Mel’nikov-Samoilenko adiabatic stability problem

We develop a symplectic method for the investigation of invariant submanifolds of nonautonomous Hamiltonian systems and ergodic measures on them. The so-called Mel’nikov-Samoilenko problem for the case of adiabatically perturbed completely integrable oscillator-type Hamiltonian systems is studied on...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2006
Main Authors:	Prykarpatsky, Ya. A., Прикарпатський, Я. А.
Format:	Article
Language:	Ukrainian English
Published:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006
Online Access:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3496
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Download file:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509596376891392
author	Prykarpatsky, Ya. A. Прикарпатський, Я. А.
author_facet	Prykarpatsky, Ya. A. Прикарпатський, Я. А.
author_sort	Prykarpatsky, Ya. A.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:56:00Z
description	We develop a symplectic method for the investigation of invariant submanifolds of nonautonomous Hamiltonian systems and ergodic measures on them. The so-called Mel’nikov-Samoilenko problem for the case of adiabatically perturbed completely integrable oscillator-type Hamiltonian systems is studied on the basis of a new construction of “ virtual” canonical transformations.
first_indexed	2026-03-24T02:43:37Z
format	Article
fulltext	УДК 517.9 Я. А. Прикарпатський (Iн-т математики НАН України, Київ та AGH Univ. Sci. and Technol., Krakow, Poland) АДIАБАТИЧНА ПРОБЛЕМА СТIЙКОСТI МЕЛЬНИКОВА – САМОЙЛЕНКА∗ The symplectic method of the investigation of invariant submanifolds of nonautonomous Hamiltonian systems and ergodic measures on them is developed. The so-called Mel’nikov – Samoilenko problem for the case of adiabatically perturbed completely integrable oscillator-type Hamiltonian systems is studied on the basis of a new construction of “virtual” canonical transformations. Розвивається симплектичний метод дослiдження iнварiантних пiдмноговидiв неавтономних гамiль- тонових систем та ергодичних мiр на них. На основi нової конструкцiї „вiртуальних” канонiчних перетворень вивчено так звану проблему Мельникова – Самойленка для випадку адiабатично збу- рених цiлком iнтегровних гамiльтонових систем осциляторного типу. 1. Вступ. Як вiдомо [1, 2], багато явищ у природi та технiцi описуються гамiльто- новими системами на симплектичних многовидах. Серед таких систем особливий iнтерес викликають системи, якi є адiабатичними збуреннями осциляторного типу цiлком iнтегровних гамiльтонових систем. Такi системи мають iнтегральнi iнварi- антнi многовиди, дифеоморфнi [1, 3, 4] у випадку компактностi скiнченновимiрним торам. Проблема стiйкостi цих iнварiантних торiв при адiабатичному збуреннi, поставлена i частково розв’язана у працях В. К. Мельникова [5, 6] та А. М. Самой- ленка [7 – 12], є досить актуальною i була предметом дослiджень у працях [5 – 8, 12 – 14], в яких розвивались аналiтичнi методи її розв’язку, що ґрунтувались як на геометричнiй теорiї Пуанкаре для збурень гiперболiчних сепаратрисних многови- дiв, так i на теорiї функцiй Грiна та методi прискореної збiжностi. Оскiльки при розв’язаннi цiєї проблеми залишалось ще багато вiдкритих питань, в останнi роки ця проблема набула нового значення й активно аналiзувалась у працях [9, 10, 15 – 20] як на основi одного узагальнення класичного методу Ляпунова – Шмiдта [11, 15, 16], так i симплектичної версiї методу Пуанкаре [10, 11, 20]. При розв’язаннi проблеми Мельникова – Самойленка у випадку слабких збурень у працi [15] було застосовано, зокрема, об’єднану схему методу прискореної збiжностi КАМ-теорiї [1, 3] та пiдходу Ляпунова – Шмiдта. Це дало можливiсть точнiше описати струк- туру збуреного iнварiантного тора, оскiльки класична схема методу прискореної збiжностi в КАМ-теорiї не охоплює багато iнших важливих аспектiв процесу де- формацiї iнварiантного тора. При цьому, як було зазначено у працях [21 – 24], застосування методу прискореної збiжностi для встановлення структури збуреного iнварiантного тора не є необхiдним. З iншого боку, проблема стiйкостi iнварiантного тора адiабатично збуреної цiл- ком iнтегровної системи тiсно пов’язана з описом ергодичних мiр на вiдповiдних iнварiантних пiдмноговидах, оскiльки потiк на них є ергодичним [25, 26]. Для вивчення таких мiр у працi [27] розвивається якiсно-аналiтичний пiдхiд, який дає, зокрема, дуальний опис ергодичних мiр на осциляторно збурених iнварiантних торах. ∗ Присвячено пам’ятi колеги i наставника, талановитого московського математика Вiктора Козьмича Мельникова, без якого теорiя динамiчних систем не була б такою привабливою. c© Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, 2006 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 787 788 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ Iншим аспектом проблеми стiйкостi Мельникова – Самойленка є використання канонiчних змiнних дiя-кут для вкладення незбуреного многовиду в фазовий про- стiр, якi не є a priori заданими майже в усiх важливих для застосувань випадках iнтегровних гамiльтонових систем i знаходження яких у загальному випадку на сьогоднi [3, 17, 28] є нерозв’язаною проблемою. У зв’язку з цим актуальним є подальший розвиток симплектичного пiдходу [9, 10, 20, 27, 29] до розв’язку адiа- батичної проблеми стiйкостi Мельникова – Самойленка, на основi якого можна ви- вчати структуру осциляторно збуреного iнварiантного многовиду та його стiйкiсть в залежностi вiд заданих параметрiв. У данiй роботi пропонується новий пiдхiд до розв’язку цiєї проблеми на основi спецiальної конструкцiї так званих „вiрту- альних” канонiчних перетворень фазового простору в змiнних Гамiльтона – Якобi. За допомогою цих перетворень уперше зведено початкову адiабатично збурену га- мiльтонову систему осциляторного типу до системи Гамiльтона в канонiчнiй формi Боголюбова [1, 12], до якої вже можна застосувати стандартну схему КАМ-теорiї на основi методу прискореної збiжностi. Зокрема, встановлено стiйкiсть iнварiант- ного тора цiєї системи, яка розв’язує проблему Мельникова – Самойленка. 