Problem of interpolation of functions by two-dimensional continued fractions
We investigate the problem of interpolation of functions of two real variables by two-dimensional continued fractions.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3500 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509600251379712 |
|---|---|
| author | Pahirya, M. M. Svyda, T. S. Пагіря, М. М. Свида, Т. С. |
| author_facet | Pahirya, M. M. Svyda, T. S. Пагіря, М. М. Свида, Т. С. |
| author_sort | Pahirya, M. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:00Z |
| description | We investigate the problem of interpolation of functions of two real variables by two-dimensional continued fractions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518:519.652
М. М. Пагiря, Т. С. Свида (Ужгород. нац. ун-т)
ЗАДАЧА IНТЕРПОЛЯЦIЇ ФУНКЦIЙ
ДВОВИМIРНИМИ ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ
The problem of the interpolation of functions of two real variables by two-dimensional continued fractions
is investigated.
Дослiджується задача iнтерполяцiї функцiй двох дiйсних змiнних двовимiрними ланцюговими
дробами.
Вступ. Задачу iнтерполяцiї функцiй двох дiйсних змiнних двовимiрними ланцюго-
вими дробами вивчали X. Й. Кучмiнська [1] та А. Коут [2]. Подальшi дослiдження
були проведенi в роботах [3 – 6], де, зокрема, запропоновано дещо iнший алгоритм
обчислення коефiцiєнтiв iнтерполяцiйного двовимiрного ланцюгового дробу та по-
ширено методику на задачу iнтерполяцiї функцiй трьох дiйсних змiнних тривимiр-
ними ланцюговими дробами. Iншi типи iнтерполяцiйних двовимiрних ланцюгових
дробiв розглянуто в роботах [7 – 9]. Дана робота є продовженням дослiджень,
розпочатих у [9].
Двовимiрнi iнтерполяцiйнi ланцюговi дроби. Розглянемо функцiональний
двовимiрний ланцюговий дрiб (ДЛД) вигляду
D(x, y) = Φ0(x, y) +
∞
K
i=1
aii(x, y)
Φi(x, y)
, (1)
де
Φi(x, y) = bii(x, y) +
∞
K
j=i+1
aji(x, y)
bji(x, y)
+
∞
K
j=i+1
aij(x, y)
bij(x, y)
, i = 0, 1, . . . ,
aij(x, y) 6≡ 0, bij(x, y) — функцiї двох змiнних.
Означення 1. Скiнченний функцiональний двовимiрний ланцюговий дрiб
D(nx,ny)(x, y) = Φ(nx,ny)
0 (x, y) +
n
K
i=1
aii(x, y)
Φ(nx,ny)
i (x, y)
, n = min{nx, ny}, (2)
де
Φ(nx,ny)
i (x, y) = bii(x, y) +
nx
K
j=i+1
aji(x, y)
bji(x, y)
+
ny
K
j=i+1
aij(x, y)
bij(x, y)
, i = 0, 1, . . . , n,
називається (nx, ny)-пiдхiдним дробом ДЛД (1).
Далi вважаємо, що
t
K
s=r
as
bs
= 0, якщо r > t. Позначимо nxy = (nx, ny).
Використавши аналог оберненого рекурентного алгоритму [4, 5], запишемо
ДЛД (2) у виглядi Dnxy
(x, y) =
Pnxy
(x, y)
Qnxy (x, y)
, де Pnxy
(x, y) — чисельник i Qnxy
(x, y) —
знаменник пiдхiдного дробу (2).
Формула рiзницi пiдхiдних дробiв. Використовуючи методику з [10], можна
встановити формулу рiзницi мiж пiдхiдними дробами. Позначимо залишок, хвiст
ДЛД (2), через
c© М. М. ПАГIРЯ, Т. С. СВИДА, 2006
842 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
ЗАДАЧА IНТЕРПОЛЯЦIЇ ФУНКЦIЙ ДВОВИМIРНИМИ ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 843
Q
nxy
k = Φnxy
k (x, y) +
n
K
i=k+1
aii(x, y)
Φnxy
i (x, y)
, k = 0, . . . , n− 1,
Qnxy
n = Φnxy
n (x, y).
