Groups with weak maximality condition for nonnilpotent subgroups
A group $G$ satisfies the weak maximality condition for nonnilpotent subgroups or, shortly, the condition Wmax-(non-nil), if $G$does not possess the infinite ascending chains $\{H_n | n \in N\}$ of nonnilpotent subgroups such that the indexes $|H_{n+i} :\; H_n |$ are infinite for all $n \in N$. In...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3514 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509618539593728 |
|---|---|
| author | Kurdachenko, L. A. Semko, N. N. Курдаченко, Л. А. Семко, Н. Н. Курдаченко, Л. А. Семко, Н. Н. |
| author_facet | Kurdachenko, L. A. Semko, N. N. Курдаченко, Л. А. Семко, Н. Н. Курдаченко, Л. А. Семко, Н. Н. |
| author_sort | Kurdachenko, L. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:35Z |
| description | A group $G$ satisfies the weak maximality condition for nonnilpotent subgroups or, shortly, the condition Wmax-(non-nil),
if $G$does not possess the infinite ascending chains $\{H_n | n \in N\}$ of nonnilpotent subgroups such that the indexes $|H_{n+i} :\; H_n |$ are infinite for all $n \in N$.
In the present paper, we study the structure of hypercentral groups satisfying the weak maximality condition for nonnilpotent subgroups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:43:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
Л. А. Курдаченко (Днепропетр. нац. ун-т),
Н. Н. Семко (Нац. ун-т ГНС Украины, Ирпень)
ГРУППЫ СО СЛАБЫМ УСЛОВИЕМ МАКСИМАЛЬНОСТИ
ДЛЯ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ПОДГРУПП
A group G satisfies the weak maximality condition for nonnilpotent subgroups or, shortly, the condition
Wmax-(non-nil), if G does not possess the infinite ascending chains {Hn | n ∈ N} of nonnilpotent
subgroups such that the indexes |Hn+1 : Hn| are infinite for all n ∈ N. In the present paper, we study
the structure of hypercentral groups satisfying the weak maximality condition for nonnilpotent subgroups.
Група G задовольняє слабку умову максимальностi для ненiльпотентних пiдгруп або, скорочено,
умову Wmax-(non-nil), якщо G не має таких нескiнченних зростаючих ланцюжкiв {Hn | n ∈ N}
ненiльпотентних пiдгруп, що iндекси |Hn+1 : Hn| є нескiнченними для кожного n ∈ N. У данiй
роботi вивчається будова гiперцентральних груп, якi задовольняють слабку умову максимальностi
для ненiльпотентних пiдгруп.
Пусть Lnon-nil(G) — семейство всех ненильпотентных подгрупп группы G. Изу-
чение групп, в которых семейство Lnon-nil(G) „очень мало” в некотором смысле,
началось со ставшей уже классической работы О. Ю. Шмидта [1], где были изу-
чены конечные группы, все собственные подгруппы которых нильпотентны (т. е.
{G} = Lnon-nil(G)). Если G — бесконечная группа, все собственные подгруппы ко-
торой нильпотентны, то G либо конечно порождена, либо локально нильпотентна.
Впервые бесконечные группы такого рода рассматривали М. Ньюмэн и Дж. Уай-
голд [2]. Отметим, что примеры бесконечных конечнопорожденных групп, все
собственные подгруппы которых абелевы, построенные А. Ю. Ольшанским [3]
(§ 28), показывают, что изучение бесконечных конечнопорожденных групп, все
собственные подгруппы которых нильпотентны, пока не очень возможно. Имеется
также серия примеров бесконечнопорожденных групп, все собственные подгруппы
которых нильпотентны [4 – 8], однако до полного изучения таких групп также дале-
ко. Строение разрешимых групп с этим свойством в общих чертах дано Х. Смитом
[9], который получил первые результаты о группах, в которых семейство Lnon-nil(G)
удовлетворяет условиям максимальности и минимальности, а также слабым усло-
виям максимальности и минимальности. Напомним общее определение слабых
условий минимальности и максимальности. Пусть M — некоторая система под-
групп группы G. Будем говорить, что M удовлетворяет слабому условию макси-
мальности (соответственно минимальности) или группа G удовлетворяет слабому
условию максимальности для M -подгрупп или, короче, Wmax-M (соответственно
слабому условию минимальности для M -подгрупп или, короче, Wmin-M), если
G не имеет таких бесконечных возрастающих (соответственно убывающих) це-
почек {Hn | n ∈ N} подгрупп из системы M, что индексы |Hn+1 : Hn| (соот-
ветственно |Hn : Hn+1|) бесконечны для каждого n ∈ N. Если M — система всех
ненильпотентных групп, то получаем группы со слабым условием максимальнос-
ти (соответственно минимальности) для ненильпотентных подгрупп или, короче,
группы с условием Wmax-(non-nil) (соответственно Wmin-(non-nil). Понятия сла-
бых условий минимальности и максимальности были введены Д. И. Зайцевым
[10], Р. Бэром [11] и эффективно использовались в различных исследованиях (см.,
c© Л. А. КУРДАЧЕНКО, Н. Н. СЕМКО, 2006
1068 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
ГРУППЫ СО СЛАБЫМ УСЛОВИЕМ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ... 1069
например, обзоры [12, 13]). Последующее после работы Х. Смита достаточно де-
тальное изучение групп, в которых семейство Lnon-nil(G) удовлетворяет условию
максимальности, проводилось в работах М. Диксона и Л. А. Курдаченко [14, 15],
а группы, в которых семейство Lnon-nil(G) удовлетворяет условию минимальности,
продолжали изучать М. Диксон, М. Эванс и Х. Смит [16]. Далее, в работе [17]
М. Диксон, М. Эванс и Х. Смит изучали группы, в которых семейство Lnon-nil(G)
удовлетворяет слабому условию максимальности. Двойственное слабое условие
максимальности для ненильпотентных подгрупп рассматривали Л. А. Курдаченко,
П. Шумяцкий, И. Я. Субботин [18]. В настоящей работе продолжается изучение та-
ких групп. Более точно, настоящая работа посвящена изучению гиперцентральных
групп, удовлетворяющих слабому условию максимальности для ненильпотентных
подгрупп.
Отметим сначала некоторые элементарные свойства групп, удовлетворяющих
условию Wmax-(non-nil).
Лемма 1. Пусть G — группа, удовлетворяющая условию Wmax-(non-nil).
1. Если H — подгруппа G, то H также удовлетворяет условию Wmax-(non-nil).
2. Если H — нормальная подгруппа G, то фактор-группа G/H также удовлет-
воряет условию Wmax-(non-nil).
3. Если U, V — подгруппы G, причем U нормальна в V, то секция V/U также
удовлетворяет условию Wmax-(non-nil).
Лемма 2. Пусть G — группа, удовлетворяющая условию Wmax-(non-nil).
Пусть, далее, U — ненильпотентная подгруппа G и M — семейство подгрупп,
включающих в себя U. Тогда M удовлетворяет условию Wmax (слабому условию
максимальности для подгрупп). Если V — такая подгруппа G, что U нормальна в
V, то секция V/U удовлетворяет условию Wmax. В частности, если V локально
почти разрешима, то V/U минимаксна и почти разрешима.
В самом деле, локально почти разрешимая группа, удовлетворяющая слабо-
му условию максимальности, минимаксна и почти разрешима согласно теореме
Д. И. Зайцева [19].
Лемма 3. Пусть G — группа, удовлетворяющая условию Wmax-(non-nil).
Если H, U, V — подгруппы G, причем U нормальна в V, H
⋂
V = 〈1〉, а подгруппа
HU ненильпотентна, то секция V/U удовлетворяет условию Wmax-H (слабому
условию максимальности для H-инвариантных подгрупп).
Следующая лемма, доказанная в работе [20] (лемма 3), будет использована в
дальнейшем.
Лемма 4. Пусть G — гиперцентральная группа, A — ее абелева нормальная
p-подгруппа, p — простое число. Если фактор-группа G/CG(A) не включает в
себя подгрупп индекса p, то A ≤ ζ(G).
