On Frobenius groups with noninvariant factor SL 2(3)
We obtain a criterion for the unsimplicity of an infinite group containing the infinite class of the Frobenius groups $L_g = \langle a, g^{-1} a g\rangle$ with complement $SL_2 ( 3 )$.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3494 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509595008499712 |
|---|---|
| author | Kozulin, S. N. Senashov, V. I. Shunkov, V. P. Козулин, С. Н. Сенашов, В. И. Шунков, В. П. Козулин, С. Н. Сенашов, В. И. Шунков, В. П. |
| author_facet | Kozulin, S. N. Senashov, V. I. Shunkov, V. P. Козулин, С. Н. Сенашов, В. И. Шунков, В. П. Козулин, С. Н. Сенашов, В. И. Шунков, В. П. |
| author_sort | Kozulin, S. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:00Z |
| description | We obtain a criterion for the unsimplicity of an infinite group containing the infinite class of the Frobenius groups $L_g = \langle a, g^{-1} a g\rangle$ with complement $SL_2 ( 3 )$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.54
S. N. Kozulyn, V. Y. Senaßov, V. P. Íunkov
(Yn-t v¥çyslyt. modelyrovanyq SO RAN, Krasnoqrsk, Rossyq)
O HRUPPAX FROBENYUSA
S NEYNVARYANTNÁM MNOÛYTELEM S L2 (((( 3 ))))*
We obtain a criterion for the unsimplicity of an infinite group containing the infinite class of the
Frobenius groups Lg = 〈 a, g–
1
a g 〉 with complement S L2 ( 3 ).
Otrymano oznaku neprostoty neskinçenno] hrupy, wo mistyt\ neskinçennyj klas hrup Frobeniu-
sa Lg = 〈 a, g–
1
a g 〉 z dopovnennqm S L2 ( 3 ).
Beskoneçn¥e hrupp¥ s raznoho roda uslovyqmy koneçnosty naçaly yzuçat\ v 30
– 40-x hodax proßloho veka v ßkole O. G. Ímydta. ∏to b¥lo svqzano s pop¥t-
kamy obobwyt\ nekotor¥e rezul\tat¥ otnosytel\no koneçn¥x hrupp na besko-
neçn¥e hrupp¥. Rezul\tat¥ po πtomu napravlenyg moΩno takΩe najty v ra-
botax S. N. Çernykova [1, 2], M. Y. Karhapolova [3, 4], V. P. Íunkova [5, 6] y dr.
Nastoqwaq rabota takΩe otnosytsq k πtomu razdelu teoryy hrupp. V nej
poluçen pryznak neprostot¥ beskoneçnoj hrupp¥ s uslovyqmy koneçnosty.
Pryznaky neprostot¥ prymenqgtsq vo mnohyx oblastqx teoryy hrupp. Odnym
yz osnovn¥x pryznakov neprostot¥ qvlqetsq teorema Frobenyusa. V 1901 h.
H.BFrobenyus dokazal, çto v koneçnoj hruppe G, soderΩawej paru Frobenyusa
( G, H ), sovokupnost\ πlementov, ne soderΩawyxsq ny v H, ny v odnoj soprq-
Ωennoj s H podhruppe, vmeste s edynycej sostavlqgt normal\n¥j delytel\ F
hrupp¥ G [7]. Teorema Frobenyusa v polnom obæeme perenosytsq na klass lo-
kal\no koneçn¥x hrupp [8, 9]. TakΩe netrudno ubedyt\sq, çto ona spravedlyva
y v klasse (peryodyçeskyx) bynarno koneçn¥x hrupp, t. e. hrupp, v kotor¥x lg-
baq para πlementov poroΩdaet koneçnug podhruppu. Odnako teorema Frobe-
nyusa neverna v obwem sluçae, bolee toho, ona neverna v klasse peryodyçeskyx
hrupp. V svqzy s πtym faktom V. P. Íunkov opredelenye par¥ Frobenyusa ra-
sprostranyl na beskoneçn¥e hrupp¥. Napomnym, çto ( G, H ) naz¥vaetsq paroj
Frobenyusa, esly H ∩ H
g
= 1 dlq lgboho πlementa g ∈ G \ H.
V. P. Íunkov vvel sledugwyj analoh opredelenyq hrupp¥ Frobenyusa dlq
beskoneçn¥x hrupp.
Opredelenye. Hruppa vyda G = F l H naz¥vaetsq hruppoj Frobenyusa
[10], esly v¥polnqgtsq sledugwye uslovyq:
1) Hg ∩ H = 1, g ∈ G \ H;
2) G \ F =
Hg
g G
\ { }∈ 1∩ .
Hrupp¥ Frobenyusa vstreçagtsq v kaçestve sekcyj vo vsex koneçn¥x ne-
nyl\potentn¥x hruppax, çto delaet yx mown¥m ynstrumentom yssledovanyq
hrupp s razlyçn¥my uslovyqmy koneçnosty [11 – 13].
Ydeq rassmatryvat\ proyzvol\n¥e, ne obqzatel\no koneçn¥e hrupp¥ Frobe-
nyusa Lg = 〈 a, g–
1
a g 〉 s cyklyçeskym neynvaryantn¥m mnoΩytelem 〈 a 〉 pry-
nadleΩyt V. P. Íunkovu [10]. Pryznaky neprostot¥ hrupp s proyzvol\n¥my
podhruppamy Frobenyusa Lg pozvolqgt delat\ bolee syl\n¥e zaklgçenyq o
stroenyy hrupp. V dannoj rabote metodyka yssledovanyq hrupp osnovana na
yzuçenyy beskoneçnoho mnoΩestva podhrupp Frobenyusa s neynvaryantn¥m
mnoΩytelem S L2 ( 3 ).
*
PodderΩana hrantom 02-01-00078 Rossyjskoho fonda fundamental\n¥x yssledovanyj, hran-
tom # 9 ßestoho konkursa-πkspertyz¥ 1999 h. nauçn¥x proektov molod¥x uçen¥x y hrantom
KHPU # 19-04-1/fp po prohramme fundamental\n¥x yssledovanyj v oblasty estestvenn¥x y
humanytarn¥x nauk.
© S. N. KOZULYN, V. Y. SENAÍOV, V. P. ÍUNKOV, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6 765
766 S. N. KOZULYN, V. Y. SENAÍOV, V. P. ÍUNKOV
Sformulyruem osnovnoj rezul\tat nastoqwej rabot¥.
Teorema. Pust\ G — hruppa, H — ee sobstvennaq podhruppa, a — πle-
ment porqdka 3 yz G y v¥polnqgtsq uslovyq:
1) normalyzator lgboj koneçnoj 〈 a 〉 -ynvaryantnoj podhrupp¥ yz H so-
derΩytsq v H;
2) poçty dlq vsex (t. e. krome, b¥t\ moΩet, koneçnoho çysla) πlementov
vyda g–
1
a g ( g ∈ G \ H ) podhrupp¥ L g = 〈 a, g–
1
a g 〉 qvlqgtsq hruppamy Fro-
benyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem 〈 a 〉 yly s neynvaryantn¥m mnoΩyte-
lem Q l 〈 a 〉, hde Q — hruppa kvaternyonov.
Tohda ymeet mesto odno yz sledugwyx utverΩdenyj:
I. ∏lement a soderΩytsq v koneçnoj normal\noj v G podhruppe;
II. 1) G = F l NG ( 〈 a 〉 ) y F l 〈 a 〉 — hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m
mnoΩytelem 〈 a 〉;
2) G = F l ( Q NG ( 〈 a 〉 ) ) y F l ( Q l 〈 a 〉 ) — hruppa Frobenyusa s abelev¥m
qdrom F y neynvaryantn¥m mnoΩytelem Q l 〈 a 〉, hde Q — hruppa kvater-
nyonov.
Pryvedem nekotor¥e neobxodym¥e opredelenyq.
Lgboe koneçnoe rasßyrenye prqmoho proyzvedenyq kvazycyklyçeskyx
hrupp, vzqt¥x v koneçnom çysle, naz¥vaetsq çernykovskoj hruppoj.
∏lement naz¥vaetsq stroho vewestvenn¥m otnosytel\no ynvolgcyy, esly
on pry soprqΩenyy πtoj ynvolgcyej perevodytsq v obratn¥j.
∏lement g yz hrupp¥ G naz¥vaetsq p-vewestvenn¥m otnosytel\no neko-
toroho πlementa a prostoho porqdka p yz G, esly 〈 g, a 〉 — hruppa Frobenyu-
sa y g soderΩytsq v ee qdre.
Pust\ G — hruppa, soderΩawaq πlement g. ∏lement g naz¥vaetsq poçty
rehulqrn¥m, esly centralyzator CG ( g ) koneçen.
Perejdem k dokazatel\stvu osnovnoho rezul\tata.
