Extremal problems of nonoverlapping domains with free poles on a circle
Let $α_1, α_2 > 0$ and let $r(B, a)$ be the interior radius of the domain $B$ lying in the extended complex plane $\overline{ℂ}$ relative to the point $a ∈ B$. In terms of quadratic differentials, we give a complete description of extremal configurations in the problem of maximization of the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3503 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509605416665088 |
|---|---|
| author | Bakhtin, A. K. Бахтин, А. К. Бахтин, А. К. |
| author_facet | Bakhtin, A. K. Бахтин, А. К. Бахтин, А. К. |
| author_sort | Bakhtin, A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:18Z |
| description | Let $α_1, α_2 > 0$ and let $r(B, a)$ be the interior radius of the domain $B$ lying in the extended complex plane $\overline{ℂ}$ relative to the point $a ∈ B$. In terms of quadratic differentials, we give a complete description of extremal configurations in the problem of maximization of the functional $\left( {\frac{{r(B_1 ,a_1 ) r(B_3 ,a_3 )}}{{\left| {a_1 - a_3 } \right|^2 }}} \right)^{\alpha _1 } \left( {\frac{{r(B_2 ,a_2 ) r(B_4 ,a_4 )}}{{\left| {a_2 - a_4 } \right|^2 }}} \right)^{\alpha _2 }$
defined on all collections consisting of points $a_1, a_2, a_3, a_4 ∈ \{z ∈ ℂ: |z| = 1\}$ and pairwise-disjoint domains $B_1, B_2, B_3, B_4 ⊂ \overline{ℂ}$
such that $a_1 ∈ B_1, a_1 ∈ B_2, a_3 ∈ B_3, and a_4 ∈ B_4$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.54
A. K. Baxtyn (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
∏KSTREMAL|NÁE ZADAÇY
O NENALEHAGWYX OBLASTQX
SO SVOBODNÁMY POLGSAMY NA OKRUÛNOSTY
*
Let α α1 2 0, > and let r B a( , ) denote the inner radius of a domain B lying in the extended complex
plane C with respect to a point a B∈ . In terms of quadratic differentials, we give the complete
description of extremal configurations in the problem of maximization of the functional
r B a r B a
a a
( , ) ( , )1 1 3 3
1 3
2
1
−
α
r B a r B a
a a
( , ) ( , )2 2 4 4
2 4
2
2
−
α
that is defined on all collections consisting of points
a1 , a2 , a3, a z z4 1∈ ∈ ={ }:C and mutually disjoint domains B1, B2 , B3 , B4 ⊂ C such that
a B1 1∈ , a B2 2∈ , a B3 3∈ , and a B4 4∈ .
Nexaj α α1 2 0, > ta r B a( , ) — vnutrißnij radius oblasti B, wo leΩyt\ u rozßyrenij
kompleksnij plowyni C , vidnosno toçky a B∈ . U terminax kvadratyçnyx dyferencialiv
otrymano povnyj opys ekstremal\nyx konfihuracij v zadaçi maksymizaci] funkcionala
r B a r B a
a a
( , ) ( , )1 1 3 3
1 3
2
1
−
α
r B a r B a
a a
( , ) ( , )2 2 4 4
2 4
2
2
−
α
, vyznaçenoho na vsix naborax, wo skladagt\sq z
toçok a1 , a2 , a3, a z z4 1∈ ∈ ={ }:C ta oblastej B1, B2 , B3 , B4 ⊂ C , qki poparno ne
peretynagt\sq miΩ sobog, takyx, wo a B1 1∈ , a B2 2∈ , a B3 3∈ , a B4 4∈ .
Vvedenye. V teoryy odnolystn¥x funkcyj πkstremal\n¥e zadaçy o nenale-
hagwyx oblastqx sostavlqgt aktyvno razvyvagweesq napravlenye. Voznykno-
venye πtoho napravlenyq svqzano s klassyçeskoj rabotoj M. A. Lavrent\eva [1],
v kotoroj b¥la vperv¥e postavlena y reßena zadaça o proyzvedenyy konform-
n¥x radyusov dvux vzaymno neperesekagwyxsq odnosvqzn¥x oblastej. Vpo-
sledstvyy πta tematyka razvyvalas\ vo mnohyx rabotax (sm., naprymer, [2 – 14]).
V nastoqwej stat\e rassmatryvagtsq nov¥e πkstremal\n¥e zadaçy o nenale-
hagwyx oblastqx so svobodn¥my polgsamy na okruΩnosty. Pervaq zadaça po-
dobnoho roda b¥la predloΩena v [5].
Sformulyruem osnovn¥e rezul\tat¥ rabot¥. Kak ob¥çno, C — standart-
naq odnotoçeçnaq kompaktyfykacyq kompleksnoj ploskosty C , D = z ∈{ C :
z < }1 , T = ∂ D = z z∈ ={ }C : 1 .
Pust\ { }Bk k
n
=1 — systema poparno neperesekagwyxsq oblastej v rasßyren-
noj kompleksnoj ploskosty C . Pry kaΩdom k n= 1, tol\ko koneçnoe çyslo
komponent svqznosty mnoΩestva C \ Bk mohut soderΩat\ vnutry sebq kakug-
to yz oblastej Bj , j n= 1, , j ≠ k ; takye komponent¥ m¥ naz¥vaem suwestven-
n¥my. Oblast\, poluçennug ysklgçenyem yz C vsex suwestvenn¥x kompo-
nent svqznosty mnoΩestva C \ Bk , budem oboznaçat\ B̃k . Qsno, çto B Bk k⊂ ˜ ,
k n= 1, , y { }B̃k k
n
=1 — systema koneçnosvqzn¥x vzaymno neperesekagwyxsq ob-
* V¥polnena pry çastyçnoj fynansovoj podderΩke Hosudarstvennoj prohramm¥ Ukrayn¥
# 0102U000917.
© A. K. BAXTYN, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7 867
868 A. K. BAXTYN
lastej bez yzolyrovann¥x hranyçn¥x toçek. ∏tu systemu oblastej budem naz¥-
vat\ zapolnenyem system¥ poparno neperesekagwyxsq oblastej { }Bk k
n
=1.
Dlq oblasty B ⊂ C y toçky a B∈ oboznaçym çerez r ( B, a ) vnutrennyj
radyus oblasty B otnosytel\no toçky a. Dlq borelevskoho mnoΩestva
E ⊂ C çerez cap E oboznaçym eho loharyfmyçeskug emkost\. (Vse neobxody-
m¥e opredelenyq dan¥ v sledugwej çasty rabot¥.) Kak ob¥çno, i — mnymaq
edynyca.
Vsgdu nyΩe α1 y α2 — poloΩytel\n¥e dejstvytel\n¥e çysla. Pust\ toç-
ky ak
0
y oblasty Bk
0
qvlqgtsq sootvetstvenno polgsamy y kruhov¥my oblas-
tqmy kvadratyçnoho dyfferencyala
Q w dw( ) 2 =
( ) ( ) ( )
( )
α α α α α α2 1
4
2 1
2
2 1
4 2
22
1
− − + + −
−
w w
w
dw , (1)
a i Bk
k
k
0 1 0= ∈− , k = 1 4, . PoloΩym
M0 1 2( , )α α : =
r B a r B a
a a
r B a r B a
a a
( , ) ( , ) ( , ) ( , )1
0
1
0
3
0
3
0
1
0
3
0 2
2
0
2
0
4
0
4
0
2
0
4
0 2
1 2
−
−
α α
.
V prynqt¥x v¥ße oboznaçenyqx spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema)1. Kakov¥ b¥ ny b¥ly toçky a1 , a2 , a3 , a4 ∈ T y poparno nepere-
sekagwyesq oblasty B1 , B2 , B3 , B4 ⊂ C takye, çto 0 1 2≤ < <arg arga a
< arg arga a3 4 2< < π y a Bk k∈ , k = 1 4, , ymeet mesto neravenstvo
r B a r B a
a a
r B a r B a
a a
( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 1 3 3
1 3
2
2 2 4 4
2 4
2
1 2
−
−
α α
≤ M0 1 2( , )α α . (2)
Znak ravenstva v (2) dostyhaetsq v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda
v¥polnen¥ ravenstva cap ˜ \B Bk k = 0 y suwestvuet takoe drobno-lynejnoe
otobraΩenye S, qvlqgweesq avtomorfyzmom edynyçnoho kruha D , çto ak =
= S ak( )0
y
˜ ( )B S Bk k= 0 , k = 1 4, .
∏tot rezul\tat b¥l ranee ustanovlen avtorom [15] pry dopolnytel\nom tre-
bovanyy odnosvqznosty oblastej B1 , B2 , B3 , B4 . Poskol\ku dlq odnosvqzn¥x
oblastej hyperbolyçeskoho typa vnutrennyj radyus sovpadaet s konformn¥m,
dlq πtoho sluçaq teoremuD1 moΩno pereformulyrovat\ sledugwym obrazom.
Sledstvye)1. Kakov¥ b¥ ny b¥ly funkcyy f1 , f2 , f3 y f4 , konformno y
odnolystno otobraΩagwye edynyçn¥j kruh D na poparno neperesekagwyesq
oblasty v C y takye, çto
f f f f1 2 3 40 0 0 0 1( ) ( ) ( ) ( )= = = = ,
0 0 0 0 0 21 2 3 4≤ < < < <arg ( ) arg ( ) arg ( ) arg ( )f f f f π ,
ymeet mesto neravenstvo
′ ′
−
′ ′
−
f f
f f
f f
f f
1 3
1 3
2 4
2 4
0 0
0 0
0 0
0 0
1 2( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
α α
≤ M0 1 2( , )α α ,
znak ravenstva v kotorom dostyhaetsq v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda su-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
∏KSTREMAL|NÁE ZADAÇY O NENALEHAGWYX OBLASTQX … 869
westvuet takoe drobno-lynejnoe otobraΩenye S, qvlqgweesq avtomorfyz-
mom edynyçnoho kruha D, çto f S ak k( ) ( )0 0= y f B S Bk k( ) ( )= 0 , k = 1 4, .
Otmetym v svqzy s formulyrovkoj teorem¥ 1 y sledstvyqD1, çto toçky ak
0
y
oblasty Bk
0, k = 1 4, , yspol\zugtsq v kaçestve πkstremal\noho nabora v rabo-
teD[12].
Pust\ toçky a1 , a2 , a3 , a4 ∈ T y poparno neperesekagwyesq oblasty B1 , B2 ,
B3 , B4 ⊂ C v¥bran¥ takymy, çto 0 21 2 3 4≤ < < < <arg arg arg arga a a a π y
a Bk k∈ , k = 1 4, . Tohda, yspol\zuq teoremuD1 y oçevydn¥e neravenstva
a a1 3 2− ≤ y a a2 4 2− ≤ , poluçaem dvojnoe neravenstvo
r B a r B a r B a r B a( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 1 3 3 2 2 4 4
1 2( ) ( )α α ≤
≤
r B a r B a
a a
r B a r B a
a a
( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 1 3 3
2
1 3
2
2 2 4 4
2
2 4
22 2
1 2
− −−
−
α α
≤ 4 1 2
0 1 2
α α α α+ M ( , ) ,
pryçem znak ravenstva v pervom neravenstve dostyhaetsq v tom y tol\ko v tom
sluçae, kohda a a1 3= − y a a2 4= − , a vo vtorom — kohda ymeet mesto raven-
stvo v (2). Poskol\ku lgboj avtomorfyzm kruha D , perevodqwyj dve par¥
dyametral\no protyvopoloΩn¥x toçek v par¥ toçek { , }1 1− y { , }i i− , qvlqetsq
vrawenyem otnosytel\no naçala koordynat O, poluçaem sledugwee utverΩ-
denye.
