Self-stochasticity phenomenon in dynamical systems generated by difference equations with continuous argument
For dynamical systems generated by the difference equations x(t+1) = f(x(t)) with continuous time (f is a continuous mapping of an interval onto itself), we present a mathematical substantiation of the self-stochasticity phenomenon, according to which an attractor of a deterministic system contains...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3507 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509611444928512 |
|---|---|
| author | Romanenko, O. Yu. Романенко, О. Ю. |
| author_facet | Romanenko, O. Yu. Романенко, О. Ю. |
| author_sort | Romanenko, O. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:18Z |
| description | For dynamical systems generated by the difference equations x(t+1) = f(x(t)) with continuous time (f is a continuous mapping of an interval onto itself), we present a mathematical substantiation of the self-stochasticity phenomenon, according to which an attractor of a deterministic system contains random functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
O. G. Romanenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI
V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX,
PORODÛUVANYX RIZNYCEVYMY RIVNQNNQMY
Z NEPERERVNYM ARHUMENTOM
*
For dynamical systems induced by continuous time difference equations x t( )+ 1 = f x t( ( )), where f is
a continuous self-map of an interval, we present the mathematical justification of the self-stochasticity
phenomenon, which implies that the attractor of a deterministic system contains random functions.
Dlq dynamiçnyx system, porodΩuvanyx riznycevymy rivnqnnqmy z neperervnym çasom x t( )+ 1 =
= f x t( ( )) ( f — neperervne vidobraΩennq intervalu u sebe ) , navedeno matematyçne ob©runtuvan-
nq qvywa avtostoxastyçnosti, qke polqha[ u tomu, wo atraktor determinovano] systemy mistyt\
vypadkovi funkci].
1. Vstup. Pry qkisnomu doslidΩenni riznycevyx rivnqn\ z dyskretnym çasom
(DRR) standartnym [ metod perexodu do dynamiçno] systemy (DS), indukovano]
rivnqnnqm na prostori poçatkovyx staniv. Cej metod vyqvlq[t\sq dosyt\ plid-
nym i dlq riznycevyx rivnqn\ z neperervnym çasom (NRR). Ale pry c\omu pryn-
cypova skladnist\ polqha[ v tomu, wo, na vidminu vid DRR, dynamiçni systemy,
indukovani NRR, [ neskinçennovymirnymy i, wo bil\ß sutt[vo, ]x fazovi prosto-
ry, qk pravylo, [ nekompaktnymy i, qk naslidok, u typovyx sytuaciqx ne mistqt\
hlobal\nyx atraktoriv vidpovidnyx system. Tomu vynyka[ neobxidnist\ zaluça-
ty do rozhlqdu funkcional\ni prostory, ßyrßi za vyxidnyj fazovyj prostir i
nadileni special\nymy metrykamy. Novi metryçni prostory povynni zabezpeçu-
vaty take popovnennq (za dopomohog novo] metryky) vyxidnoho prostoru, wob
poçatkovi funkci], qki porodΩugt\ tra[ktori], kompaktni u rozßyrenomu
prostori, utvorgvaly u vyxidnomu prostori masyvnu u tomu çy inßomu sensi (v
zaleΩnosti vid zadaçi) pidmnoΩynu. Ce dozvolyt\ pobuduvaty ω-hranyçni mno-
Ωyny takyx tra[ktorij i oxarakteryzuvaty (hlobal\nyj) atraktor systemy
1
.
Odyn iz moΩlyvyx pidxodiv do vyrißennq ci[] problemy rozvynuto v [1 – 3] (dyv.
takoΩ [4, 5] ta navedenu tam bibliohrafig). Zokrema, vstanovleno, wo v qkosti
zhadanoho vywe rozßyrenoho prostoru ma[ sens, za pevnyx umov, vykorystovuva-
ty prostir vypadkovyx funkcij; todi ω-hranyçni mnoΩyny tra[ktorij DS mo-
Ωut\ mistyty vypadkovi funkci], i tomu pry velykyx znaçennqx çasu cilkom de-
terminovani funkci] — toçky vidpovidnyx tra[ktorij — povodytymut\sq qk vy-
padkovi procesy. Take qvywe oderΩalo nazvu avtostoxastyçnist\; vono nada[
odyn iz scenari]v rozvynennq prostorovo-çasovoho xaosu u rozpodilenyx determi-
novanyx systemax i dozvolq[ zdijsnyty asymptotyçno toçnyj statystyçnyj opys
staniv systemy.
ZauvaΩymo, wo tut pid vypadkovog funkci[g (procesom) naspravdi rozumi-
[t\sq rozpodil vypadkovo] funkci] (abo, inakße, mira na prostori realizacij); u
takomu sensi termin „vypadkova funkciq” vykorystovu[t\sq dlq zruçnosti (wo
ne [ zahal\novΩyvanym v teori] jmovirnostej).
U danij roboti koncepciq avtostoxastyçnosti v determinovanyx systemax za-
stosovu[t\sq do riznycevyx rivnqn\ vyhlqdu
x ( t + 1 ) = f ( x ( t )) , t ∈ +
R , (1)
* Çastkovo pidtrymano Ministerstvom osvity ta nauky Ukra]ny, DerΩavnym fondom fundamen-
tal\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (proekt # 01.07/00081).
1 Vid vyboru toho çy inßoho ßyrßoho prostoru zaleΩyt\ te, naskil\ky toçnym bude opys
asymptotyçnyx vlastyvostej funkcij, wo utvorggt\ tra[ktori] DS; deqki poqsnennq z c\oho
pryvodu navedeno naprykinci statti (zauvaΩennqD3).
© O. G. ROMANENKO, 2006
954 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 955
de f C I I∈ ( , ) — zadana neoborotna funkciq, I — obmeΩenyj zamknenyj inter-
val. Slid zauvaΩyty, wo neoborotnist\ nelinijnosti f [ neobxidnog umovog (u
rozmirnosti odyn) dlq isnuvannq rozv’qzkiv zi skladnog asymptotyçnog pove-
dinkog (odni[] lyße nelinijnosti f dlq c\oho, qk vidomo, zamalo).
Riznycevi rivnqnnq, qk taki, ne vymahagt\ ni hladkosti, ni navit\ neperervno-
sti rozv’qzkiv. Zokrema, wodo (1), to dlq bud\-qko] funkci] ϕ : [ 0, 1 ) → I po-
çatkova umova
x ( t ) = ϕ ( t ) , t ∈ [ 0, 1 ) , (2)
vyznaça[ [dynyj rozv’qzok x Iϕ : R
+ → rivnqnnq (1), qkyj moΩna znajty meto-
dom krokiv:
x tϕ( ) = ( )( )f t nn � ϕ − , t ∈ [ n, n + 1 ) , n = 0, 1, … , (3)
de symvolom ° poznaçeno operacig kompozyci] funkcij, a f n — n-ta iteraciq
funkci] f (tobto f z z0( ) = , f z f f zn n( ) ( ( ))= −1 , n = 1, 2, … ) . OtΩe, rozv’qzok
xϕ moΩe vyqvytys\ rozryvnym navit\ pry neperervnyx funkciqx f i ϕ ; wob
c\oho ne stalosq, poçatkova funkciq ϕ ( t ) povynna zadovol\nqty umovu uzhod-
Ωenosti: ϕ ( 1 – 0 ) = f ( ϕ ( 0 )) .
NyΩçe my obmeΩymosq lyße odnym prypuwennqm vidnosno poçatkovyx
funkcij ϕ : budemo vvaΩaty funkci] ϕ neperervnymy na zamknenomu interva-
li [ 0, 1 ] , dovyznaçyvßy ]x u toçci t = 1 za neperervnistg. V c\omu vypadku
rozv’qzky rivnqnnq (1) budut\, vzahali kaΩuçy, bahatoznaçnymy (a same, nabuva-
tymut\ dvox znaçen\) u ciloçyslovyx toçkax.
Rivnqnnq (1) induku[ neskinçennovymirnu dynamiçnu systemu
C S([ , ]), ,0 1 Z
+{ }, S [ ϕ ] = f ° ϕ pry ϕ ∈C I([ , ], )0 1 . (4)
Tra[ktori] ci[] dynamiçno] systemy magt\ vyhlqd
S
n
[ ϕ ] = f n ° ϕ, n ∈ +
Z , ϕ ∈C I([ , ], )0 1 , (5)
i, otΩe, miΩ rozv’qzkamy rivnqnnq (1) i tra[ktoriqmy DS (4) isnu[ takyj zv’qzok:
x tϕ( ) = S tt〈 〉[ ]({ })ϕ , t ∈ +
R , (6)
de çerez 〈⋅〉 i { }⋅ poznaçeno vidpovidno cilu i drobovu çastyny çysla. Takym
çynom, asymptotyçnu povedinku rozv’qzkiv rivnqnnq (1) moΩna opysaty u ter-
minax ω-hranyçnyx mnoΩyn tra[ktorij DS (4). My zoseredymosq lyße na do-
slidΩenni DS (4), zalyßyvßy vidpovidni vysnovky vidnosno rozv’qzkiv rivnqnnq
(1) dlq okremo] raboty.
Z formuly (5) vyplyva[, zokrema, wo dlq koΩno] poçatkovo] funkci] ϕ, vid-
minno] vid konstanty, dynamiku vidpovidno] tra[ktori] Sn[ ]ϕ moΩna traktuvaty
qk dynamiku kontynuuma nezv’qzanyx oscylqtoriv, wo vidriznqgt\sq lyße po-
çatkovymy stanamy: u koΩnij toçci t ∈ [ 0, 1 ] znaxodyt\sq oscylqtor xnD�
� x f xn n+ =1 ( ) , de x t0 = ϕ( ); kolyvannq oscylqtoriv z riznymy poçatkovymy
stanamy (xoça i vidbuvagt\sq za odnym i tym samym zakonom) [ vza[mno nezaleΩ-
nymy. Na intu]tyvnomu rivni zrozumilo, wo same vza[mna nezaleΩnist\ kolyvan\
oscylqtoriv [ „vidpovidal\nog” za naqvnist\ avtostoxastyçnosti u DS (4).
OtΩe, povedinka tra[ktorij DS (4) vyznaça[t\sq odnovymirnym vidobraΩen-
nqm f ∈ C ( I, I ) . Pry c\omu osoblyvu rol\ vidihra[ mnoΩyna
D ( f ) =
z I f z nn∈ = …{ }: ( ), , , ,tra[ktoriq [ nestijkog za Lqpunovym0 1 ,
qka nazyva[t\sq rozdil\nykom vidobraΩennq f. Nahada[mo, wo toçka z ma[ ne-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
956 O. G. ROMANENKO
stijku tra[ktorig, qkwo isnu[ çyslo d = d ( z ) > 0 take, wo dlq bud\-qkoho
ε > 0 znajdut\sq toçka ′ ∈ − +z z z I( , )ε ε ∩ i nomer m iz vlastyvistg
f z f zm m( ) ( )− ′ > d (todi toçku z nazyvagt\ nestijkog pry vidobraΩenni f ).
Tomu dlq toçok z ∈ D ( f ) qk zavhodno mala poxybka u vyznaçenni çyslovoho
znaçennq z moΩe pryzvodyty do toho, wo znaçennq velyçyny f zn( ) , oderΩane
v rezul\tati obçyslen\, istotno vidriznqtymet\sq vid joho toçnoho znaçennq. Ce
sta[ pryncypovo vaΩlyvym, koly rozdil\nyk D ( f ) mistyt\ pidmnoΩynu D* ( f )
dodatno] miry, dlq qko]
d f d zz f∗ ∈= >
∗
( ) : inf ( )( )D 0. Take qvywe nazyvagt\
çutlyvog zaleΩnistg vid poçatkovyx danyx abo sensytyvnistg.
Qkwo vidobraΩennq f [ sensytyvnym, to mes D ( )f > 0 , i tomu tra[ktori]
Sn[ ]ϕ , dlq qkyx mes ϕ− >1 0( )( )D f , opynqgt\sq za „horyzontom peredbaçu-
vanosti” iz zrostannqm n, a same: nexaj komp’gter rozriznq[ velyçyny porqd-
ku ε; qkym by malym ne bulo ε, moΩna znajty nomer N N= ( )ε takyj, wo pry
n > N poxybka pry obçyslenni znaçennq funkci] f tn � ϕ ( ), koly t naleΩyt\
mnoΩyni (dodatno] miry) ϕ
−1( )( )D f , moΩe buty velyçynog porqdku d f∗ >( ) 0 .
