Convergence of the Galerkin method for a wave equation with singular right-hand side
We consider analogs of the Galerkin method for a linear wave equation of the fifth order with generalized functions on the right-hand side. Theorems on the convergence of an approximate method, depending on the order of singularity of the right-hand side, are proved.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3495 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509595693219840 |
|---|---|
| author | Nomirovs'kii, D. A. Номіровський, Д. А. |
| author_facet | Nomirovs'kii, D. A. Номіровський, Д. А. |
| author_sort | Nomirovs'kii, D. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:00Z |
| description | We consider analogs of the Galerkin method for a linear wave equation of the fifth order with generalized functions on the right-hand side. Theorems on the convergence of an approximate method, depending on the order of singularity of the right-hand side, are proved. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.6:532.5
D. A. Nomirovs\kyj (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
ZBIÛNIST| METODU HAL|ORKINA
DLQ XVYL|OVOHO RIVNQNNQ
Z SYNHULQRNYMY PRAVYMY ÇASTYNAMY
*
We consider analogs of the Galerkin method for a linear wave equation of the fifth order with
distributions on the right-hand side. We prove theorems of the convergence of approximate method
depending on the singularity order of the right-hand side.
Rozhlqdagt\sq analohy metodu Hal\orkina dlq linijnoho xvyl\ovoho rivnqnnq p’qtoho porqdku
z uzahal\nenymy funkciqmy u pravij çastyni. Dovedeno teoremy zbiΩnosti nablyΩenoho metodu
v zaleΩnosti vid porqdku synhulqrnosti pravo] çastyny.
Budemo doslidΩuvaty linijne dyferencial\ne rivnqnnq z çastynnymy poxidny-
my p’qtoho porqdku
L u ≡ A u B u DC utt t( ) ( ) ( )+ +2 = f, (1)
de A, B, C, D — dyferencial\ni operatory druhoho porqdku za prostorovymy
zminnymy.
U zastosuvannqx rivnqnnq typu (1) vynykagt\, napryklad, pry doslidΩenni
dynamiky ploskyx ruxiv nestyslyvo] v’qzko] ridyny [1 – 3]
∂
∂
ν ∂
∂
ω ∂
∂ξ
2
2
2
0
2
2
1
2t
u
t
u u∆ ∆− + = f, ∆ = ∂
∂ξ
∂
∂ξ
2
1
2
2
2
2+ .
Rivnqnnq (1) takoΩ opysu[ linijni xvyli na hvyntovij teçi] [4], mali kolyvannq
ruxomo] stratyfikovano] ridyny [5] i bahato inßyx xvyl\ovyx procesiv.
Rivnqnnq (1) uzahal\ng[ rivnqnnq typu S. L. Soboleva ( B = 0 , D = 1 ) . Za-
stosovugçy prosti zaminy zminnyx, lehko vkazaty okremi vypadky, koly rivnqnnq
(1) zvodyt\sq do psevdoparaboliçnoho, psevdohiperboliçnoho abo klasyçnoho pa-
raboliçnoho çy hiperboliçnoho rivnqn\.
Perßi doslidΩennq xvyl\ovyx procesiv takoho typu vidnosylysq, holovnym
çynom, do vyvçennq stacionarnyx reΩymiv abo obmeΩuvalysq doslidΩennqmy v
oblastqx special\no] formy [5 – 7]. Dostatn\o zahal\ni doslidΩennq krajovyx
zadaç dlq rivnqnnq (1) buly vykonani v robotax [8 – 11]. Dlq deqkyx operatoriv
A, B, C, D dovedeno [dynu rozv’qznist\ zadaçi pry rehulqrnyx poçatkovyx da-
nyx [10, 11], a takoΩ uzahal\nenu rozv’qznist\ u klasi uzahal\nenyx funkcij
skinçennoho porqdku [8, 9]. U vypadku, koly prava çastyna [ uzahal\nenog
funkci[g deqkoho skinçennoho porqdku, dlq pevnyx typiv operatoriv (1) dove-
deno uzahal\nenu rozv’qznist\ ta doslidΩeno deqki pytannq optymizaci] [8, 12,
13]. ZauvaΩymo, wo ci doslidΩennq buly provedeni dlq operatora L , wo di[ v
odnij pari sobolevs\kyx prostoriv, u vypadku nevid’[mnyx operatoriv A, B, C ,
D bez dodankiv menßyx porqdkiv.
U danij roboti proponu[t\sq nablyΩenyj metod typu Hal\orkina dlq rozv’q-
zannq xvyl\ovoho rivnqnnq (1) ta doslidΩu[t\sq zbiΩnist\ c\oho metodu. Do-
slidΩennq bazugt\sq na dovedenni dlq deqkyx rozßyren\ operatora L lancg-
hiv apriornyx ocinok. Pry c\omu dlq dovedennq ocinok „znyzu” vykorystovu-
gt\sq novi dlq takyx zadaç dopomiΩni intehro-dyferencial\ni operatory. Ce
dozvolylo vstanovyty zliçennu ßkalu (za hladkistg pravo] çastyny rivnqnnq)
teorem zbiΩnosti metodu Hal\orkina dlq operatoriv A, B, C, D z çlenamy men-
ßyx porqdkiv ta pokrawyty hladkist\ rozv’qzku zadaçi. Neobxidnist\ v rezul\-
*
Çastkovo pidtrymano hrantom GP/F8-038 Prezydenta Ukra]ny.
© D. A. NOMIROVS|KYJ, 2006
778 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
ZBIÛNIST| METODU HAL|ORKINA DLQ XVYL|OVOHO RIVNQNNQ … 779
tatax takoho typu vynyka[, napryklad, pry rozv’qzanni zadaç optymal\noho ke-
ruvannq systemamy iz zoseredΩenymy vplyvamy, zokrema impul\snymy [13].
1. Osnovni poznaçennq ta prostory. V cylindryçnij oblasti ( , )t Qξ ∈ =
= ( , )0 T × Ω , de Ω ⊂ R
n
— obmeΩena odnozv’qzna oblast\ z rehulqrnog me-
Ωeg ∂Ω , rozhlqnemo zahal\ne xvyl\ove rivnqnnq (1), u t( , )ξ — funkciq stanu,
wo zadovol\nq[ krajovi umovy
u t = 0 = ut t = 0 = 0, u ξ ∂∈ Ω = ∂
∂µ ξ ∂
u
B
� ∈ Ω = 0, (2)
� �
µB n= B — vektor konormali do poverxni ∂Ω , B = { }( ) ,bij i j
nξ =1 — matrycq koe-
fici[ntiv operatora B,
�
n — vektor zovnißn\o] normali do poverxni ∂Ω .
Operator A ne zaleΩyt\ vid zminno] t i zada[t\sq dyferencial\nym vyrazom
druhoho porqdku
A ( u ) ≡ –
i j
n
i
ij
j i
n
i
i
a u a u a u
,
( ) ( ) ( )
= =
∑ ∑
+ +
1 1
∂
∂ξ
ξ ∂
∂ξ
ξ ∂
∂ξ
ξ ,
B, C, D — analohiçni operatory.
Nexaj L0 — mnoΩyna neskinçenno dyferencijovnyx v Q funkcij, wo za-
dovol\nqgt\ umovy
u t = 0 = ut t = 0 = … = 0, u ξ ∂∈ Ω = ∂
∂µ ξ ∂
u
B
� ∈ Ω = 0,
W0
1, H0
1, V0
1
— popovnennq L0 za normamy
u
W0
1
2 =
i j
n
Q
tu dQ
i j
, =
∑ ∫
1
2
ξ ξ ,
u
H0
1
2 =
i
n
Q
t
i j
n
Q
u dQ u dQ
i i j
= =
∑ ∫ ∑ ∫+
1
2
1
2
ξ ξ ξ
,
, (3)
u
V0
1
2 = u u d
H
i j
n
t Ti j0
1
2
1
2+
=
=∑ ∫
, Ω
Ωξ ξ .
Analohiçno, LT — mnoΩyna neskinçenno dyferencijovnyx v Q funkcij, wo
zadovol\nqgt\ sprqΩeni umovy
v t T= =
vt t T= = … = 0,
v ξ ∂∈ Ω =
∂
∂µ ξ ∂
v�
B
∈ Ω = 0,
WT
1, HT
1 , VT
1
— popovnennq mnoΩyny LT za normamy prostoriv ⋅ W0
1 , ⋅ H0
1 i
v
VT
1
2 =
v v
H
i j
n
t
T i j
d1
2
1
2
0+
=
=∑ ∫
, Ω
Ωξ ξ
vidpovidno.
Dali nam budut\ potribni vyznaçennq prostoriv Wk
0 , WT
k , Hk
0 , … dlq do-
vil\nyx cilyx k . Poznaçymo çerez Wk
0 popovnennq mnoΩyny L0 za normog
⋅ W k
0
, de norma prostoru Wk
0 vyznaça[t\sq za indukci[g:
u
W k
( )1
0
1− = u W k
0
, u W k
0
1− = u
W k
( )−1
0
, u( )1 = ∂
∂
u
t
, u( )−1 =
0
t
u d∫ ( , )τ ξ τ
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
780 D. A. NOMIROVS|KYJ
dlq vsix k ∈Z . Norma W0
1
vyznaça[t\sq rivnistg (3).
Reßta prostoriv vyznaçagt\sq analohiçno ( dlq prostoriv WT
k , HT
k , VT
k
z
nyΩnim indeksom T zamist\ u( )−1
slid braty
v v[ ] ( , )− = )∫1 τ ξ τd
T
t
.
Lema.1. Dlq dovil\noho k ∈Z magt\ misce wil\ni neperervni vkladennq:
1) W V H Wk k k k
0 0 0 0
1⊂ ⊂ ⊂ −
;
2) W V H WT
k
T
k
T
k
T
k⊂ ⊂ ⊂ −1
.
Krim c\oho, H L Q0
0
2⊂ ( ) , H L QT
0
2⊂ ( ) .
Dovedennq. Neobxidno porivnqty normy vidpovidnyx prostoriv na mnoΩyni
L0 (abo, vidpovidno, na LT ) ta pereviryty umovu π ) [14].
Poznaçymo çerez ( )Wk
0
∗ , ( )WT
k ∗ , ( )Hk
0
∗ , … vidpovidni sprqΩeni prostory.
