On the Schur theorem for n-ary groups
We prove n-ary analogs of the well-known Schur theorem on the finiteness of a commutator subgroup of a group whose center is of finite index.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3491 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509592049418240 |
|---|---|
| author | Galmak, A. M. Гальмак, А. М. |
| author_facet | Galmak, A. M. Гальмак, А. М. |
| author_sort | Galmak, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:00Z |
| description | We prove n-ary analogs of the well-known Schur theorem on the finiteness of a commutator subgroup of a group whose center is of finite index. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.548
А. М. Гальмак (Могилев. ун-т продовольствия, Беларусь)
О ТЕОРЕМЕ ШУРА ДЛЯ n-АРНЫХ ГРУПП
We prove n-ary analogs of the well-known Shur theorem on the finiteness of a commutator subgroup of
a group whose center possesses a finite index.
Отримано n-арнi аналоги вiдомої теореми Шура про скiнченнiсть комутанта групи, в якiй центр
має скiнченний iндекс.
Введение. Между центром и коммутантом группы существует связь, устанавлива-
емая теоремой Шура [1] о конечности коммутанта группы, центр которой имеет в
ней конечный индекс. Основная цель данной работы — установление подобной свя-
зи между n-арными аналогами центра и коммутанта в n-арной группе. При этом
роль n-арных аналогов центра группы будут играть центр и полуцентр n-арной
группы, являющиеся ее подалгебрами, а n-арными аналогами коммутанта группы
будем считать F-корадикальную конгруэнцию n-арной группы в случае, когда F —
класс всех абелевых (полуабелевых) n-арных групп. Понятие F-корадикальной
конгруэнции введено Л. А. Шеметковым для произвольных универсальных ал-
гебр [2].
В теореме Шура говорится о конечности коммутанта группы, а так как в ка-
честве его n-арного аналога выбрана некоторая конгруэнция n-арной группы, то
прежде чем перейти к установлению теоремы Шура для n-арных групп, необхо-
димо ответить на вопрос: что считать порядком конгруэнции в n-арной группе?
Ответить на этот вопрос позволяет предложение 10.11 [3], согласно которому все
классы конгруэнции, определенной на n-арной группе, имеют одну и ту же мощ-
ность. Поэтому естественно назвать порядком конгруэнции в n-арной группе мощ-
ность классов этой конгруэнции [4]. Если ρ — конгруэнция n-арной группы, то
для обозначения ее порядка в n-арной группе используют [4] символ ‖ρ‖. При
этом если ‖ρ‖ < ∞, то ρ называют конечной конгруэнцией. В противном случае
ρ — бесконечная конгруэнция. Порядок конгруэнции ρ в n-арной группе 〈A, [ ]〉
не следует смешивать с ее порядком ‖ρ‖ как подалгебры в A2. Допуская воль-
ность речи, в случаях, когда не возникает разночтений, говорят и пишут „порядок
конгруэнции” вместо „порядок конгруэнции в n-арной группе”.
Напомним некоторые понятия теории n-арных групп, используемые в работе.
Согласно Дернте [5], универсальная алгебра 〈A, [ ]〉 с одной n-арной (n ≥ 2)
операцией [ ] : An → A называется n-арной группой, если выполняются следующие
условия:
1) n-арная операция [ ] на множестве A ассоциативна, т. е.
[[a1 . . . an]an+1 . . . a2n−1] = [a1 . . . ai[ai+1 . . . ai+n]ai+n+1 . . . a2n−1]
для всех i = 1, 2, . . . , n и всех a1, a2, . . . , a2n−1 ∈ A;
2) каждое из уравнений
[a1 . . . ai−1xiai+1 . . . an] = b, i = 1, 2, . . . , n,
c© А. М. ГАЛЬМАК, 2006
730 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
О ТЕОРЕМЕ ШУРА ДЛЯ n-АРНЫХ ГРУПП 731
однозначно разрешимо в A относительно xi для всех a1, . . . , ai−1, ai+1, . . . , an,
b ∈ A.
Пост заметил [6], что требование однозначной разрешимости уравнений в опре-
делении Дернте можно ослабить, потребовав только их разрешимость, а число
уравнений уменьшить с n до двух (i = 1, n), а при n ≥ 3 даже до одного (i —
фиксированное из {2, . . . , n− 1}).
n-Арная группа 〈A, [ ]〉 называется:
абелевой, если
[a1a2 . . . an] = [aσ(1)aσ(2) . . . aσ(n)]
для всех a1, a2, . . . , an ∈ A и любой подстановки σ множества {1, . . . , n};
полуабелевой, если
[aa1 . . . an−2b] = [ba1 . . . an−2a]
для всех a, a1, . . . , an−2, b ∈ A.
n-Арная подгруппа 〈B, [ ]〉 n-арной группы 〈A, [ ]〉 называется инвариантной в
ней, если [
xB . . . B︸ ︷︷ ︸
n−1
]
=
[
B . . . B︸ ︷︷ ︸
i−1
xB . . . B︸ ︷︷ ︸
n−i
]
для любого x ∈ A и всех i = 2, 3, . . . , n. Если же последнее равенство выполняется
только для i = n, то 〈B, [ ]〉 называется полуинвариантной в 〈A, [ ]〉.
