Symplectic method for the construction of ergodic measures on invariant submanifolds of nonautonomous hamiltonian systems: Lagrangian manifolds, their structure, and mather homologies

We develop a new approach to the study of properties of ergodic measures for nonautonomous periodic Hamiltonian flows on symplectic manifolds, which are used in many problems of mechanics and mathematical physics. Using Mather’s results on homologies of invariant probability measures that minimize s...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Prykarpatsky, Ya. A., Прикарпатський, Я. А.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3485
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509584375939072
author	Prykarpatsky, Ya. A. Прикарпатський, Я. А.
author_facet	Prykarpatsky, Ya. A. Прикарпатський, Я. А.
author_sort	Prykarpatsky, Ya. A.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:55:42Z
description	We develop a new approach to the study of properties of ergodic measures for nonautonomous periodic Hamiltonian flows on symplectic manifolds, which are used in many problems of mechanics and mathematical physics. Using Mather’s results on homologies of invariant probability measures that minimize some Lagrangian functionals and the symplectic theory developed by Floer and others for the investigation of symplectic actions and transversal intersections of Lagrangian manifolds, we propose an analog of a Mather-type ?-function for the study of ergodic measures associated with nonautonomous Hamiltonian systems on weakly exact symplectic manifolds. Within the framework of the Gromov-Salamon-Zehnder elliptic methods in symplectic geometry, we establish some results on stable and unstable manifolds for hyperbolic invariant sets, which are used in the theory of adiabatic invariants of slowly perturbed integrable Hamiltonian systems.
first_indexed	2026-03-24T02:43:25Z
format	Article
fulltext	УДК 517.9 Я. А. Прикарпатський (Iн-т математики НАН України, Київ та AGH Univ. Sci. and Technol., Krakow, Poland) СИМПЛЕКТИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ ЕРГОДИЧНИХ МIР НА IНВАРIАНТНИХ ПIДМНОГОВИДАХ НЕАВТОНОМНИХ ГАМIЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ: ЛАГРАНЖЕВI МНОГОВИДИ, ЇХ СТРУКТУРА ТА ГОМОЛОГIЇ МАЗЕРА∗ We develop a new approach to the study of properties of ergodic measures for nonautonomous peri- odic Hamiltonian flows on symplectic manifolds, which are applied in many problems of mechanics and mathematical physics. By using the Mather results on the homology of invariant probability measures, which minimize some Lagrangian functionals, and the symplectic theory developed by Floer and others for the investigation of symplectic actions and transversal splittings of Lagrangian manifolds, we propose the analog of the Mather-type β-function for the study of ergodic measures associated with nonautonomous Hamiltonian systems on weakly exact symplectic manifolds. In the frame of the Gromov – Salamon – Zehnder elliptic methods in symplectic geometry, we establish some results on stable and unstable mani- folds to hyperbolic invariant sets, which are applied in the theory of adiabatic invariants of slowly perturbed integrable Hamiltonian systems. Розвивається новий пiдхiд до вивчення властивостей ергодичних мiр для неавтономних перiодичних гамiльтонових потокiв на симплектичних многовидах, якi використовуються в багатьох задачах ме- ханiки та математичної фiзики. ґрунтуючись на результатах Дж. Мазера про гомологiї iнварiантних ймовiрнiсних мiр, що мiнiмiзують деякi лагранжевi функцiонали, а також на симплектичнiй теорiї, розвиненiй А. Флоером та iншими для дослiдження симплектичних дiй i трансверсальних перетинiв лагранжевих многовидiв, запропоновано аналог β-функцiї типу Мазера для вивчення ергодичних мiр, асоцiйованих з неавтономними гамiльтоновими системами на слабко точних симплектичних многовидах. Деякi результати про стiйкi та нестiйкi многовиди до гiперболiчних iнварiантних множин, що застосовуються в теорiї адiабатичних iнварiантiв повiльно збурених iнтегровних га- мiльтонових систем, встановлено в рамках елiптичних методiв Громова – Саламона – Зендера в сим- плектичнiй геометрiї. Вступ. За останнi роки методи симплектичної геометрiї в застосуваннi до ви- вчення широкого класу гамiльтонових динамiчних систем досить бурхливо роз- вивалися [1 – 4]. Зокрема, при аналiзi структури перiодичних розв’язкiв неавто- номних гамiльтонових систем на симплектичних многовидах були запропонованi новi математичнi методи їх дослiдження, що ґрунтуються на аналогу теорiї Мор- са для нескiнченновимiрних многовидiв петель [5, 6] та симплектичнiй геометрiї лагранжевих многовидiв [7 – 9]. Так, вивчаючи ергодичнi мiри, асоцiйованi з ла- гранжевими динамiчними системами на дотичних просторах до конфiгурацiйних замкнених многовидiв, Дж. Мазер [8] запропонував новий пiдхiд до вивчення вiд- повiдних iнварiантних ймовiрнiсних мiр за допомогою спецiально сконструйованої β-функцiї на групi гомологiй лагранжевого многовиду. Ця функцiя дає, зокрема, можливiсть ефективно описати так званi гомологiї iнварiантних ймовiрнiсних мiр, що мiнiмiзують вiдповiдний лагранжевий функцiонал дiї. Як показано в [10], пiд- хiд Дж. Мазера допускає нетривiальне узагальнення на випадок опису ергодичних мiр, що природно пов’язанi з заданою неавтономною перiодичною гамiльтоновою системою на замкненому симплектичному многовидi. З цiєю метою в данiй статтi ∗Частково пiдтримана грантом AGH (Польща). c© Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, 2006 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 675 676 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ розвивається нова конструкцiя β-функцiї Мазера, асоцiйованої з вiдповiдним мно- говидом Лагранжа та його гомологiчною структурою. ґрунтуючись, зокрема, на варiантi елiптичної технiки М. Громова [4, 6, 7], конструюємо скiнченновимiрнi iнварiантнi пiдмноговиди петель, асоцiйованих з лагранжевим многовидом неав- тономної гамiльтонової системи, якi є носiями вiдповiдних iнварiантних ергодич- них мiр. 1. Ергодичнi мiри на симплектичних многовидах. Загальнi властивос- тi. Нехай (M2n, ω(2)) є симплектичним 2n-вимiрним гладким метричним просто- ром. Симплектична структура ω(2) ∈ Λ2(M) називається слабко точною, якщо ω(2)(π2(M2n)) = 0, де π2(M2n) — друга гомотопiчна група многовиду M2n. Роз- глянемо гладке перiодичне вiдображення H : M2n × S1 → R i побудуємо гладке неавтономне векторне поле K : M2n × S1 → T (M) на M2n за правилом iKω (2) = −dH, (1.1) де iK — звичайне внутрiшнє диференцiювання алгебри Грасмана Λ(M2n). Якщо u ∈ M2n є точкою многовиду M2n у локальних координатах, то рiвнiсть (1.1) еквiвалентна рiвнянням du ds = K(u; t), dt ds = 1 (1.2) для всiх t ∈ R/2πZ ' S1, для яких iснує орбiта ϕ : M2n × S1 → M2n