Construction of scattering operators by the method of binary Darboux transformations

By using the binary Darboux transformations, we construct scattering operators for a Dirac system with special potential depending on 2n arbitrary functions of a single variable. It is shown that one of the operators coincides with the scattering operator obtained by Nyzhnyk in the case of degenerat...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2006
Автори:	Pochynaiko, M. D., Sidorenko, Yu. M., Починайко, М. Д., Сидоренко, Ю. М.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3516
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509619880722432
author	Pochynaiko, M. D. Sidorenko, Yu. M. Починайко, М. Д. Сидоренко, Ю. М.
author_facet	Pochynaiko, M. D. Sidorenko, Yu. M. Починайко, М. Д. Сидоренко, Ю. М.
author_sort	Pochynaiko, M. D.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:56:35Z
description	By using the binary Darboux transformations, we construct scattering operators for a Dirac system with special potential depending on 2n arbitrary functions of a single variable. It is shown that one of the operators coincides with the scattering operator obtained by Nyzhnyk in the case of degenerate scattering data. It is also demonstrated that the scattering operator for the Dirac system is either obtained as a composition of three Darboux self-transformations or factorized by two operators of binary transformations of special form. We also consider several cases of reduction of these operators.
first_indexed	2026-03-24T02:43:59Z
format	Article
fulltext	UDK 517.9 M. D. Poçynajko (In-t prykl. matematyky, Nac. un-t „L\viv. politexnika”), G. M. Sydorenko (L\viv. nac. un-t) POBUDOVA OPERATORIV ROZSIQNNQ METODOM BINARNYX PERETVOREN\| DARBU By using the binary Darboux transformations, we construct scattering operators for the Dirac system with special potential that depends on 2n arbitrary functions of one variable. We establish that one of these operators coincides with the scattering operator obtained by L. Nyzhnyk in the case of degenerate scattering data. We show that the scattering operator for the Dirac system is obtained as the composition of three Darboux autotransformations or is factorized by two operators of binary transformation of the special form. We also consider several reductions of these operators. Z dopomohog binarnyx peretvoren\ Darbu pobudovano operatory rozsiqnnq dlq systemy Diraka z special\nym potencialom, wo zaleΩyt\ vid 2n dovil\nyx funkcij odni[] zminno]. Pokazano, wo odyn iz nyx zbiha[t\sq z operatorom rozsiqnnq, otrymanym L.3P. NyΩnykom, u vypadku vyrodΩe- nyx danyx rozsiqnnq. Prodemonstrovano, wo operator rozsiqnnq dlq systemy Diraka otrymu- [t\sq qk kompozyciq tr\ox avtoperetvoren\ Darbu abo faktoryzu[t\sq dvoma operatoramy bi- narnyx peretvoren\ special\noho vyhlqdu. Rozhlqnuto takoΩ dekil\ka redukcij cyx operatoriv. 1. Vstup. Opyßemo strukturu ci[] roboty. U vstupi korotko navedeno rezul\- taty wodo prqmo] j oberneno] zadaç rozsiqnnq dlq systemy Diraka, a takoΩ oznaçennq operatoriv binarnyx peretvoren\ typu Darbu dlq zahal\no] systemy Diraka. U druhomu punkti opysano konstrukcig binarnyx peretvoren\ dlq operatora Diraka zi special\nog dodatkovog redukci[g ermitovoho sprqΩennq. U tret\o- mu punkti navedeno deqki typy operatoriv, wo digt\ invariantno, qk i operator rozsiqnnq, u prostori rozv’qzkiv nezbureno] systemy Diraka. Ci operatory fak- toryzugt\sq operatornog parog binarnyx peretvoren\ i vyznaçagt\ avtopere- tvorennq Darbu. Pokazano takoΩ, wo pry special\nij redukci] vony tisno pov’q- zani z operatorom Diraka, potencial qkoho rozhlqdav L.3P.3NyΩnyk. U çetver- tomu punkti prodovΩeno pobudovu inßyx typiv avtoperetvoren\ Darbu na osnovi operatoriv zahal\nyx binarnyx peretvoren\. Pokazano, wo operator rozsiqnnq dlq systemy Diraka otrymu[t\sq qk kompozyciq tr\ox avtoperetvoren\ Darbu abo faktoryzu[t\sq dvoma operatoramy binarnyx peretvoren\ special\noho vy- hlqdu. TakoΩ rozhlqnuto deqki cikavi redukci] cyx operatoriv. ZauvaΩymo, wo vsi rezul\taty z tret\oho ta çetvertoho punktiv moΩna otry- maty i dlq vypadku zahal\no] systemy rivnqn\ Diraka (1), ale dlq nas bil\ß ci- kavym (i zrozumilo, dewo skladnißym) [ vypadok operatora Diraka (12) z dodat- kovog redukci[g. Ce obumovleno moΩlyvistg vykorystannq joho v qkosti ope- ratora Laksa pry intehruvanni nelinijno] modeli Devi – Stgartsona. Prqmu j obernenu zadaçi rozsiqnnq dlq nestacionarno] systemy rivnqn\ Dira- ka LY = 0 v xarakterystyçnyx zminnyx, wo ma[ vyhlqd ∂ ∂ Y x y x u x y Y x y1 1 2 ( , ) ( , ) ( , )+ = 0, (1) ∂ ∂ Y x y y u x y Y x y2 2 1 ( , ) ( , ) ( , )+ = 0, u1 , u2 ∈ L2 2( )R , rozhlqdav L.3P.3NyΩnyk [1, 2]. Nahada[mo ci rezul\taty. Rozv’qzok Y = = Y x y Y x y 1 2 ( , ) ( , )     systemy (1) dopuska[ asymptotyky a y1( ) = Y y1( , )−∞ , b y1( ) = Y y1( , )+∞ , (2) a x2( ) = Y x2( , )−∞ , b x2( ) = Y x2( , )+∞ . © M. D. POÇYNAJKO, G. M. SYDORENKO, 2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 1097 1098 M. D. POÇYNAJKO, G. M. SYDORENKO U roboti [2] pokazano, wo dlq koΩno] z par ( , )a a1 2 , ( , )b b1 2 , ( , )a b1 2 , ( , )b a1 2 dovil\no zadanyx funkcij ai , bi ∈ L2( )R , i = 1, 2, isnu[ [dynyj rozv’qzok Y, dlq qkoho cq para [ vidpovidnog asymptotykog (2) na neskinçennosti. Ce da[ moΩlyvist\ rozv’qzaty prqmu zadaçu rozsiqnnq, qka polqha[ v znaxodΩenni roz- v’qzkiv systemy za odni[g iz