Asymptotic behavior of unbounded solutions of essentially nonlinear second-order differential equations. II
We establish asymptotic representations for one class of unbounded solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain a sum of terms with nonlinearities of a more general form than nonlinearities of the Emden-Fowler type.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3505 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509607066075136 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Kas'yanova, V. A. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Kas'yanova, V. A. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:18Z |
| description | We establish asymptotic representations for one class of unbounded solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain a sum of terms with nonlinearities of a more general form than nonlinearities of the Emden-Fowler type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.925
V. M. Evtuxov, V. A. Kas\qnova (Odes. nac. un-t)
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX
REÍENYJ SUWESTVENNO NELYNEJNÁX
DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ
VTOROHO PORQDKA. II
We establish asymptotic representations for a class of unbounded solutions of second-order differential
equations whose right-hand sides contain the sum of terms with nonlinearities of more general form than
nonlinearities of Emden–Fowler type.
Vstanovleno asymptotyçni zobraΩennq dlq odnoho klasu neobmeΩenyx rozv’qzkiv dyferen-
cial\nyx rivnqn\ druhoho porqdku, wo mistqt\ u pravij çastyni sumu dodankiv z nelinijnostqmy
bil\ß zahal\noho vyhlqdu, niΩ nelinijnosti typu Emdena – Faulera.
Rassmatryvaetsq dyfferencyal\noe uravnenye
y ′′ =
k
m
k k k kp t r t y
=
∑ +[ ]
1
1α ϕ( ) ( ) ( ) , (0.1)
hde αk ∈ { –1; 1 }, k = 1, … , m, pk : [ a, ω [ → ] 0, + ∞ [, k = 1, … , m, — neprer¥vno
dyfferencyruem¥e funkcyy, r k : [ a, ω [ → R , k = 1, … , m, — neprer¥vn¥e
funkcyy, udovletvorqgwye uslovyqm
lim ( )
t
kr t
↑ω
= 0, k = 1, … , m, (0.2)
– ∞ < a < ω ≤ + ∞, a ϕk : [ y0 , + ∞ [ → ] 0, + ∞ [, k = 1, … , m, 0 < y0 < + ∞, — dvaΩ-
d¥ neprer¥vno dyfferencyruem¥e funkcyy takye, çto
lim ( )
y
k y
→+ ∞
ϕ = ϕk
0 = const ≠ 0 pry k = 1, … , m1 , (0.3)
lim ( )
y
k y
→+ ∞
ϕ =
lybo
lybo
0,
+ ∞
pry k = m1 + 1, … , m,
1
(0.4)
pryçem
′ϕk ≠ 0 pry y ≥ y0 y lim
( )
( )y
k
k
y y
y→+ ∞
′′
′
ϕ
ϕ
= σk = const, (0.5)
esly k ∈ { 1, … , m } y otlyçno ot tex k ∈ { 1, … , m1 }, dlq kotor¥x ϕk ( y ) ≡
≡ ϕk
0
.
PoloΩym
πω ( t ) =
t
t
, ,
, ,
esly
esly
ω
ω ω
= + ∞
− < + ∞
y vvedem sledugwee opredelenye.
Reßenye y : [ t0 , ω [ → [ y0 , + ∞ [ ( t0 ∈ [ a, ω [ ) uravnenyq (0.1) budem naz¥vat\
Πω ( µ 0 )-reßenyem, hde – ∞ ≤ µ 0 ≤ + ∞, esly ono udovletvorqet sledugwym
uslovyqm:
1) lim ( )
t
y t
↑ω
= + ∞;
1
Zdes\ y nyΩe polahaem m1 = 0 ( m1 = m ), esly v¥polnqetsq tol\ko uslovye (0.4) (tol\ko
uslovye (0.3)).
© V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7 901
902 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
2) y ′ ( t ) > 0 pry t ∈ [ t0 , ω [, lim ( )
t
y t
↑
′
ω
=
lybo
lybo
0,
;+ ∞
3) lim
( ) ( )
( )t
t y t
y t↑
′′
′ω
ωπ
= µ 0 , pryçem lim
( ) ( )
( )t
y t y t
y t↑
′′
′[ ]ω 2 = 1, esly µ 0 = ± ∞.
V rabote [1] dlq kaΩdoho yz vozmoΩn¥x znaçenyj µ 0 y kaΩdoho i ∈ { 1, …
…, m } ukazan¥ uslovyq, pry v¥polnenyy kotor¥x lgboe Πω ( µ 0 )-reßenye
uravnenyq (0.1) ymeet svojstvo
lim
( ) ( )
( ) ( )t
j j
i i
p t y t
p t y t↑
( )
( )ω
ϕ
ϕ
= 0 pry lgbom j ∈ { 1, … , m }, otlyçnom ot i. (0.6)
Vopros o suwestvovanyy y asymptotyke Πω ( µ 0 )-reßenyj uravnenyq (0.1) v¥qs-
nen v [1] polnost\g lyß\ v sluçae, kohda m1 ≥ 1 y uslovyq (0.6) v¥polnqgtsq
pry i ∈ { 1, … , m1 }. V sluçae, kohda m1 < m y uslovyq (0.6) v¥polnqgtsq pry
i ∈ { m1 + 1, … , m }, πtot vopros reßen v [1] lyß\ dlq Πω ( µ 0 )-reßenyj, u ko-
tor¥x µ 0 ∈ R \ { 0, – 1 }. Ostal\n¥m Πω ( µ 0 )-reßenyqm uravnenyq (0.1) posvq-
wena nastoqwaq stat\q.
1. Osnovn¥e rezul\tat¥. Dlq kaΩdoho i ∈ { 1, … , m } poloΩym
Ii 1 ( t ) =
A
t
i
i
p s ds
1
∫ ( ) , Qi 1 ( t ) =
′
∫
A
t
i
i
I s ds
1
1( ) ,
Ii 2 ( t ) =
A
t
i
i
s p s ds
2
∫ πω ( ) ( ) , Qi 2 ( t ) =
′
∫
A
t
i
i
i
p s ds
I s
2
2
( )
( )
,
hde
Ai 1 =
a p s ds
p s ds
a
i
a
i
, ( ) ,
, ( ) ,
esly
esly
ω
ω
ω
∫
∫
= + ∞
< + ∞
Ai 2 =
a s p s ds
s p s ds
a
i
a
i
, ( ) ( ) ,
, ( ) ( ) ,
esly
esly
ω
ω
ω
ω
π
ω π
∫
∫
= + ∞
< + ∞
′Ai1 =
a I s ds
I s ds
a
i
a
i
, ( ) ,
, ( ) ,
esly
esly
ω
ω
ω
∫
∫
= + ∞
< + ∞
1
1
′Ai2 =
′ = + ∞
< + ∞
′
′
∫
∫
a
p s ds
I s
p s ds
I s
a
i
i
a
i
i
,
( )
( )
,
,
( )
( )
,
esly
esly
ω
ω
ω
2
2
a ′ ∈ ] a, ω [.
Krome toho, pry m1 < m dlq kaΩdoho i ∈ { m1 + 1, … , m } vvedem funkcyg
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 903
Φi ( y ) =
B
y
i
i
dz
z∫ ϕ ( )
, Bi =
y
dz
z
dz
z
y i
y i
0
0
0
,
( )
,
,
( )
.
esly
esly
+ ∞
+ ∞
∫
∫
= + ∞
+ ∞ < + ∞
ϕ
ϕ
Dlq πtoj funkcyy suwestvuet obratnaq funkcyq Φi
−1
, zadannaq na prome-
Ωutke [ 0, + ∞ [, esly Bi = y 0 , yly na promeΩutke [ bi , 0 [, hde bi = –
y i
dz
z0
+ ∞
∫ ϕ ( )
,
esly Bi = + ∞, pryçem dlq nyx
lim ( )
y
i y
→+ ∞
Φ = + ∞, lim ( )
z
i z
→+ ∞
−Φ 1 = + ∞ pry Bi = y 0 ,
lim ( )
y
i y
→+ ∞
Φ = 0, lim ( )
z
i z
↑
−
0
1Φ = + ∞ pry Bi = + ∞,
Krome toho, pry σi ≠ 0 s yspol\zovanyem pravyla Lopytalq y (0.7) ymeem
lim
( )
( )y
i
i
y
y y→+ ∞ /
Φ
ϕ
= lim
( )
( )
( )
( )
y
i
i
i
i
y
y
y y
y
→+ ∞
/
−
′
1
1
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
= –
1
σi
. (1.1)
Teorema 1.1. Pust\ m1 < m y dlq nekotoroho i ∈ { m1 + 1, … , m } v¥pol-
nqetsq neravenstvo – 1 < σi ≠ 0, a takΩe uslovyq (1.16), (1.17) lemm¥ 1.6 yz
rabot¥ [1]. Tohda dlq suwestvovanyq Πω ( ± ∞ )-reßenyj uravnenyq (0.1) ne-
obxodymo y dostatoçno, çtob¥
sin πω ( t ) = ± 1 (sootvetstvenno),
(1.2)
σi Ii 1 ( t ) < 0 pry t ∈ ] a, ω [2, αi = 1
y
lim
( )
( ) ( )t
i
i i
I t
p t Q t↑ω
1
2
1
= 1. (1.3)
Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho reßenyq pry t ↑ ω ymegt mesto asymptoty-
çeskye predstavlenyq
y t
y t
( )
( )ϕ( )
=
σi i
i
I t
p t
o
2
1
2
1 1
( )
( )
( )+[ ], ′y t
y t
( )
( )
= − +[ ]p t
I t
oi
i i
( )
( )
( )
σ 1
1 1 . (1.4)
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\. Pust\ y : [ t0 , ω [ → [ y0, + ∞ [ — proyz-
vol\noe Πω ( µ 0 )-reßenye uravnenyq (0.1), dlq kotoroho µ 0 ravno lybo + ∞,
lybo – ∞. Tohda sohlasno lemme 1.1 yz [1] ω = + ∞ pry µ 0 = + ∞ y ω < + ∞ pry
µ 0 = – ∞, t. e. v¥polnqetsq pervoe yz uslovyj (1.2). Krome toho, v sylu uslovyj
lemm¥ 1.6 yz [1] dlq dannoho reßenyq ymegt mesto predel\n¥e sootnoßenyq
(0.6). Poπtomu s uçetom (0.1) poluçym
y ′′ ( t ) = α ϕi i ip t y t o( ) ( ) ( )( ) +[ ]1 1 pry t ↑ ω. (1.5)
Otsgda v sylu opredelenyq Πω ( ± ∞ )-reßenyq, a takΩe uslovyj pi ( t ) > 0 pry
t ∈ [ a, ω [ y ϕi ( y ) > 0 pry y ∈ [ y0, + ∞ [ sleduet, çto α i > 0, t. e. v¥polnqetsq
tret\e yz uslovyj (1.2). Dalee, prynymaq vo vnymanye opredelenye Πω ( ± ∞ )-
reßenyq y lemmu 1.2 yz [1], zameçaem, çto
2
Pry ω = + ∞ sçytaem, çto a > 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
904 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
′
( )
′y t
y ti
( )
( )ϕ
=
′′
( )
− ′[ ]
′′
′( )
( )
y t
y t
y t
y t y t
y t y t
y ti
i
i
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )ϕ
ϕ
ϕ
1
2
∼ – σ
ϕi
i
y t
y t
′′
( )
( )
( )
pry t ↑ ω.