векторного поля (1.2), тобто вiдображення R 3 s → ϕs(u) ∈ M2 для кожного u ∈ M2n розв’язує (1.2). Оскiльки симплектична структура ω(2) ∈ Λ2(M2n) є замкненою, тобто dω(2) = 0 на M2n, з (1.1) випливає d ds ω(2) = 0 (1.3) для всiх точок орбiти векторного поля (1.2). Далi будемо вважати, що орбiта ϕ : M2n →M2n є визначеною на M2n для всiх s ∈ R. Розглянемо наступну iнфiнiтезимальну мiру dµω := (ω(2))n ∈ Λ2n(M2n) на многовидi M2n. З (1.3) легко випливає, що мiра µω є iнварiантною вiдносно векторного поля (1.2), тобто∫ ϕ−s(A) dµω(u) = ∫ A ϕs,∗dµω(u) = ∫ A dµω(u) (1.4) для будь-якої вимiрної борелевої пiдмножини A ⊂ M2n та всiх s ∈ R, де ми позначили через ϕs,∗ : Λ2n(M2n) → Λ2n(M2n) вiдповiдне кодотичне вiдображення до вiдображення ϕs : M2n → M2n, s ∈ R. Дiйсно, оскiльки умова (1.3) означає, що ϕs,∗ω(2) = ω(2) (1.5) для всiх s ∈ R, то з (1.4) i (1.5) знаходимо µω(ϕ−s(A)) = µω(A) (1.6) для всiх s ∈ R та борелевих пiдмножин A ⊂M2n, що й означає [11, 12] iнварiант- нiсть мiри µω на M2n. Оскiльки нас будуть цiкавити борелевi iнварiантнi мiри з ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 СИМПЛЕКТИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ ЕРГОДИЧНИХ МIР НА IНВАРIАНТНИХ ... 677 носiями на певних пiдмноговидах чи пiдмножинах многовиду M2n, то очевидно, що цi мiри не обов’язково повиннi бути обмеженнями побудованої вище мiри µω на цi пiдмножини, а можуть iснувати iншi iнварiантнi мiри, серед яких такi, що задовольняють умову ергодичностi. Означення 1.1. Нехай ψs : L → L, s ∈ R, є потоком на L. Тодi ψs- iнварiантна мiра µ на множинi L називається ергодичною, якщо для кожної вимiрної iнварiантної (борелевої ) пiдмножини A ⊂ L виконується умова µ(A) = = 0 або µ(L \A) = 0. Означення 1.2. Потiк ψs : L → L для s ∈ R на iнварiантнiй вимiрнiй пiд- множинi L ⊂ M2n називається строго ергодичним, якщо для нього iснує лише одна iнварiантна мiра. Має мiсце таке твердження, що характеризує строго ергодичнi мiри. Твердження 1.1. Єдина iнварiантна мiра µ строго ергодичного потоку ψs : L → L, s ∈ R, є ергодичною. Доведення. Нехай A ⊂ L є вимiрною пiдмножиною з умовою µ(A) > 0. Тодi можна визначити на L нову умовну мiру µA(B) := µ(B ∩A)/µ(A) (1.7) для всiх вимiрних пiдмножин B ⊂ L. Якщо мiра µ не є ергодичною, то обов’язково знайдеться така ψs-iнварiантна пiдмножина A ⊂ L, що 0 < µ(A) < 1. Тодi, очевидно, двi мiри µA та µL\A є вiдмiнними одна вiд одної ψs-iнварiантними мiрами на L, оскiльки µA(A) = 1, µL\A = 0, що суперечить умовi iснування лише однiєї iнварiантної мiри на L. Отже, повинна виконуватись умова µA(A) = 0 або µA(A) = 1, що й означає ергодичнiсть мiри µ на L. Твердження 1.1 доведено. Ергодичнiсть зручно переформулювати також в функцiональних термiнах. А саме, iнварiантний потiк ψs : L → L, s ∈ R, є ергодичним, якщо будь-яка вимiрна дiйсна ψs-iнварiантна функцiя f : L → R є майже скрiзь сталою. Як наслiдок, справджується таке твердження [11]. Твердження 1.2. Якщо потiк ψs : L → L, s ∈ R, є вiдображенням, ер- годичним вiдносно ймовiрнiсної мiри µ, то для кожної функцiї f : L(µ) 1 (L; R) виконується рiвнiсть lim T→∞ 1 2T T∫ −T f ◦ (ψsu)ds .= ∫ L fdµ (1.8) майже скрiзь для всiх u ∈ L. Доведення. Оскiльки вираз з лiвої частини (1.8) згiдно з теоремою Бiркгофа – Хiнчина [12, 13] iснує для майже всiх u ∈ L i є iнварiантним вiдносно вiдображен- ня ψs : L → L, s ∈ R, то вiн є майже скрiзь сталим на L, i стала ця, очевидно, дорiвнює правiй частинi (1.8) завдяки iнварiантностi мiри µ, що й доводить твер- дження 1.2. Твердження 1.2 приводить до постановки важливого питання: чи має будь- який неперервний потiк ψs : L → L, s ∈ R, ергодичну iнварiантну мiру на L? Для широкого класу потокiв вiдповiдь є ствердною, причому кожну таку iнварiантну мiру можна розкласти на так званi ергодичнi компоненти. Якщо позначити через ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 678 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ M(ψs;L) множину всiх ψs-iнварiантних iмовiрнiсних борелевих мiр на компактах L, то ця множина буде опуклою i замкненою, а отже, компактною пiдмножиною всiх борелевих iмовiрнiсних мiр на L. Справджується [12, 14] наступне твердження. Твердження 1.3. Якщо мiра µ ∈ M(ψs;L) не є ергодичною, то iснує та- ке число λ ∈ (0, 1), а також рiзнi iнварiантнi мiри µ1 та µ2 ∈ M(ψs;L), що виконується умова µ = λµ1 + (1− λ)µ2 на L. Доведення. Справдi, якщо iснує iнварiантна пiдмножина A ⊂ L така, що 0 < µ(A) < 1, то легко зауважити, що µ = µ(A)µA + µ(L \A)µL\A, де µA i µL\A визначенi за допомогою (1.7). Тодi при µ1 = µA, µ2 = µL\A i λ = µ(A) отримуємо справедливiсть даного твердження. Твердження 1.3 є пiдставою для побудови розкладу iнварiантної мiри µ ∈ ∈ M(ψs;L) як опуклої оболонки крайнiх точок опуклого компакту M(ψs;L). Це питання, яке в загальному випадку є дуже нетривiальним, ґрунтовно вивчалось, зокрема, у вiдомiй працi [14] та у працях багатьох iнших авторiв. Вiдомо, що для скiнченновимiрних компактних опуклих множин M(ψs;L) крайнi точки [11, 14, 15] завжди iснують. Можна довести також, що у випадку нескiнченновимiрного опуклого компакту M(ψs;L) крайнi точки iснують теж [11, 14], що обумовлює iснування ергодичних мiр на L для неперервного потоку ψs : L → L, s ∈ R. Стосовно побудови iнварiантних мiр та їх розкладiв на ергодичнi компоненти, що пропонуються в данiй працi i вивчаються за допомогою конструкцiї так званої β-функцiї Мазера, важливим є саме iснування крайнiх точок опуклого компакту M(ψs;L), якi є, власне, шуканими ергодичними мiрами з вiдповiдними носiями. При цьому їх наявнiсть гарантується важливою додатковою умовою iснування не- тривiальної β-функцiї Мазера на вiдповiднiй групi гомологiй певного опуклого скiнченновимiрного компакту, опуклий симплiцiальний розклад якого за допомо- гою крайнiх точок iснує за теоремою Мiнковського – Крейна – Мiльмана [11, 14, 15]. Дiйсно, оскiльки мають мiсце теорема 3.1 та наслiдок 3.1 з даної статтi про сюр’єктивнiсть вiдповiдного вiдображення мiр та гомологiй, шукана iнварiантна мiра та її розклад на ергодичнi компоненти є простим наслiдком властивостей побудованої тут β-функцiї Мазера. Розглянемо тепер вираз (1.8) для характеристичної функцiї f := χA будь-якої вимiрної множини A ⊂ L. Тодi, iнтегруючи обидвi частини по борелевiй множинi B ⊂ L, з (1.8) отримуємо lim T→∞ 1 2T T∫ −T µ(ψ−sA ∩B)ds = µ(A)µ(B) (1.9) для будь-яких борелевих A та B ⊂ L. Якщо справджується рiвнiсть (1.9), то iнварiантна мiра µ буде, очевидно, ергодичною для потоку ψs : L → L, s ∈ R. Зауважимо також, що бiльш сильна властивiсть lim s→∞ µ(ψ−sA ∩B) = µ(A)µ(B) (1.10) для всiх борелевих множин A i B ⊂ L має назву перемiшування. Очевидно, що потiк ψs : L → L, s ∈ R, який є вiдносно певної iнварiантної мiри µ на L ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 СИМПЛЕКТИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ ЕРГОДИЧНИХ МIР НА IНВАРIАНТНИХ ... 