Если G — группа, то через GF будем обозначать пересечение всех подгрупп
конечного индекса — конечный резидуал группы G. Если G — локально нильпотент-
ная группа, удовлетворяющая условию Wmax-(non-nil), то GF — периодическая
подгруппа, а фактор-группа G/GF минимаксна, нильпотентна и имеет конечную
периодическую часть [18] (теорема 1.2).
Лемма 5. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil), A — ее нормальная элементарная абелева p-подгруппа для некото-
рого простого числа p. Если фактор-группа G/CG(A) бесконечна и минимаксна,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1070 Л. А. КУРДАЧЕНКО, Н. Н. СЕМКО
то ее периодическая часть конечна. В частности, G/CG(A) нильпотентна и
почти без кручения.
Доказательство. Пусть T/CG(A) — периодическая часть фактор-группы
G/CG(A) и допустим, что она бесконечна. Тогда ее делимая часть D/CG(A) нее-
динична. С другой стороны, из леммы 4 видно, что D ≤ CG(A). Таким образом,
T/CG(A) конечна. Из леммы 3 работы [19 ] получаем, что G/CG(A) включает в
себя нормальную подгруппу без кручения конечного индекса. Остается напомнить,
что минимаксная локально нильпотентная группа без кручения нильпотентна.
Приведем некоторые понятия теории модулей, которые понадобятся в даль-
нейшем.
Пусть D — дедекиндова область. Положим
Spec(D) =
{
P | P — максимальный идеал D
}
.
Если I — идеал D, то положим
AI = {a ∈ A | aIn = 〈0〉 для некоторого n ∈ N}.
Легко видеть, что AI — D-подмодуль A. AI называют I-компонентой A. Если
A совпадает со своей I-компонентой, то будем говорить, что A — I-модуль над
кольцом D. Далее, пусть
ΩI,n(A) = {a ∈ A | aIn = 〈0〉}.
Нетрудно убедиться в том, что ΩI,n(A) — D-подмодуль и ΩI,n(A) ≤ ΩI,n+1(A),
n ∈ N, так что
⋃
n∈N ΩI,n(A) = AI .
Положим AssD(A) = {P ∈ Spec(D) | AP 6= 〈0〉}. Тогда tD(A) = ⊕P∈πAP , где
π = AssD(A) (см., например, [21]).
Пусть D — дедекиндова область, C — простой D-модуль. Тогда C ∼= R/P
для некоторого P ∈ Spec(D). Обозначим D-инъективную оболочку C через CP∞.
Модуль CP∞ называется прюферовым P -модулем. Как и в теории абелевых групп,
можно показать, что
CP∞ ∼= lim
−→
{D/Pn | n ∈ N}.
По построению CP∞ — P -модуль, причем ΩP,k(CP∞) ∼= D/P k и
ΩP,k+1(CP∞)/ΩP,k(CP∞) ∼= (D/P k+1)/(P/P k+1) ∼= D/P
для любого k ∈ N. Следовательно, если C — собственный D-подмодуль CP∞,
то найдется такое число k ∈ N, что C = ΩP,k(CP∞). В самом деле, если b /∈
/∈ ΩP,k(CP∞), то C = bD. Отметим также, что прюферов P -модуль CP∞ моно-
литичен и его монолит совпадает с ΩP,1(CP∞).
Пусть 0 6= x ∈ D. Модуль A называется x-делимым, если A = Ax. Если A —
x-делим для каждого 0 6= x ∈ D, то A называется D-делимым.
Отметим, что прюферов P -модуль является D-делимым (см., например, [22],
лемма 5.1). Как и в теории абелевых групп, можно показать, что если P ∈
∈ Spec(D), A — D-делимый модуль, совпадающий со своей P -компонентой, то
A = ⊕λ∈ΛAλ, где Aλ — прюферов P -модуль для любого λ ∈ Λ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
ГРУППЫ СО СЛАБЫМ УСЛОВИЕМ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ... 1071
Пусть P ∈ Spec(J) и A = Ap. Подмодуль B называется базисным подмодулем
модуля A, если он удовлетворяет следующим условиям:
B1) B = ⊕λ∈ΛCλ, где Cλ — циклический D-подмодуль, λ ∈ Λ;
B2) BPn = (APn)
⋂
B для любого n ∈ N;
B3) фактор-модуль A/B — делим.
Как и в теории абелевых групп, можно показать, что каждый P -модуль вклю-
чает в себя базисный подмодуль.
Предложение 1. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая
условию Wmax-(non-nil), A — ее нормальная элементарная абелева p-подгруппа для
некоторого простого числа p. Пусть, далее, фактор-группа G/CG(A) бесконечна
и минимаксна и xCG(A) — элемент бесконечного порядка из центра этой фактор-
группы. Будем рассматривать A как D-модуль, где D = Fp〈x〉 — групповая
алгебра бесконечной циклической группы 〈x〉 над простым полем Fp. Тогда для D-
модуля A имеем разложение A = E1 ⊕ . . . En ⊕B, где Ej , 1 ≤ j ≤ n, — прюферов
(x− 1)D-модуль, B — конечный D-подмодуль.
Доказательство. Пусть 1 6= a ∈ A, F = 〈a, x〉. Поскольку G гиперцентраль-
на, то подгруппа F нильпотентна. Из элементарных свойств нильпотентных групп
получаем ζ(F ) ∩ A = ζ(F ) ∩ (F ∩ A) 6= 〈1〉. Другими словами, CA(x) 6= 〈1〉.
Если рассматривать A как D-модуль, то в приведенных выше обозначениях бу-
дем иметь ΩP,1(A) 6= 〈0〉, где P = (x − 1)D (как обычно, используя модульный
язык, будем использовать аддитивную запись). Более того, нетрудно убедиться в
том, что A — P -модуль над кольцом D. Обозначим через B базисный подмодуль
A. Имеем B = ⊕λ∈ΛCλ, где Cλ, λ ∈ Λ, — циклический D-подмодуль. Далее,
AnnD(Cλ) = Pnλ для некоторого nλ ∈ N. Положим Ξ = {nλ | λ ∈ Λ} и предпо-
ложим, что множество Ξ бесконечно. Пусть n1 ∈ Ξ. Выберем числа n2, n3 ∈ Ξ
так, чтобы n1 < n2 < n3. Выберем во множестве Λ такие индексы λ(j), что
AnnD(Cλ(j)) = Pnj, 1 ≤ j ≤ 3. Аналогично, использовав бесконечность множест-
ва Ξ, можно выбрать индексы λ(j) ∈ Λ, j ∈ N, так, чтобы AnnD(Cλ(j)) = Pnj,
j ∈ N, и n1 < n2 < . . . < nk < . . . . Положим B1 = ⊕λk∈NCλ(2k+1), тогда,
очевидно, подгруппа 〈B1, x〉 ненильпотентна. Из леммы 3 получаем, что B/B1
удовлетворяет слабому условию максимальности для 〈x〉-инвариантных подгрупп.
С другой стороны, из выбора B1 следует, что B/B1 — прямое произведение бе-
сконечного множества 〈x〉-инвариантных подгрупп. Нетрудно видеть, что в этом
случае B/B1 не может удовлетворять слабому условию максимальности для 〈x〉-
инвариантных подгрупп. Полученное противоречие показывает, что множество Ξ
конечно. Другими словами, AnnD(B) = P t для некоторого натурального числа
t. Используя аналог теоремы Куликова об ограниченных сервантных подгруппах,
справедливый для модулей над дедекиндовыми областями, получаем разложение
A = B ⊕E, где E ∼= A/B — D-делимый подмодуль. Будучи делимым P -модулем,
E включает в себя прюферов P -подмодуль E1. Из определения следует, что под-
группа 〈E1, x〉 ненильпотентна. Тогда из леммы 3 получаем, что A/E1 удовлетво-
ряет слабому условию максимальности для 〈x〉-инвариантных подгрупп. Положим
L/E1 = ΩP,1(A/E1), тогда L/E1 — прямая сумма простых D-модулей. Нетрудно
убедиться в том, что число прямых слагаемых в этом разложении должно быть
конечным. Отсюда следует, что A/E1 — артинов D-модуль (см., например, [22],
лемма 5.6). Поскольку E1 — артинов D-подмодуль, весь модуль A будет артино-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1072 Л. А. КУРДАЧЕНКО, Н. Н. СЕМКО
вым над D. Утверждение леммы вытекает теперь из теоремы о строении артиновых
модулей над дедекиндовыми областями (см., например, [22], теорема 5.7).
