Invariance principle for one class of Markov chains with fast Poisson time. Estimate for the rate of convergence
We obtain an estimate for the rate of convergence of normalized Poisson sums of random variables determined by the first-order autoregression procedure to a family of Wiener processes.
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3520 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509624443076608 |
|---|---|
| author | Baev, A. V. Bondarev, B. V. Баев, А. В. Бондарев, Б. В. Баев, А. В. Бондарев, Б. В. |
| author_facet | Baev, A. V. Bondarev, B. V. Баев, А. В. Бондарев, Б. В. Баев, А. В. Бондарев, Б. В. |
| author_sort | Baev, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:51Z |
| description | We obtain an estimate for the rate of convergence of normalized Poisson sums of random variables determined by the first-order autoregression procedure to a family of Wiener processes. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
Б. В. Бондарев, А. В. Баев (Донецк. нац. ун-т)
ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА
МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ С БЫСТРЫМ ПУАССОНОВСКИМ
ВРЕМЕНЕМ. ОЦЕНКА СКОРОСТИ СБЛИЖЕНИЯ
We obtain an estimator of the rate of convergence of normed Poisson sums of random variables, which
are defined by the first-order autoregression procedure, to a family of Wiener processes.
Отримано оцiнку швидкостi зближення нормованих пуассонiвських сум випадкових величин,
обумовлених процедурою авторегресiї першого порядку, з сiм’єю вiнерових процесiв.
1. Введение. Пусть ξk, k ≥ 0, задан на полном вероятностном пространстве
(Ω,=, P) с выделенной на нем фильтрацией =t
0, t ≥ 0, где
=t
0 = σ {ξk, 0 ≤ k ≤ i} .
Принцип инвариантности означает, что последовательность случайных про-
цессов
X([nt])√
n
, t ∈ [0, T ] , n ≥ 1,
где
X(i) =
i∑
k=0
ξk, i = 0, 1, . . . ,
слабо сходится в топологии А. В. Скорохода к винеровскому процессу W (t),
t ∈ [0, T ].
Успех при доказательстве принципа инвариантности [1 – 4] связан с тем, на-
сколько процесс X([t]), t ∈ [0,+∞), „близок” к мартингалу, а точнее опирается на
разложение
X(i) = µ(i) + ρ(i), i = 0, 1, 2, . . . , (1)
где µ(i), i = 0, 1, . . . , — квадратично-интегрируемый мартингал,
ρ[nt])√
n
, t ∈ [0, T ],
— асимптотически при n → +∞ пренебрежимый процесс. Разложение (1) имеет
место, если, например, справедливо [2]
+∞∑
k=0
(
M
[
M{ξk/=0
0}
]2)1/2
< +∞. (2)
Пусть
v(i + 1) =
+∞∑
k=i+1
M{ξk/=i
0}, v(0) =
+∞∑
k=0
M{ξk/=0
0}. (3)
c© Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1155
1156 Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ
Выражение (3) определено, если, например, выполнено
+∞∑
k=i+1
M
∣∣M{ξk/=i
0}
∣∣ < +∞. (4)
Заметим, что в стационарном случае (4) следует из (2), если учесть, что [3, с. 154]
M
∣∣M{ξk/=i
0}
∣∣ = M
∣∣M{ξk−i/=0
0}
∣∣.
Далее, очевидно, что при выполнении (4) процесс
µ(i) = M
{
+∞∑
k=0
ξk/=i
0
}
− v(0)
будет также определен, так как
M
∣∣∣∣∣
i∑
k=1
ξk + v(i + 1)
∣∣∣∣∣ ≤
i∑
k=1
M|ξk|+
+∞∑
k=i+1
M
∣∣M{ξk/=i
0}
∣∣ < +∞,
причем относительно потока =i
0, i ≥ 0, последовательность µ(i) является мартин-
галом. Действительно, для любой интегрируемой случайной величины ς
µ(i + 1) = M{ς/=i+1
0 } − v(0),
M
{
µ(i + 1)/=i
0
}
= M
{
M{ς/=i+1
0 }/=i
0
}
− v(0) = M{ς/=i
0} − v(0) = µ(i).
Используя свойства условных математических ожиданий, получаем
µ(i) = M
{
+∞∑
k=0
ξk/=i
0
}
− v(0) =
i∑
k=0
ξk + v(i + 1)− v(0),
(5)
i∑
k=0
ξk = µ(i) + ρ(i), ρ(i) = v(i + 1)− v(0).
Нетрудно также убедиться в том, что в случае стационарности в узком смысле
последовательности {ξk}, k ≥ 1, последовательность {v(i)}, i ≥ 0, стационарна в
узком смысле (это следует из леммы [3, с. 154]). Из (5), в частности, следует, что
X ([nt])√
n
=
1√
n
µ([nt]) +
1√
n
(v(0)− v([(nt] + 1)) =
1√
n
µ([nt]) +
ρ([nt])√
n
,
причем
sup
0≤t≤T
∣∣ρ([nt])
∣∣
√
n
→ 0, n → +∞,
по вероятности. Здесь [a] — целая часть a.
В данной работе рассматривается принцип инвариантности для нормированных
сумм с быстрым пуассоновским временем, а именно, рассматривается вопрос об
оценке скорости сближения при n → +∞ процесса
ςn(t) =
1√
n
Z(nt)∑
k=0
ξk, t ∈ [0, T ],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ . . . 1157
с некоторым семейством винеровских процессов
1√
n
W̃
(
λ(nt)
)
, t ∈ [0, T ]. Здесь
Z(t) — процесс Пуассона, MZ(t) = λ(t), λ(0) = 0,
ξk+1 = γξk + ηk+1, ξ0 = η0, 0 < γ < 1, (6)
— дискретный аналог процесса Орнштейна – Уленбека, {ηk}, k ≥ 0, — последо-
вательность независимых центрированных случайных одинаково распределенных
величин, удовлетворяющих условию Крамера
M|ηk|m ≤ Lm−2
2
m!, m ≥ 2
(не нарушая общности, в данном случае можно считать, что дисперсии величин
{ηk}, k ≥ 0, равны единице, так как в противном случае, разделив (6) на корень из
дисперсии, придем к рассматриваемому варианту).
Следует отметить, что процедура (6) является несколько большим, чем дис-
кретным, аналогом процесса Орнштейна – Уленбека, так как относительно {ηk},
k ≥ 0, не предполагается гауссовость.
