On calculation of integrals over spherical domains
We construct cubature formulas for the computation of integrals over spherical domains containing less nodes as compared with known ones.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3502 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509602916859904 |
|---|---|
| author | Shamsiev, E. A. Шамсиев, Э. А. Шамсиев, Э. А. |
| author_facet | Shamsiev, E. A. Шамсиев, Э. А. Шамсиев, Э. А. |
| author_sort | Shamsiev, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:00Z |
| description | We construct cubature formulas for the computation of integrals over spherical domains containing less nodes as compared with known ones. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.644
∏. A. Íamsyev (Taßkent. un-t, Uzbekystan)
O VÁÇYSLENYY YNTEHRALOV
PO SFERYÇESKYM OBLASTQM
We construct cubature formulas for the computation of integrals over spherical domains containing less
knots than the known ones.
Dlq obçyslennq intehraliv po sferyçnyx oblastqx pobudovano kubaturni formuly, wo mistqt\
menße vuzliv porivnqno z vidomymy.
S. L. Sobolev¥m [1] b¥l razrabotan metod postroenyq kubaturn¥x formul dlq
dvumernoj sfer¥, ynvaryantn¥x otnosytel\no hrupp vrawenyj pravyl\n¥x
mnohohrannykov. H. N. Salyxov [2] dokazal vozmoΩnost\ postroenyq ynvary-
antn¥x kubaturn¥x formul dlq mnohomernoj sfer¥ y osuwestvyl realyzacyg
metoda dlq sfer¥ çet¥rex- y pqtymernoho prostranstva. V. Y. Lebedev [3 – 5]
predloΩyl metod postroenyq kubaturn¥x formul typa Haussa – Markova dlq
dvumernoj sfer¥, ynvaryantn¥x otnosytel\no hrupp¥ oktaπdra. Za sçet udaç-
noho podbora ynvaryantn¥x mnohoçlenov emu udalos\ voznykagwug systemu
nelynejn¥x alhebrayçeskyx uravnenyj dlq opredelenyq parametrov kubatur-
noj formul¥ razbyt\ na neskol\ko pooçeredno standartno reßaem¥x samosto-
qtel\n¥x podsystem. Analohyçnug rabotu dlq hrupp¥ ykosaπdra v¥polnyl
S.<Y. Konqev [6, 7]. Y. P. M¥sovskyx [8] sformulyroval teoremu S. L. Sobole-
va ob ynvaryantnoj kubaturnoj formule dlq sluçaq proyzvol\noj koneçnoj
ortohonal\noj hrupp¥, sobral y systematyzyroval dann¥e yz teoryy ynvary-
antov, neobxodym¥e dlq postroenyq kubaturn¥x formul, postroyl kubaturn¥e
formul¥ dlq razlyçn¥x oblastej, ynvaryantn¥e otnosytel\no hrupp, poroΩ-
denn¥x otraΩenyqmy, y ustanovyl nyΩnye hranyc¥ dlq çysla uzlov kubatur-
n¥x formul. A. K. Ponomarenko [9, 10] y S. B. Stoqnova [11] postroyly ynva-
ryantn¥e kubaturn¥e formul¥ dlq hyperßara y hyperoktaπdra, ymegwye al-
hebrayçeskug stepen\ toçnosty do odynnadcaty y soderΩawye v rqde sluçaev
naymen\ßee çyslo uzlov v klasse rassmatryvaem¥x formul. Vo vsex v¥ßeupo-
mqnut¥x rabotax yspol\zovan¥ hrupp¥ preobrazovanyj pravyl\n¥x mnohohran-
nykov y postroen¥ kubaturn¥e formul¥ fyksyrovannoj alhebrayçeskoj ste-
peny toçnosty. M. V. Noskov [12] pry postroenyy kubaturnoj formul¥ dlq pe-
ryodyçeskyx funkcyj prymenyl apparat teoryy ynvaryantn¥x kubaturn¥x
formul. Pry πtom on yspol\zoval hruppu, poluçaemug dekartov¥m proyzvede-
nyem n hrupp preobrazovanyj pravyl\noho m-uhol\nyka. V dannoj rabote ana-
lohyçn¥e hrupp¥ preobrazovanyj prymenqgtsq dlq v¥çyslenyq yntehralov po
sferyçeskym oblastqm. Takov¥my qvlqgtsq vse evklydovo prostranstvo Rn
,
sfera Sn –1 = { x ∈ Rn | x1
2 + x2
2 + … + xn
2 = 1 }, ßar Bn = { x ∈ Rn | x1
2 + x2
2 + …
… + xn
2 ≤ 1 }.
