Random processes in Sobolev-Orlicz spaces
We establish conditions under which the trajectories of random processes from Orlicz spaces of random variables belong with probability one to Sobolev-Orlicz functional spaces, in particular to the classical Sobolev spaces defined on the entire real axis. This enables us to estimate the rate of conv...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3537 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509645235290112 |
|---|---|
| author | Kozachenko, Yu. V. Yakovenko, T. O. Козаченко, Ю. В. Яковенко, Т. О. |
| author_facet | Kozachenko, Yu. V. Yakovenko, T. O. Козаченко, Ю. В. Яковенко, Т. О. |
| author_sort | Kozachenko, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:57:10Z |
| description | We establish conditions under which the trajectories of random processes from Orlicz spaces of random variables belong with probability one to Sobolev-Orlicz functional spaces, in particular to the classical Sobolev spaces defined on the entire real axis. This enables us to estimate the rate of convergence of wavelet expansions of random processes from the spaces $L_P({\Omega})$ and $L_2({\Omega})$ in the norm of the space $L_q(\mathbb{R})$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
G. V. Kozaçenko
*
, T. O. Qkovenko (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
VYPADKOVI PROCESY U PROSTORAX
SOBOL{VA – ORLYÇA
We establish conditions under which trajectories of stochastic processes from the Orlicz spaces of
random variables belong with probability one to the functional Sobolev – Orlicz spaces, in particular, to
the classical Sobolev spaces defined on the entire real line. The obtained results enable us to estimate
the rate of convergence for wavelet expansions of stochastic processes from spaces Lp
(
Ω
) and L2
(
Ω
)
in the norm of the space Lq
(
R
).
Znajdeno umovy naleΩnosti z imovirnistg odynycq tra[ktorij vypadkovyx procesiv iz prostoriv
Orlyça vypadkovyx velyçyn funkcional\nym prostoram Sobol[va – Orlyça, zokrema klasyç-
nym prostoram Sobol[va, wo vyznaçeni na vsij dijsnij osi. Ce dalo zmohu ocinyty ßvydkist\
zbiΩnosti vejvlet rozkladiv vypadkovyx procesiv iz prostoriv Lp
(
Ω
) ta L2
(
Ω
) u normi pros-
toru Lq
(
R
).
1. Vstup. Odnym iz osnovnyx naprqmkiv u teori] vypadkovyx procesiv, wo inten-
syvno rozvyva[t\sq, [ vyvçennq analityçnyx vlastyvostej tra[ktorij vypadko-
vyx procesiv ta ocinka rozpodilu funkcionaliv vid vypadkovyx procesiv. Ce po-
qsng[t\sq ßyrokym zastosuvannqm otrymanyx rezul\tativ pry rozv’qzanni za-
daç, wo vynykagt\ u riznyx oblastqx naukovyx doslidΩen\, zokrema v finanso-
vij matematyci, teori] masovoho obsluhovuvannq, biolohi], medycyni, radiotexnici.
Osnovnym zavdannqm roboty [ znaxodΩennq umov naleΩnosti z imovirnistg
odynycq tra[ktorij vypadkovyx procesiv iz prostoriv Orlyça vypadkovyx vely-
çyn prostoram Sobol[va – Orlyça ta klasyçnym prostoram Sobol[va, a takoΩ
zastosuvannq otrymanyx rezul\tativ do doslidΩennq ßvydkosti zbiΩnosti vejv-
let rozkladiv vypadkovyx procesiv.
2. Neobxidni vidomosti z teori] vypadkovyx procesiv iz prostoriv
Orlyça.
Oznaçennq 1 [1]. Funkciq U = U x x( ), ∈{ }R nazyva[t\sq S-funkci[g
Orlyça, qkwo vona [ parnog, neperervnog, opuklog i U (0) = 0, U (x ) > 0, koly
x ≠ 0.
Pryklad 1. Funkci] U x1( ) = A | x | α, A > 0, α ≥ 1, ta U x2( ) =
= exp B x β{ } – 1, B > 0, β ≥ 1, [ S-funkciqmy Orlyça.
Oznaçennq 2 [1]. Nexaj U 1 = U1 ( x ) i U 2 = U2 ( x ), x ∈ R, — dvi S-
funkci] Orlyça. Budemo hovoryty, wo U1 pidporqdkovana U2 ( U1 � U 2 ),
abo U2 maΩoru[ U1
, qkwo isnugt\ stali x0 ≥ 0 i k > 0 taki, wo dlq vsix
x ≥ x0 U1 (x ) ≤ U2 ( k x ).
Rozhlqnemo deqkyj vymirnyj parametryçnyj prostir T T, ( ),B µ{ }.
Oznaçennq 3 [1]. Nexaj U = U x x( ), ∈{ }R — deqka S-funkciq Orlyça.
Prostir vymirnyx funkcij f = f t t T( ), ∈{ } nazyva[t\sq prostorom Orlyça
LU ( T ), wo porodΩenyj S-funkci[g U, qkwo dlq koΩno] funkci] f isnu[ sta-
la rf > 0 taka, wo
T f
U
f t
r
d t∫
( )
( )µ < ∞.
U c\omu prostori moΩna vvesty normu — normu Lgksemburha
*
Çastkovo pidtrymano hrantom NATO PST.CLG.980408.
© G. V. KOZAÇENKO, T. O. QKOVENKO, 2006
1340 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
VYPADKOVI PROCESY U PROSTORAX SOBOL{VA – ORLYÇA 1341
f t L TU
( ) ( ) = inf :
( )
( )r U
f t
r
d t
T
>
≤
∫0 1µ .
ZauvaΩennq 1. Prostir LU ( T, µ ) [ banaxovym vidnosno normy Lgksembur-
ha. Dovedennq c\oho tverdΩennq mistyt\sq v [1].
Oznaçennq 4 [2]. Qkwo rozhlqnuty standartnyj imovirnisnyj prostir { Ω,
B, P } i deqku S-funkcig U, to prostorom Orlyça vypadkovyx velyçyn, wo
porodΩenyj funkci[g U, nazyva[t\sq prostir LU ( Ω ). Norma Lgksemburha u
c\omu prostori ma[ vyhlqd
ξ LU ( )Ω = inf :r U
r
>
≤
0 1E
ξ
.
Oznaçennq 5 [2]. Vypadkovyj proces X = X t t T( ), ∈{ } naleΩyt\ prosto-
ru Orlyça L U ( Ω ), qkwo dlq vsix t ∈ T vypadkova velyçyna X ( t ) naleΩyt\
prostoru LU ( Ω ).
Oznaçennq 6 [2]. Vypadkovyj proces X = X t t T( ), ∈{ } naleΩyt\ prosto-
ru LU ( T ) z imovirnistg odynycq, qkwo tra[ktori] procesu vymirni i z imovir-
nistg odynycq X (T ) ∈ LU ( T ).
Umova M. Budemo hovoryty, wo dlq deqko] S-funkci] Orlyça V vykonu-
[t\sq umova M vidnosno parametryçnoho prostoru T, qkwo dlq bud\-qkyx vy-
mirnyx vypadkovyx procesiv z prostoru LV ( Ω ) takyx, wo Z t LV
( ) ( )Ω = 1, vy-
padkova velyçyna Z t L TV
( ) ( ) naleΩyt\ prostoru LV ( Ω ) j isnu[ stala a V
taka, wo
Z t L T LV V
( ) ( ) ( )Ω
≤ a V .
Umova M vykonu[t\sq dlq S-funkcij V1 ( x ) = | x | p, x ∈ R, p ≥ 1, ta V2 ( x ) =
= exp x α{ } – 1, x ∈ R, α ≥ 1, vidnosno bud\-qko] kompaktno] mnoΩyny (dyv.
[3]).