Oboznaçym
A = 〈 a 〉, N = Q l A, R = NG ( 〈 a 〉 ), � =
g G∈
∩ g–
1
A#
g;
� — mnoΩestvo πlementov c yz G \ H, dlq kotor¥x 〈 a, c 〉 = 〈 a, ac
〉 — hruppa
Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem A y qdrom, soderΩawym πlement
c, �k — mnoΩestvo πlementov c yz G \ H, dlq kotor¥x 〈 a, c 〉 = Fk l Qk l 〈 a 〉 —
hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem Qk l 〈 a 〉, k = 1, 2, … , y qd-
rom, soderΩawym πlement c. MnoΩestvo � = � ∪ �1 Q1 ∪ �2 Q2 ∪ … ∪ � n Qn ∪
∪ … , hde Qk , k = 1, 2, … , — 〈 a 〉-ynvaryantn¥e hrupp¥ kvaternyonov. Obozna-
çym � = { j | j ∈ � ∩ R , | j | = 2 }. Dalee, dlq πlementa s ∈ g–
1
A#
g poloΩym
As = 〈 s 〉 = A
g
, Ns = N
g
, Rs = R
g
, Hs = H
g
y �s = g–
1
� g. Krome toho, esly 〈 s, t 〉
— hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem As dlq nekotor¥x s ∈ �
y t ∈ � \ Hs , to pyßem 〈 s, t 〉 = A ( s, t ). Esly 〈 s, t 〉 — hruppa Frobenyusa s neyn-
varyantn¥m mnoΩytelem Ns dlq nekotor¥x s ∈ � y t ∈ � \ Hs , to 〈 s, t 〉 =
= B ( s,Bt ).
Vsgdu v dal\nejßem trojka ( G, H, a ) udovletvorqet uslovyqm 1, 2 teorem¥.
V sylu teorem¥ 10 [ 14] podhrupp¥ Lg = 〈 a, g–
1
a g 〉 ( g ∈ G \ H ) — koneçn¥e
hrupp¥ Frobenyusa s abelev¥m qdrom.
Dlq dokazatel\stva teorem¥ nam ponadobytsq rqd lemm.
Lemma 1. Pust\ L = F l ( Q l 〈 a 〉 ) — hruppa Frobenyusa s neynvaryant-
n¥m mnoΩytelem N = Q l 〈 a 〉 y qdrom F. Spravedlyv¥ sledugwye utverΩ-
denyq:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
O HRUPPAX FROBENYUSA S NEYNVARYANTNÁM MNOÛYTELEM S L2 ( 3 ) 767
1. Dlq lgboho needynyçnoho πlementa s ∈ N otobraΩenye αs : F → F, za-
davaemoe formuloj αs ( c ) = s–
1
c–
1
s c, qvlqetsq byekcyej.
2. Esly L = B l Nv ( Nv = Qv l 〈 v 〉 ) y NL ( Nv ) = Nv , to B = F y Nv = N
c
dlq nekotoroho c ∈ F.
3. Esly dlq nekotoroho πlementa b ∈ L hruppa M = 〈 N , Nb
〉 — hruppa
Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem Nv = Qv l 〈 v 〉, to b ∈ M, M ∩ F
— qdro v M y Nv soprqΩena s N v M.
Dokazatel\stvo. 1. Pust\ s ∈ N#
, b, c ∈ F y s–
1
b–
1
s b = s–
1
c–
1
s c. Tohda
b–
1
s b = c–
1
s c y b c–
1 ∈ F ∩ CL ( s ) ⊆ F ∩ N = 1 (opredelenye hrupp¥ Frobe-
nyusa), çto vleçet b = c. Sledovatel\no, pry b ≠ c ymeem αs ( b ) ≠ αs ( c ). Da-
lee, esly b ∈ F, to s b ∉ F, y sohlasno opredelenyg hrupp¥ Frobenyusa naj-
dutsq πlement¥ d ∈ F y r ∈ N takye, çto s b = d
–
1
r d y b = s–
1d
–
1
r d =
= ( s–
1d
–
1
s d ) ( s–
1d
–
1
r d ). ∏lement¥ ( s–
1
d
–
1
s d ), b leΩat v F, sledovatel\no,
y ( s–
1d
–
1
r d ) leΩyt v F, a πto vozmoΩno tol\ko pry s = r. Takym obrazom,
b = ( s–
1d
–
1
s d ) = αs ( d ) y αs — byekcyq na F.
2. Pust\ L = B l Nv , hde Nv = Qv l 〈 v 〉, Qv — hruppa kvaternyonov. Yz per-
voho utverΩdenyq lemm¥ oçevydn¥m obrazom v¥tekaet, çto lybo B ≤ F, lybo
B > F. V lgbom sluçae v ∈ L \ F, y yz uslovyq NG ( Nv ) = Nv y opredelenyq
hrupp¥ Frobenyusa zaklgçaem, çto Nv = N
c
dlq podxodqweho c ∈ F. Nakonec,
yz opredelenyq poluprqmoho proyzvedenyq sleduet ravenstvo B = F.
3. Pust\ b ∈ L y M = 〈 N, Nb
〉 — hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m
mnoΩytelem N. PoloΩym D = M ∩ F. Ymeem M = D l N, pryçem NL ( N ) = N.
Sohlasno utverΩdenyg 2 D — qdro hrupp¥ M y N — ee neynvaryantn¥j mno-
Ωytel\. Analohyçno poluçaem, çto Nb
y N soprqΩen¥ v M , pryçem s po-
mow\g nekotoroho πlementa c yz D. Dalee, b = r d dlq nekotoroho r ∈ N, d ∈
∈ F y cd
–
1
N d c–
1 = c b–
1
N b c–
1 = N. Otsgda d c–
1 = 1 (opredelenye hrupp¥
Frobenyusa), d = c ∈ M y b ∈ M.
Lemma dokazana.
Lemma 2. Esly R \ H nepusto, to uslovyq 1, 2 teorem¥ v¥polnqgtsq dlq
trojky ( G, R, a ).
Dokazatel\stvo. Pust\ R \ H ≠ ∅ y r ∈ R \ H. Tohda r h ∈ G \ H y A
h
= A
rh
dlq lgboho h ∈ H. Otsgda
g G H∈ \
∩ g–
1
A#
g =
g G∈
∩ g–
1
A#
g,
y, sledovatel\no, uslovyq 1, 2 teorem¥ v¥polnqgtsq dlq lgboj trojky ( G, T,
a ) ( T — podhruppa yz G ). V çastnosty, πto utverΩdenye spravedlyvo y dlq
trojky ( G, R, a ).
Na osnovanyy lemm¥ 2 vsgdu v dal\nejßem predpolahaem, çto R ≤ H.
Lemma 3. Pust\ g ∈ G \ H y L g = 〈 a, ag
〉 — hruppa Frobenyusa s neynva-
ryantn¥m mnoΩytelem Ng = Qg l 〈 a 〉 y qdrom Fg , hde Q g — hruppa kvater-
nyonov. Tohda:
1) A y A
g
soprqΩen¥ v Lg ;
2) Lg = B ( a, ag
) = B ( a, as
), s ∈ g–
1
N#
g;
3) dlq lgboho c ∈ Fg \ H v¥polnqetsq odno yz utverΩdenyj:
a) 〈 a, c 〉 = 〈 a, ac
〉 = A ( a, c a ) = A ( a, a c ) = A ( a, ac
),
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
768 S. N. KOZULYN, V. Y. SENAÍOV, V. P. ÍUNKOV
b) 〈 a, c 〉 = 〈 a, ac
〉 = B ( a, c a ) = B ( a, a c ) = B ( a, ac
).
Dokazatel\stvo. Pust\ g ∈ G \ H y Lg = 〈 a, ag
〉.
1. Poskol\ku Lg — koneçnaq hruppa, utverΩdenye oçevydno.
2. DokaΩem snaçala, çto ag
∉ H. Esly πto ne tak, to L g < H. Sohlasno op-
redelenyg hrupp¥ Frobenyusa podhrupp¥ A y A
g
soprqΩen¥ v Lg , t. e. A
h
=
=BA
g
, h ∈ Lg < H. No v πtom sluçae A = Agh−1
y g h–
1 ∈ NG ( A ) ≤ R ≤ H. Sledo-
vatel\no, g ∈ H, çto protyvoreçyt v¥boru g, t. e. ag
∉ H. No v dannom sluçae
πto ravnosyl\no Lg = B ( a, ag
). UtverΩdenye, çto Lg = B ( a, as
) dlq lgboho s ∈
∈ g–
1
N#
g, poluçaem kak çastn¥j sluçaj utverΩdenyq 3.
3. Poskol\ku ag
∉ H, to Fg \ H nepusto. Pust\ s — proyzvol\n¥j πlement
yz Fg \ H y poloΩym L = ( a, ac
), L ≤ Lg . Sohlasno uslovyg 2 teorem¥ vozmoΩ-
n¥ dva sluçaq. Esly L = B l A ( B = L ∩ Fg ) — hruppa Frobenyusa s neynvary-
antn¥m mnoΩytelem A, to utverΩdenye lemm¥ v¥tekaet yz lemm¥ 6.3 [13].
Pust\ teper\ L = B l ( Qc l A ) — hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩy-
telem Qc l A ( Qc — hruppa kvaternyonov). Poskol\ku L — koneçnaq hruppa,
L — hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem Ng y qdrom B, pryçem
sohlasno lemme 1 c ∈ B. Dalee, tak kak c ∉ H, yz vtoroho utverΩdenyq lemm¥
sleduet L = B ( a, ac
). Okonçatel\no ymeem L = 〈 a, c 〉 = B ( a, c a ) = B ( a, a c ) =
= B ( a, ac
), v çastnosty c ∈ �.