Zrozumilo, wo ( )Wk
0
∗ , ( )WT
k ∗ , ( )Hk
0
∗ , … — pevni klasy uzahal\nenyx funkcij.
Na parax prqmoho i sprqΩenoho prostoriv zadano pryrodni bilinijni formy, na-
pryklad 〈⋅ ⋅〉,
W k
0
oznaça[ bilinijnu formu nad ( )W Wk k
0 0
∗ × .
2. Uzahal\nena postanovka. Poznaçymo
〈 〉Au Q, v =
i j
n
ij L Q
i
n
i L Q L Qa u a u au
i j i
,
( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , )
= =
∑ ∑+ +
1 1
2 2 2ξ ξ ξv v v
dlq vsix u, v ∈W Q2
0 1, ( ) i
〈 〉Au, v Ω =
i j
n
ij L
i
n
i L La u a u au
i j i
,
( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , )
= =
∑ ∑+ +
1 1
2 2 2ξ ξ ξv v vΩ Ω Ω
dlq vsix u, v ∈W2
1( )Ω , de W Q2
0 1, ( ) — popovnennq mnoΩyny funkcij u C Q∈ ∞( ),
wo zadovol\nqgt\ umovy
u ξ ∂∈ Ω =
∂
∂µ ξ ∂
u
B
� ∈ Ω = 0, (4)
za normog u
W Q2
0 1
2
, ( )
= u
i L Qi
n
ξ
2
2
1 ( )=∑ , W2
1( )Ω — popovnennq funkcij klasu
C∞( )Ω , wo takoΩ zadovol\nqgt\ umovy (4), za normog u
W2
1
2
( )Ω
=
= u
i Li
n
ξ
2
2
1 ( )Ω=∑ . Poznaçymo çerez W2
2( )Ω popovnennq mnoΩyny hladkyx v Ω
funkcij u( )ξ wo zadovol\nqgt\ umovy (4), za normog
u
W2
2
2
( )Ω
=
i j
n
u d
i j
, =
∑ ∫
1
2
Ω
Ωξ ξ ,
W2
2− ( )Ω — vidpovidnyj nehatyvnyj prostir.
Dlq funkcij u H∈ 0
0 , v ∈WT
2 , f WT∈ ∗
( )2
rozhlqnemo rivnist\
〈 〉 + +− ∗ − ∗Au Bu B Cu Dtt Q tt L Q tt L Q, ( , ) ( , )( )
( )
( )
( )v v v1 2
2 2
=
〈 〉f
WT
, v 2 , (5)
de
B∗( )v ≡ –
i j
n
i
ij
j i
n
i
i
b
b
b
,
( )
( ( ) )
( )
= =
∑ ∑
− +
1 1
∂
∂ξ
ξ ∂
∂ξ
∂ ξ
∂ξ
ξv v
v ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
ZBIÛNIST| METODU HAL|ORKINA DLQ XVYL|OVOHO RIVNQNNQ … 781
operator D
*
vyznaça[t\sq analohiçno.
ObmeΩennq na koefici[nty operatora [ takymy:
A) a aij ji= , ai, a, b, c, d ∈ C( )Ω i b bij ji= , cij , dij , bi, ci, di ∈ C1( )Ω .
Budemo takoΩ prypuskaty, wo operatory A, B zadovol\nqgt\ umovy elip-
tyçnosti:
B1 ) ∃ >α 0 ∀ ∈u W Q2
0 1, ( ): 〈 〉 ≥ ∫∑ =Au u u dQQ Qi
n
i
, α ξ
2
1
;
B2 ) ∃ >αB 0 ∀ ∈λi R ∀ ∈ξ Ω: bij i ji j
n
B ii
nλ λ α λ
, = =∑ ∑≥
1
2
1
.
Liva çastyna rivnosti (5) vyznaça[ linijnyj neperervnyj operator
L 0 0
0 2: ( )H WT→ ∗
i linijnyj sprqΩenyj operator L 0
2
0
0∗ ∗→: ( )W HT , qkyj ta-
koΩ [ neperervnym. Zrozumilo, wo L 0 — rozßyrennq klasyçnoho operatora L
(rivnqnnq (1)). Intehrugçy çastynamy, lehko vvesty j oznaçennq operatora
L k
k
T
kH W: ( )0
2→ − ∗
ta sprqΩenoho operatora L k T
k kW H∗ − ∗→: ( )2
0 . Napryklad,
operator L1 0
1 1: ( )H WT→ ∗
zada[t\sq rivnistg
–
〈 〉 − −∗ − ∗Au Bu B Cu Dt t Q t L Q t L Q, ( , ) ( , )( )
( )
( )v v v
2 2
1 = 〈 〉f
WT
, v 1 .
Zrozumilo, wo L Lk k+ ⊂1 .
Vykorystovugçy formulu intehruvannq çastynamy
( , ) ( , )( ) [ ]
( )
( ) [ ]
( )Bu B Cu Dk k
L Q
k k
L Q
− ∗ − − ∗ −+1 2 2 2
2 2
v v =
= – ( , ) ( , )( ) [ ]
( )
( ) [ ]
( )Bu B Cu Dk k
L Q
k k
L Q
∗ − − ∗ −−v v1 1 1
2 2
,
lehko pokazaty, wo u vypadku, koly u Wk∈ 0 , znaçennq operatora naleΩyt\ pro-
storu L k T
k
T
ku H V∈ ⊂− ∗ − ∗
( ) ( )2 2 , tobto ma[mo zvuΩennq L k na Wk
0 . Vidpovidnyj
do c\oho zvuΩennq sprqΩenyj operator bude diqty u prostorax
L k T
k kV W∗ − ∗→: ( )2
0 .