Dali budemo nazyvaty taki tra[ktori] „nerehulqrnymy”. Isnuvannq „nerehulqr-
nyx” tra[ktorij oznaça[, wo:
fazovyj prostir C I([ , ], )0 1 systemy ne mistyt\ ω-hranyçnyx mnoΩyn takyx
tra[ktorij;
dlq opysu vlastyvostej funkcij f tn � ϕ ( ), wo utvorggt\ „nerehulqrni”
tra[ktori], pry velykyx znaçennqx n potribni jmovirnisni metody.
U roboti dlq c\oho vypadku da[t\sq matematyçne ob©runtuvannq qvywa avto-
stoxastyçnosti: pokazano, wo za pevnyx umov (holovnog z qkyx [ isnuvannq u
vidobraΩennq f hladko] invariantno] miry) funkci], wo utvorggt\ „nerehulqr-
ni” tra[ktori], asymptotyçno toçno opysugt\sq pevnymy (stacionarnymy) vypad-
kovymy procesamy: pry c\omu povedinka samyx „nerehulqrnyx” tra[ktorij [
prostog: ci tra[ktori] prytqhugt\sq cyklamy tak zvano] rozßyreno] DS, qka [
prodovΩennqm vyxidno] DS na deqkyj prostir, wo porqd z determinovanymy mis-
tyt\ i vypadkovi funkci]. Robotu pobudovano takym çynom.
U punktiD2 vvedeno prostir � determinovanyx i vypadkovyx funkcij, qki ro-
zumigt\sq qk nabory ]x skinçennovymirnyx rozpodiliv, tobto elementamy pro-
storu � faktyçno [ rozpodily funkcij. Prostir � nadileno special\nog
metrykog ρ# , qka porivng[ funkci], vyxodqçy z ]x userednenyx rozpodiliv.
PunktD3 prysvqçeno rozßyrenij dynamiçnij systemi { }#, ,C SZ
+ , de C#
—
popovnennq u metryci ρ#
prostoru Cns nesynhulqrnyx poçatkovyx funkcij
ϕ ∈C funkciqmy z � i S f[ ]ζ ζ= � , ζ ∈C# . Pokazano, wo rozßyrena dyna-
miçna systema [ neperervnym prodovΩennqm systemy { }, ,C Sns Z
+ .
V ostann\omu punkti ob©runtovano ponqttq ω-hranyçno] mnoΩyny tra[kto-
ri] Sn[ ]ϕ vyxidno] DS qk ω-hranyçno] mnoΩyny tra[ktori] rozßyreno] DS, qka
proxodyt\ çerez tu Ω samu „toçku” ϕ. Dovedeno: qkwo vidobraΩennq f ma[
hladku invariantnu miru, nosij qko] sklada[t\sq iz skinçennoho çysla intervaliv,
to ω-hranyçni mnoΩyny „nerehulqrnyx” tra[ktorij [ cyklamy (rozßyreno] DS)
i skladagt\sq z vypadkovyx funkcij. Spoçatku rozhlqnuto najprostißu sytua-
cig, koly nosi[m miry [ lyße odyn interval (teorema S ), i na cij osnovi doslid-
Ωeno zahal\nyj vypadok (teoremaDG ).
2. Rozßyrenyj fazovyj prostir. Iz navedenyx u vstupi mirkuvan\ vyply-
va[, wo dlq analizu (za okreslenog tam sxemog) asymptotyçno] povedinky tra-
[ktorij DS (4) u vypadku, koly vidobraΩennq f [ sensytyvnym, potriben pros-
tir, qkyj krim determinovanyx funkcij mistyv by i vypadkovi funkci].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 957
Vypadkovi funkci] (abo, inakße, stoxastyçni procesy) budemo rozumity qk
nabory vsix ]x skinçennovymirnyx rozpodiliv i, takym çynom, budemo ototoΩng-
vaty vypadkovi funkci] z odnakovymy skinçennovymirnymy rozpodilamy
2.
Wodo determinovanyx funkcij, to ]x takoΩ moΩna traktuvaty qk nabory
skinçennovymirnyx rozpodiliv; u c\omu vypadku koΩnomu naboru rozpodiliv vid-
povida[ lyße odna determinovana funkciq.
Nexaj J = f ( I ) i B — σ-pole vsix borelevyx mnoΩyn B ⊂ J. Poznaçymo çe-
rez �([ , ], )0 1 I prostir vypadkovyx funkcij ta determinovanyx neperervnyx
funkcij ζ : [ 0, 1 ] → I , zadanyx ]x skinçennovymirnymy rozpodilamy — funk-
ciqmy mnoΩyny
Fζ( , , , , , )B B t tr r1 1… … , Bi ∈B , ti ∈[ , ]0 1 , (7)
qki nabuvagt\ znaçen\ z intervalu [ 0, 1 ] i zadovol\nqgt\ umovy uzhodΩennq
Kolmohorova:
Fζ( , , , , , )B B t ti i i ir r1 1
… … =
Fζ( , , , , , )B B t tr r1 1… … ,
de { , , }i ir1 … — dovil\na perestanovka z çysel 1, 2, … , r ;
Fζ( , , , , , , )B B J t tr r1 1 1… …− =
Fζ( , , , , , )B B t tr r1 1 1 1… …− − .
Znaçennq rozpodilu (7) — çyslo z intervalu [ 0, 1 ] — nazyva[t\sq jmovirnistg
toho, wo ζ ζ( ) , , ( )t B t Br r1 1∈ … ∈ . Pry c\omu dlq determinovano] funkci] ζ∗( )t
(tut i dali pid determinovanog funkci[g budemo rozumity neperervnu determi-
novanu funkcig) ma[mo
Fζ χ ζ
∗
= ∗( , ) ( ( ))B t tB ,
(8)
F F F Fζ ζ ζ ζ∗ ∗ ∗ ∗
… … = …( , , , , , ) ( , ) ( , ) ( , )B B t t B t B t B tr r r r1 1 1 1 2 2 ,
de χB( )⋅ — indykator (xarakterystyçna funkciq) mnoΩyny B. Qk vidomo, roz-
podily (7) odnoznaçno vyznaçagt\sq çerez skinçennovymirni funkci] rozpodilu
F z z t tr rζ( , , , , , )1 1… … = Fζ( , , , , , )B B t tz z rr1 1… … , B z Jz = −∞( , ] ∩ , (9)
zokrema,
F z z t F z t F z tζ ζ ζ([ , ], ) ( , ) ( , )′ ′′ = ′′ − ′ . (10)
Takym çynom, dlq identyfikaci] funkci] ζ ∈�([ , ], )0 1 I dostatn\o zadaty funk-
ci] (9). Dlq sprowennq budemo poznaçaty r-vymirnu funkcig rozpodilu çerez
F r z tζ( ; , ) , vvaΩagçy t r∈[ , ]0 1 i z Jr∈ (tut [ , ]0 1 r
i Jr
— prqmi dobutky vid-
povidno r intervaliv [ 0, 1 ] i r intervaliv J ).
Dali vvaΩatymemo, wo dlq ζ ∈�([ , ], )0 1 I ]x funkci] rozpodilu F r z tζ( ; , ) ,
qk funkci] t r∈[ , ]0 1 , [ vymirnymy (vidnosno B ).
Odrazu zauvaΩymo, wo determinovani funkci] z �([ , ], )0 1 I zadovol\nqgt\
cg umovu. Spravdi, dlq determinovano] (neperervno]) funkci] ζ∗ ∈( ) ([ , ], )t I� 0 1
F z t t tB Bz z
ζ ζχ ζ χ
∗ ∗
−= =∗( , ) ( ( )) ( )
( )1 , tobto F z tζ∗
( , ) [ xarakterystyçnog funkci[g
mnoΩyny Bz
∗ = ζ∗
−1( )Bz . Oskil\ky Bz ∈B , to z neperervnosti ζ∗ vyplyva[, wo
Bz
∗ ∈B i tomu mnoΩyna Bz
∗
[ vymirnog. Z ostann\oho, u svog çerhu, vyplyva[
vymirnist\ xarakterystyçno] funkci] mnoΩyny Bz
∗
(dyv., napryklad, [6]), tobto
vymirnist\ funkci] rozpodilu F z tζ∗
( , ), a otΩe, i vymirnist\ vsix skinçennovy-
mirnyx funkcij rozpodilu.
Oznaçennq11. Budemo hovoryty, wo deqka vlastyvist\ P ( ; , )r z t vykonu-
2 Z toçky zoru statystyçnoho analizu taki funkci] ne moΩna rozriznyty.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
958 O. G. ROMANENKO
[t\sq majΩe zavΩdy, qkwo dlq bud\-qkoho ciloho r > 0 i koΩnoho z Jr∈ cq
vlastyvist\ ma[ misce pry majΩe vsix t r∈[ , ]0 1 ; tut termin „majΩe vsi” oz-
naça[ „za vynqtkom, moΩlyvo, mnoΩyny lebehovo] miry nul\ (abo prosto nul\-
mnoΩyny)”.
Oznaçennq12. VvaΩatymemo, wo ζ ζ1 2= , qkwo rivnist\ F r z tζ1
( ; , ) =
= F r z tζ2
( ; , ) vykonu[t\sq majΩe zavΩdy.
Dlq porivnqnnq determinovanyx i vypadkovyx funkcij skorysta[mos\ zapro-
ponovanog v [2] metrykog, ale u dewo pidkorektovanomu vyhlqdi
ρ ζ ζ( )
# ( , )a 1 2 = sup min , sup ( ; , ) ( ; , )
[ , ]ε
ζ
ε
ζ
εε
> ∈=
∞
−
∫∑
0 0 11
1
1 2a
F r z t F r z t dtr
z Jr
r r
, (11)
de F r z tζ
ε( ; , ) — userednennq r-vymirnyx funkcij rozpodilu funkci] ζ po ε-oko-
lu toçky t r∈[ , ]0 1 , a same:
F r z tζ
ε( ; , ) = 1
mes V t
F r z t d
V tε
ζ τ
ε
( )
( ; , )
( )
∫ , t r∈[ , ]0 1 , z Jr∈ , r = 1, 2, … , (12)
V t V t V t V trε ε ε ε( ) ( ) ( ) ( )= × ×… ×1 2 i V t t ti i iε ε ε( ) ( , ) [ , ]= − + ∩ 0 1 , qkwo t t tr1 2, , ,…
— koordynaty toçky t r∈[ , ]0 1 .
Takyj pidxid dozvolq[ perejty vid rozryvnyx funkcij rozpodilu do nepererv-
nyx (po t ) userednenyx funkcij rozpodilu. Bil\ß toho,
a) funkciq F r z tζ
ε( ; , ) [ absolgtno neperervnog po t r∈[ , ]0 1 ;
b) funkciq F r z tζ
ε( ; , ) [ rivnomirno neperervnog po ε ≥ 0 rivnomirno po
( , ) [ , ]z t Jr r∈ × 0 1 ;
c) ma[ misce spivvidnoßennq
lim
ε→0
F r z tζ
ε( ; , ) = F r z tζ( ; , ) majΩe zavΩdy. (13)
TverdΩennq a) vyplyva[ z zahal\no] teori] funkcij [6]. TverdΩennq b) [ na-
slidkom ocinky
F r z t F r z tζ
ε
ζ
ε( ; , ) ( ; , )− ′ = 2r ε ε− ′ , (14)
qku oderΩu[mo takym çynom (tut ′ <ε ε ):
F r z t F r z tζ
ε
ζ
ε( ; , ) ( ; , )− ′ ≤
≤ 1 1 1
mes mes mesV t V t
F r z d
V t
F r z d
V t V t V tε ε
ζ
ε
ζτ τ τ τ
ε ε ε
( ) ( )
( ; , )
( )
( ; , )
( ) ( ) \ ( )
− +
′
′ ′
∫ ∫ ≤
≤ 2
ε
ε εr
r r− ′( ) = 2 1 2 1
ε
ε ε ε ε ε εr
r r r− ′ + ′ +…+ ′− − −( ) ≤ 2r ε ε− ′ .