Lemma dokazana.
Lemma 4. Pust\ b, c ∈ � A, r ∈ R y b = r c. Tohda r ∈ A ∩ �, pryçem es-
ly b, c ∈ �, to r ∈ I.
Dokazatel\stvo. Sohlasno opredelenyg � ymeem ravenstva 〈 a, c 〉 = 〈 a,
ac
〉 = 〈 a, b–
1
r a r–
1
b 〉 = 〈 a, ab
〉 = 〈 a, b 〉. Po uslovyg 2 teorem¥ vozmoΩn¥ dva
sluçaq. Esly 〈 a, c 〉 = Fc l A — hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩyte-
lem A, to utverΩdenye lemm¥ v¥tekaet yz lemm¥ 6.4 [13]. Pust\ teper\ 〈 a,
c 〉 = Fc l ( Qc l A ) — hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem Nc =
= Qc l A ( Qc — hruppa kvaternyonov). DokaΩem, çto r ∈ Nc . Pust\ b =
= b1 q1 al, c = c1 q2 am
, hde b1 , c1 ∈ Fc , q1 , q2 ∈ Qc , l, m = 1, 2. Sohlasno uslovyg
lemm¥ r = b c–
1 = b q a a q cl m
1 1 2
1
1
1− − −
. Otsgda b2 c2 = a q rqm l− −
1
1
2 , b2 c2 ∈ Fc . Pos-
kol\ku a q rql m− −
1
1
2 = 1, to r = q a ql m
2
1
1
− − ∈ Nc .
Pust\ b, c ∈ �. Esly b, c ∈ �, to r = b c–
1
leΩyt v qdre hrupp¥ B ( a, a b ).
∏to oznaçaet, çto r = 1. Rassmotrym teper\ sluçaj, kohda r = b c–
1 ∈ Fc l Qc .
Tak kak ynvolgcyq yz Qc centralyzuet a, to lybo | r | = 2, lybo | r | = 1.
Lemma dokazana.
Lemma 5. Esly a g ∈ H dlq nekotoroho g ∈ G \ H, to podhrupp¥ R y
g–
1
R g ∩ H ymegt v H koneçn¥e yndeks¥.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto g ∈ G \ H, s = ag ∈ H y yndeks pod-
hrupp¥ Rg
∩ H v H beskoneçen. V πtom sluçae πlementov vyda sh
, h ∈ H, —
beskoneçnoe mnoΩestvo. Poskol\ku g h ∉ H, sohlasno uslovyg 2 teorem¥ dlq
hrupp¥ Lg h = 〈 a, sh
〉 v¥polnqetsq odno yz sledugwyx dvux uslovyj. Esly
Lg h = Fgh l A — hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem A, to ut-
verΩdenye lemm¥ v¥tekaet yz lemm¥ 6.5 [13]. Pust\ teper\ 〈 a, c 〉 = Fgh l
l ( Qgh l A ) — hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem Qgh l A ( Qg h
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
O HRUPPAX FROBENYUSA S NEYNVARYANTNÁM MNOÛYTELEM S L2 ( 3 ) 769
— hruppa kvaternyonov). Sohlasno lemme 3 Lg h = B ( a, sh
). Odnako πto proty-
voreçyt uslovyg s ∈ H. Sledovatel\no, | H : H ∩ Rg
| < ∞. Oboznaçym D = Hg
∩
∩BH. Oçevydno, | H : D | < ∞. Dalee, dlq trojky ( G, Hg, s ) takΩe v¥polnqetsq
uslovye 2 teorem¥, pryçem netrudno vydet\, çto g ∉ Hg
. PredpoloΩym, çto yn-
deks R v H beskoneçen. Tohda mnoΩestvo πlementov vyda ad, d ∈ D, besko-
neçno y, sledovatel\no, najdetsq takoj πlement d ∈ D, dlq kotoroho v¥pol-
nqetsq odno yz sledugwyx dvux uslovyj. Esly L = 〈 ad, ag
〉 = B l A — hruppa
Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem A, to utverΩdenye lemm¥ v¥te-
kaet yz lemm¥ 6.5 [13]. Pust\ teper\ L — hruppa Frobenyusa vyda B l ( Qd l
l A ). Sohlasno lemme 3 Ad
y Ag
soprqΩen¥ v L, çto vleçet soprqΩennost\ A
y Ag
v H. Tohda g = r h dlq nekotor¥x r ∈ R y h ∈ H, y vsledstvye R ≤ H
poluçaem g ∈ H. No πto protyvoreçyt v¥boru πlementa g. Sledovatel\no,
| H : R | < ∞, y lemma dokazana.
Esly R — podhruppa koneçnoho yndeksa v H, to uslovye 2 teorem¥ v¥pol-
nqetsq y dlq trojky ( G, R, a ). Na osnovanyy πtoho vsgdu dalee predpolahaem,
çto lybo H = R, lybo R — podhruppa beskoneçnoho yndeksa v H.
Lemma 6. Esly yndeks podhrupp¥ R v G beskoneçen, to H ∩ Hg
∩ � pus-
to dlq lgboho g ∈ G \ H.
Dokazatel\stvo. V sylu lemm¥ 5 dostatoçno rassmotret\ sluçaj, kohda
R = H. PredpoloΩym, çto dlq nekotoroho g ∈ G \ H ymeet mesto k = ag ∈ H = R.
Po uslovyg lemm¥ yndeks R v G beskoneçen y, sledovatel\no, beskoneçno y
mnoΩestvo � k . Esly b¥ R soderΩalo beskoneçnoe mnoΩestvo πlementov yz
�k , to sohlasno lemme 4 podhruppa Rk ∩ R ymela b¥ beskoneçn¥j yndeks v R,
çto protyvoreçylo b¥ lemme 5. Sledovatel\no, | �k ∩ R | < ∞ y � k ymeet
beskoneçnoe mnoΩestvo � takoe, çto � ⊆ G \ H. Dalee, Ak ≤ R = H y Ak
#� —
beskoneçnoe podmnoΩestvo yz � \ H. ∏lement b prynadleΩyt nekotoroj hrup-
pe Frobenyusa L z = Fz l ( Qz l A ). Poskol\ku b ∈ Fz l Qz y t ∉ Fz l Qz , to
t bB∉ Fz l Qz . Znaçyt, porqdok πlementa t b raven lybo 3, lybo 6. V sluçae, koh-
da ne suwestvuet beskoneçno mnoho πlementov b ∈ � takyx, çto | t b | = 3, vo
mnoΩestve � budet beskoneçno mnoho πlementov b ∈ �, dlq kotor¥x πlement
t b ymeet porqdok 6. V sluçae, kohda suwestvuet beskoneçno mnoho πlementov
t b porqdka 6, vmesto πlementa t b rassmatryvaem πlement t b1 = ( t b )
2
( zdes\
b1 ∈ � ) porqdka 3. Takym obrazom, ne narußaq obwnosty rassuΩdenyj, sçyta-
em, çto suwestvuet beskoneçno mnoho πlementov b ∈ � takyx, çto | t b | = 3. Yz
uslovyq 2 teorem¥ y lemm¥ 3 sleduet, çto v � najdetsq beskoneçnoe
podmnoΩestvo �1 takoe, çto 〈 a, t b 〉 = B ( a, t b ) dlq lgb¥x t ∈ Ak
#
y b ∈ �1 .
∏to oznaçaet, çto Ak
#�1 ≤ �. Pust\ b ∈ �1 . Poskol\ku | a | = 3, to k2 ≠ 1 y
k b, k2
b ∈ A �, pryçem k ∈ R. Sohlasno lemme 4 k ∈ Qk l A y g ∈ R vopreky
v¥boru. Poluçennoe protyvoreçye dokaz¥vaet lemmu.
Lemma 7. Pust\ � — beskoneçnoe mnoΩestvo. Esly dlq πlementa t y z
� y beskoneçnoho podmnoΩestva � yz � pereseçenye t � ∩ H pusto, to �
ymeet takoe beskoneçnoe podmnoΩestvo �, çto t � ⊆ A �.
Dokazatel\stvo. Esly b¥ � soderΩalo razlyçn¥e πlement¥ b, c takye,
çto t b A b–
1
t–
1 = t c A c–
1
t–
1
, yly b A b–
1 = c A c–
1
, to poluçyly b¥ b = r c. Yz
lemm¥ 4 sleduet, çto | r | = 2. Poskol\ku v R tol\ko koneçnoe çyslo ynvo-
lgcyj, to suwestvuet beskoneçnoe çyslo razlyçn¥x πlementov vyda t b a b–
1
t–
1,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
770 S. N. KOZULYN, V. Y. SENAÍOV, V. P. ÍUNKOV
b ∈ �. Sohlasno uslovyg lemm¥ t b ∉ H, y v sylu uslovyq 2 teorem¥ y lemm¥ 3
� ymeet beskoneçnoe podmnoΩestvo �1 takoe, çto v¥polnqetsq odno yz sle-
dugwyx dvux uslovyj. Pust\ hruppa 〈 a, t b a b–
1
t–
1
〉 = A ( a, t b a b–
1
t–
1
), b ∈ �1 .
