Asymptotic expansion of a semi-Markov random evolution
We determine the regular and singular components of the asymptotic expansion of a semi-Markov random evolution and show the regularity of boundary conditions. In addition, we propose an algorithm for finding initial conditions for t = 0 in explicit form using the boundary conditions for the singular...
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| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3524 |
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| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509630268964864 |
|---|---|
| author | Samoilenko, I. V. Самойленко, І. В. |
| author_facet | Samoilenko, I. V. Самойленко, І. В. |
| author_sort | Samoilenko, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:51Z |
| description | We determine the regular and singular components of the asymptotic expansion of a semi-Markov random evolution and show the regularity of boundary conditions. In addition, we propose an algorithm for finding initial conditions for t = 0 in explicit form using the boundary conditions for the singular component of the expansion. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.24
I. V. Samojlenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
ASYMPTOTYÇNYJ ROZKLAD
NAPIVMARKOVS|KO} VYPADKOVO} EVOLGCI}
∗∗∗∗
Both regular and singular components of an asymptotic expansion of the semi-Markov random evolution
are found, the regularity of boundary conditions is shown. In addition, by using boundary conditions for
a singular component of the expansion, an algorithm for finding initial conditions for t = 0 is proposed.
Znajdeno rehulqrnu ta synhulqrnu skladovi rozkladu napivmarkovs\ko] vypadkovo] evolgci],
pokazano rehulqrnist\ hranyçnyx umov. Krim toho, z vykorystannqm hranyçnyx umov dlq synhu-
lqrno] çastyny rozkladu zaproponovano alhorytm dlq znaxodΩennq poçatkovyx umov pry t = 0
v qvnomu vyhlqdi.
1.""Vstup. Stoxastyçna systema u sxemi serij zada[t\sq rozv’qzkom evolgcijno-
ho rivnqnnq v evklidovomu prostori R
d, d ≥ 1:
du t
dt
ε( ) =
v u t tε κ
ε
( );
. (1)
Vektor-funkciq v v( ; ) ( ; ), ,( )u x u x k dk= = 1 , u ∈ R
d, x ∈ E, zadovol\nq[ umo-
vy isnuvannq hlobal\noho rozv’qzku system [1]
du t
dt
x( )
= v( )( );u t xx , ux ( 0 ) = u ∈ R
d, x ∈ E . (2)
Proces, wo peremyka[ ßvydkosti κ ( t ) , t ≥ 0, [ napivmarkovs\kym [2] u stan-
dartnomu fazovomu prostori staniv ( E , � ) i zada[t\sq napivmarkovs\kym qd-
rom7[1]
Q ( x, B, t ) = P ( x, B ) Fx ( t ) , x ∈ E, B ∈ � , t ≥ 0,
wo vyznaça[ jmovirnosti perexodu procesu markovs\koho vidnovlennq κn , τn , n ≥
≥ 0:
Q ( x, B, t ) = P B t xn n nκ θ κ+ +∈ ≤ ={ }1 1, =
= P B x P t xn n n nκ κ θ κ+ +∈ ={ } ≤ ={ }1 1 .
Stoxastyçne qdro
P ( x, B ) = P B xn nκ κ+ ∈ ={ }1
zada[ perexidni jmovirnosti vkladenoho lancgha Markova κn = κ ( τn ) , n ≥ 0;
funkci] rozpodilu
Fx ( t ) = P t xn nθ κ+ ≤ ={ }1 = : P txθ ≤{ } , x ∈ E,
zadagt\ rozpodily çasiv perebuvannq θx u stanax x ∈ E .
Henerator asocijovanoho markovs\koho procesu ma[ vyhlqd
Q = q x P I( )( )− ,
de operator perexidnyx imovirnostej
P f ( x ) =
E
P x dy f y∫ ( , ) ( ), x ∈ E,
∗∗∗∗
Vykonano pry çastkovij pidtrymci proektu DFG 436 UKR 113/70/0-1.
© I. V. SAMOJLENKO, 2006
1234 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
ASYMPTOTYÇNYJ ROZKLAD NAPIVMARKOVS|KO} … 1235
q x( ) = 1
1m x( )
, m xk( ) =
0
∞
∫ s F dsk
x ( ).
Poznaçymo çerez π ( B ) , B ∈ � , stacionarnyj rozpodil napivmarkovs\koho
procesu κ ( t ) , t ≥ 0, wo zadovol\nq[ spivvidnoßennq
π ( dx ) =
ρ( ) ( )
ˆ
dx m x
m
1 ,
m̂ =
E
dx m x∫ ρ( ) ( )1 ,
ρ ( B ) , B ∈ � , [ stacionarnym rozpodilom vkladenoho lancgha Markova κn , n ≥
≥ 0, wo vyznaça[t\sq formulog
ρ ( B ) =
E
dx P x B∫ ρ( ) ( , ), ρ ( E ) = 1.
Metog roboty [ pobudova asymptotyçnoho rozkladu napivmarkovs\ko] vypad-
kovo] evolgci] Φt u x E u t u u xε ε εϕ κ( , ) ( ( )) ( ) , ( )= = =[ ]0 0 u vyhlqdi
Φt u xε( , ) = U t Wε ε τ( ) ( )+ = U t U t W
k
k
k k0
1
( ) ( ( ) ( ))+ +
=
∞
∑ ε τ , (3)
de τ ε= t / .