Dovedemo tverdΩennq c). Nexaj t t tr= …( , , )1 , z z zr= …( , , )1 . Poklademo
Φ( , , )t tr1 … =
0 0
1 1 1
1t t
r r r
r
F z z d d∫ ∫… … … …ζ τ τ τ τ( , , , , , ) ,
de pidintehral\na funkciq — ce r-vymirna funkciq rozpodilu F r z tζ( ; , ) , zapy-
sana u rozhornutomu vyhlqdi. Elementarni vykladky pokazugt\, wo dlq tyx
t t tr= …( , , )1 , dlq qkyx hranycq u livij çastyni (13) isnu[, ma[ misce spivvidno-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 959
ßennq
lim ( , , , , , )
ε ζ
ε
→
… …
0
1 1F z z t tr r =
d t t
dt dt
r
r
r
Φ( , , )1
1
…
…
. (15)
Zadlq prostoty perevirymo (15) pry r = 1. Rozbyvagçy intehral u pravij ças-
tyni (12) na 4 intehraly z hranycqmy vid 0 do t – ε, t, t + ε i t, oderΩu[mo
F z tζ
ε( , ) = Φ Φ Φ Φ( ) ( ) ( ) ( )t t t t− − + + −ε
ε
ε
ε2 2
.
Zvidsy, sprqmovugçy ε do 0, ma[mo (15) z r = 1. Z inßoho boku, oskil\ky
funkciq Φ( , , )t tr1 … [ absolgtno neperervnog, to
d t t
dt dt
r
r
r
Φ( , , )1
1
…
…
= F z z t tr rζ( , , , , , )1 1… … (16)
pry majΩe vsix ( , , ) [ , ]t tr
r
1 0 1… ∈ . Z (15) i (16) odrazu vyplyva[ (13).
TverdΩennq11. 1. Funkcional (11) pry bud\-qkomu a ≥ 2 [ metrykog na
�([ , ], )0 1 I .
2. Qkwo funkciq ζ1 zbiha[t\sq z funkci[g ζ1
∗
pry majΩe vsix t ∈[ , ]0 1 ,
to
ρ ζ ζ ρ ζ ζ( )
#
( )
#( , ) ( , )a a1 2 1 2= ∗ .
Dovedennq. Suma u pravij çastyni (11) zavΩdy zbiha[t\sq, oskil\ky vyraz
pid znakom intehrala ne perevywu[ 1, i, otΩe, funkcional (11) vyznaçeno ko-
rektno. Vykonannq nerivnosti trykutnyka perevirq[t\sq elementarno (i ne po-
trebu[ umovy (13)). Zalyßa[t\sq pokazaty, wo iz spivvidnoßennq
ρ ζ ζ( )
# ( , )a 1 2 = 0 (17)
vyplyva[, wo ζ ζ1 2= u sensi oznaçennqD2. Z neperervnosti userednenyx funk-
cij rozpodilu vyplyva[, wo (17) ma[ misce todi i til\ky todi, koly pry koΩnomu
ε > 0
F r z t F r z tζ
ε
ζ
ε
1 2
( ; , ) ( ; , )= , t r∈[ , ]0 1 , z Jr∈ , r = 1, 2, … . (18)
Tomu ma[mo
F r z t F r z tζ ζ1 2
( ; , ) ( ; , )− ≤ F r z t F r z t F r z t F r z tζ ζ
ε
ζ ζ
ε
1 1 2 2
( ; , ) ( ; , ) ( ; , ) ( ; , )− + − .
(19)
Qk vyplyva[ z (13), vyraz u livij çastyni (19) majΩe zavΩdy moΩna zrobyty qk
zavhodno malym za raxunok zmenßennq ε. Ce oznaça[, wo F r z t F r z tζ ζ1 2
( ; , ) ( ; , )=
majΩe zavΩdy, i, otΩe, ζ ζ1 2= . Druhe tverdΩennq [ oçevydnym.
Nadilymo prostir �([ , ], )0 1 I metrykog ρ( )
#
a . Qkwo poslidovnist\ ζ i ∈
∈ �([ , ], )0 1 I zbiha[t\sq do funkci] ζ ∈ �([ , ], )0 1 I , zapysu[mo
Lim
i
i
→∞
ζ = ζ . (20)
Sens zbiΩnosti u prostori �([ , ], )0 1 I rozkryva[ nastupne tverdΩennq.
TverdΩennq12. Qkwo Limi i→∞ =ζ ζ, to:
1) pry fiksovanyx ε∗ > 0, r∗
+∈Z , z Ir
∗ ∈ ∗
poslidovnist\ F r z t
iζ
ε∗
∗ ∗( ; , ) zbi-
ha[t\sq do F r z tζ
ε∗
∗ ∗( ; , ) za mirog (Lebeha) rivnomirno po z∗;
2) pry fiksovanyx r∗
+∈Z , z Ir
∗ ∈ ∗
dlq bud\-qkyx γ > 0 ta σ > 0 znaj-
dut\sq ε ε1 2 0, > i nomer K taki, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
960 O. G. ROMANENKO
mes t F r z t F r z t
i
∈ − ≥{ }∗ ∗ ∗ ∗[ , ] : ( ; , ) ( ; , )0 1 ζ
ε
ζ γ < σ pry ε1 < ε < ε2 , i > K .
(21)
Dovedennq. Wob sprostyty vykladky, poznaçymo F r z tζ
ε( ; , )∗ ∗ çerez F tζ
ε( , )∗ .
1. Zafiksu[mo dovil\ne γ > 0 i poklademo
τ γi( ) = t F t F t
i
∈ ∗ − ∗ ≥{ }∗[ , ] : ( , ) ( , )0 1 ζ
ε
ζ γ .
Potribno pokazaty, wo
mes τ γi( ) → 0 pry i → ∞ rivnomirno po z∗. (22)
Dlq c\oho skorysta[mos\ spivvidnoßennqm
γ τ γmes i( ) ≤
[ , ]
( , ) ( , )
0 1 r
i
F t F t dt
∗
∗∫ ∗ − ∗ζ
ε
ζ . (23)
Viz\memo dovil\ne dodatne σ ε γ< ∗
∗r / . Iz zbiΩnosti ζi do ζ u metryci ρ( )
#
a
vyplyva[ isnuvannq nomera K K= ( )σ takoho, wo
r
r
z Ja
F r z t F r z t dt
r r
i
≥ ∈
∑ ∫ −
1 0 1
1
sup ( ; , ) ( ; , )
[ , ]
ζ
ε
ζ <
γ σ
ar∗
pry i > K .
Zvidsy, u svog çerhu, vyplyva[, wo pry bud\-qkomu z Ir∈ ∗
[ , ]
( ; , ) ( ; , )
0 1 r
i
F r z t F r z t dt
∗
∫ ∗
∗ ∗−ζ
ε
ζ < γ σ pry i > K . (24)
Z (23) i (24) vyvodymo
mes τ γi( ) < σ pry i > K ( σ ) ,
wo i dovodyt\ (22).
2. Zafiksu[mo γ > 0. Viz\memo dovil\ne σ > 0 i poklademo
τ γε
i ( ) = t F t F t
i
∈ ∗ − ∗ ≥{ }[ , ] : ( , ) ( , )0 1 ζ
ε
ζ γ .
Ma[mo taki nerivnosti:
γ τ γεmes i ( ) ≤
[ , ]
( , ) ( , )
0 1 r
i
F t F t dt
∗
∫ ∗ − ∗ζ
ε
ζ ≤
≤
[ , ] [ , ]
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
0 1 0 1r
i
r
F t F t dt F t F t dt
∗ ∗
∫ ∫∗ − ∗ + ∗ − ∗ζ
ε
ζ
ε
ζ
ε
ζ . (25)
Ocinymo okremo koΩen iz dodankiv u pravij çastyni (25), poznaçyvßy ]x vidpo-
vidno A1 i A2.
Poklademo ε γσ1 2= ∗/ ar . Iz zbiΩnosti poslidovnosti ζi do ζ u metryci
ρ( )
#
a vyplyva[ isnuvannq nomera K K= ( )σ takoho, wo
1
1
a
Ar∗
≤ ε1 pry ε ε> 1, i > K ,
i, otΩe,
A1 ≤
γ σ
2
pry ε ε> 1, i > K . (26)
Wob ocinyty dodanok A2, rozib’[mo joho na dva dodanky:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 961
′ = ∗ − ∗
∗
∫A F t F t dt
r
n
2
0 1
1
[ , ]
/ ( )( , ) ( , )ζ
ε
ζ
ε , ′′ = ∗ − ∗
∗
∫A F t F t dt
r
n
2
0 1
1
[ , ]
/ ( )( , ) ( , )ζ
ε
ζ ,
de n ( ε ) — cila çastyna çysla 1 / ε, i skorysta[mos\ vlastyvostqmy b) ta c).
Na pidstavi vlastyvosti b) znajdet\sq ′ = ′ >ε ε σ( ) 0, dlq qkoho
′ <A2 4
γ σ
pry ε ε< ′ . (27)
Z vlastyvosti c) vyplyva[, wo poslidovnist\ vymirnyx funkcij F tn
ζ
ε1/ ( )( , )∗ zbi-
ha[t\sq pry ε → 0 do vymirno] funkci] F tζ( , )∗ majΩe skriz\. Tomu za teore-
mog {horova [6] isnu[ mnoΩyna E r
σ ⊂ ∗[ , ]0 1 taka, wo
mes Eσ
γ σ> −1
8
,
na Eσ poslidovnist\ F tn
ζ
ε1/ ( )( , )∗ zbiha[t\sq pry ε → 0 do F tζ( , )∗ rivnomirno.
Todi znajdet\sq ′′ = ′′ >ε ε σ( ) 0 , dlq qkoho
E
nF t F t dt
σ
ζ
ε
ζ∫ ∗ − ∗1/ ( )( , ) ( , ) <
γ σ
8
pry ε ε< ′′ .
OtΩe,
′′A2 ≤
E
n
E
F t F t dt dt
r
σ σ
ζ
ε
ζ ε∫ ∫∗ − ∗ +
∗
1
0 1
/ ( )
[ , ] \
( , ) ( )( , ) <
γ σ
4
pry ε ε< ′′ . (28)
Poklavßy ε ε ε2 = ′ ′′min{ , }, z (26) – (28) oderΩymo
A A1 2+ < γ σ pry ε1 < ε ≤ ε2 .
Tomu vnaslidok (25)
mes τ γε
i ( ) ≤ σ pry ε1 < ε ≤ ε2 , i > K ,
wo i dovodyt\ druhyj punkt tverdΩennqD2.
Na zaverßennq c\oho punktu z’qsu[mo, qk spivvidnosyt\sq zbiΩnist\ u pro-
stori �([ , ], )0 1 I iz zbiΩnistg u vyxidnomu prostori C I([ , ], )0 1 . Poznaçymo çe-
rez C Ins([ , ], )0 1 mnoΩynu nesynhulqrnyx poçatkovyx funkcij ϕ ∈C I([ , ], )0 1
(tobto funkcij ϕ, dlq qkyx iz mes B = 0 vyplyva[ mes ϕ− =1 0( )B ). Nam bu-
de potribna nastupna lema.
Lema11. Nexaj ϕ, ϕi nsC I∈ ([ , ], )0 1 , i = 1, 2, … . Qkwo
ϕ ϕi C− 0 → 0 pry i → ∞ , (29)
to dlq koΩnoho ε∗ ∈( , )0 1 i bud\-qkoho σ ε∈ ∗( , )0 isnu[ nomer K = K ( σ )
takyj, wo
F r z t F r z t
iϕ
ε
ϕ
ε( ; , ) ( ; , )− < σ
ε
r
pry i > K , (30)
qkwo ε ε> ∗ .