S uçetom πtoho asymptotyçeskoho sootnoßenyq (1.5) moΩno perepysat\ v vyde
′
( )
′y t
y ti
( )
( )ϕ
= – σi ip t o( ) ( )1 1+[ ] pry t ↑ ω,
otkuda v rezul\tate yntehryrovanyq na promeΩutke ot t0 do t ( t ∈ ] t0 , ω [ )
sleduet, çto
′
( )
y t
y ti
( )
( )ϕ
= ci – σi iI t o1 1 1( ) ( )+[ ] pry t ↑ ω, (1.6)
hde ci — nekotoraq postoqnnaq.
PokaΩem, çto ci = 0 pry Ai 1 = ω. Dejstvytel\no, esly b¥ πto b¥lo ne tak,
to yz (1.6) poluçyly b¥ asymptotyçeskoe sootnoßenye
′
( )
y t
y ti
( )
( )ϕ
= ci + o( 1 ) pry t ↑ ω,
kotoroe s uçetom (1.5) y neravenstva αi > 0 pryvodyt k sootnoßenyg vyda
′′
′
y t
y t
( )
( )
= p t
c
oi
i
( ) ( )
1
1+
pry t ↑ ω.
Yntehryruq eho na promeΩutke ot t0 do t, naxodym
ln ( )′y t = c + I t
c
oi
i
1
1
1( ) ( )+
pry t ↑ ω,
hde c — nekotoraq postoqnnaq. No πto nevozmoΩno, poskol\ku v¥raΩenye,
stoqwee sleva, sohlasno vtoromu yz uslovyj opredelenyq Πω ( ± ∞ )-reßenyq
ymeet beskoneçn¥j predel pry t ↑ ω, a stoqwee sprava v sylu uslovyq Ai 1 = ω
— koneçn¥j. Znaçyt, pry Ai 1 = ω postoqnnaq ci = 0. Poπtomu pry kaΩdom yz
dvux znaçenyj, kotor¥e moΩet prynymat\ Ai 1 , sootnoßenye (1.6) dopuskaet
predstavlenye vyda
′
( )
y t
y ti
( )
( )ϕ
= – σi iI t o1 1 1( ) ( )+[ ] pry t ↑ ω. (1.7)
Otsgda neposredstvenno v¥tekaet vtoroe yz uslovyj (1.2) y asymptotyçeskoe
sootnoßenye
Φi y t( )( ) = – σi iQ t o1 1 1( ) ( )+[ ] pry t ↑ ω. (1.8)
Teper\, prymenqq pravylo Lopytalq, s yspol\zovanyem (1.7) y lemm¥ 1.2 yz [1]
naxodym
lim
( )
( ) ( )t i i
y t
y t Q t↑ ( )ω ϕ 1
= lim
( )
( )
( )t
i
i
y t
y t
Q t↑
( )
′
′ω
ϕ
1
= lim
( )
( )
( ) ( )
( )
( )t
i
i
i
i
y t
y t
y t y t
y t
I t↑
′
( )
− ′( )
( )
ω
ϕ
ϕ
ϕ
1
1
= σi
2
.
Tem sam¥m pokazano, çto
y t
y ti
( )
( )ϕ ( )
= σi iQ t o2
1 1 1( ) ( )+[ ] pry t ↑ ω. (1.9)
Poskol\ku sohlasno (1.5), hde αi = 1, (1.7) y (1.9)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 905
′[ ]
′′
y t
y t y t
( )
( ) ( )
2
=
′
( )
( )
′′
( )y t
y t
y t
y t
y t
y ti
i i( )
( )
( )
( )
( )
( )ϕ
ϕ ϕ2
=
I t
p t Q t
oi
i i
1
2
1
1 1
( )
( ) ( )
( )+[ ] pry t ↑ ω,
to v sylu tret\eho yz uslovyj opredelenyq Πω ( ± ∞ )-reßenyq ymeet mesto pre-
del\noe sootnoßenye (1.3). Krome toho, yz (1.7), (1.9) y (1.3) v¥tekagt asympto-
tyçeskye predstavlenyq (1.4).
Dostatoçnost\. Pust\ m1 < m y pry nekotorom i ∈ { m1 + 1, … , m } narq-
du s uslovyqmy teorem¥ v¥polnqgtsq uslovyq (1.2), (1.3). V sylu (1.3), vtoroho
yz uslovyj (1.2) y v¥bora predelov yntehryrovanyq Ai 1 , ′A ti1( ) funkcyq Qi 1
poloΩytel\na na promeΩutke ] a, ω [ y takova, çto
lim ( )
t
iQ t
↑ω
1 =
0 0
0
pry
pry
σ
σ
i
i
>
+ ∞ <
,
,
lim
( ) ( )
( )t
i
i
t I t
Q t↑ω
ωπ 1
1
= + ∞. (1.10)
Uçyt¥vaq pervoe yz predel\n¥x sootnoßenyj (1.10), podbyraem çyslo t1 ∈ ] a,
ω [ tak, çtob¥ pry t ∈ [ t1 , ω [ v¥polnqlos\ neravenstvo Qi 1 ( t ) > 0, esly σi <
< 0, y 2b i < – 3σi Qi1 ( t ), esly σi > 0, hde bi = –
y i
dz
z0
+ ∞
∫ ϕ ( )
. Posle πtoho
uravnenye (0.1) s pomow\g preobrazovanyq
Φi y t( )( ) = – σi iQ t x1 11( ) ( )+[ ]v ,
′y t
y t
( )
( )
= –
I t
Q t
xi
i i
1
1
21
( )
( )
( )
σ
+[ ]v ,
(1.11)
x = β ln ( )Q ti1 ,
hde
β =
1 0
1 0
pry
pry
σ
σ
i
i
<
− >
,
,
t ∈ [ t1 , ω [,
svodym k systeme uravnenyj
′v1 = β
σ ϕ
− − + +
( )
1
1
1
2
2
1
1
1
v
v v
vi i
i
i iQ t
Y t
Y t( )
( , )
( , )
,
(1.12)
′v2 = β σ
σ σ
( ) ( )1
1
2
2+ − + + +
v
v
q ti
i
i i
–
–
σ
α ϕ
i
i
i
k
m
k k k k i
i
Q t
Q t
p t r t Y t
Y t
1
1
2
1 1
1
1( )
( )
( ) ( ) ( , )
( , )′
+[ ] ( )
=∑ v
v
,
v kotoroj
qi ( t ) =
p t Q t
I t
i i
i
( ) ( )
( )
1
1
2 , Yi ( t, v1 ) = Φi i iQ t− − +( )1
1 11σ ( )( )v ,
Φi
−1
— funkcyq, obratnaq dlq Φi , t — funkcyq, obratnaq dlq x = β ln ( )Q ti1 .
V sylu (1.3)
lim ( )
t
iq t
↑ω
= 1, (1.13)
a v sylu pervoho yz uslovyj (1.10), vtoroho yz uslovyj (1.2) y vyda funkcyj Φi ,
Yi
lim ( , )
t
iY t
↑ω
v1 = + ∞ ravnomerno po v1 ∈ −
1
2
1
2
, . (1.14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
906 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
Sohlasno (1.14) yz (0.3) – (0.5) y lemm¥ 1.2 rabot¥ [1] sleduet, çto pry vsex
k ∈ { 1, … , m }, dlq kotor¥x ′ϕk y( ) ≠ 0 pry y ≥ y0 , ravnomerno po
v1 ∈ −
1
2
1
2
, ymegt mesto predel\n¥e sootnoßenyq
lim
( , ) ( , )
( , )t
i k i
k i
Y t Y t
Y t↑
′′( )
′ ( )ω
ϕ
ϕ
v v
v
1 1
1
= σk , (1.15)
lim ( , )
t
k iY t
↑
( )
ω
ϕ v1 = ϕk
0 ≠ 0,
lim ( , ) ( , )
t
i k iY t Y t
↑
′ ( )
ω
ϕv v1 1 = 0,
(1.16)
esly k ∈ { 1, … , m1 },
lim ( , )
t
k iY t
↑
( )
ω
ϕ v1 =
lybo
lybo
0,
,+ ∞
lim
( , ) ( , )
( , )t
i k i
k i
Y t Y t
Y t↑
′ ( )
( )ω
ϕ
ϕ
v v
v
1 1
1
= 1 + σk ,
esly k ∈ { m1 + 1, … , m }.
Poskol\ku
∂
∂
Y t
t
i ( , )v1 = − ( ) +σ ϕi i i iI t Y t1 1 11( ) ( , ) ( )v v
(1.17)
pry t ∈ [ t1 , ω [, v1 ∈ −
1
2
1
2
, ,
σi ≠ 0 y v¥polnqgtsq uslovyq (1.14) y (1.16), prymenqq pravylo Lopytalq v
forme Ítol\ca [2, c. 115], pry kaΩdom fyksyrovannom v1 ∈ −
1
2
1
2
,
poluçaem
lim
( , )
( , ) ( )t
i
k i i
Y t
Y t Q t↑ ( )ω ϕ
v
v
1
1 1
=
lim
( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
( )t
i
i i
i i i
i i
i
Y t
Y t
Y t Y t
Y t
I t↑
′
( )
− ′( )
( )
ω
ϕ
ϕ
ϕ
v
v
v v
v
1
1
1 1
1
1
1
= σi
2
11( )+ v .