(3)
Нехай nxy + 1 = (nx + 1, ny + 1). Тодi
Dnxy+1 −Dnxy
=
n∑
m=0
( (−1)nx+1
∏nx+1
j=m+1
ajm
Qnx,m Qnx+1,m
+
(−1)ny+1
∏ny+1
j=m+1
amj
Qm,ny Qm,ny+1
)
×
×
m∏
s=1
ass
Q
nxy
s Q
nxy+1
s
+
(−1)n
∏n+1
s=1
ass
Q
nxy+1
n+1
∏n
s=1
Qnxy
s Qnxy+1
s
, (4)
де Qnx,m — знаменник ланцюгового дробу
nx
K
i=m+1
aim
bim
, Qm,ny
— знаменник ланцю-
гового дробу
ny
K
i=m+1
ami
bmi
(аналогiчно Qnx+1,m i Qm,ny+1).
Формула залишкового члена двовимiрного iнтерполяцiйного ланцюгового
дробу. Нехай функцiя двох змiнних f(x, y) неперервна разом iз своїми частинними
похiдними до (kx +1)-го порядку за змiнною x i до (ky +1)-го порядку за змiнною
y на множинi G = [αx, βx]× [αy, βy].
Виберемо розбиття X = {xi : xi ∈ [αx, βx], xi 6= xl при i 6= l, i, l = 0, 1, . . . , kx }
та Y = {yj : yj ∈ [αy, βy], yj 6= yl при j 6= l, j, l = 0, 1, . . . , ky}. Декартiв добуток
цих множин Gkxy = X × Y = {(xi, yj) : xi ∈ X, yj ∈ Y } утворює сiтку вузлiв у
множинi G. Нехай маємо функцiональний ДЛД (2), де nx = nx(kx), ny = ny(ky).
Означення 2. Скiнченний функцiональний двовимiрний ланцюговий дрiб (2)
називається двовимiрним iнтерполяцiйним ланцюговим дробом (ДIЛД), якщо в
точках сiтки Gkxy
виконуються спiввiдношення
Dnxy
(xi, yj) = cij , (5)
де cij = f(xi, yj), i = 0, 1, . . . , kx, j = 0, 1, . . . , ky.
Якщо ДЛД (2) є iнтерполяцiйним, то рiзниця Rnxy
(x, y) = f(x, y)−
Pnxy
(x, y)
Qnxy
(x, y)
називається залишковим членом ДIЛД. Будемо вважати, що частиннi чисельники
aij(x, y) та частиннi знаменники bij(x, y) — многочлени. Використовуючи теоре-
му 1 з роботи В. Гауссмана [11], можна довести наступне твердження.
Теорема 1 [9]. Нехай функцiя f(x, y) ∈ C(kx+1,ky+1)(G), ДЛД (2) — iнтер-
поляцiйний, чисельник Pnxy (x, y) та знаменник Qnxy (x, y) дробу (2) — многочле-
ни, degx Pnxy
(x, y) 6 kx, degy Pnxy
(x, y) 6 ky. Тодi знайдуться ξ, θ ∈ (αx, βx),
η, ν ∈ (αy, βy) такi, що
Rnxy
(x, y) = f(x, y)−
Pnxy
(x, y)
Qnxy (x, y)
=
=
1
Qnxy
(x, y)
[
ωkx(x)
(kx + 1)!
∂kx+1 h(x, y)
∂xkx+1
∣∣∣∣
x=θ
+
ωky (y)
(ky + 1)!
∂ky+1 h(x, y)
∂yky+1
∣∣∣∣
y=ν
+
+
ωkx(x) ωky (y)
(kx + 1)! (ky + 1)!
∂kx+ky+2 h(x, y)
∂xkx+1∂yky+1
∣∣∣∣x=ξ
y=η
]
, (6)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
844 М. М. ПАГIРЯ, Т. С. СВИДА
ωkx
(x) =
kx∏
i=0
(x− xi), ωky
(y) =
ky∏
j=0
(y − yj), h(x, y) = Qnxy
(x, y) f(x, y).
ДIЛД типу Кучмiнської – Коут. Розглянемо деякi типи ДIЛД. Розпочнемо iз
ДIЛД, запропонованого Х. Й. Кучмiнською [1] та А. Коут [2]. Нехай в ДIЛД (2)
частиннi чисельники aij(x, y) визначено таким чином:
aij(x, y) =
x− xi−1 при i > j,
y − yj−1 при i < j,
(x− xi−1)(y − yi−1) при i = j,
знаменники bij — коефiцiєнти, nx = kx, ny = ky. Тодi маємо ДIЛД Кучмiнської –
Коут
Dnxy
(x, y) =
Pnxy
(x, y)
Qnxy (x, y)
= Φnxy
0 (x, y) +
n
K
k=1
(x− xk−1)(y − yk−1)
Φnxy
k (x, y)
,
n = min{nx, ny},
(7)
де
Φnxy
k (x, y) = bkk +
nx
K
i=k+1
x− xi−1
bik
+
ny
K
i=k+1
y − yi−1
bki
.