Dovedennq. Vyberemo dovil\ne z I∈ i poklademo A zz = −ϕ 1( ) , Az,δ — δ-
okil mnoΩyny Az . Dovedennq lemy bazu[t\sq na takyx dvox faktax:
i) dlq bud\-qkoho δ > 0 isnu[ c c= >( )δ 0 take, wo
ϕ ( )t z− ≥ c pry t Az∉ ,δ , z I∈ ; (31)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
962 O. G. ROMANENKO
ii) dlq bud\-qkoho σ > 0 isnu[ δ δ σ= >( ) 0 take, wo
mes Az,δ < σ, z I∈ . (32)
Dlq dovedennq tverdΩennq i) prypustymo, wo (31) ne vykonu[t\sq. Todi
znajdut\sq dvi monotonni, a otΩe, i zbiΩni poslidovnosti z Ik ∈ i t Ak z∈[ , ] \ ,0 1 δ ,
dlq qkyx
ϕ ( )t zk k− → 0 pry k → ∞ . (33)
Nexaj limk kz z→∞ ∗= i limk kt t→∞ ∗= ; z ohlqdu na (33) i neperervnist\ ϕ ( t )
ma[mo ϕ( )t z∗ ∗= . Dlq vyznaçenosti vvaΩatymemo poslidovnist\ tk monotonno
zrostagçog. Todi znajdet\sq k∗ > 0 take, wo pry k k> ∗ vsi toçky tk nale-
Ωat\ mnoΩyni V t tδ δ= −∗ ∗( , ]. Poklademo M tt V= ∈sup ( )
δ
ϕ i m tt V= ∈inf ( )
δ
ϕ .
Z nesynhulqrnosti ϕ ( t ) vyplyva[, wo rivnist\ M = m nemoΩlyva, i, otΩe, M >
> m . Oskil\ky z m M∗ ∈( , ), to z m Mk ∈( , ) poçynagçy z deqkoho k k k= ≥∗∗ ∗.
Dlq koΩnoho takoho zk vnaslidok neperervnosti ϕ ( t ) znajdet\sq t Vk
∗ ∈ δ take,
wo ϕ ( )t zk k
∗ = . Takym çynom, t Ak zk
∗ ∈ i pry c\omu t tk k
∗ − < δ . OtΩe,
t Ak zk
∈ ,δ , wo nemoΩlyvo, i ce dovodyt\ tverdΩennq i).
Dovedemo tverdΩennq ii). Znovu prypustymo, wo (32) ne vykonu[t\sq. Todi
isnugt\ poslidovnist\ δ δ1 2 0> > … → i zbiΩna poslidovnist\ z Ik ∈ taki,
wo
mes Azk k,δ ≥ σ, k = 1, 2, … . (34)
Poklademo A Azk k
= lim sup ,δ . Z (34) oderΩymo
mes A ≥ lim sup ,
k
zA
k k→∞
mes δ ≥ σ . (35)
PokaΩemo, wo spivvidnoßennq (35) ne vykonu[t\sq. Spravdi, qkwo t A∗ ∈ , to
znajdet\sq pidposlidovnist\ ki → ∞ , dlq qko] t Azk ki i
∗ ∈ ,δ . Todi dlq koΩnoho
i = 1, 2, … isnu[ toçka t Ai zki
∈ taka, wo t ti ki∗ − < δ . OtΩe, t ti → ∗ pry
i → ∞ . Oskil\ky ϕ ( )t zi ki
= i funkciq ϕ ( t ) neperervna, to ϕ ( )t z∗ ∗= , de
z zk k∗ →∞= lim . Takym çynom, t Az∗ ∈ ∗
i, otΩe, A Az∗
⊇ , zvidky, u svog çerhu,
vyplyva[, wo
mes A ≤ mes Az∗
= 0 . (36)
Rivnist\ u (36) ma[ misce zavdqky nesynhulqrnosti ϕ ( t ) . Spivvidnoßennq (35) i
(36) supereçat\ odne odnomu, wo i dovodyt\ tverdΩennq ii).
Perejdemo do dovedennq lemy. Vyberemo dovil\ni ε∗ ∈( , )0 1 i σ ε∈ ∗( , )0 2 .
Zhidno z tverdΩennqmy i) ta ii) isnugt\ δ = δ ( σ ) > 0 ta c = c ( σ ) > 0, dlq
qkyx (31) i (32) magt\ misce. Za umovy (29) znajdet\sq nomer K = K ( σ ) takyj,
wo
ϕ ϕi t t( ) ( )− < c / 2 pry i > K , t ∈ [ 0, 1 ] .
Zvidsy, beruçy do uvahy (31), vyvodymo, wo ϕ ( )t z≠ pry i > K , t Az∈[ , ] \0 1 , i
tomu
F z t F z t
iϕ ϕ( , ) ( , )= pry i > K , t Az∈[ , ] \ ,0 1 δ . (37)
Oskil\ky vnaslidok (32) mira koΩno] z komponent zv’qznosti mnoΩyn Az,δ ,
z I∈ , ne perevywu[ σ ε< ∗, to dlq bud\-qkyx t ∈ [ 0, 1 ] i z I∈
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 963
V t Azε δ( ) ,/⊂ i mes ( ( ) ),V t Azε δ δ∩ < pry ε ε> ∗ .
Tomu pry ε ε> ∗ ta i > K z (37) ma[mo
F z t F z t
iϕ
ε
ϕ
ε( , ) ( , )− ≤ 1
ε
τ τ τ
ε
ϕ ϕ
V t
F z F z d
i
( )
( , ) ( , )∫ − =
=
1
2ε
τ τ τ
ε δ
ϕ ϕ
V t Az
i
F z F z d
( ) ,
( , ) ( , )
∩
∫ − < σ
ε
.
Dali, oskil\ky dlq determinovanyx funkcij r-vymirna funkciq rozpodilu [ do-
butkom r vidpovidnyx odnovymirnyx funkcij rozpodilu, analohiçno popered-
n\omu znaxodymo
F t t z z F t t z z
i r r r rϕ
ε
ϕ
ε( , , , , , ) ( , , , , , )1 1 1 1… … − … … ≤
≤
1
2 1( )
( ) ,
ε
τ
ε δ
r
i
r
V t A
i
i zi
d
=
∏ ∫
∩
< σ
ε
r
pry ε ε> ∗ , i > K ,
wo i zaverßu[ dovedennq lemy.
TverdΩennq13. Qkwo poslidovnist\ ϕi nsC I∈ ([ , ], )0 1 , i = 1, 2, … , zbiha-
[t\sq do ϕ ∈C Ins([ , ], )0 1 u C
0-metryci, to vona zbiha[t\sq do ϕ i u metryci
ρ( )
#
a .
Dovedennq. Nexaj ϕ , ϕi nsC I∈ ([ , ], )0 1 , i = 1, 2, … , ta ϕ ϕi C− →0 0
pry i → ∞ . PokaΩemo, wo
ρ ϕ ϕ( )
# ( , )a i → 0 pry i → ∞ . (38)
Vyberemo dovil\ne � ∈ ( 0, 1 ) . Zhidno z lemog 1, qkwo poklasty ε∗ = � , σ =
�
2
, to moΩna znajty K = K ( � ) take, wo
F r z t F r z t
iϕ
ε
ϕ
ε( ; , ) ( ; , )− < � pry i > K , ε ≥ � . (39)
Poznaçymo çerez Σi( )ε sumu v pravij çastyni (11), de ζ1 i ζ2 zamineno vidpo-
vidno na ϕi i ϕ . Z (39) vyplyva[, wo Σi( )ε < � pry ε > � ta i > K . Takym çy-
nom,
ρ ϕ ϕ( )
# ( , )a i =
max sup min , ( ) , sup min{ , }{ }
0< < ≥
ε ε
ε ε ε
� �
�Σi < � pry i > K ( σ ) .
OtΩe, (38) vykonu[t\sq.
TverdΩennq dovedeno.
3. Rozßyrena dynamiçna systema. Teper, metryzuvavßy prostir
�([ , ], )0 1 I , moΩemo povernutysq do vyxidno] dynamiçno] systemy. Rozhlqnemo
zamist\ DS (4) dynamiçnu systemu
C I Sns([ , ], ), ,0 1 Z
+{ }, S f[ ]ϕ ϕ= � pry ϕ ∈C Ins([ , ], )0 1 . (40)
Zvyçajno, takyj perexid [ korektnym lyße za umovy, wo f — nesynhulqrne
vidobraΩennq, zokrema nesynhulqrne kuskovo-monotonne. Tut my obmeΩymosq
same cym ostannim prypuwennqm vidnosno f.
OtΩe, nexaj vidobraΩennq f ma[ m hilok monotonnosti. Poznaçymo çerez
C I#([ , ], )0 1 popovnennq prostoru C Ins([ , ], )0 1 funkciqmy z prostoru
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
964 O. G. ROMANENKO
�([ , ], )0 1 I u metryci ρ( )
#
2 1m+ , qku dali poznaçatymemo prosto ρ# , i perejdemo,
poky wo formal\no, do rozßyreno] dynamiçno] systemy
C I S#([ , ], ), ,0 1 Z
+{ }, S f[ ]ζ ζ= � pry ζ ∈C I#([ , ], )0 1 . (41)
Pid kompozyci[g f � ζ budemo rozumity funkcig, vyznaçenu skinçennovy-
mirnymy funkciqmy rozpodilu
F z z t t f B f B t tf r r z z rr�ζ ζ( , , , , , ) ( ), , ( ), , ,( )1 1
1 1
11
… … = … …− −F ,
Bz = ( , ]−∞ z J∩ . (42)
NaleΩnist\ mnoΩyny f B−1( ) do σ-polq borelevyx mnoΩyn B zabezpeçu[t\sq
neperervnistg f, wo, u svog çerhu, zabezpeçu[ vymirnist\ funkcij rozpodilu,
qki fihurugt\ u (42). Perevirka vykonannq umov uzhodΩennq Kolmohorova dlq
F t t z zf r r�ζ( , , , , , )1 1… … [ tryvial\nog. OtΩe, kompozyciq f � ζ funkcij f i ζ z
prostoru �([ , ], )0 1 I znovu [ funkci[g z prostoru �([ , ], )0 1 I .
TverdΩennq14. Prostir C Ins([ , ], )0 1 vkladeno u prostir C I#([ , ], )0 1 v
tomu sensi, wo iz zbiΩnosti poslidovnosti u prostori C Ins([ , ], )0 1 vyplyva[ ]]
zbiΩnist\ do ti[] Ω samo] hranyci j u prostori C I#([ , ], )0 1 .
TverdΩennq 4 [ bezposerednim naslidkom tverdΩennq 3. PokaΩemo, wo (41)
dijsno [ dynamiçnog systemog. Dlq c\oho potribna taka lema.
Lema12. Qkwo ζ ζ= →∞Limi i , ζi C I∈ #([ , ], )0 1 , to f fi i� �ζ ζ= →∞Lim .
Dovedennq. Potribno pokazaty, wo
ρ ζ ζ#( ),f fi� � → 0 pry i → ∞ .
Ce vykonu[t\sq, qkwo dlq bud\-qkoho σ > 0 znajdet\sq nomer K takyj, wo
pry ε > σ
r
r
z J
f fm
F r z t F r z t dt
r r
i
=
∞
∈
∑ ∫+
−
1 0 1
1
2 1( )
sup ( ; , ) ( ; , )
[ , ]
� �ζ
ε
ζ
ε < σ, i > K . (43)
Vyberemo dovil\ne z ∈ J. Dlq r = 1 z formul (42) ma[mo
F z tf i�ζ ( , ) = Fζi
f B tz( )( ),−1 , F z tf �ζ( , ) = Fζ( )( ),f B tz
−1 . (44)
MnoΩyna f Bz
−1( ) abo poroΩnq, abo sklada[t\sq ne bil\ße niΩ z m zamknenyx
(moΩlyvo, vyrodΩenyx) vza[mno neperetynnyx intervaliv [ ],′ ′′z zj j , j = 1, 2, … , n,
n = n ( z ) ≤ m . Tomu z (44) i (43) vyvodymo
F z t F z tf fi� �ζ
ε
ζ
ε( , ) ( , )− ≤
≤
j
n
j j
j
n
j jF z t F z t F z t F z t
i i
= =
∑ ∑′ − ′ + ′′ − ′′
1 1
ζ
ε
ζ
ε
ζ
ε
ζ
ε( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ,
i, otΩe,
sup ( , ) ( , )
z J
f fF z t F z t dt
i∈
∫ −
0
1
� �ζ
ε
ζ
ε ≤ 2
0
1
m F z t F z t dt
z J
i
sup ( , ) ( , )
∈
∫ −ζ
ε
ζ
ε . (45)
Analohiçno dlq r ≥ 2 znaxodymo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 965
sup ( ; , ) ( ; , )
[ , ]z J
f f
r r
i
F r z t F r z t dt
∈
∫ −
0 1
� �ζ
ε
ζ
ε ≤ ( ) sup ( ; , ) ( ; , )
[ , ]
2
0 1
m F r z t F r z t dtr
z Jr r
i
∈
∫ −ζ
ε
ζ
ε .