(1.18)
Yz (1.17) y (1.18) v sylu vtoroho yz predel\n¥x sootnoßenyj (1.10) y vtoroho yz
uslovyj (1.2) sleduet, çto
lim
( ) ( , )
( , )t
i
i
t Y t
Y t↑
′
ω
ωπ v
v
1
1
= ± ∞ pry lgbom v1 ∈ −
1
2
1
2
, .
Znaçyt, funkcyq Yi pry kaΩdom znaçenyy v1 ∈ −
1
2
1
2
, ymeet vse svojstva
lgboho Πω ( ± ∞ )-reßenyq uravnenyq (0.1), kotor¥e b¥ly yspol\zovan¥ pry us-
tanovlenyy lemm¥ 1.6 rabot¥ [1]. Poπtomu pry v1 ∈ −
1
2
1
2
, budem ymet\
lim
( ) ( , )
( ) ( , )t
k k i
i i i
p t Y t
p t Y t↑
( )
( )ω
ϕ
ϕ
v
v
1
1
= 0 dlq lgboho k ∈ { 1, … , m } \ { i }. (1.19)
Esly Ωe uçest\ (1.14), uslovyq
lim
( )
( )y
i
i
y y
y→∞
′ϕ
ϕ
= 1 + σi > 0, lim
( )
( )y
k
k
y y
y→+ ∞
′ϕ
ϕ
= 1 + σk , σk < σi ,
pry k ∈ { m1 + 1, … , m } \ { i }
y ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 907
ϕ
ϕ
k
i
y
y
( )
( )
′
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
k
i
k
k
i
i
y
y y
y y
y
y y
y
( )
( )
( )
( )
( )
( )
′ − ′
,
to netrudno vydet\, çto (1.19) v¥polnqetsq ravnomerno po v1 ∈ −
1
2
1
2
, .
Poskol\ku
ϕi y
y
( )
′
=
ϕ ϕ
ϕ
i i
i
y
y
y y
y
( ) ( )
( )2 1
′ −
y σi ≠ 0, funkcyq
ϕi y
y
( )
v nekotoroj okrestnosty + ∞ qvlqetsq vozrastag-
wej pry σ i > 0 y ub¥vagwej pry σi < 0. Poπtomu sohlasno (1.14) moΩno po-
dobrat\ çyslo t2 ∈ [ t1 , ω [ tak, çtob¥ v¥polnqlos\ neravenstvo
ϕi i
i
Y t
Y t
( , )
( , )
v
v
1
1
( )
≤
ϕi i
i
Y t
Y t
,
,
v
v
1
0
1
0
( )( )
( ) pry t ∈ [ t2 , ω [, v1 ∈ −
1
2
1
2
, , (1.20)
hde
v1
0 =
1
2
0
1
2
0
, ,
– , .
esly
esly
σ
σ
i
i
>
<
Teper\ rassmotrym systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.12) na mno-
ΩestveOOΩ = [ x0 , + ∞ [ × D, hde
x0 = β ln ( )Q ti1 2 , D =
( , ) : , ,v v v1 2
2 1
2
1 2∈ ≤ ={ }R i i .
Na πtom mnoΩestve ee prav¥e çasty neprer¥vn¥ y ymegt neprer¥vn¥e çastn¥e
proyzvodn¥e po peremennoj v1 do vtoroho porqdka vklgçytel\no, pryçem
∂
∂ ϕv
v
v1
1
1
Y t
Y t
i
i i
( , )
( , )( )
= –
σ ϕ
ϕi i
i i i
i i
Q t
Y t Y t
Y t1
1 1
1
1( )
( , ) ( , )
( , )
− ′( )
( )
v v
v
,
∂
∂ ϕ
2
1
2
1
1v
v
v
Y t
Y t
i
i i
( , )
( , )( )
=
= –
σ ϕ ϕ ϕ
ϕi i i i i i i
i i i
i i
Q t Y t Y t Y t
Y t Y t
Y t
2
1
2
1 1 1
1 1
2
1
( ) ( , ) ( , ) ( , ) –
( , ) ( , )
( , )
′( ) + ′′( ) ′( )[ ]
( )
v v v
v v
v
y pry k ∈ { 1, … , m }
∂
∂
ϕ
v
v
v1
1
1
k i
i
Y t
Y t
( , )
( , )
( )
=
= –
σ ϕ ϕ ϕ ϕ
i i
k i i i
i
k i i i
i
Q t
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
1
1 1
1
1 1
2
1
( )
( , ) ( , )
( , )
–
( , ) ( , )
( , )
′ ( ) ( ) ( ) ( )
v v
v
v v
v
,
∂
∂
ϕ2
1
2
1
1v
v
v
k i
i
Y t
Y t
( , )
( , )
( )
=
σ ϕ ϕ ϕ
ϕi i
i i k i
i
i k i
k i
Q t
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
2
1
2
2
1 1
3
1
2
1 1
1
( )
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
v v
v
v v
v
( ) ( ) ′′( )
( )
+
+
Y t Y t Y t
Y t Y t
Y t Y t
Y t
Y t Y ti i i k i
i i k i
i i i
i i
i k i
2
1 1 1
1 1
1 1
1
1 12( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )v v v
v v
v v
v
v v′( ) ′ ( )
( ) ( )
− ′( )
( )
− ′ ( )ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕkk iY t( , )v1
2
( )
−
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
908 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
Poπtomu, razlahaq v (1.12) funkcyy
Y t
Y t
i
i i
( , )
( , )
v
v
1
1ϕ ( )
y
ϕk i
i
Y t
Y t
( , )
( , )
v
v
1
1
( )
, k = 1, … , m,
pry fyksyrovannom t ∈ [ t1 , ω [ v okrestnosty toçky v1 = 0 po formule Tejlo-
ra s ostatoçn¥m çlenom v forme LahranΩa y v¥delqq lynejn¥e çasty, poluça-
em systemu uravnenyj
′v j = β f x c x c x V xj j j j( ) ( ) ( ) ( , , )+ + +[ ]1 1 2 2 1 2v v v v , j = 1, 2, (1.21)
v kotoroj
f x t1 ( )( ) = –1 +
Y t
Q t Y t
i
i i i i
( , )
( ) ( , )
0
02
1σ ϕ ( )
,
f x t2 ( )( ) =
σ
σ
i
i
+ 1
–
– qi ( t )
1
0
0
1 0
0
1 1
1
+ ( ) +[ ] ( )
( )
=
∑σ ϕ α ϕ
ϕ
i i i i
i k
m
k k k k i
i i i
Q t Y t
Y t
p t r t Y t
p t Y t
( , ) ( , )
( , )
( ) ( ) ( , )
( ) ( , )
v
,
c11 ( x ) = – 1 +
f xi
i
( )
σ
, c12 ( x ) = 1 + f1( x ), c22 ( t ) = – qi ( t ) +
2 + σ
σ
i
i
,
c x t21 ( )( ) = q t
Q t Y t
Y ti
i i i i
i
( )
( ) ( , )
( , )
σ ϕ1
2
0
0
( )
×
×
k
m
k k k k i
i i i
i k i
k i
p t r t Y t
p t Y t
Y t Y t
Y t=
∑ +[ ] ( )
( )
′ ( )
( )
−
1
1 0
0
0 0
0
1
α ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
( ) ( ) ( , )
( ) ( , )
( , ) ( , )
( , )
,
V x t1 1 2( ), ,v v( ) = –
1
1
0 0
0 1 2σ
ϕ
ϕi
i i i
k i
Y t Y t
Y t
− ′( )
( )
( , ) ( , )
( , )
v v +
Q t Y t
Y t
i i i
i
1
2
( ) ( , )
( , )
ϕ ξ
ξ
( )
×
×
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
i i i
i i
i i i
i i
i i i
i i
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
( )
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
′( )
( )
+ ′′( )
( )
− ′( )[ ]
( )
+
2 2 2
2 1
2
21v v ,
V x t2 1 2( ), ,v v( ) =
= –
q t Q t p t r t Y t
p t Y t
Y t
Y t
i i i
k
m
k k k k i k
i i i k
i i k
i k
( ) ( ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( , )
( , )
( , )
σ α ϕ ξ
ϕ ξ
ϕ ξ
ξ
1
3
1
3
2
1[ ] +[ ] ( )
( )
( )
=
∑ ×
×
Y t Y t
Y t
Y t Y t Y t
Y t Y t
i k k i k
k i k
i k i i k k i k
i i k k i k
2 2( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
ξ ϕ ξ ϕ ξ
ϕ ξ ϕ ξ
′′( )
( )
+ ′( ) ′ ( )
( ) ( )
–
–
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
i k i i k
i i k
i k k i k
k i k
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
′( )
( )
− ′ ( )
( )
−
2
2 1
2v +
v2
2
σi
,
hde ξ = ξ ( t, v1 ) y ξk = ξk ( t, v1 ), k = 1, … , m, takov¥, çto | ξ ( t, v1 ) | < | v1 | ≤ 1 / 2,
| ξk ( t, v1 ) | < | v1 | ≤ 1 / 2, k = 1, … , m, pry t ∈ [ t1 , ω [.
Uçyt¥vaq predel¥ (1.15), (1.16) y (1.19), kotor¥e ymegt mesto ravnomerno
po v1 ∈ −
1
2
1
2
, , a takΩe (1.20), zameçaem, çto
V xi ( , , )v v
v v
1 2
2 1+
→ 0, i = 1, 2, pry | v1 | + | v2 | → 0
ravnomerno po x ∈ [ x0 , + ∞ [.
Krome toho, v sylu (1.13), (1.16), (1.18), (1.19) ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 909
lim ( )
x
if x
→+∞
= 0, i = 1, 2, lim ( )
x
c x
→+∞
11 = – 1, lim ( )
x
c x
→+∞
12 = 1,
lim ( )
x
c x
→+∞
21 =
1
σi
, lim ( )
x
c x
→+∞
22 =
1 + σ
σ
i
i
.
Pry πtom qsno, çto predel\naq matryca koπffycyentov lynejnoj çasty syste-
m¥ (1.21) ne ymeet sobstvenn¥x znaçenyj s nulevoj dejstvytel\noj çast\g.
Znaçyt, dlq system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.21) v¥polnen¥ vse
uslovyq teorem¥ 2.1 yz [3]. Sohlasno πtoj teoreme systema (1.21) ymeet, po
krajnej mere, odno reßenye vi : [ x1 , + ∞ [ → R, i = 1, 2, hde x1 ∈ [ x0 , + ∞ [, ko-
toroe stremytsq k nulg pry x → + ∞. Emu v sylu zamen (1.11) sootvetstvuet re-
ßenye uravnenyq (0.1), dopuskagwee pry t ↑ ω asymptotyçeskye predstavlenyq
Φi y t( ( )) = – σi iQ t o1 1 1( ) ( )+[ ] ,
′y t
y t
( )
( )
= –
I t
Q t
oi
i i
1
1
1 1
( )
( )
( )
σ
+[ ] .
