Mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that generalizes the diffusion equation with inertia
We consider a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that is a nonlinear generalization of the diffusion equation with inertia and the special cases of which are the Fokker-Planck equation and the Kolmogorov equation. Conditions for the existence and uniqueness of a solution of this p...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3522 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509626547568640 |
|---|---|
| author | Lavrenyuk, S. P. Protsakh, N. P. Лавренюк, С. П. Процах, Н. П. |
| author_facet | Lavrenyuk, S. P. Protsakh, N. P. Лавренюк, С. П. Процах, Н. П. |
| author_sort | Lavrenyuk, S. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:51Z |
| description | We consider a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that is a nonlinear generalization of the diffusion equation with inertia and the special cases of which are the Fokker-Planck equation and the Kolmogorov equation. Conditions for the existence and uniqueness of a solution of this problem are established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
С. П. Лавренюк (Львiв. нац. ун-т),
Н. П. Процах (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
МIШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО
УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ,
ЯКЕ УЗАГАЛЬНЮЄ РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ З IНЕРЦIЄЮ
The mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation is considered. This equation is the nonlinear
generalization of the equation of diffusion with inertia and contains, as a special case, the Fokker – Plank
and Kolmogorov equations. Conditions for the existence and uniqueness of a solution of this problem are
established.
Розглянуто мiшану задачу для нелiнiйного ультрапараболiчного рiвняння, яке є нелiнiйним узагаль-
ненням рiвняння дифузiї з iнерцiєю та мiстить, як окремий випадок, рiвняння Фоккера – Планка та
рiвняння Колмогорова. Знайдено умови, за яких розв’язок цiєї задачi iснує та є єдиним.
Ультрапараболiчнi рiвняння виникають при дослiдженнi марковських дифузiйних
процесiв, розсiюваннi електронiв, у фiнансовiй математицi i т. д. (див., зокрема,
[1 – 3] та бiблiографiю в [4, 5]).
Задачу Кошi для лiнiйних ультрапараболiчних рiвнянь, якi є узагальненням
рiвняння дифузiї з iнерцiєю, а також рiвнянь, якi описують процеси в фiнансовiй
математицi, розглянуто в [4 – 8]. При їх дослiдженнi використано теорiю груп Лi,
властивостi об’ємних потенцiалiв.
Дослiдження мiшаних задач для лiнiйних та нелiнiйних ультрапараболiчних
рiвнянь в обмежених областях проведено в працях [9 – 14]. За певних умов на
коефiцiєнти рiвнянь одержано умови, за яких розв’язок цих задач iснує i є єдиним.
У цiй статтi в обмеженiй областi розглянуто мiшану задачу для нелiнiйного
ультрапараболiчного рiвняння, яке, зокрема, мiстить невiдому функцiю зi степенем
q ∈ (1,∞) та її похiднi за групою просторових змiнних у степенi p ∈ (1, 2]. На
вiдмiну вiд [11 – 13] гiперболiчна частина цього рiвняння мiстить першi похiднi за
групою l+1, l > 1, незалежних змiнних. Крiм того, у працi [13] число p ∈ (2;∞), а
в [12] — q ∈ (1, 2), p = 2. Розглянуте рiвняння є нелiнiйним узагальненням рiвняння
дифузiї з iнерцiєю та мiстить, як окремий випадок, рiвняння Фоккера – Планка та
рiвняння Колмогорова.
Нехай Ω ⊂ Rn, D ⊂ Rl — обмеженi областi з межею ∂Ω ∈ C1 та ∂D ∈ C1
вiдповiдно, числа n, l ∈ N, T ∈ (0,∞).
Введемо такi позначення: τ — довiльний фiксований момент часу з промiжку
(0, T ], G = Ω × D, Qτ = G × (0, τ), Qs,τ = G × (s, τ), s < τ, s ∈ [0, T ),
Στ = ∂Ω×D× (0, τ), Sτ = Ω×∂D× (0, τ), ν — зовнiшня нормаль до поверхнi ST ,
∂G — межа областi G.
Розглянемо функцiї, якi задовольняють умови:
A) ai ∈ L∞
(
0, T ;C(G)
)
, ai(x, y, t) > a0 для майже всiх (x, y, t) ∈ QT та всiх
i ∈ {1, . . . , n}, a0 — додатна стала;
P) числа p та q такi, що q ∈ (1,∞), p ∈ (1, 2];
C) c ∈ L∞(QT ), c(x, y, t) > c0 для майже всiх (x, y, t) ∈ QT ; c0 — стала;
G) g(x, y, t, ξ) вимiрна за змiнними (x, y, t) в областi QT для всiх ξ ∈ R1, непе-
рервна по ξ для майже всiх (x, y, t) ∈ QT ; |g(x, y, t, ξ)| 6 g0|ξ|q−1,
(
g(x, y, t, ξ) −
c© С. П. ЛАВРЕНЮК, Н. П. ПРОЦАХ, 2006
1192 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
МIШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ... 1193
− g(x, y, t, η)
)
(ξ − η) > g0|ξ − η|q для майже всiх (x, y, t) ∈ QT та всiх ξ, η ∈ R1,
де g0, g0 — такi сталi, що g0 > 0 для q > 2 i g0 = 0 для q ∈ (1, 2), g0 > 0;
L) λi ∈ L∞(0, T ;C
(
G)
)
, λiyi
∈ L∞(QT ) для майже всiх (x, y, t) ∈ QT та всiх
i ∈ {1, . . . , l};
F) f ∈ L2(QT );
U) u0 ∈ L2(G).
Позначимо через S1
τ частину поверхнi Sτ , на якiй
l∑
i=1
λi(x, y, t) cos(ν, yi) < 0,
а через S2
τ частину поверхнi Sτ , на якiй
l∑
i=1
λi(x, y, t) cos(ν, yi) > 0.
Будемо припускати, що для функцiй λi, i ∈ {1, . . . , l}, виконується умова
S) iснує Γ1 ⊂ Rl−1 таке, що mes Γ1 > 0 i поверхню S1
T можна подати у виглядi
S1
T = Ω× Γ1 × (0, T ).
Позначимо Γ2 = ∂D\Γ1. В областi QT розглянемо задачу
ut +
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyi
−
n∑
i=1
(
ai(x, y, t)|uxi
|p−2uxi
)
xi
+
+ c(x, y, t)u+ g(x, y, t, u) = f(x, y, t), (1)
u|S1
T
= 0, (2)
u|ΣT
= 0, (3)
u(x, y, 0) = u0(x, y). (4)
Введемо простори
V1(G) =
{
v : v ∈ Lq(G) ∩ L2(G), vxi
∈ Lp(G), v
∣∣
∂Ω×D
= 0, i ∈ {1, . . . , n}
}
,
V2(G) =
{
v : v ∈ L2(G), vyi
∈ L2(G), v
∣∣
∂Ω×Γ1
= 0, i ∈ {1, . . . , l}
}
,
V 1,1(G) =
{
v : v ∈ L2(G), vxi
∈ L2(G), vxiyj
∈ L2(G),
vyj
∈ L2(G), i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , l}
}
,
H1
0 (Ω) =
{
v : v ∈ H1(Ω), v
∣∣
∂Ω
= 0
}
,
H1
1,0(D) =
{
v : v ∈ H1(D), v
∣∣
Γ1
= 0
}
,
V3(QT ) =
{
v : v ∈ Lq(QT ) ∩ L2(QT ), vxi
∈ Lp(QT ),
vyj ∈ L2(QT ), i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , l}, v
∣∣
S1
T
= 0, v
∣∣
ΣT
= 0
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1194 С. П. ЛАВРЕНЮК, Н. П. ПРОЦАХ
V4(QT ) =
{
v : v ∈ Lq(QT ) ∩ L2(QT ),
vxi ∈ Lp(QT ), i ∈ {1, . . . , n}, v
∣∣
ΣT
= 0
}
,
V5(G) =
{
v : vxi ∈ Lp(G), v
∣∣
∂Ω×D
= 0, i ∈ {1, . . . , n}
}
.