2. Оценка скорости сближения нормированных сумм независимых слу-
чайных величин с быстрым пуассоновским временем с такими же суммами
независимых нормально распределенных случайных величин. Пусть {ηk},
k = 1, . . . , n, — последовательность независимых случайных величин, имеющих
нормальные распределения, по которой требуется построить последовательность
независимых случайных величин {ξk}, k = 1, . . . , n, с заранее выбранным распре-
делением, причем так, чтобы величина
∆n = max
k≤n
∣∣∣∣∣∣
k∑
j=1
ξk −
k∑
j=1
ηk
∣∣∣∣∣∣
была как можно меньше. Решение этой задачи в случае одинаково распределен-
ных величин дано в [5], в случае разно распределенных величин — в работе [6].
Сформулируем основной результат работы [6].
Теорема 1 [6]. Пусть Mξk = Mηk, Dξk = Dηk, k = 1, . . . , n, и при некотором
α > 0 выполняются неравенства
αM|ξk|3 exp
{
α|ξk|
}
≤ Dξk, k = 1, . . . , n. (7)
Тогда требуемые случайные величины {ξk}, k = 1, . . . , n, можно построить по
{ηk}, k = 1, . . . , n, таким образом, что
Mexp{cα∆n} ≤ 1 + αBn, (8)
где c > 0 — некоторая абсолютная постоянная, B2
n =
∑n
k=1
Dξk.
Оценка Комлоша – Майора – Тушнади [5] следует из (8) при B2
n = nDξk.
А. И. Саханенко в работе [7] приводит уточнение неравенства (8).
Лемма 1 [7]. Пусть Mξk = Mηk, Dξk = Dηk, k = 1, . . . , n, и при некотором
α > 0 выполняются неравенства (7). Тогда требуемые случайные величины {ξk},
k = 1, . . . , n, можно построить по {ηk}, k = 1, . . . , n, таким образом, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1158 Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ
Mexp{8cα∆n} ≤ 1 + αBn,
где c > 0 — некоторая абсолютная постоянная, B2
n =
∑n
k=1
Dξk, причем, не
уменьшая общности, считаем 0 < c ≤ 1
64
.
В работе [8] установлен результат, аналогичный [6], но содержащий доказа-
тельство построения случайных величин {ηk}, k = 1, . . . , n, по {ξk}, k = 1, . . . , n.
Этот момент может быть весьма существен, так как, как правило, мы имеем слу-
чайный процесс ξ(t), t ≥ 0, с определенными свойствами, по которому строится
последовательность {ξk}, k = 1, . . . , n, и неизвестно, будут ли такие же свойства у
процесса, построенного по {ξ̃k}, k = 1, . . . , n, распределения которых совпадают
с {ξk}, k = 1, . . . , n. По крайней мере это требует доказательства! Вместе с тем
установлено существование винеровского процесса W (t), t ≥ 0, сечения которого
по времени с вероятностью 1 будут совпадать с частными суммами Sk =
∑k
i=1
ηi,
k = 1, 2, . . . .
Теорема 2 [8]. Пусть Mξk = Mηk, Dξk = Dηk, k = 1, . . . , n, и при некотором
α > 0 выполняются неравенства (7). Тогда случайные величины {ηk}, k = 1, . . . , n,
можно построить по {ξk}, k = 1, . . . , n, таким образом, что имеет место (8),
где c > 0 — некоторая абсолютная постоянная, B2
n =
∑n
k=1
Dξk.
Справедлив и аналог леммы 1.
Лемма 2 [8]. Пусть Mξk = Mηk, Dξk = Dηk, k = 1, . . . , n, и при некотором
α > 0 выполняются неравенства (7). Тогда требуемые случайные величины {ηk},
k = 1, . . . , n, можно построить по {ξk}, k = 1, . . . , n, таким образом, что имеет
место (8), где c > 0 — некоторая абсолютная постоянная, B2
n =
∑n
k=1
Dξk,
причем, не уменьшая общности, считаем 0 < c ≤ 1
64
.
Приведем также и аналог одного результата из работы [9].
Пусть
Z(t), 0 ≤ t ≤ T, MZ(t) = λ(t)
— процесс Пуассона, причем для функции λ(t), t ≥ 0, имеют место оценки
0 < χ ≤ inf
1≤k≤n
[
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)]
≤
≤ sup
1≤k≤n
[
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)]
≤ δ < +∞.
Пусть имеется последовательность независимых разно распределенных случайных
величин {ξk} с заранее выбранным распределением. Будем предполагать, что по-
следовательность {ξk} не зависит от Z(t), t ≥ 0. Пусть {ηk} — последовательность
независимых разно распределенных случайных величин, имеющих нормальные
распределения.
Теорема 3. Если Mξk = Mηk, Dξk = Dηk ≤ σ2 < +∞, k = 1, . . . , n, и
при некотором α > 0 выполняются неравенства (7), то требуемые случайные
величины {ηk} можно построить по {ξk } таким образом, что
P
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣
Z(nt)∑
k=1
ξk −
Z(nt)∑
k=1
ηk
∣∣∣∣∣ > ρ
≤ `−
ρα
8
(
1 + ασ
√
nδ
)
. (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ . . . 1159
Доказательство. Учитывая результаты работ [6, 7], имеем
P
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣
Z(nt)∑
k=1
ξk −
Z(nt)∑
k=1
ηk
∣∣∣∣∣ > ρ
≤
≤ P
(
sup
0≤t≤T
sup
1≤i≤Z(nt)
∣∣∣∣∣
i∑
k=1
ξk −
i∑
k=1
ηk
∣∣∣∣∣ > ρ
)
≤
≤ P
(
sup
0≤i≤Z(nT )
∣∣∣∣∣
i∑
k=1
ξk −
i∑
k=1
ηk
∣∣∣∣∣ > ρ
)
=
=
+∞∑
m=1
P
(
sup
1≤i≤m
∣∣∣∣∣
i∑
k=1
ξk −
i∑
k=1
ηk
∣∣∣∣∣ > ρ
)
P
(
Z(nT ) = m
)
≤
≤
+∞∑
m=1
P
(
cα sup
1≤i≤m
∣∣∣∣∣
i∑
k=1
ξk −
i∑
k=1
ηk
∣∣∣∣∣ > cαρ
)
P
(
Z(nT
)
= m) ≤
≤
+∞∑
m=1
P (8cα∆n > 8cρ)P(Z(nT ) = m) ≤
≤ `−8cαρ
+∞∑
m=1
M`8c∆nP
(
Z(nT ) = m
)
≤
≤ `−8cαρ
+∞∑
n=1
(
1 + α
√
mσ2
)
P
(
Z(nT ) = m
)
=
= `−8cαρ + `−8cαρασ
+∞∑
m=1
√
mP
(
Z(nT ) = m
)
=
= `−8cαρ
(
1 + ασM
√
Z(nT )
)
≤ `−8cαρ
(
1 + ασ
√
MZ(nT )
)
=
= `−8cαρ
(
1 + ασ
√
λ(nT )
)
≤ `−8cαρ
(
1 + ασ
√
nδ
)
.
Теорема доказана.