Следствие 1. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая усло-
вию Wmax-(non-nil), A — ее нормальная элементарная абелева p-подгруппа для
некоторого простого числа p. Если фактор-группа G/CG(A) бесконечна и мини-
максна, то она почти абелева.
Доказательство. Пусть xCG(A) — элемент бесконечного порядка из центра
этой фактор-группы G/CG(A). Существование такого элемента вытекает из лем-
мы 5. Будем рассматривать A как D-модуль, где D = Fp〈x〉 — групповая алгебра
бесконечной циклической группы 〈x〉 над простым полем Fp. Тогда из предложе-
ния 2 получаем разложение A = E1⊕ . . .⊕En⊕B, где Ej , 1 ≤ j ≤ n, — прюферов
(x−1)D-модуль, B — конечный D-подмодуль. Поскольку xCG(A) ∈ ζ
(
G/CG(A)
)
и E = E1⊕ . . .⊕En — D-делимая часть A, то E — G-инвариантная подгруппа. По
той же причине и B = ΩP,1(A) также G-инвариантна, где P = (x−1)D. Из конеч-
ности B следует конечность фактор-группы G/CG(B). Поскольку A = E + B, то
CG(A) = CG(B) ∩CG(E). Обозначим через R кольцо эндоморфизмов прюферова
P -модуля, тогда G/CG(A) изоморфна подгруппе GLn(R). Поскольку R — область
целостности [23], то для R существует поле частных F и char F = p. Из леммы 5
вытекает нильпотентность H = G/CG(A). Согласно теореме А. И. Мальцева (см.,
например, [24], теорема 3.6) H включает в себя такую нормальную подгруппу S
конечного индекса, что g−1Sg ≤ Tn(F1) для некоторого конечного расширения F1
поля F и некоторого элемента g ∈ GLn(F1). Положим U = (g−1Sg) ∩ UTn(F1),
V = gUg−1, тогда V нормальна в S. Поскольку char F1 = char F = p, то UTn(F1)
— ограниченная нильпотентная p-подгруппа. Далее,
Tn(F1)/UTn(F1) ∼= U(F1)× . . .× U(F1),
а потому S является расширением ограниченной p-подгруппы с помощью абелевой
группы. Принимая во внимание лемму 5, получаем, что G/CG(A) почти абелева.
Следствие 2. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая усло-
вию Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого прос-
того числа p. Пусть, далее, фактор-группа G/CG
(
Ω1(A)
)
бесконечна и минимакс-
на и xCG
(
Ω1(A)
)
— элемент бесконечного порядка из центра этой фактор-группы.
Будем рассматривать A как Z〈x〉-модуль. Тогда A имеет конечный ряд таких
Z〈x〉-модулей
〈0〉 = A0 ≤ A1 ≤ . . . ≤ An ≤ An+1 = A,
что Aj+1/Aj — элементарная абелева p-подгруппа (т. е. Aj+1/Aj — Fp〈x〉-модуль)
и Aj+1/Aj , 0 ≤ j ≤ n− 1, — прюферов (x− 1)Fp〈x〉-модуль, A/An — черниковская
группа.
Доказательство. Из предложения 1 следует, что Fp〈x〉-модуль Ω1(A) вклю-
чает в себя прюферов (x − 1)Fp〈x〉-подмодуль A1. Из определения прюферова
модуля получаем, что подгруппа 〈A1, x〉 ненильпотентна. Согласно лемме 3 A/A1
удовлетворяет слабому условию максимальности для 〈x〉-инвариантных подгрупп.
Положим B/A1 = Ω1(A/A1). Если B/A1 конечна, то A/A1 черниковская, и все
доказано. Поэтому предположим, что B/A1 бесконечна. Если допустить, что
xk ∈ CG(B/A1) для некоторого k ∈ N, то в этом случае нетрудно получить, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
ГРУППЫ СО СЛАБЫМ УСЛОВИЕМ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ... 1073
B/A1 включает в себя прямое произведение бесконечного множества конечных
〈x〉-инвариантных подгрупп. Однако тогда B/A1 не может удовлетворять усло-
вию Wmax-〈x〉. Полученное противоречие показывает, что xn 6∈ CG(B/A1) для
любого n ∈ N. Из леммы 1 и предложения 1 получаем, что Fp〈x〉-модуль B/A1
включает в себя прюферов (x−1)Fp〈x〉-подмодуль A2/A1. Используя аналогичные
рассуждения и принимая во внимание тот факт, что A/A1 удовлетворяет условию
Wmax-〈x〉, через конечное число шагов построим указанный ряд.
Пусть A — бесконечная абелева группа, G ≤ Aut(A). Будем говорить, что A
G-квазиконечна, если любая собственная G-инвариантная подгруппа A конечна.
Лемма 6. Пусть G — группа, A, B — ее нормальные подгруппы, причем
выполняются следующие условия:
1) B ≤ A и A абелева;
2) G/CG(A) нильпотентна;
3) центр группы G включает в себя B;
4) A/B G-квазиконечна и A/B = [A/B,G].
Тогда A включает в себя такую G-инвариантную подгруппу D, что D = [D,G],
D G-квазиконечна, A = BD и B
⋂
D конечна.
Это утверждение доказывается дословным повторением доказательства лем-
мы 4.14 из работы [14].
Следствие 1. Пусть G — группа, A — ее нормальная черниковская делимая
подгруппа. Если никакой гиперцентр G, имеющий конечный номер, не включает
в себя A, то A включает в себя такую G-инвариантную подгруппу D, что D =
= [D,G] и D G-квазиконечна.
Доказательство. Поскольку A — черниковская группа, то она имеет конечный
ряд G-инвариантных подгрупп
〈1〉 = B0 ≤ B1 ≤ . . . ≤ Bm+1 = B,
каждый фактор которого G-квазиконечен. В частности, для любого j, 0 ≤ j ≤
≤ m − 1, либо [Bj+1/Bj , G] = Bj+1/Bj , либо [Bj+1/Bj , G] конечна. Пусть t —
наименьший номер, для которого фактор [Bt+1/Bt, G] = Bt+1/Bt. Тогда остается
применить достаточное число раз лемму 9 к подгруппе Bt+1.
Следствие 2. Пусть G — группа A, B — ее нормальные подгруппы, причем
выполняются следующие условия:
1) B ≤ A;
2) G/CG(A) нильпотентна;
3) центр группы G включает в себя B;
4) A/B G-квазиконечна, делима и A/B = [A/B,G].
Тогда A включает в себя такую G-инвариантную делимую подгруппу D, что
D = [D,G], D G-квазиконечна, A = BD и B
⋂
D конечна.
Доказательство. Поскольку A/B делима, нетрудно получить, что A абелева.
Теперь можно применить лемму 9.
Следствие 3. Пусть G — группа, A, B — ее нормальные подгруппы, причем
выполняются следующие условия:
1) B ≤ A;
2) G/CG(A) нильпотентна;
3) гиперцентр группы G с натуральным номером включает в себя B;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1074 Л. А. КУРДАЧЕНКО, Н. Н. СЕМКО
4) A/B G-квазиконечна, делима и A/B = [A/B,G].
Тогда A включает в себя такую G-инвариантную делимую подгруппу D, что
D = [D,G], D G-квазиконечна, A = BD и B
⋂
D конечна.
Следствие 4. Пусть G — группа, A, B — ее нормальные подгруппы, причем
выполняются следующие условия:
1) B ≤ A;
2) G/B гиперцентральна;
3) гиперцентр группы G включает в себя B;
4) A/B G-квазиконечна, элементарная абелева и A/B = [A/B,G].
Тогда A включает в себя такую G-инвариантную элементарную абелеву подгруппу
D, что D = [D,G], D G-квазиконечна, A = BD и B
⋂
D конечна.
