On Artinian rings satisfying the Engel condition
Let $R$ be an Artinian ring, not necessarily with a unit element, and let $R^{\circ}$ be the group of all invertible elements of $R$ under the operation $a \circ b = a + b + ab.$ We prove that $R^{\circ}$ is a nilpotent group if and only if it is an Engel group and the ring $R$ modulo its Jacobson...
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3527 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509634042789888 |
|---|---|
| author | Evstaf’ev, R. Yu. Евстафьев, Р. Ю. Евстафьев, Р. Ю. |
| author_facet | Evstaf’ev, R. Yu. Евстафьев, Р. Ю. Евстафьев, Р. Ю. |
| author_sort | Evstaf’ev, R. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:51Z |
| description | Let $R$ be an Artinian ring, not necessarily with a unit element, and let $R^{\circ}$ be the group of all invertible elements of $R$ under the operation $a \circ b = a + b + ab.$
We prove that $R^{\circ}$ is a nilpotent group if and only if it is an Engel group and the ring $R$ modulo its Jacobson radical is commutative. In particular,
the group $R^{\circ}$ is nilpotent if it is weakly nilpotent or $n$-Engel for some positive integer $n$. We also establish that $R$ is a strictly Lie-nilpotent ring if and only if R is an
Engel ring and $R$ modulo its Jacobson radical is commutative.
Нехай $R$ — артінове кільце, необов'язково з одиницею, i $R^{\circ}$ — група оборотних елементів кільця $R$ відносно операції $a \circ b = a + b + ab.$ |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.1
R. G. Evstaf\ev (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
OB ARTYNOVÁX KOL|CAX,
UDOVLETVORQGWYX USLOVYQM ∏NHELEVOSTY
Let R be an Artinian ring, not necessarily with a unit element, and let R� be the group of all invertible
elements of R under the operation a b a b ab� = + + . We prove that R� is a nilpotent group if and
only if it is an Engel group and the ring R modulo its Jacobson radical is commutative. In particular,
the group R� is nilpotent if it is weakly nilpotent or n-Engel for some positive integer n. We also
establish that R is a strictly Lie-nilpotent ring if and only if R is an Engel ring and R modulo its
Jacobson radical is commutative.
Nexaj R — artinove kil\ce, neobov’qzkovo z odynyceg, i R�
— hrupa oborotnyx elementiv kil\-
cq R vidnosno operaci] a b a b ab� = + + . Dovedeno, wo hrupa R�
todi i til\ky todi nil\po-
tentna, koly vona enheleva i faktor-kil\ce kil\cq R po joho radykalu DΩekobsona komutatyv-
ne. Zokrema, R�
nil\potentna, qkwo vona slabko nil\potentna abo n-enheleva dlq deqkoho do-
datnoho ciloho çysla n. TakoΩ vstanovleno, wo kil\ce R stroho Li-nil\potentne todi i til\ky
todi, koly vono enheleve i faktor-kil\ce kil\cq R po joho radykalu DΩekobsona komutatyvne.
1.$$Vvedenye. Pust\ R — assocyatyvnoe kol\co, neobqzatel\no s edynycej.
MnoΩestvo vsex πlementov kol\ca R obrazuet poluhruppu Rad
s edynyçn¥m
πlementom 0 otnosytel\no operacyy prysoedynennoho umnoΩenyq a b� =
= a b ab+ + dlq vsex πlementov a y b yz R . Hruppa vsex obratym¥x πlemen-
tov πtoj poluhrupp¥ naz¥vaetsq prysoedynennoj hruppoj kol\ca R y obozna-
çaetsq çerez R� . Esly R ymeet edynycu, to 1 + R�
sovpadaet s mul\typlyka-
tyvnoj hruppoj R∗
kol\ca R y otobraΩenye r r� 1 + dlq r R∈ �
qvlqetsq
yzomorfyzmom R�
na R∗ .
Hruppovoj kommutator πlementov r y s yz R�
budem oboznaçat\ çerez
( , )r s . Dlq πlementov r r Rn1, ,… ∈ �
kommutator ( , , )r rn1 … opredelqetsq po
yndukcyy ( , , )r rn1 … = (( , , ), )r r rn n1 1… − dlq kaΩdoho natural\noho n ≥ 3. Tak-
Ωe opredelym dlq proyzvol\noho natural\noho n kommutator vyda ( , )r sn =
= ( , , , )r s s… , hde s povtorqetsq n raz. Napomnym, çto hruppa G naz¥vaetsq
nyl\potentnoj, esly ( , , )r rn1 0… = dlq vsex r rn1, ,… yz G y nekotoroho n.