Для любой n-арной группы 〈A, [ ]〉 через θA обозначается введенное Постом [6]
отношение эквивалентности, определенное на свободной полугруппе FA по пра-
вилу: (α, β) ∈ θA тогда и только тогда, когда существуют последовательности γ и
δ такие, что [γαδ] = [γβδ].
Последовательность e1, . . . , ek(n−1), k ≥ 1, элементов n-арной группы 〈A, [ ]〉
называется нейтральной, если
[e1 . . . ek(n−1)a] = [ae1 . . . ek(n−1)] = a
для любого a ∈ A. Последовательность β элементов n-арной группы 〈A, [ ]〉 на-
зывается обратной к последовательности α, составленной из элементов этой же
n-арной группы, если последовательности αβ и βα являются нейтральными. Эле-
мент a n-арной группы 〈A, [ ]〉 называется косым для a, если
[
ā a . . . a︸ ︷︷ ︸
n−1
]
= a.
1. Группы A∗ и A0. Для любой n-арной группы 〈A, [ ]〉 Пост определил
универсальную обертывающую группу A∗ = FA/θA, выделил в ней нормальную
подгруппу
A0 = {θA(a1 . . . an−1) | a1, . . . , an−1 ∈ A},
которая называется соответствующей для 〈A, [ ]〉, и показал, что
A∗/A0 =
{
θA(a)A0, θ2
A(a)A0, . . . , θ
n−1
A (a)A0 = A0
}
для любого a ∈ A [6].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
732 А. М. ГАЛЬМАК
Для любого подмножества B n-арной группы 〈A, [ ]〉 полагают [7]
B0(A) = B(n−1)(A) =
{
θA(a) ∈ A0 | ∃b1, . . . , bn−1 ∈ B, αθAb1 . . . bn−1
}
,
B∗(A) =
{
θA(a) ∈ A∗ | ∃b1, . . . , bi ∈ B (i ≥ 1), αθAb1 . . . bi
}
.
Ясно, что B∗(A) ⊆ A∗, B0(A) ⊆ A0, в частности A∗(A) = A∗, A0(A) = A0.
Если 〈B, [ ]〉— n-арная подгруппа n-арной группы 〈A, [ ]〉, то B∗(A) — подгруппа
группы A∗, изоморфная группе B∗, а B0(A) — подгруппа группы A0, изоморфная
группе B0 [7].
Лемма 1. Пусть 〈B, [ ]〉 — n-арная подгруппа n-арной группы 〈A, [ ]〉, A =
=
⋃
i∈I
[
xi B . . . B︸ ︷︷ ︸
n−1
]
— разложение 〈A, [ ]〉 на непересекающиеся левые смежные
классы по 〈B, [ ]〉. Тогда:
1) A∗ =
⋃
i∈I
θA(xi)B∗(A) — разложение A∗ на непересекающиеся левые смеж-
ные классы по B∗(A);
2) отображение
[
xi B . . . B︸ ︷︷ ︸
n−1
]
→ θA(xi)B∗(A) является биекцией множества
всех левых смежных классов 〈A, [ ]〉 по 〈B, [ ]〉 на множество всех левых смежных
классов A∗ по B∗(A).
Доказательство. 1. Пусть θA(a1 . . . ak) — произвольный элемент из A∗, k =
= 1, . . . , n− 1. Если зафиксировать b1, . . . , bk−1 ∈ B, то найдется y ∈ A такой, что
θA(a1 . . . k) = θA(yb1 . . . bk−1). (1)
Если bk, . . . , bn−1 ∈ B, то [yb1 . . . bk−1bk . . . bn−1] ∈
[
xi B . . . B︸ ︷︷ ︸
n−1
]
для некоторого
i ∈ I, откуда
[yb1 . . . bk−1bk . . . bn−1] = [xib1 . . . bk−1bk . . . bn−2b]
для некоторого b ∈ B. Тогда
θA(yb1 . . . bk−1)θA(bk . . . bn−1) = θA(xi)θA(b1 . . . bn−2b),
θA(yb1 . . . bk−1) = θA(xi)θA(b1 . . . bn−2b)θ−1
A (bk . . . bn−1) ∈ αA(xi)B∗(A),
откуда и из (1) следует θA(a1 . . . ak) ∈ θA(xi)B∗(A). Следовательно,
A∗ ⊆
⋃
i∈I
θA(xi)B∗(A).
Обратное включение очевидно. Таким образом, доказано равенство из утвержде-
ния 1.
Предположим, что θA(xi)B∗(A) ∩ θA(xj)B∗(A) 6= ∅, i 6= j, т. е.
θA(xi)θA(c1 . . . ck) = θA(xj)θA(d1 . . . dm)
для c1, . . . , ck, d1, . . . , dm ∈ B, где k, m ∈ {1, . . . , n− 1}. Ясно, что k = m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
О ТЕОРЕМЕ ШУРА ДЛЯ n-АРНЫХ ГРУПП 733
Если k = n− 1, то из последнего равенства следует
[xic1 . . . cn−1] = [xjd1 . . . dn−1],
что противоречит условию леммы.
