Best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of many variables in uniform metric

We obtain estimates exact in order for the best approximations of the classes $B_{\infty,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of two variables in the metric of $L_{\infty}$ by trigonometric polynomials whose spectrum belongs to a hyperbolic cross. We also investigate the best approximations of the c...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2006
Hauptverfasser:	Romanyuk, A. S., Романюк, А. С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch Englisch
Veröffentlicht:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006
Online Zugang:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3541
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509649602609152
author	Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С.
author_facet	Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С.
author_sort	Romanyuk, A. S.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:57:10Z
description	We obtain estimates exact in order for the best approximations of the classes $B_{\infty,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of two variables in the metric of $L_{\infty}$ by trigonometric polynomials whose spectrum belongs to a hyperbolic cross. We also investigate the best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r},\quad 1 \leq p < \infty$, of periodic functions of many variables in the metric of $L_{\infty}$ by trigonometric polynomials whose spectrum belongs to a graded hyperbolic cross.
first_indexed	2026-03-24T02:44:28Z
format	Article
fulltext	UDK 517.5 A. S. Romangk (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev) NAYLUÇÍYE PRYBLYÛENYQ KLASSOV Bp r ,θθ PERYODYÇESKYX FUNKCYJ MNOHYX PEREMENNÁX V RAVNOMERNOJ METRYKE Exact-order estimates are obtained for the best approximations in the metric L∞ of classes B r ∞,θ of periodic functions of two variables by trigonometric polynomials with spectrum belonging to the hyperbolic cross. Best approximations in the metric L∞ of classes Bp r ,θ , 1 ≤ < ∞p , of periodic multivariable functions by trigonometric polynomials with spectrum belonging to the step-type hyperbolic cross are also investigated. OderΩano toçni za porqdkom ocinky najkrawyx nablyΩen\ u metryci L∞ klasiv B r ∞,θ perio- dyçnyx funkcij dvox zminnyx tryhonometryçnymy polinomamy zi spektrom iz hiperboliçnoho xresta. DoslidΩeno takoΩ najkrawi nablyΩennq v metryci L∞ klasiv Bp r ,θ , 1 ≤ < ∞p , pe- riodyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx tryhonometryçnymy polinomamy zi spektrom iz sxidçastoho hiperboliçnoho xresta. Vvedenye. V rabote yzuçagtsq nayluçßye pryblyΩenyq klassov Bp r ,θ peryo- dyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x tryhonometryçeskymy polynomamy s „nomeramy” harmonyk yz hyperbolyçeskyx krestov. Pohreßnost\ pryblyΩenyj ocenyvaetsq v ravnomernoj metryke. Parallel\no yssleduetsq vopros o voz- moΩnosty realyzacyy nayluçßyx pryblyΩenyj sootvetstvugwymy lynejn¥my metodamy. Ustanovlenn¥e v rabote ocenky dopolnqgt rezul\tat¥, poluçenn¥e v [1], hde moΩno oznakomyt\sq s sootvetstvugwej byblyohrafyej. Pryvedem neobxodym¥e v dal\nejßem oboznaçenyq y opredelenyq. Pust\ R d, d ≥ 1, — d-mernoe prostranstvo s πlementamy x x xd= …( , , )1 , ( x, y ) = x1 y1 + … + xd yd , y Lp d( )π , π π πd j d= −=∏ [ ; ] 1 , — prostranstvo 2π-pe- ryodyçeskyx po kaΩdomu arhumentu funkcyj f ( x ) , dlq kotor¥x f p = ( ) ( ) / 2 1 π π − ∫       d p p f x dx d < ∞ , 1 ≤ p < ∞ , f ∞ = ess sup ( ) x d f x ∈π < ∞ . Dalee budem predpolahat\, çto dlq funkcyj f Lp d∈ ( )π v¥polneno dopolny- tel\noe uslovye f x dxj( ) − ∫ π π = 0, j d= 1, . MnoΩestvo takyx funkcyj uslovymsq oboznaçat\ Lp d 0 ( )π . Dlq funkcyy f Lp d∈ 0 ( )π , 1 ≤ p ≤ ∞ , rassmotrym raznost\ pervoho porqd- ka po j -j