Snaçala postroym kubaturn¥e formul¥ dlq sfer¥. Pry πtom budem razly-
çat\ sfer¥ çetnoj y neçetnoj razmernosty.
1. Pust\ S2n –1 — edynyçnaq sfera 2n-mernoho evklydova prostranstva R2n
,
n ≥ 2. Opredelym uslovyq, pry v¥polnenyy kotor¥x suwestvuet kubaturnaq
formula ( 2m – 1 )-j alhebrayçeskoj stepeny toçnosty, ymegwaq vyd
I ( f ) ≅ S ( f ), (1)
hde
I ( f ) =df
f x dS
S n
( )
−
∫
2 1
,
© ∏. A. ÍAMSYEV, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6 859
860 ∏. A. ÍAMSYEV
S ( f ) =df
π … ( )
… ==
− … …
… =−
−
−∑∑ ∑
n
n
k k k
N
l
k k k
n k k k i i i
i i i
m
m
D D D f d
n
n
n n
n1 2 1
1 2 1
1 2 1 1 2
1 210
1
1 2 1
1, , ,
( ) ( ) ( ) , , , , , , ,
, , ,
,
d f t t t
i l
m
k k k i i i
k k k
nn n
n
( … … ) −−
−
=
( − )( − )… ( − ) ( − )π1 2 1 1 2
1 2 1
1 1 1
21 2 1 1, , , , , , , ( ) ( ) ( ) cos ,
( − )( − )… ( − ) ( − )π
−
−1 1 1
2
1 2 1
1 2 1 1t t t
i l
mk k k
n
n
( ) ( ) ( ) sin ,
t t t
i l
mk k k
n
n2 2 1
2 2 1 21 1
2( ) ( ) ( ) cos( − )… ( − ) ( − )π
−
−
,
t t t
i l
mk k k
n
n2 2 1
2 2 1 21 1
2( ) ( ) ( ) sin( − )… ( − ) ( − )π
−
− , …
… , t t t
i l
mk
S
k
S
k
n S
S S n− −
− −( − )… ( − ) ( − )π
1 1
1 11 1
2( ) ( ) ( ) cos ,
t t t
i l
mk
S
k
S
k
n S
S S n− −
− −( − )… ( − ) ( − )π
1 1
1 11 1
2( ) ( ) ( ) sin , …
… , t
i l
m
t
i l
mk
n n
k
n n
n n− −
− −( − )π ( − )π
1 1
1 12 2( ) ( )cos , sin ,
Dk
j
j
( )
y tk
j
j
( )
opredelqgtsq kak parametr¥ kvadraturnoj formul¥ Haussa yly
Haussa – Markova dlq otrezka [ 0, 1 ] s vesom ( 1 – t ) j
–
1
, j = 1, 2, … , n – 1:
( − ) ( ) ≅ ( )−
=
∫ ∑1 1
0
1
1
t t dt D tj
k
j
k
j
k
N
j j
j
ϕ ϕ( ) ( )
. (2)
Teorema 1. Pust\ (2) qvlqetsq kvadraturnoj formuloj Haussa s N = p
uzlamy. Tohda pry m = 2p kubaturnaq formula (1) ymeet ( 4p – 1 )-g alheb-
rayçeskug stepen\ toçnosty.
Teorema 2. Pust\ (2) qvlqetsq kvadraturnoj formuloj Haussa – Markova
s N = p + 1 uzlom pry t j
1
( ) = 0 y tp
j
+1
( ) = 1. Tohda pry m = 2p kubaturnaq
formula (1) ymeet ( 4p – 1 )-g alhebrayçeskug stepen\ toçnosty.
