Asymptotic normality of a discrete procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium
We obtain sufficient conditions for the asymptotic normality of a jump procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium using a compensating operator of an extended Markov renewal process. The asymptotic representation of the compensating operator guarantees the construction of the gene...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3543 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509654219489280 |
|---|---|
| author | Chabanyuk, Ya. M. Чабанюк, Я. М. |
| author_facet | Chabanyuk, Ya. M. Чабанюк, Я. М. |
| author_sort | Chabanyuk, Ya. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:57:10Z |
| description | We obtain sufficient conditions for the asymptotic normality of a jump procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium using a compensating operator of an extended Markov renewal process. The asymptotic representation of the compensating operator guarantees the construction of the generator of a limit diffusion process of the Ornstein-Uhlenbeck type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21 + 62
Я. М. Чабанюк (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”)
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ ДИСКРЕТНОЇ
ПРОЦЕДУРИ СТОХАСТИЧНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ
В НАПIВМАРКОВСЬКОМУ СЕРЕДОВИЩI
Sufficient conditions of the asymptotic normality of discrete procedure of the stochastic approximation
in the semi-Markov medium are obtained by using a compensation operator of the extended Markov
renewal process. The asymptotic representation of the compensation operator provides the construction
of generator of the Ornshtein – Uhlenbeck-type limit diffusion process.
Одержано достатнi умови асимптотичної нормальностi стрибкової процедури стохастичної апрок-
симацiї в напiвмарковському середовищi з використанням компенсуючого оператора розширеного
процесу марковського вiдновлення. Асимптотичне зображення компенсуючого оператора забезпе-
чує побудову генератора граничного дифузiйного процесу типу Орнштейна – Уленбека.
Вступ. У роботi автора [1] було розглянуто асимптотичну нормальнiсть непе-
рервної процедури стохастичної апроксимацiї в марковському середовищi. В цiй
же роботi вперше застосовано новий пiдхiд, що ґрунтується на розглядi процеду-
ри стохастичної апроксимацiї (ПСА) в схемi серiй iз малим параметром ε → 0,
ε > 0. Це дало змогу використати розв’язок проблеми сингулярного збурення [2]
для зведено-оборотного оператора марковського процесу. Крiм того, такий пiд-
хiд значно спрощує дослiдження асимптотичної нормальностi ПСА порiвняно з
роботами [3, 4].
1. Постановка задачi. Дискретна процедура стохастичної апроксимацiї (ДПСА)
задається спiввiдношенням
uε
n+1 = uε
n + ε2aε
nC(uε
n, xε
n), n ≥ 0, (1)
де функцiя регресiї C(u, x), u ∈ R, x ∈ X , задовольняє умови iснування глобаль-
ного розв’язку супроводжуючих систем:
У1) dux(t)/dt = C(ux(t), x), x ∈ X .
Напiвмарковський процес перемикань x(t), t ≥ 0, y стандартному фазовому
просторi (X, X) задається напiвмарковським ядром [5]
Q(x,B, t) = P (x, B)Gx(t), x ∈ X, B ∈ X, t ≥ 0. (2)
Тут стохастичне ядро P (x, B) задає перехiднi ймовiрностi вкладеного ланцюга
Маркова xn, n ≥ 0,
P (x,B) = P{xn+1 ∈ B | xn = x},
a функцiї розподiлу Gx(t), x ∈ X , t ≥ 0, задають моменти марковського вiдновлен-
ня τn+1 = τn + θn+1, n ≥ 0, τ0 = 0,
Gx(t) = P{θn+1 ≤ t | xn = x}, x ∈ X, t ≥ 0.
При вiдповiдних умовах на нормуючу послiдовнiсть aε
n, n ≥ 0, та при рiвномiр-
нiй ергодичностi напiвмарковського процесу x(t), t ≥ 0, з стацiонарним розподiлом
c© Я. М. ЧАБАНЮК, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10 1425
1426 Я. М. ЧАБАНЮК
π(B), B ∈ X , ДПСА, що визначається розв’язком еволюцiйного рiвняння (1), збi-
гається з iмовiрнiстю одиниця до точки рiвноваги u0 усередненої системи [6]
du(t)
dt
= C(u(t)), C(u0) = 0, (3)
з функцiєю регресiї
C(u) =
∫
X
π(dx)C(u, x).