679 перемiшуванням, тобто задовольняє (1.10), буде одночасно i ергодичним, але не навпаки. Нехай тепер L ⊂M2n × S1 є iнварiантною пiдмножиною для перiодичного га- мiльтонового потоку (1.2). Тодi, очевидно, iснує редукцiя канонiчної iнварiантної мiри µω з компактного простору M2n × S1 на L, якщо множина L ⊂ M2n × S1 є гладко вкладеним (iмерсiєю) пiдмноговидом в M2n×S1. На жаль, редукована мiра µω × dθ\|L у багатьох випадках є або виродженою, або неiнварiантною, що вимагає знаходження iншого способу побудови iнварiантних мiр на таких множинах. У ви- падку лагранжевих перiодичних динамiчних систем на дотичних многовидах такий спосiб було розвинено у працях [8, 9], ґрунтуючись на гомологiчних властивостях так званої функцiї Мазера i фундаментальнiй теоремi Крилова – Боголюбова [11, 13, 16] про iснування iнварiантних iмовiрнiсних мiр для будь-якого неперервного потоку ψs : L → L, s ∈ R, на компактному метричному просторi L. Побудову з праць [8, 9] буде нижче розвинено й узагальнено на випадок неав- тономних перiодичних гамiльтонових систем на замкнених симплектичних слабко точних многовидах (M2n, ω(2)) за допомогою елiптичної технiки, запропонова- ної в [3 – 7, 17] на симплектичних многовидах iз квазiкомплексною структурою. Як застосування отриманих результатiв у наступному пунктi буде наведено аналiз проблеми Мельнiкова – Самойленка стiйкостi адiабатичних iнварiантiв для певно- го класу неавтономних перiодичних адiабатично збурених гамiльтонових систем осциляторного типу, близьких до цiлком iнтегровних за Лiувiллем – Арнольдом. 2. Симплектичний аналiз неавтономних перiодичних гамiльтонових сис- тем. Нехай, як i вище, (M2n, ω(2)) — замкнений симплектичний многовид з умовою слабкої точностi ω(2)(π2(M2n)) = 0. Кожнiй достатньо гладкiй функцiї H : M2n × S1 → R вiдповiдає неавтономне векторне поле KH : M2n × S1 → → T (M2n), яке задовольняє умову (1.1), тобто iKH ω(2) = −dH. (2.1) Вiдповiдне векторне поле на M2n × S1 можна записати як du ds = KH(u; t), dt ds = 1, (2.2) де t ∈ R1/2πZ ' S1, а (u; t) : R → M2n × S1 — орбiта вiдповiдного повного потоку ψs : M2n × S1 → M2n × S1, визначеного для всiх s ∈ R. Зауважимо, що векторне поле в (2.2) є 2π-перiодичним по еволюцiйнiй змiннiй t ∈ S1. Проекцiя ψs t0 := ψs\|M2n , s ∈ R, при фiксованому значеннi параметра t0 ∈ S1 задовольняє, очевидно, умову типу (1.5), тобто ψs,∗ t0 ω (2) = ω(2) (2.3) для всiх s ∈ R. Вiдображення ψs t0 : M2n → M2n, s ∈ R, яке задовольняє умо- ву (2.3), є симплектичним [1, 2]. Розглянемо тепер 1-форму α(1) ∈ Λ1(M2n) таку, що ∫ D2 (ω(2) − dα(1)) = 0 для будь-якого компактного двовимiрного диска D2 ⊂ M2n. Така 1-форма α(1) ∈ ∈ Λ1(M2n) iснує [7, 17] завдяки умовi ω(2)(π2(M2n)) = 0. Розглянемо тепер деякий (n + 1)-вимiрний пiдмноговид Ln+1 ⊂ M2n × S1 такий, що для кожної замкненої стягувальної гладкої кривої γ ⊂ Ln+1 виконується ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 680 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ iнтегральна рiвнiсть ∮ γ (α(1)(s)−H(t0 + s)ds) = 0, (2.4) де γ : R1/2πZ 3 s → γ(s) ∈ M2n × S1 — вiдповiдна параметризацiя кривої γ ⊂ ⊂ Ln+1. Структуру пiдмноговиду Ln+1 ⊂M2n×S1 опишемо таким чином. Нехай Ln t0 ⊂M2n — деякий компактний лагранжевий пiдмноговид, тобто, за означенням, ω(2)\|Ln t0 = 0. Тодi за допомогою симплектоморфiзму ψs t0 : M2n → M2n, s ∈ R, можна записати вкладення {ψs t0L n t0 , t0 + s : s ∈ R} ⊂ Ln+1, (2.5) яке випливає з (2.4). Зокрема, для всiх t0 + s ∈ R можна визначити в околi лагранжевого пiдмноговиду Ln t0 ⊂ M2n вiдображення At0 : R → R, для якого α(1)(s) − H(s + t0)ds = dAt0(s), s ∈ R, яке є породжуючою функцiєю для ви- значеної вище неперервної множини симплектоморфiзмiв ψs t0 ∈ Diff(M2n), s ∈ R. Бiльш того, вираз (2.4) дає можливiсть визначити природним чином наступний функцiонал типу Пуанкаре – Картана на множинi всiх майже скрiзь диференцiйов- них кривих γ : [0, τ ] →M2n × S1: A(τ) t0 (γ) := 1 τ ∫ γ (α(1)(s)−H(s+ t0)ds), (2.6) де γ(τ) = ψτ (γ(0)), supp γ ⊂ U(Ln t0) × S1 i U(Ln t0) — деякий вiдкритий окiл ла- гранжевого пiдмноговиду Ln t0 ⊂ M2n, що задовольняє умову ψs t0U(Ln t0) ⊂ U(Ln t0) для всiх s ∈ R. Позначимо через Σt0(H) пiдмножину кривих γ з носiєм в U(Ln t0)×S, фiксовани- ми кiнцями i таких, що мiнiмiзують функцiонал (2.6). Якщо мiнiмум реалiзується, то кожна така крива γ ∈ Σt0(H) розв’язує динамiчну систему (2.2). Щоб описати структуру множини кривих Σt0(H) бiльш детально, виберемо згiдно з [5, 7, 17] майже комплексну структуру J : M2n → End(T (M2n)) на симплектичному мно- говидi M2n, де, за означенням, J2 = −1, яка сумiсна з симплектичною структурою ω(2) ∈ Λ2(M2n). Тодi вираз 〈ξ, η〉 := ω(2)(ξ, Jη), (2.7) де ξ, η ∈ T (M2n), визначає природним чином рiманову метрику на M2n. По вiдно- шенню до цiєї метрики (2.7) наше гамiльтонове векторне поле KH : M2n × S1 → → T (M2n) зображується як KH = J∇H, де ∇ : D(M2n) → T (M2n) позначає градiєнтне вiдображення стосовно введеної вище рiманової метрики (2.7). Розглянемо тепер простiр Ω := Ω(M2n × S1) усiх майже скрiзь неперервно диференцiйовних кривих в M2n × S1 iз фiксованими кiнцевими точками. Тодi можна визначити на Ω функцiонал виду (2.6) i обчислити вiдображення gradA(τ) t0 : Ω → T (Ω): (gradA(τ) t0 (γ), ξ) := 1 τ τ∫ 0 〈J(γt0)γ̇t0(s) +∇H(γt0 ; s+ t0), ξ〉ds, (2.8) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 СИМПЛЕКТИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ ЕРГОДИЧНИХ МIР НА IНВАРIАНТНИХ ... 681 де γ := {γ(s) t0 ; t0 + s(mod 2π) : s ∈ [0, τ ]} ∈ Ω i елемент ξ ∈ T (Ω). Оскiльки всi критичнi кривi γ ∈ Σt0(H), що мiнiмiзують функцiонал (2.6), розв’язують рiвняння Гамiльтона (2.2), можна побудувати iнварiантну пiдмножину ΩH ⊂ Ω таку, що ΩH := Ω(U(Ln t0)× S1). А саме, визначимо криву γ ∈ ΩH(γ(−)) ⊂ ΩH як таку, що задовольняє градiєнтний потiк в U(Ln t0)× S1: ∂ut0 ∂z = − gradAt0(u), ∂t ∂z = 0 (2.9) для всiх z ∈ R при таких асимптотичних умовах: lim z→−∞ ut0(s; z) = γ (−) t0 (s), lim z→+∞ ut0(s; z) = γt0(s), (2.10) де s ∈ [0, τ ] i кривi γ(−) t0 , γt0 : [0, τ ] → M2n задовольняють систему (2.2). Бiльш того, криву γ(−) t0 : [0, τ ] → M2n вважаємо гiперболiчною з носiєм supp γ(1) t0 ⊂ Ln t0 , де параметр t0 ∈ [0, 2π] є фiксованим. Тепер можемо побудувати, варiюючи криву γt0 ⊂ Ln t0 , аналог так званого нестiйкого многовиду Wu(γ(−) t0 ) до цiєї гiперболiч- ної кривої γ(−) t0 ⊂ Ln t0 . Таким чином, згiдно з описаною вище побудовою, функ- цiональний многовид Wu(γ(−) t0 ) при умовi його компактностi в слабкiй гладкiй топологiї Вiтнi [6, 17] може бути вкладеним як точковий компактний пiдмноговид у M2n. Це дозволяє iнтерпретувати носiї кривих, що розв’язують (2.9) та (2.10), iз supp γt0 ⊂ Ln t0 як компактний окiл L(−) t0 (H) ⊂ U(Ln t0) шуканого вище компактного лагранжевого пiдмноговиду Ln t0 ⊂M2n. Подiбну побудову можна провести для випадку, коли