On the modularity of a lattice of τ-closed totally saturated formations of finite groups
We study τ-closed totally saturated formations of finite groups.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3501 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509601997258752 |
|---|---|
| author | Safonov, V. G. Сафонов, В. Г. Сафонов, В. Г. |
| author_facet | Safonov, V. G. Сафонов, В. Г. Сафонов, В. Г. |
| author_sort | Safonov, V. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:00Z |
| description | We study τ-closed totally saturated formations of finite groups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
В. Г. Сафонов (Гомел. ун-т, Беларусь)
О МОДУЛЯРНОСТИ РЕШЕТКИ τ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО
НАСЫЩЕННЫХ ФОРМАЦИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
We study τ -closed totally saturated formations of finite groups.
Вивчаються τ -замкненi тотально насиченi формацiї скiнченних груп.
1. Введение. В работе рассматриваются только конечные группы. Развитие фор-
мационных методов исследования непростых конечных групп неразрывно связано
с изучением внутреннего строения формаций того или иного типа. Универсаль-
ными инструментами таких исследований являются методы и конструкции общей
теории решеток. Доказанная в 1986 г. А. Н. Скибой [1] модулярность решетки
всех формаций, а также решетки всех насыщенных формаций дала возможность
использовать решеточные методы для решения многих открытых вопросов теории
формаций.
Основные понятия и результаты теории тотально насыщенных формаций
изложены в монографиях [2, 3]. Исследование различных свойств тотально на-
сыщенных формаций проведено в работах [4 – 6]. Так, в работе [4] описаны то-
тально насыщенные формации, все тотально насыщенные подформации которых
наследственны. Н. Н. Воробьевым [5] установлена индуктивность решетки всех
τ -замкнутых тотально насыщенных формаций. В работе [6] изучены тотально на-
сыщенные формации F, у которых решетка тотально насыщенных подформаций,
заключенных между F ∩N и F, является решеткой с дополнениями. В работе ав-
тора [7] описаны неоднопорожденные тотально насыщенные формации, у которых
все собственные тотально насыщенные подформации однопорождены.
В 1997 г. А. Н. Скибой был поставлен следующий вопрос: модулярна ли ре-
шетка всех τ -замкнутых тотально насыщенных формаций (см. [3], вопрос 4.2.14)?
В данной работе дается положительный ответ на этот вопрос. Основной
результат анонсирован в [8, 9]. Мы будем придерживаться терминологии, принятой
в [2, 3].
Напомним некоторые из используемых определений и обозначений. Не-
пустую систему формаций θ называют полной решеткой формаций, если пересе-
чение любой совокупности формаций из θ также принадлежит θ и во множестве θ
имеется такая формация F, что H ⊆ F для любой формации H ∈ θ. Формации из θ
называют θ-формациями.
Пусть A,B — группы, ϕ : A → B — эпиморфизм, Ω и Σ — некоторые системы
подгрупп в A и B соответственно. Тогда через Ωϕ обозначим множество {Hϕ |
H ∈ Ω}, а через Σϕ−1
— множество {Hϕ−1 | H ∈ Σ} всех полных прообразов в A
всех групп из Σ.
Пусть X — произвольный непустой класс групп и любой группе G ∈ X
сопоставлена некоторая система ее подгрупп τ(G). Следуя А. Н. Скибе [3], будем
говорить, что τ — подгрупповой X-функтор (или, иначе, τ — подгрупповой функтор
на X ), если для любого эпиморфизма ϕ : A → B, где A,B ∈ X, выполнены
включения (τ(A))ϕ ⊆ τ(B), (τ(B))ϕ−1 ⊆ τ(A) и, кроме того, для любой группы
G ∈ X имеет место G ∈ τ(G).
c© В. Г. САФОНОВ, 2006
852 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
О МОДУЛЯРНОСТИ РЕШЕТКИ τ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ ... 853
Подгрупповой X-функтор τ называется тривиальным, если τ(G) = {G} для
любой группы G ∈ X.
