Piecewise-continuous Riemann boundary-value problem on a rectifiable curve

We extend classes of closed rectifiable Jordan curves and given functions in the theory of the piecewise-continuous Riemann boundary-value problem and the characteristic singular integral equation with Cauchy kernel related to this problem.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
Hauptverfasser:	Vasileva, Yu. V., Plaksa, S. A., Васильева, Ю. В., Плакса, С. А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch Englisch
Veröffentlicht:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006
Online Zugang:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3480
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509578034151424
author	Vasileva, Yu. V. Plaksa, S. A. Васильева, Ю. В. Плакса, С. А. Васильева, Ю. В. Плакса, С. А.
author_facet	Vasileva, Yu. V. Plaksa, S. A. Васильева, Ю. В. Плакса, С. А. Васильева, Ю. В. Плакса, С. А.
author_sort	Vasileva, Yu. V.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:55:42Z
description	We extend classes of closed rectifiable Jordan curves and given functions in the theory of the piecewise-continuous Riemann boundary-value problem and the characteristic singular integral equation with Cauchy kernel related to this problem.
first_indexed	2026-03-24T02:43:19Z
format	Article
fulltext	UDK 517.96 G. V. Vasyl\eva, S. A. Plaksa (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) KUSOÇNO-NEPRERÁVNAQ KRAEVAQ ZADAÇA RYMANA NA SPRQMLQEMOJ KRYVOJ We expand classes of closed Jordan rectifiable curves and given functions in the theory of the piecewise- continuous Riemann boundary-value problem and a characteristic singular integral equation related to this problem and possessing the Cauchy kernel. Rozßyreno klasy zamknenyx Ωordanovyx sprqmlgvanyx kryvyx ta zadanyx funkcij v teori] kuskovo-neperervno] krajovo] zadaçi Rimana ta pov’qzanoho z neg xarakterystyçnoho synhulqr- noho intehral\noho rivnqnnq z qdrom Koßi. Pust\ γ — zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq v kompleksnoj ploskos- ty C , D+ y D− — sootvetstvenno vnutrennqq y vneßnqq oblasty, ohrany- çenn¥e kryvoj γ, pry πtom 0 ∈ +D . Oboznaçym çerez T a a am: { , , , }= …1 2 fyk- syrovann¥j koneçn¥j nabor toçek kryvoj γ . Pust\ mnoΩestvo HT ± vklgçaet v sebq holomorfn¥e v oblasty D ± funk- cyy F (ymegwye takΩe predel v beskoneçno udalennoj toçke v sluçae klassa HT − ), kotor¥e neprer¥vno prodolΩagtsq na γ \T y dopuskagt ocenku F z( ) ≤ c z a j m j F = −∑ − 1 ν ∀ ∈ ±z D , (1) hde postoqnnaq c ne zavysyt ot z, a νF — nekotoroe çyslo yz promeΩutka ( 0; 1 ) , zavysqwee ot funkcyy F. Rassmotrym kusoçno-neprer¥vnug kraevug zadaçu Rymana ob ot¥skanyy funkcyj Φ + +∈HT y Φ − −∈HT , udovletvorqgwyx uslovyg hranyçnoho soprq- Ωenyq Φ+ ( )t = G t t g t( ) ( ) ( )Φ− + ∀ t ∈ γ \ T, (2) hde G y g — zadann¥e funkcyy. Pry g t( ) /≡ 0 ymeem neodnorodnug kraevug zadaçu Rymana, a pry g t( ) ≡ 0 — odnorodnug kraevug zadaçu Rymana. V monohrafyqx [1, 2] razvyta klassyçeskaq teoryq kraevoj zadaçy Rymana s hel\derovskymy y kusoçno-hel\derovskymy zadann¥my funkcyqmy na hladkoj kryvoj. Xarakternaq osobennost\ kraevoj zadaçy v πtyx sluçaqx sostoyt v tom, çto ee hlavnaq xarakterystyka — yndeks — opredelqetsq ysklgçytel\no svojstvamy arhumenta koπffycyenta G. V rabote [3] ukazannaq teoryq raspro- stranena na sluçaj proyzvol\noj zamknutoj Ωordanovoj sprqmlqemoj kryvoj y funkcyj G, g, udovletvorqgwyx uslovyg Dyny. V monohrafyy [4] postroen¥ prymer¥, kotor¥e demonstryrugt zavysymost\ razreßymosty odnorodnoj kraevoj zadaçy Rymana ot heometryçeskyx svojstv kryvoj y ot modulq koπffycyenta G . Zavysymost\ razreßymosty kraev¥x za- daç ot kontura y modulq koπffycyenta G yssledovalas\ takΩe v rabote [5]. V rabote [6] yzuçena kraevaq zadaça Rymana s koπffycyentom G, udovlet- vorqgwym uslovyg Dyny na razomknutoj kryvoj, lynejnaq mera porcyy koto- roj v kaΩdom kruhe s centrom v toçke kryvoj soyzmeryma s radyusom kruha (kryv¥e, ymegwye ukazannoe svojstvo, posle v¥xoda rabot¥ [7] naz¥vagt rehu- lqrn¥my). Pry πtom ustanovlen¥ formul¥ yndeksa kraevoj zadaçy Rymana, ko- tor¥e polnost\g opys¥vagt vlyqnye kryvoj, a takΩe modulq y arhumenta funkcyy G na razreßymost\ zadaçy. © G. V. VASYL\|EVA, S. A. PLAKSA, 2006 616 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 KUSOÇNO-NEPRERÁVNAQ KRAEVAQ ZADAÇA RYMANA … 617 V rabote [8] rassmotrena kusoçno-neprer¥vnaq kraevaq zadaça Rymana, loha- ryfm koπffycyenta kotoroj dopuskaet razr¥v¥ kolebatel\noho typa na zam- knutoj kryvoj Lqpunova. V [9] yzuçena odnorodnaq kraevaq zadaça Rymana na razomknutoj rehulqrnoj kryvoj, a v [10] — kusoçno-neprer¥vnaq kraevaq zadaça Rymana na zamknutoj rehulqrnoj kryvoj, pry πtom loharyfm koπffycyenta G tak Ωe, kak y v [8], dopuskaet osobennosty kak pervoho, tak y vtoroho roda. Na osnove dal\nejßeho razvytyq ydej rabot [6, 8] v [10] predloΩena formula yndeksa kraevoj zadaçy Rymana, kotoraq uçyt¥vaet sovmestnoe vlyqnye koπffycyenta y kryvoj na raz- reßymost\ zadaçy. V rabotax [11, 12] rassmotrena neodnorodnaq kraevaq zadaça Rymana s oscyl- lyrugwym koπffycyentom na rehulqrnoj razomknutoj kryvoj. V dannoj rabote rasßyrqgtsq klass¥ zamknut¥x Ωordanov¥x sprqmlqem¥x kryv¥x y zadann¥x funkcyj v teoryy kusoçno-neprer¥vnoj kraevoj zadaçy Ry- mana y svqzannoho s nej xarakterystyçeskoho synhulqrnoho yntehral\noho uravnenyq s qdrom Koßy. 1. Odnorodnaq zadaça. PreΩde çem sformulyrovat\ teoremu, opys¥vag- wug razreßymost\ kusoçno-neprer¥vnoj odnorodnoj kraevoj zadaçy Rymana na proyzvol\noj zamknutoj Ωordanovoj sprqmlqemoj kryvoj, vvedem neobxodym¥e oboznaçenyq. Dlq mnoΩestva E kompleksnoj ploskosty vvedem podmnoΩestvo E Xε( ) : = : = t E t x x X ∈ − ≤{ }∈ : ε∪ , hde ε > 0 y X ⊂ C . Esly X = { x } , to mnoΩest- vo E Xε( ) budem oboznaçat\ çerez E xε( ). Vse yntehral¥ po kryvoj γ budem ponymat\ v sm¥sle yx hlavnoho znaçenyq, t. e. ϕ γ ( )t dt∫ : = lim ( ) \ ( ) ε γ γ ϕ ε → ∫ 0 t dt X , hde X — koneçnoe mnoΩestvo toçek razr¥va funkcyy ϕ . Rassmotrym yntehral typa Koßy ˜ ( )p z : = 1 2π γ i p t t z dt ( ) −∫ , z ∈ C \ γ . (3) Esly funkcyq p summyruema na γ yly p T T T∈ = ++ −H H H: , to funkcyq p̃ holomorfna v C \ γ . Pry reßenyy odnorodnoj kraevoj zadaçy Rymana predpolahaem, çto funk- cyq G ymeet vyd G t p t( ) exp( ( ))= , hde p T∈H . V kaΩdoj toçke aj ∈ T opredelym çysla ∆ p ja( ) : = lim inf Re ˜ ( ) ln, \z a z jj p z z a→ ∈ −C γ , ∆p ja( ) : = lim inf ln inf Re ˜ ( ) \ :r z z a rr p z j→ ∈ − =0 1 C γ y, krome toho, predpoloΩym, çto v¥polnqetsq sootnoßenye ∆p ja( ) ≤ ∆ p ja( ) + c ∀ aj ∈ T , (4) hde c — nekotoraq postoqnnaq. Sootnoßenye (4) oznaçaet, çto v kaΩdoj toçke aj ∈ T lybo ∆p ja( ) = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 618 G. V. VASYL\|EVA, S. A. PLAKSA = ∆ p ja( ) = + ∞ , lybo ∆p ja( ) = ∆ p ja( ) = – ∞ , lybo çysla ∆p ja( ) y ∆ p ja( ) koneçn¥. Opredelym yndeks κ kusoçno-neprer¥vnoj kraevoj zadaçy Rymana sledug- wym obrazom. Esly çysla ∆p ja( ) y ∆ p ja( ) koneçn¥ dlq vsex aj ∈ T, to pola- haem κ : = κ j j m = ∑ 1 , (5) hde κj : = ∆ ∆ ∆ ∆ p j p j p j p j a a a a ( ), ( ) , [ ( )] , ( ) . esly celoe esly neceloe+    1 V sluçae, esly sredy znaçenyj ∆ p ja( ) est\ + ∞ , no net – ∞ , polahaem κ = = + ∞ . Nakonec, v sluçae, esly sredy znaçenyj ∆ p ja( ) est\ – ∞ , polahaem κ = = – ∞ . Sledugwaq teorema dokaz¥vaetsq po sxeme, yzloΩennoj v [8, c. 46], y qvlqetsq obobwenyem teorem¥G1 yz [10]. Teorema+1. P u s t \ γ — zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq y funkcyq G ymeet vyd G t p t( ) exp( ( ))= , hde p T∈H y, krome toho, v¥pol- nqetsq sootnoßenye (4). Tohda: 1) esly – ∞ ≤ κ < 0, to odnorodnaq kraevaq zadaça Rymana ne ymeet ne- tryvyal\n¥x reßenyj; 2) esly κ = + ∞ , to odnorodnaq kraevaq zadaça Rymana ymeet beskoneç- noe mnoΩestvo lynejno nezavysym¥x reßenyj; 3) esly 0 ≤ κ < ∞ , to odnorodnaq kraevaq zadaça Rymana ymeet κ + 1 lynejno nezavysym¥x reßenyj y ee obwee reßenye opredelqetsq formuloj Φ ±( )z = exp( ˜( )) ( ) ( )p t P z z aj j m j κ κ− − = ∏ 1 , z D∈ ± , hde Pκ — proyzvol\n¥j polynom stepeny ne v¥ße κ. 2. Neodnorodnaq zadaça. Rassmotrym neodnorodnug kraevug zadaçu Ryma- na v sluçae koneçnoho yndeksa pry dopolnytel\nom predpoloΩenyy o tom, çto pry vsex aj ∈ T koneçn¥ çysla ∆ p ja∗ ( ) : = lim sup Re ˜ ( ) ln, \z a z jj p z z a→ ∈ −C γ . Budem yspol\zovat\ sledugwug metryçeskug xarakterystyku (sm. [13]) kryvoj γ : θ ( ε ) : = sup ( ) z z ∈γ θ ε , hde θ εz( ) : = mes t t z∈ − ≤{ }γ ε: , a mes oboznaçaet lynejnug meru Lebeha na γ . Vvedem takΩe v rassmotrenye modul\ neprer¥vnosty ω ε( , , )f E : = sup ( ) ( ) , ,t t E t t f t f t 1 2 1 2 1 2 ∈ − ≤ − ε funkcyy f na mnoΩestve E ⊂ C. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 KUSOÇNO-NEPRERÁVNAQ KRAEVAQ ZADAÇA RYMANA … 619 Dlq funkcyy q, zadannoj na γ \T , y toçky x ∈ γ \ T vvedem lokal\n¥j centryrovann¥j modul\ hladkosty pervoho porqdka: Ωx q( , , )γ ε : = sup ( ) ( ) , : , , : , :t t x q t q x t t x t t x ∈ − = − ∈ − ={ } ≠ ∅ ∈ − ={ } = ∅     γ ε γ ε γ ε esly esly0 kotor¥j v otlyçye ot modulq neprer¥vnosty ne qvlqetsq monotonnoj funk- cyej ot ε y poπtomu uçyt¥vaet vozmoΩn¥e kolebanyq funkcyy q. Zametym, çto funkcyq q neprer¥vna v toçke x tohda y tol\ko tohda, kohda Ωx q( , , )γ ε → 0 pry ε → 0. Oboznaçym çerez ˜ ( )p x+ , ˜ ( )p x− predel\n¥e znaçenyq v toçke x ∈ γ \ T funk- cyy (3) sootvetstvenno yz oblastej D+ , D− . Pryvedenn¥j synhulqrn¥j yntehral Koßy opredelqetsq ravenstvom ( Sp ) ( x ) : = 1 π γ i p t p x t x dt p x ( ) ( ) ( ) − − +∫ , x ∈ γ \ T. Pry reßenyy neodnorodnoj kraevoj zadaçy Rymana yspol\zugtsq pryvody- m¥e nyΩe lemm¥. Lemma+1. Pust\ γ — zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq, funkcyq F + holomorfna v D+ y neprer¥vna na D T+ \ , a funkcyq q neprer¥vna na γ \ T y pry vsex δ > 0 udovletvorqet uslovyg sup ( , , ) ( ) \ ( ) [ , ]x T x x q d ∈ ∫ γ γ εδ γ η η θ η 0 Ω → 0, ε → 0. (6) Esly pry πtom funkcyq h F q:= + summyruema na γ, to yntehral h̃ ymeet predel\n¥e znaçenyq na γ \ T yz oblastej D+ , D− y spravedlyv¥ formul¥ Soxockoho ˜ ( )h x± = 1 2 1 2 ( )( ) ( )Sh x h x± ∀ x ∈ γ \ T. (7) Dokazatel\stvo. Pust\ γ γ δ\ ( )T ≠ ∅ y x — proyzvol\naq toçka mnoΩestva γ γ δ\ ( )T . Pry ε δ∈( ; ]/0 2 rassmotrym proyzvol\nug toçku z D∈ ± takug, çto z x− ≤ ε/2, y yspol\zuem ravenstvo ˜ ( ) ( ) ( )( )h z h x Sh x∓ 1 2 1 2 − = 1 2 1 2π π γ γε ε i h t h x t z dt i h t h x t x dt x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − −∫ ∫ + + z x i h t h x t z t x dt x − − − −∫2π γ γ ε ( ) ( ) ( )( ) \ ( ) = : I I I1 2 3− + . Ocenym yntehral I1 . Dlq πtoho, oboznaçyv çerez xz odnu yz toçek γ , v ko- toroj z x t zz t − = − ∈ min γ , predstavym I1 v vyde I1 = 1 2 2π π γ γε ε i F t q t q x t z dt q x i F t F x t z dtz x x + + +− − + − −∫ ∫ ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + q x q x i F t t z dtz x ( ) ( ) ( ) ( ) − − + ∫2π γ ε = : ′ + ′′ + ′′′I I I1 1 1 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 620 G. V. VASYL\|EVA, S. A. PLAKSA Uçyt¥vaq neravenstvo t x t zz− ≤ −2 , kotoroe v¥polnqetsq pry vsex t ∈ ∈ γ , ocenyvaem yntehral ′I1 : ′I1 ≤ 1 2π γ ε F t q t q x t z dtz x + − −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ ≤ 1 π γ γε ε max ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t x z zx F t q t q x t x dt ∈ + − −∫ ≤ ≤ 1 2 0 2 π γ η η θ η γ γ εδ max ( ) ( , , ) ( ) \ ( ) [ , ]/t T x xF t q dz z∈ + ∫ Ω . Dlq ocenky slahaemoho ′′I1 vvedem v rassmotrenye mnoΩestvo Dε + : = : = { }:ξ ξ ε∈ − <+D x , oryentacyq hranyc¥ ∂ εD+ kotoroho ynducyrovana oryentacyej kryvoj γ , y yspol\zuem ravenstvo ′′I1 = q x i F t F x t z dt F t F x t z dt D D x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) \ ( ) 2π ∂ ∂ γε ε ε + + + +− − − − −      + + ∫ ∫ . Tohda v sluçae, esly z D∈ + , s yspol\zovanyem formul¥ Koßy poluçaem ocen- ku ′′I1 ≤ q x F z F x q x F t F x t z dt D x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) \ ( ) + + + + − + − −+ ∫2π ∂ γε ε ≤ ≤ 3 2max ( ) , ( ), \ ( ) /\ t T q t F D D T ∈ + + +( ) γ γ δ δ ω ε , a v sluçae, esly z D∈ − , yspol\zuq teoremu Koßy, ymeem ′′I1 ≤ 2 2max ( ) , ( ), \ ( ) /\ t T q t F D D T ∈ + + +( ) γ γ δ δ ω ε . Ocenyvaq ′′′I1 podobno slahaemomu ′′I1 , poluçaem ′′′I1 ≤ 3 2 2max ( ) , ( ), \ ( ) / / \ t D D T F t q T ∈ + + + ( ) δ ω γ γ εδ . Takym obrazom, yz poluçenn¥x ocenok sleduet, çto I1 → 0 pry ε → 0. Analohyçno ustanavlyvaetsq, çto I2 → 0 pry ε → 0. Dlq zaverßenyq dokaza- tel\stva ostaetsq yspol\zovat\ takΩe to, çto pry kaΩdom fyksyrovannom ε yntehral I3 stremytsq k nulg pry z → x. Analohyçno lemmeG1 dokaz¥vaetsq sledugwee utverΩdenye. Lemma+2. Pust\ γ — zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq, funkcyq F − holomorfna v D − y neprer¥vna na D T− \ , a funkcyq q neprer¥vna na γ \ T y pry vsex δ > 0 udovletvorqet uslovyg (6). Esly pry πtom funkcyq h F q:= − summyruema na γ , to yntehral h̃ ymeet predel\n¥e znaçenyq na γ \ T yz oblastej D+ , D− y spravedlyv¥ formul¥ Soxockoho (7). ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 KUSOÇNO-NEPRERÁVNAQ KRAEVAQ ZADAÇA RYMANA … 621 Oboznaçym çerez R mnoΩestvo dejstvytel\n¥x çysel. Oboznaçym takΩe çerez d t t t t : sup , = − ∈1 2 1 2 γ dyametr kryvoj γ y r t at a T j j : min= − ∈ 1 4 , hde t ∈ C . Lemma+3. Pust\ γ — zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq, udovlet- vorqgwaq uslovyg θ ε εν( ) ( )= O , ε → 0, (8) hde 0 < ν ≤ 1, funkcyq F ± holomorfna v D ± , neprer¥vna na D T± \ y udodovletvorqet neravenstvu F z c z a j m j j± = ≤ −∏( ) 1 µ ∀ ∈ ±z D , µ j ∈R , (9) a funkcyq q neprer¥vna na γ \ T y udovletvorqet sledugwym ocenkam: q t c t a j m j j( ) ≤ − = ∏ 1 α ∀ t ∈ γ \ T, α µ νj j> − − , (10) [ , ] ( , , ) ( ) 0 1r t t j m j t jq d c t a∫ ∏≤ − = Ω γ η η θ η β ∀ t ∈ γ \ T, β j ∈R, (11) hde postoqnnaq c ne zavysyt ot t. Tohda spravedlyva ocenka q t F t t z dt ( ) ( )± −∫ γ ≤ c z a V z a j m j j j j j j = + + +∏ − −( ){ } 1 max , µ β α µ ν ∀ ∈z C \ γ , (12) hde V r j jα µ ν+ + ( ) = r d r j j j j j j j j α µ ν α µ ν α µ ν α µ ν + + − + + < + + = + + >       1 1 1 1 1 , ; ln , ; , , esly esly esly y postoqnnaq c ne zavysyt ot z. Dokazatel\stvo. DokaΩem ocenku (12) dlq yntehrala h̃ v sluçae, kohda h qF:= + (v sluçae, esly h qF:= − , ocenka (12) dokaz¥vaetsq analohyçno). Pust\ z z a rj∈ − =C \ :γ . Predstavym 2πih z˜ ( ) v vyde summ¥ trex ynteh- ralov: 2πih z˜ ( ) = q t F t t z dt r j ra z ( ) ( ) ( )\ ( )/ + −∫ γ γ2 8 + q t F t t z dt r ja ( ) ( ) \ ( ) + −∫ γ γ 2 + + q t F t t z dt r z ( ) ( ) / ( ) + −∫ γ 8 = : I I I4 5 6+ + . Uçyt¥vaq neravenstva (9), (10) y lemmu 1 yz [13], ymeem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 622 G. V. VASYL\|EVA, S. A. PLAKSA I4 ≤ 8 2 8 r q t F t dt r j ra z ( ) ( ) ( )\ ( )/ +∫ γ γ ≤ ≤ c r t a dtj a j j r j − +∫ α µ γ 2 ( ) = c r d r a j j j 0 2 ∫ +η θ ηα µ ( ), hde yntehral po mere θ ηa j ( ) ponymaetsq kak nesobstvenn¥j yntehral Rymana – Styl\t\esa. Zdes\ y dalee v dokazatel\stve çerez c oboznaçen¥ postoqnn¥e, znaçenyq kotor¥x ne zavysqt ot r y z, no, voobwe hovorq, razlyçn¥ daΩe v predelax odnoj cepoçky neravenstv. Teper\, ocenyvaq nesobstvenn¥j yntehral Rymana – Styl\t\esa s uçetom predloΩenyq 1 rabot¥ [14] (sm. takΩe dokazatel\stvo teorem¥ 1 rabot¥ [15]), a takΩe yspol\zuq uslovye (8), naxodym I4 ≤ c r d r a j j j 0 2 ∫ +θ η η η ηα µ( ) ≤ c r d r j j 0 2 1∫ + + −η ηα µ ν ≤ c z aj j j− + + −α µ ν 1 . Analohyçno s uçetom neravenstva t a t zj− ≤ −2 , kotoroe v¥polnqetsq pry vsex t ar j∈γ γ\ ( )2 , poluçaem ocenku yntehrala I5 : I5 ≤ 2 2γ γ\ ( ) ( ) ( ) r ja j q t F t t a dt∫ + − ≤ c d r d a j j j 2 1∫ + −η θ ηα µ ( ) ≤ ≤ c d r d aj j j∫ + −θ η η η ηα µ( ) 1 = c d r d j j∫ + + −η ηα µ ν 2 ≤ cV r j jα µ ν+ + ( ). Pry γ r z/ ( )8 ≠ ∅ (v protyvnom sluçae ocenka dlq I6 tryvyal\na), obozna- çaq çerez xz odnu yz toçek kryvoj γ, dlq kotoroj z x t zz t − = − ∈ min γ , zapy- s¥vaem yntehral I6 v vyde I6 = F t q t q x t z dt q x F t t z dtz z z zr r + +− − + −∫ ∫ ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) / /( ) ( )γ γ8 8 = ′ + ′′I I6 6 . Yspol\zuq neravenstva (9), (11) y ocenyvaq ′I6 analohyçno yntehralu ′I1, poluçaem ′I6 ≤ 2 8 0 4 max ( ) ( , , ) ( ) / ( ) [ , / ] t z r x x r z z F t q d ∈ + ∫γ γ η η θ η Ω ≤ cr j jµ β+ . Dlq ocenky slahaemoho ′′I6 vvedem v rassmotrenye mnoΩestvo Dr /8 + : = : = { / }:ξ ξ∈ − <+D z r 8 , oryentacyq hranyc¥ ∂Dr/8 + kotoroho ynducyrovana oryentacyej kryvoj γ , y predstavym ′′I6 v vyde ′′I6 = q x F t t z dt F t t z dtz D D zr r r ( ) ( ) ( ) / / /\ ( ) + + − − −      + + ∫ ∫ ∂ ∂ γ8 8 8 . Tohda, ocenyvaq ′′I6 takym Ωe sposobom, kak y ′′I1 , poluçaem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 KUSOÇNO-NEPRERÁVNAQ KRAEVAQ ZADAÇA RYMANA … 623 ′′I6 ≤ cr j jµ α+ . Sledstvyem poluçenn¥x ocenok qvlqetsq neravenstvo (12). Lemma dokazana. Sledugwaq teorema opys¥vaet razreßymost\ neodnorodnoj kraevoj zadaçy Rymana s koneçn¥m yndeksom pry mynymal\n¥x predpoloΩenyqx o koπffycy- ente G zadaçy. Teorema+2. P u s t \ γ — zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq, udovletvorqgwaq