Теорема 2 [5]. ДIЛД (7) є дробово-рацiональною функцiєю двох незалежних
змiнних. Степенi многочленiв Pnxy
(x, y) та Qnxy
(x, y) за змiнними x i y задо-
вольняють нерiвностi deg
k
Pnxy (x, y) 6 r(nk), deg
k
Qnxy (x, y) 6 r(nk) + ε(nk), де
r(nk) =
(nk + 1)2 + ε(nk + 1)
4
, ε(nk) =
(−1)nk − 1
2
, k ∈ {x, y}.
Легко бачити, що кiлькiсть коефiцiєнтiв ДIЛД (7) дорiвнює кiлькостi iнтер-
поляцiйних вузлiв у Gnxy
. Коефiцiєнти ДIЛД (7) можна визначити за допомогою
алгоритму обернених подiлених рiзниць Кучмiнської – Коут [1, 2] або безпосере-
дньо з умови (5). Розглянемо матрицi
X = (xij)i,j=0,1,...,nx
, xij =
xi − xj при i > j,
1 при i 6 j,
(8)
та
Y = (yij)i,j=0,1,...,ny , yij =
yi − yj при i > j,
1 при i 6 j.
(9)
Частинна обернена подiлена рiзниця k-го порядку для функцiй двох змiнних
визначається за формулою
δk
ij =
xikyjk
δk−1
ij + θk
j δk−1
ik + θk
i δk−1
kj + θk
i θk
j δk−1
kk
, δ−1
ij = cij ,
θt
s =
−1 при s > t,
0 при s 6 t,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
ЗАДАЧА IНТЕРПОЛЯЦIЇ ФУНКЦIЙ ДВОВИМIРНИМИ ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 845
i = 0, 1, . . . , nx, j = 0, 1, . . . , ny, k = 0, . . . , N − 1,
N = max{nx, ny}, i, j > k.
Твердження 1 [5, 6]. Коефiцiєнти ДIЛД (7) задовольняють спiввiдношення
bij = δs−1
ij , (10)
де i = 0, 1, . . . , nx, j = 0, 1, . . . , ny, s = max{i, j}.
Оцiнка залишкового члена ДIЛД Кучмiнської – Коут. Далi будемо викорис-
товувати наступне твердження для ланцюгових дробiв.
Теорема 3 [12]. Якщо всi частиннi чисельники ak та частиннi знаменники bk
ланцюгового дробу
P
(n)
m
Q
(n)
m
=
n
K
k=m
ak
bk
задовольняють умови |ak| 6 d, |bk| > d+1, то
|Q(n)
m | >
dn+1−m − 1
d− 1
при d 6= 1,
n + 1−m при d = 1.
Теорема 4. Нехай виконуються умови: 1) для функцiї f(x, y), неперервної в
областi G, визначено ДIЛД (7), коефiцiєнти якого обчислюються за значеннями
функцiї в точках сiтки Gnxy
за формулами (10); 2) коефiцiєнти ДIЛД (7) задоволь-
няють умови |bij | > dx + 1, |bji| > dy + 1, i > j, |bii| > dxdy + 3, i = 1, . . . , n,
де dx = βx − αx, dy = βy − αy; 3) знайдеться точка (x∗, y∗) ∈ G, x∗ /∈ X,
y∗ /∈ Y, така що |bnx+1,j(x∗)| > dx + 1, |bi,ny+1(y∗)| > dy + 1, i = 0, 1, . . . , nx, j =
= 0, . . . , ny, |bn+1,n+1(x∗, y∗)| > dx dy +3, де коефiцiєнти bnx+1,j(x∗), bi,ny+1(y∗),
bn+1,n+1(x∗, y∗) визначаються за формулами (10) у випадку, коли xnx+1 = x∗,
yny+1 = y∗. Тодi виконується нерiвнiсть∣∣f(x∗, y∗)−Dnxy
(x∗, y∗)
∣∣ ≤
≤
∑n
m=0
dnx+1
x (dx − 1)2
dm
y (dnx+1
x − dm
x )(dnx+2
x − dm
x )
+
+
∑n
m=0
d
ny+1
y (dy − 1)2
dm
x (dny+1
y − dm
y )(dny+2
y − dm
y )
+
1
dn
xdn
y
, dx 6= 1, dy 6= 1,
∑n
m=0
1
dm
y (nx + 1−m)(nx + 2−m)
+
+
∑n
m=0
d
ny+1
y (dy − 1)2
(dny+1
y − dm
y )(dny+2
y − dm
y )
+
1
dn
y
, dx = 1, dy 6= 1,
∑n
m=0
dnx+1
x (dx − 1)2
(dnx+1
x − dm
x )(dnx+2
x − dm
x )
+
+
∑n
m=0
1
dm
x (ny + 1−m)(ny + 2−m)
+
1
dn
x
, dx 6= 1, dy = 1,∑n
m=0
1
(nx + 1−m)(nx + 2−m)
+
+
∑n
m=0
1
(ny + 1−m)(ny + 2−m)
+ 1, dx = 1, dy = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
846 М. М. ПАГIРЯ, Т. С. СВИДА
Доведення. Виберемо точку (x∗, y∗). Згiдно з умовами теореми x∗ /∈ X, y∗ /∈ Y.
