Dissipativity of differential equations and the corresponding difference equations
We establish conditions under which the existence of a bounded solution of a difference equation yields the existence of a bounded solution of the corresponding differential equation. We investigate the relationship between the dissipativities of differential and difference equations in terms of Lya...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3525 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509629991092224 |
|---|---|
| author | Stanzhitskii, A. N. Tkachuk, A. M. Станжицький, О. М. Ткачук, А. М. |
| author_facet | Stanzhitskii, A. N. Tkachuk, A. M. Станжицький, О. М. Ткачук, А. М. |
| author_sort | Stanzhitskii, A. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:51Z |
| description | We establish conditions under which the existence of a bounded solution of a difference equation yields the existence of a bounded solution of the corresponding differential equation. We investigate the relationship between the dissipativities of differential and difference equations in terms of Lyapunov functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
O.�M.�StanΩyc\kyj, A.�M.�Tkaçuk (Ky]v. nac. un-t im.T.�Íevçenka)
DYSYPATYVNIST| DYFERENCIAL|NYX
TA VIDPOVIDNYX }M RIZNYCEVYX RIVNQN|
We establish conditions under which the existence of a bounded solution of difference equation implies
the existence of a bounded solution of the corresponding differential equation. We investigate the
relation between the dissipativity of differential and difference equations in terms of the Lyapunov
function.
Vstanovleno umovy, pry qkyx z isnuvannq obmeΩenoho rozv’qzku riznycevoho rivnqnnq vyplyva[
isnuvannq obmeΩenoho rozv’qzku vidpovidnoho dyferencial\noho rivnqnnq. DoslidΩeno zv’qzok
miΩ dysypatyvnistg dyferencial\nyx ta riznycevyx rivnqn\ u terminax funkci] Lqpunova.
1. Vstup. Efektyvnym metodom doslidΩennq dyferencial\nyx rivnqn\ [ pere-
xid do riznycevyx rivnqn\, qki otrymugt\sq z dyferencial\nyx zaminog poxidno]
vidpovidnym riznycevym vidnoßennqm. Ale metody, rozrobleni v teori] riznyce-
vyx sxem, dozvolqgt\ v osnovnomu vstanovlgvaty blyz\kist\ rozv’qzkiv ta vid-
povidnist\ vlastyvostej dyferencial\nyx i riznycevyx rivnqn\ lyße na skin-
çennyx intervalax çasu. Pytannq Ω qkisno] vidpovidnosti miΩ rozv’qzkamy riz-
nycevyx ta dyferencial\nyx rivnqn\ na neskinçennyx intervalax çasu vyvçene
malo. Vidmitymo v c\omu naprqmku roboty [1 – 4], de rozhlqdalysq umovy zbere-
Ωennq vlastyvostej periodyçnosti, stijkosti, kolyvnosti dyferencial\nyx riv-
nqn\ pry naqvnosti analohiçnyx vlastyvostej u vidpovidnyx riznycevyx rivnqn\ i
navpaky.
2. Postanovka zadaçi. Rozhlqda[t\sq systema dyferencial\nyx rivnqn\ vy-
hlqdu
dx
dt
= X ( t , x ) (1)
i vidpovidna ]j systema riznycevyx rivnqn\
x x h X t kh xk
h
k
h
k
h
+ = + +1 0( ), , k ∈ Z , (2)
de h > 0 — krok riznycevoho rivnqnnq,
x x t khk
h h= +( )0 , x t xh h( )0 0= , x ( t0 ) = x0 .
Nexaj vektor-funkciq X ( t , x ) vyznaçena pry t ∈ R , x ∈ D ( D — deqka ob-
last\ prostoru Rn
) , t0 ∈ R .
Metog roboty [ vyvçennq pytannq pro zv’qzok miΩ obmeΩenymy rozv’qzkamy
system (1) ta (2) i doslidΩennq umov dysypatyvnosti cyx system.