умови (2.10) замiнено на lim z→+∞ γt0(s; z) = γ (+) t0 (s), lim z→−∞ γt0(s; z) = γt0(s), (2.10a) або lim z→−∞ γt0(s; z) = γ (−) t0 (s), lim z→+∞ γt0(s; z) = γ (+) t0 (s), (2.10б) де γ(±) t0 : [0, τ ] → M2n — двi рiзнi строго неперетиннi гiперболiчнi кривi в M2n з носiями supp γ(±) t0 ⊂ Ln t0 , якi розв’язують систему рiвнянь (2.2). Використовуючи умови (2.10a), можна побудувати аналогiчно стiйкий пiдмно- говидW s(γ(+) t0 ) до гiперболiчної кривої γ(+) t0 ⊂ Ln t0 i далi вiдповiдний точковий окiл L(+) t0 (H) ⊂ U(Ln t0) компактного лагранжевого пiдмноговиду Ln t0 ⊂M2n, що є важ- ливим для вивчення властивостей трансверсального перетину стiйкого W s(γ(+) t0 ) та нестiйкого Wu(γt0) многовидiв. Аналогiчно, використовуючи умови (2.10б), можна побудувати околи L±t0(H) ⊂ U(Ln t0) компактного лагранжевого пiдмного- виду Ln t0 ⊂ M2n, якi є важливими при вивченнi так званих адiабатичних збурень iнтегровних за Лiувiллем – Арнольдом гамiльтонових систем на симплектичному многовидi M2n. Скористаємося тепер пiдходом iз робiт [5 – 7, 17] до вивчення структури функ- цiональної множини ΩH . Для функцiї Гамiльтона H : M2n × S1 → R загального положення множина ΩH , виявляється, має властивiсть компактностi в слабкiй то- пологiї Вiтнi та скiнченної розмiрностi. Це обумовлює можливiсть побудови вiдпо- вiдних компактних точкових многовидiв L(±) t0 (H) та Lt0(H) як околiв лагранжевого пiдмноговиду Ln t0 ⊂ M2n. Щоб побачити наочнiше цей перехiд до вiдповiдного ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 682 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ точкового компактного пiдмноговиду, розглянемо наступний диференцiальний опе- ратор першого порядку як лiнеаризацiю рiвняння (2.9) у напрямку векторного поля ξ ∈ T (ΩH): Ft0(u)ξ = ∇zξ + J(u)∇sξ +∇ξJ(u) ∂u ∂s +∇ξ∇H(u; t0 + s), (2.11) де u ∈ ΩH \|M2n задовольняє рiвняння ∂u ∂z + J(u) ∂u ∂s +∇H(u; s+ t0) = 0 (2.12) i ∇z,∇s та ∇ξ позначають вiдповiднi коварiантнi похiднi по вiдношенню до мет- рики (2.7) на M2n. Якщо u ∈ ΩH \|M2n є обмеженою i задовольняє рiвняння (2.12), крива γt0 в M2n має носiй supp γt0 ⊂ Ln t0 i кривi γ(±), як гiперболiч- нi i невиродженi [5, 17], мають носiї supp γ(±) t0 ⊂ Ln t0 , то лiнiйне вiдображення Ft0(u) : T (ΩH) → T (ΩH), визначене в (2.11), є фредгольмовим оператором [18] мiж вiдповiдними просторами Соболева. При цьому пара вiдображень (H,J), де J : M2n → EndT (M2n) задовольняє (2.7), називається регулярною [5], якщо кож- ний гiперболiчний розв’язок (2.2) є невиродженим i оператор Ft0(u) є сюр’єкцiєю на T (ΩH) для всiх u ∈ ΩH \|M2n . У загальному випадку можна встановити, що прос- тiр (H, J)reg ⊂ (H, J) регулярних пар (H,J) ∈ (H, J) є щiльним по вiдношенню до C∞-топологiї. Таким чином, для регулярних пар з теореми про неявну функцiю [1, 18] випливає, що простiр ΩH(γ(−) t0 ) для будь-якої кривої γ(−) t0 iз supp γt0 ⊂ Ln t0 є скiнченновимiрним слабко компактним за Вiтнi функцiональним пiдмногови- дом, локальна розмiрнiсть якого бiля точки u ∈ ΩH(γ(−) t0 ) збiгається з iндексом Фредгольма оператора Ft0(u). Як висновок iз скiнченного вимiру та компактностi функцiонального простору отримуємо, що ΩH(γ(−) t0 ) є компактнiстю вiдповiдної точкової множини L(−) t0 (H), яку можна розглядати як компактний iнварiантний окiл лагранжевого пiдмноговиду Ln t0 ⊂M2n. Щоб дати бiльш детальний опис компактного околу L(−) t0 (H), скористаємося результатами Флоера та Громова [4, 6, 7]. Зокрема, з їхньою допомогою можна проаналiзувати структуру простору обмежених розв’язкiв задачi (2.9), (2.10). Легко встановити, що для будь-яких двох кривих γ(−), γ : [0, τ ] → Ln t0 ×S1, що задоволь- няють рiвняння (2.2), додатний функцiонал Φ(τ) t0 (u) := 1 τ τ∫ 0 ds ∫ R dz (∣∣∣∣∂u∂z ∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣∂u∂s −KH(u; s+ t0) ∣∣∣∣2 ) (2.13) при умовi його обмеженостi задовольняє характеристичну рiвнiсть Φ(τ) t0 (u) = A(τ) t0 (γ(−))−A(τ) t0 (γ) (2.14) для всiх t0 ∈ S1 i τ ∈ R. Тому якщо права частина рiвностi (2.14) не дорiвнює нулю, функцiональний простiр ΩH(γ(−)) буде a priori нетривiальним. Подiбним чином для обмеженого розв’язку u ∈ ΩH \|M2n рiвняння (2.12) отримуємо Φ(τ) t0 (u) = A(τ) t0 (γ)−A(τ) t0 (γ(+)), (2.14a) де вiдповiдна крива γ(+) t0 : [0, τ ] → M2n задовольняє систему (2.2) i є гiперболiч- ною, причому носiй supp γt0 ⊂ Ln t0 , i, насамкiнець, для u ∈ Lt0(H) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 СИМПЛЕКТИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ ЕРГОДИЧНИХ МIР НА IНВАРIАНТНИХ ... 683 Φ(τ) t0 (u) = A(τ) t0 (γ(−))−A(τ) t0 (γ(+)), (2.14б) де кривi γ(±) : [0, τ ] → M2n × S1 є строго вiдмiнними, гiперболiчними з носiями supp γ(±) t0 ⊂ Ln t0 . Випадок, коли γ(−) t0 = γ (+) t0 , очевидно, приводить лише до точок u ∈ Ln t0 . Таким чином, ми сконструювали вiдповiднi iнварiантнi компактнi околи L(±) t0 (H) та Lt0(H) компактного пiдмноговиду Ln t0 ⊂M2n, якi складаються з точок обмежених розв’язкiв рiвнянь (2.9), (2.10) та (2.10a), (2.10б). ґрунтуючись на цих даних та аналiтичних виразах (2.14), (2.14a), (2.14б), можна сформулювати наступне твердження. Твердження 2.1. Всi околи L(±) t0 (H) та Lt0(H), побудованi за запропонова- ною вище схемою, є компактними й iнварiантними по вiдношенню до гамiльтоно- вого потоку дифеоморфiзмiв ψs ∈ Diff(M2n × S1), s ∈ R. Розглянемо тепер випадок компактного iнварiантного околу Lt0(H) ⊂ M2n. Попереднiй опис простору кривих ΩH дає можливiсть, використовуючи пiдхiд Дж. Мазера [8, 19], вивчити iншi важливi властивостi компактного околу Lt0(H), зокрема структуру простору ймовiрнiсних борелевих мiр Mt0(H) := := M(T (Lt0(H)) × S1) iз компактним носiєм, iнварiантних по вiдношенню до гамiльтонового потоку дифеоморфiзмiв ψs ∈ Diff(M2n × S1), s ∈ R, розширеного природним чином на простiр T (Lt0(H)) × S1. Цей гамiльтонiв ψ-потiк, завдяки твердженню 2.1, можна редукувати iнварiантним чином на компактний iнварiант- ний пiдмноговид Lt0(H) × S1 ⊂ M2n × S1. З метою бiльш детального вивчення цього редукованого ψ-потоку на пiдмноговидi Lt0(H)×S1 припустимо, що розши- рений гамiльтоновий ψ∗-потiк на T (Lt0(H))×S1 є ергодичним, тобто lim τ→∞ A(τ) t0 (γ) не залежить вiд початкових точок (u0, u̇; t0) ∈ T (Lt0(H))× S1. Пригадаймо тепер один результат (див., наприклад, [18, с. 262]) iз функцiо- нального аналiзу, який стверджує, що множина ймовiрнiсних мiр на компактному метричному просторi X є пiдмножиною дуального простору C∗(X) до простору Банаха C(X) неперервних функцiй на X. Ця множина є, очевидно, опуклою i, як вiдомо [20], є також метризованим компактом по вiдношенню до слабкої тополо- гiї на C∗(X), яку часто ще називають слабкою (∗)-топологiєю, а обмеження цiєї топологiї до множини борелевих мiр — нечiткою топологiєю на них. Оскiльки простiр Pt0 := T (Lt0(H)) × S є метризованим i може бути одно- точково компактифiкованим, множина борелевих iмовiрнiсних мiр на Pt0 є також метризованим опуклим компактом по вiдношенню до слабкої топологiї на просторi C∗(Pt0), дуальному до банахового простору неперервних функцiй на Pt0 . Вiдпо- вiдна множина Mt0(H) буде тодi також компактною опуклою пiдмножиною цього компакту борелевих iмовiрнiсних мiр на Pt0 . Добре вiдомий класичний результат М. М. Крилова i М. М. Боголюбова [13, 16] стверджує, що будь-який ψ-потiк на компактному метричному просторi X має iнварiантну ймовiрнiсну мiру. Цей результат можна адаптувати до нашого метричного компактифiкованого простору Pt0 := T (Lt0(H)) × S таким чином. Вiзьмемо траєкторiю γ ∈ ΩH розширеного ψ∗-потоку на Pt0 iз носiєм supp γ ⊂ ⊂ Lt0(H) × S, визначеним на iнтервалi [0, τ ] ⊂ R, i припустимо, що мiра µτ на T (Lt0(H)) × S рiвномiрно розподiлена вздовж орбiти γ ∈ ΩH . Тодi, очевидно, ‖ψs ∗µτ−µτ‖ 6 2s/τ для всiх s ∈ [0, τ).