За значеннями функцiї f(x, y) у точках сiтки Gnxy+1 = {x0, . . . , xnx
, xnx+1} ×
×{y0, . . . , yny
, yny+1}, де xnx+1 = x∗, yny+1 = y∗, побудуємо ще один ДIЛД
Dnxy+1(x, y) = Φnxy+1
0 (x, y) +
n+1
K
k=1
(x− xk−1)(y − yk−1)
Φnxy+1
k (x, y)
, (11)
де
Φnxy+1
k (x, y) = bkk +
nx+1
K
i=k+1
x− xi−1
bik
+
ny+1
K
i=k+1
y − yi−1
bki
, k = 0, 1, . . . , n + 1.
Легко бачити, що коефiцiєнти bij , i = 0, 1, . . . , nx, j = 0, 1, . . . , ny, у ДIЛД (11)
дорiвнюють вiдповiдним коефiцiєнтам у ДIЛД (7) за побудовою, а коефiцiєнти
bnx+1,i = bnx+1,i(x∗), bi,ny+1 = bi,ny+1(y∗), bn+1,n+1 = bn+1,n+1(x∗, y∗) i визнача-
ються за формулами (10).
ДIЛД (11) є iнтерполяцiйним, тобто Dnxy+1(x∗, y∗) = f(x∗, y∗) за побудовою,
тодi
f(x∗, y∗)−Dnxy (x∗, y∗) = Dnxy+1(x∗, y∗)−Dnxy (x∗, y∗). (12)
Рiзниця мiж пiдхiдними дробами Dnxy+1(x∗, y∗) − Dnxy
(x∗, y∗) визначається за
формулою (4), коли ajm = x − xj−1, j = m + 1, . . . , nx + 1, amj = y − yj−1,
j = m + 1, . . . , ny + 1, m = 0, 1, . . . , n, ass = (x− xs−1)(y − ys−1), s = 1, 2, . . . , n.
Скориставшись методом повної математичної iндукцiї, можна довести, що
|Qnxy
k | > dxdy, k = 1, 2, . . . , n, |Qnxy+1
k | > dxdy, k = 1, 2, . . . , n + 1. (13)
Знаменники Qnx,m, Qnx+1,m, Qm,ny
, Qm,ny+1 ланцюгових дробiв оцiнюються
за модулем згiдно з теоремою 3. Звiдси й отримуємо твердження теореми.
Двовимiрний iнтерполяцiйний ланцюговий C ′–дрiб. Розглянемо ДIЛД у
виглядi C ′-дробу (C ′-ДIЛД)
Dnxy (x, y) = b00 + Φnxy
0 (x, y) +
n
K
i=1
bii(x− xi−1)(y − yi−1)
1 + Φnxy
i (x, y)
, n = min{nx, ny},
(14)
де
Φnxy
i (x, y) =
nx
K
j=i+1
bji(x− xj−1)
1
+
ny
K
j=i+1
bij(y − yj−1)
1
, i = 0, 1, . . . , n.
Визначимо коефiцiєнти C ′-ДIЛД (14) таким чином, щоб у вузлах множини
Gnxy
виконувалась умова (5). Введемо позначення
β
(k)
ij =
ω
(k−1)
ij
xikyj k
[
1
β
(k−1)
ij
+
θk
j
β
(k−1)
ik
+
θk
i
β
(k−1)
kj
+
θk
j θk
i
β
(k−1)
kk
]
, (15)
де
ω
(k−1)
ij =
β
(k−1)
ik при j > i, i < k,
β
(k−1)
kj при i > j, j < k,
β
(k−1)
kk при i > k, j > k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
ЗАДАЧА IНТЕРПОЛЯЦIЇ ФУНКЦIЙ ДВОВИМIРНИМИ ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 847
β
(0)
ij =
cij + θ0
j ci0 + θ0
i c0j + θ0
j θ0
i c00
xi0 yj0
,
i = 0, 1, . . . , nx, j = 0, 1, . . . , ny, k = 1, 2, . . . , N − 1, N = max{nx, ny}.