3. Osnovni rezul\taty. 3.1. Zv’qzok miΩ obmeΩenymy rozv’qzkamy dyfe-
rencial\nyx ta riznycevyx system. U danomu punkti budemo vvaΩaty, wo
funkciq X ( t , x ) v oblasti R × D [ neperervno dyferencijovnog j obmeΩenog
razom zi svo]my çastynnymy poxidnymy tak, wo
X t x
X t x
t
X t x
x
( , )
( , ) ( , )+ +∂
∂
∂
∂
≤ C0 .
Navedena nyΩçe teorema harantu[ isnuvannq obmeΩenoho dvostoronn\oho
rozv’qzku systemy (1) pry umovi, wo systema (2) ma[ takyj rozv’qzok.
Teorema 1. Qkwo isnu[ h0 > 0 take, wo pry 0 < h ≤ h0 systema (2) ma[
rivnomirno po t0 i h asymptotyçno stijkyj dvostoronnij obmeΩenyj rozv’q-
© O.�M.�STANÛYC|KYJ, A.�M.�TKAÇUK, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 1249
1250 O.�M.�STANÛYC|KYJ, A.�M.�TKAÇUK
zok xk
h , wo naleΩyt\ oblasti D razom z deqkym ρ -okolom, to systema (1)
takoΩ ma[ obmeΩenyj dvostoronnij rozv’qzok.
Dovedennq. Zhidno z umovamy teoremy, dlq dovil\noho ε > 0 ( ε < ρ / 2 ) isnu-
gt\ ne zaleΩni vid t0 i h δ > 0 i T > 0 taki, wo qkwo
x yh h
0 0− ≤ δ , (3)
to
x yk
h
k
h− < ε
2
pry k ≥ 1, (4)
x yk
h
k
h− ≤ δ
2
pry kh ≥ T . (5)
Vyberemo k0 ( h ) tak, wo T ≤ k0h ≤ T + 1. Oskil\ky systema (2) ma[ dlq koΩ-
noho h ≤ h0 obmeΩenyj rozv’qzok xk
h , to isnu[ C1 ( h ) > 0 take, wo
xk
h ≤ C1 ( h ) ∀k ∈ Z .
Nexaj x ( t ) — rozv’qzok systemy (1), qkyj v toçci t0 zbiha[t\sq z rozv’qzkom
yk
h
systemy (2), de yk
h zadovol\nq[ umovy (3) – (5), tobto
yh
0 = x ( t0 ) . (6)
Vyberemo krok h takym çynom, wob vykonuvalas\ nerivnist\
he C C TC T0 1
0 0
21 1
2
( ) ( )+ + +( ) +[ ] ≤ δ . (7)
Todi, qk vyplyva[ z [5, s. 384], dlq rozv’qzkiv system (1) i (2), wo zadovol\nqgt\
umovu (6), spravdΩu[t\sq ocinka
y x t mhm
h − + ≤( )0 2
δ , m ≤ k0 , (8)
qkwo vony vyznaçeni na vidrizku [ t0 , t0 + k0h ] .
Z (4), (5) ta (8) otrymu[mo nerivnist\
x x t k hk
h
0 0 0− +( ) ≤ δ .
Dali budemo rozhlqdaty vidrizok dovΩyny k0
h ≤ T + 1. Z�intehral\noho zo-
braΩennq rozv’qzku x ( t ) systemy (1) otryma[mo ocinku
| x ( t ) | ≤ | x0 | + X s x s ds
t
t t
, ( )( )
+
∫
0
0
, t ∈ [ 0 , k0h ] ,
zvidky
| x ( t ) | ≤ C1 ( h ) + δ + C0 ( T + 1 ) . (9)
OtΩe, rozv’qzok x ( t ) systemy (1), wo poçyna[t\sq v δ -okoli xh
0 , v moment
k0h znovu popada[ v joho δ -okil, zadovol\nqgçy pry c\omu nerivnist\ (9), pry
umovi, wo x ( t ) vyznaçeno na vidrizku [ 0 , k0h ] . PokaΩemo, wo c\oho moΩna
dosqhty vyborom dostatn\o maloho kroku h .