Teorema 3. Pust\ (2) qvlqetsq kvadraturnoj formuloj Haussa – Markova
s N = p + 1 uzlom pry t j
1
( ) = 0 yly tp
j
+1
( ) = 1. Tohda pry m = 2p + 1 kubatur-
naq formula (1) ymeet ( 4p + 1 )-g alhebrayçeskug stepen\ toçnosty.
Dokazatel\stvo. PokaΩem, çto formula (1) toçna dlq proyzvol\noho od-
noçlena x x x n
n
1 2 2
1 2 2α α α… ( α1 + … + α2n ≤ 2m – 1 ). V sluçae, kohda xotq b¥ odyn
yz αi
, i = 1, 2, … , 2n, qvlqetsq neçetn¥m çyslom, yntehral ot odnoçlena raven
nulg. Nulevoe znaçenye daet takΩe kubaturnaq summa, tak kak pry v¥çyslenyy
znaçenyq odnoçlena po kaΩdoj peremennoj poluçaem kvadraturnug formulu
prqmouhol\nykov s 2m uzlamy. Poπtomu poloΩym αi = 2βi
, i = 1, 2, … , 2n.
Tohda
I x x x
nn
n
n
n( … ) =
+
+
…
+
( + +… + + )1
2
2
2
2
2
1 2 2
1 2 2
1 2
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2β β β
β β β
β β β
Γ Γ Γ
Γ
,
hde
Γ ( λ ) = t e dt
t
dtλ λ
λ
− −
∞ −∞
∫ ∫=
1
0
1
0
1
ln
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
O VÁÇYSLENYY YNTEHRALOV PO SFERYÇESKYM OBLASTQM 861
— hamma-funkcyq ∏jlera.
Podstavym v kubaturnug summu odnoçlen x x x n
n
1
2
2
2
2
21 2β β β… :
S x x x D t tn k k k
k k k
N
n
n
( … ) = ( − ) + +
… −
∑1
2
2
2
2
2 1 1 11 2
1 1
1 2
1
3 4
1 2 1
1β β β β β β β( ) ( ) ( )
, , ,
×
× D t t D t tk k k k k k2 2
1 2 3 4
2
5 6
3 3
1 2 3 4 5 6
3
7 82 2 2 3 3 31 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( − ) ( − )+ + + + + + + + + +β β β β β β β β β β β β β β …
… D t tk
n
k
n
k
n
n n
n
n
n n
− −
−
−
−− − +…+ − +( − )
1 1
1 2 2
1
2 1 21 1 1
1( ) ( ) ( )β β β β
×
×
π ( − )π ( − )π
… ==
∑∑
n
n
i i i
m
lm
i l
m
i l
m
n
cos sin
, , ,
2 1 2 1
10
1
1 2
1 2
2 2β β …
… cos sin
2 22 1 22 2β βn n
i l
m
i l
m
n n− ( − )π ( − )π
=
=
Γ Γ
Γ
( + + ) ( + + )
( + + + + )
β β β β
β β β β
3 4 1 2
1 2 3 4
1 1
2
Γ Γ
Γ
( + + + + ) ( + + )
( + + + + + + )
β β β β β β
β β β β β β
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
2 1
3
×
×
Γ Γ
Γ
( +… + + ) ( + + )
( +… + + )
β β β β
β β
1 6 7 8
1 8
3 1
4
…
…
Γ Γ
Γ
( +… + + − ) ( + + )
( +… + + )
− −β β β β
β β
1 2 2 2 1 2
1 2
1 1n n n
n
n
n
×
×
2
2 1
2
2 2 2
2
2 1
2
2 2 2
2
2 1
2
2 2 2
2
1
1 2
2
3 4
2
2 1 2
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
β
β β
β
β β
β
β β
+
+ +
+
+ +
…
+
+ +
−
n
n n
=
=
2
2 1
2
2 1
2
1 2
1 2 2
Γ Γ
Γ
β β
β β β
+
…
+
( + … + )
n
n n
.
Pry v¥çyslenyqx yspol\zovana formula [13, s. 181]
x x dxλ µ λ µ
λ µ
− −( − ) = ( ) ( )
( + )∫ 1 1
0
1
1
Γ Γ
Γ
.
Teorem¥ dokazan¥.
Postroenn¥e kubaturn¥e formul¥ pry bolee prostoj konstrukcyy soder-
Ωat v 2n – 1
raza men\ße uzlov, çem formul¥ analohyçnoj alhebrayçeskoj ste-
peny toçnosty, poluçaem¥e metodom povtornoho prymenenyq kvadraturn¥x
formul [8, s. 119 – 123].
Pryvedem znaçenyq parametrov kubaturnoj formul¥ (1) pry n = 2:
f x dS
m
D f t
i l
m
t
i l
m
S
k
k
N
i i
m
l
k k( ) ≅ π
− ( − )π − ( − )π∫ ∑ ∑∑
= ==3
1
1 1 2
1 1
2
2
1
0 10
1
1 11
2
1
2( )
,
cos , sin ,
t
i l
m
t
i l
mk k1 1
2 22 2cos , sin
( − )π ( − )π
,
hde Dk1
1( )
y tk1
— parametr¥ kubaturnoj formul¥ Haussa yly Haussa – Markova
dlq otrezka [ 0, 1 ] s postoqnn¥m vesom
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
862 ∏. A. ÍAMSYEV
ϕ ϕ( ) ≅ ( )∫ ∑
=
t dt D tk k
k
N
0
1
1
1 1
1
.
Teorema 4. Ne suwestvuet kubaturnoj formul¥ vyda (1), alhebrayçeskaq
stepen\ toçnosty kotoroj b¥la b¥ v¥ße çem 2m – 1.
Dokazatel\stvo. Kubaturnaq formula (1) ynvaryantna otnosytel\no
hrupp¥ G [8, s. 129], kotoraq poluçaetsq prqm¥m proyzvedenyem n hrupp pre-
obrazovanyj pravyl\noho m-uhol\nyka v sebq.
Oboznaçym πty hrupp¥ çerez G i
, i = 1, 2, … , n. Hruppa Gi ymeet sledug-
wye osy symmetryy [14]:
ηk = x
k
m
x
k
mi i2 1 2−
π − π
sin cos = 0, k = 0, 1, 2, … , m – 1.
PeremnoΩaq lev¥e çasty πtyx uravnenyj y vozvodq v kvadrat poluçennoe
v¥raΩenye, poluçaem mnohoçlen P x xi i
2
2 1 2( )− , stepeny 2m. ∏tot mnohoçlen
neotrycatelen v S2n – 1
, y poπtomu yntehral ot neho po πtoj oblasty poloΩyte-
len. S druhoj storon¥, podstavlqq P x xi i
2
2 1 2( )− , v kubaturnug formulu (1),
poluçaem nulevoe znaçenye, tak kak uzlamy kubaturnoj formul¥ qvlqgtsq
verßyn¥ y seredyn¥ reber pravyl\noho m-uhol\nyka, leΩawye na osqx sym-
metryy. Poπtomu skol\ b¥ ne uvelyçyvaly çyslo toçek v postroennoj formu-
le, ona ne budet davat\ toçnoe znaçenye mnohoçlena P x xi i
2
2 1 2( )− , .
Teorema dokazana.
2. Perejdem teper\ k sfere ( 2n + 1 )-mernoho prostranstva. Budem yzuçat\
kubaturnug formulu vyda
f x dS
m
A D D D
S
n
n
k
m
k
k k k
N
l
k k k
n
n n
n
( ) ≅ π …∫ ∑ ∑∑
=
+
… ==
−
−
−
2 1 2 1
1 2 12 1
1
2
10
1
1 2 1
, , ,
( ) ( ) ( ) ×
× [ −( )( … … )
… =
−∑ f dk
k k k i i i
k
i i i
m
n n
n
1 1 2 1 1 2
1 2 1
τ τ, , , , , , ,
, , ,
, +
+ f dk
k k k i i i
k
n n1 1 2 1 1 2− −( )]( … … )−τ τ, , , , , , ,
, , (3)
hde Ak y τk — parametr¥ kvadraturnoj formul¥ Haussa yly Haussa – Markova
dlq otrezka [ 0, 1 ] s vesom ( − ) −1 1 1 2t tn /
:
( − ) ( ) ≅ ( )−
=
+
∫ ∑1 1
0
1
1
1
2
t t t dt An
k k
k
m
ϕ ϕ τ . (4)
Zdes\
m +
1
2
— celaq çast\
m + 1
2
.
