On quadruples of projectors connected by a linear relation
We describe the set of γ ∈ ℝ for which there exist quadruples of projectors P i for a fixed collection of numbers $\alpha_i \in \mathbb{R}_+, \quad i = \overline{1,4} $, такі, що $\alpha_1 P_1 + \alpha_2 P_2 + \alpha_3 P_3 + \alpha_4 P_4 = \gamma I$.
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3531 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509637622628352 |
|---|---|
| author | Yusenko, K. A. Юсенко, К. А. |
| author_facet | Yusenko, K. A. Юсенко, К. А. |
| author_sort | Yusenko, K. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:56:51Z |
| description | We describe the set of γ ∈ ℝ for which there exist quadruples of projectors P i for a fixed collection of numbers $\alpha_i \in \mathbb{R}_+, \quad i = \overline{1,4} $, такі, що $\alpha_1 P_1 + \alpha_2 P_2 + \alpha_3 P_3 + \alpha_4 P_4 = \gamma I$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.98
K. A. Gsenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
PRO ÇETVIRKY PROEKTORIV,
POV’QZANYX LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM
∗∗∗∗
We describe the set of values γ ∈R for which there exist quadruples of projectors Pi , for a fixed
collection of numbers αi ∈ +R , i = 1 4, , such that α α α α γ1 1 2 2 3 3 4 4P P P P I+ + + = .
Opysano mnoΩynu tyx γ ∈R , pry qkyx isnugt\ çetvirky proektoriv Pi dlq fiksovanoho
naboru çysel αi ∈ +R , i = 1 4, , taki, wo α α α α γ1 1 2 2 3 3 4 4P P P P I+ + + = .
Vstup. Nexaj Mi = { }( ) ( ) ( )0 0 1= < < … <α α αi i
m
i
i
, i = 1, n , — zadani mnoΩyny v
R+ . Nabory samosprqΩenyx operatoriv A Ai i= ∗
zi spektramy σ( )Ai ⊂ Mi ta
sumog, kratnog skalqrnomu operatorovi, vyvçalysq v bahat\ox robotax (dyv.,
napryklad, bibliohrafig v [1]). Rozhlqdagçy taki operatory qk zobraΩennq
tvirnyx involgtyvno] alhebry, otrymu[mo ekvivalentnu zadaçu opysu nezvidnyx
∗ -zobraΩen\ alhebry
A M M Mn1 2, , , ;… γ = C a a a a R a a a a en i i i i n1 1 20… = = + + … + =∗, ( ) , γ ,
de Ri — anulggçyj polinom vidpovidno] tvirno] ai . Taka alhebra izomorfna
alhebri, porodΩenij naborom proektoriv
P M M Mn1 2, , , ;… γ = C p p p p p p pm
n
m
n
i
k
i
k
i
k
n1
1 1
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,… … … = = ∗
i
n
k
m
k
i
k
i
j
i
k
i
i
p e p p
= =
∑ ∑ = =
1 1
0α γ( ) ( ) ( ) ( ), .
Z koΩnog takog alhebrog moΩna pov’qzaty hraf Γ, qkyx ma[ n hilok, wo
sxodqt\sq v odnij verßyni (korin\ hrafa). KoΩna i -ta hilka hrafa mistyt\ mi
verßyn, vidmiçenyx çyslamy αi
k( ), k = 1, mi . Koreng hrafa stavyt\sq u vidpo-
vidnist\ çyslo γ (bil\ß detal\no pro zv’qzok zadaçi iz zobraΩennqmy hrafiv
dyv. [2]). Vektor χ = ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ; ; , ,α α α α1
1 1 1
1
… … …m n m
n
n
budemo nazyvaty xarak-
terom alhebry
P M M Mn1 2, , , ;… γ . Alhebra
P M M Mn1 2, , , ;… γ odnoznaçno zada[t\sq
svo]m hrafom, xarakterom χ ta çyslom γ . Dali budemo poznaçaty ]]
PΓ, ,χ γ . U
roboti [3] pokazano, wo nezaleΩno vid χ ta γ alhebra
PΓ, ,χ γ : 1) skinçennovy-
mirna, qkwo Γ — diahrama Dynkina typu Dn , E6 , E7 , E8 ; 2) neskinçennovymir-
na, polinomial\noho rostu, qkwo Γ — rozßyrena diahrama Dynkina D̃4 , Ẽ6 ,
Ẽ7 , Ẽ8; 3) dlq vsix inßyx hrafiv mistyt\ vil\nu alhebru z dvoma samosprqΩe-
nymy tvirnymy.
