Julia lines of entire functions of slow growth
We obtain sufficient conditions under which the Julia lines of entire functions of slow growth do not have finite exceptional values.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3498 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509599429296128 |
|---|---|
| author | Zabolotskii, N. V. Заболоцький, М. В. |
| author_facet | Zabolotskii, N. V. Заболоцький, М. В. |
| author_sort | Zabolotskii, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:00Z |
| description | We obtain sufficient conditions under which the Julia lines of entire functions of slow growth do not have finite exceptional values. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 517.53
M. V. Zaboloc\kyj (L\viv. nac. un-t)
PRQMI ÛULIA CILYX FUNKCIJ
POVIL|NOHO ZROSTANNQ
We obtain sufficient conditions under which the Julia lines of entire functions of slow growth have no
finite exceptional values.
Znajdeno dostatni umovy, za qkyx prqmi Ûulia cilyx funkcij povil\noho zrostannq ne magt\
skinçennyx vynqtkovyx znaçen\.
Nexaj f — meromorfna transcendentna v C (dali meromorfna) funkciq. Bu-
demo vykorystovuvaty standartni poznaçennq nevanlinnivs\ko] teori] rozpodilu
znaçen\ (dyv., napryklad, [1, s. 23 – 37]): T ( r, f ) — nevanlinnivs\ka xarakterys-
tyçna funkciq, n ( r, a, f ) — liçyl\na funkciq toçok a funkci] f, N ( r, a, f ) —
nevanlinnivs\ka liçyl\na funkciq, f * ( z ) = | f ′ ( z ) | / ( 1 + | f ( z ) | 2 ) — sferyçna
poxidna. Promin\ lθ = { z : arg z = θ }, 0 ≤ θ < 2π, budemo nazyvaty prqmog
Ûulia funkci] f, qkwo f nabuva[ neskinçenno çasto bud\-qkoho znaçennq z
rozßyreno] kompleksno] plowyny, za vynqtkom, moΩlyvo, dvox, v koΩnomu kuti
{ z : θ – ε < arg z < θ + ε }, de ε > 0 — dovil\ne çyslo. Qkwo funkciq f nabuva[
znaçennq a ∈ C lyße skinçennu kil\kist\ raziv u kuti { z : θ – ε < arg z < θ + ε }
dlq deqkoho ε > 0, to hovorymo, wo f ma[ vynqtkove znaçennq na prqmij Ûulia
lθ = { z : arg z = θ }.
Dobre vidomo, wo qkwo f — cila transcendentna (dali cila) funkciq, to vo-
na ma[ prynajmni odnu prqmu Ûulia. Qkwo f — meromorfna funkciq i
lim
,
lnr
T r f
r→∞
( )
2 = + ∞
(dyv. [2, 3]) abo qkwo f — meromorfna funkciq i
lim
z→∞
| z | ⋅ f * ( z ) = + ∞
(dyv. [4, 5]), to f ma[ xoça b odnu prqmu Ûulia.
Podal\ßi rezul\taty v c\omu naprqmku naleΩat\ A. M. Ostrovs\komu, Vali-
ronu, Kartrajt, Andersonu i Kluni, Toppili, A. A. Hol\dberhu, M. M. Íeremeti
ta inßym (dyv. [6], rozdil 5).
Naslidugçy U. Xejmana [7], ε-mnoΩynog budemo nazyvaty bud\-qku zliçennu
mnoΩynu kruhiv K ( an , rn ) = { z : | z – an | < rn }, n ∈ N, qki ne mistqt\ poçatku
koordynat i suma kutiv, pid qkymy ]x vydno z poçatku koordynat, [ skinçennog,
tobto
r
a
n
nn=
∞
∑
1
< + ∞.
© M. V. ZABOLOC|KYJ, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6 829
830 M. V. ZABOLOC|KYJ
U roboti [7] dovedeno nastupni vlastyvosti ε-mnoΩyny:
1) dlq majΩe vsix fiksovanyx ϕ i r > r0 ( ϕ ) z = rei ϕ
leΩyt\ zovni ε-mno-
Ωyny;
2) mnoΩyna E takyx r, dlq qkyx kola | z | = r peretynagt\ kruhy ε-mno-
Ωyny, ma[ skinçennu loharyfmiçnu miru.
MnoΩynu E nazyva[mo C0-mnoΩynog, qkwo ]] moΩna pokryty zliçennog
mnoΩynog kruhiv K ( an , rn ) = { z : | z – an | < rn } takyx, wo
rn
a rn n≤
∑ = o ( r ), r → + ∞.
