Multiparameter inverse problem of approximation by functions with given supports
Let $L_p(S),\;0 < p < +∞$, be a Lebesgue space of measurable functions on $S$ with ordinary quasinorm $∥·∥_p$. For a system of sets $\{B t |t ∈ [0, +∞)^n \}$ and a given function $ψ: [0, +∞) n ↦ [ 0, +∞)$, we establish necessary and sufficient conditions for the existence of a function...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3517 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509622112092160 |
|---|---|
| author | Nesterenko, A. N. Radzievskii, G. V. Нестеренко, А. Н. Радзиевский, Г. В. Нестеренко, А. Н. Радзиевский, Г. В. |
| author_facet | Nesterenko, A. N. Radzievskii, G. V. Нестеренко, А. Н. Радзиевский, Г. В. Нестеренко, А. Н. Радзиевский, Г. В. |
| author_sort | Nesterenko, A. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:35Z |
| description | Let $L_p(S),\;0 < p < +∞$, be a Lebesgue space of measurable functions on $S$ with ordinary quasinorm $∥·∥_p$. For a system of sets $\{B t |t ∈ [0, +∞)^n \}$ and a given function $ψ: [0, +∞) n ↦ [ 0, +∞)$, we establish necessary and sufficient conditions for the existence of a function $f ∈ L_p(S)$ such that $\inf \{∥f − g∥^p_p| g ∈ L_p(S),\;g = 0$ almost everywhere on $S\B t } = ψ (t), t ∈ [0, +∞)^n$. As a consequence, we obtain a generalization and improvement of the Dzhrbashyan theorem on the inverse problem of approximation by functions of the exponential type in $L_2$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.518.8
H V Radzyevskyj. . (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev),
A. N. Nesterenko (Kyev. nac. un-t ym. T. Íevçenko)
MNOHOPARAMETRYÇESKAQ OBRATNAQ ZADAÇA
PRYBLYÛENYQ POSREDSTVOM FUNKCYJ
S ZADANNÁMY NOSYTELQMY
*
Let L Sp ( ) , 0 < p < + ∞, be the Lebesgue space of measurable functions on S with ordinary quasinorm
⋅ p . For the system of sets B tt
n∈ + ∞[ ){ }0, and the given function ψ : [ 0, + ∞ )
n
� [ 0, +∞ ),
we establish necessary and sufficient conditions for the existence of the function f ∈ L Sp ( ) such that
inf ( ), almost everywhere on \f g g L S g S Bp
p
tp− ∈ ={ }0 = ψ ( t ) , t ∈ [ 0, + ∞ )
n
. As a
corollary, we obtain the generalization and strengthening of the Dzhrbashyan theorem on the inverse
problem of the approximation in L2 by functions of exponential type.
Nexaj L Sp ( ) , 0 < p < + ∞, — prostir Lebeha vymirnyx funkcij na S zi zvyçajnog kvazinormog
⋅ p . Dlq systemy mnoΩyn B tt
n∈ + ∞[ ){ }0, i zadano] funkci] ψ : [ 0, + ∞ )
n
� [ 0, +∞ )
znajdeno neobxidni ta dostatni umovy isnuvannq tako] funkci] f ∈ L Sp ( ) , wo
inf ( ), \f g g L S g S Bp
p
tp− ∈ ={ }0 majΩe skriz\ na = ψ ( t ), t ∈ [ 0, + ∞ )
n
. Qk naslidok
otrymano uzahal\nennq ta posylennq teoremy DΩrbaßqna pro obernenu zadaçu nablyΩennq v
L2 za dopomohog funkcij eksponencial\noho typu.
1. Vvedenye. Formulyrovka osnovnoho rezul\tata y nekotor¥e eho sled-
stvyq. V perv¥x dvux punktax vse funkcyonal\n¥e prostranstva sostoqt lybo
yz vewestvennoznaçn¥x, lybo yz kompleksnoznaçn¥x funkcyj, a v p. 3 — yz
kompleksnoznaçn¥x. Pust\ N : = { 1, 2, … }, Z+ : = N ∪ { 0 }, R : = ( – ∞, + ∞ ), a
R+ : = [ 0, + ∞ ). Dlq n ∈ N, t = ( t1 , … , tn ) ∈ R
n
, s = ( s1 , … , sn ) ∈ R
n
polahaem
t ∧ s : = min , , , min ,t s t sn n1 1{ } … { }( ) ,
a takΩe t ≤ s ( t < s ), esly tk ≤ sk (sootvetstvenno tk < sk ) pry vsex k ∈ { 1, …
… , n }. Pust\ 0 — nulevoj vektor prostranstva R
n
.
Dannaq rabota posvqwena obratn¥m zadaçam teoryy pryblyΩenyj. Perv¥j
fundamental\n¥j rezul\tat v πtom napravlenyy b¥l poluçen S.;N.;Bernßtej-
nom [1]. V svqzy s πtym voznykly zadaçy Y. P. Natansona [2 – 4] y M. F. Tymana
[5, 6], a takΩe teorema M. M. DΩrbaßqna [7], [8] (teorema ◊I.14.2), k kotor¥m
neposredstvenno y vosxodqt postanovky zadaç, rassmatryvaem¥x v rabote.
Zadaçy Y. P. Natansona y M. F. Tymana predstavlqgt soboj çastn¥e sluçay
sledugwej zadaçy.
Zadaça. Pust\ X kk
n∈{ }+Z — sovokupnost\ podprostranstv banaxova
prostranstva X s normoj ⋅ . Dlq posledovatel\nosty çysel
Ψ( )k k n∈{ }+Z ⊂ R + trebuetsq najty neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq su-
westvovanyq takoho πlementa f ∈ X, çto
inf f g g Xk− ∈{ } = Ψ ( k ), k ∈ Z+
n
. (1)
∏lement f, udovletvorqgwyj sootnoßenyg (1), budem naz¥vat\ reßenyem
obratnoj zadaçy (1).
*
Çastyçno podderΩana Hosudarstvenn¥m fondom fundamental\n¥x yssledovanyj Ukrayn¥
(proekt F7/329-2001).
©
H V RADZYEVSKYJ. . , A. N. NESTERENKO, 2006
1116 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
MNOHOPARAMETRYÇESKAQ OBRATNAQ ZADAÇA PRYBLYÛENYQ … 1117
Y. P. Natanson postavyl πtu zadaçu dlq sluçaq, kohda n = 2, X = C 0 1 2,[ ]( ) ,
|| ⋅ || — ravnomernaq norma y Xk — podprostranstvo alhebrayçeskyx mnohoçle-
nov ot x1 y x2
, stepen\ kotor¥x po x1 y x2 ne prev¥ßaet k1 y k2 sootvet-
stvenno, a M. F. Tyman — takΩe dlq sluçaq n = 2, no kohda X =
= Lp 0 2 2, π[ ]( ) , 1 ≤ p ≤ + ∞, s sootvetstvugwej normoj y X k qvlqetsq pod-
prostranstvom tryhonometryçeskyx polynomov ot x1 y x2
, porqdky kotor¥x
po x1 y x2 ne prev¥ßagt k1 y k2 sootvetstvenno. Ny zadaça Y. P. Natansona,
ny zadaça M. F. Tymana (pry p ≠ 2 ), naskol\ko yzvestno avtoram, do syx por ne
reßen¥. V nastoqwej rabote v kaçestve yllgstracyy osnovnoho rezul\tata da-
no reßenye pryvedennoj zadaçy dlq hyl\bertova prostranstva pry dopolny-
tel\n¥x ohranyçenyqx na podprostranstva X kk
n∈{ }+Z (sm. sledstvye 2 y
prymer¥). Otsgda, v çastnosty, sledugt poluçenn¥e ranee reßenyq zadaçy
M.;F. Tymana y analoha zadaçy Y. P. Natansona dlq prostranstva X = L2 [6].