(46)
Z inßoho boku,
ρ ζ ζ#( ),i → 0 pry i → ∞ ,
z çoho vyplyva[ isnuvannq dlq bud\-qkoho � > 0 nomera K = K ( � ) ta çysla
γ = γ ( � ) > 0 takyx, wo
F r z t F r z t
iζ
ε
ζ
ε( ; , ) ( ; , )− < γ pry ε > � , i > K (47)
i
γ → 0 pry � → 0.
Vyberemo � < σ nastil\ky malym, wo γ < σ / 2m. Todi z (46) vyplyva[, wo
pry ε < σ ma[ misce ocinka (43).
Lemu dovedeno.
TverdΩennq15. Formuly (41) ta (42) vyznaçagt\ dynamiçnu systemu na
prostori C I#([ , ], )0 1 .
Dovedennq. Potribno pokazaty, wo f C I C I: ([ , ], ) ([ , ], )# #0 1 0 1→ . Vybere-
mo bud\-qku funkcig ζ ∈C I#([ , ], )0 1 . Qkwo ζ ∈C Ins([ , ], )0 1 , tobto ζ( )t [ ne-
synhulqrnog determinovanog neperervnog funkci[g, to f C Ins� ζ ∈ ([ , ], )0 1 ⊂
⊂ C I#([ , ], )0 1 .
Nexaj ζ ∈C I C I#([ , ], ) ([ , ], )\0 1 0 1 . Todi funkciq ζ [ hranyçnog dlq deqko]
poslidovnosti funkcij ϕi nsC I∈ ([ , ], )0 1 ; pry c\omu ζ ( t ) moΩe vyqvytys\ qk
determinovanog (ale ne neperervnog), tak i vypadkovog funkci[g. Zhidno z le-
mogD2 funkciq f � ζ [ hranyçnog dlq poslidovnosti f i� ϕ . OtΩe, f � ζ D∈
∈ C I#([ , ], )0 1 .
TverdΩennq dovedeno.
Rezgmugçy, vyvodymo, wo rozßyrena dynamiçna systema (41) [ neperervnym
prodovΩennqm dynamiçno] systemy (4).
4. ωωωω -Hranyçni mnoΩyny tra[ktorij. Perejdemo do osnovnoho pytannq
dano] roboty — opysu asymptotyçno] povedinky tra[ktorij vyxidno] DS (4) u
vypadku, koly vidobraΩennq f [ sensytyvnym (todi mira rozdilgvaça D ( )f [
dodatnog), i, otΩe, qk vΩe zaznaçalos\, u fazovomu prostori C Ins([ , ], )0 1 isnu[
vidkryta pidmnoΩyna, qka porodΩu[ tra[ktori], wo magt\ v C Ins([ , ], )0 1 po-
roΩni ω-hranyçni mnoΩyny. Ideq polqha[ u vykorystanni dlq ci[] mety ω- hra-
nyçnyx mnoΩyn tra[ktorij rozßyreno] dynamiçno] systemy (41), qki poznaçaty-
memo ω#[ ]⋅ .
Oznaçennq13. Pid ω -hranyçnog mnoΩynog tra[ktori] DS (4), wo proxo-
dyt\ çerez „toçku” ϕ ∈C Ins([ , ], )0 1 , budemo rozumity mnoΩynu ω ϕ#[ ], tob-
to ω -hranyçnu mnoΩynu tra[ktori] rozßyreno] DS (41), wo proxodyt\ çerez
tu Ω samu „toçku” ϕ.
Zvyçajno, ce oznaçennq [ zmistovnym lyße todi, koly tra[ktori] rozßyreno]
DS (41) magt\ neporoΩni ω-hranyçni mnoΩyny. U vsqkomu razi, oznaçennqD3 [
korektnym. Spravdi, qkwo dlq deqkoho ϕ∗ ∈C I([ , ], )0 1 vidpovidna tra[ktoriq
DS (4) ma[ u prostori C I([ , ], )0 1 , nadilenomu C
0-metrykog, neporoΩng ω-
hranyçnu mnoΩynu ω ϕ0[ ]∗ , to ω ϕ ω ϕ0[ ] [ ]#∗ ∗⊂ . Cej fakt [ bezposerednim
naslidkom toho, wo prostir C I([ , ], )0 1 vkladeno u prostir C I#([ , ], )0 1 (tverd-
ΩennqD4).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
966 O. G. ROMANENKO
OtΩe, posta[ pytannq: nexaj mesD ( )f > 0 (todi, qk zaznaçalosq, DS (4)
ma[ „nerehulqrni” tra[ktori]); pry qkyx umovax tra[ktori] rozßyreno] DS, a ot-
Ωe, zhidno z oznaçennqmD3 i vyxidno] DS magt\ neporoΩni i, baΩano, kompaktni
ω-hranyçni mnoΩyny ? Avtomatyçno vidpovid\ ne oderΩymo, oskil\ky prostir
�([ , ], )0 1 I ne [ kompaktnym i, qk naslidok, prostir C I#([ , ], )0 1 — fazovyj
prostir rozßyreno] DS, takoΩ moΩe buty nekompaktnym. Qkwo mesD ( )f > 0 ,
to isnu[ pidmnoΩyna D D∗ ⊂( ) ( )f f ti[] Ω miry, wo i D ( )f , qka sklada[t\sq z
zamknenyx intervaliv, wo utvorggt\ cykly intervaliv
3
vidobraΩennq f, ta
invariantnyx kantorovyx mnoΩyn dodatno] miry (koΩen takyj cykl i koΩna
taka kantorova mnoΩyna mistqt\ skriz\ wil\nu orbitu vidobraΩennq f ) . Na
danyj ças moΩemo zaproponuvaty ßukani umovy u vypadku, koly D∗( )f sklada-
[t\sq lyße iz zamknenyx intervaliv.
Poznaçymo çerez MC pµ, pidmnoΩynu kuskovo-monotonnyx neperervnyx vi-
dobraΩen\ f I I: → takyx, wo vykonugt\sq (SIM)-umovy:
1) vidobraΩennq f [ synhulqrnym (vidnosno miry Lebeha), tobto
qkwo mes B = 0 , to mes f B− =1 0( ) ;
2) na σ-poli B isnu[ jmovirnisna hladka (tobto absolgtno neperervna vid-
nosno miry Lebeha) mira µ, qka [ invariantnog mirog vidobraΩennq f, tobto
µ( )I = 1; qkwo mes B = 0 , to µ( )B = 0 ; µ µ( )( ) ( )f B B− =1
;
3) nosij miry supp µ [ ob’[dnannqm zamknenyx intervaliv, napryklad, E0 ,
E1 , E2 , … , Ep - 1 , qki utvorggt\ (tranzytyvnyj) cykl intervaliv periodu p =
= p( )µ
4;
4) mira µ ekvivalentna miri Lebeha na svo[mu nosi], tobto
qkwo B∈supp µ , to µ ( )B = 0 todi i til\ky todi, koly mes B = 0 ;
5) vidobraΩennq f
p
[ jmovirnisno peremißugçym na koΩnomu z intervaliv
Ei
, i = 0, 1, … , p – 1, zokrema
µ µ µ( ( )) ( ) ( )B f B B Bpj
1 2 1 2∩ − → pry j → ∞ , B B Ei1 2, ⊂ ;
6) mes E∗ = 0 , de E
∗
— meΩa basejnu miry µ pry vidobraΩenni f, tobto
meΩa mnoΩyny
� f ( )µ =
i
p
j
j
if E
=
−
≥
−
0
1
0
∪ ∪ int ( ). (48)
Zvyçajno, vsi mnoΩyny, wo fihurugt\ v (SIM)-umovax, vvaΩagt\sq vymirnymy.
Poznaçennq (SIM) [ skoroçennqm vid „smooth invariant measure”. Pytannq, na-
skil\ky zahal\nymy [ (SIM)-umovy, my lyße pobiΩno torknemosq v kinci statti
(zauvaΩennqD2). Poky Ω vidmitymo, wo ci umovy vykonugt\sq [7], zokrema, koly
f — unimodal\ne C
3
-vidobraΩennq z nehatyvnym ßvarcianom (klas takyx vidob-
raΩen\ poznaçagt\ SU ), qke zadovol\nq[ spivvidnoßennq Kole – Ekmana
lim inf log ( )
k
k
k
d
dt
f c
→∞
1 > 0,
de c — toçka ekstremumu f.
3 Ob’[dnannq zamknenyx intervaliv J J J Ip0 1 1, , ,… ⊂− nazyvagt\ cyklom intervaliv vidobra-
Ωennq f periodu p, qkwo ci intervaly cykliçno perestavlqgt\sq vidobraΩennqm f i poparno
ne magt\ spil\nyx vnutrißnix toçok; qkwo Ω, okrim toho,
Jss
p
=
−
0
1∪ mistyt\ skriz\ wil\nu
orbitu vidobraΩennq f, to cykl intervaliv nazyvagt\ tranzytyvnym.
4 Komponenty nosiq miry µ — intervaly E E Ep0 1 1, , ,… − — moΩut\ ne buty komponentamy zv’qz-
nosti mnoΩyny supp µ, oskil\ky moΩlyvi sytuaci], koly deqki z cyx intervaliv magt\ spil\nu
meΩu.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 967
VidobraΩennq f moΩe, vzahali kaΩuçy, maty ne odnu hladku invariantnu mi-
ru, wo zadovol\nq[ (SIM)-umovy. Xarakterystyku struktury mnoΩyny takyx
mir da[ nastupne tverdΩennq.
TverdΩennq16. Nexaj dvi jmovirnisni miry µ1 i µ 2 , vyznaçeni na σ -poli
B, zadovol\nqgt\ (SIM)-umovy.
Qkwo supp supp1µ µ≠ 2 , to miry µ1 , µ2 vza[mno synhulqrni.
Qkwo supp supp1µ µ= 2 , to µ µ1 = 2 .
Dovedennq. Perße tverdΩennq [ oçevydnym, oskil\ky z umovy supp 1µ ≠
≠ supp µ2 vyplyva[, wo nosi] supp 1µ , supp µ2 ne magt\ spil\nyx vnutrißnix
toçok. Rozhlqnemo druhe tverdΩennq. Nexaj E — spil\nyj nosij mir µ1 , µ2 .
Todi µ µ1 2 0( ) ( )B B= = dlq bud\-qko] vymirno] mnoΩyny B I E⊂ \ . Z inßoho
boku, oskil\ky na E mira µ2 absolgtno neperervna vidnosno miry µ1 (rezul\tat
(SIM)-umovyD3), a mira µ 1 erhodyçna (rezul\tat (SIM)-umovyD4), to, qk vidomo
[8], µ µ1 2( ) ( )B B= dlq bud\-qko] vymirno] mnoΩyny B E⊂ . OtΩe5, µ1 = µ2 .
TverdΩennq dovedeno.
Poznaçymo çerez MC pµ,
∗
mnoΩynu tyx vidobraΩen\, qki zadovol\nqgt\ vsi z
(SIM)-umov, okrim ostann\o]. Navedemo spoçatku sprowenu teoremu pro ω-hra-
nyçni mnoΩyny — teoremuDS, qka dozvolq[ vidnosno lehko poqsnyty, çomu i qk
invariantna mira vidobraΩennq f vyznaça[ asymptotyçnu povedinku tra[ktorij
DS (4).