Позначимо через µ точку згущення множини {µτ : τ ∈ R+} при τ →∞ по вiдношенню до ранiше визначеної нечiткої топологiї. Для будь-якої неперервної функцiї f ∈ C(Pt0), довiльного s ∈ R та будь-яких ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 684 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ τ0, ε > 0 iснує τ > τ0 таке, що ∣∣∣∣∣ ∫ Pt0 f ◦ ψs̄ ∗dµ− ∫ Pt0 f ◦ ψs̄ ∗dµτ ∣∣∣∣∣ < ε для всiх s̄ ∈ {0, s}. Тодi з цих оцiнок випливає∣∣∣∣∣∣∣ ∫ Pt0 f ◦ ψs ∗dµ− ∫ Pt0 fdµ ∣∣∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∣∣∣ ∫ Pt0 f ◦ ψs ∗dµ− ∫ Pt0 fdµτ ∣∣∣∣∣∣∣+ + ∣∣∣∣∣∣∣ ∫ Pt0 f ◦ ψs ∗dµτ − ∫ Pt0 fdµτ ∣∣∣∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∣∣∣ ∫ Pt0 fdµτ − ∫ Pt0 fdµ ∣∣∣∣∣∣∣ 6 6 2ε+ ‖f‖‖ψs ∗µτ − µτ‖ 6 2ε+ 2s‖f‖/τ, тобто ∣∣∣∣∣ ∫ Pt0 f ◦ ψs ∗dµ− ∫ Pt0 fdµ ∣∣∣∣∣ = 0, оскiльки ε > 0 є довiльним малим додатним числом i τ0 > 0 — будь-яке велике додатне число. Тепер ми бачимо, що скон- струйована мiра µ ∈Mt0(H), тобто є нормованою й iнварiантною по вiдношенню до розширеного гамiльтонового ψ∗-потоку на Pt0 . Отже, у випадку ергодичностi ψ∗-потоку на Pt0 згадана вище границя lim τ→∞ A(τ) t0 (γ) = ∫ Pt0 (α(1) −H)dµ, де 1-форма α(1) ∈ Λ1(M2n) розглядається як функцiя α(1) : Pt0 → R, оскiльки пiдмноговид Lt0(H) за побудовою є компактним i iнварiантно вкладеним у M2n завдяки твердженню 2.1. Таким чином, природно вивчати властивостi функцiонала At0(µ) := ∫ Pt0 (α(1) −H)dµ (2.15) на просторi мiрMt0(H), де ми для простоти знехтували природним вiдображенням обмеження 1-форми α(1) ∈ Λ1(M2n) на iнварiантний пiдмноговид Lt0(H) ⊂M2n. Оскiльки нас цiкавлять ергодичнi властивостi ψ∗-орбiт на T (Lt0(H)) × S, нижче ми розвиваємо аналог гомологiчної технiки Дж. Мазера для лагранжевих мiр [8, 20] для складнiшого i цiкавiшого випадку редукованого гамiльтонового ψ-потоку — на iнварiантний компактний пiдмноговид Lt0(H) ⊂ M2n. Зокрема, ми побудуємо так званий аналог β-функцiї Мазера [8, 20] на групi гомологiй H1(Lt0(H); R), чиї лiнiйнi областi генерують ергодичнi компоненти мiри µ ∈Mt0(H), якi мiнiмiзують функцiонал (2.15) i є дуже важливими для вивчення властивостей регулярностi ψ∗-потоку на T (Lt0(H)) × S. Цi результати можна далi поширити на адiабатич- но збуренi гамiльтоновi системи, якi залежать вiд малого додатного параметра ε ↓ 0, зауваживши, що неперервна гамiльтонова функцiя H(t) := H̃(εt), t ∈ R, де H̃(τ+2π) = H̃(τ) для всiх τ ∈ R, задовольняє необхiднi властивостi розглядуваних систем на M2n. При цьому можна вивчити iснування так званих адiабатичних iнварiантiв iз компактними носiями в Lt0 ⊂ M2n, якi мають рiзнi застосування в математичнiй фiзицi та механiцi. Деякi з результатiв можуть бути застосованi до дослiдження важливої проблеми трансверсального перетину вiдповiдних стiйких ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 СИМПЛЕКТИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ ЕРГОДИЧНИХ МIР НА IНВАРIАНТНИХ ... 685 та нестiйких многовидiв до гiперболiчних кривих i сингулярних точок, що харак- теризують, згiдно з iдеями А. Пуанкаре, iснування в нашiй гамiльтоновiй системi сильно нерегулярних рухiв. 3. Iнварiантнi мiри та β-функцiя Мазера. Перед дослiдженням усереднено- го функцiонала (2.15) на просторi мiр Mt0(H) проаналiзуємо властивостi функ- цiонала ∮ σ a(1) := 〈a(1), σ〉 (3.1) на просторiH1(Lt0(H); R) при фiксованому значеннi елемента σ ∈ H1(Lt0(H); R). Оскiльки 1-форма a1 ∈ H1(Lt0(H); R) в (3.1) може одночасно розглядатися як функцiя a(1) : Pt0 → R, то на пiдставi вiдомої теореми Рiсса [18, 19] iснує борелева мiра µ : Pt0 → R+ (на разi не ψ-iнварiантна) така, що 〈a(1), σ〉 = ∫ Pt0 a(1)dµ (3.2) для всiх a1 ∈ H1(Lt0(H); R). Наступна лема характеризує праву частину (3.2). Лема 3.1. Нехай 1-форма a(1) = dλ(0) ⊂ Λ1(Lt0(H)) є точною, тобто кого- мологiчний клас [dλ(0)] = 0 ∈ H1(Lt0(H); R). Тодi для будь-якої мiри µ ∈Mt0(H)∫ Pt0 a(1)dµ = 0. (3.3) Доведення. Справдi, для a(1) = dλ(0), де λ(0) : Lt0(H) → R — деяке абсолют- но неперервне вiдображення, за теоремою Фубiнi має мiсце така оцiнка для всiх τ ∈ R+: ∣∣∣∣∣∣∣ ∫ Pt0 dλ(0)dµ ∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣ 1 τ τ∫ 0 ds ∫ Pt0 dλ(0)(ψs ∗dµ) ∣∣∣∣∣∣∣ = = ∣∣∣∣∣∣∣ 1 τ τ∫ 0 dµ ∫ Pt0 dsd(λ(0) ◦ ψs ∗)/ds) ∣∣∣∣∣∣∣ = = ∣∣∣∣∣∣∣ 1 τ ∫ ◦P t0 dµ[λ(0) ◦ ψτ ∗ − λ(0) ◦ ψ(0) ∗ ] ∣∣∣∣∣∣∣ 6 2‖λ(0)‖ τ . (3.4) Остання нерiвнiсть в (3.4) при τ →∞ приводить до (3.3), що й доводить лему. Таким чином, права частина (3.2) визначає на H1(Lt0(H); R) добре визначений функцiонал H1(Lt0(H); R) 3 a(1) −→ ∫ Pt0 a(1)dµ ∈ R на просторi когомологiй H1(Lt0(H); R), що дає можливiсть сформулювати наступ- ну теорему. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 686 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ Теорема 3.1. Нехай елемент σ ∈ H1(Lt0(H); R) є фiксованим. Тодi iснує ψ-iнварiантна ймовiрнiсна борелева мiра (не єдина!) µ ∈ Mt0(H) така, що має мiсце зображення (3.2), i, навпаки, для будь-якої мiри µ ∈ Mt0(H) iснує такий гомологiчний клас σ := ρt0(µ) ∈ H1(Lt0(H); R), що 〈a(1), ρt0(µ)〉 = ∫ Pt0 a(1)dµ (3.5) для всiх a(1) ∈ H1(Lt0(H); R). Наведемо тепер наступне означення (див. [16, 20]). Означення 3.1. Для будь-якої мiри µ ∈ Mt0(H) гомологiчний клас ρt0(µ) ∈ ∈ H1(Lt0(H); R) будемо називати її гомологiєю. Наслiдок 3.1. Вiдображення гомологiї ρt0 : Mt0(H) → H1(Lt0(H); R), ви- значене в теоремi 3.1, є сюр’єктивним. Доведення. Факт, що для кожної мiри µ ∈ Mt0(H) iснує єдиний гомологiч- ний клас [σ] = ρt0(µ) ∈ H1(Lt0(H); R), ґрунтується на добре вiдомiй теоремi А. Пуанкаре [1, 4] про дуальнiсть. Обернене твердження про сюр’єктивнiсть вiд- ображення ρt0 : Mt0(H) → H1(Lt0(H); R) ґрунтується на наступнiй конструкцiї. Розглянемо [8, 21] накривний простiр L̃t0(H) над Lt0(H), визначений умовою, що π1(L̃t0(H)) = kerht0 , де ht0 : π1(Lt0(H)) → H1(Lt0(H); R) позначає вiдпо- вiдний гомоморфiзм Гуревича [21]. Оскiльки насправдi функцiонал (3.5) є визна- ченим на накривному просторi L̃t0(H), то необхiдно пiдняти всi кривi γ ∈ ΩH на Lt0(H) × S