uslovyg (8), hde 0 < ν ≤ 1; funkcyq G predstavyma v vyde G t p t( ) exp( ( ))= , hde funkcyq p T∈H , y dlq vsex aj ∈ T koneçn¥ çysla ∆ p ja( ), ∆ p ja∗ ( ); funkcyq g predstavyma v vyde g g g= ++ − , hde g T + +∈H , a funkcyq g− holomorfna v D− , neprer¥vna na D T− \ , udovletvorqet us- lovyg vyda (6) y ocenkam g t−( ) ≤ c t a j m j j = ∏ − 1 α ∀ t ∈ γ \ T, α νj p p> − −∗∆ ∆ , (13) Ωt t r g d t ( , , ) ( ) [ , ] − ∫ γ η η θ η 0 ≤ c t a j m j j = ∏ − 1 β ∀ t ∈ γ \ T, β j p p> − −∗∆ ∆ 1, (14) hde postoqnnaq c ne zavysyt ot t. Tohda pry κ ≥ – 1 neodnorodnaq kraevaq zadaça Rymana razreßyma, a pry κ < – 1 dlq ee razreßymosty neobxodymo y dostatoçno v¥ponenye – κ – 1 us- lovyj γ κ∫ ∏+ = −−g t p t t a t dt j m j sj( ) exp( ˜ ( )) ( ) 1 1 = 0, s = 1, 2, … , – κ – 1. (15) Obwee reßenye neodnorodnoj kraevoj zadaçy Rymana opredelqetsq formuloj Φ ± ( )z = Φ0 1 ( ) exp( ˜( )) ( ) ( )z p z P z z a j m j j+ − = −∏κ κ , z D∈ ± , (16) hde Φ0( )z = g z z z D z z D + + − + ∈ ∈     ( ) ˆ ( ), , ˆ ( ), , Φ Φ esly esly ˆ ( )Φ z = j m j j m j z a p z i g t p t t a dt t z j j = − − + = −∏ ∫ ∏ − − −1 1 1 2 ( ) exp( ˜( )) ( ) exp( ˜ ( )) ( ) κ γ κπ , a Pκ — proyzvol\n¥j polynom stepeny ne v¥ße κ , esly κ ≥ 0, y P zκ ( ) ≡ 0, esly κ < 0. Dokazatel\stvo. S uçetom ravenstv g t g t g t( ) ( ) ( )= ++ − y G ( t ) = = exp( ˜ ( ) ˜ ( ))p t p t+ −− , kotor¥e v¥polnqgtsq pry vsex t ∈ γ \ T, perepyßem krae- voe uslovye (2) v vyde ( )( ) ( ) ( ) exp( ˜ ( )) Φ+ + = + − −∏t g t t a p t j m j j 1 κ = Φ− = − − = + ∏ ∏− + −( ) ( ) exp( ˜ ( )) ( ) ( ) exp( ˜ ( )) t t a p t g t t a p t j m j j m j j j 1 1 κ κ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 624 G. V. VASYL\|EVA, S. A. PLAKSA Oboznaçym F t p t t a j m j j+ + = = − −∏( ) : exp( ˜ ( )) ( ) 1 κ . Pry ε > 0 y vsex t ∈ γ \ T, dostatoçno blyzkyx k aj ∈ T , funkcyq F + udov- letvorqet neravenstvu F t+ ( ) ≤ c t a j aj p j− − −∗κ ε∆ ( ) , (17) sledstvyem kotoroho s uçetom neravenstva (13) qvlqetsq ocenka g t F t− +( ) ( ) ≤ c t a j aj j p j− + − −∗α κ ε∆ ( ) , hde çerez c oboznaçen¥ razlyçn¥e postoqnn¥e, ne zavysqwye ot t. Krome toho, pry dostatoçno malom ε v¥polnqetsq neravenstvo α κ εj j p ja+ − −∗∆ ( ) > – ν y, sledovatel\no, funkcyq h t g t F t( ) : ( ) ( )= − + qvlqetsq summyruemoj na γ . Tohda sohlasno lemmeG1, hde q g≡ − , yntehral h̃ ymeet predel\n¥e znaçenyq na γ \ T yz oblastej D+ , D− , y poπtomu funkcyq Φ0 udovletvorqet uslovyg hranyç- noho soprqΩenyq (2). Ocenym teper\ Φ0( )z v okrestnosty toçky aj . S πtoj cel\g zametym, çto pry ε > 0 v dostatoçno maloj okrestnosty πtoj toçky spravedlyva ocenka exp( ˜( ))p t z a j m j j = −∏ − 1 κ ≤ c z aj ap j j− − −∆ ( ) κ ε , (18) hde postoqnnaq c ne zavysyt ot z. Vospol\zuemsq takΩe lemmojG3, hde na os- novanyy neravenstva (17) prymem µ κ εj j p ja: ( )= − −∗∆ y q g≡ − . V rezul\tate s uçetom ocenok (12), (18), a takΩe neravenstv α ν εj p j p ja a+ − + − −∗∆ ∆( ) ( ) 1 2 > – 1, β εj p j p ja a+ − −∗∆ ∆( ) ( ) 2 > – 1, v¥polnqgwyxsq pry dostatoçno malom ε, pryxodym k zaklgçenyg, çto funk- cyq Φ0 udovletvorqet neravenstvu vyda (1). Ytak, Φ0 qvlqetsq çastn¥m reßenyem neodnorodnoj kraevoj zadaçy Ryma- na. Pry πtom otmetym, çto v sluçae κ < 0 funkcyq exp( ˜( )) ( )p z z a j m j j = −∏ − 1 κ ymeet polgs porqdka – κ v beskoneçno udalennoj toçke y Φ0 qvlqetsq reße- nyem kraevoj zadaçy Rymana lyß\ pry v¥polnenyy – κ – 1 uslovyj (15). Dlq zaverßenyq dokazatel\stva ostaetsq zametyt\, çto v formule (16) ob- wee reßenye neodnorodnoj kraevoj zadaçy Rymana predstavleno v vyde summ¥ çastnoho reßenyq πtoj zadaçy y obweho reßenyq odnorodnoj zadaçy. Zametym, çto v sootvetstvugwyx rezul\tatax rabot [6, 10, 11, 12] o razreßy- mosty neodnorodnoj kraevoj zadaçy Rymana kryvaq γ udovletvorqet uslovyg (8) pry ν = 1. Pry πtom v rabotax [6, 11, 12] sdelan¥ takΩe dopolnytel\n¥e predpoloΩenyq o modulqx neprer¥vnosty funkcyy G y o hel\derovosty funkcyy g vne kaΩdoj okrestnosty koncov razomknutoj kryvoj. V sledugwej teoreme snymaetsq uslovye (14) teorem¥ 2 za sçet dopolny- tel\n¥x predpoloΩenyj o funkcyy G. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 KUSOÇNO-NEPRERÁVNAQ KRAEVAQ ZADAÇA RYMANA … 625 Teorema+3. Pust\ γ — zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq, udov- letvorqgwaq uslovyg (8), hde 0 < ν ≤ 1; funkcyq G predstavyma v vyde G t p t( ) exp( ( ))= , hde p T∈H , y udovletvorqet uslovyg vyda (6) y ocenkam G t( ) ≥ c t a j m j nj = ∏ − 1 ∀ t ∈ γ \ T, nj ≥ 0, (19) Ωt t r G d t ( , , ) ( ) [ , ] γ η η θ η 0 ∫ ≤ c t a j m j mj = ∏ − 1 ∀ t ∈ γ \ T, mj ∈ R , (20) v kotor¥x postoqnnaq c ne zavysyt ot t, y, krome toho, pry vsex j = 1, m koneçn¥ çysla ∆ p ja( ), ∆ p ja∗ ( ); funkcyq g predstavyma v vyde g g g= ++ − , hde g T + +∈H , a funkcyq g− holomorfna v D − , neprer¥vna na D T− \ y udovletvorqet neravenstvu g z−( ) ≤ c z a j m j k j = ∏ − 1 ∀ z ∈ D − , (21) kj > ∆ ∆p j p j j j ja a n n m∗ − + + − − −( ) ( ) max{ ; }1 ν , hde postoqnnaq c ne zavysyt ot z . Tohda pry κ ≥ – 1 neodnorodnaq kraevaq zadaça Rymana razreßyma, a pry κ < – 1 dlq ee razreßymosty neobxodymo y dostatoçno v¥polnenye – κ – 1 uslovyj (15). Obwee reßenye neodnorodnoj kraevoj zadaçy Rymana opredelq- etsq formuloj (16). Dokazatel\stvo. Yspol\zuq ravenstva g t g t g t( ) ( ) ( )= ++ − y exp( ˜ ( ))p t+ = = G t p t( ) exp( ˜ ( ))− , kotor¥e v¥polnqgtsq pry vsex t ∈ γ \ T, preobrazov¥vaem kraevoe uslovye (2) k vydu ( )( ) ( ) ( ) exp( ˜ ( )) Φ+ + = + − −∏t g t t a p t j m j j 1 κ = Φ− = − − = − ∏ ∏− + −( ) ( ) exp( ˜ ( )) ( ) ( ) ( ) exp( ˜ ( )) t t a p t g t t a G t p t j m j j m j j j 1 1 κ κ . Oboznaçym F t−( ) : = exp( ˜ ( )) ( ) ( )− −− − = ∏p t g t t a j m j j 1 κ . S yspol\zovanyem neravenstva (21) analohyçno ocenke (17) ustanavlyvaetsq, çto pry ε > 0 y vsex z D∈ − , dostatoçno blyzkyx k aj ∈ T , v¥polnqetsq nera- venstvo F z−( ) ≤ c z aj k aj j p j− + − −∗κ ε∆ ( ) . (22) Yz neravenstv (19), (22) sleduet, çto pry vsex t ∈ γ \ T, dostatoçno blyzkyx k aj , spravedlyva ocenka F t G t −( ) ( ) ≤ c t a j k n aj j j p j− + − − −∗κ ε∆ ( ) , hde çerez c oboznaçen¥ razlyçn¥e postoqnn¥e, ne zavysqwye ot t. Krome toho, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 626 G. V. VASYL\|EVA, S. A. PLAKSA pry dostatoçno malom ε v¥polnqetsq neravenstvo k n aj j j p j+ − − −∗κ ε∆ ( ) > > – ν y, sledovatel\no, funkcyq h t G t F t( ) : ( ( )) ( )= − −1 qvlqetsq summyruemoj na γ . Tohda sohlasno lemmeG2 yntehral h̃ ymeet predel\n¥e znaçenyq na γ \ T yz oblastej D+ , D− , y poπtomu funkcyq Φ0 udovletvorqet uslovyg hranyç- noho soprqΩenyq (2). Dlq ocenky Φ0 ( z ) v okrestnosty toçky aj yspol\zuem lemmu 3, hde polaha- em q t G t( ) : ( ( ))= −1 y na osnovanyy neravenstva (22) prynymaem µj : = k j j+ κ – –G ∆ p ja∗ −( ) ε, a, krome toho, s yspol\zovanyem neravenstv (19) y (20) ustanavly- vaem, çto β j j jm n= − 2 . Uçyt¥vaq ocenku (12), a takΩe ocenku (18) y neravenstva k a a m nj p j p j j j+ − + − −∗∆ ∆( ) ( ) 2 2ε > – 1, k a a nj p j p j j+ − − + − −∗∆ ∆( ) ( ) ν ε1 2 > – 1, kotor¥e v¥polnqgtsq pry dostatoçno malom ε, zaklgçaem, çto funkcyq Φ0 udovletvorqet neravenstvu vyda (1). Teper\ spravedlyvost\ utverΩdenyq teorem¥ ustanavlyvaetsq tak Ωe, kak y pry dokazatel\stve teorem¥ 2 posle poluçenyq analohyçnoj ocenky dlq funk- cyy Φ0 . 3. Xarakterystyçeskoe synhulqrnoe yntehral\noe uravnenye. Rassmot- rym xarakterystyçeskoe synhulqrnoe yntehral\noe uravnenye a t t b t S t( ) ( ) ( )( )( )ϕ ϕ+ = f ( t ) ∀ t ∈ γ \ T (23) v sluçae, kohda funkcyy a, b, f dopuskagt razr¥v¥ kak pervoho, tak y vtoroho roda v toçkax nabora T y v¥polnqgtsq sootnoßenyq 0 < c1 ≤ a t b t2 2( ) ( )− ≤ c2 < ∞ ∀ t ∈ γ \ T. (24) Reßenye ϕ uravnenyq (23) predpolahaem prynadleΩawym klassu HT ,0 : = : = H HT T + −+ ,0, hde çerez HT ,0 − oboznaçeno mnoΩestvo funkcyj F T∈ −H , rav- n¥x nulg v beskoneçno udalennoj toçke. Budem predpolahat\, çto vo vsex toçkax aj ∈ T v¥polnqgtsq sootnoßenyq – ∞ < ∆ p ja( ) = ∆ p ja∗ ( ) < ∞ , (25) hde p ( t ) : = ln ( ) ( ) ( ) ( ) a t b t a t b t − + ponymaem kak proyzvol\nug neprer¥vnug na γ \ T vetv\ πtoj funkcyy. Yndeks κ uravnenyq (23) opredelqetsq formuloj (5). Teorema+4. Pust\ γ — zamknutaq Ωordanova sprqmlqemaq kryvaq, udov- letvorqgwaq uslovyg (8), hde 1 / 2 < ν ≤ 1; funkcyq f predstavyma v vyde f t f t f t( ) : ( ) ( )= ++ − , hde f T + +∈H , f T − −∈H ,0 , y pry πtom v¥polnqetsq nera- venstvo f z± ( ) ≤ c z a j m j j = ∏ − 1 µ ∀ z ∈ D ±, 1 – 2 ν < µj < 0, (26) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 