Доказательство. Покажем, что A абелева, тогда утверждение будет вытекать
из леммы 9. Предположим, что A неабелева, A 6= C = ζ(A). Пусть C 6= aC ∈
∈ ζ(G/C)
⋂
A/C. Рассмотрим отображение φ : A → A, φ(x) = [a, x], x ∈ A. Для
любых x, y ∈ A имеем φ(xy) = [a, xy] = [a, y][a, x]y = [a, x][a, y] = φ(x)φ(y), так
что φ — эндоморфизм A. Если g ∈ G, x ∈ A, то ag = ac, где c ∈ C и
φ(x)g = [a, x]g = [ag, xg] = [ac, xg] = [a, xg]c[c, xg] = [a, xg] = φ(xg).
Другими словами, φ — G-эндоморфизм. Это означает, что подгруппы Im φ и Kerφ
G-инвариантны. Имеем D = Im φ ∼= A/Ker φ, и, поскольку C ≤ Kerφ, D — G-
инвариантная элементарная абелева подгруппа A. Более того, D G-квазиконечна.
Отсюда получаем, что B
⋂
D конечна. Но тогда BD/B бесконечна, а значит,
BD/B = A/B или A = BD. Поскольку D абелева, а B ≤ ζ(G), то A абелева.
Следствие 5. Пусть G — группа, A, B — ее нормальные подгруппы, причем
выполняются следующие условия:
1) B ≤ A;
2) G/B гиперцентральна;
3) гиперцентр группы G с натуральным номером включает в себя B;
4) A/B G-квазиконечна, элементарная абелева и A/B = [A/B,G].
Тогда A включает в себя такую G-инвариантную элементарную абелеву подгруппу
D, что D = [D,G], D G-квазиконечна, A = BD и B
⋂
D конечна.
Лемма 7. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого простого
числа p, g — элемент группы G. Пусть, далее, A0 = A, An+1 = [An, g], n ∈ N.
Тогда найдется такой номер m, что Am+1 = Am.
Доказательство. Предположим противное, т. е. An+1 6= An при любом n ∈ N.
Положим Aω =
⋂
n∈N An. Поскольку последующие рассмотрения будут прово-
диться в фактор-группе A/Aω, то без ограничения общности можно допустить,
что Aω = 〈1〉.
Пусть 1 6= d1 ∈ A, D1 = 〈d1〉〈g〉. Так как группа G локально нильпотентна,
подгруппа 〈g, d1〉 конечно порождена и нильпотентна. В частности, ее периодичес-
кая часть конечна. Далее, так как она включает в себя D1, то D1 конечна. Те-
перь из равенства
⋂
n∈N An = 〈1〉 следует существование такого номера m(1), что
D1
⋂
Am(1) = 〈1〉. Из нильпотентности подгруппы 〈g, d1〉 = 〈g,D1〉 получаем су-
ществование такого натурального числа c(1), что [D1, g, . . . , g] = [D1, c(1), g] = 〈1〉.
Если допустить, что существует натуральное число r, для которого [Am(1),r, g] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
ГРУППЫ СО СЛАБЫМ УСЛОВИЕМ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ... 1075
= 〈1〉, то Am(1)+r = 〈1〉. Однако это противоречит условию. Следовательно, най-
дутся элемент 1 6= d2 ∈ Am(1) и номер c(2) > c(1) такие, что [d2,c(2), g] = 1,
но [d2,c(2)−1, g] 6= 1. Положим D2 = 〈d2〉〈g〉. Тогда D2 конечна, а из включения
D2 ≤ Am(1) следует равенство D1
⋂
D2 = 〈1〉. Подгруппа D1D2 конечна, поэтому
найдется такой номер m(2), что D1D2
⋂
Am(2) = 〈1〉. Использовав аналогичные
рассуждения, построим бесконечное семейство конечных 〈g〉-инвариантных под-
групп {Dn | n ∈ N} и бесконечное семейство натуральных чисел {c(n) | n ∈
∈ N}, которые удовлетворяют следующим условиям: 〈Dn | n ∈ N〉 = Xn∈NDn;
[Dn,c(n) , g] = 〈1〉, но [Dn,c(n)−1 , g] 6= 〈1〉; c(k) < c(j) при k < j. В частности, под-
группа 〈g,Dn | n ∈ N〉 не может быть нильпотентной. С другой стороны, в силу
следствия 2.8 из работы [18] подгруппа 〈g,Dn | n ∈ N〉 нильпотентна. Полученное
противоречие и доказывает лемму.
Лемма 8. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого простого
числа p, g — элемент бесконечного порядка группы G. Если A = [A, g] и индекс∣∣G : CG
(
Ω1(A)
)∣∣ конечен, то подгруппа CA(g) не может включать в себя делимых
подгрупп.
Доказательство. Поскольку
∣∣G : CG
(
Ω1(A)
)∣∣ конечен, то 〈x,Ω1(A)〉 нильпо-
тентна для любого x ∈ G (см., например, [20], лемма 6.34). Пусть D — делимая
подгруппа CA(g) = C1. Из равенства A = [A, g] следует, что отображение φ :
a → [a, g], a ∈ A, является эпиморфизмом с ядром C1. Положим D = D1. Пусть
теперь D2 — полный прообраз D1 относительно φ, и, вообще, Dn+1 — полный про-
образ Dn относительно φ при любом n ≥ 2. В частности, D2/D1
∼= D1, поэтому и
D2 делима. С помощью простой индукции убеждаемся, что Dn делима при любом
n ∈ N. Из элементарных свойств делимых подгрупп (см., например, [21], теоре-
ма 21.2) получаем разложение D2 = D1 × K2, где подгруппа K2 также делима.
Тогда из равенства D1 = [D2, g] находим D1 = [K2, g]. Если d1 ∈ Ω1(D1), то най-
дется элемент d2 ∈ K2 со свойством d1 = [d2, g]. Предположим, что dp
2 6= 1. Тогда
1 = dp
1 = [d2, g]p = [dp
2, g]. Другими словами, 1 6= dp
2 ∈ CA(g)
⋂
D2 = D1. Однако
Dp
2 ∈ K2. Полученное противоречие показывает, что |d2| = p. С помощью аналоги-
чных рассуждений можно выбрать бесконечное семейство элементов {dn | n ∈ N},
удовлетворяющих следующим условиям: 〈dn | n ∈ N〉 = Xn∈N〈dn〉, |dn| = p,
1 = [d1, g], dn = [dn+1, g], n ∈ N. Но, очевидно, 〈g, dn | n ∈ N〉 ≤ 〈Ω1(A), g〉
не является нильпотентной. Полученное противоречие завершает доказательство
леммы.
Следствие 1. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая усло-
вию Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого прос-
того числа p, g — элемент бесконечного порядка группы G, A — ее нормальная
абелева p-подгруппа для некоторого простого числа p, g — элемент бесконечно-
го порядка группы G. Если A = [A, g] и индекс
∣∣G : CG
(
Ω1(A)
)∣∣ конечен, то
подгруппа CA(g) ограничена.
Доказательство. Предположим противное, т. е. C = CA(g) не является огра-
ниченной. Обозначим через B ее базисную подгруппу. Если B 6= C, то C/B
— делимая группа. Поскольку B ≤ CA(g), то B — 〈g〉-инвариантна. Тогда из
доказательства леммы 6 следует, что Ω1(A/B) включает в себя такую подгруппу
D/B = 〈dnB | n ∈ N〉, что [d1B, g] = 1, dnB = [dn+1B, g], n ∈ N. В частности,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1076 Л. А. КУРДАЧЕНКО, Н. Н. СЕМКО
D/B — 〈g〉-квазиконечна. Из леммы 6 получаем, что D включает в себя элемен-
тарную абелеву 〈g〉-квазиконечную подгруппу E. В частности, подгруппа 〈g,E〉
ненильпотентна, что противоречит условию. Таким образом, B = C. Поскольку
C не является ограниченной, она включает в себя подгруппу L = Xn∈N〈cn〉, где
|cn| = pn, n ∈ N. Положим U =
〈
cn(cn+1)−p | n ∈ N
〉
, тогда L/U — квазицикли-
ческая p-группа. Итак, снова приходим к рассмотренному выше случаю.
Полученное противоречие показывает, что CA(g) — ограниченная подгруппа.