Teorema M. M. DΩrbaßqna otnosytsq k obratnoj zadaçe teoryy pryblyΩe-
nyq funkcyqmy πksponencyal\noho typa v L2 ( R ), çto, v svog oçered\, v sylu
unytarnosty preobrazovanyq Fur\e, ravnosyl\no pryblyΩenyg πlementov yz
L2 ( R ) funkcyqmy, nosytely kotor¥x sosredotoçen¥ na fyksyrovann¥x otrez-
kax. V dannoj rabote ustanovleno kaçestvennoe obobwenye teorem¥
M.;M.;DΩrbaßqna, a ymenno: yzuçena approksymacyq v L2 ( R
r
) y, çto bolee
vaΩno, rassmotren sluçaj, kohda nosytely funkcyj, preobrazovanyq Fur\e ko-
tor¥x prynadleΩat approksymyrugwemu mnoΩestvu, zanumerovan¥, kak y v za-
daçax Y. P. Natansona y M. F. Tymana, mnohomern¥m parametrom. Ymegtsq
druhye utoçnenyq πtoho rezul\tata M. M. DΩrbaßqna (sm. sledstvye 4).
Pust\ Lp ( S ) = Lp ( S, F, µ ), 0 < p < + ∞, — prostranstvo yzmerym¥x otnosy-
tel\no σ-alhebr¥ F çyslov¥x funkcyj f na S, dlq kotor¥x kvazynorma
|| f ||p : =
S
p
p
f d∫
/
µ
1
koneçna (pry p ≥ 1 πto norma). Vezde, krome zameçanyj 2 y 3, otnosytel\no so-
vokupnosty mnoΩestv B tt
n∈{ }+R ⊂ F predpolahaem v¥polnenye uslovyj
Bt ∩ Bs = Bt ∧ s
, t, s ∈ R+
n
, (2)
∩ B t ss <{ } = Bt
, t ∈ R+
n
, (3)
µ ( Bt ) < + ∞, t ∈ R+
n
, (4)
∪ B tt
n∈{ }+R = S. (5)
Otmetym, çto uslovye (2) harantyruet rasßyrqemost\ sovokupnosty mnoΩestv
B tt
n∈{ }+R ⊂ F v sledugwem sm¥sle:
Bt ⊂ Bs
, t, s ∈ R+
n
, t ≤ s. (6)
Opredelym podprostranstvo Xt ravenstvom
Xt : = g L S g x x S Bp t∈ = ∈{ }( ) ( ) \0 dlq poçty vsex , t ∈ R+
n
.
V rabote dano reßenye sledugweho obobwenyq dlq neprer¥vnoho parametra
odnoho çastnoho sluçaq sformulyrovannoj ranee zadaçy: pry kakyx uslovyqx
na funkcyg ψ : R+
n � R+ suwestvuet takaq funkcyq f ∈ Lp ( S ), çto
inf f g g Xp
p
t− ∈{ } = ψ ( t ), t ∈ R+
n
. (7)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1118 H V RADZYEVSKYJ. . , A. N. NESTERENKO
V dal\nejßem predpolahaem, çto B0 ≠ S, poskol\ku, vsledstvye vklgçenyq
(6), yz predpoloΩenyq B0 = S v¥tekaet ravenstvo nulg funkcyy ψ.
Pust\ funkcyq ϕ : R
n � R, a t, s ∈ R
n
, t < s. Çerez ∆ t sk k,( ] ϕ oboznaçym
pryrawenye funkcyy ϕ po k-j peremennoj na poluyntervale t sk k,( ], t. e.
∆ t s k k nk k
u u u u, ( , , , , , )( ] − +( ) … …ϕ 1 1 1 : = ϕ( , , , , , , )u u s u uk k k n1 1 1… …− + –
– ϕ( , , , , , , )u u t u uk k k n1 1 1… …− + , ( , , , , , )u u u uk k n1 1 1… …− + ∈ R
n
–
1
.
Pryrawenyem funkcyy ϕ na bruse ( t, s ] =
k
n
k kt s=∏ ( ]1
, (qvlqgwymsq prq-
m¥m proyzvedenyem poluyntervalov t sk k,( ]) naz¥vaetsq çyslo ∆ t s
n
,( ] ϕ : =
: = ∆ t sn n,( ] … ∆ t s1 1,( ] ϕ . Naprymer, esly n = 2, to ∆ t s,( ]
2 ϕ = ϕ ( s1 , s2 ) – ϕ ( t1 ,
s2 ) – ϕ ( s1 , t2 ) + ϕ ( t1 , t2 ).
Opredelenye 1 [9] (hl. II. p. 5.2). Funkcyq ϕ : R
n � R naz¥vaetsq neub¥-
vagwej (nevozrastagwej) po sovokupnosty peremenn¥x, esly dlq vsex t,
s ∈ R
n
, t < s, v¥polnqetsq neravenstvo ∆ t s
n
,( ] ϕ ≥ 0 ( ∆ t s
n
,( ] ϕ ≤ 0 sootvet-
stvenno).
Pry n = 1 vvedenn¥e ponqtyq sovpadagt s ob¥çn¥my ponqtyqmy neub¥vag-
wej y nevozrastagwej na R funkcyy, poskol\ku neravenstva ∆ t s,( ] ϕ ≥ 0 y
ϕ ( s ) ≥ ϕ ( t ), t < s, ravnosyl\n¥.
Pust\ funkcyq ϕ : R
n � R qvlqetsq neub¥vagwej po sovokupnosty pere-
menn¥x y neprer¥vnoj sprava (t. e. lim ( ),s t s t s→ ≥ ϕ = ϕ ( t ), t ∈ R
n
). Yzvestno
[9] (hl. II, § 5), çto takaq funkcyq ϕ poroΩdaet meru Lebeha – Styl\t\esa na
nekotoroj σ-alhebre podmnoΩestv R
n
, soderΩawej borelevskug σ-alhebru
� ( R
n
). SuΩenye πtoj mer¥ na � ( R
n
) oboznaçym çerez λ ϕ . Zametym, çto
λϕ t s,( ]( ) = ∆ t s
n
,( ] ϕ, t < s. Esly Ωe neprer¥vnaq sprava funkcyq ϕ : R
n � R
qvlqetsq nevozrastagwej po sovokupnosty peremenn¥x, to – ϕ — neub¥vagwaq
po sovokupnosty peremenn¥x funkcyq. Sledovatel\no, ona poroΩdaet neko-
torug meru Lebeha – Styl\t\esa, suΩenye kotoroj na � ( R
n
) oboznaçym çerez
λ – ϕ . Pry πtom λ ϕ− ( ]( )t s, = – ∆ t s
n
,( ] ϕ, t < s.
Napomnym, çto mera λ naz¥vaetsq absolgtno neprer¥vnoj otnosytel\no
mer¥ ρ na nekotoroj σ-alhebre � (oboznaçaetsq λ << ρ ), esly dlq kaΩdoho
mnoΩestva A ∈ � yz ρ ( A ) = 0 sleduet λ ( A ) = 0. Pry πtom suwestvuet proyz-
vodnaq Radona – Nykodyma
d
d
λ
ρ
, qvlqgwaqsq yzmerymoj (otnosytel\no � )
funkcyej [10] (hl. 6, § 32).
Doopredelym dlq t ∈ R
n
\ R+
n
sovokupnost\ mnoΩestv B tt
n∈{ }+R ⊂ F
formuloj Bt : = B0 , t ∈ R
n
\ R+
n , y poloΩym ν ( t ) : = µ ( Bt ), t ∈ R
n
.