Приведем некоторые достаточные для (7) условия.
Лемма 3 [7]. Пусть для некоторого γ > 0 имеет место оценка
Mξ2
i eγ|ξi| ≤ 3Dξi. (10)
Тогда условие (7) выполняется.
Действительно, возьмем α =
γ
2
, тогда в силу того, что [7]
α|x|3eα|x| ≤ x2 e2α|x| − 1
2
,
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1160 Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ
αM|ξi|3eα|ξi| ≤ Mξ2
i
e2α|ξi| − 1
2
=
1
2
Mξ2
i e2α|ξi| − 1
2
Mξ2
i =
=
1
2
Mξ2
i eγ|ξi| − 1
2
Mξ2
i ≤
3
2
Dξi −
1
2
Dξi ≤ Dξ,
т. е. условие (7) также имеет место. В работе [10] замечено, что, в свою очередь,
достаточным для выполнения условия (10) является выполнение классического
условия Крамера.
Лемма 4. Если выполняется условие Крамера
M|ξi|m ≤ Hm−2Mξ2
i
2
m! при m ≥ 2, (11)
то при γH = 1− 1
3
√
3
< 1 имеем (10).
Доказательство. Если выполняется условие Крамера (11), то
Mξ2
i eγ|ξi| = Mξ2
i
(
1 + |ξi|+
γ2|ξi|2
2!
+ . . .
)
=
= M|ξi|2
∞∑
m=0
(γ|ξi|)m
m!
=
∞∑
m=0
γm M|ξi|m+2
m!
=
= M|ξi|2
∞∑
m=0
(γ|ξi|)m
m!
=
∞∑
m=0
γm M |ξi|m+2
m!
≤
≤
∞∑
m=0
γm
m!
Hm Mξ2
i
2
(m + 2)! ≤
≤
∞∑
m=0
(m + 1)(m + 2)γmHm Mξ2
i
2
≤
≤ Mξ2
i
∞∑
m=0
(m + 1)(m + 2)
2
(γH)m.
Пусть
γH = δ < 1,
тогда, так как
∞∑
m=0
δm =
1
1− δ
,
∞∑
m=0
mδm = δ
∞∑
m=0
mδm−1 =
δ
(1− δ)2
,
∞∑
m=0
m2δm = δ2
∞∑
m=0
m(m− 1)δm−2 +
∞∑
m=0
mδm =
= δ2
∞∑
m=0
m(m− 1)δm−2 +
δ
(1− δ)2
=
2δ2
(1− δ)3
+
δ
(1− δ)2
,
Mξ2
i eγ|ξi| ≤
(
1
1− δ
+
3
2
δ
(1− δ)2
+
δ2
(1− δ)3
+
δ
2(1− δ)2
)
Mξ2
i =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ . . . 1161
=
(1− δ)2 + 4δ(1− δ) + 2δ
2(1− δ)3
Mξ2
i =
1
(1− δ)3
Mξ2
i , (12)
откуда при δ = 1− 1
3
√
3
< 1 имеем (10).
Таким образом, при выполнении условия Крамера (11) при
γ =
1
H
(
1− 1
3
√
3
)
из (12) получаем (10), а при
α =
γ
2
=
1
2H
(
1− 1
3
√
3
)
— (7).
Следствие. При выполнении условия Крамера (11) неравенство (9) примет вид
P
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣
Z(nt)∑
k=1
ξk −
Z(nt)∑
k=1
ηk
∣∣∣∣∣ > ρ
≤ `
− ρ
16H
(
1− 1
3√3
)(
1 +
1
2H
(
1− 1
3
√
3
)√
δn
)
.
3. Оценка скорости сближения нормированных сумм независимых нор-
мально распределенных случайных величин с быстрым пуассоновским вре-
менем с суммами независимых нормально распределенных случайных вели-
чин. Пусть Z(t), t ≥ 0, — процесс Пуассона, такой, что MZ(t) = λ(t) ≥ 0, где
λ(0) = 0, λ(t) — непрерывная возрастающая функция, т. е. при 0 ≤ s < t < +∞
P
{
Z(t)− Z(s) = k
}
=
[
λ(t)− λ(s)
]k
k!
`−[λ(t)−λ(s)].
Пусть
η(t) =
Z(t)∑
k=1
ηk
(
0∑
k=1
ηk = 0
)
,
где {ηk}, k = 1, 2, . . . , — независимые от Z(t), t ≥ 0, независимые между собой
нормально N(0, 1), i = 1, 2, . . . , распределенные случайные величины, т. е. мера
Φ(A) = P(ηi ∈ A) =
1√
2π
∫
A
`−
x2
2 dx.
Случайный процесс η(t) — сложный процесс Пуассона, будет [11] неоднородным
во времени процессом с независимыми приращениями. Его можно представлять
себе как суперпозицию некоторого стандартного винеровского процесса с пуассо-
новским временем, т. е. η(t) = W (Z(t)), t ≥ 0 (равенство понимается в смысле
равенства распределений). Введем случайную меру ν(A, t). Мера ν(A, t) строится
путем прореживания процесса Пуассона Z(t), t ≥ 0, осуществляемого следующим
способом: засчитываются лишь те скачки процесса η(t), величины которых попа-
дают во множество A, т. е. скачок процесса Пуассона Z(t), t ≥ 0, засчитывается
с вероятностью Φ(A) и не засчитывается с вероятностью 1 − Φ(A). Как известно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1162 Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ
(см., например, [12]), такой прореженный процесс Пуассона Z(t), t ≥ 0, будет так-
же процессом Пуассона, но уже с интенсивностью λ(t)Φ(A). При фиксированном
t ≥ 0 ν(A, t) — случайная мера, удовлетворяющая условию счетной аддитивности.
Процесс ν(A, t) является процессом с независимыми приращениями, такими, что
P
(
ν(A, t)− ν(A, s) = k
)
=
[
[λ(t)− λ(s)]Φ(A)
]k
k!
`−[λ(t)−λ(s)]Φ(A),
k = 0, 1, . . . , 0 ≤ s < t < +∞,
откуда, в частности, следует, что
Mν(A, t) = λ(t)Φ(A).
В [12, 13] показано, что сложный процесс Пуассона можно представить в виде
интеграла по пуассоновской мере ν(A, t)
η(t) =
t∫
0
+∞∫
−∞
xν(dx, ds). (13)
Введем центрированную меру
ν̃(A, t) = ν(A, t)−Mν(A, t) = ν(A, t)− λ(t)Φ(A).
В силу того что
+∞∫
−∞
xΦ(dx) = 0,
из (13) имеем
η(t) =
t∫
0
+∞∫
−∞
xν̃(dx, ds). (14)
Из (14) следует, что справедливо представление
η(nt)√
n
=
1√
n
Z(nt)∑
k=1
ηk =
1√
n
tn∫
0
+∞∫
−∞
xν̃(dx, ds) =
1√
n
tn∫
0
+∞∫
−∞
xν(dx, ds).