Teorema1S. Nexaj f MC∈ ∗
µ,1. Qkwo interval ϕ ([ , ])0 1 naleΩyt\ basejnu
miry µ, to ω -hranyçna mnoΩyna ω ϕ#[ ] tra[ktori] Sn[ ]ϕ dynamiçno]
systemy (4) sklada[t\sq z odni[] vypadkovo] funkci] i [ neruxomog toçkog
rozßyreno] dynamiçno] systemy (41). Toçniße,
ω ϕ ϕ#
#[ ] { }= f � , (49)
de f If
# : ( )� µ → — (stacionarnyj) vypadkovyj proces z vza[mno nezaleΩny-
my znaçennqmy, zadanyj svo[g funkci[g rozpodilu
F z x
f # ( , ) = µ µ( )Bz ∩ supp , Bz = ( , ]−∞ z J∩ . (50)
Pid kompozyci[g ζ ϕ� vypadkovo] ζ ta determinovano] ϕ funkcij rozumi[-
mo, qk zvyçajno, vypadkovu funkcig, zadanu svo]my skinçennovymirnymy funk-
ciqmy rozpodilu
F z z t t F z z t tr r r rζ ϕ ζ ϕ ϕ� ( , , , , , ) , , , ( ), , ( )( )1 1 1 1… … = … … . (51)
Nahada[mo, wo vypadkovyj proces Y ( w ) nazyva[t\sq procesom z (vza[mno)
nezaleΩnymy znaçennqmy, qkwo dlq bud\-qko] skinçenno] mnoΩyny w1 , w2 , … , wr
znaçennq Y ( w1 ) , Y ( w2 ) , … vza[mno nezaleΩni, i, otΩe, vsi skinçennovymirni
rozpodily procesu Y ( w ) odnoznaçno vyznaçagt\sq joho odnovymirnog funkci-
[g rozpodilu FY ( z, w ) . Tomu za umov teoremyDS funkciq f t# ( )� ϕ [ procesom z
nezaleΩnymy znaçennqmy z funkci[g rozpodilu
F z t
f # ( , )
�ϕ = µ ( )E Bz∩ , qka ne
zaleΩyt\ vid ϕ.
Dovedennq provodyt\sq u kil\ka etapiv, deqki z qkyx mistqt\ lemy. Za umov
teoremy supp µ sklada[t\sq z odni[] komponenty, qku poznaçymo E, pry c\omu
f E E− =1( ) .
I. Pobudova ω-hranyçno] mnoΩyny tra[ktori] Sn[ ]ϕ . Znajdemo vsi çastyn-
ni hranyci poslidovnosti funkcij S t f tn n[ ]( ) ( )ϕ ϕ= � u prostori C I#([ , ], )0 1 .
5 TverdΩennqD6 zalyßa[t\sq pravyl\nym, qkwo vid miry µ2 vymahaty lyße hladkosti j invari-
antnosti vidnosno f.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
968 O. G. ROMANENKO
Zhidno z (11) potribno doslidyty zbiΩnist\ poslidovnosti userednenyx funkcij
rozpodilu
F z t
f n �ϕ
ε ( , ) =
1
mes V t
f dB
n
V t
z
ε
χ ϕ τ τ
ε
( )
( ( ))
( )
�∫ ,
F z z t t
f r rn �ϕ
ε ( , , , , , )1 1… … = F z t
f s s
s
r
n �ϕ
ε ( , )
=
∏
1
;
nahada[mo, wo V tε( ) = ( , ) [ , ]t t− +ε ε ∩ 0 1 i Bz = ( , ]−∞ z J∩ .
A. Rozhlqnemo spoçatku odnovymirnu userednenu funkcig rozpodilu. }],
oçevydno, moΩna zapysaty u vyhlqdi
F z t
f n �ϕ
ε ( , ) = 1
mes V t
dG
V t
z
ε
χ ϕ τ τ
ε
( )
( ( ))
( )
∫ , Gz = f zn− −∞(( , )). (52)
Poklademo
µε
0
, ( )t B = 1
V t
dB
V tε
χ ϕ τ τ
ε
( )
( ( ))
( )
∫ , B ∈ B, (53)
i
µε
n
t B, ( ) = µε
0
, ( ( ))t nf B− , B ∈ B. (54)
MnoΩyna B ∈ B [ vymirnog (v sensi miry Lebeha), a funkciq mnoΩyny µε
0
,t , qk
nevaΩko perekonatys\, [ mirog nad borelevym polem B. Todi µε
n
t,
— zsuv miry
µε
n
t
−1
,
pid di[g vidobraΩennq f. Z inßoho boku, ma[mo
F z t
f n �ϕ
ε ( , ) = µε
n
t z, (( , ))−∞ . (55)
Takym çynom, pryxodymo do pytannq pro zbiΩnist\ poslidovnosti mir µε
n
t,
, n =
= 0, 1, … , zadanyx nad σ-polem B. Vidpovid\ na ce pytannq dagt\ try nastup-
ni lemy.
Lema13.
µε
n
t B, ( ) → µ ( B ) pry n → ∞ , B ∈ B. (56)
Dovedennq. Z (53) i (54) znaxodymo
µε
n
t B, ( ) = 1
mes V t
f dB
n
V tε
χ ϕ τ τ
ε
( )
( ( ))
( )
�∫ =
1 1
mes
mes
V t
V t f Bn
ε
ε ϕ
( )
( ) ( )∩ �− −( ).
(57)
Oskil\ky ϕ ( [ 0, 1 ] ) naleΩyt\ basejnu nosiq E miry µ, to znajdet\sq cile N >
> 0 take, wo
f
n � ϕ ([ , ])0 1 ⊂ E pry n > N .
OtΩe, µε
n
t B, ( ) = 0, qkwo B E∩ = ∅ i n > N . Tomu (57) nabyra[ vyhlqdu
µε
n
t B, ( ) =
1 1
mes
mes
V t
V t f B En
ε
ε ϕ
( )
( ) ( )∩ � ∩− −( ) pry n > N . (58)
Nexaj µ( )B = 0 , todi mes ( )B E∩ = 0 vnaslidok ekvivalentnosti miry µ miri
Lebeha na E = supp µ ; otΩe, mes ( )( )ϕ− − =1 0� ∩f B EN
vnaslidok invariant-
nosti µ ta nesynhulqrnosti ϕ; i nareßti, µε
N
t B, ( ) = 0 z ohlqdu na (58).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 969
Ostann[ oznaça[, wo mira µε
N
t,
[ absolgtno neperervnog vidnosno miry µ .
Oskil\ky miry µε
n
t,
pry n > N [ zsuvamy miry µε
N
t,
pid di[g avtomorfizmu
f E , a vidobraΩennq f [ peremißugçym, to moΩemo zastosuvaty vidomu teoremu
pro relaksacig [8], z qko] bezposeredn\o i vyplyva[ (56). Lemu dovedeno.
Lema14.
µε
n
t
zB, ( ) → µ ( Bz ) pry n → ∞ rivnomirno po ( , ) [ , ]z t J∈ × 0 1 . (59)
Dovedennq. Nahada[mo, wo Bz = ( , ]−∞ z J∩ . Oskil\ky spravedlyvist\ (59)
harantu[t\sq lemogD3, zalyßa[t\sq pokazaty, wo hranycq v (59) [ rivnomirnog
po ( , ) [ , ]z t J∈ × 0 1 . Vyberemo dovil\no male δ > 0.
1. Qk vidomo, z hladkosti miry µ vyplyva[ absolgtna neperervnist\, a otΩe,
i rivnomirna neperervnist\ funkci] F ( z ) = µ (( , ))−∞ z na intervali J. Todi zna-
jdet\sq σ = σ ( δ ) > 0 take, wo
F z F z( ) ( )− ′ < δ / 2, (60)
qk til\ky z z− ′ ≤ σ . Vyxodqçy z c\oho, fiksu[mo na J skinçennu mnoΩynu
toçok
z a= , z a1 = + σ , z a2 2= + σ , … , z bk = , [ , ]a b I= .
Vyberemo bud\-qke z ∈ J i poznaçymo çerez [ , ]z zi i−1 interval, u qkyj potrap-
lq[ toçka z (qkwo takyx intervaliv dva, to vyberemo bud\-qkyj z nyx). Todi, po-
klavßy F zn n
t( ) ,= µε , pry fiksovanyx ε > 0 i t ∈ [ 0, 1 ] otryma[mo
1) F z F z F zn i n n i( ) ( ) ( )− ≤ ≤1 .
Do toho Ω z (60) ta lemyD3 vyplyvagt\ taki spivvidnoßennq:
2) F z F zi( ) ( ) /− − <1 2δ , F z F zi( ) ( ) /− < δ 2;
3) isnu[ nomer N = N ( δ ), dlq qkoho
F z F zn j j( ) ( )− < δ / 2, 0 ≤ j ≤ k,
qk til\ky n > N .
OtΩe, pry n > N ( δ ) oderΩymo
F z F zn( ) ( )− ≤ F z F zn i( ) ( )− ≤ ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))F z F z F z F zn i i i− + − < δ,
F z F zn( ) ( )− ≥ F z F zn i( ) ( )− −1 ≥ – δ.
Takym çynom, F z F zn( ) ( )− < δ pry n > N ( δ ) i bud\-qkomu z ∈ J. Zvidsy vy-
plyva[, wo poslidovnist\ µε
n
t
zB, ( ) zbiha[t\sq do µ ( )Bz rivnomirno po z (tut my
skorystalysq we rivnistg µ µ(( , )) ( )−∞ =z Bz , qka vyplyva[ z (SIM)-umov).
2. Teper pokaΩemo, wo hranycq v (56) [ rivnomirnog za sukupnistg paramet-
riv ( z, t ) . Oskil\ky V t V tε( ) ( )= 1 pry ε ≥ 1, moΩemo vvaΩaty ε ≤ 1. Z perßo]
rivnosti v (57) vyvodymo, wo dlq bud\-qkoho nomera n > 0 i koΩnoho B∈B
µ µε ε
n
t
n
tB B, ,( ) ( )− ′ ≤ t t− ′
ε
pry t t− ′ < 2ε ,
i, otΩe,
µ µε ε
n
t
n
tB B, ,( ) ( )− ′ ≤ δ
2
pry t t− ′ ≤ εδ / 2 . (61)
Vyxodqçy z c\oho, fiksu[mo na [ 0, 1 ] skinçennu kil\kist\ toçok:
t0 0= , t1 2
= εδ , t2 2
2
= εδ , … , ts = 1. (62)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
970 O. G. ROMANENKO
Iz spivvidnoßennq (59) i joho rivnomirnosti po z ∈ J vyplyva[ isnuvannq N =
= N ( ε, δ ) > 0 takoho, wo
µ µε
n
t
z z
j B B
,
( ) ( )− < δ
2
, 0 ≤ j ≤ s, z ∈ J, pry n > N . (63)
Vyberemo dovil\no ( , ) [ , ]z t J∈ × 0 1 i z mnoΩyny (62) toçku ti , najblyΩçu
do t . Todi z (61) i (63) otryma[mo
µ µε
n
t
z zB B, ( ) ( )− ≤ µ µε ε
n
t
z n
t
zB Bi, ,( ) ( )− + µ µε
n
t
z z
i B B, ( ) ( )− < δ, n > N ( ε, δ ) ,
wo i zaverßu[ dovedennq lemy.
Lema15.
µ µε ε
n
t
z n
t
zB B1 2, ,( ) ( )− < δ, qkwo 1 <
ε
ε
2
1
< 1
2
+ δ . (64)
Dovedennq. Vyberemo dovil\ne δ > 0 i bud\-qki ε1 > 0, ε2 > 0, pov’qzani
spivvidnoßennqm ε1 < ε2 < ε1( 1 + δ / 2 ) . Z (57) vyvodymo
µε
n
t B2, ( ) ≥
ε
ε
µε1
2
1
n
t B, ( ) > 2
2
1+ δ µε
n
t B, ( ) > µ δε
n
t B1, ( ) −
i
µε
n
t B2, ( ) ≤ µ ε ε
ε
ε
n
t B1 2 2 1
1
, ( )
( )+ −
< µ δε
n
t B1, ( ) + ,
zvidky bezposeredn\o vyplyva[ (64). ZauvaΩymo, wo poslidovnist\ nerivnostej u
perßij z cyx ocinok navedeno dlq vypadku, koly mes mesV t V tε ε ε
1 2
2( ) ( )= =
(nahada[mo, wo V t t tε ε ε( ) ( , ) [ , ]= − + ∩ 0 1 ); v inßyx vypadkax ostatoçnu ocinku
µ µ δε ε
n
t
n
tB B2 1, ,( ) ( )> − oderΩu[mo z analohiçnyx mirkuvan\ (qki ne navodymo,
wob ne obtqΩuvaty vykladky).