Poskol\ku zdes\ lim ( )
t
y t↑ω = + ∞, v sylu (1.1) y (1.2) πty predstavlenyq moΩno
perepysat\ v vyde (1.3). Yspol\zuq yx y (0.1), pryxodym k v¥vodu, çto dannoe
reßenye uravnenyq (0.1) qvlqetsq Πω ( ± ∞ )-reßenyem.
Teorema dokazana.
Teorema 1.2. Pust\ m1 < m y dlq nekotoroho i ∈ { m1 + 1, … , m } v¥pol-
nqgtsq uslovyq σi ≠ 0 y
limsup ( )
( )
( )
( )
( )t
j
j
i
i
t
p t
p t
p t
p t↑
′
− ′
ω
ωπ < 0 pry j = 1, … , m, j ≠ i. (1.22)
Tohda dlq suwestvovanyq Πω ( – 1 )-reßenyj uravnenyq (0.1) neobxodymo y do-
statoçno, çtob¥
αi πω ( t ) < 0, σi πω ( t ) Ii 2 ( t ) < 0 pry t ∈ ] a , ω [, (1.23)
lim
( ) ( )
( )t
i
i
t I t
I t↑
′
ω
ωπ 2
2
= 0, lim
( )
( ) ( )t
i
i i
I t
I t Q t↑
′
ω
2
2 2
= – 1. (1.24)
Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho reßenyq pry t ↑ ω ymegt mesto asymptoty-
çeskye predstavlenyq
y t
y ti
( )
( )ϕ ( )
= α σi i iI t o2 1 1( ) ( )+[ ],
′y t
y t
( )
( )
= –
1
1 12
2σi
i
i
I t
I t
o
′
+[ ]( )
( )
( ) . (1.25)
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\. Pust\ y : [ t0 , ω [ → [ y0 , + ∞ [ —
Πω ( – 1 )-reßenye uravnenyq (0.1). Tohda v sylu uslovyj (1.22) v¥polnqgtsq so-
hlasno lemme 1.4 yz [1] predel\n¥e sootnoßenyq (0.6). Poπtomu s uçetom (0.1)
ymeem asymptotyçeskoe sootnoßenye (1.7). Otsgda, prynymaq vo vnymanye us-
lovye 3 opredelenyq Πω ( – 1 )-reßenyq, poluçaem
′
( )
y t
y ti
( )
( )ϕ
= – α πωi ip t t o( ) ( ) ( )1 1+[ ] pry t ↑ ω. (1.26)
Poskol\ku ′y t( ) > 0, ϕi y t( )( ) > 0 y pi ( t ) > 0 pry t ∈ [ t0 , ω [, yz πtoho sootno-
ßenyq sleduet, çto v¥polnqetsq pervoe yz neravenstv (1.23). Krome toho, yz
(1.26), uçyt¥vaq opredelenye Πω ( – 1 )-reßenyq, naxodym
Φi y t( )( ) = – αi iI t o2 1 1( ) ( )+[ ] pry t ↑ ω. (1.27)
Dalee, prymenqq pravylo Lopytalq v forme Ítol\ca, s uçetom (1.26), lemm¥
1.2 yz [1] y uslovyq σi ≠ 0 poluçaem
lim
( )
( ) ( )t i i
y t
I t y t↑ ( )ω ϕ2
= lim
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )t
i
i
i
i
y t
y t
y t y t
y t
t p t↑
′
( )
− ′( )
( )
ω ω
ϕ
ϕ
ϕ
π
1
= αi σi .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
910 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
Otsgda sleduet, çto ymeet mesto pervoe yz asymptotyçeskyx predstavlenyj
(1.25). Yz neho y (1.26) v¥tekaet vtoroe yz asymptotyçeskyx predstavlenyj
(1.25) y vtoroe yz neravenstv (1.23).
Sohlasno lemme 1.1 yz [1 ] dlq rassmatryvaemoho Π ω ( – 1 )-reßenyq
lim
( ) ( )
( )t
t y t
y t↑
′
ω
ωπ
= 0. Poπtomu v sylu vtoroho yz asymptotyçeskyx predstavlenyj
(1.25) ymeet mesto pervoe yz uslovyj (1.24).
Teper\, uçyt¥vaq (1.5) y pervoe yz asymptotyçeskyx predstavlenyj (1.25),
poluçaem
′′y t
y t
( )
( )
=
p t
I t
oi
i i
( )
( )
( )
σ 2
1 1+[ ] pry t ↑ ω.
Poskol\ku zdes\
′′y
y
=
′
′y
y
+
′
y
y
2
, yspol\zuq vtoroe yz asymptotyçeskyx
predstavlenyj (1.25) y pervoe yz uslovyj (1.24), ymeem
′
′y t
y t
( )
( )
=
p t
I t
o
t I t
Q t
oi
i i
i
i i
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
σ
π
σ
ω
2
2
2
1 1 1 1+ −
′
+[ ]
=
=
p t
I t
oi
i i
( )
( )
( )
σ 2
1 1+[ ] pry t ↑ ω.
Otsgda s uçetom opredelenyq Πω ( – 1 )-reßenyq sleduet, çto
′y t
y t
( )
( )
=
Q t
oi
i
2 1 1
( )
( )
σ
+[ ] pry t ↑ ω.
Sravnyvaq πto asymptotyçeskoe sootnoßenye so vtor¥m yz asymptotyçeskyx
sootnoßenyj (1.25), poluçaem vtoroe yz uslovyj (1.24).
Dostatoçnost\. Uravnenye (0.1) s pomow\g preobrazovanyq
Φi y t( )( ) = – αi iI t x2 11( ) ( )+[ ]v ,
(1.28)
′y t
y t
( )
( )
=
1
12 2σi
iQ t x( ) ( )+[ ]v , x = β ln ( )I ti2 ,
hde
β =
1
1 0
2
2
, lim ( ) ,
– , lim ( ) ,
esly
esly
t
i
t
i
I t
I t
↑
↑
= ± ∞
=
ω
ω
svedem k systeme uravnenyj
′v1 =
β α
σ ϕ
− − −
( )
+[ ]
1 11
1
2 1
2v
v
v
vi i i
i i i i
g t Y t
I t Y t
( ) ( , )
( ) ( , )
,
(1.29)
′v2 =
β
σh t
h t g t
i
i i
i( )
( ) ( )− − − +[ ]
1 12 2
2v v +
+ +[ ] ( )
=
∑σ α ϕi i
i k
m
k k k
k i
i
I t
p t
p t r t
Y t
Y t
2
1
1
1
1
( )
( )
( ) ( )
( , )
( , )
v
v
,
v kotoroj
gi ( t ) =
I t Q t
I t
i i
i
2 2
2
( ) ( )
( )′
, hi ( t ) = πω ( t ) Qi 2 ( t ),
Yi ( t, v1 ) = Φi i iI t– ( )1
2 11− +[ ]( )α v ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 911
Φi
–1
— funkcyq, obratnaq dlq Φi , t — funkcyq, obratnaq dlq x = β ln ( )I ti2 .
Uçyt¥vaq (1.23), netrudno zametyt\, çto prav¥e çasty πtoj system¥ neprer¥v-
n¥ y ymegt neprer¥vn¥e çastn¥e proyzvodn¥e po peremenn¥m v1 y v2 do vto-
roho porqdka vklgçytel\no na mnoΩestve [ x1 , + ∞ [ × −
1
2
1
2
, , hde x 1 =
= β ln ( )I ti2 1 y çyslo t1 ∈ [ a , ω [ v¥brano tak, çtob¥ pry t ∈ [ t1 , ω [ v¥polnq-
los\ neravenstvo αi iI t2( ) < 0, esly σi < 0, y 3αi iI t2( ) < 2
y i
dz
z
0
+ ∞
∫ ϕ ( )
, esly σi > 0.
Krome toho, zdes\ v sylu (1.24)
lim ( )
t
ig t
↑ω
= – 1, lim ( )
t
ih t
↑ω
= 0, (1.30)
a v sylu (1.23) y vyda funkcyj Φ i , Yi v¥polnqetsq uslovye (1.14). Yz (1.14),
(0.3) – (0.5) y lemm¥ 1.2 yz [1] sleduet, çto pry vsex k ∈ { 1, … , m }, dlq koto-
r¥x ′ϕk y( ) ≠ 0 pry y ≥ y0 , ymegt mesto (1.15), (1.16) ravnomerno po
v1 ∈ −
1
2
1
2
, . Prymenqq pravylo Lopytalq v forme Ítol\ca, s yspol\zovany-
em uslovyj σi ≠ 0, (1.14), (1.16) y oçevydnoho ravenstva
∂
∂
Y t
t
i ( , )v1
= – α π ϕωi i i it p t Y t( ) ( ) ( , ) ( )v v1 11( ) + pry t ∈ [ t1 , ω [, v1 ∈ −
1
2
1
2
, ,
(1.31)
poluçaem
lim
( , )
( , ) ( )t
i
i i i
Y t
Y t I t↑ ( )ω ϕ
v
v
1
1 2
=
lim
( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
( ) ( )t
i
i i
i i
i i
i
Y t
Y t
Y t y t
Y t
t p t↑
′
( )
− ′( )
( )
ω ω
ϕ
ϕ
ϕ
π
v
v
v v
v
1
1
1 1
1
1
= α σi i ( )1 1+ v .
(1.32)
Yz (1.31), (1.33) y pervoho yz predel\n¥x sootnoßenyj (1.24) sleduet, çto
lim
( ) ( , )
( , )t
i
i
t Y t
Y t↑
′
ω
ωπ v
v
1
1
= 0 pry lgbom v1 ∈ −
1
2
1
2
, .
Takym obrazom, funkcyq Yi pry kaΩdom znaçenyy v1 ∈ −
1
2
1
2
, ymeet vse
svojstva lgboho Πω ( – 1 ) -reßenyq uravnenyq (0.1), s yspol\zovanyem kotor¥x
b¥la ustanovlena lemma 1.4 yz [1]. Sohlasno πtoj lemme pry v1 ∈ −
1
2
1
2
,
ymegt mesto uslovyq (1.19). Dalee, toçno takym Ωe obrazom, kak pry dokaza-
tel\stve teorem¥ 1.1, ustanavlyvaem, çto (1.19) v¥polnqgtsq ravnomerno po
v1 ∈ −
1
2
1
2
, y ymeet mesto neravenstvo (1.20), hde t2 — nekotoroe çyslo yz
promeΩutka [ t1 , ω [.