Pry vyvçenni ∗ -zobraΩen\ takyx alhebr pryrodno vynykagt\ zadaçi:
1a) opysaty mnoΩynu par ( χ ; γ ) , dlq qkyx alhebra
PΓ, ,χ γ ma[ ∗ -zobra-
Ωennq; taku mnoΩynu poznaçymo ΣΓ ;
∗∗∗∗
Çastkovo pidtrymano DerΩavnym fondom fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (hrant
#01.07/071).
© K. A. GSENKO, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 1289
1290 K. A. GSENKO
1b) dlq koΩnoho xaraktera χ opysaty mnoΩynu tyx γ, dlq qkyx alhebra
PΓ, ,χ γ ma[ ∗ -zobraΩennq; taku mnoΩynu poznaçymo ΣΓ,χ ;
2) dlq koΩno] pary ( χ ; γ ) ∈ ΣΓ opysaty vsi nezvidni, z toçnistg do unitarno]
ekvivalentnosti, ∗ -zobraΩennq alhebry PΓ, ,χ γ .
Struktura mnoΩyn ΣΓ , ΣΓ,χ ta ∗ -zobraΩen\
PΓ, ,χ γ sutt[vo zaleΩyt\ vid
hrafa Γ. Robotu [4] prysvqçeno zadaçam 1 ta 2 dlq zvyçajnyx diahram Dynki-
na. U vypadku, koly Γ — rozßyrena diahrama Dynkina, rqdom avtoriv bulo opy-
sano mnoΩyny ΣΓ,χ dlq special\nyx xarakteriv (dyv. bibliohrafig v [1]).
Povnyj opys mnoΩyny Σ
D̃4
navedeno u roboti [5]. Ale, nezvaΩagçy na te wo
mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ
[ pidmnoΩynog Σ
D̃4
, vyqvylosq, wo otrymaty ]] opys iz re-
zul\tativ roboty [5] nelehko.
U danij roboti navedeno bezposerednij opys mnoΩyny Σ ˜ ,D4 χ
. DoslidΩeno, v
qkyx vypadkax taka mnoΩyna [ neskinçennog (navedeno neobxidnu ta dostatng
umovu: vsi komponenty xarakteru χ = ( ; ; ; )α α α α1 2 3 4 zadovol\nqgt\ nerivnist\
αi < ( ) /α α α α1 2 3 4 2+ + + (p.E3)), wo dozvolylo, podibno do [5], doslidyty, u
qkyx vypadkax alhebra
P ˜ , ,D4 χ γ
ma[ zobraΩennq na hiperplowyni γ = (α1 +
+ α α α2 3 4 2+ + ) / (p.E3). Opysano strukturu mnoΩyny Σ ˜ ,D4 χ
dlq special\noho
xarakteru χδ = ( , , , )1 1 δ δ (p.E5).
1. DopomiΩni tverdΩennq. Nahada[mo, wo mnoΩyna moΩlyvyx znaçen\ γ ,
dlq qkyx isnugt\ trijky proektoriv P1 , P2 , P3 taki, wo α α α1 1 2 2 3 3P P P+ + =
= γ I, dlq fiksovanoho vporqdkovanoho za zrostannqm naboru αi ∈ R , i = 1, 2, 3,
opysu[t\sq formulog (dyv. [4])
ΣD4 1 2 3,( , , )α α α =
{ } , { , , } ( ){ / }0 1 2 3 21 2 3∪ ∪α α α αi
i J
J
∈
∑ ⊂
+ + . (1)
Budemo vvaΩaty, wo α3 < α1 + α2 , inakße mnoΩyna ne mistyt\ toçku (α1 +
+ α α2 3 2+ ) / .
TverdΩennq+1. Qkwo nabir proektoriv P P Pn1 2, , ,… zadovol\nq[ rivnist\
α α α1 1 2 2 1 1P P P Pn n n+ + … + +− − = I,
to proektor Pn komutu[ z usima inßymy, tobto [ , ]P Pn i = 0, i = 1 1, n − .