Odnymy yz hlavn¥x obobwenyj ponqtyq nyl\potentnosty qvlqgtsq lokal\naq
nyl\potentnost\ y πnhelevost\. Hovorqt, çto hruppa lokal\na nyl\potentna,
esly vse ee koneçnoporoΩdenn¥e podhrupp¥ nyl\potentn¥. V πtoj rabote m¥
takΩe rassmotrym bolee ßyrokyj klass hrupp, v kotor¥x kaΩd¥e dva πlementa
poroΩdagt nyl\potentnug podhruppu. Takye hrupp¥ V.=H.=Vylqcer [1] nazval
slabo nyl\potentn¥my. Hruppa G naz¥vaetsq n-πnhelevoj, esly ( , )r sn = 0
dlq kaΩdoj par¥ πlementov r y s yz G. Esly Ωe poslednee sootnoßenye v¥-
polnqetsq dlq lgb¥x πlementov r y s pry nekotorom n, zavysqwem ot πtyx
πlementov, to hruppa naz¥vaetsq πnhelevoj. Oçevydno, çto kaΩdaq slabo nyl\-
potentnaq hruppa qvlqetsq πnhelevoj.
Yzvestno, çto suwestvugt slabo nyl\potentn¥e hrupp¥, ne qvlqgwyesq lo-
kal\no nyl\potentn¥my (sm. [2]). V to Ωe vremq, po-vydymomu, neyzvestno, sov-
padagt ly klass¥ slabo nyl\potentn¥x y πnhelev¥x hrupp. Otmetym ewe, çto
rqdom avtorov b¥ly najden¥ uslovyq, pry kotor¥x πnheleva hruppa obqzatel\-
no lokal\no nyl\potentna. Odnym yz takyx uslovyj qvlqetsq uslovye myny-
mal\nosty dlq podhrupp (V.=H.=Vylqcer [1]).
Po analohyy s hruppamy moΩno predpoloΩyt\, çto esly kol\co udovletvo-
rqet nekotoromu uslovyg mynymal\nosty (naprymer, uslovyg mynymal\nosty
© R. G. EVSTAF|EV, 2006
1264 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
OB ARTYNOVÁX KOL|CAX, UDOVLETVORQGWYX USLOVYQM ∏NHELEVOSTY 1265
dlq prav¥x ydealov), to yz πnhelevosty prysoedynennoj hrupp¥ budet sledo-
vat\ ee lokal\naq nyl\potentnost\ yly daΩe nyl\potentnost\. Zametym, çto
yz v¥polnenyq v kol\ce uslovyq mynymal\nosty dlq prav¥x ydealov ne sledu-
et, çto prysoedynennaq hruppa udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq
podhrupp.
Napomnym, çto kol\co naz¥vaetsq artynov¥m sprava (neterov¥m sprava),
esly v πtom kol\ce v¥polneno uslovye mynymal\nosty (uslovye maksymal\nos-
ty) dlq prav¥x ydealov. Vezde v rabote pod artynov¥m (neterov¥m) kol\com bu-
dem podrazumevat\ artynovo sprava (neterovo sprava) kol\co. Radykal DΩekob-
sona y centr kol\ca R budem oboznaçat\ çerez J ( R ) y Z ( R ) sootvetstvenno.
Kol\co R s edynycej naz¥vaetsq lokal\n¥m, esly faktor-kol\co R / J ( R ) qv-
lqetsq telom. Otmetym, çto artynov¥ kol\ca s nyl\potentnoj prysoedynennoj
hruppoj detal\no yssledovalys\ v rabotax [3, 4]. V çastnosty, v poslednej yz
nyx dokazano, çto v artynovom kol\ce R, poroΩdaemom mnoΩestvom Z R( ) + R�,
prysoedynennaq hruppa R�
nyl\potentna tohda y tol\ko tohda, kohda R — prq-
maq summa koneçnoho çysla ydealov, kaΩd¥j yz kotor¥x qvlqetsq lybo nyl\-
potentn¥m kol\com, lybo lokal\n¥m kol\com s nyl\potentnoj mul\typly-
katyvnoj hruppoj. Kak sledstvye, b¥lo ustanovleno, çto esly artynovo kol\co
R poroΩdaetsq mnoΩestvom Z R R( ) + � , to prysoedynennaq hruppa R�
nyl\-
potentna v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda R nyl\potentno kak kol\co Ly.
V rabote [5] (teorema=6.2) b¥lo pokazano, çto πnheleva prysoedynennaq hrup-
pa R�
artynova kol\ca R nyl\potentna, esly faktor-kol\co R / J ( R ) razlo-
Ωymo v prqmug summu polej, kaΩdoe yz kotor¥x alhebrayçno nad svoym pros-
t¥m podpolem. V nastoqwej rabote πtot rezul\tat obobwaetsq na sluçaj, koh-
da faktor-kol\co artynova kol\ca po eho radykalu DΩekobsona kommutatyvno.
Krome toho, dokaz¥vaetsq, çto yz nekotoroj obobwennoj nyl\potentnosty pry-
soedynennoj hrupp¥ artynova kol\ca faktyçesky sleduet ee nyl\potentnost\.
Teorema$A. Pust\ R — artynovo kol\co y J ( R ) — radykal DΩekobsona
kol\ca R . Prysoedynennaq hruppa R�
tohda y tol\ko tohda nyl\potentna,
kohda ona πnheleva y faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno.
Yz teorem¥=A y lemm¥=2.5 neposredstvenno v¥tekaet sledugwee utverΩde-
nye.