KUSOÇNO-NEPRERÁVNAQ KRAEVAQ ZADAÇA RYMANA … 627 v kotorom postoqnnaq c ne zavysyt ot z ; funkcyy a y b udovletvorqgt uslovyqm vyda (6), a takΩe ocenkam vyda (11), v kotor¥x βj > max ( );− + − +      ν µ µ j j1 2 , (27) y, krome toho, v¥polnqgtsq sootnoßenye (24) y sootnoßenyq (25) pry vsex aj ∈ T . Tohda pry κ ≥ 0 xarakterystyçeskoe uravnenye (23) razreßymo v klasse H T,0 , a pry κ < 0 dlq eho razreßymosty neobxodymo y dostatoçno v¥polne- nyq – κ uslovyj γ ∫ −f t Z t t dts( ) ( ) 1 = 0, s = 1, 2, … , – κ, hde Z ( t ) : = ( ( ) ( )) ( ) exp( ˜ ( ))a t b t t a p t j m j j− − = − −∏ 1 κ . Obwee reßenye uravnenyq (23) v klasse H T,0 ymeet vyd ϕ ( t ) = 1 2 2 1a t b t a t f t b t Z t S t b t Z t P tf( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) − − +( )−ψ κ , hde ψ f t f t Z t( ) : ( ) ( )/= , a Pκ−1 — proyzvol\n¥j polynom stepeny ne v¥ße κ – – 1 pry κ > 0 y P zκ− ≡1 0( ) pry κ ≤ 0. Dokazatel\stvo. Yspol\zuem klassyçeskyj metod [1, 2] svedenyq xarakte- rystyçeskoho uravnenyq (23) k neodnorodnoj kraevoj zadaçe Rymana (2), koπf- fycyent G y svobodn¥j çlen g kotoroj zadagtsq ravenstvamy G ( t ) = a t b t a t b t ( ) ( ) ( ) ( ) − + , g ( t ) = f t a t b t ( ) ( ) ( )+ . (28) Dlq funkcyy G v¥polnqetsq uslovye vyda (6), a takΩe ocenky (19), (20) pry nj = 0 y mj = βj . ∏to sleduet yz sootnoßenyq (24), a takΩe analohyçn¥x uslovyj y ocenok dlq funkcyj a y b. PokaΩem, çto dlq funkcyy g takΩe v¥polnqgtsq uslovyq teorem¥ 3. Sledstvyem ocenok (24), (26) y uslovyq (8) qvlqetsq summyruemost\ na γ funkcyy h qF:= ± , hde q ( t ) = ( ( ) ( ))a t b t+ −1 y F f± ±≡ . Funkcyq q tak Ωe, kak y funkcyq G, udovletvorqet uslovyg (6). Poπtomu sohlasno lemme 1 yly 2 yntehral h̃ ymeet predel\n¥e znaçenyq na γ \ T yz oblastej D+ , D− y spravedlyv¥ formul¥ Soxockoho (7). Sledovatel\no, pry vsex t T∈γ \ v¥- polnqetsq ravenstvo g t g t g t( ) ˜ ( ) ˜ ( )= −+ − . Krome toho, sohlasno lemme 3 spravedlyva ocenka (12), pry πtom αj = 0 y v¥polnqetsq neravenstvo µj + ν < 1. Sledovatel\no, funkcyy g̃± udovletvo- rqgt ocenke g̃ z±( ) ≤ c z aj k j m j− = ∏ 1 ∀ ∈ ±z D , hde kj j j j: min ,{ }= + + −µ β µ ν 1 y postoqnnaq c ne zavysyt ot z. Poπtomu, prynymaq vo vnymanye neravenstvo kj j> − − −max ,{ }β ν1 , kotoroe sleduet yz ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5 628 G. V. VASYL\|EVA, S. A. PLAKSA neravenstv µ νj > −1 2 y (27), zaklgçaem, çto g̃ T + ∈H y funkcyq g̃− udov- letvorqet ocenke vyda (21). Takym obrazom, v¥polnqgtsq vse uslovyq teorem¥ 3. Teper\ dlq zaverße- nyq dokazatel\stva ostaetsq prymenyt\ teoremu 3 k kraevoj zadaçe Rymana (2) v sluçae, kohda funkcyy G y g zadan¥ ravenstvamy (28), y vospol\zovat\sq formuloj ϕ = −+ −Φ Φ , v¥raΩagwej reßenye xarakterystyçeskoho uravne- nyq (23) çerez reßenye ukazannoj zadaçy. V zaklgçenye otmetym, çto v teoremeG6 yz [16] opysana razreßymost\ urav- nenyq (23) dlq bolee ßyrokyx klassov kryv¥x γ y funkcyj f, no pry do- polnytel\nom predpoloΩenyy o tom, çto eho koπffycyent¥ a, b neprer¥vn¥ na γ y udovletvorqgt uslovyg Dyny. 1. Haxov F. D. Kraev¥e zadaçy. – M.: Nauka, 1977. – 640Gs. 2. Musxelyßvyly N. Y. Synhulqrn¥e yntehral\n¥e uravnenyq. – M.: Nauka, 1968. – 511Gs. 3. Babaev A. A., Salaev V. V. Kraev¥e zadaçy y synhulqrn¥e uravnenyq na sprqmlqemom konture // Mat. zametky. – 1982. – 31, # 4. – S. 571 – 580. 4. Hovorov N. V. Kraevaq zadaça Rymana s beskoneçn¥m yndeksom. – M.: Nauka, 1986. – 239Gs. 5. Danylov E. A. Zavysymost\ çysla reßenyj odnorodnoj zadaçy Rymana ot kontura y modulq koπffycyenta // Dokl. AN SSSR. – 1982. – 264, # 6. – S. 1305 – 1308. 6. Sejfullaev R. K. Kraevaq zadaça Rymana na nehladkoj razomknutoj kryvoj // Mat. sb. – 1980. – 112, # 2. – S. 147 – 161. 7. David G. Operateurs intégraux sur certaines courbes du plan complexe // Ann. sci. Ecole supér. Ser. 4. – 1984. – 14, # 1. – P. 157 – 189. 8. Kac B. A. Ob ysklgçytel\nom sluçae zadaçy Rymana s oscyllyrugwym koπffycyentom // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1981. – # 12. – S. 41 – 50. 9. Gonzalez B., Bory J. The homogeneous Riemann boundary value problem on rectifiable open Jordan curves // Cienc. Mat. Havana. – 1988. – 9, # 2. – P. 3 – 9. 