Dovedennq. Rozhlqnemo operator Q I Pn= − . DomnoΩyvßy rivnist\ α1 1P +
+ α α2 2 1 1P Pn n+ … + − − = Q na Pn sprava i zliva ta vraxuvavßy, wo Q Pn = Pn Q =
= 0, otryma[mo
α α α1 1 2 2 3 1P P P P P P P P Pn n n n n n n+ + … + − = 0.
Oskil\ky vsi operatory P P Pn i n nevid’[mni, to P P Pn i n = 0, i = 1 1, n − .
MoΩna pereviryty, wo P PQP Pn i i n = 0, tomu P PQn i = QP Pi n = 0. Vnaslidok
toho, wo P PQn i = P P I Pn i n( )− = P Pn i , ma[mo P Pn i = 0. Analohiçno moΩna po-
kazaty, wo P Pi n = 0. A ce oznaça[, wo [ , ]P Pn i = 0, i = 1 1, n − .
Naslidok+1. Isnu[ nabir proektoriv Pi , i = 1 4, , takyx, wo α 1 P1 + α2 P2 +
+ α3 P3 + α4 P4 = α4 I .
2. Çetvirky proektoriv ta funktory Kokstera. Nexaj zadano nabir çysel
αi ∈ R , i = 1 4, . Naßa meta — opysaty mnoΩyny tyx γ , dlq qkyx isnugt\ çet-
virky proektoriv Pi , i = 1 4, , taki, wo α1 P1 + α2 P2 + α3 P3 + α4 P4 = γ I .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
PRO ÇETVIRKY PROEKTORIV, POV’QZANYX LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 1291
Z takymy çetvirkamy proektoriv moΩna pov’qzaty asociatyvnu C -alhebru
P ˜ , ,D4 χ γ
, porodΩenu tvirnymy { }pi i=1
4
ta spivvidnoßennqmy
p p pi i i= = ∗2 ,
α α α α γ1 1 2 2 3 3 4 4p p p p e+ + + = ,
de çerez χ = ( α1 , α2 , α3 , α4 ) poznaçeno xarakter alhebry ( budemo vvaΩaty, wo
α α α α1 2 3 4≤ ≤ ≤ ) . Todi zadaçu moΩna pereformulgvaty tak: dlq koΩnoho xa-
rakteru opysaty mnoΩynu Σ ˜ ,D4 χ
tyx γ , dlq qkyx alhebra
P ˜ , ,D4 χ γ
ma[ ∗ -zobra-
Ωennq. Poznaçymo çerez χi i -tu komponentu xarakteru χ , α = α1 + α2 + α3 +
+ α4 .
MnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ
ma[ taki vlastyvosti (dyv. [6]):
1) Σ ˜ ,
[ , ]
D4
0
χ
α⊂ ;
2)
Σ ˜ ,D ii J4 χ
α� ∈∑ , J ⊂ { , , , , }0 1 2 3 4 ;
3) τ α τ
χ χ
∈ ⇔ − ∈Σ Σ˜ , ˜ ,D D4 4
.
Oskil\ky mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ
symetryçna vidnosno α / 2 (vlastyvist\E3), to bu-
demo vyvçaty mnoΩynu
Σ ˜ ,
[ ; )/D4
0 2
χ
α∩ .
Dlq doslidΩennq mnoΩyny Σ ˜ ,D4 χ
vykorysta[mo texniku funktoriv Koks-
tera (vvedenyx u [6]), wo vstanovlggt\ ekvivalentnist\ miΩ katehoriqmy ∗ -zob-
raΩen\ Rep P ˜ , ,D4 χ γ
pry riznyx znaçennqx parametriv χ , γ . U roboti [6] pobu-
dovano linijnyj T ta hiperboliçnyj S funktory. Diq cyx funktoriv miΩ
katehoriqmy porodΩu[ dig na pari ( χ ; γ ) :
S : ( ; ) ( , , , ; )χ γ γ α γ α γ α γ α γ� − − − −1 2 3 4 ,
T : ( ; ) ( , , , ; )χ γ α α α α α γ� 1 2 3 4 − .
Nexaj ( )( ) ( ); ( ) ( ; )χ γ χ γn n nST= , λ α γ= −/ 2 . Todi ma[ misce take tver-
dΩennq.
TverdΩennq+2. Komponenty xarakteru χ( )n
ta çyslo γ ( )n
vyznaçagt\-
sq za formulamy
χ α α λi
n
i n( ) ( )2 1
2
2 1− = − − − , χ α λi
n
i n( )2 2= − , i = 1 4, , (2)
γ α λ( ) ( )n n= − +
2
2 1 , n ∈N . (3)
Dlq dovedennq tverdΩennq slid zapysaty dig funktora ST na pari ( χ ; γ )
ta zastosuvaty metod matematyçno] indukci].