Позначимо через V ∗5 (G) простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв на V5(G)
(спряжений простiр до V5(G)), 〈·, ·〉 — значення функцiонала з простору V ∗5 (G)
на функцiях з V5(G) (назвемо його скалярним добутком мiж просторами V ∗5 (G) i
V5(G)), числа p′ та q′ такi, що виконуються спiввiдношення
1
p′
+
1
p
= 1,
1
q′
+
1
q
= 1.
Через Lr(0, T ;X) та C
(
[0, T ];X
)
, де r ∈ N, X — банахiв простiр, позначимо
простори функцiй u, заданих на [0, T ] зi значеннями в X i таких, що
∥∥u ∈ Lr(0, T ;X)
∥∥ =
( T∫
0
∥∥u(·, ·, t);X∥∥r
dt
)1/r
та
∥∥u ∈ C([0, T ];X
)
‖ = max
[0,T ]
∥∥u(·, ·, t);X∥∥.
Нехай v ∈ V5(G). Розглянемо детальнiше простiр V5(G). З його означення ви-
пливає, що
∫
G
|vxi |pdx dy <∞, тобто за теоремою Фубiнi
∫
D
{∫
Ω
|vxi |pdx
}
dy <
< ∞ i для майже всiх y функцiя
∫
Ω
|vxi
|pdx < ∞. Оскiльки v
∣∣
∂Ω×D
= 0, то з
нерiвностi Фрiдрiхса [15, с. 44] випливає∫
Ω
|v|pdx ≤ C
∫
Ω
|vxi
|pdx <∞ для майже всiх y ∈ D,
тобто v(·, y) ∈W 1,p
0 (Ω) для майже всiх y ∈ D i V5(G) = Lp
(
D;W 1,p
0 (Ω)
)
. Нормою
цього простору буде
∥∥v;V5(G)
∥∥ =
∫
G
[
|v|p +
∑n
i=1
|vxi
|p
]
dx dy. Тодi згiдно з
теоремою 1 [16, с. 160] спряжений простiр V ∗5 (G) є банаховим.
Означення 1. Функцiю u з простору V3(QT ) ∩ C
(
[0, T ];L2(G)
)
, ut ∈
∈ Lp′(
(0, T ); V ∗5 (G)
)
+Lr0(QT ) назвемо розв’язком мiшаної задачi (1) – (4), якщо
вона задовольняє умову (4) та рiвнiсть
T∫
0
〈ut, v〉 dt+
∫
QT
[ l∑
i=1
λi(x, y, t)uyi
v +
n∑
i=1
ai(x, y, t)|uxi
|p−2uxi
vxi
+
+ c(x, y, t)uv + g(x, y, t, u)v − f(x, y, t)v
]
dx dy dt = 0
для всiх функцiй v ∈ V4(QT ). Тут r0 = min{2, q′}.
Доведемо iснування розв’язку мiшаної задачi (1) – (4). Для цього спочатку на-
ведемо допомiжнi леми, якi нам будуть потрiбнi при доведеннi розв’язностi цiєї
задачi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
МIШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ... 1195
Лема 1. Нехай функцiя w є розв’язком задачi (1) – (4). Тодi виконується
нерiвнiсть
1
2
∫
G
|w(x, y, τ)|2e−ατ dx dy +
+
∫
QT
[
l∑
i=1
λi(x, y, t)wyi
w +
n∑
i=1
ai(x, y, t)|wxi
|p + c(x, y, t)w2 +
+ g(x, y, t, w)w − f(x, y, t)w +
α
2
w2
]
e−αt dx dy dt >
≥ 1
2
∫
G
|u0(x, y)|2 dx dy (5)
для всiх τ ∈ (0, T ] та довiльного фiксованого числа α. У випадку, коли u0 ≡ 0, у
формулi (5) матиме мiсце знак рiвностi.
Доведення. Продовжимо функцiї λi, ai, c, g, f нулем при t < 0, а функцiю
w, зберiгши її неперервнiсть, за змiнною t. Зафiксуємо {s, τ} ⊂ (0, T ), s < τ.
Введемо функцiї: θm — кусково-лiнiйна неперервна функцiя в R, причому θm(t) =
= 1 при s +
2
m
< t < τ − 2
m
, θm(t) = 0 при t < s +
1
m
i при t > τ − 1
m
,
ρk — регуляризуюча послiдовнiсть в C∞0 (R), ρk(t) = ρk(−t),
∞∫
−∞
ρk(t) dt = 1, supp ρk ⊂
[
−1
k
,
1
k
]
(див. [11, с. 225]).
Покладемо в означеннi 1 u = w, v =
(
(w θm) ∗ ρk ∗ ρk
)
θme
−αt для k > 2m, де
символ ∗ означає згортку по t. Функцiя v за властивостями згортки належить до
C
(
[0, T ];L2(G)
)
i ρk ∗ w → w при k →∞ в L1(QT ). Одержимо
T∫
0
〈
wt,
(
(w θm) ∗ ρk ∗ ρk
)
θm
〉
e−αt dt +
+
∫
QT
[
l∑
i=1
λi(x, y, t)wyi
(
(w θm) ∗ ρk ∗ ρk
)
θm +
+
n∑
i=1
ai(x, y, t)|wxi |p−2wxi
((
(w θm) ∗ ρk ∗ ρk
)
θm
)
xi
+
+ c(x, y, t)w
(
(w θm) ∗ ρk ∗ ρk
)
θm +
+
(
g(x, y, t, w)− f(x, y, t)
)(
(w θm) ∗ ρk ∗ ρk
)
θm
]
e−αt dx dy dt = 0.