Teorema 1 [3]. Nexaj U i V — dvi S-funkci] Orlyça taki, wo funkciq
W ( x ) = V
(
–
1
)
( U ( x ) ), x ∈ R, [ opuklog i dlq V vykonu[t\sq umova M vidnosno
parametryçnoho prostoru [ T1 , T2 ]
d zi stalog a V . Dlq separabel\noho vy-
mirnoho vypadkovoho procesu X = X t t T T d( ), ,∈[ ]{ }1 2 z prostoru Orlyça
LV ( Ω ), dlq qkoho Γ = sup ( )
, ( )t T T Ld
V
X t
∈[ ]1 2
Ω < ∞, vykonugt\sq taki umovy:
i) sup ( ) ( )
( , )
, ,
( )
ρ t s h
t s T T
L
d
V
X t X s
≤
∈[ ]
−
1 2
Ω ≤ σ
T T d h
1 2,
( )[ ] , de σ
T T d h
1 2,
( )[ ] , h > 0, — ne-
perervna, monotonno nespadna funkciq taka, wo σ
T T d h
1 2,
( )[ ] → 0 pry h → 0;
ii)
0
1
1 2+ [ ]
−∫ ( )
β σ
T T
d
d u du
,
( ) ( ) < ∞, de β ( z ) =
V z
U z
( )
( )
−
−
/
/
( )
( )
1
1
1
1
, V
(
–
1
)
( z ), U
(
–
1
)
( z ),
z > 0 i σ
T T d
1 2
1
,
( ) ( )[ ]
− ⋅ — funkci], oberneni do V, U i σ
T T d
1 2,
( )[ ] ⋅ .
Todi X naleΩyt\ funkcional\nomu prostoru Orlyça L T TU
d
1 2,[ ]( ) z imo-
virnistg odynycq i dlq γ0 = σ
T T d T T
1 2
2 1,
( )[ ] − ta bud\-qkyx m ≥ 0, 0 < θ < 1
magt\ misce taki nerivnosti:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1342 G. V. KOZAÇENKO, T. O. QKOVENKO
1) X t L T T
LU
d
V
( ) ,
( )1 2[ ]( ) Ω
≤ aV T T
m
d
d
( )
[ ]
− /Γβ σ θ γ
1 2
1
0 3
,
( ) ( ) +
+
1
1
3
0
1
0
1
1 2
+
− ( )
+
∫ [ ]
− /θ
θ θ
β σ
γ θ
( )
( )
,
( )
m
dT T
d
u du = : B̃m ;
2) dlq bud\-qkyx δ > 0 P X t L T TU
d( ) ,1 2[ ]( ) >{ }δ ≤ V
Bm
δ
˜
−1
.
3. Vypadkovi procesy u prostorax Sobol[va – Orlyça.
Oznaçennq 7 [4]. Funkciq f = f x x( ), ∈{ }R nazyva[t\sq slabko dyferen-
cijovnog, qkwo isnu[ funkciq g = g x x( ), ∈{ }R , wo [ intehrovnog na bud\-
qkomu obmeΩenomu intervali, ta dlq vsix a ≤ b ma[ misce zobraΩennq
f ( a ) – f ( b ) =
a
b
g u du∫ ( ) . (1)
Funkciq g nazyva[t\sq slabkog (uzahal\nenog) poxidnog funkci] f. Budemo
poznaçaty slabku poxidnu ′fy .
ZauvaΩennq 2. Slabko dyferencijovni funkci] neperervni na R. Funkciq
g vyznaça[t\sq z toçnistg do ekvivalentnosti.
Oznaçennq 8. Funkciq f = f x x( ), ∈{ }R [ N raziv slabko dyferencijov-
nog, qkwo vona ma[ N slabko dyferencijovnyx poxidnyx.
ZauvaΩennq 3. Funkciq f ta poxidni fy
k( )
, k = 1, 2,…, N – 1, [ neperervny-
my funkciqmy, a poxidni fy
k( )
, k = 1, 2,…, N – 1, — zvyçajnymy poxidnymy.
Nexaj parametryçnyj prostir — ce T T, ( ),B µ( ) , de T — obmeΩenyj inter-
val z R, B ( T ) — σ-alhebra borelevyx mnoΩyn na T, µ — mira Lebeha.
Nexaj V = V x x( ), ∈{ }R — deqka S-funkciq Orlyça.
Oznaçennq 9. Vypadkovyj proces X = X t t T( ), ∈{ } z prostoru L V ( Ω )
nazyva[t\sq neperervnym za normog v LV ( Ω ), qkwo dlq bud\-qkyx t, s ∈ T
X t X s LV
( ) ( ) ( )− Ω → 0 pry t → s.
ZauvaΩennq 4. U vypadku, koly prostir Orlyça L V ( Ω ) — ce prostir
Lp ( Ω ), vsi vypadkovi procesy, wo naleΩat\ c\omu prostoru, budut\ neperervny-
my za normog ⋅ Lp ( )Ω .
Oznaçennq 10. Vypadkovyj proces X ∈ LV ( Ω ) nazyva[t\sq dyferencijov-
nym za normog u prostori LV ( Ω ) v toçci t0 ∈ T, qkwo isnu[ taka vypadkova
velyçyna X
[
1
]
( t0 ) ∈ LV ( Ω ), wo
lim
( ) ( )
( )
( )h L
X t h X t
h
X t
V
→
[ ]+ − −
0
0 0 1
0
Ω
= 0.
Proces X [ dyferencijovnym za normog v LV ( Ω ) na T, qkwo vin dyferenci-
jovnyj u koΩnij toçci c\oho prostoru. Todi proces X
[
1
]
= X t t T1[ ] ∈{ }( ), na-
zyva[t\sq poxidnog za normog v LV ( Ω ) procesu X.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
VYPADKOVI PROCESY U PROSTORAX SOBOL{VA – ORLYÇA 1343
Oznaçennq 11. Druhog poxidnog za normog v L V ( Ω ) vypadkovoho procesu
X nazyva[t\sq X
[
2
]
( t ) = ( X
[
1
]
)
[
1
]
( t ) i, analohiçno, X
[
k
]
( t ) = ( X
[
k
–
1
]
)
[
1
]
( t ), k
≥ 1, X
[
0
]
( t ) : = X ( t ).
Lema 1. Nexaj X ( t ) i Y ( t ), t ∈ T, — dva procesy z prostoru Orlyça
LV ( Ω ) taki, wo dlq vsix t ∈ T X
[
1
]
( t ) = Y
[
1
]
( t ) z imovirnistg odynycq. Todi
X t Y t LV
( ) ( ) ( )− Ω = const.
Dovedennq. Vyznaçymo funkcional f ( t ) : = X t Y t LV
( ) ( ) ( )− Ω . Todi
′f t( ) = lim
( ) ( )
h
f t h f t
h→
+ −
0
=
= lim ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
h
L Lh
X t h Y t h X t Y t
V V→
+ − + − −
0
1
Ω Ω ≤
≤ lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h
Lh
X t h X t Y t h Y t
V→
+ − − + −[ ]
0
1
Ω =
= lim
( ) ( ) ( ) ( )
( )h L
X t h X t
h
Y t h Y t
h V
→
+ − − + −
0 Ω
=
= X t Y t
LV
1 1[ ] [ ]−( ) ( )
( )Ω
= 0.
OtΩe, dlq vsix t ∈ T f ′ ( t ) = 0, tobto f ( t ) = c = const.
Lemu dovedeno.
Lema 2. Nexaj X = X t t T( ), ∈{ } — N raziv dyferencijovnyj za normog v
LV ( Ω ) vypadkovyj proces, pryçomu dlq vsix k = 0, N sup ( )
( )t T
k
L
X t
V
∈
[ ]
Ω
≤
≤ Γk < ∞.
Todi dlq koΩnoho k = 0 1, N − poxidna X
[
k
]
( t ) [ neperervnog za normog v
LV ( Ω ) i dlq dosyt\ malyx h
sup ( ) ( )
,
( )t s h
t s T
k k
L
X t X s
V− ≤
∈
[ ] [ ]−
Ω
≤ 2 1Γk h+ . (2)
Dovedennq. Dlq vsix k = 0 1, N −
X t h X tk k
LV
[ ] [ ]+ −( ) ( )
( )Ω
= h
X t h X t
h
k k
LV
[ ] [ ]+ −( ) ( )
( )Ω
=
= h
X t h X t
h
X t X t
k k
k k
LV
[ ] [ ]
+[ ] +[ ]+ − − +( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1
Ω
≤
≤ h
X t h X t
h
X t X t
k k
k
L
k
L
V
V
[ ] [ ]
+[ ] +[ ]+ − − +
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 1
Ω
Ω
.
Todi dlq bud\-qkoho ε > 0 isnu[ take δ > 0, wo dlq vsix | h | < δ
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1344 G. V. KOZAÇENKO, T. O. QKOVENKO
X t h X t
h
X t
k k
k
LV
[ ] [ ]
+[ ]+ − −( ) ( )
( )
( )
1
Ω
< ε.