Sledstvye)2 [14, 16]. Kakov¥ b¥ ny b¥ly toçky a 1 , a2 , a3 , a4 ∈ T y po-
parno neperesekagwyesq oblasty B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ⊂ C takye, çto
0 21 2 3 4≤ < < < <arg arg arg arga a a a π y a Bk k∈ , k = 1 4, , ymeet mesto ne-
ravenstvo
r B a r B a r B a r B a( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 1 3 3 2 2 4 4
1 2( ) ( )α α ≤ 4 1 2
0 1 2
α α α α+ M ( , ) . (3)
Znak ravenstva v (3) dostyhaetsq v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda
v¥polnen¥ ravenstva cap ˜ \B Bk k = 0 y suwestvuet takoe vrawenye S plos-
kosty C otnosytel\no naçala koordynat O , çto a S ak k= ( )0
y ˜ ( )B S Bk k= 0 ,
k = 1 4, .
SledstvyeD2 soderΩyt v sebe rezul\tat H.DV. Kuz\mynoj [11], kotoraq doka-
zala neravenstvo (3) dlq sluçaq, kohda a a1 3 1= − = , a ei
2 = ϕ , a e i
4 = − ϕ
( )0 < <ϕ π , a oblasty B1 , B2 , B3 y B4 odnosvqzn¥.
V sledugwej teoreme n — natural\noe çyslo, n ≥ 3.
Teorema)2. Kakov¥ b¥ ny b¥ly toçky a 1 , … , a2n ∈ T , a an2 1 1+ =: , y po-
parno neperesekagwyesq oblasty B1 , … , B2n ⊂ C takye, çto 0 1≤ < …arga
… < <arga n2 2π , a Bk k2 1 2 1− −∈ y a B z a zk k k2 2 2 1∈ ⊂ ∈ < <−{ : arg argC
< arg }a k2 1+ , k n= 1, , ymeet mesto neravenstvo
k
n
k k k kr B a r B a
=
− −∏ ( ) ( )
1
2 1 2 1 2 2
1 2( , ) ( , )α α ≤ 4 1 2
0 1 2
2
n
M
n
n
+( )
/( ( , ))
α α
α α , (4)
znak ravenstva v kotorom dostyhaetsq v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda
v¥polnen¥ ravenstva cap ˜ \B Bk k = 0 y suwestvuet vrawenye S ploskosty
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
870 A. K. BAXTYN
C otnosytel\no naçala koordynat O , perevodqwee toçky ak y oblasty B̃k
v sootvetstvenno polgs¥ y kruhov¥e oblasty kvadratyçnoho dyfferencyala
Q w dw( ) 2 = w
w w
w
dwn
n n
n
− − − + + −
−
2 2 1
2
2 1 2 1
2 2
22
1
( ) ( ) ( )
( )
α α α α α α
, (5)
takoe, çto S a( )1 1= , k n= 1 2, .
V rabote [11] pokazano, çto teoremaD2 ostaetsq v syle, esly v ee formuly-
rovke zamenyt\ uslovye
B k2 ⊂ z a z ak k∈ < <{ }− +C : arg arg arg2 1 2 1 , k n= 1, ,
na odnosvqznost\ vsex oblastej Bk .
Rabota sostoyt yz trex çastej. V pervoj m¥ vvodym oboznaçenyq, napomyna-
em neobxodym¥e opredelenyq y pryvodym vspomohatel\n¥e rezul\tat¥. Vtoraq
y tret\q çasty posvqwen¥ dokazatel\stvu sootvetstvenno teorem 1 y 2.
1. Opredelenyq y vspomohatel\n¥e rezul\tat¥. Pust\ G — oblast\ v
C , G ≠ C . Napomnym, çto funkcyej Hryna oblasty G naz¥vaetsq takaq
vewestvennaq funkcyq g z wG( , ), opredelennaq pry vsex z, w G∈ , z w≠ ,
çtoDpry kaΩdom fyksyrovannom w G∈ v¥polnen¥ sledugwye uslovyq:
a)Dfunkcyq g z wG( , ) harmonyçna kak funkcyq ot z v oblasty G w\ { }; b) esly
z w→ , to g z wG( , ) → + ∞ , pry πtom raznost\ g z w z wG( , ) log− − −1
ostaetsq
ohranyçennoj dlq koneçnoho w y raznost\ g z zG( , ) log∞ − ohranyçena dlq
w = ∞ ; v) pry pryblyΩenyy k hranyce ∂G funkcyq g z wG( , ) stremytsq k nu-
lg. Esly dlq oblasty G suwestvuet funkcyq Hryna (poslednee, naprymer,
ymeet mesto v sluçae, kohda ∂G sostoyt yz koneçnoho çysla zamknut¥x Ωorda-
nov¥x kryv¥x), to yz pryvedennoho opredelenyq v¥tekaet symmetryçnost\ y po-
loΩytel\nost\ funkcyy gG (sm., naprymer, [2]):
g z w g w zG G( , ) ( , )= > 0 ∀ ∈z w G, , z w≠ .
Proyzvol\nug oblast\ G ⊂ C vsehda moΩno ysçerpat\ posledovatel\nost\g
oblastej G G1 2� � … , dlq kaΩdoj yz kotor¥x suwestvuet funkcyq Hryna.
VDπtom sluçae yz teorem¥ Xarnaka o vozrastagwyx posledovatel\nostqx har-
monyçeskyx funkcyj (sm., naprymer, [2], hl.D1) sleduet, çto dlq kaΩdoho w ∈
∈ G \ { }∞ posledovatel\nost\ harmonyçeskyx funkcyj
h z g z w
z wG w Gk k, ( ) : ( , ) log= −
−
1 , z G w∈ \ { },
doopredelennaq po neprer¥vnosty v toçke w, ravnomerno sxodytsq na kom-
paktn¥x podmnoΩestvax oblasty G pry k → ∞ lybo k + ∞ , lybo k nekoto-
roj harmonyçeskoj funkcyy h zG w, ( ), kotoraq ne zavysyt ot v¥bora ysçer-
p¥vagwyx oblastej G1 , G2 , … . V poslednem sluçae funkcyq g z wG ( , ) :D=
:D=Dh zG w, ( ) + log z w− −1
naz¥vaetsq obobwennoj funkcyej Hryna oblasty G,
a velyçyna r G w h wG w( , ) : exp( ( )),= — vnutrennym radyusom oblasty G otno-
sytel\no toçky w (sm. [9, 17]). V sluçae, kohda posledovatel\nost\ h zG wk , ( )
ravnomerno sxodytsq na kompaktn¥x podmnoΩestvax oblasty G k + ∞ pry
k → ∞ , polahaem r ( G, w ) = + ∞ . Vse yzloΩennoe v¥ße spravedlyvo dlq w =
= ∞ so sledugwej modyfykacyej: funkcyy h zGk , ( )∞ opredelqgtsq ravenst-
vamy h z g z zG Gk k, ( ) : ( , ) log∞ = ∞ − . Esly oblast\ G odnosvqzna, G ≠ C, to
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
∏KSTREMAL|NÁE ZADAÇY O NENALEHAGWYX OBLASTQX … 871
dlq kaΩdoj toçky w ∈ G suwestvuet konformnoe otobraΩenye f oblasty G
na kruh z r< 0 , normyrovannoe uslovyqmy f w( ) = 0 y ′ =f w( ) 1. Pry πtom
ymeet mesto ravenstvo r0 = r ( G, w ) , a velyçyna r0 naz¥vaetsq konformn¥m
radyusom oblasty G otnosytel\no toçky w (sm. [2, 17]). KaΩdaq oblast\ G,
dlq kotoroj suwestvuet obobwennaq funkcyq Hryna, ymeet svojstvo: dlq vsex
toçek ζ ∂∈ G, za ysklgçenyem, b¥t\ moΩet, nekotoroho mnoΩestva nulevoj
loharyfmyçeskoj emkosty, y dlq vsex w ∈ G suwestvuet y raven nulg predel
lim ( , )z Gg z w→ζ ; takye toçky ζ naz¥vagtsq rehulqrn¥my hranyçn¥my toçkamy
oblasty G (sm., naprymer, [2]).
V dal\nejßem pod emkost\g budem podrazumevat\ loharyfmyçeskug em-
kost\. Dlq kompakta F ⊂ C eho (loharyfmyçeskaq) emkost\ opredelqetsq
sledugwymy ravenstvamy: cap F r F: ( , )/ \= ∞1 C , esly velyçyna r F( , )\C ∞
koneçna, y cap F := 0 — v protyvnom sluçae. Dlq proyzvol\noho borelevskoho
mnoΩestva E, leΩaweho v C , opredelqem cap E kak toçnug verxngg hran\
velyçyn cap F, vzqtug po vsem kompaktam F E⊆ ∩ C . Otmetym, çto borelev-
skye mnoΩestva nulevoj emkosty vsehda ymegt nulevug xausdorfovu razmer-
nost\ y pry konformn¥x otobraΩenyqx perexodqt v mnoΩestva nulevoj em-
kosty.
Napomnym teper\ opredelenye kvadratyçnoho dyfferencyala — odno yz os-
novn¥x v nastoqwej rabote (sm. [4, 6]). Pust\ � — oryentyruemaq rymanova
poverxnost\ (otkr¥taq yly zamknutaq). Budem hovoryt\, çto na � zadan kvad-
ratyçn¥j dyfferencyal, esly kaΩdomu lokal\nomu parametru z poverxnosty
� sopostavlena funkcyq Q ( z ) , meromorfnaq v sootvetstvugwej okrestnosty
y udovletvorqgwaq sledugwemu uslovyg: esly z
∗
— druhoj lokal\n¥j para-
metr dlq � y Q z∗ ∗( ) — takaq Ωe funkcyq dlq z
∗, pryçem okrestnosty, soot-
vetstvugwye parametram z y z
∗, peresekagtsq, to v obwyx toçkax πtyx
okrestnostej ymeet mesto ravenstvo Q z Q z dz
dz
∗ ∗
∗=
( ) ( )
2
. Kvadratyçn¥e dyf-
ferencyal¥ budem oboznaçat\ symvolom Q z dz( ) 2. Toçka a ∈ � naz¥vaetsq
nulem yly polgsom porqdka k kvadratyçnoho dyfferencyala Q z dz( ) 2, esly
dlq kaΩdoho lokal\noho parametra z ona yzobraΩaetsq toçkoj, kotoraq
qvlqetsq nulem yly polgsom porqdka k dlq funkcyy Q ( z ) . V dal\nejßem
budem rassmatryvat\ tol\ko sluçaj � = C .
Traektoryej kvadratyçnoho dyfferencyala Q z dz( ) 2
naz¥vaetsq maksy-
mal\naq kryvaq, kotoraq zadaetsq uravnenyem z = z ( t ) , hde z ( t ) — komp-
leksnoznaçnaq analytyçeskaq funkcyq vewestvennoho arhumenta t t t∈( , )1 2 ,
– ∞ ≤ t1 < t2 ≤ ∞ , takaq, çto dlq vsex t t t∈( , )1 2 v¥polneno neravenstvo
Q z t dz
dt
( ( ))
2
> 0 . Yz opredelenyq kvadratyçnoho dyfferencyala Q z dz( ) 2
sleduet, çto traektoryy svqzan¥ s nym vnutrennym obrazom, t. e. ne zavysqt ot
v¥bora lokal\n¥x parametrov.