ZauvaΩennq"1. Poçatkovi umovy magt\ vyhlqd
Φ0
ε ( , )u x = U Wε ε( ) ( )0 0+ = ϕ ( u ) ,
zvidky vyplyva[
U0 0( ) = ϕ ( u ) ,
U Wk k( ) ( )0 0+ = 0, k ≥ 1.
Synhulqrna çastyna rozkladu zadovol\nq[ hranyçni umovy:
Wε( )∞ = 0.
Asymptotyçnyj rozklad rozv’qzkiv intehral\nyx rivnqn\ doslidΩeno u baha-
t\ox robotax [3, 4]. TakoΩ vidomymy [ rezul\taty asymptotyçnoho rozkladu de-
qkyx xarakterystyk markovs\kyx ta napivmarkovs\kyx procesiv, zokrema funk-
cionaliv vid evolgci] [5 – 7].
U robotax [5, 6] rozhlqdalys\ asymptotyçni rozklady dlq rozpodiliv çasu
pohlynannq vidpovidno markovs\koho ta napivmarkovs\koho procesu. Dyferen-
cial\ne rivnqnnq, qke vynyka[ u markovs\komu vypadku, v [5] malo vyhlqd
du
dt
t
ε
= ( )ε ε− +1
1Q Q ut .
Bil\ß zahal\ne rivnqnnq
d
dt
tΦε
= ( )( )ε ε− +1Q x tV Φ
bude rozhlqnuto v okremij publikaci]. V cij roboti my budemo ßukaty asympto-
tyçnyj rozklad intehral\noho rivnqnnq markovs\koho vidnovlennq dlq napiv-
markovs\ko] evolgci].
Na vidminu vid bahat\ox inßyx robit bude znajdeno rehulqrnu ta synhulqrnu
skladovi rozkladu, pokazano rehulqrnist\ hranyçnyx umov. Krim toho, na pid-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1236 I. V. SAMOJLENKO
stavi hranyçnyx umov dlq synhulqrno] çastyny rozkladu (dyv. zauvaΩennq71) my
zaproponu[mo alhorytm dlq znaxodΩennq poçatkovyx umov pry t = 0 v qvnomu
vyhlqdi. Pry c\omu poçatkovi umovy dlq rehulqrno] ta synhulqrno] çastyn
rozv’qzku u prostori znaçen\ operatora Q zabezpeçugt\ vykonannq poçatkovo]
umovy iz zauvaΩennq71.
Osnovnyj rezul\tat bude dovedeno v kil\ka etapiv u vyhlqdi lem. Sformu-
lg[mo joho poperedn\o u vyhlqdi teoremy.
Teorema. Za umov rivnomirno] erhodyçnosti napivmarkovs\koho procesu ta
isnuvannq hlobal\noho rozv’qzku system (2) asymptotyçnyj rozklad napivmar-
kovs\ko] evolgci]
Φt u xε( , ) = E u t u u xϕ κε ε( ( )) ( ) , ( )0 0= =[ ]
ma[ vyhlqd
Φt u xε( , ) = U t Wε ε τ( ) ( )+ = U t U t W
k
k
k k0
1
( ) ( ( ) ( ))+ +
=
∞
∑ ε τ ,
de
U t0( ) = c t0( )1,
funkciq c t0( ) zadovol\nq[ rivnqnnq
ˆ ( )
( ) ( )
v u
c t
u
c t
t
∂
∂
∂
∂
0 0− = 0
z poçatkovog umovog
c u0 0( ) ( )= ϕ ,
de ˆ ( ) : ( ) ( , )v vu dx u x
E
= ∫ π .
Nastupni rehulqrni çleny magt\ vyhlqd
U t x L U t c tk n n k n
n
k
k( ) ( ) ( ) ( )=
+−
=
∑R0
1
µ ,
de zhidno z [8] R0
1= +[ ] −−Q Π Π ,
µk
kx
m x
k m x
( )
( )
! ( )
=
1
, µ1 1( ) :x = , L x PU tk
n
k
n n k n= −
=
−∑
0
1( ) ( ) ( )( )
V .
Funkci] c tk( ) zadovol\nqgt\ rivnqnnq
ˆ ( ) ( ) ( )L c t c t c tk k k1 0 1 1= − − … − −Π Π� � ,
de
Π Π Π� �k
k
k
n n k n k kx L x L: ( ) ( )= +
=
− + +∑
1
0 1 1µ µR , Π Π�0 1:= L .
Synhulqrni çleny magt\ vyhlqd
W1( )τ = R0
1
1 00 0ψ τ τ τ
τ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + − ′
∞
∫F PU s F ds PUx x ,
Wk( )τ = R0 0
1
0 0ψ τ ψ τ τ τ
τ
k k
x k
n
k
n
x k n
nF PU s F ds PU( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )− + + −
=
∞
−∑ ∫ ,
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ASYMPTOTYÇNYJ ROZKLAD NAPIVMARKOVS|KO} … 1237
de R0 — matrycq markovs\koho vidnovlennq [9]
QW( )τ =
0
∞
∫ −F ds PW sx( ) ( )τ ,
ψ τk( ) = F P uk k( )( ) ( )τ ϕV , ψ τ0
k( ) =
r
k
r
k rW
=
−
−∑
1
1
Q ( )τ ,
F k( )( )τ =
τ
∞ −
∫ −
s
k
F s ds
k
x
1
1( )!
( ) , Qr W( )τ =
0
∞
∫ −s
r
F ds PW s
r
x
r
!
( ) ( )V τ .