Vyberemo ε nastil\ky malym, wo ε < Γk + 1 (vvaΩa[mo, wo Γk + 1 ≠ 0), todi
X t h X tk k
LV
[ ] [ ]+ −( ) ( )
( )Ω
≤ h X tk
LV
ε +
+[ ]1 ( )
( )Ω
≤
≤ 2 1Γk h+ → 0 pry h → 0.
Lemu dovedeno.
Oznaçennq 12. Budemo hovoryty, wo dlq procesu X = X t t T( ), ∈{ } isnu[
uzahal\nena (slabka) poxidna z imovirnistg odynycq, qkwo isnu[ lokal\no in-
tehrovnyj za Lebehom z imovirnistg odynycq vypadkovyj proces ′X ty( ) takyj,
wo dlq vsix a, b ∈ T
a
b
yX t dt∫ ′ ( ) = X ( b ) – X ( a )
z imovirnistg odynycq. Pry c\omu vypadkovyj proces ′X ty( ) nazyva[t\sq uza-
hal\nenog (slabkog) poxidnog procesu X.
Oznaçennq 13 [2]. Nexaj C ( T ) — prostir neperervnyx na T dijsnyx
funkcij. Vypadkovyj proces X = X t t T( ), ∈{ } nazyva[t\sq vybirkovo nepe-
rervnym na T z imovirnistg odynycq, qkwo P X C T∈{ }( ) = 1.
ZauvaΩennq 5. U danij roboti rozhlqdagt\sq procesy, wo [ neperervnymy
za normog. Oskil\ky z neperervnosti za normog vyplyva[ neperervnist\ za jmo-
virnistg, budemo vvaΩaty, wo tra[ktori] cyx procesiv [ vymirnymy, tomu wo v
c\omu vypadku zavΩdy moΩna perejty do vymirno] modyfikaci] procesu.
Teorema 2. Nexaj V = V x x( ), ∈{ }R — deqka S-funkciq Orlyça, a X =
= X t t( ), ∈{ }R — separabel\nyj vymirnyj vypadkovyj proces iz prostoru Or-
lyça LV ( Ω ) takyj, wo:
i) ∀ a, b ∈ R : sup ( )
,
( )
t a b
LX t
V∈[ ]
Ω < ∞;
ii) sup ( ) ( )
, ,
( )
t s h
t s a b
LX t X s
V− ≤
∈[ ]
− Ω ≤ σa,b ( h ), de σ a,b = σa,b ( h ), h > 0, — taki
neperervni, monotonno nespadni funkci], wo σa,b ( h ) → 0 pry h → 0;
iii) ∀ a, b ∈ R :
0
1
1
1
+
−
−∫
V
u
du
a b
( )
,
( )( )σ
< ∞ , de V
(
–
1
)
( z ), z ≥ 0, i σa b u,
( )( )−1 ,
u > 0, — funkci], oberneni do V i σa,b .
Todi vypadkovyj proces X [ vybirkovo neperervnym na R z imovirnistg
odynycq.
Dovedennq. U knyzi [2] znajdeno umovy vybirkovo] neperervnosti vypadko-
vyx procesiv z imovirnistg odynycq, wo vyznaçeni na kompaktnij parametryçnij
mnoΩyni. Z naslidku 5.2 do teoremy 5.2 [2, c. 136] vyplyva[, wo dlq bud\-qkyx
fiksovanyx a, b ∈ R vypadkovyj proces X bude vybirkovo neperervnym na [ a,
b ] z imovirnistg odynycq.
Oskil\ky R moΩna zobrazyty u vyhlqdi ob’[dnannq zliçenno] kil\kosti
skinçennyx intervaliv, tobto R = k
k k=
+ ∞ −[ ]
1∪ , , na koΩnomu z qkyx X [
vybirkovo neperervnym z imovirnistg odynycq, to
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
VYPADKOVI PROCESY U PROSTORAX SOBOL{VA – ORLYÇA 1345
P X C∈{ }( )R =
P X C k k
k
∈ −[ ]
=
+ ∞
1
∪ , =
= P
k
X C k k
=
+ ∞
∈ −[ ]( ){ }
1
∩ , = 1.
Teoremu dovedeno.
Teorema 3. Nexaj V = V x x( ), ∈{ }R — deqka S-funkciq Orlyça, a vymir-
nyj vypadkovyj proces X = X t t( ), ∈{ }R iz prostoru Orlyça LV ( Ω ) zado-
vol\nq[ taki umovy:
1) X — neperervno dyferencijovnyj za normog v LV ( Ω ) na R;
2) X — vybirkovo neperervnyj z imovirnistg odynycq na R;
3) ∀ a, b ∈ R ∃ Ca, b > 0 : sup ( )
a t b
X t
≤ ≤
[ ]E 1
≤ Ca,b < ∞.
Todi dlq vypadkovoho procesu X z imovirnistg odynycq isnu[ uzahal\nena
poxidna ′X ty( ), wo zbiha[t\sq dlq vsix t ∈ R z imovirnistg odynycq z poxidnog
za normog c\oho procesu.
Dovedennq. Oskil\ky poxidna za normog X t1[ ]( ) vyznaça[t\sq z toçnistg
do ekvivalentnosti, budemo vvaΩaty, wo tra[ktori] procesu X t1[ ]( ) [ vymirny-
my funkciqmy.
Todi dlq koΩno] fiksovano] pary çysel a, b ∈ R, a < b, za teoremog Fubini
E
a
b
X t dt∫ [ ]1 ( ) =
a
b
X t dt∫ [ ]E 1 ( ) ≤ Ca,b ( b – a ) < ∞.
Zvidsy vyplyva[, wo dlq vsix a, b ∈ R z imovirnistg odynycq isnu[ intehral Le-
beha
a
b
X t dt∫ [ ]1 ( ) . OtΩe, poxidna za normog procesu X [ intehrovnog za Lebe-
hom na [ a, b ] z imovirnistg odynycq.
PokaΩemo, wo intehral Lebeha
a
b
X t dt∫ [ ]1 ( ) isnu[ z imovirnistg odynycq dlq
vsix a, b ∈ R, –∞ < a < b < + ∞. Dijsno, qkwo dlq deqkyx fiksovanyx a < b is-
nu[
a
b
X t dt∫ [ ]1 ( ) z imovirnistg odynycq, to dlq cyx Ωe tra[ktorij isnu[
c
d
X t dt∫ [ ]1 ( ) z imovirnistg odynycq, de a ≤ c < d ≤ b. Oskil\ky zavΩdy moΩna
vybraty poslidovnist\ intervaliv [
an
, bn
], n ≥ 1, takyx, wo an → – ∞, bn → + ∞,
i çyslo takyx intervaliv [ zliçennym, to majΩe dlq vsix tra[ktorij isnugt\ in-
tehraly Lebeha
a
b
n
n X t dt∫ [ ]1 ( ) . OtΩe, dlq cyx Ωe tra[ktorij isnugt\ intehraly
a
b
X t dt∫ [ ]1 ( ) , de – ∞ < a < b < + ∞, a tomu proces X t1[ ]( ) [ intehrovnym za
Lebehom na [ a, b ] dlq vsix a, b ∈ R z imovirnistg odynycq.
Nexaj a ∈ R — deqke fiksovane çyslo. Rozhlqnemo vypadkovyj proces
Ya(t) =
a
t
X u du∫ [ ]1 ( ) , t ∈ R.
PokaΩemo, wo dlq koΩnoho fiksovanoho t Y ta
1[ ]( ) = X t1[ ]( ) z imovirnistg
odynycq. Dijsno, dlq dosyt\ malyx h
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1346 G. V. KOZAÇENKO, T. O. QKOVENKO
Y t h Y t
h
X ta a
LV
( ) ( )
( )
( )
+ − − [ ]1
Ω
=
=
1 11 1
h
X u du
h
X t du
t
t h
t
t h
LV
+
[ ]
+
[ ]∫ ∫−( ) ( )
( )Ω
=
=
1 1 1
h
X u X t du
t
t h
LV
+
[ ] [ ]∫ −( )( ) ( )
( )Ω
≤
1 1 1
h
X u X t du
t
t h
LV
+
[ ] [ ]∫ −( ) ( )
( )Ω
≤
≤ sup ( ) ( )
( )u t h L
X u X t
V− ≤
[ ] [ ]−1 1
Ω
→ 0, h → 0,
oskil\ky proces X t1[ ]( ) [ neperervnyj za normog v LV ( Ω ). Tomu dlq koΩnoho
fiksovanoho t ∈ R Y ta
1[ ]( ) = X t1[ ]( ) = X t X a( ) ( )−( )[ ]1
z imovirnistg odynycq.