Vyberemo ε > 0 tak, wob toçky z ε -okolu obmeΩenoho rozv’qzku xk
h syste-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
DYSYPATYVNIST| DYFERENCIAL|NYX TA VIDPOVIDNYX … 1251
my (2) naleΩaly oblasti D razom z ( ρ / 2 ) -okolom. Za umovamy teoremy takyj
vybir [ moΩlyvym. Tomu rozv’qzky systemy (1), wo poçynagt\sq v takomu (ρ / 2)-
okoli, prodovΩugt\sq vlivo i vpravo na interval dovΩyny ne menßo] niΩ
ρ
2 0C
.
Vyberemo h tak, wob vykonuvalas\ nerivnist\ (7) i nerivnist\ h <
ρ
2 0C
, ta za-
fiksu[mo joho.
Todi rozv’qzok x ( t ) , wo poçyna[t\sq v δ -okoli xh
0 , prodovΩu[t\sq na in-
terval 0
2 0
,
ρ
C
, a v toçci t = h na pidstavi (8) vykonu[t\sq nerivnist\
x h yk
h( ) − ≤ δ
2
,
de yk
h — vkazanyj vywe rozv’qzok systemy (2).
OtΩe, toçka x ( h ) naleΩyt\ oblasti D razom z ( ρ / 2 ) -okolom, a tomu roz-
v’qzok x ( t ) prodovΩu[t\sq do toçky 2h i x ( 2h ) takoΩ naleΩyt\ D razom z
( ρ / 2 ) -okolom. ProdovΩugçy cej proces, perekonu[mos\, wo x ( t ) vyznaçeno na
vidrizku [ 0 , k0h ] .
Teper rozhlqnemo nastupnyj vidrizok dovΩyny k 0 h ≤ T + 1 – [ t0 + k0h ,
t0 + 2k0h ] . Na n\omu x ( t ) , analohiçno poperedn\omu, zadovol\nq[ nerivnist\
| x ( t ) | ≤ C1 ( h ) + δ + C0 ( T + 1 ) .
Poznaçymo çerez ŷk
h takyj rozv’qzok systemy (2), wo v moment k0h joho
poçatkovi dani zbihagt\sq z poçatkovymy danymy rozv’qzku x ( t ) :
x ( k0h ) = ŷk
h
0
.
Todi analohiçno poperedn\omu budemo maty nerivnist\
x x k hk
h
2 00
2− ( ) ≤ δ .
ProdovΩyvßy dali cej proces, otryma[mo, wo na koΩnomu vidrizku dovΩyny
k0h spravedlyvog bude ocinka
| x ( t ) | ≤ C1 ( h ) + δ + C0 ( T + 1 ) .
A v momenty p k0h rozv’qzok x ( t ) systemy (1) ne�vyxodyt\ z δ -okolu obme-
Ωenoho rozv’qzku xk
h systemy (2). Zvidsy vyplyva[ joho obmeΩenist\ pry t ≥ t0 .
Takym çynom, dlq dovil\noho t0 ∈ R namy pobudovano obmeΩenyj rozv’qzok
x ( t ) systemy (1) pry t ≥ t0 . Pobudu[mo teper obmeΩenyj na vsij osi rozv’qzok
x ( t ) ci[] systemy.
Z vykladenoho vywe vyplyva[, wo vsi rozv’qzky dyferencial\noho rivnqnnq,
qki poçynagt\sq v δ -okoli rozv’qzku xk
h , zadovol\nqgçy nerivnist\ (9), pry t =
= k0h popadagt\ znovu v joho δ-okil. Tomu obmeΩeni rozv’qzky x ( t ) dyfe-
rencial\noho rivnqnnq, qki pry t = – k0h poçynagt\sq v δ -okoli toçky xh
( – k0 ) ,
pry t = 0 popadagt\ znovu v δ -okil toçky xh
( 0 ) .