Класс групп F называется τ -замкнутым, если τ(G) ⊆ F для любой группы
G ∈ F.
Любую формацию конечных групп называют 0-кратно насыщенной. При
n ≥ 1 формацию F называют n-кратно насыщенной, если она имеет такой ло-
кальный экран, все непустые значения которого — (n − 1)-кратно насыщенные
формации. Формацию, n-кратно насыщенную для любого целого неотрицатель-
ного n, называют тотально насыщенной. Если при этом формация F является
τ -замкнутой, то F называют τ -замкнутой n-кратно насыщенной и, соответственно,
τ -замкнутой тотально насыщенной формацией.
Относительно операций ∨τ
∞ и ∩ совокупность всех τ -замкнутых тотально
насыщенных формаций lτ∞ является полной решеткой формаций (для любых M
и H из lτ∞ через M ∨τ
∞ H обозначают пересечение всех τ -замкнутых тотально
насыщенных формаций, содержащих M ∪ H, т. е. M ∨τ
∞ H = lτ∞form(M ∪ H)).
Экран, все непустые значения которого — lτ∞-формации, называется lτ∞-
значным.
Пусть {fi | i ∈ I} — некоторая система lτ∞-значных экранов. Тогда через
∨τ
∞(fi | i ∈ I) обозначают такой экран f, что f(p) = lτ∞form(∪i∈Ifi(p)), если по
крайней мере одна из формаций fi(p) 6= ∅. В противном случае полагают f(p) = ∅.
Полную решетку формаций θ называют индуктивной, если для любого на-
бора {Fi| i ∈ I} формаций Fi ∈ θl и для любого набора {fi | i ∈ I} внутренних
θ-значных экранов fi, где fi — экран формации Fi, имеет место
∨θl(Fi | i ∈ I) = LF (∨θ( fi | i ∈ I)).
Для любой совокупности групп X полагают
Xτ
∞(p) = lτ∞form(G/Fp(G)|G ∈ X),
если p ∈ π(X), и Xτ
∞(p) = ∅, если p 6∈ π(X).
Для произвольной последовательности простых чисел p1, p2, . . . , pn и любой
совокупности групп X класс групп Xp1p2...pn определяют следующим образом:
1) Xp1 = (A/Fp1(A)|A ∈ X);
2) Xp1p2...pn = (A/Fpn(A)|A ∈ Xp1p2...pn−1).
Последовательность простых чисел p1, p2, . . . , pn называют подходящей для
X, если p1 ∈ π(X) и для любого i ∈ {2, . . . , n} число pi ∈ π(Xp1p2...pi−1).
Для произвольной τ -замкнутой тотально насыщенной формации F через Fτ
∞
обозначают ее минимальный lτ∞-значный локальный экран. Пусть p1, p2, . . . , pn —
некоторая подходящая для F последовательность. Тогда тотально локальный экран
Fτ
∞p1p2 . . . pn определяют следующим образом:
1) Fτ
∞p1 = (Fτ
∞(p1))τ
∞;
2) Fτ
∞p1 . . . pn =
(
Fτ
∞p1 . . . pn−1(pn)
)τ
∞.
2. Вспомогательные результаты. Для доказательства основного результата
нам понадобятся некоторые известные факты теории формаций групп, которые мы
сформулируем в виде следующих лемм.
Лемма 1 [2, c. 32]. Пусть F — непустая τ -замкнутая формация. Тогда
формация F тотально насыщенна в том и только в том случае, когда для любого
простого числа p имеет место NpF
τ
∞(p) ⊆ F.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
854 В. Г. САФОНОВ
Лемма 2 [2, c. 33]. Пусть F = lτ∞form X, где X — непустой класс групп.