Poçatkovi umovy [ takymy:
( ) ( ) ( )I U Wk k− +[ ]Π 0 0 = 0,
ck( )0 = – ΠWk( )0 ,
Uk( )0 =
=
−
− −∑ ∫
r
k
k r k r rdx x L x U
0
1
0π ν( ) ( ) ( ) ( ) –
–
r
k r
x
r
k rdx s
r
F ds x PW s d m
=
− ∞
−∑ ∫ ∫ ∫ −
1
1
0 0
ρ τ τ
τ
( )
!
( ) ( ) ( ) ˆV ,
de ν µk
k
k kx m x x( ) ( ) ( ) ( )= − −[ ]+1 1 .
2. Rivnqnnq markovs\koho vidnovlennq. Determinovana evolgciq
Φx t u( , ) = ϕ ( ( ))u tx , ux( )0 = u
(dyv.7(2)) porodΩu[ vidpovidnu napivhrupu
Vt x u( ) ( )ϕ : = ϕ ( ( ))u tx , ux( )0 = u,
]] henerator ma[ vyhlqd
V ( ) ( )x uϕ = v( , ) ( )u x u′ϕ .
Lema"1. Napivmarkovs\ka evolgciq Φt u xε( , ) zadovol\nq[ rivnqnnq
F ds x P u x u xx s t s t( ) ( ) ( , ) ( , )Vε ε
ε εΦ Φ−
∞
∫ −
0
=
= ε ϕε
τ
V V( ) ( ) ( ) ( )x F s x u dsx s
∞
∫ , (4)
de τ ε= t / .
Dovedennq. Z uraxuvannqm momentu perßoho strybka peremykagçoho pro-
cesu evolgciq ma[ vyhlqd
Φt u xε( , ) = E u t t E u t tu x x u x x, ,( ( )); ( ( ));/ /ϕ θ ε ϕ θ εε ε>[ ] + ≤[ ] =
= F t x P u F ds x P u xx t x s t s
t
( / ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )
/
ε ϕ ε ε
ε
ε
V V+ −∫ Φ
0
.
Takym çynom,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1238 I. V. SAMOJLENKO
Φ Φt x s t s
t
u x F ds x P u xε
ε ε
ε
ε
( , ) ( ) ( ) ( , )
/
− −∫ V
0
= F x P ux t( ) ( ) ( )τ ϕV .
ProdovΩyvßy za neperervnistg Φt s u x u− =ε
ε ϕ( , ) ( ), t s− ≤ε 0, perepyßemo
ostann[ rivnqnnq u vyhlqdi
Φ Φt x s t su x F ds x P u xε
ε ε
ε( , ) ( ) ( ) ( , )− −
∞
∫ V
0
=
= F x P ux t( ) ( ) ( )τ ϕV – F ds x P u xx s t s( ) ( ) ( , )Vε ε
ε
τ
Φ −
∞
∫ =
= F x P u F ds x P ux t x s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ ϕ ϕε
τ
V V−
∞
∫ .
OtΩe, ma[mo
Φ Φt x s t su x F ds x P u xε
ε ε
ε( , ) ( ) ( ) ( , )− −
∞
∫ V
0
= F x P ux t( ) ( ) ( )τ ϕV –
– F s x P ux s( ) ( ) ( )Vε τϕ ∞ – ε ϕε
τ
V V( ) ( ) ( ) ( )x F s x u dsx s
∞
∫ .
Pislq skoroçennq dodankiv otrymu[mo (4).
Lemu dovedeno.
3. Rivnqnnq dlq rehulqrnyx çleniv. Uvedemo poznaçennq: Q — henerator
asocijovanoho markovs\koho procesu,
µk
kx
m x
k m x
( )
( )
! ( )
=
1
, µ1 1( ) :x = , L x PU tk
n
k
n n k n= −
=
−∑
0
1( ) ( ) ( )( )
V .
Lema"2. Rivnqnnq dlq rehulqrnyx çleniv asymptotyky magt\ vyhlqd
QU ( t ) =
k
k
k km x L U t
=
∞
∑
1
ε ( ) ( ) . (5)
Dovedennq. Skorysta[mos\ rivnistg
aPb – 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P a P P b a P b− + − + − + − −1 1 1 1 1 ,
de
a = Vεs x( ) = I s
k
x
k
k
k
k+
=
∞
∑
1
ε
!
( )V , b = Φt s− ε
ε =
k
k k
k
t
ks
k
u x
=
∞
∑ −
0
1( )
!
( , )( )ε Φ .
Perepyßemo (4) u vyhlqdi
( ) ( , ) ( )
!
( ) ( , )P I u x F ds s
k
x P u xt x
k
k
k
k
t− +
∞
=
∞
∫ ∑Φ Φε εε
0 1
V +
+
0 1
1
∞
=
∞
∫ ∑ −
F ds P s
k
u xx
k
k k
k
t
k( ) ( )
!
( , )( )ε Φ +
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ASYMPTOTYÇNYJ ROZKLAD NAPIVMARKOVS|KO} … 1239
+
0 1 1
1
∞
=
∞
=
∞
∫ ∑ ∑
−
F ds s
k
x P s
k
u xx
k
k
k
k
k
k k
k
t
k( )
!
( ) ( )
!
( , )( )ε εV Φ =
= ε ϕε
τ
V V( ) ( ) ( ) ( )x F s x P u dsx s
∞
∫ .