Oblast\ G ⊂ C naz¥vaetsq kruhovoj oblast\g kvadratyçnoho dyfferen-
cyala Q z dz( ) 2, esly ona udovletvorqet sledugwym uslovyqm: a) lgbaq tra-
ektoryq dyfferencyala Q z dz( ) 2, peresekagwaqsq s oblast\g G, celykom
leΩyt v G; b) G soderΩyt edynstvenn¥j dvojnoj polgs a dyfferencyala
Q z dz( ) 2
; v) oblast\ G a\ { } zapolnena traektoryqmy dyfferencyala Q z dz( ) 2
,
kaΩdaq yz kotor¥x qvlqetsq Ωordanovoj kryvoj, otdelqgwej toçku a ot
hranyc¥ oblasty G ; h) pry nadleΩawem v¥bore çysto mnymoj postoqnnoj c
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
872 A. K. BAXTYN
funkcyq w c Q z dz= { }∫exp ( ( )) /1 2 , doopredelennaq ravenstvom w a( ) = 0, kon-
formno otobraΩaet oblast\ G na kruh w r< ; d) G — maksymal\naq (po
vklgçenyg) oblast\, udovletvorqgwaq uslovyqm a) – h).
Fundamental\naq rol\ kvadratyçn¥x dyfferencyalov, kak unyversal\noho
sredstva dlq reßenyq πkstremal\n¥x zadaç heometryçeskoj teoryy funkcyj,
b¥la vperv¥e otmeçena O. Tejxmgllerom, sformulyrovavßym v 1939 h. pryn-
cyp, sohlasno kotoromu reßenye kaΩdoj takoj zadaçy svqzano s nekotor¥m
kvadratyçn¥m dyfferencyalom. ∏tot pryncyp naßel svoe v¥raΩenye v vyde
tak naz¥vaemoj „obwej teorem¥ o koπffycyentax”, sformulyrovannoj y doka-
zannoj pozdnee DΩ. DΩenkynsom (sm. [4]), kotoraq v dal\nejßem dopolnqlas\
y utoçnqlas\ v rabotax mnohyx avtorov. Druhye ponqtyq y rezul\tat¥, otnosq-
wyesq k teoryy kvadratyçn¥x dyfferencyalov y yx pryloΩenyqm, a takΩe bo-
lee podrobn¥e ystoryçeskye kommentaryy so ss¥lkamy na rabot¥ ukazann¥x
v¥ße avtorov sm. v [4, 6].
Pust\ G — otkr¥toe mnoΩestvo v C, ϕ π0 0 2∈[ , ), ( r, ϕ ) — polqrn¥e koor-
dynat¥ v prokolotoj ploskosty C \ { }O kompleksnoj peremennoj z z: =
= r iexp ϕ , r > 0 , ϕ π∈[ , )0 2 . Napomnym (sm., naprymer, [17]), çto kruhovaq
symmetryzacyq mnoΩestva G s centrom v naçale koordynat O otnosytel\no
luça lϕ ϕ ϕ
0 0: { }= = opredelqetsq kak mnoΩestvo G∗ , poluçennoe yz G sle-
dugwym obrazom: O G∈ ∗ ⇔ O G∈ ; dlq kaΩdoho ρ > 0 pereseçenye mnoΩe-
stva G∗
s okruΩnost\g C rρ ρ: { }= = sostoyt lybo yz okruΩnosty Cρ , esly
C Gρ ⊂ , lybo pusto, esly C Gρ ∩ = ∅ , lybo, esly ne v¥polnen ny odyn yz pe-
reçyslenn¥x v¥ße sluçaev, qvlqetsq duhoj
r d= − <
ρ ϕ ϕ
ρ
, 0 2
,
hde d — summa dlyn duh mnoΩestva C Gρ ∩ . Otmetym sledugwye svojstva
kruhovoj symmetryzacyy s centrom v toçke O otnosytel\no luça lϕ0
(sm., na-
prymer, [17]): a) kruhovaq symmetryzacyq otkr¥toho mnoΩestva qvlqetsq ot-
kr¥t¥m mnoΩestvom; b) kruhovaq symmetryzacyq oblasty G qvlqetsq ob-
last\g, y dlq kaΩdoj toçky a G l∈ ∩ ϕ0
vnutrennye radyus¥ oblasty G y sym-
metryzovannoj oblasty G∗
udovletvorqgt neravenstvu r G a r G a( , ) ( , )≤ ∗
;
v)DDkruhovaq symmetryzacyq odnosvqznoj oblasty G qvlqetsq odnosvqznoj ob-
last\g, pryçem, kak pokazal DΩ. DΩenkyns [18, 19], esly a G l∈ ∩ ϕ0
, to ra-
venstvo r G a r G a( , ) ( , )= ∗
vozmoΩno v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda oblasty
G y G∗
sovpadagt.
Pry dokazatel\stve teorem¥D1 budet yspol\zovan odyn vspomohatel\n¥j re-
zul\tat. Dlq eho formulyrovky vvedem sledugwye oboznaçenyq. Pust\
ϕ π∈( , ]/0 2 . Çerez ∆ ( ϕ ) oboznaçym mnoΩestvo, πlementamy kotoroho qvlqgt-
sq vsevozmoΩn¥e uporqdoçenn¥e çetverky δ = ( , , , )B B B B1 2 3 4 poparno nepere-
sekagwyxsq odnosvqzn¥x oblastej v C takyx, çto 1 1∈B , e Biϕ ∈ 2 , − ∈1 3B ,
e Bi− ∈ϕ
4 . Na mnoΩestve ∆ ( ϕ ) rassmotrym funkcyonal J, dejstvye kotoroho
na πlement δ ϕ= ∈( , , , ) ( )B B B B1 2 3 4 ∆ opredelqetsq ravenstvom
J r B r B r B e r B ei i( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )δ α ϕ ϕ α
= −( ) ( )−
1 3 2 41 1 1 2 .
V prynqt¥x oboznaçenyqx ymeet mesto sledugwaq lemma.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
∏KSTREMAL|NÁE ZADAÇY O NENALEHAGWYX OBLASTQX … 873
Lemma)1. Spravedlyv¥ sledugwye utverΩdenyq:
1) suwestvuet edynstvenn¥j πlement δ ϕ0
1
0
2
0
3
0
4
0= ∈( , , , ) ( )B B B B ∆ takoj,
çto sup ( ) ( )
( )δ ϕ
δ δ
∈
=
∆
J J 0
;
2) πkstremaly δ0
sootvetstvuet edynstvenn¥j (s toçnost\g do polo-
Ωytel\noho postoqnnoho mnoΩytelq) kvadratyçn¥j dyfferencyal
Q w dw( ) 2 = P w
w w e
dwi
( )
( ) ( )2 2 2 2 2
2
1− − ϕ , (6)
hde P w( ) — polynom ne v¥ße çetvertoj stepeny, pryçem toçky a1
0 1= ,
a ei
2
0 = ϕ , a3
0 1= − , a e i
4
0 = − ϕ y oblasty B B B B1
0
2
0
3
0
4
0, , , qvlqgtsq sootvet-
stvenno polgsamy y kruhov¥my oblastqmy kvadratyçnoho dyfferencyala (6),
a zam¥kanye mnoΩestva
Bpp
0
1
4
=∪ sovpadaet s rasßyrennoj kompleksnoj plos-
kost\g C ;
3) dlq kaΩdoho p = 1, 2, 3, 4 v nekotoroj okrestnosty toçky ap
0
ymeet
mesto razloΩenye
Q w dw( ) 2 = −
−
+ …
µp
pw a
dw
( )0 2
2 ,
hde µ µ α1 3 1= = , µ µ α2 4 2= = ;
4) kaΩdaq funkcyq w fp= ( )ζ , f ap p( )0 0= , realyzugwaq odnolystnoe y
konformnoe otobraΩenye edynyçnoho kruha D na oblast\ Bp
0, udovletvorq-
et dyfferencyal\nomu uravnenyg
Q w dw( ) 2 = – µp
dz
z
2
, p = 1, 2, 3, 4;
5) πkstremal\n¥e oblasty B1
0, B2
0, B3
0 y B4
0
symmetryçn¥ otnosytel\-
no edynyçnoj okruΩnosty T ;
6) struktura traektoryj kvadratyçnoho dyfferencyala (6) ymeet cent-
ral\nug symmetryg.
Dokazatel\stvo. Vnaçale rassmotrym sledugwug vspomohatel\nug zada-
çu: dlq zadannoho ϕ π∈( , ]/0 2 na mnoΩestve vsex par ( , )B B1 2 neperesekagwyx-
sq odnosvqzn¥x oblastej B1 1� y B e i
2
2� ϕ
takyx, çto C \ ( ) { , }B B1 2 0∪ ⊃ ∞
(v dal\nejßem budem naz¥vat\ takug paru dopustymoj), najty toçnug verx-
ngg hran\ M velyçyn¥ r B r B e iα α ϕ1 2
1 2
21( , ) ( , ) r B a r B aα α( , ) : [ ( , )]=( ). PokaΩem,
çto M < ∞ y
M = r B r B e iα α ϕ1 2
1
0
2
0 21( , ) ( , ) (7)
dlq edynstvennoj dopustymoj par¥ ( , )B B1
0
2
0
.
Dlq πtoho dlq proyzvol\noj dopustymoj par¥ ( , )B B1 2 oboznaçym çerez
f z1( ) y f z2( ) funkcyy, realyzugwye odnolystn¥e y konformn¥e otobraΩe-
nyq edynyçnoho kruha D na oblasty B1 y B2 sootvetstvenno. Pry πtom
f1 0 1( ) = , f e i
2
20( ) = ϕ , f zk( ) ≠ 0 ∀ ∈z D, k = 1, 2. Sohlasno teoreme Kebe (sm.,
naprymer, [4]), dlq kaΩdoj toçky w f∈∂ 1( )D v¥polnqetsq neravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
874 A. K. BAXTYN
[ ( , )] /r B w1
11 1 1 4− − ≥ , otkuda r B e i( , )1
21 1≤ − ϕ . Analohyçno, r B e i( , )2
2 ϕ ≤
≤ 1 2− e iϕ
y, sledovatel\no,
r B r B e iα α ϕ1 2
1 2
21( , ) ( , ) ≤ 1 2 1 2−
+
e iϕ α α
.
Poskol\ku poslednee spravedlyvo dlq proyzvol\noj dopustymoj par¥ ( , )B B1 2 ,
to
M ≤ 1 2 1 2−
+
e iϕ α α
< ∞ .
Pust\ {( )},B Bn n
n1 2 1=
∞
— posledovatel\nost\ dopustym¥x par oblastej, dlq
kotoroj
lim ( , ) ( , )
n
n n ir B r B e
→∞
α α ϕ1 2
1 2
21 = M,
y pry kaΩdom n = 1, 2, … funkcyy f zn
1 ( ) y f zn
2 ( ) realyzugt odnolystn¥e y
konformn¥e otobraΩenyq kruha D na oblasty Bn
1 y Bn
2 sootvetstvenno,
pryçem f n
1 0 1( ) = , f en i
2
20( ) = ϕ , f zk
n( ) ≠ 0 ∀ ∈z D, k = 1, 2. Poslednee
uslovye oznaçaet, çto kaΩdaq yz posledovatel\nostej funkcyj { }( )f zn
n1 1=
∞
y
{ }( )f zn
n2 1=
∞
qvlqetsq normal\n¥m semejstvom y, sohlasno teoreme Montelq (sm.