Следствие 2. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая усло-
вию Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого прос-
того числа p, g — элемент бесконечного порядка группы G. Предположим так-
же, что A = [A, g] и индекс
∣∣G : CG
(
Ω1(A)
)∣∣ конечен. Если B — такая 〈g〉-
инвариантная подгруппа, что 〈B, g〉 нильпотентна, то B ограничена.
Доказательство. Пусть
〈1〉 = C0 ≤ C1 ≤ . . . ≤ Cn ≤ Cn+1 ≤ . . . ≤ Cω = A
— верхний 〈g〉-центральный ряд A. Из равенства A = [A, g] следует, что Cn =
= [Cn+1, g] при любом n ∈ N и Cn+1/C1
∼= Cn, n ∈ N. Теперь из следствия 1
леммы 8 получаем, что Cn — ограниченная подгруппа при любом n ∈ N. Пусть
〈1〉 = B0 ≤ B1 ≤ . . . ≤ Bm = B
— верхний 〈g〉-центральный ряд B. Очевидно, Bn ≤ Cn при любом n ∈ N, в
частности B = Bm ≤ Cm. Это и показывает, что B — ограниченная подгруппа.
Лемма 9. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil). Если G ненильпотентна и периодическая, то она черниковская.
Доказательство. Допустим, что G не является черниковской. Предположим
сначала, что для любого простого числа p ∈ Π(G) силовская p-подгруппа G являет-
ся нильпотентной. Из этого допущения следует, что множество Π(G) бесконечно и
ступени нильпотентности силовских p-подгрупп G не ограничены. В этом случае
найдется такое бесконечное подмножество {pn | n ∈ N} ⊆ Π(G), что силовская pn-
подгруппа G включает в себя конечную подгруппу Kn, ступень нильпотентности
которой не меньше n для любого n ∈ N. Положим D = Xn∈NKn. Выберем во
множестве N такую бесконечную возрастающую цепочку подмножеств
∆(1) ⊂ ∆(2) ⊂ . . .∆(k) ⊂ . . . ,
что ∆(k + 1)\∆(k) бесконечно при любом k ∈ N. Пусть Dk = Xn∈∆(k)Kn, k ∈ N.
Тогда получаем бесконечную строго возрастающую цепочку
D1 ≤ D2 ≤ . . . ≤ Dk ≤ . . .
таких ненильпотентных подгрупп, что Dk+1/Dk бесконечна при любом k ∈ N.
Однако это противоречит тому факту, что G удовлетворяет условию Wmax-(non-nil).
Полученное противоречие показывает, что найдется p ∈ Π(G) такое, что силовская
p-подгруппа P группы G ненильпотентна. Пусть R — конечный резидуал G. Из
теоремы 2.2 работы [9] следует, что фактор-группа P/(P
⋂
R) конечна. Тогда из
леммы 2 получаем, что G/P черниковская, а это, в свою очередь, влечет конечность
фактор-группы G/R. В этом случае R не включает в себя собственных подгрупп
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
ГРУППЫ СО СЛАБЫМ УСЛОВИЕМ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ... 1077
конечного индекса. Будучи гиперцентральной, R, согласно теореме С. Н. Черни-
кова (см., например, [20], теорема 9.24), является делимой абелевой группой, а
потому разлагается в прямое произведение квазициклических подгрупп (см., на-
пример, [21], теорема 23.1). Из принятого допущения следует, что R не является
черниковской. Пусть F — конечная подгруппа со свойством G = FR. Пересече-
ние F
⋂
R конечно, а потому входит в конечную G-инвариантную подгруппу S
из R. Но тогда R/S не является черниковской. Не ограничивая общности, можно
допустить, что F
⋂
R = 〈1〉. Пусть x — произвольный элемент R. Выберем в R
квазициклическую подгруппу C, содержащую x, и положим L = CG. Из конечнос-
ти G/R следует, что L черниковская. Если допустить, что LF ненильпотентна,
то из леммы 3 вытекает, что R/L удовлетворяет условию Wmax-F. Конечность F
влечет, что R/L, а значит, и R, будет черниковской, что противоречит допущению.
Итак, LF нильпотентна. Но тогда L ≤ ζ(LF ) (см., например, [22], теорема 3.14),
т. е. x ∈ ζ(G). Другими словами, R ≤ ζ(G). В частности, G нильпотентна. Это
противоречие показывает, что G черниковская.
Следствие. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil). Если G ненильпотентна и неминимаксна, то ее периодическая
часть T нильпотентна.
Доказательство. Предположим, что T ненильпотентна. Тогда и вся группа G
ненильпотентна, и, как только что было отмечено, в этом случае G/T минимаксна.
Из леммы 9 получаем, что T является черниковской. Другими словами, вся группа
G минимаксна. Полученное противоречие показывает, что T нильпотентна.
Лемма 10. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого простого
числа p, g — элемент группы G. Если A = [A, g] и gm ∈ CG(A) для некоторого
натурального m, то A — черниковская подгруппа.
Доказательство. Поскольку A = [A, g], то 〈A, g〉 ненильпотентна. Положим
〈x〉 = 〈gm〉, тогда x ∈ ζ(〈g,A〉) и 〈g,A〉/〈x〉 периодическая. Осталось применить
леммы 1 и 9.
Лемма 11. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого простого
числа p, g — элемент бесконечного порядка группы G. Если A = [A, g] и индекс∣∣G : CG
(
Ω1(A)
)∣∣ конечен, то A — черниковская подгруппа.
Доказательство. Предположим, что A не является черниковской подгруппой.
Это означает, что подгруппа Ω1(A) бесконечна. Положим C1 = CA(g). В силу
следствия 1 леммы 8 C1 — ограниченная подгруппа. Пусть 1 6= d1 ∈ Ω1(A). Най-
дется элемент b1 ∈ A со свойством [b1, g] = d1. Поскольку группа G локально
нильпотентна, подгруппа 〈g, b1〉 конечно порождена и нильпотентна. В частности,
ее периодическая часть D1 конечна. Обозначим через B1 максимальную подгруппу
C1, для которой B1
⋂
D1 = 〈1〉. Из конечности D1 и ограниченности C1 следует,
что C1/B1 конечна. Очевидно, что подгруппа B1 〈g〉-инвариантна. Обозначим
через M 〈g〉-инвариантную подгруппу A, максимальную по свойствам B1 ≤ M и
M
⋂
D1 = 〈1〉. Положим C2/M = CA/M (g). Если X/M — неединичная подгруп-
па C2/M, то включение [C2, g] ≤ M влечет [X, g] ≤ M ≤ X, которое означает,
что X 〈g〉-инвариантна. Вследствие выбора M каждая неединичная подгруппа
C2/M имеет неединичное пересечение с D1. Поэтому, будучи ограниченной в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1078 Л. А. КУРДАЧЕНКО, Н. Н. СЕМКО
силу следствия 2 леммы 8, C2/M конечна. Пусть теперь E/M = Ω1(A/M).
Если gn централизует E/M для некоторого n ∈ N, то из конечности C2/M не-
трудно получить, что E/M конечна. В этом случае A/M будет черниковской
группой. Предположим теперь, что gn 6∈ CG(E/M) при любом n ∈ N. Из след-
ствия 2 предложения 1 получаем, что A/M включает в себя 〈g〉-инвариантную
ограниченную подгруппу S/M, для которой A/S — делимая черниковская груп-
па. Предположим, что 〈M, g〉 нильпотентна. Из следствия 2 леммы 8 получаем,
что M — ограниченная подгруппа и, в частности, S ограничена. Но тогда абе-
лева подгруппа A включает в себя делимую черниковскую подгруппу Q, причем
A = QS. Очевидно, Q 〈g〉-инвариантна. Поскольку индекс
∣∣G : CG
(
Ω1(A)
)∣∣
конечен, то
〈
Ω1(A), g
〉
нильпотентна (см., например, [25], лемма 6.34). Отсюда
нетрудно получить нильпотентность
〈
Ωn(A), g
〉
при любом n ∈ N. Из того факта,
что S ограничена, следует существование такого m ∈ N, что S ≤ Ωm(A). Но тог-
да и подгруппа 〈S, g〉 нильпотентна. В свою очередь это влечет нильпотентность
〈A/Q, gQ〉. Учитывая равенство A = [A, g], отсюда получаем включение S ≤ Q,
которое свидетельствует о том, что A — черниковская подгруппа. Полученное
противоречие показывает, что 〈M, g〉 ненильпотентна. Тогда в подгруппе M най-
дется элемент b2 такой, что [b2, g] 6= 1, но [b2, g, g] = 1. С помощью приводимых
выше аргументов найдем такую 〈g〉-инвариантную подгруппу B2, что 〈B2, g〉 не-
нильпотентна и B2
⋂
D1D2 = 〈1〉, где D2 = 〈b2〉〈g〉. Использовав аналогичные
рассуждения, построим такое бесконечное семейство конечных 〈g〉-инвариантных
подгрупп {Dn | n ∈ N}, что 〈Dn | n ∈ N〉 = Xn∈NDn; [Dn,n , g] = 〈1〉, но
[Dn,n−1, g] 6= 〈1〉, n ∈ N. В частности, подгруппа 〈g,Dn | n ∈ N〉 не может быть
нильпотентной. С другой стороны, в силу следствия 2.8 из работы [18] подгруппа
〈g,Dn | n ∈ N〉 нильпотентна. Полученное противоречие и доказывает лемму.