Pidstavyvßy vyraz (3) dlq rehulqrnyx çleniv, otryma[mo
( ) ( )P I U t− = –
0 1
∞
=
∞
∫ ∑
F ds s
k
x PU tx
k
k
k
k( )
!
( ) ( )ε V –
–
0 1
1
∞
=
∞
∫ ∑ −
F ds P s
k
U tx
k
k k
k
k( ) ( )
!
( )( )ε –
–
0 1 1
1
∞
=
∞
=
∞
∫ ∑ ∑
−
F ds s
k
x P s
k
U tx
k
k
k
k
k
k k
k
k( )
!
( ) ( )
!
( )( )ε εV .
Zibravßy çleny pry odnakovyx stepenqx ε, budemo maty
( ) ( )P I U t− =
k
k
x
k
kF ds s
k
x PU t
=
∞ ∞
∑ ∫−
1 0
ε ( )
!
( ) ( )V –
–
0 1
1
0
1 1
∞
=
−
−
∞
∫ ∑ ∫−
− −
F ds x PU t F ds P s
k
U tx
n
k
n n k n k
x
k
k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
!
( )( ) ( )
V =
=
k
k k
k
m x
k
L U t
=
∞
∑
1
ε ( )
!
( ).
Podilyvßy ostanng rivnist\ na m x1( ), otryma[mo (5).
Qkwo pidstavyty v (5) rozklad U tε( ) = εk
kk
U t( )=
∞∑ 0
ta zibraty çleny pry
odnakovyx stepenqx ε, to oderΩymo naslidok.
Naslidok"1. Rehulqrni çleny asymptotyky zadovol\nqgt\ systemu rivnqn\
QU t0( ) = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
QU tk( ) =
n
k
n n k nx L U t
=
−∑
1
µ ( ) ( ), k ≥ 1, (6)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z perßoho rivnqnnq systemy (6) ma[mo U t NQ0( ) ∈ . Takym çynom, moΩemo
poklasty
U t0( ) = c t0( )1,
de c t0( ) — skalqrna funkciq, wo ne zaleΩyt\ vid x .
Z umovy rozv’qznosti dlq druhoho rivnqnnq systemy otrymu[mo rivnqnnq dlq
c t0( ):
ˆ ( )L c t1 0 = 0,
de
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1240 I. V. SAMOJLENKO
ˆ ( ) : ˆ ( )
( ) ( )
L c t u
c t
u
c t
t1 0
0 0= −v
∂
∂
∂
∂
,
ˆ ( ) : ( , ) : ( ) ( , )v v vu u x dx u x
E
= = ∫Π π .
ZauvaΩennq"2. Rivnqnnq dlq c t0( ) uzhodΩu[t\sq z teoremog userednennq
[1], qka stverdΩu[, wo dlq napivmarkovs\ko] vypadkovo] evolgci]
Φ Φt tu x uε( , ) ˆ ( )⇒ , ε → 0 ,
hranyçna evolgciq zadovol\nq[ rivnqnnq
d u
dt
ut
t
Φ Φ
ε
ε( ) ˆ ( )= V ,
de
ˆ ( ) : ˆ ( ) ( )Vϕ ϕu u u= ′v .
Naslidok"2. Funkciq c t0( ) zadovol\nq[ rivnqnnq z poçatkovog umovog
ˆ ( )
( ) ( )
v u
c t
u
c t
t
∂
∂
∂
∂
0 0− = 0,
c0 0( ) = ϕ ( )u .
Dlq U t1( ) otrymu[mo
U t1( ) = R0 1 0 1L U t c t( ) ( )+ = R0 1 0 1L c t c t( ) ( )+ .
Vykorystovugçy umovu rozv’qznosti dlq tret\oho rivnqnnq systemy (4), ma[-
mo
Π ΠL L c t x L c t L c t1 0 1 0 2 2 0 1 1R ( ) ( ) ( ) ˆ ( )+ +µ = 0,
abo
ˆ ( )L c t1 1 = – Π� 1 0c t( ) ,
de Π Π Π�1 1 0 1 2 2: ( )= +L L x LR µ .
Analohiçno dlq U tk( ) oderΩu[mo
U tk( ) = R0
1n
k
n n k n kx L U t c t
=
−∑
+µ ( ) ( ) ( ),
ˆ ( )L c tk1 = – Π Π� �k kc t c t0 1 1( ) ( )− … − − ,
de
Π Π Π� �k
n
k
n n k n k kx L x L: ( ) ( )= +
=
− + +∑
1
0 1 1µ µR , Π Π� 0 1:= L .
4. Rivnqnnq dlq synhulqrnyx çleniv. Vykorysta[mo poznaçennq
Q W ( τ ) =
0
∞
∫ −F ds PW sx( ) ( )τ ,
ψ τk( ) = F P uk k( )( ) ( )τ ϕV , ψ τ0
k( ) =
r
k
r
k rW
=
−
−∑
1
1
Q ( )τ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
ASYMPTOTYÇNYJ ROZKLAD NAPIVMARKOVS|KO} … 1241
F k( )( )τ =
τ
∞ −
∫ −
s
k
F s ds
k
x
1
1( )!
( ) , Qr W( )τ =
0
∞
∫ −s
r
F ds PW s
r
x
r
!
( ) ( )V τ ,
τ = t
ε
.
Lema"3. Rivnqnnq dlq synhulqrnyx çleniv magt\ vyhlqd
( ) ( )Q − I W1 τ = ψ τ1( ),
(7)
( ) ( )Q − I Wk τ = ψ τ ψ τk k( ) ( )− 0 .