Тогда если f — минимальный lτ∞-значный экран формации F, то справедливы сле-
дующие утверждения:
1) π(X) = π(F);
2) f(p) = Xτ
∞(p) = Fτ
∞(p) при всех простых числах p;
3) если h — произвольный lτ∞-значный экран формации F, то при любом
p ∈ π(X) имеет место f(p) = lτ∞form(A|A ∈ h(p) ∩ F, Op(A) = 1).
Лемма 3 [2, c. 41]. Пусть A — монолитическая группа с неабелевым моно-
литом, M — некоторая τ -замкнутая полуформация и A ∈ lτnformM. Тогда A ∈ M.
Лемма 4 [2, c. 78]. Если F = LF (f) и G/Op(G) ∈ f(p) ∩ F, то G ∈ F.
Лемма 5 [3, c.152]. Пусть N1 × . . .×Nk = Soc(G), где k > 1, G — группа
с Op(G) = 1, и Mi — наибольшая нормальная в G подгруппа, содержащая N1× . . .
. . .×Ni−1×Ni+1× . . .×Nk, но не содержащая Ni. Тогда справедливы следующие
утверждения:
1) для любого i ∈ {1, . . . , k} фактор-группа G/Mi монолитична и ее моно-
лит NiMi/Mi G-изоморфен Ni и Op(G/Mi) = 1;
2) M1 ∩ . . . ∩ Mk = 1.
Лемма 6 [2, c. 75]. Множество тотально насыщенных формаций являе-
тся подполугруппой в полугруппе всех формаций.
Лемма 7 [3, c.41]. Пусть A — монолитическая группа с монолитом R 6⊆
6⊆ Φ(A). Тогда формация F = τ formA τ -неприводима и в ней имеется единствен-
ная максимальная τ -замкнутая подформация M = τ form({A/R} ∪ X), где X —
совокупность всех собственных τ -подгрупп группы A.
Следующая лемма является частным случаем леммы 4.1.2 [3, c. 152].
Лемма 8. Пусть Fi ∈ lτ∞, i ∈ I. Тогда ∨τ
∞(Fτ
i∞|i ∈ I) — минимальный
lτ∞-значный локальный экран формации ∨τ
∞(Fi|i ∈ I).
Лемма 9 [5]. Решетка всех τ -замкнутых тотально насыщенных формаций
lτ∞ индуктивна.
3. Модулярность решетки lτ∞. Пусть F, M и X — τ -замкнутые тотально
насыщенные формации, причем X ⊆ F. Тогда для любой подходящей для X и
M последовательности простых чисел p1, . . . , pn через L̂τ
∞, Ĥτ
∞, L̂τ
∞p1, Ĥτ
∞p1, . . .
. . . , L̂τ
∞p . . . pn, Ĥτ
∞p . . . pn обозначим такие lτ∞-значные локальные экраны, что
L̂τ
∞ = Xτ
∞ ∨τ
∞ (Mτ
∞ ∩ Fτ
∞), Ĥτ
∞ = (Xτ
∞ ∨τ
∞ Mτ
∞) ∩ Fτ
∞,
L̂τ
∞p1 = Xτ
∞p1 ∨τ
∞ (Mτ
∞p1 ∩ Fτ
∞p1), Ĥτ
∞p1 = (Xτ
∞p1 ∨τ
∞ Mτ
∞p1) ∩ Fτ
∞p1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
L̂τ
∞p1p2 . . . pn = Xτ
∞p1p2 . . . pn ∨τ
∞ (Mτ
∞p1p2 . . . pn ∩ Fτ
∞p1p2 . . . pn),
Ĥτ
∞p1p2 . . . pn = (Xτ
∞p1p2 . . . pn ∨τ
∞ Mτ
∞p1p2 . . . pn) ∩ Fτ
∞p1p2 . . . pn.
Доказательство следующей леммы осуществляется непосредственной про-
веркой.
Лемма 10. Пусть Fi ∈ lτ∞, i ∈ I. Тогда если F = ∩(Fi|i ∈ I), то f =
= ∩(Fτ
i∞|i ∈ I) — внутренний lτ∞-значный локальный экран формации F.