2. Вкладення iнварiантних многовидiв та симплектична теорiя збурень. Розглянемо неавтономну гамiльтонову систему на розширеному кодотичному про- сторi T ∗(M × Rr)× S1 до Z+ 3 (n+ r)-вимiрного многовиду M × Rr, r ∈ Z+, iз канонiчною симплектичною структурою ω(2) := d pr∗M×Rrα(1) ∈ Λ2(T ∗(M × Rr)) dq ds = {H, q}, dp ds = {H, p}, dτ ds = ε, (2.1) dx ds = {H,x}, dy ds = {H, y}, де ε > 0 — малий параметр, α(1) := 〈p, dq〉+ 〈y, dx〉 ∈ T ∗(q,x)(M ×Rr) — канонiчна форма Лiувiлля [1, 3, 4, 11] на M × Rr у точцi (q, x) ∈ M × Rr, prM××Rr : T ∗(M ×Rr) →M ×Rr — канонiчна проекцiя, {·, ·} — вiдповiдна дужка Пуассона на T ∗(M×Rr) iH ∈ D(T ∗(M×Rr)×S1) – адiабатично збурена функцiя Гамiльтона осциляторного типу вигляду H := H̄(q, p) + 1 2 r∑ j=1 [ y2 j + ν2 j (τ0 + εs; H̄)x2 j ] . (2.2) Тут H̄ ∈ D(T ∗(M)) є редукованою функцiєю Гамiльтона на T ∗(M), а частоти νj ∈ D(S1 × R), j = 1, r, залежать адiабатично вiд повiльно змiнного параметра τ := εs + τ0 ∈ R1/2πZ ' S1 i вiд функцiї Гамiльтона H̄ ∈ D(T ∗(M)). Будемо вважати, що редукована гамiльтонова система на T ∗(M) є цiлком iнтегровною [1, 3, 28] за Лiувiллем – Арнольдом, має вiдповiднi n-вимiрнi компактнi iнтегральнi многовиди Mh̄ ⊂ T ∗(M), дифеоморфнi торам Tn. Поклавши ε = 0, гамiльтонову систему (2.1) можемо звести до автономної системи на T ∗(M × Rr), котра буде, очевидно, також цiлком iнтегровною. Для цього визначимо Mh̄ := {(q, p) ∈ T ∗(M) : H̄ = H̄1 = h̄1 ∈ R, H̄j = h̄j ∈ R, j = 2, n}, де H̄j ∈ D(T ∗(M)), j = 1, n, є вiдповiдним повним iнволютивним набором iнварi- антiв на кодотичному многовидi T ∗(M). Тодi, очевидно, Mh̄ × Tr ξ̄ ⊂ T ∗(M × Rr) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 АДIАБАТИЧНА ПРОБЛЕМА СТIЙКОСТI МЕЛЬНИКОВА – САМОЙЛЕНКА 789 буде iнтегральним многовидом гамiльтонової системи (2.1) при ε = 0 iз функцiєю Гамiльтона Hτ0 := H̄(q, p) + 1 2 r∑ j=1 [ y2 j + ν2 j (τ0; H̄)x2 j ] , де Tr ξ̄ ⊂ T ∗(Rr) є тороїдальним iнтегральним многовидом вiдповiдної осцилятор- ної гамiльтонової системи. Тобто пiдмноговид Mn+r h̄,ξ̄ 'Mh̄ × Tr ξ̄ , де Mn+r h̄,ξ̄ := { (q, p;x, y) ∈ T ∗(M × Rr) : Hτ0 := h̄1,τ0 ∈ R, H̄j = h̄j ∈ R, j = 2, n, ξj,τ0 = 1 2 (y2 j + ν2 j (τ0; H̄)x2 j ) := ξ̄j ∈ R+, j = 1, r } , i функцiї ξj,τ ∈ D(T ∗(Rr)), j = 1, r, є функцiонально незалежними iнварiантами на T ∗(M×Rr). Окiльки iнтегральнi многовиди Mn+r h̄,ξ̄ ⊂ T ∗(M×Rr) є лагранжевими [3, 4] для кожного значення τ0 ∈ S1, позначимо τ0 := τ ∈ S1 i за допомогою вiдповiдної породжуючої функцiї канонiчних перетворень на розшаруваннi T ∗(M× ×Rr) = ⋃ (h̄,ξ̄τ )∈Rn+r Mn+r h̄,ξ̄ введемо новi канонiчнi змiннi (wτ , µτ ) на T ∗(M × Rr) такi, що 〈p, dq〉+ 〈y, dx〉 = 〈wτ , dµτ 〉+ dS̄τ (q, x;µτ ) (2.3) для певного вiдкритого околу, де U(Mn+r h̄,ξ̄τ ) ⊂ T ∗(M × Rr), p = ∂S̄τ ∂q , y = ∂S̄τ ∂x , wτ = −∂S̄τ ∂µτ . Змiннi µτ ∈ ( n ⊗ j=1 S1 j ) × ( r ⊗ j=1 S1 j ) ' Tn h̄ × Tr ξ̄ називаються [1, 3, 4, 11] змiнни- ми Гамiльтона – Якобi i визначаються спецiальними рiвняннями вкладення типу Пiкара – Фукса на розшаруваннi T ∗(M × Rr) ' ⋃ (h̄,ξ̄τ )∈Rn+r Mn+r h̄,ξ̄ , дослiджени- ми в [11, 17, 30]. Зауважимо, що згiдно з (2.3) симплектична структура ω(2) = = 〈dp,∧dq〉 + 〈dy,∧dx〉 = 〈dwτ ,∧dµτ 〉, причому з умови вiдокремлення змiнних Гамiльтона – Якобi отримуємо, що функцiя Sτ (µτ ; h̄, ξ̄) = n+r∑ j=1 µj,τ∫ µ (0) j,τ wj,τ (λ; h̄, ξ̄)dλ (2.4) є породжуючою для канонiчного вiдображення в околi U ( Mn+r h̄,ξ̄ ) 〈wτ , dµτ 〉+ 〈sτ , (dh̄, dξ̄)〉 = dSτ (µτ ; h̄, ξ̄), де вектор еволюцiйних параметрiв sτ ∈ Rn+r визначається з (2.4): sj,τ := n+r∑ k=1 µk,τ∫ µ (0) k,τ dλ ∂wk,τ (λ; h̄, ξ̄) ∂h̄j ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 790 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ для j = 1, n i sj,τ := n+r∑ k=1 µk,τ∫ µ (0) k,τ dλ ∂wk,τ (λ; h̄, ξ̄) ∂ξ̄j для j = n+ 1, n+ r. Використовуючи той факт, що Mn+r h̄,ξ̄ ' Tn h̄ × Tr ξ̄ , можна визначити [10, 11, 20] додатково так званий вектор змiнних дiї γτ ∈ Rn+r, де γj,τ := 1 2π ∮ σj(h̄,ξ̄) dS̄τ = 1 2π n+r∑ s=1 mj,s(τ) ∮ σs,τ ws,τ (λ; h̄, ξ̄)dλ, (2.5) причому цикли σj(h̄, ξ̄) := n+r∑ j=1 mi,j(τ)σj,τ для певних цiлих чисел mj,s(τ) ∈ Z, j, s = 1, n+ r, утворюють базу одновимiрної групи гомологiй H1(Mn+r h̄,ξ̄ ; Z). Оскiльки величини (2.5) є, очевидно, теж iнварi- антами розглядуваної редукованої динамiчної системи при ε = 0, а вiдображення Rn+r 3 (h̄, ξ̄) → γτ ∈ Rn+r — гладким i майже скрiзь невиродженим, то породжу- юча функцiя (2.4) дає можливiсть перейти за допомогою канонiчного перетворення 〈wτ , dµτ 〉+ 〈ϕτ , dγτ 〉 = dS̄τ (µτ ; h̄(γτ ), ξ̄(γτ )) := dS̃τ (µτ ; γτ ) до нових змiнних дiя-кут (ϕτ , γτ ) ∈ U(Tn h̄ × Tr ξ̄ ) в околi (n + r)-вимiрного тора Tn+r τ := Tn h̄ × Tr ξ̄ , причому величини ϕj,τ := ∂S̄τ (µτ ; h̄(γτ ), ξ̄(γτ )) ∂γj,τ = = n∑ k=1 ∂S̄τ (µτ ; h̄, ξ̄) ∂h̄k ∂h̄k(γτ ) ∂γj,τ + r∑ k=1 ∂S̄τ (µτ ; h̄, ξ̄) ∂ξ̄k ∂ξ̄k(γτ ) ∂γj,τ := := r+n∑ k=1 sk,τΩk,j(τ ; γτ ) для j = 1, n+ k є кутовими змiнними на торi Tn+r τ = Tn h̄ × Tr ξ̄ i задовольняють умови 1 2π ∮ σj(h̄,ξ̄) dϕk,τ = δj,k для всiх j, k = 1, n+ r. Величина Ω(τ ; γτ ) := { Ωkj(τ ; γτ ) := ( ∂h̄k(γτ ) ∂γj,τ ∣∣∣∣ k=1,n , ∂ξ̄k−n(γτ ) ∂γj,τ ∣∣∣∣ k=n+1,n+r ) , k, j = 1, n+ r, γτ ∈ Rn+r } ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 АДIАБАТИЧНА ПРОБЛЕМА СТIЙКОСТI МЕЛЬНИКОВА – САМОЙЛЕНКА 791 є так званою матрицею квазiчастот i майже скрiзь оборотною на iнтегральному многовидi Mn+r τ ' Mn+r h̄,ξ̄ ⊂ T ∗(M × Rr). У термiнах змiнних дiї γτ ∈ Rn+r вiдповiднi рiвняння Пiкара – Фукса задаються виразами ∂γj,τ ∂h̄k = ψk,j(γτ ; h̄, ξ̄) при j = 1, n+ r, k = 1, n i ∂γj,τ ∂ξ̄n−k = ψk,j(γτ ; h̄, ξ̄) (2.6) при j = 1, n+ r, k = n+ 1, n+ r, де згiдно з (2.5) ψkj(γτ ; h̄, ξ̄) = n+r∑ p=1 mj,p(τ) 1 2π ∮ σp,τ ∂wp,τ (λ; h̄, ξ̄)dλ ∂h̄k для j = 1, n+ r, k = 1, r i ψkj(γτ ; h̄, ξ̄) = n+r∑ p=1 mj,p(τ) 1 2π ∮ σp,τ ∂wp,τ (λ; h̄, ξ̄)dλ ∂ξ̄k−n для j = 1, n+ r, k = n+ 1, n+ r. При ε 6= 0 лагранжевий iнварiантний многовид Λn+r+1 ε ⊂ T ∗(M × Rr) × S1 визначається умовою∮ σε (〈p, dq〉+ 〈y, dx〉 −H(εs+ τ0)ds) = 0 (2.7) для кожного кусково-гладкого гомотопного точцi циклу σε ⊂ Λn+r+1 ε . Для кожного значення параметра τ0 ∈ S1 визначено проекцiю Λn+r ε,τ0 := Λn+r+1 ε \|T∗(M×Rr) ⊂ ⊂ T ∗(M × Rr), яку можна побудувати у виглядi графiка p = ∂S(ε)(q, x; s) ∂q , y = ∂S(ε)(q, x; s) ∂x , де S(ε) : U(Λn+r ε,τ0 × R1) → R — вiдповiдна функцiя дiї, яка задовольняє, згiдно iз спiввiдношенням (2.7), рiвняння Гамiльтона – Якобi ∂S(ε) ∂s +H ( εs+ τ0\|q, ∂S(ε) ∂q ;x, ∂S(ε) ∂y ) = 0 для всiх (εs+ τ0; q, x) ∈ Λn+r+1 ε . Щоб вивчити властивостi функцiї дiї S(ε) : U(Λn+r ε,τ0 × R1) → R при ε → 0, скористаємося результатами робiт [11, 27]. А саме, нехай функцiонал A(τ) ε,τ0 (σε) := ε τ − τ0 ∫ σε (pr∗M×Rrα(1)(s)−H(εs+ τ0)ds) (2.8) визначено на диференцiйовних кривих σε : [0, (τ − τ0)/ε] → T ∗(M × Rr) × S1 таких, що кiнцева точка σε ( τ − τ0 ε ) = ψ τ−τ0 ε ε (σε(0)) для кожного ε→ 0, де ψs ε ∈ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 792 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ ∈ Diff(T ∗(M×Rr)×S1), s ∈ R1, є вiдповiдною групою дифеоморфiзмiв, породже- ною гамiльтоновою системою (2.1) на T ∗(M×Rr)×S1. Очевидно, що вiдображен- ня ψs ε,τ0 := ψs ε \|T∗(M×Rr) для всiх s ∈ R є симплектичним, тобто ψs,∗ ε,τ0 ω(2) = ω(2). Позначимо через Σε множину всiх кривих σε ⊂ T ∗(M×Rr)×S1, визначених вище. Тодi вираз (2.8) визначає нелiнiйний гладкий функцiонал A(τ) ε,τ0 : Σε → R, градiєнт якого gradA(τ) ε,τ0 : Σε → T (Σε) для кожного α ∈ T (T ∗(M × Rr)) визначається як (gradA(τ) ε,τ0 (σε), α) := ε τ − τ0 (τ−τ0)/ε∫ 0 ds〈J(σε)σ̇ε(s) + OH(σε; τ0 + εs), α〉J . Тут, за означенням, для будь-яких α, η ∈ T (T ∗(M × Rr)) вираз 〈α, η〉J := ω(2)(α, Jη) (2.9) є рiмановою метрикою на T ∗(M × Rr) iз майже комплексною структурою J : T ∗(M × Rr) → Aut(T (T ∗(M × Rr))), узгодженою з симплектичною структурою ω(2) ∈ Λ2(T ∗(M × Rr)) i O : D(T ∗(M × Rr)) → T (T ∗(M × Rr)) — вiдповiдний градiєнт, обчислений вiдносно скалярного добутку (2.9). Очевидно, що критичнi кривi функцiонала (2.8) на Σε задовольняють умову gradA(τ) ε,τ0 (σε) = 0, що еквiвалентна гамiльтоновому потоку (2.1), орбiти якого лежать на лагранжевiй поверхнi Λn+r+1 ε ⊂ T ∗(M × Rr)× S1. Введемо наступнi означення. Означення 2.1. Будемо називати C1-функцiонал A(τ) ε,τ0 : Σε → R таким, що задовольняє умову Палє – Смейла, якщо iз будь-якої послiдовностi {σε,n ∈ Σε : n ∈ ∈ Z} такої, що sup n∈Z+ \|A(τ) ε,τ0(σε,n)\| <∞ i слабка границя lim n→∞ gradA(τ) ε,τ0(σε,n) = 0, можна вибрати збiжну пiдпослiдовнiсть. Означення 2.2. Множина Zd ε ⊂ Σε називається регулярною, якщо: a) Zd ε ⊂ A(τ),−1 ε,τ0 (c) для деякого c ∈ R; б) Zd ε є iзольованою, тобто iснує окiл U(Zd ε ) множини Zd ε такий, що U(Zd ε )∩ ∩ (Σε \ Zd ε ) = ∅. Окрiм того, вважатимемо далi, що: i) множина Zd 0 критичних точок функцiонала A(τ) 0,τ0 : Σ0 → R є скiнченнови- мiрною i компактною для всiх τ0 ∈ S1 i ε > 0; ii) для всiх σ0 ∈ Zd 0 лiнiйний оператор (gradA(τ) 0,τ0 )′ : T (Zd 0 ) → T (Zd 0 ) є фредгольмовим; iii) для всiх σ0 ∈ Zd 0 виконується умова Tσ0(Σ0) = Ker ( gradA(τ) 0,τ0 (σ0) )′ . Остання умова означає регулярнiсть вiдображення ( gradA(τ) 0,τ0 )′ : T (Σ0) → → T (Σ0) для σ0 ∈ Zd 0 , оскiльки для всiх таких σ0 ∈ Zd 0 завжди Tσ0(Z d 0 ) ⊆ ⊆ Ker ( gradA(τ) 0,τ0 (σ0) )′ . Тобто якщо якесь α ∈ Tσ0(Σ0) є розв’язком рiвняння( gradA(τ) 0,τ0 (σ0) )′ · α = 0, то необхiдно α ∈ Tσ0(Z d 0 ) для будь-якого σ0 ∈ Zd 0 . Розглянемо тепер задачу iснування в околi будь-якої кривої σε ∈ Zd ε функцiо- нального многовиду Zd ε , дифеоморфного до Zd 0 ⊂ Σ0 i такого, що для будь-якої кри- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 АДIАБАТИЧНА ПРОБЛЕМА СТIЙКОСТI МЕЛЬНИКОВА – САМОЙЛЕНКА 793 вої σε ∈ Zd ε умова gradA(τ) ε,τ0 ∣∣∣ Zε (σε) = 0 є еквiвалентною умовi gradA(τ) ε,τ0(σε) = 0. З цiєю метою скористаємося теоремою про неявну функцiю Ляпунова – Шмiдта [2, 11, 31, 32]. Лема 2.1. На Zd 0 iснує гладка функцiя wε : Zd 0 → Σε (2.10) така, що для всiх ε > 0: 1) w0(σ0) = σ0 для кривої wε(σ0) := σε ∈ Σε; 2) gradA(τ) ε,τ0(σε) ∈ Tσ0(Z d 0 ) для всiх σ0 ∈ Zd 0 ; 3) (σ̇ε, Tσ0(Z d 0 )) = 0 для всiх σ0 ∈ Zd 0 i σ̇ε ∈ Tσε (Σε). Доведення. Нехай αi(σ0) ∈ Tσ0(Z d 0 ), j = 1, d, — ортогональний базис в Tσ0(Z d 0 ). Визначимо з його допомогою наступне вiдображення: F : Zd 0 × (Tσ0(Σ0)× Rd) → Tσ0(Σ0)× Rd, (2.11) де для кожного σ0 ∈ Zd 0 та (σ̇ε; c) ∈ Tσ0(Σ0)× Rd Fσ0(σ̇ε; c) := ( gradA(τ) ε,τ0 (σε)− d∑ i=1 ciαi(σ0); (σ̇ε, α1), (σ̇ε, α2), . . . , (σ̇ε, αd) ) := := ( F (1) σ0 , F (2) σ0 ) , (2.12) причому F (1) σ0 = 0 означає, що gradA(τ) ε,τ0(σε) ∈ Tσ0(Z d 0 ) i умову 2 виконано; якщо ж F (2) σ0 = 0, то (σ̇ε, Tσ0(Σ0)) = 0 i умову 3 теж виконано. Легко зауважити, що F (j) σ0 (0; 0) = 0, j = 1, 2, для всiх σ0 ∈ Zd 0 . Зафiксуємо σ̄0 ∈ Zd 0 i розглянемо вiдповiдну похiдну Фреше ( ∂F (1) σ0 ∂(σ̇ε; c) , ∂F (2) σ0 ∂(σ̇ε; c) ) вiдображен- ня (2.11) у точцi (σ̄0\|0; 0) ∈ Zd 0 × Tσ0(Σ0)× Rd. Тодi легко отримати〈 ∂F (1) σ0 ∂(σ̇ε; c) , (β; g) 〉 = ( gradA(τ) ε,τ0 (σ̄0) )′ · β − d∑ i=1 giαi(σ̄0), (2.13)〈 ∂F (2) σ0 ∂(σ̇ε; c) , (β; g) 〉 = ((β, α1(σ̄0)), (β, α2(σ̄0)), . . . , (β, αd(σ̄0))) для кожного (β; g) ∈ Tσ0(Σ0) × T (Rd). Покажемо, що оператор F ′(σ̄0\|0; 0): Tσ̄0(Ωt0) × T (Rd) → Tσ̄0(Σ0) × T (Rd) є оборотним. Оскiльки оператор( gradA(τ) ε,τ0(σ̄0) )′ : Tσ0(Σ0) → Tσ0(Σ0) є фредгольмовим [27, 31, 32], легко вста- новити, що ядро оператора F ′σ0 є нульовим. Справдi, з першого виразу (2.13) отримуємо ( gradA(τ) ε,τ0 (σ̄0) )′ · β = d∑ i=1 giαi(σ̄0). (2.14) Беручи тепер скалярний добуток (2.14) з елементами αj(σ̄0) ∈ Tσ̄0(Z d 0 ), j = 1, d, маємо ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 794 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ( gradA(τ) ε,τ0 (σ̄0)′ · β, αj(σ̄0) ) = ( β, (gradA(τ) ε,τ0 (σ̄0))′αj(σ̄0) ) = gj (2.15) для всiх j = 1, d; при цьому ми скористалися тим, що ( gradA(τ) ε,τ0 )′ = = ( gradA(τ) ε,τ0 )′∗ . Оскiльки, за побудовою, αj(σ̄0) ∈ Ker ( gradA(τ) ε,τ0(σ̄0) )′ , j = = 1, d, з (2.15) знаходимо, що gj = 0 для всiх j = 1, d. Отже, ми отримали умову, що ( gradA(τ) ε,τ0(σ̄0) )′ · β = 0. Використовуючи знову умову iii), отримуємо, що β ∈ Tσ̄0(Z d 0 ). З iншого боку, друга умова в (2.13) означає, що ( β, Tσ̄0(Z d 0 ) ) = 0, тобто β = 0. Тим самим ми встановили оборотнiсть вiдображення (2.10) в околi точки σ̄0 ∈ Zd 0 . Застосовуючи тепер теорему про неявну функцiю [2, 31, 32], знахо- димо, що iснують гладкi вiдображення (wε; c) : Zd 0 → Σε×Rd, визначенi в деякому околi U(σ̄0) ⊂ Zd 0 i такi, що для достатньо малих ε > 0 виконується рiвнiсть F (σ0\|ẇε(σ0); c(σ0)) = 0 для всiх σε ∈ U(σ̄0) ⊂ Σε. Розглянемо тепер вiдповiдне векторне поле dw̃ε(σ̄0) ds̃ := := σ̇ε(w̃ε(σ̄0)) для \|s̃\| < δ(ε), де δ(ε) > 0 — деяке число, для якого iснує вiдповiдна траєкторiя w̃ε(σ̄0) : [−δ(ε), δ(ε)] → Σε для всiх ε → 0. Тодi для всiх ε → 0 можна визначити вiдображення wε(σ0) := w̃ε(σ0)(δ(ε)) для кожної кривої σ0 ∈ U(σ̄0) ⊂ ⊂ Zd 0 . Оскiльки Zd 0 є скiнченновимiрним компактним многовидом, то функцiю wε: U(σ̄0) → Σε можна продовжити на весь компакт Zd 0 , що i доводить лему. Зауваження 2.1. Функцiя wε : Zd 0 → Σε, знайдена вище, є гладкою i задо- вольняє умову wε(σ0) = σε для всiх кривих σ0 ∈ Zd 0 . Побудуємо тепер множину Zd ε := { σε := wε(σ0) ∈ Σε, σ0 ∈ Zd 0 } для всiх достатньо малих ε > 0. Тодi має мiсце наступна лема. Лема 2.2. Множина Zd ε ⊂ Σε є d-вимiрним компактним многовидом, дифе- оморфним многовиду Zd 0 ⊂ Σ0, причому для всiх σε := wε(σ0) ∈ Zd ε виконано необхiдну умову: якщо gradA(τ) ε,τ0 ∣∣∣ Zd ε (σε) = 0, то gradA(τ) ε,τ0(σε) = 0. Доведення. Нехай gradA(τ) ε,τ0 ∣∣∣ Zd ε (σε) = 0 для деякого елемента σε ∈ Zd ε . Тодi, очевидно, вектор gradA(τ) ε,τ0(σε) є ортогональним до Tσε(Z d ε ), оскiльки дiаграма T (Zd 0 ) wε,∗−→ T (Zd ε ) prZd 0 ↓ ↓ prZd ε Zd 0 wε−→ Zd ε за побудовою є комутативною. Зокрема, вiдображення wε,∗ : T (Zd 0 ) → T (Zd ε ) є локальним iзоморфiзмом, i нехай для будь-якого αε := wε,∗ · α ∈ T (Zd ε ), де α ∈ T (Zd 0 ), ( gradA(τ) ε,τ0 (wε(σ0), αε) ) ≡ ( gradA(τ) ε,τ0 (wε(σ0), wε,∗α) ) = = ( w∗ε gradA(τ) ε,τ0 ∣∣∣ Zd ε (σε), α ) = 0. (2.16) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 АДIАБАТИЧНА ПРОБЛЕМА СТIЙКОСТI МЕЛЬНИКОВА – САМОЙЛЕНКА 795 З iншого боку, використовуючи (2.12), маємо gradA(τ) ε,τ0 (wε(σ0)) = d∑ i=1 ci(σ0)αi(σ0) (2.17) для всiх σ0 ∈ Zd 0 . Пiдставляючи (2.17) в (2.16), для кожного α := αj(σ0) ∈ Tσ0(Z d 0 ), j = 1, d, отримуємо d∑ i=1 ci(σ0)(αi(σ0), wε,∗αj(σ0)) = 0, (2.18) або Ŵ ·c = 0, де Ŵ := { (αi(σ0), wε,∗αj(σ0)) : i, j = 1, d } — невироджена матриця, оскiльки вiдображення wε,∗ : T (Zd 0 ) → T (Zd ε ) є iзоморфiзмом дотичних просторiв. Справдi, за лемою 2.1 iснує таке δε0 > 0, що ‖wε,∗−1‖ < δε0 для всiх ε ∈ (−ε0, ε0), тодi для i, j = 1, d ∣∣(αi, (wε,∗ − 1)αj) ∣∣ < ‖αi‖ ‖αj‖δε0 = δε0 . З iншого боку,∣∣(αi, (wε,∗ − 1)αj) ∣∣ = ∣∣(αi, wε,∗αj)− δij ∣∣ = \|Ŵij − δij \| < δε0 для всiх i, j = 1, d, тобто матриця Ŵ ∈ Aut Rd, оскiльки вона близька до одинич- ної. Як висновок, отримуємо, що вектор c ∈ Rd в (2.18) дорiвнює нулю, що з урахуванням (2.17) доводить лему. Зауваження 2.2. Оскiльки вiдображення wε : Zd 0 → Zd ε є локальним дифео- морфiзмом для кожного достатньо малого ε > 0, то важливим є питання про те, ко- ли його можна продовжити до глобального дифеоморфiзму i тим самим однозначно визначити компактний многовид Zd ε ⊂ Σε. З огляду на цю проблему може бути корисною наступна теорема [33]. Теорема 2.1. Нехай Zd 0 та Zd ε — метричнi простори, причому Zd 0 є лiнiйно зв’язним, а Zd ε — однозв’язним. Тодi вiдображення wε : Zd 0 → Zd ε буде гомеомор- фiзмом Zd 0 на Zd ε тодi i тiльки тодi, коли виконано наступнi умови: i) wε : Zd 0 → Zd ε є локальним гомеоморфiзмом; ii) прообраз будь-якої компактної пiдмножини в Zd ε є компактним у Zd 0 , тобто вiдображення wε : Zd 0 → Zd ε є власним. Покладемо далi, що вiдображення wε : Zd 0 → Zd ε , побудоване вище, є локаль- ним дифеоморфiзмом, який задовольняє умови теореми 2.1. Тодi отримуємо, що множина Zd ε , як образ вiдображення wε : Zd 0 → Σε для всiх достатньо малих ε > 0, є глобально дифеоморфною множинi Zd 0 ⊂ Σ0. Оскiльки для функцiонала (2.5) критична множина Zd ε є лагранжевою поверхнею Λn+r+1 ε ⊂ Σε, на нiй можна задати координати, iндукованi вiдображенням wε : Λn+r+1 0 → Λn+r+1 ε , якi побуду- ємо новим методом „вiртуальних” канонiчних перетворень, що узагальнює пiдхiд А. М. Самойленка та Дж. Бургейна [8, 15, 34]. 