peremennoj s ßahom h ∆h j f x, ( ) = f x x x h x x f xj j j d( , , , , , , ) ( )1 1 1… + … −− + y opredelym raznost\ l-ho porqdka ∆h j l f x, ( ) = ∆ ∆h j h j l f x, , ( )… � �� © A. S. ROMANGK, 2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1395 1396 A. S. ROMANGK v toçke xj s ßahom h. Dalee, esly k k kd= …( , , )1 , kj ∈N , j d= 1, , to sme- ßannaq raznost\ porqdka k s vektorn¥m ßahom h h hd= …( , , )1 opredelqetsq sledugwym obrazom: ∆h k f x( ) = ∆ ∆h k h d k d d f x 1 1 1, , ( )… . Pust\ zadan¥ vektor r r rd= …( , , )1 , rj > 0, j d= 1, , y çyslov¥e parametr¥ 1 ≤ θ ≤ ∞ , 1 ≤ p ≤ ∞ . Funkcyq f Lp d∈ 0 ( )π prynadleΩyt klassu Bp r ,θ, esly ∆h k p j j r j d f x dh h j d ( ) / θ θ π θ 1 1 1 + = ∏∫       ≤ 1, 1 ≤ θ < ∞ , sup ( ) h h k p j r j d f x h j∆ − = ∏ 1 ≤ 1, θ = ∞ . Pry πtom dlq vektorov k k kd= …( , , )1 y r r rd= …( , , )1 predpolahagtsq v¥- polnenn¥my uslovyq kj > rj , j d= 1, . Klass¥ Bp r ,θ b¥ly vveden¥ O.?V.?Beso- v¥m [2]; pry θ = ∞ B Hp r p r ,∞ = , hde Hp r — analohy klassov, vvedenn¥x S.?M.?Nykol\skym (sm., naprymer, [3, c. 182]). V posledugwyx rassuΩdenyqx nam budet udobno pol\zovat\sq sledugwym πkvyvalentn¥m opredelenyem klas- sov Bp r ,θ. Dlq vektorov k k kd= …( , , )1 , kj ∈Z , y s s sd= …( , , )1 , sj ∈N , j d= 1, , po- loΩym ρ ( s ) = k k k k kd s j sj j: ( , , ),= … ≤ <{ }− 1 1 2 2 y dlq f Lp d∈ 0 ( )π oboznaçym δ ρ s i k x k s f x f k e( , ) ˆ( ) ( , ) ( ) = ∈ ∑ , hde ˆ( ) ( ) ( ) ( , )f k f t e dtd i k t d = − −∫2π π — koπffycyent¥ Fur\e f ( x ) . Pust\ 1 < p < ∞ , r r rd= …( , , )1 , r j > 0, j d= 1, . Tohda klass¥ Bp r ,θ moΩno opredelyt\ sledugwym obrazom (sm., naprymer, [4]): Bp r ,θ = f x f f xB s r s s pp r( ) : ( , ) , ( , ) / θ θ θ θ δ=     ≤         ∑ 2 1 1 , 1 ≤ θ < ∞ , Bp r ,∞ = f x f f xB s s r s pp r( ) : sup ( , ) , ( , ) ∞ = ≤      2 1δ . Pryvedennoe opredelenye klassov Bp r ,θ moΩno rasprostranyt\ y na pre- del\n¥e znaçenyq p = 1 y p = ∞ , neskol\ko vydoyzmenyv pry πtom „blo- ky”??δs f x( , ) . Pust\ V tl( ), l ∈N , oboznaçaet qdro Valle Pussena porqdka 2 1l − : V tl( ) = 1 2 2 1 1 1 2 1 + + − −    = = + − ∑ ∑cos coskt k l l kt k l k l l . Sopostavym kaΩdomu vektoru s s sd= …( , , )1 , sj ∈N , j d= 1, , polynom ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 NAYLUÇÍYE PRYBLYÛENYQ KLASSOV Bp r ,θ … 1397 A xs( ) = V x V xsj sjj j j d 2 2 1 1( ) ( )−( )− = ∏ y dlq f Lp d∈ 0 ( )π oboznaçym A f xs( , ) = f x A xs( ) ( )∗ , hde ∗ — operacyq svertky. Tohda pry kaΩdom 1 ≤ p ≤ ∞ , r r rd= …( , , )1 , rj > > 0, j d= 1, , klass¥ Bp r ,θ opredelqgtsq sledugwym obrazom: Bp r ,θ = f x f A f xB s r s s pp r( ) : ( , ) , ( , ) / θ θ θ θ =     ≤         ∑ 2 1 1 , 1 ≤ θ < ∞ , Bp r ,∞ = f x f A f xB s s r s pp r( ) : sup ( , ) , ( , ) ∞ = ≤      2 1 . V dal\nejßem budem predpolahat\, çto koordynat¥ vektorov r r rd= …( , , )1 , soderΩawyxsq v opredelenyqx klassov, uporqdoçen¥ v vyde 0 < r1 = … = rν < < rν+1 ≤ … ≤ rd , a γ γ γ= …( , , )1 d — vektor s koordynatamy γ j jr r= / 1, j d= 1, . Pry yzloΩenyy rezul\tatov budet fyhuryrovat\ takΩe vektor ′r = = ( , , )′ … ′r rd1 , kotor¥j svqzan s vektorom r r rd= …( , , )1 tak, çto r r r1 1= ′ = … = ′ν y r r rj j1 < ′ < pry j d= +ν 1, . Sootvetstvenno ′ = ′ … ′γ γ γ( , , )1 d — vektor s ko- ordynatamy ′ = ′γ j jr r/ 1, j d= 1, . Pust\ Q sn r s n = ≤ ρ γ ( ) ( , ) ∪ . Tohda mnoΩestvo vektorov k k kd= …( , , )1 takyx, çto k Qn r∈ , naz¥vagt stupençat¥m hyperbolyçeskym krestom. Çerez S f xn γ ( , ) bu- dem oboznaçat\ çastnug summu Fur\e funkcyy f ( x ) vyda S f xn γ ( , ) = δ γ s s n f x( , ) ( , )≤ ∑ , kotorug naz¥vagt stupençatoj hyperbolyçeskoj summoj Fur\e. Ynohda nam udobno rassmatryvat\ mnoΩestvo Γ ( , )N γ , sootvetstvugwee mnoΩestvu Qn r . Po opredelenyg Γ ( , )N γ = k k k k k Nd j j d j: ( , , ),= … < ≤        = ∏1 1 0 γ , y πto mnoΩestvo naz¥vagt hyperbolyçeskym