Naslidok+2. Dlq bud\-qkoho γ α∈[ , )/0 2 isnu[ n ∈N take, wo abo odyn z
komponentiv xarakteru χ( )n , abo çyslo γ ( )n
[ menßym abo dorivng[ nulg.
Dovedennq. Oskil\ky dlq bud\-qkoho γ α∈[ , )/0 2 çyslo λ > 0, to z for-
mul (2) ta (3) vyplyva[, wo vsi try poslidovnosti { }( )χi
n
n
2
1=
∞ , { }( )χi
n
n
2 1
1
−
=
∞
ta
{ }( )γ i
n
n=
∞
1 neobmeΩeno spadagt\, a otΩe, isnu[ take n, dlq qkoho tverdΩennq
vykonu[t\sq.
Teorema+1. Çyslo γ α∈[ , )/0 2 naleΩyt\ mnoΩyni Σ ˜ ,D4 χ
todi i til\ky
todi, koly isnugt\ n ∈ +Z i j ∈{ , , , }1 2 3 4 taki, wo vykonugt\sq dvi umovy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1292 K. A. GSENKO
χ j
n( ) ≤ 0, χi
k( ) > 0 , γ ( )k ≥ 0 ∀ <k n, (4)
γ χ
( )
,
n
D
− ∈ ∗
1
4
Σ . (5)
Tut xarakter χ∗
zada[t\sq trijkog koefici[ntiv χi
n( )−1 , i = 1 4, , i j≠ .
Dovedennq vyplyva[ z naslidkuE2 ta funktorial\nosti vidobraΩennq ( ST ) ,
za qkym budugt\sq vidpovidni poslidovnosti.
3. Neskinçennist\ mnoΩyny ΣΣ
χχD̃4 ,
ta zobraΩennq na hiperplowyni.
Teorema+2. MnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ
mistyt\ neskinçennu pidmnoΩynu Σ∞ z hra-
nyçnog toçkog α / 2 todi i til\ky todi, koly α αi < / 2, i = 1 4, . Qkwo pry
c\omu taka umova vykonu[t\sq, to:
1) Σ∞ = − ∈{ }α α
2 2
1
n
n N , qkwo α α α α2 3 1 4+ > + ;
2) Σ∞ = − −
−
∈
α α α
2
2
2 2 1
4
( )n
n N , qkwo α α α α2 3 1 4+ < + ;
3) Σ∞ = − ∈{ }α α
2
1
n
n N , qkwo α α α α2 3 1 4+ = + .
Dovedennq. Neobxidnist\. Qkwo odyn iz koefici[ntiv α αi ≥ / 2 , to vid-
povidnyj proektor Pi komutu[ z inßymy, a otΩe, dorivng[ abo 0, abo I u
nezvidnomu zobraΩenni. Todi zadaça zvedet\sq do trijky (çy vidpovidno menßoho
çysla) proektoriv. Tomu zhidno z teoremogE1 mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ
[ skinçennog.
Dostatnist\. Nexaj, napryklad, α α α α2 3 1 4+ > + . PokaΩemo, wo dlq
koΩnoho γ α α= −/ / ( )2 21 n , n ∈N , isnu[ zobraΩennq alhebry P ˜ , ,D4 χ γ
. Pry
takomu γ χ1
2 0( )n = , χi
n( )2 1 0− > , i = 1 4, , i χ γ1
2 1 2 1( ) ( )n n− −= ( χ1
2 1( )n−
dorivng[
nulg na nastupnomu kroci). Zhidno z naslidkomE1 taka alhebra ma[ zobraΩennq,
a otΩe, ma[ zobraΩennq i poçatkova alhebra. Vypadok α α α α2 3 1 4+ < + dovo-
dyt\sq analohiçno. Qkwo Ω α α α α2 3 1 4+ = + , to dvi taki mnoΩyny [
neskinçennymy, i, vraxovugçy rivnosti
α α α
2
2
2 2 1
4− −
−( )n
= α α α α
2
2 2 2
2 2 1
1 4 4− + −
−( )n
= α α
2 2 1
1−
−n
,
otrymu[mo
Σ∞ = α α
2
1− ∈{ }n
n N .