3. Vlastyvosti operatoriv L k . Dovedemo dopomiΩnu lemu.
Lema.2. Operator l tt t( )v v v v= − +β , 0 1 2< <β / , wo di[ u prostorax
l W WT: 2
0
0→ , zdijsng[ homeomorfizm miΩ cymy prostoramy.
Dovedennq. Odyn iz ßlqxiv dovedennq moΩe buty takym. Zastosovugçy ne-
rivnist\ Fridrixsa, lehko pokazaty, wo l cW WT
( )v v
0
0 2≤ . Ocinymo l W( )v
0
0
znyzu. Intehrugçy çastynamy, dista[mo
l
W
( )v
0
0
2 =
i j
n
Q
tt ti j i j i j
dQ
,
( )
=
∑ ∫ − +
1
2β ξ ξ ξ ξ ξ ξv v v =
=
i j
n
Q
tt ti j i j i j
dQ I I I
, =
∑ ∫ + +( ) + + +
1
2 2 2 2
1 2 3β ξ ξ ξ ξ ξ ξv v v ,
de
I1 = –
2
1i j
n
Q
tt ti j i j
dQ
, =
∑ ∫ β ξ ξ ξ ξv v =
i j
n
t ti j
d
, =
=∑ ∫
1
2
0
Ω
Ωβ ξ ξv ,
I2 =
2
1i j
n
Q
tt i j i j
dQ
, =
∑ ∫ β ξ ξ ξ ξv v = –
2 2
1
0
1
2
i j
n
t t
i j
n
Q
ti j i j i j
d dQ
, ,=
=
=
∑ ∫ ∑ ∫−
Ω
Ωβ βξ ξ ξ ξ ξ ξv v v ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
782 D. A. NOMIROVS|KYJ
I3 = –
2
1i j
n
Q
t i j i j
dQ
, =
∑ ∫ v vξ ξ ξ ξ =
i j
n
ti j
d
, =
=∑ ∫
1
2
0
Ω
Ωvξ ξ .
Zvidsy ma[mo
l W( )v
0
0 ≥
c WT
−1
2v . Beruçy do uvahy wil\nist\ R l( ) v W0
0
i do-
vedeni nerivnosti, robymo vysnovok, wo operator l zdijsng[ homeomorfizm miΩ
WT
2
i W0
0.
LemuQ2 dovedeno.
ZauvaΩennq 1. Zastosovugçy bil\ß toçni ocinky, moΩna dovesty lemu dlq
vsix kompleksnyx β ≠ 0.
ZauvaΩennq 2. Analohiçno dovodyt\sq, wo toj samyj dyferencial\nyj
operator l zdijsng[ homeomorfizm i miΩ inßymy paramy prostoriv, napryklad
VT
2
ta V0
0 .
ZauvaΩennq 3. Analohiçno moΩna dovesty, wo operator l t( )v v v= − +β ,
β ≠ 0, zdijsng[ homeomorfizm miΩ WT
1
i W0
0
.
Qk i v roboti [15], dovodqt\sq dvi nastupni lemy.
Lema.3. Isnugt\ taki dosyt\ velyki stali M , c > 0 ta dosyt\ mala β >
> 0, wo dlq dovil\nyx funkcij u W∈ 0
0 , v ∈VT
2 , qki pov’qzani spivvidnoßennqm
u e lMt= ( )v , de operator l vyznaçeno v lemi 2, ma[ misce nerivnist\
c u
VT
〈 〉L0 2, v ≥ u
V0
0
2 .
Lema.4. Isnugt\ taki dosyt\ velyki stali M , c > 0 ta dosyt\ mala β >
> 0, wo dlq dovil\nyx funkcij u H∈ 0
1
, v ∈WT
1
, qki pov’qzani spivvidnoßennqm
u e lMt= ( )v , de operator l vyznaçeno u zauvaΩenniQ3, ma[ misce nerivnist\
c u
WT
〈 〉L1 1, v ≥ u
W0
0
2 .
Lema.5. Nexaj I u l e uk k Mt k k= − − −( ) ( ( ))( ) [ ]1 1 . Todi dlq vsix u Wk∈ 0 magt\
misce nerivnosti
c u
W k1
2
0
≥
〈 〉 −L k
k
V
u I u
T
k, 2 ≥ c u
V k2
2
0
.
Dovedennq. Oskil\ky u Wk∈ 0 , to u Wk( ) ∈ 0
0
ta l e u WMt k
T
− − ∈1 2( )( )
. Takym
çynom, I u W Vk
T
k
T
k∈ ⊂− −2 2 .