Sledstvye$A. Pust\ R — artynovo kol\co. Esly prysoedynennaq hruppa
R�
slabo nyl\potentna yly n-πnheleva dlq nekotoroho natural\noho n , to
ona nyl\potentna.
MoΩno predpoloΩyt\, çto uslovye kommutatyvnosty faktor-kol\ca
R / J ( R ) v teoreme=A ne qvlqetsq suwestvenn¥m y, takym obrazom, ymeet mesto
sledugwaq obwaq hypoteza otnosytel\no artynov¥x kolec.
Hypoteza$1.1. Esly prysoedynennaq hruppa artynova kol\ca udovletvorqet
uslovyg πnhelevosty, to ona nyl\potentna.
Vproçem, rassuΩdenyq, yspol\zuem¥e v nastoqwej rabote, pozvolqgt pod-
tverdyt\ πtu hypotezu polnost\g v sluçae poloΩytel\noho otveta na sledug-
wyj vopros.
Vopros$1.1. Budet ly telo s πnhelevoj mul\typlykatyvnoj hruppoj kommu-
tatyvno?
Sredy rabot v πtom napravlenyy otmetym rabotu [6], v kotoroj dokazano, çto
telo so slabo nyl\potentnoj mul\typlykatyvnoj hruppoj kommutatyvno.
KaΩdoe assocyatyvnoe kol\co R moΩet b¥t\ rassmotreno kak kol\co Ly
otnosytel\no operacyy [ , ]a b ab ba= − dlq vsex a b R, ∈ , kotoroe naz¥vaetsq
kol\com Ly, assocyyrovann¥m s R . Zametym, çto po analohyy s hruppamy
moΩno opredelyt\ Ly-nyl\potentn¥e, n-πnhelev¥ y πnhelev¥ kol\ca, esly v
sootvetstvugwem opredelenyy hruppovoj kommutator zamenyt\ Ly-kommutato-
rom. Kol\co R naz¥vaetsq lokal\no Ly-nyl\potentn¥m, esly kaΩdoe koneç-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1266 R. G. EVSTAF|EV
noporoΩdennoe podkol\co v R Ly-nyl\potentno. Qsno, çto v πtom sluçae R
lokal\no nyl\potentno kak kol\co Ly. TakΩe opredelym slabo Ly-nyl\po-
tentn¥e kol\ca, t. e. kol\ca, v kotor¥x kaΩd¥e dva πlementa poroΩdagt Ly-
nyl\potentnoe podkol\co. Zametym, çto sohlasno rezul\tatu Rajly y Uylsona
[7] kaΩdoe koneçnoporoΩdennoe n-πnhelevo kol\co Ly-nyl\potentno y, sle-
dovatel\no, kaΩdoe n-πnhelevo kol\co lokal\no Ly-nyl\potentno.
Po analohyy s teoremoj=A moΩno predpoloΩyt\, çto esly artynovo kol\co
R udovletvorqet uslovyg πnhelevosty y faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyv-
no, to R Ly-nyl\potentno. Bolee toho, nyΩe budet pokazano, çto v πtom slu-
çae kol\co R Ly-nyl\potentno v bolee syl\nom sm¥sle, a ymenno: pust\
γ1( )R R= y γ i R+1( ) — ydeal, poroΩdenn¥j mnoΩestvom [ ]( ),γ i R R dlq
kaΩdoho natural\noho i ≥ 1. Hovorqt, çto kol\co R stroho Ly-nyl\potent-
no, esly γ n R( ) = 0 dlq nekotoroho n. Qsno, to esly kol\co stroho Ly-nyl\-
potentno, to ono y Ly-nyl\potentno. Obratnoe utverΩdenye ne vsehda ymeet
mesto. Sootvetstvugwyj prymer b¥l postroen v rabote [8].
Teorema$B. Pust\ R — artynovo kol\co y J ( R ) — radykal DΩekobsona
kol\ca R . Kol\co R stroho Ly-nyl\potentno tohda y tol\ko tohda, kohda
ono πnhelevo y faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno.
Yz teorem¥=V y lemm¥=2.5 v¥tekaet sledugwyj rezul\tat.
Sledstvye$B. Pust\ R — artynovo kol\co. Esly kol\co R slabo Ly-
nyl\potentno yly n-πnhelevo dlq nekotoroho natural\noho n , to ono stroho
Ly-nyl\potentno.
Vproçem, kak pokaz¥vaet sledugwee utverΩdenye, dlq artynov¥x kolec po-
nqtyq Ly-nyl\potentnosty y strohoj Ly-nyl\potentnosty πkvyvalentn¥.
Sledstvye$C. Pust\ R — artynovo kol\co. Kol\co R Ly-nyl\potent-
no tohda y tol\ko tohda, kohda R stroho Ly-nyl\potentno.
Kak y v sluçae teorem¥=A, moΩno v¥dvynut\ hypotezu, çto uslovye kommuta-
tyvnosty faktor-kol\ca R / J ( R ) qvlqetsq neobqzatel\n¥m.
Hypoteza$1.2. Esly artynovo kol\co udovletvorqet uslovyg πnhelevosty,
to ono stroho Ly-nyl\potentno.