Лемма 11. Пусть M, X и F — τ -замкнутые тотально насыщенные фор-
мации, X ⊆ F. Тогда если L = X ∨τ
∞ (M ∩ F), H = (X ∨τ
∞ M) ∩ F, то:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
О МОДУЛЯРНОСТИ РЕШЕТКИ τ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ ... 855
1) π(L) = π(H);
2) для любой подходящей для X и M последовательности простых чи-
сел p1, . . . , pn экраны L̂τ
∞, Ĥτ
∞, L̂τ
∞p1, Ĥτ
∞p1, . . . , L̂τ
∞p1 . . . pn, Ĥτ
∞p1 . . . pn явля-
ются внутренними lτ∞-значными локальными экранами формаций L, H, L̂τ
∞(p1),
Ĥτ
∞(p1), . . . , L̂τ
∞p1 . . . pn−1(pn), Ĥτ
∞p1 . . . pn−1(pn) соответственно.
Доказательство. Покажем справедливость п. 1 леммы. Поскольку L ⊆ H,
то π(L) ⊆ π(H). Пусть p ∈ π(H) \ π(L). Тогда p ∈ π(F) ∩ π(X ∨τ
∞ M). Обозначим
через t минимальный lτ∞-значный локальный экран формации X ∨τ
∞ M. Согласно
лемме 8 t(p) = Xτ
∞(p) ∨τ
∞ Mτ
∞(p). Поскольку p ∈ π(X ∨τ
∞ M), то t(p) 6= ∅. Если
же p /∈ π(X) ∪ π(M), то Xτ
∞(p) = ∅ и Mτ
∞(p) = ∅. Следовательно, t(p) = ∅.
Противоречие. Значит, p ∈ π(X) ∪ π(M). Но тогда p ∈ π(L). Таким образом,
π(L) = π(H).
Докажем теперь п. 2. Поскольку Xτ
∞, Mτ
∞, Fτ
∞ — минимальные lτ∞-значные
локальные экраны формаций X, M и F соответственно, согласно лемме 8 t =
= Xτ
∞ ∨τ
∞ Mτ
∞ — минимальный lτ∞-значный экран формации X ∨τ
∞ M. Поэтому в
силу леммы 10 Ĥτ
∞ = t∩Fτ
∞ — внутренний lτ∞-значный локальный экран формации
H. Далее, поскольку согласно лемме 10 k = Mτ
∞ ∩ Fτ
∞ — внутренний lτ∞-значный
локальный экран формации M∩ F, в силу леммы 9 L̂τ
∞ = Xτ
∞ ∨τ
∞ k — внутренний
lτ∞-значный локальный экран формации L.
Таким образом, L̂τ
∞ и Ĥτ
∞ — внутренние lτ∞-значные локальные экраны со-
ответственно формаций L и H.
Пусть теперь p1, . . . , pn — некоторая подходящая для X и M последователь-
ность простых чисел. Тогда, так как X ⊆ F, данная последовательность явля-
ется подходящей и для F. Поскольку по определению Xτ
∞p1 . . . pi, Mτ
∞p1 . . . pi,
Fτ
∞p1 . . . pi — минимальные lτ∞-значные локальные экраны формаций Xτ
∞p1 . . .
. . . pi−1(pi), Mτ
∞p1 . . . pi−1(pi) и Fτ
∞p1 . . . pi−1(pi), i = 1, n, соответственно, сно-
ва применяя леммы 8 – 10, получаем, что L̂τ
∞p1 . . . pi, Ĥτ
∞p1 . . . pi — внутренние
lτ∞-значные локальные экраны формаций L̂τ
∞p1 . . . pi−1(pi) и Ĥτ
∞p1 . . . pi−1(pi) со-
ответственно.
Лемма доказана.
Лемма 12. Пусть M — непустая наследственная формация, F — непустая
τ -замкнутая формация. Тогда MF — τ -замкнутая формация.