Analohiçno moΩna pokazaty, wo vsi obmeΩeni rozv’qzky systemy (1),�qki pry
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1252 O.�M.�STANÛYC|KYJ, A.�M.�TKAÇUK
t = – p k0h poçynagt\sq v δ -okoli toçky x h
( – p k0 ) , zadovol\nqgçy neriv-
nist\�(9), pry t = – ( p – 1) k0h popadagt\ znovu v δ -okil toçky xh
( – ( p – 1) k0 ) .
Poznaçymo çerez Sp mnoΩynu znaçen\ rozv’qzkiv systemy (1) v toçci t = 0,
qki pry t = – p k0h naleΩat\ δ -okolu xh
( – p k0 ) . Na�pidstavi vykladenoho vywe
cq mnoΩyna ne�poroΩnq dlq dovil\noho natural\noho p i pry c\omu ma[ misce
vklgçennq Sp ⊂ Sp –1 . Za�svo[g pobudovog mnoΩyny Sp skladagt\sq z obraziv
rozv’qzkiv rivnqnnq�(1) v toçci t = 0, wo poçynagt\sq v toçci t = – p k0h. Vidob-
raΩennq, wo porodΩu[ S p , [�neperervnym vnaslidok neperervno] zaleΩnosti
rozv’qzku vid poçatkovyx danyx, a tomu Sp [ zamknenymy (qk obrazy zamknenyx
mnoΩyn pry neperervnomu vidobraΩenni). Oskil\ky vony takoΩ i kompakty, wo
naleΩat\ δ -okolu xh
( 0 ) , to ]x peretyn neporoΩnij.
Nexaj y0 — toçka, spil\na dlq vsix Sp .
Rozhlqnemo teper rozv’qzok dyferencial\noho rivnqnnq x t( ) takyj, wo
x ( 0 ) = y0 . Danyj rozv’qzok za svo[g pobudovog prodovΩuvanyj vlivo i pry t =
= – p k0h naleΩyt\ δ -okolu xh
( – p k0 ) dlq dovil\noho natural\noho p , de xk
h
— obmeΩenyj rozv’qzok systemy�(2), wo fihuru[ v teoremi. Tomu vin neobme-
Ωeno prodovΩuvanyj vlivo i zadovol\nq[ nerivnist\ (9), a otΩe, [ obmeΩenym.
Joho prodovΩuvanist\ vpravo j obmeΩenist\ pry t ≥ 0 oçevydni.
Teoremu dovedeno.
3.2. Dysypatyvnist\ riznycevyx system. Nexaj rozv’qzky systemy (1) vy-
znaçeni pry t ≥ 0. Rozhlqnemo pytannq, pov’qzani z dysypatyvnistg system (1) i
(2). Dysypatyvnist\ system (1) i (2) budemo rozumity v sensi nastupnyx oznaçen\.
Oznaçennq 1 [6]. Systemu (1) nazvemo dysypatyvnog pry t ≥ 0, qkwo is-
nu[ çyslo R > 0 take, wo dlq dovil\noho r > 0 isnu[ take T = T ( r , t0 ) , wo
rozv’qzok x ( t , t0 , x0 ) systemy (1) takyj, wo | x0 | < r, t0 ≥ 0, pry t ≥ T zado-
vol\nq[ nerivnist\
| x ( t , t0 , x0 ) | < R .
Oznaçennq 2. Systemu (2) nazvemo dysypatyvnog pry k ≥ 0, qkwo isnu[
R ( h ) take, wo dlq dovil\noho r > 0 moΩna vkazaty take T = T ( t0 , r , h ) , wo
rozv’qzok xk
h systemy (2) pry kh ≥ T znaxodyt\sq v kuli radiusa R : xk
h ∈ UR ,
qkwo xh
0 ∈ Ur .
Oznaçennq 3. Systemu (2) nazvemo rivnomirno dysypatyvnog po h ≤ h0 ,
qkwo v oznaçenni,2 R ta T ne,zaleΩat\ vid h .
Nastupnyj rezul\tat [ analohom umov dysypatyvnosti system dyferencial\-
nyx rivnqn\ u terminax funkci] Lqpunova [6] dlq system riznycevyx rivnqn\.