RazloΩyv teper\ pry kaΩdom fyksyrovannom t ∈ [ t2 , ω [ funkcyy
Y t
Y t
i
i i
( , )
( , )
v
v
1
1ϕ ( )
y
ϕk i
i
Y t
Y t
( , )
( , )
v
v
1
1
( )
, k = 1, … , m, po formule Tejlora s ostatkom v for-
me LahranΩa v okrestnosty v1 = 0 do vtoroho porqdka vklgçytel\no, perepy-
ßem systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.29) v vyde
′v1 = β f x c x c x V x1 11 1 12 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( , , )+ + +[ ]v v v v ,
(1.33)
′v2 =
β
h t x
f x c x c x V x
i ( )
( ) ( ) ( ) ( , , )
( )
+ + +[ ]2 21 1 22 2 2 1 2v v v v ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
912 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
hde
c11 ( x ) = – 1 +
g t Y t Y t
Y t
i
i
i i i
i i
( ) ( , ) ( , )
( , )σ
ϕ
ϕ
1
0 0
0
− ′( )
( )
, c12 ( x ) = –
α
σ ϕ
i i i
i i i i
g t Y t
I t Y t
( ) ( , )
( ) ( , )
0
02 ( )
,
c21 ( x ) =
= –
α σ ϕ α ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
i i i i i
i k
m
k k k k i
i i i
i k i
k i
I t Y t
Y t
p t r t Y t
p t Y t
Y t Y t
Y t
2
2 2
2
1
0
0
1 0
0
0 0
0
1
( ) ( , )
( , )
( ) ( ) ( , )
( ) ( , )
( , ) ( , )
( , )
( ) +[ ] ( )
( )
′ ( )
( )
−
=
∑ ,
c22 ( x ) = – 1 –
2
σi
i ig t h t( ) ( ), f1 ( x ) = – 1 –
α
σ ϕ
i i i
i i i i
g t Y t
Y t I t
( ) ( , )
( , ) ( )
0
0 2( )
,
f2 ( x ) = – 1 –
h t g ti i
i
( ) ( )
σ
+
σ ϕ α ϕ
ϕ
i i i i
i k
m
k k k k i
i i i
I t Y t
Y t
p t r t Y t
p t Y t
2
1
0
0
1 0
0
( ) ( , )
( , )
( ) ( ) ( , )
( ) ( , )
( ) +[ ] ( )
( )=
∑ ,
V1 ( x, v1 , v2 ) =
g t Y t Y t
Y t
i
i
i i i
i i
( ) ( , ) ( , )
( , )σ
ϕ
ϕ
1
0 0
0 1 2− ′( )
( )
v v +
α ϕ ξ
σ ξ
i i i i i
i i
g t I t Y t
Y t
( ) ( ) ( , )
( , )
2
2
( )
×
×
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
i i i
i i
i i i
i i
i i i
i i
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
(
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
′( )
( )
+ ′′( )
( )
− ′( )
( )
+
2 2
1
2
21v v )) ,
V2 ( x, v1 , v2 ) = –
g t h ti i
i
( ) ( )
σ
v2
2 +
σ α ϕ ξ
ϕ ξ
i i
k
m
k k k k i k
i i i k
I t p t r t Y t
p t Y t
2
3
12
1( ) ( ) ( ) ( , )
( ) ( , )=
∑ +[ ] ( )
( )
×
×
ϕ ξ
ξ
i i k
i k
Y t
Y t
3
3
( , )
( , )
( )
×
×
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
Y t Y t
Y t
i k k i k
k i k
i k k i k
k i k
i k i i k
i i k
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
( , ) ( , )
( , )
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
′ ( )
( )
′′( )
′ ( )
+ ′( )
′( )
−
2 –
–
Y t Y t
Y t
i k i i k
i i k
( , ) ( , )
( , )
ξ ϕ ξ
ϕ ξ
′( )
( )
+
2 1
2v
y ξ = ξ ( t, v1 ), ξk = ξk ( t, v1 ), k = 1, … , m, takov¥, çto | ξ ( t, v1 ) | < | v1 | ≤ 1 / 2,
| ξk ( t, v1 ) | < | v1 | ≤ 1 / 2, k = 1, … , m, pry t ∈ [ t2 , ω [.
Zdes\ v sylu uslovyj (1.30), (1.32), (1.15), (1.16), (1.19) y (1.20)
lim ( )
x
if x
→+∞
= 0, i = 1, 2, lim ( )
x
c x
→+∞
11 = 0, lim ( )
x
c x
→+∞
12 = 1,
lim ( )
x
c x
→+∞
21 = – 1, lim ( )
x
c x
→+∞
22 = – 1,
lim
( , , )
v v
v v
v v1 2 0
1 2
1 2+ → +
V xi = 0, i = 1, 2, ravnomerno po x ∈ [ x2 , + ∞ [,
hde x2 = β ln ( )I ti2 2 . Krome toho, ymeem
x i
dx
h t x
2
+ ∞
∫ ( )( )
= β
ω
t
i
i i
p t dt
Q t I t
2
2 2
∫ ( )
( ) ( )
= β ωln ( )Q ti t2 2
= ± ∞. (1.34)
Çtob¥ ustanovyt\ suwestvovanye ysçezagweho na beskoneçnosty reßenyq u po-
luçennoj system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj, svedem ee k bolee udobnomu
dlq yssledovanyq vydu s pomow\g dopolnytel\noho preobrazovanyq
v1 ( x ) = w2 ( x ) – hi ( t )w1 ( x ), v2 ( x ) = w1 ( x ). (1.35)
V rezul\tate πtoho preobrazovanyq systema dyfferencyal\n¥x uravnenyj
(1.33) prymet vyd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 913
′w1 =
β
h t x
F x C x w C x w W x w w
i ( )
( ) ( ) ( ) ( , , )
( )
+ + +[ ]1 11 1 12 2 1 1 2 ,
(1.36)
′w2 = β F x C x w C x w W x w w2 21 1 22 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( , , )+ + +[ ],
hde
F1 ( x ) = f2 ( x ), F2 ( x ) = f1 ( x ) + f2 ( x ), C11 ( x ) = c22 ( x ) – c21 ( x )h t xi ( )( ),
C12 ( x ) = c21 ( x ),
C21 ( x ) = c22 ( x ) – c21 ( x )h t xi ( )( ) + c12 ( x ) – c11 ( x )h t xi ( )( ),
C22 ( x ) = q t xi ( )( ) + 1 + c21 ( x ) + c11 ( x ),
W1 ( x, w1 , w2 ) = V x w h t x w wi2 2 1 1, ( ) ,− ( )( ) ,
W2 ( x, w1 , w2 ) = V x w h t x w wi1 2 1 1, ( ) ,− ( )( ) + V x w h t x w wi2 2 1 1, ( ) ,− ( )( ) .
V sylu (1.30) y ukazann¥x v¥ße svojstv funkcyj fi , i = 1, 2, ci j , i, j = 1, 2, y
Vi , i = 1, 2,
lim ( )
x
iiC x
→+∞
= – 1, lim
( )
( )x
i
ii
F x
C x→+∞
= 0, i = 1, 2,
lim
( )
( )x
C x
C x→+∞
12
11
= 1, lim
( )
( )x
C x
C x→+∞
21
22
= 0,
lim
( , , )
w w
iW x w w
w w1 2 0
1 2
1 2+ → +
= 0, i = 1, 2, ravnomerno po x ∈ [ x3 , + ∞ [,
hde x3 ≥ x2 — nekotoroe dostatoçno bol\ßoe çyslo. A poskol\ku, krome toho,
v¥polnqetsq uslovye (1.34), dlq system¥ (1.36) v¥polnen¥ vse uslovyq teorem¥
1.3 yz [3]. Sohlasno πtoj teoreme systema dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.36)
ymeet, po krajnej mere, odno reßenye wi : [ x4 , + ∞ [ → R, i = 1, 2, hde x4 ≥ x3,
kotoroe ysçezaet na + ∞ . Emu v sylu zamen (1.35), (1.28) y predel\n¥x sootno-
ßenyj (1.1), (1.24) sootvetstvuet reßenye y dyfferencyal\noho uravnenyq
(0.1), dopuskagwee pry t ↑ ω asymptotyçeskye predstavlenyq (1.25). Yspol\-
zuq yx, netrudno vydet\, çto dannoe reßenye uravnenyq (0.1) qvlqetsq Πω ( – 1 )-
reßenyem.
Teorema dokazana.
Teorema 1.3. Uravnenye (0.1) ne ymeet Πω ( 0 )-reßenyj pry ω < + ∞.
Dokazatel\stvo. Spravedlyvost\ πtoj teorem¥ neposredstvenno v¥tekaet
yz lemm¥ 1.1 rabot¥ [1].