Поряд з ДПСА (1) будемо розглядати стрибкову стохастичну процедуру (ССП)
uε(t) = u0 + ε2
ν(t/ε2)−1∑
n=0
aε
nC(uε
n, xε
n), t > 0, (4)
де ν(t) := max{n: τn ≤ t} — лiчильний процес моментiв стрибкiв τn, n ≥ 1.
Вкладенiсть ДПСА (1) в ССП (4) визначається формулами
uε
n = uε(τε
n), aε
n = a(τε
n), τ ε
n := ε2τn. (5)
Зауваження 1. Збiжнiсть ПСА
uε(t) ⇒ 0, t →∞, (6)
означає, що флуктуацiї доцiльно вивчати з нормуванням (див. [1])
vε(t) =
√
tuε(t)
ε
. (7)
З (5) та (7) для ДПСА (1) мaємo нормовану ДПСА
vε
n =
√
τε
nuε
n
ε
, (8)
або у виглядi оберненого зв’язку
uε
n =
εvε
n√
τε
n
. (9)
Далi, не зменшуючи загальностi, вважаємо u0 = 0, тобто має мiсце умова
У2) C(0) = 0.
При цьому будемо розглядати стандартну ПСА з нормуючою функцiєю
У3) a(t) = a/t, t > 0.
Додатковi умови на функцiю регресiї такi самi, як i в роботi [1], а саме:
У4) C(u, ·) ∈ C3(R),
тобто друга похiдна по u C ′′
u(u, ·) задовольняє глобальну умову Лiпшиця∣∣C ′′
u(u, x)− C ′′
u(u′, x)
∣∣ ≤ C|u− u′|
з константою C, що не залежить вiд x ∈ X .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ ДИСКРЕТНОЇ ПРОЦЕДУРИ СТОХАСТИЧНОЇ ... 1427
Biдомо [7], що рiвномiрна ергодичнiсть напiвмарковського процесу x(t), t ≥ 0,
з напiвмарковським ядром (2) визначає генератор Q:
Qϕ(x) = q(x)
∫
X
P (x, dy)
[
ϕ(y)− ϕ(x)
]
,
де q(x) := 1/g(x), g(x) :=
∫ ∞
0
Ḡx(t)dt, Ḡx(t) := 1 − Gx(t), супроводжуючого
рiвномiрно ергодичного марковського процесу x0(t), t ≥ 0. При цьому генера-
тор Q є зведено-оборотним [7], для якого iснує потенцiал R0, що визначається
рiвняннями [8]
R0Q = QR0 = I−Π.
Тут проектор Π в банаховому просторi B(X) дiйснозначних функцiй з супремум-
нормою задається спiввiдношенням
Πϕ(x) := _
ϕ1 (x), _
ϕ :=
∫
X
π(dx)ϕ(x), 1(x) ≡ 1, x ∈ X.
Враховуючи умову У4, будемо використовувати формулу Тейлора для функцiї
регресiї
C(u, x) = C0(x) + uC1(x) +
u2
2
C2(u, x). (10)
Тут, за означенням,
C0(x) := C(0, x), C1(x) := C ′
u(u, x)
∣∣
u=0
, C2(u, x) := C ′′
u(θu, x), 0 ≤ θ ≤ 1.
(11)
Введемо також необхiднi позначення
c := −
∫
X
π(dx)q(x)C1(x), b := ac− 1
2
.
Нехай виконуються умови збiжностi ПСА (1) в напiвмарковському середови-
щi [6]:
iснує функцiя Ляпунова V (u), u ∈ R, що забезпечує експоненцiальну стiйкiсть
системи (3):
C1) C(u)V ′(u) ≤ −c0V (u), c0> 0;
a також для функцiї C̃(u, x):= C(u) − C(u, x) мають мiсце додатковi умови
(див. [6])
C2)
∣∣C̃(u, x)V ′(u)
∣∣ ≤ c1V (u), c1 > 0,∣∣C(u, x)[C̃(u, x)V ′(u)]′
∣∣ ≤ c2V (u), c2 > 0,∣∣C(u, x)[C(u, x)[C̃(u, x)V ′(u)]′]′
∣∣ ≤ c3V (u), c3 > 0.
Kpiм того, функцiї розподiлу Gx(t), x ∈ X , t ≥ 0, задовольняють умову Кра-
мера рiвномiрно по x ∈ X :
C3) sup
x∈X
∫ ∞
0
ehtḠx(t)dt ≤ H < +∞, h > 0.