Доказательство. Пусть G ∈ MF, H ∈ τ(G). Покажем, что H ∈ MF.
В силу наследственности формации M и τ -замкнутости формации F утверждение
очевидно, если G ∈ M ∪ F ⊆ MF. Пусть G /∈ M ∪ F. Поскольку G ∈ MF, то
K = GF ∈ M.
Если H ⊆ K, то так как K ∈ M и M — наследственная формация, H ∈
∈ M ⊆ MF.
Пусть H 6⊆ K. Если при этом H ∈ M, то H ∈ MF. Следовательно, H /∈ M.
Рассмотрим эпиморфизм ϕ : G → G/K. Поскольку Hϕ = HK/K и (τ(G))ϕ ⊆
⊆ τ(G/K), то HK/K ∈ τ(G/K) ⊆ F. Значит, HK/K ∈ F. Вследствие изомор-
физма HK/K ' H/H ∩ K имеем H/H ∩ K ∈ F. Следовательно, HF ⊆ H ∩ K.
Поскольку K ∈ M и M — наследственная формация, то HF ∈ M. Значит, H ∈ MF.
Лемма доказана.
Лемма 13. Пусть F — непустая τ -замкнутая формация. Тогда SF —
τ -замкнутая тотально насыщенная формация.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
856 В. Г. САФОНОВ
Доказательство. Как известно (см. пример 1.3.3 [3, c. 28]), произведение
Nn(SF) является n-кратно насыщенной формацией (n ≥ 1). Но Nn(SF) = SF.
Поэтому формация SF является n-кратно насыщенной при любом целом не-
отрицательном n. Следовательно, SF — тотально насыщенная формация. В силу
леммы 12 формация SF является τ -замкнутой.
Лемма доказана.
Лемма 14. Пусть M, X и F — τ -замкнутые тотально насыщенные фор-
мации X ⊆ F, L = X∨τ
∞ (M∩F), H = F∩ (X∨τ
∞M), A — монолитическая группа
с неабелевым монолитом P. Тогда если A ∈ H, то A ∈ L.
Доказательство. Пусть A — группа из условия леммы. Тогда A ∈ X∨τ
∞M =
= lτ∞form(X ∪M). В силу леммы 13 Sτ form(X ∪M) ∈ lτ∞. Значит,
lτ∞form(X ∪M) ⊆ Sτ form(X ∪M).
Поскольку A — монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной
подгруппой, то A ∈ τ form(X ∪ M). Но тогда согласно лемме 3 A ∈ X ∪ M.
Поэтому
A ∈ X ∪ (M ∩ F) ⊆ X ∨τ
∞ (M ∩ F) = L.
Лемма доказана.
Теорема. Решетка всех τ -замкнутых тотально насыщенных формаций lτ∞
модулярна.
Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся такие τ -замкну-
тые тотально насыщенные формации M, X и F, что X ⊆ F и
X ∨τ
∞ (M ∩ F) 6= (X ∨τ
∞ M) ∩ F.
Пусть L = X∨τ
∞(M∩F), H = (X∨τ
∞M)∩F. Поскольку включение L ⊆ H очевидно,
то H 6⊆ L. Выберем в H \ L группу минимального порядка A. Тогда A — моно-
литическая τ -минимальная не L-группа и Soc(A) = AL 6⊆ Φ(A). Предположим,
что P = Soc(A) — неабелева группа. Тогда, поскольку A ∈ H = (X ∨τ
∞ M) ∩ F,
в силу леммы 14 имеем A ∈ L. Противоречие. Поэтому P — абелева p-группа
для некоторого простого числа p ∈ π(H). В силу леммы 11 π(L) = π(H) и, кро-
ме того, формации L и H имеют такие внутренние lτ∞-значные экраны L̂τ
∞ и Ĥτ
∞
соответственно, что
L̂τ
∞(p) = Xτ
∞(p) ∨τ
∞ (Mτ
∞(p) ∩ Fτ
∞(p)),
Ĥτ
∞(p) = (Xτ
∞(p) ∨τ
∞ Mτ
∞(p)) ∩ Fτ
∞(p).