[2, c. 67 – 70]), suwestvuet vozrastagwaq posledovatel\nost\ natural\n¥x çy-
sel { ( )}n k k=
∞
1 takaq, çto kaΩdaq yz podposledovatel\nostej funkcyj
{ }( )( )f zn k
k1 1=
∞
y { }( )( )f zn k
k2 1=
∞
ravnomerno sxodytsq v kruhe D k nekotoroj rehu-
lqrnoj funkcyy, lybo k ∞ . Sluçaj sxodymosty k ∞ ysklgçaetsq tem, çto
f n
1 0 1( ) = y f en i
2
20( ) = ϕ
dlq vsex n = 1, 2, … , poπtomu funkcyy f z1
0( ) =
= lim ( )( )
k
n kf z
→∞ 1 y f z2
0( ) = lim ( )( )
k
n kf z
→∞ 2 rehulqrn¥ y odnolystn¥ v kruhe D,
oblasty B f1
0
1
0= ( )D y B f2
0
2
0= ( )D ne peresekagtsq y udovletvorqgt raven-
stvu (7). Dlq dal\nejßeho yssledovanyq πkstremal\noj par¥ ( ),B B1
0
2
0
pryme-
nym yzvestnug varyacyonnug formulu [2, c. 157, 158]
w
ε = w w
w w e
w w w w
i
+ − −
− −
ε
ϕ( )( )
( )( )
1 2
1 2
,
hde w1
, w e i
2
20 1∈C \ { , , }ϕ , w w1 2≠ . Funkcyq w wε( ) rehulqrna v C \ { , }w w1 2
( 0, 1, e i2 ϕ
— ee nepodvyΩn¥e toçky) y pry dostatoçno mal¥x kompleksn¥x ε
ona budet odnolystnoj v C \ { , }w w1 2 (sm. [2, c. 157]). Esly w1 y w2 qvlqgtsq
vnutrennymy toçkamy mnoΩestva C \ ( )B B1
0
2
0∪ , to otsgda sleduet, çto pry
dostatoçno mal¥x kompleksn¥x ε funkcyy
f z f z f z
f z f z e
f z w f z w
i
1 1
0
1
0 1
0
1
0 2
1
0
1 1
0
2
1ε
ϕ
ε( ) ( ) ( )
( ( ) )( ( ) )
( ( ) )( ( ) )
= + − −
− −
y
f z f z f z
f z f z e
f z w f z w
i
2 2
0
2
0 2
0
2
0 2
2
0
1 2
0
2
1ε
ϕ
ε( ) ( ) ( )
( ( ) )( ( ) )
( ( ) )( ( ) )
= + − −
− −
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
∏KSTREMAL|NÁE ZADAÇY O NENALEHAGWYX OBLASTQX … 875
konformno y odnolystno otobraΩagt kruh D na oblasty sootvetstvenno B1
ε
y B2
ε , obrazugwye dopustymug paru, y
( ) ( ) ( ) ( ) Re ( )
( )( )
f f
e
w w
i
1 1
0
2
1 2
0 0 1 1
1 1
ε
ϕε′ = ′ + −
− −
,
( ) ( ) ( ) ( ) Re ( )
( )( )
f f
e e
e w e w
i i
i i2 2
0
2 2
2
1
2
2
0 0 1 1ε
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ε′ = ′ + −
− −
.
Otsgda sleduet, çto
r B r B e iα ε α ε ϕ1 2
1 2
21( , ) ( , ) = ( ) ( ) ( ) ( )f f1 20 01 2ε α ε α′ ′ =
= ( ) ( ) ( ) ( )f f1
0
2
00 01 2′ ′α α
×
× 1
1
1 1
11
2
1 2
2
2 2
2
1
2
2
2+ −
− −
+ −
− −
+
ε α α εθ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕe
e
w w
e e
e w e w
Oi
i i i
i i
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
pry ε → 0, hde ε ε θ= ei . Yspol\zuq πkstremal\noe svojstvo par¥ ( , )B B1
0
2
0 ,
zaklgçaem, çto pry vsex θ ∈ [ 0, 2π )
Re
( )
( )( )
( )
( )( )
e
e
w w
e e
e w e w
i
i i i
i i
θ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
α α1
2
1 2
2
2 2
2
1
2
2
1
1 1
1−
− −
+ −
− −
≤ 0,
y, sledovatel\no,
α ϕ ϕ ϕ
1
2
1
2
2
21( )( )( )− − −e w e w ei i i + α ϕ ϕ
2
2 2
1 21 1 1e e w wi i( )( )( )− − − = 0 (8)
dlq vsex w1 , w 2 , prynadleΩawyx vnutrennosty mnoΩestva C \ ( )B B1
0
2
0∪ .
Polahaq w1 = w, w2 = w + h y razlahaq levug çast\ ravenstva (8) po stepenqm
w, neposredstvenn¥my v¥çyslenyqmy naxodym, çto koπffycyent pry w
2
ra-
ven ( )( )α α ϕ ϕ
1 2
2 21 0− − ≠e ei i , çto nevozmoΩno. Poluçennoe protyvoreçye
pokaz¥vaet, çto mnoΩestvo C \ ( )B B1
0
2
0∪ ne soderΩyt vnutrennyx toçek.
Pust\ toçky w1 = f z1 1( ) y w 2 = f z1 2( ) prynadleΩat oblasty B1, z 1 ,
z2 ∈D , z1 ≠ z2
. Rassmotrym funkcyg
f z1, ( )ε = f z
f z f z f z e
f z w f z w
i
1
0 1
0
1
0
1
0 2
1
0
1 1
0
2
1
( )
( )( ( ) )( ( ) )
( ( ) )( ( ) )
+ − −
− −
ε
ϕ
= g f zε( )( )1
0 , (9)
hde
g wε( ) : = w w
w w e
w w w w
i
+ − −
− −
ε
ϕ( )( )
( )( )
1 2
1 2
= w
w w e
w w w w
i
1 1 2
1 2
+ − −
− −
ε
ϕ( )( )
( )( )
. (10)
Pry dostatoçno mal¥x ε funkcyq (9) odnolystna y rehulqrna v nekotorom
kol\ce r z< < 1, r > 0. Oboznaçym çerez B1
ε
oblast\, poluçennug pryso-
edynenyem k obrazu kol\ca r z< < 1 pry otobraΩenyy f1,ε zamknutoj oblas-
ty, vnutrennej po otnoßenyg k obrazu okruΩnosty z r= pry πtom otobra-
Ωenyy. Prymenqq k funkcyy f1,ε varyacyonnug lemmu H.DM. Holuzyna [2,
c. 99], zaklgçaem, çto suwestvuet odnolystnoe konformnoe otobraΩenye f1
ε
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
876 A. K. BAXTYN
kruha D na oblast\ B1
ε
takoe, çto pry vsex z ∈ D spravedlyvo asymptotyçes-
koe ravenstvo
f z1
ε( ) = f z
f z f z f z e
f z w f z w
i
1
0 1
0
1
0
1
0 2
1
0
1 1
0
2
1
( )
( )( ( ) )( ( ) )
( ( ) )( ( ) )
+ − −
− −
ε
ϕ
–
– ε
ϕ
z f z
w w w e
z f z w w
z
z z
i
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )[ ]1
0 1 1 1
2
1 1
0
1
2
1 2
1
1
1′ − −
′ − −
–
– ε
ϕ
z f z
w w w e
z f z w w
z
z z
i
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )[ ]1
0 2 2 2
2
2 1
0
2
2
2 1
2
2
1′ − −
′ − −
+
+ ε
ϕ
z f z
w w w e
z f z w w
zz
zz
i
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )[ ]1
0 1 1 1
2
1 1
0
1
2
1 2
1
1
1
1
′ − −
′ − −
+
+ ε ε
ϕ
z f z
w w w e
z f z w w
zz
zz
O
i
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
[ ]1
0 2 2 2
2
2 1
0
2
2
2 1
2
2
21
1
′ − −
′ − −
+ , ε → 0. (11)
Pry dostatoçno mal¥x ε funkcyq
f z2
ε( ) : = g f zε( )( )2
0 = f z
f z f z f z e
f z w f z w
i
2
0 2
0
2
0
2
0 2
2
0
1 2
0
2
1
( )
( )( ( ) )( ( ) )
( ( ) )( ( ) )
+ − −
− −
ε
ϕ
(12)
odnolystno otobraΩaet kruh D na odnosvqznug oblast\ B2
ε , pryçem yz (9),
(10) y (12) lehko zaklgçyt\, çto para ( ),B B1 2
ε ε
budet dopustymoj (pry mal¥x
ε ) . PoloΩym k∗ = 1 pry k = 2, k∗ = 2 pry k = 1. Yz (11) y (12) poluçaem
sootnoßenyq
( ) ( )f1 0ε ′ = ( ) ( )
( )( )
f
e
w w
i
1
0
2
1 2
0 1 1
1 1
′ + −
− −
ε
ϕ
+
+ ε ε
ϕf z f z f z e
w w z f z
Ok k k
i
k k k kk
1
0
1
0
1
0 2
1
0 2
1
2
21( )( ( ) )( ( ) )
( ) ( ) ( )
( )
( )
− −
− ′ +
∗=
∑ , ε → 0,
( ) ( )f2 0ε ′ = ( ) ( ) ( )
( )( )
f
e e
e w e w
i i
i i2
0
2 2
2
1
2
2
0 1 1′ + −
− −
ε
ϕ ϕ
ϕ ϕ ,
kotor¥e vlekut sledugwug cepoçku ravenstv:
r B r B e iα ε α ε ϕ1 2
1 2
21( , ) ( , ) = ( ) ( ) ( ) ( )f f1 20 01 2ε α ε α′ ′ =
= ( ) ( ) ( ) ( )f f1
0
2
00 01 2′ ′α α
×
× 1 1
1 1
1
1
2
1 2
2
2 2
2
1
2
2
+ −
− −
+ −
− −
Re
( )( )
( )
( )( )
ε α α
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
e
w w
e e
e w e w
i i i
i i +
+ α ε
ϕ
1
1
0
1
0
1
0 2
1
0 2
1
2
21f z f z f z e
w w z f z
Ok k k
i
k k k kk
( )( ( ) )( ( ) )
( ) ( ) ( )
( )
( )
− −
− ′
+
∗=
∑ , ε → 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
∏KSTREMAL|NÁE ZADAÇY O NENALEHAGWYX OBLASTQX … 877
Poskol\ku
( ) ( ) ( ) ( )f f1
0
2
00 01 2′ ′α α
= r B r B e iα α ϕ1 2
1
0
2
0 21( , ) ( , ) ,
otsgda v¥tekaet ravenstvo
α
ϕ
1
1
0
1 1
0
1 1
0
1
2
1 2 1 1
0
1
2
1f z f z f z e
w w z f z
i( )( ( ) )( ( ) )
( ) ( ) ( )( )
− −
− ′ –
– α
ϕ
1
1
0
2 1
0
2 1
0
2
2
1 2 2 1
0
2
2
1f z f z f z e
w w z f z
i( )( ( ) )( ( ) )
( ) ( ) ( )( )
− −
− ′ +
+
α ϕ
1
2
1 2 2 1
1 1
1
1
1
( )−
− −
−
−
e
w w w w
i
+
+
α ϕ ϕ
ϕ ϕ
2
2 2
1 2 2
2
1
2
1 1 1e e
w w w e w e
i i
i i
( )−
− −
−
−
= 0.
Polahaq v πtom ravenstve w w h1 = + , w w2 = y perexodq k predelu pry
h → 0 , posledovatel\no poluçaem
d
dw
w w w e
z f z
e
w
e e
w e
i i i i
iα α α
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ1
2
1
0 2 1
2
2
2 2
2
1 1
1
1( )( )
( ) ( )
( )
( )
− −
′ − −
−
− −
−
= 0,
α
ϕ
1
2
1
0 2
1w w w e
z f z
i( )( )
( ) ( )( )
− −
′ = α α
ϕ ϕ ϕ
ϕ1
2
2
2 2
2
1
1
1−
−
+ −
−
+e
w
e e
w e
i i i
i
( ) const .
V termynax kvadratyçn¥x dyfferencyalov πto oznaçaet, çto funkcyq w =
= f z1
0( ) udovletvorqet uravnenyg
– α1
2
2
dz
z
=
P w dw
w w w e i
1
2
2 2 21
( )
( ) ( )− − ϕ ,
hde P1 — polynom vtoroj stepeny, a vblyzy toçek w = 1 y w e i= 2 ϕ
ymegt
mesto razloΩenyq
P w dw
w w w e i
1
2
2 2 21
( )
( ) ( )− − ϕ = −
−
+ …
α1
2
2
1( )w
dw (13)
y
P w dw
w w w e i
1
2
2 2 21
( )
( ) ( )− − ϕ = −
−
+ …
α
ϕ
2
2 2
2
( )w e
dwi . (14)
Analohyçno, funkcyq w f z= 2
0( ) udovletvorqet uravnenyg
– α2
2
2
dz
z
=
P w dw
w w w e i
2
2
2 2 21
( )
( ) ( )− − ϕ ,
hde P2 — polynom vtoroj stepeny, y vblyzy toçek w = 1 y w e i= 2 ϕ
ymegt
mesto razloΩenyq (14) y (15) s zamenoj P1 na P2 . Takym obrazom, oblasty B1
0
y B2
0
qvlqgtsq kruhov¥my oblastqmy kvadratyçn¥x dyfferencyalov
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
878 A. K. BAXTYN
P w dw
w w w e i
1
2
2 2 21
( )
( ) ( )− − ϕ (15)
y
P w dw
w w w e i
2
2
2 2 21
( )
( ) ( )− − ϕ (16)
sootvetstvenno. PokaΩem, çto na samom dele P P1 2≡ v C. Dlq πtoho vospol\-
zuemsq strukturn¥my teoremamy dlq kvadratyçn¥x dyfferencyalov (sm. [4],
teorem¥ 3.2, 3.4 y 3.5), prymenenye kotor¥x pokaz¥vaet, çto obwaq hranyca
Γ = C \ ( )B B1
0
2
0∪ oblastej B1
0
y B2
0
sostoyt yz koneçnoho çysla analytyçes-
kyx kryv¥x, kotor¥e qvlqgtsq traektoryqmy oboyx kvadratyçn¥x dyfferen-
cyalov (15) y (16) s koncamy v osob¥x toçkax (nulqx y polgsax) dyfferencya-
lov (15) y (16), pryçem nuly πtyx dyfferencyalov, prynadleΩawye Γ, sovpa-
dagt. Otsgda y yz opredelenyq traektoryy kvadratyçnoho dyfferencyala
sleduet, çto funkcyq
P w
P w
2
1
( )
( )
qvlqetsq holomorfnoj v oblasty B1
0, neprer¥v-
na na ee zam¥kanyy, ne ymeet nulej y prynymaet tol\ko vewestvenn¥e znaçenyq
na Γ = ∂B1
0
. Sledovatel\no, sohlasno pryncypu maksymuma dlq harmonyçeskyx
funkcyj, mnymaq çast\ funkcyy
P w
P w
2
1
( )
( )
toΩdestvenno ravna nulg v B1
0
y,
znaçyt, P cP2 1≡ , hde c — vewestvenn¥j poloΩytel\n¥j mnoΩytel\. Sravny-
vaq razloΩenyq dyfferencyalov (15) y (16) vblyzy toçek w = 1 y w = e i2 ϕ ,
zaklgçaem, çto c = 1 y P P1 2≡ . Takym obrazom, B1
0
y B2
0
qvlqgtsq kruho-
v¥my oblastqmy kvadratyçnoho dyfferencyala (15), B B1
0
2
0∪ = C . Sohlasno
teoreme DΩenkynsa [4] (teorema 7.1), otsgda sleduet, çto kakov¥ b¥ ny b¥ly
neperesekagwyesq odnosvqzn¥e oblasty B1 1� y B e i
2
2� ϕ
takye, çto
C \ ( ) { , }B B1 2 0∪ ⊃ ∞ , v¥polnqetsq neravenstvo
r B r B e iα α ϕ1 2
1 2
21( , ) ( , ) ≤ r B r B e iα α ϕ1 2
1
0
2
0 21( , ) ( , ) ,
znak ravenstva v kotorom realyzuetsq v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda
B B1 1
0= y B B2 2
0= .
Çtob¥ poluçyt\ teper\ utverΩdenye lemm¥D1, nuΩno rassmotret\ kvadra-
tyçn¥j dyfferencyal
Q t dt( ) 2 =
4
1
1
2 2
2 2 2 2 2
P t dt
t t e i
( )
( ) ( )− − ϕ ,
kotor¥j pry otobraΩenyy w t= 2
perevodytsq v kvadratyçn¥j dyfferencyal
(15). Tohda vblyzy polgsov t = ±1 y t ei= ± ϕ
spravedlyv¥ razloΩenyq
Q t dt( ) 2 = −
±
+ …
α1
2
2
1( )t
dt
y
Q t dt( ) 2 = −
±
+ …
α
ϕ
2
2 2
2
( )t e
dti .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
∏KSTREMAL|NÁE ZADAÇY O NENALEHAGWYX OBLASTQX … 879
Otsgda s pomow\g upomqnutoj teorem¥ DΩenkynsa poluçaem vse utverΩdenyq
lemm¥D1.
2. Dokazatel\stvo teorem¥)1. Pust\ ∆ — mnoΩestvo, sostoqwee yz vsex
uporqdoçenn¥x vos\merok δ = ( , , , , , , , )B B B B a a a a1 2 3 4 1 2 3 4 , hde B B B B1 2 3 4, , , —
poparno neperesekagwyesq (voobwe hovorq, mnohosvqzn¥e) oblasty v C , a1 ,
a2 , a3 , a4 — toçky na edynyçnoj okruΩnosty T takye, çto
0 21 2 3 4≤ < < < <arg arg arg arga a a a π
y a Bk k∈ , k = 1 4, . M¥ rassmatryvaem mnoΩestvo ∆ ( ϕ ) , ϕ ∈ ( , ]/0 2π , kak
podmnoΩestvo ∆ posredstvom otoΩdestvlenyq kaΩdoho πlementa ( , , ,B B B1 2 3
B4) ( )∈∆ ϕ s πlementom ( , , , , , , , )B B B B e ei i
1 2 3 4 1 1ϕ ϕ− − ∈∆ . Na mnoΩestve ∆ ras-
smotrym funkcyonal J, dejstvye kotoroho na πlement δ = ( , , , , , ,B B B B a a1 2 3 4 1 2
a a3 4, ) ∈∆ opredelqetsq ravenstvom
J ( δ ) : =
r B a r B a
a a
r B a r B a
a a
( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 1 3 3
1 3
2
2 2 4 4
2 4
2
1 2
−
−
α α
.
Klassyçeskaq teorema M. A. Lavrent\eva [1] utverΩdaet, çto kakov¥ b¥ ny
b¥ly toçky a a1 2, ∈C y neperesekagwyesq odnosvqzn¥e oblasty B B1 2, ⊂ C
takye, çto a B1 1∈ y a B2 2∈ , ymeet mesto neravenstvo r B a r B a( , ) ( , )1 1 2 2 ≤
≤ a a1 2
2− . Pry πtom lehko ponqt\, çto predpoloΩenye ob odnosvqznosty
oblastej B1 y B 2 v πtoj teoreme moΩno opustyt\. Otsgda sleduet, çto
J J0 1: sup ( )= ≤
∈δ
δ
∆
.
Pust\ { }δn
n=
∞
1 — posledovatel\nost\ πlementov mnoΩestva ∆, dlq kotoroj
lim ( )
n
nJ J
→∞
=δ 0. Dlq proyzvol\noho πlementa δ = ( , , , , , , , )B B B B a a a a1 2 3 4 1 2 3 4 ∈
∈ ∆ neevklydov¥ heodezyçeskye, soedynqgwye a1 s a3 y a2 s a4 , pereseka-
gtsq v edynstvennoj toçke b ∈ D. Tohda otobraΩenye t e w b bwi= − − −θ( )( )1 1,
0 ≤ θ < 2 π , qvlqetsq avtomorfyzmom kruha D, t a t a( ) ( )1 3= − , t a t a( ) ( )2 4= − − ,
pryçem parametr θ moΩno v¥brat\ tak, çto t a( )1 1= , a v¥polnqq, v sluçae ne-
obxodymosty, cyklyçeskug perenumeracyg toçek a1 , a2 , a3 , a4 y oblastej B1 ,
B2 , B3 , B4 , moΩno, oçevydno, sçytat\, çto t a ei( )2 = θ , hde ϕ π∈( , ]/0 2 . Funk-
cyonal J ynvaryanten otnosytel\no drobno-lynejn¥x avtomorfyzmov rasßy-
rennoj ploskosty C , a, s druhoj storon¥, yz lemm¥D1 y yz teorem¥ V.DN.DDuby-
nyna [9] (teoremaD2.15) sleduet, çto dlq lgboho ϕ ∈ ( , ]/0 2π toçnaq verxnqq
hran\ velyçyn¥
r B r B r B e r B ei i( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 3 2 41 1 1 2−( ) ( )−α ϕ ϕ α
na mnoΩestve vsex poparno neperesekagwyxsq (voobwe hovorq, mnohosvqzn¥x)
oblastej B1 , B2 , B3 , B4 ⊂ C takyx, çto 1 1∈B , e Biϕ ∈ 2 , − ∈1 3B , e Bi− ∈ϕ
4 ,
koneçna y dostyhaetsq na nekotoroj çetverke odnosvqzn¥x oblastej. Poπtomu
bez umen\ßenyq obwnosty moΩno sçytat\, çto dlq vsex n = 1, 2, … πlement δ
n
prynadleΩyt mnoΩestvu ∆ ( )ϕn pry nekotorom ϕ πn ∈( , ]/0 2 . Perexodq, esly
neobxodymo, k podposledovatel\nosty, moΩno takΩe sçytat\, çto suwestvuet
predel lim :
n
n
→∞
=ϕ ϕ0 , ϕ π0 0 2∈( , ]/ (v protyvnom sluçae dolΩno b¥t\ J0 0= ).
Dalee, kak y pry dokazatel\stve lemm¥D1, rassuΩdenye s yspol\zovanyem teore-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
880 A. K. BAXTYN
m¥ Montelq o normal\n¥x semejstvax funkcyj pokaz¥vaet, çto suwestvuet
πlement δ
0 = ( , , , , , , , )B B B B a a a a1
0
2
0
3
0
4
0
1
0
2
0
3
0
4
0 ∈ ∆ ( )ϕ0 takoj, çto J J( )δ0 0= .
Dlq poluçenyq dopolnytel\noj ynformacyy ob πkstremal\nom πlemente
δ
0
prymenym varyacyonnug formulu Dgrena – Íyffera [20]
w wρ, 0 = w wwρ, ( )0 = w
A
w
w
w w
A
w
w
ww
O+
−
−
−
+ρ ρ ρ
2
0 0
2
0
2
0
3
1
( ) , ρ → 0, (17)
hde ρ — dostatoçno mal¥j vewestvenn¥j poloΩytel\n¥j parametr, w0 ∈ C,
A = A ( ρ ) — parametr hranyçnoj varyacyy, ρ ρ−3 3O( ) — velyçyna, ravnomerno
ohranyçennaq na kaΩdom kompaktnom podmnoΩestve oblasty C \ { ( ) },w w0 0
1− .