Твердження 2. Коефiцiєнти ДIЛД (14) можна знайти за допомогою спiввiд-
ношення
bij = β
(k−1)
ij , i = 0, 1, . . . , nx, j = 0, 1, . . . , ny, k = max{i, j}. (16)
Доведення. Доведемо формулу (16) за допомогою методу повної математичної
iндукцiї, аналогiчно тому, як це зроблено в [4]. Легко бачити, що формула має
мiсце для коефiцiєнтiв Φnxy
0 (x, y) [9] при довiльних nx та ny. Для k = 0, . . . , nx,
m = 0, . . . , ny виконується рiвнiсть
Φnxy
0 (xk, ym) =
nx
K
j=1
bj0xkj−1
1
+
ny
K
j=1
b0jymj−1
1
= ck0 + c0m − 2 b00. (17)
Припустимо, що коефiцiєнти Φnxy
k (x, y), k = 1, 2, . . . , n, визначаються за форму-
лою (16) при n = t− 1. Нехай n = t. Маємо
Dtxy (x, y) = b00 +Φtxy
0 (x, y)+
b11 (x− x0) (y − y0)
1 + Φtxy
1 (x, y) +
t
K
i=2
bii (x− xi−1) (y − yi−1)
1 + Φtxy
i (x, y)
. (18)
Позначимо
µ(x, y) = 1 + Φtxy
1 (x, y) +
t
K
i=2
bii (x− xi−1) (y − yi−1)
1 + Φtxy
i (x, y)
. (19)
Тодi (18) запишеться у виглядi Dtxy
(x, y) = b00 +Φtxy
0 (x, y)+
b11 (x− x0) (y − y0)
µ(x, y)
.
Оскiльки Dtxy (xi, yj) = cij при i = 0, 1, . . . , tx, j = 0, 1, . . . , ty, то з урахуванням
(17) маємо µij = µ(xi, yj) =
b11xi0yj0
cij − ci0 − c0j − c00
.
Двовимiрний ланцюговий дрiб (19) має t− 1 поверх, а його коефiцiєнти, згiдно
з припущенням, визначаються за формулою (16). Отже,
bij = β̃
(k−1)
ij , i = 1, 2, . . . , tx, j = 1, 2, . . . , ty, k = max{i, j}, (20)
де
β̃
(k)
ij =
ω̃
(k−1)
ij
xikyjk
[
θk
j θk
i
β̃
(k−1)
kk
+
θk
j
β̃
(k−1)
ik
+
θk
i
β̃
(k−1)
kj
+
1
β̃
(k−1)
ij
]
,
ω̃
(k−1)
ij =
β̃
(k−1)
ik при j > i, i < k,
β̃
(k−1)
j k при i > j, j < k,
β̃
(k−1)
kk при i > k, j > k,
β̃
(1)
ij =
µij − µi1 − µ1j + µ11
xi1 yj1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
848 М. М. ПАГIРЯ, Т. С. СВИДА
Очевидно, що β̃
(1)
ij = β
(1)
ij . Легко переконатися, що β̃
(k)
ij = β
(k)
ij , i = 2, . . . , tx,
j = 2, . . . , ty. Отже, формула (16) має мiсце i в цьому випадку.
Твердження 3. ДIЛД (7) та ДIЛД (14) є еквiвалентними.
Доведення. Нехай bij , i = 0, . . . , nx, j = 0, . . . , ny, i 6= j, bkk, k = 0, . . . , n, —
коефiцiєнти ДIЛД (7), b∗ij , i = 0, . . . , nx, j = 0, . . . , ny, i 6= j, b∗kk, k = 0, . . . , n, —
коефiцiєнти ДIЛД (14). Легко бачити, що
b∗00 = b00, b∗10 =
1
b10
, b∗01 =
1
b01
, b∗i0 =
1
bi0bi−10
, i = 2, . . . , nx,
b∗0i =
1
b0ib0i−1
, i = 2, . . . , ny,
b∗11 =
1
b11
, b∗ii =
1
biibi−1i−1
, i = 2, 3, . . . , n,
b∗ki =
1
bk−1ibki
, i = 1, . . . , n, k = i + 1, . . . , nx,
b∗ik =
1
bik−1bik
, i = 1, . . . , n, k = i + 1, . . . , ny.