Poklademo v = − −(( ) )[ ]1 k k kI u . Todi funkci] u k( )
ta v pov’qzani spivvidno-
ßennqm u e lk Mt( ) ( )= v , wo da[ moΩlyvist\ zastosuvaty lemuQ3. Ma[mo
〈 〉 −L k
k
V
u I u
T
k, 2 = 〈 〉 − −∗ − ∗Au Bu B Cu Dk
tt Q
k
t L Q
k
t L Q
( ) ( )
( )
( )
( ), ( , ) ( , )v v v
2 2
1 =
=
〈 〉L 0 2u k
VT
( ), v ≥ c u k
V
−1 2
0
0
( ) = c u
V k
−1 2
0
.
Z inßoho boku, zvaΩagçy na neperervnist\ operatora L 0
2
0
0∗ ∗→: ( )V WT i le-
muQ2, ma[mo
〈 〉 −L k
k
V
u I u
T
k, 2 = 〈 〉L 0 2u k
VT
( ), v =
〈 〉∗u k
W
( ), L 0
0
0v ≤
u k
W W
( )
( )0
0
0
00L ∗
∗v ≤
≤ c u W Vk
T0
2v ≤ c u W Wk
T1 0
2v ≤ c u lW Wk2 0 0
0( )v =
= c u e uW
Mt k
W
k2 0 0
0
− ( ) ≤ c u
W k3
2
0
.
LemuQ5 dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
ZBIÛNIST| METODU HAL|ORKINA DLQ XVYL|OVOHO RIVNQNNQ … 783
Naslidok.1. Dlq vsix u Wk∈ 0 ma[ misce nerivnist\
L k V
u
T
k( )2− ∗ ≥ c u V k2 0
,
zvidky, zokrema, vyplyva[ in’[ktyvnist\ operatora L k .
Dovedennq. Dostatn\o lyße skorystatysq oznaçennqm I uk
ta vstanovyty
ocinku I uk
VT
k2− ≤ c u V k
0
.
Lema.6. Nexaj I u l e uk k Mt k k= − − − − − −( ) ( ( ))( ) [ ]1 1 1 1 1 . Todi dlq vsix u Hk∈ 0 ma[
misce nerivnist\
c u I uk
k
WT
k〈 〉 −L , 2 ≥ u
W k
0
1
2
− .
Dovedennq. Oskil\ky u Hk∈ 0 , to u H Wk( )− ∈ ⊂1
0
1
0
0
ta l e u WMt k
T
− − − ∈1 1 1( )( ) .
Takym çynom, I u Wk
T
k∈ −2 .
Poklademo v = − − −(( ) )[ ]1 1 1k k kI u . Todi funkci] u k( )−1
ta v pov’qzani spivvid-
noßennqm u e lk Mt( ) ( )− =1 v , wo da[ moΩlyvist\ zastosuvaty lemuQ4. Ma[mo
〈 〉 −L k
k
W
u I u
T
k, 2 =
= –
〈 〉 − −− − ∗ − − ∗Au Bu B C u Dt
k
t Q
k
t L Q
k
t L Q
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ), ( , ) ( ( ) , )1 1 1 1
2 2
v v v =
=
〈 〉−L1
1
1u k
WT
( ), v ≥ c u k
W
− −1 1 2
0
0
( ) ≥ c u
W k
−
−
1 2
0
1 .
4. NablyΩenyj metod Hal\orkina. Nexaj f VT
k∈ − ∗
( )2
. Budemo ßukaty
nablyΩenyj rozv’qzok rivnqnnq L k u f= u vyhlqdi
u ts( , )ξ =
i
s
i ig t
=
∑
1
( ) ( )ω ξ ,
de g ti( ) — rozv’qzok zadaçi Koßi dlq systemy s linijnyx zvyçajnyx dyferen-
cial\nyx rivnqn\ zi stalymy koefici[ntamy druhoho porqdku
i
s
i
k
i j i
k
i j L i
k
i j Lg A g B B g C D
=
− ∗ − ∗∑ 〈 〉 + +( )
1
1 2
2 2
( ) , ( ) ( , ) ( ) ( , )( ) ( )
( )
( )
( )ω ω ω ω ω ωΩ Ω Ω =
= 〈 〉−f k
j W
( )
( )
,2
2
2ω Ω , (6)
gm
l( )( )0 0= , m s= 1, , l ≤ k – 1, j s= 1, ,
de { }( )ω ξi — poslidovnist\ linijno nezaleΩnyx funkcij klasu W2
2( )Ω takyx,
wo ma[ misce rivnist\
WT
k = z. l. o. Mi
i=
∞
1
∪ ,
de
Mi = ϕ ω ξ ϕ ϕ( ) ( ) ( ) ([ , ]), ( )[ ]t t C T Ti
l∈ ={ }∞ 0 0 , i ∈N .
NevaΩko zrozumity, wo u Ws
k∈ 0 .
Lema.7. Nexaj f VT
k∈ − ∗( )1
. Todi ma[ misce nerivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
784 D. A. NOMIROVS|KYJ
us W k
0
≤ c f WT
k( )1− ∗ .
Dovedennq. Oskil\ky f VT
k∈ − + ∗
( )( )2 1
, to u W Hs
k k∈ ⊂+ +
0
1
0
1
. Zastosovugçy
lemuQ6, dista[mo
c u I uk s
k
s WT
k〈 〉+
+
−L 1
1
1, ≥ us W k
0
2 . (7)
Z inßoho boku, ma[mo
〈 〉+
+
−L k
k
W
u I u
T
k1
1
1, = ( )− +1 1k ×
× 〈 〉 + +( )+ + − ∗ + − − ∗ + −Au I u Bu B I u Cu D I uk k k
Q
k k k
L Q
k k k
L Q
( ) [ ] ( ) [ ]
( )
( ) [ ]
( ),( ) ( , ( ) ) ( , ( ) )1 1 1 1 1 1 1 1
2 2
.