zhaduvanyx par asymptotyk. Obernena zadaça rozsi- qnnq dlq systemy (1) polqha[ v znaxodΩenni koefici[ntiv (potencialiv) u1 , u2 za zadanym operatorom rozsiqnnq S, qkyj vyznaça[t\sq rivnistg b = Sa, b = b b 1 2     , a = a a 1 2     . (3) Qkwo u1 ≡ u2 ≡ 0, to operator S zbiha[t\sq z odynyçnym operatorom I. Dovedeno [2], wo u prostori L2 2( )R R→ isnu[ obernenyj operator S−1. Operatory S i S−1 magt\ vyhlqd S = I + F, S−1 = I + G, (4) de F = Fij i j, =1 2 , G = Gij i j, =1 2 — matryçni intehral\ni operatory Hil\berta – Ímidta, diahonal\ni elementy Fii , Gii , i ∈{ , }1 2 , [ intehral\nymy operatoramy Vol\terra F W11 1= + , F W22 2= + , G W11 1= − , G W22 2= − , de + ( – ) oznaça[ zminnu verxng (nyΩng) meΩu intehruvannq. Dlq znaxodΩen- nq koefici[ntiv u1 , u2 dosyt\ zadaty operatory F12 , G21, abo F21, G11, qki nazyvagt\ danymy rozsiqnnq. Koefici[nty u1 , u2 vyznaçagt\sq za dopomohog rivnostej u1 = B x y x12 0( , ; )+ , u2 = – B x y y21 0( , ; )− , (5) de B12 , B21 — rozv’qzky intehral\nyx rivnqn\ B x y F y B x y G s F s ds d x y 12 12 12 21 12( , ; ) ( , ) ( , ; ) ( , ) ( , )η η τ τ η τ+ −         ∞ −∞ ∫ ∫ = 0, (6) B x y G x B x y F s G s ds d y x 21 21 21 12 21( , ; ) ( , ) ( , ; ) ( , ) ( , )η η τ τ η τ+ −        −∞ ∞ ∫ ∫ = 0. Rezul\taty (5), (6) zastosovuvalysq, zokrema, dlq rozv’qzuvannq metodom ober- neno] zadaçi rozsiqnnq (MOZR) deqkyx evolgcijnyx prostorovo-dvovymirnyx rivnqn\, wo dopuskagt\ zobraΩennq Laksa, de fihuru[ zhadanyj operator Dira- ka (1) [2 – 4]. Krim MOZR, qkyj v klasyçnomu varianti ©runtu[t\sq na doslid- Ωenni rivnqn\ Hel\fanda – Levitana – Marçenka (6) [2 – 7], dlq pobudovy ßyro- kyx klasiv toçnyx rozv’qzkiv intehrovnyx system moΩna zastosuvaty inßi, bil\ß alhebryzovani metody, napryklad metod binarnyx peretvoren\ Darbu [8 – 15]. Zokrema, avtoramy v roboti [13] za dopomohog binarnyx peretvoren\ Darbu vy- pysano formuly toçnyx rozv’qzkiv dlq prostorovo-dvovymirnoho uzahal\nenoho rivnqnnq Korteveha – de Friza i modyfikovanoho dvovymirnoho rivnqnnq Korte- veha – de Friza. U tij Ωe roboti pokazano, wo rozv’qzky cyx rivnqn\, a takoΩ rozv’qzky prostorovo-dvovymirnyx rivnqn\ Íredinhera, otrymani MOZR, mis- tqt\sq sered rozv’qzkiv, otrymanyx za dopomohog binarnyx peretvoren\ Darbu. Navedemo deqki oznaçennq ta rezul\taty z binarnyx peretvoren\ Darbu dlq systemy Diraka [13, 14] u vyhlqdi, zruçnomu dlq vykorystannq v danij roboti. Binarni peretvorennq Darbu dlq operatora Diraka. Nexaj: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 POBUDOVA OPERATORIV ROZSIQNNQ METODOM BINARNYX … 1099 1) Y = Y x y Y x y 1 2 ( , ) ( , )     — dovil\nyj rozv’qzok (vektor-stovpçyk) systemy LY = 0, (7) a ϕ = ϕ ϕ 1 2 ( , ) ( , ) x y x y     = ϕ ϕ ϕ ϕ 11 1 21 2 … …     K K — deqkyj fiksovanyj ( )2 × K -matryçnyj rozv’qzok systemy (7); 2) ψ = ψ ψ 1 2 ( , ) ( , ) x y x y     = ψ ψ ψ ψ 11 1 21 2 … …     K K — deqkyj fiksovanyj ( )2 × K -matryç- nyj rozv’qzok transponovano] systemy rivnqn\ Lτψ = 0, L τ = − −     ∂ ∂ x y u u 2 1 . NevaΩko pereviryty, wo ( )K K× -matryçni funkci] P[ , ] :ψ ϕ ψ ϕ= − 2 2 � , Q[ , ] :ψ ϕ ψ ϕ= 1 1 � zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq Py = Qx . (8) Naslidkom spivvidnoßen\ (8) [ isnuvannq ( )K K× -matryçnoho potencialu Ω Ω: [ , ]= ψ ϕ : d Pdx QdyΩ[ , ]ψ ϕ = + . Oskil\ky potencial vyznaça[t\sq z toçnistg do stalo] ( )K K× -matryci C, joho zavΩdy moΩna zrobyty nevyrodΩenym (lokal\no) v okoli dovil\no] fikso- vano] toçky ( , )x y0 0 . Operator binarnyx peretvoren\ W vyznaça[t\sq formu- log WY : = Y C Y− +( )−ϕ ψ ϕ ψΩ Ω[ , ] [ , ]1 = Ŷ , (9) de potencial realizu[mo tak: Ω[ , ]ψ ϕ : = M M dx dy 0 2 2 1 1∫ − +( )ψ ϕ ψ ϕ� � , (10) M x y0 0 0 2= ∈( , ) R , M x y= ∈( , ) R 2 . Operator W perevodyt\ operator L v operator L̂ WLW= −1 vyhlqdu L̂ = ∂ ∂ x y u u ˆ ˆ 1 2     , de û1 = u C1 1 1 2− +( )−ϕ ψ ϕ ψΩ[ , ] �, (11) û2 = u C2 2 1 1+ +( )−ϕ ψ ϕ ψΩ[ , ] �. Pry c\omu funkciq ˆ :Y WY= [ rozv’qzkom systemy Diraka (1) z koefici[ntamy (potencialamy) û1, û2 (11). 2. Operatory peretvoren\ dlq σσσσ-kosoermitovoho operatora Diraka. U danij roboti rozhlqda[t\sq operator Diraka L1 vyhlqdu ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 1100 M. D. POÇYNAJKO, G. M. SYDORENKO L1 = ∂ µ ∂ x y u u     , ∂x = ∂ ∂x , ∂y = ∂ ∂y , µ ∈R \ { }0 , u L∈ 2( )R , (12) wo dopuska[ redukcig L1 ∗ = – σ σL1 1− , L1 ∗ : = L1 τ , de σ µ = −    − 1 0 0 1 , vnaslidok çoho miΩ rozv’qzkamy linijno] systemy L Y1 = 0 (13) ta transponovano] systemy L Y x y1 0τ ˜( , ) = isnu[ spivvidnoßennq Ỹ = σY . (14) Nexaj Y Y y Y x 0 1 2 =     ( ) ( ) — dovil\nyj, a ϕ ϕ ϕ =     1 2 ( ) ( ) y x — fiksovanyj matryçnyj rozmirnosti ( )2 × K rozv’qzok nezbureno] systemy Diraka L Y0 0 = 0, (15) de L x y 0 0 0 =     ∂ ∂ . Vraxovugçy redukcijne spivvidnoßennq (14), qke, oçevydno, zadovol\nqgt\ rozv’qzky rivnqn\ (15) ta transponovano] systemy, otrymu[mo, wo formuly (9) – (11) nabyragt\ vyhlqdu Y = WY0 = Y C Y0 1 0− + −ϕ σϕ ϕ σϕ( [ , ]) [ , ]Ω Ω , C ∗ = C, (16) Ω[ , ]σϕ ϕ : = M M dy dx 0 1 1 1 2 2∫ ∗ − ∗+ϕ ϕ µ ϕ ϕ , (17) L1 = WL W0 1− , (18) u = µ ϕ σϕ ϕ ϕ− − ∗+1 1 1 2( [ , ])C Ω . (19) Za formulog (17) vyznaçymo matryçni potencialy Ω1[ , ]σϕ ϕ (poklavßy x0 = – ∞ , y0 = – ∞ ) i Ω2[ , ]σϕ ϕ (poklavßy x0 = + ∞ , y0 = + ∞ ) : Ω1[ , ]σϕ ϕ = ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ1 1 1 2 2 ∗ − ∗ −∞−∞ + ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )s s ds d xy , (20) Ω2[ , ]σϕ ϕ = ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ1 1 1 2 2 ∗ − ∗ +∞+∞ + ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )s s ds d xy . Vraxovugçy vyznaçennq potencialiv u formi (20), rozv’qzky systemy (13) moΩna zobrazyty riznymy vyrazamy Z1 = W p1 , Z2 = W q2 , (21) de p = p y p x 1 2 ( ) ( )     , q = q y q x 1 2 ( ) ( )     — deqki vektor-funkci], komponenty qkyx naleΩat\ L2( )R , qki [ rozv’qzkamy nezbureno] systemy (15), ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 POBUDOVA OPERATORIV ROZSIQNNQ METODOM BINARNYX … 1101 W1 = I y s ds y d x s ds x d y x y x− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅             − ∗ −∞ − − ∗ −∞ − ∗ −∞ − − ∗ −∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ , (22) ∆1 = C s s ds d xy 1 1 1 1 2 2+ +∗ − ∗ −∞−∞ ∫∫ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ( ) ( ) ( ) ( ) , C1 — dovil\na stala ermitova ( )K K× -matrycq, I — odynyçnyj operator; W2 = I y s ds y d x s ds x d y x y x− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅             − ∗ +∞ − − ∗ +∞ − ∗ +∞ − − ∗ +∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ , (23) ∆2 = C s s ds d xy 2 1 1 1 2 2+ +∗ − ∗ +∞+∞ ∫∫ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ( ) ( ) ( ) ( ) , C2 — stala ( )K K× -matrycq, C C2 2 ∗ = . Z rivnosti (19) otrymu[mo spivvidnoßennq C2 = C s s ds d1 1 1 1 2 2+ +∗ − −∞ +∞ ∗ −∞ +∞ ∫∫ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ( ) ( ) ( ) ( ) . (24) Bezposerednimy obçyslennqmy pokazano, wo operatory W1 1− , W2 1− magt\ vid- povidno vyhlqd W1 1− = I y x s s ds y d x x s s ds x d y x y x+ ⋅ −∞ ⋅ ⋅ −∞ ⋅ − ∗ −∞ − − ∗ −∞ − ∗ −∞ − − ∗ −∞ ∫ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆∫∫             , (25) W2 1− = I y x s s ds y d x x s s ds x d y x y x+ ⋅ +∞ ⋅ ⋅ +∞ ⋅ − ∗ +∞ − − ∗ +∞ − ∗ +∞ − − ∗ +∞ ∫ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆∫∫             . (26) Operatory W1 1− , W2 1− digt\ na vektor-funkcig Y = Y x y Y x y 1 2 ( , ) ( , )     tak: W Y1 1− = Y + + ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ τ ϕ ϕ µ ϕ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( y x s s Y x s ds y Y d x x s s Y x s ds x y x y ∆ ∆ ∆ ∆ − ∗ −∞ − − ∗ −∞ − ∗ −∞ − − ∫ ∫ ∫ + −∞ −∞ + ττ ϕ τ τ τ, ) ( ) ( , )−∞ −∞             ∗ −∞ ∫ 2 2Y d x , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 1102 M. D. POÇYNAJKO, G. M. SYDORENKO W Y2 1− = Y + + ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ τ ϕ ϕ µ ϕ 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( y x s s Y x s ds y Y d x x s s Y x s ds x y x y ∆ ∆ ∆ ∆ − ∗ +∞ − − ∗ +∞ − ∗ +∞ − − ∫ ∫ ∫ + +∞ +∞ + ττ ϕ τ τ τ, ) ( ) ( , )+∞ +∞             ∗ +∞ ∫ 2 2Y d x . ZauvaΩymo, wo za dopomohog binarnyx peretvoren\ Darbu dlq systemy (13) avtoramy pobudovano operator rozsiqnnq dlq operatora Diraka L1 (12), vyxo- dqçy z vyznaçennq (3). TakoΩ pokazano, wo pry special\nomu vybori funkcij ϕ pobudovanyj operator zbiha[t\sq z operatorom rozsiqnnq, otrymanym L.3P.3NyΩnykom [2] u vypadku vyrodΩenyx danyx rozsiqnnq. 3. Invariantni operatory ta ]x redukci]. Iz zobraΩennq rozv’qzkiv (21) u zv’qzku z isnuvannqm obernenyx operatoriv W1 1− , W2 1− (25), (26) otrymu[mo vza- [mno odnoznaçnyj zv’qzok miΩ vektor-funkciqmy p , q , wo pryvodyt\ do odnoho j toho Ω rozv’qzku Y : = Z1 = Z2 . Cej zv’qzok vyznaça[ operator S : q = S p , S : = W W2 1 1 − , (27) wo di[ invariantno u prostori rozv’qzkiv nezbureno] systemy Diraka (15), tobto [ , ]L0 S = 0. Vykorystovugçy formuly (22), (26), otrymu[mo S = I – – −∞ +∞ − ∗ − −∞ +∞ − ∗ −∞ +∞ − ∗ − −∞ +∞ − ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ ⋅ +∞ +∞ ⋅ +∞ +∞ ⋅ +∞ +∞ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) y s ds y d x s ds x ∆ ∆ ∆ ∆ ϕϕ τ τ2 ∗ ⋅            ( ) d . (28) Z formul (23), (25) znaxodymo operator S−1 v qvnomu vyhlqdi S−1 = W W1 1 2 − = I + + −∞ +∞ − ∗ − −∞ +∞ − ∗ −∞ +∞ − ∗ − −∞ +∞ − ∫ ∫ ∫ ∫ −∞ −∞ ⋅ −∞ −∞ ⋅ −∞ −∞ ⋅ −∞ −∞ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) y s ds y d x s ds x ∆ ∆ ∆ ∆ ϕϕ τ τ2 ∗ ⋅            ( ) d . (29) Potencial u operatora Diraka L (12) zhidno z formulamy (19), (21) bude takym: u = µ ϕ σϕ ϕ ϕ− − ∗+( )1 1 1 1 1 2C Ω [ , ] = µ ϕ σϕ ϕ ϕ− − ∗+( )1 1 2 2 1 2C Ω [ , ] , (30) a stali C1 , C2 zv’qzani spivvidnoßennqm (24). Rozhlqnemo deqki konkretni realizaci] formul (28), (29), (30) pry pevnomu zadanni funkcij ϕ i stalo] matryci C1 . 3.1. Vyberemo fiksovanyj rozv’qzok ϕ nezbureno] systemy (15) u vyhlqdi ( )2 2× n -matryci: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 POBUDOVA OPERATORIV ROZSIQNNQ METODOM BINARNYX … 1103 ϕ = ϕ ϕ 1 2 ( ) ( ) y x     = −    f y g x 1 2 0 0 ( ) ( ) , f y f y f y f y g y g x g x g x n n 1 11 12 1 2 21 22 2 ( ) ( ), ( ), , ( ) , ( ) ( ), ( ), , ( ) . = …( ) = …( ) (31) Stalu ( )2 2n n× -matrycg C1 zadamo tak: C1 = 0 1 2 2 I I g g d n n −         − −∞ +∞ ∗∫µ τ τ τ( ) ( ) , (32) In = diag( , , )1 1… . Zi spivvidnoßennq (24) otrymu[mo C2 = −∞ +∞ ∗∫         f s f s d I I n n 1 1 0 ( ) ( ) τ . (33) Na pidstavi formul (31) – (33) operatory S, S−1, wo zobraΩeni vidpovidno formulamy (28), (29), naberut\ vyhlqdu S = I f y g d g x f s ds g x f s f s ds g d + ⋅ ⋅         ⋅               − −∞ +∞ ∗ −∞ +∞ ∗ − −∞ +∞ ∗ ∗ −∞ +∞ ∗ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) µ τ τ µ τ τ , (34) S−1 = I f y g g d f s ds f y g d g x f s ds − −         ⋅ ⋅ ⋅               − −∞ +∞ ∗ −∞ +∞ ∗ − −∞ +∞ ∗ ∗ −∞ +∞ ∫ ∫ ∫ ∫ µ τ τ τ µ τ τ1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , . Potencial u operatora L (12), wo vyraΩa[t\sq formulog (30), pry umovax (31) – (33) ma[ vyhlqd u = – µ µ τ τ τ− − ∗ ∗ −∞+∞ − ∗−        ∫∫1 1 1 2 2 1 1 1 2f y I g g d f s f s ds g xn yx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (35) i zbiha[t\sq z potencialom, otrymanym L.3P.3NyΩnykom [2] u vypadku vyrod- Ωenyx danyx rozsiqnnq. Z cyx mirkuvan\ my i vybyraly vyhlqd stalo] mat- ryci33C1 (32). 