krestom. Çerez T N( , )γ budem oboznaçat\ mnoΩestvo polynomov t x( ) vyda t x( ) = c ek i k x k N ( , ) ( , )∈ ∑ Γ γ , a çerez T Qn r( ) — mnoΩestvo polynomov t x( ) vyda t x( ) = c ek i k x k Qn r ( , ) ∈ ∑ . Otmetym, çto v prynqt¥x oboznaçenyqx spravedlyv¥ vklgçenyq T Qn r( ) ⊂ T n( ),2 γ ⊂ T Qn d r( )( )+ γ , hde γ γ γ( )d d= +…+1 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1398 A. S. ROMANGK Dlq f Lp d∈ 0 ( )π opredelym velyçyn¥ E fN p, ( )γ = inf ( , )t T N pf t ∈ − γ , 1 ≤ p ≤ ∞ , E f Q p n r ( ) = inf ( )t T Q p n r f t ∈ − , 1 ≤ p ≤ ∞ , — nayluçßye pryblyΩenyq funkcyy f ( x ) tryhonometryçeskymy polynomamy s „nomeramy” harmonyk yz hyperbolyçeskoho y stupençatoho hyperbolyçeskoho krestov sootvetstvenno. Dlq funkcyonal\noho klassa F polahaem E FN p, ( )γ = sup ( ), f F N pE f ∈ γ , E F Q p n r ( ) = sup ( ) f F Q pE f n r ∈ . Poluçenn¥e rezul\tat¥ budem formulyrovat\ v termynax porqdkov¥x soot- noßenyj. Dlq funkcyj µ1( )N y µ2( )N zapys\ µ µ1 2<< oznaçaet, çto su- westvuet postoqnnaq C > 0 takaq, çto µ µ1 2( ) ( )N C N≤ . Sootnoßenye µ µ1 2� ravnosyl\no tomu, çto v¥polnen¥ porqdkov¥e neravenstva µ µ1 2<< y µ µ1 2>> . Otmetym, çto vse postoqnn¥e Ci , i = 1, 2, … , kotor¥e budut ys- pol\zovat\sq v rabote, mohut zavyset\ tol\ko ot tex parametrov, kotor¥e soder- Ωatsq v opredelenyqx klassov, metryky y razmernosty prostranstva R d. Nakonec, esly A — koneçnoe mnoΩestvo, to çerez A budem oboznaçat\ ko- lyçestvo eho πlementov. 1. Nayluçßye pryblyΩenyq klassov Br ∞∞ θθ, v metryke L∞∞ . Zdes\ m¥ ustanovym v dvumernom sluçae, t.?e. pry d = 2, toçn¥e po porqdku ocenky ve- lyçyn¥ E BN r , ,( )γ θ∞ ∞ . Spravedlyvo sledugwee utverΩdenye. Teorema31. Pust\ r1 > 0, 1 ≤ θ < ∞ . Tohda pry d = 2 ymeet mesto ocenka E BN r , ,( )γ θ∞ ∞ � N Nr− −1 1 1(log ) /θ . (1) Dokazatel\stvo. Ustanovym v (1) ocenku sverxu. Nam budet udobnee polu- çyt\ yskomug ocenku dlq velyçyn¥ E B Q r n r ( ),∞ ∞θ , yz kotoroj estestvenn¥m ob- razom pry 2 2 1n nN≤ < + moΩno zapysat\ porqdkovug ocenku sverxu dlq E BN r , ,( )γ θ∞ ∞ . Bolee toho, ocenku sverxu velyçyn¥ E B Q r n r ( ),∞ ∞θ m¥ provedem pry d ≥ 2. Ytak, pust\ f Br∈ ∞,θ. Rassmotrym pryblyΩagwyj polynom t f xn( , ) vyda t f xn( , ) = A f xs s n ( , ) ( , )γ ≤ ∑ , (2) hde çyslo n ∈N podobrano po zadannomu N yz sootnoßenyq 2 2 1n nN≤ < + . Tohda sohlasno (2) moΩno zapysat\ f x t f xn( ) ( , )− ∞ = A f xs s n ( , ) ( , )γ > ∞ ∑ ≤ A f xs s n ( , ) ( , ) ∞ > ∑ γ . (3) Rassmotrym dva sluçaq. Pust\ 1 < θ < ∞ . Tohda, prymenyv k poslednej summe yz (3) neravenstvo Hel\dera s pokazatelem θ y vospol\zovavßys\ zatem sootnoßenyem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 NAYLUÇÍYE PRYBLYÛENYQ KLASSOV Bp r ,θ … 1399 2− > ∑ α γ γ ( , ) ( , ) s s n � 2 1− −αn dn , α > 0, (4) budem ymet\ E f Qn r ( )∞ ≤ f x t f xn( ) ( , )− ∞ ≤ 2 1 ( , ) ( , ) / ( , )s r s n sA f xθ γ θ θ > ∞∑       × × 2 1 − ′ > ′ ∑       ( , ) ( , ) / s r s n θ γ θ << f nB nr d r ∞ − − ′ , ( )/ θ θ2 1 1 ≤ 2 1 1 1 1− − −nr dn( )( / )θ , hde 1 1 1/ /θ θ+ ′ = . Otsgda, poskol\ku f ( x ) — proyzvol\naq funkcyq yz Br ∞,θ , naxodym E BN r , ,( )γ θ∞ ∞ << N Nr d− − −1 1 1 1(log ) /θ . (5) V sluçae θ = 1, otpravlqqs\ ot (3), poluçaem E f Qn r ( )∞ ≤ 2 21− ∞ > ∑nr s r s s n A f x( , ) ( , ) ( , ) γ ≤ 2 1 1 − ∞ nr Bf r , ≤ 2 1−nr y, sledovatel\no, E BN r , ,( )γ ∞ ∞1 << N r− 1 . Ocenka sverxu v teoreme ustanovlena. Zameçanye31. Ocenku (5) moΩno utoçnyt\, esly v kaçestve pryblyΩagweho polynoma dlq f Br∈ ∞,θ yspol\zovat\ polynom ˜ ( , )t f xn = A f xs s n ( , ) ( , )′ ≤ ∑ γ . Tohda, provodq analohyçn¥e rassuΩdenyq y yspol\zuq vmesto (4) sootnoßenye [5, c. 11] 2− ′ > ∑ α γ γ ( , ) ( , ) s s n � 2 1− −α νn n , α > 0, (6) ymeem E f Qn r′ ∞( ) << 2 1 1 1 1− − −nr n( )( / )ν θ . Sledovatel\no, pry θ ∈ ∞( , )1 E BN r , ,( )′ ∞ ∞γ θ << N Nr− − −1 1 1 1(log ) /ν θ. Perejdem