до кривих γ̃ ⊂ Ω̃H на L̃t0(H) × S. У випадку, коли гомотопiч- на група π1(Lt0(H)) є абелевою, накривний простiр L̃t0(H) стає унiверсальним, але в загальному випадку одержуємо його як накривний простiр L̃t0(H), про- факторизований по вiдношенню до дiї ядра вiдповiдного гомоморфiзму Гуревича ht0 : π1(Lt0(H)) → H1(Lt0(H); R). Виберемо тепер довiльний елемент σ ∈ H1(Lt0(H); R) i побудуємо апрокси- муючу його множину так званих перетворень Дека у формi τ−1στ ∈ ImHt0 ⊂ ⊂ H1(Lt0(H); R), τ ∈ R+, i таких, що iснує слабка границя lim τ↓0 τ−1στ = σ. Покла- демо далi x̃τ := στ ◦ x̃0 ∈ L̃t0(H) × S, τ ∈ R+, де x̃0 ∈ L̃t0(H) × S вибираємо довiльним чином, i розглянемо таку криву γ̃ : [0, τ ] → L̃t0(H)×S iз кiнцевими точ- ками γ̃(0) = x̃0, γ̃(τ) = x̃τ , проекцiя якої на Lt0(H)×S1 буде кривою γ ∈ Σt0(H), що мiнiмiзує функцiонал (2.6). Розглянемо також множину {µτ : τ ∈ R+} iмовiрнi- сних мiр на Pt0 , рiвномiрно розподiлених вздовж вiдповiдних кривих γ ∈ Σt0(H) для кожного τ ∈ R+, i позначимо через µ точку їх згущення при τ →∞. Завдяки рiвномiрному розподiлу мiр µτ , τ ∈ R+, вздовж кривих γ ∈ Σt0(H) iз кiнцеви- ми точками, узгодженими по вiдношенню до вибраних вище перетворень Дека στ ∈ H1(Lt0(H); R), τ ∈ R+, з ергодичної теореми Бiркгофа – Хiнчина [11 – 13] одержуємо ∫ Pt0 a(1)dµτ = 〈a(1), τ−1aτ 〉 (3.6) для будь-якого a(1) ∈ H1(Lt0(H); R). Переходячи тепер до границi в (3.6) при τ → → ∞ i беручи до уваги, що слабко lim τ→∞ τ−1στ = σ, легко отримуємо, що рiвнiсть (3.5) має мiсце для деякої мiри µ ∈Mt0(H) такої, що ρt0(µ) = σ ∈ H1(Lt0(H); R), ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 СИМПЛЕКТИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ ЕРГОДИЧНИХ МIР НА IНВАРIАНТНИХ ... 687 тим самим встановлюючи сюр’єктивнiсть вiдображення ρt0 : Mt0(H) → → H1(Lt0(H); R). Наслiдок доведено. Повернемось тепер до аналiзу усередненого функцiонала (2.15) стосовно простору всiх iнварiантних мiр Mt0(H). А саме, розглянемо β-функцiю βt0 : H1(Lt0(H); R) → R, визначену як βt0(σ) := inf µ∈Mt0 (H) {At0(µ) : ρt0(µ) = σ ∈ H1(Lt0(H); R)}, (3.7) яку будемо називати β-функцiєю типу Мазера на пiдставi її аналогiї з визначенням в [8, 9, 20]. Має мiсце така лема. Лема 3.2. Нехай 1-форма a(1) ∈ H1(Lt0(H); R) є довiльною. Тодi β-функцiя типу Мазера β (a) t0 (σ) := inf µ∈Mt0 (H) {A(a) t0 (µ) : ρt0(µ) = σ ∈ H1(Lt0(H); R)}, (3.8) де, за визначенням, A(a) t0 (µ) := ∫ Pt0 (α(1) + a(1) −H)dµ, (3.9) задовольняє рiвнiсть β (a) t0 (σ) = βt0(σ) + 〈a(1), σ〉 (3.10) для всiх σ ∈ H1(Lt0(H); R). Доведення легко випливає з (3.8) та рiвностi (3.5). Припустимо тепер, що iнфiнiмум в (3.7) досягається на мiрi µ(σ) ∈ Mt0(H). Тодi, очевидно, ρt0(µ(σ)) = σ для будь-якого гомологiчного класу σ ∈ H1(Lt0(H); R). Позначимо через M(σ) t0 (H) множину всiх мiр з Mt0(H), що мiнiмiзують функ- цiонал (3.7), i перейдемо до вивчення ергодичних та гомологiчних властивостей цiєї множини мiр. 4. Ергодичнi мiри та їх гомологiї. Розглянемо введену вище β-функцiю типу Мазера β(a) t0 : H1(Lt0(H); R) → R для будь-яких a(1) ∈ H1(Lt0(H); R). Очевидно, що вона є опуклою функцiєю наH1(Lt0(H); R), тобто для будь-яких λ1 i λ2 ∈ [0, 1], λ1 + λ2 = 1, i σ1, σ2 ∈ H1(Lt0(H); R) справджується нерiвнiсть β (a) t0 (λ1σ1 + λ2σ2) 6 λ1β (a) t0 (σ1) + λ2β (a) t0 (σ2). Як звичайно, в теорiї опуклих функцiй визначається [15] так званий екстремальний елемент σ ∈ H1(Lt0(H); R), якщо β (a) t0 (λ1σ1 + λ2σ2) < λ1β (a) t0 (σ1) + λ2β (a) t0 (σ2) для всiх λ1, λ2 ∈ (0, 1), λ1 +λ2 = 1, i σ = λ1σ1 +λ2σ2 ∈ H1(Lt0(H); R). Вiдповiд- но, будемо називати опуклу множину Zt0(H) ⊂ H1(Lt0(H); R) лiнiйною областю β-функцiї типу Мазера (3.8), якщо β (a) t0 (λ1σ1 + λ2σ2) = λ1β (a) t0 (σ1) + λ2β (a) t0 (σ2) для всiх σ1, σ2 ∈ Zt0(H) та λ1, λ2 ∈ R. Легко бачити тепер, що коли елемент σ ∈ H1(Lt0(H); R) є екстремальним, то множина M(σ) t0 (H) мiстить [9, 15, 20] компоненти, якi є ергодичними мiнiмiзуючими мiрами. А саме, згiдно з [8, 9, 20], можна встановити, що коли Zt0(H) є лiнiйною областю i P(σ) t0 ⊂ Pt0 — замикання ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 688 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ об’єднання носiїв усiх мiр µ(σ) ∈ M(σ) t0 (H) iз σ ∈ Zt0(H), то множина P(σ) t0 буде компактною i обернене вiдображення (pt0 \|P(σ) t0 )−1 : pt0P (σ) t0 → P(σ) t0 є лiпшицевим, де pt0 : Pt0 → Lt0(H) × S є стандартною проекцiєю, iн’єктивною на P(σ) t0 . Бiльш того, можна показати [8, 20], що коли мiра µ ∈ M(σ) t0 (H) мiнiмiзує функцiонал (3.9), то її носiй suppµ ⊂ P(σ) t0 i всi її ергодичнi компоненти {µ̄} також мiнiмiзують цей функцiонал, при цьому опукла оболонка вiдповiдних гомологiй conv{ρt0(µ̄)} є лiнiйною областю Z (σ) t0 (H) β-функцiї типу Мазера (3.8). Цi результати є досить цiкавими з точки зору багатьох важливих застосувань у динамiцi. Зокрема, ергодич- нi мiри, як вiдомо, мають визначальну властивiстю, яка полягає в тому, що кожна iнварiантна борелева множина має мiру 0 або 1, що обумовлює важливу рiвнiсть lim τ→∞ A(τ) t0 (γ) = At0(µ̄) (4.1) рiвномiрно вiдносно елементiв (γt0(0), γ̇T0(0); t0) ∈ Pt0 ∩ supp µ̄, де γ ∈ Σt0(H). Отже, можна сформулювати наступну теорему. Теорема 4.1. Нехай мiра µ ∈ Mt0(H) мiнiмiзує функцiонал (3.9) i задоволь- няє умову β(a) t0 (ρt0(µ)) = At0(µ). Тодi носiй suppµ ⊂ Σt0(H), а опукла оболон- ка гомологiй ρt0(µ̂) ∈ H1(Lt0(H); R), де {µ̂} ⊂ Mt0(H) — вiдповiднi ергодичнi компоненти мiри µ ∈ Mt0(H), є лiнiйною областю Zt0(H) β-функцiї типу Мазе- ра (3.8). Доведення. Нехай ht0 : π1(Lt0(H)) → H1(Lt0(H); R) — вiдповiдний го- моморфiзм Гуревича. Вiзьмемо деякий базис σk ∈ Imht0 ⊂ H1(Lt0(H); R), k = 1, r, де r = dim(Imht0), який є дуальним до базису a (1) j ∈ H1(Lt0(H); R), j = 1, r. Тодi для будь-яких точок x̃, ỹ ∈ L̃t0(H) × S1 можна визначити елемент ξ(τ)(x̃, ỹ\|γ̃) ∈ H1(Lt0(H); R) як суму ξ(τ)(x̃, ỹ\|γ̃) := 1 τ r∑ j=1 σj τ∫ 0 ã (1) j (γ̃), де γ̃ : [0, τ ] → L̃t0(H) × S — будь-яка неперервна крива, що з’єднує цi двi точ- ки, i ã(1) j ∈ H1(L̃t0(H); R), j = 1, r, — вiдповiднi пiдняття на L̃t0(H) 1-форм a (1) j ∈ H1(Lt0(H); R), j = 1, r. Тепер можна легко показати, що коли мiра µ є ер- годичною i suppµ ⊂ Σt0(H), то мiра µ мiнiмiзує функцiонал (3.9). Покладемо далi σ := ρt0(µ) i нехай Zt0(H) ⊂ H1(L̃t0(H); R) — несуча область, яка мiстить гомоло- гiчний клас σ ∈ H1(L̃t0(H); R). Тодi можна бачити, що екстремальнi точки опуклої множини Zt0(H) є також екстремальними точками β-функцiї Мазера (3.8). Далi розкладемо гомологiчний клас σ := ρt0(µ) як опуклу комбiнацiю екстремальних точок σ̄j ∈ Σt0(H), j = 1,m, для деякогоm ∈ Z+.Оскiльки елементи σ̄j ∈ Zt0(H), j = 1,m, є екстремальними, то iснують ергодичнi мiри µ̄j ∈ M(σ) t0 (H), j = 1,m, такi, що ρt0(µ̄j) = σ̄j , j = 1,m. Бiльш того, з огляду на те, що множина Z(σ) t0 (H) є лiнiйною областю, легко отримуємо β (a) t0 = m∑ j=1 cjβ (a) t0 (σ̄j) = m∑ j=1 cjA(a) t0 (µ̄j), де σ := ∑m j=1 cj σ̄j — елемент iз деякими дiйсними коефiцiєнтами cj ∈ R, j = 1,m. Завдяки ергодичностi мiри µ ∈ Mt0(H) з ергодичної теореми Бiркгофа – Хiнчина ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 СИМПЛЕКТИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ ЕРГОДИЧНИХ МIР НА IНВАРIАНТНИХ ... 