Dodatnu neperervnu nespadnu na [ 0; + ∞ ) funkcig ϕ nazyvatymemo povil\no
zrostagçog funkci[g, qkwo
ϕ ( 2x ) ∼ ϕ ( x ), x → + ∞.
Magt\ misce nastupni teoremy.
Teorema A [8]. Nexaj maksymum modulq M ( r, f ) cilo] funkci] f zadovol\-
nq[ umovu
ln M ( r, f ) = O ( ln2 r ), r → ∞. (1)
Todi f ne ma[ vynqtkovyx znaçen\ na koΩnij svo]j prqmij Ûulia.
Z inßoho boku, v [8] pokazano, wo umova (1) [ nepokrawuvanog v nastupnomu
rozuminni.
Teorema V [8]. Dlq dovil\no] dodatno] na [ 0; + ∞ ) funkci] h ( r ), h ( r ) →
→ + ∞ pry r → + ∞, isnu[ cila funkciq f, qka ma[ prqmu Ûulia l z vynqt-
kovym znaçennqm i
ln M ( r, f ) = O ( h ( r ) ln2 r ), r → ∞.
ZauvaΩennq 1. NevaΩko pokazaty, wo qkwo ln M ( r, f ) zadovol\nq[ (1), to
ln M ( r, f ) [ povil\no zrostagçog funkci[g. Obernene tverdΩennq [ xybnym.
ZauvaΩennq 2. Nuli cilo] funkci] f z teoremy V leΩat\ na odnomu prome-
ni. Z ohlqdu na teoremu 1 baçymo, wo loharyfm maksymumu modulq ln M ( r, f )
funkci] f ne [ povil\no zrostagçog funkci[g.
Tomu vynyka[ pryrodne zapytannq: çy moΩna v teoremi A umovu (1) zaminyty
umovog
ln M ( 2r, f ) ∼ ln M ( r, f ), r → ∞ ? (2)
Na Ωal\, nam ne vdalosq daty povnu vidpovid\ na ce zapytannq. My dovely spra-
vedlyvist\ tverdΩennq teoremy A lyße dlq deqkyx vaΩlyvyx pidklasiv cilyx
funkcij, wo zadovol\nqgt\ umovu (2) (dyv. teoremy 1 – 4).
Teorema 1. Nexaj f — cila funkciq z nulqmy na skinçennij systemi prome-
niv { } =l
j j
n
θ 1, 0 ≤ θ1 < θ2 < … < θn < 2π, i vykonu[t\sq umova (2). Todi prqmymy
Ûulia funkci] f budut\ til\ky promeni lθ j
, j = 1, n , pryçomu na cyx prqmyx
Ûulia funkciq f ne ma[ vynqtkovyx znaçen\.
Pry dovedenni ci[] teoremy budemo vykorystovuvaty nastupni tverdΩennq,
qki sformulg[mo u vyhlqdi lem.
Lema 1 [9]. Nexaj f — cila funkciq nul\ovoho porqdku. Todi funkci]
T ( r, f ), ln M ( r, f ), N ( r, 0, f ) [ povil\no zrostagçymy funkciqmy odnoçasno, pry-
çomu spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
T ( r, f ) ∼ ln M ( r, f ) ∼ N ( r, 0, f ), r → + ∞.
Lema 2 [10]. Nexaj f — cila funkciq nul\ovoho porqdku z dodatnymy nulq-
my, ρ ( r ) — utoçnenyj porqdok funkci] N ( r, 0, f ). Todi:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
PRQMI ÛULIA CILYX FUNKCIJ POVIL|NOHO ZROSTANNQ 831
1) dlq 0 < θ < 2π vykonu[t\sq
ln | f ( rei θ
) | = N ( r, 0, f ) + o ( r
ρ(
r
)
), r → ∞;
2) isnu[ C0-mnoΩyna E taka, wo
ln | f ( z ) | = N ( r, 0, f ) + o ( r
ρ(
r
)
), z = rei θ → ∞, z ∉ E;
3) u vypadku, koly funkciq N ( r, 0, f ) [ povil\no zrostagçog, za ρ ( r )
moΩna vzqty ln N ( r, 0, f ) / ln r, a otΩe, r
ρ(
r
) = N ( r, 0, f ).
