Invariant cones and stability of linear dynamical systems
We present a method for the investigation of the stability and positivity of systems of linear differential equations of arbitrary order. Conditions for the invariance of classes of cones of circular and ellipsoidal types are established. We propose algebraic conditions for the exponential stability...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3546 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509655378165760 |
|---|---|
| author | Aliluiko, A. M. Mazko, A. G. Алілуйко, А. М. Мазко, О. Г. |
| author_facet | Aliluiko, A. M. Mazko, A. G. Алілуйко, А. М. Мазко, О. Г. |
| author_sort | Aliluiko, A. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:57:29Z |
| description | We present a method for the investigation of the stability and positivity of systems of linear differential equations of arbitrary order. Conditions for the invariance of classes of cones of circular and ellipsoidal types are established. We propose algebraic conditions for the exponential stability of linear positive systems based on the notion of maximal eigenpairs of a matrix polynomial. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.983.27
A. M. Alilujko, O. H. Mazko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
INVARIANTNI KONUSY TA STIJKIST|
LINIJNYX DYNAMIÇNYX SYSTEM
*
Methods for stability and positivity analysis of linear differential equations are presented. Invariance
conditions are established for classes of circular-type and ellipsoidal-type cones. Algebraic conditions of
the exponential stability of linear positive systems are proposed in terms of the maximal proper pairs of a
matrix polynomial.
Vykladeno metodyku doslidΩennq stijkosti ta pozytyvnosti system linijnyx dyferencial\nyx
rivnqn\ dovil\noho porqdku. Vstanovleno umovy invariantnosti klasiv konusiv typu kruhovyx ta
elipso]dal\nyx. Zaproponovano alhebra]çni umovy eksponencial\no] stijkosti linijnyx pozytyv-
nyx system na osnovi ponqttq maksymal\nyx vlasnyx par matryçnoho polinoma.
Vstup. Pry modelgvanni skladnyx texniçnyx, biolohiçnyx ta inßyx ob’[ktiv
vykorystovugt\sq dyferencial\ni abo riznycevi systemy rivnqn\, u fazovomu
prostori qkyx isnugt\ invariantni mnoΩyny, zokrema konusy. Taki osoblyvosti
system neobxidno vraxovuvaty i vykorystovuvaty v qkisnyx metodax doslidΩen-
nq, v zadaçax analizu stijkosti ta keruvannq (dyv., napryklad, [1 – 3]).
U danij roboti vykladeno metodyku doslidΩennq pozytyvnosti ta stijkosti
linijnyx dynamiçnyx system u napivuporqdkovanomu prostori. Dlq analizu stij-
kosti takyx system rozrobleno special\ni metody, wo bazugt\sq na spektral\-
nyx vlastyvostqx pozytyvnyx ta pozytyvno oborotnyx operatoriv. Znajdeno
umovy invariantnosti konusiv typu kruhovoho ta ]x uzahal\nen\, wo dozvolq[, zo-
krema, rozv’qzaty zadaçu pozytyvno] stabilizaci] system vidnosno danyx konusiv
za dopomohog dynamiçnyx kompensatoriv. Umovy invariantnosti elipso]dal\nyx
konusiv ta eksponencial\no] stijkosti linijnyx dyferencial\nyx i riznycevyx
system sformul\ovano u vyhlqdi matryçnyx nerivnostej. Z ohlqdu na ponqttq
maksymal\nyx vlasnyx par matryçnoho polinoma zaproponovano alhebra]çni
umovy eksponencial\no] stijkosti linijnyx dyferencial\nyx system dovil\noho
porqdku.
1. Oznaçennq i dopomiΩni fakty. Inerci[g symetryçno] matryci S =
= S
T ∈ R
n ×
n
budemo nazyvaty trijku çysel i ( S ) = i S i S i S+ −{ }( ), ( ), ( )0 , de i+ ( S ),
i– ( S ) i i0 ( S ) — vidpovidno kil\kist\ dodatnyx, vid’[mnyx i nul\ovyx vlasnyx
znaçen\ S, vraxovugçy kratnosti.
Navedemo deqki oznaçennq i fakty z teori] konusiv i operatoriv u napivupo-
rqdkovanomu prostori. Opukla zamknena mnoΩyna K dijsnoho normovanoho
prostoru E nazyva[t\sq klynom, qkwo α K + β K ⊂ K dlq bud\-qkyx α , β ≥ 0.