2. Teopeмa (асимптотична нормальнiсть). В умовах С1 – С3 збiжностi (6)
ПСА (1) в напiвмарковському середовищi та при додаткових умовах
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1428 Я. М. ЧАБАНЮК
Д1) ρ := −2
∫
X
π(dx)
[
C̃0(x)R0C̃0(x) +
1
2
q(x)C2
0 (x)
]
> 0, де C̃0(x) :=
:= q(x)C0(x),
Д2) b := ac− 1
2
> 0,
мaє мiсце слабка збiжнiсть
vε(t) ⇒ ζ(t), ε → 0, (12)
в кожному скiнченному iнтервалi 0 < t0 ≤ t ≤ T . Граничний процес ζ(t), t ≥ 0, є
дифузiйним процесом типу Орнштейна – Уленбека [9], що визначається генерато-
ром
Lϕ(v) = −bvϕ′(v) +
a2
2
ρϕ′′(v). (13)
Зауваження 2. Умова Д1 забезпечує дифузiйнiсть граничного процесу ζ(t),
t ≥ 0, a умова Д2 означає ергодичнiсть процесу ζ(t), t ≥ 0, зi стацiонарним
нормальним розподiлом N(0, σ2
0), σ2
0 = ρ/2b [9].
З слабкої збiжностi (12) випливає такий висновок.
Висновок 1. В умовах теореми нормована ПСА vε(t) мaє асимптотично нор-
мальний розподiл N(0, σ2
0), тобто
vε(t) ⇒ ν, ε → 0, t →∞.
Випадкова величина ν ∈ N(0, σ2
0).
3. Властивостi нормованої ДПСА (8). Розглянемо формулу Тейлора√
t + ε2s =
√
t
(
1 +
ε2s
2t
+ ε2hε(s)
)
, (14)
де hε(s) → 0, ε → 0, piвномiрно в кожному скiнченному iнтервалi s ∈ [0, S0],
S0 < ∞.
Отже, прирiст функцiї
√
t при змiнi аргумента на величину ε2s мaє вигляд√
t + ε2s−
√
t =
ε2s
2
√
t
+ ε2hε(s)
√
t. (15)
Лема 1. Нормована ДПСА (8) задовольняє спiввiдношення
vε
n+1 = vε
n + ε
a
√
τε
n
C
(
εvε
n√
τε
n
, xε
n
)
+ ε2 θε
n
2τε
n
vε
n + ε2Hε(θn+1), (16)
де залишковий член Hε(θn+1) такий, що EHε(θn+1) → 0, ε → 0.
Доведення. Для приросту ∆vε
n := vε
n+1 − vε
n нормованої ДПСА (8) мaємo
зображення
∆vε
n =
√
τε
n+1u
ε
n+1 −
√
τε
nuε
n
ε
,
або
∆vε
n =
√
τε
n+1∆uε
n +
(√
τε
n+1 −
√
τε
n
)
uε
n
ε
. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ ДИСКРЕТНОЇ ПРОЦЕДУРИ СТОХАСТИЧНОЇ ... 1429
Згiдно з (1) та (5) прирiст ∆uε
n обчислюється за формулою
∆uε
n = ε2aε
nC(uε
n, xε
n).
Враховуючи (9) та (5), одержуємо зображення
∆uε
n = ε2 a
τε
n
C
(
εvε
n√
τε
n
, xε
n
)
. (18)
Пiдставляючи (18) в (17) та враховуючи (14) та (15), мaємo
∆vε
n =
√
τε
n+1ε
2aC (εvε
n/
√
τε
n, xε
n) /τε
n
ε
+
+
ε2 (θn+1/(2
√
τε
n) +
√
τε
nhε(θn+1)) εvε
n/(2
√
τε
n)
ε
=
= ε
a
√
τε
n+1
τε
n
C
(
εvε
n√
τε
n
, xε
n
)
+ ε2 θn+1
2τε
n
vε
n + ε2hε
1(θn+1) =
= ε
a
√
τε
n
C
(
εvε
n√
τε
n
, xε
n
)
+ ε2 θn+1
2τε
n
vε
n + ε2Hε(θn+1),
де hε
1(θn+1) має тi ж властивостi, що й hε(θn+1) з (14).
З останнiх мiркувань отримуємо твердження леми 1.