Dovedennq teoremy 1. 1. Prypustymo spoçatku, wo funkciq f ma[ nuli na
odnomu promeni. Bez vtraty zahal\nosti vvaΩa[mo, wo ce promin\ l0 = { z : arg z =
= 0 }. Dobre vidomo, wo qkwo funkciq f zadovol\nq[ (2), to f ma[ nul\ovyj po-
rqdok. Todi za lemamy 1 ta 2
ln | f ( z ) | = N ( r, 0, f ) + o ( N ( r, 0, f ) ), z → ∞, z ∉ E, (3)
de mnoΩyna E = K cn nn
( )=
+∞
, ρ
1∪ [ C 0 -mnoΩynog, i koΩnyj zamknenyj kruh
K cn n( ), ρ peretyna[t\sq z promenem l0
. Oskil\ky mnoΩyna E* =
=
K cn nn
, 2
1
ρ( )=
∞∪ [ C0-mnoΩynog i E ⊂ E*
, to bez vtraty zahal\nosti moΩe-
mo vvaΩaty, wo centry kruhiv K ( cn , ρn ) leΩat\ na promeni l0 i c1 < c2 < …
… < cn < … . Z oznaçennq C0-mnoΩyny otrymu[mo, wo dovil\nyj promin\ lθ
,
0 < θ < 2π, poçynagçy z deqkoho r0 > 0, ne peretyna[ mnoΩynu E. Spravdi,
prypustyvßy suprotyvne, oderΩymo, wo isnu[ pidposlidovnist\ ( nk ) natural\-
nyx çysel taka, wo K ( cn
k
, ρnk
) ∩ lθ ≠ ∅. OtΩe, ρnk
≥ cn
k
sin δ, de δ = min {θ; 2π –
– θ }. Todi
ρ ρn
c c
n
n nk
k
≤
∑ ≥ ≥ cn
k
sin δ ≠ o ( cn
k
), k → ∞,
wo supereçyt\ oznaçenng C0-mnoΩyny.
Oskil\ky | f ( z ) | → + ∞ pry z → ∞, z ∉ E, to Ωoden promin\ lθ
, θ ≠ 0, ne [
promenem Ûulia funkci] f. PokaΩemo, wo promin\ l0 [ promenem Ûulia f, na
qkomu funkciq f ne ma[ vynqtkovyx znaçen\. Nexaj ( an ) — poslidovnist\ nu-
liv f. Z tverdΩen\ 1 ta 2 lemy 2 vyplyva[, wo dlq dovil\noho n ∈ N an ∈ E.
Budemo rozhlqdaty lyße ti kruhy K ( cn , ρn ), qki mistqt\ xoça b odnu toçku po-
slidovnosti ( an ). Viz\memo dovil\ne çyslo b ∈ C i nexaj M = | b |. Z (3) otry-
mu[mo, wo | f ( z ) | > M dlq vsix n ≥ n0 na meΩi ∂K ( cn , ρn ). Zvidsy za teoremog
Ruße ma[mo, wo f ma[ prynajmni odnu toçku b u kruzi K ( cn , ρn ), tomu wo
funkci] f ta f + ( – b ) magt\ odnakovu kil\kist\ nuliv u K ( cn , ρn ). Vraxovug-
çy, wo dlq dovil\noho ε > 0, poçynagçy z deqkoho n1
, vsi kruhy K ( cn , ρn ) mis-
tqt\sq v kuti { z : – ε < arg z < ε }, otrymu[mo, wo promin\ l0 [ prqmog Ûulia
funkci] f bez vynqtkovyx znaçen\. OtΩe, teoremu 1 u c\omu vypadku dovedeno.
2. Qkwo nuli funkci] f znaxodqt\sq na skinçennij systemi promeniv
{ } =l
j j
m
θ 1, to za teoremog Vej[rßtrassa pro pobudovu cilo] funkci] z zadanymy
nulqmy zobrazymo f u vyhlqdi f = f1 f2 … fm , de nuli fj znaxodqt\sq na promeni
lθj
, j = 1, m . Todi za lemog 2 dlq koΩnoho j = 1, m ma[mo
ln | fj ( z ) | = N ( r, 0, fj ) + o ( r
ρj
(
r
)
), z → ∞, z ∉ Ej ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
832 M. V. ZABOLOC|KYJ
de ρj ( r ) — utoçnenyj porqdok N ( r, 0, fj ). Oskil\ky
Ejj
m
=1∪ = E [ C0 -mnoΩy-
nog, ρj ( r ) ≤ ρ ( r ), j = 1, m , i N ( r, 0, f ) = N ( r, 0, f1 ) + … + N ( r, 0, fm ) , to ot-
rymu[mo
ln | f ( z ) | = ln | f1 ( z ) | + … + ln | fm ( z ) | = N ( r, 0, f ) + o ( r
ρ(
r
)
)
pry z → ∞, z ∉ E, de ρ ( r ) — utoçnenyj porqdok N ( r, 0, f ). Za lemog 1 N ( r,
0, f ) ∼ T ( r, f ), r → ∞, a otΩe, N ( r, 0, f ) — povil\no zrostagça funkciq. Vraxo-
vugçy lemu 2, otrymu[mo spivvidnoßennq (3). Dali dovedennq analohiçne vypad-
ku 1. Baçymo, wo koΩnyj promin\ θj [ prqmog Ûulia bez vynqtkovyx znaçen\
funkci] f i inßyx prqmyx Ûulia funkciq f ne ma[.