k ustanovlenyg v (1) sootvetstvugwej ocenky snyzu. Pry πtom bu- dem provodyt\ rassuΩdenyq, analohyçn¥e tem, kotor¥e prymenqlys\ V. N. Tem- lqkov¥m pry ustanovlenyy ocenky snyzu velyçyn¥ E HN r , ( )γ ∞ ∞ (sm., naprymer, [5, c. 55]). Rassmotrym vektor γ γ= ( , )1 2 , hde γ 2 1≥ , y po zadannomu N podberem n yz ravenstva n N= + +[log ]3 2 2γ . Pust\ S ( n, γ ) oboznaçaet mnoΩestvo vekto- rov s s s= ( , )1 2 , udovletvorqgwyx uslovyg n s s n< + ≤ +1 2 2 1γ , hde s j — ne- otrycatel\n¥e cel¥e çysla; pry fyksyrovannom j vse sj razlyçn¥. V takom sluçae dlq kolyçestva πlementov mnoΩestva S ( n, γ ) spravedlyvo sootnoßenye S n( , )γ � n . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1400 A. S. ROMANGK Rassmotrym funkcyg f xn( ) = 3 3 31 1 2 2 1 2 1 2 − + ∈ ∑ r s s s s s S n x x( ) ( , ) cos cosγ γ . Poskol\ku funkcyq g ( x ) = C x x s s r s s s s 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 23 3 3 = ∞ = ∞ − +∑ ∑ ( ) cos cosγ , s nekotoroj postoqnnoj C1 > 0, prynadleΩyt klassu Hr ∞ [5, c. 55], sohlasno teoreme?1.1 [5, c. 32] A g xs( , ) ∞ << 2 1 1 2 2− +r s s( )γ , s s1 2, ∈ N . Sledovatel\no, esly ˜ ( , )S n γ — mnoΩestvo tex vektorov s s s= ( , )1 2 , dlq koto- r¥x A f xs n( , ) ∞ ≠ 0 , to v sylu sootnoßenyq ˜ ( , )S n γ � S n( , )γ � n budem ymet\ fn B r ∞,θ = 2 1 ( , ) / ( , )s r s s nA f xθ θ θ ∑ ∞     � � 2 1 ( , ) ˜ ( , ) / ( , )s r s S n sA g xθ γ θ θ ∈ ∞∑       << 1 1 s S n∈ ∑       ˜ ( , ) / γ θ � n1/θ . (7) Takym obrazom, yz (7) zaklgçaem, çto funkcyq v( ) ( )/x C n f xn= − 2 1 θ s sootvet- stvugwej postoqnnoj C2 > 0 prynadleΩyt klassu Br ∞,θ . Teper\ rassmotrym funkcyg F xn( ) = ( )cos cos ( , ) 1 3 31 2 1 2+ ∈ ∏ s s s S n x x γ . Kak ustanovleno v [5, c. 56], sohlasno sootnoßenyg meΩdu çyslamy n y N F x T Nn( ) ( , )− ∈ ⊥1 γ , (8) hde T N⊥( , )γ oboznaçaet mnoΩestvo funkcyj vyda k N k k i k x k xa e ∈ +∑ Γ( , ) , ( ) γ 1 2 1 1 2 2 . Krome toho, dlq funkcyy F xn( ) v¥polnen¥ uslovyq F xn( ) ≥ 0, (9) ( ) ( )2 2 2 π π − ∫ F x dxn = 1. Dalee, pust\ t xN( ) — polynom nayluçßeho pryblyΩenyq funkcyy v( )x v metryke L∞ , soderΩawyj harmonyky s „nomeramy” yz Γ ( , )N γ . Tohda, s odnoj storon¥, prynymaq vo vnymanye, çto vse koπffycyent¥ Fur\e funkcyy F xn( ) neotrycatel\n¥, v sylu (8) moΩem zapysat\ v( ) ( ), ( )x t x F xN n−( ) = C n f x F xn n2 1− ( )/ ( ), ( )θ = = C n n s s n r s s 2 1 11 2 2 1 1 2 23− < + ≤ + − +∑/ ( )θ γ γ >> 3 11 1 2 2 1 1 1 − + − < + ≤ + ∑r n n s s n n( ) /θ γ � ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 NAYLUÇÍYE PRYBLYÛENYQ KLASSOV Bp r ,θ … 1401 � 3 1 1 1− −r nn /θ � N Nr− −1 1 1(log ) /θ . (10) S druhoj storon¥, v sylu neravenstva Hel\dera y vtoroho yz uslovyj (9) bu- dem ymet\ v( ) ( ), ( )x t x F xN n−( ) ≤ v( ) ( ) ( )x t x F xN n− ∞ 1 = = E F xN n, ( ) ( )γ v ∞ 1 = EN, ( )γ v ∞ . (11) Sopostavyv (10) y (11), poluçym ocenku EN, ( )γ v ∞ >> N Nr− −1 1 1(log ) /θ . Ocenka snyzu, a vmeste s nej y teorema dokazan¥. Zameçanye32. Kak sleduet yz dokazatel\stva teorem¥?1, porqdok nayluç- ßyx pryblyΩenyj E BN r , ,( )γ θ∞ ∞ v dvumernom sluçae realyzuetsq lynejn¥m me- todom. 2. Nayluçßye pryblyΩenyq klassov Bp r ,θθ , 1 ≤≤≤≤ p < ∞∞∞∞ , v L∞∞ . V [1] po- luçena ocenka sverxu velyçyn¥ E B Q p r n r ( ),θ ∞ , 1 ≤ p ≤ 2, y pokazano, çto pry 1 < p ≤ 2 πta ocenka ne realyzuetsq s pomow\g pryblyΩenyq lynejn¥my me- todamy. Zdes\ m¥ ustanovym ocenku sverxu velyçyn¥ E B Q p r n r′ ∞( ),θ v sluçae 2 < < p < ∞ . Yz πtoj ocenky y dokazannoj v [1] teorem¥?4.1 takΩe budet sledo- vat\, çto pryblyΩenyq klassov Bp r ,θ, 2 < p < ∞ , lynejn¥my metodamy v rav- nomernoj metryke ne realyzugt nayluçßye pryblyΩenyq E B Q p r n r′ ∞( ),θ . Krome toho, m¥ poluçym toçnug po porqdku ocenku nayluçßyx pryblyΩe- nyj klassov Bp r ,θ, 1 ≤ p ≤ ∞ , v metryke L∞ v sluçae d = 1, a takΩe ustano- vym porqdok velyçyn¥ E B Q p r n r ( ),θ ∞ , 1 ≤ p ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ 2, v mnohomernom slu- çae. Kak otmeçalos\ v¥ße, ocenka sverxu πtoj velyçyn¥ ustanovlena v [1]. Ymeet mesto sledugwaq teorema. Teorema32. Pust\ 2 < p < ∞ , r1 > 1 / p , 1 < θ < ∞ . Tohda pry d ≥ 2 E B Q p r n r′ ∞( ),θ << 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 − − − − ′ − − − ′− < ≤ < < ∞     n r p p n r p p n n ( / ) ( )( / )/ ( / ) ( )( / / ) , , , , ν θ ν θ θ θ hde 1 1 1/ /θ θ+ ′ = . Dokazatel\stvo. Pust\ Φ — nekotoroe koneçnomernoe lynejnoe podpro- stranstvo yz Lp . Oboznaçym çerez Φ⊥ podprostranstvo, ortohonal\noe Φ, t. e. dlq kaΩdoj funkcyy ϕ ∈Φ v¥polneno ravenstvo ( , )ϕ g = 0, g ∈ ⊥Φ . V prynqt¥x oboznaçenyqx, kak sledstvye obweho utverΩdenyq, poluçennoho S.?M.?Nykol\skym, ymeet mesto sootnoßenye inf ϕ ϕ ∈ − Φ f p = sup ( ) ( ) ( ) g g d p d f x g x dx ∈ ≤ − ⊥ ′ ∫ Φ 1 2π π , (12) 1 ≤ p ≤ ∞ , 1 1 1/ /′ + =p p . Otmetym, çto πto sootnoßenye ustanavlyvaetsq s pomow\g tex Ωe rassuΩ- denyj, çto y v odnomernom sluçae (sm., naprymer, [6, c. 25, 26]). Pust\ G Qn r 1 ⊥ ′( ) oboznaçaet mnoΩestvo funkcyj g L∈ 1 takyx, çto g 1 1≤ y dlq vsex f T Qn r∈ ′( ) ( , )f g = 0. V takom sluçae sohlasno (12) moΩem zapysat\ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1402 A. S. ROMANGK E B Q p r n r′ ∞( ),θ = sup sup ( , ) , ( )f B g G Qp r n r f g ∈ ∈ ⊥ ′ θ 1 = sup sup ( ), ( ) , ( )f B g G Q s s s p r n r f g ∈ ∈ ⊥ ′ ∑ ( ) θ δ δ 1 = = sup sup ( ), ( ) ,{ }: ( ) , ( ) ( , ) / f a f a a g G Q s s s s s p s s s r s n r f g δ θ θ θ δ δ ≤ ∑( ) ≤ ∈ ⊥ ′ ∑ ( ) 2 1 1 1 = = sup sup ( ) { }: ( ) ( , ) / a a g G Q s s s p s s s r s n r a g θ θ θ δ 2 1 1 1 ∑( ) ≤ ∈ ′⊥ ′ ∑ = = sup sup ( ) { }: ( ) ( , ) ( , ) ( , ) / a a g G Q s s s r s p s r s s s r s n r a g θ θ θ δ 2 1 1 1 2 2 ∑( ) ≤ ∈ ′ − ⊥ ′ ∑ = = sup ( ) ( ) ( , ) / g G Q s s r s p n r g ∈ − ′ ′ ′ ′ ⊥ ′ ∑   1 2 1 θ θ θ δ � � sup ( ) ( ) ( , ) / g G Q s s r s p n r A g ∈ − ′ ′ ′ ′ ⊥ ′ ∑   1 2 1 θ θ θ . (13) Dlq toho çtob¥ yz (13) poluçyt\ yskom¥e ocenky velyçyn¥ E B Q p r n r′ ∞( ),θ , nam ponadobytsq rezul\tat, poluçenn¥j v [1]: E B Q p r n r ( ),θ ∞ << 2 1 1 1 1 2 1− − − − +n r p n( / ) ( )( / / )ν θ , (14) 1 ≤ p ≤ 2, 1 ≤ θ < ∞ , r1 > 1 / p , a a+ = max{ , }0 . Zametym, çto πtu Ωe ocenku moΩno zapysat\ y dlq velyçyn¥ E B Q p r n r′ ∞( ),θ . Sledovatel\no, polahaq v (14) p = 2 y yspol\zuq vmesto vektora r = = ( , , )r rd1 … vektor r r rd/ / /( , , )2 2 21= … , v sylu sootnoßenyq (13) ymeem s s r sA g∑ − ′ ′ ′    2 2 2 1 ( , / ) / ( )θ θ θ << 2 1 2 1 2 1 1 2 1− − − − +n r n( / / ) ( )( / / )ν θ . (15) Dalee, sohlasno neravenstvu f f fa b≤ − 1 1α α , f Lb∈ , 1 < a < b, α = −    −    −1 1 1 1 1 a b b , pry 1 < p ′ < 2 A gs p( ) ′ ≤ A g A gs p s p( ) ( )/ / 1 2 1 2 2 2′ − − ′ . (16) Takym obrazom, v sylu (16) dlq poslednej summ¥ yz (13) moΩem zapysat\ sootnoßenye s s r s pA g∑ − ′ ′ ′ ′    2 1 ( , ) / ( )θ θ θ ≤ ≤ s s p s r p s p s r pA g A g∑ ′− ′ − ′ ′ − ′ ′ − − ′ ′ ′ ( )( )    ( ) ( )( / ) ( , ) / ( / ) ( , )( / ) / 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2θ θ θ θ θ = I. Dalee, yspol\zuq neravenstvo Hel\dera s pokazatelem ′ − ′p p/( )2 y v¥pol- nqq πlementarn¥e preobrazovanyq, poluçaem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 NAYLUÇÍYE PRYBLYÛENYQ KLASSOV Bp r ,θ … 1403 I ≤ s s s r p p s s s r p A g A g∑ ∑′ − ′ − ′ ′ − ′ ′ − ′ − ′ ′        ( ) ( )( , ) /( ) ( / )/ ( , / ) ( / )/ 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2θ θ θ θ θ θ . (17) Ocenym kaΩd¥j yz somnoΩytelej (17). Prynymaq vo vnymanye, çto dlq g G Qn r∈ ⊥ ′( ) A gs( ) 1 1<< , v sylu sootnoßenyq (6) ymeem s s s r p p A g∑ ′ − ′ − ′ ′ − ′    ( ) ( , ) /( ) ( / )/ 1 2 2 1 2θ θ θ << ( , ) ( , ) /( ) ( / )/ s n s r p p ′ > − ′ − ′ ′ − ′ ∑       γ θ θ 2 2 2 1 << << 2 1 1 2 1− ′ − ′− ′nr p pn/ ( )( / )/ν θ . (18) Yspol\zovav ocenku (15) dlq