3.2. Vybyragçy stalu matrycg C1 v inßij formi, my, oçevydno, moΩemo bu- duvaty operatory S, S−1 v inßomu vyhlqdi (z vidpovidnym potencialom u ope- ratora Diraka (12)). Napryklad, rozhlqnemo vypadok pobudovy operatoriv S (28), S−1 (29), qkwo fiksovanyj rozv’qzok systemy (15) vyberemo u vyhlqdi (31), a stalu ( )2 2n n× -matrycg C1 zadamo tak: C1 = 0 0 I I n n     . (36) Todi zhidno z spivvidnoßennqm (24) stala C2 nabere vyhlqdu ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 1104 M. D. POÇYNAJKO, G. M. SYDORENKO C2 = f s f s ds I I g g d n n 1 1 2 2 ∗ −∞ +∞ ∗ −∞ +∞ ∫ ∫             ( ) ( ) ( ) ( )τ τ τ . (37) Vykorystovugçy rivnosti (28), (29), (31), (36), (37), otrymu[mo S = I M M M M +     11 12 21 22 , (38) de M11 = f y I B B B f s dsn1 22 11 1 22 1( ) ( )[ ]− ⋅− ∗ −∞ +∞ ∫ , M12 = µ τ τ− − ∗ −∞ +∞ − ⋅∫1 1 22 11 1 2f y I B B g dn( ) ( )[ ] , M21 = g x I B B f s dsn2 11 22 1 1( ) ( )[ ]− ⋅− ∗ −∞ +∞ ∫ , M22 = µ τ τ− − ∗ −∞ +∞ − ⋅∫1 2 11 22 1 11 2g x I B B B g dn( ) ( )[ ] , B11 = f s f s ds1 1 ∗ −∞ +∞ ∫ ( ) ( ) , B22 = µ τ τ τ− ∗ −∞ +∞ ∫1 2 2g g d( ) ( ) , S−1 = I – 0 0 1 1 2 2 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) , µ τ τ− −∞ ∞ ∗ −∞ ∞ ∗ ∫ ∫ ⋅ ⋅             f y g d g x f s ds . Pry c\omu potencial u (30) ma[ vyhlqd u = – µ µ τ τ τ− − ∗ ∗ −∞−∞ − ∗−        ∫∫1 1 1 2 2 1 1 1 2f y I g g d f s f s ds g xn yx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (39) 3.3. Nexaj stalu ( )2 2n n× -matrycg C1 zadano tak: C1 = − −             ∗ −∞ +∞ − −∞ ∞ ∗ ∫ ∫ 1 2 1 2 1 1 1 2 2 f s f s ds I I g g d n n ( ) ( ) ( ) ( )µ τ τ τ . (40) Todi ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 POBUDOVA OPERATORIV ROZSIQNNQ METODOM BINARNYX … 1105 C2 = 1 2 1 2 1 1 1 2 2 f s f s ds I I g g d n n ∗ −∞ +∞ − −∞ ∞ ∗ ∫ ∫             ( ) ( ) ( ) ( )µ τ τ τ . (41) Analohiçno, vykorystovugçy rivnosti (28), (29), (31), (40), (41), otrymu[mo S = I + N N N N 11 12 21 22     , S−1 = I + N N N N 11 12 21 22 − −     , (42) de N11 = 1 2 1 41 22 11 1 22 1f y I B B B f s dsn( ) ( )−    ⋅ − ∗ −∞ +∞ ∫ , N12 = µ τ τ− − ∗ −∞ +∞ −    ⋅∫1 1 22 11 1 2 1 4 f y I B B g dn( ) ( ) , N21 = g x I B B f s dsn2 11 22 1 1 1 4 ( ) ( )−    ⋅ − ∗ −∞ +∞ ∫ , N22 = 1 2 1 4 1 2 11 22 1 11 2µ τ τ− − ∗ −∞ +∞ −    ⋅∫g x I B B B g dn( ) ( ) . U c\omu vypadku potencial operatora L (12) obçyslg[t\sq za formulog u = – µ µ τ τ τ τ τ τ− − −∞ ∗ +∞ ∗− +           ∫ ∫1 1 1 2 2 2 2 1 4 f y I g g d g g dn x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) × × −∞ ∗ +∞ ∗ − ∗∫ ∫+           y y f s f s ds f s f s ds g x1 1 1 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (43) 4. Faktoryzaciq operatora rozsiqnnq binarnymy peretvorennqmy Darbu. 4.1. Qkwo v matryçnomu potenciali Ω[ ],σϕ ϕ (17) poklasty x0 = +∞ , y0 = −∞ ( , )x y0 0= −∞ = +∞ , analohiçno do poperednix mirkuvan\ otryma[mo operatory binarnyx peretvoren\ Darbu, qki poznaçatymemo vidpovidno W̃1 ( )W̃2 : W̃1 = I y s ds y d x s ds x d y x y x− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅             − ∗ −∞ − − ∗ +∞ − ∗ −∞ − − ∗ +∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ( ) ˜ ( ) , ( ) ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) , ( ) ˜ ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ , (44) ∆̃1 = ˜ ( ) ( ) ( ) ( )C s s ds d y x 1 1 1 1 2 2+ +∗ −∞ − ∗ +∞ ∫ ∫ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ, C̃1 — dovil\na stala ( )2 2n n× -matrycq; ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 1106 M. D. POÇYNAJKO, G. M. SYDORENKO W̃2 = I y s ds y d x s ds x d y x y x− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅             − ∗ +∞ − − ∗ −∞ − ∗ +∞ − − ∗ −∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ˜ ( ) , ( ) ˜ ( ) ( ) ˜ ( ) , ( ) ˜ ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ , (45) ∆̃2 = ˜ ( ) ( ) ( ) ( )C s s ds d y x 2 1 1 1 2 2+ +∗ +∞ − ∗ −∞ ∫ ∫ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ , C̃2 — stala matrycq. U c\omu vypadku stali C̃1, C̃2 zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq C̃2 = ˜ ( ) ( ) ( ) ( )C s s ds d1 1 1 1 2 2+ −∗ −∞ +∞ − ∗ −∞ +∞ ∫ ∫ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ. (46) Bezposerednimy obçyslennqmy otrymu[mo oberneni operatory W̃1 1− , W̃2 1− : W̃1 1− = I y x s s ds y d x x s s ds x d y x y+ ⋅ −∞ ⋅ ⋅ −∞ ⋅ − ∗ −∞ − − ∗ +∞ − ∗ −∞ − − ∗ ∫ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ( ) ˜ ( , ) ( ) , ( ) ˜ ( , ) ( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) , ( ) ˜ ( , ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ ττ +∞ ∫             x , (47) W̃2 1− = I y x s s ds y d x x s s ds x d y x y+ ⋅ +∞ ⋅ ⋅ +∞ ⋅ − ∗ +∞ − − ∗ −∞ − ∗ +∞ − − ∗ ∫ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ˜ ( , ) ( ) , ( ) ˜ ( , ) ( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) , ( ) ˜ ( , ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ ττ −∞ ∫             x . (48) Analohiçno do formul (27), (29) vyznaçymo operatory S̃, S̃−1: q p= S̃ , ˜ : ˜ ˜S = −W W2 1 1, ˜ : ˜ ˜S− −=1 1 1 