Teorema 5. Pust\ m = 2p y (4) qvlqetsq kvadraturnoj formuloj Haussa
s p uzlamy. Tohda pry v¥polnenyy uslovyj teorem¥ 1 yly 2 kubaturnaq for-
mula (3) ymeet ( 4p – 1 )-g alhebrayçeskug stepen\ toçnosty.
Teorema 6. Pust\ m = 2p + 1 y (4) qvlqetsq kvadraturnoj formuloj Ha-
ussa – Markova s p + 1 uzlom pry τ1 = 0. Tohda pry v¥polnenyy uslovyj teo-
rem¥ 3 kubaturnaq formula (3) ymeet ( 4p + 1 )-g alhebrayçeskug stepen\
toçnosty.
Dokazatel\stvo. Podstavym v kubaturnug summu odnoçlen
x x x xn n
n n
1
2
2
2
2
2
2 1
21 2 2 2 1β β β β… +
+
:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
O VÁÇYSLENYY YNTEHRALOV PO SFERYÇESKYM OBLASTQM 863
π ( − ) …+…+
=
+
… ==
−+
−
−∑ ∑∑
n
n k k
k
m
k
k k k
N
l
k k k
n
m
A D D Dn n
n
n
1 1 2 2 1
1 2 1
1 2 1
1
1
2
10
1
1 2 1τ τβ β β
, , ,
( ) ( ) ( ) ×
× ( )… … + +…+
… =
−∑ d
k k k i i i
i i i
m
n n n
n
1 2 1 1 2 1 2 2
1 2
2 2 2
1
, , , , , , ,
, , ,
β β β =
=
Γ Γ
Γ
( + +… + ) +
+ +… + + +
+
+
n
n
n n
n n
β β β
β β β
1 2 2 1
1 2 2 1
1
2
1
2
2
2 1
2
2 1
2
1 2
1 2
Γ Γ
Γ
β β
β β
+
…
+
( + +… + + )
n
nn n
=
=
2
2 1
2
2 1
2
2 2 2 2 1
2
1 2 1
1 2 2 1
Γ Γ
Γ
β β
β β β
+
…
+
+ + +… + +
+
+
n
nn
.
To Ωe samoe znaçenye poluçaem, esly budem v¥çyslqt\ yntehral
x x x dSn
S
n
n
1
2
2
2
2 1
21 2 2 1
2
β β β… +
+∫ .
Teorema dokazana.
Kubaturnaq formula (3) takΩe soderΩyt prymerno v 2n – 1
raza men\ße
uzlov, çem formul¥, poluçaem¥e metodom povtornoho prymenenyq kvaraturn¥x
formul.
Formula (3) ynvaryantna otnosytel\no hrupp¥, kotoraq poluçaetsq yz
hrupp¥ G v R2n + 1
dobavlenyem preobrazovanyq x2n + 1 → – x2n + 1
.
Teorema 7. Ne suwestvuet kubaturnoj formul¥ vyda (3), alhebrayçeskaq
stepen\ toçnosty kotoroj b¥la b¥ v¥ße çem 2m – 1.
Teorema dokaz¥vaetsq analohyçno teoreme 4.