ZauvaΩennq+1. Analohiçno moΩna pokazaty, wo (pry vykonanni umovy
α αi < / 2, i = 1 4, ) porqd z neskinçennog mnoΩynog Σ∞ v Σ ˜ ,D4 χ
mistyt\sq
takoΩ skinçenna mnoΩyna Σ0 , qka vyznaça[t\sq za pravylom:
1) Σ0
4 1
2 3 1 42
2
2 2 1
= − −
−
<
+ − −
∈
α α α α
α α α α( )
,
n
n n N , qkwo α α2 3+ >
> α α1 4+ ;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
PRO ÇETVIRKY PROEKTORIV, POV’QZANYX LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 1293
2) Σ0
1 1
1 4 2 32 2
= − <
+ − −
∈
α α α
α α α αn
n n, N , qkwo α α α α2 3 1 4+ < + ;
3) Σ0 = ∅, qkwo α α α α2 3 1 4+ = + .
Teorema+3. Nexaj çysla αi ∈R , i = 1 4, , taki, wo vykonugt\sq nerivnosti
α αi < / 2. Todi isnu[ nabir proektoriv P1, P2 , P3, P4 takyx, wo α1 1P +
+ α α α α2 2 3 3 4 4 2P P P I+ + = / .
Dovedennq. Neobxidno pokazaty, wo mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ
mistyt\ toçku α / 2.
Zhidno z teoremog Íul\mana [7] mnoΩyna Σ ˜ ,D4 χ
[ zamknenog. Oskil\ky dlq
xarakteru χ = ( α1 , α2 , α3 , α4 ) vykonu[t\sq umova teoremyE2, to mnoΩyna
Σ ˜ ,D4 χ
mistyt\ neskinçennu pidmnoΩynu Σ∞ , a otΩe, vnaslidok zamknenosti,
hranyçnu toçku seri] α / 2.
ZauvaΩymo, wo taku teoremu v dewo inßomu formulgvanni navedeno u robo-
ti A. A. Kyryçenka (dyv., napryklad, [5]).
4. PidmnoΩyny v mnoΩyni ΣΣ
χχD̃4 ,
. Qk bulo pokazano pry dovedenni teore-
myE2, zadaça zvodyt\sq do menßoho çysla proektoriv, koly xoça b odyn z kompo-
nentiv xarakteru χ αi ≥ / 2, tomu, bez obmeΩennq zahal\nosti, dali vvaΩatyme-
mo, wo χ αi < / 2, i = 1 4, .
Dlq opysu inßyx mnoΩyn vykorysta[mo teoremuE1. Nexaj γ
χ
∈Σ
D̃4 ,
i k
take, wo umova (4) vykonu[t\sq. MoΩlyvi dva vypadky: k = 2n ta k = 2n – 1.
1. Vypadok k = 2n. Umovu (4), vykorystovugçy formuly (2) ta (3), moΩna
zapysaty u vyhlqdi systemy nerivnostej
λ >
α1
2n
, λ <
α α−
−
2
2 2 1
4
( )n
,
(6)
λ <
α1
2 1( )n −
, λ ≤ α
2 4 1( )n −
.
Tut, qk i raniße, λ α γ= −/ 2 . Umovu (5) na pidstavi teoremyE1 moΩna zapysaty
tak:
0
2
4 1= − −α λ( )n ,
α α λ α λ
2
2 1
2
4 1− − − = − −i n n( ) ( ) ,
α α λ α α λ α λ
2
2 1
2
2 1
2
4 1− − − + − − − = − −i jn n n( ) ( ) ( ) , i, j = 2, 3, 4, i ≠ j, (7)
i
i n n
=
∑ − − −
= − −
2
4
2
2 1
2
4 1α α λ α λ( ) ( ) ,
i
i n n
=
∑ − − −
= − −
2
4
2
2 1 2
2
4 1α α λ α λ( ) ( ) .
Rozv’qzugçy systemu nerivnostej (6) dlq koΩnoho λ takoho, wo zadovol\nq[
odne z rivnqn\ (7), v Σ ˜ ,D4 χ
otrymu[mo taki pidmnoΩyny:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1294 K. A. GSENKO
Σ1
4
4
1
12 2 4 1 4 4
= −
−
<
−
< −
−
∈
α α α
α α
α α
α α( )
, ,
n
n n n N ,
Σ2
4 12 2 2 2 4
i i i
i
i
i
i
in
n n n n= − <
+ −
<
−
<
−
∈
α α α
α α α
α
α α
α
α α
, , , N ,
Σ3
1 1
1
2 3
4 12
2
2 2 1 4 2
4= − −
+
< −
−
< +
−
− < ∈
α α α α α
α α
α α
α α
α α α
( )
,
( )
, ( ) ,
n
n n n ni i N ,
i = 2, 3, 4.