2W W . (49) Vykorystovugçy formuly (44), (45), (47), (48), otrymu[mo qvnyj vyhlqd operatoriv (49): S̃ = I – – −∞ +∞ − ∗ − −∞ +∞ − ∗ −∞ +∞ − ∗ − −∞ +∞ − ∫ ∫ ∫ ∫ −∞ +∞ ⋅ − −∞ +∞ ⋅ −∞ +∞ ⋅ − ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 ( ) ˜ ( , ) ( ) , ( ) ˜ ( , ) ( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) , ( ) ˜ ( y s ds y d x s ds x ∆ ∆ ∆ ∆ −−∞ +∞ ⋅             ∗, ) ( )ϕ τ τ2 d , (50) S̃−1 = I + + −∞ +∞ − ∗ − −∞ +∞ − ∗ −∞ +∞ − ∗ − −∞ +∞ − ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ ⋅ − +∞ −∞ ⋅ +∞ −∞ ⋅ − ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ ϕ ϕ µ ϕ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 ( ) ˜ ( , ) ( ) , ( ) ˜ ( , ) ( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) , ( ) ˜ ( y s ds y d x s ds x ∆ ∆ ∆ ∆ ++∞ −∞ ⋅             ∗, ) ( )ϕ τ τ2 d . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 POBUDOVA OPERATORIV ROZSIQNNQ METODOM BINARNYX … 1107 4.2. Vyberemo stalu ( )2 2n n× -matrycg C̃1 u vyhlqdi C̃1 = 0 0 I I n n     , a fiksovanyj rozv’qzok ϕ systemy (15) u vyhlqdi (31). Todi za formulamy (50) otryma[mo S̃ = I M M M M −       ˜ ˜ ˜ ˜ 11 12 21 22 , de M̃11 = – f y I B B B f s dsn1 22 11 1 22 1( ) ( )[ ]+ ⋅− ∗ −∞ +∞ ∫ , M̃12 = µ τ− − ∗ −∞ +∞ + ⋅∫1 1 22 11 1 2f y I B B g dsn( ) ( )[ ] , M̃21 = – g x I B B f s dsn2 11 22 1 1( ) ( )[ ]+ ⋅− ∗ −∞ +∞ ∫ , (51) M̃22 = µ τ τ− − ∗ −∞ +∞ + ⋅∫1 2 11 22 1 11 2g x I B B B g dn( ) ( )[ ] , S̃−1 = I f y g d g x f s ds + ⋅ − ⋅             − −∞ ∞ ∗ −∞ ∞ ∗ ∫ ∫ 0 0 1 1 2 2 1 µ τ τ( ) ( ) ( ) ( ) . U c\omu vypadku potencial u operatora L (12) obçyslg[t\sq za formulog (35). Obçyslymo elementy matryçnoho operatora W̃1, qki poznaçymo W̃11 1 , W̃12 1 , W̃21 1 , W̃22 1 . Vraxovugçy (31), (36), (44), znaxodymo W̃11 1 = 1 1 22 11 1 22 1+ − ⋅− −∞ ∗∫f y I A A A f s dsn y ( )[ ] ( ) , W̃12 1 = µ τ τ− − +∞ ∗− ⋅∫1 1 22 11 1 2f y I A A g dn x ( )[ ] ( ) , (52) W̃21 1 = g x I A A f s dsn y 2 11 22 1 1( )[ ] ( )− ⋅− −∞ ∗∫ , W̃22 1 = 1 1 2 11 22 1 11 2+ − ⋅− − +∞ ∗∫µ τ τg x I A A A g dn x ( )[ ] ( ) , de A11 = f s f s ds y 1 1 ∗ −∞ ∫ ( ) ( ) , A22 = µ τ τ τ− ∗ +∞ ∫1 2 2g g d x ( ) ( ) . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 1108 M. D. POÇYNAJKO, G. M. SYDORENKO Na pidstavi formul (16), (44), (52) rozv’qzok Y = Y x y Y x y 1 2 ( , ) ( , )     systemy Diraka L Y1 = 0 (13), de L1 — operator vyhlqdu (12), nabere vyhlqdu Y1 = p y f y I A A A f s p s ds g p dn y x 1 1 22 11 1 22 1 1 1 2 2( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )+ − +         − −∞ ∗ − ∗ +∞ ∫ ∫µ τ τ τ , (53) Y2 = p x g x I A A A g p d f s p s dsn x y 2 2 11 22 1 11 1 2 2 1 1( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )+ − +         − − +∞ ∗ −∞ ∗∫ ∫µ τ τ τ , pry c\omu potencial u operatora L1 (12), qk i v pp.33.1, ma[ vyhlqd (35). Ot- Ωe, operator L1 (12) z potencialom u (35) moΩna otrymaty qk za dopomohog operatoriv binarnyx peretvoren\ W1, W2 (22), (23), tak i za dopomohog operato- riv W̃1, W̃2 (44), (45). Dlq c\oho neobxidno pravyl\no vybyraty stali matryci C1, C̃1. A same, C1 zada[t\sq formulog (32), a C̃1 = 0 0 I I n n     . 4.3. Rozhlqnemo pary ( ( ), ( ))b y a x1 2 , ( ( ), ( ))a y b x1 2 asymptotyk (2) i vyznaçy- mo operator rozsiqnnq Ŝ rivnistg a y b x 1 2 ( ) ( )     = ˆ ( ) ( ) S b y a x 1 2     . (54) U c\omu pidpunkti my pokaΩemo, wo operator rozsiqnnq Ŝ dlq systemy Di- raka rozklada[t\sq v kompozycig tr\ox avtoperetvoren\ Darbu, odne z qkyx za- da[t\sq invariantnym operatorom S̃ = ˜ ˜W W2 1 1 − . Operator rozsiqnnq Ŝ pobudu[mo za dopomohog binarnyx peretvoren\ Darbu (44), (45). Dlq c\oho v rivnosti (49) poklademo p = p y p x 1 2 ( ) ( )     = ˜ ( ) ( ) S1 1 1 2 −     b y a x , q = q y q x 1 2 ( ) ( )     = ˜ ( ) ( ) S2 1 1 2 −     a y b x , (55) de S̃1 1− = I y s s ds x d y x+ +∞ ⋅ −∞ ⋅             − ∗ −∞ − − ∗ +∞ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ 1 1 1 1 1 2 1 1 2 0 0 ( ) ˜ ( , ) ( ) , , ( ) ˜ ( , ) ( ) ∆ ∆ , (56) S̃2 1− = I y s s ds x d y x+ −∞ ⋅ +∞ ⋅             − ∗ +∞ − − ∗ −∞ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ τ ϕ τ τ 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0 0 ( ) ˜ ( , ) ( ) , , ( ) ˜ ( , ) ( ) ∆ ∆ , i, vidpovidno, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 POBUDOVA OPERATORIV ROZSIQNNQ METODOM BINARNYX … 1109 S̃1 = I y y s ds x x d y x− +∞ ⋅ −∞ ⋅             − ∗ −∞ − − ∗ +∞ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ 1 1 1 1 1 2 1 1 2 0 0 ( ) ˜ ( , ) ( ) , , ( ) ˜ ( , ) ( ) ∆ ∆ , (57) S̃2 = I y y s ds x x d y x− −∞ ⋅ +∞ ⋅             − ∗ +∞ − − ∗ −∞ ∫ ∫ ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ τ 1 2 1 1 1 2 2 1 2 0 0 ( ) ˜ ( , ) ( ) , , ( ) ˜ ( , ) ( ) ∆ ∆ . (58) Operatory S̃1, S̃2 ta ]x oberneni [ operatoramy binarnyx avtoperetvoren\ typu Darbu u prostori rozv’qzkiv nezbureno] systemy Diraka (15). }x vyznaçennq dozvolq[ zadovol\nyty umovu (54), qka vydilq[ sered usix operatoriv, wo digt\ invariantno u prostori rozv’qzkiv nezbureno] systemy (15), [dynyj operator roz- siqnnq Ŝ . A same, z rivnostej (49), (54), (55) otrymu[mo Ŝ = ˜ ˜ ˜S SS2 1 1− . (59) Bezposerednimy obçyslennqmy (dyv. dodatok), vykorystovugçy (44), (48), (50), (56) – (58), otrymu[mo operator rozsiqnnq Ŝ u qvnomu vyhlqdi Ŝ = I S S S S −       ˆ ˆ ˆ ˆ 11 12 21 22 , (60) de Ŝ11 = ϕ µ ϕ ϕ τ ϕ1 2 1 1 2 2 2 1 1( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )y y d s s ds y ∆ ∆− − −∞ +∞ ∗ −∞ − ∗−∞         +∞ ⋅∫ ∫ , Ŝ12 = – µ ϕ τ ϕ τ τ− − −∞ +∞ − ∗−∞ −∞ −∞ −∞ ⋅∫1 1 2 1 2 2 1 2( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )y y d∆ ∆ ∆ , Ŝ21 = ϕ ϕ2 2 1 2 2 1 1( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )x x s s ds∆ ∆ ∆− −∞ +∞ − ∗+∞ +∞ +∞ +∞ ⋅∫ , Ŝ22 = – µ ϕ ϕ ϕ η ϕ τ τ− − −∞ +∞ ∗ +∞ − ∗−∞         +∞ ⋅∫ ∫1 2 1 1 1 1 1 1 2( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )x x dy d x ∆ ∆ . Z rivnosti (59), vraxovugçy formuly (45), (47), (50), (56), (57), znaxodymo obernenyj operator Ŝ −1 : Ŝ−1 = ˜ ˜ ˜S S S1 1 2 1− − = I S S S S +       − − − − ˆ ˆ ˆ ˆ 11 1 12 1 21 1 22 1 , (61) de Ŝ11 1− = ϕ µ ϕ ϕ ϕ1 1 1 1 2 2 2 1 1( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )y y dx s s ds y ∆ ∆− − −∞ +∞ ∗ +∞ − ∗+∞         −∞ ⋅∫ ∫ , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 1110 M. D. POÇYNAJKO, G. M. SYDORENKO Ŝ12 1− = – µ ϕ τ ϕ τ τ− − −∞ +∞ − ∗+∞ +∞ +∞ +∞ ⋅∫1 1 1 1 1 1 1 2( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )y y d∆ ∆ ∆ , Ŝ21 1− = ϕ ϕ2 1 1 1 1 1 1( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )x x s s ds∆ ∆ ∆− −∞ +∞ − ∗−∞ −∞ −∞ −∞ ⋅∫ , Ŝ22 1− = – µ ϕ ϕ ϕ η ϕ τ τ− − −∞ +∞ ∗ −∞ − ∗−∞         +∞ ⋅∫ ∫1 2 1 1 1 1 1 1 2( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )x x ds d x ∆ ∆ . ZauvaΩymo, wo rivnist\ (59), vraxovugçy (49), moΩna zapysaty tak: Ŝ = ˜ ˜ ˜ ˜S S2 2 1 1 1 1W W− − = ˆ ˆW W2 1 1 − , de Ŵ1 = ˜ ˜W1 1 1S− , Ŵ2 = ˜ ˜W2 2 1S− (62) [ zvyçajnymy operatoramy peretvoren\, wo perevodqt\ vidpovidni asymptotyky u rozv’qzky rivnqn\ Diraka [1, 2]. Operatory binarnyx peretvoren\ Darbu Ŵ1, Ŵ2 magt\ vidpovidno vyhlqd Ŵ1 = I A A A A −       ˆ ˆ ˆ ˆ 11 12 21 22 , Ŵ2 = I B B B B −     ˆ ˆ ˆ ˆ 11 12 21 22 , (63) de Â11 = – ϕ µ ϕ ϕ τ ϕ1 1 1 1 2 2 1 1 1( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )y x y d s s ds x y ∆ ∆− − +∞ ∗ −∞ − ∗∫ ∫         +∞ ⋅ , Â12 = µ ϕ τ ϕ τ τ− − +∞ − ∗−∞ −∞ ⋅∫1 1 1 1 1 1 1 2( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )y x y x d x ∆ ∆ ∆ , (64) Â21 = ϕ ϕ2 1 1 1 1 1 1( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )x x y y s s ds y ∆ ∆ ∆− −∞ − ∗+∞ +∞ ⋅∫ , Â22 = – µ ϕ ϕ ϕ τ ϕ τ τ− − −∞ ∗ +∞ − ∗∫ ∫         −∞ ⋅1 2 1 1 1 1 1 1 2( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )x x y ds d y x ∆ ∆ , B̂11 = – ϕ µ ϕ ϕ τ ϕ1 2 1 1 2 2 2 1 1( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )y x y d s s ds y y ∆ ∆− − −∞ ∗ +∞ − ∗∫ ∫         −∞ ⋅ , B̂12 = µ ϕ τ ϕ τ τ− − −∞ − ∗+∞ +∞ ⋅∫1 1 2 1 2 2 1 2( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )y x y x d x ∆ ∆ ∆ , (65) B̂21 = ϕ ϕ2 2 1 2 2 1 1( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )x x y y s s ds y ∆ ∆ ∆− +∞ − ∗−∞ −∞ ⋅∫ , B̂22 = – µ ϕ ϕ ϕ τ ϕ τ τ− − +∞ ∗ −∞ − ∗∫ ∫         +∞ ⋅1 2 2 1 1 1 2 1 2( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )x x y ds d y x ∆ ∆ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 POBUDOVA OPERATORIV ROZSIQNNQ METODOM BINARNYX … 1111 ZauvaΩennq. Z oçevydnyx spivvidnoßen\ [ ], ˜L0 1S = [ ], ˜L0 2S = 0 (66) vyplyva[, wo koΩen iz faktoriv W̃1, W̃2 (44), (45) ta Ŵ1, Ŵ2 (63), (64) opera- toriv S̃ i Ŝ moΩna vykorystaty v qkosti odqhagçoho binarnoho peretvorennq typu Darbu L L0 1→ : L1 = ˜ ˜W L W1 0 1 1− = ˜ ˜W L W2 0 2 1− = ˆ ˆW L W1 0 1 1− = ˆ ˆW L W2 0 2 1− . (67) 4.4. U c\omu pidpunkti my navedemo qvnyj vyhlqd operatora rozsiqnnq Ŝ i obernenoho operatora Ŝ −1 dlq systemy Diraka (13) z operatorom L1 vyhlqdu (12), potencialom u (35) i zahal\nym rozv’qzkom Y (53). Vybyragçy, qk i v pp.34.2, stalu C̃1 u vyhlqdi C̃1 = 0 0 I I n n     , a fiksovanyj rozv’qzok systemy (15) u vyhlqdi (31), zhidno z formulamy (46), (60), (61) otrymu[mo C̃2 = f f dy I I g g dx n n 1 1 1 2 2 ∗ −∞ +∞ − ∗ −∞ +∞ ∫ ∫−        µ , Ŝr = I F F F F −     ˆ ˆ ˆ ˆ 11 12 21 22 , de F̂11 = µ µ− − −∞ +∞ ∗ −∞ ∗ − −∞ +∞ ∗ −∞ ∗+         ⋅∫ ∫ ∫ ∫1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1f y I g g dx f f ds g g dx f s dsn y y ( ) ( ) , F̂12 = µ µ τ τ− − −∞ +∞ ∗ −∞ ∗ − −∞ +∞ ∗+         ⋅∫ ∫ ∫1 1 1 2 2 1 1 1 2f y I g g dx f f ds g dn y ( ) ( ) , F̂21 = – g x I f f dy g g d f s dsn x 2 1 1 1 2 2 1 1( ) ( )−         ⋅− −∞ +∞ ∗ +∞ ∗ − −∞ +∞ ∗∫ ∫ ∫µ τ , F̂22 = – µ µ τ τ τ− − −∞ +∞ ∗ +∞ ∗ − −∞ +∞ ∗ +∞ ∗−         ⋅∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2g x I f f dy g g d f f ds g dn x x ( ) ( ) , Ŝr −1 = I G G G G +       ˆ ˆ ˆ ˆ 11 12 21 22 , de Ĝ11 = µ µ ξ− −∞ +∞ ∗ +∞ − −∞ ∗ −∞ +∞ ∗ − ∗∫ ∫ ∫ ∫+         ⋅1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1f y g g dx I f f d g g dx f s ds y n s ( ) ( ) , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 1112 M. D. POÇYNAJKO, G. M. SYDORENKO Ĝ12 = µ µ η τ τ τ − −∞ +∞ − +∞ ∗ −∞ +∞ ∗ − ∗∫ ∫ ∫−         ⋅1 1 1 2 2 1 1 1 2f y I g g d f f dy g dn( ) ( ) , Ĝ21 = – g x I f f d g g dx f s dsn s 2 1 1 1 2 2 1 1( ) ( ) −∞ +∞ − −∞ ∗ −∞ +∞ ∗ − ∗∫ ∫ ∫+         ⋅µ ξ , Ĝ22 = – µ µ η τ τ τ − −∞ +∞ ∗ −∞ − +∞ ∗ −∞ +∞ ∗ − ∗∫ ∫ ∫ ∫−         ⋅1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2g x f f ds I g g d f f ds g d x n( ) ( ) . ZauvaΩymo, wo komponenty operatoriv Ŝ , Ŝ−1 zadovol\nqgt\ spivvidno- ßennq ˆ ˆ*G F21 12= −µ , ˆ ˆG F12 1 21= − − ∗µ , ˆ ˆG F11 11= ∗ , ˆ ˆG F22 22= ∗ . Analohiçni spivvidnoßennq zadovol\nqgt\ i komponenty operatora rozsiqnnq S, vyznaçenoho rivnistg (3), ta joho obernenoho S−1 pry naqvnosti dodatkovo] re- dukci] σ-kosoermitovoho sprqΩennq (12) [2]. 