Funkcyq ν ne ub¥vaet po sovokupnosty peremenn¥x y neprer¥vna sprava na
R
n
. Dejstvytel\no, vvedq mnoΩestva
∆ t s u u u uk k k k n
B, ( , , , , , )( ] … …( )
− +1 1 1
: =
: = B Bu u s u u u u t u uk k k n k k k n( , , , , , , ) ( , , , , , , )\
1 1 1 1 1 1… … … …− + − +
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
MNOHOPARAMETRYÇESKAQ OBRATNAQ ZADAÇA PRYBLYÛENYQ … 1119
( , , , , , )u u u uk k n1 1 1… …− + ∈ R
n
–
1
,
poloΩym ∆ t s
n B,( ] : = ∆ t sn n,( ] … ∆ t s B
1 1,( ] . V πtyx oboznaçenyqx yz addytyvnos-
ty mer¥ y uslovyq (6) ymeem ∆ t s
n
,( ] ν = µ ∆ t s
n B,( ]( ), t, s ∈ R
n
, t < s, otkuda y
sleduet neub¥vanye ν po sovokupnosty peremenn¥x. Neprer¥vnost\ sprava na
R
n
πtoj funkcyy v¥tekaet yz uslovyq (3).
Vvedem mnoΩestva
Sξ : = B B t ttξ ξ ξ\ ,∪ ≤ ≠{ }, ξ ∈ R+
n
\ { 0 }.
Lemma. Dlq kaΩdoho x ∈ S \ B0 suwestvuet edynstvenn¥j vektor ξ = ξ ( x )
yz R+
n
\ { 0 }, dlq kotoroho x prynadleΩyt Sξ . OtobraΩenye ξ : S \ B0 �
� R+
n
\ { 0 } yzmerymo.
Dokazatel\stvo lemm¥ pryvedeno v p. 2.
ProdolΩym funkcyg ψ yz sootnoßenyq (7) na R
n
sledugwym obrazom:
ψ ( t ) : = ψ ( 0 ), t ∈ R
n
\ R+
n
. (8)
Vo vvedenn¥x oboznaçenyqx spravedlyvo takoe utverΩdenye.
Teorema. Dlq suwestvovanyq funkcyy f ∈ Lp ( S ), udovletvorqgwej soot-
noßenyg (7), neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ funkcyq ψ ne vozrastala po
sovokupnosty peremenn¥x, b¥la neprer¥vnoj sprava na R
n
, ψ ( t ) → 0, t1 →
→ + ∞, … , tn → + ∞, y λ – ψ << λ ν . Pry πtom f moΩno zadat\ formulamy
f ( x ) : = 0, x ∈ B0 , f ( x ) : =
d
d
x
pλ
λ
ξψ
ν
− ( )
/
( )
1
, x ∈ S \ B0 . (9)
Dokazatel\stvo teorem¥ pryvedeno v p. 2.
Zameçanye 1. Pry n > 1 uslovye nevozrastanyq funkcyy ψ po sovokup-
nosty peremenn¥x nel\zq zamenyt\ uslovyem ∆ t s
n
,( ] ψ ≤ 0 dlq vsex 0 ≤ t < s.
Poqsnym πto dlq n = 2. V sylu opredelenyq (8), uslovye neub¥vanyq funkcyy
ψ po sovokupnosty peremenn¥x ravnosyl\no v¥polnenyg sledugwyx nera-
venstv: ∆ t s,( ]
2 ψ ≤ 0, ∆ t s u
1 1 2, ( )( ]( )ψ ≤ 0, ∆ t s u
2 2 1, ( )( ]( )ψ ≤ 0 dlq vsex 0 ≤ t < s,
u1 ≥ 0, u2 ≥ 0. Pry πtom yz v¥polnenyq pervoho neravenstva ne v¥tekaet v¥pol-
nenye dvux poslednyx, çto pokaz¥vaet prymer
ψ ( t1 , t2 ) =
π
2
–
1
1 1+ t
–
t t
t
2 1
21
arctg
+
, t1 ≥ 0, t2 ≥ 0.
Zdes\ v kaçestve yllgstracyy teorem¥ pryvedem dva ee sledstvyq.
Pust\
lp
n
Z+( ) : = f f k k f f kn
l
p
k
p
p
n
n
= ∈{ } = < + ∞
+ ( )
∈
+
+
∑( ): : ( )Z
Z
Z
, 0 < p < + ∞,
Bk : = j j kn∈ ≤{ }+Z ,
lp
k n( )
Z+( ) : = g l g j j Bp
n n
k∈ ( ) = ∈{ }+ +Z Z( ) , \0 , k ∈ Z+
n
.
Dlq zadannoj posledovatel\nosty çysel Ψ = Ψ( ):k k n∈{ }+Z ⊂ R poloΩym
Ψ ( k ) : = Ψ ( 0 ), k ∈ Z
n
\ Z+
n
. NyΩe pry k ∈ Z
n
polahaem k – 1 : = ( k1 – 1, … , kn – 1).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1120 H V RADZYEVSKYJ. . , A. N. NESTERENKO
Sledstvye 1. Dlq suwestvovanyq πlementa f ∈ lp
n
Z+( ), udovletvorqg-
weho sootnoßenyg
inf ( )f g g l
l
p
p
k n
p
n− ∈ ( )
+( ) +Z
Z = Ψ ( k ), k ∈ Z+
n
, (10)
neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ dlq posledovatel\nosty Ψ v¥polnqlys\
uslovyq ∆ Ψk k
n
−( ]1, ≤ 0, k ∈ Z
n
, y Ψ ( k ) → 0, k1 → + ∞, … , kn → + ∞. Pry
πtom koordynat¥ πlementa f moΩno zadat\ formuloj f ( k ) : =
: = −( )−( ]
/∆ Ψk k
n p
1
1
, , k ∈ Z+
n
.
Dokazatel\stvo. Çtob¥ svesty sledstvye 1 k teoreme, poloΩym S : = Z+
n
,
µ k{ }( ) : = 1, k ∈ S, y opredelym dlq t = ( t1 , … , tn ) ∈ R+
n
mnoΩestva Bt : =
: = k k tn∈ ≤{ }+Z y funkcyg ψ ( t ) : = Ψ ( [ t ] ), [ t ] = ( [ t1 ], … , [ tn ] ) (zdes\ [ tj ] —
celaq çast\ çysla tj ). Tohda sootnoßenye (10) ravnosyl\no sootnoßenyg (7),
poπtomu pervoe utverΩdenye sledstvyq 1 v¥tekaet yz pervoho utverΩdenyq te-
orem¥. Qsno takΩe, çto ξ ( k ) = k, k ∈ Z+
n
\ { 0 }. Neposredstvenno yz opredele-
nyq proyzvodnoj Radona – Nykodyma poluçaem
d
d
k
λ
λ
ψ
ν
− ( ) = – ∆ Ψk k
n
−( ]1, , k ∈ Z+
n
\ { 0 }.
Krome toho, ∆ Ψk k
n
−( ]1, = 0 pry k = 0. Otsgda y yz (9) v¥tekaet ukazannaq v
sledstvyy 1 formula dlq koordynat πlementa f, qvlqgwehosq reßenyem zada-
çy (10).
Pryvedem teper\ reßenye zadaçy (1) dlq hyl\bertova prostranstva. V dan-
nom sluçae naymen\ßye uklonenyq (1) udobno zamenyt\ na
inf f g g Xk− ∈{ }2 = Ψ ( k ), k ∈ Z+
n
. (11)
Pust\ Λ — nekotoroe mnoΩestvo yndeksov, a X kk ∈{ }Λ — mnoΩestva ba-
naxova prostranstva X. Oboznaçym çerez span X kk ∈{ }Λ lynejnug oboloçku
mnoΩestv X kk ∈{ }Λ , a çerez span X kk ∈{ }Λ — ee zam¥kanye po norme X.