Теорема 4. Пусть
Z(t), 0 ≤ t ≤ T, MZ(t) = λ(t),
— процесс Пуассона, причем для функции λ(t), t ≥ 0, имеют место оценки
0 < χ ≤ inf
1≤k≤n
[
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)]
≤
≤ sup
1≤k≤n
[
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)]
≤ δ < +∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ . . . 1163
Тогда для достаточно малых α > 0 таких, что
0 < α4`δ[`8α2
−1] ≤
[
6(δ2/3χ1/3 + 1)
]−3
χ < +∞,
справедлива оценка
P
sup
1≤k≤n
∣∣∣∣∣∣
kT∫
0
+∞∫
−∞
xν̃(dx, ds)−
k∑
i=1
ςi
∣∣∣∣∣∣ > ρ
≤ `−
ρ
8 α
(
1 + α
√
nδ
)
, (15)
где {ςi}, i = 1, 2, . . . , n, — независимые нормально
(
0, λ(iT )−λ
(
(i− 1)T
))
распре-
деленные величины.
Доказательство. Пусть η(t) = W (Z(t)), 0 ≤ t ≤ n,
{
ξk = W (Z(kT )) −
− W
(
Z((k − 1)T )
)
, k = 1, . . . , n
}
. Нетрудно убедиться в том, что
Mξk = M
(
W (Z(kT ))−W
(
Z((k − 1)T
))
=
=
+∞∑
l=0
MW (l)P
{
Z(kT ) = l
}
−
+∞∑
m=0
MW (m)P
{
Z((k − 1)T ) = m
}
= 0,
Dξk = Mξ2
k = M
(
W (Z(kT ))−W
(
Z((k − 1)T
))2
=
=
+∞∑
l=0
MW 2(l)P
{
Z(kT ) = l
}
+
+∞∑
m=0
MW 2(m)P
{
Z((k − 1)T ) = m
}
−
−2
+∞∑
m=0
+∞∑
l=m
MW (m)W (l)P
{
Z(kT ) = l
}
P
{
Z((k − 1)T ) = m
}
=
= MZ(kT ) + MZ((k − 1)T )−
−2
+∞∑
m=0
+∞∑
l=m
mP
{
Z(kT ) =
l
Z((k − 1)T )
= m
}
P
{
Z((k − 1)T ) = m
}
=
= λ(kT ) + λ((k − 1)T )−
−2
+∞∑
m=0
+∞∑
l=m
mP
{
Z(kT )− Z((k − 1)T ) = l −m
}
P
{
Z((k − 1)T ) = m
}
=
= λ(kT ) + λ((k − 1)T )− 2λ((k − 1)T ) = λ(kT )− λ((k − 1)T ).
Построим по {ξk}, k = 1, . . . , n, последовательность независимых случайных
величин {ςk}, k = 1, . . . , n
(
{ςi}, i = 1, 2, . . . , n, — независимые нормально
(0, λ(iT )− λ((i− 1)T )) распределенные величины
)
, так, чтобы имело место (15).
Для того чтобы это построение было осуществимо, проверим выполнение усло-
вия (7).
В силу того что
αM|ξk|3 exp
{
α|ξk|
}
≤
(
M |ξk|4
)4/3 (Mexp
{
4α|ξk|
}
)1/4,
необходимо оценить сверху каждый сомножитель последнего соотношения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1164 Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ
Используя представление (13), получаем
M[ξk]4 = M
kT∫
(k−1)T
+∞∫
−∞
uν̃(du, ds)
4
≤
≤ 6
([
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)]2 +
[
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)])
≤
≤ 6(δ2/3 + χ−1/3)(Dξk)4/3 < +∞. (16)
Действительно, пусть
η
(
(k − 1)T, t
)
=
t∫
(k−1)T
+∞∫
−∞
uν̃(du, ds).
Используя обобщенную формулу Ито [14], с учетом того, что
+∞∫
−∞
u3dΦ(u) = 0,
+∞∫
−∞
u2dΦ(u) = 1,
+∞∫
−∞
u4dΦ(u) = 3,
M
[
η
(
(k − 1)T, s
)]2
=
s∫
(k−1)T
+∞∫
−∞
u2dΦ(u)dλ(τ) = λ(s)− λ((k − 1)T ),
имеем
M
[
η
(
(k − 1)T, t
)]4
=
= M
t∫
(k−1)T
{[
η
(
(k − 1)T, s
)
+ u
]4
−
[
η((k − 1)T, s)
]4
−
− 4
[
η((k − 1)T, s)
]3
u
}
dΦ(u)dλ(s) =
= M
t∫
(k−1)T
{
6
[
η
(
(k − 1)T, s
)]2
u2 + 4
[
η
(
(k − 1)T, s
)]
u3 + u4
}
dΦ(u)dλ(s) =
= 6
t∫
(k−1)T
M
[
η((k − 1)T, s)
]2 +∞∫
−∞
u2dΦ(u) dλ(s) +
t∫
(k−1)T
+∞∫
−∞
u4dΦ(u) dλ(s) ≤
≤ 6
[
λ(kT )− λ((k − 1)T )
]2 + 3
[
λ(kT )− λ((k − 1)T )
]
≤
≤ 6
([
λ(kT )− λ((k − 1)T )
]2 +
[
λ(kT )− λ((k − 1)T )
])
,
т. е. (16) имеет место.
В силу того что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ . . . 1165
∣∣∣η((k − 1)T, t
)∣∣∣ ≤ t∫
(k−1)T
+∞∫
−∞
|u|ν(du, ds) = η̄
(
(k − 1)T, t
)
,
опять используя обобщенную формулу Ито, получаем
M`4αη̄((k−1)T,t) = 1 +
t∫
(k−1)T
M`4αη̄((k−1)T,s)
[
`4α|u| − 1
]
dΦ(u) dλ(s),
откуда
M`4αη̄((k−1)T,t) = `[λ(t)−λ((k−1)T )][
∫+∞
−∞ `4α|u|d(u)−1] =
= `[λ(t)−λ(kT )][`8α2
−1] ≤ `δ[`8α2
−1] < +∞. (17)
Из (16) и (17) следует оценка
αM|ξk|3 exp
{
α|ξk|
}
≤ Mξ2
k,
и теперь, в силу леммы 2, имеем (15). Построенная таким образом последователь-
ность {ςk}, k = 1, . . . , n, является последовательностью независимых нормально
N(0, λ(kT )− λ((k − 1)T ), k = 1, . . . , n, распределенных величин.