Todi za lemog 1
f ( t ) = Y t X t X aa LV
( ) ( ) ( ) ( )− −( ) Ω = const.
Oskil\ky f ( a ) = 0, to dlq koΩnoho t ∈ R
Ya(t) =
a
t
X u du∫ [ ]1 ( ) = X ( t ) – X ( a ) z imovirnistg odynycq.
Proces
a
t
X u du∫ [ ]1 ( ) [ vybirkovo neperervnym z imovirnistg odynycq, qk inteh-
ral Lebeha, i X ( t ) — vybirkovo neperervnyj z imovirnistg odynycq proces za
prypuwennqm, tomu ostannq rivnist\ vykonu[t\sq z imovirnistg odynycq dlq
vsix a ta t z R. Zvidsy i vyplyva[ tverdΩennq teoremy.
Nexaj T T, ( ),B µ( ) — vymirnyj prostir, T ⊆ R, B ( T ) — σ-alhebra borele-
vyx mnoΩyn na T, µ — mira Lebeha, U — deqka S-funkciq Orlyça.
Oznaçennq 14 [5]. Prostorom Sobol[va – Orlyça N-ho porqdku W TU
N ( )
nazyva[t\sq mnoΩyna klasiv ekvivalentnosti funkcij iz funkcional\noho pros-
toru Orlyça LU ( T ), wo zada[t\sq takym çynom:
W TU
N ( ) = f T f f t L T k Ny
k
U: , — , ( ) ( ),( )→ ∈ ≤ ≤{ }R vymirni 0 ,
de f ty
k( )( ) — uzahal\nena poxidna funkci] f porqdku k.
Oznaçennq 15. Vypadkovyj proces X = X t t T( ), ∈{ } naleΩyt\ prostoru
Sobol[va – Orlyça W TU
N ( ) z imovirnistg odynycq, qkwo tra[ktori] procesu
vymirni i dlq vsix 0 ≤ k ≤ N isnu[ uzahal\nena k-ta poxidna procesu X ty
k( )( ) ,
wo naleΩyt\ prostoru LU ( T ) z imovirnistg odynycq.
ZauvaΩennq 6. Qkwo S-funkciq U ( x ) = | x | q, x ∈ R, q ≥ 1, to prostir
W TU
N ( ) [ klasyçnym prostorom Sobol[va W Tq
N ( ) .
Nexaj parametryçnym prostorom [ R R, ( ),B µ( ), B( )R — σ-alhebra borele-
vyx mnoΩyn na R, µ — mira Lebeha. Poznaçymo U1 ( x ) = | x |, x ∈ R.
Rozhlqnemo çyslovu poslidovnist\ xl l{ } ∈Z
∈ R, wo zada[ rozbyttq prosto-
ru R na intervaly x xl l−[ )1, , l ∈ Z, qke ma[ taki vlastyvosti:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
VYPADKOVI PROCESY U PROSTORAX SOBOL{VA – ORLYÇA 1347
∀ l ∈ Z : ∆ xl = x xl l− −1 < ∞,
l
l lx x
∈
−[ )
Z
∪ 1, = R, (3)
x xl l′− ′[ )1, ∩ x xl l′′− ′′[ )1, = ∅ pry l ′ ≠ l ′′.
Teorema 4. Nexaj U i V — dvi S-funkci] Orlyça taki, wo funkciq
W ( x ) = V U x( ) ( )− ( )1
, x ∈ R, [ opuklog, U1 � V i dlq V vykonu[t\sq umova M
vidnosno koΩno] z mnoΩyn x xl l−[ )1, zi stalymy aV
l
, l ∈ Z , X = X t t( ), ∈{ }R
— separabel\nyj, vymirnyj, N raziv dyferencijovnyj za normog v LV ( Ω )
proces i vykonugt\sq taki umovy:
1) 0 ≤ k ≤ N, l ∈ Z ∃ Γk l > 0 : sup ( )
, ( )t x x
k
L
l l
V
X t
∈[ )
[ ]
−1
Ω
= Γk l < ∞;
2) ∀ l ∈ Z : sup ( ) ( )
, ,
( )t s h
t s x x
N N
L
l l
V
X t X s
− ≤
∈[ )
[ ] [ ]
−
−
1
Ω
≤ σl ( h ), de σ l ( h ) > 0, h > 0
— taki neperervni, monotonno nespadni funkci], wo σl ( h ) → 0 pry h → 0;
3)
0
1 1
+
−∫
V
u
du( ) < ∞;
4) ∀ l ∈ Z :
0
1
+
−∫ ( )β σl u du( )( ) < ∞, de β ( z ) =
V z
U z
( )
( )
−
−
/
/
( )
( )
1
1
1
1
;
5) isnugt\ poslidovnosti 0 1
1
< <{ } ≥
δl
k
l
taki, wo dlq deqkyx m ≥ 0
l
l
k
∈
∑
Z
δ < ∞ i
l
l
k
l
kV
B m∈
−
∑
Z
δ
( )
1
< ∞,
de Bk l ( m ) — ocinky dlq X tk
L x x LU l l V
[ ]
[ )−
( )
, ( )1 Ω
z teoremy 1.
Todi X ( t ) naleΩyt\ WU
N ( )R z imovirnistg odynycq.
Dovedennq. Perevirymo spoçatku çy vykonugt\sq umovy teoremy 3 dlq po-
xidnyx za normog v LV ( Ω ) vypadkovoho procesu X.
Z lemy 2 ta umovy 2 vyplyva[, wo dlq vsix k = 0, N procesy X tk[ ]( ) [ nepe-
rervnymy za normog v LV ( Ω ), tobto vykonu[t\sq perßa umova teoremy 3.
Z nerivnosti (2) ta umov 1 – 3 za teoremog 2 poxidni X tk[ ]( ) [ vybirkovo ne-
perervnymy z imovirnistg odynycq na R dlq koΩnoho k = 0 1, N − , a otΩe, vy-
konu[t\sq druha umova teoremy 3.
Oskil\ky U1 � V, to za teoremog 3.2 [2, c. 68] isnu[ deqka stala 0 < C < ∞
taka, wo dlq vsix k = 1, N i l ∈ Z
sup ( )
,t x x
k
l l
X t
∈[ )
[ ]
−1
E ≤ C X t
t x x
k
L
l l
V
sup ( )
, ( )∈[ )
[ ]
−1
Ω
≤ C
Γk l < ∞
i vykonu[t\sq ostannq umova teoremy 3, zvidky vyplyva[, wo dlq vypadkovoho
procesu X isnugt\ uzahal\neni poxidni do N-ho porqdku vklgçno, wo zbiha-
gt\sq dlq vsix t ∈ R z vidpovidnymy poxidnymy za normog v LV ( Ω ) z imovir-
nistg odynycq.
Oskil\ky vypadkovyj proces X ( t ) naleΩyt\ prostoru LV ( Ω ), qkyj [ bana-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1348 G. V. KOZAÇENKO, T. O. QKOVENKO
xovym vidnosno normy Lgksemburha, to dlq bud\-qkoho fiksovanoho t ∈ R
X tk[ ]( ) ∈ LV ( Ω ), 1 ≤ k ≤ N.
Z toho, wo dlq dosyt\ malyx z
V z
U z
( )
( )
−
−
/
/
( )
( )
1
1
1
1
≤ V z( )− /( )1 1 , ta z umovy 3 vyply-
va[ zbiΩnist\ intehrala
0 +∫ β( )u du. Todi z umov 4 ta 5 za teoremog 3.2 [6, c. 180]
vyplyva[ naleΩnist\ poxidnyx X k[ ]
, a otΩe i vidpovidnyx uzahal\nenyx po-
xidnyx, procesu X prostoru LU ( R ) z imovirnistg odynycq, tobto X ( t ) nale-
Ωyt\ WU
N ( )R z imovirnistg odynycq.