vtoroho somnoΩytelq (17), moΩem zapysat\ s s s r p A g∑ ′ − ′ − ′ ′    ( ) ( , / ) ( / )/ 2 2 2 2 2θ θ θ << 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2− − − − − ′ +( )n r p n( / / ) ( )( / / ) /ν θ = = 2 1 1 1 1 2 1 2− − − − +n r p p pn( / / ) ( )( / / ) ( / )ν θ . (19) Takym obrazom, v¥polnqq πlementarn¥e preobrazovanyq, sohlasno (18) y (19) pry 1 < θ ≤ 2 poluçaem I << 2 21 11 2 1 1− ′ − ′− ′ − −nr p p n r p pn/ ( )( / )/ ( / / )ν θ = 2 1 1 1 2 1− − − ′− ′n r p pn( / ) ( )( / )/ν θ . (20) Esly Ωe 2 < θ < ∞ , to takΩe s pomow\g sootvetstvugwyx preobrazovanyj pryxodym k ocenke I << 2 21 11 2 1 1 1 1 2− ′ − ′− ′ − − − −nr p p n r p p p pn n/ ( )( / )/ ( / / ) ( )( / / )ν θ ν θ = = 2 1 1 1 1 1− − − ′−n r p pn( / ) ( )( / / )ν θ . (21) Podstavlqq ocenky (20) y (21) v (13), zaverßaem dokazatel\stvo teorem¥. Pust\ F xr( , )α oboznaçagt mnohomern¥e analohy qder Bernully, t. e. F xr( , )α = 2 21 d k j d j r j j jk k xj∑∏ = − −   cos α π , rj > 0, α j ∈R, y v summe soderΩatsq tol\ko te vektor¥ k, dlq kotor¥x kj > 0, j d= 1, . Oboznaçym çerez Wp r ,α klass funkcyj f ( x ) , predstavym¥x v vyde f ( x ) = ϕ α( ) ( , )x F xr∗ = ( ) ( ) ( , )2π ϕ α π − −∫d ry F x y dy d , ϕ π∈Lp d( ) , ϕ p ≤ 1. Zameçanye 33. Poskol\ku pry 2 < p < ∞ ymeet mesto vloΩenye W Bp r p p r , ,α ⊂ sohlasno vtoroj ocenke teorem¥?2 pry θ = p moΩem zapysat\ E W Q p r n r′ ∞( ),α << 2 1 1 1 1 2− − − −n r p pn( / ) ( )( / )ν . (22) Analohyçnaq ocenka dlq velyçyn¥ E W Q p r n r ( ),α ∞, 2 < p < ∞ , s mnoΩytelem n d p( )( / )− −1 1 2 vmesto n p( )( / )ν− −1 1 2 v pravoj çasty (22) poluçena V. N. Temlqkov¥m (sm., naprymer, [5, c. 66]]). Teper\ obsudym vopros o vozmoΩnosty realyzacyy ocenok teorem¥?2 soot- vetstvugwymy lynejn¥my metodamy pryblyΩenyq. V [1] (teorema?4.1) v sluçae 1 ≤ p ≤ ∞ , 1 ≤ θ < ∞ y r r r d= … ∈ +( , , )1 1 R , r1 > 1 / p , ustanovlena ocenka ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1404 A. S. ROMANGK sup ( ) ( ) ,f B Q p r n rf x f ∈ ∞ − θ � >> 2 1 1 1 1 1− − − −n r p dn( / ) ( )( / )θ , (23) hde � Qn r f( ) = ( ) ( ) ( )2π π − ∫ −d Q d n rf x y L y dy y L y Qn r ( ) = k Q n k i k y n r c e ∈ ∑ , ( , ) , cn k, — proyzvol\n¥e çysla. Sopostavlqq ocenku (23) s rezul\tatom teorem¥?2, pryxodym k sledugwemu utverΩdenyg. Teorema33. Pust\ r r r d= … ∈ +( , , )1 1 R , d ≥ 2, 2 < p < ∞ y � Qn r — posle- dovatel\nost\ lynejn¥x ohranyçenn¥x operatorov, opredelenn¥x na Lp d 0 ( )π y sopostavlqgwyx kaΩdoj funkcyy f Lp d∈ 0 ( )π tryhonometryçeskyj polynom � Q n r n r f T Q( ) ( )∈ . Tohda pry 1 < θ < ∞ y r1 > 1 / p v¥polneno sootnoßenye E B Q p r n r ( ),θ ∞ = o f x f f B Q p r n rsup ( ) ( ) ,∈ ∞ −       θ � . (24) Takym obrazom, sootnoßenye (24) svydetel\stvuet o tom, çto pry d ≥ 2 pry- blyΩenye klassov Bp r ,θ, 2 < p < ∞ , lynejn¥my metodamy v ravnomernoj met- ryke ne realyzuet porqdkov¥x ocenok sootvetstvugwyx nayluçßyx pryblyΩe- nyj. V zaklgçenye rabot¥ pryvedem toçnug po porqdku ocenku velyçyn¥ E B Q r n r′ ∞ ∞( ),1 pry d ≥ 2, a takΩe ustanovym porqdok nayluçßeho pryblyΩenyq v metryke L∞ klassov Bp r ,θ, 1 ≤ p ≤ ∞ , v odnomernom sluçae. Teorema34. Pust\ r1 > 0. Tohda pry d ≥ 2 E B Q r n r′ ∞ ∞( ),1 � 2 1−nr . (25) Dokazatel\stvo. Ocenku sverxu v (25) lehko poluçyt\ s pomow\g tex ras- suΩdenyj, kotor¥e prymenqlys\ pry ustanovlenyy ocenky sverxu velyçyn¥ E B Q r n r ( ),∞ ∞θ v teoreme?1. Sootvetstvugwaq ocenka snyzu sleduet yz teorem¥?2 [7], v kotoroj ustanovlen porqdok kolmohorovskoho popereçnyka klassa Br ∞,1 v prostranstve L∞ : d B LM r( ), ,∞ ∞1 � ( )logM M r− −1 1 1ν . (26) Napomnym, çto M -mern¥m kolmohorovskym popereçnykom central\no-sym- metryçnoho mnoΩestva Φ banaxova prostranstva X naz¥vaetsq velyçyna d XM( , )Φ = inf sup inf L f u L X M M f u ∈ ∈ − Φ , hde LM — podprostranstvo razmernosty M prostranstva X. Podbyraq po zadannomu n çyslo M yz sootnoßenyq