Неравенство (15) можно переписать также и в следующем виде:
P
(
sup
1≤k≤n
∣∣∣η(kT )− W̃ (λ(kT ))
∣∣∣ > ρ
)
≤ `−
ρ
8 α
(
1 + α
√
nδ
)
,
где W̃ (t), t ≥ 0, — некоторый стандартный винеровский процесс. Этот факт сле-
дует из того, что для любой последовательности независимых нормально распре-
деленных величин можно построить винеровский процесс, приращения которого
с вероятностью 1 будут совпадать с заданными величинами. Именно, справедлива
следующая лемма.
Лемма 5. Пусть на полном вероятностном пространстве (Ω,=, P) задана
последовательность ξi, i = 1, . . . , l, независимых нормально распределенных слу-
чайных величин, такая, что Mξi = 0, Mξ2
i < +∞, i = 1, . . . , l. Тогда существует
винеровский процесс W̃ (t) такой, что с вероятностью единица
µk = W̃ (tk), k = 0, . . . , l,
где
µ0 = 0, t0 = 0, µk =
k∑
i=1
ξi, tk =
k∑
i=1
Mξ2
i , k = 1, . . . , l.
4. Оценка скорости сближения по вероятности нормированного винеров-
ского процесса с быстрым пуассоновским временем с семейством винеров-
ских процессов. Основным результатом настоящего пункта является следующее
утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1166 Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ
Теорема 5. Пусть
Z(t), 0 ≤ t ≤ T, MZ(t) = λ(t),
— процесс Пуассона, причем для функции λ(t), t ≥ 0, имеют место оценки
0 < χ ≤ inf
k∈N
[
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)]
≤ sup
k∈N
[
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)]
≤ δ < +∞.
Пусть α > 0 такое, что
0 < α4`δ[`8α2
−1] ≤
[
6(δ2/3χ1/3 + 1)
]−3
χ < +∞.
Тогда найдется некоторый стандартный винеровский процесс W̃ (t), t ≥ 0,
такой, что при ρ(n) ≥ 1
P
{
sup
0≤t≤T
1√
n
∣∣∣η(tn)− W̃
(
λ(tn)
)∣∣∣ > 3
1√
n
ρ(n)
}
≤
≤ exp
{
−αρ(n)
8
}[
1 + α
√
nδ
]
+ 2n exp
{
−ρ(n) + δ(
√
`− 1)
}
+
+ n
4
√
δ
ρ(n)
√
2π
exp
{
−[ρ(n)]2
2δ
}
.
Доказательство. В силу того что на интервале
[
(k − 1)T, kT
)
процессы
ς±k−1(t) = exp
±z
t∫
(k−1)t
+∞∫
−∞
xν(dx, ds)−
t∫
(k−1)T
+∞∫
−∞
[`±xz − 1]Φ(dx)dλ(s)
являются мартингалами [15], причем
Mς±k−1(t) = 1,
в силу неравенства А. Н. Колмогорова имеем оценки
P
{
sup
(k−1)T≤t≤kT
ς±k−1(t) > r
}
≤
Mς±k (kT )
r
=
1
r
.
Тогда
P
{
sup
(k−1)T≤t≤kT
∣∣η(t)− η((k − 1)T )
∣∣ > ρ(n)
}
=
= P
z sup
(k−1)T≤t≤kT
∣∣∣∣∣∣∣
t∫
(k−1)t
+∞∫
−∞
xν̃(dx, ds)
∣∣∣∣∣∣∣ > zρ(n)
≤
≤ P
sup
(k−1)T≤t≤kT
z
t∫
(k−1)t
+∞∫
−∞
xν̃(dx, ds)
> zρ(n)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ . . . 1167
+P
sup
(k−1)T≤t≤kT
−z
t∫
(k−1)t
+∞∫
−∞
xν̃(dx, ds)
> zρ(n)
≤
≤ P
sup
(k−1)T≤t≤kT
z
t∫
(k−1)t
+∞∫
−∞
xν̃(dx, ds)−
t∫
(k−1)T
+∞∫
−∞
[`xz − 1]Φ(dx)dλ(s)
>
> zρ(n)− δ
[
exp
{
z2
2
}
− 1
]+
+ P
sup
(k−1)T≤t≤kT
−z
t∫
(k−1)t
+∞∫
−∞
xν̃(dx, ds)−
t∫
(k−1)T
+∞∫
−∞
[`−xz − 1]Φ(dx)dλ(s)
>
> zρ(n)− δ
[
exp
{
z2
2
}
− 1
] ≤
≤ 2 exp
{
−zρ(n) + δ
[
exp
{
z2
2
}
− 1
]}
,
откуда при z = 1 получаем оценку
P
{
sup
(k−1)T≤t≤kT
∣∣η(t)− η
(
(k − 1)T
)∣∣ > ρ(n)
}
≤ 2 exp
{
−ρ(n) + δ(
√
`− 1)
}
.
Здесь ` — постоянная Эйлера.
Известно, что для ρ(n) ≥ 1 справедлива оценка
P
{
sup
(k−1)T≤t≤kT
∣∣∣W̃ (λ(t))− W̃ (λ(k − 1)T ))
∣∣∣ > ρ(n)
}
=
= P
{
sup
λ((k−1)T )≤u≤λ(kT )
∣∣∣W̃ (u)− W̃ (λ(k − 1)T ))
∣∣∣ > ρ(n)
}
=
= P
{
sup
0≤u≤λ(kT )−λ((k−1)T )
∣∣∣W̃ (u)
∣∣∣ > ρ(n)
}
≤
≤ 4P
{
ξ > ρ(n)
[
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)] 1
2
}
≤
≤ 4√
2π
+∞∫
ρ(n)[λ(kT )−λ((k−1)T )]
1
2
exp
{
−x2
2
}
dx ≤
≤
4
[
λ(kT )− λ((k − 1)T )
]1/2
ρ(n)
√
2π
+∞∫
ρ(n)
x exp
{
−x2
2
}
dx ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1168 Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ
≤
4
[
λ(kT )− λ((k − 1)T )
] 1
2
ρ(n)
√
2π
exp
{
− [ρ(n)]2
2
[
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)]} ≤
≤ 4
√
δ
ρ(n)
√
2π
exp
{
−
[
ρ(n)
]2
2δ
}
.