4. Lp ( ΩΩΩΩ )-procesy. Nexaj R R, ( ),B µ( ) — vymirnyj parametryçnyj prostir,
B ( R ) — σ-alhebra borelevyx mnoΩyn, µ — mira Lebeha na R.
Lema 3. Poslidovnist\
x l
i
l
i
l
l
= { } < <
= ∈
∑sign
1
1 0 1γ γ,
Z
, de sign l{ } =
1 1
0 0
1 1
, ,
, ,
, ,
l
l
l
≥
=
− ≤ −
(4)
rozbyva[ R na pivintervaly x xl l−[ )1, , wo magt\ vlastyvosti (3). Krim
toho, dlq bud\-qkoho l ≥ 1 i 0 < γ < 1
xl = | x– l | =
i
l
i=
∑
1
1
γ > ( l + 1 )
1
–
γ – 1 ∼ l
1
–
γ
pry l → ∞. (5)
Dovedennq. Oskil\ky dlq vsix 0 < γ < 1, u ≥ 1 funkciq 1 / u
γ
[ monotonno
spadnog, to dlq bud\-qkoho i ≥ 1
1
iγ =
i
i
i
du
+
∫
1
1
γ ≥
i
i
u
du
+
∫
1
1
γ =
u
i
i1 1
1
− +
−
γ
γ
=
1
1
1 1 1
−
+ −( )− −
γ
γ γ( )i i ,
a otΩe,
xl = | x– l | =
i
l
i=
∑
1
1
γ ≥
1
1
1
1
1 1
−
+ −( )
=
− −∑γ
γ γ
i
l
i i( ) =
=
1
1
1 11
−
+ −( )−
γ
γ( )l > ( l + 1 )
1
–
γ – 1 ∼ l
1
–
γ
pry l → ∞.
Lemu dovedeno.
Teorema 5. Nexaj 1 ≤ p < q i separabel\nyj vymirnyj vypadkovyj proces X
= X t t( ), ∈{ }R z prostoru L p ( Ω ) takyj, wo dlq bud\-qkyx – ∞ < a < b < + ∞,
b – a ≤ 1:
i) sup ( )
a t b
p p
X t
≤ <
( ) /
E
1
≤
1
max ,a b{ }( )τ , de τ >
1
1
1
1
−
+ −
γ
γ
p q
, 0 < γ < 1;
ii) sup ( ) ( )
, ,
t s h
t s a b
p p
X t X s
− ≤
∈[ )
−( ) /
E
1
≤ Ca,b h
α
, de h > 0, α >
1
p
–
1
q
t a isnu[
0 < c < ∞ take, wo Ca,b ≤
c
b a
X t
a t b
p p
( )
sup ( )
−
( )
≤ <
/
α E
1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
VYPADKOVI PROCESY U PROSTORAX SOBOL{VA – ORLYÇA 1349
Todi vypadkovyj proces X naleΩyt\ prostoru Lq ( R ) z imovirnistg ody-
nycq.
Dovedennq. Rozhlqnemo poslidovnist\ xl l{ } ∈Z
, wo ma[ vyhlqd (4). Cq po-
slidovnist\ zada[ rozbyttq prostoru R, wo zadovol\nq[ umovy (3). Z lemy 3 vy-
plyva[, wo dlq l ≥ 1
sup ( )
x t x
p p
l l
X t
− ≤ <
( ) /
1
1
E ≤
1
1 11( )l + −( )−γ τ ∼
1
1lτ γ( )− = : Γl
+ pry l → + ∞
ta dlq l ≤ 0
sup ( )
x t x
p p
l l
X t
− ≤ <
( ) /
1
1
E ≤
1
2 11( )− −( )−l γ τ ∼
1
1 1( ) ( )− −l τ γ = : Γl
− pry l → – ∞,
pry c\omu dlq vsix l ≥ 1 Γl
+ = Γ1−
−
l .
Dlq procesu X vykonugt\sq umovy teoremy 1 vidnosno bud\-qkoho intervalu
x xl l−[ )1, , l ∈ Z, oskil\ky pry 1 ≤ p < q funkciq W ( x ) = x q p/
[ opuklog ta
dlq funkci] x p
vykonu[t\sq umova M vidnosno intervaliv x xl l−[ )1, , l ∈ Z ,
zi stalymy aV
l = ∆ xl
p( ) /1
. Todi dlq vsix l ∈ Z tra[ktori] vypadkovoho procesu
X naleΩat\ funkcional\nym prostoram L x xq l l−[ )( )1, z imovirnistg odynycq i
X t L x x Lq l l
p
( ) , ( )−[ )( )1 Ω
= E X t dtq
x
x p q p
l
l
( )
−
∫
/ /
1
1
≤
≤
∆ ∆x
X t
C x
C
l
p
q p
x t x
p p l l
m
l
q p
l l
( ) ( ) ( )
/
/ /
/
/ / /
−
≤ <
( ) −( )
−
1
1 1
1
1 1 1
3
1
sup ( )E
α α
θ
+
+
1
1
1 1
0
1
+
−
/ / /−( )( ) +
∫θ
θ θ
αθα
( )
u
C
du
l
q pC xl l
m∆
=
=
1
31 1
1 1 1 1
1
/ /
/ / / / /
−
≤ <
( ) −( )
−
( ) ( )
q p
x t x
p p
l
q m q p
l l
X t xsup ( )E ∆ θ α +
+ ∆
∆
x
C x
q p
C
l
p l l
m q p
l
q p
( ) +
−
( )( )
−
+
/
/ / /
/ / /
+ ( ) −( ) +
( ) −( )
1
1 1 1 1 1
1 1 1
1
1 1 1 1
1
θ
θ θ
θ
α
α α
α( )
=
=
1
31 1
1 1 1 1
1
/ /
/ / / / /
−
( ) −( )
≤ <
( ) ( )
−
q p l
q m q p
x t x
p p
x X t
l l
∆ θ α sup ( )E +
+ ∆ ∆x
q p
C xl
q
m q p m
l l( ) +
− −
+
( )
/
/ / /+( ) −( )+
1
1 1 11
1 1 1 1
1
θ
θ
θ
α
α
α
( )
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1350 G. V. KOZAÇENKO, T. O. QKOVENKO
=
∆ ∆x
A X t B C xl
q
q p m
x t x
p p
m l l
l l
( ) ( ) + ( )
/
/ /
/
−
≤ <−
1
1 1
1
3
1
sup ( )E α = : Bm
l
,
de Am = θ αm q p/ / /( ) −( )1 1
, Bm =
1
1 1 1 1
1
1 1 1+
− −
+
+( ) −( )+/ / /θ
θ
θ
α
α( )m q p m
q p
, 0 < θ < 1 — deqke fikso-
vane çyslo.
Todi za teoremog 3.2 [6, c. 180] tra[ktori] vypadkovoho procesu X naleΩat\
prostoru Lq ( R ), qkwo isnu[ poslidovnist\ 0 1< <{ } ∈δl l Z
taka, wo
l
l
∈
∑
Z
δ < ∞ i
l
m
l
l
p
B
∈
∑
Z
δ
< ∞.
Vyberemo poslidovnist\ δl
, wo ma[ vyhlqd
δl =
1
1
1
1
0
l
l
l
l
ε
ε
, ,
( )
, ,
≥
− +
≤
ε > 1.
Todi
l
l
=− ∞
+ ∞
∑ δ =
l l=− ∞
∑ − +
0 1
1( )ε +
l l=
+ ∞
∑
1
1
ε = 2
1
1l l=
+ ∞
∑ ε < ∞
i
l
m
l
l
p
B
=− ∞
+ ∞
∑ δ
≤
l
l
q
m l m l l
q p
l
p
x A B C x
=− ∞
−
−
−∑
( ) + ( )( )/
/ /
0 1
1
1 13
∆ Γ ∆ α
δ
+
+
l
l
q
m l m l l
q p
l
p
x A B C x
=
+ ∞ +
−∑
( ) + ( )( )/
/ /
1
1
1 13
∆ Γ ∆ α
δ
.