Если k < n− 1, то
θA(xi)θA(c1 . . . ck)θA(ck+1 . . . cn−1) = θA(xj)θA(d1 . . . dk)θA(ck+1 . . . cn−1)
для любых ck+1, . . . , cn−1 ∈ B, откуда
[xic1 . . . cn−1] = [xjd1 . . . dkck+1 . . . cn−1].
Последнее равенство также противоречит условию леммы. Следовательно, ра-
венство из утверждения 1 является разложением A∗ на непересекающиеся левые
смежные классы по B∗(A).
Утверждение 2 очевидно.
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть 〈B, [ ]〉 — n-арная подгруппа n-арной группы 〈A, [ ]〉, b1, . . .
. . . , bn−2 — фиксированные элементы из B, A =
⋃
i∈I
[
xi B . . . B︸ ︷︷ ︸
n−1
]
— разложение
〈A, [ ]〉 на непересекающиеся левые смежные классы по 〈B, [ ]〉. Тогда:
1) A0 =
⋃
i∈I
θA(xib1 . . . bn−2)B0(A) — разложение A0 на непересекающиеся
левые смежные классы по B0(A);
2) отображение
[
xi B . . . B︸ ︷︷ ︸
n−1
]
→ θA(xib1 . . . bn−2)B0(A) является биекцией
множества всех левых смежных классов 〈A, [ ]〉 по 〈B, [ ]〉 на множество всех
левых смежных классов A0 по B0(A).
Доказательство. Поскольку 〈B, [ ]〉 — n-арная подгруппа, то[
xi B . . . B︸ ︷︷ ︸
n−1
]
= [xib1 . . . bn−2B], i ∈ I.
1. Пусть θA(a1 . . . an−1) — произвольный элемент из A0. Если зафиксировать
b′1, . . . , b
′
n−1 ∈ B, то найдется y ∈ A такой, что
θA(a1 . . . an−1) = θA(yb1 . . . bn−2b
′
1b
′
2 . . . b′n−1). (2)
Поскольку [yb1 . . . bn−2b
′
1] ∈
[
xi B . . . B︸ ︷︷ ︸
n−1
]
для некоторого xi, то
[yb1 . . . bn−2b
′
1] = [xib1 . . . bn−2b]
для некоторого b ∈ B. Тогда вследствие (2)
θA(a1 . . . an−1) = θA(xib1 . . . bn−2)θA(bb′2 . . . b′n−1),
т. е. θA(a1 . . . an−1) ∈ θA(xib1 . . . bn−2)B0(A). Следовательно,
A0 ⊆
⋃
i∈I
θA(xib1 . . . bn−2)B0(A).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
734 А. М. ГАЛЬМАК
Обратное включение очевидно. Таким образом, доказано равенство из утвержде-
ния 1.
Предположим, что
θA(xib1 . . . bn−2)B0(A) ∩ θA(xjb1 . . . bn−2)B0(A) 6= ∅, i 6= j,
т. е.
θA(xib1 . . . bn−2)θA(c1 . . . cn−1) = θA(xjb1 . . . bn−2)θA(d1 . . . dn−1)
для c1, . . . , cn−1, d1, . . . , dn−1 ∈ B. Тогда
θA(xib1 . . . bn−2)θA(c1 . . . cn−1)θA(b) = θA(xjb1 . . . bn−2)θA(d1 . . . dn−1)θA(b)
для любого b ∈ B. Далее, так как
b1 . . . bn−2c1 . . . cn−1b θAc′1 . . . c′n−1, b1 . . . bn−2d1 . . . dn−1b θAd′1 . . . d′n−1
для некоторых c′1, . . . , c
′
n−1, d′1, . . . , d
′
n−1 ∈ B, из последнего равенства следует
θA(xi)θA(c′1 . . . c′n−1) = θA(xj)θA(d′1 . . . d′n−1),
откуда [xic
′
1 . . . c′n−1] = [xjd
′
1 . . . d′n−1]. Последнее равенство противоречит усло-
вию леммы. Следовательно, равенство из утверждения 1 является разложением A0
на пересекающиеся левые смежные классы по B0(A).
Утверждение 2 очевидно.
Лемма доказана.
Из доказанных предложений вытекает такое следствие.
Следствие 1. Если 〈B, [ ]〉 — n-арная подгруппа n-арной группы 〈A, [ ]〉, то
|A : B| = |A∗ : B∗(A)| = |A0 : B0(A)|.
Замечание 1. Для конечных n-арных групп равенства из следствия 1 могут
быть получены без использования лемм 1 и 2:
|A∗ : B∗(A)| = |A∗| : |B∗(A)| = |A∗| : |B∗| =
= |A|(n− 1) : |B|(n− 1) = |A| : |B| = |A : B|,
|A0 : B0(A)| = |A0| : |B0(A)| = |A0| : |B0| = |A| : |B| = |A : B|.
Лемма 3 [6]. Если 〈B, [ ]〉 — инвариантная n-арная подгруппа n-арной группы
〈A, [ ]〉, то B∗(A) и B0(A) — инвариантные подгруппы группы A∗.