Ma[ misce taka teorema.
Teorema 2. Qkwo systema (2) dlq kroku h > 0 ma[ nevid’[mnu funkcig Lq-
punova Vh ( t , x ) , vyznaçenu v oblasti t ≥ t0 , x ∈ R
n, taku, wo:
1) vykonu[t\sq umova
inf ( , )
;k x R hV t kh x
∈ | |≥+
+
Z
0 = Vh , R → ∞ , R → ∞ ; (10)
2) isnugt\ C = C ( h ) > 0 ta C1 = C1 ( h ) > 0 taki, wo
Vh ( t0 + ( k + 1) h , x + h X ( k h , x ) ) – Vh ( t0 + k h , x ) ≤
≤ – C ( h ) Vh ( t0 + k h , x ) h + C1 ( h ) h ,
to systema (2) dysypatyvna dlq danoho h > 0 pry umovi C ( h ) h < 2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
DYSYPATYVNIST| DYFERENCIAL|NYX TA VIDPOVIDNYX … 1253
Qkwo Ω v umovax teoremy V ( t , x ) , C1 ta C ne,zaleΩat\ vid h i spivvid-
noßennq (10) vykonu[t\sq rivnomirno po h ≤ h0 , to systema (2) rivnomirno
dysypatyvna.
Dovedennq. Nexaj xk
h — rozv’qzok systemy (2) takyj, wo xh
0 = x0 ∈ Ur .
Todi
Vh ( t0 + k h , x + h X (( k – 1 ) h , x ) ) ≤ ( 1 – C ( h ) h ) Vh ( t0 + ( k – 1 ) h , x ) + C1 ( h ) h
dlq dovil\noho k ∈ Z+ . Zvidsy otrymu[mo
Vh ( t0 + k h , x + h X (( k – 1 ) h , x ) ) ≤ ( 1 – C ( h ) h ) Vh ( t0 + ( k – 1 ) h , x ) + C1 ( h ) h ≤
≤ ( 1 – C ( h ) h )2 Vh ( t0 + ( k – 2 ) h , x ) + C1 ( h ) h ( 1 – C ( h ) h ) + C1 ( h ) h ≤ …
… ≤ ( 1 – C ( h ) h )k Vh ( t0 , x0 ) + C h h C h h i
i
k
1
0
1
1( ) ( )−( )
=
−
∑ ≤
≤ ( 1 – C ( h ) h )k Vh ( t0 , x0 ) +
C h
C h
1( )
( )
≤ sup ( , ) ( )
| |<
−( )
x r
h
kV t x C h h
0
0 0 1 +
C h
C h
1( )
( )
.
Tomu isnu[ T = T ( r , t0 , h ) take, wo pry kh ≥ T vykonu[t\sq nerivnist\
V t kh xh k
h
0 +( ), ≤
C h
C h
1( )
( )
+ 1. (11)
Z (11) za umovog (10) vyplyva[ dovedennq perßo] çastyny teoremy.
Dovedennq druho] çastyny teoremy oçevydnym çynom otrymu[t\sq z perßo] z
uraxuvannqm rivnomirnosti po h ≤ h0 spivvidnoßennq (10).
Nastupna teorema stverdΩu[ isnuvannq dlq dysypatyvno] systemy funkci]
Lqpunova z vlastyvostqmy 1,�2 z teoremy�2 i [ analohom vidpovidno] teoremy z [6]
dlq riznycevyx rivnqn\. Prypustymo, wo X ( t , x) lipßyceva po x z konstantog L .