Sledstvye 2. PredpoloΩym, çto M kk
n∈{ }+Z ⊂ X — sovokupnost\ nenu-
lev¥x ortohonal\n¥x podprostranstv hyl\bertova prostranstva X , X k : =
: = span M j kj 0 ≤ ≤{ }, k ∈ Z+
n
, y span M jj
n∈{ }+Z = X. Tohda dlq suwest-
vovanyq πlementa f ∈ X, udovletvorqgweho sootnoßenyg (11), neobxodymo y
dostatoçno, çtob¥ posledovatel\nost\ Ψ b¥la takoj Ωe, kak y v sledst-
vyy11.
Dokazatel\stvo. Pust\ f — reßenye zadaçy (11). Tohda najdutsq koπf-
fycyent¥ ck y πlement¥ ek ∈ Mk s ek = 1, dlq kotor¥x f =
k k kn c e∈ +
∑ Z
.
Opredelyv podprostranstva Hk : = span e j kj 0 ≤ ≤{ } , H : = span M jj
n∈{ }+Z ,
zapyßem ravenstvo (11) v ravnosyl\nom vyde
inf f g g Hk− ∈{ }2 = Ψ ( k ), k ∈ Z+
n
. (12)
Vvedem takoj yzometryçeskyj operator U : H � l n
2 Z+( ), çto U ( Hk ) = l k n
2
( )
Z+( ) .
No U f Ug l n−
+( )2 Z
= || f – g ||, y poπtomu ravenstvo (12) ravnosyl\no ravenstvu
(10) pry p = 2, esly v nem f prynqt\ ravn¥m U f. Tem sam¥m posledovatel\-
nost\ Ψ dolΩna udovletvorqt\ uslovyqm yz sledstvyq 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
MNOHOPARAMETRYÇESKAQ OBRATNAQ ZADAÇA PRYBLYÛENYQ … 1121
Dlq dokazatel\stva dostatoçnosty v¥berem vnaçale vektor¥ ek ∈ Mk s
|| ek || = 1, a zatem po nym, kak y ranee, opredelym podprostranstva Hk , H y
operator U. Dalee po posledovatel\nosty Ψ, sohlasno sledstvyg 1, postroym
πlement f ∈ l n
2 Z+( ), qvlqgwyjsq reßenyem zadaçy (10). Tohda πlement U
–
1
f
budet reßenyem zadaçy (12) s f ravn¥m U
–
1
f. No U
–
1
f ∈ H, a H — podpros-
transtvo prostranstva X. Poπtomu, rassmatryvaq U
–
1
f kak πlement yz X, po-
luçaem, çto on qvlqetsq reßenyem zadaçy (11).
Uslovye ortohonal\nosty podprostranstv M kk
n∈{ }+Z suwestvenno dlq
toho, çtob¥ uslovye ∆ Ψk k
n
−( ]1, ≤ 0, k ∈ Z
n
, b¥lo kak neobxodym¥m, tak y dos-
tatoçn¥m dlq spravedlyvosty sledstvyq 2. PokaΩem πto na dvux prymerax.
Prymer 1. Pust\ hyl\bertovo prostranstvo X : = l2( )Z+ , e j : = ( δ1, j ,
δ2, j , … ), j ∈ N, — eho ortonormyrovann¥j bazys (zdes\ δh, j — symvol
Kronekera), a τ — lgboe vzaymno odnoznaçnoe sootvetstvye meΩdu mnoΩest-
vamy k k k k k= ∈ + ≥{ }+( , )1 2
2
1 2 2Z y { 4, 5, … }. Sçytaq n : = 2, polahaem
M( 0, 0 ) : = : = span { e1 }, M ( 1, 0 ) : = span { e2 }, M ( 0, 1 ) : = span { e2 + e3 }, M k : =
: = span { eτ ( k ) } pry k = ( , )k k1 2
2∈ +Z s k 1 + k2 ≥ 2. Tohda dlq f : = e2
naymen\ßye uklonenyq, zadann¥e sootnoßenyem (11), ravn¥ Ψ (1, 1) = 0, Ψ (0,
1) = 1 / 2, Ψ (1, 0) = 0, Ψ (0, 0) = 1, poπtomu ∆ Ψ0 1
2
,( ] > 0. Sledovatel\no,
uslovye ∆ Ψk k
n
−( ]1, ≤ 0, k ∈ Z
n
, ne qvlqetsq neobxodym¥m v sluçae
neortohonal\n¥x podprostranstv M kk
n∈{ }+Z .
Prymer 2. Rassmatryvaem to Ωe prostranstvo X y tu Ωe sovokupnost\
podprostranstv M kk ∈{ }+Z
2
, çto y v prymere 1. PoloΩym Ψ ( k ) : = δ0 1,k , k =
= ( , )k k1 2
2∈ +Z . Tohda dlq posledovatel\nosty Ψ = Ψ( )k k n∈{ }+Z v¥polneno
uslovye ∆ Ψk k
n
−( ]1, ≤ 0, k ∈ Z
n
. Dopustym, çto suwestvuet πlement f ∈ X,
udovletvorqgwyj sootnoßenyg (11). Otsgda s uçetom uslovyq Ψ (1, 0) = 0
ymeem f = ( x, y, 0, 0, … ) , a tak kak Ψ (0, 0) = 1, to | y | = 1. No dlq f = ( x, y, 0,
0, … ) s | y | = 1 sootnoßenye (11) pry k = ( 0, 1 ) ne v¥polnqetsq, poskol\ku eho
levaq çast\ ravna 1 / 2, a pravaq — Ψ (0, 1) = 1. Poπtomu esly podprostranstva
M kk
n∈{ }+Z ne ortohonal\n¥, to uslovye ∆ Ψk k
n
−( ]1, ≤ 0, k ∈ Z
n
, ne haranty-
ruet suwestvovanyq πlementa f, udovletvorqgweho sootnoßenyg (11).
2. Dokazatel\stvo osnovnoho rezul\tata. Dokazatel\stvo lemm¥. Yz
uslovyq (5) sleduet, çto dlq kaΩdoho x ∈ S \ B0 najdetsq t° = t tn1
� �, ,…( ) ∈ R+
n
,
dlq kotoroho x prynadleΩyt B
t0 . PoloΩym
ξk : = inf
t x Bk t t t t tk k k n
≥ ∈
… …( )− +
0
1 1 1
� � � �, , , , , ,
,
tk
*
: = t t t tk k k n1 1 1
� � � �, , , , , ,… …( )− +ξ , ξ : = t
*
1 ∧ … ∧ tn
*
= ( ξ1 , … , ξ n ) .
Sohlasno opredelenyg tk
*
y sootnoßenyg (6) x prynadleΩyt Bs dlq vsex s >
> tk
*
, otkuda s uçetom (3) poluçaem, çto x prynadleΩyt B
tk
*
, a s uçetom raven-
stva (2) — y Bξ
. Pry πtom ξ ≠ 0, poskol\ku x ne prynadleΩyt B0
. Yz oprede-
lenyq ξk sleduet, çto x ne prynadleΩyt Bt ny pry kakom t ≤ ξ y t ≠ ξ. Tem sa-
m¥m, x prynadleΩyt Sξ y suwestvovanye ukazannoho v lemme vektora ξ dokazano.
PokaΩem eho edynstvennost\.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1122 H V RADZYEVSKYJ. . , A. N. NESTERENKO
Dopustym, çto dlq nekotoroho x ∈ S \ B0 suwestvugt razn¥e vektor¥ ξ y
ξ
*
yz R+
n
\ { 0 } takye, çto x prynadleΩyt y Sξ , y Sξ* . Poπtomu x prynadle-
Ωyt Bξ y Bξ* , a znaçyt, x prynadleΩyt Bξ ξ∧ * . No pry ξ ≠ ξ
*
xotq b¥ v od-
nom yz neravenstv ξ ∧ ξ
* ≤ ξ, ξ ∧ ξ
* ≤ ξ
*
net ravenstva, sledovatel\no, lybo
x ∉ Sξ , lybo x ∉ Sξ* .