3. Yspol\zuq metodyku rabot¥ [15], netrudno poluçyt\ sledugwug kuba-
turnug formulu ( 2m – 1 )-j alhebrayçeskoj stepeny toçnosty dlq ßara B2n
:
f x dx C f C f x
B
s
s
x
s
m
n
( ) ≅ ( ) + ( )∫ ∑ =
=
− −
2
0
1
2 1
θ θ
σ
∆ +
+
π …
= … ==
−∑ ∑∑
−
−
n
n
j
j
k k k
N
l
k k k
n
m
T D D D
n
n
1 10
1
1 2 1
1 2 1
1 2 1
σ
, , ,
( ) ( ) ( ) ×
× f a dj
k k k i i i
i i i
m
n n
n
( )( … … )
… =
−∑ 1 2 1 1 2
1 2 1
, , , , , , ,
, , ,
, (5)
hde θ = ( 0, 0, … , 0 ), ∆ =
∂
∂
+ ∂
∂
+… + ∂
∂
2
1
2
2
2
2
2
2x x xn
, Tj =
1
2 2b
E
j
m j− σ , aj = bj , Ej y
bj — parametr¥ kvadraturnoj formul¥ typa Haussa dlq otrezka [ 0, 1 ] s vesom
τ σn m+ − −2 1
,
τ ϕ τ τ ϕσ
σ
n m
j j
j
d E b+ − −
=
( ) ≅ ( )∫ ∑2 1
0
1
1
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
864 ∏. A. ÍAMSYEV
Cs =
π
( ) +
−
+ −
=
∑
n
j j
s m
j
sn n s
E b
Γ
∆1 2
1
σ
σ
: ,
C0 =
π
( )
−
−
=
∑
n
j j
m
jn n
E b
Γ
1 2
1
σ
σ
,
∆s = 22s ⋅ s! n ( n + 1 ) ( n + 2 ) … ( n + s – 1 ), s! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 … s,
σ ≤
m
2
,
m
2
— celaq çast\
m
2
.
Kubaturnaq formula (5) pry σ =
m
2
proyzvodn¥x ne soderΩyt. V πtom
sluçae çyslo ee uzlov takΩe v 2n – 1
raza men\ße, çem çyslo uzlov kubaturnoj
formul¥ analohyçnoj alhebrayçeskoj stepeny toçnosty, poluçaemoj metodom
povtornoho prymenenyq kvadraturn¥x formul [8, s. 123 – 128]. Yspol\zuq
formul¥ (1) y (3), moΩno poluçyt\ y druhye kubaturn¥e formul¥ dlq ßara y
prostranstva.
1. Sobolev S. L. O formulax mexanyçeskyx kubatur na poverxnosty sfer¥ // Syb. mat. Ωurn.
– 1962. – 3, # 5. – S. 769 – 791.
2. Salyxov H. N. Kubaturn¥e formul¥ dlq mnohomern¥x sfer. – Taßkent: Fan, 1985. –
104<s.
3. Lebedev V. Y. O kvadraturax na sfere nayv¥sßej alhebrayçeskoj stepeny toçnosty //
Teoryq kubaturn¥x formul y pryloΩenyq funkcyonal\noho analyza k nekotor¥m zadaçam
matematyçeskoj fyzyky. – Novosybyrsk, 1973. – S. 31 – 35.
4. Lebedev V. Y. Kvadraturn¥e formul¥ dlq sfer¥ 25 – 29-ho porqdka toçnosty // Syb. mat.
Ωurn. – 1977. – 18, # 1. – S. 132 – 142.
5. Lebedev V. Y., Lajkov D. N. Kubaturn¥e formul¥ dlq sfer¥ haussova typa porqdkov 65,
71, 77, 83, 89, 95 y 101 // Kubaturn¥e formul¥ y yx pryloΩenyq: Materyal¥ V meΩdunar.
sem.-sovew. (Krasnoqrsk, 13 – 18 sent. 1999 h.). – S. 106 – 118.
6. Konqev S. Y. Kvadraturn¥e formul¥ na sfere, ynvaryantn¥e otnosytel\no hrupp¥
ykosaπdra // Vopros¥ v¥çyslyt. y prykl. matematyky. – 1975. – V¥p. 32. – S. 69 – 76.
7. Konqev S. Y. Kvadratur¥ typa Haussa dlq sfer¥, ynvaryantn¥e otnosytel\no hrupp¥
ykosaπdra s ynversyej // Mat. zametky. – 1979. – 25, # 4. – S. 629 – 634.