689 [1, 13] виводиться, що iснує орбiта γ̃ : [0, τ ] → L̃t0(H) × S1 iз носiєм supp γ ⊂ ⊂ suppµ така, що виконуються властивiсть (4.1) разом iз рiвнiстю σ := ρt0(µ) = lim τ→∞ ξ(τ)(x̃, ỹ\|γ̃). Далi, iснують кривi γ̃j ∈ Σt0(H), supp γ̃j ⊂ µ̄j , j = 1,m, такi, що виконуються рiвностi σ̄j := ρt0(t0)(µ̄j) = lim τ→∞ ξ(τ)(x̃, ỹ\|γ̃j) разом з рiвностями β (a) t0 (σ̄j) = A(a) t0 (µ̄j) = lim τ→∞ A(τ) t0 (γ̃j) для всiх j = 1,m. При виконаннi умов (2.14б), накладених на iнварiантний окiл Lt0(H), встановлюємо, що для будь-якої мiри µ ∈ Mt0(H) такої, що ρt0(µ) = σ, має мiсце нерiвнiсть A(a) t0 (µ) 6 β (a) t0 (ρt0(µ)), тим самим доводячи її мiнiмальнiсть. Припустимо тепер, що мiра µ ∈ Mt0(H) має ергодичнi компоненти, носiї якої лежать в Σt0(H), i опукла оболонка її гомологiй є лiнiйною областю β-функцiй типу Мазера (3.8). Можна апроксимувати (в слабкiй топологiї) мiру µ ∈ Mt0(H) за допомогою опуклої комбiнацiї µ̂ := ∑m j=1 ĉjµ̄j , де ĉj ∈ R i µ̄j ∈ Mt0(H), j = 1,m, є ергодичними компонентами мiри µ ∈Mt0(H). Тодi вкладення supp µ̂ ⊂ ⊂ Σt0(H) означають, що всi мiри µ̄j ∈Mt0(H), j = 1,m, мiнiмiзують (3.9), тобто є мiнiмальними. Таким чином, оскiльки опукла оболонка гомологiй {ρt0(µ̄j) ∈ H1(Lt0(H); R) : j = 1,m} є лiнiйною областю завдяки мiнiмальностi, то отримуємо A(a) t0 (µ̂) = m∑ j=1 ĉjA(a) t0 (µ̄j) = m∑ j=1 ĉjβ (a) t0 (ρt0(µ̄j)) = = β (a) t0 ρt0  m∑ j=1 ĉjµ̄j  = β (a) t0 (ρt0(µ)), означаючи, очевидно, також мiнiмальнiсть мiри µ̂ ∈ Mt0(H). Використовуючи тепер той факт, що границi мiнiмiзуючих мiр є також мiнiмiзуючими, отримуємо, що мiра µ ∈Mt0(H) мiнiмiзує функцiонал (3.9), що й доводить теорему. Розглянемо тепер деякi властивостi так званої несучої областi Z (a) t0 (H) := {σ ∈ H1(Lt0(H); R) : β(a) t0 (σ) = 〈a(1), σ〉+ c (a) t0 } для β-функцiї Мазера (3.8) при деякому фiксованому значеннi елемента a(1) ∈ ∈ H1(Lt0(H); R) i певним чином вибраному числi c(a) t0 ∈ R на основi (3.10). Ви- значимо множину P(a) t0 := ⋃ σ∈Z (a) t0 (H) suppµ(σ), де µ(σ) ∈Mt0(H) — мiра, для якої ρt0(µ(σ)) = σ ∈ Z(a) t0 (H). Подамо тепер несучу область Z(a) t0 ⊂ H1(Lt0(H); R) на пiдставi виразу (3.10) як Z (a) t0 (H) = {σ ∈ H1(Lt0(H); R) : β(0) t0 (σ) = c (a) t0 }, (4.2) де β-функцiя β(0) t0 : H1(Lt0(H); R) → R, оскiльки є обмеженою знизу, вибирається таким чином, що β(0) t0 (σ) > c (a) t0 для всiх σH1(Lt0(H); R). Вiзьмемо тепер мiру µ ∈ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 690 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ ∈ Mt0(H) i припустимо, що носiй suppµ ⊂ Σt0(H). Оскiльки β(0) t0 (σ) > c (a) t0 для всiх σH1(Lt0(H); R) i завдяки (4.2) Z(a) t0 (H) = (β(0) t0 )−1{c(a) t0 } для деякого фiксова- ного елемента a(1) ∈ H1(Lt0(H); R), то легко встановлюємо, що мiра µ ∈Mt0(H) мiнiмiзує функцiонал (3.9), якщо ρt0(µ) ∈ Z (a) t0 (H). Таким чином, встановлено наступну теорему. Теорема 4.2. Нехай Z(a) t0 (H) ⊂ H1(Lt0(H); R) є несучою областю β-функцiї типу Мазера (3.10) i мiра µ ∈ Mt0(H) задовольняє умову suppµ ⊂ Σt0(H). Тодi ця мiра µ ∈Mt0(H) є мiнiмiзуючою, якщо ρt0(µ) ∈ Z(a) t0 (H). Iз теореми 4.2 випливають наступнi простi наслiдки. Наслiдок 4.1. Мiнiмiзуюча мiра µ ∈ Mt0(H) з носiєм suppµ ⊂ Σt0(H) задовольняє умову A(0) t0 (µ) = c (a) t0 для деякого елемента a(1) ∈ H1(Lt0(H); R). За допомогою вибору елемента a(1) ∈ H1(Lt0(H); R) можна звести значення c(a) t0 ∈ R до нуля, тобто можна покласти c(a) t0 = 0. Наслiдок 4.2. Для будь-якої строго екстремальної замкненої кривої σ ∈ ∈ H1(Lt0(H); R) мають мiсце наступнi властивостi: i) iснує ергодична мiра µ̄(σ) ∈Mt0(H), носiй якої є мiнiмальною множиною i ρt0(µ̄(σ)) = σ; ii) для кожної замкненої 1-форми a(1) ∈ H1(Lt0(H); R) має мiсце рiвномiр- на рiвнiсть 〈a(1), σ〉 = lim τ↑∞ 1 τ ∫ t0+τ t0 a(1)( · γ)ds для всiх (γt0(0), · γt0 ; t0) ∈ Pt0 ∩ ∩ supp µ̄(σ), ρt0(µ̄(σ)) = σ i γt0 ∈ Σt0(H); iii) якщо (γt0(0), · γt0 ; t0) ∈ Pt0 ∩ supp µ̄(σ), ρt0(µ̄(σ)) = σ i γt0 ∈ Σt0(H) — вiдповiдна орбiта в Lt0(H), то β(a) t0 (0) = lim τ↑∞ A(τ) t0 (γ) рiвномiрно. Сформульованi вище твердження можна ефективно використати для вивчення багатьох неавтономно збурених, зокрема адiабатично, iнтегровних гамiльтонових потокiв осциляторного типу та властивостей регулярностi їх динамiки, що складає вiдому проблему Мельнiкова – Самойленка. Деякi аспекти цiєї проблеми дослi- джувались в теорiї трансверсального перетину вiдповiдних збурених стiйких та нестiйких многовидiв до гiперболiчних замкнених орбiт або особливих точок. Цi аспекти вивчення структури ергодичних мiр та їх гомологiчних властивостей для таких гамiльтонових систем є на даний час об’єктом нашого дослiдження. Автор висловлює щиру вдячнiсть колегам з Iнституту математики НАН України за численнi кориснi обговорення результатiв статтi на наукових семiнарах вiддiлу диференцiальних рiвнянь, зокрема його керiвниковi академiку А. М. Самойленку за глибокий iнтерес та пiдтримку тематики дослiджень, професору А. М. Плiчку за ряд корисних порад та зауважень щодо деяких аспектiв теореми Шоке та її за- стосувань, а також рецензенту статтi, чиї неформальнi та продуманi зауваження стосовно розкладу iнварiантних мiр на ергодичнi компоненти допомогли уникнути ряду неточностей та сприяли суттєвому покращенню викладу отриманих резуль- татiв. 1. Abraham R., Marsden J. Foundations of mechanics. – Commings, USA, 1978. – 806 p. 2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1989. – 408 с. 3. Eliashberg Y., Givental A., Hofer H. Introduction to symplectic field theory // arXive:math. SG/00- 10059, 6 Oct 2000. – P. 1 – 102. 4. Aebischer B., Borer M. et al. Symplectic geometry: Introductory course. – Basel: Birkhauses Verlag, 1992. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 СИМПЛЕКТИЧНИЙ МЕТОД ПОБУДОВИ ЕРГОДИЧНИХ МIР НА IНВАРIАНТНИХ ... 691 5. Salamon D., Zehnder E. Morse theory for periodic solutions of Hamiltonian systems and the Maslov index // Communs Pure and Appl. Math. – 1992. – 45. – P. 1303 – 1360. 6. McDuff D. Elliptic methods in symplectic geometry // Bull. Amer. Math. Soc. – 1990. – 23. – P. 311 – 358. 7. Floer A. Morse theory for Lagrangian intersections // J. Different. Geom. – 1988. – 28. – P. 513 – 547. 8. Mather J. N. Action minimizing measures for positive definite Lagrangian systems // Math. Z. – 1991. – 207. – P. 169 – 207. 9. Mane R. On the minimizing measures of Lagrangian dynamical systems // Nonlinearity. – 1992. – 5. – P. 623 – 638. 10. Blackmore D., Prykarpatsky A. K., Prykarpatsky Y. A. Symplectic field theory approach to studing ergodic measures related with nonautonomous Hamiltonian systems // CUBO Math. J. – 2004. 