Перетворимо доданки цiєї рiвностi, використавши властивостi згортки:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1196 С. П. ЛАВРЕНЮК, Н. П. ПРОЦАХ
I1 ≡
T∫
0
〈wt, ((w θm) ∗ ρk ∗ ρk)θm〉e−αt dt =
=
T∫
0
〈θmwt, (w θm) ∗ ρk ∗ ρk〉e−αt dt =
=
T∫
0
〈(θmw)t ∗ ρk, (w θm) ∗ ρk〉e−αt dt−
−
T∫
0
〈θ′mw, (w θm) ∗ ρk ∗ ρk〉e−αt dt =
= −
T∫
0
〈θ′mw, (w θm) ∗ ρk ∗ ρk〉e−αt dt+
+
α
2
T∫
0
〈(θmw) ∗ ρk, (w θm) ∗ ρk〉e−αt dt −→
k→∞
−→
k→∞
−
∫
QT
θ′mθmw
2e−αt dx dy dt+
α
2
∫
T
θ2mw
2e−αt dx dy dt,
оскiльки θm(T ) = 0, θm(0) = 0,
I2 ≡
∫
QT
l∑
i=1
λi(x, y, t)wyi((w θm) ∗ ρk ∗ ρk)θme
−αt dx dy dt −→
k→∞
−→
k→∞
∫
QT
l∑
i=1
λi(x, y, t)wyiw(θm)2e−αt dx dy dt,
I3 ≡
∫
QT
n∑
i=1
ai(x, y, t)|wxi
|p−2wxi
(((w θm) ∗ ρk ∗ ρk)θm)xi
e−αt dx dy dt −→
k→∞
−→
k→∞
∫
QT
n∑
i=1
ai(x, y, t)(θm)2|wxi |pe−αt dx dy dt,
I4 ≡
∫
QT
(
c(x, y, t)w + g(x, y, t, w)− f(x, y, t)
)
×
×
(
(w θm) ∗ ρk ∗ ρk
)
θme
−αt dx dy dt −→
k→∞
−→
k→∞
∫
QT
(
c(x, y, t)w + g(x, y, t, w)− f(x, y, t)
)
w(θm)2e−αt dx dy dt.
На пiдставi властивостей iнтегралiв I1 – I4 отримаємо рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
МIШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ... 1197
−
∫
QT
θ′mθmw
2e−αt dx dy dt+
α
2
∫
QT
w2θ2me
−αt dx dy dt+
+
∫
QT
[
l∑
i=1
λi(x, y, t)wyiw(θm)2 +
n∑
i=1
ai(x, y, t)(θm)2|wxi |p +
+
(
c(x, y, t)w + g(x, y, t, w)− f(x, y, t)
)
w(θm)2
]
e−αt dx dy dt = 0.
Перейшовши в цiй рiвностi до границi при m→∞, одержимо
−1
2
∫
D
(
w(x, y, τ)
)2
e−ατ dx dy +
1
2
∫
D
(
w(x, y, s)
)2
e−αs dx dy+
+
∫
Qs,τ
[
α
2
w2 +
l∑
i=1
λi(x, y, t)wyi
w +
n∑
i=1
ai(x, y, t)|wxi
|p+
+ c(x, y, t)w2 + g(x, y, t, w)w − f(x, y, t)w
]
e−αt dx dy dt = 0 (6)
для всiх s, τ ∈ [0, T ].
З означення 1 випливає, що w ∈ L∞
(
(0, T );L2(G)
)
. Тому можна знайти пiдпо-
слiдовнiсть {sk}∞k=1 таку, що sk → 0 при k → ∞ i w(·, ·, sk) збiгається слабко в
L2(G). Оскiльки w(·, ·, sk) → u0 в L2(G) при k → ∞, то w(·, ·, sk) → u0 слабко в
L2(G) при k →∞. Зафiксуємо значення τ i виберемо s = sk. Перейшови до грани-
цi в (6) при k →∞ та врахувавши слабку збiжнiсть послiдовностi w(·, ·, sk) до u0
у просторi L2(G) при k → ∞ i нерiвнiсть
∥∥u0;L2(G)
∥∥ ≤ lim
k→∞
∥∥w(·, ·, sk);L2(G)
∥∥
[16, с. 179], одержимо (5).
Якщо u0 ≡ 0, то, вибравши допустиме s < 0, переконаємося, що перший
доданок формули (6) дорiвнює 0. Отже, в (5) матиме мiсце знак рiвностi.
Лему доведено.
Лема 2. Нехай {ϕk}∞k=1 — ортогональна база простору H1
0 (Ω), ортонормо-
вана в L2(Ω), {ψm}∞m=1 — ортогональна база простору H1
1,0(D), ортонормована
в L2(D). Тодi {ϕkψm}∞k,m=1 є базою простору V 1,1(G).
Доведення. Позначимо wkm = ψmϕk, (·, ·)X — скалярний добуток у прос-
торi X
(
X ∈
{
V 1,1(G), H1
1,0(D), H1
0 (Ω)
})
. Скалярний добуток (wkm,
wk1m1)V 1,1(G) у просторi V 1,1(G) запишемо так (для k 6= k1, або m 6= m1):
(wkm, wk1m1) =
∫
G
[
n∑
i=1
wkm
xi
wk1m1
xi
+
n∑
i=1
l∑
j=1
wkm
xiyi
wk1m1
xiyi
+
+ wkmwk1m1 +
l∑
j=1
wkm
yi
wk1m1
yi
]
dx dy dt =
=
∫
G
[
n∑
i=1
ϕk
xi
ψmϕk1
xi
ψm1 +
n∑
i=1
l∑
j=1
ϕk
xi
ψm
yj
ϕk1
xi
ψm1
yj
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1198 С. П. ЛАВРЕНЮК, Н. П. ПРОЦАХ
+ ϕkψmϕk1ψm1 +
l∑
j=1
ϕkψm
yj
ϕk1ψm1
yj
]
dx dy dt =
=
∫
Ω
n∑
i=1
ϕk
xi
ϕk1
xi
dx
∫
D
ψmψm1 dy +
∫
Ω
n∑
i=1
ϕk
xi
ϕk1
xi
dx
∫
D
l∑
j=1
ψm
yj
ψm1
yj
dy+
+
∫
Ω
ϕkϕk1 dx
∫
D
ψmψm1 dy +
∫
Ω
ϕkϕk1 dx
∫
D
l∑
j=1
ψm
yj
ψm1
yj
dy = 0.
Отже, система {wkm}∞k,m=1 є ортогональною в V 1,1(G).Покажемо, що {wkm}∞k,m=1
є повною. Нехай в V 1,1(G) iснує g, ортогональна до всiх {wkm}∞k,m=1. Покладемо
Fk(y) = (g(·, y), ϕk)H1
0 (Ω) =
∫
Ω
[
n∑
i=1
gxi
(x, y)ϕk
xi
+ gϕk
]
dx.
Тодi Fk ∈ H1
0,1(D) i
(Fk(y), ψm)H1
1,0(D) =
∫
D
(
Fkψ
m +
l∑
i=1
Fkyi
ψm
yi
)
dy =
=
∫
D
[∫
Ω
n∑
i=1
gxi
(x, y)ϕk
xi
ψm dx+
∫
Ω
n∑
i=1
gxiyi
(x, y)ϕk
xi
ψm
yi
dx+
+
∫
Ω
n∑
i=1
g(x, y)ϕkψm dx+
∫
Ω
gyi
ϕkψm
yi
dx
]
dy = (g, wkm)V 1,1(G) = 0.
Оскiльки {ψm}∞k,m=1 є повною в H1
1,0(D), то Fk(y) = 0. Але тодi
∫
Ω
[
n∑
i=1
gxi(x, y)ϕ
k
xi
+ gϕ
]
dx = (g(·, y), ϕk)H1
0 (Ω) = 0
згiдно з повнотою системи {ϕk}∞k=1 в H1
0 (Ω). Тому g(x, y) = 0 в G. Отже, система
{ϕkψm}∞k,m=1 є повною в V 1,1(G), а тому є базою в V 1,1(G).