Teorema 3. Qkwo systema (2) [ dysypatyvnog v sensi oznaçennq�2, to dlq
ne] v oblasti t ≥ t0 , x ∈ R
n isnu[ nevid’[mna funkciq Lqpunova Vh ( t , x ) , wo za-
dovol\nq[ po x lokal\nu umovu Lipßycq i:
1) vykonu[t\sq umova
inf ( , )
,t t x R hV t x
≥ | |≥0
→ ∞ , R → ∞ ; (12)
2) isnu[ C ( h ) > 0 take, wo
Vh ( t + h , x + h X ( t , x ) ) – Vh ( t , x ) ≤ – C ( h ) h Vh ( t , x ) (13)
i C ( h ) h < 2, qkwo h ≤ 2. Pry,c\omu dlq h ≤ h0 , de h0 — rozv’qzok rivnqnnq
1 − −e
h
h
= 1
2
, stalu C ( h ) moΩna vzqty rivnog 1
2
.
Qkwo systema (2) [ rivnomirno dysypatyvnog po h , to funkciq Lqpunova
V ( t , x ) ne,zaleΩyt\ vid h .
Dovedennq. Oskil\ky systema (2) [ dysypatyvnog, to isnu[ take T =
= T ( t0 , r , h ), wo dlq rozv’qzku, qkyj vyxodyt\ iz xh
0 ∈ Ur , ma[mo || ||xk
h ≤ R
pry kh ≥ t0 + T.
Rozhlqnemo teper nastupnu funkcig:
G ( ξ ) =
ξ ξ
ξ
− ≥
≤ <
T T
T
, ,
, .0 0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1254 O.�M.�STANÛYC|KYJ, A.�M.�TKAÇUK
Ce nevid’[mna neperervna funkciq, vyznaçena dlq ξ ≥ 0 i G ( ξ ) → ∞ , ξ → ∞ ,
ta
G G( )ξ ξ ξ ξ− ′( ) ≤ − ′ . (14)
Vyznaçymo Vh ( t , x ) tak:
Vh ( t , x ) = sup ( , , )
,n nh T
nhG x t nh x t e
≥ ≤
+( )[ ]
0
.
Zvidsy
G x|| ||( ) ≤ Vh ( t , x ) ,
a otΩe, Vh ( t , x ) zadovol\nq[ umovu (12).
Teper pokaΩemo, wo Vh ( t , x ) lipßyceva za zminnog x . Poznaçymo
V t x G x t nh x t eh
n nh( )( , ) ( , , )= +( ) .
Vraxovugçy (14), ma[mo
V t x V t xh
n
h
n( ) ( )( , ) ,− ′( ) ≤ G x t nh x t e G x t nh x t enh nh( , , ) ˜( , , )+( ) − + ′( ) ≤
≤ e x t nh x t x t nh x tnh ( , , ) ˜( , , )+ − + ′ .
Oskil\ky rozv’qzky systemy (2) moΩna podaty u vyhlqdi
x x h X t ph xk
h
p
h
p
k
= + +( )
=
−
∑ ,
0
1
,
˜ , ˜x x h X t ph xk
h
p
h
p
k
= ′ + +( )
=
−
∑
0
1
,
de xh
0 = x , x̃ xh
0 = ′ , to matymemo
V t x V t xh
n
h
n( ) ( )( , ) ,− ′( ) ≤ e x x h X t ph x X t ph xnh
p
h
p
h
p
k
− ′ + +( ) − +( )
=
−
∑ , , ˜
0
1
≤
≤ e x x hL x xnh
p
h
p
h
p
k
− ′ + −
=
−
∑ ˜
0
1
.
Zvidsy ta z [1, s. 156] otrymu[mo
V t x V t xh
n
h
n( ) ( )( , ) ,− ′( ) ≤ x x Lh en nh− ′ +( )1 ≤ e x xT L( )+ − ′1 .
OtΩe,
V t x V t xh
n
h
n( ) ( )( , ) ,− ′( ) ≤ K x x− ′ .