Следствие. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого простого
числа p, g — элемент группы G. Если gm ∈ CG
(
Ω1(A)
)
для некоторого натураль-
ного m, то либо A — черниковская подгруппа, либо 〈A, g〉 нильпотентна.
Доказательство. Пусть A0 = A, An+1 = [An, g], n ∈ N. В силу леммы 7
найдется номер m такой, что D = Am+1 = Am. В частности, D = [D, g]. Если
D = 〈1〉, то 〈A, g〉 нильпотентна. Предположим теперь, что D 6= 〈1〉. Из лемм 10,
11 получаем, что D — черниковская подгруппа. Предположим, что A не является
черниковской. Это означает, что подгруппа Ω1(A) бесконечна. Из элементарных
свойств делимых подгрупп (см., например, [26], теорема 21.2) получаем разложе-
ние A = C × D. Отсюда вытекает равенство Ω1(A) = Ω1(C) × Ω1(D), которое
вследствие конечности
∣∣G : CG
(
Ω1(A)
)∣∣ влечет конечность
∣∣G : CG
(
Ω1(A/D)
)∣∣.
Учитывая бесконечность Ω1(A/D), получаем, что Ω1(A/D) не может удовлетво-
рять условию Wmax-〈g〉. С другой стороны, равенство D = [D, g] показывает, что
〈D, g〉 ненильпотентна. Но тогда, в силу леммы 3, A/D удовлетворяет условию
Wmax-〈g〉. Полученное противоречие и доказывает следствие.
Лемма 12. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого простого
числа p. Предположим, что A ≤ ζ(T ), где T — периодическая часть группы
G. Если 〈A, g〉 нильпотентна для любого g ∈ G, то некоторый гиперцентр G,
имеющий конечный номер, включает в себя A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
ГРУППЫ СО СЛАБЫМ УСЛОВИЕМ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ... 1079
Доказательство. Если вся группа G нильпотентна, то доказывать нечего. По-
этому будем предполагать, что G ненильпотентна. Тогда из теоремы 1.2 работы [18]
вытекает, что G/T нильпотентна и минимаксна. Из леммы 4.4 работы [18] следует,
что G/T включает в себя конечнопорожденную подгруппу F/T, которая соедине-
на с G/T конечным субнормальным рядом, факторы которого делимы и перио-
дические. Пусть K — конечнопорожденная подгруппа G со свойством F = KT.
Тогда из условия получаем, что 〈A,K〉 нильпотентна, т. е. имеет конечный K-
центральный ряд. Из леммы 4 следует, что этот ряд будет и G-центральным.
Следствие 1. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая усло-
вию Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого прос-
того числа p. Предположим, что A ≤ ζ(T ), где T — периодическая часть группы
G. Если индекс
∣∣G : CG
(
Ω1(A)
)∣∣ конечен, то либо A — черниковская подгруппа,
либо некоторый гиперцентр G, имеющий конечный номер, включает в себя A.
Доказательство. Если 〈A, g〉 ненильпотентна для некоторого g ∈ G, то из
следствия леммы 11 вытекает, что A черниковская. Если же 〈A, g〉 нильпотентна
для любого g ∈ G, то применим лемму 12.
Следствие 2. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая усло-
вию Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого прос-
того числа p. Предположим, что A ≤ ζ(T ), где T — периодическая часть группы
G. Тогда либо некоторый гиперцентр G, имеющий конечный номер, включает в
себя A, либо A — черниковская группа, либо найдется элемент x бесконечного
порядка такой, что xCG
(
Ω1(A)
)
∈ ζ
(
G/CG
(
Ω1(A)
))
и A имеет конечный ряд
таких Z〈x〉-модулей
〈0〉 = A0 ≤ A1 ≤ . . . ≤ An ≤ An+1 = A,
что Aj+1/Aj — элементарная абелева p-подгруппа (т. е. Aj+1/Aj — Fp〈x〉-модуль)
и Aj+1/Aj , 0 ≤ j ≤ n− 1, — прюферов (x− 1)Fp〈x〉-модуль, A/An — черниковская
группа.
Доказательство. Если индекс
∣∣G : CG
(
Ω1(A)
)∣∣ конечен, то применим след-
ствие 1 леммы 12. Если же подгруппа G/CG
(
Ω1(A)
)
бесконечна, то применим
следствие 2 предложения 1.
Следствие 3. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая усло-
вию Wmax-(non-nil), A — ее нормальная абелева p-подгруппа для некоторого прос-
того числа p. Предположим, что A ≤ ζ(T ), где T — периодическая часть группы
G. Если никакой гиперцентр G, имеющий конечный номер, не включает в себя
A, то A имеет конечный ряд G-инвариантных подгрупп, все факторы которого,
кроме последнего, G-квазиконечны, а последний фактор конечен.
Доказательство. В самом деле, из следствия 2 леммы 12 получаем, что A
черниковская, либо A удовлетворяет условию Min-〈x〉 для некоторого элемента
x ∈ G. Если A черниковская, то из следствия 1 леммы 6 получаем, что либо A
включает в себя такую G-инвариантную делимую подгруппу D, что D = [D,G]
и D G-квазиконечна. Осталось использовать лемму 3. Если A не черниковская,
то A удовлетворяет условию Min-G, и, используя следствия 2 леммы 12, получаем
требуемый результат.
Лемма 13. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil), T — периодическая часть группы G. Если G ненильпотентна и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1080 Л. А. КУРДАЧЕНКО, Н. Н. СЕМКО
непериодическая, D — ее нормальная абелева подгруппа, которая G-квазиконечна,
и [D,G] = D, то D ≤ ζ(T ).
Доказательство. Пусть T — периодическая часть группы G. Из следствия
леммы 9 получаем, что T нильпотентна. Подгруппа D либо делимая черников-
ская, либо элементарная абелева. В первом случае включение D ≤ ζ(T ) следует,
например, из теоремы 3.14 из [22]. Пусть теперь D элементарная абелева. Тог-
да, очевидно, D ≤ ζ(GF ). Теперь из конечности T/GF нетрудно получить, что
D
⋂
ζ(T ) бесконечна, а потому D
⋂
ζ(T ) = D, т. е. D ≤ ζ(T ).
Лемма 14. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil). Если G ненильпотентна и непериодическая, то G включает в себя
нормальную абелеву подгруппу D, которая G-квазиконечна, и [D,G] = D.
Доказательство. Пусть T — периодическая часть группы G. Из следствия
леммы 9 получаем, что T нильпотентна. Пусть
〈1〉 = Z0 ≤ Z1 ≤ . . . ≤ Zn = T
— центральный ряд T, факторы которого являются примарными. Поскольку G
ненильпотентна, найдется такой наименьший номер m, что Zm не входит ни в
какой гиперцентр G с конечным номером. Из следствия 3 леммы 12 получаем, что
Zm включает в себя такую G-инвариантную подгруппу V ≥ Zm−1, что V/Zm−1
G-квазиконечна и
[
V/Zm−1, G/Zm−1
]
= V/Zm−1. Из следствий 3, 5 леммы 6
получаем, что T включает в себя такую G-инвариантную подгруппу D, что D =
= [D,G] и D G-квазиконечна.