Лему доведено.
Перейдемо безпосередньо до доведення iснування та єдиностi розв’язку зада-
чi (1) – (4).
Теорема 1. Нехай коефiцiєнти рiвняння (1) задовольняють умови A), P), C),
G), L), F), U), S) i, крiм того,
1) aiyj , aixi , cyj ∈ L∞(QT ), fyj ∈ L2(QT ), u0 ∈ V2(G), i ∈ {1, . . . , n}, j ∈
∈ {1, . . . , l};
2) iснує така стала g1, що для майже всiх (x, y, t) ∈ QT та всiх i ∈ {1, . . . , l},
ξ ∈ R1 виконується нерiвнiсть |gyi(x, y, t, ξ)| 6 g1|ξ|q−1, причому g1 = 0 при
q > 2;
3) f |S1
T
= 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
МIШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ... 1199
4)
2(n+ l)
n+ l + 2
< p ≤ 2; якщо q > 2 i n + l > 2, то q <
2(n+ l)
n+ l − 2
, в iншому
випадку 1 < q < +∞.
Тодi iснує розв’язок мiшаної задачi (1) – (4).
Доведення. Нехай {ϕk}∞k=1 — ортогональна база простору H1
0 (Ω), ортонормо-
вана в L2(Ω), де ϕk — власнi функцiї задачi
∆xu = νu, u
∣∣
∂Ω
= 0,
якi вiдповiдають власним значенням νk; {ψm}∞m=1 — ортогональна база простору
H1
1,0(D), ортонормована в L2(D), де ψm, m ≥ 1, — власнi функцiї задачi
∆yu = µu, u|Γ1 = 0;
∂u
∂v
∣∣∣∣
Γ2
= 0, (7)
якi вiдповiдають власним значенням µm. Тут ∆x =
∂2
∂x2
1
+ . . . +
∂2
∂x2
n
; ∆y =
=
∂2
∂y2
1
+ . . .+
∂2
∂y2
l
. Тодi за лемою 2
{
ϕk(x)ψm(y)
}∞
k,m=1
— база простору V 1,1(G),
ортонормована в L2(G).
Нехай uN (x, y, t) =
∑N
k,m=1
cNk,m(t)ϕk(x)ψm(y), N ∈ N, де cNk,m(t), k,m ⊂
⊂ {1, . . . , N}, є розв’язком задачi
∫
G
[
uN
t ϕ
k(x)ψm(y) +
l∑
i=1
λi(x, y, t)uN
yi
ϕk(x)ψm(y) +
+
n∑
i=1
ai(x, y, t)|uN
xi
|p−2uN
xi
ϕk
xi
(x)ψm(y) +
+ c(x, y, t)uNϕk(x)ψm(y) + g(x, y, t, uN )ϕk(x)ψm(y) −
− f(x, y, t)ϕk(x)ψm(y)
]
dx dy = 0, (8)
cNk,m(0) = uN
0,k,m, uN
0 (x, y) =
N∑
k,m=1
uN
0,k,mϕ
k(x)ψm(y),
lim
N→∞
‖uN
0 − u0‖V2(G) = 0.
(9)
Згiдно з теоремою Каратеодорi [17, с. 54] розв’язок цiєї задачi iснує i належить
простору C1([0, τ0]), де τ0 6 T. З оцiнок, встановлених нижче, випливатиме, що
цей розв’язок можна продовжити на увесь промiжок [0, T ].
Домножимо (8) на cNk,m(t)e−αt, де α — додатне число (вигляд якого вкажемо
пiзнiше), пiдсумуємо по k i m вiд 1 до N та зiнтегруємо по t вiд 0 до τ. Одержимо
∫
Qτ
[
uN
t u
N +
l∑
i=1
λi(x, y, t)uN
yi
uN +
n∑
i=1
ai(x, y, t)|uN
xi
|p +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1200 С. П. ЛАВРЕНЮК, Н. П. ПРОЦАХ
+ c(x, y, t)(uN )2 + g(x, y, t, uN )uN − f(x, y, t)uN
]
e−αt dx dy dt = 0. (10)
Перетворимо та оцiнимо кожний доданок отриманої рiвностi окремо, врахувавши
умови теореми:
I1 ≡
∫
Qτ
uN
t u
Ne−αt dx dy dt =
=
1
2
∫
G
|uN |2e−ατ dx dy − 1
2
∫
G
|uN
0 |2 dx dy +
α
2
∫
Qτ
|uN |2e−αt dx dy dt,
I2 ≡
∫
Qτ
l∑
i=1
λi(x, y, t)uN
yi
uNe−αt dx dy dt =
=
1
2
τ∫
0
∫
∂G
l∑
i=1
λi(x, y, t) cos(ν, yi)|uN |2e−αt dS dt−
−1
2
∫
Qτ
l∑
i=1
λiyi
(x, y, t)|uN |2e−αt dx dy dt >
> −λ
1
2
∫
Qτ
|uN |2e−αt dx dy dt,
де λ1 = max
i
ess sup
QT
|λiyi
(x, y, t)|,
I3 ≡
∫
Qτ
n∑
i=1
ai(x, y, t)|uN
xi
|pe−αt dx dy dt > a0
∫
Qτ
n∑
i=1
|uN
xi
|pe−αt dx dy dt,
I4 ≡
∫
Qτ
c(x, y, t)|uN |2e−αt dx dy dt > c0
∫
Qτ
|uN |2e−αt dx dy dt,
I5 ≡
∫
Qτ
g(x, y, t, uN )uNe−αt dx dy dt > g0
∫
Qτ
|uN |qe−αt dx dy dt,
I6 ≡ −
∫
Qτ
f(x, y, t)uNe−αt dx dy dt >
> −1
2
∫
Qτ
|uN |2e−αt dx dy dt− 1
2
∫
Qτ
|f(x, y, t)|2e−αt dx dy dt.
На пiдставi оцiнок I1 – I6 з (10) одержимо∫
G
|uN |2e−ατ dx dy+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
МIШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ... 1201
+
∫
Qτ
[
2g0|uN |q + 2a0
n∑
i=1
|uN
xi
|p + (α− λ1 + 2c0 − 1)|uN |2
]
e−αt dx dy dt 6
6
∫
G
|uN
0 |2 dx dy +
∫
Qτ
|f(x, y, t)|2e−αt dx dy dt. (11)
Виберемо α = λ1 − 2c0 + 2. Тодi з оцiнки (11) випливає∫
G
|uN (x, y, τ)|2 dx dy 6 M1, τ ∈ [0, T ], (12)
∫
QT
(
|uN |2 + |uN |q +
n∑
i=1
|uN
xi
|p
)
dx dy dt 6 M1, (13)
де стала M1 не залежить вiд N.
Домножимо (8) на власне значення задачi (7) −µm та замiнимо вираз −µmu
N
на −∆yu
N згiдно з (7). Матимемо
∫
Qτ
[
−uN
t ∆yu
N −
l∑
i=1
λi(x, y, t)uN
yi
∆yu
N−
−
n∑
i=1
ai(x, y, t)|uN
xi
|p−2uN
xi
∆yu
N
xi
−
−c(x, y, t)uN∆yu
N − g(x, y, t, uN )∆yu
N + f(x, y, t)∆yu
N
]
e−αt dx dy dt = 0.