Наведенi в попереднiх пунктах алгоритми дозволяють визначати коефiцiєнти
вказаних ДIЛД через значення функцiї у вузлах сiтки незалежно.
Оцiнка залишкового члена C ′-ДIЛД. Якщо скористатися методикою Д. I. Бод-
нара [10] (теореми 3.14, 3.15), то можна довести наступну теорему.
Теорема 5. Якщо коефiцiєнти ланцюгового дробу b0 +
∞
K
i=1
bi
1
задовольняють
умови |b0| 6 1, |bi| 6 α = t(1− t), 0 6 t 6
1
2
, i = 1, 2, . . . , то: 1) ланцюговий дрiб
є збiжним; 2) мають мiсце такi оцiнки швидкостi збiжностi:
|fn − fm| 6
n−m
2(n + 1)(m + 1)
, якщо t =
1
2
,
(1− 2t)tm+1(1− t)m+1((1− t)n−m − tn−m)
((1− t)n+1 − tn+1)((1− t)m+1 − tm+1)
, якщо 0 6 t <
1
2
;
(21)
3) при кожному n = 0, 1, . . . пiдхiдний дрiб fn задовольняє нерiвнiсть |fn − b0| 6 t.
Позначимо через Q
(s)
k = 1 +
s
K
i=k+1
bi
1
залишок ланцюгового дробу.
Наслiдок 1. При виконаннi умов теореми 5 справджується оцiнка
∣∣∣Q(s)
k
∣∣∣ >
s− k + 2
2(s− k + 1)
, t =
1
2
,
(1− t)s−k+2 − ts−k+2
(1− t)s−k+1 − ts−k+1
, 0 6 t <
1
2
.
(22)
Доведення. Мажорантою для даного ланцюгового дробу буде дрiб 1+
∞
K
i=1
−t(1− t)
1
.
Позначимо через Pm, Qm, gm вiдповiдно чисельник, знаменник та m-й пiдхiдний
дрiб мажоруючого ланцюгового дробу. Можна показати, що Pm = Qm+1 > 0 та
Qm = (1− t)m + t(1− t)m−1 + . . . + tm, m = 1, 2, . . . . (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
ЗАДАЧА IНТЕРПОЛЯЦIЇ ФУНКЦIЙ ДВОВИМIРНИМИ ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 849
За допомогою методу математичної iндукцiї легко переконатися, що∣∣∣Q(s)
k
∣∣∣ > gs−k. (24)
З (23) та (24) при t =
1
2
маємо
∣∣∣Q(s)
k
∣∣∣ > gs−k =
Qs−k+1
Qs−k
=
s− k + 2
2(s− k + 1)
. Виконаємо
в (23) замiну t = x−1, тодi Qp =
(x− 1)p
xp
+
(x− 1)p−1
xp
+ . . .+
1
xp
=
(x− 1)p+1 − 1
xp(x− 2)
.
Повернувшись до змiнної t, маємо
Qp = ((1− t)p+1 − tp+1)(1− 2t)−1. (25)
Враховуючи (24) i (25), отримуємо
∣∣∣Q(s)
k
∣∣∣ > gs−k =
Qs−k+1
Qs−k
=
=
(1− t)s−k+2 − ts−k+2
(1− t)s−k+1 − ts−k+1
. Отже, оцiнка (22) має мiсце.