Dovedennq. Pidstavlqgçy v (4) rozklad synhulqrno] çastyny Wε τ( ) =
= ε τk
kk
W ( )=
∞∑ 1
, ma[mo
0 1 1
∞
=
∞
=
∞
∫ ∑ ∑+
−
F ds I s
k
P W sx
k
k
k
k
k
k
k( )
!
( )ε ε τV –
k
k
kW
=
∞
∑
1
ε τ( ) =
=
τ
ε ϕ
∞
=
∞ −
∫ ∑ −
F s s
k
P u dsx
k
k
k
k( )
( )!
( )
1
1
1
V .
Takym çynom,
ε τ ε τ ε τ[ ] ( ) [ ] ( ) ( )Q Q Q− + − +
=
∞
=
∞
=
−
− +∑ ∑ ∑I W I W W
k
k
k
k
k
r
k
r
k r1
2 2 1
1
1 =
=
k
k k kF P u
=
∞
∑
1
ε τ ϕ( ) ( )V .
Zbyragçy çleny pry stepenqx ε , otrymu[mo (7).
Naslidok"3. Synhulqrni çleny asymptotyky magt\ vyhlqd
W1( )τ = R0
1
1ψ τ τ
τ
( ) ( ) ( )− −
∞
∫ F ds PW sx ,
Wk( )τ = R0 0ψ τ ψ τ τ
τ
k k
x kF ds PW s( ) ( ) ( ) ( )− − −
∞
∫ , k ≥ 2.
Tut R0 — matrycq markovs\koho vidnovlennq [9].
5. Poçatkovi umovy. Rehulqrnist\ hranyçnyx umov. Zapyßemo rozklad
Φετ( , )u x u rqd Tejlora pry τ < 0:
ϕ ( u ) = Φετ τ( , )u x <0 =
= U t
k
U U
k
U W
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k0
1
0 1
1
1
1
0 0 0( )
!
( ) ( )
!
( ) ( )( ) ( )+ + + + … +
=
∞
=
∞
=
∞
∑ ∑ ∑ε τ ε ε ε τ ε τ .
OtΩe,
Wε τ( ) = W
k
U
k
k
k
kε εε τ( )
!
( )( )0 0
1
−
=
∞
∑ ,
(8)
Wk( )τ = W
n
Uk
n
k n
k n
n( )
!
( )( )0 0
1
−
=
−∑ τ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1242 I. V. SAMOJLENKO
Lema"4. Dlq τ = 0
( )[ ( ) ( )]P I U W− +ε ε0 0 = 0.
Dovedennq. Rozhlqnemo rivnqnnq (7). Dlq W1( )τ ma[mo
0
1 1
∞
∫ − −F ds PW s Wx( ) ( ) ( )τ τ =
τ
∞
∫ F ds x PUx( ) ( ) ( )V 0 0 .
Pry τ = 0 otrymu[mo
0
1 1
0
1 10 0 0
∞ ∞
∫ ∫−
+ − −F ds PW W F ds P W s Wx x( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) =
=
0
0 0
∞
∫ F ds x PUx( ) ( ) ( )V .
Vraxovugçy rivnosti (8), znaxodymo
( ) ( )P I W− 1 0 = –
0
0
0
00 0
∞ ∞
∫ ∫′ +sF ds PU sF ds x PUx x( ) ( ) ( ) ( ) ( )V .
Dlq vidpovidnoho rehulqrnoho çlena z (5) oderΩu[mo
( ) ( )P I U− 1 0 =
0
0
0
00 0
∞ ∞
∫ ∫′ −sF ds PU sF ds x PUx x( ) ( ) ( ) ( ) ( )V ,
tobto spravdΩu[t\sq rivnist\
( )[ ( ) ( )]P I U W− +1 10 0 = 0.
Zastosu[mo metod matematyçno] indukci]. Prypustymo, wo vykonugt\sq riv-
nosti
( )[ ( ) ( )]P I U Wn n− +0 0 = 0, n = 1, … , k .
Todi dlq Uk+1 0( ) ta Wk+1 0( ) ma[mo
0
1 1
∞
+ +∫ − −F ds PW s Wx k k( ) ( ) ( )τ τ =
=
τ
τ
∞
=
+ − ∞
=
− +∫ ∑ ∫ ∑−
− −F ds s
n
x PU F ds s
n
x PW sx
n
k n
n
x
n
k n
n
k n( )
( )!
( ) ( ) ( )
!
( ) ( )
1
1 1
0
0 1
11
0V V .
Pry τ = 0 otrymu[mo
0
1 1
0
1 10 0 0
∞
+ +
∞
+ +∫ ∫−
+ − −F ds PW W F ds P W s Wx k k x k k( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) =
=
0
1
0
0 1
10
∞
+
∞
=
− +∫ ∫ ∑− −F ds s
k
x PU F ds s
n
x PW sx
k
k
x
n
k n
n
k n( )
!
( ) ( ) ( )
!
( ) ( )V V .
Zhidno z rivnistg (8)
( ) ( )P I Wk− +1 0 =
0 1
1
1 0
∞
=
+
− +∫ ∑F ds P
s
n
Ux
n
k n
k n
n( ) (– )
!
( )( ) +
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ASYMPTOTYÇNYJ ROZKLAD NAPIVMARKOVS|KO} … 1243
+
0
1
1
01
0
∞ +
+∫ +
F ds s
k
x PUx
k
k( )
( )!