Поэтому A не является p-группой и L̂τ
∞(p) 6= ∅. Поскольку P 6⊆ Φ(A), то P =
= Op(A) = Fp(A) и A = [P ]A1, где A1 — некоторая максимальная подгруппа из
A. Отметим, что поскольку включение L̂τ
∞(p) ⊆ Ĥτ
∞(p) очевидно и A 6∈ L, то
L̂τ
∞(p) ⊂ Ĥτ
∞(p). Действительно, если L̂τ
∞(p) = Ĥτ
∞(p), то
A/Op(A) = A/Fp(A) ∈ Ĥτ
∞(p) = L̂τ
∞(p),
и тогда согласно лемме 4 A ∈ L, что невозможно. Заметим также, что условие
L̂τ
∞(p) ⊂ Ĥτ
∞(p) влечет Xτ
∞(p) 6= ∅ и Mτ
∞(p) 6= ∅, так как в противном случае
L̂τ
∞(p) = Ĥτ
∞(p). Следовательно, p ∈ π(X) ∩ π(M).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
О МОДУЛЯРНОСТИ РЕШЕТКИ τ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ ... 857
Таким образом, A1 ' A/Fp(A) ∈ Ĥτ
∞(p) \ L̂τ
∞(p).
Поскольку A1 6∈ L̂τ
∞(p) 6= ∅, найдется такое простое число p1 ∈ π(A1), что
A1/Fp1(A1) /∈ L̂τ
∞p(p1). Согласно лемме 11 π(L̂τ
∞(p)) = π(Ĥτ
∞(p)) и формации
L̂τ
∞(p) и Ĥτ
∞(p) имеют такие внутренние lτ∞-значные локальные экраны L̂τ
∞p и
Ĥτ
∞p соответственно, что
L̂τ
∞p(p1) = Xτ
∞p(p1) ∨τ
∞ (Mτ
∞p(p1) ∩ Fτ
∞p(p1)),
Ĥτ
∞p(p1) = (Xτ
∞p(p1) ∨τ
∞ Mτ
∞p(p1)) ∩ Fτ
∞p(p1).
Далее, так как p1 ∈ π(Ĥτ
∞(p)), то p1 ∈ π(L̂τ
∞(p)) и L̂τ
∞p(p1) 6= ∅. Очевидно,
L̂τ
∞p(p1) ⊆ Ĥτ
∞p(p1). Кроме того, поскольку A1/Fp1(A1) ∈ Ĥτ
∞p(p1) \ L̂τ
∞p(p1),
то L̂τ
∞p(p1) ⊂ Ĥτ
∞p(p1). Поэтому Xτ
∞p(p1) 6= ∅ и Mτ
∞p(p1) 6= ∅. Следовательно,
p1 ∈ π(Xτ
∞(p)) ∩ π(Mτ
∞(p)).
Допустим, что Fp1(A1) = 1. Тогда, очевидно, любая минимальная нормаль-
ная подгруппа из A1 является неабелевой p1d-группой. Если A1 — монолитическая
группа, то, так как
A1 ∈ Ĥτ
∞(p) = (Xτ
∞(p) ∨τ
∞ Mτ
∞(p)) ∩ Fτ
∞(p),
в силу леммы 14 получаем
A1 ∈ Xτ
∞(p) ∨τ
∞ (Mτ
∞(p) ∩ Fτ
∞(p)) = L̂τ
∞(p).
Противоречие. Поэтому группа A1 не является монолитической.