ZvaΩagçy na oznaçennq operatora I uk+1 , dista[mo
〈 〉+
+
−L k
k
W
u I u
T
k1
1
1, = 〈 〉( + − −Au l e uk Mt k
Q
( ) ( ) [ ],( ( ))1 1 1 +
+ ( , ( ( )) ) ( , ( ( )) )( ) ( ) [ ]
( )
( ) ( ) [ ]
( )Bu B l e u Cu D l e uk Mt k
L Q
k Mt k
L Q
∗ − − − ∗ − −+ )1 1 1 1 1
2 2
.
Zdyferencig[mo rivnist\ (6) po t, pomnoΩymo na ( ( ))( ) [ ]l e gMt
j
k− −1 1
, pidsumu-
[mo po j vid 1 do s ta zintehru[mo po t vid 0 do T. U pidsumku distanemo
〈 〉+
+
−L k s
k
s W
u I u
T
k1
1
1, = f l e uk Mt
s
k
WT
( ) ( ) [ ], ( ( ))− − −1 1 1
0 =
= ( ) , ( ( ))( ) [ ]− − − −
−1 1 1
1
k Mt
s
k k
W
f l e u
T
k ≤
≤ f l e uW
Mt
s
k k
WT
k
T
k( )
( ) [ ]( ( ))1 1
1
− ∗
−
− − = f l e uW
Mt
s
k
WT
k
T
( )
( )( )1 1
1
− ∗ − − ≤
≤ c f e uW
Mt
s
k
WT
k( )
( )
1
0
0− ∗ − ≤ c f uW s WT
k k1 1
0( )− ∗ ,
wo razom z (7) i dovodyt\ lemu.
ZauvaΩennq 4. Z ohlqdu na oznaçennq normy u W k
0
ta nerivnist\ lemy leh-
ko dovesty, wo isnu[ slabko zbiΩna v Wk
0 pidposlidovnist\ u us
w
m
→ ∗
. Krim to-
ho, cg pidposlidovnist\ moΩna vybraty takym çynom, wo poslidovnosti
{ }( )( )us
l
m
, { }( )( )us
l
m iξ , { }( )( )us
l
m i jξ ξ , l ≤ k, zbihagt\sq slabko v L Q2( ) do vidpovidno]
uzahal\neno] poxidno] funkci] u Wk∗ ∈ 0 . A vnaslidok vlastyvostej operatora l
poslidovnist\ I u l e uk
s
k Mt
s
k k
m m
= − − −( ) ( ( ))( ) [ ]1 1
bude zbihatysq do I uk ∗
slabko
vQQWT
k2− .
Teorema.1. Nexaj f VT
k∈ − ∗( )1 . Todi poslidovnist\ nablyΩen\ { }us zbiha-
[t\sq do rozv’qzku u W k∗ ∈ 0 rivnqnnq
Lk u f= u normi prostoru V k
0 .
Dovedennq. PomnoΩymo spivvidnoßennq (6) na ( ( ))( ) [ ]
l e gMt
j
k− −1 2
, pidsumu[-
mo po j vid 1 do sm ta zintehru[mo po t vid 0 do T. Todi distanemo
〈 〉 −Lk s
k
s W
u I u
m m T
k, 2 = f l e uk Mt
s
k
Wm T
( ) ( ) [ ]
, ( ( ))− − −2 1 2
0 =
= f l e uk Mt
s
k k
Wm T
k, ( ) ( ( ))( ) [ ]
− − −
−1 1
2 = 〈 〉 −f I uk
s Wm T
k, 2 .
Vlastyvosti pidposlidovnosti { }usm
opysano u zauvaΩenni 4, tomu ma[mo slab-
ku zbiΩnist\ I uk
sm
w
→ I uk ∗
v WT
k2− . Zvidsy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
ZBIÛNIST| METODU HAL|ORKINA DLQ XVYL|OVOHO RIVNQNNQ … 785
lim ,
m
k s
k
s W
u I u
m m T
k
→∞
〈 〉 −L 2 = lim ,
m
k
s W
f I u
m T
k
→∞
〈 〉 −2 = 〈 〉∗
−f I uk
WT
k, 2 .
Z lemy 5 ma[mo
c u us Vm k1
2
0
− ∗ ≤
〈 〉 − 〈 〉− −
∗L Lk s
k
s W k
k
s W
u I u u I u
m m T
k m T
k, ,2 2 +
+
〈 − 〉∗ ∗
−L Lk k s
k
W
u u I u
m T
k, 2 .