( ) ( )V –
0 1
∞
=
∫ ∑F ds s
n
x Px
n
k n
n( )
!
( )V ×
× W
s
n
Uk n
n
k n n
k n
n
− +
=
− +
− +−
∑1
1
1
10 0( ) (– )
!
( )( ) .
Oskil\ky spravdΩugt\sq zrobleni za indukci[g prypuwennq ta poçatkovi
umovy iz zauvaΩennq71, moΩemo zapysaty
( ) ( )P I Wk− +1 0 =
0 1
1
1 0
∞
=
+
− +∫ ∑F ds P
s
n
Ux
n
k n
k n
n( ) (– )
!
( )( ) +
+
0
1
1
01
0
∞ +
+∫ +
F ds s
k
x PUx
k
k( )
( )!
( ) ( )V –
0 1
∞
=
∫ ∑F ds s
n
x Px
n
k n
n( )
!
( )V ×
× − −
− +
=
− +
− +∑U
s
n
Uk n
n
k n n
k n
n
1
1
1
10 0( ) (– )
!
( )( ) .
Dlq vidpovidnoho rehulqrnoho çlena z (5) otrymu[mo
( ) ( )P I Uk− +1 0 = –
0 1
1
1 0
∞
=
+
− +∫ ∑F ds P
s
n
Ux
n
k n
k n
n( ) (– )
!
( )( ) –
–
0 1
1
1 0
∞
=
+
− +∫ ∑F ds s
n
x PUx
n
k n
n
k n( )
!
( ) ( )V –
–
0 1 1
1
1 0
∞
= =
− +
− − +∫ ∑ ∑F ds s
n
x P
s
r
Ux
n
k n
n
r
k n r
k n r
r( )
!
( ) (– )
!
( )( )
V .
Lehko baçyty, wo vykonu[t\sq rivnist\
( )[ ( ) ( )]P I U Wk k− ++ +1 10 0 = 0.
Lemu dovedeno.
Naslidok"4. SpravdΩu[t\sq rivnist\
( )[ ( ) ( )]I P U W− +ε ε0 0 = 0,
abo, wo te same,
( )[ ( ) ( )]I U Wk k− +Π 0 0 = 0.
Takym çynom, baçymo, wo u prostori znaçen\ operatora Q rehulqrna ta syn-
hulqrna çastyny rozv’qzku zabezpeçugt\ vykonannq poçatkovo] umovy iz zauva-
Ωennq71.
Vodnoças u pidprostori nuliv operatora Q poçatkovi umovy dlq rehulqrnyx
çleniv vyznaçagt\sq znaçennqmy poçatkovyx umov dlq prymeΩovyx ßariv, tob-
to ma[ misce takyj naslidok.
Naslidok"5.
ck( )0 = – ΠWk ( )0 , k ≥ 1.
Dovedennq. My, oçevydno, ma[mo
Π Π[ ( ) ( )] ( ) ( )W U W ck k k k0 0 0 0 0+ = + = .
Naslidok"6. Synhulqrni çleny asymptotyky magt\ qvnyj vyhlqd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1244 I. V. SAMOJLENKO
W1( )τ = R0
1
1 00 0ψ τ τ τ
τ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + − ′
∞
∫F PU s F ds PUx x ,
Wk ( )τ = R0 0
1
0 0ψ τ ψ τ τ τ
τ
k k
x k
n
k
n
x k n
nF PU s F ds PU( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )− + + −
=
∞
−∑ ∫ .
Dovedennq. Vykorystovugçy formuly (8) ta naslidok74, obçyslg[mo
τ
τ
∞
∫ −F ds PW sx k( ) ( ) =
τ
τ
∞
=
−∫ ∑− − −
F ds P U s Ux k
n
k
n
k n
n( ) ( ) ( ) ( )( )0 0
1
=
= – F PU s F ds PUx k
n
k
n
x k n
n( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )τ τ
τ
0 0
1
− −
=
∞
−∑ ∫ .
Zhidno z hranyçnymy umovamy (dyv. zauvaΩennq71) pry τ → ∞ zapyßemo alho-
rytm dlq znaxodΩennq poçatkovyx umov dlq prymeΩovyx ßariv pry τ = 0. Dlq
perßoho synhulqrnoho çlena W1( )τ ma[mo rivnqnnq (dyv.7(7))
0
1 1
∞
∫ − −Q ds W s W( ) ( ) ( )τ τ = F x P ux
( )( ) ( ) ( )1 τ ϕV , (9)
de F F s dsx x
( )( ) ( )1 τ
τ
=
∞
∫ .
Rozdilyvßy perßyj intehral na dvi çastyny, otryma[mo rivnqnnq
0
1 1
τ
τ τ∫ − −Q ds W s W( ) ( ) ( ) = F x P u Q ds W s( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1τ ϕ τ
τ
V − −
∞
∫ .
Zhidno z teoremog vidnovlennq [10] pry τ → ∞ ma[mo
0 = W1( )∞ = ∫ ∫ ∫
∞ ∞
ρ τ ϕ
τ
( ) ( ) ( ) ( )dx F s ds d x P ux
0
V –
– ρ τ τ
τ
( ) ( ) ( ) ˆ/dx Q ds W s d m∫ ∫ ∫
∞ ∞
−
0
1 , (10)
de ˆ ( ) ( )m dx m x= ∫ ρ 1 .