Otmetym, çto dlq ee dokazatel\stva v polnom obæeme neobxodymo otvetyt\
na sledugwyj vopros.
Vopros$1.2. Budet ly πnhelevo telo kommutatyvno?
NyΩe budet pokazano (sm. lemmu=2.4), çto esly kol\co s edynycej slabo Ly-
nyl\potentno, to mul\typlykatyvnaq hruppa πtoho kol\ca obqzatel\no slabo
nyl\potentna. Teper\, opyraqs\ na rabotu [6], poluçaem, çto kaΩdoe slabo Ly-
nyl\potentnoe telo kommutatyvno.
V rabote [5] b¥la postavlena sledugwaq problema: budet ly artynovo
kol\co s πnhelevoj prysoedynennoj hruppoj Ly-nyl\potentno? Neobxodymo
zametyt\, çto v obwem sluçae πto utverΩdenye neverno. Toçnee, esly artynovo
kol\co R s πnhelevoj prysoedynennoj hruppoj R�
ne poroΩdaetsq mnoΩest-
vom Z R R( ) + � , to ono neobqzatel\no budet Ly-nyl\potentn¥m. V kaçestve
prymera moΩno rassmotret\ kol\co verxnetreuhol\n¥x (2 × 2) -matryc nad
polem yz dvux πlementov. Esly Ωe πto uslovye v¥polnqetsq, to yz teorem¥=A y
rezul\tata, poluçennoho avtorom [4] (sledstvye=B), neposredstvenno v¥tekaet
sledugwee utverΩdenye.
Sledstvye$D. Pust\ R — artynovo kol\co, poroΩdennoe mnoΩestvom
Z R R( ) + �
. Esly prysoedynennaq hruppa R�
πnheleva y faktor-kol\co R / J ( R )
kommutatyvno, to kol\co R Ly-nyl\potentno.
Otmetym ewe, çto dlq polnoho reßenyq ukazannoj problem¥ neobxodymo
opqt\ Ωe otvetyt\ na vopros=1.1.
Vozvrawaqs\ k voprosu o stroenyy artynov¥x kolec, sformulyruem struk-
turnug teoremu dlq Ly-nyl\potentn¥x kolec.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
OB ARTYNOVÁX KOL|CAX, UDOVLETVORQGWYX USLOVYQM ∏NHELEVOSTY 1267
Teorema$C. Pust\ R — artynovo kol\co. Kol\co R Ly-nyl\potentno
tohda y tol\ko tohda, kohda R — prqmaq summa koneçnoho çysla ydealov, kaΩ-
d¥j yz kotor¥x qvlqetsq lybo nyl\potentn¥m kol\com, lybo Ly-nyl\potent-
n¥m lokal\n¥m kol\com.
Symvol R vsgdu v rabote budet oboznaçat\ assocyatyvnoe kol\co, neobqza-
tel\no s edynycej.
2. Dokazatel\stva teorem. Sohlasno teoreme Hrgnberha [9] kaΩdaq razre-
ßymaq πnheleva hruppa qvlqetsq lokal\no nyl\potentnoj. Opyraqs\ na πtot
fakt y uçyt¥vaq, çto radykal DΩekobsona artynova kol\ca nyl\potenten,
moΩno lehko poluçyt\ sledugwyj rezul\tat. Pust\ R — artynovo kol\co y
J ( R ) — radykal DΩekobsona kol\ca R. Esly prysoedynennaq hruppa R�
πnhe-
leva y faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno, to R�
lokal\no nyl\potentna.
Dlq kaΩdoho podmnoΩestva S kol\ca R budem oboznaçat\ çerez C SR( )
centralyzator S v R, t. e. C SR( ) =
r R rs sr s S∈ = ∈{ }dlq kaΩdoho . Dlq
addytyvn¥x podhrupp V y W kol\ca R oboznaçym çerez V W,[ ] addytyvnug
podhruppu v R, poroΩdennug vsemy Ly-kommutatoramy [ , ]v w dlq v ∈V y
w W∈ .
Lemma$2.1. Pust\ R — artynovo kol\co, v kotorom faktor-kol\co
R / J ( R ) kommutatyvno, y M — mynymal\n¥j ydeal v R. Esly prysoedynennaq
hruppa R�
πnheleva, to ona centralyzuet M, y esly R πnhelevo, to M
soderΩytsq v centre kol\ca R.
Dokazatel\stvo. Pust\ hruppa R�
πnheleva y faktor-kol\co R / J ( R )
kommutatyvno. Poskol\ku M ∩ J ( R ) qvlqetsq ydealom kol\ca R , vsledstvye
mynymal\nosty M ymeem lybo M ∩ J ( R ) = 0, lybo M ⊆ J ( R ) . PredpoloΩym
snaçala, çto M ∩ J ( R ) = 0. Poskol\ku faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno,
to [ M, R ] ⊆ J ( R ) . Krome toho, [ M, R ] ⊆ M y, sledovatel\no, [ M, R ] = 0 , t. e.
M soderΩytsq v centre kol\ca R .