Pry πtom dlq vsex w0 ∈ C, w w0 0∈T \ { } y ρ > 0 v¥polnqetsq uslovye
w wwρ, ( )0 ∈T . Dalee, kak y pry dokazatel\stve lemm¥D1, oboznaçym çerez f zk
0( )
funkcyg, realyzugwug konformnoe y odnolystnoe otobraΩenye kruha D
naDDoblast\ Bk
0
s f ak k
0 00( ) = , k = 1 4, . Rassmotrym var\yrovann¥e funkcyy
f zk
wρ, ( )0
:D= w f zw
k
ρ, ( )( )0 0 . Pust\ B fk k
wρ ρ= , ( )0 D , a fk k
wρ ρ= , ( )0 0 , k = 1 4, . Zdes\
w Bkk0
0
1
4∈ ( )=C \ ∪ . Yz ravenstva (17) poluçaem
( ) ( )fk
ρ ′ 0 = ( ) ( )
( )
( )
( )
f
A
a w
A
w
a w
a w
Ok
k
k
k
0
2
0
0
2
2
0
0
0
0
0
2
30 1
2′ −
−
− −
−
+
ρ ρ ρ
pry ρ → 0. Poskol\ku dlq odnosvqzn¥x oblastej hyperbolyçeskoho typa
vnutrennyj radyus sovpadaet s konformn¥m y pry vsex c ∈ C ymeet mesto ra-
venstvo
1 12 2 3− = − +c c oρ ρ ρRe ( ) , ρ ∈ R, ρ → +0 , (18)
otsgda sleduet
r B ak k( ),ρ ρ = r B a
Aa
w a w
Ok k
k
k
( ), Re
( )
( )0 0 2
0
0
0
0
2
31
2−
−
+
ρ ρ , ρ → 0 . (19)
Yspol\zuq to, çto a a a a1
0
2
0
3
0
4
0, , , ∈T y a a a a1
0
3
0
2
0
4
0 0+ = + = , yz (17) y (18) leh-
ko zaklgçaem, çto pry ρ → 0 ymegt mesto ravenstva
a a a a O1 3 1
0
3
0 31ρ ρ ρ− = − +( ( )), a a a a O2 4 2
0
4
0 31ρ ρ ρ− = − +( ( )).
Vmeste s (19) πto daet sledugwee ravenstvo dlq znaçenyq funkcyonala J na
πlemente δρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ= ( ), , , , , , ,B B B B a a a a1 2 3 4 1 2 3 4 , prynadleΩnost\ kotoroho k mno-
Ωestvu ∆ pry mal¥x znaçenyqx parametra ρ neposredstvenno sleduet yz
svojstv varyacyy Dgrena – Íyffera (17):
J( )δρ =
= J A
w
a
a w
a
a w
a
a w
a
a w
O( ) Re
( ) ( ) ( ) ( )
( )δ ρ α α α α ρ0 2
0
1 1
0
1
0
0
2
2 2
0
2
0
0
2
1 3
0
3
0
0
2
2 4
0
4
0
0
2
31 2−
−
+
−
+
−
+
−
+
,
ρ → 0 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
∏KSTREMAL|NÁE ZADAÇY O NENALEHAGWYX OBLASTQX … 881
Poskol\ku πlement δ0
realyzuet maksymum funkcyonala J na mnoΩestve ∆,
otsgda poluçaem, çto pry lgb¥x dopustym¥x znaçenyqx w0 y parametra A( )ρ
v¥polnqetsq neravenstvo
2
0
1 1
0
1
0
0
2
2 2
0
2
0
0
2
1 3
0
3
0
0
2
2 4
0
4
0
0
2Re
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
A
w
a
a w
a
a w
a
a w
a
a w
O
ρ α α α α ρ
−
+
−
+
−
+
−
+ ≥ 0,
yz kotoroho s pomow\g osnovnoj lemm¥ metoda hranyçnoj varyacyy Íyffera
[21] zaklgçaem, çto mnoΩestvo C \ Bkk
0
1
4
=∪ qvlqetsq zam¥kanyem obæedyne-
nyq koneçnoho çysla traektoryj kvadratyçnoho dyfferencyala
Q w dw( ) 2 = – 2 1 1
0
1
0 2
2 2
0
2
0 2
1 3
0
3
0 2
2 4
0
4
0 2
2α α α αa
a w
a
a w
a
a w
a
a w
dw
w( ) ( ) ( ) ( )−
+
−
+
−
+
−
=
= – 8
2
1
2 2
2
1
4
2 1
2
2
2
1
2 2 2 2 2
20
0 0
0
e
e w w e
w w e
dwi
i i
i
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
α α α α α α( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ − + + +
− −
−
. (20)
Otsgda sleduet, çto dlq πtoho dyfferencyala spravedlyvo ravenstvo
Q w d w( ) ( )− − 2
= Q w dw( ) 2
y struktura eho traektoryj ymeet symmetryg otno-
sytel\no okruΩnosty T y central\nug symmetryg otnosytel\no naçala koor-
dynat O. Teper\ dokazatel\stvo pervoho utverΩdenyq teorem¥D1 zaverßaetsq
analohyçno tomu, kak πto sdelano v rabote [16]. Dlq πtoho provodym sledug-
wug kruhovug symmetryzacyg πkstremal\n¥x oblastej B1
0 , B2
0 , B3
0 , B4
0
s cen-
trom v naçale koordynat O: pry kaΩdom k = 1, 2, 3, 4 oblast\ Bk
0
symmetry-
zuetsq otnosytel\no luça { }( ) / :z te tk= >−1 2 0π
; poluçennug takym obrazom
oblast\ oboznaçym çerez Bk
∗ . PoloΩym a1 1∗ = , a i2
∗ = , a3 1∗ = − , a i4
∗ = − .
Tohda, yspol\zuq yzvestn¥e svojstva kruhovoj symmetryzacyy, pryvedenn¥e v
pervoj çasty rabot¥, zaklgçaem, çto pry kaΩdom k ∈{ , , , }1 2 3 4 oblast\ Bk
∗
od-
nosvqzna y ymeet mesto neravenstvo r B a r B ak k k k( , ) ( , )0 0 ≤ ∗ ∗ , otkuda poluçaem, çto
dlq πlementa δ π∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= ∈( ) /, , , , , , , ( )B B B B a a a a1 2 3 4 1 2 3 4 2∆ v¥polnena cepoçka
sootnoßenyj J J J J J0
0 1
0= ≤ ≤ ≤∗( ) ( ) ( )δ δ δ , hde πlement δ1
= (B1
1
, B2
1
, B3
1
,
B4
1
a1
1
, a2
1
, a3
1
, a4
1) ∈ D ∆ ( )/π 2 v¥bran takym obrazom, çto na nem dostyhaetsq
maksymum funkcyonala J na mnoΩestve ∆ ( )/π 2 . Sledovatel\no, ymegt mesto
ravenstva J J J J( ) ( ) ( )δ δ δ0 1
0= = =∗ , pervoe yz kotor¥x vleçet ravenstvo
r B ak k( , )0 0 = r B ak k( , )∗ ∗ , k = 1 4, , a vtoroe, v sylu utverΩdenyq pervoho punkta
lemm¥D1 o edynstvennosty πkstremaly, daet sovpadenye πkstremalej δ∗
y δ1.
Otsgda y yz pryvedennoho v pervoj çasty nastoqwej rabot¥ rezul\tata
DΩ.DDΩenkynsa o edynstvennosty pry kruhovoj symmetryzacyy odnosvqzn¥x
oblastej y yz struktur¥ traektoryj kvadratyçnoho dyfferencyala (20) v¥te-
kaet, çto pry kaΩdom k ∈{ , , , }1 2 3 4 spravedlyv¥ ravenstva B Bk k
0 = ∗
y a ak k
0 = ∗ .
∏to oznaçaet, çto ϕ π0 2= / , kvadratyçn¥j dyfferencyal (20) prynymaet vyd
(1), toçky a1
0
, a2
0
, a3
0
, a4
0
y oblasty B1
0
, B2
0
, B3
0
, B4
0
qvlqgtsq sootvetstvenno
eho polgsamy y kruhov¥my oblastqmy, dlq lgb¥x toçek a1, a2 , a3 , a4 ∈T y
dlq kaΩdoj çetverky poparno neperesekagwyxsq meΩdu soboj oblastej B1,
B2, B3, B4 ⊂ C takyx, çto 0 ≤ arga1 < arga2 < arga3 < arga4 < 2π y a Bk k∈ ,
k = 1 4, , v¥polnqetsq neravenstvo (2). Pervoe utverΩdenye teorem¥D1
dokazano.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
882 A. K. BAXTYN
Dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥D1 ostalos\ yzuçyt\ sluçaj ravenst-
va v (2). Pust\ δ1
1 2 3 4 1 2 3 4= ( ), , , , , , ,B B B B a a a a — πlement mnoΩestva ∆, na
kotorom dostyhaetsq maksymum J0 funkcyonala J, y { }B̃k k=1
4
— systema ob-
lastej, poluçennaq v rezul\tate zapolnenyq system¥ { }Bk k=1
4 , ˜ ˜ , ˜ , ˜ ,(δ = B B B1 2 3
˜ , , , , )B a a a a4 1 2 3 4 . Tohda J J J( ) (˜)δ δ= = 0 , otkuda poluçaem ravenstva r B ak k( , ) =
= r B ak k( ˜ , ), k = 1 4, . Pust\ k ∈{ , , , }1 2 3 4 . Tohda pry w ak→ 1
spravedlyv¥ ra-
venstva
g w a w a r B a oB k k k kk
˜ ( , ) log log ( ˜ , ) ( )= − − + + 1
y
g w a w a r B a oB k k k kk
( , ) log log ( , ) ( )= − − + + 1 ,
kotor¥e oznaçagt, çto: a) funkcyq h w g w a g w ak B k B kk k
( ) : ( , ) ( , )˜= − harmonyçna
v oblasty Bk ; b) v kaΩdoj rehulqrnoj toçke z Bk∈∂ suwestvuet neotryca-
tel\n¥j predel lim ( )
,w z w Bk
h w
→ ∈
; c) h ak( ) = 0. Poskol\ku kaΩdaq toçka hrany-
c¥ oblasty Bk , za ysklgçenyem, vozmoΩno, mnoΩestva nulevoj emkosty, qvlq-
etsq rehulqrnoj, yz obobwennoho pryncypa maksymuma dlq harmonyçeskyx
funkcyj zaklgçaem, çto h wk( ) ≡ 0 v oblasty Bk . Esly predpoloΩyt\, çto em-
kost\ (borelevskoho) mnoΩestva E B Bk k k: ˜ \= poloΩytel\na, to v kaΩdoj toç-
ke z Ek∈ , za ysklgçenyem, b¥t\ moΩet, nekotoroho mnoΩestva Ek
0
nulevoj
emkosty, suwestvuet y raven nulg predel lim ( , )
,w z w B
B k
k
k
g w a
→ ∈
, no v to Ωe vremq
g z aB kk
˜ ( , ) > 0 v sylu poloΩytel\nosty funkcyy Hryna vo vnutrennyx toçkax
oblasty. Sledovatel\no, neravenstvo lim ( )
,w z w Bk
h w
→ ∈
> 0 ymeet mesto dlq vsex
toçek z E Ek k∈ \ 0, y v sylu obobwennoho pryncypa maksymuma dlq harmonyçes-
kyx funkcyj otsgda sleduet poloΩytel\nost\ funkcyy hk v oblasty Bk .
Poluçennoe protyvoreçye pokaz¥vaet, çto cap Ek = 0.