Pry τ < 0 z (8) znaxodymo
W1( )τ = W U1 00 0( ) ( )− ′τ . (11)
Pidstavlqgçy ostannij vyraz u rivnqnnq (10), otrymu[mo
0 = ∫ ∫ ∫
∞ ∞
ρ τ ϕ
τ
( ) ( ) ( ) ( )dx F s ds d x P ux
0
V –
– ρ τ τ
τ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ/dx Q ds W s U d m∫ ∫ ∫
∞ ∞
− − ′[ ]
0
1 00 0 =
= ∫ ∫
∞
ρ τ ϕ( ) ( ) ( ) ( )( )dx F s d x P ux
0
1
V –
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ASYMPTOTYÇNYJ ROZKLAD NAPIVMARKOVS|KO} … 1245
– ρ τ ρ τ τ
τ τ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ˆ/dx F s PW ds d dx Q ds s U d mx∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞ ∞ ∞
+ − ′
0
1
0
00 0 =
= ∫
ρ ϕ( )
( )
( ) ( )dx
m x
x P u2
2
V –
– ρ ρ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ˆ/dx m x PW dx
m x
PU m∫ ∫− ′
1 1
2
00
2
0 =
= − − −( ∫ ∫ρ µ ϕ ρ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dx m x x L x u dx m x P I W1 2 1 1 1 0 –
– ρ( ) ( ) ( ) ˆ/dx m x W m∫ )1 1 0 =
= − − −( ) −∫ ∫ρ µ ϕ ρ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ˆ ( )/dx m x x L x u dx m x P I W m U1 2 1 1 1 10 0 . (12)
Tut µ2
2
12
( )
( )
( )
x
m x
m x
= .
Poklavßy v (9) τ = 0, otryma[mo
0
1 1 0
∞
∫ − −Q ds W s W( ) ( ) ( ) =
0
∞
∫ F s ds x P ux( ) ( ) ( )V ϕ .
Z (11) vyplyva[ W s W sU1 1 0
10 0( ) ( ) ( )− = + . Pidstavymo cej vyraz u poperedn[ spiv-
vidnoßennq:
0
1 0 10 0 0
∞
∫ + ′[ ] −Q ds W sU W( ) ( ) ( ) ( ) = m x x P u1( ) ( ) ( )V ϕ .
Takym çynom,
( ) ( )P I W− 1 0 = m x x P u PU1 0 0( ) ( ) ( ) ( )V ϕ − ′[ ] = L x u1( ) ( )ϕ .
Pidstavyvßy cej vyraz u (12), ostatoçno budemo maty
0 = − +( ) −∫ ∫ρ µ ϕ ρ ϕ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( )/dx m x x L x u dx m x L x u m U1 2 1 1
2
1 1 0 ,
abo
U1 0( ) = π ν ϕ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ/dx x L x u m∫ 1 1 ,
de
π( )dx = ρ( ) ( )dx m x1 , ν1( )x = m x x1 2( ) ( )− µ =
2
2
1
2
2
1
m x m x
m x
( ) ( )
( )
−
.
ZauvaΩennq"3. Vidomo, wo ν1 0( )x = , koly F tx( ) ma[ pokaznykovyj rozpo-
dil. U c\omu vypadku, oçevydno, ma[mo
U1 0( ) = 0.
Alhorytm dlq nastupnyx çleniv asymptotyky navedemo na prykladi W2( )τ :
0
2 2
2 2
0
11
∞ ∞
∫ ∫− − = − −Q ds W s W F x P u s F ds x PW sx x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
!
( ) ( ) ( )( )τ τ τ ϕ τV V ,
(13)
de F sF s dsx
( )( ) ( )2 τ
τ
=
∞
∫ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1246 I. V. SAMOJLENKO
Rozdilyvßy perßyj intehral na dvi çastyny, otryma[mo rivnqnnq
0
2 2
τ
τ τ∫ − −Q ds W s W( ) ( ) ( ) = F x P u s F ds x PW sx
( )( ) ( ) ( )
!
( ) ( ) ( )2 2
0
11
τ ϕ τV V− −
∞
∫ –
–
τ
τ
∞
∫ −Q ds W s( ) ( )2 .
Zhidno z teoremog vidnovlennq [10] pry τ → ∞ ma[mo
0 = W2( )∞ = ρ τ ϕ ρ
τ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx sF s ds d x P u dxx∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞
−
0
2
V ×
×
0 0
1 11 1
∞ ∞
∫ ∫ ∫− + −
τ
τ
τ τ τ τs F ds x PW s d s F ds x PW s dx x!
( ) ( ) ( )
!
( ) ( ) ( )V V –
– ρ τ τ
τ
( ) ( ) ( ) ˆ/dx Q ds W s d m∫ ∫ ∫
∞ ∞
−
0
2 . (14)
Pry τ < 0 z (8) znaxodymo
W2( )τ = W U U2 1
2
00 0 0( ) ( ) ( )− ′ − ′′τ τ . (15)
Pidstavlqgçy ostannij vyraz u rivnqnnq (14), otrymu[mo
0
0
2= −
∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞
ρ τ ϕ ρ
τ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx sF s ds d x P u dxx V ×
×
0 0
1 1 01 1
0 0
∞ ∞
∫ ∫ ∫− + − − ′{ }
τ
τ
τ τ τ τs F ds x PW s d s F ds x P W s U dx x!
( ) ( ) ( )
!