Pust\ teper\ M ⊆ J ( R ) . DokaΩem, çto v πtom sluçae M soderΩytsq v
centre hrupp¥ R� . PredpoloΩym protyvnoe y pust\ m y a — πlement¥ soot-
vetstvenno yz M y R�
takye, çto ma am≠ . Poskol\ku radykal DΩekobsona
J ( R ) nyl\potenten, to M J ( R ) = 0. Dejstvytel\no, vsledstvye mynymal\nosty
M ymeem lybo M J ( R ) = M, lybo M J ( R ) = 0. Esly M J ( R ) = M, to
M = M J ( R ) = M J ( R )
2 = … = M J ( R )
k = 0,
tak kak J ( R )
k = 0 dlq nekotoroho çysla k . Poluçyly protyvoreçye, poskol\-
ku ydeal M nenulevoj. Sledovatel\no, M J ( R ) = 0.
Dalee, dlq kaΩdoho t yz R centralyzator C tM( ) πlementa t v M qvlqet-
sq ydealom v R . V samom dele, pust\ r R∈ y s M∈ . Yz kommutatyvnosty fak-
tor-kol\ca R / J ( R ) v¥tekaet, çto tr – rt ∈ J ( R ) y, sledovatel\no, ( tr – rt ) s =
= 0. Bolee toho, r s t rst rts rs t t rs tr rt s rs t[ , ] ( ) ( ) ( ) [ , ]= − = − + − = y analohyçno
[ , ] [ , ]s t r sr t= . Takym obrazom, x s t y xsy t[ , ] [ , ]= dlq lgb¥x πlementov x y y yz
R , t. e. C tM( ) — ydeal. Vsledstvye mynymal\nosty M poluçym C aM( ) = 0 .
Poskol\ku hruppa R�
πnheleva, suwestvuet naymen\ßee natural\noe çyslo
n so svojstvom ( , )m an+ =1 0 . No tohda ( , ) ( )m a C an M∈ y, znaçyt, C aM( ) ≠ 0.
Poluçyly protyvoreçye.
Pust\ teper\ R πnhelevo. PredpoloΩym, çto M soderΩytsq ne v centre.
Tohda najdutsq πlement¥ m M∈ y r R∈ takye, çto mr rm≠ . Kak y v¥ße,
ymeem C rM( ) = 0. Poskol\ku R πnhelevo, suwestvuet naymen\ßee natural\-
noe çyslo n so svojstvom [ , ]m rn+ =1 0. No tohda [ , ] ( )m r C rn M∈ y, sledova-
tel\no, C rM( ) ≠ 0. Poluçyly protyvoreçye.
Lemma dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1268 R. G. EVSTAF|EV
Dlq dal\nejßeho yzloΩenyq nam ponadobqtsq sledugwye try lemm¥.
Lemma$2.2. Pust\ R — kol\co vsex ( n × n ) -matryc nad telom D dlq n ≥
≥ 1. Esly mul\typlykatyvnaq hruppa R∗
m -πnheleva dlq nekotoroho natu-
ral\noho m yly slabo nyl\potentna, to n = 1 y D kommutatyvno.
Dokazatel\stvo. Dostatoçno zametyt\, çto mul\typlykatyvnaq hruppa
kol\ca ( n × n ) -matryc nad telom D tol\ko tohda m-πnheleva dlq nekotoroho
natural\noho m yly slabo nyl\potentna, kohda n = 1. UtverΩdenyq lemm¥
v¥tekagt yz [10] (lemma=4.1) y [6] (zameçanye).
Lemma dokazana.
Lemma$2.3. Pust\ R — assocyatyvnoe kol\co. Esly R udovletvorqet
uslovyg n-πnhelevosty dlq nekotoroho natural\noho n, to prysoedynennaq
hruppa R�
m-πnheleva dlq nekotoroho natural\noho m.
Dokazatel\stvo. Sm. [11] (teorema=3.2).
Lemma$2.4. Pust\ R — assocyatyvnoe kol\co. Esly R slabo Ly-nyl\po-
tentno, to prysoedynennaq hruppa R�
slabo nyl\potentna.
Dokazatel\stvo. V samom dele, pust\ r y s — proyzvol\n¥e πlement¥ yz
R� . Oboznaçym çerez S podkol\co v R , poroΩdennoe πtymy πlementamy. Po-
skol\ku R slabo Ly-nyl\potentno, to S Ly-nyl\potentno. Esly S ne soder-
Ωyt edynycu, to oboznaçym çerez � kol\co, poluçennoe prysoedynenyem for-
mal\noj edynyc¥ k kol\cu S, y � = S — v protyvnom sluçae. Kak pokazaly
N.=Hupta y F. Levyn [8], esly assocyatyvnoe kol\co s edynycej Ly-nyl\potent-
no, to eho mul\typlykatyvnaq hruppa nyl\potentna. Oçevydno, kol\co � Ly-
nyl\potentno y poπtomu hruppa �∗
y, znaçyt, hruppa ��
nyl\potentn¥. Krome
toho, hruppa, poroΩdennaq πlementamy r y s, qvlqetsq podhruppoj v �
�
y,
sledovatel\no, nyl\potentna. Takym obrazom, kaΩdaq podhruppa v R�
, poroΩ-
dennaq dvumq πlementamy, nyl\potentna, t. e. hruppa R�
slabo nyl\potentna.