Теорема 6. Нехай виконуються такi умови: 1) для функцiї f(x, y), яка не-
перервна i визначена в областi G, побудовано C ′-ДIЛД (14), коефiцiєнти якого
визначено за значеннями функцiї у вузлах сiтки Gnxy
; 2) коефiцiєнти C ′-ДIЛД (14)
задовольняють умови
|aij | 6
tx(1− tx) ∀x ∈ [αx, βx], i > j, i = 0, . . . , nx, j = 0, . . . , ny,
ty(1− ty) ∀y ∈ [αy, βy], i < j, i = 0, . . . , nx, j = 0, . . . , ny,
tx + ty ∀(x, y) ∈ G, i = j, i = 0, 1, . . . , n,
де 0 6 tx, ty 6
1
2
, aij = bij(y − yj−1), aji = bji(x− xj−1), aii = bii(x− xi−1)(y −
−yi−1); 3) знайдеться точка (x∗, y∗) ∈ G, x∗ /∈ X, y∗ /∈ Y, для якої виконуються
нерiвностi |anx+1j(x∗)| 6 tx(1 − tx), j = 0, . . . , ny,
∣∣ainy+1(y∗)
∣∣ 6 ty(1 − ty),
i = 0, 1, . . . , nx, |an+1n+1(x∗, y∗)| 6 tx + ty, де величини bnx+1j(x∗), biny+1(y∗),
bn+1n+1(x∗, y∗) визначаються за формулами (20) у випадку, коли xnx+1 = x∗,
yny+1 = y∗. Тодi має мiсце оцiнка∣∣f(x∗, y∗)−Dnxy
(x∗, y∗)
∣∣ 6
≤
n∑
m=0
(
2−2(nx−m)(nx −m + 1)
nx −m + 3
+
2−2(ny−m)(ny −m + 1)
ny −m + 3
)
+ 1 (26)
при tx =
1
2
, ty =
1
2
; ∣∣f(x∗, y∗)−Dnxy
(x∗, y∗)
∣∣ 6
≤
n∑
m=0
(
tnx−m+1
x (1− tx)nx−m+1((1− tx)nx−m+1 − tnx−m+1
x )
(1− tx)nx−m+3 − tnx−m+3
x
+
+
2−2(ny−m)(ny −m + 1)
ny −m + 3
)
1
(tx + 1/2)m
+
1
(tx + 1/2)n
(27)
при tx 6=
1
2
, ty =
1
2
;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
850 М. М. ПАГIРЯ, Т. С. СВИДА∣∣f(x∗, y∗)−Dnxy
(x∗, y∗)
∣∣ 6
≤
n∑
m=0
(
t
ny−m+1
y (1− ty)ny−m+1((1− ty)ny−m+1 − t
ny−m+1
y )
(1− ty)ny−m+3 − t
ny−m+3
y
+
+
2−2(nx−m)(nx −m + 1)
nx −m + 3
)
1
(ty + 1/2)m
+
1
(ty + 1/2)n
(28)
при tx =
1
2
, ty 6=
1
2
;
∣∣f(x∗, y∗)−Dnxy (x∗, y∗)
∣∣ 6
≤
n∑
m=0
(
tnx−m+1
x (1− tx)nx−m+1((1− tx)nx−m+1 − tnx−m+1
x )
(1− tx)nx−m+3 − tnx−m+3
x
+
+
t
ny−m+1
y (1− ty)ny−m+1((1− ty)ny−m+1 − t
ny−m+1
y )
(1− ty)ny−m+3 − t
ny−m+3
y
)
×
×
1
(tx + ty)m
+
1
(tx + ty)n
(29)
при tx 6=
1
2
, ty 6=
1
2
.
Доведення. Оскiльки x∗ /∈ X, y∗ /∈ Y, то за значеннями функцiї f(x, y) у
точках сiтки Gnxy+1 = {x0, . . . , xnx
, xnx+1}× {y0, . . . , yny
, yny+1}, де xnx+1 = x∗,
yny+1 = y∗, побудуємо C ′-ДIЛД
Dnxy+1(x, y) = b00 + Φ(nx+1,ny+1)
0 (x, y) +
n+1
K
i=1
bii(x− xi−1)(y − yi−1)
1 + Φ(nx+1,ny+1)
i (x, y)
, (30)
де
Φ(nx+1,ny+1)
i (x, y) =
nx+1
K
j=i+1
bji(x− xj−1)
1
+
ny+1
K
j=i+1
bij(y − yj−1)
1
.
C ′-ДIЛД (30) є iнтерполяцiйним, тобто Dnxy+1(x∗, y∗) = f(x∗, y∗) за побудо-
вою, а тодi f(x∗, y∗)−Dnxy
(x∗, y∗) = Dnxy+1(x∗, y∗)−Dnxy
(x∗, y∗). Рiзниця мiж
Dnxy+1(x∗, y∗) та Dnxy (x∗, y∗) визначається формулою (4).
Скориставшись теоремою 5 та методом повної математичної iндукцiї, доводимо,
що ∣∣Qnxy
k
∣∣ > tx + ty, k = 1, 2, . . . , n,∣∣∣Qnxy+1
k
∣∣∣ > tx + ty, k = 1, 2, . . . , n + 1.
(31)
Знаменники Qnx,m, Qnx+1,m, Qm,ny
, Qm,ny+1 ланцюгових дробiв оцiнюються
за модулем згiдно з наслiдком 1. З оцiнок (22), (31) та (4) отримуємо нерiвнос-
тi (26) – (29).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
ЗАДАЧА IНТЕРПОЛЯЦIЇ ФУНКЦIЙ ДВОВИМIРНИМИ ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ 851
1. Скоробогатько В. Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной
математике. – М.: Наука, 1983. – 312 с.