2. Vypadok k = 2n + 1. Mirkugçy, qk i v poperedn\omu vypadku, oderΩu[mo
systemu nerivnostej
λ >
α α−
+
2
2 2 1
4
( )n
, λ <
α1
2n
,
(8)
λ <
α α−
−
2
2 2 1
4
( )n
, λ ≤ α
2 4 1( )n +
ta rivnqnnq
0
2
4 1= − +α λ( )n ,
α λ α λi n n− = − +2
2
4 1( ) ,
α λ α λ α λi jn n n− + − = − +2 2
2
4 1( ) , (9)
i
i n n
=
∑ − = − +
1
3
2
2
4 1α λ α λ( ) ,
i
i n n
=
∑ − = − +
1
3
2 2
2
4 1α λ α λ( ) , i, j = 1, 2, 3, i ≠ j.
Rozv’qzugçy systemu nerivnostej (8) dlq koΩnoho λ , wo zadovol\nq[ odne z
rivnqn\ (9), v Σ ˜ ,D4 χ
otrymu[mo taki pidmnoΩyny :
Σ4 =
α α α α
α α
α
α α2 2 4 1 4 4
04
4
1
1
−
+
< −
−
<
−
∈
( )
, , { }
n
n n n N ∪ ,
Σ5
i =
α α α α
α α α
α
α α
α α α
α α2
2
2 2 1 2 2 4 2
01
1
4
4
− −
+
<
− −
<
−
< − −
−
∈
i
i
i
i
i
in
n n n n
( )
, ,
( )
, { }N∪ ,
i = 1, 2, 3.
Takym çynom, strukturu mnoΩyny Σ ˜ ,D4 χ
povnistg opysu[ nastupna teorema.
Teorema+4. MnoΩyna tyx γ , dlq qkyx alhebra P ˜ , ,D4 χ γ
ma[ zobraΩennq,
opysu[t\sq formulog
Σ ˜ ,
[ ; )/D4
0 2
χ
α∩ = Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ∞ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪0 1 2 3 4 5
i j , i = 2, 3, 4, j = 1, 2, 3.
Vsg mnoΩynu Σ ˜ ,D4 χ
otrymu[mo symetryçnym vidobraΩennqm vidnosno α / 2
ta pry[dnannqm toçky α / 2 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
PRO ÇETVIRKY PROEKTORIV, POV’QZANYX LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 1295
5. MnoΩyna ΣΣ
χχD̃4 ,
dlq xarakteru χχχχδδδδ = (((( 1, 1, δδδδ , δδδδ )))) . Struktura mnoΩyny
Σ ˜ ,D4 χ
znaçno sprowu[t\sq, koly χ = χ1 = ( 1, 1, 1, 1 ) abo χδ = ( 1, 1, δ , δ )
(dyv. [5, 8]). PokaΩemo, qk, vykorystovugçy teoremyE2,E4, moΩna pobuduvaty
mnoΩynu Σ ˜ ,D4 χ
dlq xarakteru χδ = ( 1, 1, δ , δ ) .
Na pidstavi tverdΩennqE2 otrymu[mo
Σ∞ = + − ∈{ }1 1
2
δ
n
n N , Σ0 = ∅ .
MnoΩyny Σ2
i , Σ5
j , i = 2, 3, 4, j = 1, 2, 3, ta Σ3 ne isnugt\, a mnoΩyny Σ1 , Σ4
naberut\ vyhlqdu
Σ1 = 1 1
4 1 2 1
+ − +
−
<
−
∈
δ δ δ
δn
n n
( )
, N ,
Σ4 = 1 1
4 1
1
2 1
0+ − +
+
<
−
∈
δ δ
δn
n n
( )
, { }N ∪ .
Takym çynom,
Σ ˜ ,( , , , )
[ ; )/D4 1 1
0 2
δ δ
α∩ = 1 1
2
+ − ∈{ }δ
n
n N ∪
∪ 1
1
4 1 2 1
+ − +
−
<
−
∈
δ δ δ
δn
n n
( )
, N ∪
∪ 1 1
4 1 2 1
0+ − +
+
<
−
∈
δ δ δ
δn
n n
( )
, { }N ∪ .