Используя полученные оценки и (15), имеем
P
{
sup
0≤t≤T
1√
n
∣∣∣η(tn)− W̃ (λ(tn))
∣∣∣ > 3
1√
n
ρ(n)
}
≤
≤ P
{
sup
0≤t≤Tn
∣∣∣η(t)− W̃ (λ(t))
∣∣∣ > 3ρ(n)
}
≤
≤ P
{
max
1≤k≤n
sup
(k−1)T≤t≤kT
∣∣∣η(t)− W̃ (λ(t))
∣∣∣ > 3ρ(n)
}
≤
≤ P
{
max
1≤k≤n
∣∣∣η(kT )− W̃ (λ(kT ))
∣∣∣ > ρ(n)
}
+
+P
{
max
1≤k≤n
sup
(k−1)T≤t≤kT
|η(t)− η((k − 1)T )| > ρ(n)
}
+
+P
{
max
1≤k≤n
sup
(k−1)T≤t≤kT
∣∣∣W̃ (λ(t))− W̃ (λ(k − 1)T )
∣∣∣ > ρ(n)
}
≤
≤ exp
{
−1
8
αρ(n)
}[
1 + α
√
δn
]
+
+
n∑
k=1
{
sup
(k−1)T≤t≤kT
|η(t)− η((k − 1)T )| > ρ(n)
}
+
+
n∑
k=1
{
sup
(k−1)T≤t≤kT
|W (λ(t))−W (λ(k − 1)T )| > ρ(n)
}
≤
≤ exp
{
−αρ(n)
8
}[
1 + α
√
nδ
]
+ 2n exp
{
−ρ(n) + δ
(√
`− 1
)}
+
+n
4
√
δ
ρ(n)
√
2π
exp
{
−
[
ρ(n)
]2
2δ
}
.
Выбирая ρ(n) → +∞ так, чтобы
ρ(n)√
n
→ 0, n exp(−ρ(n)) → 0 при n → +∞,
будем иметь оценку скорости сближения в равномерной метрике по вероятности
процесса
η(nt)√
n
=
1√
n
Z(nt)∑
k=1
ηk =
1√
n
∫ nt
0
∫ +∞
−∞
xν(dx, ds), t ∈ [0, T ], с процессом
1√
n
W̃ (λ(nt)), t ∈ [0, T ], где W̃ (t) — некоторый стандартный винеровский процесс.
5. Принцип инвариантности для рекуррентной процедуры. Рассмотрим
дискретный аналог процесса Орнштейна – Уленбека, а именно, процедуру
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ . . . 1169
ξk+1 = γξk + ηk+1, ξ0 = η0, 0 < γ < 1. (18)
Здесь {ηk}, k ≥ 0, — последовательность независимых центрированных случайных
величин. Основным результатом данного пункта является следующее утверждение.
Теорема 6. Пусть
Z(t), 0 ≤ t ≤ T, MZ(t) = λ(t),
— процесс Пуассона, причем для функции λ(t), t ≥ 0, имеют место оценки
0 < χ ≤ inf
k∈N
[
λ(kT )− λ
(
(k − 1)T
)]
≤ sup
k∈N
[
λ(kT )− λ((k − 1)T )
]
≤ δ < +∞.
Пусть α > 0 такое, что
0 < α4`δ[`8α2
−1] ≤
[
6(δ2/3χ1/3 + 1)
]−3
χ < +∞,
и {ηk}, k ≥ 0, — последовательность независимых одинаково распределенных
центрированных случайных величин, таких, что выполнено условие Крамера
M|ηt|m ≤ Lm−2
2
m!, m ≥ 2.
Тогда справедливо разложение
Xn
t =
1√
n
Z(nt)∑
k=0
ξk =
1
1− λ
1√
n
W̃ (λ(nt)) + ρn(t),
причем справедлива оценка
P
{
sup
0≤t≤1
∣∣ρn(t)
∣∣ > ρ(n)√
n
4− 3γ
1− γ
}
≤
≤ exp
{
−αρ(n)(1− γ)
8
}[
1 + α
√
nδ
]
+
+ 2n exp
{
−ρ(n)(1− γ) + δ(
√
`− 1)
}
+
+ n
4
√
δ
ρ(n)(1− γ)
√
2π
exp
{
−
[
ρ(n)
]2(1− γ)2
2δ
}
+
+ 2δn exp
{
−ρ2(n)n(1− γ)2
2
1
1 + 1,62Lρ(n)
√
n(1− γ2)
}
+
+ 2 exp
(
− 1
2L
ρ(n)
√
n(1− γ) +
1
4L2
)
+
+ `
− ρ(n)(1−γ)
16L
(
1− 1
3√3
)(
1 +
1
2L
(
1− 1
3
√
3
)√
δn
)
. (19)
Доказательство. Из (18) следует, что
ξk = γkη0 + γk−1η1 + . . . + γηk−1 + ηk.
Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1170 Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ
vn+1 =
+∞∑
k=n+1
M {ξk/=n
0} =
=
+∞∑
k=n+1
M
{[
γkη0 + γk−1η1 + . . . + γηk−1 + ηk
]
/=n
0
}
=
=
+∞∑
k=n+1
{[
γkη0 + γk−1η1 + . . . + γk−n+1ηn−1 + γk−nηn
]}
=
= η0
+∞∑
k=n+1
γk + η1
+∞∑
k=n+1
γk−1 + . . . + ηn
+∞∑
k=n+1
γk−n =
=
η0γ
n+1
1− γ
+
η1γ
n
1− γ
+ . . . +
ηnγ
1− γ
=
γξn
1− γ
,
а
v0 =
+∞∑
k=0
M
{
ξk/=0
0
}
=
+∞∑
k=0
M
{[
γkη0 + γk−1η1 + . . . + γηk−1 + ηk
]
/=0
0
}
=
=
+∞∑
k=0
{[
γkη0
]}
=
η0
1− γ
.
Пусть
mk =
+∞∑
i=k
[
M
{
ξi/=k
0
}
−M
{
ξi/=k−1
0
}]
— мартингал-разности, тогда
µn =
n∑
k=1
mk
— мартингал.
В силу того что [
M
{
ξi/=k
0
}
−M
{
ξi/=k−1
0
}]
=
= M
{[
γiη0 + γi−1η1 + . . . + γηi−1 + ηi
]
/=k
0
}
−
− M
{[
γiη0 + γi−1η1 + . . . + γηi−1 + ηi
]
/=k−1
0
}
=
=
[
γiη0 + γi−1η1 + . . . + γi−kηk
]
−
−
[
γiη0 + γi−1η1 + . . . + γi−k+1ηk−1
]
= γi−kηk,
имеем
mk =
+∞∑
i=k
[
M
{
ξi/=k
0
}
−M
{
ξi/=k−1
0
}]
=
+∞∑
i=k
[
γi−kηk
]
=
ηk
1− γ
,
откуда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ . . . 1171
µn =
n∑
k=1
mk =
1
1− γ
n∑
k=1
ηk.
Пусть {ςk}, k ≥ 1, — последовательность независимых нормально распреде-
ленных случайных величин с нулевым средним таких, что Mη2
k = Mς2
k , k ≥ 1.
Далее, пусть
µ(Z(nt))√
n
=
1√
n
1
1− γ
Z(nt)∑
k=1
ηk.