Из следствия 1 и леммы 3 вытекает равенство мощностей n-арной фактор-
группы 〈A/B, [ ]〉 и фактор-групп A∗/B∗(A) и A0/B0(A). Совпадение мощностей
фактор-групп A∗/B∗(A) и A0/B0(A) наводит на мысль о возможном изоморфизме
этих фактор-групп.
Покажем, что это действительно так.
Лемма 4. Если 〈B, [ ]〉 — n-арная подгруппа n-арной группы 〈A, [ ]〉, то
A∗ = B∗(A)A0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
О ТЕОРЕМЕ ШУРА ДЛЯ n-АРНЫХ ГРУПП 735
Доказательство. Зафиксируем b ∈ B. Тогда
θA(b), θA(bb) = θ2
A(b), . . . , θA
(
b . . . b︸ ︷︷ ︸
n−2
)
= θn−2
A (b) ∈ B∗(A),
откуда
A0
⋃
θA(b)A0
⋃
. . .
⋃
θn−2
A (b)A0 ⊆ B∗(A)A0.
А так как согласно Посту (см., например, предложение 1.4.6 из [7]),
A0
⋃
θA(b)A0
⋃
. . .
⋃
θn−2
A (b)A0 = A∗,
то A∗ ⊆ B∗(A)A0. Обратное включение очевидно.
Лемма доказана.
Следующая лемма является следствием определений.
Лемма 5. Если 〈B, [ ]〉 — n-арная подгруппа n-арной группы 〈A, [ ]〉, то
B0(A) = B∗(A) ∩A0.
Предложение 1. Если 〈B, [ ]〉 — инвариантная n-арная подгруппа n-арной
группы 〈A, [ ]〉, то фактор-группы A∗/B∗(A) и A0/B0(A) изоморфны.
Доказательство. Применяя леммы 4 и 5 и первую теорему об изоморфизмах
для групп, получаем
A∗/B∗(A) = B∗(A)A0/B∗(A) ' A0/B∗(A) ∩A0 = A0/B0(A).
Предложение доказано.
Замечание 2. Если отождествить группу B∗(A) с группой B∗, а группу
B0(A) с группой B0, то изоморфизм из предложения 1 может быть записан более
компактно: A∗/B∗ ' A0/B0.
2. n-Арные аналоги центра группы. Центром n-арной группы 〈A, [ ]〉 на-
зывается множество [6, 8]
Z(A) = {z ∈ A | zxθAxz для всех x ∈ A},
a централизатором подмножества B ⊆ A в n-арной группе 〈A, [ ]〉 — множество [9]
CA(B) = {z ∈ A | zxθAxz для всех x ∈ B}.
Ясно, что Z(A) = CA(A).
Лемма 6 [9]. Если 〈B, [ ]〉 — n-арная подгруппа n-арной группы 〈A, [ ]〉, то
〈CA(B), [ ]〉 также является n-арной подгруппой в 〈A, [ ]〉.
Лемма 7 [6, 8]. Центр 〈Z(A), [ ]〉 n-арной группы 〈A, [ ]〉 является ее абелевой
инвариантной n-арной подгруппой.
Предложение 2. Пусть 〈T = CA(B), [ ]〉 — централизатор n-арной подгруп-
пы 〈B, [ ]〉 в n-арной группе 〈A, [ ]〉. Тогда группа T ∗(A) совпадает с централиза-
тором CA∗(B∗(A)) группы B∗(A) в группе A∗ : T ∗(A) = CA∗(B∗(A)).
Доказательство. Согласно лемме 6 〈T, [ ]〉 — n-арная подгруппа в 〈A, [ ]〉, а в
силу теоремы 2.2.19 [7] T ∗(A) — подгруппа группы A∗.
Согласно утверждению 2 теоремы 2.2.19 [7] произвольный элемент u ∈ T ∗(A)
можно представить в виде u = θA(z1 . . . zi), где z1, . . . , zi ∈ T, i = 1, . . . , n − 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
736 А. М. ГАЛЬМАК
Произвольный элемент v подмножества B∗(A) имеет вид v = θA(a1 . . . aj), где
a1, . . . , aj ∈ B, j = 1, . . . , n− 1.
Поскольку zi ∈ CA(B), то θA(ziaj) = θA(ajzi) для всех i, j ∈ {1, . . . , n − 1},
откуда
uv = θA(z1 . . . zi)θA(a1 . . . aj) = θA(z1 . . . zia1 . . . aj) =
= θA(z1 . . . zi−1)θA(zia1)θA(a2 . . . aj) = θA(z1 . . . zi−1)θA(a1zi)θA(a2 . . . aj) =
= θA(z1 . . . zi−1a1zia2 . . . aj) = . . . = θA(z1 . . . zi−1a1 . . . ajzi) = . . .
. . . = θA(a1 . . . ajz1 . . . zi) = θA(a1 . . . aj)θA(z1 . . . zi) = vu,
т. е. uv = vu. Следовательно, u ∈ CA∗(B∗(A)) и доказано включение T ∗(A) ⊆
⊆ CA∗(B∗(A)).