V πtom sluçae utverΩdenye lemm¥ v¥tekaet yz lemm¥ 6.7 [13]. Pust\ teper\
〈 a, t b a b–
1
t–
1
〉 = B ( a, t b a b–
1
t–
1
), b ∈ �1 . Sohlasno lemme 3 t b = cb rb , hde cb ∈
∈ � y rb ∈ R. Esly dlq poçty vsex b ∈ �1 ymeet mesto b a ∈ Ht , to, oçevydno,
Ht ≠ H, y v sylu lemm¥ 6 b a2
∉ Ht dlq poçty vsex b ∈ �1 . Sledovatel\no, su-
westvuet takoe çyslo m, 1 ≤ m < 3, a v �1 takoe beskoneçnoe podmnoΩestvo
�2 , çto b am
∉ Ht dlq lgboho b ∈ �2 . ∏lement b prynadleΩyt nekotoroj
hruppe Frobenyusa Lz = Fz l ( Qz l A ). Poskol\ku b ∈ Fz l Qz y am
∉ Fz l Qz ,
to b am
∉ Fz l Qz . Znaçyt, porqdok πlementa b am
raven lybo 3, lybo 6. V slu-
çae, esly ne suwestvuet beskoneçno mnoho πlementov b ∈ �2 takyx, çto
| b am | = 3, vo mnoΩestve �2 budet beskoneçno mnoho πlementov b ∈ �2 , dlq
kotor¥x πlement b am
ymeet porqdok 6. V πtom sluçae vmesto πlementa b am
rassmatryvaem πlement b1 am = ( b am
)
2
(zdes\ b1 ∈ �2 ) porqdka 3. Takym obra-
zom, ne narußaq obwnosty rassuΩdenyj, sçytaem, çto suwestvuet beskoneçno
mnoho πlementov b ∈ �2 takyx, çto | b am | = 3.
Sohlasno uslovyg 2 teorem¥ lybo 〈 t, b am
〉 = A ( t, b am
) , lybo 〈 t, b am
〉 =
= B ( t, b am
) dlq lgboho b ∈ �2 . V lgbom yz sluçaev yz lemm¥ 3 sleduet, çto
t b am ∈ � ∪ �t .
1. V �2 najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo �3 takoe, çto t b am ∈ �, b ∈
∈ �3 . Sohlasno uslovyg lemm¥ t b am
∉ H. Yz uslovyq 2 teorem¥ v¥tekaet su-
westvovanye takoho beskoneçnoho podmnoΩestva � yz � 3 , çto v¥polnqetsq
odno yz dvux sledugwyx uslovyj. Pust\ hruppa 〈 a, t b am
〉 = A ( a, t b am
) dlq
lgboho b ∈ �. V πtom sluçae utverΩdenye lemm¥ v¥tekaet yz lemm¥ 6.7 [13].
Pust\ teper\ 〈 a, t b am
〉 = B ( a, t b am
) dlq lgboho b ∈ �. Sohlasno lemme 3 〈 a,
t b am
〉 = B ( a, t b am
a a– m b–
1
t–
1
). No t b am = cb rb am
( opredelenye �2 ) y, sledo-
vatel\no, 〈 a, t b am
〉 = B ( a, cb a cb
−1) (lemma 3). ∏to vleçet rb ∈ R ∩ 〈 a, cb 〉 = A y
t � ⊆ A �.
2. Poçty dlq vsex b ∈ �2 ymeet mesto t b am ∈ �t . Snova rassmatryvaem ra-
venstvo t b am = cb rb am
. ∏lementov vyda cb , b ∈ �2 , beskoneçno mnoho, tak kak
vse πlement¥ vyda t b a b–
1
t–
1
razlyçn¥. V sylu lemm¥ 6 v �2 najdetsq besko-
neçnoe podmnoΩestvo �3 , a v A#
— πlement v takye, çto cb v ∈ � \ Ht . Dalee,
sohlasno uslovyg 2 teorem¥ v �3 dlq beskoneçnoho çysla πlementov b v¥-
polnqetsq neravenstvo 〈 t, cb v 〉 ≠ B ( t, cb v ). MnoΩestvo takyx πlementov b
oboznaçym çerez �4 . Poskol\ku | a | ≠ 2, dlq nekotoroho tn ∈ At
#
y nekotoro-
ho beskoneçnoho podmnoΩestva �5 yz � 4 v¥polnqetsq tn cb v ∈ �, b ∈ �5 .
Ymeem tn
+1
b am = tn
cb v v–
1
rb am = tn
t b am ∈ �, tak kak t b am ∈ �t . Esly t ∈ H,
to, oçevydno, tn
+1
b am
y tn
cb v soderΩatsq v G \ H. Tohda sohlasno uslovyg 2
teorem¥ v �5 najdetsq takoe beskoneçnoe podmnoΩestvo � , çto dlq lgboho
b ∈ � v¥polnqetsq odno yz sledugwyx uslovyj. Pust\ hrupp¥ 〈 a, tn
cb v 〉 =
= A ( a, tn cb v ) y 〈 a, tn
+1
b am
〉 = A ( a, tn
+1
b am
), lybo hruppa 〈 a, tn
cb v 〉 = B ( a, tn
cb v )
y 〈 a, tn
+1
b am
〉 = B ( a, tn
+1
b am
) . V lgbom yz sluçaev yz lemm¥ 3 sleduet, çto
tn
cb v, tn
+1
b am ∈ A �. Sohlasno lemme 4 v–
1
rb am = ( t cb v )
–
1
( tn
+1
b am
) ∈ A ∪ � ,
çto vleçet rb ∈ A ∪ �. Otsgda t � ⊆ A �, y lemma dlq t ∈ � ∩ H dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
O HRUPPAX FROBENYUSA S NEYNVARYANTNÁM MNOÛYTELEM S L2 ( 3 ) 771
Pust\ teper\ t ∉ H. Esly v �5 najdetsq takoe beskoneçnoe podmnoΩestvo
�6 , çto tn cb v ∉ H dlq b ∈ �6 , to, rassuΩdaq tak Ωe, kak y v sluçae t ∈ H, m¥
dokaΩem lemmu. PredpoloΩym, çto v �5 ne najdetsq beskoneçnoho podmno-
Ωestva �6 s ukazann¥m v¥ße svojstvom y � — beskoneçnoe podmnoΩestvo yz
�5 takoe, çto tn +1
b am, tn cb v ∈ H ∩ �, b ∈ �. Oboznaçym çerez M podhruppu v
H, poroΩdennug mnoΩestvom H ∩ �. Oçevydno, dlq lgboho b ∈ � πlement
rb ∈ M, y nam dostatoçno pokazat\, çto M ∩ R ⊆ A � . ∏to v¥tekaet yz bolee
obweho svojstva podhrupp¥ M, a ymenno:
A) dlq lgboho πlementa s ∈ M y lgboho beskoneçnoho podmnoΩestva �
yz � najdetsq takoe beskoneçnoe podmnoΩestvo � yz �, çto s � ⊆ A � .
Dokazatel\stvo provedem yndukcyej po dlyne πlementa s çerez poroΩdag-
wye πlement¥. Esly s = 1, to v kaçestve � moΩno vzqt\ �. Pust\ s ≠ 1. Po
opredelenyg M s = t1 … tl , hde t1 , … , tl ∈ � ∩ H. Po ynduktyvnomu predpolo-
Ωenyg v � najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo �1 takoe, çto t1
1− s �1 ⊆ A �.
Pust\ �1 — mnoΩestvo takyx b ∈ �, çto t1
1− s �1 ∩ b A nepusto. Poskol\ku
�1 beskoneçno, to beskoneçno y �1 , bolee toho, sohlasno dokazannomu sluçag
πtoj lemm¥ ( t ∈ H ) v �1 najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo �2 takoe, çto
t �2 ⊆ A �. MnoΩestvu �2 v �1 sootvetstvuet beskoneçnoe podmnoΩestvo �
so svojstvom t–
1
s � ⊆ �2 A. Okonçatel\no poluçaem
s � = t1 t1
1− s � ⊆ t1 �2 A ⊆ A � A = A �,
y utverΩdenye A) dokazano.
PokaΩem, çto R ∩ M ⊆ A �. Pust\ s ∈ R ∩ M. Sohlasno utverΩdenyg A) v
� najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo � takoe, çto s � ⊆ A �, y v sylu
lemm¥ 4 s ∈ A �.
Lemma dokazana.
Oboznaçym çerez � mnoΩestvo πlementov c yz G \ H, dlq kotor¥x 〈 c, s 〉 =
= 〈 s, sc
〉 — hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem As y qdrom, so-
derΩawym πlement c, çerez �k — mnoΩestvo πlementov c yz G \ H, dlq ko-
tor¥x 〈 c, Qk 〉 l 〈 s 〉 = Fk l Qk l 〈 s 〉, k = 1, 2, … , — hruppa Frobenyusa s neynva-
ryantn¥m mnoΩytelem Qk l 〈 s 〉 y qdrom, soderΩawym πlement c. MnoΩestvo
s = � ∪ �1 Q1 ∪ �2 Q2 ∪ … ∪ �n Qn ∪ … , hde Qk , k = 1, 2, … , — 〈 a 〉-ynvary-
antn¥e hrupp¥ kvaternyonov. Pust\, dalee, =
( )∈ H ss H
∩∪
� \
y K — pod-
hruppa v H, poroΩdennaq mnoΩestvom ∪ M, hde M = 〈 � ∩ H 〉. Oboznaçym
çerez
mnoΩestvo K ∪ A �, B = 〈 � 〉 � G.