Lemma dokazana.
Teper\ pokaΩem, çto esly prysoedynennaq hruppa R�
artynova kol\ca R
(yly samo kol\co R ) udovletvorqet nekotor¥m obobwenyqm nyl\potentnosty
(Ly-nyl\potentnosty), to faktor-kol\co R / J ( R ) obqzatel\no kommutatyvno.
Lemma$2.5. Pust\ R — artynovo kol\co. Tohda v kaΩdom yz sledugwyx
çet¥rex sluçaev faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno, y, sledovatel\no,
razloΩymo v prqmug summu polej:
1) prysoedynennaq hruppa R�
n-πnheleva dlq nekotoroho natural\noho n ;
2) prysoedynennaq hruppa R�
slabo nyl\potentna;
3) kol\co R n-πnhelevo dlq nekotoroho natural\noho n ;
4) kol\co R slabo Ly-nyl\potentno.
Dokazatel\stvo. 1. Yz teorem¥ Vedderberna – Artyna sleduet, çto
R / J ( R ) ≅ S1 � … � Sk , hde Si , i = 1, … , k, — polnoe matryçnoe kol\co nad
telom. Oçevydno, çto prysoedynennaq hruppa faktor-kol\ca R / J ( R ) yzo-
morfna faktor-hruppe hrupp¥ R�
po normal\noj podhruppe J R( )� . Poπtomu
faktor-hruppa R J R� �/ ( ) yzomorfna prqmomu proyzvedenyg hrupp Si
� . Po-
skol\ku hruppa R�
n-πnheleva, hruppa Si
�
y, znaçyt, hruppa Si
∗
n -πnhelev¥
dlq kaΩdoho i . Teper\ zametym, çto v sylu lemm¥=2.2 kaΩdaq prostaq kompo-
nenta Si qvlqetsq polem.
2. RassuΩdaq, kak v p.=1, y prymenqq lemmu=2.2, poluçaem trebuemoe utverΩ-
denye.
3. UtverΩdenye neposredstvenno sleduet yz lemm¥=2.3 y p. 1.
4. UtverΩdenye sleduet yz lemm¥=2.4 y p. 2.
Napomnym, çto annulqtorom kol\ca R naz¥vaetsq mnoΩestvo vsex πlemen-
tov a R∈ , dlq kotor¥x aR = Ra = 0. Sledugwee utverΩdenye qvlqetsq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
OB ARTYNOVÁX KOL|CAX, UDOVLETVORQGWYX USLOVYQM ∏NHELEVOSTY 1269
sledstvyem yzvestn¥x rezul\tatov o kvazycyklyçeskyx podhruppax addytyvnoj
hrupp¥ artynova kol\ca (sm., naprymer, [12] (lemma=122.5, teorema=123.3)).
Lemma$2.6. Esly R — artynovo kol\co y N — eho annulqtor, to faktor-
kol\co R / N neterovo.
Çerez γ n R( )� oboznaçym n-j çlen nyΩneho central\noho rqda hrupp¥ R�
.
Dokazatel\stvo teorem¥$A. Pust\ hruppa R�
πnheleva y faktor-kol\-
co R / J ( R ) kommutatyvno. Sohlasno lemme=2.6 v faktor-kol\ce R = R / N v¥-
polnqetsq uslovye maksymal\nosty dlq prav¥x ydealov.
Esly R = 0, to R N= y, znaçyt, R�
— abeleva hruppa. PredpoloΩym,
çto R ≠ 0. Poskol\ku R artynovo y neterovo odnovremenno, to v kol\ce R
suwestvuet kompozycyonn¥j rqd (sm., naprymer, [13], teorema=6.1.2)
R L L J R L L Nk k= … … =+0 1 1� � � � � �( ) ,
v kotorom Ln+1 — ydeal, maksymal\n¥j v Ln , n = 0, … , k . Faktoryzuq po
Ln+1, poluçaem, çto L Ln n/ +1 — mynymal\n¥j ydeal faktor-kol\ca R Ln/ +1.
Teper\ pokaΩem, çto hruppa ( / )R Ln+1
�
πnheleva. Dejstvytel\no, esly yde-
al Ln+1 soderΩyt J ( R ) , to R L R J R L J Rn n/ ( / ) ( / )( ) ( )+ +≅1 1 . Poskol\ku
faktor-kol\co R J R/ ( ) kommutatyvno, to hruppa ( / )R Ln+1
�
abeleva. Esly Ωe
Ln+1 leΩyt v J ( R ) , to, oçevydno, ymeem ( / ) /R L R Ln n+ +≅1 1
� � �
y, znaçyt,
hruppa ( / )R Ln+1
�
πnheleva.