Следствие. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil), T — периодическая часть группы G. Если G ненильпотентна и
непериодическая, то T имеет конечный ряд G-инвариантных подгрупп, все факто-
ры которого, кроме последнего, G-квазиконечны и центральны в T, а последний
фактор конечен.
Доказательство. Применяя лемму 14, получаем, что T имеет конечный ряд
G-инвариантных подгрупп
〈1〉 = H0 ≤ H1 ≤ . . . ≤ Hk = H,
факторы которого G-квазиконечны и нецентральны в G, а G/H нильпотентна. Из
леммы 13 следует, что факторы этого ряда центральны в T. Теперь из леммы 3
можно получить, что T/H черниковская, откуда и вытекает доказываемое утверж-
дение.
Лемма 15. Пусть G — локально нильпотентная группа, T — ее нормальная
подгруппа. Предположим также, что T имеет конечный ряд G-инвариантных
подгрупп, все факторы которого центральны в T и либо являются элементар-
ными абелевыми, либо делимыми черниковскими. Тогда T включает в себя такие
G-инвариантные подгруппы D, B, что D — делимая черниковская группа, B —
ограниченная подгруппа и T = DB.
Доказательство. Пусть сначала U, V — такие G-инвариантные подгруппы T,
что V ≤ U, V ≤ ζ(T ), V — ограниченная подгруппа и U/V делимая черниковская.
Пусть, далее, g — произвольный элемент U. Для любого x ∈ U имеем [g, x] ∈ V.
Включение V ≤ ζ(T ) показывает, что [gn, x] = [g, x]n для любого n ∈ N. Тогда
найдется число m такое, что gm ∈ V, так что 1 = [gm, x] = [g, x]m. Другими
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
ГРУППЫ СО СЛАБЫМ УСЛОВИЕМ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ... 1081
словами, [g, U ] — ограниченная подгруппа. Изоморфизм [g, U ] ∼= U/CU (g) вместе
с включением V ≤ CU (g) и делимостью U/V приводит к равенству U = CU (g).
Поскольку оно справедливо для любого элемента группы U, то U — абелева. В
этом случае U = V W, где W — делимая черниковская подгруппа.
Рассмотрим теперь противоположный случай. Пусть U, V — такие G-инвари-
антные подгруппы T, что V ≤ U, V ≤ ζ(T ), V — делимая черниковская подгруппа
и U/V — абелева и ограниченная делимая черниковская группа. Тогда найдется
число m такое, что gm ∈ V для любого g ∈ U, так что 1 = [gm, x] = [g, x]m
для любого x ∈ U. Иначе говоря, [g, U ]m = 〈1〉. Поскольку это справедливо
для любого элемента группы U, то [U,U ]m = 〈1〉. Включение [U,U ] ≤ U до-
казывает конечность [U,U ]. Фактор-группа U/[U,U ] будет прямым произведени-
ем V [U,U ]/[U,U ] и некоторой ограниченной подгруппы W/[U,U ]. Итак, снова
U = V W, где W — ограниченная подгруппа. Очевидно, WG также ограничена.
Используя теперь простую индукцию, получаем, что T включает в себя такие
G-инвариантные подгруппы D, R, что D — делимая черниковская группа, R —
ограниченная подгруппа и T = DR. Очевидно, D является G-инвариантной. Из
нильпотентности подгруппы T нетрудно получить, что B = RG — ограниченная
подгруппа.
Лемма доказана.
Теперь можно привести основной результат работы.
Теорема. Пусть G — гиперцентральная группа, удовлетворяющая условию
Wmax-(non-nil). Предположим, что G ненильпотентна и неминимаксна. Тогда G
включает в себя такую конечную нормальную подгруппу F, что G/F ≤ M × L,
где M — гиперцентральная минимаксная группа, а L удовлетворяет следующим
условиям:
i) L гиперцентральна, ненильпотентна, неминимаксна и удовлетворяет усло-
вию Wmax-(non-nil);
ii) периодическая часть P группы L имеет такой центральный ряд из L-
инвариантных подгрупп
〈1〉 = A0 ≤ A1 ≤ A2 ≤ . . . ≤ An = P,
что факторы Aj+1/Aj , 0 ≤ j ≤ n− 2, элементарные абелевы и P -квазиконечны,
An/An−1 конечен, в частности, P — ограниченная нильпотентная подгруппа;
iii) L/P почти абелева и минимаксна.
Доказательство. Пусть T — периодическая часть G. Из следствия леммы 14
вытекает, что T имеет конечный ряд G-инвариантных подгрупп, все факторы кото-
рого, кроме последнего, бесконечны, центральны в T и G-квазиконечны. Отметим,
что хотя бы один из бесконечных факторов этого ряда является элементарным абе-
левым, так как иначе G была бы минимаксной. Из леммы 15 получаем, что T вклю-
чает в себя такие G-инвариантные подгруппы D, B, что D — делимая черниковская
группа, B — ограниченная подгруппа и T = DB. Выберем теперь в G нормальную
подгруппу U, максимальную относительно свойств D ≤ U и U ∩ T = D. Тогда
имеем U/D = U/(U ∩ T ) ∼= UT/T, так что U/D минимаксна, а значит, и U мини-
максна. Положим M = G/B, L = G/U и F = B ∩ U. Очевидно, F конечна, M
минимаксна. Из теоремы Рэмака получаем вложение G/F ≤ G/B×G/D = M×L.
Далее, группа L гиперцентральна, ненильпотентна, неминимаксна и удовлетворяет
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
1082 Л. А. КУРДАЧЕНКО, Н. Н. СЕМКО
условию Wmax-(non-nil), поскольку она имеет хотя бы один элементарный абелев
G-квазиконечный фактор. Ее периодическая часть P совпадает с T/U, а потому
ограничена. Из приведенного выше заключения относительно T получаем, что P
удовлетворяет условию ii).
Наконец, пусть
〈1〉 = A0 ≤ A1 ≤ A2 ≤ . . . ≤ An = P
— центральный ряд P, составленный из L-инвариантных подгрупп, в котором фак-
торы Aj+1/Aj , 0 ≤ j ≤ n − 2, элементарные абелевы и L-квазиконечны. По-
скольку CL(Aj+1/Aj) ≥ P, из леммы 5 и следствия 1 предложения 1 вытекает,
что G/CL(Aj+1/Aj), 0 ≤ j ≤ n − 2, почти абелева и минимаксна. Положим
V =
⋂
0≤j≤n−2 CL(Aj+1/Aj), тогда, в силу теоремы Рэмака, G/V почти абелева и
минимаксна. Так как факторы Aj+1/Aj , 0 ≤ j ≤ n− 2, центральны в P, то P ≤ V.
Далее, CL(An−1) ≤ V и V/CL(An−1) — нильпотентная ограниченная группа (см.,
например, [29], теорема 1.С.1 и предложение 1.С.3). Подгруппа W = CL(An−1)
является центральным расширением W ∩An−1 с помощью нильпотентной группы,
а потому сама нильпотентна. Поскольку ее периодическая часть ограничена, из
предложения 2 работы [30] следует, что W включает в себя такую нормальную под-
группу без кручения X , что W/X — ограниченная группа. Положим Y =
⋂
g∈L Xg,
тогда Y является L-инвариантной, и из вложения W/Y ≤ Πg∈LW/Xg получаем,
что W/Y — ограниченная группа. Предположим, что Y неединична, и обозначим
через Z полный прообраз Y в G. Тогда U ≤ Z и Z/U не имеет кручения. Отсюда
следует, что Z ∩T = D. Получили противоречие с выбором U. Полученное проти-
воречие показывает, что Y = 〈1〉, а значит, W — ограниченная подгруппа. В свою
очередь, это означает, что и V ограниченная, в частности V ≤ P. Итак, V = P, а
значит, L/P почти абелева и минимаксна.
Отметим, что структура факторов Aj+1/Aj описана в предложении 1. Кроме
того, можно показать, что L = PQ, Q — минимаксная подгруппа.
1. Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. – 1924. – 31, № 3. –
С. 366 – 372.