Nakonec, dokaΩem yzmerymost\ otobraΩenyq ξ. Pust\ dlq t
° ∈ R
n
ξ
− ( )(− ∞ ]1 , t� : = { }∈ ≤x S B x t\ ( )0 ξ �
— proobraz mnoΩestva (− ∞ ], t� =
= k
n
kt=∏ − ∞( ]1
, �
pry otobraΩenyy ξ. Esly vektor t° ∈ R
n
takoj, çto
Bt�
\ B0 ≠ ∅, to s uçetom opredelenyq mnoΩestva Sξ y toho, çto, sohlasno do-
kazannomu, dlq kaΩdoho x ∈ Bt�
\ B0 suwestvuet t ≤ t
°
, dlq kotoroho x pry-
nadleΩyt St , poluçaem Bt�
\ B0 ⊂ ∪
�S t tt ≤{ }. Obratnoe vklgçenye oçevyd-
no. Otsgda y yz opredelenyq otobraΩenyq ξ ymeem
ξ− − ∞( ]( )1 , t� = B
t�
\ B0 , t
° ∈ R
n
. (13)
∏to ravenstvo spravedlyvo y dlq takyx vektorov t
° ∈ R
n
, çto B
t�
= B0 (v
çastnosty, esly t
° ∈ R
n
\ ( R+
n
\ { 0 } ) ), poskol\ku pry πtom St = ∅ dlq vsex t ≤
≤ t
°
, a znaçyt, ξ− − ∞( ]( )1 , t� = ∅. Teper\ yzmerymost\ otobraΩenyq ξ sleduet
yz (13) y yzmerymosty mnoΩestv Bt�
\ B0 pry t
° ∈ R
n
.
Dokazatel\stvo teorem¥. Neobxodymost\. Dlq kaΩdoj funkcyy
f ∈ Lp ( S ) pry fyksyrovannom t ∈ R+
n
πlement ee nayluçßeho pryblyΩenyq g
yz podprostranstva Xt zadaetsq formulamy g ( x ) = f ( x ), x ∈ Bt , y g ( x ) = 0,
x ∈ S \ Bt
. Poπtomu p-q stepen\ velyçyn¥ ee nayluçßeho pryblyΩenyq
ψ ( t ) = inf f g g Xp
p
t− ∈{ } =
S B
p
t
f d
\
∫ µ , t ∈ R+
n
. (14)
Otsgda, polahaq
ϕ ( t ) =
B
p
t
f d∫ µ , t ∈ R
n
,
poluçaem ψ ( 0 ) – ψ ( t ) = ϕ ( t ) – ϕ ( 0 ), t ∈ R
n
. No
∆ t s
n
,( ] ϕ =
∆ t s
n B
pf d
,( ]
∫ µ , t, s ∈ R
n
, t < s, (15)
poπtomu funkcyq ϕ ne ub¥vaet po sovokupnosty peremenn¥x, a znaçyt, takoj
Ωe qvlqetsq y funkcyq – ψ, otlyçagwaqsq ot ϕ na postoqnnug. Neprer¥v-
nost\ sprava ψ y sootnoßenye ψ ( t ) → 0 pry t1 → + ∞, … , tn → + ∞ sledugt
yz formul¥ (14) y uslovyj (3) y (5) sootvetstvenno.
Dlq dokazatel\stva sootnoßenyq λ – ψ << λ ν dostatoçno ustanovyt\, çto
λ ϕ << λ ν , poskol\ku ψ ( 0 ) – ψ ( t ) = ϕ ( t ) – ϕ ( 0 ), t ∈ R
n
. Pust\ ξ
–
1
( C ) : =
: = x S B x C∈ ∈{ }\ ( )0 ξ — proobraz mnoΩestva C ∈ � ( R
n
) pry otobraΩenyy
ξ. PoloΩym
˜ ( )µ B : =
B
pf d∫ µ , B ∈ F, ˜ ( )µ ξ−1 C : = ˜ ( )µ ξ−( )1 C , C ∈ � ( R
n
).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
MNOHOPARAMETRYÇESKAQ OBRATNAQ ZADAÇA PRYBLYÛENYQ … 1123
Poslednee opredelenye korrektno, tak kak, sohlasno lemme, otobraΩenye ξ
yzmerymo; pry πtom µ̃ ξ−1
— mera na � ( R
n
). Yz formul¥ (15) sleduet
λϕ t s,( ]( ) = ˜ ,µ ξ− ( ]( )1 t s , t < s. Yspol\zuq teorem¥ o edynstvennosty prodolΩe-
nyq σ-koneçn¥x mer [10] (hl. 2, § 8, upr. 5 y hl. 3, § 13, teorema 1), poluçaem ra-
venstvo λ ϕ = µ̃ ξ−1
na � ( R
n
). S pomow\g formul¥ ∆ t s
n
,( ] ν = µ ∆ t s
n B,( ]( ), t <
< s, analohyçno ustanavlyvaem, çto λ ν = µ ξ
–
1
na � ( R
n
). Dalee, esly
λ ν ( C ) = 0 dlq C ∈ � ( R
n
), to µ ξ−( )1( )C = 0, sledovatel\no, v sylu absolgt-
noj neprer¥vnosty yntehrala [10] (hl. 5, § 25, teorema 3), ˜ ( )µ ξ−( )1 C = 0, a zna-
çyt, y λ ϕ ( C ) = 0.
Dostatoçnost\. Uçyt¥vaq postroenyq, pryvedenn¥e pry dokazatel\stve
neobxodymosty, dostatoçno pokazat\, çto funkcyq f, opredelennaq formula-
my (9), udovletvorqet ravenstvu
B B
p
t
f d
\ 0
∫ µ = ψ ( 0 ) – ψ ( t ), t ∈ R+
n
. (16)
Zametym, çto πta funkcyq f yzmeryma otnosytel\no F [10] (hl. 8, § 39, te-
orema 2), poskol\ku proyzvodnaq Radona – Nykodyma
d
d
λ
λ
ϕ
ν
: R
n � R qvlqetsq
borelevskoj funkcyej, a otobraΩenye ξ yzmerymo sohlasno lemme. Podstav-
lqq v levug çast\ (16) formulu (9), yspol\zuq teoremu o zamene peremennoj v
yntehrale Lebeha [10] (hl. 8, § 39, teorema 3) y uçyt¥vaq ustanovlennoe pry do-
kazatel\stve neobxodymosty sootnoßenye λ ν = µ ξ
–
1
na � ( R
n
), dlq proyz-
vol\noho s < 0 ymeem (poqsnenyq k dvum poslednym ravenstvam sm. nyΩe)
B B
p
t
f u d u
\
( ) ( )
0
∫ µ =
B Bt
d
d
u d u
\
( ) ( )
0
∫ − ( )
λ
λ
ξ µψ
ν
=
0 0, \
( ) ( )
t
d
d
w d w
[ ] { }
−∫
λ
λ
λψ
ν
ν =
= λ ψ− [ ] { }( )0 0, \t = λ ψ− ( ]( )s t, = ψ ( 0 ) – ψ ( t ), t ∈ R+
n
\ {0}.
Predposlednee ravenstvo sleduet yz toho, çto λ – ψ ( C ) = 0 dlq proyzvol\noho
borelevskoho mnoΩestva C ⊂ R R
n n\ +( ) ∪ {0}, tak kak funkcyq ψ postoqnna
na mnoΩestve R R
n n\ +( ) ∪ {0}. Çtob¥ dokazat\ poslednee ravenstvo, zametym,
çto ψ ( u ) – ψ ( 0 ) = 0 dlq vsex vektorov u ∈ R
n
, ymegwyx xotq b¥ odnu otryca-
tel\nug koordynatu, sledovatel\no,
ψ ( 0 ) – ψ ( t ) = – ∆ s t
n
, ( ) ( )( ] ⋅ −( )ψ ψ 0 = – ∆ s t
n
,( ] ψ = λ ψ− ( ]( )s t, .