(14)
Оцiнимо кожний доданок цiєї рiвностi, врахувавши умови теореми:
I7 ≡ −
∫
Qτ
uN
t
l∑
i=1
uN
yiyi
e−αt dx dy dt =
=
1
2
∫
G
l∑
i=1
|uN
yi
|2e−ατ dx dy − 1
2
∫
G
l∑
i=1
|uN
0yi
|2 dx dy+
+
α
2
∫
Qτ
l∑
i=1
|uN
yi
|2e−αt dx dy dt,
I8 ≡ −
∫
Qτ
l∑
i=1
λi(x, y, t)uN
yi
l∑
j=1
uN
yjyj
e−αt dx dy dt =
= −
∫
Sτ
l∑
i,j=1
λi(x, y, t)uN
yi
uN
yj
cos(ν, yj)e−αt dσ dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1202 С. П. ЛАВРЕНЮК, Н. П. ПРОЦАХ
−
∫
Qτ
l∑
i,j=1
λiyj
(x, y, t)uN
yi
uN
yj
e−αt dx dy dt+
+
1
2
∫
Qτ
l∑
i,j=1
[
λi(x, y, t)|uN
yj
|2
]
yi
e−αt dx dy dt−
−1
2
∫
Qτ
l∑
i,j=1
λiyi(x, y, t)|uN
yj
|2e−αt dx dy dt ≡
≡ I1
8 + I2
8 + I3
8 + I4
8 ,
де
I4
8 > −1
2
lλ1
∫
Qτ
l∑
i=1
∣∣uN
yi
∣∣2 e−αt dx dy dt,
I2
8 > −lλ1
∫
Qτ
l∑
i=1
∣∣uN
yi
∣∣2 e−αt dx dy dt.
Оскiльки ∂D ⊂ C1, то рiвняння певної частини цiєї поверхнi можна записати у
виглядi
Ψ(y) ≡ ψ(y1, . . . , ys−1, ys+1, . . . , yl)− ys = 0.
Тодi cos(ν, yi) = ω(y)Ψyi , i = 1, . . . , l, де ω(y) =
(∑l
i=1
|Ψyi(y)|2
)−1/2
. Звiдси
cos(ν, yj) =
Ψyj
Ψyi
cos(ν, yi), i, j ∈ {1, . . . , l}.
Оскiльки u
(
x, y1, . . . , ys−1, ψ(y1, . . . , ys−1, ys+1, . . . , yl), ys+1, . . . , yl, t
)
= 0, то
uyi
= uys
Ψyi
, i = 1, . . . , l. Тому uyj
cos(ν, yi) = uyi
cos(ν, yj). Тодi I1
8 + I3
8 можна
перетворити так:
−1
2
∫
S1
τ
l∑
i,j=1
[
2λi(x, y, t)uN
yi
uN
yj
cos(ν, yj)− λi(x, y, t)|uN
yj
|2 cos(ν, yi)
]
e−αt dσ dt =
= −1
2
∫
S1
τ
l∑
i,j=1
λi(x, y, t)|uN
yj
|2 cos(ν, yi)e−αt dσ dt,
а оскiльки
∂uN
∂ν
=
∑l
j=1
uN
yj
cos(ν, yj) = 0 на S2
T , то
−1
2
∫
S2
τ
l∑
i,j=1
[
2λi(x, y, t)uN
yi
uN
yj
cos(ν, yj)− λi(x, y, t)|uN
yj
|2 cos(ν, yi)
]
e−αt dσ dt =
= −1
2
∫
S2
τ
l∑
i,j=1
[
2λi(x, y, t)uN
yi
∂uN
∂ν
− λi(x, y, t)uN
yi
uN
yj
cos(ν, yj)
]
e−αt dσ dt = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
МIШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ... 1203
Далi
I9 ≡ −
l∑
j=1
∫
Qτ
n∑
i=1
ai(x, y, t)|uN
xi
|p−2uN
xi
uN
yjyjxi
e−αt dx dy dt >
>
(
(p− 1)a0 −
δ
2
a1
) l∑
j=1
∫
Qτ
n∑
i=1
|uN
xi
|p−2|uN
yjxi
|2e−αt dx dy dt− a1l
2δ
M1,
де a1 = max
i,j
ess sup
QT
|aiyj
(x, y, t)|2, δ > 0,
I10 ≡ −
∫
Qτ
l∑
i=1
c(x, y, t)uNuN
yiyi
e−αt dx dy dt =
=
∫
Qτ
l∑
i=1
[
cyi
(x, y, t)uNuN
yi
+ c(x, y, t)|uN
yi
|2
]
e−αt dx dy dt >
> −1
2
c2
l ∫
Qτ
|uN |2e−αt dx dy dt+
∫
Qτ
l∑
i=1
|uN
yi
|2e−αt dx dy dt
+
+ c0
∫
Qτ
l∑
i=1
|uN
yi
|2e−αt dx dy dt,
де c2 = max
i
ess sup
QT
|cyi
(x, y, t)|,
I11 = −
∫
Qτ
l∑
i=1
g(x, y, t, uN )uN
yiyi
e−αt dx dy dt =
= −
∫
Qτ
l∑
i=1
(
g(x, y, t, uN )uN
yi
)
yi
e−αt dx dy dt+
+
∫
Qτ
l∑
i=1
gyi(x, y, t, u
N )uN
yi
e−αt dx dy dt+
+
∫
Qτ
l∑
i=1
guN (x, y, t, uN )|uN
yi
|2e−αt dx dy dt ≡
≡ I1
11 + I2
11 + I3
11,
де
I1
11 = 0, I3
11 > 0.
Для 1 < q < 2 маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1204 С. П. ЛАВРЕНЮК, Н. П. ПРОЦАХ
I2
11 ≡
∫
Qτ
l∑
i=1
gyi
(x, y, t, uN )uN
yi
e−αt dx dy dt >
> −
l∑
i=1
( ∫
Qτ
|g1|e−αt dx dy dt
)1/r
×
×
( ∫
Qτ
|uN |qe−αt dx dy dt
)1/q′( ∫
Qτ
|uN
yi
|2e−αt dx dy dt
)1/2
>
> − lg
1mesQT
r
− lM(δ)
q′
∫
Qτ
|uN |qe−αt dx dy dt− δ
2
∫
Qτ
l∑
i=1
|uN
yi
|2e−αt dx dy dt,
де
1
r
+
1
p′
=
1
2
, а для q = 2 —
I2
11 > −g
1
2
l ∫
Qτ
|uN |2e−αt dx dy dt+
∫
Qτ
l∑
i=1
|uN
yi
|2e−αt dx dy dt
.
Згiдно з умовою теореми I2
11 ≡ 0 для q > 2 Далi
I12 =
l∑
i=1
∫
Qτ
f(x, y, t)uN
yiyi
e−αt dx dy dt =
=
l∑
i=1
∫
Qτ
(
f(x, y, t)uN
yi
)
yi
e−αt dx dy dt−
−
l∑
i=1
∫
Qτ
fyi
(x, y, t)uN
yi
e−αt dx dy dt >
> −1
2
∫
Qτ
l∑
i=1
|uN
yi
|2e−αt dx dy dt− 1
2
∫
Qτ
l∑
i=1
∣∣fyi
(x, y, t)|2e−αt dx dy dt.