3. Метод вiртуальних канонiчних перетворень i критерiй адiабатичної ста- бiльностi для проблеми Мельникова – Самойленка. Породжуюча функцiя (2.4) при ε = 0 задає канонiчне перетворення симплектичної структури ω(2) ∈ Λ2(M × × Rr), яка в координатах розшарування ⋃ (h̄,ξ̄)∈Rn+r Mn+r h̄,ξ̄ = T ∗(M × Rr) в околi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 796 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ U(Mn+r h̄,ξ̄ ) iнтегрального многовиду Mn+r h̄,ξ̄ має вигляд ω(2) = ∑n+r j=0 dwj,τ ∧ dµj,τ . Якщо ж тепер покласти ε > 0, то вiдповiдний розширений лагранжевий многовид Λn+r+1 0 = Mn+r h̄,ξ̄ ×{τ0} ⊂ T ∗(M ×Rr)×S1 буде деформуватися, згiдно з результа- тами попереднього пункту, в лагранжевий многовид Λn+r+1 ε ⊂ T ∗(M × Rr)× S1, на якому буде виконано умову (2.7) для кожного замкненого шляху σε ⊂ Λn+r+1 ε , гомотопного точцi. Використавши теорему 2.1, позначимо вiдповiднi координати на збуреному лагранжевому многовидi як (wε;µε\|τ) ∈ U(Λn+r ε,τ0 )× S1, де многовид Λn+r ε,τ0 := Λn+r+1 ε ∣∣ T∗(M×Rr) i U(Λn+r ε,τ0 ) × S1 — деякий його вiдкритий окiл. Тодi, виходячи з умови канонiчностi пiдiнтегральної 1-форми Пуанкаре – Картана в (2.7), можемо записати рiвнiсть −〈ϕτ , dγτ 〉 −H ′dt = 〈wτ , dµτ 〉 − H̃(εt+ τ0)dt− dS̃τ (µτ ; γτ ), (3.1) де S̃τ : Tn+r τ × Rn+r → R — вiдповiдна породжуюча функцiя, причому ми припустили, що „вiртуальний” тороїдальний iнтегральний многовид Tn+r τ при τ := εt + τ0 ∈ R/2πZ є гладко деформованим в тороїдальний многовид Tn+r ε ⊂ ⊂ Λn+r+1 ε,τ0 , а також позначили S̃τ (µτ ; γτ ) := S̄τ (µτ ; h̄(γτ ), ξ̄(γτ )), H(εt + τ0) := := H(τ \|q(τ \|µτ ;wτ ), p(τ \|µτ ;wτ ))\|τ :=εt+τ0 для всiх τ0 ∈ S1 i t ∈ R. Канонiчне перетворення (3.1) визначає нову так звану „вiртуальну” функцiю Гамiльтона H̃: S1 × U(T)n+r τ → R, яка визначається з рiвностi H̃(t\|ϕτ ; γτ ) = H(εt+ τ0)\|Tn+r τ + ( ∂S̃τ (µτ ; γτ ) ∂t )∣∣∣∣ Tn+r τ , (3.2) де (µτ ;wτ ) ∈ U(Tn+r τ ), γτ ∈ Rn+r i параметр τ := τ0 + εt ∈ R/2πZ. Вiдповiднi рiвняння Гамiльтона в околi U(Tn+r τ ) вiртуального тора Tn+r τ ⊂ T ∗(M×Rr) мають вигляд dµτ ds = ∂H(τ) ∂wτ , dwτ ds = −∂H(τ) ∂µτ , (3.3) причому dτ ds = ε для всiх s ∈ R. У термiнах неавтономних змiнних „дiя-кут” на вiртуальному торi Tn+r τ ⊂ T ∗(M × Rr) рiвняння (3.3) наберуть вигляду dϕτ ds = Ω1(τ ; γτ ) + ε ∂ ∂γτ ( ∂S̃τ ∂τ ∣∣∣∣ Tn+r τ ) , dγτ ds = −ε ∂ ∂ϕτ ( ∂S̃τ ∂τ ∣∣∣∣ Tn+r τ ) , dτ ds = ε, (3.4) для всiх (ϕτ ; γτ ) ∈ U(Tn+r τ ). Наведемо пояснення отриманого результату. Динамiчна система (3.4) має стан- дартну форму М. М. Боголюбова [7, 12], для якої можна ефективно застосувати ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 АДIАБАТИЧНА ПРОБЛЕМА СТIЙКОСТI МЕЛЬНИКОВА – САМОЙЛЕНКА 797 метод усереднення та прискореної збiжностi [1, 12, 35] канонiчного перетворення до нових змiнних на збуреному торi Tn+r ε ⊂ Λn+r ε,τ0 , у термiнах яких еволюцiя ди- намiчної системи (3.4) цiлком вiдокремлюється для часу s ∈ [0, 1/ε) при ε → 0, стаючи квазiлiнiйною функцiєю з високою точнiстюO(εp), де Z+ 3 p→∞. Таким чином, ми отримали зображення адiабатичної збуреної динамiчної системи (2.1) в околi незбуреного тороїдального iнтегрального многовиду Mn+r h̄,ξ̄τ за допомогою си- стеми вiртуальних координат на добутку ( n ⊗ j=1 S1 j ) × ( r ⊗ j=1 S1 j ) ' Tn h̄ × Tr ξ̄ , якi в невиродженому випадку забезпечують зведення рiвнянь при ε → 0 до слабко збуреного потоку на торi Tn+r γ у канонiчнiй формi Боголюбова. Як вiдомо з за- гальної теорiї такого типу динамiчних систем на квазiiнварiантному торi Tn+r γ , побудованої в перших працях А. М. Колмогорова, В. I. Арнольда i Ю. Мозера [1, 3, 35 – 37] та розвиненої у працях М. М. Боголюбова, Ю. О. Митропольського i А. М. Самойленка [8, 9, 12, 34, 38, 39], збурений потiк (3.4) на торi Tn+r τ при ε → 0 допускає глобальну лiнеаризацiю на дифеоморфному торi Tn+r γ,ε при таких необхiдних умовах на матрицю квазiчастот: lim ε→0 max i,j=1,n \|Ωij(γ; ε)− Ω̄ij(γ; ε)\| → 0, det ∥∥∥∥∂Ωij(γ; ε) ∂γj ∥∥∥∥ i,j=1,n 6= 0 для усiх i, j = 1, n i усiх γ ∈ U(γτ ) з певного вiдкритого зв’язного околу U(γτ ) точки γτ ∈ Rn, τ ∈ [0, 2π]. З урахуванням особливостей КАМ-методу [1, 35] побудови вказаного вище ди- феоморфiзму торiв Tn γ i Tn γ,ε при ε → 0, що ґрунтується на швидкiй збiжностi ньютонiвських iтерацiй, якi приводять до компенсацiї впливу малих знаменникiв у гомологiчних рiвняннях на торi Tn γ , в останнi роки у працях [15, 21 – 24, 34, 40 – 42] були зробленi спроби глибшого аналiзу цього факту. Зокрема, було встановлено, що подолання особливостей малих знаменникiв за допомогою методу Ньютона не дає повного розумiння природи дифеоморфiзму торiв Tn γ i Tn γ,ε, оскiльки при цьо- му завуальовується топологiчна структура проблеми, яка в багатьох випадках дає можливiсть оминути ряд невластивих перешкод при глобальному аналiзi процесу канонiчних перетворень. При дослiдженнi певного класу динамiчних систем, якi моделюють класичну проблему Мельникова – Самойленка для двох слабко зв’язаних iнтегровних потокiв, у працi [15] було показано на основi варiанту методу Ляпунова – Шмiдта [31, 32], що збiжнiсть ньютонiвських iтерацiй при побудовi вiдповiдного дифеоморфiзму торiв несуттєво залежить вiд проблеми малих знаменникiв, а бiльше визначається структурою матрицi частот {Ωij(γ; ε) : i, j = 1, n+ s}, зокрема її аналiтичною невиродженiстю. Наведемо таке означення аналiтичної невиродженостi. Означення 3.1. Нехай U(γ), γτ ∈ Rn+s, є вiдкритим зв’язним околом в R, а вiдображення (Ω(ε) · z) : U(γτ ) → Rn+s є дiйсною гладкою функцiєю класу Cn+s+1 для кожного вектора z ∈ Rn+s. Будемо називати її аналiтично невиро- дженою, якщо образ Im(Ω(ε) ·z) ⊂ Rn+s, z ∈ Rn+s/{0}, не належить (n+s−1)- вимiрному лiнiйному пiдпростору Rn+s, i говорити, що матриця Ω ∈ Aut(Rn+s) є виродженою. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 798 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ Легко переконатися, що достатнiм критерiєм аналiтичної невиродженостi век- тора частот Ω · z : U(γτ ) + (0, ε0) → Rn+s, z ∈ Rn+s, є det {∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ ( ∂\|β\|(Ω(γτ ; ε) · z) ∂γβ τ )T ( ∂\|α\|(Ω(γτ ; ε) · z) ∂γα τ )∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣ } 6= 0 (3.5) для всiх z ∈ Rn+s/{0}. При умовi типу (3.5) у працях [8, 9, 34, 40] було встановлено iснування ди- феоморфiзму торiв Tn γ i Tn γ,ε при ε → 0 для досить широкого класу канонiчних потокiв на торi Tn γ , зануреного у вiдповiдний 2(n + s)-вимiрний фазовий простiр M2(n+s). Аналiзуючи методику праць [8, 9, 34, 40] у порiвняннi зi схемою побудови кано- нiчної системи рiвнянь (3.4) в термiнах вiртуальних координат на сепарабельному торi ( n ⊗ j=1 S1 j ) × ( r ⊗ j=1 S1 j ) ' Tn h̄ × Tr ξ̄ , отримуємо еквiвалентну умову аналiти- чної невиродженостi матрицi частот (3.5). Тобто умова (3.5) в певному сенсi є еквiвалентною умовi топологiчної сепарабельностi тора ( n ⊗ j=1 S1 j ) × ( r ⊗ j=1 S1 j ) ' ' Tn h̄ × Tr ξ̄ , про що ранiше стверджувалося у працях [15, 41, 42] в дещо iнших термiнах. Права частина гамiльтонової системи (3.4) аналiтично записується як dϕj,τ ds = Ω1,j(τ ; γτ ) + ε n+r∑ k=1 ϕk,τ ( Ω−1(τ ; γτ ) ∂Ω(τ ; γτ ) ∂τ ) kj + + ε n+r∑ k=1 n∑ i=1 ∂ ∂τ ( wk,τ ∂µk,τ ∂h̄i Ωi,j(τ ; γτ ) ) + + ε n+r∑ k=1 n+r∑ i=n+1 ∂ ∂τ ( wk,τ ∂µk,τ ∂ξ̄i−n Ωi,j(τ ; γτ ) ) , (3.6) dγj,τ ds = ε n+r∑ k=1 ∂ ∂τ [ (Ω−1(τ ; γτ )F (τ ;µτ ))jkwk,τ ] , де j = 1, n+ r, τ := τ0 + εs ∈ R/2πZ i F−1(τ ;µτ ) := {( ∂wk,τ ∂h̄j , ∂wk,τ ∂ξ̄s ) : k = = 1, n+ r, j = 1, n, s = 1, r } , причому мають мiсце вирази ∂µk,τ ∂h̄i = − n+r∑ s,j=1 Fks(τ ;µτ ) µj,τ∫ µ (0) j,τ dλ  (F−1 i,j (τ ;λ)) ∂h̄s ∣∣∣∣∣ s=1,n , (F−1 i,j (τ ;λ)) ∂ξ̄n−s ∣∣∣∣∣ s=n+1,n+r  для k = 1, n+ r, i = 1, n i ∂µk,τ ∂ξ̄i = − n+r∑ s,j=1 Fks(τ ;µτ ) µj,τ∫ µ (0) j,τ dλ  (F−1 i,j (τ ;λ)) ∂ξ̄s ∣∣∣∣∣ s=1,n , (F−1 i,j (τ ;λ)) ∂ξ̄n−s ∣∣∣∣∣ s=n+1,n+r  ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 АДIАБАТИЧНА ПРОБЛЕМА СТIЙКОСТI МЕЛЬНИКОВА – САМОЙЛЕНКА 799 для k = 1, n+ r, i = 1, r. Система рiвнянь (3.6) має досить спецiальну форму, яка дає можливiсть застосувати для дослiдження її стiйкостi на неавтономному вiртуальному торi Tn+r τ як узагальнений метод В. К. Мельникова [14], так i ме- тод послiдовних нестацiонарних канонiчних перетворень [1, 11, 12]. У випадку останнього задамо нове канонiчне перетворення таким чином: 〈γτ , dϕτ 〉 − H̃\|U(Tn+r τ )dt = −〈ϕε, dγε〉 −H(ε)dt+ dΦ(ε)(t\|ϕτ ; γε), (3.7) де τ := εt + τ0 ∈ R/2πZ, i, за визначенням, нова функцiя Гамiльтона H(ε): R × U(Tn+r τ ) → R не залежить явно вiд кутових змiнних ϕε ∈ Tn+r τ ⊂ Λn+r ε,τ0 при умовi, що для породжуючої функцiї Φ(ε) : R× (Tn+r τ × Rn+r) → R при ε→ 0 має мiсце асимптотичний розклад Φ(ε) = 〈ϕτ , γε〉+ εΦ1(t\|ϕτ ; γε) + ε2Φ2(t\|ϕτ ; γε) +O(ε3), (3.8) де функцiї Φj : R × (Tn+r τ × Rn+r) → R, j = 1, 2, є перiодичними за змiнною ϕτ ∈ Tn+r τ . Iз (3.7) та (3.8) випливає γτ = γε + ε∂Φ1 ∂ϕτ + ε2∂Φ2 ∂ϕτ +O(ε3), ϕτ = ϕε − ε∂Φ1 ∂γε − ε2∂Φ2 ∂γε +O(ε3) при ε → 0. При цьому для функцiї Гамiльтона H(ε) : R × Rn+r → R при ε → 0 покладаємо, що iснує асоцiйований з (3.8) асимптотичний розклад H(ε)(t\|γε) = H(0)(t\|γε) + εH(1)(t\|γε) + ε2H(2)(t\|γε) +O(ε3) для всiх t ∈ R та (ϕε; γε) ∈ U(Tn+r ε ). Як результат зображень (3.2) i (3.7) знаходимо H(0)(t\|γε) = h̄1,τ (γτ )\|γτ=γε , H(1)(t\|γε) = n+r∑ j=1 Ω1,j(τ ; γτ ) ∂Φ1(t\|ϕε; γε) ∂ϕj,ε + ∂S̃τ (ϕε; γε) ∂τ + ∂Φ1(t\|ϕε; γε) ∂t , (3.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , де τ := εt + τ0 ∈ R/2πZ. Оскiльки функцiя H(1): R × Rn+r → R не залежить вiд кутової змiнної ϕε ∈ Tn+r ε , то пiсля усереднення по цiй змiннiй отримуємо спiввiдношення H(1)(t\|γε) = n+r∑ j=1 Ω1,j(τ ; γτ ) 〈 ∂Φ1(t\|ϕε; γε) ∂ϕε,j 〉Tn+r τ + + 〈 ∂Φ1(t\|ϕε; γε) ∂t 〉Tn+r τ + 〈 ∂S̃τ (ϕε; γε) ∂τ 〉Tn+r τ , (3.10) де, за визначенням, для будь-якої функцiї g ∈ L1(Tn+r τ ; R) 〈g(ϕε)〉T n+r τ := 1 (2π)n+r ∫ Tn+r τ g(ϕε)dϕε. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 800 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ Внаслiдок перiодичностi функцiї Φ1 : R × (Tn+r τ × Rn+r) → R за змiнною ϕε ∈ ∈ Tn+r τ з (3.10) маємо H(1)(t\|γε) = 〈 ∂S̃τ (ϕε; γε) ∂τ 〉Tn+r τ + 〈 ∂Φ1(t;ϕε; γε) ∂t 〉 . Кутовi змiннi ϕτ належать Tn+r τ , i завдяки iзоморфiзму Гамiльтона – Якобi Tn+r τ ' ' n+r ⊗ j=1 S1 j на пiдставi теореми Бiркгофа – Хiнчина [25, 26] можемо записати, що 〈g(ϕε)〉T n+r τ = 1 K̄τ ∮ στ dµτg(ϕτ (µτ ; γτ )) ∣∣∣∣∂ϕτ (µτ ; γτ ) ∂µτ ∣∣∣∣ , (3.11) де K̄τ := ∮ στ dµτ ∣∣∣∣∂ϕτ (µτ ; γτ ) ∂µτ ∣∣∣∣ i στ := { n+r ⊗ j=1 σj,τ ∈ H1(Tn+r τ ; Z) } , є базисом одновимiрної групи гомологiй H1(Tn+r τ ; Z) вiртуального тора Tn+r τ ⊂ ⊂ T ∗(M × Rn). Оскiльки невироджений якобiан переходу має вигляд∣∣∣∣∂ϕτ (µτ ; γτ ) ∂µτ ∣∣∣∣ = detF (τ ;µτ ) detΩ(τ ; γτ ), де, як i ранiше, вважаємо, що detF (τ ;µτ ) 6= 0 i det Ω(τ ; γτ ) 6= 0 для всiх τ ∈ ∈ R/2πZ, операцiю усереднення (3.11) на торi Tn+r τ можемо записати як 〈g(ϕε)〉T n+r τ = 1 Kτ ∮ στ dµτg(φτ (µτ ; γτ )) detF (τ ;µτ ), де Kτ := ∮ στ dµτ detF (τ ;µτ ). Зокрема, для усереднення величини 〈S̃τ (ϕε; γε)〉T n+r τ в (3.10) можна отримати вираз [11]〈 S̃τ (ϕε; γε) 〉Tn+r τ = = 〈 n+r∑ j=1 µj,τ (ϕτ ;γτ )∫ µ (0) j,τ wj,τ (λ; h̄(γτ ), ξ̄(γτ )) 〉Tn+r τ = K−1 τ n+r∑ s=1 Ks,τ , де для s = 1, n+ r ми поклали Ks,τ := det  ∮ σk,τ dµτFjk(τ ;µτ ) µk,τ∫ µ (0) k,τ dλwk,τ (λ; h̄(γτ ), ξ̄(γτ ))(1− δks)  j,k=1,n+r . З iншого боку, функцiю Φ1 : R × (Tn+r τ × Rn+r) → R можна визначити методом характеристик iз другого рiвняння (3.9): ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 АДIАБАТИЧНА ПРОБЛЕМА СТIЙКОСТI МЕЛЬНИКОВА – САМОЙЛЕНКА 801 Φ1(t\|ϕε; γε) = t∫ 0 H(1)(s\|γε)ds− − t∫ 0 ds ∂S̃τ (ϕ(0) τ + ∫ s 0 dtΩ1(εt+ τ0; γτ ); γε) ∂τ + Φ̄1(ϕ(0) τ ; γε), (3.12) де ϕ(0) τ := ϕτ − t∫ 0 dsΩ1(εs+ τ0; γτ ), (3.13) τ := εt + τ0 ∈ R/2πZ i Φ̄1 : Tn+r τ × Rn+r → R — деяка довiльна гладка функцiя. При iнтегруваннi в (3.12) по параметру s ∈ [0, t) необхiдно в остаточному виразi покласти замiсть величини ϕ(0) τ ∈ Tn+r τ її значення (3.13). Для того щоб вiдповiднi рiвняння для кутової змiнної ϕε ∈ Λn+r ε,τ0 при ε → 0 мали вигляд dϕε ds = Ω1(τ ; γτ ) +O(ε2) для всiх τ = εs+ τ0 ∈ R/2πZ, покладемо, за визначенням, H(1) = 0. Тодi, завдяки (3.12), функцiя Φ1 : R× (Tn+r τ ×Rn+r) → R визначається з точнiстю до довiльної гладкої функцiї Φ̄1 : Tn+r τ × Rn+r → R, причому вiдповiдне рiвняння для змiнної γε ∈ Rn+r) при ε→ 0 має вигляд dγε ds = O(ε2) для всiх s ∈ R. Пiдiбравши далi вiдповiдним чином функцiю Φ2: R × × (Tn+r τ × Rn+r) → R в (3.8), можна досягти, що для всiх s ∈ R при ε→ 0 dϕε ds = Ω1(τ ; γτ ) +O(ε3), dγε ds = O(ε3), де τ = τ0+εs ∈ R/2πZ, i т. д. Це означає, що iнварiантний тор Tn+r τ0 ⊂ T ∗(M×Rr) залишається при ε → 0 стабiльним, деформуючись в iнварiантний тор Tn+r ε ⊂ ⊂ T ∗(M × Rr) з довiльним степенем точностi, причому рух на ньому залиша- ється квазiлiнiйним iз вектором частот Ω1(τ ; γτ ) ∈ Rn+r для усiх τ ∈ R/2πZ. У розглядуваному випадку гамiльтонового потоку (2.1) iз функцiєю Гамiльтона осциляторного типу (2.2) при певних обмеженнях алгебраїчного типу на частот- нi функцiї νj : S1 × R → R+, j = 1, r, якi аналогiчнi обмеженням у роботах [5, 6, 15], встановлено вказану стiйкiсть iнварiантного тора при ε → 0 довiльного порядку, що розв’язує адiабатичну проблему стiйкостi Мельникова – Самойленка. При цьому актуальним є також дослiдження адiабатичної стiйкостi iнварiантно- го тора на основi вiдомого пiдходу [14], який узагальнює класичну конструкцiю В. К. Мельникова на випадок гiперболiчного квазiперiодичного руху i, тим самим, опис необхiдних та достатнiх умов адiабатичної стiйкостi в проблемi Мельникова – Самойленка для широкого класу збурень осциляторного типу. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 802 Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ Автор щиро вдячний проф. А. М. Самойленку за кориснi поради та обговорення результатiв роботи. 1. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической небесной механики. – М.: УРСС, 2002. – 414 с. 2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – М.: ИКИ, 2002. – 560 с. 3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 304 c. 4. Abraham R., Marsden J. Foundations of mechanics. – New York: Commings, 1978. – 414 p. 5. Мельников В. К. О некоторых случаях сохранения условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Докл. АН СССР. – 1965. – 165, № 6. – С. 1245 – 1248. 6. Мельников В. К. Об одном семействе условно-периодических решений системы Гамильтона // Там же. – 1968. – 30, № 5. – С. 3121 – 3133. 7. Samoilenko A. M. Perturbation theory of smooth invariant tori of dynamical systems // Nonlinenar Anal.: Theory, Meth. and Appl. – 1997. – 30, № 5. – P. 3121 – 3133. 8. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. – М.: Наука, 1987. – 240 с. 9. Samoilenko A. M., Prykarpatsky Ya. A. A method of investigating adiabatic invariants of slowly perturbed Hamiltonian systems // Nonlinear Oscillations. – 1999. – 2, № 1. – P. 20 – 28. 10. Самойленко А. М., Прикарпатський Я. А. Дослiдження iнварiантних деформацiй iнтеграль- них многовидiв адiабатично збурених цiлком iнтегровних гамiльтонових систем. II // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 11. – P. 1513 – 1528. 11. Самойленко А. М., Прикарпатський Я. А. Алгебраїчно-аналiтичнi аспекти цiлком iнтегровних динамiчних систем та їх збурень // Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 41. – 236 с. 12. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 244 с. 13. Graff S. M. On the conservation of hyperbolic invariant tori for Hamiltonian systems // J. Different. Equat. – 1974. – 15, № 1. – P. 1 – 69. 14. Meyer K. R., Sell G. R. Melnikov transforms Bernoulli bundles, and almost periodic perturbations // Trans. Amer. Math. Soc. – 1989. – 314, № 1. – P. 63 – 105. 15. Bourgain J. On Melnikov’s persistence problem // Math. Res. Lett. – 1997. – 4. – P. 445 – 458. 16. Samoilenko A. M., Prykarpatsky A. K., Samoilenko V. Gr. The Lyapunov – Schmidt approach to studing homoclinic splitting in weakly perturbed Lagrangian and Hamiltonian systems // Ukr. Math. J. – 2003. – 55, № 1. – P. 82 – 92. 17. Prykarpatsky Ya. A., Samoilenko A. M., Blackmore D. L. Embedding of integral submanifolds and associated adiabatic invariants of slowly perturbed integrable Hamiltonian systems // Rept. Math. Phys. – 1999. – 44, № 1-2. – P. 171 – 182. 18. Yamashita M. Melnikov vector in higher dimension // Nonlinenar Anal.: Theory, Meth. and Appl. – 1992. – 18, № 7. – P. 657 – 670. 19. Gruendler J. The existence of homoclinic orbits and the method of Melnikov for systems in Rn // SIAM J. Math. Anal. – 1985. – 16, № 5. – P. 907 – 931. 20. Самойленко А. М., Прикарпатський Я. А. Дослiдження iнварiантних деформацiй iнтегральних многовидiв адiабатично збурених цiлком iнтегровних гамiльтонових систем. I // Укр. мат. журн. – 1999. – 51, № 10. – С. 1379 – 1390. 