Oskil\ky
∆ xl = | xl – xl – 1 | =
1
1
1
1
0
l
l
l
l
γ
γ
, ,
( )
, ,
≥
− +
≤
to
l
m
l
l
p
B
=− ∞
+ ∞
∑ δ
≤ 2
31
1
1 1
l
l
q
m l m l l
q p
l
p
x A B C x
=
+ ∞ +
−∑
( ) + ( )( )/
/ /
∆ Γ ∆ α
δ
. (6)
Doslidymo na zbiΩnist\ rqdy
l
l
p q
l
p l
px
=
∞
+∑ ( ) ( )
/
1
∆ Γ
δ
∼
l
p ql=
∞
+ − −( )∑ /
1
1
1
γ τ γ ε( )
ta
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
VYPADKOVI PROCESY U PROSTORAX SOBOL{VA – ORLYÇA 1351
l
l
p l
p q
l
pC
x
=
∞ +( )
∑ ( ) /
1
1∆ α
δ
≤
l
p
l
p
x t x
p l
p q
l
p
c
x
X t
x
l l=
∞
≤ <
+( )
∑ ( )
( )
−
/
1
1
1∆
∆
α
α
δ
sup ( )E =
= c
x
x
p
l
l
p
l
p q
l
p
l
p
=
∞ + +( )
∑ ( ) ( )
( )
/
1
1Γ ∆
∆
α
α δ
∼
l
p ql=
∞
+ − −( )∑ /
1
1
1
γ τ γ ε( ) .
Ci rqdy zbihagt\sq pry 1 < ε < ( 1 – γ ) τ +
γ
q
–
1
p
. Taki ε budut\ isnuvaty, os-
kil\ky ( 1 – γ ) τ +
γ
q
–
1
p
> ( )1
1
1
1
1−
−
+ −
γ
γ
γ
p q
+
γ
q
–
1
p
= 1, a otΩe, bude zbi-
hatysq rqd (6) i za teoremog 3.2 [6, c. 180] X ( t ) naleΩyt\ Lq ( R ) z imovirnistg
odynycq.
Teorema 6. Nexaj çysla p i q taki, wo 1 < p ≤ q, vypadkovyj proces X =
= X t t( ), ∈{ }R [ separabel\nym, vymirnym, N raziv dyferencijovnym za nor-
mog v Lp ( Ω ) i dlq vsix a, b ∈ R takyx, wo b – a ≤ 1, vykonugt\sq umovy:
1) ∀k = 0, N :
sup ( )
, ( )t a b
k
L
X t
p∈[ )
[ ]
Ω
= sup ( )
,t a b
k p p
X t
∈[ )
[ ]( ) /
E
1
≤
1
max ,a b{ }( )τ ,
de τ >
1
1
1
1
−
+ −
γ
γ
p q
i 0 < γ < 1 — deqke fiksovane çyslo;
2) sup ( ) ( )
, ,
t s h
t s a b
N N p p
X t X s
− ≤
∈[ )
[ ] [ ]−( ) /
E
1
≤ Ca,b h
α
, de α >
1
p
–
1
q
ta isnu[ 0 <
< c < ∞ take, wo Ca,b ≤
c
b a
X t
a t b
N p p
( )
sup ( )
− ( )
≤ <
[ ] /
α E
1
.
Todi X ( t ) naleΩyt\ Wq
N ( )R z imovirnistg odynycq.
Dovedennq. V danomu vypadku funkciq W ( x ) = x q p/
, x ∈ R, [ opuklog,
| x | � | x | p i dlq | x | p vykonu[t\sq umova M vidnosno koΩno] z mnoΩyn [ a, b ),
a, b ∈ R [3, c. 144]. Krim toho, dlq vsix p > 1
0 1+∫ /
du
u p < ∞.
Z lemy 2 vyplyva[, wo dlq bud\-qkyx a, b ∈ R, b – a ≤ 1 i 0 ≤ k ≤ N – 1
sup ( ) ( )
, ,
t s h
t s a b
k k p p
X t X s
− ≤
∈[ )
[ ] [ ]−( ) /
E
1
≤ 2 1
1
sup ( )
,t a b
k p p
X t h
∈[ )
+[ ]( ) /
E ≤
≤
2
max ,a b
h
{ }( )τ ≤
2 1
b a a b
h
− { }( )max , τ .
Todi z teoremy 5 vyplyva[ naleΩnist\ poxidnyx za normog X k[ ]
, a otΩe, i vid-
povidnyx uzahal\nenyx poxidnyx procesu X prostoru Lq ( R ) z imovirnistg ody-
nycq. Zvidsy vyplyva[, wo X ( t ) naleΩyt\ Wq
N ( )R z imovirnistg odynycq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1352 G. V. KOZAÇENKO, T. O. QKOVENKO
5. Ocingvannq ßvydkosti zbiΩnosti vejvlet rozkladiv vypadkovyx
procesiv iz prostoriv Orlyça. Na poçatku 90-x rokiv XX stolittq v Zaxidnij
{vropi ta Pivniçnij Ameryci poçala burxlyvo rozvyvatysq nova cikava haluz\
matematyky – vejvlet analiz. V vejvlet analizi vyvçagt\sq umovy, za qkyx
funkci] moΩut\ buty rozkladeni v rqdy po bazysax vejvletiv, tobto po ortonor-
movanyx systemax, wo porodΩugt\sq odni[g funkci[g ϕ z prostoru L2 ( R ),
ta doslidΩu[t\sq ßvydkist\ zbiΩnosti cyx rqdiv u normax riznyx prostoriv.
Zasnovnykamy ci[] teori] buly Malla, Mej[r, Dobeßi ta Çui. Rosijs\kog movog
perekladeno knyhy Inhrid Dobeßi [7] ta Çarl\za Çui [8]. Bahato rezul\tativ iz
vejvlet analizu zastosovugt\sq v sumiΩnyx haluzqx matematyky — matematyç-
nij statystyci ta teori] vypadkovyx procesiv. Zokrema, rozklady vypadkovyx
procesiv po systemax vejvletiv vykorystovugt\sq pry modelgvanni procesiv ta
pry zbereΩenni ]x tra[ktorij z metog podal\ßoho vidnovlennq.
Navedemo osnovni vidomosti z teori] vejvletiv.
Rozhlqnemo deqku kompleksnoznaçnu funkcig ϕ = ϕ( ),x x ∈{ }R z prosto-
ru L2 ( R ). Poznaçymo ϕ0 k
(
x
) = ϕ( ), ,x k x k− ∈ ∈{ }R Z . Naklademo na ϕ taki
umovy.
Umova 1 [4]. Systema ϕ0 k
(
x
) [ ortonormovanog systemog, tobto
R
∫ ϕ ϕ0 0k jx x d x( ) ( ) = δk j ,
de δk j — symvol Kronekera.
Poznaçymo çerez V0 prostir funkcij f ∈ L2 ( R ) takyx, wo
f (
x
) =
k
k kc x
∈
∑
Z
ϕ0 ( ) , (7)
de rqd (7) zbiha[t\sq v normi prostoru L2 ( R ), tobto
k kc∈∑ Z
2 < ∞. Todi
systema ϕ0k x k( ), ∈{ }Z bude ortonormovanym bazysom u V0
.
Vyznaçymo prostir Vj = h x h x f x f Vj( ): ( ) ( );= ∈{ }2 0 , j ≥ 0. Systema funk-
cij ϕ ϕjk
j j
k
x x k( ) ( )= −{ }/
∈
2 22
Z
[ ortonormovanym bazysom u Vj .
Umova 2 [4]. Prostory Vj magt\ vlastyvist\: dlq koΩnoho j ≥ 0 Vj ∈ Vj + 1 .
Umova 3 [4]. MnoΩyna V =
j jV=
∞
0∪ [ wil\nog v L2 ( R ), tobto
j
jV
=
∞
0
∪ = L2 ( R ).
U knyhax [4, 9] navedeno neobxidni ta dostatni umovy vykonannq umov 1, 2 ta dos-
tatni umovy, za qkyx vykonu[t\sq umova 3.
Oznaçennq 16 [4]. Qkwo dlq funkci] ϕ ∈ L2 ( R ) vykonugt\sq umovy 1 – 3,
to poslidovnist\ Vj j{ } ≥0
, wo porodΩu[t\sq ci[g funkci[g, nazyva[t\sq
bahatorivnevym analizom u L2 ( R ). Pry c\omu funkcig ϕ nazyvagt\ f-
vejvletom.
Nexaj poslidovnist\ Vj j{ } ≥0
[ bahatorivnevym analizom u L2 ( R ). Poznaçy-
mo Wj = Vj + 1 � Vj , todi Vj + 1 = Vj � Wj = V0 � ⊕ =i
j
iW0 . OtΩe, v c\omu vypadku
L2 ( R ) = V0 � ⊕ =
∞
j jW0 .
Dlq bud\-qkoho f-vejvleta ϕ isnu[ funkciq ψ taka, wo systema funkcij
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
VYPADKOVI PROCESY U PROSTORAX SOBOL{VA – ORLYÇA 1353
ψ ψjk
j j
k
x k= −{ }/
∈
2 22 ( )
Z
[ ortonormovanym bazysom u Wj , a systema
ϕ ϕ
ψ ψ
0
22 2
k
jk
j j
x x k
x k
( ) ( ),
( ),
= −
= −/ j ≥ 0, k ∈ Z,
— ortonormovanym bazysom u L2 ( R ). Todi koΩnu funkcig z L2 ( R ) moΩna
zobrazyty u vyhlqdi
f (
x
) =
k
k k x
∈
∑
Z
α ϕ0 0 ( ) +
j k
jk jk x
=
∞
∈
∑ ∑
0 Z
β ψ ( ), (8)
de rqd (8) zbiha[t\sq v L2 ( R ). Rozklad (8) nazyva[t\sq vejvlet rozkladom.
Vidomo, wo f-vejvlet ϕ dopuska[ zobraΩennq ˆ ( )ϕ y = m y y0 2 2/ /( ) ( )ϕ̂ , de
m0 ( y ) — 2 π-periodyçna funkciq z prostoru L2 ( 0, 2 π ), ˆ ( )ϕ y — peretvorennq
Fur’[ funkci] ϕ. Todi funkcig ψ = ψ( ),x x ∈{ }R ∈ L2 ( R ) z (8) moΩna znaj-
ty qk obernene peretvorennq Fur’[ do funkci]
ψ( )y = m
y
i
y y
0 2 2 2
+
−{ }
π ϕexp ˆ . (9)
Pryklady vejvlet funkcij moΩna znajty v usix knyhax iz vejvlet analizu.
Umova S. Nexaj ϕ — f-vejvlet. Dlq ϕ vykonu[t\sq umova S, qkwo isnu[
monotonna nezrostagça funkciq Φ
(
x
), x ≥ 0, taka, wo
| ϕ
(
x
) | ≤ Φ x( ) ta
R
∫ ( )Φ x dx < ∞.
Umova S ( N ). Dlq funkci] ϕ vykonu[t\sq umova S ( N ), de N ≥ 0 — deqke ci-
le çyslo, qkwo dlq ϕ vykonu[t\sq umova S ta
R
∫ ( )Φ x x dxN < ∞.
Navedemo dva kompleksy umov, qki moΩut\ zadovol\nqty f-vejvlety:
K1
) dlq ϕ vykonu[t\sq umova S ( N ) ϕ naleΩyt\ prostoru Sobol[va
Wq
N ( )R , N ≥ 0, q > 1;
K2
) dlq ϕ vykonu[t\sq umova S ( N ) ta odne z çotyr\ox prypuwen\:
a1
) ϕ ∈ Wq
N −1( )R , N ≥ 1, q > 1;
a2
) | m0
( y
) | = 1 + o y N2 1( )−( ) pry y → 0, de m0
( y
) — funkciq, wo vyzna-
çena v (9), N ≥ 1;
a3
)
R∫ x x dxn ψ( ) = 0, n = 0, 1, … , N – 1, N ≥ 1, de ψ — m-vejvlet, wo
vidpovida[ ϕ;
a4
) ˆ ( )ϕ πy k− 2 = o y N −( )1
pry y → 0, k ≠ 0, N ≥ 1.
U knyzi [4] navedeno pryklady system vejvletiv, dlq qkyx vykonugt\sq
kompleksy umov K1
, K2
. Ce, zokrema, vejvlety Dobeßi, symplety.
Dlq vypadkovoho procesu X = X t t( ), ∈{ }R , E X ( t ) = 0, takoho, wo nale-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1354 G. V. KOZAÇENKO, T. O. QKOVENKO
Ωyt\ prostoru L2 ( R ) z imovirnistg odynycq i dlq bud\-qko] systemy vejvletiv
ma[ misce rozklad
X ( t ) =
k
k k t
∈
∑
Z
ξ ϕ0 0 ( ) +
j k
jk jk t
=
∞
∈
∑ ∑
0 Z
η ψ ( ), (10)
de ξ0 k ta η
j k — taki vypadkovi velyçyny, wo
ξ0 k =
− ∞
+ ∞
∫ X t t dtk( ) ( )ϕ0 , η
j k =
− ∞
+ ∞
∫ X t t dtjk( ) ( )ψ .
Rqd (10) zbiha[t\sq v L2 ( R ) z imovirnistg odynycq. Rozhlqnemo nablyΩennq
vypadkovoho procesu X çastynnog sumog rqdu (10):
Xn ( t ) =
k
k k t
∈
∑
Z
ξ ϕ0 0 ( ) +
j
n
k
jk jk t
=
−
∈
∑ ∑
0
1
Z
η ψ ( ).
Zrozumilo, wo Xn ( t ) zbiha[t\sq do X ( t ) pry n → ∞ v normi prostoru L2 ( R ) z
imovirnistg odynycq, tobto z imovirnistg odynycq
X t X tn L( ) ( ) ( )−
2 R
→ 0 pry n → ∞.
Doslidymo ßvydkist\ ci[] zbiΩnosti u vypadku, koly vypadkovyj proces X
naleΩyt\ prostoru Lp ( Ω ), p ≥ 2.
Teorema 7. Nexaj çysla p i q taki, wo 2 ≤ p ≤ q, vypadkovyj proces X =
X t t( ), ∈{ }R [ centrovanym, separabel\nym, vymirnym, N raziv
dyferencijovnym za normog v Lp ( Ω ) i vykonugt\sq nastupni umovy:
1) ∀ a, b ∈ R, b – a ≤ 1, ∀ k = 0, N :
sup ( )
, ( )t a b
k
L
X t
p∈[ )
[ ]
Ω
= sup ( )
,t a b
k p p
X t
∈[ )
[ ]( ) /
E
1
≤
1
max ,a b{ }( )τ ,
de τ >
1
1
1
1
−
+ −
γ
γ
p q
i 0 < γ < 1 — deqke fiksovane çyslo;
2) ∀ a, b ∈ R, b – a ≤ 1,
sup ( ) ( )
, ,
t s h
t s a b
N N p p
X t X s
− ≤
∈[ )
[ ] [ ]−( ) /
E
1
≤ Ca,b h
α
,
de α >
1
p
–
1
q
, ta isnu[ 0 < c < ∞ take, wo
Ca,b ≤
c
b a
X t
a t b
N p p
( )
sup ( )
− ( )
≤ <
[ ] /
α E
1
.
Todi:
b1
) qkwo dlq f-vejvleta ϕ vykonu[t\sq kompleks umov K1
, to z imovir-
nistg odynycq 2Nn
n LX t X t
q
( ) ( ) ( )−
R
→ 0 pry n → ∞;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
VYPADKOVI PROCESY U PROSTORAX SOBOL{VA – ORLYÇA 1355
b2
) qkwo dlq f-vejvleta ϕ vykonu[t\sq kompleks umov K2
, to z imovir-
nistg odynycq X t X tn Lq
( ) ( ) ( )−
R
= O Nn
1
2
pry n → ∞.
Dovedennq. V c\omu vypadku funkciq W ( x ) = x q p/
, x ∈ R, [ opuklog,
| x | � | x | p i dlq | x | p vykonu[t\sq umova M vidnosno koΩno] z mnoΩyn [ a, b ),
a, b ∈ R.
Rozhlqnemo funkcig f ∈ Lq ( R ), q > 1, fn — nablyΩennq funkci] f çastyn-
nog sumog rqdu (8). U knyzi [4] dovedeno taki tverdΩennq:
1. Nexaj dlq f-vejvleta ϕ vykonu[t\sq kompleks umov K1
, todi qkwo
f ∈ Wq
N ( )R , to 2Nn
n Lf f
q
− ( )R
→ 0 pry n → ∞;
2. Nexaj dlq f-vejvleta ϕ vykonu[t\sq kompleks umov K2
, todi qkwo
f ∈ Wq
N ( )R , to f fn Lq
− ( )R
= O Nn
1
2
pry n → ∞.
TverdΩennq vidpovidno] teoremy takoΩ navedeno v knyzi [9, c. 97].
Oskil\ky dlq tra[ktorij vypadkovoho procesu X vykonugt\sq umovy teore-
my 6, a otΩe, vony naleΩat\ prostoram Sobol[va Wq
N ( )R , to zvidsy i vyplyva[
tverdΩennq teoremy.
U vypadku, koly p = 2, vidpovidni umovy nakladagt\sq na korelqcijnu
funkcig vypadkovoho procesu.
Naslidok. Nexaj q ≥ 2, X = X t t( ), ∈{ }R , E X ( t ) = 0, — separabel\nyj, vy-
mirnyj proces iz prostoru L2 ( Ω ), dlq joho korelqcijno] funkci] R ( t, s ) isnu-
gt\ neperervni poxidni
∂
∂ ∂
k
k lt s
R t s
+1
( , ), k, l = 1, N , N ≥ 1, i vykonugt\sq umovy:
1) ∀ a, b ∈ R, b – a ≤ 1, ∀ k = 0, N :
sup
( , )
,t a b
k
k
R t t
t∈[ )
∂
∂
2
2 ≤ 1
2max ,a b{ }( ) τ , de τ >
1
1
1
1
2−
+ −
γ
γ
q
i 0 < γ < 1;
2) ∀ a, b ∈ R, b – a ≤ 1, α >
1
2
–
1
q
:
sup
( , ) ( , ) ( , )
, ,
t s h
t s a b
N
N
N
N N
N
N
R t t
t
R t s
t s
R s s
s− ≤
∈[ )
−
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2 2
22 ≤ Ca,b h
2 α
ta isnu[ 0 < c < ∞ take, wo
Ca,b ≤
c
b a
R t t
ta t b
N
N( )
sup
( , )
− ≤ <
2
2
2α
∂
∂
.
Todi:
b1
) qkwo dlq f-vejvleta ϕ vykonu[t\sq kompleks umov K1
, to z imovir-
nistg odynycq 2Nn
n LX t X t
q
( ) ( ) ( )−
R
→ 0 pry n → ∞.
b2
) qkwo dlq f-vejvleta ϕ vykonu[t\sq kompleks umov K2
, to z imovir-
nistg odynycq X t X tn Lq
( ) ( ) ( )−
R
= O Nn
1
2
pry n → ∞.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1356 G. V. KOZAÇENKO, T. O. QKOVENKO
Dovedennq. TverdΩennq naslidku vyplyva[ z vidomyx faktiv z L 2 ( Ω )-teo-
ri]. A same, centrovanyj vypadkovyj proces ma[ N neperervnyx poxidnyx u se-
redn\omu kvadratyçnomu todi i lyße todi, koly isnugt\ neperervni poxidni
∂
∂
k l
k lt s
R t s
+
∂
( , ), k, l = 0, N .
Pry c\omu
E X tk[ ]( )
2
=
∂
∂
2
2
k
k
R t t
t
( , )
, k = 0, N ,
E X t X sN N[ ] [ ]−( ) /
( ) ( )
2 1 2
=
∂
∂
2
2
N
N
R t t
t
( , )
– 2
2∂
∂
N
N N
R t s
t s
( , )
∂
–
∂
∂
2
2
N
N
R s s
s
( , )
.
OtΩe, tverdΩennq naslidku vyplyva[ z teoremy 7.
Vysnovky. V roboti znajdeno umovy, za qkyx tra[ktori] vypadkovyx procesiv
iz prostoriv Orlyça vypadkovyx velyçyn naleΩat\ z imovirnistg odynycq pro-
storam Sobol[va – Orlyça ta klasyçnym prostoram Sobol[va. Za dopomohog
otrymanyx rezul\tativ ocineno ßvydkist\ zbiΩnosti vejvlet rozkladiv tra[k-
torij vypadkovyx procesiv u normi prostoru Lq ( R ).
1. Krasnosel\skyj M. A., Rutyckyj Q. B. V¥pukl¥e funkcyy y prostranstva Orlyça. – M.:
Fyzmathyz, 1958. – 271 s.
2. Buldygin V. V., Kozachenko Yu. V. Metric characterization of random variables and random
processes. – Providence: Amer. Math. Soc., 2000. – 289 p.
3. Kozaçenko G. V., Qkovenko T. O. Umovy naleΩnosti vypadkovyx procesiv deqkym funkcio-
nal\nym prostoram Orlyça // Visn. Ky]v. un-tu. – 2002. – # 5. – S. 64 – 74.
4. Härdle W., Kerkyacharian G., Picard D., Tsybakov A. Wavelets, approximation and statistical
applications. – New York: Springer, 1998. – 265 p.
5. Rao M. M., Pen Z. D. Theory of Orlicz spaces. – New York etc.: Marsel Dekker, Ink., 1991. –
445 p.
6. Yakovenko T. Conditions under which processes belong to Orlicz space in case of noncompact
parametric set // Theory Stochast. Processes. – 2004. – 10(26), issue 1 – 2. – P. 178 – 183.
7. Daubechies I. Ten lecture on wavelets. – Philadelphia: Soc. Industrial and Appl. Math., 1992. –
324 p. (Dobeßy Y. Desqt\ lekcyj po vejvletam: Per. s anhl. – M.; YΩevsk: RXD, 2001. –
463Vs.)
8. Chui C. K. An introduction to wavelets. – New York: Acad. Press, 1992. – 266 p. (Çuy Ç. Vvede-
nye v vejvlet¥: Per. s anhl. – M.: Myr, 2001. – 412 s.)
9. Kozaçenko G. V. Lekci] z vejvlet analizu. – Ky]v: TViMS, 2004. – 147 s.
OderΩano 12.04.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3537 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:23Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c3/2ad78e7e0233aeb3833fe5dc6d27bec3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35372020-03-18T19:57:10Z Random processes in Sobolev-Orlicz spaces Випадкові процеси у просторах Соболева - Орлича Kozachenko, Yu. V. Yakovenko, T. O. Козаченко, Ю. В. Яковенко, Т. О. We establish conditions under which the trajectories of random processes from Orlicz spaces of random variables belong with probability one to Sobolev-Orlicz functional spaces, in particular to the classical Sobolev spaces defined on the entire real axis. This enables us to estimate the rate of convergence of wavelet expansions of random processes from the spaces $L_P({\Omega})$ and $L_2({\Omega})$ in the norm of the space $L_q(\mathbb{R})$. Знайдено умови належності з імовірністю одиниця траєкторій випадкових процесів із просторів Орлича випадкових величин функціональним просторам Соболєва - Орлича, зокрема класичним просторам Соболєва, що визначені на всій дійсній осі. Це дало змогу оцінити швидкість збіжності вейвлет розкладів випадкових процесів із просторів $L_P({\Omega})$ та $L_2({\Omega})$ у нормі простору $L_q(\mathbb{R})$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3537 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 10 (2006); 1340–1356 Український математичний журнал; Том 58 № 10 (2006); 1340–1356 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3537/3810 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3537/3811 Copyright (c) 2006 Kozachenko Yu. V.; Yakovenko T. O. |
| spellingShingle | Kozachenko, Yu. V. Yakovenko, T. O. Козаченко, Ю. В. Яковенко, Т. О. Random processes in Sobolev-Orlicz spaces |
| title | Random processes in Sobolev-Orlicz spaces |
| title_alt | Випадкові процеси у просторах Соболева - Орлича |
| title_full | Random processes in Sobolev-Orlicz spaces |
| title_fullStr | Random processes in Sobolev-Orlicz spaces |
| title_full_unstemmed | Random processes in Sobolev-Orlicz spaces |
| title_short | Random processes in Sobolev-Orlicz spaces |
| title_sort | random processes in sobolev-orlicz spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3537 |
| work_keys_str_mv | AT kozachenkoyuv randomprocessesinsobolevorliczspaces AT yakovenkoto randomprocessesinsobolevorliczspaces AT kozačenkoûv randomprocessesinsobolevorliczspaces AT âkovenkoto randomprocessesinsobolevorliczspaces AT kozachenkoyuv vipadkovíprocesiuprostorahsobolevaorliča AT yakovenkoto vipadkovíprocesiuprostorahsobolevaorliča AT kozačenkoûv vipadkovíprocesiuprostorahsobolevaorliča AT âkovenkoto vipadkovíprocesiuprostorahsobolevaorliča |