Пусть Soc(A1) = N1×. . .×Nk, k ≥ 2, где {N1, . . . , Nk} — совокупность всех
минимальных нормальных подгрупп группы A1. Обозначим через Mi наибольшую
нормальную подгруппу группы A1, содержащую N1× . . .×Ni−1×Ni+1× . . .×Nk
и не содержащую Ni. Тогда в силу леммы 5 Bi = A1/Mi — монолитическая груп-
па с неабелевой минимальной нормальной подгруппой NiMi/Ni, A1-изоморфной
Ni. Поскольку Bi ∈ Ĥτ
∞(p) = (Xτ
∞(p) ∨τ
∞ Mτ
∞(p)) ∩ Fτ
∞(p), применяя лемму 14,
получаем, что Bi ∈ L̂τ
∞(p). Но тогда в силу леммы 5 A1 ∈ L̂τ
∞(p) как подпрямое
произведение групп, изоморфных B1, . . . , Bk. Противоречие. Поэтому остается за-
ключить, что Fp1(A1) 6= 1. Заметим также, что Fp1(A1) 6= A1, так как в противном
случае A1/Fp1(A1) ' 1 ∈ Lτ
∞p(p1) 6= ∅, что противоречит выбору p1.
Таким образом,
A1/Fp1(A1) ∈ Ĥτ
∞p(p1) \ L̂τ
∞p(p1), L̂τ
∞p(p1) 6= ∅, 1 6= Fp1(A1) ⊂ A1.
Пусть A2 = A1/Fp1(A1). Согласно лемме 11 π(L̂τ
∞p(p1)) = π(Ĥτ
∞p(p1)),
формации L̂τ
∞p(p1) и Ĥτ
∞p(p1) имеют такие внутренние lτ∞-значные локальные
экраны L̂τ
∞pp1 и Ĥτ
∞pp1 соответственно, что
L̂τ
∞pp1 = Xτ
∞pp1 ∨τ
∞ (Mτ
∞pp1 ∩ Fτ
∞pp1),
Ĥτ
∞pp1 = (Xτ
∞pp1 ∨τ
∞ Mτ
∞pp1) ∩ Fτ
∞pp1.
Поскольку A2 6∈ L̂τ
∞p(p1) 6= ∅, найдется такое p2 ∈ π(A2), что A2/Fp2(A2) 6∈
6∈ L̂τ
∞pp1(p2). Значит,
A2/Fp2(A2) ∈ Ĥτ
∞pp1(p2) \ L̂τ
∞pp1(p2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
858 В. Г. САФОНОВ
Проведя для группы A2 такие же рассуждения, как и для группы A1, получим,
что p2 ∈ π(Xτ
∞p(p1)) ∩ π(Mτ
∞p(p1)),
A2/Fp2(A2) ∈ Ĥτ
∞pp1(p2) \ L̂τ
∞pp1(p2), L̂τ
∞pp1(p2) 6= ∅, 1 6= Fp2(A2) ⊂ A2.
Пусть A3 = A2/Fp2(A2). Тогда по тем же соображениям группа A3 будет удов-
летворять аналогичным условиям. Поэтому, продолжив этот процесс, получим
группы A4 = A3/Fp3(A3), . . . , An = An−1/Fpn−1(An−1), . . . . При этом для
любого i выполняются условия
Ai = Ai−1/Fpi−1(Ai−1) ∈ Ĥτ
∞pp1 . . . pi−2(pi−1) \ L̂τ
∞pp1 . . . pi−2(pi−1),
L̂τ
∞pp1 . . . pi−2(pi−1) 6= ∅, 1 6= Fpi−1(Ai−1) ⊂ Ai−1.
В силу условия Fpi−1(Ai−1) 6= 1 для построенной последовательности групп
A, A1, A2, A3, . . . , An, . . . имеем
|A| > |A1| > |A2| > |A3| > . . . > |An| > . . . .
Поскольку группа A конечна, то через некоторое число шагов m получим Am = 1.
Далее, так как при этом Am = Am−1/Fpm−1(Am−1), то Fpm−1(Am−1) = Am−1.
Противоречие.
Таким образом, наше предположение неверно и H ⊆ L. Следовательно,
H = L.