На пiдставi оцiнок I7 – I12 з (14) одержимо
∫
G
l∑
i=1
|uN
yi
|2e−ατ dx dy +
∫
Qτ
[
(α− 3lλ1 − c2 + 2c0 − δ − g1)
l∑
i=1
|uN
yi
|2+
+
(
2(p− 1)a0 − δa1
) l∑
j=1
n∑
i=1
|uN
xi
|p−2|uN
xiyj
|2
)
e−αt dx dy dt 6
6
∫
G
l∑
i=1
|uN
0yi
|2 dx dy +
a1l
δ
M1 +
2lg1mesQT
r
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
МIШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ... 1205
+(c2 + g1)l
∫
Qτ
|uN |2e−αt dx dy dt+
2lM(δ)
q′
∫
Qτ
|uN |qe−αt dx dy dt+
+
∫
Qτ
l∑
i=1
|fyi
|2e−αt dx dy dt. (15)
Виберемо δ =
(
(p − 1)a0
)
/a1, α = 3lλ1 − c2 + 2c0 − δ − g1 + 1. З оцiнки (15)
випливає ∫
G
l∑
i=1
|uN
yi
(x, y, τ)|2dx dy 6 M2, τ ∈ [0, T ], (16)
де стала M2 не залежить вiд N.
Крiм того, згiдно з (13)∥∥∥∥∥
n∑
i=1
ai(x, y, t)|uN
xi
|p−2uN
xi
∥∥∥∥∥
Lp′ (QT )
=
∫
QT
n∑
i=1
(
ai(x, y, t)
)p′
|uN
xi
|p dx dy dt 6 M3, (17)
де стала M3 не залежить вiд N.
Позначимо через At(u) оператор
At(u) =
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyi −
n∑
i=1
(
ai(x, y, t)
∣∣uxi |p−2uxi
)
xi
,
At: V 1,1(G) → L2(G) + V ∗5 (G). Нехай PN — оператор проектування L2(G) на
{ϕk(x)ψm(y)}N
k,m=1.
Оператори PN рiвномiрно обмеженi у просторах L
(
L2(G), L2(G)
)
, L
(
Lq′
(G),
Lq′
(G)
)
, L
(
V 1,1(G), V 1,1(G)
)
, L
(
L2(G) + V ∗5 (G), L2(G) + V ∗5 (G)
)
.
З (8) випливає, що
uN
t = −PN
(
At(uN )
)
− PN
(
c(x, y, t)uN
)
− PN
(
g(x, y, t, uN )
)
+ PN (f(x, y, t)) .
Тому
‖uN
t ‖V 6 M4, (18)
де V = Lr0(QT ) + Lp′
((0, T );V ∗5 (G)), а стала M4 не залежить вiд N.
З оцiнок (11), (12), (15) – (17) випливає iснування такої пiдпослiдовностi послi-
довностi {uN}∞N=1 (за якою збережемо те саме позначення), що при N →∞
uN → u *-слабко в L∞
(
(0, T );L2(G)
)
,
uN → u слабко в L2(QT ) ∩ Lq(QT ),
uN
xi
→ uxi
слабко в Lp(QT ),
uN
yj
→ uyj слабко в L2(QT ),
n∑
i=1
ai(x, y, t)|uN
xi
|p−2uN
xi
→
n∑
i=1
χi слабко в Lp′
(QT ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1206 С. П. ЛАВРЕНЮК, Н. П. ПРОЦАХ
uN
t → ut слабко в V,
i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , l}. Для uN виконуються вкладення
uN
t ∈ V ⊂ Ls((0, T );V ∗5 (G) + Lr0(G)),
uN ∈ V3(QT ) ⊂ Lp((0, T );V5(G)) ∩ Lr′
0(QT ) ⊂
⊂ Ls1
(
(0, T );V5(G) ∩ Lr′
0(G)
)
⊂ Ls1
(
(0, T );V5(G) ∩ L2(G)
)
,
де s = min{p′, r0}, s1 = min{p, r′0}. Оскiльки V5(G) ∩ L2(G) ⊂ L2(G) ⊂ V ∗5 (G) +
+ Lr0(G) i вкладення V5(G)∩L2(G) ⊂ L2(G) компактне за умови p >
2(n+ l)
n+ l + 2
, то
згiдно з теоремою про компактнiсть [11, c. 70] послiдовнiсть uN → u при N →∞
в Ls1
(
(0, T );L2(G)
)
i майже скрiзь в QT . Тому згiдно з умовою G) та знайденими
збiжностями g(x, y, t, uN ) → g(x, y, t, u) в Lq′
(QT ).
Домножимо (8) на довiльну функцiю zN0
k,m ∈ C1([0, T ]), пiдсумуємо по k,m вiд
1 до N0 та зiнтегруємо по t вiд 0 до T. Зауважимо, що простiр V 1,1(G) компактно
вкладений у простiр V4(G) =
{
v : v ∈ Lq(G) ∩ L2(G), vxi ∈ Lp(G), i = 1, . . . , n,
v|∂Ω×D
}
= 0 за умови q <
2(n+ l)
n+ l − 2
для q > 2 i n + l > 2 та q < ∞ — в iншому
випадку. Перейшовши до границi при N →∞ i врахувавши щiльнiсть множини
∞⋃
k=1
MN0 , MN0 =
w : w(x, y, t) =
N0∑
k,m=1
zN0
k,m(t)ϕk(x)ψm(y)
у просторi V4(QT ), отримаємо рiвнiсть
T∫
0
〈ut, v〉 dt+
∫
QT
[
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyi
v +
n∑
i=1
χivxi
+ c(x, y, t)uv+
+ g(x, y, t, u)v − f(x, y, t)v
]
dx dy dt = 0, (19)
що справджується для всiх функцiй v ∈ V4(QT ).
Розглянемо послiдовнiсть
0 ≤ XN =
=
∫
QT
n∑
i=1
(
ai(x, y, t)
∣∣uN
xi
∣∣p−2
uN
xi
− ai(x, y, t)
∣∣ξxi
∣∣p−2
ξxi
)(
uN
xi
− ξxi
)
dx dy dt =
=
∫
QT
n∑
i=1
(
ai(x, y, t)
∣∣uN
xi
∣∣p−
−ai(x, y, t)
∣∣ξxi
∣∣p−2
ξxi
(
uN
xi
− ξxi
)
− ai(x, y, t)
∣∣uN
xi
∣∣p−2
uN
xi
ξxi
)
dx dy dt. (20)
З (8) випливає
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
МIШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ... 1207
∫
QT
n∑
i=1
ai(x, y, t)
∣∣uN
xi
∣∣p dx dy dt =
=
∫
QT
[
−uN
t u
N −
l∑
i=1
λi(x, y, t)uN
yi
uN − c(x, y, t)|uN |2−
− g(x, y, t, uN )uN + f(x, y, t)uN
]
dx dy dt =
= −1
2
∫
G
|uN |2 dx dy +
1
2
∫
G
|uN
0 |2 dx dy+
+
∫
QT
[
−
l∑
i=1
λi(x, y, t)uN
yi
uN − c(x, y, t)|uN |2−
− g(x, y, t, uN )uN + f(x, y, t)uN
]
dx dy dt. (21)
Використовуючи лему 1 при α = 0 i (21), з (20) маємо
0 6 lim inf
N→∞
XN = −1
2
∫
G
|u|2 dx dy +
1
2
∫
G
|u0|2 dx dy +
+
∫
QT
[
−
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyi
u− c(x, y, t)|u|2 − g(x, y, t, u)u+ f(x, y, t)u
]
dx dy dt +
+
∫
QT
n∑
i=1
[
−ai(x, y, t)|ξxi
|p−2ξxi
(uxi
− ξxi
)− χiξxi
]
dx dy dt 6
6
∫
QT
n∑
i=1
(
−ai(x, y, t)|ξxi |p−2ξxi + χi
)
(uxi − ξxi) dx dy dt.