Avtor wyro vdqçnyj V.EL.EOstrovs\komu za postanovku zadaçi, G.ES.ESamoj-
lenku ta G. P. Moskal\ovij za korysni zauvaΩennq wodo zmistu statti.
1. Zavodovs\kyj M. V., Samojlenko G. S. Teoriq operatoriv ta involgtyvni zobraΩennq al-
hebr // Ukr. mat. visn. – 2004. – 1, # 4. – S. 532 – 547.
2. Kruhlqk S. A., Rojter A. V. Lokal\no-skalqrn¥e predstavlenyq hrafov v katehoryy hyl\-
bertov¥x prostranstv // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 2005. – 39, # 2. – S. 13 – 30.
3. Vlasenko M. A., Mellyt A. S., Samojlenko G. S. Ob alhebrax, poroΩdenn¥x lynejno svq-
zann¥my obrazugwymy s zadann¥m spektrom // Tam Ωe. – # 3. – S. 14 – 27.
4. Kruglyak S. A., Popovich S. V., Samoilenko Yu. S. ∗ -Representation of algebras associated with
Dynkin graphs and Horn’s problem // Uçen. zap. Tavryç. nac. un-ta. Ser. Matematyka. Mexany-
ka. Ynformatyka y kybernetyka. – 2003. – 16(55), # 2. – S.E132 – 139.
5. Kyryçenko A. A. Pro linijni kombinaci] ortoproektoriv // Tam Ωe. – 2002. – # 2. –
S.E31 – 39.
6. Kruhlqk S. A., Rabanovyç V. Y., Samojlenko G. S. O summax proektorov // Funkcyon. ana-
lyz y eho pryl. – 2002. – 36, # 3. – S. 20 – 35.
7. Shulman V. S. On representations of limit relations // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2001. – # 4. –
P. 85 – 86.
8. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗ -
algebras. 1. Representations by bounded operators // Revs Math. and Math. Phys. – 1999. – 11,
pt 1. – 261 p.
OderΩano 30.05.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3531 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:16Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b8/8045fe1eab1e7e47ca4e1f1b7baeebb8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35312020-03-18T19:56:51Z On quadruples of projectors connected by a linear relation Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням Yusenko, K. A. Юсенко, К. А. We describe the set of γ ∈ ℝ for which there exist quadruples of projectors P i for a fixed collection of numbers $\alpha_i \in \mathbb{R}_+, \quad i = \overline{1,4} $, такі, що $\alpha_1 P_1 + \alpha_2 P_2 + \alpha_3 P_3 + \alpha_4 P_4 = \gamma I$. Описано множину тих $\gamma \in \mathbb{R}$, при яких існують четвірки проекторів $P_i$ для фіксованого набору чисел $\alpha_i \in \mathbb{R}_+, \quad i = \overline{1,4} $, такі, що $\alpha_1 P_1 + \alpha_2 P_2 + \alpha_3 P_3 + \alpha_4 P_4 = \gamma I$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3531 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 9 (2006); 1289–1295 Український математичний журнал; Том 58 № 9 (2006); 1289–1295 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3531/3799 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3531/3800 Copyright (c) 2006 Yusenko K. A. |
| spellingShingle | Yusenko, K. A. Юсенко, К. А. On quadruples of projectors connected by a linear relation |
| title | On quadruples of projectors connected by a linear relation |
| title_alt | Про четвірки проекторів, пов'язаних лінійним співвідношенням |
| title_full | On quadruples of projectors connected by a linear relation |
| title_fullStr | On quadruples of projectors connected by a linear relation |
| title_full_unstemmed | On quadruples of projectors connected by a linear relation |
| title_short | On quadruples of projectors connected by a linear relation |
| title_sort | on quadruples of projectors connected by a linear relation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3531 |
| work_keys_str_mv | AT yusenkoka onquadruplesofprojectorsconnectedbyalinearrelation AT ûsenkoka onquadruplesofprojectorsconnectedbyalinearrelation AT yusenkoka pročetvírkiproektorívpov039âzanihlíníjnimspívvídnošennâm AT ûsenkoka pročetvírkiproektorívpov039âzanihlíníjnimspívvídnošennâm |