Пусть теперь w = θA(a1 . . . ai), ai ∈ A — произвольный элемент из CA∗(B∗(A)),
z2, . . . , zi — произвольные элементы из T. Далее, так как существует z1 ∈ A такой,
что θA(a1 . . . ai) = θA(z1z2 . . . zi), то
w = θA(z1)θA(z2 . . . zi) ∈ CA∗(B∗(A)).
Отсюда θA(z1) ∈ CA∗(B∗(A)), поскольку согласно доказанному выше
θA(z2 . . . zi) ∈ CA∗(B∗(A)).
Тогда θA(z1)θA(b) = θA(b)θA(z1) для любого b ∈ B, откуда
z1bθAbz1, z1 ∈ CA() = T.
Следовательно, w = θA(z1z2 . . . zi) ∈ T ∗(A) и CA∗(B∗(A)) ⊆ T ∗(A). Учитывая
доказанное выше обратное включение, получаем требуемое равенство.
Предложение доказано.
Следствие 2. Обертывающая группа T ∗ централизатора 〈T = CA(B), [ ]〉
n-арной подгруппы 〈B, [ ]〉 в n-арной группе 〈A, [ ]〉 изоморфна централизатору
подгруппы B∗(A) в обертывающей группе A∗ : T ∗ ' CA∗(B∗(A)).
Если B = A, то CA(A) = Z(A), B∗(A) = A∗, CA∗B∗(A) = Z(A∗). Поэтому из
предложения 2 вытекает такое следствие.
Следствие 3. Если 〈T = Z(A), [ ]〉 — центр n-арной группы 〈A, [ ]〉, то
T ∗(A) совпадает с центром Z(A∗) группы A∗ : T ∗(A) = Z(A∗).
Следствие 4. Обертывающая группа T ∗ центра 〈T = Z(A), [ ]〉 n-арной
группы 〈A, [ ]〉 изоморфна центру группы Z(A∗) обертывающей группы A∗:
T (A∗) ' Z(A∗).
Определение 1. Полуцентром n-арной группы 〈A, [ ]〉 называется множе-
ство
HZ(A) =
{
z ∈ A
∣∣∣ [
zxn−2
1
]
=
[
xxn−2
1 z
]
для всех x, x1, . . . , xn−2 ∈ A
}
.
Имеет место легко проверяемая лемма.
Лемма 8. Полуцентр 〈HZ(A), [ ]〉 n-арной группы 〈A, [ ]〉 является ее полу-
абелевой полуинвариантной n-арной подгруппой.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
О ТЕОРЕМЕ ШУРА ДЛЯ n-АРНЫХ ГРУПП 737
Предложение 3. Пусть 〈T = HZ(A), [ ]〉 — полуцентр n-арной группы
〈A, [ ]〉. Тогда T0(A) — подгруппа центра Z(A0) группы A0.
Доказательство. Пусть u = θA(z1 . . . zn−1) — произвольный элемент из T0(A),
где z1, . . . , zn−1 ∈ T, v = θA(a1 . . . an−1) — произвольный элемент из A0. Посколь-
ку zi ∈ T, то
uv = θA(z1 . . . zn−1)θA(a1 . . . an−1) = θA(z1 . . . zn−1a1 . . . an−1) =
= θA(z1 . . . zn−2[zn−1a1 . . . an−2an−1]) =
= θA(z1 . . . zn−2[an−1a1 . . . an−2zn−1]) =
= θA(z1 . . . zn−3[zn−2an−1a1 . . . an−3an−2]zn−1) =
= θA(z1 . . . zn−3[an−2an−1a1 . . . an−3zn−2]zn−1) = . . .
. . . = θA([z1a2 . . . an−1a1]z2 . . . zn−1) =
= θA([a1a2 . . . an−1z1]z2 . . . zn−1) =
= θA(a1 . . . an−1z1 . . . zn−1) = θA(a1 . . . an−1)θA(z1 . . . zn−1) = vu,
т. е. uv = vu. Следовательно, u ∈ Z(A0) и доказано включение T0(A) ⊆ Z(A0).
Осталось воспользоваться замечанием 2.2.20 [7], согласно которому T0(A) — под-
группа в A0.
Предложение доказано.
3. n-Арные аналоги коммутанта группы. Определенные ниже коммутант
и полукоммутант n-арной группы являются частными случаями F-корадикальной
конгруэнции [2] в случае, когда F совпадает с классом соответственно всех абеле-
вых и полуабелевых n-арных групп.
Определение 2. Конгруэнция π n-арной группы 〈A, [ ]〉 называется ее ком-
мутантом (полукоммутантом), если:
1) n-арная группа 〈A/π, [ ]〉 — абелева (полуабелева);
2) π ⊆ σ для любой такой конгруэнции σ n-арной группы 〈A, [ ]〉, что n-арная
группа 〈A/σ, [ ]〉 — абелева (полуабелева).
Такой выбор n-арного аналога коммутанта группы объясняется рядом причин.