11. Каток А. Б., Хассельблат. Введение в современную теорию динамических систем. – М.: Факториал, 1999. – 767 с. 12. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. – М.: Наука, 1980. – 383 с. 13. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – М.: Гостехиздат, 1949. – 550 с. 14. Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. – М.: Мир, 1968. – 112 с. 15. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. – М.: Наука, 1979. – 429 с. 16. Kryloff N. M., Bogoliubov N. N. La theorie generale de la mesure et son application á l’etude des systemes dynamiques de la mechanique nonlineaire // Ann. Math. – 1937. – 11, № 38. – P. 65 – 113. 17. Hofer H. Lusternik – Schnirelman theory for Lagrangian intersections // Ann. Inst. H. Poincaré. – 1988. – 5, № 5. – P. 456 – 499. 18. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 740 с. 19. Edwards R. E. Functional analysis. – New York: Holt, Rinehart and Winston Publ., 1965. – 1071 p. 20. Mather J. Variational construction of connecting orbits // Ann. Inst. Fourier. – 1993. – 43, № 5. – P. 1349 – 1386. 21. Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. – М.: Наука, 1989. – 494 с. Одержано 02.12.2004, пiсля доопрацювання — 08.12.2005 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
id	umjimathkievua-article-3485
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:43:25Z
publishDate	2006
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/8f/6719538d3d4f8b9aa6e576752d00e28f.pdf
spelling	umjimathkievua-article-34852020-03-18T19:55:42Z Symplectic method for the construction of ergodic measures on invariant submanifolds of nonautonomous hamiltonian systems: Lagrangian manifolds, their structure, and mather homologies Симплектичний метод побудови ергодичних мір на інваріантних підмноговидах неавтономних гамільтонових систем: лагранжеві многовиди, їх структура та гомології Мазера Prykarpatsky, Ya. A. Прикарпатський, Я. А. We develop a new approach to the study of properties of ergodic measures for nonautonomous periodic Hamiltonian flows on symplectic manifolds, which are used in many problems of mechanics and mathematical physics. Using Mather’s results on homologies of invariant probability measures that minimize some Lagrangian functionals and the symplectic theory developed by Floer and others for the investigation of symplectic actions and transversal intersections of Lagrangian manifolds, we propose an analog of a Mather-type ?-function for the study of ergodic measures associated with nonautonomous Hamiltonian systems on weakly exact symplectic manifolds. Within the framework of the Gromov-Salamon-Zehnder elliptic methods in symplectic geometry, we establish some results on stable and unstable manifolds for hyperbolic invariant sets, which are used in the theory of adiabatic invariants of slowly perturbed integrable Hamiltonian systems. Розвивається новий підхід до вивчення властивостей ергодичних Mip для неавтономних періодичних гамільтонових потоків на симплектичних многовидах, які використовуються в багатьох задачах механіки та математичної фізики. ґрунтуючись на результатах Дж. Мазера про гомології інваріантних ймовірнісних мір, що мінімізують деякі лагранжеві функціонали, а також на симплектичній теорії, розвиненій А. Флоером та іншими для дослідження симплектичних дій і трансверсальних перетинів лагранжевих многовидів, запропоновано аналог &beta;-функції типу Мазера для вивчення ергодичних мір, асоційованих з неавтономними гамільтоновими системами на слабко точних симплектичних многовидах. Деякі результати про стійкі та нестійкі многовиди до гіперболічних інваріантних множин, що застосовуються в теорії адіабатичних інваріантів повільно збурених інтегровних гамільтонових систем, встановлено в рамках еліптичних методів Громова - Саламона - Зендера в симплектичній геометрії. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3485 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 5 (2006); 675–691 Український математичний журнал; Том 58 № 5 (2006); 675–691 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3485/3707 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3485/3708 Copyright (c) 2006 Prykarpatsky Ya. A.
spellingShingle	Prykarpatsky, Ya. A. Прикарпатський, Я. А. Symplectic method for the construction of ergodic measures on invariant submanifolds of nonautonomous hamiltonian systems: Lagrangian manifolds, their structure, and mather homologies
title	Symplectic method for the construction of ergodic measures on invariant submanifolds of nonautonomous hamiltonian systems: Lagrangian manifolds, their structure, and mather homologies
title_alt	Симплектичний метод побудови ергодичних мір на інваріантних підмноговидах неавтономних гамільтонових систем: лагранжеві многовиди, їх структура та гомології Мазера
title_full	Symplectic method for the construction of ergodic measures on invariant submanifolds of nonautonomous hamiltonian systems: Lagrangian manifolds, their structure, and mather homologies
title_fullStr	Symplectic method for the construction of ergodic measures on invariant submanifolds of nonautonomous hamiltonian systems: Lagrangian manifolds, their structure, and mather homologies
title_full_unstemmed	Symplectic method for the construction of ergodic measures on invariant submanifolds of nonautonomous hamiltonian systems: Lagrangian manifolds, their structure, and mather homologies
title_short	Symplectic method for the construction of ergodic measures on invariant submanifolds of nonautonomous hamiltonian systems: Lagrangian manifolds, their structure, and mather homologies
title_sort	symplectic method for the construction of ergodic measures on invariant submanifolds of nonautonomous hamiltonian systems: lagrangian manifolds, their structure, and mather homologies
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3485
work_keys_str_mv	AT prykarpatskyyaa symplecticmethodfortheconstructionofergodicmeasuresoninvariantsubmanifoldsofnonautonomoushamiltoniansystemslagrangianmanifoldstheirstructureandmatherhomologies AT prikarpatsʹkijâa symplecticmethodfortheconstructionofergodicmeasuresoninvariantsubmanifoldsofnonautonomoushamiltoniansystemslagrangianmanifoldstheirstructureandmatherhomologies AT prykarpatskyyaa simplektičnijmetodpobudoviergodičnihmírnaínvaríantnihpídmnogovidahneavtonomnihgamílʹtonovihsistemlagranževímnogovidiíhstrukturatagomologíímazera AT prikarpatsʹkijâa simplektičnijmetodpobudoviergodičnihmírnaínvaríantnihpídmnogovidahneavtonomnihgamílʹtonovihsistemlagranževímnogovidiíhstrukturatagomologíímazera

Symplectic method for the construction of ergodic measures on invariant submanifolds of nonautonomous hamiltonian systems: Lagrangian manifolds, their structure, and mather homologies

Репозитарії

Схожі ресурси