В силу следствия из теоремы 1 получаем
P
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣ 1
(1− γ)
√
n
Z(nt)∑
k=1
ςk −
µ(Z(nt))√
n
∣∣∣∣∣∣ > ρ(n)√
n
≤
≤ `
− ρ(n)(1−γ)
16L (1− 1
3√3
)
(
1 +
1
2L
(
1− 1
3
√
3
)√
δn
)
.
В силу теоремы 4 при ρ(n) ≥ 1 имеем оценку
P
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣ 1
(1− γ)
√
n
Z(nt)∑
k=1
ςk −
1
(1− γ)
√
n
W̃ (λ(tn))
∣∣∣∣∣∣ > 3
1√
n
ρ(n)
≤
≤ P
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣ 1√
n
1
1− γ
Z(nt)∑
k=1
ςk −
1
(1− γ)
√
n
W̃ (λ(tn))
∣∣∣∣∣∣ > 3
1√
n
ρ(n)
≤
≤ P
sup
0≤t≤T
∣∣∣∣∣∣ 1√
n
Z(nt)∑
k=1
ςk −
1√
n
W̃ (λ(tn))
∣∣∣∣∣∣ > 3
1− γ√
n
ρ(n)
≤
≤ exp
{
−αρ(n)(1− γ)
8
}[
1 + α
√
nδ
]
+
+ 2n exp
{
−ρ(n)(1− γ) + δ
(√
`− 1
)}
+
+ n
4
√
δ
ρ(n)(1− γ)
√
2π
exp
{
− [ρ(n)]2(1− γ)2
2δ
}
.
Далее, так как
1 ≤ B2
k =
k∑
i=0
γ2(k−i) =
1− γ2k
1− γ2
<
1
1− γ2
,
выполнено условие Крамера
M
∣∣γk−iηi
∣∣m ≤ m!
2
Lm−2γ2(k−i).
Теперь, используя результаты В. В. Юринского [16] (см. также [17]), имеем
P
{
sup
0≤t≤1
∣∣v0 − vZ((n+1)t)
∣∣ > ρ +
ρ
1− γ
}
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1172 Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ
≤ P
{
sup
0≤t≤1
∣∣∣∣γξZ((n+1)t)
1− γ
∣∣∣∣ > ρ
1− γ
√
n
}
+ P
{∣∣∣∣ η0
1− γ
∣∣∣∣ > ρ
√
n
}
≤
≤ P
{
|η0| > ρ
√
n(1− γ)
}
+ P
{
sup
0≤k≤Z(nT )
|ξk| > ρ
√
n
}
≤
≤ P
{
|η0| > ρ
√
n(1− γ)
}
+
+
+∞∑
k=0
k∑
i=0
P{|ξi| > ρ
√
n}P{Z(nT ) = k} ≤ P{|η0| > ρ
√
n(1− γ)} +
+
+∞∑
k=0
k∑
i=0
P
{
|γiη0 + γi−1η1 + . . . + γηi−1 + ηi| >
> Biρ
√
n(1− γ2)
}
P {Z(nT ) = k} ≤
≤ P
{
|η0| > δ
√
n(1− γ)
}
+
+
+∞∑
k=0
k∑
i=0
2 exp
{
−ρ2n(1− γ2)
2
[
1 + 1, 62ρ
√
n(1− γ2)
L
Bi
]−1
}
P{Z(nT ) = k} ≤
≤ P
{
|η0| > δ
√
n(1− γ)
}
+
+2 exp
{
−ρ2n(1− γ2)
2
1
1 + 1, 62Lρ
√
n(1− γ2)
}
λ(nT ) ≤
≤ P
{
|η0| > ρ
√
n(1− γ)
}
+ 2nδ exp
{
−n(1− γ2)
2
1
1 + 1,62ρL
√
n(1− γ2)
}
.
Далее, пусть z > 0, Lz ≤ 1
2
, тогда
P
{
η0 > ρ
√
n(1− γ)
}
≤ P
{
zη0 > zρ
√
n(1− γ)
}
≤
≤ P
{
exp(zη0) > exp(zρ
√
n(1− γ))
}
≤
≤ exp(−zρ
√
n(1− γ))M exp(zη0) ≤
≤ exp(−zρ
√
n(1− γ))
[
1 +
+∞∑
m=2
M|η0z|m
m!
]
≤
≤ exp(−zρ
√
n(1− γ))
[
1 + z2
+∞∑
m=2
Lm−2zm−2
2
]
≤ exp(−zρ
√
n(1− γ))[1 + z2] ≤
≤ exp(−zρ
√
n(1− γ) + z2). (20)
Минимизируя правую часть по 0 < z <
1
2L
, из (20) получаем
P{|η0| > ρ
√
n(1− γ)} ≤
≤ P{η0 > ρ
√
n(1− γ)}+ P{−η0 > ρ
√
n(1− γ)} ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
ПРИНЦИП ИНВАРИАНТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ . . . 1173
≤ 2 exp
(
− 1
2L
ρ
√
n(1− γ) +
1
4L2
)
. (21)
Из (20) и (21) следует оценка
P
{
sup
0≤t≤1
∣∣v0 − vZ((n+1)t)
∣∣ > ρ +
ρ
1− γ
}
≤
≤ n2δ exp
{
−ρ2n(1− γ2)
2
1
1 + 1,62Lρ
√
n(1− γ2)
}
+
+2 exp
(
− 1
2L
ρ
√
n(1− γ) +
1
4L2
)
.
Теорема 6 доказана.
Замечание. Выбирая ρ(n) → +∞ при n → +∞ так, чтобы правая часть
неравенства (19) стремилась к нулю, но так, чтобы
ρ(n)√
n
→ 0, получаем оценку
скорости сближения.
6. Выводы. Методом одного вероятностного пространства получена оценка
скорости сближения при n → +∞ процесса
ςn(t) =
1√
n
Z(nt)∑
k=0
ξk, t ∈ [0, T ],
с семейством винеровских процессов
1√
n
W̃ (λ(nt)), t ∈ [0, T ]. Здесь Z(t) — про-
цесс Пуассона, MZ(t) = λ(t), λ(0) = 0,
ξk+1 = γξk + ηk+1, ξ0 = η0, 0 < γ < 1,
— дискретный аналог процесса Орнштейна – Уленбека, {ηk}, k ≥ 0, — последо-
вательность независимых центрированных одинаково распределенных величин,
удовлетворяющих условию Крамера
M|ηk|m ≤ Lm−2
2
m!, m ≥ 2.
В построении существенно используется разложение соответствующей суммы на
мартингальную составляющую и асимптотически пренебрежимый процесс.
1. Чикин Д. О. Функциональная предельная теорема для стационарных процессов. Мартингаль-
ный подход // Теория вероятностей и ее применения. – 1989. – 14, вып. 4. – С. 731 – 741.