21. Aubry S., Le Deeron P. Y. The discrete Frenkel – Kontorova model and its extensions. I // Physica D. – 1983. – 8. – P. 381 – 422. 22. Herman M. R. Sur les courbes invariantes par les diffeomorphismes de l’anneau. – Paris: Soc. Math. France, 1983. – Vol. 1. – 221 p. 23. Katok A. Some remarks on Birkhoff and Mather twist map theorems // Ergodic Theory and Dynam. Syst. – 1982. – 2, № 2. – P. 185 – 194. 24. Mather J. N. Existence of quasi-periodic orbit for twist homeomorphisms of the annulus // Topology. – 1982. – 21, № 2. – P. 457 – 467. 25. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – М.: Гостехиздат, 1949. – 550 с. 26. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. – М.: Наука, 1980. – 383 с. 27. Прикарпатський Я. А. Симплектичний метод побудови ергодичних мiр на iнварiантних пiд- многовидах неавтономних гамiльтонових систем: лагранжевi многовиди, їх структура та го- мологiї Мазера // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – С. 675 – 691. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6 АДIАБАТИЧНА ПРОБЛЕМА СТIЙКОСТI МЕЛЬНИКОВА – САМОЙЛЕНКА 803 28. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. – 414 с. 29. Wiggins S. Global dynamics, phase space transport, orbits homoclinic, and applications. – New York: Amer. Math. Soc., 1993. – 155 p. 30. Prykarpatsky Ya. A., Samoilenko A. M., Blackmore D. L., Prykarpatsky A. K. Integrability by quadratures of Hamiltonian systems and Picard – Fuchs type equations: The modern differential- geometric aspects // Miskolc Math. Notes. – 2005. – 6, № 1. – P. 65 – 103. 31. Ниренберг Л. Нелинейный функциональный анализ. – М.: Мир, 1986. – 232 с. 32. Schwartz J. T. Nonlinear functional analysis. – New York: Gordon & Breach Sci. Publ., 1969. – 236 p. 33. Красносельский М. А., Опойцев В. И. Теорема о глобальном гомеоморфизме // Теория функций, функцион. анализ и его прил. – 1978. – 20. – С. 83 – 85. 34. Самойленко А. М., Петришин Р. I. Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних коливань. – Київ: Наук. думка, 2004. – 473 c. 35. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1989. – 431 с. 36. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. – М.: Мир, 1973. –127 c. 37. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи мат. наук. – 1981. – 36, № 5. – C. 109 – 151. 38. Митропольский Ю. А., Боголюбов Н. Н., Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Интегриру- емые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. – Киев: Наук. думка, 1987. – 267 c. 39. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. – Киев: Наук. думка, 1971. – 440 c. 40. Самойленко А. М., Петришин Р. И. Метод усреднения в многочастотных системах с медленно меняющимися параметрами // Укр. мат. журн. – 1988. – 40, № 4. – С. 453 – 501. 41. Russmann H. Invariant tori in non-degenerate nearly integrable Hamiltonian systems // Regular and Chaotic Dynamics. – 2001. – 6, № 2. – P. 119 – 204. 42. Russmann H. Addendum to invariant tori in non-degenerate nearly integrable Hamiltonian systems // Ibid. – 2005. – 10, № 1. – P. 21 – 32. Одержано 15.12.2004, пiсля доопрацювання — 15.12.2005 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
id	umjimathkievua-article-3496
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:43:37Z
publishDate	2006
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/5d/b67721d396a379230236fabef3f5dc5d.pdf
spelling	umjimathkievua-article-34962020-03-18T19:56:00Z Mel’nikov-Samoilenko adiabatic stability problem Адіабатична проблема стійкості Мельникова - Самойленка Prykarpatsky, Ya. A. Прикарпатський, Я. А. We develop a symplectic method for the investigation of invariant submanifolds of nonautonomous Hamiltonian systems and ergodic measures on them. The so-called Mel’nikov-Samoilenko problem for the case of adiabatically perturbed completely integrable oscillator-type Hamiltonian systems is studied on the basis of a new construction of “ virtual” canonical transformations. Розвивається симплектичний метод дослідження iнварiантних підмноговидів неавтономних гаміль-тонових систем та ергодичних мір на них. На основі нової конструкції „віртуальних" канонічних перетворень вивчено так звану проблему Мельникова-Самойленка для випадку адіабатично збурених цілком інтегровних гамільтонових систем осциляторного типу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3496 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 6 (2006); 787–803 Український математичний журнал; Том 58 № 6 (2006); 787–803 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3496/3729 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3496/3730 Copyright (c) 2006 Prykarpatsky Ya. A.
spellingShingle	Prykarpatsky, Ya. A. Прикарпатський, Я. А. Mel’nikov-Samoilenko adiabatic stability problem
title	Mel’nikov-Samoilenko adiabatic stability problem
title_alt	Адіабатична проблема стійкості Мельникова - Самойленка
title_full	Mel’nikov-Samoilenko adiabatic stability problem
title_fullStr	Mel’nikov-Samoilenko adiabatic stability problem
title_full_unstemmed	Mel’nikov-Samoilenko adiabatic stability problem
title_short	Mel’nikov-Samoilenko adiabatic stability problem
title_sort	mel’nikov-samoilenko adiabatic stability problem
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3496
work_keys_str_mv	AT prykarpatskyyaa melnikovsamoilenkoadiabaticstabilityproblem AT prikarpatsʹkijâa melnikovsamoilenkoadiabaticstabilityproblem AT prykarpatskyyaa adíabatičnaproblemastíjkostímelʹnikovasamojlenka AT prikarpatsʹkijâa adíabatičnaproblemastíjkostímelʹnikovasamojlenka

Mel’nikov-Samoilenko adiabatic stability problem

Institution

Similar Items