Sohlasno lemme=2.1 kaΩd¥j πlement yz L Ln n/ +1 perestanovoçen s kaΩd¥m
πlementom yz ( / )R Ln+1
�
y, znaçyt, dlq kaΩdoho r Ln∈ �
y dlq kaΩdoho s R∈ �
ymeem ( , )r s Ln∈ +1
� . Teper\ lehko vydet\, çto γ γ2 1 1( ) ( ), ,R L R Ln n
� �⊆ … ⊆+
dlq kaΩdoho n . No tohda γ k R+ =3 0( )� y, sledovatel\no, hruppa R�
nyl\po-
tentna.
Teorema dokazana.
Dokazatel\stvo sledstvyq A. Poskol\ku n-πnhelev¥ y slabo nyl\po-
tentn¥e hrupp¥ qvlqgtsq πnhelev¥my, utverΩdenye sleduet yz teorem¥=A y
lemm¥=2.5.
Dokazatel\stvo teorem¥$B. Pust\ kol\co R πnhelevo y faktor-kol\co
R / J ( R ) kommutatyvno. Esly R sovpadaet s N, to kol\co R kommutatyvno. V
protyvnom sluçae v kol\ce R moΩno postroyt\ kompozycyonn¥j rqd
R L L L L Nk k= … =+0 1 1� � � � ,
v kotorom Ln+1 — ydeal, maksymal\n¥j v Ln , n = 0, … , k . Krome toho, fak-
tor L Ln n/ +1 qvlqetsq mynymal\n¥m ydealom faktor-kol\ca R Ln/ +1.
Sohlasno lemme=2.1 ydeal L Ln n/ +1 soderΩytsq v centre kol\ca R Ln/ +1 y
poπtomu L R Ln n,[ ] ⊆ +1 dlq kaΩdoho n . Poskol\ku R R L,[ ] ⊆ 1, to γ 2( )R ⊆
⊆ L1. Analohyçno poluçaem, çto γ γ3
2
2
1( ) , , ( )R L R Lm
m⊆ … ⊆+
+ dlq kaΩdoho
natural\noho m . No tohda γ k R+ =3 0( ) y, znaçyt, kol\co R stroho Ly-nyl\-
potentno.
Teorema dokazana.
Dokazatel\stvo sledstvyq B. Poskol\ku n-πnhelev¥ y slabo Ly-nyl\po-
tentn¥e kol\ca qvlqgtsq πnhelev¥my, utverΩdenye sleduet yz teorem¥=B y
lemm¥=2.5.
Napomnym, çto kol\co naz¥vaetsq prqmo nerazloΩym¥m, esly πto kol\co
nel\zq predstavyt\ v vyde prqmoj summ¥ dvux nenulev¥x ydealov. Ydempoten-
t¥ 0 y 1 naz¥vagtsq tryvyal\n¥my.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1270 R. G. EVSTAF|EV
Lemma$2.7. Esly kol\co R prqmo nerazloΩymo, to v centre kol\ca R le-
Ωat tol\ko tryvyal\n¥e ydempotent¥.
Dokazatel\stvo. Zametym, çto esly e — central\n¥j ydempotent, to
kol\co R razlahaetsq v prqmug summu ydealov R eR V= � , hde V = {r er−
r R∈ }. Poskol\ku R prqmo nerazloΩymo, to lybo eR = 0, lybo V = 0. V per-
vom sluçae zaklgçaem, çto e = 0. Esly Ωe V = 0, to dlq kaΩdoho r R∈
ymeem r = re = er y, znaçyt, e — edynyca kol\ca R .
Lemma dokazana.
Sledugwyj rezul\tat soderΩytsq v [14] (lemma=1.2).
Lemma$2.8. Esly kol\co R Ly-nyl\potentno, to kaΩd¥j ydempotent
kol\ca R qvlqetsq central\n¥m.
Dokazatel\stvo teorem¥ C. PredpoloΩym, çto kol\co R Ly-nyl\po-
tentno. Poskol\ku kol\co R artynovo, ono qvlqetsq prqmoj summoj koneçno-
ho çysla prqmo nerazloΩym¥x kolec
R = R Rn1 � �… . (2.1)
Dalee, tak kak kaΩdoe kol\co Ri Ly-nyl\potentno, to v sylu lemm=2.7 y 2.8 ono
soderΩyt tol\ko tryvyal\n¥e ydempotent¥ y poπtomu qvlqetsq lybo nyl\-
potentn¥m, lybo lokal\n¥m kol\com. Vsledstvye toho çto prqmaq summa
nyl\potentn¥x kolec qvlqetsq opqt\ nyl\potentn¥m kol\com, poluçaem ut-
verΩdenye teorem¥.
Obratno, pust\ kol\co R — prqmaq summa koneçnoho çysla ydealov, kaΩ-
d¥j yz kotor¥x qvlqetsq lybo nyl\potentn¥m kol\com, lybo Ly-nyl\potent-
n¥m lokal\n¥m kol\com y ymeet razloΩenye (2.1). Qsno, çto v πtom sluçae
kol\co R Ly-nyl\potentno.
Teorema dokazana.