ZvaΩagçy na zauvaΩennq 4, otrymu[mo, wo prava çastyna prqmu[ do
〈 〉∗
−f I uk
WT
k, 2 –
〈 〉∗ ∗
−L k
k
W
u I u
T
k, 2 . Dovedemo, wo L k u f∗ = . Spravdi, qkwo po-
mnoΩyty (6) na ϕ j
k[ ]2−
, de ϕ j t C T( ) ([ , ])∈ ∞ 0 , ϕ j
l T[ ]( ) = 0, pidsumuvaty po j vid
1 do p ta zintehruvaty po t vid 0 do T, to distanemo
〈 〉 −L k s p W
u
m T
k, v 2 =
=
〈 〉 −f p WT
k, v 2 , de vp = ( )− =∑1
1
k
j jj
p ϕ ω , p = 1, sm . Perexodqçy do hranyci pry
m → ∞ , ma[mo
〈 〉∗
−L k p W
u
T
k, v 2 =
〈 〉 −f p WT
k, v 2 . Zvidsy, vraxovugçy umovy, na-
kladeni na funkci] ω j , ma[mo L k u f∗ = . Takym çynom, u usm
→ ∗
v prosto-
riQQVk
0 .
Oskil\ky rozv’qzok rivnqnnq L k u f→ [dynyj, to moΩna ne vybyraty pid-
poslidovnist\ { }usm
.
Lema.8. Nexaj f VT
k∈ − ∗( )2 . Ma[ misce nerivnist\ u c fs V Vk
T
k
0
2≤ − ∗( ) .
Dovedennq. PomnoΩymo spivvidnoßennq (6) na ( ( ))( ) [ ]
l e gMt
j
k− −1 2
, pidsumu[-
mo po j vid 1 do s ta zintehru[mo po t vid 0 do T. Distanemo
〈 〉 −Lk s
k
s W
u I u
T
k, 2 = 〈 〉 −f I uk
s WT
k, 2 = 〈 〉 −f I uk
s VT
k, 2 .
Zastosovugçy lemu 5, ma[mo
us V k
0
2 ≤ c u I uk s
k
s VT
k〈 〉 −L , 2 .
Z inßoho boku,
〈 〉 −f I uk
s VT
k, 2 ≤ f I uV
k
s VT
k
T
k( )2 2− ∗ − = f l e uV
Mt
s
k
VT
k
T
( )
( )( )2 2
1
− ∗
− − ≤
≤ c f e uV
Mt
s
k
VT
k1 2
0
0( )
( )
− ∗
− ≤ c f uV s VT
k k2 2
0( )− ∗ .
Teorema.2. Dlq dovil\no] f VT
k∈ − ∗( )2
poslidovnist\ nablyΩen\ { }us
zbiha[t\sq do rozv’qzku u V k∗ ∈ 0 rivnqnnq
Lk u f= u normi prostoru V k
0 .
Dovedennq. Nexaj f Vm
T
k∈ − ∗( )1
— poslidovnist\ funkcij, wo zbiha[t\sq do
f u prostori ( )VT
k2− ∗, us
m
— poslidovnist\ nablyΩen\ do rozv’qzku rivnqnnq
Lk
mu f= , us — poslidovnist\ nablyΩen\ do rozv’qzku rivnqnnq
Lk u f= .
Zastosovugçy lemu 8, ma[mo
u us s V k1 2 0
− ≤ u u u u u us s
m
V s
m
s
m
V s
m
s Vk k k1 1 0 1 2 0 2 2 0
− + − + − ≤
≤ 2 2 1 2 0
c f f u um
V s
m
s
m
VT
k k− + −− ∗( )
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
786 D. A. NOMIROVS|KYJ
V¥beremo take m ∈ N , wob 4 2c f f m
VT
k− − ∗( )
≤ ε. Vykorystavßy teoremu 1,
znajdemo takyj nomer s ∈ N , wo dlq vsix s1, s2 ≥ s vykonu[t\sq nerivnist\
2
1 2 0
u us
m
s
m
V k− ≤ ε, tobto us — fundamental\na poslidovnist\ u prostori V k
0 .
OtΩe, u us → ∗
v V k
0 . Nexaj um
— rozv’qzky rivnqnnq
Lk
mu f= . Todi
u um
V k− ∗
0
≤ u u u u u um
s
m
V s
m
s V s Vk k k− + − + − ∗
0 0 0
≤
≤ u u c f f u um
s
m
V
m
V s Vk
T
k k− + − + −− ∗
∗
0
2
0( )
→ 0
pry s → ∞ , m → ∞ . Ale, vykorystovugçy neperervnist\ operatora
Lk
k
T
kH W: ( )0
2→ − ∗, ma[mo
Lk W
u f
T
k
∗ − − ∗( )2 ≤
L L Lk k
m
W k
m
W
u u u f
T
k
T
k
∗ − + −− ∗ − ∗( ) ( )2 2 ≤
≤ c u u c u fm
H k
m
Vk
T
k
∗ − + − − ∗
0
2L
( )
≤
≤ c u u c f fm
V
m
Vk
T
k1
0
2
∗ − + − − ∗( )
→ 0
pry m → ∞ . OtΩe, u∗
— rozv’qzok rivnqnnq
Lk u f= .
1. Habov S. A., Mal¥ßeva H. G. O zadaçe Koßy dlq odnoho klassa dvyΩenyj vqzkoj
stratyfycyrovannoj Ωydkosty // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1984. – 24,
# 3. – S. 467 – 471.
2. Habov S. A., Mal¥ßeva H. G., Sveßnykov A. H. O nekotorom uravnenyy dynamyky vqzkoj
stratyfycyrovannoj Ωydkosty // Dyfferenc. uravnenyq. – 1984. – 20, # 7. – S.Q1156 –
1165.