Z ostann\o] nerivnosti ta z uraxuvannqm toho, wo riznycq supremumiv ne�pe-
revywu[ supremumu riznyci, vyplyva[ lipßycevist\ funkci] Vh ( t , x ) po x . Poka-
Ωemo vykonannq umovy�2 teoremy. Dali, qkwo h > 0, x′ = x ( t + h , x , t ) ta h m
take, wo
V t h xh
m( ) ,+ ′( ) = G x t h mh x t h emh( , , )+ + ′ +( ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
DYSYPATYVNIST| DYFERENCIAL|NYX TA VIDPOVIDNYX … 1255
i qkwo nh = mh + h , to
V t h xh
m( ) ,+ ′( ) = G x t nh x t e enh mh nh( , , )+( ) − ≤ V t x eh
n h( )( , ) − .
Perexodqçy v ostannij nerivnosti spoçatku do supremumu po n ( nh ≤ T ) sprava,
a potim do supremumu po m ( mh ≤ T ) zliva, otrymu[mo
V t h x V t x
h
V t x
e
h
h h
h
h+ ′( ) − ≤ −−, ( , )
( , ) 1.
OtΩe, vykonu[t\sq umova 2 teoremy z C ( h ) =
1 − −e
h
h
. Qkwo Ω vzqty h0
korenem rivnqnnq
1 − −e
h
h
= 1
2
, to vnaslidok monotonnoho spadannq funkci]
1 − −e
h
h
pry h > 0 dlq h < h0 otryma[mo nerivnist\
V t h x V t x h V t xh h h+ ′( ) − ≤ −, ( , ) ( , )
2
.
Druhe tverdΩennq teoremy [ oçevydnym.
Teorema 4. Nexaj X ( t , x ) vyznaçena j obmeΩena v oblasti t ≥ 0, x ∈ R
n
tak, wo
|| X ( t , x ) || ≤ M ,
M — deqka dodatna stala.
Todi qkwo v danij oblasti isnu[ neperervno dyferencijovna po t , x n e -
vid’[mna funkciq Lqpunova V ( t , x ), wo zadovol\nq[ po x umovu Lipßycq z
konstantog L , a takoΩ:
1) isnugt\ C > 0 i C1 > 0 taki, wo dlq bud\-qkoho t ≥ 0, x ∈ R
n, h > 0
V ( t + h , x + h X ( t , x ) ) – V ( t , x ) ≤ – C h V ( t , x ) + C1 h ; (15)
2) vykonu[t\sq umova
inf ( , )
,t x R
V t x
≥ | |>0
→ ∞ , R → ∞ , (16)
to systema dyferencial\nyx rivnqn\ (1) dysypatyvna pry t ≥ 0.
Dovedennq. Nexaj x ( t ) — rozv’qzok systemy (1). Vnaslidok (15) dlq rizny-
cevoho vidnoßennq spravdΩu[t\sq ocinka
V t h x t h V t x t
h
V t h x t h V t h x t h
h
h+ +( ) − ( ) = + +( ) − + +( ), ( ) , ( ) , ( ) , ( )
+
+
V t h x t h V t x t
h
L x t h x t h X t x t
h
h+ +( ) − ( ) ≤ + − + ( )( ), ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( )
–
– C V ( t , x ( t ) ) + C1 ∀t ≥ 0, x ∈ R
n. (17)
I oskil\ky
| x ( t + h ) – x ( t ) – h X ( t , x ( t ) ) | ≤ 2M h ,
to z (17) otrymu[mo nerivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1256 O.�M.�STANÛYC|KYJ, A.�M.�TKAÇUK
dV t x
dt
( , )
≤ – C V ( t , x ) + C2, C2 = C1 + 2L M ,
z qko] vyplyva[ ocinka
V ( t , x ( t ) ) ≤ V t x e C e dsC t t C t s
t
t
0 0 1
0
0
, ( ) ( )( ) +− − − −∫ =
= V t x
C
C
e
C
C
C t t
0 0
1 10, ( )( ) −
+− − .
Tomu isnu[ T = T ( t0 , x0 ) take, wo pry t ≥ T vykonu[t\sq nerivnist\
V ( t , x ( t ) ) ≤
C
C
1 + 1,
wo z uraxuvannqm (16) zaverßu[ dovedennq teoremy.