Вибравши χi = uxi
− κwxi
, w ∈ V3(QT ), κ > 0, подiливши отриману рiвнiсть на
κ та спрямувавши κ до 0, одержимо
n∑
i=1
ai(x, y, t)|uxi
|p−2uxi
=
n∑
i=1
χi.
Зазначимо, що ut ∈ Lp′(
(0, T ); V ∗5 (G)
)
+ Lr0(QT ), а u ∈ Lp
(
(0, T ); V5(G)
)
∩
∩ Lr′
0(QT ). Тому на пiдставi теореми 1.17 [15] u ∈ C
(
[0, T ];L2(G)
)
. Крiм того,
як в [11, с. 27], доводимо, що u(x, y, 0) = u0(x, y). Тому u є розв’язком мiшаної
задачi (1) – (4).
Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай коефiцiєнти рiвняння (1) задовольняють умови A), B), C),
G), L), F), U), S). Тодi задача (1) – (4) не може мати бiльше одного розв’язку.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1208 С. П. ЛАВРЕНЮК, Н. П. ПРОЦАХ
Доведення. Нехай iснують два розв’язки задачi (1) – (4): u1 та u2. Тодi їхня
рiзниця u
df= u1 − u2 задовольняє рiвнiсть
T∫
0
〈ut, v〉 dt+
+
∫
QT
[
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyiv +
n∑
i=1
ai(x, y, t)
(
|u1xi |p−2u1xi − |u2xi |p−2u2xi
)
vxi+
+ c(x, y, t)uv +
(
g(x, y, t, u1)− g(x, y, t, u2)
)
v
]
dx dy dt = 0
та нульову початкову умову. Враховуючи умови, накладенi на коефiцiєнти рiвнян-
ня (1), як i при доведеннi нерiвностi (5), одержуємо рiвнiсть
1
2
∫
G
u2e−ατ dx dy +
∫
QT
[
α
2
u2 +
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyi
u+
n∑
i=1
ai(x, y, t)(|u1xi
|p−2u1xi
−
−|u2xi
|p−2u2xi
)uxi
+ c(x, y, t)u2 + (g(x, y, t, u1)− g(x, y, t, u2))u
]
dx dy dt = 0.
Звiдси, як i з оцiнки (11) для α = λ1 − 2c0 + 2, отримуємо∫
G
|u(x, y, τ)|2e−ατ dx dy 6 0, τ ∈ [0, T ],
тобто u = 0, отже, i u1 = u2.
Теорему доведено.
Зауваження 1. Нехай l = 1, n = 1, область Q = (0, x0)× (0, y0)× (0, T ), де
x0, y0, T — скiнченнi числа. Окремим випадком рiвняння (1) є рiвняння Колмого-
рова, яке описує випадковi рухи:
ut + xuy + a2uxx = f(x, y, t), a = const. (22)
Умови (2) – (4) для цього рiвняння матимуть вигляд
u(x, 0, t) = 0 для майже всiх (x, t) ∈ (0, x0)× (0, T ), (23)
u(0, y, t) = 0, u(x0, y, t) = 0 для майже всiх (y, t) ∈ (0, y0)× (0, T ), (24)
u(x, y, 0) = u0(x, y) для майже всiх (x, y) ∈ (0, x0)× (0, y0). (25)
Згiдно з умовами теорем 1 та 2 iснуватиме єдина функцiя u з простору V3(QT ) =
= {v : v, vx, vy ∈ L2(QT ), v(x, y0, t) = 0, v(0, y, t) = v(x0, y, t) = 0} ∩ C
(
(0, T );
L2(G)
)
, яка буде розв’язком мiшаної задачi (22) – (25) за умов f(x, y0, t) ≡ 0,
fy ∈ L2(QT ), u0, u0y ∈ L2(G).
Зауважимо, що задачу (22), (23), (25) з крайовими умовами u(0, y, t) = 0,
ux(x0, y, t) = 0 для майже всiх (y, t) ∈ (0, y0)× (0, T ) розглянуто у працi [10].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
МIШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛIНIЙНОГО УЛЬТРАПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ... 1209
Зауваження 2. Нехай p = 2, q = 2. Тодi рiвняння (1) є лiнiйним, яке уза-
гальнює рiвняння дифузiї з iнерцiєю:
ut +
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyi
−
n∑
i=1
(ai(x, y, t)uxi
)xi
+
+ c(x, y, t)u+ g(x, y, t)u = f(x, y, t), (26)
u|S1
T
= 0, (27)
u|ΣT
= 0, (28)
u(x, y, 0) = u0(x, y). (29)
При виконаннi умов теореми 1 iснує функцiя u ∈ {v : v, vxi
, vyj
∈ L2(QT ),
i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , l}, v
∣∣
S1
T
= 0, v
∣∣
ΣT
= 0}, яка є єдиним розв’язком
задачi (26) – (29).
Задачу Кошi для рiвняння (26) та його узагальнень розглянуто у
працях [3, 6 – 8].
Зауваження 3. Крайовi умови за змiнною y формулюються на частинi межi
областi D. Наведемо приклади поверхнi S1
T , на якiй задано крайовi умови (2),
залежно вiд форми та розмiрностi областi D.
1. Нехай D ∈ R1, тобто D = (0, y0), де y0 — скiнченне число. Введемо областi
O1 =
{
(x, t) ∈ Ω× (0, T ) : λ1(x, 0, t) > 0
}
,
O2 =
{
(x, t) ∈ Ω× (0, T ) : λ1(x, y0, t) < 0
}
.
Тодi S1
T = O1 ∪O2.
2. Нехай D ∈ R2, наприклад D = (0, y0
1)× (0, y0
2), де y0
1 , y
0
2 — скiнченнi числа.
Введемо областi
O1 =
{
(x, y2, t) ∈ Ω× (0, y0
2)× (0, T ) : λ1(x, y0
1 , y2, t) < 0
}
,
O2 =
{
(x, y1, t) ∈ Ω× (0, y0
1)× (0, T ) : λ2(x, y1, y0
2 , t) < 0
}
,
O3 =
{
(x, y2, t) ∈ Ω× (0, y0
2)× (0, T ) : λ1(x, 0, y2, t) > 0
}
,
O4 =
{
(x, y1, t) ∈ Ω× (0, y0
1)× (0, T ) : λ2(x, y1, 0, t) > 0
}
.
Тодi S1
T = O1 ∪O2 ∪O3 ∪O4.