( ) ( ) ( ) ( ) ( )V V –
– ρ τ τ τ
τ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ/dx Q ds W s U s U d m∫ ∫ ∫
∞ ∞
− − ′ − − ′′[ ]
0
2 1
2
00 0 0 =
=
∫ρ ϕ( )
( )
!
( ) ( )dx
m x
x P u3 2
3
V –
– ρ τ τ ρ
τ
( )
!
( ) ( ) ( ) ( )
( )
!
( ) ( )dx s F ds x PW s d dx
m x
x PWx∫ ∫ ∫ ∫
∞
− −
0 0
1
2
11 2
0V V +
+ ρ τ
τ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx s s F ds x PUx∫ ∫ ∫
∞ ∞
− ′
0
0 0V –
– ρ τ ρ τ τ
τ τ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dx Q ds W d dx Q ds s U d∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∞ ∞ ∞ ∞
+ − ′
0
1
0
10 0 +
+ ρ τ τ
τ
( ) ( )( ) ( ) ˆ/dx Q ds s U d m∫ ∫ ∫
∞ ∞
− ′
0
2
0 0 =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
ASYMPTOTYÇNYJ ROZKLAD NAPIVMARKOVS|KO} … 1247
=
∫ρ ϕ( )
( )
!
( ) ( )dx
m x
x P u3 2
3
V –
– ρ τ τ ρ
τ
( )
!
( ) ( ) ( ) ( )
( )
!
( ) ( )dx s F ds x PW s d dx
m x
x PWx∫ ∫ ∫ ∫
∞
− +
0 0
1
2
11 2
0V V –
– ρ( )
( )
!
( ) ( )dx
m x
x PU∫ ′3
03
0V –
– ρ ρ ρ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
!
( )dx m x P I W dx m x U dx
m x
PU∫ ∫ ∫−[ ] − − ′2 1 2
2
10 0
2
0 +
+ ρ( )
( )
!
( ) ˆ/dx
m x
PU m∫ ′′
3
03
0 =
=
− −∫ ∫ρ µ ρ µ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx m x x L x U dx m x x L x U1 2 1 1 1 3 2 00 0 –
– ρ( ) ( )( ) ( )dx m x P I W∫ −1 2 0 –
– ρ τ τ
τ
( )
!
( ) ( ) ( ) ˆ ( )/dx s F ds x PW s d m Ux∫ ∫ ∫
∞
−
−
0 0
1 11
0V . (16)
Poklavßy v (13) τ = 0, budemo maty
0
2 2 2
2
0
10
∞ ∞
∫ ∫− − = − −Q ds W s W m x x P u sF ds x PW sx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V Vϕ ,
zvidky
0
2 1
2
0 20 0 0 0
∞
∫ + ′ − ′′[ ] −Q ds W sU s U W( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = m x x P u2
2( ) ( ) ( )V ϕ –
–
0
1 00 0
∞
∫ + ′{ }sF ds x P W sUx( ) ( ) ( ) ( )V .
Takym çynom,
[ ] ( )P I W− 2 0 = m x x P u m x PU m x PU2
2
1 1 2 00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V ϕ − ′ + ′′ +
+ m x x PU m x x PU1 1 2 00 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V V− ′ = m x L x U m x L x U2 2 0 1 1 10 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− .
Pidstavlqgçy cej vyraz u (16), ostatoçno ma[mo
U2 0( ) = π ν π ν( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx x L x U dx x L x U2 2 0 1 1 10 0∫ ∫+[ –
– ρ τ τ
τ
( )
!
( ) ( ) ( ) ˆ/dx s F ds x PW s d mx∫ ∫ ∫
∞
−
0 0
11
V ,
de
ν µ2 3 2
3 1 2
1
2
3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
! ( )
x x m x
m x m x m x
m x
= − = −
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1248 I. V. SAMOJLENKO
Dlq nastupnyx çleniv analohiçno oderΩu[mo
Uk ( )0 =
r
k
k r k r rdx x L x U
=
−
− −∑ ∫
0
1
0π ν( ) ( ) ( ) ( ) –
–
r
k r
x
r
k rdx s
r
F ds x PW s d m
=
− ∞
−∑ ∫ ∫ ∫ −
1
1
0 0
ρ τ τ
τ
( )
!
( ) ( ) ( ) ˆ/V ,
de
ν µk
k
k kx m x x( ) ( ) ( ) ( )= − −[ ]+1 1 .
1. Korolgk V. S. Stoxastyçni systemy z userednennqm u sxemi dyfuzijno] aproksymaci] // Ukr.
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OderΩano 07.10.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
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| spelling | umjimathkievua-article-35242020-03-18T19:56:51Z Asymptotic expansion of a semi-Markov random evolution Асимптотичний розклад напівмарковської випадкової еволюції Samoilenko, I. V. Самойленко, І. В. We determine the regular and singular components of the asymptotic expansion of a semi-Markov random evolution and show the regularity of boundary conditions. In addition, we propose an algorithm for finding initial conditions for t = 0 in explicit form using the boundary conditions for the singular component of the expansion. Знайдено регулярну та сингулярну складові розкладу напівмарковської випадкової еволюції, показано регулярність граничних умов. Крім того, з використанням граничних умов для сингулярної частини розкладу запропоновано алгоритм для знаходження початкових умов при $t = 0$ в явному вигляді. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3524 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 9 (2006); 1234–1248 Український математичний журнал; Том 58 № 9 (2006); 1234–1248 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3524/3785 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3524/3786 Copyright (c) 2006 Samoilenko I. V. |
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