8. M¥sovskyx Y. P. Ynterpolqcyonn¥e kubaturn¥e formul¥. – M.: Nauka, 1981. – 336 s.
9. Ponomarenko A. K. Try kubaturn¥e formul¥ devqtoj stepeny toçnosty dlq hyperoktaπdra
// Kubaturn¥e formul¥ y yx pryloΩenyq: Materyal¥ V meΩdunar. sem.-sovew. (Krasno-
qrsk, 13 – 18 sent. 1999 h.). – S. 150 – 158.
10. Ponomarenko A. K. Dve kubaturn¥e formul¥ // Kubaturn¥e formul¥ y yx pryloΩenyq:
Materyal¥ VII meΩdunar. sem.-sovew. (Krasnoqrsk, 18 – 23 avh. 2003 h.). – S. 133 – 138.
11. Stoyanova S. B. Invariant cubature formula of the seventh degree of accuracy for the hypersphere //
Kubaturn¥e formul¥ y yx pryloΩenyq: Materyal¥ V meΩdunar. sem.-sovew. (Krasnoqrsk,
13 – 18 sent. 1999 h.). – S. 285 – 290.
12. Noskov M. V. Kubaturn¥e formul¥ dlq pryblyΩennoho yntehryrovanyq peryodyçeskyx
funkcyj // Kubaturn¥e formul¥ y funkcyonal\n¥e uravnenyq. (Metod¥ v¥çyslenyj. V¥p.
14). – L.: Yzd-vo Lenynhrad. un-ta, 1985. – S. 15 – 24.
13. Dvajt H. H. Tablyc¥ yntehralov y druhye matematyçeskye formul¥. – M.: Nauka, 1977. –
228 s.
14. Yhnatenko V. F. O ploskyx alhebrayçeskyx kryv¥x s osqmy symmetryy // Ukr. heom. sb. –
1978. – V¥p. 21. – S. 31 – 33.
15. Íamsyev ∏. A. Ob ynvaryantn¥x kubaturn¥x formulax, soderΩawyx proyzvodn¥e //
Çyslennoe yntehryrovanye y smeΩn¥e vopros¥. – Taßkent: Fan, 1990. – S. 77 – 85.
Poluçeno 20.04.2005,
posle dorabotky — 14.11.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3502 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:43Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/60/284a6f4a05f631a986a6902694edd760.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35022020-03-18T19:56:00Z On calculation of integrals over spherical domains O вычислении интегралов по сферическим областям Shamsiev, E. A. Шамсиев, Э. А. Шамсиев, Э. А. We construct cubature formulas for the computation of integrals over spherical domains containing less nodes as compared with known ones. Для обчислення інтегралів no сферичних областях побудовано кубатурні формули, що містять менше вузлів порівняно з відомими. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3502 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 6 (2006); 859–864 Український математичний журнал; Том 58 № 6 (2006); 859–864 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3502/3741 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3502/3742 Copyright (c) 2006 Shamsiev E. A. |
| spellingShingle | Shamsiev, E. A. Шамсиев, Э. А. Шамсиев, Э. А. On calculation of integrals over spherical domains |
| title | On calculation of integrals over spherical domains |
| title_alt | O вычислении интегралов по сферическим областям |
| title_full | On calculation of integrals over spherical domains |
| title_fullStr | On calculation of integrals over spherical domains |
| title_full_unstemmed | On calculation of integrals over spherical domains |
| title_short | On calculation of integrals over spherical domains |
| title_sort | on calculation of integrals over spherical domains |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3502 |
| work_keys_str_mv | AT shamsievea oncalculationofintegralsoversphericaldomains AT šamsievéa oncalculationofintegralsoversphericaldomains AT šamsievéa oncalculationofintegralsoversphericaldomains AT shamsievea ovyčisleniiintegralovposferičeskimoblastâm AT šamsievéa ovyčisleniiintegralovposferičeskimoblastâm AT šamsievéa ovyčisleniiintegralovposferičeskimoblastâm |