V dal\nejßem, yspol\zuq konformnug ynvaryantnost\ funkcyonala J y,
esly nuΩno, prymenqq toçno tak Ωe, kak y v¥ße, podxodqwee drobno-lynejnoe
preobrazovanye, budem sçytat\, çto pry nekotorom ϕ π∈( , ]/0 2 spravedlyv¥ ra-
venstva a1 1= , a ei
2 = ϕ , a3 1= − , a ei
4 = − ϕ . Provedenn¥e v¥ße rassuΩde-
nyq s yspol\zovanyem lemm¥D1, teorem¥ V.DN. Dubynyna [9] (teorema 2.15) y teo-
rem¥ DΩ.DDΩenkynsa o edynstvennosty pry kruhovoj symmetryy pokaz¥vagt,
çto ϕ π= /2 . Takym obrazom, ymeem dve πkstremaly:
˜ ˜ , ˜ , ˜ , ˜ , , , ,(δ = −B B B B i1 2 3 4 1 1
− i) y δ0 1
0
2
0
3
0
4
0 1 1= − −( ), , , , , , ,B B B B i i , hde B1
0
, B2
0
, B3
0
, B4
0
— kruhov¥e oblasty
kvadratyçnoho dyfferencyala Q w dw( ) 2 , opredelennoho ravenstvom (1) ( ak =
= ik−1
∈ D Bk
0
, k = 1 4, ). Otsgda, sohlasno teoreme V.DN. Dubynyna [22] (teore-
maD1), sleduet, çto dlq kaΩdoho k ∈{ , , , }1 2 3 4 suwestvugt takye dejstvytel\-
n¥e çysla sk y qk , çto funkcyq Hryna oblasty B̃k s polgsom v toçke ik−1
ymeet vyd
g w i s q
B
k
k k k
k
˜ ( , ) Im− = +1 ζ , (21)
hde ζ ζk k w= ( ) — v¥brannaq nadleΩawym obrazom odnoznaçnaq vetv\ funk-
cyyDD Q w dw
w 1 2
0
/ ( )∫ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
∏KSTREMAL|NÁE ZADAÇY O NENALEHAGWYX OBLASTQX … 883
PredpoloΩym, çto δ̃ δ≠ 0 . Yz toho, çto zam¥kanye obæedynenyq oblastej
B B B1
0
2
0
3
0, , y B4
0
sovpadaet s rasßyrennoj kompleksnoj ploskost\g y yz struk-
turn¥x teorem dlq kvadratyçn¥x dyfferencyalov (sm., naprymer, [4], teorema
3.5) sleduet, çto najdetsq traektoryq γ kvadratyçnoho dyfferencyala (1) y
nomer k ∈{ , , , }1 2 3 4 takye, çto: a) γ ne ymeet obwyx toçek ny s odnoj yz oblas-
tej B1
0
, B2
0
, B3
0
y B4
0; b) mnoΩestvo γ ∩ B̃k nepusto. Ne umen\ßaq obwnosty,
budem dlq opredelennosty sçytat\, çto k = 1. Tohda ravenstvo (21) pokaz¥va-
et, çto funkcyq g wB̃ ( , )
1
1 postoqnna na mnoΩestve γ ∩ B̃1. Yz opredelenyq ob-
lasty B̃1 sleduet, çto kaΩdaq ee hranyçnaq toçka qvlqetsq rehulqrnoj. Po-
πtomu esly mnoΩestvo γ ∩ B̃1 ymeet predel\n¥e toçky na ∂B̃1, to g wB̃ ( , )
1
1 0≡
na γ ∩ B̃1, çto protyvoreçyt poloΩytel\nosty funkcyy g wB̃ ( , )
1
1 vnutry
oblasty B̃1. Tohda, snova yspol\zuq strukturn¥e teorem¥ dlq kvadratyçn¥x
dyfferencyalov, zaklgçaem, çto ymeet mesto odyn yz sledugwyx dvux
sluçaev: lybo B̃ Bk k= 0 , k = 1 4, , lybo najdetsq takoj nomer k ∈{ , , , }1 2 3 4 , çto
vse nuly kvadratyçnoho dyfferencyala (1) prynadleΩat oblasty B̃k . Pred-
poloΩym, çto v¥polnqetsq vtoroj yz nyx. Tohda yz vyda kvadratyçnoho dyf-
ferencyala (1) sleduet, çto v sluçae α α1 2≠ on ymeet çet¥re prost¥x nulq v
oblasty B̃k , kotor¥e qvlqgtsq toçkamy vetvlenyq pervoho porqdka dlq funk-
cyy Q w dw
w 1 2
0
/ ( )∫ (v πtom lehko ubedyt\sq s pomow\g razloΩenyq πtoj funk-
cyy v rqd Pgyzo s centrom v nulqx kvadratyçnoho dyfferencyala (1)), çto
protyvoreçyt vozmoΩnosty v¥delenyq ee odnoznaçnoj vetvy v oblasty B̃k .
Esly Ωe α α1 2= , to dyfferencyal (1) ymeet dva nulq vtoroho porqdka v
toçkax w = 0 y w = ∞ . V πtom sluçae doslovn¥m povtorenyem rassuΩdenyj
rabot¥ [8, c. 55] ustanavlyvaetsq narußenye pryncypa maksymuma dlq harmony-
çeskyx funkcyj.
Takym obrazom, pokazano, çto esly dlq poparno neperesekagwyxsq oblastej
B1 , B2 , B3 , B4 ⊂ C y toçek a1 , a2 , a3 , a4 ∈ T takyx, çto 0 1 2≤ < <arg arga a
< < <arg arga a3 4 2π y a Bk k∈ , ymeet mesto sluçaj ravenstva v (2), to v¥pol-
nen¥ ravenstva cap ˜ \B Bk k = 0 y suwestvuet takoe drobno-lynejnoe otobraΩe-
nye S, qvlqgweesq avtomorfyzmom edynyçnoho kruha D, çto a S ak k= ( )0
y
˜ ( )B S Bk k= 0 , hde ak
0
y Bk
0
, k = 1 4, , — sootvetstvenno polgs¥ y kruhov¥e
oblasty kvadratyçnoho dyfferencyala (1). Yz provedennoho v¥ße analyza
sleduet y obratnoe: esly dlq poparno neperesekagwyxsq oblastej B1 , B2 , B3 ,
B4 ⊂ C y toçek a1 , a2 , a3 , a4 ∈ T takyx, çto 0 1 2 3≤ < < <arg arg arga a a
< <arg a4 2π y a Bk k∈ , spravedlyv¥ ravenstva cap ˜ \B Bk k = 0 y suwestvuet
takoe drobno-lynejnoe otobraΩenye S, qvlqgweesq avtomorfyzmom edynyç-
noho kruha D, çto a S ak k= ( )0
y
˜ ( )B S Bk k= 0 , k = 1 4, , to v (1) ymeet mesto
sluçaj ravenstva.
TeoremaD1 dokazana.
3. Dokazatel\stvo teorem¥)2. Pust\ n — natural\noe çyslo ( n ≥ 3 ) ,
a1 , … , a2n — toçky na edynyçnoj okruΩnosty T , a an2 1 1+ =: , 0 ≤ arg a1 < …
… < arg a2n < 2 π , B1 , … , B2n — poparno neperesekagwyesq oblasty v C ta-
kye, çto a Bk k2 1 2 1− −∈ y
a B L a a z a z ak k k k k k2 2 2 1 2 1 2 1 2 1∈ ⊂ = ∈ < <{ }− + − +( , ) : : arg arg argC , k n= 1, .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
884 A. K. BAXTYN
PoloΩym σk : = (arg a k2 1+ – arg ) /a k2 1− π , k n= 1, , σ σn+ =1 1: . Qsno, çto
σkk
n
=∑ 1
= 2. Pust\ ζk w( ) — odnoznaçnaq vetv\ funkcyy ( )arg /e wi a k k− −2 1 1 σ ,
v¥delqemaq uslovyem ζk ka i( )2 1− = − . Naßy dal\nejßye rassuΩdenyq osnova-
n¥ na prymenenyy tak naz¥vaemoho kusoçno-razdelqgweho preobrazovanyq,
predloΩennoho v rabotax [7 – 9].
Dlq kaΩdoho k n∈ …{ , , }1 funkcyq ζk otobraΩaet uhol L a ak k( , )2 1 2 1− + na
poluploskost\ Imζ > 0. Opredelym oblasty Gk
l , l = 1 4, , k n= 1, , sledug-
wym obrazom. Oblast\ Gk
1
qvlqetsq obrazom oblasty B k2 pry otobraΩenyy
ζk ; Gk
3
— oblast\, symmetryçnaq oblasty Gk
1
otnosytel\no mnymoj osy.
Rassmotrym obraz oblasty B L a ak k k2 1 2 1 2 1+ − +∩ ( , ) pry otobraΩenyy ζk , voz\-
mem eho zam¥kanye y obæedynym poluçennoe takym obrazom mnoΩestvo s mno-
Ωestvom, symmetryçn¥m emu otnosytel\no mnymoj osy. Vnutrennost\ mno-
Ωestva, poluçennoho v rezul\tate v¥polnenyq vsex ukazann¥x v¥ße dejstvyj,
qvlqetsq, oçevydno, oblast\g, kotorug oboznaçaem çerez Gk
2. Analohyçno,
rassmatryvaq obraz oblasty B L a ak k k2 1 2 1 2 1− − +∩ ( , ) pry otobraΩenyy ζk y pov-
torqq vse tol\ko çto opysann¥e dejstvyq, poluçaem oblast\ Gk
4
. Pust\
c ak k k
1
2= ζ ( ) , ck
3
— obraz toçky ck
1
pry otobraΩenyy otnosytel\no mnymoj osy,
c ik
2 = , c ik
4 = − , k n= 1, . Yz opredelenyj oblastej Gk
1, Gk
2, Gk
3
y Gk
4
y to-
çek ck
1, ck
2 , ck
3
y ck
4
sleduet, çto dlq vsex k = 1, … , n πty oblasty poparno ne
peresekagtsq y c Gk
l
k
l∈ , l = 1 4, . Prymenqq sledstvyeD2, dlq vsex k = 1, … , n
poluçaem neravenstvo
r G c r G c r G c r G ck k k k k k k k( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 1 3 3 2 2 4 41 2( ) ( )α α
≤ 4 1 1
0 1 2
α α α α+ M ( , ) . (22)
Yz vyda otobraΩenyq ζk v¥tekagt sledugwye asymptotyçeskye ravenstva:
ζ ζ σk k k k kw a w a o( ) ( ) ( ) ( ( ))/− = − +− −2 1 2 11 1 1 pry w a k→ −2 1,
ζ ζ σk k k k kw a w a o( ) ( ) ( ) ( ( ))/− = − ++ +2 1 2 11 1 1 pry w a k→ +2 1.
Yz πtyx ravenstv, prymenqq teoremu V.DN. Dubynyna [9] (teorema 1.9), poluçaem
neravenstva
r B ak k( , )2 1 2 1− − ≤ σ σk k k k k kr G c r G c− − −[ ]1
4 4
1
2
1
2 1 2
( , ) ( , )
/
, k = 1, … , n, (23)
hde G Gn0
2 2:= , c c in0
2 2:= = . S druhoj storon¥, yz opredelenyq vnutrenneho
radyusa sledugt ravenstva
r G c a r B a r B ak k k k k k
k
k k( , ) ( ) ( , ) ( , )1 1
2 2 2 2 2
1= ′ =ζ
σ
, k = 1, … , n.