Если определить коммутант n-арной группы как ее наименьшую инвариантную
подалгебру, фактор-алгебра по которой абелева, то в абелевой n-арной группе,
имеющей несколько единиц, все одноэлементные подалгебры, образованные еди-
ницами, будут коммутантами, т. е. в этом случае коммутант определяется неодно-
значно. Кроме того, так как пересечение одноэлементных подалгебр пусто, то в
такой n-арной группе пересечение подалгебр, фактор-алгебры по которым абелевы,
может быть пустым.
Еще одна несогласованность с бинарным случаем возникает при рассмотрении
найденных Постом [6] конечных циклических n-арных групп, в которых нет соб-
ственных, в том числе и одноэлементных n-арных подгрупп. В таких абелевых
n-арных группах коммутант совпадает с самой n-арной группой.
Коммутант n-арной группы при n > 2 нельзя определить и как подалгебру, по-
рожденную всеми ее коммутаторами, которые, как известно, имеют длину, кратную
n− 1 [6], и по этой причине не являются элементами n-арной группы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
738 А. М. ГАЛЬМАК
Невозможность определения коммутанта n-арной группы как ее подалгебры
вынудила Поста пойти на полумеры: рассматривать в качестве коммутанта n-арной
группы 〈A, [ ]〉 коммутант A∗′ ее обертывающей группы A∗. Определить коммутант
n-арной группы как некоторую ее конгруэнцию он не мог, так как в тридцатые годы
прошлого века, когда Пост писал свою работу по n-арным группам [6], еще только
формулировались основные определения теории универсальных алгебр, а сама она
находилась в зачаточном состоянии.
Коммутант n-арной группы 〈A, [ ]〉 будем обозначать стандартным символом
A′, а ее полукоммутант — символом A⊥.
Лемма 9 [10]. Пусть 〈A, [ ]〉 — n-арная группа, ρ — ее конгруэнция,
A(ρ) = {θA(xy1 . . . yn−2) | (x, y) ∈ ρ},
где y1 . . . yn−2 — обратная последовательность для элемента y. Тогда A(ρ) —
инвариантная подгруппа группы A∗, A(ρ) ⊆ A0.
Лемма 10 [10]. Пусть B — инвариантная подгруппа группы A∗, B ⊆ A0.
Тогда множество
Σ(B) =
{
(x, y) | x, y ∈ A, θA(xy1 . . . yn−2) ∈ B
}
,
где y1 . . . yn−2 — обратная последовательность для y, является конгруэнцией на
n-арной группе 〈A, [ ]〉.
Лемма 11. Пусть 〈A, [ ]〉 — n-арная группа, ρ — ее конгруэнция, B — инвари-
антная подгруппа группы A∗, B ⊆ A0. Тогда:
1) Σ(A(ρ)) = ρ;
2) A(Σ(B)) = B.
Доказательство. 1. Согласно определению (лемма 10)
Σ(A(ρ)) =
{
(x, y)
∣∣∣ x, y ∈ A, θA
(
xȳ y . . . y︸ ︷︷ ︸
n−3
)
∈ A(ρ)
}
.
Если (b, c) ∈ ρ, то θA
(
bc̄ c . . . c︸ ︷︷ ︸
n−3
)
∈ A(ρ). Поэтому (b, c) ∈ Σ(A(ρ)), т. е. ρ ⊆
⊆ Σ(A(ρ)).
Пусть теперь (x, y) ∈ Σ(A(ρ)), т. е. θA
(
xȳ y . . . y︸ ︷︷ ︸
n−3
)
∈ A(ρ), откуда
θA
(
xȳ y . . . y︸ ︷︷ ︸
n−3
)
= θA
(
bc̄ c . . . c︸ ︷︷ ︸
n−3
)
для некоторой пары (b, c) ∈ ρ. Из последнего равенства следует[
xȳ y . . . y︸ ︷︷ ︸
n−3
a
]
=
[
bc̄ c . . . c︸ ︷︷ ︸
n−3
a
]
для любого a ∈ A, откуда, применяя лемму 8.14 [3], получаем (x, y) ∈ ρ. Следова-
тельно, Σ(A(ρ)) ⊆ ρ. Из доказанных включений следует требуемое равенство.
2. Если u = θA(x1y1 . . . yn−2) ∈ B, то (x, y) ∈ Σ(B), где y — обратный элемент
для последовательности y1 . . . yn−2. А так как согласно определению (лемма 9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
О ТЕОРЕМЕ ШУРА ДЛЯ n-АРНЫХ ГРУПП 739
A(Σ(B)) =
{
θA(xy1 . . . yn−2)
∣∣∣ (x, y) ∈ Σ(B)
}
,
то u ∈ A(Σ(B)). Следовательно, B ⊆ A(Σ(B)).
Пусть теперь v ∈ A(Σ(B)), т. е. v = θA
(
xȳ y . . . y︸ ︷︷ ︸
n−3
)
, (x, y) ∈ Σ(B), откуда
v ∈ B. Следовательно, A(Σ(B)) ⊆ B. Из доказанных включений вытекает требуе-
мое равенство.
Лемма доказана.
Лемма 12. Если ρ и σ — конгруэнции n-арной группы 〈A, [ ]〉, то ρ ⊆ σ тогда
и только тогда, когда A(ρ) ⊆ A(σ).