Lemu dovedeno.
Povernemos\ do dovedennq teoremyDS. Z lem D3 ta 4 vyplyva[, wo
F z t
f n �ϕ
ε ( , ) → µ ( Bz ) pry n → ∞ rivnomirno po ( , ) [ , ]z t J∈ × 0 1 . (65)
Teper moΩna pokazaty, wo poslidovnist\ f
n � ϕ ma[ hranycg u prostori
C I#([ , ], )0 1 i ci[g hranyceg [ vypadkova funkciq f
# � ϕ .
Vyberemo dovil\no male δ > 0 i poklademo
δ δ∗ = / 4 , ε δ0 = ∗, ε δ δ1 1= +∗ ∗( ), ε δ δ2
21= +∗ ∗( ) , … , εk = 1.
Zhidno z (65) isnu[ nomer N∗( )δ takyj, wo
F z t B
f zn
i
�ϕ
ε µ( , ) ( )− < δ∗ pry n N> ∗( )δ . (66)
Viz\memo dovil\ne ε δ> ∗. Qkwo ε > 1, to
F z t F z t
f fn n� �ϕ
ε
ϕ( , ) ( , )= 1 , i, otΩe,
dostatn\o rozhlqnuty ε ≤ 1. Todi ε popade v odyn z intervaliv ( εi – 1, εi ] , i =
= 0, 1, … , k . Nexaj ce bude interval ( εk – 1 , εk ] i todi ε ε δk / /< +1 4. Vnasli-
dok (66) i lemyD6 ma[mo
F z t B
f zn �ϕ
ε µ( , ) ( )− ≤
≤ F z t F z t F z t B
f f f zn n
k
n
k
� � �ϕ
ε
ϕ
ε
ϕ
ε µ( , ) ( , ) ( , ) ( )− + − < 2δ∗ pry n N> ∗( )δ .
(67)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 971
Oskil\ky, za oznaçennqm,
F z t B
f z
k
# ( , ) ( )
�ϕ
ε µ= , to (67) moΩemo zapysaty u vy-
hlqdi
F z t F z t
f fn � �ϕ
ε
ϕ
ε( , ) ( , )#− < δ
2
pry ε δ≥
4
, n N> ∗( )δ . (68)
B. Perejdemo do r-vymirnyx userednenyx funkcij rozpodilu
F z z t t
f r rn �ϕ
ε ( , , , , , )1 1… … =
s
r
f s sF z tn
=
∏
1
�ϕ
ε ( , ) .
Z (68) vyvodymo
F r z t F r z t
f fn � �ϕ
ε
ϕ
ε( ; , ) ( ; , )#− < 2
2
r δ pry ε δ>
4
, n N> ∗( )δ . (69)
Nahada[mo, wo prostir C I#([ , ], )0 1 nadileno metrykog ρ ρ# #= +2 1m , i zauva-
Ωymo, wo ocinky (68) i (69) [ rivnomirnymy po ( , ) [ , ]z t Jr r∈ × 0 1 . Tomu v (11), de
a m= +2 1, vyraz pid znakom sumy ne perevywu[ ( ) ( )/ / /2 2 2 1
1
a mr
r
δ δ≥∑ = −
pry ε δ> / 4 i n N> ∗( )δ . OtΩe, vyraz pid znakom min pry koΩnomu ε > 0 (i
bud\-qkomu cilomu m ≥ 1 ) [ menßym za δ , qk til\ky n N> ∗( )δ . Ce oznaça[,
wo
lim ,# #( )
n
nf f
→∞
→ρ ϕ ϕ� � 0 pry n → ∞ . (70)
Takym çynom, ω ϕ ϕ#
#[ ] { }= f � .
II. Vlastyvosti mnoΩyny ω ϕ#[ ]. Pry p = 1 mnoΩyna ω ϕ#[ ] sklada[t\sq
z odni[] „toçky” — vypadkovoho procesu f
# � ϕ . Peresvidçymos\, wo cq „toçka”
[ neruxomog toçkog rozßyreno] DS (41), tobto pokaΩemo, wo
F r z t
f f� �# ( ; , )ϕ =
F r z t
f # ( ; , )
�ϕ
ε , r = 1, 2, … . (71)
Oskil\ky dlq bud\-qkoho ciloho r ≥ 1 ma[mo
F z z t t
f r r# ( , , , , , )
�ϕ 1 1… … = F z z t t
f r r# ( , , , ( ), , ( ))1 1… …ϕ ϕ =
s
r
f s sF z t
=
∏
1
# ( , ( ))ϕ ,
to
F t t z z
f r r# ( , , , , , )
�ϕ 1 1… … =
s
r
sB z
=
∏
1
µ ( ( )),
zvidky, zokrema, vyplyva[, wo f
# � ϕ [ vypadkovym procesom z nezaleΩnymy
znaçennqmy. Beruçy do uvahy invariantnist\ miry µ, vyvodymo
F z z t t
f f r r� �# ( , , , , , )ϕ 1 1… … = F
f z z rf B f B t t
r# ( )( ), , ( ), , ,
�ϕ
− −… …1 1
11
=
=
s
r
zf B
s
=
−∏
1
1µ( )( ) =
s
r
zB
s
=
∏
1
µ ( ) =
F z z t t
f r r# ( , , , , , )
�ϕ 1 1… … ,
tobto (71) vykonu[t\sq.
Teoremu dovedeno.
Perejdemo do zahal\noho vypadku, qkyj opysu[t\sq nastupnog teoremog.
Teorema1G. Nexaj f MC p∈ µ, . Qkwo interval ϕ ([ , ])0 1 naleΩyt\ zamy-
kanng basejnu � f ( )µ miry µ , t o ω-hranyçna mnoΩyna ω ϕ#[ ] tra[ktori]
Sn[ ]ϕ dynamiçno] systemy (4) sklada[t\sq z vypadkovyx funkcij i [ cyklom
periodu p rozßyreno] dynamiçno] systemy (41). Toçniße,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
972 O. G. ROMANENKO
ω ϕ#[ ] = f f f f fp# # #, , ,� � � � �ϕ ϕ ϕ…{ }−1 , (72)
de f If
# : ( )� µ → — vypadkovyj proces z nezaleΩnymy znaçennqmy, zadanyj
svo[g funkci[g rozpodilu
F z x
f # ( , ) = p B Ez iµ ( )∩ pry
x f Ejp
i
j
∈ −
≥
int ( )
0
∪ , 0 ≤ i ≤ p – 1, (73)
E E Ep0 1 1, , ,… − — komponenty nosiq miry µ .
ZauvaΩymo, wo v umovax teoremyDG koΩna funkciq ζ ω ϕk ∈ #[ ] [ vypadko-
vym procesom z nezaleΩnymy znaçennqmy z funkci[g rozpodilu
F z t p B E
k z i k pζ µ( , ) ( )( ) mod= +∩ pry
t f Ejp
i
j
∈
− −
≥
ϕ 1
0
int ( )∪ , 0 ≤ i ≤ p ,
(74)
i, otΩe, vypadkovi funkci] ζk t( ) vyznaçeno pry vsix t z [ , ]0 1 za vynqtkom nul\-
mnoΩyny G E∗
−
∗= ϕ 1( ). Zaznaçymo, wo (74) vyplyva[ z rivnostej
F z t
kζ
( , ) = p f B Ek
z iµ( )( )− ∩ ,
µ( )( ) modE Bi k p z+ ∩ = µ( )( ) ( ) modf B Ek
z i k p
−
+∩ = µ( )( )f B Ek
z i
− ∩ ,
perßa z qkyx [ naslidkom (51) i (42), a druha — naslidkom invariantnosti miry µ .
Dovedennq. Nosij miry µ sklada[t\sq z p komponent E E Ep0 1 1, , ,… − , pry-
çomu µ ( ) /E pi = 1 (qk vyplyva[ z normovanosti j invariantnosti µ ) . Tomu vido-
braΩennq g f p= ma[ p normovanyx invariantnyx (vza[mno synhulqrnyx) mir
µ µi iB p B E( ) ( )= ∩ , B ∈ B, i = 0, 1, … , p – 1, (75)
i pry c\omu sup µi iE= . Miry µ i zadovol\nqgt\ (SIM)-umovy i, otΩe,
g MC
ii
p∈ =
−
µ ,10
1∪ .
1. Navedemo spoçatku dovedennq (z ohlqdu na joho prostotu) dlq vypadku,
koly ϕ µ([ , ]) ( )0 1 ⊂ � f . Oskil\ky
� f ( )µ = �g i
i
p
( )µ
=
−
0
1
∪ i � �g i g j( ) ( )µ µ∩ = ∅, i j≠ , (76)
to interval ϕ ([ , ])0 1 naleΩyt\ odnomu z basejniv � � �g g g p( ), ( ), , ( )µ µ µ1 2 1… − ,
napryklad �g k( )µ . Tomu za teoremogDS
ρ ϕ ϕ# #( ),g gn
k� � → 0 pry n → ∞ , (77)
de g Ik g k
# : ( )� µ → — vypadkovyj proces z nezaleΩnymy znaçennqmy z funkci-
[g rozpodilu
F z x p B E
g k z k
k
# ( , ) ( )= µ ∩ , Bz = ( , ]−∞ z J∩ . (78)
Vyznaçymo vypadkovu funkcig f If
# : ( )� µ → takym çynom:
f w g wi
# #( ) ( )= , w g i∈� ( )µ , i = 0, 1, … , p – 1. (79)
Z ohlqdu na (76) ce vyznaçennq [ korektnym: z n\oho vyplyva[, wo f #
— vypad-
kovyj proces z nezaleΩnymy znaçennqmy z funkci[g rozpodilu (73). Todi z (77),
(79) i lemyD3 ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 973
ρ ϕ ϕ# #( ),f f f fi np i� � � � → 0 pry n → ∞ , i = 0, 1, … , p – 1, (80)
wo ekvivalentno (72).