Теорема доказана.
Следствие. Для любых двух τ -замкнутых тотально насыщенных формаций
M и F имеет место решеточный изоморфизм
M ∨τ
∞ F/τ
∞M ' F/τ
∞M ∩ F.
1. Скиба А. Н О локальных формациях длины 5 // Арифметическое и подгрупповое строение
конечных групп. – Минск: Наука и техника, 1986. – С. 135 – 149.
2. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. – М.: Наука, 1989. – 253 с.
3. Скиба А. Н. Алгебра формаций. – Минск: Беларус. навука, 1997. – 240 с.
4. Каморников С. Ф. О некоторых свойствах тотально локальных формаций // Мат. заметки. –
1996. – 60, № 1. – С. 24 – 29.
5. Воробьев Н. Н. Об одном вопросе теории локальных классов конечных групп // Вопросы
алгебры. – 1999. – Вып. 14. – С. 132 – 140.
6. Guo W., Shum K. P. On totally local formations of groups // Communs Algebra. – 2002. – 30, № 5.
– P. 2117 – 2131.
7. Сафонов В. Г. Об одном вопросе теории тотально локальных формаций конечных групп //
Алгебра и логика. – 2003. – 42, № 6. – C. 727 – 736.
8. Сафонов В. Г. О свойствах решетки τ -замкнутых тотально насыщенных формаций. – Гомель,
2004. – 26 с. – (Препринт / Гомел. ун-т; № 3).
9. Сафонов В. Г. О решетке всех τ -замкнутых тотально насыщенных формаций // Материалы
междунар. конф. „Алгебра, логика и кибернетика”. – Иркутск, 2004. – С. 93.
Получено 12.04.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-3501 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:42Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/83/795720cb23b7273e9afff728878a7a83.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35012020-03-18T19:56:00Z On the modularity of a lattice of τ-closed totally saturated formations of finite groups O модулярности решетки τ-замкнутых тотально насыщенных формаций конечных групп Safonov, V. G. Сафонов, В. Г. Сафонов, В. Г. We study τ-closed totally saturated formations of finite groups. Вивчаються τ-замкнені тотально насиченi формації скiнченних груп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3501 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 6 (2006); 852–858 Український математичний журнал; Том 58 № 6 (2006); 852–858 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3501/3739 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3501/3740 Copyright (c) 2006 Safonov V. G. |
| spellingShingle | Safonov, V. G. Сафонов, В. Г. Сафонов, В. Г. On the modularity of a lattice of τ-closed totally saturated formations of finite groups |
| title | On the modularity of a lattice of τ-closed totally saturated formations of finite groups |
| title_alt | O модулярности решетки τ-замкнутых тотально насыщенных формаций конечных групп |
| title_full | On the modularity of a lattice of τ-closed totally saturated formations of finite groups |
| title_fullStr | On the modularity of a lattice of τ-closed totally saturated formations of finite groups |
| title_full_unstemmed | On the modularity of a lattice of τ-closed totally saturated formations of finite groups |
| title_short | On the modularity of a lattice of τ-closed totally saturated formations of finite groups |
| title_sort | on the modularity of a lattice of τ-closed totally saturated formations of finite groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3501 |
| work_keys_str_mv | AT safonovvg onthemodularityofalatticeoftclosedtotallysaturatedformationsoffinitegroups AT safonovvg onthemodularityofalatticeoftclosedtotallysaturatedformationsoffinitegroups AT safonovvg onthemodularityofalatticeoftclosedtotallysaturatedformationsoffinitegroups AT safonovvg omodulârnostirešetkitzamknutyhtotalʹnonasyŝennyhformacijkonečnyhgrupp AT safonovvg omodulârnostirešetkitzamknutyhtotalʹnonasyŝennyhformacijkonečnyhgrupp AT safonovvg omodulârnostirešetkitzamknutyhtotalʹnonasyŝennyhformacijkonečnyhgrupp |