1. Vylqcer V. H. K teoryy lokal\no nyl\potentn¥x hrupp // Uspexy mat. nauk. – 1958. – 13,
# 2. – S. 163 – 168.
2. Holod E. S. Nekotor¥e problem¥ bernsajdovskoho typa // Materyal¥ MeΩdunar. mat.
konhr. – 1966. – S. 284 – 289.
3. Groza G. Artinian rings having a nilpotent group of units // J. Algebra. – 1989. – 121, # 2. –
P. 253 – 262.
4. Evstaf\ev R. G. Artynov¥ kol\ca s nyl\potentnoj prysoedynennoj hruppoj // Ukr. mat.
Ωurn. – 2006. – 58, # 3. – S. 417 – 426.
5. Ishchuk Yu. On associated groups of rings // London Math. Soc. Lect. Note Ser. – 2003. – 304. –
P. 284 – 293.
6. Xuzurbazar M. Y. Mul\typlykatyvnaq hruppa tela // Dokl. AN SSSR. – 1960. – 131, # 6. –
S. 1268 – 1271.
7. Riley D. M., Wilson M. C. Associative rings satisfying the Engel condition // Proc. Amer. Math.
Soc. – 1999. – 127, # 4. – P. 973 – 976.
8. Gupta N., Levin F. On the Lie ideals of a ring // J. Algebra. – 1983. – 81, # 1. – P. 225 – 231.
9. Gruenberg K. W. Two theorems on Engel groups // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1953. – 49. –
P. 377 – 380.
10. Amberg B., Sysak Ya. Semilocal rings with n-Engel multiplicative group // Arch. Math. – 2004. –
83. – P. 416 – 421.
11. Amberg B., Sysak Ya. Radical rings with Engel conditions // J. Algebra. – 2000. – 231. –
P. 364 – 373.
12. Fuks L. Beskoneçn¥e abelev¥ hrupp¥: V 2 t. – M.: Myr, 1977. – T. 2. – 416 s.
13. Kaß F. Moduly y kol\ca. – M.: Myr, 1981. – 368 s.
14. Bjork J. Conditions which imply that subrings of artinian rings are artinian // J. reine Math. – 1971.
– 247. – P. 123 – 138.
Poluçeno 17.08.2005,
posle dorabotky — 21.04.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3527 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:13Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/60/a8d2af7e228fe96b9786cb750a22f860.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35272020-03-18T19:56:51Z On Artinian rings satisfying the Engel condition Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости Evstaf’ev, R. Yu. Евстафьев, Р. Ю. Евстафьев, Р. Ю. Let $R$ be an Artinian ring, not necessarily with a unit element, and let $R^{\circ}$ be the group of all invertible elements of $R$ under the operation $a \circ b = a + b + ab.$ We prove that $R^{\circ}$ is a nilpotent group if and only if it is an Engel group and the ring $R$ modulo its Jacobson radical is commutative. In particular, the group $R^{\circ}$ is nilpotent if it is weakly nilpotent or $n$-Engel for some positive integer $n$. We also establish that $R$ is a strictly Lie-nilpotent ring if and only if R is an Engel ring and $R$ modulo its Jacobson radical is commutative. Нехай $R$ — артінове кільце, необов'язково з одиницею, i $R^{\circ}$ — група оборотних елементів кільця $R$ відносно операції $a \circ b = a + b + ab.$ Доведено, що група $R^{\circ}$ тоді і тільки тоді нільпо-тентна, коли вона енгелева і фактор-кільце кільця $R$ по його радикалу Джекобсона комутативне. Зокрема, $R^{\circ}$ нільпотентна, якщо вона слабко нільпотентна або $n$-енгелева для деякого додатного цілого числа $n$. Також встановлено, що кільце $R$ строго Лі-нільпотентне тоді і тільки тоді, коли воно енгелеве і фактор-кільце кільця R по його радикалу Джекобсона комутативне. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3527 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 9 (2006); 1264–1270 Український математичний журнал; Том 58 № 9 (2006); 1264–1270 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3527/3791 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3527/3792 Copyright (c) 2006 Evstaf’ev R. Yu. |
| spellingShingle | Evstaf’ev, R. Yu. Евстафьев, Р. Ю. Евстафьев, Р. Ю. On Artinian rings satisfying the Engel condition |
| title | On Artinian rings satisfying the Engel condition |
| title_alt | Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости |
| title_full | On Artinian rings satisfying the Engel condition |
| title_fullStr | On Artinian rings satisfying the Engel condition |
| title_full_unstemmed | On Artinian rings satisfying the Engel condition |
| title_short | On Artinian rings satisfying the Engel condition |
| title_sort | on artinian rings satisfying the engel condition |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3527 |
| work_keys_str_mv | AT evstafevryu onartinianringssatisfyingtheengelcondition AT evstafʹevrû onartinianringssatisfyingtheengelcondition AT evstafʹevrû onartinianringssatisfyingtheengelcondition AT evstafevryu obartinovyhkolʹcahudovletvorâûŝihusloviâméngelevosti AT evstafʹevrû obartinovyhkolʹcahudovletvorâûŝihusloviâméngelevosti AT evstafʹevrû obartinovyhkolʹcahudovletvorâûŝihusloviâméngelevosti |