Teoremu 1 dovedeno.
Teorema 2. Qkwo cila funkciq f zadovol\nq[ umovu
ln M ( r ln r, f ) – ln M ( r, f ) = o ( ln M ( r, f ) ), r → ∞, (4)
to f ne ma[ vynqtkovyx znaçen\ na koΩnij svo]j prqmij Ûulia.
Teorema 3. Nexaj cila funkciq f zadovol\nq[ umovu (2), δ( )r =
= sup { t ( ln M ( t, f ) ) ′ ( ln M ( t, f ) )
–
1: t ≥ r }. Qkwo
δ ( r ) = o ( 1 / ln ln r ), r → ∞, (5)
to f ne ma[ vynqtkovyx znaçen\ na koΩnij svo]j prqmij Ûulia.
Teorema 4. Nexaj ϕ — dodatna zrostagça na [ 0; + ∞ ) funkciq taka, wo
ln ln r = o ( ln ϕ ( r ) ), r → ∞. (6)
Qkwo cila funkciq f zadovol\nq[ (2) i
ln M ( r ϕ ( r ), f ) = O ( ln M ( r, f ) ), r → ∞, (7)
to f ne ma[ vynqtkovyx znaçen\ na koΩnij svo]j prqmij Ûulia.
Pry dovedenni cyx teorem nam budut\ potribni nastupni lemy.
Lema 3 [8, s. 81]. Nexaj ρ > 0, µ — dodatna boreleva mira, zadana na plo-
wyni, nosij qko] znaxodyt\sq na kompaktnij mnoΩyni, i µ ( C ) = M, 0 < M < + ∞.
Todi dlq koΩnoho z ∈ C, za vynqtkom mnoΩyny kruhiv, suma radiusiv qkyx ne pe-
revywu[ 32ρ, vykonu[t\sq
C
∫ ln | z – ξ | dµ ( ξ ) ≥ M ln ρ.
Lema 4. Nexaj cila funkciq f zadovol\nq[ umovu (2) i
n ( r, 0, f ) = o ( N ( r, 0, f ) / ln ln r ), r → ∞. (8)
Todi isnu[ ε-mnoΩyna F taka, wo
ln | f ( z ) | ∼ ln M ( r, f ), z = rei θ → ∞, z ∉ F. (9)
Dovedennq. Nexaj an — nuli f. Ma[mo ( f ( 0 ) = 1 )
ln | f ( z ) | = ln ln1 1
1
− = −
=
∞
∑ ∫z
a
z
d e
nn C
ξ
µ ξ ,
ln M ( r, f ) ≤
C
∫ +
ln 1
z
d e
ξ
µ ξ,
de dµ eξ — mira Rissa, asocijovana z nulqmy f. Dlq fiksovanoho z ∈ C vybere-
mo k ∈ N tak, wo 2k ≤ | z | < 2k
+
1
. Todi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
PRQMI ÛULIA CILYX FUNKCIJ POVIL|NOHO ZROSTANNQ 833
0 ≥ ln | f ( z ) | – ln M ( r, f ) ≥
C
∫ −
+
ln
ξ
ξ
µ ξ
z
z
d e =
=
ξ ξ ξ
ξ
ξ
ξ
µ
< ≤ ≤ >− − + +
∫ ∫ ∫+ +
−
+
2 2 2 21 1 2 2k k k k
z
z
d eln = I1 + I2 + I3
.