2. Rozhlqnemo zahal\nyj vypadok, koly ϕ µ([ , ]) ( )0 1 ⊂ � f . Interval
ϕ ([ , ])0 1 rozbyva[t\sq toçkamy nul\-mnoΩyny G E∗
−
∗= ϕ 1( ) na p vidkrytyx
pidmnoΩyn Ci f ip= −ϕ µ1( ( ))� , i = 0, 2, … , p – 1 (deqki z nyx moΩut\ vyqvytys\
poroΩnimy). KoΩna mnoΩyna Ci , u svog çerhu, sklada[t\sq z ne bil\ße niΩ
zliçennoho çysla vidkrytyx intervaliv C f Eij
jp
i= − −ϕ 1(int ), j = 0, 1, … , pry-
çomu
lim
s
ij
j s
G
→∞ ≥
∑ mes = 0. (81)
Dlq bud\-qko] funkci] ζ ∈�([ , ], )0 1 I i dovil\no] mnoΩyny G ⊂ [ , ]0 1 pokla-
demo
〈 〉ζ( )t G =
ζ( ) ,t t G
t G
pry
pry
∈
∉
0
i pokaΩemo, wo
lim ,# #( )
n
np
G Gf f
i i→∞
〈 〉 〈 〉ρ ϕ ϕ� � = 0 (82)
( qkwo G = ∅ pryjmemo ρ ϕ ϕ# #( ),〈 〉 〈 〉 =f fnp
G G� � 0) . Dlq c\oho, digçy za
sxemog dovedennq teoremyDS, ma[mo doslidyty zbiΩnist\ pry n → ∞ posli-
dovnosti userednenyx funkcij rozpodilu
F z t
f
i
np �ϕ
ε, ( , ) = 1
mes V t
f di B
np
V t
z
iε
χ ϕ τ τ
ε
( )
( ( ( )))
( )
∫ ,
( , )z t JG Gi i∈ × , V t V t Gi
iε ε( ) ( )= ∩ . (83)
Poklavßy
V tij
ε ( ) = V t Gijε( ) ∩ i F z t
f
ij
np �ϕ
ε, ( , ) = 1
mes V t
f dij B
np
V t
z
ijε
χ ϕ τ τ
ε
( )
( ( (( )))
( )
∫ ,
funkcig (83) zapyßemo u vyhlqdi
F z t
f
i
np �ϕ
ε, ( , ) =
1
0mes
mes
V t
V t F z ti
ij
f
ij
j
np
ε
ε ϕ
ε
( )
( ) ( , ),
�
≥
∑ . (84)
Pry V tij
ε ( ) ≠ ∅ tak samo, qk i pry dovedenni teoremyDS, dovodyt\sq, wo
lim ( , ),
n f
ijF z tnp
→∞ �ϕ
ε = µi z iB E( )∩ (85)
rivnomirno po ( , )z t J Gi∈ × , nezaleΩno vid j. Zvidsy vyplyva[, wo
lim ( , ),
n f
iF z tnp
→∞ �ϕ
ε = µi z iB E( )∩ (86)
rivnomirno po ( , )z t J Gi∈ × . Spravdi, oskil\ky
mes mesV t V ti ij
j
ε ε( ) ( )=
≥
∑
0
,
to, qkwo suma u pravij çastyni (84) [ skinçennog dlq deqko] poçatkovo] funkci]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
974 O. G. ROMANENKO
ϕ ( t ) , z (85) bezposeredn\o oderΩu[mo (86). V inßomu vypadku krim (85) viz\memo
do uvahy spivvidnoßennq
lim
s
ij
j s
V
→∞ ≥
∑ mes ε = 0, (87)
qke [ naslidkom (81). Todi dlq bud\-qkoho δ > 0 znajdut\sq cili s s∗ ∗= >( )δ 0
i n n s∗ ∗ ∗= >( , )δ 0 taki, wo
1
mes
mes
V t
V ti
ij
j sε
ε( )
( )
≥ ∗
∑ < δ
4
i
F z t B E
f
ij
i z inp �
∩
ϕ
ε µ, ( , ) ( )− < δ
2
s∗
pry n n> ∗. OtΩe,
F z t B E
f
i
i z inp �
∩
ϕ
ε µ, ( , ) ( )− ≤ 1
0mes
mes
V t
V t F z t B Ei
ij
j
f
ij
i z inp
ε
ε ϕ
ε µ
( )
( ) ( , ) ( ),
≥
∑ −
�
∩ ≤
≤
2
0
1
mes
mes
V t
V t F z t B Ei
ij
j s j
j s
f
ij
i z inp
ε
ε ϕ
ε µ
( )
( ) ( , ) ( ),
≥ =
= −
∗
∗
∑ ∑+ −
�
∩ < δ,
wo i dovodyt\ (86). Za tymy samymy mirkuvannqmy, wo i pry dovedenni teore-
myDS, z (86) vyvodymo (82).
Vyxodqçy z oznaçennq metryky ρ# , ma[mo
ρ ϕ ϕ# #( ),f fnp � � ≤
i
p
np
G Gf f
i i
=
−
∑ 〈 〉 〈 〉
0
1
ρ ϕ ϕ# #( ),� � . (88)
Z (88), (82) i lemyD3 vyplyva[ rivnist\
lim ,# #( )
n
i np if f f f
→∞
ρ ϕ ϕ� � � � = 0,
z qko] otrymu[mo (72). Perevirka toho, wo funkci] f fi � �# ϕ , i = 0, 1, … , p – 1,
utvorggt\ cykl DS (41), vykonu[t\sq tak samo, qk u teoremiDS.
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq 1. Qkwo f MC p∈ µ, , to poçatkovi funkci] ϕ ( t ) , dlq qkyx
ϕ µ([ , ]) ( )0 1 ⊂ � f , budemo nazyvaty µ-dopustymymy. Z teoremyDG vyplyva[, wo
pry p > 1 riznym µ-dopustymym poçatkovym funkciqm vidpovidagt\, vzahali
kaΩuçy, rizni ω-hranyçni mnoΩyny. Qkwo Ω p = 1, to ma[mo protyleΩnu sy-
tuacig: tra[ktori] vsix µ-dopustymyx poçatkovyx funkcij magt\ odnu j tu sa-
mu ω-hranyçnu mnoΩynu. Napryklad, vidobraΩennq
h x x x: ( )→ −4 1 , x ∈ [ 0, 1 ] , (89)
naleΩyt\ do klasu MCµ∗,1, de µ
π∗ =
−
( )
( )
dw dw
w w1
, w ∈[ , ]0 1 , i, otΩe,
�h( ) ( , )µ∗ = 0 1 . Todi za teoremog S dlq DS (4), de f h= , vsi tra[ktori] pry-
tqhugt\sq (u metryci ρ#
) do neruxomo] toçky { }#ζ rozßyreno] DS (41), de ζ#
— vypadkovyj proces z nezaleΩnymy znaçennqmy z funkci[g rozpodilu
F t zζ∗
( , ) = 1
1
0
π
z
dw
w w∫ −( )
= 2
π
arcsin z , t ∈ [ 0, 1 ] , z ∈ [ 0, 1 ] .
ZauvaΩennq 2. Qvywe avtostoxastyçnosti v rozhlqduvanyx dynamiçnyx
systemax (a otΩe, i u vidpovidnyx riznycevyx rivnqnnqx z neperervnym çasom) ne
[ çymos\ ekzotyçnym, oskil\ky (SIM)-umovy magt\ dosyt\ zahal\nyj xarakter, u
vsqkomu razi, v klasi unimodal\nyx vidobraΩen\. Nexaj unimodal\ne vidobra-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
QVYWE AVTOSTOXASTYÇNOSTI V DYNAMIÇNYX SYSTEMAX … 975
Ωennq f zaleΩyt\ hladkym çynom vid deqkoho parametra, napryklad, λ ∈[ , ]a b .
Todi zamist\ f pyßemo fλ . Vyxodqçy z robit [9 – 11], moΩna pokazaty, wo dlq
doslidΩenyx tam ßyrokyx klasiv vidobraΩen\ fλ (zokrema, iz zhadanoho vywe
klasu SU ) mnoΩyna
λ µλ λ λ µλ λ∈ ∃ > ∈{ }[ , ] : , ,a b p f MC pmira i cile taki wo0
matyme dodatnu miru Lebeha. Todi avtostoxastyçnist\ u DS (4) bude fizyçno re-
alizovna — matyme misce na mnoΩyni parametriv dodatno] miry.
ZauvaΩennq 3. V [1] dlq DS (4) v qkosti rozßyrenoho fazovoho prostoru
vykorystano prostir napivneperervnyx zverxu funkcij z metrykog Xausdorfa
dlq hrafikiv i za okreslenog u vstupi sxemog pobudovano ω-hranyçni mnoΩyny
tra[ktorij S f n[ ]ϕ ϕ= � . U vypadku, koly f MC p∈ µ, i ϕ µ([ , ]) ( )0 1 ⊂ � f , ci
ω-hranyçni mnoΩyny skladagt\sq z funkcij, qki koΩnomu t ∈[ , ]0 1 stavlqt\ u
vidpovidnist\ pevnyj (zamknenyj) interval, wo vyznaça[ lyße oblast\ moΩly-
vyx (dopustymyx) znaçen\ funkci] f tn � ϕ ( ) pry velykyx znaçennqx n. Vodno-
ças vykorystannq rozßyrenoho fazovoho prostoru � z metrykog ρ#
dozvolq[
oderΩaty znaçno bil\ßu informacig pro povedinku funkci] f tn � ϕ ( ), koly
n → ∞ , a same, ne til\ky vidßukaty interval dopustymyx znaçen\ funkci], ale i
vkazaty (za dopomohog tverdΩennqD2) rozpodil imovirnostej na c\omu intervali.
1. Sharkovsky A. N., Maistrenko Yu. L., Romanenko E. Yu. Difference equations and their
applications // Ser. Math. and its Appl. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993. – Vol. 250. – 358 p.
2. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. Ideal turbulence; attractors of deterministic systems may lie
in the space of random fields // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 1992. – 2, # 1. – P. 31 – 36.
3. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. From one dimensional to infinite dimensional dynamical
systems: Ideal turbulence // Ukr. Math. J. – 1996. – 48, # 12. – P. 1817 – 1842.
4. Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N. Self-stochasticity in dynamical systems as a scenario for de-
terministic spatio-temporal chaos // Chaos and Nonlinear Mech. Ser. B. – 1995. – 4. – P. 172 – 181.
5. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. Difference equations and dynamical systems generated by
some classes of boundary-value problems // Proc. Steklov Inst. Math. – 2004. – 244. – P. 264 – 279.
6. Natanson Y. P. Teoryq funkcyj vewestvennoj peremennoj. – M.: Myr, 1974. – 480Ds.
7. Keller G., Nowicki T. Spectral theory, zeta functions and the distribution of periodic points for
Collet – Eckmann maps. – Preprint, 1991.
8. Kornfel\d Y. P., Synaj Q. T., Fomyn S. V. ∏rhodyçeskaq teoryq. – M.: Nauka, 1980. – 384Ds.
9. Jakobson M. V. Absolutely continuous invariant measure for one-parameter families of one-
dimensional maps // Communs Math. Phys. – 1981. – 81. – P. 39 – 88.
10. Lyubich M. Almost any real quadratic map is either regular or stochastic // Ann. Math . – 2002. –
156. – P. 1 – 78.
11. Avila A., Lyubich M., de Melo W. Regular or stochastic dynamics in real analytic families of
unimodal maps // Invent. math. – 2003. – 154. – P. 451 – 550.
OderΩano 12.10.2005,
pislq doopracgvannq — 02.03.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3507 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:51Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/90/01964222a1ffdd4bbaede7f78c61d590.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35072020-03-18T19:56:18Z Self-stochasticity phenomenon in dynamical systems generated by difference equations with continuous argument Явище автостохастичності в динамічних системах, породжуваних різницевими рівняннями з неперервним аргументом Romanenko, O. Yu. Романенко, О. Ю. For dynamical systems generated by the difference equations x(t+1) = f(x(t)) with continuous time (f is a continuous mapping of an interval onto itself), we present a mathematical substantiation of the self-stochasticity phenomenon, according to which an attractor of a deterministic system contains random functions. Для динамічних систем, породжуваних різницевими рівняннями з неперервним часом $x(t + 1) = f (x(t))$ ($f$— неперервне відображення інтервалу у себе), наведено математичне обґрунтування явища автостохастичності, яке полягає у тому, що атрактор детермінованої системи містить випадкові функції. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3507 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 7 (2006); 954–975 Український математичний журнал; Том 58 № 7 (2006); 954–975 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3507/3751 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3507/3752 Copyright (c) 2006 Romanenko O. Yu. |
| spellingShingle | Romanenko, O. Yu. Романенко, О. Ю. Self-stochasticity phenomenon in dynamical systems generated by difference equations with continuous argument |
| title | Self-stochasticity phenomenon in dynamical systems generated by difference equations with continuous argument |
| title_alt | Явище автостохастичності в динамічних системах, породжуваних різницевими рівняннями з неперервним аргументом |
| title_full | Self-stochasticity phenomenon in dynamical systems generated by difference equations with continuous argument |
| title_fullStr | Self-stochasticity phenomenon in dynamical systems generated by difference equations with continuous argument |
| title_full_unstemmed | Self-stochasticity phenomenon in dynamical systems generated by difference equations with continuous argument |
| title_short | Self-stochasticity phenomenon in dynamical systems generated by difference equations with continuous argument |
| title_sort | self-stochasticity phenomenon in dynamical systems generated by difference equations with continuous argument |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3507 |
| work_keys_str_mv | AT romanenkooyu selfstochasticityphenomenonindynamicalsystemsgeneratedbydifferenceequationswithcontinuousargument AT romanenkooû selfstochasticityphenomenonindynamicalsystemsgeneratedbydifferenceequationswithcontinuousargument AT romanenkooyu âviŝeavtostohastičnostívdinamíčnihsistemahporodžuvanihríznicevimirívnânnâmizneperervnimargumentom AT romanenkooû âviŝeavtostohastičnostívdinamíčnihsistemahporodžuvanihríznicevimirívnânnâmizneperervnimargumentom |