1. Mart¥ngk,D.,Y. Lekcyy po kaçestvennoj teoryy raznostn¥x uravnenyj / Pod red.
G.�A.�Mytropol\skoho. – Kyev: Nauk. dumka, 1972. – 246�s.
2. Karasyk,H.,Q. O soxranenyy peryodyçeskoho reßenyq pry perexode ot dyfferencyal\n¥x
uravnenyj k koneçno-raznostn¥m // Nauçn. dokl. v¥sß. ßk. Fyz.-mat. nauky. – 1958. – #�4. –
S.�43 – 46.
3. Skalkyna,M.,A. O svqzy meΩdu ustojçyvost\g reßenyj dyfferencyal\n¥x y koneçno-
raznostn¥x uravnenyj // Prykl. matematyka y mexanyka. – 1955. – 19, v¥p.�3. – S.�95 – 99.
4. Ateiwi A. M. To the problem on periodic solutions of one class of systems of difference equations //
Ukr. mat. Ωurn. – 1997. – 49, #�2. – S.�309 – 314.
5. Babenko,K.,Y. Osnov¥ çyslennoho analyza. – M.: Nauka, 1986. – 744�s.
6. Josydzava,T. Funkcyq Lqpunova y ohranyçennost\ reßenyj // Matematyka. – 1965.– 9, #�5.
– S.�95 – 127.
OderΩano 01.04.2005,
pislq doopracgvannq — 08.07.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3525 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:09Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c4/4459fb51cda312d7e2bcccd190be7ac4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35252020-03-18T19:56:51Z Dissipativity of differential equations and the corresponding difference equations Диссипативність диференціальних та відповідних їм різницевих рівнянь Stanzhitskii, A. N. Tkachuk, A. M. Станжицький, О. М. Ткачук, А. М. We establish conditions under which the existence of a bounded solution of a difference equation yields the existence of a bounded solution of the corresponding differential equation. We investigate the relationship between the dissipativities of differential and difference equations in terms of Lyapunov functions. Встановлено умови, при яких з існування обмеженого розв'язку різницевого рівняння випливає існування обмеженого розв'язку відповідного диференціального рівняння. Досліджено зв'язок між дисипативністю диференціальних та різницевих рівнянь у термінах функції Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3525 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 9 (2006); 1249–1256 Український математичний журнал; Том 58 № 9 (2006); 1249–1256 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3525/3787 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3525/3788 Copyright (c) 2006 Stanzhitskii A. N.; Tkachuk A. M. |
| spellingShingle | Stanzhitskii, A. N. Tkachuk, A. M. Станжицький, О. М. Ткачук, А. М. Dissipativity of differential equations and the corresponding difference equations |
| title | Dissipativity of differential equations and the corresponding difference equations |
| title_alt | Диссипативність диференціальних та відповідних їм різницевих рівнянь |
| title_full | Dissipativity of differential equations and the corresponding difference equations |
| title_fullStr | Dissipativity of differential equations and the corresponding difference equations |
| title_full_unstemmed | Dissipativity of differential equations and the corresponding difference equations |
| title_short | Dissipativity of differential equations and the corresponding difference equations |
| title_sort | dissipativity of differential equations and the corresponding difference equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3525 |
| work_keys_str_mv | AT stanzhitskiian dissipativityofdifferentialequationsandthecorrespondingdifferenceequations AT tkachukam dissipativityofdifferentialequationsandthecorrespondingdifferenceequations AT stanžicʹkijom dissipativityofdifferentialequationsandthecorrespondingdifferenceequations AT tkačukam dissipativityofdifferentialequationsandthecorrespondingdifferenceequations AT stanzhitskiian dissipativnístʹdiferencíalʹnihtavídpovídnihímríznicevihrívnânʹ AT tkachukam dissipativnístʹdiferencíalʹnihtavídpovídnihímríznicevihrívnânʹ AT stanžicʹkijom dissipativnístʹdiferencíalʹnihtavídpovídnihímríznicevihrívnânʹ AT tkačukam dissipativnístʹdiferencíalʹnihtavídpovídnihímríznicevihrívnânʹ |