Vraxovugçy, wo ln
1
1
+
−
x
x
< 3x dlq 0 < x <
1
2
, umovu (8) ta lemu 1, otrymu[mo
( | z | = r )
0 < – I1 ≤
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
µ ξ µ
< <
∫ ∫ ∫+
−
< = ( )
r r
r
z
r
d e
r
d e
r
tdn t f
/ /
/
ln
/
/
, ,
2 2 0
2
1
1
3 3
0 ≤
≤
3
2
n ( r / 2, 0, f ) = o ( N ( r, 0, f ) ) = o ( ln M ( r, f ) ), r → ∞. (10)
Analohiçno, vraxovugçy, wo
n t f
t
( ), ,0
Ü 0 pry t → ∞, ma[mo
0 < – I3 ≤
ξ
ξ
ξ
ξ
µ
>
+∞
∫ ∫+
−
< ( )
2 2
1
1
3
1
0
r r
z
r
d e r
t
dn t fln
/
/
, , =
= 3
2 0
2
0
3
2 0
2
2
2
2
3 2r
n r f
r
n t f
t
dt r
n r f
r
dt
t
r r
− ( ) + ( )
≤ ( )
+∞ +∞
∫ ∫, , , , , ,
/ =
=
3
2
2 0 2
1
2
3 2 0
r
n r f
r
n r f( ) ⋅ ⋅ = ⋅ ( ), , , , =
= o ( N ( r, 0, f ) ) = o ( ln M ( r, f ) ), r → ∞. (11)
Dlq ocinky intehrala I2 zastosu[mo lemu 3. Povna mira plowyny ne perevywu[
n ( 2k
+
2, 0, f ). Vyznaçymo funkcig α ( k ) takym çynom:
n ( 2k
+
2, 0, f ) =
α2 2 0( ) ( )k N f
k
k , ,
ln
. (12)
Z (8) otrymu[mo, wo α ( k ) → 0 pry k → + ∞. Za lemog 3 ma[mo
0 ≥ I2 ≥
0 2 0 22 2< < < <+ +
∫ ∫− − +( )
ξ
ξ
ξ
ξξ µ ξ µ
k k
z d e z d eln ln ≥
≥ n ( 2k
+
2, 0, f ) ( ln ρ – ln ( 2k
+
3
) ) = n ( 2k
+
2, 0, f ) ln ρ
2 3k + (13)
zovni mnoΩyny kruhiv iz kil\cq { z : 2k
–
1 ≤ | z | ≤ 2k
+
2
}, suma radiusiv qkyx ne pe-
revywu[ 32ρ. Vyberemo ρ tak, wo
ln
lnρ
α2 3k
k
k+ = −
( )
.
Todi
ρ = 2 23 3 1k k kk
k
k+ + − ( )−
( )
=exp
ln /
α
α
i z (12) ta (13) otrymu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
834 M. V. ZABOLOC|KYJ
0 ≥ I2 ≥
α
α
2 2( ) ( ) −
( )
k N f
k
k
k
k ,
ln
ln
= o ( N ( 2k, 0, f ) ) = o ( ln M ( r, f ) ), r → ∞,
(14)
zovni mnoΩyny kruhiv iz kil\cq { z : 2k
–
1 ≤ | z | ≤ 2k
+
2
}, suma radiusiv qkyx ne pe-
revywu[
O kk k( )− ( )2 1/α , k → ∞.
OtΩe, suma kutiv, pid qkymy ci kruhy vydno z poçatku koordynat, ne perevywu[
O k k( )− ( )1/α , k → ∞.
Zvidsy otrymu[mo, wo vynqtkova mnoΩyna F [ ε-mnoΩynog, oskil\ky rqd
( )=
∞∑ 1 2
1
/ k
k
[ zbiΩnym. OtΩe, z (10), (11) ta (14) otrymu[mo tverdΩennq le-
myP4.
Lema 5. Nexaj cila funkciq f zadovol\nq[ umovu (9). Todi koΩna prqma
Ûulia funkci] f ne ma[ vynqtkovyx znaçen\.
Dovedennq lemy analohiçne dovedenng teoremy 1 z [8].
Dovedennq teorem 2 – 4. Za umov cyx teorem cila funkciq f ma[ nul\ovyj
porqdok, i tomu za lemog 1 ma[mo ln M ( r, f ) ∼ N ( r, 0, f ), r → ∞. Zvidsy
n ( r, 0, f ) ln ψ ( r ) ≤
r
r r
n t f dt
t
ψ( )
∫ ( ), ,0
≤ N ( r ψ ( r ), 0, f ) – N ( r, 0, f ) =
= ( 1 + o ( 1 ) ) ( ln M ( r ψ ( r ), f ) – ln M ( r, f ) ), r → ∞. (15)
Z ohlqdu na lemy 4 ta 5 dosyt\ pokazaty, wo vykonu[t\sq (8). Poklademo
ψ ( r ) = ln r i z (4) ta (15) otryma[mo (8), wo dovodyt\ teoremu 4.