3. Нехай D ∈ R2, наприклад, D =
{
(y1, y2) : y2
1 + y2
2 < 1
}
.
Тодi S1
T =
{
(x, y1, y2, t) ∈ QT : λ1(x, y1, y2, t)y1 + λ2(x, y1, y2, t)y2 < 0 для
y2
1 + y2
2 = 1
}
.
Зауваження 4. Розглянемо мiшану задачу для рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
1210 С. П. ЛАВРЕНЮК, Н. П. ПРОЦАХ
ut +
l∑
i=1
λi(x, y, t)uyi
−
n∑
i=1
(
ai(x, y, t)|uxi
|p−2uxi
)
xi
+
+
n∑
i=1
bi(x, t)uxi
+ c(x, y, t)u+ g(x, y, t, u) = f(x, y, t) (30)
з умовами (2) – (4). Нехай iснує хоча б одне bi, i ∈ {1, . . . , n}, яке не є тотожним
нулем. Крiм того, виконується умова
B): bi, bixi ∈ L∞(Ω× (0, T )) для всiх i ∈ {1, . . . , n}.
Тодi за умов теореми 1, умови B) та при q > p′ iснує розв’язок задачi (30),
(2) – (4). За умов теореми 2 та умови B) при q > p′ цей розв’язок є єдиним.
1. Kolmogorov A. N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung) // Ann. Math. –
1934. – 35. – P. 116 – 117.
2. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими
системами. – М.: Мир, 1978. – 316 с.
3. Polidoro S. On the regularity of solutions to a nonlinear ultraparabolic equation arising in mathemati-
cal finance // Nonlinear Analysis. – 2001. – 47. – P. 491 – 502.
4. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and
pseudo-differential equations of parabolic type. – Birkhäuser Verlag, 2004. – 390 p.
5. Lanconelli E., Pascucci A., Polidoro S. Linear and nonlinear ultraparabolic equations of Kolmogorov
type arising in diffusion theory and in finance // Nonlinear Problems in Math. Phys. and Related
Top. II. In honour of Proff. O. A. Ladyzhenskaya. – New York: Kluwer Acad. Publ., 2002. – 2. –
P. 243 – 265.
6. Дронь В. С., Iвасишен С. Д. Про коректну розв’язнiсть задачi Кошi для вироджених парабо-
лiчних рiвнянь типу Колмогорова // Укр. мат. вiсн. – 2004. – № 1. – С. 61 – 68.
7. Возняк О. Г., Iвасишен С. Д. Фундаментальнi розв’язки задачi Кошi для одного класу вирод-
жених параболiчних рiвнянь та їх застосування // Допов. НАН України. – 1996. – № 10. –
С. 11 – 16.
8. Эйдельман С. Д., Малицкая А. П. О фундаментальных решениях и стабилизации решения
задачи Коши для одного класса вырождающихся параболических уравнений // Дифференц.
уравнения. – 1975. – 11, № 7. – С. 1316 – 1331.
9. Пятков С. Г. Разрешимость краевых задач для одного ультрапараболического уравнения //
Некласические уравнения и уравнения смешаного типа. – Новосибирск, 1990. – С. 182 – 197.
10. Амиров Ш. Смешанная задача для ультрапараболического уравнения в ограниченной облас-
ти // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. –
Новосибирск, 1984. – С. 173 – 179.
11. Лионс Ж.-Л. Hекоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 587 с.
12. Барабаш Г. М., Лавренюк С. П., Процах Н. П. Мiшана задача для напiвлiнiйного ультрапара-
болiчного рiвняння // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 2002. – 45, № 4. – C. 27 – 34.
13. Процах Н. П. Мiшана задача для нелiнiйного ультрапараболiчного рiвняння // Наук. вiсн.
Чернiв. ун-ту. Математика. – 2002. – Вип. 134. – С. 97 – 103.
14. Lascialfari F., Morbidelli D. A boundary value problem for a class of quasilinear ultraparabolic
equations // Commun. Part. Different. Equat. – 1998. – 23, № 5, 6. – P. 847 – 868.
15. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Hелинейные операторные уравнения и операторные
дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1978. – 336 c.
16. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 c.
17. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.,
1958. – 474 c.
Одержано 14.03.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-3522 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:06Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0e/679aaa8f500b94c25611ba446d8c230e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35222020-03-18T19:56:51Z Mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that generalizes the diffusion equation with inertia Мішана задача для нелінійного ультрапараболічного рівняння, яке узагальнює рівняння дифузії з інерцією Lavrenyuk, S. P. Protsakh, N. P. Лавренюк, С. П. Процах, Н. П. We consider a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that is a nonlinear generalization of the diffusion equation with inertia and the special cases of which are the Fokker-Planck equation and the Kolmogorov equation. Conditions for the existence and uniqueness of a solution of this problem are established. Розглянуто мішану задачу для нелінійного ультрапараболiчноro рівняння, яке є нєлінійним узагальненням рівняння дифузії з інерцією та містить, як окремий випадок, рівняння Фоккера-Планка та рівняння Колмогорова. Знайдено умови, за яких розв'язок цієї задачі існує та є єдиним. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3522 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 9 (2006); 1192–1210 Український математичний журнал; Том 58 № 9 (2006); 1192–1210 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3522/3781 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3522/3782 Copyright (c) 2006 Lavrenyuk S. P.; Protsakh N. P. |
| spellingShingle | Lavrenyuk, S. P. Protsakh, N. P. Лавренюк, С. П. Процах, Н. П. Mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that generalizes the diffusion equation with inertia |
| title | Mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that generalizes the diffusion equation with inertia |
| title_alt | Мішана задача для нелінійного ультрапараболічного рівняння, яке узагальнює рівняння дифузії з інерцією |
| title_full | Mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that generalizes the diffusion equation with inertia |
| title_fullStr | Mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that generalizes the diffusion equation with inertia |
| title_full_unstemmed | Mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that generalizes the diffusion equation with inertia |
| title_short | Mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that generalizes the diffusion equation with inertia |
| title_sort | mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation that generalizes the diffusion equation with inertia |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3522 |
| work_keys_str_mv | AT lavrenyuksp mixedproblemforanonlinearultraparabolicequationthatgeneralizesthediffusionequationwithinertia AT protsakhnp mixedproblemforanonlinearultraparabolicequationthatgeneralizesthediffusionequationwithinertia AT lavrenûksp mixedproblemforanonlinearultraparabolicequationthatgeneralizesthediffusionequationwithinertia AT procahnp mixedproblemforanonlinearultraparabolicequationthatgeneralizesthediffusionequationwithinertia AT lavrenyuksp míšanazadačadlânelíníjnogoulʹtraparabolíčnogorívnânnââkeuzagalʹnûêrívnânnâdifuzíízínercíêû AT protsakhnp míšanazadačadlânelíníjnogoulʹtraparabolíčnogorívnânnââkeuzagalʹnûêrívnânnâdifuzíízínercíêû AT lavrenûksp míšanazadačadlânelíníjnogoulʹtraparabolíčnogorívnânnââkeuzagalʹnûêrívnânnâdifuzíízínercíêû AT procahnp míšanazadačadlânelíníjnogoulʹtraparabolíčnogorívnânnââkeuzagalʹnûêrívnânnâdifuzíízínercíêû |