Висновок 2. Головний член приросту нормованої ДПСА (8) мaє вигляд
∆vε
n = ε
a
√
τε
n
C
(
εvε
n√
τε
n
, xε
n
)
+ ε2 θn+1
2τε
n
vε
n. (19)
Використовуючи (10), маємо такий наслiдок.
Наслiдок 1. В позначеннях (11) прирiст (19) мaє вигляд
∆vε
n = ε
a
√
τε
n
C0(x) + ε2
[
avε
n
τε
n
C1(x) +
θn+1
2τε
n
vε
n
]
+ ε2hε(v, x), (20)
де hε(v, x) — знехтуючий член, такий, що
∣∣hε(v, x)
∣∣ → 0, ε → 0, t ≥ t0 > 0.
4. Компенсуючий оператор. Як i в роботi [1], будемо використовувати ком-
пенсуючий оператор (КО) [11] розширеного процесу марковського вiдновлення
vε
n = vε(τε
n), xε
n := x
(
τε
n
ε2
)
= x(τn), τ ε
n = ε2τn, n ≥ 0, (21)
який задається спiввiдношенням
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1430 Я. М. ЧАБАНЮК
Lε
tϕ(v, x, t) =
= ε−2q(x)
[
E
[
ϕ(vε
n+1, x
ε
n+1, τ
ε
n+1)
∣∣vε
n = v, xε
n = x, τε
n = t
]
− ϕ(v, x, t)
]
. (22)
Розглянемо напiвгрупу
Γsϕ(v) = ϕ
(
v +
v
2t
s
)
, s ≥ 0, (23)
з породжуючим оператором Γϕ(v) =
v
2t
ϕ′(v), a також стрибковий оператор
Dεϕ(v) = ϕ
(
v + ε
a√
t
C
εv√
t
)
, t > 0. (24)
Лема 2. Компенсуючий оператор (22) має аналiтичне зображення
Lε
tϕ(v, x) = ε−2Qϕ(v, x) + ε−2q(x)
∞∫
0
Gx(ds)
[
Γε2sD
ε − I
]
Pϕ(v, x), (25)
де
Рϕ(x) :=
∫
X
P (x, dy)ϕ(y).
Доведення базується на обчисленнi умовного математичного сподiвання в (22)
з урахуванням спiввiдношення (див. (21))
vε
n+1 = vε
n + vε(ε2θn+1).
Зображення (22) в операторнiй формi має вигляд
Lε
tϕ(v, x) = ε−2Qϕ(v, x) + ε−2q(x)
∞∫
0
Gx(ds)Pϕ(v + ∆vε, x)− ϕ(v, x)
, (26)
де прирiст ∆vε складається з стрибкової складової, що визначається оператором
(24), та неперервної складової, що визначається напiвгрупою (23). Їx cyмa дає
головний прирiст (19) нормованої ДПСА.
Для вивчення асимптотики КО розглянемо асимптотику приросту еволюцiї
ϕ(v, x). Вводячи позначення s = θε
n+1, x = xε
n, t = τε
n, v = vε
n та враховуючи
(20), отримуємо
∆ϕ(v, x) := ϕ(v + ∆vε, x)− ϕ(v, x) =
= ϕ
(
v + ε
a√
t
C0(x) + ε2 v
t
[
aC1(x) +
s
2
]
+ ε2hε(v, s), x
)
− ϕ(v, x).
Отже, при вiдповiднiй гладкостi ϕ(v, ·) ∈ C3(R) остаточно маємо
∆ϕ(v, x) =
=
[
ε
a√
t
C0(x) + ε2 v
t
b(x, s)
]
ϕ′(v, x) + ε2 a2
2t
C2
0 (x)ϕ′′(v, x) + ε2hε(v, x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ ДИСКРЕТНОЇ ПРОЦЕДУРИ СТОХАСТИЧНОЇ ... 1431
де
b(x, s) = aC1(x) +
s
2
,
a hε(v, x) такий, що |hε(v, x)| → 0, ε → 0, t ≥ t0 > 0.
Враховуючи останнє, з (26) отримуємo (25).
Лема 3. Компенсуючий оператор (25) на тест-функцiях ϕ(v, x) ∈ C3(R),
x ∈ X , допускає асимптотичне зображення
Lε
tϕ(v, x) =
= ε−2Qϕ(v, x) + ε−1 1√
t
Q1(x)Pϕ(v, x)+
+
1
t
Q2(x)Pϕ(v, x) + θε(x)ϕ(v, x), (27)
де
Q1(x)ϕ(v) = aq(x)C0(x)ϕ′(v),
Q2(x)ϕ(v) = vb(x)q(x)ϕ′(v) +
a2
2
q(x)C2
0 (x)ϕ′′(v),
b(x) = aC1(x) +
1
2
,
a залишковий член θε(x)ϕ(v, x) такий, що∥∥θε(x)ϕ(v, x)
∥∥ → 0, ε → 0, ϕ(v, ·) ∈ C3(R).