Poskol\ku r G c r G ck k k k( , ) ( , )1 1 3 3= dlq vsex k = 1, … , n, ymeem
r B a r G c r G ck k k k k k k( , ) ( , ) ( , )
/
2 2
1 1 3 3 1 2
= [ ]σ , k = 1, … , n. (24)
Yspol\zuq (22) – (24) y neravenstvo Koßy o srednem aryfmetyçeskom y srednem
heometryçeskom, poluçaem cepoçku sootnoßenyj
r B a r B ak k
k
n
k k
k
n
( , ) ( , )2 1 2 1
1
2 2
1
1 2
− −
= =
∏ ∏
α α
≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
∏KSTREMAL|NÁE ZADAÇY O NENALEHAGWYX OBLASTQX … 885
≤ σ
α α
α α
k
k
n
k
n
k k k k k k k kr G c r G c r G c r G c
=
+
=
∏ ∏
( ) ( )[ ]
1 1
1 1 3 3 2 2 4 4
1 21 2
1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )
/
≤
≤ σ α α
α α
α α
k
k
n n
M
=
+
+∏
( )
1
0 1 2
2
1 2
1 24 ( , )
/
≤
≤ 1 2
1
0 1 2
2
1 2
1 2
n
Mk
k
n n
n
σ α α
α α
α α
=
+
+∑
( )
( )
/
( , ) =
= 2 4
1 2
1 2
0 1 2
2
n
M
n n
( )
+
+
( ) /
( , )
α α
α α α α = 4 1 2
0 1 2
2
n
M
n
n
( )
+( )
/( , )
α α
α α ,
v kotoroj vse neravenstva prevrawagtsq v ravenstva tohda y tol\ko tohda,
kohda dlq kaΩdoho k n∈ …{ , , }1 v¥polnqgtsq sledugwye uslovyq: a) oblasty
G̃k
1, G̃k
2, G̃k
3, G̃k
4
y toçky ck
1, ck
2 , ck
3, ck
4
qvlqgtsq sootvetstvenno kruhov¥my
oblastqmy y polgsamy kvadratyçnoho dyfferencyala (1); b) cap ˜ \G Gk k
1 1 =
= cap ˜ \G Gk k
2 2 = cap ˜ \G Gk k
3 3 = cap ˜ \G Gk k
4 4 = 0; v) σk n= 2 / . V¥polnqq, esly
neobxodymo, povorot ploskosty C otnosytel\no naçala koordynat O, moΩno
bez umen\ßenyq obwnosty sçytat\, çto a1 1= . V sylu opredelenyq oblastej
Gk
1, Gk
2, Gk
3
, Gk
4
y toçek ck
1, ck
2 , ck
3, ck
4
v¥polnenye uslovyj a) y v) oz-
naçaet, çto a i k nk = −exp [ ( ) ]/1 π , k n= 1 2, , y ζk
k nw w( ) ( ) ( )= − −
+1 1 , k n= 1, ,
hde w+ — odnoznaçnaq vetv\ funkcyy w , v¥delqemaq uslovyem 1 1+ = ,
a v¥polnenye uslovyj b) y v) — çto cap ˜ \B Bk k = 0, k n= 1 2, . Tohda, v¥pol-
nqq v kvadratyçnom dyfferencyale (1) posledovatel\no zamen¥ lokal\n¥x pa-
rametrov w = ζ y ζ = wn /2, poluçaem kvadratyçn¥j dyfferencyal (5), pry-
çem toçky ak y oblasty B̃k , k n= 1 2, , qvlqgtsq sootvetstvenno eho polgsamy
y kruhov¥my oblastqmy. ∏to nablgdenye zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥ 2.
1. Lavrent\ev M. A. K teoryy konformn¥x otobraΩenyj // Tr. Fyz.-mat. yn-ta AN SSSR. –
1934. – 5. – S. 159 – 245.
2. Holuzyn H. M. Heometryçeskaq teoryq funkcyj kompleksnoho peremennoho. – M.: Nauka,
1966. – 628 s.
3. Lebedev N. A. Pryncyp plowadej v teoryy odnolystn¥x funkcyj. – M.: Nauka, 1975. –
336Ds.
4. DΩenkyns DΩ. A. Odnolystn¥e funkcyy y konformn¥e otobraΩenyq. – M.: Yzd-vo ynostr.
lyt., 1962. – 256Ds.
5. Baxtyna H. P. Varyacyonn¥e metod¥ y kvadratyçn¥e dyfferencyal¥ v zadaçax o nenale-
hagwyx oblastqx: Avtoref. dys. … kand. fyz.-mat. nauk. – Kyev, 1975. – 11 s.
6. Kuz\myna H. V. Moduly semejstv kryv¥x y kvadratyçn¥e dyfferencyal¥. – L.: Nauka,
1980. – 241Ds.
7. Dubynyn V. N. Metod symmetryzacyy v heometryçeskoj teoryy funkcyj: Dys. … d-ra fyz.-
mat. nauk. – Vladyvostok, 1988. – 193 s.
8. Dubynyn V. N. Razdelqgwee preobrazovanye oblastej y zadaçy ob πkstremal\nom razbyenyy
// Zap. nauç. sem. Lenynhr. otd-nyq Mat. yn-ta AN SSSR. – 1988. – 168. – S. 48 – 66.
9. Dubynyn V. N. Metod symmetryzacyy v heometryçeskoj teoryy funkcyj kompleksnoho
peremennoho // Uspexy. mat. nauk. – 1994. – 49, # 1 (295). – S. 3 – 76.
10. Dubynyn V. N. Emkosty kondensatorov v heometryçeskoj teoryy funkcyj. – Vladyvostok:
Yzd-vo Dal\nevostoç. un-ta, 2003. – 116 s.
11. Kuz\myna H. V. Metod πkstremal\noj metryky v zadaçax o maksymume proyzvedenyq stepe-
nej konformn¥x radyusov nenalehagwyx oblastej pry nalyçyy svobodn¥x parametrov //
Zap. nauç. sem. Peterburh. otd-nyq Mat. yn-ta RAN. – 2003. – 302. – S. 52 – 67.
12. Emel\qnov E. H. K zadaçe o maksymume proyzvedenyq stepenej konformn¥x radyusov nena-
lehagwyx oblastej // Tam Ωe. – 2002. – 286. – S. 103 – 114.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
886 A. K. BAXTYN
13. Kovalev L. V. O vnutrennyx radyusax symmetryçn¥x nenalehagwyx oblastej // Yzv. vuzov.
Matematyka. – 2000. – # 6. – S. 82 – 87.
14. Baxtyn A. K. Nekotor¥e zadaçy v teoryy nenalehagwyx oblastej // Ukr. mat. Ωurn. – 1999.
– 51, # 6. – S. 723 – 731.
15. Baxtyn A. K. O nekotor¥x zadaçax v teoryy nenalehagwyx oblastej // Int. Conf. Complex
Analysis and Potential Theory: Abstrs. – Kiev: Inst. Math. NAS Ukraine. – 2001. – P. 64.
16. Baxtyn A. K. O proyzvedenyy vnutrennyx radyusov symmetryçn¥x nenalehagwyx oblastej
// Ukr. mat. Ωurn. – 1997. – 49, # 11. – S. 1454 – 1464.
17. Xejman V. K. Mnoholystn¥e funkcyy. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1960. – 180Ds.
18. Jenkins J. A. Some uniquiness results in the theory of symmetrization // Ann. Math. – 1955. – 61,
# 1. – P. 106 – 115.
19. Jenkins J. A. Some uniquiness results in the theory of symmetrization II // Ibid. – 1962. – 75, # 2.
– P. 223 – 230.
20. Duren P. L., Schiffer M. A variation method for function schlicht in annulus // Arch. Ration.
Mech. and Anal. – 1962. – 9. – P. 260 – 272.
21. Schiffer M. A method of variation within the family of simple functions // Proc. London Math.
Soc. – 1938. – 44. – P. 432 – 449.
22. Dubynyn V. N. Metod symmetryzacyy v zadaçax o nenalehagwyx oblastqx // Mat. sb. – 1985.
– 128, # 1. – S. 110 – 123.
Poluçeno 01.12.2003,
posle dorabotky — 30.05.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3503 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:45Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/66/61363ac8e02229b0bf944683ea93c866.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35032020-03-18T19:56:18Z Extremal problems of nonoverlapping domains with free poles on a circle Экстремальные задачи o неналегающих областях со свободными полюсами на окружности Bakhtin, A. K. Бахтин, А. К. Бахтин, А. К. Let $α_1, α_2 > 0$ and let $r(B, a)$ be the interior radius of the domain $B$ lying in the extended complex plane $\overline{ℂ}$ relative to the point $a ∈ B$. In terms of quadratic differentials, we give a complete description of extremal configurations in the problem of maximization of the functional $\left( {\frac{{r(B_1 ,a_1 ) r(B_3 ,a_3 )}}{{\left| {a_1 - a_3 } \right|^2 }}} \right)^{\alpha _1 } \left( {\frac{{r(B_2 ,a_2 ) r(B_4 ,a_4 )}}{{\left| {a_2 - a_4 } \right|^2 }}} \right)^{\alpha _2 }$ defined on all collections consisting of points $a_1, a_2, a_3, a_4 ∈ \{z ∈ ℂ: |z| = 1\}$ and pairwise-disjoint domains $B_1, B_2, B_3, B_4 ⊂ \overline{ℂ}$ such that $a_1 ∈ B_1, a_1 ∈ B_2, a_3 ∈ B_3, and a_4 ∈ B_4$. Нехай $α_1, α_2 > 0$ та $r(B, a)$ — внутрішній радіус обласгі $B$, що лежить у розширеній комплексній площині $\overline{ℂ}$, відносно точки $a ∈ B$. У термінах квадратичних диференціалів отримано повний опис екстремальних конфігурацій в задачі максимізації функціонала $\left( {\frac{{r(B_1 ,a_1 ) r(B_3 ,a_3 )}}{{\left| {a_1 - a_3 } \right|^2 }}} \right)^{\alpha _1 } \left( {\frac{{r(B_2 ,a_2 ) r(B_4 ,a_4 )}}{{\left| {a_2 - a_4 } \right|^2 }}} \right)^{\alpha _2 }$ визначеного на всіх наборах, що складаються з точок $a_1, a_2, a_3, a_4 ∈ \{z ∈ ℂ: |z| = 1\}$ та областей $B_1, B_2, B_3, B_4 ⊂ \overline{ℂ}$, які попарно не перетинаються між собою, таких, що $a_1 ∈ B_1, a_1 ∈ B_2, a_3 ∈ B_3, and a_4 ∈ B_4$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3503 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 7 (2006); 867–886 Український математичний журнал; Том 58 № 7 (2006); 867–886 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3503/3743 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3503/3744 Copyright (c) 2006 Bakhtin A. K. |
| spellingShingle | Bakhtin, A. K. Бахтин, А. К. Бахтин, А. К. Extremal problems of nonoverlapping domains with free poles on a circle |
| title | Extremal problems of nonoverlapping domains with free poles on a circle |
| title_alt | Экстремальные задачи o неналегающих областях со свободными полюсами на окружности |
| title_full | Extremal problems of nonoverlapping domains with free poles on a circle |
| title_fullStr | Extremal problems of nonoverlapping domains with free poles on a circle |
| title_full_unstemmed | Extremal problems of nonoverlapping domains with free poles on a circle |
| title_short | Extremal problems of nonoverlapping domains with free poles on a circle |
| title_sort | extremal problems of nonoverlapping domains with free poles on a circle |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3503 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak extremalproblemsofnonoverlappingdomainswithfreepolesonacircle AT bahtinak extremalproblemsofnonoverlappingdomainswithfreepolesonacircle AT bahtinak extremalproblemsofnonoverlappingdomainswithfreepolesonacircle AT bakhtinak ékstremalʹnyezadačionenalegaûŝihoblastâhsosvobodnymipolûsaminaokružnosti AT bahtinak ékstremalʹnyezadačionenalegaûŝihoblastâhsosvobodnymipolûsaminaokružnosti AT bahtinak ékstremalʹnyezadačionenalegaûŝihoblastâhsosvobodnymipolûsaminaokružnosti |