Perexodq v formule (16) k predelu pry t1 → + ∞, … , tn → + ∞, zaklgçaem, çto
f ∈ Lp ( S ).
V sledugwyx dvux zameçanyqx pokazano, kak oslabyt\ trebovanyq, nalahae-
m¥e na systemu mnoΩestv B tt
n∈{ }+R , y kak pry πtom yzmenytsq formuly-
rovka teorem¥.
Zameçanyq. 2. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq (2) – (4) y ne v¥polneno uslovye
(5). PoloΩym B∞ : = ∪ B tt
n∈{ }+R . Esly ne suwestvuet mnoΩestva B̃ ∈ F,
dlq kotoroho B̃ ⊂ S \ B∞ y 0 < µ( )B̃ < + ∞, to v teoreme vse uslovyq na funk-
cyg ψ ostagtsq bez yzmenenyj. Esly Ωe takoe mnoΩestvo B̃ suwestvuet, to
tol\ko uslovye ψ ( t ) → 0, t1 → + ∞, … , tn → + ∞, zamenqetsq uslovyem ψ ( t ) →
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1124 H V RADZYEVSKYJ. . , A. N. NESTERENKO
→ a, t1 → + ∞, … , tn → + ∞, dlq nekotoroho a ∈ 0 0, ( )ψ[ ]. Pry πtom funk-
cyg f na mnoΩestve B∞ moΩno opredelyt\ formuloj (9), zamenyv v nej S na
B∞ y poloΩyv
f ( x ) : =
a
B p( )( ) /µ ˜ 1 , x ∈ B̃ , f ( x ) : = 0, x ∈ S \ B B∞( )∪ ˜
.
3. Pry v¥polnenyy uslovyj (2), (3) y (5) uslovye (4) moΩno zamenyt\ trebo-
vanyem, çtob¥ mera µ b¥la σ -koneçnoj na S. Dejstvytel\no, pust\
A kk ≥{ }1 ⊂ F — sçetn¥j nabor neperesekagwyxsq mnoΩestv takoj, çto S =
= ∪ A kk ≥{ }1 y 0 < µ ( A k ) < + ∞, k ≥ 1. Tohda mera
˜ ( )µ B : =
k
k
k
k
A B
A=
∞
∑ ( )
1 2
µ
µ
∩
( )
, B ∈ �,
qvlqetsq koneçnoj, µ̃ << µ y µ << µ̃ . S pomow\g formul¥ zamen¥ mer¥ [10]
(hl. 6, § 32, teorema 2) lehko ustanovyt\, çto uslovyq na funkcyg ψ ostagtsq
temy Ωe, çto y v teoreme (tol\ko ν ( t ) : = ˜ ( )µ Bt , t ∈ R
n
). Pry πtom formula
f ( x ) : =
d
d
x
d
d
x
pλ
λ
ξ µ
µ
ψ
ν
− ( )
/
( )
˜
( )
1
, x ∈ S \ B0 , f ( x ) : = 0, x ∈ B0 ,
daet reßenye obratnoj zadaçy (7).
3. Obratnaq zadaça pryblyΩenyq cel¥my funkcyqmy πksponencyal\-
noho typa. V dal\nejßem, esly ne ohovoreno protyvnoe, v aryfmetyçeskom ve-
westvennom prostranstve R
r
, r ∈ N, rassmatryvaetsq evklydova norma | ⋅ |r
,
poroΩdennaq skalqrn¥m proyzvedenyem
( x, y ) : =
k
r
k kx y
=
∑
1
, x = ( x1
, … , xr
) ∈ R
r
, y = ( y1
, … , yr
) ∈ R
r
.
Opredelenye 2. MnoΩestvo K ⊂ R
r
, r ∈ N, naz¥vaetsq symmetryçeskym,
esly dlq lgboho x ∈ K πlement – x prynadleΩyt K. V¥pukloe kompaktnoe
symmetryçeskoe mnoΩestvo, ymegwee xotq b¥ odnu vnutrenngg toçku, naz¥-
vaetsq symmetryçeskym telom.
Yzvestno, çto dlq symmetryçeskoho tela K ⊂ R
r
funkcyonal Mynkovskoho
|| x ||K : = inf :α α> ∈{ }0 x K , x ∈ R
r
, qvlqetsq normoj na R
r
.
Çerez λ r oboznaçaetsq suΩenye mer¥ Lebeha na � ( R
r
), a v kaçestve
prostranstva s meroj ( S, F, µ ) rassmatryvaetsq ( R
r, � ( R
r
), λ r ).
Pust\ funkcyq ψ, opredelennaq na R
n
po funkcyy ψ formuloj (8),
udovletvorqet vsem uslovyqm teorem¥, krome, b¥t\ moΩet, uslovyq λ – ψ << λ ν .
PredpoloΩym, çto λ – ψ << λ n . Tohda [11] (§ 10, p. 3, teorema 1 y § 10, p. 4) dlq
λ n-poçty vsex t ∈ R
n
suwestvuet proyzvodnaq
ψ12…n
n t( ) ( ) : = lim
,
,h n
t t h
t t h→ +
− +( ]( )
+( ]( )0
λ
λ
ψ =
= lim ,
h
t t h
n
nh→ +
+( ]−
0
∆ ψ
, t + h : = ( t1 + h, … , tn + h
), (17)
y spravedlyvo ravenstvo ψ12…n
n t( ) ( ) =
d
d
t
n
λ
λ
ψ− ( ) , pryçem ψ12…n
n( )
qvlqetsq bore-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
MNOHOPARAMETRYÇESKAQ OBRATNAQ ZADAÇA PRYBLYÛENYQ … 1125
levskoj funkcyej na R
n
. V çastnosty, pry n = 1, kak sleduet yz [11], ukazan-
nug proyzvodnug moΩno ponymat\ kak ob¥çnug proyzvodnug, a sootnoßenye
λ – ψ << λ n ravnosyl\no tomu, çto ψ — absolgtno neprer¥vnaq funkcyq. V
sluçae proyzvol\noho n ∈ N, esly ψ ymeet vse çastn¥e proyzvodn¥e do po-
rqdka n vklgçytel\no, qvlqgwyesq neprer¥vn¥my na R
n
, ψ12…n
n( )
suwest-
vuet y ravna ob¥çnoj smeßannoj proyzvodnoj n-ho porqdka, vzqtoj po kaΩdoj
peremennoj odyn raz v proyzvol\nom porqdke.
Yspol\zovav ponqtye proyzvodnoj (17), sformulyruem sledstvye teorem¥.
Sledstvye 3. Pust\ K j ⊂ R
rj
, j ∈ { 1, … , n }, — symmetryçeskye tela,
Bt : =
j
n
j jt K
=
∏
1
( ), t = ( t1 , … , tn
) ∈ R+
n
.
Tohda dlq suwestvovanyq funkcyy f ∈ Lp ( R
r
), hde r = r1 + … + rn
, 0 < p < + ∞,
udovletvorqgwej sootnoßenyg (7), neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ funk-
cyq ψ b¥la neprer¥vnoj sprava na R+
n
, ∆ t s
n
,( ] ψ ≤ 0, 0 ≤ t < s, ψ ( t ) → 0, t1 →
→ + ∞, … , tn → + ∞, ψ ( t ) = ψ ( 0 ) dlq vsex t ∈ ∂ R+
n y λ – ψ << λ n ( ∂ R+
n
—
hranyca mnoΩestva R+
n ). Pry πtom f moΩno zadat\ formuloj
f ( x ) : = −
…( )
…
=
−∏
/
ψ
λ
12 1
1
1
1
1n
n
K n K
j
n
j r j j K
r
p
x x
r K x
n
j j
j
( ) , ,
( )
, x = ( x1 , … , xn
), xj ∈ R
rj \ {0}. (18)
Dokazatel\stvo. Zametym, çto sovokupnost\ mnoΩestv B tt
n∈{ }+R , vve-
denn¥x v formulyrovke dannoho sledstvyq, prynadleΩyt � ( R
r
) y udovletvo-
rqet uslovyqm (2) – (5), çto v¥tekaet yz svojstv symmetryçeskyx tel.