M nn� 2 1ν− , v sylu (26) pryxodym k ocenke ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 NAYLUÇÍYE PRYBLYÛENYQ KLASSOV Bp r ,θ … 1405 E B Q r n r′ ∞ ∞( ),1 >> 2 1−nr . Teorema dokazana. Zametym, çto ocenka (25) realyzuetsq sootvetstvugwym lynejn¥m metodom. Pust\ pry d = 1 t xN ( ) = k N N k ikxc e =− ∑ y E fN ( )∞ = inf ( ) ( ) c N k f x t x− ∞ — nayluçßee pryblyΩenye funkcyy f ( x ) v ravnomernoj metryke polynomamy t xN ( ). Sootvetstvenno E BN p r( ),θ 1 ∞ = sup ( ) ,f B N p r E f ∈ ∞ θ 1 . Spravedlyvo sledugwee utverΩdenye. Teorema35. Pust\ 1 ≤ p ≤ ∞ , r1 > 1 / p , 1 ≤ θ ≤ ∞ . Tohda pry d = 1 E BN p r( ),θ 1 ∞ � N r p− −( / )1 1 . (27) Dokazatel\stvo. Ustanovym v (27) ocenku sverxu. Pust\ 1 ≤ p < ∞ . V takom sluçae yskomaq ocenka sleduet yz teorem¥?2.1 [1]. Esly Ωe p = ∞ , to ocenka velyçyn¥ E BN r( ),∞ ∞θ 1 ustanavlyvaetsq s pomow\g tex Ωe rassuΩdenyj, çto y pry dokazatel\stve teorem¥?1. Perexodq k dokazatel\stvu v (27) ocenky snyzu, podberem po zadannomu N çyslo s yz sootnoßenyq 2N < 2 s ≤ 4N y poloΩym f xs( ) = V x V xs s2 21+ −( ) ( ). Poskol\ku fs p � 2 1 1s p( / )− , 1 ≤ p ≤ ∞ , (28) lehko vydet\, çto funkcyq f ( x ) = 2 1 1 1− + −( / ) ( )r p s sf x prynadleΩyt klassu Bp r ,θ 1 , 1 ≤ p ≤ ∞ . Dalee, pust\ t xN ∗ ( ) — polynom nayluçßeho pryblyΩenyq funkcyy f ( x ) . Tohda, s odnoj storon¥, sohlasno sootnoßenyg meΩdu çyslamy N y s moΩem zapysat\ ( ),f t fN s− ∗ = ( ),f fs = 2 1 1 1 2 2− + −( / )r p s sf >> 2 1 1− −( / )r p s . (29) S druhoj storon¥, v sylu neravenstva Hel\dera y ocenky (28) budem ymet\ ( ),f t fN s− ∗ ≤ f t fN s− ∗ ∞ 1 << f tN− ∗ ∞ = E fN ( )∞ . (30) Sopostavlqq (29) y (30), pryxodym k ocenke E fN ( )∞ >> 2 1 1− −( / )r p s � N r p− −( / )1 1 . Teorema dokazana. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10 1406 A. S. ROMANGK Teper\ pryvedem dva utverΩdenyq, kotor¥e sledugt yz teorem¥?5 y yzvest- n¥x rezul\tatov. V rabote [1] poluçena ocenka E BN p r , ,( )γ θ ∞ << N Nr p− − − − +( / ) ( / / )( )log1 1 1 1 2 1ν θ , (31) 1 ≤ p ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ ∞ , r1 > 1 p . Poskol\ku pry 1 ≤ θ ≤ 2 ocenka (31) ne zavysyt ot razmernosty prostran- stva R d, v πtom sluçae ocenku snyzu velyçyn¥ E BN p r , ,( )γ θ ∞ dostatoçno polu- çyt\ pry d = 1. Takym obrazom, yspol\zuq teoremu?5, a takΩe ocenku (31), pryxodym k sle- dugwemu utverΩdenyg. Teorema36. Pust\ 1 ≤ p ≤ 2, 1 ≤ θ ≤ 2 y r1 > 1 / p . Tohda pry d ≥ 1 E BN p r , ,( )γ θ ∞ � N r p− −( / )1 1 . (32) Otmetym, çto pry θ = 1 ocenku (32) moΩno rasprostranyt\ y na sluçaj 2 < < p < ∞ . Teorema37. Pust\ 2 ≤ p < ∞ y r1 > 1 / p . Tohda pry d ≥ 1 E BN p r , ,( )γ 1 ∞ � N r p− −( / )1 1 . (33) Ocenka sverxu v (33) sleduet yz teorem¥?2.1 [1], a snyzu — yz odnomernoho sluçaq, rassmotrennoho v teoreme?5. 1. Romangk A. S. PryblyΩenye klassov Bp r ,θ peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x lynejn¥my metodamy y nayluçßye pryblyΩenyq // Mat. sb. – 2004. – 195, # 2. – S. 91 – 116. 2. Besov O. V. O nekotorom semejstve funkcyonal\n¥x prostranstv. Teorem¥ vloΩenyq y prodolΩenyq // Dokl. AN SSSR. – 1959. – 126, # 6. – S. 1163 – 1165. 3. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj mnohyx peremenn¥x y teorem¥ vloΩenyq. – M.: Nauka, 1969. – 480 s. 4. Lyzorkyn P. Y., Nykol\skyj S. M. Prostranstva funkcyj smeßannoj hladkosty s dekompozycyonnoj toçky zrenyq // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1989. – 187. – S. 143 – 161. 5. Temlqkov V. N. PryblyΩenye funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Tam Ωe. – 1986. – 178. – S. 1 – 112. 6. Kornejçuk N. P. Toçn¥e konstant¥ v teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1987. – 424 s. 7. Romangk A. S. Kolmohorovskye popereçnyky klassov Besova Bp r ,θ v metryke prostranstva L∞ // Ukr. mat. visn. – 2005. – 2, # 2. – S. 201 – 218. Poluçeno 13.09.2005, posle dorabotky — 13.02.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 10
