S.
23. Suprunenko D. A. Razreßym¥e y nyl\potentn¥e lynejn¥e hrupp¥. – Mynsk: Yzd-vo Belo-
rus. un-ta, 1958. – 97 s.
Poluçeno 07.06.2004,
posle dorabotky — 04.02.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3479 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:19Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/54/9eb7c4a51d8500a56d6a81c472d72b54.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34792020-03-18T19:55:42Z Finite A-groups with complementable nonmetacyclic subgroups Конечные A-группы с дополняемыми неметациклическими подгруппами Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. We study groups G, satisfying the following conditions: 1)G — is a finite soluble group with nontrivial prime-power metacyclic second commutator subgroup; 2)all Sylow subgroups of G are elementary Abelian. We describe the structure of these groups with complemented nonmetacyclic subgroup. Вивчаються групи G, які задовольняють такі умови: 1)G — скінченна розв'язна група з неодиничним примарним метациклічним другим кому-тантом; 2)всі силовські підгрупи із G елементарні абелеві. Наведено опис будови таких груп з доповнюваними неметациклічними підгрупами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3479 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 5 (2006); 607–615 Український математичний журнал; Том 58 № 5 (2006); 607–615 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3479/3695 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3479/3696 Copyright (c) 2006 Baryshovets P. P. |
| spellingShingle | Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. Finite A-groups with complementable nonmetacyclic subgroups |
| title | Finite A-groups with complementable nonmetacyclic subgroups |
| title_alt | Конечные A-группы с дополняемыми неметациклическими подгруппами |
| title_full | Finite A-groups with complementable nonmetacyclic subgroups |
| title_fullStr | Finite A-groups with complementable nonmetacyclic subgroups |
| title_full_unstemmed | Finite A-groups with complementable nonmetacyclic subgroups |
| title_short | Finite A-groups with complementable nonmetacyclic subgroups |
| title_sort | finite a-groups with complementable nonmetacyclic subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3479 |
| work_keys_str_mv | AT baryshovetspp finiteagroupswithcomplementablenonmetacyclicsubgroups AT baryšovecpp finiteagroupswithcomplementablenonmetacyclicsubgroups AT baryšovecpp finiteagroupswithcomplementablenonmetacyclicsubgroups AT baryshovetspp konečnyeagruppysdopolnâemyminemetacikličeskimipodgruppami AT baryšovecpp konečnyeagruppysdopolnâemyminemetacikličeskimipodgruppami AT baryšovecpp konečnyeagruppysdopolnâemyminemetacikličeskimipodgruppami |