Lemma 8. Pust\ � — beskoneçnoe mnoΩestvo. Tohda dlq kaΩdoho πlemen-
ta t y z K y lgboho beskoneçnoho podmnoΩestva � y z � najdetsq besko-
neçnoe podmnoΩestvo � yz � takoe, çto t � ⊆ A �, v çastnosty K ∩ R =
= A.
Dokazatel\stvo. Pust\ t — proyzvol\n¥j πlement yz y � — besko-
neçnoe podmnoΩestvo yz �. Esly b¥ πlement¥ t b a b–
1
t–
1, t c a c–
1
t–
1
sovpada-
ly dlq razlyçn¥x b, c yz �, to m¥ b¥ poluçyly b = c r, r ∈ R. Sohlasno
lemme 4 | r | = 2. Poskol\ku suwestvuet tol\ko koneçnoe çyslo ynvolgcyj v R,
mnoΩestvo πlementov vyda t b a b–
1
t–
1
beskoneçno, y sohlasno uslovyg 2 teore-
m¥ y lemme 3 v � najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo �1 takoe, çto t b =
= cb rb , cb ∈ �, y rb ∈ R dlq lgboho b ∈ �1 . ∏lement¥ cb , b ∈ �1 , sostavlq-
gt beskoneçnoe podmnoΩestvo
1 v �. Po opredelenyg v � \ H najdetsq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
772 S. N. KOZULYN, V. Y. SENAÍOV, V. P. ÍUNKOV
takoj πlement k, çto v t ∈ � dlq lgboho v ∈ Ak
#
. Netrudno vydet\, çto naj-
dutsq çyslo m, 1 ≤ m < 3, a v
1 beskoneçnoe podmnoΩestvo
2 takye, çto
km
cb ∉ H dlq lgboho cb ∈
2 . Sohlasno lemme 7
2 ymeet beskoneçnoe pod-
mnoΩestvo
3 takoe, çto dlq lgb¥x cb ∈ G3 , db ∈ �, ab ∈ A v¥polnqetsq
ravenstvo
km
cb = db ab . (1)
MnoΩestvu
3 sootvetstvuet beskoneçnoe podmnoΩestvo �3 yz �1 takoe,
çto t �3 ⊆
3 R. Yz (1) ymeem
km
t b = k c rm
b b = db ab rb , b ∈ A3 . (2)
Poskol\ku km
t ∈ � y km
t b = db ab rb ∉ H, to sohlasno lemme 7 dlq nekotoro-
ho beskoneçnoho podmnoΩestva � yz � 3 ymeet mesto km
t � ⊆ � A. V sylu
lemm¥ 4 zaklgçaem, çto rb ∈ A ∪ � dlq lgboho b ∈ �. ∏to oznaçaet, çto
t � ⊆ A � . Takym obrazom, dlq t ∈ osnovnoe utverΩdenye lemm¥ dokazano.
Dalee, sohlasno lemme 7 m¥ dokazaly utverΩdenye A) y dlq πlementa t ∈ M.
Nakonec, kak y pry dokazatel\stve utverΩdenyq A), yndukcyej lehko dokazat\
lemmu dlq proyzvol\noho πlementa yz K.
Oboznaçym çerez
mnoΩestvo K ∪ A � .
Lemma 9. Pust\ � — beskoneçnoe mnoΩestvo. Tohda dlq kaΩdoho t ∈ �
y lgboho beskoneçnoho podmnoΩestva � yz
najdetsq beskoneçnoe pod-
mnoΩestvo � yz � takoe, çto t � ⊆
.
Dokazatel\stvo. Esly t ∈ � ∩ H , utverΩdenye sleduet yz lemm¥ 7 y
opredelenyq podhrupp¥ K. Pust\ t ∈ � \ H. Rassmotrym dva sluçaq.
1. �1 = � ∩ K — beskoneçnoe mnoΩestvo. Esly dlq s1 , s2 ∈ �1 ts as t1 1
1 1− − =
= ts as t2 2
1 1− −
, to s1 = s2 r, r ∈ R ∩ K , y sohlasno lemme 8 s1 ∈ s2 A. Otsgda
vsledstvye beskoneçnosty �, uslovyq 2 teorem¥ y lemm¥ 3 sleduet, çto �1
soderΩyt beskoneçnoe podmnoΩestvo �2 takoe, çto dlq lgboho s ∈ �2 spra-
vedlyvo t s = cs rs , hde cs ∈ �, rs ∈ R. MnoΩestvo πlementov vyda cs , s ∈ �2 ,
beskoneçno (po tem Ωe pryçynam), a tak kak a ∉ Ht (lemma 6), to najdutsq çys-
lo m, 1 ≤ m < 3, a v �2 takoe beskoneçnoe podmnoΩestvo �3 , çto cs am
∉ Ht
dlq lgboho s ∈ �3 . Dalee, cs am ∈ �, y v sylu uslovyq 2 teorem¥ y lemm¥ 3
�3 soderΩyt takoe beskoneçnoe podmnoΩestvo �, çto dlq lgboho s ∈ � v¥-
polnqetsq odno yz sledugwyx dvux uslovyj. Pust\ hruppa 〈 t, cs am
〉 = A ( t, cs am
) .
V πtom sluçae utverΩdenye lemm¥ sleduet yz lemm¥ 6.9 [13]. Pust\ teper\ 〈 t,
cs am
〉 = B ( t, cs am
) . Oçevydno, t–
1
cs am ∈ � ∪ �t . No t–
1
cs am = sr as
m−1 ∈ H. Da-
lee, πlement s leΩyt v K y πlement t–
1
cs am ∈ t ∪ ( � ∩ H ) takΩe leΩyt v
K, çto vleçet rs ∈ K. Sohlasno lemme 8 rs ∈ A. No πto oznaçaet, çto t � ⊆
⊆ � A ⊆
.
2. � poçty vse soderΩytsq v � A. Esly v � najdetsq beskoneçnoe pod-
mnoΩestvo �1 takoe, çto t �1 ∩ H pusto, to utverΩdenye poluçaetsq yz lem-
m¥ 7. Pust\ teper\ dlq lgboho beskoneçnoho podmnoΩestva �1 yz � mno-
Ωestvo t �1 ∩ H nepusto. Tohda, kak netrudno vydet\, najdetsq takoe besko-
neçnoe podmnoΩestvo �1 yz � , çto t �1 ⊆ H y �1 ⊆ � A. Pust\
1 —
mnoΩestvo tex c ∈ �, dlq kotor¥x c A ∩ �1 ≠ ∅. Sohlasno lemme 6 a ∉ Ht , y,
sledovatel\no, najdutsq beskoneçnoe podmnoΩestvo
2 v
1 y çyslo m, 1 ≤
≤ m < 3, takye, çto c am
∉ Ht dlq lgboho c ∈
2 . ∏lement c prynadleΩyt
nekotoroj hruppe Frobenyusa Lz = Fz l ( Qz l A ). Poskol\ku c ∈ Fz l Q z y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
O HRUPPAX FROBENYUSA S NEYNVARYANTNÁM MNOÛYTELEM S L2 ( 3 ) 773
am
B∉ Fz l Qz , to c am
∉ Fz l Qz . Znaçyt, porqdok πlementa c am
raven lybo 3,
lybo 6. V sluçae, esly ne suwestvuet beskoneçno mnoho πlementov c ∈
2 ta-
kyx, çto | c am
| = 3, vo mnoΩestve
2 budet beskoneçno mnoho πlementov c ∈
∈
2 , dlq kotor¥x πlement c am
ymeet porqdok 6. V πtom sluçae vmesto πle-
menta c am
rassmatryvaem πlement c1 am = ( c am
) 2 (zdes\ c1 ∈
2 ) porqdka 3.
Takym obrazom, ne narußaq obwnosty rassuΩdenyj, sçytaem, çto suwestvuet
beskoneçno mnoho πlementov c ∈
2 takyx, çto | c am
| = 3. Dlq beskoneçnoho
çysla πlementov c yz
2 v¥polnqetsq ravenstvo 〈 c am, t 〉 = B ( t, c am
) (uslovye
2 teorem¥). MnoΩestvo takyx πlementov c oboznaçym çerez mnoΩestvo
3 .
Emu sootvetstvuet beskoneçnoe podmnoΩestvo � yz �1 , a ymenno, � = �1 ∩
∩
3 A. Poskol\ku t � ⊆ H y 〈 c am, t 〉 = B ( t, c am
) , poluçaem, çto t c am ∈ ∪
∪ ( � ∩ H ) dlq lgboho c ∈
3 . No πto oznaçaet, çto t � ⊆ K.
Lemma dokazana.
Lemma 10. Pust\ B — normal\naq v G podhruppa, poroΩdennaq mno-
Ωestvom �. Tohda lybo B — koneçnaq podhruppa, lybo mnoΩestvo � bes-
koneçno y spravedlyv¥ sledugwye utverΩdenyq:
1) dlq kaΩdoho πlementa t y z B y lgboho beskoneçnoho podmnoΩestva �
yz
najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo � yz � takoe, çto t � ⊆
;
2) B ∩ R = A ∪ � y B ∩ H = K;
3) G = B R.