Teorema 1.4. Pust\ ω = + ∞, m1 < m y dlq nekotoroho i ∈ { m1 + 1, … , m }
pry µ0 = 0 v¥polnqgtsq uslovyq (1.12), (1.13) lemm¥ 1.4 yz [1]. Pust\, kro-
me toho, σ i ≠ 0 y funkcyq ψi ( y ) =
ϕ
σ
i y
y i
( )
1+ takova, çto dlq lgboj neprer¥vno
dyfferencyruemoj funkcyy L : [ t0 , + ∞ [ → ] 0 , + ∞ [, udovletvorqgwej
uslovyg
lim
( )
( )t
t L t
L t→+∞
′
= 0, (1.37)
ymeet mesto sootnoßenye
ψ i t L t( )( ) = ψ i t o( ) ( )1 1+[ ] pry t → + ∞. (1.38)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
914 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
Tohda dlq suwestvovanyq Π + ∞ ( 0 )-reßenyj uravnenyq (0.1) neobxodymo y do-
statoçno, çtob¥ v¥polnqlys\ uslovyq
αi σi Ii 3 ( t ) < 0 pry t > a ′, lim
( )
( )t
i
i
t I t
I t→ + ∞
′3
3
= 0, (1.39)
hde a ′ = max { a, y0 },
Ii 3 ( t ) =
A
t
i i
i
ip d
3
1∫ +( ) ( )τ τ ψ τ τσ
,
Ai 3 =
′ = + ∞
+ ∞ < + ∞
′
+ ∞
+
′
+ ∞
+
∫
∫
a p d
p d
a
i i
a
i i
i
i
, ( ) ( ) ,
, ( ) ( ) .
esly
esly
τ τ ψ τ τ
τ τ ψ τ τ
σ
σ
1
1
Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho reßenyq pry t → + ∞ ymegt mesto asympto-
tyçeskye predstavlenyq
y ( t ) = t I t oi i
iσ σ
3
1 1 1( ) ( )− / +[ ], y ′ ( t ) = σ σ
i iI t oi
3
1 1 1( ) ( )− / +[ ]. (1.40)
Dokazatel\stvo. Neobxodymost\. Pust\ y : [ t0 , + ∞ [ → [ y0 , + ∞ [ —
Π+ ∞ ( 0 )-reßenye uravnenyq (0.1). Tohda sohlasno lemme 1.1 yz [1]
lim
( )
( )t
t y t
y t→+∞
′
= 1. (1.41)
Krome toho, v sylu v¥polnenyq pry µ0 = 0 uslovyj (1.12), (1.13) lemm¥ 1.4 yz
[1] ymegt mesto predel\n¥e sootnoßenyq (0.6). Uçyt¥vaq yx y (0.1), poluçaem
(1.5), yz kotoroho v sylu (1.41) sleduet, çto
y ′′ ( t ) = α ϕi i ip t t y t o o( ) ( ) ( ) ( )′ +[ ]( ) +[ ]1 1 1 1 pry t → + ∞.
Poskol\ku funkcyq ψi ( y ) =
ϕ
σ
i y
y i
( )
1+ v sylu lemm¥ 1.2 yz [1] qvlqetsq medlenno
yzmenqgwejsq na beskoneçnosty (sm. [4, s. 1 – 15], hl. 1), poluçennoe predstav-
lenye moΩno perepysat\ v vyde
y ′′ ( t ) = α ψσ
i i ip t t y t t y t oi( ) ( ) ( ) ( )′[ ] ′( ) +[ ]+1 1 1 pry t → + ∞.
Zdes\ funkcyq L ( t ) = y ′ ( t ) sohlasno opredelenyg Π+ ∞ ( 0 )-reßenyq udovlet-
vorqet uslovyg (1.37). Poπtomu, prynymaq vo vnymanye (1.38), ymeem
y ′′ ( t ) = α ψσ
i i ip t t y t t oi( ) ( ) ( ) ( )′[ ] +[ ]+1 1 1 pry t → + ∞. (1.42)
Yz πtoho asymptotyçeskoho sootnoßenyq s uçetom opredelenyq Π+ ∞ ( 0 )-reße-
nyq naxodym
′[ ] −y t i( ) σ = – α σi i iI t o3 1 1( ) ( )+[ ] pry t → + ∞, (1.43)
otkuda sleduet pervoe yz uslovyj (1.39) y asymptotyçeskoe predstavlenye vyda
y ′ ( t ) = σ σ
i iI t oi
3
1 1 1( ) ( )− / +[ ] pry t → + ∞.
Znaçyt, ymeet mesto vtoroe yz predstavlenyj (1.40). Spravedlyvost\ pervoho yz
πtyx predstavlenyj sohlasno uslovyg (1.41) sleduet yz (1.43).
V sylu (1.42) y (1.43)
t y t
y t
′′
′
( )
( )
= –
p t t t
I t
oi i
i i
i( ) ( )
( )
( )
2
3
1 1
+
+[ ]
σ ψ
σ
pry t → + ∞.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 915
Poskol\ku zdes\ sohlasno opredelenyg Π+ ∞ ( 0 )-reßenyq levaq çast\ stremyt-
sq k nulg pry t → + ∞, v¥polnqetsq vtoroe yz uslovyj (1.39).
Dostatoçnost\. Dyfferencyal\noe uravnenye (0.1) s pomow\g preobrazo-
vanyq
y ( t ) = t I t xi i
iσ σ
3
1
11( ) ( )− / +[ ]v , y ′ ( t ) = σ
σ
i iI t xi
3
1
21( ) ( )− / +[ ]v ,
(1.44)
x = β ln ( )I ti3 ,
hde
β =
1 0
1 0
, ,
– , ,
esly
esly
α σ
α σ
i i
i i
<
>
svodym k systeme dyfferencyal\n¥x uravnenyj
′v1 =
β
σ σh t
h t h t
i
i
i
i
i( )
( ) ( )+ − +
+
1 1 2v v ,
(1.45)
′v2 =
β
σ
α ϕ σ σ
i i k
m
k k k k i iq t
p t r t t I t i1
1
1 12
1
3
1
1+ + +[ ] +( )
=
−∑ /v v
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,
v kotoroj t — funkcyq, obratnaq dlq x = β ln ( )I ti3 ,
hi (t) =
t I t
I t
i
i
′3
3
( )
( )
, qi (t) =
p t t t
I t I t
i i
i i i i
i
i
( ) ( )
( ) ( )
1
3 3
1
+
/
σ
σ
ψ
σ σ
.
Vsledstvye v¥polnenyq vtoroho yz uslovyj (1.39)
lim ( )
t
ih t
→+ ∞
= 0 (1.46)
y dlq funkcyy L (t) = σ σ
i iI t i
3
1( ) − / v¥polnqetsq uslovye (1.37). Poπtomu
lim ( )
t
i it I t i
→+∞
− /σ σ
3
1 = + ∞, lim
( )
( )t
i i
i i
t t I t
t I t
i
i→+∞
−
−
/
/
( )′σ
σ
σ
σ
3
1
3
1 = 1 (1.47)
y sohlasno (1.38)
ϕ σ σ
i i it I t i
3
1( ) − /( ) = t I t t oi i i
i iσ ψσ σ
3
1 1
1 1( ) ( ) ( )− +/( ) +[ ] pry t → + ∞.
Yz posledneho sootnoßenyq s uçetom pervoho yz uslovyj (1.39) sleduet
qi ( t ) = –α ϕ σ σ
i i i i ip t t I t oi( ) ( ) ( )3
1 1 1− /( ) +[ ] pry t → + ∞. (1.48)
V sylu (1.47) funkcyq t I ti i
iσ σ
3
1( ) − /
ymeet vse te svojstva Π+ ∞ ( 0 )-reßenyq,
kotor¥e b¥ly yspol\zovan¥ pry dokazatel\stve lemm¥ 1.4 yz [1]. Poπtomu
lim
( ) ( )
( ) ( )t
k k i i
i i i i
p t t I t
p t t I t
i
i→+∞
−
−
/
/
( )
( )
ϕ σ
ϕ σ
σ
σ
3
1
3
1 = 0 pry k ≠ i. (1.49)
Krome toho, v sylu (0.5), lemm¥ 1.2 yz [1] y (1.47) ravnomerno po v1 ∈ −
1
2
1
2
,
v¥polnqgtsq uslovyq (1.15), (1.16), v kotor¥x Yi ( t, v1 ) = t I ti i
iσ σ
3
1
11( ) ( )− / + v .
Teper\ rassmotrym systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.45) na
mnoΩestve Ω = [ t0 , + ∞ [ × D, hde D =
( , ) : ( , )v v v1 2
2 1
2
1 2∈ ≤ =
R i i y çyslo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
916 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
t0 ∈ [ a, + ∞ [ v¥brano s uçetom pervoho yz uslovyj (1.47) nastol\ko bol\ßym,
çtob¥ pry t ∈ [ t0 , + ∞ [ v¥polnqlos\ neravenstvo t I ti i
iσ σ
3
1( ) − / > 2 y0 .
Na πtom mnoΩestve prav¥e çasty system¥ neprer¥vn¥ y ymegt nepre-
r¥vn¥eOçastn¥e proyzvodn¥e do vtoroho porqdka vklgçytel\no po
peremennojOOv1 . RazloΩyv pry fyksyrovannom t ∈ [ t2 , + ∞ [ funkcyy
ϕ σ σ
k i it I t i
3
1
11( ) ( )− / +( )v , k = 1, … , m, po formule Tejlora s ostatkom v for-
me LahranΩa v okrestnosty v1 = 0 do vtoroho porqdka vklgçytel\no, perepy-
ßem systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.45) v vyde
′v1 =
β
h t x
f x c x
i ( )
( ) ( )
( )
+ +[ ]1 1 1 2v v ,
(1.50)
′v2 =
β
σi
f x c x V x2 2 1 2 1( ) ( ) ( , )+ + +[ ]v v v ,
hde
f1 ( x ) =
h ti
i
( )
σ
, f2 ( x ) = 1 +
1
1
1
3
1
q t
p t r t t I t
i k
m
k k k k i i
i
( )
( ) ( ) ( )
=
−∑ +[ ] ( )/α ϕ σ σ
,
c1 ( x ) = – 1 +
h ti
i
( )
σ
,
c2 ( x ) =
t I t
q t
p t r t t I ti i
i k
m
k k k k i i
i
i
σ α ϕ σ
σ
σ3
1
1
3
11
( )
( )
( ) ( ) ( )
−
=
−
/
/∑ +[ ] ′ ( ) ,
V ( x, v1 ) =
v1
2
3
1 2
1
3
1
2
1 1
t I t
q t
p t r t t I t
i i
i k
m
k k k k i i k
i
i
σ
α ϕ σ ξ
σ
σ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
−
=
−
/
/( )
+[ ] ′′ +( )∑
y ξk = ξk ( t, v1 ), k = 1, … , m, takov¥, çto ξk t( , )v1 ≤ v1 pry vsex t ≥ t0 y
v1 ≤ 1 / 2.
Zdes\ v sylu uslovyj (1.46), (1.48), (1.49) y uslovyj (1.15), (1.16), v kotor¥x
Yi ( t, v1 ) = t I ti i
iσ σ
3
1
11( ) ( )− / + v , ymeem
lim ( )
x
if x
→+∞
= 0, i = 1, 2,
(1.51)
lim ( )
x
c x
→+∞
1 = – 1, lim ( )
x
c x
→+∞
2 = – 1 – σi ,
lim
( , )
v
v
v1 0
1
1→
V x
= 0 ravnomerno po x ∈ [ x0 , + ∞ [. (1.52)
Uçyt¥vaq πty predel\n¥e sootnoßenyq, svodym systemu (1.50) s pomow\g do-
polnytel\noho preobrazovanyq k poçty treuhol\nomu vydu. Polahaq v (1.50)
v1 = w1 , v2 = ρ( )x w1 + w2 , (1.53)
hde ρ : [ x1 , + ∞ [ → R ( x1 ≥ x0 ) — ysçezagwee na + ∞ reßenye dyfferency-
al\noho uravnenyq
ρ ′ = β
σ
ρ ρc x
h t x h t xi i i
2
2( )
( ) ( )
+
( )
−
( )
, (1.54)
suwestvugwee v sylu uslovyj lim ( )
x
c x
→+∞
2 = – 1 – σi y lim ( )
x
ih t x
→+∞
( ) = 0 na os-
novanyy teorem¥ 1.3 yz [3], poluçaem systemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 917
′w1 =
β
h t x
f x C x w w
i ( )
( ) ( )
( )
+ +[ ]1 1 1 2 ,
(1.55)
′w2 =
β
σ
ρ
i
f x x C x w V x w2 2 2 1( ) ( ) ( ) ( , )− + +[ ],
hde
C1 ( x ) = – 1 +
h t xi
i
( )( )
σ
+ ρ ( x ), C2 ( x ) = 1 –
σ ρi
i
x
h t x
( )
( )( )
.
Sohlasno uslovyqm lim ( )
x
x
→+∞
ρ = 0, (1.46), (1.51) y (1.52)
lim ( )
x
f x
→+∞
1 = 0, lim ( ) ( )
x
f x x
→+∞
−[ ]2 ρ = 0, lim ( )
x
C x
→+∞
1 = – 1,
lim
( , )
w
V x w
w1 0
1
1→
= 0 ravnomerno po x ∈ [ x1 , + ∞ [.
Krome toho, ymeem
x i
d x
h t x
0
+ ∞
∫ ( )( )
= β
t
dt
t
0
+ ∞
∫ = ± ∞.
Yz (1.54) sleduet, çto
σ ρi
i
x
h t x
( )
( )( )
=
βσ ρ
ρ
i x
x
′
−
( )
( )1
–
c x
x
2
1
( )
( )− ρ
pry x ≥ x1 .
Poπtomu
C2 ( x ) = 1 +
c x
x
2
1
( )
( )− ρ
–
βσ ρ
ρ
i x
x
′
−
( )
( )1
.
Zdes\ v sylu uslovyj (1.51) y lim ( )
x
x
→+∞
ρ = 0
lim
( )
( )x
c x
x→+∞
+
−
1
1
2
ρ
= – σi ≠ 0,
x
i x dx
x
1
1
+ ∞
∫ ′
−
βσ ρ
ρ
( )
( )
= – βσ ρi xxln ( )1
1
− + ∞ = const.
Tem sam¥m pokazano, çto dlq system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj (1.55) v¥-
polnen¥ uslovyq teorem¥ 1.3 yz [3]. Na osnovanyy πtoj teorem¥ ona ymeet xotq
b¥ odno reßenye wi : [ x2 , + ∞ [ → R, i = 1, 2, hde x2 ≥ x1 , stremqweesq k nulg
pry x → + ∞. Emu v sylu zamen (1.53) y (1.43) sootvetstvuet reßenye y dyffe-
rencyal\noho uravnenyq (0.1), dopuskagwee pry t → + ∞ asymptotyçeskye
predstavlenyq (1.40). V sylu πtyx predstavlenyj y uslovyj teorem¥ dannoe re-
ßenye, oçevydno, udovletvorqet opredelenyg Π+ ∞ ( 0 )-reßenyq.
Teorema dokazana.
2. Prymer uravnenyq so stepenn¥my koπffycyentamy. V kaçestve pry-
mera, yllgstryrugweho ustanovlenn¥e zdes\ y v [1] rezul\tat¥, rassmotrym
dyfferencyal\noe uravnenye
y ′′ = a t1
1γ + a t y
y1
22 2
1γ σ+ sin + a t y y3
13 3γ σ λ+ ln , (2.1)
hde ak ∈ R \ { 0 }, γk ∈ R, k = 1, 2, 3, a σ2 , σ3 , λ ∈ R y takye, çto σ2 ≠ – 1, | 1 +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
918 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
+ σ3 | + | λ | ≠ 0. ∏to uravnenye qvlqetsq uravnenyem vyda (0.1), v kotorom m = 3,
m1 = 1,
αk = sign ak , pk ( t ) = a tk
kγ
, k = 1, 2, 3,
ϕ1 ( y ) ≡ 1, ϕ2 ( y ) = y
y
2 2
1+σ sin , ϕ3 ( y ) = y y1 3+σ λln .
Pry πtom qsno, çto funkcyy ϕk , k = 2, 3, pry nekotorom dostatoçno bol\ßom
y0 udovletvorqgt uslovyqm (0.4), (0.5). Prynqv ω = + ∞, v¥qsnym vopros o su-
westvovanyy Π+ ∞ ( µ0 )-reßenyj uravnenyq (2.1) y yx asymptotyke pry t → + ∞.
Poskol\ku v dannom sluçae πω ( t ) = t, ymeem
πω ( ) ( )
( )
t p t
p t
k
k
′
= γk , k = 1, 2, 3.
Krome toho, pry t → + ∞ ymegt mesto asymptotyçeskye sootnoßenyq
Ii 1 ( t ) ∼
a t
a t
i
i
i
i i
i1
1
1
1
+
+
≠
=
γ
γ
γ
γ
, – ,
ln , – ,
esly
esly
Qi 1 ( t ) ∼
a t
a t
a t t
i
i i
i
i i
i i
i2
1 2
1 2
2
1
+
+ +
≠ −
− =
=
γ
γ γ
γ
γ
γ
( )( )
, – , ,
ln , – ,
ln , – ,
esly
esly
esly
Ii 2 ( t ) ∼
a t
a t
i
i
i
i i
i2
2
2
2
+
+
≠
=
γ
γ
γ
γ
, – ,
ln , – ,
esly
esly
Qi 2 ( t ) ∼
− + ≠
− =
2
2
1
2
γ γ
γ
i
i
i
t
t t
, – ,
ln
, – ,
esly
esly
hde i ∈ { 1, 2, 3 }, a takΩe asymptotyçeskye sootnoßenyq
I23 ( t ) ∼
a t
a t
i
i
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
+ +
+ +
+ ≠
+ =
γ σ
γ σ
γ σ
γ σ
, – ,
ln , – ,
esly
esly
I33 ( t ) ∼
a t t
a t
a t
i
i
3
2
3 3
3 3
1
3 3
3 3
3 3
2
2
1
2 1
2 1
+ +
+
+ +
+ ≠
+
+ = ≠ −
+ = = −
γ σ λ
λ
γ σ
γ σ
λ
γ σ λ
γ σ λ
ln
, – ,
ln
, – , ,
ln ln , – , .
esly
esly
esly
V sylu πtyx predstavlenyj yz teorem 2.1 – 2.3 rabot¥ [1] y teorem 1.1 – 1.4 na-
stoqwej stat\y v¥tekagt sledugwye uravnenyq.
11. Esly γ1 > γk pry k = 2, 3, to dlq suwestvovanyq Π+ ∞ ( – 1 )-reßenyj
uravnenyq (2.1) neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ γ1 = – 2 y v¥polnqlos\ nera-
venstvo a1 < 0. Pry πtom dlq kaΩdoho takoho reßenyq ymegt mesto asympto-
tyçeskye predstavlenyq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 919
y ( t ) ∼ – a1 ln t, y ′ ( t ) ∼ –
a
t
1
pry t → + ∞.
12
. Esly σ2 ≠ 0 y γ2 > γk pry k = 1, 3, to dlq suwestvovanyq Π+ ∞ ( – 1 )-re-
ßenyj uravnenyq (2.1) neobxodymo y dostatoçno, çtob¥
γ2 = – 2, a2 < 0, σ2 < 0.
Pry πtom dlq kaΩdoho takoho reßenyq ymegt mesto asymptotyçeskye
predstavlenyq
y ( t ) ∼ ( ln )a t2 2
1 2σ σ− /
, y ′ ( t ) ∼ –
y t
t t
( )
lnσ2
pry t → + ∞.
13
. Esly σ3 ≠ 0 y γ3 > γk pry k = 1, 2, γ 3 > γ2 , to dlq suwestvovanyq
Π+ ∞ ( – 1 )-reßenyj uravnenyq (2.1) neobxodymo y dostatoçno, çtob¥
γ2 = – 2, a3 < 0, σ3 < 0.
Pry πtom dlq kaΩdoho takoho reßenyq ymegt mesto asymptotyçeskye pred-
stavlenyq
y ( t ) ∼ a t t3 3
1 1 3σ λ λ σ− −( ) /
ln ln ln , y ′ ( t ) ∼ –
y t
t t
( )
lnσ3
pry t → + ∞.
21
. Pust\ γ1 – 1 > γk + σk pry k = 2, 3. Tohda dlq suwestvovanyq Π+ ∞ ( 0 )-
reßenyj uravnenyq (2.1) neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ γ1 = – 1 y v¥polnq-
los\ neravenstvo a1 > 0, pryçem kaΩdoe takoe reßenye dopuskaet asymptoty-
çeskye predstavlenyq
y ( t ) ∼ a t t1 ln , y ′ ( t ) ∼ a t1 ln pry t → + ∞.
22
. Pust\ σ2 ≠ 0 y v¥polnqgtsq neravenstva γ2 + σ2 > γ1 – 1, γ2 + σ2 > γ3 +
+ σ3 . Tohda dlq suwestvovanyq Π+ ∞ ( 0 )-reßenyj uravnenyq (2.1) neobxodymo y
dostatoçno, çtob¥
γ2 + σ2 = – 2, a2 σ2 < 0,
pryçem kaΩdoe takoe reßenye dopuskaet asymptotyçeskye predstavlenyq
y ( t ) ∼ t a t2 2
1 2σ σln − /
, y ′ ( t ) ∼ a t2 2
1 2σ σln − /
pry t → + ∞.
23
. Pust\ σ3 ≠ 0 y v¥polnqgtsq neravenstva γ3 + σ3 > γ1 – 1, γ3 + σ3 > γ2 +
+ σ2 . Tohda dlq suwestvovanyq Π+ ∞ ( 0 )-reßenyj uravnenyq (2.1) neobxodymo y
dostatoçno, çtob¥
γ3 + σ3 = – 2 y a3 σ3 < 0 pry λ = – 1,
a3 σ3 ( 1 + λ ) < 0 pry λ ≠ – 1.