2. Анулова С. В., Веретенников А. Ю., Крылов Н. В. и др. Стохастическое исчисление // Итоги
науки и техники. Сер. Соврем. пробл. математики. – 1989. – 45. – С. 5 – 257.
3. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов. – М.: Физматлит,
1994. – 368 с.
4. Баев А. В., Бондарев Б. В. Принцип инвариантности для одного класса стационарных марков-
ских процессов. Оценка скорости сближения // Вiсн. Донец. ун-ту. Сер А. Природничi науки.
– 2002. – Вип. 2. – С. 7 – 17.
5. Komlos J., Major P., Tusnady G. An approximation of partial sums of independent RV’s and sample
DF. II // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. – 1976. – 34, H. 1. – S. 33 – 58.
6. Саханенко А. И. Скорость сходимости в принципе инвариантности для разно распределен-
ных величин с экспоненциальными моментами // Предельные теоремы для сумм случайных
величин. – Новосибирск: Наука, 1984. – С. 4 – 50.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1174 Б. В. БОНДАРЕВ, А. В. БАЕВ
7. Саханенко А. И. Оценки в принципе инвариантности // Тр. Ин-та математики СО АН СССР.
– 1985. – 5. – С. 27 – 44.
8. Bondarev B. V., Kolosov A. A. An approximation in probability of normalized integrals of processes
with weak dependence by a set of Wiener processes and its applications // Прикл. статистика.
Актуарна та фiнансова математика. – 2000. – № 2. – С. 39 – 65.
9. Бондарев Б. В., Баев А. В., Худолий О. С. Некоторые задачи для сложного процесса Пуассона
// Там же. – 2004. – № 1. – С. 3 – 15.
10. Зайцев А. Ю. О гауссовской аппроксимации сверток при выполнении многомерных аналогов
неравенства Бернштейна. – Л., 1984. – 48 с. – (Препринт / Ленингр. отд-ние Мат. ин-та АН
СССР, Р-9-84).
11. Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Теория вероятностей и математическая статис-
тика. – Киев: Вища шк., 1988. – 439 с.
12. Бондарев Б. В. Математические модели в страховании. – Донецк: Апекс, 2003. – 116 с.
13. Скороход А. В. Лекцiї з випадкових процесiв. – Київ: Либiдь, 1990. – 168 с.
14. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. – Киев: Наук.
думка, 1968. – 354 с.
15. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения.
– Киев: Наук. думка, 1982. – 612 с.
16. Yurinskii V. V. Exponential inequalities for sums of random vectors // J. Multivar. Anal. – 1976. – 6,
№ 4. – P. 473 – 499.
17. Бондарев Б. В. Нерiвнiсть С. Н. Бернштейна для оцiнки параметра авторегресiї першого
порядку // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 1996. – Вип. 55. – С. 13 – 19.
18. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. – М.: Наука, 1974. – 696 с.
19. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. – М.: Наука, 1972. – 370 с.
Получено 19.01.2006,
после доработки — 03.05.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-3520 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:04Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/03/1b43dd0aa7d8283f18a96de67bf57003.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35202020-03-18T19:56:51Z Invariance principle for one class of Markov chains with fast Poisson time. Estimate for the rate of convergence Принцип инвариантности для одного класса марковских цепей с быстрым пуассоновским временем. Оценка скорости сближения Baev, A. V. Bondarev, B. V. Баев, А. В. Бондарев, Б. В. Баев, А. В. Бондарев, Б. В. We obtain an estimate for the rate of convergence of normalized Poisson sums of random variables determined by the first-order autoregression procedure to a family of Wiener processes. Отримано оцiнку швидкостi зближення нормованих пуассонiвських сум випадкових величин, обумовлених процедурою авторегресiї першого порядку, з сiм’єю вiнерових процесiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3520 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 9 (2006); 1155–1174 Український математичний журнал; Том 58 № 9 (2006); 1155–1174 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3520/3777 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3520/3778 Copyright (c) 2006 Baev A. V.; Bondarev B. V. |
| spellingShingle | Baev, A. V. Bondarev, B. V. Баев, А. В. Бондарев, Б. В. Баев, А. В. Бондарев, Б. В. Invariance principle for one class of Markov chains with fast Poisson time. Estimate for the rate of convergence |
| title | Invariance principle for one class of Markov chains with fast Poisson time. Estimate for the rate of convergence |
| title_alt | Принцип инвариантности для одного класса марковских цепей с быстрым пуассоновским временем. Оценка скорости сближения |
| title_full | Invariance principle for one class of Markov chains with fast Poisson time. Estimate for the rate of convergence |
| title_fullStr | Invariance principle for one class of Markov chains with fast Poisson time. Estimate for the rate of convergence |
| title_full_unstemmed | Invariance principle for one class of Markov chains with fast Poisson time. Estimate for the rate of convergence |
| title_short | Invariance principle for one class of Markov chains with fast Poisson time. Estimate for the rate of convergence |
| title_sort | invariance principle for one class of markov chains with fast poisson time. estimate for the rate of convergence |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3520 |
| work_keys_str_mv | AT baevav invarianceprincipleforoneclassofmarkovchainswithfastpoissontimeestimatefortherateofconvergence AT bondarevbv invarianceprincipleforoneclassofmarkovchainswithfastpoissontimeestimatefortherateofconvergence AT baevav invarianceprincipleforoneclassofmarkovchainswithfastpoissontimeestimatefortherateofconvergence AT bondarevbv invarianceprincipleforoneclassofmarkovchainswithfastpoissontimeestimatefortherateofconvergence AT baevav invarianceprincipleforoneclassofmarkovchainswithfastpoissontimeestimatefortherateofconvergence AT bondarevbv invarianceprincipleforoneclassofmarkovchainswithfastpoissontimeestimatefortherateofconvergence AT baevav principinvariantnostidlâodnogoklassamarkovskihcepejsbystrympuassonovskimvremenemocenkaskorostisbliženiâ AT bondarevbv principinvariantnostidlâodnogoklassamarkovskihcepejsbystrympuassonovskimvremenemocenkaskorostisbliženiâ AT baevav principinvariantnostidlâodnogoklassamarkovskihcepejsbystrympuassonovskimvremenemocenkaskorostisbliženiâ AT bondarevbv principinvariantnostidlâodnogoklassamarkovskihcepejsbystrympuassonovskimvremenemocenkaskorostisbliženiâ AT baevav principinvariantnostidlâodnogoklassamarkovskihcepejsbystrympuassonovskimvremenemocenkaskorostisbliženiâ AT bondarevbv principinvariantnostidlâodnogoklassamarkovskihcepejsbystrympuassonovskimvremenemocenkaskorostisbliženiâ |