Oskil\ky [11] (lema 3) ln M ( re1
/
δ
(
r
), f ) ≤ e ln M ( r, f ), to, beruçy ψ ( r ) =
e1
/
δ
(
r
)
, z (15), zavdqky (5), ma[mo (8), i teoremu 5 dovedeno.
Nasamkinec\, pry ψ ( r ) = ϕ ( r ) z (15), vraxovugçy (6) ta (7), znovu otrymu[mo
(8).
1. Hol\dberh A. A., Ostrovskyj Y. V. Raspredelenye znaçenyj meromorfn¥x funkcyj. – M.:
Nauka, 1970. – 496 s.
2. Ostrowski A. Uber Folgen analytisher Funktionen und einige Verscharfungen des Picardschen
Satzes // Math. Z. – 1926. – 24. – S. 215 – 258.
3. Constantinescu C. Einige Anwendungen des hyperbolischen Masses // Math. Nachr. – 1956. – 15.
– S. 155 – 172.
4. Lehto O. The spherical derivative of a meromorphic function in the neighbourhood of an isolated
singularity // Comment. math. helv. – 1959. – 33. – P. 196 – 205.
5. Lehto O., Virtanen K. On the behaviour of meromorphic in the neighbourhood of an isolated
singularity // Ann. Acad. Sci. Fenn. – 1957. – 240. – P. 15 – 26.
6. Hol\dberh A. A., Levyn B. Q., Ostrovskyj Y. V. Cel¥e y meromorfn¥e funkcyy // Ytohy
nauky y texnyky. Sovrem. problem¥ matematyky. Fundam. napravlenyq / VYNYTY. – 1991.
– 85. – S. 5 – 186.
7. Hayman W. Slowly growing integral and subharmonic functions // Comment. math. helv. – 1960. –
34. – P. 75 – 84.
8. Toppila S. Some remarks on exceptional values at Julia line // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. –
1970. – 456. – P. 3 – 20.
9. Zabolockyj N. V., Íeremeta M. N. O medlennom vozrastanyy osnovn¥x xarakterystyk ce-
l¥x funkcyj // Mat. zametky. – 1999. – 65, # 2. – S. 206 – 214.
10. Hol\dberh A. A., Zabolockyj N. V. Yndeks koncentracyy subharmonyçeskoj funkcyy nule-
voho porqdka // Tam Ωe. – 1983. – 24, # 3. – S. 34 – 46.
11. Bratywev A. V., Korobejnyk G. F. O nekotor¥x xarakterystykax rosta subharmonyçeskyx
funkcyj // Mat. sb. – 1978. – 106, # 1. – S. 44 – 65.
OderΩano 01.06.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3498 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:40Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4a/9c89ee57c1cdf9d511a8b5faf5b9194a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-34982020-03-18T19:56:00Z Julia lines of entire functions of slow growth Прямі Жуліа цілих функцій повільного зростання Zabolotskii, N. V. Заболоцький, М. В. We obtain sufficient conditions under which the Julia lines of entire functions of slow growth do not have finite exceptional values. Знайдено достатні умови, за яких прямі Жуліа цілих функцій повільного зростання не мають скінченних виняткових значень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3498 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 6 (2006); 829–834 Український математичний журнал; Том 58 № 6 (2006); 829–834 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3498/3733 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3498/3734 Copyright (c) 2006 Zabolotskii N. V. |
| spellingShingle | Zabolotskii, N. V. Заболоцький, М. В. Julia lines of entire functions of slow growth |
| title | Julia lines of entire functions of slow growth |
| title_alt | Прямі Жуліа цілих функцій повільного зростання |
| title_full | Julia lines of entire functions of slow growth |
| title_fullStr | Julia lines of entire functions of slow growth |
| title_full_unstemmed | Julia lines of entire functions of slow growth |
| title_short | Julia lines of entire functions of slow growth |
| title_sort | julia lines of entire functions of slow growth |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3498 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotskiinv julialinesofentirefunctionsofslowgrowth AT zabolocʹkijmv julialinesofentirefunctionsofslowgrowth AT zabolotskiinv prâmížulíacílihfunkcíjpovílʹnogozrostannâ AT zabolocʹkijmv prâmížulíacílihfunkcíjpovílʹnogozrostannâ |