Dokazatel\stvo. Esly podhruppa R ymeet v G koneçn¥j yndeks, to mno-
Ωestvo � koneçno y sohlasno lemme Dycmana [15] B — koneçnaq hruppa.
Pust\, dalee, yndeks podhrupp¥ R v G beskoneçen. Tohda, oçevydno, vo mno-
Ωestve G \ H soderΩytsq beskoneçno mnoho prav¥x smeΩn¥x klassov po R.
∏to ravnosyl\no beskoneçnosty mnoΩestva πlementov vyda g–
1
a g, g ∈ G \ H, y
sohlasno lemme 3 y uslovyg 2 teorem¥ mnoΩestvo � beskoneçno. Perejdem k
dokazatel\stvu sledugwyx utverΩdenyj:
1. Sohlasno opredelenyg B t = t1 t2 … tl , hde t1 , t2 , … , tl ∈ �. Po ynduktyv-
nomu predpoloΩenyg moΩno sçytat\, çto v � najdetsq beskoneçnoe podmno-
Ωestvo �1 so svojstvom �2 = t2 … tl �1 ⊆
. V sylu lemm¥ 9 �2 soderΩyt
beskoneçnoe podmnoΩestvo �3 takoe, çto t1 �3 ⊆
. PoloΩym teper\ � =
= ( t2 … tl )
–
1
�3 . Oçevydno, � beskoneçno, soderΩytsq v � y t � ⊆
.
2. Pust\ r ∈ R ∩ B y � — beskoneçnoe podmnoΩestvo yz A � =
\ H. Soh-
lasno pervomu utverΩdenyg lemm¥ v � najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo
� so svojstvom r � ⊆
. Poskol\ku R ≤ H (lemma 2), r � ⊆ A � y v sylu
lemm¥ 4 r ∈ A ∪ �. Dalee, pust\ t ∈ H ∩ B. Esly K — koneçnaq podhruppa, to
� ∩ H koneçno, y v πtom sluçae, kak otmeçeno pered lemmoj 8, R = H. Sohlas-
no dokazannomu v¥ße t ∈ A. Esly K beskoneçno, to v sylu pervoho utverΩde-
nyq lemm¥ najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo � yz K takoe, çto t � ⊆
∩
∩ H = K. No πto nevozmoΩno (tak kak K — podhruppa) tol\ko pry t ∈ K. Sle-
dovatel\no, H ∩ B = K.
3. Oçevydno, K, � ⊆ B y B � G . Pust\ s, t — proyzvol\n¥e πlement¥ yz
� ∩ H. Vsledstvye uslovyq 2 teorem¥ y beskoneçnosty � najdetsq πlement
v ∈ � \ H takoj, çto v¥polnqetsq odno yz sledugwyx dvux uslovyj. Pust\
hruppa 〈 s, v 〉 = A ( s, v ) y 〈 t, v 〉 = A ( t, v ). V πtom sluçae utverΩdenye lemm¥
v¥tekaet yz lemm¥ 6.10 [13]. Pust\ teper\ 〈 s, v 〉 = B ( s, v ) y 〈 t, v 〉 = B ( t, v ).
Sohlasno lemme 3 Av y At soprqΩen¥ v 〈 v, t 〉 y As y At soprqΩen¥ v 〈 s, v 〉.
Poskol\ku v, s, t ∈ B, podhrupp¥ As y At soprqΩen¥ y v B ∩ H = K. ∏to po-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
774 S. N. KOZULYN, V. Y. SENAÍOV, V. P. ÍUNKOV
kaz¥vaet, çto H = K R. Pust\ teper\ g ∈ G \ H y s = g–
1
a g. Tak kak � besko-
neçno, najdetsq beskoneçno mnoho takyx b ∈ B, çto b g–
1
a g b–
1
∉ H. Dalee,
g–
1
a g ∈ B, y v sylu uslovyq 2 teorem¥ najdetsq takoj πlement b ∈ B, çto v¥-
polnqetsq odno yz sledugwyx dvux uslovyj. Pust\ hruppa T = 〈 a,
b g–
1
a g b–
1
〉 = A ( a, b g–
1
a g b–
1
). V πtom sluçae utverΩdenye lemm¥ snova budet
sledovat\ yz lemm¥ 6.10 [13]. Pust\ teper\ T = 〈 a, b g–
1
a g b–
1
〉 = B ( a,
b g–
1
a g b–
1
). Sohlasno lemme 3 A y b g–
1
A g b–
1
soprqΩen¥ v T. No πto vleçet
soprqΩennost\ A y g–
1
A g v B, çto ravnosyl\no g ∈ B R. Ytak, G = B R, y
lemma dokazana.
Lemma 11. MnoΩestva B \
, �s \ � y � \ �s , s ∈ � ∩ H, koneçn¥.
Dokazatel\stvo. Qsno, çto B ∩ R � = A � , tak kak v sylu lemm¥ 10 B ∩
∩ R = A. Yz uslovyq 2 teorem¥ y lemm¥ 3 sleduet, çto B \
soderΩyt tol\ko
koneçnoe çyslo smeΩn¥x klassov po R. Otsgda s uçetom toho, çto B ∩ R = A
(lemma 10), sleduet koneçnost\ mnoΩestva B \
. Pust\ teper\ s ∈ � ∩ H .
Sohlasno tol\ko çto dokazannomu � s \ A � koneçno. V sylu lemm¥ 3 � s ∩ �
pusto y, sledovatel\no, � s ∩ A � ⊆ � . Otsgda v¥tekaet koneçnost\ mno-
Ωestva � s \ �. Analohyçno poluçaem koneçnost\ mnoΩestva � \ �s .
Lemma dokazana.
Na osnovanyy lemm¥ 10 v dal\nejßem predpolahaem beskoneçnost\ mno-
Ωestva � .
Lemma 12. Esly H ≠ R, to dlq lgboho πlementa t yz T y lgboho besko-
neçnoho podmnoΩestva � yz � najdetsq podmnoΩestvo � yz � so svoj-
stvom t � ⊆ � y K = M, pryçem podhruppa M ymeet vyd M = T l A, lybo
M = T l ( Q l A ).
Dokazatel\stvo. Poskol\ku B ∩ R = A (lemma 10), to � raspadaetsq v B
rovno na 2 klassa soprqΩenn¥x πlementov: �1 s predstavytelem a y � – 1 s
predstavytelem a–
1
. DokaΩem snaçala, çto K = M. Kak otmeçeno pered
lemmoj 8, yndeks R v H beskoneçen, y, sledovatel\no, podhruppa M besko-
neçna. Dalee, K = 〈 , M 〉. Pust\ t — proyzvol\n¥j πlement yz . Sohlasno
uslovyg 2 teorem¥ najdetsq takoj πlement s yz � \ H, dlq kotoroho 〈 s, t 〉 —
hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem lybo As , lybo Qs l As ( Qs
— hruppa kvaternyonov) y qdrom, soderΩawym πlement t. V pervom sluçae ut-
verΩdenye lemm¥ v¥tekaet yz lemm¥ 6.12 [13]. Rassmotrym vtoroj sluçaj.
Ymeem t s ∈ � \ H, y πlementov vyda h–
1
t s h, h ∈ M, ymeetsq beskoneçno mnoho.
V sylu uslovyq 2 teorem¥ v M najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo 0 takyx
πlementov h yz M, çto 〈 a, h–
1
t s h 〉 = B ( a, h–
1
t s h ) yly 〈 vh , t s 〉 = B ( vh , t s ), hde
vh = h a h–
1
. Dlq opredelennosty poloΩym t s ∈ �1 . Tohda vh ts−1 ∈ �t s y
vh ts−2 ∈ �– 1 . Poskol\ku vh ∈ Hs, yz dvux πlementov vh ts−1
, vh ts−2
xotq b¥
odyn ne leΩyt v Hs. Esly 0 soderΩyt beskoneçnoe mnoΩestvo 1 takoe,
çto vh ts−1 ∈ Hs, kak tol\ko h ∈ 1 , to v sylu lemm¥ 11 najdetsq πlement h ∈
∈ 1 , dlq kotoroho vh ts−1 ∈ �s . ∏to oznaçaet, çto vh t−1 ∈ � ∩ H y t ∈ M. V
protyvnom sluçae 0 ymeet beskoneçnoe podmnoΩestvo 2 takoe, çto
vh ts−2 ∈ Hs pry h ∈ 2 . Sohlasno uslovyg 2 teorem¥ najdetsq h ∈ 2 so svoj-
stvom 〈 vh ts−2 , s 〉 = B ( s, vh ts−2
), çto vleçet vh t−2 ∈ �2 . Snova zaklgçaem, çto
t ∈ M, y vsledstvye proyzvol\nosty πlementa t yz 0 ubeΩdaemsq v spraved-
lyvosty ravenstva K = M. Pust\ teper\ s ∈ �m ∩ H y � — proyzvol\noe
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
O HRUPPAX FROBENYUSA S NEYNVARYANTNÁM MNOÛYTELEM S L2 ( 3 ) 775
beskoneçnoe podmnoΩestvo yz �. Sohlasno lemme 11 � soderΩyt beskoneç-
noe podmnoΩestvo � takoe, çto � ⊆ �s y s � ⊆ am � . Ymeem a–
m
s � ⊆ �.