Bolee toho, dlq kaΩdoho takoho reßenyq v sluçae λ = – 1 ymegt mesto asymp-
totyçeskye predstavlenyq
y ( t ) ∼ t a t3 3
1 3σ σln ln − /
, y ′ ( t ) ∼ a t3 3
1 3σ σln ln − /
pry t → + ∞,
a v sluçae λ ≠ – 1 —
y ( t ) ∼ t
a t3 3
1 1
1
3σ
λ
λ σ
ln + −
+
/
, y ′ ( t ) ∼
a t3 3
1 1
1
3σ
λ
λ σ
ln + −
+
/
pry t → + ∞.
31
. Esly dlq nekotoroho µ0 ∈ R \ { 0, – 1 } v¥polnqgtsq neravenstva γ1 >
> γk + | 1 + µ0 | ( 1 + σk ) pry k = 2, 3, to dlq suwestvovanyq Π+ ∞ ( µ0 )-reßenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
920 V. M. EVTUXOV, V. A. KAS|QNOVA
uravnenyq (2.1) neobxodymo y dostatoçno v¥polnenye uslovyj µ0 = 1 + γ1 > – 1
y a1 ( 1 + γ1 ) > 0. Pry πtom dlq kaΩdoho takoho reßenyq ymegt mesto asympto-
tyçeskye predstavlenyq
y ( t ) ∼
a t1
2
1 1
1
1 2
+
+ +
γ
γ γ( )( )
, y ′ ( t ) ∼
a t1
1
1
1
1
+
+
γ
γ
pry t → + ∞.
32
. Pust\ σ2 ≠ 0 y dlq nekotoroho µ0 ∈ R \ { 0, – 1 } v¥polnqgtsq neraven-
stva γ2 + | 1 + µ0 | ( 1 + σ2 ) > γ1, γ 2 + | 1 + µ0 | ( σ2 – σ 3 ) > γ3 . Tohda dlq
suwestvovanyq Π+ ∞ ( µ0 )-reßenyj uravnenyq (2.1) neobxodymo, a esly ymeet
mesto odno yz sledugwyx dvux uslovyj:
µ0 ≠ –
1
2
; µ0 = –
1
2
y σ2 < 0,
to y dostatoçno, çtob¥ µ0 = –
2 2 2
2
+ +γ σ
σ
> – 1 y a2 σ2 ( 2 + γ2 + σ2 ) < 0. Pry
πtom dlq kaΩdoho takoho reßenyq ymegt mesto asymptotyçeskye
predstavlenyq
y ( t ) ∼
a t2 2
2 2
2 2 2
1
2 2
2 2
σ
γ γ σ
γ σ+ −
+ + +
/
( )( )
, y ′ ( t ) ∼ –
( ) ( )2 2
2
+ γ
σ
y t
t
pry t → + ∞.
33
. Pust\ σ3 ≠ 0 y dlq nekotoroho µ0 ∈ R \ { 0, – 1 } v¥polnqgtsq neraven-
stva γ3 + | 1 + µ0 | ( 1 + σ3 ) > γ1 , γ3 + | 1 + µ0 | ( σ3 – σ2 ) > γ2 . Tohda dlq suwest-
vovanyq Π+ ∞ ( µ0 )-reßenyj uravnenyq (2.1) neobxodymo, a esly ymeet mesto odno
yz sledugwyx dvux uslovyj:
µ0 ≠ –
1
2
; µ0 = –
1
2
y σ3 < 0,
to y dostatoçno, çtob¥ µ0 = –
2 3 3
3
+ +γ σ
σ
> – 1 y a3 σ3 ( 2 + γ3 + σ3 ) < 0. Pry
πtom dlq kaΩdoho takoho reßenyq ymegt mesto asymptotyçeskye predstavle-
nyq
y ( t ) ∼
a t t3 3
2
3
1 2
3 3
1
2
2
3 2σ γ
γ σ
λ λ γ λ σ− − + −
+
+ +
/
ln
,
y ′ ( t ) ∼ –
( ) ( )2 3
3
+ γ
σ
y t
t
pry t → + ∞.
4. Esly v¥polnqetsq odno yz sledugwyx trex uslovyj:
a) σk < – 1, k = 2, 3; b) – 1 < σ2 ≠ 0, σ2 > σ3; s) – 1 < σ3 ≠ 0, σ2 < σ3,
to uravnenye (2.1) ne ymeet Π+ ∞ ( ± ∞ )-reßenyj.
Zameçanye. Ukazann¥e v pp. 12
, 13
, 22
, 23
, 32 y 33 asymptotyçeskye pred-
stavlenyq poluçen¥ posle utoçnenyq predstavlenyj, pryvedenn¥x v sootvet-
stvugwyx teoremax.
3. V¥vod¥. V [1] dlq nelynejnoho dyfferencyal\noho uravnenyq vyda
(0.1) b¥l v¥delen dostatoçno ßyrokyj klass neohranyçenn¥x reßenyj, a ymen-
no, klass tak naz¥vaem¥x Πω ( µ0 )-reßenyj, hde – ∞ ≤ µ 0 ≤ + ∞. Krome toho, b¥-
ly ukazan¥ uslovyq, pry v¥polnenyy kotor¥x na reßenyqx yz dannoho klassa
uravnenye (0.1) moΩet b¥t\ zameneno dvuçlenn¥m dyfferencyal\n¥m uravne-
nyem vyda y ′′ = αi pi ( t ) ϕi ( y ) 1 1+[ ]o( ) , hde i ∈ { 1, … , m }. Pry yssledovanyy
takyx uravnenyj v¥qsnylos\, çto Πω ( µ0 )-reßenyq po svoym asymptotyçeskym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
ASYMPTOTYÇESKOE POVEDENYE NEOHRANYÇENNÁX REÍENYJ … 921
svojstvam raspadagtsq na çet¥re neperesekagwyxsq podmnoΩestva, sootvet-
stvugwye sledugwym znaçenyqm parametra µ0: 1) µ0 ∈ R \ { 0, – 1 }; 2) µ0 = 0;
3) µ0 = – 1; 4) µ0 ± = ∞. Reßenyq kaΩdoho yz πtyx podmnoΩestv v [1] y v nasto-
qwej rabote yzuçen¥ v otdel\nosty. Pry πtom poluçen¥ neobxodym¥e y dosta-
toçn¥e uslovyq suwestvovanyq takyx reßenyj, a takΩe ustanovlen¥ dlq nyx y
yx proyzvodn¥x pervoho porqdka asymptotyçeskye predstavlenyq pry t ↑ ω.
Rqd yz pryvedenn¥x zdes\ predstavlenyj lyß\ neqvno opredelqgt ukazannoho
typa reßenyq. Odnako nalyçye asymptotyky dlq proyzvodnoj pozvolqet pry
konkretnom vyde funkcyj ϕi (sm. rassmotrenn¥j v¥ße prymer) poluçyt\ dlq
nyx y qvn¥e asymptotyçeskye formul¥. Vsledstvye proyzvol\nosty ω ≤ + ∞
rezul\tat¥ rabot¥ moΩno yspol\zovat\ dlq opysanyq asymptotyky ne tol\ko
pravyl\n¥x, no y razlyçnoho typa synhulqrn¥x reßenyj uravnenyq (0.1).
1. Evtuxov V. M., Kas\qnova V. A. Asymptotyçeskoe povedenye neohranyçenn¥x reßenyj su-
westvenno nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj vtoroho porqdka. I // Ukr. mat. Ωurn.
– 2005. – 57, # 3. – S. 338 – 355.
2. Demydovyç B. P. Lekcyy po matematyçeskoj teoryy ustojçyvosty. – M.: Nauka, 1967. –
472Os.
3. Evtuxov V. M. Ob ysçezagwyx na beskoneçnosty reßenyqx vewestvenn¥x neavtonomn¥x
system kvazylynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Dyfferenc. uravnenyq. – 2003. –
39, # 4. – S. 433 – 444.
4. Seneta E. Pravyl\no menqgwyesq funkcyy. – M.: Nauka, 1985. – 144 s.
Poluçeno 20.12.2004
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3505 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:47Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ac/5526d5a15c6de7b5362e801431f65aac.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35052020-03-18T19:56:18Z Asymptotic behavior of unbounded solutions of essentially nonlinear second-order differential equations. II Асимптотическое поведение неограниченных решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. II Evtukhov, V. M. Kas'yanova, V. A. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. We establish asymptotic representations for one class of unbounded solutions of second-order differential equations whose right-hand sides contain a sum of terms with nonlinearities of a more general form than nonlinearities of the Emden-Fowler type. Встановлено асимптотичні зображення для одного класу необмежених розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку, що містять у правій частині суму доданків з нелінійностями більш загального вигляду, ніж нелінійності типу Емдена - Фаулера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3505 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 7 (2006); 901–921 Український математичний журнал; Том 58 № 7 (2006); 901–921 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3505/3747 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3505/3748 Copyright (c) 2006 Evtukhov V. M.; Kas'yanova V. A. |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Kas'yanova, V. A. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. Евтухов, В. М. Касьянова, В. А. Asymptotic behavior of unbounded solutions of essentially nonlinear second-order differential equations. II |
| title | Asymptotic behavior of unbounded solutions of essentially nonlinear second-order differential equations. II |
| title_alt | Асимптотическое поведение неограниченных решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. II |
| title_full | Asymptotic behavior of unbounded solutions of essentially nonlinear second-order differential equations. II |
| title_fullStr | Asymptotic behavior of unbounded solutions of essentially nonlinear second-order differential equations. II |
| title_full_unstemmed | Asymptotic behavior of unbounded solutions of essentially nonlinear second-order differential equations. II |
| title_short | Asymptotic behavior of unbounded solutions of essentially nonlinear second-order differential equations. II |
| title_sort | asymptotic behavior of unbounded solutions of essentially nonlinear second-order differential equations. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3505 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsii AT kas039yanovava asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsii AT evtuhovvm asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsii AT kasʹânovava asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsii AT evtuhovvm asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsii AT kasʹânovava asymptoticbehaviorofunboundedsolutionsofessentiallynonlinearsecondorderdifferentialequationsii AT evtukhovvm asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaii AT kas039yanovava asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaii AT evtuhovvm asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaii AT kasʹânovava asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaii AT evtuhovvm asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaii AT kasʹânovava asimptotičeskoepovedenieneograničennyhrešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaii |