On minimization of one integral functional by the Ritz method
Using the variational method, we investigate a nonlinear problem with a Bernoulli condition in the form of an inequality on a free boundary. We prove a solvability theorem and establish the convergence of an approximate solution obtained by the Ritz method to the exact solution in certain metrics.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3540 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509649456857088 |
|---|---|
| author | Minenko, A. S. Миненко, А. С. Миненко, А. С. |
| author_facet | Minenko, A. S. Миненко, А. С. Миненко, А. С. |
| author_sort | Minenko, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:57:10Z |
| description | Using the variational method, we investigate a nonlinear problem with a Bernoulli condition in the form of an inequality on a free boundary. We prove a solvability theorem and establish the convergence of an approximate solution obtained by the Ritz method to the exact solution in certain metrics. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 917.988
A. S. Mynenko (Yn-t probl. yskusstven. yntellekta NAN Ukrayn¥, Doneck)
O MYNYMYZACYY ODNOHO
YNTEHRAL|NOHO FUNKCYONALA METODOM RYTCA
By using the variational method, we study a nonlinear problem in the case where the Bernoulli condition
is given in the form of inequality on a free boundary. We prove the theorem on the solvability and
establish the convergence of an approximate solution based on the Ritz method to the exact solution in
certain metrics.
Za dopomohog variacijnoho metodu doslidΩeno nelinijnu problemu, koly na vil\nij meΩi zadano
umovu Bernulli u vyhlqdi nerivnosti. Dovedeno teoremu rozv’qznosti. Vstanovleno zbiΩnist\
nablyΩenoho rozv’qzku, wo ©runtu[t\sq na metodi Ritca, do toçnoho rozv’qzku v deqkyx
metrykax.
V rabotax [1 – 6] yzuçaetsq nelynejnaq hydrodynamyçeskaq zadaça, kohda na
svobodnoj hranyce zadano uslovye typa Bernully v vyde neravenstva. Analyz
ymegwyxsq po πtoj probleme rezul\tatov y byblyohrafyg moΩno najty v ra-
bote [3]. V rabotax [7 – 10] yzloΩen metod mynymyzacyy nelynejnoho funkcyo-
nala, poqvlqgwehosq pry reßenyy teplofyzyçeskoj zadaçy typa Stefana. V
nastoqwej rabote πty rezul\tat¥ poluçyly dal\nejßee razvytye pry reßenyy
sledugwej hydrodynamyçeskoj zadaçy.
1. Postanovka zadaçy. Pust\ G — oblast\, ohranyçennaq snyzu otrezkom
A x a y= ≤ ≤ =( , )0 0 , po bokam vertykalqmy Q x y c1 0 0= = ≤ ≤( , ), Q x a2 = =( ,
0 ≤ ≤y b) y sverxu kryvoj P y g x: ( )= , 0 ≤ ≤x a , hde c < b , g c( )0 = ,
g a b( ) = . Otnosytel\no funkcyy g ( x ) predpolahaetsq, çto g x C a( ) [ , ]∈ 2 0 y
kryvaq y g x= ( ) ymeet horyzontal\n¥e uçastky Γ1 : y c= pry x a∈[ , ]0 1 ,
Γ2 : y b= pry x a a∈[ , ]2 , hde çysla a1 y a2 takye, çto a a1 2< , y, krome toho,
g ( x ) — monotonno vozrastagwaq kryvaq. Pust\, dalee, S y g x: ( )= pry
x a a∈[ , ]1 2 y γ — dostatoçno hladkaq kryvaq, raspoloΩennaq v G S∪ , pryçem
odnym koncom γ qvlqetsq toçka ( , )a c1 , a druhym — ( , )a b2 . Çerez G Gγ ⊂ bu-
dem oboznaçat\ odnosvqznug oblast\, ohranyçennug otrezkamy A , Q1, Q2 y
kryvoj Γ Γ Γ= 1 2∪ ∪γ .
Rassmotrym nelynejnug kraevug zadaçu so svobodnoj hranycej γ . Trebuet-
sq opredelyt\ paru ( ψ, γ ) , hde ψ ( x, y ) — funkcyq toka, sohlasno sledugwym
pravylam: funkcyq ψ ( x, y ) v oblasty Gγ udovletvorqet v klassyçeskom sm¥s-
le uravnenyg
ψ ψxx yy+ = 0, ( , )x y G∈ γ , (1)
neprer¥vna v Gγ , neprer¥vno dyfferencyruema v Gγ , za ysklgçenyem, voz-
moΩno, uhlov¥x toçek, y udovletvorqet uslovyqm
ψ( , )x y = 0, ( , )x y A∈ , (2)
ψx x y( , ) = 0, ( , )x y Q Q∈ 1 2∪ , (3)
ψ( , )x y = 1, ( , )x y ∈Γ ; ψ ψx yx y x y2 2( , ) ( , )+ ≥ ν2 , ( , )x y ∈γ (4)
(zdes\ ν = const > 0 ), pryçem na çasty γ , leΩawej vnutry G , vsehda v¥polnq-
etsq ravenstvo.
Nastoqwaq stat\q posvqwena pryblyΩennomu reßenyg zadaçy (1) – (4) me-
todom Rytca y yssledovanyg sxodymosty pryblyΩenyj Rytca k reßenyg zada-
çy (1) – (4).
2. Teorema suwestvovanyq. Zadaça (1) – (4) πkvyvalentna probleme myny-
muma funkcyonala
© A. S. MYNENKO, 2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1385
1386 A. S. MYNENKO
I ( ψ, γ ) = ( )ψ ψ ν
γ
x y
G
dxdy2 2 2+ +∫∫ (5)
na mnoΩestve R dopustym¥x par ( ψ, γ ) , udovletvorqgwyx sledugwym uslo-
vyqm: γ — Ωordanova duha, raspoloΩennaq v G S∪ , koncamy kotoroj qvlqgt-
sq toçky ( , )a c1 y ( , )a b2 , pryçem vse toçky γ , za ysklgçenyem toçky ( , )a c1 ,
raspoloΩen¥ v¥ße horyzontaly y = c; funkcyq ψ ( x, y ) neprer¥vna v zam¥-
kanyy oblasty Gγ , ravna edynyce na Γ, nulg na otrezke A, ymeet neprer¥vno
dyfferencyruem¥e proyzvodn¥e v Gγ , pry πtom I ( ψ, γ ) < ∞ .
Spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema)1. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq
ν b < 1, ν 1 2 2
1
2
+ + −∫ g dx
a a
bx
a
a
>
a a
c
− 1 (6)
y g x C a( ) [ , ]∈ 2 0 , g x c( ) = pry x a∈[ , ]0 1 , g x b( ) = pry x a a∈[ , ]2 , hde a1 <
< a2, y, krome toho, g ( x ) — monotonno vozrastagwaq kryvaq pry x ∈ [ 0, a ] .
Tohda suwestvuet para ( ψ , γ ) , qvlqgwaqsq reßenyem zadaçy (1) – (4) y
udovletvorqgwaq sledugwym uslovyqm: ψ ( x, y ) — funkcyq, neprer¥vnaq v
Gγ , neprer¥vno dyfferencyruemaq v Gγ , ψy ( x, y ) > 0 v Gγ ; γ — monoton-
no vozrastagwaq kryvaq, analytyçeskaq v okrestnosty kaΩdoj svoej toçky,
leΩawej vnutry G.
Dokazatel\stvo. Pust\ d — toçnaq nyΩnqq hran\ funkcyonala (5) na
mnoΩestve R. Na osnovanyy varyacyonnoj pryrod¥ zadaçy (1) – (4) s pomow\g
metoda symmetryzacyy Ítejnera y vnutrennyx varyacyj Íyffera [11] usta-
navlyvaetsq suwestvovanye par¥ ( ψ, γ ) ∈ R , udovletvorqgwej uslovyqm (1)I–
–I(4) y takoj, çto I ( ψ, γ ) = d , ψ γ γ∈C G C G2 1( ) ( )∩ . Dokazatel\stvo provodytsq
analohyçno tomu, kak πto sdelano v rabote [3] (sm. teoremuI1).
PokaΩem teper\, çto oblast\ Gγ ne moΩet celykom sovpadat\ s G. Pred-
poloΩym protyvnoe. Pust\ Gγ sovpadaet s G . Tohda yz formul¥ Hryna sle-
duet
∆ψ dxdy
G
∫∫ = ψ ψ ψ ψ
γ
y
a
y
a
a
y
a
x c dx
n
ds x b dx x dx( , ) ( , ) ( , )
0 0
1
2
0∫ ∫ ∫ ∫+ ∂
∂
+ − = 0.
Dalee, spravedlyv¥ predstavlenyq
ψ α( , ) ( ) ( , )x y y c x y= − +1 1, ( , ) ,x y x a c y c∈ = ≤ ≤ − ≤ ≤{ }Π1 1 10 δ ,
ψ α( , ) ( , )x y y x y= , ( , ) ,x y x a y∈ = ≤ ≤ ≤ ≤{ }Π 0 0 δ ,
ψ α( , ) ( ) ( , )x y y b x y= − +2 1, ( , ) ,x y a x a b y b∈ = ≤ ≤ − ≤ ≤{ }Π2 2 2δ ,
hde α( , )x y , α1( , )x y y α2( , )x y — dostatoçno hladkye funkcyy, a δ, δ1 y δ2
— nekotor¥e mal¥e velyçyn¥. Tohda ymeem
α ν α1
0
2
2
1
1
2
2
1( , ) ( , )x c dx g dx x b dx
a
x
a
a
a
a
∫ ∫ ∫+ + + = α( , )x dx
a
0
0
∫ .
Prymenyv zatem pryncyp maksymuma dlq harmonyçeskyx funkcyj, moΩno polu-
çyt\ sledugwye ocenky: α1 1( , ) /x c c≥ pry 0 ≤ x ≤ a1 , α2 1( , ) /x b b≥ pry
a2 ≤ x ≤ a y α( , ) /x c0 1≤ pry 0 ≤ x ≤ a . Dejstvytel\no, ψ ψ( , ) ( , )x y x y− 0 ≤
≤ 0 pry ( , ) ,x y x a y c∈ = ≤ ≤ ≤ ≤{ }Π0 0 0 , hde ψ0( , ) /x y y c= . Tohda ψ ( x, y ) –
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
O MYNYMYZACYY ODNOHO YNTEHRAL|NOHO FUNKCYONALA … 1387
– ψ0 ( x, y ) = ( ) ( , ) /y c x y y c− + −α1 1 pry x ∈ [ 0, a1 ] . Otsgda sleduet, çto
α1 1( , ) /x c c≥ pry 0 ≤ x ≤ a1 . Analohyçn¥m obrazom poluçym druhye ocenky.
Otsgda sleduet neravenstvo
a
c
g dx
a a
b
a
a
x
1 2 2
1
2
1+ + + −∫ν ≤ a
c
,
kotoroe protyvoreçyt vtoromu yz neravenstv (6).
Nakonec, s pomow\g metoda vnutrennyx varyacyj Íyffera [11], analohyç-
no tomu, kak πto sdelano v rabote [12] (sm. teoremuI2), ustanavlyvaetsq analy-
tyçnost\ svobodnoj hranyc¥ γ . Postroennoe reßenye ( ψ, γ ) qvlqetsq edynst-
venn¥m v sylu rezul\tatov [13] v klasse funkcyj ψy > 0 v Gγ . Takym obra-
zom, teorema dokazana.
Zameçanye)1. Rassmotrym sluçaj a1 = 0, a2 = a, tohda vtoroe yz nera-
venstv (6) ymeet vyd
νc g dxx
a
1 2
0
+∫ > a .
Reßaq teper\ neravenstvo
νc g a g( ) ( )−[ ]0 > a
otnosytel\no c, zaklgçaem, çto esly velyçyn¥ a a− 2 y a1 dostatoçno mal¥,
a parametr¥ a y c v¥byragtsq yz uslovyj
b b a
2 4
2
− −
ν
< c < b b a
2 4
2
+ −
ν
, ν b
2 ≥ 4 a ,
to vtoroe yz neravenstv (6) budet vsehda v¥polnqt\sq.
3. PryblyΩennoe reßenye zadaçy (1) – (4). Sohlasno yzvestnoj metodyke
Frydryxsa [13] predstavym funkcyonal (5) v klasse funkcyj ψy > 0 v Gγ
sledugwym obrazom:
I z1( ) =
∆
∫∫ +
+ +
z
g
g
z
g
z g
z
dx dx
x
2
2
2 21 ν ϕϕ
ϕ
, (7)
hde ∆ = < < < <( , )0 0 1x a ϕ , ϕ ψ( , ) ( , ( ))x z x zg x= , a z ( x, ϕ ) — reßenye urav-
nenyq ϕ ( x, z ) – ϕ = 0. Funkcyonal (7) budem mynymyzyrovat\ na mnoΩestve
dopustym¥x funkcyj
Dz = z z C z a z x z
z
: , ( , ) , ( , ) , min( )
( , )
∈ = = >
∈
1
1 1 1 0 0 0∆
∆ϕ
ϕ . (8)
Dalee, pust\ z x0( , )ϕ — funkcyq, sootvetstvugwaq klassyçeskomu reßenyg
( ψ, γ ) zadaçy (1) – (4). Oçevydno, çto z Dz0 ∈ y z x W0 2
1( , ) ( )ϕ ∈ ∆ .
Lemma)1. ∏lement z x0( , )ϕ dostavlqet naymen\ßee znaçenye funkcyona-
lu (7) na mnoΩestve (8).
Dokazatel\stvo. Yz formul¥ Frydryxsa [13] sleduet
I z1( ) = I z d
d
I z
d I z
d
d1 0 1
0 0
1 2
1
21( ) ( ) ( )
( )+ + −
=
∫ε
ε
ε
εε
ε
ε , (9)
hde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1388 A. S. MYNENKO
d I z
d
2
1
2
( )ε
ε
= 2 0 0 0
2 2
2 3
∆
∫∫ +
− +
+
∂
z z
g
g
z z z
g
g
z
z
g
g
z
dx dx
x
x
x
ϕ ϕ
ϕ
εϕ
δ δ δ ϕ , (10)
z — proyzvol\n¥j πlement yz Dz , z z z zε ε= + −0 0( ) , 0 ≤ ε ≤ 1. Vtoroe sla-
haemoe v pravoj çasty ravenstva (9), qvlqgweesq pervoj varyacyej funkcyona-
la (7), v¥çyslennoj na πlemente z0 , neotrycatel\no [3]. Sledovatel\no, πle-
ment z0 dostavlqet naymen\ßee znaçenye funkcyonalu (7) na mnoΩestve (8),
tak kak d I z d2
1
2( ) /ε ε — poloΩytel\no opredelenn¥j funkcyonal na varyacy-
qx δz z z= − 0.
Lemma dokazana.
V termynax funkcyy z ( x, ϕ ) zadaçu (1) – (4) moΩno zapysat\ sledugwym
obrazom:
–
z
z
g
g
z
z g z
x x
xϕ ϕ ϕ ϕ
+
+
′ ′
1 1
2 = 0, ( x, ϕ ) ∈ ∆ ,
z ( x, 0 ) = 0 x ∈ [ 0, a ] ,
z
z
g
g
z
z
x x
xϕ ϕ
+
= 0
= 0,
z
z
g
g
z
z
x x
x aϕ ϕ
+
=
= 0, ϕ ∈ [ 0, 1 ] ,
z
z
g
g
z
z g z
x x
ϕ ϕ ϕ
+
+
2
2 2
1 1 ≥ ν
2, x ∈ [ 0, a ] , ϕ = 1.
Oçevydno, çto reßenye πtoj zadaçy budet zavyset\ ot g x z z x g x( ) : ( , ; ( ))= ϕ ,
( , )x ϕ ∈∆ . Neposredstvenno proverqetsq, çto pry g ( x ) = b, x ∈ [ 0, a ] , reßeny-
em poslednej zadaçy qvlqetsq funkcyq z ( x, ϕ ) = ϕ , ( , )x ϕ ∈∆ .
Budem mynymyzyrovat\ funkcyonal (7) na mnoΩestve (8) s pomow\g summ
z x a g z x g z x a g xn kj n n
k
m
j
m
kj
j k
k
( , ; ( )) ( , ; ) ( , ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ= = =
= =
∑ ∑
1 0
, sup ( )
1≤ ≤
+
k m
kk m = n.
(11)
V¥delym v prostranstve Er koπffycyentov akj oblast\ dopustymosty Dr ,
hde
r =
k
m
km
=
∑ +
1
1( ) , Dr = E Gr r
0 ∩ + , E a ar
k
m
j
m
kj
j
k
0
1 0
1 1 0:
= =
∑ ∑ − = ,
Gr
+ = a z xkj
x
n: min ( , )
( , )ϕ
ϕ ϕ
∈
>
∆
0 ,
neyzvestn¥e koπffycyent¥ akj y mnoΩytel\ LahranΩa λ opredelqgtsq yz
nelynejnoj system¥ Rytca
∂
∂
+
I a
a
akj
pq
q2
1
( )
λ = 0, q = 0, 1, 2, … , mp , p = 1, 2, … , m,
(12)
k
m
j
m
kj
j
k
a a
= =
∑ ∑ −
1 0
1 1 = 0, I akj2( ) = I a x
k
m
j
m
kj
j k
k
1
1 0= =
∑ ∑
ϕ .
Netrudno proveryt\, çto funkcyq I akj2( ) prynymaet svoe naymen\ßee zna-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
O MYNYMYZACYY ODNOHO YNTEHRAL|NOHO FUNKCYONALA … 1389
çenye v nekotoroj vnutrennej toçke akj
∗
mnoΩestva Dr , leΩawej na koneçnom
rasstoqnyy ot naçala koordynat prostranstva Er [3]. Tohda v toçke akj
∗
çast-
n¥e proyzvodn¥e pervoho porqdka sootvetstvugwej funkcyy LahranΩa ravn¥
nulg. Sledovatel\no, systema uravnenyj (12) ymeet reßenye.
Yssleduem teper\ zavysymost\ koπffycyentov Rytca akj ot g ( x ) .
Lemma)2. Pust\ systema Rytca ymeet reßenye pry nekotorom y g x= ∈0( )
∈ C a2 0[ , ]. Tohda reßenye a gkj ( ), λ( )g system¥ (12) neprer¥vno zavysyt ot
g ( x ) v nekotoroj okrestnosty πlementa g0 ( x ) .
Dokazatel\stvo. V¥berem razmernost\ prostranstva Er proyzvol\n¥m ob-
razom, oboznaçyv levug çast\ system¥ uravnenyj (12) çerez R a gpq kj( , ; )λ , a re-
ßenye, sootvetstvugwee πlementu g0 ( x ) , çerez apq , λ . Tohda ymegt mesto
sledugwye ravenstva:
R a gpq kj( , ; )λ 0 = 0, g = 0, 1, 2, … , mp , p = 1, 2, … , m, R a gkj00 0( , ) = 0,
hde
R a gkj00 0( , ) =
k
m
j
m
kj
j
k
a a
= =
∑ ∑ −
1 0
1 1.
PoloΩym takΩe
L =
∂( )
∂
R a g R a g
a
pq kj kj( , , ), ( , )
( , )
λ
λαβ
0 00 0 , L =
b
a
αβ
β
1
01
.
Zdes\
bαβ = 2 2
∆
∫∫ ∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
z
a
g
g
z
a
z
a
g
g
z
a
znx x n nx
pq
x n
pq
n
αβ αβ
ϕ –
– z
g
g
z
z
a
g
g
z
a
z
z
anx
x
n
nx
pq
x n
pq
n
n+
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂ϕ
ϕ
αβ
–
– z
g
g
z
z
a
g
g
z
a
z
z
anx
x
n
nx x n
n
n
pq
+
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂αβ αβ
ϕ
ϕ +
+
∂
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
∂
z
a
z
a
z
g
g
z
g
z
a
z
a
gdxd
z
n n
pq
nx
x
n
n n
pq n
ϕ
αβ
ϕ ϕ
αβ
ϕ
ϕ
ϕ2
2 3
1 .
Kvadratnaq matryca L ymeet porqdok r + 1. PokaΩem, çto det L ≠ 0. Pred-
poloΩym protyvnoe. Pust\ det L = 0. Tohda systema lynejn¥x alhebray-
çeskyx uravnenyj
L η = 0
ymeet nenulevoe reßenye η = ( , )η ηαβ00 = ( , )η η00 1 , η1 = ( )ηαβ . UmnoΩaq te-
per\ systemu lynejn¥x uravnenyj sootvetstvenno na ηαβ, ηpq , a zatem proyz-
vodq summyrovanye po p, q, α y β, s uçetom toho, çto
α β
αβ
β
α
η
= =
∑ ∑
1 0
1
m m
a = 0,
poluçaem v¥raΩenye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1390 A. S. MYNENKO
∆
∫∫ +
− +
+
z z
g
g
z z z
g
g
z
z
g
g
z
dxdn x
x
nx
x
n
n
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2 2
2 3 = 0,
hde
zn =
k
m
j
m
kj
j k
k
a x
= =
∑ ∑
1 0
ϕ , z =
k
m
j
m
kj
j k
k
x
= =
∑ ∑
1 0
η ϕ .
V¥raΩenye, stoqwee sleva, ravno nulg tohda y tol\ko tohda, kohda
z ( x, ϕ ) =
k
m
j
m
kj
j k
k
x
= =
∑ ∑
1 0
η ϕ ≡ 0, ( , )x ϕ ∈∆ .
Otsgda sleduet, çto ηαβ = 0, β = 0, 1, 2, … , mα , α = 1, 2, … , m. Tohda yz to-
ho, çto L η = 0, sleduet η00 0= . Takym obrazom, η η ηαβ= ( , )00 qvlqetsq
nulev¥m reßenyem system¥ lynejn¥x alhebrayçeskyx uravnenyj. Poluçyly
protyvoreçye. Sledovatel\no, det L ≠ 0. Prymenqq teper\ teoremu o neqvn¥x
funkcyqx, zaverßaem dokazatel\stvo lemm¥.
Ytak, reßyv systemu uravnenyj (12) pry kaΩdom n, moΩno zatem postroyt\
posledovatel\nost\ pryblyΩenyj (11) v vyde z x a zn kj n( ), ;ϕ ∗ ∗= . PryblyΩenyq
zn
∗
obrazugt mynymyzyrugwug posledovatel\nost\ dlq funkcyonala (7) na
mnoΩestve (8) (dokazatel\stvo provodytsq analohyçno tomu, kak πto sdelano v
rabote [3]).
Posledovatel\nost\ funkcyj zn ( x, ϕ ) pozvolqet dlq zadaçy (1) – (4) prybly-
Ωenno najty svobodnug hranycu γn y lynyy urovnq yn ( x, c ) funkcyj ψn ( x, y ) ,
qvlqgwyesq lynyqmy toka. Zdes\ znaçenyq postoqnnoj velyçyn¥ c prynadle-
Ωat promeΩutku [ 0, 1 ] . Pry πtom ymeem
γ n ny x: ( , )1 = g ( x ) zn ( x, 1 ) = g x a x
k
m
j
m
kj
j
k
( )
= =
∑ ∑
1 0
,
yn ( x, c ) = g ( x ) zn ( x, c ) = g x a x c
k
m
j
m
kj
j k
k
( )
= =
∑ ∑
1 0
,
hde n k m
k m
k= +
≤ ≤
sup ( )
1
, c ∈ [ 0, 1 ] , ( ψ n , γ n ) — pryblyΩennoe reßenye zadaçy (1) – (4).
4. Sxodymost\ pryblyΩenyj Rytca zn
∗∗
v C( )∆∆ . Ustanovym teper\ sxo-
dymost\ pryblyΩenn¥x reßenyj (11), postroenn¥x po metodu Rytca, k toçnomu
reßenyg z0 ( x, ϕ ) , sootvetstvugwemu reßenyg ( ψ, γ ) zadaçy (1) – (4). Spra-
vedlyva sledugwaq lemma.
Lemma)3. Pust\ funkcyq z x Wl
0 2( , ) ( )ϕ ∈ ∆ , hde l ≥ 2. Tohda moΩno po-
stroyt\ dopustym¥j mnohoçlen
un ( x, ϕ ) =
k
n
j
m
kj
j ka x
= =
∑ ∑
1 0
ϕ , n ≤ m,
takoj, çto
z un W0
2
2
1− ( )∆ = O
n l
1
2 2( )−
. (13)
Dokazatel\stvo. Vvedem nov¥e peremenn¥e ( ),ξ ζ sledugwym obrazom:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
O MYNYMYZACYY ODNOHO YNTEHRAL|NOHO FUNKCYONALA … 1391
x = 2 2a t( )τ − , cos
ξ
2
= 1 2− τ , ϕ = 2 1( )θ − t , cos
ζ
2
= 1 2− θ ,
hde t1 , t2 — proyzvol\n¥e çysla yz yntervala ( 0, 1 / 2 ) . Tohda prqmouhol\nyk
∆ perejdet v prqmouhol\nyk ∆1 1 2 1 2= < < < <( ),ξ ξ ξ ζ ζ ζ , hde
ξ1 = 2 1 2
2arccos −( )t , ξ2 = 2 1 1
22
2
arccos − +
t ,
ζ1 = 2 1 1
2arccos −( )t , ζ2 = 2 1 1
21
2
arccos − +
t .
PoloΩym teper\ z x u0( ( ) ( )) ( ), ,ξ ϕ ζ ξ ζ= . Oçevydno, çto u Wl( ), ( )ξ ζ ∈ 2 1∆ .
ProdolΩym zatem funkcyg u( ),ξ ζ na prqmouhol\nyk ∆∗ = < <( ,0 ξ π
0 < <ζ π) s soxranenyem klassa [14] y oboznaçym prodolΩennug funkcyg çe-
rez u∗( ),ξ ζ . ∏to prodolΩenye vsehda moΩno osuwestvyt\ takym obrazom, çto-
b¥ funkcyq u∗
y vse ee proyzvodn¥e do porqdka l vklgçytel\no b¥ly ravn¥
nulg v nekotoroj pryhranyçnoj poloske oblasty ∆∗. RazloΩym funkcyg
u∗( ),ξ ζ v rqd Fur\e po kosynusam:
u∗( ),ξ ζ =
k
kb k
=
∞
∑
0
( ) cosξ ζ , bk( )ξ = 2
0
π
ξ ζ ζ ζ
π
∫ ∗u k d( ), cos .
PoloΩym
σ ξ ζn( ), =
k
n
kb k
=
∑
0
( ) cosξ ζ , ρ ξ ζn( ), = u n
∗ −( ) ( ), ,ξ ζ σ ξ ζ
y ocenym yntehral
F n( )ρ =
0
2 2
2
0
ππ ρ
ξ
ρ
ζ
ρ ξ ζ∫∫ ∂
∂
+ ∂
∂
+
n n
n d d
s pomow\g ravenstva Parsevalq. Tohda poluçym
F n( )ρ ≤ 1
1 2 1
2
2( ) ( ) ( )n
ul Wl+ −
∗
∗∆
.
Vozvratymsq zatem k star¥m peremenn¥m ( x, ϕ ) . Dlq πtoho rassmotrym funk-
cyg
R ( x, ϕ ) = z x S x0( , ) ( , )ϕ ϕ− = ρ ξ ζ ϕn x( )( ), ( ) , ( ),ξ ζ ∈∆1,
hde
S ( x, ϕ ) = σ ξ ζ ϕn x( )( ), ( ) =
k
n
kb x k
=
∑
0
( )( ) cos ( )ξ ζ ϕ =
=
k
n
kb x k
=
∑ −[ ]{ }
0
22 1( )( ) cos arccos ( )ξ θ ϕ = f xk
k
k
n
( )ϕ
=
∑
0
4
.
Dalee, razloΩyv funkcyg σ ξ ζn( ), v rqd Fur\e po kosynusam
σ ξ ζn( ), =
i
id i
=
∞
∑
0
( ) cosζ ξ, di( )ζ = 2
0
π
σ ξ ζ ξ ξ
π
∫ n i d( ), cos
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1392 A. S. MYNENKO
y vnov\ povtoryv v¥polnenn¥e v¥ße preobrazovanyq, postroym mnohoçlen
Qn ( x, ϕ ) . Odnako on moΩet okazat\sq nedopustym¥m. Poπtomu predstavym eho
v vyde
Qn ( x, ϕ ) = T x p xn( , ) ( )ϕ + ,
hde
T xn( , )ϕ =
k
n
i
m
kj
i ka x
= =
∑ ∑
1 0
ϕ , p x( ) =
i
m
i
ia x
=
∑
0
0 .
Tohda yz ocenok
0
2
a
p x dx∫ ( ) = O
n l
1
2 1( )−
,
0
2a
dp
dx
dx∫
= O
n l
1
2 2( )−
sleduet, çto uslovye (13) v¥polnqetsq y T xn( , )0 0= , T an( , )1 1 1= ; esly po-
slednee uslovye ne v¥polnqetsq, neobxodymo rassmotret\ mnohoçlen ˜ ( , )T xn ϕ =
= T x T an n( , ) ( , )/ϕ 1 1 . Polahaq teper\ un ( x, ϕ ) = Tn ( x, ϕ ) , moΩno dlq lgboho
ε > 0 ukazat\ nomer N stepeny mnohoçlena Qn ( x, ϕ ) , naçynaq s kotoroho
z Qn C0 1− <( )∆ ε , a tohda y z un C0 1 2− <( )∆ ε . Poπtomu min Tnϕ > 0 pry
( , )x ϕ ∈∆ .
Lemma dokazana.
Perejdem k yssledovanyg sxodymosty pryblyΩenyj (11).
Teorema)2. Pust\ v¥polnen¥ vse predpoloΩenyq teorem¥I1 y z 0 ( x, ϕ )I∈
∈ Wl
2 ( )∆ , l ≥ 6. Tohda posledovatel\nost\ pryblyΩenyj Rytca (11) sxodytsq
k toçnomu reßenyg z0 ( x, ϕ ) po norme v C( )∆ y W2
1( )∆ .
Dokazatel\stvo. Posledovatel\nost\ mnohoçlenov (11), koπffycyent¥
kotor¥x udovletvorqgt systeme (12), obrazuet mynymyzyrugwug posledova-
tel\nost\ zn
∗
dlq funkcyonala (7) na mnoΩestve (8). Sledovatel\no, ymeem
εn = I z I zn1 1 0( ) ( )∗ − → 0
pry n → ∞ , tak kak, sohlasno lemmeI1, πlement z0 dostavlqet naymen\ßee
znaçenye funkcyonalu I z1( ) na mnoΩestve Dz .
Dalee, dlq vtoroj varyacyy funkcyonala (10) spravedlyva ocenka
d I z
d
2
1
2
( )ε
ε
≤ α δz
W2
1
2
( )∆
pry nekotoroj postoqnnoj α, kohda δz z z= − 0, a z — proyzvol\n¥j πlement
yz Dz . Poπtomu esly un ( x, ϕ ) — mnohoçlen, opredelenn¥j v lemmeI3, to, ys-
pol\zuq formulu (9) y neotrycatel\nost\ pervoj varyacyy funkcyonala (7) na
πlemente z0 , poluçaem
εn = I z I zn1 1 0( ) ( )∗ − ≤ I u I zn1 1 0( ) ( )− = O
nl
1
2−
,
tak kak
dI z
d
1
0
( )ε
εε =
=
a
a x
xz
g
g
z
z g z
g z x dx
1
2
0 0
0
2
2
0
2
1 1∫ −
+
−
ν δ
ϕ ϕ
( , ) ≤ β δz W2
1( )∆
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
O MYNYMYZACYY ODNOHO YNTEHRAL|NOHO FUNKCYONALA … 1393
pry nekotoroj postoqnnoj β y z z z znε ε= + −∗
0 0( ). Zatem opqt\ yspol\zuq
formulu (9), poluçaem neravenstvo
0
1 2
1
21∫ −( )
( )ε
ε
εεd I z
d
d ≤ εn . (14)
Prymenqq teper\ teoremu A. A.IMarkova [15], sohlasno kotoroj maksymum mo-
dulq proyzvodnoj mnohoçlena n-j stepeny na promeΩutke dlyn¥ h ne prev¥-
ßaet proyzvedenyq 2 2n h/ na maksymum modulq samoho mnohoçlena, poluçaem,
polahaq η ϕ ϕ ϕn nx z x z x( , ) ( , ) ( , )= −∗
0 , sledugwye ocenky:
max ( , )
( , )x
z x
ϕ
εϕ ϕ
∈∆
≤ 2 20
2
0M n A Mn+ +ε ( ),
hde
A0 = max ( , )
( , )x
z x
ϕ
ϕ
∈∆
0 , M0 = max ( , )
( , )x
z x
ϕ
ϕ ϕ
∈∆
0 ,
Mn = max ( , )
( , )x
n x
ϕ
η ϕ
∈∆
, max
( , )x
nz
ϕ
ϕ
∈∆
≤ 2 0
2( )A M nn+ .
Tohda yz neravenstva (14) sleduet, çto
0
1
0
2
0
3
21
2 2
∫ ∫∫−
+ +[ ]
( )
( )
ε ε
ε
η ϕϕ
d
b M n A M
dxd
n
n
∆
≤
0
1 2
31∫ ∫∫−( )ε
δ
ε ϕϕ
εϕ∆
z
gz
d dxd ≤
εn
2
,
hde η δn nz z z= = −∗
0 . Otsgda posle yntehryrovanyq po ε v¥tekaet ocenka
η ϕ ϕϕn x dx d2 ( , )
∆
∫∫ ≤ µn , (15)
hde
µn = 8 0
2
0
2
0M b M n A Mn n+ +[ ]( ) ε .
Yspol\zuq teper\ „neravenstvo Koßy s ε “ y pervoe slahaemoe v pod¥nteh-
ral\nom v¥raΩenyy (10), ymeem
( )1 1 0
2
2
− +
∫∫ε η η ϕϕz
g
g
dx dnx
x
n
∆
≤
µ
ε
η ϕϕ
n
n x
x
cb
z
g
g
z dx d+ −
+
∫∫1 1
1
2
0 0
2
∆
,
hde ε1 — nekotoroe dostatoçno maloe çyslo. Vnov\ prymenqq neravenstvo Ko-
ßy y uçyt¥vaq, çto min z0 0ϕ > pry ( , )x ϕ ∈∆ , pryxodym k ocenke
η ϕnx dx d2
∆
∫∫ ≤ R dx d R dx dn n1
2
2
2η ϕ η ϕϕ
∆ ∆
∫∫ ∫∫+
pry nekotor¥x postoqnn¥x R1 y R2. Tohda yz (14) y (15) sledugt sootnoße-
nyq
η ϕ ϕn x dx d2( , )
∆
∫∫ ≤ c n1µ , η ϕ ϕnx x dx d2 ( , )
∆
∫∫ ≤ c n2µ , (16)
hde c1 y c2 — postoqnn¥e. Dlq zaverßenyq dokazatel\stva teorem¥ pryme-
nym rezul\tat¥ L.IV.IKantorovyça otnosytel\no mynymyzacyy kvadratyçn¥x
funkcyonalov metodom Rytca (sm. [15, c. 358 – 362; 16, c. 32 – 35]). Pry πtom
uçtem porqdok velyçyn¥ εn , esly l = 6. Tohda poluçym neravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
1394 A. S. MYNENKO
Mn ≤ A
n
n
n
M A
nn1 2 2 2
1 1 1ln ln+ + . (17)
Zdes\ A1 y A2 — nekotor¥e postoqnn¥e. Yz posledneho neravenstva sleduet,
çto Mn → 0 pry n → ∞ . Otsgda y yz neravenstv (15) y (16) budet sledovat\
utverΩdenye teorem¥.
Zameçanye)2. V sluçae g ( x ) = b, x ∈ [ 0, a ] , poluçaem z x b0( , ; )ϕ = ϕ ∈
∈ Wl
2 ( )∆ , l ≥ 6, xotq na samom dele l moΩet b¥t\ lgb¥m cel¥m çyslom, t. e.
ymeem sxodymost\ z x bn( , ; )ϕ k z x b0( , ; )ϕ po norme v C( )∆ . Poskol\ku
z x gn( , ; )ϕ neprer¥vno zavysyt ot g x C a( ) [ , ]∈ 2 0 v nekotoroj okrestnosty πle-
menta g0 ( x ) = b, predel\naq funkcyq z x g0( , ; )ϕ takΩe budet neprer¥vno
zavyset\ ot g ( x ) v πtoj Ωe okrestnosty. Sledovatel\no, y neravenstvo (17)
soxranyt sm¥sl v nekotoroj maloj okrestnosty U ( b; g ) πlementa g0 ( x ) = b.
Ytak, poluçym sxodymost\ z x gn( , ; )ϕ k z x g0( , ; )ϕ po norme v C( )∆ dlq vsex
g ∈ U ( b; g ) .
1. Mynenko A. S. O varyacyonnom metode yssledovanyq odnoj nelynejnoj zadaçy potency-
al\noho teçenyq Ωydkosty // Nelynejn¥e hranyçn¥e zadaçy. – 1991. – V¥p.I3. – S. 60 – 66.
2. Mynenko A. S. Problema mynymuma odnoho klassa yntehral\n¥x funkcyonalov s neyzvest-
noj oblast\g yntehryrovanyq // Mat. fyzyka y nelynejnaq mexanyka. – 1991. – V¥p.I16. –
S.I48 – 52.
3. Mynenko A. S. Osesymmetryçnoe teçenye so svobodnoj hranycej // Ukr. mat. Ωurn. – 1995. –
47, # 4. – S. 477 – 488.
4. Minenko A. S. Axially symmetric flow // Fifth SIAM Conf. Optimization (Victotia, British Colum-
bia, May 20 – 22, 1996). – Victoria, 1996. – P. 12.
5. Mynenko A. S. O varyacyonnom metode yssledovanyq odnoj zadaçy vyxrevoho teçenyq Ωyd-
kosty so svobodnoj hranycej // Nelynejn¥e hranyçn¥e zadaçy. – 1993. – V¥p.I5. – S. 58 – 64.
6. Mynenko A. S. O varyacyonnom metode yssledovanyq odnoj nelynejnoj zadaçy potency-
al\noho teçenyq Ωydkosty // Tam Ωe. – 1991. – V¥p.I3. – S. 60 – 66.
7. Danylgk Y. Y., Mynenko A. S. O metode Rytca v odnoj nelynejnoj zadaçe so svobodnoj hra-
nycej // Dokl. AN USSR. Ser.IA. – 1978. – # 4. – S. 291 – 294.
8. Danylgk Y. Y., Mynenko A. S. Ob odnoj varyacyonnoj teplofyzyçeskoj zadaçe so svobod-
noj hranycej // Sb. dokladov konferencyy po smeßann¥m hranyçn¥m zadaçam dlq dyffe-
rencyal\n¥x uravnenyj s çastn¥my proyzvodn¥my y zadaçam so svobodn¥my hranycamy
(Ítuthart, 5 – 10 sent. 1978 h.). – Ítuthart, 1978. – S. 9 – 18.
9. Mynenko A. S. Ob odnoj teplofyzyçeskoj zadaçe so svobodnoj hranycej // Dokl. AN
USSR. Ser.IA. – 1979. – # 6. – S. 413 – 416.
10. Danylgk Y. Y., Mynenko A. S. O varyacyonnom metode yzuçenyq kvazystacyonarnoj zadaçy
Stefana // Uspexy mat. nauk. – 1981. – 43, # 5. – S. 228.
11. Garabedian P. R., Lewy H., Schiffer M. Axially symmetric cavitational flow // Ann. Math. – 1952.
– 56, # 3. – P. 560 – 602.
12. Mynenko A. S. Analytyçnost\ svobodnoj hranyc¥ v odnoj zadaçe osesymmetryçnoho
teçenyq // Ukr. mat. Ωurn. – 1998. – 50, # 12. – S. 1692 – 1700.
13. Friedrichs K. O. Uber ein Minimumproblem fur Potentialstromungen mit freiem Rande // Math.
Ann. – 1933. – 109. – P. 60 – 82.
14. Babyç V. M. K voprosu o rasprostranenyy funkcyj // Uspexy mat. nauk. – 1953. – 8, # 2. –
S. 111 – 113.
15. Kantorovyç L. V., Kr¥lov V. Y. PryblyΩenn¥e metod¥ v¥sßeho analyza. – M.: Fyzmathyz,
1962. – 708 s.
16. Vlasova Z. A. O metode pryvedenyq k ob¥knovenn¥m dyfferencyal\n¥m uravnenyqm // Tr.
Mat. yn-ta AN SSSR. – 1959. – 53. – S. 16 – 37.
Poluçeno 14.06.2005,
posle dorabotky — 07.10.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
|
| id | umjimathkievua-article-3540 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:28Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4a/fd28ab3dfb39a6ed9faa6994f987ee4a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35402020-03-18T19:57:10Z On minimization of one integral functional by the Ritz method О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца Minenko, A. S. Миненко, А. С. Миненко, А. С. Using the variational method, we investigate a nonlinear problem with a Bernoulli condition in the form of an inequality on a free boundary. We prove a solvability theorem and establish the convergence of an approximate solution obtained by the Ritz method to the exact solution in certain metrics. За допомогою варіаційного методу досліджено нелінійну проблему, коли на вільній межі задано умову Бернуллі у вигляді нерівності. Доведено теорему розв'язності. Встановлено збіжність наближеного розв'язку, що грунтується на методі Рітца, до точного розв'язку в деяких метриках. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3540 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 10 (2006); 1385–1394 Український математичний журнал; Том 58 № 10 (2006); 1385–1394 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3540/3816 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3540/3817 Copyright (c) 2006 Minenko A. S. |
| spellingShingle | Minenko, A. S. Миненко, А. С. Миненко, А. С. On minimization of one integral functional by the Ritz method |
| title | On minimization of one integral functional by the Ritz method |
| title_alt | О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца |
| title_full | On minimization of one integral functional by the Ritz method |
| title_fullStr | On minimization of one integral functional by the Ritz method |
| title_full_unstemmed | On minimization of one integral functional by the Ritz method |
| title_short | On minimization of one integral functional by the Ritz method |
| title_sort | on minimization of one integral functional by the ritz method |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3540 |
| work_keys_str_mv | AT minenkoas onminimizationofoneintegralfunctionalbytheritzmethod AT minenkoas onminimizationofoneintegralfunctionalbytheritzmethod AT minenkoas onminimizationofoneintegralfunctionalbytheritzmethod AT minenkoas ominimizaciiodnogointegralʹnogofunkcionalametodomritca AT minenkoas ominimizaciiodnogointegralʹnogofunkcionalametodomritca AT minenkoas ominimizaciiodnogointegralʹnogofunkcionalametodomritca |