TakΩe netrudno pokazat\, çto � ymeet beskoneçnoe podmnoΩestvo �1 so
svojstvom s–
1
am
�1 ⊆ �. Pust\ T — podhruppa v K, poroΩdennaq πlementa-
my vyda a–
m
s , s ∈ �m ∩ H . Kak y v lemme 10, yndukcyej lehko dokaz¥vaetsq,
çto dlq lgboho t ∈ T y lgboho beskoneçnoho podmnoΩestva � yz � najdet-
sq beskoneçnoe podmnoΩestvo � v � takoe, çto t � ⊆ �. V çastnosty, a ∉ T.
Dalee, a normalyzuet T y oçevydno, çto M = T l Q l A.
Lemma dokazana.
Oboznaçym çerez � mnoΩestvo T ∪ �.
Lemma 13. Dlq lgboho πlementa t ∈ � y lgboho beskoneçnoho podmno-
Ωestva � y z � najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo yz � takoe, çto
t � ⊆ �.
Dokazatel\stvo. Esly t ∈ T, to lemma v¥tekaet yz lemm¥ 12. Pust\ t ∈
∈ � y � — proyzvol\noe beskoneçnoe podmnoΩestvo yz �. Rassmotrym try
sluçaq:
1. V � najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo �1 ⊆ � takoe, çto t �1 ∩ H
pusto. Ymeem c a ∈ �1 dlq lgboho c ∈ �. Dalee, v sylu lemm¥ 6 a ∉ Hca ny
dlq kakoho c ∈ �1 . Poskol\ku | a | ≠ 2, najdutsq çyslo m, 1 ≤ m < 3, a v �1
beskoneçnoe podmnoΩestvo � takye, çto am
t ∉ Hca ny dlq kakoho c ∈ �2 ,
yly, çto ravnosyl\no, c a ∉ Ha tm , c ∈ �2 . Po uslovyg 2 teorem¥ �2 ymeet
beskoneçnoe podmnoΩestvo �3 takoe, çto v¥polnqetsq odno yz sledugwyx
dvux uslovyj. Pust\ hruppa 〈 c a , am
t 〉 = A ( c a , am
t ) dlq lgboho c ∈ �3 . V πtom
sluçae utverΩdenye lemm¥ v¥tekaet yz lemm¥ 6.13 [13]. Pust\ teper\ 〈 c a ,
am
t 〉 = B ( c a , am
t ) dlq lgboho c ∈ �3 . Oçevydno, c a ∈ �1 , a
m
t ∈ �m (mnoΩest-
va �n opredelen¥ pry dokazatel\stve lemm¥ 12), çto vleçet am
t c a ∈ �m +1 ,
esly m ≠ – 1(3), lybo am
t c a = a–
1
t c a ∈ �ca . Po uslovyg t c ∉ H, poπtomu
am
t c a ∉ H, c ∈ �3 . Pust\ m ≠ – 1(3) y am
t c a ∈ �m +1 . V sylu lemm¥ 11 v �3
najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo � so svojstvom am
t c a ∈ A � dlq lgboho
c ∈ �. No πto pokaz¥vaet (tak kak am
t c a ∈ �m +1 ), çto t c ∈ �, t � ⊆ � ⊆ �.
Pust\ teper\ m = – 1. Tohda snova sohlasno lemme 11 zaklgçaem, çto suwestvu-
et beskoneçnoe podmnoΩestvo � yz �3 takoe, çto a–
1
t c a ∈ �ca ∩ � y t c ∈
∈ � dlq lgboho c ∈ �.
2. V � najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo �1 ⊆ � takoe, çto t �1 ⊆ H .
Esly v �1 najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo �2 so svojstvom c a ∉ Hat dlq
lgboho c ∈ �2 , to, yspol\zuq uslovye 2 teorem¥, dokaz¥vaem, çto �2 soder-
Ωyt beskoneçnoe podmnoΩestvo � takoe, çto v¥polnqetsq odno yz sledugwyx
dvux uslovyj. Pust\ hruppa 〈 a t, c a 〉 = A ( a t, c a ) dlq lgboho t ∈ �. V πtom
sluçae utverΩdenye lemm¥ snova v¥tekaet yz lemm¥ 6.13 [13]. Pust\ teper\
〈 a t , c a 〉 = B ( a t , c a ) dlq lgboho t ∈ �. V πtom sluçae a t c a ∈ �2 ∩ H , y v sylu
lemm 10, 12 t c ∈ T. Ymeem t � ⊆ T, y dokazatel\stvo zaverßeno. PredpoloΩym
teper\, çto �1 ne ymeet beskoneçnoho podmnoΩestva �2 , dlq kotoroho c a ∉
∉ Hat , c ∈ �2 . Tohda �1 soderΩyt beskoneçnoe podmnoΩestvo �2 takoe, çto
Hat ∩ �2 = ∅. V sylu lemm¥ 11 v �2 najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo �
takoe, çto � ⊆ �at . Snova ymeem a t c ∈ �1 ∩ H, y po lemmam 10, 12 t � ⊆ T.
3. V � najdetsq beskoneçnoe podmnoΩestvo �1 , soderΩaweesq v T . Yme-
em
1 = t �1 ⊆ A � . Bez ohranyçenyq obwnosty moΩno sçytat\, çto dlq lgbo-
ho c ∈ �1 t c = dc am
, hde am
— fyksyrovann¥j πlement yz A, dc ∈ �, yly
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
776 S. N. KOZULYN, V. Y. SENAÍOV, V. P. ÍUNKOV
c a–
m = t–
1
dc . Oçevydno, πlementov dc beskoneçno mnoho, c ∈ �1 y sohlasno
uΩe rassmotrenn¥m sluçaqm �1 ymeet beskoneçnoe podmnoΩestvo �2 takoe,
çto dlq lgboho c ∈ �2 verno t–
1
dc ∈ T. ∏to vmeste s c ∈ T y ravenstvom
t–
1
dc = c a–
m
ravnosyl\no am = 1 . Sledovatel\no, t �1 ⊆ �, y lemma dokazana.
Perejdem k dokazatel\stvu teorem¥. Pust\ F — podhruppa v G, poroΩden-
naq mnoΩestvom � = T ∪ �. Rassmotrym proyzvol\n¥j πlement f yz F. Pos-
kol\ku T — podhruppa y � sovpadaet s �
–
1
, f predstavym v vyde t1 t2 … tl ,
hde t1 , t2 , … , tl ∈ �. Yspol\zuq teper\ lemmu 13, yndukcyej po l lehko poka-
zat\, çto
V) dlq lgboho f ∈ F y lgboho beskoneçnoho podmnoΩestva � yz � naj-
detsq takoe beskoneçnoe podmnoΩestvo � yz �, çto f � ⊆ �.
Poskol\ku πlement a, oçevydno, ne ymeet svojstva V), to a ∉ F. Dalee, a
normalyzuet mnoΩestvo � (lemma 12 y opredelenye mnoΩestva � ). Sledova-
tel\no, lybo 〈 F , a 〉 = F l A, lybo 〈 F , a 〉 = F l ( Q l A ). Sohlasno lemmam 10 –
12 lehko poluçaem F l ( Q l A ) = B. DokaΩem, nakonec, çto B = F l ( Q l A ) —
hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem Q l A y qdrom F. V sylu
lemm¥ 11 mnoΩestvo � = F \ ( � ∪ H ) koneçno. Po lemme 8 d
–
1
r d ∉ H dlq
lgb¥x d ∈ F \ H y r ∈ A#
. Dalee, esly dlq nekotor¥x d ∈ F y r ∈ A#
ymeet
mesto d
–
1
r d ∈ A � , to v sylu lemm¥ 3 y ravenstva B ∩ R = A (lemma 10) sle-
duet, çto d ∈ �. Takym obrazom, dlq lgboho d ∈ � ymeem d
–
1
A#
d ⊆ A#
�.
Vsledstvye koneçnosty � y ravenstva B ∩ R = A zaklgçaem, çto y kaΩd¥j
πlement yz A#
� soprqΩen s nekotor¥m πlementom yz A. Ytak, m¥ dokazaly,
çto
B \ ( F ∪ H ) ⊆ �. (3)
Sohlasno lemmam 10 y 12 F ∩ H = T. DokaΩem, çto ( T l Q l A ) \ T ⊆ �. Pust\
r ∈ � ∩ H y t ∈ T. Esly r t ∉ Hs dlq nekotoroho s ∈ �, to r t ∈ � sohlasno
(3). V çastnosty, dlq lgboho r ∈ � ∩ H
r D ⊆ �, (4)
hde D =
g Tg
g G
−
∈
1∩ . PredpoloΩym teper\, çto dlq nekotor¥x r ∈ A#
y t ∈ T
r t ∉ �. Esly b¥ dlq nekotoroho s ∈ � r t ∉ H, to sohlasno (3) poluçyly b¥
r t ∈ � vopreky predpoloΩenyg. Sledovatel\no, r t ∈ N =
g Hg
g G
−
∈
1∩ .