2. Cuyt A., Verdonk B. Different technique for the construction of multivariate rational interpolation
and Pade approximants. – Antwerpen: Univ. Instelling, 1988. – 158 p.
3. Пагiря М. М. Iнтерполяцiя функцiй ланцюговим дробом та гiллястим ланцюговим дробом
спецiального виду // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. Сер. мат. – 1994. – Вип. 1. – С. 72 – 79.
4. Пагiря М. М. Iнтерполяцiя функцiй ланцюговим дробом та його узагальненнями у випадку
функцiй багатьох змiнних // Там же. – 1998. – Вип. 3. – С. 155 – 164.
5. Пагiря М. М. Про побудову двовимiрного та тривимiрного iнтерполяцiйних ланцюгових дробiв
// Там же. – 1999. – Вип. 4. – С. 85 – 89.
6. Pahirya M. About the construction of twodimension and threedimension interpolating continued
fraction // Commun. Analyt. Theory Contin. Fract. – 2000. – 8. – P. 205 – 207.
7. Kuchmins’ka Kh., Vozna S. On Newton – Thiele-like interpolating formula // Ibid. – P. 74 – 79.
8. Кучмiнська Х. Й., Сусь О. М., Возна С. М. Апроксимативнi властивостi двовимiрних непе-
рервних дробiв // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 1. – С. 30 – 44.
9. Pahirya M., Svyda T. Problem of interpolation function of two-dimensional and three-dimensional
interpolating continued fractions // Commun. Analyt. Theory Contin. Fract. – 2003. – 11. – P. 64 – 80.
10. Боднар Д. И. Ветвящиеся цепные дроби. – Киев: Наук. думка, 1986. – 176 с.
11. Haussmann W. On a multivariate Rolle type theorem and the interpolation remainder formula // Int.
Ser. Numer. Math. – 1979. – 51. – P. 137 – 145.
12. Pahirya M. Some new aspects of Thiele interpolation continued fraction // Commun. Analyt. Theory
Contin. Fract. – 2001. – 9. – P. 21 – 29.
Одержано 25.11.2004,
пiсля доопрацювання — 18.04.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-3500 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:41Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d4/d65a42a6d96ce4aff4c808481bfe88d4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35002020-03-18T19:56:00Z Problem of interpolation of functions by two-dimensional continued fractions Задача інтерполяції функцій двовимірними ланцюговими дробами Pahirya, M. M. Svyda, T. S. Пагіря, М. М. Свида, Т. С. We investigate the problem of interpolation of functions of two real variables by two-dimensional continued fractions. Досліджується задача інтерполяції Функцій двох дійсних змінних двовимірними ланцюговими дробами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3500 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 6 (2006); 842–851 Український математичний журнал; Том 58 № 6 (2006); 842–851 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3500/3737 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3500/3738 Copyright (c) 2006 Pahirya M. M.; Svyda T. S. |
| spellingShingle | Pahirya, M. M. Svyda, T. S. Пагіря, М. М. Свида, Т. С. Problem of interpolation of functions by two-dimensional continued fractions |
| title | Problem of interpolation of functions by two-dimensional continued fractions |
| title_alt | Задача інтерполяції функцій двовимірними ланцюговими дробами |
| title_full | Problem of interpolation of functions by two-dimensional continued fractions |
| title_fullStr | Problem of interpolation of functions by two-dimensional continued fractions |
| title_full_unstemmed | Problem of interpolation of functions by two-dimensional continued fractions |
| title_short | Problem of interpolation of functions by two-dimensional continued fractions |
| title_sort | problem of interpolation of functions by two-dimensional continued fractions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3500 |
| work_keys_str_mv | AT pahiryamm problemofinterpolationoffunctionsbytwodimensionalcontinuedfractions AT svydats problemofinterpolationoffunctionsbytwodimensionalcontinuedfractions AT pagírâmm problemofinterpolationoffunctionsbytwodimensionalcontinuedfractions AT svidats problemofinterpolationoffunctionsbytwodimensionalcontinuedfractions AT pahiryamm zadačaínterpolâcíífunkcíjdvovimírnimilancûgovimidrobami AT svydats zadačaínterpolâcíífunkcíjdvovimírnimilancûgovimidrobami AT pagírâmm zadačaínterpolâcíífunkcíjdvovimírnimilancûgovimidrobami AT svidats zadačaínterpolâcíífunkcíjdvovimírnimilancûgovimidrobami |