2. Newman M. F., Wiegold J. Groups with many nilpotent subgroups // Arch. Math. – 1964. – 15. –
P. 241 – 250.
3. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. – М.: Наука, 1989. –
447 с.
4. Heineken H., Mohamed I. J. A group with trivial center satisfying the normalizer condition // J.
Algebra. – 1968. – 10. – P. 368 – 376.
5. Heineken H., Mohamed I. J. Groups with normalizer condition // Math. Ann. – 1972. – 198, № 3. –
P. 178 – 187.
6. Heineken H., Mohamed I. J. Non-nilpotent groups with normalizer condition // Lect. Notes Math. –
1974. – 372. – P. 357 – 360.
7. Hartley B. A note on the normalizer conditions // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1973. – 74, № 1. –
P. 11 – 15.
8. Menegazzo F. Groups of Heineken – Mohamed // J. Algebra. – 1995. – 171. – P. 807 – 825.
9. Smith H. Groups with few non-nilpotent subgroups // Glasgow Math. J. – 1997. – 39. – P. 141 – 151.
10. Зайцев Д. И. Группы, удовлетворяющие слабому условию минимальности // Укр. мат. журн. –
1968. – 20, № 4. – С. 472 – 482.
11. Baer R. Polyminimaxgruppen // Math. Ann. – 1968. – 175, № 1. – P. 1 – 43.
12. Казарин Л. С., Курдаченко Л. А. Условия конечности и факторизации в бесконечных группах
// Успехи мат. наук. – 1992. – 47, № 3. – С. 81 – 126.
13. Артемович О. Д., Курдаченко Л. А. Групи, багатi x-пiдгрупами // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер.
мех.-мат. – 2003. – 61. – С. 218 – 237.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
ГРУППЫ СО СЛАБЫМ УСЛОВИЕМ МАКСИМАЛЬНОСТИ ДЛЯ НЕНИЛЬПОТЕНТНЫХ ... 1083
14. Dixon M. R., Kurdachenko L. A. Locally nilpotent groups with the maximum condition on non-
nilpotent subgroups // Glasgow Math. J. – 2001. – 43, № 1. – P. 85 – 102.
15. Dixon M. R., Kurdachenko L. A. Groups with the maximum condition on non-nilpotent subgroups
// J. Group Theory. – 2001. – 4, № 1. – P. 75 – 87.
16. Dixon M. R., Evans M. J., Smith H. Groups with some minimal conditions on non-nilpotent subgroups
// Ibid. – № 2. – P. 207 – 215.
17. Dixon M. R., Evans M. J., Smith H. Locally soluble-by-finite groups with the weak minimal
conditions on non-nilpotent subgroups // J. Algebra. – 2002. – 249. – P. 226 – 246.
18. Kurdachenko L. A., Shumyatsky P., Subbotin I. Ya. Groups with many non-nilpotent subgroups // J.
Algebra Colloq. – 2001. – 8, № 2. – P. 129 – 143.
19. Зайцев Д. И. К теории минимаксных групп // Укр. мат. журн. – 1971. – 23, № 5. – С. 652 – 660.
20. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized soluble groups. Pt 2. – Berlin: Springer,
1972. – 254 p.
21. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы: В 2 т. – М.: Мир, 1974. – Т. 1. – 336 с.
22. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized soluble groups. Pt 1. – Berlin: Springer,
1972. – 210 p.
23. Зайцев Д. И. О свойствах групп, наследуемых их нормальными подгруппами // Укр. мат.
журн. – 1986. – 38, № 6. – С. 707 – 713.
24. Курдаченко Л. А. Локально нильпотентные группы, удовлетворяющие слабому условию ми-
нимальности для нормальных подгрупп // Сиб. мат. журн. – 1984. – 25, № 4. – С. 589 – 594.
25. Kurdachenko L. A., Otal J., Subbotin I. Ya. Groups with prescribed quotient groups and associated
module theory. – New Jersey: World Sci., 2002. – 227 p.
26. Matlis E. Cotorsion modules. – Providence: Mem. Amer. Math. Soc., 1964. – 49. – 66 p.
27. Kurdachenko L. A., Smith H. Groups with the weak maximal condition for non-nilpotent subgroups
// Ric. math. – 1998. – 47, № 1. – P. 1 – 21.
28. Wehrfritz B. A. F. Infinite linear groups. – Berlin etc.: Springer, 1972. – 229 p.
29. Kegel O. H., Wehrfritz B. A. F. Locally finite groups. – Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973.
– 210 p.
30. Heineken H., Kurdachenko L. A. Groups with subnormality for all subgroups that are not finitely
generated // Ann. Math. – 1995. – 169, № 4. – P. 203 – 232.
Получено 11.11.2004,
после доработки — 23.03.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-3514 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:43:58Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7f/97bd8350715caeacac85eb9ea165627f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35142020-03-18T19:56:35Z Groups with weak maximality condition for nonnilpotent subgroups Группы со слабым условием максимальности для ненильпотентных подгрупп Kurdachenko, L. A. Semko, N. N. Курдаченко, Л. А. Семко, Н. Н. Курдаченко, Л. А. Семко, Н. Н. A group $G$ satisfies the weak maximality condition for nonnilpotent subgroups or, shortly, the condition Wmax-(non-nil), if $G$does not possess the infinite ascending chains $\{H_n | n \in N\}$ of nonnilpotent subgroups such that the indexes $|H_{n+i} :\; H_n |$ are infinite for all $n \in N$. In the present paper, we study the structure of hypercentral groups satisfying the weak maximality condition for nonnilpotent subgroups. Група $G$ задовольняє слабку умову максимальної для ненільпотентних підгруп або, скорочено, умову Wmax-(non-nil), якщо $G$ не має таких нескінченних зростаючих ланцюжків $\{H_n | n \in N\}$ ненільпотентних підгруп, що індекси $|H_{n+i} :\; H_n |$ є нескінченними для кожного $n \in N$. У даній роботі вивчається будова гіперцентральних груп, які задовольняють слабку умову максимальності для ненільпотентних підгруп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3514 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 8 (2006); 1068–1083 Український математичний журнал; Том 58 № 8 (2006); 1068–1083 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3514/3765 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3514/3766 Copyright (c) 2006 Kurdachenko L. A.; Semko N. N. |
| spellingShingle | Kurdachenko, L. A. Semko, N. N. Курдаченко, Л. А. Семко, Н. Н. Курдаченко, Л. А. Семко, Н. Н. Groups with weak maximality condition for nonnilpotent subgroups |
| title | Groups with weak maximality condition for nonnilpotent subgroups |
| title_alt | Группы со слабым условием максимальности для ненильпотентных подгрупп |
| title_full | Groups with weak maximality condition for nonnilpotent subgroups |
| title_fullStr | Groups with weak maximality condition for nonnilpotent subgroups |
| title_full_unstemmed | Groups with weak maximality condition for nonnilpotent subgroups |
| title_short | Groups with weak maximality condition for nonnilpotent subgroups |
| title_sort | groups with weak maximality condition for nonnilpotent subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3514 |
| work_keys_str_mv | AT kurdachenkola groupswithweakmaximalityconditionfornonnilpotentsubgroups AT semkonn groupswithweakmaximalityconditionfornonnilpotentsubgroups AT kurdačenkola groupswithweakmaximalityconditionfornonnilpotentsubgroups AT semkonn groupswithweakmaximalityconditionfornonnilpotentsubgroups AT kurdačenkola groupswithweakmaximalityconditionfornonnilpotentsubgroups AT semkonn groupswithweakmaximalityconditionfornonnilpotentsubgroups AT kurdachenkola gruppysoslabymusloviemmaksimalʹnostidlânenilʹpotentnyhpodgrupp AT semkonn gruppysoslabymusloviemmaksimalʹnostidlânenilʹpotentnyhpodgrupp AT kurdačenkola gruppysoslabymusloviemmaksimalʹnostidlânenilʹpotentnyhpodgrupp AT semkonn gruppysoslabymusloviemmaksimalʹnostidlânenilʹpotentnyhpodgrupp AT kurdačenkola gruppysoslabymusloviemmaksimalʹnostidlânenilʹpotentnyhpodgrupp AT semkonn gruppysoslabymusloviemmaksimalʹnostidlânenilʹpotentnyhpodgrupp |