Poskol\ku N � G , to v = r–
1
t–
1
r t ∈ N ∩ D . V sylu uslovyq 2 teorem¥ y
beskoneçnosty A � najdetsq πlement s ∈ � \ H takoj, çto 〈 t–
1
r t, s 〉 = B ( t–
1
r t,
s ) y V = 〈 a, s 〉 = B ( a, s ). Dalee, D normal\na v B, y, sledovatel\no, W = V D
— podhruppa, pryçem t–
1
r t = r v ∈ W. Sohlasno lemme 3 〈 t–
1
r t 〉 soprqΩena s
As v B ( t–
1
r t, s ) y As soprqΩena s A v V. ∏to vleçet soprqΩennost\ 〈 t–
1
r t 〉 y
A v W. V sylu lemm¥ 10 B ∩ R = A, y, sledovatel\no, t ∈ W ∩ F. Sohlasno
lemme 1 s uçetom toho, çto B = F l ( Q l A ), ubeΩdaemsq, çto L = V ∩ F — qdro
hrupp¥ V y, oçevydno, W ∩ F = D L. Ytak, t ∈ W ∩ F ∩ H y ymeet vyd t = f d,
hde f ∈ L ∩ H1 , d ∈ D. No r f ∈ � ∩ H , tak kak V = B ( a, s ), y sohlasno (4)
r f d ∈ �, çto oznaçaet r t ∈ �. Takym obrazom, B = F l ( Q l A ) — hruppa
Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem A y qdrom F y G = F l R. Teore-
ma dokazana.
Sledstvye. Pust\ G = F l ( Q l 〈 a 〉 ) y a — πlement porqdka 3 takye,
çto poçty dlq kaΩdoho πlementa g yz G podhrupp¥ L = 〈 a, ag
〉 — hrupp¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
O HRUPPAX FROBENYUSA S NEYNVARYANTNÁM MNOÛYTELEM S L2 ( 3 ) 777
Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem lybo 〈 a 〉, lybo Q l 〈 a 〉 ( Q —
hruppa kvaternyonov). Krome toho, pust\ CG ( a ) = 〈 a 〉 × 〈 i 〉, | i | = 2. Tohda:
1) lgbaq faktor-hruppa G / N , otlyçnaq ot podhrupp 〈 a N 〉 y Q N l
l 〈 a N 〉, — hruppa Frobenyusa s neynvaryantn¥m mnoΩytelem lybo 〈 a N 〉, lybo
Q N l 〈 a N 〉;
2) lgbaq necyklyçeskaq podhruppa yz G , soderΩawaq πlement a, otlyç-
naq ot podhrupp Q l 〈 a 〉 y 〈 a 〉 × 〈 i 〉, qvlqetsq hruppoj Frobenyusa s neynva-
ryantn¥m mnoΩytelem lybo 〈 a 〉, lybo Q l 〈 a 〉.
Dokazatel\stvo. UtverΩdenye 1, oçevydno, v¥tekaet yz uslovyj sled-
stvyq y teorem¥. Otsgda y yz opredelenyq hrupp¥ Frobenyusa lehko poluçyt\
spravedlyvost\ utverΩdenyq 2.
1. Çernykov S. N. O lokal\no razreßym¥x hruppax, udovletvorqgwyx uslovyg mynymal\-
nosty dlq podhrupp // Mat. sb. – 1951. – 28, # 1. – S. 119 – 129.
2. Çernykov S. N. K teoryy beskoneçn¥x specyal\n¥x hrupp // Tam Ωe. – 1968. – 7 , # 6. –
S.B539 – 548.
3. Karhapolov M. Y. Lokal\no koneçn¥e hrupp¥, obladagwye normal\n¥my systemamy s ko-
neçn¥my faktoramy // Syb. mat. Ωurn. – 1961. – 2, # 6. – S. 853 – 873.
4. Karhapolov M. Y. O razreßym¥x hruppax koneçnoho ranha // Alhebra y lohyka. – 1962. – 1,
# 5. – S. 37 – 44.
5. Íunkov V. P. O nekotorom obobwenyy teorem¥ Frobenyusa na peryodyçeskye hrupp¥ //
Tam Ωe. – 1967. – 6, # 3. – S. 113 – 124.
6. Íunkov V. P. Ob odnom klasse p-hrupp // Tam Ωe. – 1970. – 9, # 4. – S. 484 – 496.
7. Frobenius G. Uber auflosbare Gruppen. IV // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. – 1901. –
S. 1216 – 1230.
8. Busarkyn V. M., Starostyn A. Y. O lokal\no koneçn¥x rasweplqem¥x hruppax // Uspexy
mat. nauk. – 1962. – 17, # 6. – S. 275 – 294.
9. Busarkyn V. M., Starostyn A. Y. O rasweplqem¥x lokal\no koneçn¥x hruppax // Mat. sb.
1963. – 62, # 3. – S. 275 – 294.
10. Íunkov V. P. Ob odnom pryznake neprostot¥ hrupp // Alhebra y lohyka. – 1975. – 14, # 5.
– S. 576 – 603.
11. Ûurtov L. X., Mazurov V. D. O hruppax Frobenyusa, poroΩdenn¥x kvadratyçn¥my πlemen-
tamy // MeΩdunar. sem. po teoryy hrupp: Tez. dokl. – Ekaterynburh, 2001. – S. 77 – 81.
12. Starostyn A. Y. O hruppax Frobenyusa // Ukr. mat. Ωurn. – 1971. – 23, # 5. – S. 629 – 639.
13. Íunkov V. P. Mp-hrupp¥. – M.: Nauka, 1990. – 160 s.
14. Ûurtov A. X. Kvadratyçn¥e πlement¥ hrupp Frobenyusa: Dys. ... d-ra fyz.-mat. nauk. –
Nal\çyk, 2003. – 115 s.
15. Kuroß A. H. Teoryq hrupp. – M.: Nauka, 1967. – 648 s.
Poluçeno 20.08.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3494 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:36Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0f/f334ae232fc661440dbe99068bf7f50f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34942020-03-18T19:56:00Z On Frobenius groups with noninvariant factor SL 2(3) O группах Фробениуса с неинвариантным множителем SL 2(3) Kozulin, S. N. Senashov, V. I. Shunkov, V. P. Козулин, С. Н. Сенашов, В. И. Шунков, В. П. Козулин, С. Н. Сенашов, В. И. Шунков, В. П. We obtain a criterion for the unsimplicity of an infinite group containing the infinite class of the Frobenius groups $L_g = \langle a, g^{-1} a g\rangle$ with complement $SL_2 ( 3 )$. Отримано ознаку непростоти нeскiнчeннoi групи, що мютить нeскiнчeнний клас труп Фробешуса $L_g = \langle a, g^{-1} a g\rangle$ з доповненням $SL_2 ( 3 )$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3494 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 6 (2006); 765–777 Український математичний журнал; Том 58 № 6 (2006); 765–777 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3494/3725 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3494/3726 Copyright (c) 2006 Kozulin S. N.; Senashov V. I.; Shunkov V. P. |
| spellingShingle | Kozulin, S. N. Senashov, V. I. Shunkov, V. P. Козулин, С. Н. Сенашов, В. И. Шунков, В. П. Козулин, С. Н. Сенашов, В. И. Шунков, В. П. On Frobenius groups with noninvariant factor SL 2(3) |
| title | On Frobenius groups with noninvariant factor SL 2(3) |
| title_alt | O группах Фробениуса с неинвариантным множителем SL 2(3) |
| title_full | On Frobenius groups with noninvariant factor SL 2(3) |
| title_fullStr | On Frobenius groups with noninvariant factor SL 2(3) |
| title_full_unstemmed | On Frobenius groups with noninvariant factor SL 2(3) |
| title_short | On Frobenius groups with noninvariant factor SL 2(3) |
| title_sort | on frobenius groups with noninvariant factor sl 2(3) |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3494 |
| work_keys_str_mv | AT kozulinsn onfrobeniusgroupswithnoninvariantfactorsl23 AT senashovvi onfrobeniusgroupswithnoninvariantfactorsl23 AT shunkovvp onfrobeniusgroupswithnoninvariantfactorsl23 AT kozulinsn onfrobeniusgroupswithnoninvariantfactorsl23 AT senašovvi onfrobeniusgroupswithnoninvariantfactorsl23 AT šunkovvp onfrobeniusgroupswithnoninvariantfactorsl23 AT kozulinsn onfrobeniusgroupswithnoninvariantfactorsl23 AT senašovvi onfrobeniusgroupswithnoninvariantfactorsl23 AT šunkovvp onfrobeniusgroupswithnoninvariantfactorsl23 AT kozulinsn ogruppahfrobeniusasneinvariantnymmnožitelemsl23 AT senashovvi ogruppahfrobeniusasneinvariantnymmnožitelemsl23 AT shunkovvp ogruppahfrobeniusasneinvariantnymmnožitelemsl23 AT kozulinsn ogruppahfrobeniusasneinvariantnymmnožitelemsl23 AT senašovvi ogruppahfrobeniusasneinvariantnymmnožitelemsl23 AT šunkovvp ogruppahfrobeniusasneinvariantnymmnožitelemsl23 AT kozulinsn ogruppahfrobeniusasneinvariantnymmnožitelemsl23 AT senašovvi ogruppahfrobeniusasneinvariantnymmnožitelemsl23 AT šunkovvp ogruppahfrobeniusasneinvariantnymmnožitelemsl23 |