3. Sveßnykov A. H., Symakov S. T. Fundamental\noe reßenye y formula Hryna dlq sem\y
uravnenyj, voznykagwyx v teoryy stratyfycyrovannoj vqzkoj Ωydkosty // Ûurn. v¥çys-
lyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1990. – 30, # 10. – S. 1502 – 1512.
4. Greenspan H. P. The theory of rotating fluids. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1968. –
327 p.
5. Trustrum K. Rotating and stratified fluid flow // J. Fluid Mech. – 1964. – # 19. – P. 415 – 432.
6. Fraenkel L. E. On the flow of rotating fluid past bodies in a pipe // Proc. Roy. Soc. A. – 1955. –
233, # 1195. – P. 506 – 526.
7. Nigam S. D., Nigam P. D. Wave propagation in rotating fluids // Ibid. – 1962. – 266, # 1325. –
P. 247 – 256.
8. Lqßko S. Y., Red\ko S. E. Optymal\noe ympul\sno-toçeçnoe upravlenye dynamykoj vqzkoj
stratyfycyrovannoj Ωydkosty // Dyfferenc. uravnenyq. – 1987. – 23 , # 11. –
S.Q1890 – 1897.
9. Lqßko S. Y., Red\ko S. E. PryblyΩennoe reßenye zadaçy dynamyky vqzkoj stratyfycyro-
vannoj Ωydkosty // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1987. – 27, # 5. –
S.Q720 – 729.
10. Tykylqjnen A. A. O hyroskopyçeskyx volnax v sredax s teçenyem y vrawenyem, peremenn¥-
my vo vremeny // Tam Ωe. – 1990. – 30, # 2. – S.Q270 – 277.
11. Tykylqjnen A. A. Ob odnom metode reßenyq zadaçy Koßy dlq nekotoroho klassa uravne-
nyj matematyçeskoj fyzyky // Tam Ωe. – 1989. – 29, # 8. – S.Q1144 – 1152.
12. Lqßko S. Y., Nomyrovskyj D. A. Obobwennoe reßenye y optymal\noe upravlenye v syste-
max, opys¥vagwyx dynamyku vqzkoj stratyfycyrovannoj Ωydkosty // Dyfferenc. uravne-
nyq. – 2003. – 39, # 1. – S.Q84 – 91.
13. Lqßko S. Y. Obobwennoe upravlenye lynejn¥my systemamy. – Kyev: Nauk. dumka, 1998. –
472Qs.
14. Krejn S. H., Petunyn G. Y., Semenov E. M. Ynterpolqcyq lynejn¥x operatorov. – M.:
Nauka, 1978. – 400Qs.
15. Nomyrovskyj D. A. Razreßymost\ y traektorno-fynal\naq upravlqemost\ psevdohyperbo-
lyçeskyx system // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 12. – S. 1707 – 1716.
OderΩano 03.09.2004,
pislq doopracgvannq — 17.11.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3495 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:36Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/59/93a679b35dd04f59ecdab5ddb2c2c259.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34952020-03-18T19:56:00Z Convergence of the Galerkin method for a wave equation with singular right-hand side Збіжність методу Гальоркіна для хвильового рівняння з сингулярними правими частинами Nomirovs'kii, D. A. Номіровський, Д. А. We consider analogs of the Galerkin method for a linear wave equation of the fifth order with generalized functions on the right-hand side. Theorems on the convergence of an approximate method, depending on the order of singularity of the right-hand side, are proved. Розглядаються аналоги методу Гальоркїна для лінійного хвильового рівняння п'ятого порядку з узагальненими функціями у правій частині. Доведено теореми збіжності наближеного методу в залежності від порядку сингулярності правої частини. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3495 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 6 (2006); 778–786 Український математичний журнал; Том 58 № 6 (2006); 778–786 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3495/3727 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3495/3728 Copyright (c) 2006 Nomirovs'kii D. A. |
| spellingShingle | Nomirovs'kii, D. A. Номіровський, Д. А. Convergence of the Galerkin method for a wave equation with singular right-hand side |
| title | Convergence of the Galerkin method for a wave equation with singular right-hand side |
| title_alt | Збіжність методу Гальоркіна для хвильового рівняння з сингулярними правими частинами |
| title_full | Convergence of the Galerkin method for a wave equation with singular right-hand side |
| title_fullStr | Convergence of the Galerkin method for a wave equation with singular right-hand side |
| title_full_unstemmed | Convergence of the Galerkin method for a wave equation with singular right-hand side |
| title_short | Convergence of the Galerkin method for a wave equation with singular right-hand side |
| title_sort | convergence of the galerkin method for a wave equation with singular right-hand side |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3495 |
| work_keys_str_mv | AT nomirovs039kiida convergenceofthegalerkinmethodforawaveequationwithsingularrighthandside AT nomírovsʹkijda convergenceofthegalerkinmethodforawaveequationwithsingularrighthandside AT nomirovs039kiida zbížnístʹmetodugalʹorkínadlâhvilʹovogorívnânnâzsingulârnimipravimičastinami AT nomírovsʹkijda zbížnístʹmetodugalʹorkínadlâhvilʹovogorívnânnâzsingulârnimipravimičastinami |