Доказательство. Если ρ ⊆ σ, то включение A(ρ) ⊆ A(σ) очевидно.
Пусть теперь A(ρ) ⊆ A(σ). Если (b, c) ∈ ρ, то
θA
(
bc̄ c . . . c︸ ︷︷ ︸
n−3
)
∈ A(ρ) ⊆ A(σ),
откуда θA
(
b c̄ c . . . c︸ ︷︷ ︸
n−3
)
= θA
(
xȳ y . . . y︸ ︷︷ ︸
n−3
)
для некоторой пары (x, y) ∈ ρ. Из после-
днего равенства вытекает b =
[
x ȳ y . . . y︸ ︷︷ ︸
n−3
c
]
. Поскольку
(x, y) ∈ σ, (ȳ, ȳ) ∈ σ, (y, y) ∈ σ, (c, c) ∈ σ,
то ([
xȳ y . . . y︸ ︷︷ ︸
n−3
c
]
,
[
yȳ y . . . y︸ ︷︷ ︸
n−3
c
])
∈ σ,
откуда (b, c) ∈ σ. Следовательно, ρ ⊆ σ.
Лемма доказана.
Справедливость следующих двух лемм устанавливается простой проверкой.
Лемма 13. Если 〈A, [ ]〉 — n-арная группа, ρ — ее конгруэнция, то группы
A∗/A(ρ) и (A/ρ)∗ изоморфны.
Лемма 14. Если 〈A, [ ]〉 — n-арная группа, ρ — ее конгруэнция, то группы
A0/A(ρ) и (A/ρ)0 изоморфны.
Предложение 4. В любой n-арной группе 〈A, [ ]〉 существует ее коммутант
A′ и верны равенства A(A′) = A∗′, A′ = Σ(A∗′).
Доказательство. Если θA(a) и θA(b) — произвольные элементы из A∗, то
их коммутатор θA(α)θA(β)θ−1
A (α)θ−1
A (β) является элементом группы A0. Поэтому
коммутант A∗′ группы A∗, как подгруппа, порожденная множеством всех коммута-
торов, является подгруппой в A0. А так как, кроме того, A∗′ инвариантна в A∗, то
согласно лемме 10 существует конгруэнция ρ n-арной группы 〈A, [ ]〉, для которой,
согласно утверждению 2 леммы 11, A(ρ) = A∗′.
Покажем, что ρ совпадает с коммутантом A′.
Поскольку A∗/A(ρ) = A∗/A∗′ — абелева группа, в силу леммы 13 (A/ρ)∗ —
также абелева группа. Тогда согласно критерию Поста 〈A/ρ, [ ]〉 — абелева n-арная
группа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
740 А. М. ГАЛЬМАК
Пусть теперь 〈A/σ, [ ]〉 — абелева n-арная группа для некоторой конгруэнции
σ n-арной группы 〈A, [ ]〉. Тогда по критерию Поста (A/σ)∗ — абелева группа, и,
снова применяя лемму 13, видим, что A∗/A(σ) — абелева группа, откуда A(ρ) =
= A∗′ ⊆ A(σ). Из A(ρ) ⊆ A(σ), применяя лемму 12, получаем ρ ⊆ σ.
Таким образом, 〈A/ρ, [ ]〉 — абелева n-арная группа и ρ ⊆ σ для любой такой
конгруэнции σ n-арной группы 〈A, [ ]〉, что n-арная группа 〈A/σ, [ ]〉 — абелева.
Следовательно, ρ = A′ и верно равенство A(A′) = A∗′. Из последнего равенства
следует Σ(A(A′)) = Σ(A∗′), откуда и из утверждения 1 леммы 11 вытекает A′ =
= Σ(A∗′).
Предложение доказано.
Следующее предложение доказывается аналогично предыдущему. При этом
коммутант A′ заменяется полукоммутантом A⊥, абелевость — полуабелевостью,
а лемма 13 — леммой 14.
Предложение 5. В любой n-арной группе 〈A, [ ]〉 существует ее полукомму-
тант A⊥ и верны равенства A(A⊥) = A′
0, A⊥ = Σ(A′
0).
4. n-Арные аналоги теоремы Шура. Доказанные в этом пункте теоремы 1
и 2 являются n-арными аналогами теоремы Шура [1] о конечности коммутанта
группы, центр которой имеет в ней конечный индекс.
Лемма 15. Пусть 〈A, [ ]〉 — n-арная группа, ρ — ее конгруэнция, y ∈ A,
y1 . . . yn−2 — обратная последовательность для y. Тогда отображение ϕ : x →
→ θA(xy1 . . . yn−2) является биекцией смежного класса ρ(y) на группу A(ρ).
Доказательство. Поскольку x ∈ ρ(y), то из (x, y) ∈ ρ следует
ϕ(x) = θA(xy1 . . . yn−2) ∈ A(ρ).
Если θA(x1 . . . xn−1) — произвольный элемент из A(ρ), то
θA(x1 . . . xn−1) = θA(xy1 . . . yn−2)
для некоторого x ∈ A. Из θA(xy1 . . . yn−2) ∈ A(ρ) следует (x, y) ∈ ρ, т. е. x ∈ ρ(y).
Следовательно, ϕ(x) = θA(x1 . . . xn−1) и ϕ — сюръекция.
Если ϕ(x) = ϕ(z), то θA(xy1 . . . yn−2) = θA(zy1 . . . yn−2), откуда x = z и,
значит, ϕ — инъекция. Таким образом, доказано, что ϕ — биекция.
Лемма доказана.
Теорема 1. Если центр n-арной группы имеет в ней конечный индекс, то ее
коммутант конечен.
Доказательство. Пусть 〈A, [ ]〉 — n-арная группа, 〈Z, [ ]〉 и A′ — ее центр
и коммутант соответственно. Согласно следствию 3 Z∗(A) = Z(A∗), а в силу
следствия 1 индекс 〈Z, [ ]〉 в 〈A, [ ]〉 совпадает с индексом Z∗(A) в A∗. Поэтому
индекс центра Z(A∗) группы A∗ конечен в ней.
Тогда согласно теореме Шура коммутант A∗′ группы A∗ конечен, откуда, в си-
лу предложения 4, следует конечность группы A(A′). Применяя теперь лемму 15,
получаем конечность классов конгруэнции A′, а значит, и конечность самого ком-
мутанта.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если полуцентр n-арной группы имеет в ней конечный индекс,
то ее полукоммутант конечен.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
О ТЕОРЕМЕ ШУРА ДЛЯ n-АРНЫХ ГРУПП 741
Доказательство. Пусть 〈A, [ ]〉 — n-арная группа, 〈T = HZ(A), [ ]〉 и A⊥ —
ее полуцентр и полукоммутант соответственно. В силу предложения 3 T0(A) —
подгруппа центра Z(A0) группы A0, а согласно следствию 1 индекс 〈T, [ ]〉 в 〈A, [ ]〉
совпадает с индексом T0(A) в A0. Отсюда следует конечность индекса T0(A) в A0.
А так как T0(A) ⊆ Z(A0), то Z(A0) также имеет в A0 конечный индекс.
Тогда в силу теоремы Шура коммутант A′
0 группы A0 конечен, откуда, учитывая
предложение 5, получаем конечность группы A(A⊥). Применяя теперь лемму 15,
убеждаемся в конечности классов конгруэнции A⊥, а значит, и конечности самого
полукоммутанта.
Теорема доказана.
1. Huppert B. Endliche Gruppen, 1. – Berlin: Springer, 1967. – 798 S.
2. Шеметков Л. А. О произведении формаций алгебраических систем // Алгебра и логика. –
1984. – 23, № 6. – С. 721 – 729.
3. Гальмак А. М. Конгруэнции полиадических групп. – Минск: Белар. Навука, 1999. – 182 с.
4. Гальмак А. М. n-Арные аналоги холловских подгрупп // Весн. МДУ iм. А. А. Куляшова. –
2001. – 2. – C. 117 – 123.
5. Dörnte W. Untersuchungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegriff // Math. Z. – 1928. – 29.
– S. 1 – 19.
6. Post E. L. Polyadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. – 1940. – 48, № 2. – P. 208 – 350.
7. Гальмак А. М. n-Арные группы. – Гомель, 2003. – 196 с.
8. Русаков С. А. Алгебраические n-арные системы. – Минск: Навука i тэхнiка, 1992. – 245 с.
9. Тютин В. И. n-Арные группы с f -центральными рядами // Вопросы алгебры. – 1987. – 3. –
С. 97 – 116.
10. Щучкин Н. А. Разрешимые и нильпотентные n-группы // Алгебраические системы. – Волго-
град, 1989. – С. 133 – 139.
Получено 05.10.2004
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-3491 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:33Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/95/27d3ae7ada71aae05816e3589ede5595.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34912020-03-18T19:56:00Z On the Schur theorem for n-ary groups O теореме Шура для n-арных групп Galmak, A. M. Гальмак, А. М. We prove n-ary analogs of the well-known Schur theorem on the finiteness of a commutator subgroup of a group whose center is of finite index. Отримано n-арні аналоги відомої теореми Шура про скінченність комутанта групи, в якій центр має скінченний індекс. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3491 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 6 (2006); 730–741 Український математичний журнал; Том 58 № 6 (2006); 730–741 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3491/3719 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3491/3720 Copyright (c) 2006 Galmak A. M. |
| spellingShingle | Galmak, A. M. Гальмак, А. М. On the Schur theorem for n-ary groups |
| title | On the Schur theorem for n-ary groups |
| title_alt | O теореме Шура для n-арных групп |
| title_full | On the Schur theorem for n-ary groups |
| title_fullStr | On the Schur theorem for n-ary groups |
| title_full_unstemmed | On the Schur theorem for n-ary groups |
| title_short | On the Schur theorem for n-ary groups |
| title_sort | on the schur theorem for n-ary groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3491 |
| work_keys_str_mv | AT galmakam ontheschurtheoremfornarygroups AT galʹmakam ontheschurtheoremfornarygroups AT galmakam oteoremešuradlânarnyhgrupp AT galʹmakam oteoremešuradlânarnyhgrupp |