Доведення. Розглянемо другий доданок у (25), позначаючи
Lε
0ϕ(v, x) = ε−2q(x)
∞∫
0
Gx(ds)
[
Γε2sD
ε − I
]
Pϕ(v, x) =
=
[
Lε
Γ + Lε
D + Lε
ΓD
]
ϕ(v, x),
де
Lε
Γϕ(v, x) := ε−2q(x)
∞∫
0
Gx(ds)
[
Γε2s − I
]
Pϕ(v, x),
Lε
Dϕ(v, x) := ε−2q(x)
∞∫
0
Gx(ds)
[
Dε − I
]
Pϕ(v, x),
Lε
ΓDϕ(v, x) := ε−2q(x)
∞∫
0
Gx(ds)
[
Γε2s − I
][
Dε − I
]
Pϕ(v, x).
Розглянемо властивостi кожного з уведених операторiв.
Враховуючи рiвняння для напiвгрупи
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
1432 Я. М. ЧАБАНЮК
Γε2s − I = Γ
ε2s∫
0
Γtdt
та iнтегруючи частинами, отримуємо
Lε
Γϕ(v, x) =
[
ΓP + θε
Γ(x)
]
ϕ(v, x). (28)
На пiдставi розкладу за формулою Тейлора в (24) маємо
Lε
Dϕ(v, x) =
[
ε−1D1(x)P + D2(x)P
]
ϕ(v, x) + θε
D(x)ϕ(v, x), (29)
де
D1(x)ϕ(v) =
a√
t
C0(x)ϕ′(v),
D2(x)ϕ(v) =
a
t
[
vC1(x)ϕ′(v) +
a
2
C2
0 (x)ϕ′′(v)
]
.
Неважко переконатись, що
Lε
ΓDϕ(v, x) = θε
ΓD(x)ϕ(v, x). (30)
Тут скрiзь оператори θε
•(x) є знехтуючими на класi тест-функцiй ϕ(v, ·) ∈ Ck(R),
k ≥ 3.
Пiдсумовуючи результати асимптотичних розкладiв (28) – (30), отримуємо тверд-
ження леми 3.
5. Доведення теореми про асимптотичну нормальнiсть нормованої ПСА (8)
полягає у застосуваннi розв’язку проблеми сингулярного збурення до урiзаного
компенсуючого оператора
Lε
0ϕ(v, x) = ε−2Qϕ(v, x) + ε−1 1√
t
Q1(x)Pϕ(v, x) +
1
t
Q2(x)Pϕ(v, x)
iз зображенням (27).
Використовуючи збурену тест-функцiю
ϕε(v, x, t) = ϕ(v) + ε
1√
t
ϕ1(v, x) + ε2 1
t
ϕ2(v, x)
та застосовуючи формулу (3.24) леми 3.3 з монографiї [8], отримуємо
Lε
0ϕ
ε(v, x, t) =
[
ε−2Q + ε−1 1√
t
Q1(x)P +
1
t
Q2(x)P
]
×
×
[
ϕ(v) + ε
1√
t
ϕ1(v, x) + ε2 1
t
ϕ2(v, x)
]
=
=
1
t
[
Qϕ2(v, x) +
(
Q1(x)PR0Q1(x) + Q2(x)
)
ϕ(v)
]
+ θε
L(x, t)ϕ(x) =
=
1
t
Lϕ(v) + θε
L(x, t)ϕ(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
АСИМПТОТИЧНА НОРМАЛЬНIСТЬ ДИСКРЕТНОЇ ПРОЦЕДУРИ СТОХАСТИЧНОЇ ... 1433
де оператор L такий, що
LΠ = ΠQ1(x) PR0Q1(x)Π + ΠQ2(x)Π. (31)
Обчислення за формулою (31) дають генератор (13) граничного дифузiйного
процесу.
Завершення доведення теореми реалiзується за схемою доведення теореми 6.6
[12, с. 202], а також iз використанням леми 6.6 та зауваження у § 6.5 вказаної працi.