Yspol\zovav teoremu, vnaçale ustanovym dostatoçnost\ y v¥vedem formulu
(18).
S uçetom (8) y ravenstva ψ ( t ) = ψ ( 0 ), t ∈ ∂ R+
n
, zaklgçaem, çto, vo-perv¥x,
yz neravenstva ∆ t s
n
,( ] ψ ≤ 0 pry 0 ≤ t < s sleduet πto Ωe neravenstvo dlq vsex
t, s ∈ R
n
, t < s, a vo-vtor¥x, neprer¥vnost\ sprava ψ na R+
n
vleçet v¥polne-
nye πtoho Ωe svojstva dlq ψ na R
n
.
NyΩe polahaem, çto ∪ Aα α ∈∅{ } : = ∅. Tohda pry ξ ∈ R+
n
\ {0} ymeem
Sξ : = Bξ \ ∪ B t tt 0 ≤ ≤ ≠{ }ξ ξ, =
=
j
n
j j j j j jK t K t
=
∏ ≤ <{ }( )
1
0ξ ξ\ ∪ =
j
n
j
r
j K jx xj
j=
∏ ∈ ={ }
1
R ξ ,
sledovatel\no, otobraΩenye ξ yz lemm¥ ymeet vyd ξ ( x ) = x xK n Kn1 1
, ,…( ),
x ∈ R
r
\ {0}.
Uçyt¥vaq ravenstvo
ν ( t ) = λ r ( Bt ) =
j
n
r j j
r
j
jK t
=
∏
1
λ ( ) , t ∈ R+
n
,
a sledovatel\no, suwestvovanye neprer¥vnoj smeßannoj proyzvodnoj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
1126 H V RADZYEVSKYJ. . , A. N. NESTERENKO
ν12…n
n t( ) ( ) =
j
n
j r j j
r
r K t
j
j
=
−∏
1
1λ ( ) ≠ 0, t ∈ ( 0, + ∞ )
n
,
zaklgçaem, çto λ ν << λ n y λ n << λ ν na � ( ( 0, + ∞ )
n
), pryçem
d
d
t
n
λ
λ
ν ( ) =
j
n
j r j j
r
r K t
j
j
=
−∏
1
1λ ( ) , t ∈ ( 0, + ∞ )
n
.
Poπtomu uslovye λ – ψ << λ n ravnosyl\no uslovyg λ – ψ << λ ν . Pered formu-
lyrovkoj sledstvyq otmeçalos\, çto yz λ – ψ << λ n v¥tekaet ravenstvo
d
d
t
n
λ
λ
ψ− ( ) = – ψ12…n
n t( ) ( ) dlq λ n-poçty vsex t ∈ R+
n
, a znaçyt [10] (hl. 6, § 32,
teorema 1),
d
d
t
λ
λ
ψ
ν
− ( ) =
d
d
t
d d tn n
λ
λ λ λ
ψ
ν
−
/( )
( )
( )
1
= –
ψ
λ
12
1
1
…
=
−∏
n
n
j
n
j r j j
r
t
r K t
j
j
( ) ( )
( )
dlq λ n-poçty vsex t ∈ R+
n
.
Otsgda, yz formul¥ (9) y ravenstva
λr
r
j
n
rj
R R\ \
=
∏ { }( )
1
0 = 0
sleduet formula (18).
Neobxodymost\ ravenstva ψ ( t ) = ψ ( 0 ) dlq vsex t ∈ ∂ R+
n
v¥tekaet yz
sootnoßenyq λ r ( Bt ) = 0, t ∈ ∂ R+
n
, poskol\ku tohda
f p
p = f p
p –
B
p
r
t
f d∫ λ = ψ ( t ), t ∈ ∂ R+
n
.
Neobxodymost\ ostal\n¥x uslovyj dlq ψ sleduet yz teorem¥.
Prymenym poluçenn¥e rezul\tat¥ k obratnoj zadaçe pryblyΩenyq v
L2 ( R
r
) funkcyqmy πksponencyal\noho typa.
Dlq symmetryçeskoho tela K ⊂ R
r
çerez W K oboznaçym klass funkcyj
g ∈ L2 ( R
r
), kaΩdaq yz kotor¥x dopuskaet prodolΩenye do celoj funkcyy r
kompleksn¥x peremenn¥x g̃ , udovletvorqgwej uslovyg: dlq proyzvol\noho
ε > 0 suwestvuet takaq postoqnnaq A ε > 0, çto
˜( )g z ≤ A z t z t t Kr rε εexp ( )sup1 1 1+ +…+ ∈{ }( ) , z = ( z1 , … , zr
) ∈ C
r
.
Pust\ F — preobrazovanye Fur\e v L2 ( R
r
):
( F f ) ( x ) =
1
2 2
0
( )
( )
( , )
( , )
π r N
B N
i x ue f u du/ →+∞ ∫l.i.m. , x ∈ R
r
, f ∈ L2 ( R
r
),
hde çerez l.i.m.n ng→+ ∞ oboznaçen predel posledovatel\nosty g nn ≥{ }1 v
prostranstve L2 ( R
r
), a çerez B ( 0, N ) — ßar radyusa N s centrom v naçale
koordynat v prostranstve R
r
.
Sledugwaq teorema daet opysanye funkcyj yz WK .
Teorema Vynera – Pπly [12] (hl. III, teorema 4.9). Funkcyq g prynadle-
Ωyt WK tohda y tol\ko tohda, kohda suwestvuet takaq funkcyq f ∈ L2 ( R
r
),
çto g = F f y f ( x ) = 0 dlq poçty vsex x ∈ R
r
\ K.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
MNOHOPARAMETRYÇESKAQ OBRATNAQ ZADAÇA PRYBLYÛENYQ … 1127
Sledstvye 4. Pust\ Kj ⊂ R
rj
, j ∈ { 1, … , n }, — symmetryçeskye tela,
Bt : =
j
n
j jt K
=
∏
1
( ), t ∈ R+
n
.
Tohda dlq suwestvovanyq funkcyy h ∈ L2 ( R
r
), r = r1 + … + rn , udovletvorq-
gwej sootnoßenyg
inf h g g WBt
− ∈{ }2
2 = ψ ( t ), t ∈ R+
n
, (19)
neobxodymo y dostatoçno, çtob¥ dlq ψ v¥polnqlys\ te Ωe uslovyq, çto y v
sledstvyy 3. Pry πtom h moΩno zadat\ tak: h ( x ) : = ( F f ) ( x ), x ∈ R
r
, hde f
opredelena formuloj (18) pry p = 2; dlq πtoj funkcyy h y fyksyrovannoho
t ∈ R+
n toçnug nyΩngg hran\ v (19) realyzuet funkcyq
g ( x ) =
1
2 2( )
( )( , )
π r
B
i x u
t
e f u du/ ∫ , x ∈ R
r
.
Dokazatel\stvo v¥tekaet yz sledstvyq 3, teorem¥ Vynera – Pπly y uny-
tarnosty preobrazovanyq Fur\e.