5. Zaklgçni zauvaΩennq. U roboti prodemonstrovano tisnyj zv’qzok miΩ takymy oblastqmy matematyçno] fizyky, qk teoriq rozsiqnnq ta teoriq peretvo- ren\ Darbu dyferencial\nyx operatoriv. Zokrema, na prykladi systemy rivnqn\ Diraka pokazano qk u toçno rozv’qzuvanomu vypadku klasyçni operatory pere- tvoren\, wo faktoryzugt\ operator rozsiqnnq, i sam operator rozsiqnnq Ŝ , vy- znaçenyj formulog (54), moΩna otrymaty v qvnomu vyhlqdi za dopomohog bi- narnyx peretvoren\ Darbu. Pry inßomu vyznaçenni operatora rozsiqnnq, a same, operatora S (3), avtoramy otrymano analohiçni rezul\taty. My spodiva[mos\, wo metodolohig ci[] roboty moΩna takoΩ uspißno zastosuvaty dlq doslidΩen- nq inßyx vaΩlyvyx operatoriv matematyçno] fizyky, i planu[mo prodemonstru- vaty ce u nastupnyx stattqx. Odyn z avtoriv (G.3M. Sydorenko) vdqçnyj takoΩ Avstrijs\kij akademiçnij sluΩbi za finansovu pidtrymku pid ças joho perebuvannq v Texniçnomu univer- syteti mista Viden\, de i bulo zaverßeno robotu nad ci[g statteg. Dodatok. Vraxovugçy formuly (56), rivnist\ (55) zapysu[mo u vyhlqdi p y1( ) = b y y s s b s ds y 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )+ +∞− ∗ −∞ ∫ϕ ϕ∆ , (68) p x2( ) = a x x a d x 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )+ −∞− − ∗ +∞ ∫µ ϕ τ ϕ τ τ τ∆ . Z rivnosti (49) otrymu[mo q y1( ) = p y y s p s ds p d1 1 2 1 1 1 1 2 2( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )− −∞ +∞ −         − −∞ +∞ ∗ − −∞ +∞ ∗∫ ∫ϕ ϕ µ ϕ τ τ τ∆ , (69) q x2( ) = p x x s p s ds p d2 2 2 1 1 1 1 2 2( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )− −∞ +∞ −         − −∞ +∞ ∗ − −∞ +∞ ∗∫ ∫ϕ ϕ µ ϕ τ τ τ∆ . Pidstavlqgçy vyrazy dlq funkcij p y1( ), p x2( ) (68) u rivnosti (69), pislq ele- mentarnyx peretvoren\ (zaminy porqdku intehruvannq v podvijnyx intehralax) oderΩu[mo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 POBUDOVA OPERATORIV ROZSIQNNQ METODOM BINARNYX … 1113 q y1( ) = b y y s s b s ds y s b s ds y 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )+ +∞ − −∞ +∞− ∗ −∞ − −∞ +∞ ∗∫ ∫ϕ ϕ ϕ ϕ∆ ∆ + + ϕ ϕ1 2 1 1 1 1 1( ) ˜ ( , ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )y B s s s b s ds∆ ∆− −∞ +∞ − ∗−∞ +∞ +∞∫ + + µ ϕ ϕ τ τ τ− − −∞ +∞ ∗−∞ +∞ ∫1 1 2 1 2 2( ) ˜ ( , ) ( ) ( )y a d∆ – – µ ϕ τ τ ϕ τ τ τ− − −∞ +∞ − ∗−∞ +∞ −∞∫1 1 2 1 1 1 2 2( ) ˜ ( , ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )y A a d∆ ∆ , (70) q x2( ) = a x x a d x 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )+ −∞− − ∗ +∞ ∫µ ϕ τ ϕ τ τ τ∆ – – ϕ ϕ2 2 1 1 1( ) ˜ ( , ) ( ) ( )x s b s ds∆− −∞ +∞ ∗−∞ +∞ ∫ + + ϕ ϕ2 2 1 1 1 1 1( ) ˜ ( , ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )x B s s s b s ds∆ ∆− −∞ +∞ − ∗−∞ +∞ +∞∫ – – µ ϕ τ τ ϕ τ τ τ− − − ∗ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞∫1 2 2 1 1 1 2 2( ) ˜ ( , ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )x A a d∆ ∆ + + µ ϕ ϕ τ τ τ− − −∞ +∞ ∗−∞ +∞ ∫1 2 2 1 2 2( ) ˜ ( , ) ( ) ( )x a d∆ , de B ( s ) = ϕ ξ ϕ ξ ξ1 1 ∗ +∞ ∫ ( ) ( )d s , A ( τ ) = µ ϕ η ϕ η η τ − −∞ ∗∫1 2 2( ) ( )d . Operator rozsiqnnq Ŝ znaxodymo z rivnosti a y b x 1 2 ( ) ( )     = ˜ ( ) ( ) S2 1 2 q y q x     : = ˆ ( ) ( ) S b y a x 1 2     , (71) de operator S̃2 zadano formulog (57). Perßa rivnist\ u spivvidnoßennqx (71) nabyra[ vyhlqdu a y1( ) = q y y y s q s ds y 1 1 2 1 1 1( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )− −∞− +∞ ∗∫ϕ ϕ∆ , (72) b x2( ) = q x x x q d x 2 1 2 2 1 2 2( ) ( ) ˜ ( , ) ( ) ( )− +∞− − −∞ ∗∫µ ϕ ϕ τ τ τ∆ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 1114 M. D. POÇYNAJKO, G. M. SYDORENKO Pidstavlqgçy formuly (70) u rivnosti (72), znaxodymo matryçni elementy ope- ratora rozsiqnnq Ŝ (71) u vyhlqdi (60). Napryklad, pislq zhadano] pidstanovky operator Ŝ12 vyznaça[t\sq rivnistg Ŝ12 = µ ϕ− − − −−∞ +∞ − −∞ −∞ +∞[ ]1 1 2 1 2 1 2 1( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( ) ˜ ( , )y y B y∆ ∆ ∆ × × −∞ +∞ − ∗∫ − −∞[ ]I A d( ) ˜ ( , ) ( )τ τ ϕ τ τ∆1 1 2 . (73) Vraxovugçy, wo ˜ ( , )∆1 x y = C̃ ds d y x 1 1 1 1 2 2+ + −∞ ∗ − +∞ ∗∫ ∫ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ = = ˜ ( , )∆2 x y = C̃ ds d y x 2 1 1 1 2 2+ + +∞ ∗ − −∞ ∗∫ ∫ϕ ϕ µ ϕ ϕ τ , z rivnosti (73) otrymu[mo Ŝ12 = µ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− +∞ ∗ − +∞ ∗ −− +       + −              ∫ ∫1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1( ) ˜ ˜ ˜ ˜y I C ds C ds C C y y × × −∞ +∞ −∞ +∞ ∗ − −∞ ∗ −∞ +∞ ∗∫ ∫ ∫ ∫− − + − +           I C ds d C ds˜ ˜ 2 1 1 1 2 2 2 1 1ϕ ϕ µ ϕ ϕ η ϕ ϕ τ × × ˜ ( )C ds d d2 1 1 1 2 2 1 2− +           ⋅ −∞ +∞ ∗ − −∞ ∗ − ∗∫ ∫ϕ ϕ µ ϕ ϕ η ϕ η η τ = = µ ϕ τ ϕ τ τ− − −∞ +∞ − ∗−∞ −∞ −∞ −∞ ⋅∫1 1 2 1 2 2 1 2( ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ˜ ( , ) ( )y y d∆ ∆ ∆ . Analohiçno znaxodymo inßi matryçni elementy operatora rozsiqnnq Ŝ (71). 1. NyΩnyk L. P. Obratnaq nestacyonarnaq zadaça rasseqnyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1973. – 1823s. 2. NyΩnyk L. P. Obratn¥e zadaçy rasseqnyq dlq hyperbolyçeskyx uravnenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1991. – 2323s. 3. NyΩnyk L. P., Poçynajko M. D. Yntehryrovanye prostranstvenno-dvumernoho nelynejnoho uravnenyq Íredynhera metodom obratnoj zadaçy // Funkcyon. analyz. – 1982. – 16, v¥p.31. – S.380 – 82. 4. Ablowitz M. J., Haberman R. Nonlinear evolution equations – two and three dimensions // Phys. Rev. Lett. – 1975. – 35, # 18. – P. 1185 – 1188. 5. Cornille H. Solutions of the generalized non-linear Schrödinger equation in two spatial dimensions // J. Math. Phys. – 1979. – 20, # 1. – P. 199 – 209. 