Висновок 3. Аналогiчний результат асимптотичної нормальностi для стриб-
кової ПСА в евклiдовому просторi Rd, d > 1, можна отримати з додатковими
технiчними ускладненнями.
Автор висловлює подяку академiку НАН України В. С. Королюку за увагу до
статтi.
1. Чабанюк Я. М. Асимптотична нормальнiсть для неперервної процедури стохастичної апро-
ксимацiї в марковському середовищi // Допов. НАН України. Сер. А. – 2004. – № 5. – С. 37 – 45.
2. Королюк В. С. Стiйкiсть стохастичних систем у схемi дифузiйної апроксимацiї // Укр. мат.
журн. – 1998. – 50, № 1. – C. 36 – 47.
3. Невельсон M. Б., Хасьминский Р. З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценива-
ние. – М.: Наука, 1972. – 304 с.
4. Ljung L., Pflug G., Walk H. Stochastic approximation and optimization of random systems. – Basel
etc.: Birkhauser, 1992. – 113 p.
5. Korolyuk V., Swishcuk A. Evolution of systems in random media. – New York etc.: CRC Press,
Boca Raton, 1995. – 352 p.
6. Чабанюк Я. М. Неперервна процедура стохастичної апроксимацiї у напiвмарковському сере-
довищi // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 5. – С. 713 – 720.
7. Королюк B. C., Турбин А. Ф. Полумарковские процессы и их применение. – Киев: Наук. думка,
1976. – 184 с.
8. Korolyuk V. S., Korolyuk V. V. Stochastic models of systems. – Kluwer Acad. Publ., 1999. – 185 p.
9. Боровков A. A. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1986. – 431 с.
10. Феллер B. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2 т. – М.: Мир, 1984.
11. Вентцель E. C. Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных про-
цессов. – М.: Наука, 1986. – 176 с.
12. Korolyuk V., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – World Sci. Publ., 2005. –
330 p.
Одержано 14.04.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-3543 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:32Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/12/906cea54131846a1ead99f5d64b4bb12.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35432020-03-18T19:57:10Z Asymptotic normality of a discrete procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium Асимптотична нормальність дискретної процедури стохастичної апроксимації в напівмарковському середовищі Chabanyuk, Ya. M. Чабанюк, Я. М. We obtain sufficient conditions for the asymptotic normality of a jump procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium using a compensating operator of an extended Markov renewal process. The asymptotic representation of the compensating operator guarantees the construction of the generator of a limit diffusion process of the Ornstein-Uhlenbeck type. Одержано достатні умови асимптотичної нормальності стрибкової процедури стохастичної апроксимації в напівмарковському сєрєдовищі з використанням компенсуючого оператора розширеного процесу марковського відновлення. Асимптотичне зображення компенсуючого оператора забезпечує побудову генератора граничного дифузійного процесу типу Орнштейна-Уленбека. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3543 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 10 (2006); 1425–1433 Український математичний журнал; Том 58 № 10 (2006); 1425–1433 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3543/3822 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3543/3823 Copyright (c) 2006 Chabanyuk Ya. M. |
| spellingShingle | Chabanyuk, Ya. M. Чабанюк, Я. М. Asymptotic normality of a discrete procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium |
| title | Asymptotic normality of a discrete procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium |
| title_alt | Асимптотична нормальність дискретної процедури стохастичної апроксимації в напівмарковському середовищі |
| title_full | Asymptotic normality of a discrete procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium |
| title_fullStr | Asymptotic normality of a discrete procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium |
| title_full_unstemmed | Asymptotic normality of a discrete procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium |
| title_short | Asymptotic normality of a discrete procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium |
| title_sort | asymptotic normality of a discrete procedure of stochastic approximation in a semi-markov medium |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3543 |
| work_keys_str_mv | AT chabanyukyam asymptoticnormalityofadiscreteprocedureofstochasticapproximationinasemimarkovmedium AT čabanûkâm asymptoticnormalityofadiscreteprocedureofstochasticapproximationinasemimarkovmedium AT chabanyukyam asimptotičnanormalʹnístʹdiskretnoíproceduristohastičnoíaproksimacíívnapívmarkovsʹkomuseredoviŝí AT čabanûkâm asimptotičnanormalʹnístʹdiskretnoíproceduristohastičnoíaproksimacíívnapívmarkovsʹkomuseredoviŝí |