Esly v sledstvyy 4 poloΩyt\ n = 1 y r = 1, to poluçym rezul\tat
M.;M.;DΩrbaßqna [7], [8] (teorema ◊I. 14.2), a pry proyzvol\nom r ∈ N y K =
= x xr
r∈ ≤{ }R 1 — eho obobwenye dlq funkcyj mnohyx peremenn¥x. V πtom
sluçae klass WBt
sostoyt yz funkcyj πksponencyal\noho sferyçeskoho typa
t [13] (p. 3.2.6). Esly Ωe pry fyksyrovannom n ∈ N y r1 = … = rn = 1 v kaçest-
ve symmetryçeskyx tel vzqt\ otrezky Kj = [ – 1, 1 ], j ∈ { 1, … , n }, to WBt
so-
stoyt yz funkcyj πksponencyal\noho typa ( t1 , … , tn ) [13] (p. 3.1). Pry ras-
smotrenyy πtoho klassa estestvenno voznykaet mnohoparametryçeskaq obratnaq
zadaça teoryy pryblyΩenyj, reßenye kotoroj daetsq sledstvyem 4.
1. Bernßtejn S. N. Ob obratnoj zadaçe teoryy nayluçßeho pryblyΩenyq neprer¥vn¥x
funkcyj // Sobr. soç.: V 4 t. – M.: Yzd-vo AN SSSR, 1954. – T. 2. – S. 292
–
294.
2. Natanson Y. P., Ahaxanov S. A. O nayluçßyx pryblyΩenyqx neprer¥vn¥x funkcyj dvux
peremenn¥x // Sb. nauçn. tr. Lenynhr. mex. yn-ta. – 1965. – # 50. – S. 15
–
18.
3. Malozemov V. N., Xvostov A. P. O matrycax nayluçßyx pryblyΩenyj // Tam Ωe. –
S.;167
–
169.
4. Malozemov V. N. O matrycax nayluçßyx pryblyΩenyj // Vestn. Lenynhr. un-ta. – 1966. –
# 19. – S. 16
–
19.
5. Tyman M. F. Nekotor¥e vopros¥ konstruktyvnoj teoryy funkcyj mnohyx peremenn¥x //
Yssledovanyq po sovremenn¥m problemam konstruktyvnoj teoryy funkcyj. – M.: Fyzmat-
hyz, 1961. – S. 247
–
251.
6. Xvostov A. P. O matrycax nayluçßyx pryblyΩenyj v hyl\bertovom prostranstve // Uç.
zap. Lenynhr. ped. yn-ta. – 1967. – 302. – S. 315
–
317.
7. DΩrbaßqn M. M. Ob obratnoj zadaçe nayluçßeho pryblyΩenyq v prostranstve funkcyj
L2
(
–
∞, +
∞
) // Yzv. AN ArmSSR. Ser. fyz.-mat. nauk. – 1958. – 11, # 2. – S. 79 – 82.
8. Ybrahymov Y. Y. ∏kstremal\n¥e svojstva cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny. – Baku: Yzd-
vo AN AzSSR, 1962. – 316 s.
9. Kamke ∏. Yntehral Lebeha – Styl\t\esa. – M.: Fyzmathyz, 1959. – 328 s.
10. Xalmoß P. Teoryq mer¥. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1953. – 292 s.
11. Íylov H. E., Hurevyç B. L. Yntehral, mera y proyzvodnaq. Obwaq teoryq. – M.: Nauka,
1967. – 220 s.
12. Stejn Y., Vejs H. Vvedenye v harmonyçeskyj analyz na evklydov¥x prostranstvax. – M.:
Myr, 1974. – 336 s.
13. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj mnohyx peremenn¥x y teorem¥ vloΩenyq. – M.:
Nauka, 1977. – 456 s.
Poluçeno 11.07.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3517 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:01Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f6/26df91291cdbebe16af03d39a4d650f6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35172020-03-18T19:56:35Z Multiparameter inverse problem of approximation by functions with given supports Многопараметрическая обратная задача приближения посредством функций с заданными носителями Nesterenko, A. N. Radzievskii, G. V. Нестеренко, А. Н. Радзиевский, Г. В. Нестеренко, А. Н. Радзиевский, Г. В. Let $L_p(S),\;0 < p < +∞$, be a Lebesgue space of measurable functions on $S$ with ordinary quasinorm $∥·∥_p$. For a system of sets $\{B t |t ∈ [0, +∞)^n \}$ and a given function $ψ: [0, +∞) n ↦ [ 0, +∞)$, we establish necessary and sufficient conditions for the existence of a function $f ∈ L_p(S)$ such that $\inf \{∥f − g∥^p_p| g ∈ L_p(S),\;g = 0$ almost everywhere on $S\B t } = ψ (t), t ∈ [0, +∞)^n$. As a consequence, we obtain a generalization and improvement of the Dzhrbashyan theorem on the inverse problem of approximation by functions of the exponential type in $L_2$. Нехай $L_p(S),\;0 < p < +∞$ — простір Лебега вимірних функцій на $S$ зі звичайною квазінормою $∥·∥_p$. Для системи множин $\{B t |t ∈ [0, +∞)^n \}$ і заданої функції $ψ: [0, +∞) n ↦ [ 0, +∞)$, знайдено необхідні та достатні умови існування такої функції $f ∈ L_p(S)$ що $\inf \{∥f − g∥^p_p| g ∈ L_p(S),\;g = 0$ майже скрізь на $S\B t } = ψ (t), t ∈ [0, +∞)^n$. Як наслідок отримано узагальнення та посилення теореми Джрбашяна про обернену задачу наближення в $L_2$, за допомогою функцій експоненціального типу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3517 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 8 (2006); 1116–1127 Український математичний журнал; Том 58 № 8 (2006); 1116–1127 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3517/3771 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3517/3772 Copyright (c) 2006 Nesterenko A. N.; Radzievskii G. V. |
| spellingShingle | Nesterenko, A. N. Radzievskii, G. V. Нестеренко, А. Н. Радзиевский, Г. В. Нестеренко, А. Н. Радзиевский, Г. В. Multiparameter inverse problem of approximation by functions with given supports |
| title | Multiparameter inverse problem of approximation by functions with given supports |
| title_alt | Многопараметрическая обратная задача приближения посредством функций с заданными носителями |
| title_full | Multiparameter inverse problem of approximation by functions with given supports |
| title_fullStr | Multiparameter inverse problem of approximation by functions with given supports |
| title_full_unstemmed | Multiparameter inverse problem of approximation by functions with given supports |
| title_short | Multiparameter inverse problem of approximation by functions with given supports |
| title_sort | multiparameter inverse problem of approximation by functions with given supports |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3517 |
| work_keys_str_mv | AT nesterenkoan multiparameterinverseproblemofapproximationbyfunctionswithgivensupports AT radzievskiigv multiparameterinverseproblemofapproximationbyfunctionswithgivensupports AT nesterenkoan multiparameterinverseproblemofapproximationbyfunctionswithgivensupports AT radzievskijgv multiparameterinverseproblemofapproximationbyfunctionswithgivensupports AT nesterenkoan multiparameterinverseproblemofapproximationbyfunctionswithgivensupports AT radzievskijgv multiparameterinverseproblemofapproximationbyfunctionswithgivensupports AT nesterenkoan mnogoparametričeskaâobratnaâzadačapribliženiâposredstvomfunkcijszadannyminositelâmi AT radzievskiigv mnogoparametričeskaâobratnaâzadačapribliženiâposredstvomfunkcijszadannyminositelâmi AT nesterenkoan mnogoparametričeskaâobratnaâzadačapribliženiâposredstvomfunkcijszadannyminositelâmi AT radzievskijgv mnogoparametričeskaâobratnaâzadačapribliženiâposredstvomfunkcijszadannyminositelâmi AT nesterenkoan mnogoparametričeskaâobratnaâzadačapribliženiâposredstvomfunkcijszadannyminositelâmi AT radzievskijgv mnogoparametričeskaâobratnaâzadačapribliženiâposredstvomfunkcijszadannyminositelâmi |