6. Zaxarov V. E., Manakov S. V., Novykov S. P., Pytaevskyj L. P. Teoryq solytonov. Metod obratnoj zadaçy. – M.: Nauka, 1980. – 3203s. 7. Zakharov V. Ye. Inverse scattering problem method // Solitons / Ed. R. K. Bullough, P. J. Caudrey. – Berlin etc.: Springer, 1980. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8 POBUDOVA OPERATORIV ROZSIQNNQ METODOM BINARNYX … 1115 8. Matveev V. B., Salle M. A. Darboux transformations and solitons. – Berlin; Heidelberg: Springer, 1991. – 120 p. 9. Nimmo J. J. C. Darboux transformations for a two-dimensional Zakharov – Shabat AKNS spectral problem // Inverse Problems. – 1992. – 8. – P. 219 – 243. 10. Guil F., Manas M. Darboux transformation for the Davey – Stewartson equations // Phys. Lett. A. – 1996. – 217. – P. 1 – 6. 11. Sydorenko G. M. Binarni peretvorennq i (2 + 1)-vymirni intehrovni systemy // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 11. – S. 1531 – 1550. 12. Sydorenko Yu. M. Factorization of matrix differential operators and Darboux-like transformations // Mat. Stud. – 2003. – 19, # 2. – S. 181 – 192. 13. Poçynajko M. D., Sydorenko G. M. Intehruvannq deqkyx (2 + 1)-vymirnyx intehrovnyx sys- tem metodamy oberneno] zadaçi rozsiqnnq ta binarnyx peretvoren\ Darbu // Mat. stud. – 2003. – 19, # 2. – S. 119 – 132. 14. Pochynayko M., Sydorenko Yu. Operators of binary Darboux transformations for Dirac’s system // Proc. Inst. Math. NAS Ukraine. – 2004. – 50, Pt 1. – P. 458 – 462. 15. Sydorenko Yu. Generalized binary Darboux-like theorem for constrained Kadomtsev – Petviashvili (cKP) flows // Proc. Inst. Math. NAS Ukraine. – 2004. – 50, Pt 1. – P. 470 – 477. OderΩano 09.09.2005, pislq doopracgvannq — 25.11.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
id	umjimathkievua-article-3516
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:43:59Z
publishDate	2006
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/8d/1f624532087a56fa1396f1994e4be08d.pdf
spelling	umjimathkievua-article-35162020-03-18T19:56:35Z Construction of scattering operators by the method of binary Darboux transformations Побудова операторів розсіяння методом бінарних перетворень Дарбу Pochynaiko, M. D. Sidorenko, Yu. M. Починайко, М. Д. Сидоренко, Ю. М. By using the binary Darboux transformations, we construct scattering operators for a Dirac system with special potential depending on 2n arbitrary functions of a single variable. It is shown that one of the operators coincides with the scattering operator obtained by Nyzhnyk in the case of degenerate scattering data. It is also demonstrated that the scattering operator for the Dirac system is either obtained as a composition of three Darboux self-transformations or factorized by two operators of binary transformations of special form. We also consider several cases of reduction of these operators. З допомогою бінарних перетворень Дарбу побудовано оператори розсіяння для системи Дірака з спеціальним потенціалом, що залежить від 2n довільних функцій однієї змінної. Показано, що один із них збігається з оператором розсіяння, отриманим Л. П. Нижником, у випадку вироджених даних розсіяння. Продемонстровано, що оператор розсіяння для системи Дірака отримується як композиція трьох автоперетворень Дарбу або факторизується двома операторами бінарних перетворень спеціального вигляду. Розглянуто також декілька редукцій цих операторів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3516 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 8 (2006); 1097–1115 Український математичний журнал; Том 58 № 8 (2006); 1097–1115 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3516/3769 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3516/3770 Copyright (c) 2006 Pochynaiko M. D.; Sidorenko Yu. M.
spellingShingle	Pochynaiko, M. D. Sidorenko, Yu. M. Починайко, М. Д. Сидоренко, Ю. М. Construction of scattering operators by the method of binary Darboux transformations
title	Construction of scattering operators by the method of binary Darboux transformations
title_alt	Побудова операторів розсіяння методом бінарних перетворень Дарбу
title_full	Construction of scattering operators by the method of binary Darboux transformations
title_fullStr	Construction of scattering operators by the method of binary Darboux transformations
title_full_unstemmed	Construction of scattering operators by the method of binary Darboux transformations
title_short	Construction of scattering operators by the method of binary Darboux transformations
title_sort	construction of scattering operators by the method of binary darboux transformations
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3516
work_keys_str_mv	AT pochynaikomd constructionofscatteringoperatorsbythemethodofbinarydarbouxtransformations AT sidorenkoyum constructionofscatteringoperatorsbythemethodofbinarydarbouxtransformations AT počinajkomd constructionofscatteringoperatorsbythemethodofbinarydarbouxtransformations AT sidorenkoûm constructionofscatteringoperatorsbythemethodofbinarydarbouxtransformations AT pochynaikomd pobudovaoperatorívrozsíânnâmetodombínarnihperetvorenʹdarbu AT sidorenkoyum pobudovaoperatorívrozsíânnâmetodombínarnihperetvorenʹdarbu AT počinajkomd pobudovaoperatorívrozsíânnâmetodombínarnihperetvorenʹdarbu AT sidorenkoûm pobudovaoperatorívrozsíânnâmetodombínarnihperetvorenʹdarbu

Construction of scattering operators by the method of binary Darboux transformations

Репозитарії

Схожі ресурси