10. Plaksa S. A. Kraevaq zadaça Rymana s oscyllyrugwym koπffycyentom y synhulqrn¥e yntehral\n¥e uravnenyq na sprqmlqemoj kryvoj // Ukr. mat. Ωurn. – 1989. – 41, # 1. – S.G116 – 121. 11. Kutlu K. On Riemann boundary value problem // An. Univ. Timişoara: Ser. mat.-inform. – 2000. – 38, # 1. – P. 89 – 96. 12. Pena D., Bory J. Riemann boundary value problem on a regular open curve // J. Natur. Geom. – 2002. – 22, # 1. – P. 1 – 17. 13. Salaev V. V. Prqm¥e y obratn¥e ocenky dlq osoboho yntehrala Koßy po zamknutoj kryvoj // Mat. zametky. – 1976. – 19, # 3. – S. 365 – 380. 14. Plaksa S. A. Kraevaq zadaça Rymana s beskoneçn¥m yndeksom loharyfmyçeskoho porqdka na spyraleobraznom konture. I // Ukr. mat. Ωurn. – 1990. – 42, # 11. – S. 1509 – 1517. 15. Herus O. F. Nekotor¥e ocenky modulej hladkosty yntehralov typa Koßy // Tam Ωe. – 1978. – 30, # 5. – S. 594 – 601. 16. Plaksa S. A. Poluneterov¥ operator¥ v nepoln¥x prostranstvax y synhulqrn¥e ynteh- ral\n¥e uravnenyq // Dopov. NAN Ukra]ny. – 2003. – # 12. – S. 27 – 34. Poluçeno 11.03.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 5
id	umjimathkievua-article-3480
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	rus English
last_indexed	2026-03-24T02:43:19Z
publishDate	2006
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/b6/f9e0377a513a54f31269052f0a9f25b6.pdf
spelling	umjimathkievua-article-34802020-03-18T19:55:42Z Piecewise-continuous Riemann boundary-value problem on a rectifiable curve Кусочно-непрерывная краевая задача Римана на спрямляемой кривой Vasileva, Yu. V. Plaksa, S. A. Васильева, Ю. В. Плакса, С. А. Васильева, Ю. В. Плакса, С. А. We extend classes of closed rectifiable Jordan curves and given functions in the theory of the piecewise-continuous Riemann boundary-value problem and the characteristic singular integral equation with Cauchy kernel related to this problem. Розширено класи замкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих функцій в теорії кусково-неперервної крайової задачі Рімана та пов'язаного з нею характеристичного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3480 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 5 (2006); 616–628 Український математичний журнал; Том 58 № 5 (2006); 616–628 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3480/3697 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3480/3698 Copyright (c) 2006 Vasileva Yu. V.; Plaksa S. A.
spellingShingle	Vasileva, Yu. V. Plaksa, S. A. Васильева, Ю. В. Плакса, С. А. Васильева, Ю. В. Плакса, С. А. Piecewise-continuous Riemann boundary-value problem on a rectifiable curve
title	Piecewise-continuous Riemann boundary-value problem on a rectifiable curve
title_alt	Кусочно-непрерывная краевая задача Римана на спрямляемой кривой
title_full	Piecewise-continuous Riemann boundary-value problem on a rectifiable curve
title_fullStr	Piecewise-continuous Riemann boundary-value problem on a rectifiable curve
title_full_unstemmed	Piecewise-continuous Riemann boundary-value problem on a rectifiable curve
title_short	Piecewise-continuous Riemann boundary-value problem on a rectifiable curve
title_sort	piecewise-continuous riemann boundary-value problem on a rectifiable curve
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3480
work_keys_str_mv	AT vasilevayuv piecewisecontinuousriemannboundaryvalueproblemonarectifiablecurve AT plaksasa piecewisecontinuousriemannboundaryvalueproblemonarectifiablecurve AT vasilʹevaûv piecewisecontinuousriemannboundaryvalueproblemonarectifiablecurve AT plaksasa piecewisecontinuousriemannboundaryvalueproblemonarectifiablecurve AT vasilʹevaûv piecewisecontinuousriemannboundaryvalueproblemonarectifiablecurve AT plaksasa piecewisecontinuousriemannboundaryvalueproblemonarectifiablecurve AT vasilevayuv kusočnonepreryvnaâkraevaâzadačarimananasprâmlâemojkrivoj AT plaksasa kusočnonepreryvnaâkraevaâzadačarimananasprâmlâemojkrivoj AT vasilʹevaûv kusočnonepreryvnaâkraevaâzadačarimananasprâmlâemojkrivoj AT plaksasa kusočnonepreryvnaâkraevaâzadačarimananasprâmlâemojkrivoj AT vasilʹevaûv kusočnonepreryvnaâkraevaâzadačarimananasprâmlâemojkrivoj AT plaksasa kusočnonepreryvnaâkraevaâzadačarimananasprâmlâemojkrivoj

Piecewise-continuous Riemann boundary-value problem on a rectifiable curve

Institution

Ähnliche Einträge