id	umjimathkievua-article-3541
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	rus English
last_indexed	2026-03-24T02:44:28Z
publishDate	2006
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/5c/ccdffe66bae12ac399a18fad0381875c.pdf
spelling	umjimathkievua-article-35412020-03-18T19:57:10Z Best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of many variables in uniform metric Наилучшие приближения классов $B_{p,\,\theta}^{r}$ периодических функций многих переменных в равномерной метрике Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. We obtain estimates exact in order for the best approximations of the classes $B_{\infty,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of two variables in the metric of $L_{\infty}$ by trigonometric polynomials whose spectrum belongs to a hyperbolic cross. We also investigate the best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r},\quad 1 \leq p < \infty$, of periodic functions of many variables in the metric of $L_{\infty}$ by trigonometric polynomials whose spectrum belongs to a graded hyperbolic cross. Одержано точні за порядком оцінки найкращих наближень у метриці $L_{\infty}$ класів $B_{\infty,\,\theta}^{r}$ періодичних функцій двох змінних тригонометричними поліномами зі спектром із гіперболічного хреста. Досліджено також найкращі наближення в метриці $L_{\infty}$ класів $B_{p,\,\theta}^{r},\quad 1 \leq p < \infty$, періодичних функцій багатьох змінних тригонометричними поліномами зі спектром із східчастого гіперболічного хреста. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3541 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 10 (2006); 1395–1406 Український математичний журнал; Том 58 № 10 (2006); 1395–1406 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3541/3818 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3541/3819 Copyright (c) 2006 Romanyuk A. S.
spellingShingle	Romanyuk, A. S. Романюк, А. С. Романюк, А. С. Best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of many variables in uniform metric
title	Best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of many variables in uniform metric
title_alt	Наилучшие приближения классов $B_{p,\,\theta}^{r}$ периодических функций многих переменных в равномерной метрике
title_full	Best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of many variables in uniform metric
title_fullStr	Best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of many variables in uniform metric
title_full_unstemmed	Best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of many variables in uniform metric
title_short	Best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of many variables in uniform metric
title_sort	best approximations of the classes $b_{p,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of many variables in uniform metric
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3541
work_keys_str_mv	AT romanyukas bestapproximationsoftheclassesbpthetarofperiodicfunctionsofmanyvariablesinuniformmetric AT romanûkas bestapproximationsoftheclassesbpthetarofperiodicfunctionsofmanyvariablesinuniformmetric AT romanûkas bestapproximationsoftheclassesbpthetarofperiodicfunctionsofmanyvariablesinuniformmetric AT romanyukas nailučšiepribliženiâklassovbpthetarperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhvravnomernojmetrike AT romanûkas nailučšiepribliženiâklassovbpthetarperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhvravnomernojmetrike AT romanûkas nailučšiepribliženiâklassovbpthetarperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhvravnomernojmetrike

Best approximations of the classes $B_{p,\,\theta}^{r}$ of periodic functions of many variables in uniform metric

Institution

Ähnliche Einträge