Klyn K z lezom K ∩ – K = { 0 } [ konusom. SprqΩenyj konus K
*
formugt\
linijni funkcionaly ϕ ∈ E
*
, wo nabuvagt\ nevid’[mnyx znaçen\ na elementax
K , pryçomu K =
X X∈ ≥ ∀ ∈{ }E K: ( ) *ϕ ϕ0 . Prostir iz konusom napivuporqd-
kovanyj: X ≤ Y ⇔ Y – X ∈ K . Konus K z neporoΩn\og mnoΩynog vnutrißnix
toçok int K = { X : X > 0 } [ tilesnym. Konus K nazyva[t\sq normal\nym, qkwo
iz 0 ≤ X ≤ Y vyplyva[ || X || ≤ ν || Y ||, de ν — universal\na stala. Najmenße
take çyslo ν [ stalog normal\nosti konusa. Qkwo E = K – K , to konus K [
vidtvorggçym. Konus K [ normal\nym lyße todi, koly sprqΩenyj konus K
*
*
Vykonano pry çastkovij pidtrymci NDR # 0105U001108.
© A. M. ALILUJKO, O. H. MAZKO, 2006
1446 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
INVARIANTNI KONUSY TA STIJKIST| LINIJNYX DYNAMIÇNYX SYSTEM 1447
— vidtvorggçyj. Typovymy prykladamy normal\nyx vidtvorggçyx konusiv u
skinçennovymirnyx prostorax [ mnoΩyna vektoriv iz nevid’[mnymy elementamy i
mnoΩyna symetryçnyx nevid’[mno vyznaçenyx matryc\.
Nexaj u banaxovomu prostori E1 ( E 2 ) vydileno konus K 1 ( K 2 ). Operator
M : E1 → E 2 nazyva[t\sq monotonnym, qkwo iz X ≥ Y vyplyva[ M X ≥ M Y. Mo-
notonnist\ linijnoho operatora rivnosyl\na joho pozytyvnosti: X ≥ 0 ⇒ M X ≥
≥ 0. Qkwo M E1 ⊂ K 2 , to operator M — skriz\ pozytyvnyj. Linijnyj opera-
tor M nazyva[t\sq pozytyvno oborotnym, qkwo K 2 ⊂ M K 1 , tobto dlq bud\-
qkoho Y ∈ K 2 rivnqnnq M X = Y ma[ rozv’qzok X ∈ K 1 . Qkwo K 2 — normal\-
nyj vidtvorggçyj konus i M1 ≤ M ≤ M2
, to z pozytyvno] oborotnosti opera-
toriv M1 i M2 vyplyva[ pozytyvna oborotnist\ operatora M, pryçomu M2
1− ≤
≤ M
– 1 ≤ M1
1−
[1]. Kryteri[m pozytyvno] oborotnosti klasu operatoriv M = L –
– P, P K 1 ⊂ K 2 ⊂ L K 1 , de K 2 — normal\nyj vidtvorggçyj konus, [ nerivnist\
ρ ( T ) < 1 ( ρ ( T ) — spektral\nyj radius v’qzky operatoriv T ( λ ) = P – λ L ) [4].
U vypadku tilesnoho konusa K 2 cq nerivnist\ ekvivalentna umovi M K 1 ∩
∩ int K 2 ≠ ∅.
Nexaj X ( t ) = Φ ( t, t0 , X0 ) ∈ E — stan deqko] dynamiçno] systemy, wo opysu-
[t\sq neperervno dyferencijovnog funkci[g pry t ≥ t0 ≥ 0. Qkwo zadano ope-
rator Ω ( t, t0 ) : E → E , wo odnoznaçno vyznaça[ perexid iz poçatkovoho stanu
X ( t0 ) = X0 u stan X ( t ) pry t > t0 , to Φ ( t, t0 , X0 ) = Ω ( t, t0 ) X0 . Pry c\omu
Ω ( t0 , t0 ) = E, Ω ( t + τ, t0 ) = Ω ( t, τ ) ⋅ Ω ( τ, t0 ) ∀ t, τ ≥ t0 ,
de E — totoΩnyj operator. Systema ma[ invariantnu mnoΩynu K
t ⊂ E , qkwo
dlq bud\-qkoho t0 ≥ 0 iz X0 ∈ K 0 vyplyva[ X ( t ) ∈ K
t pry t ≥ t0 . Qkwo K
t —
konus, to nym porodΩeni nerivnosti miΩ elementamy prostoru v koΩnyj moment
çasu t poznaçymo symvolamy typu ≤
K t
abo ≥
K t
.
Vyznaçymo vlastyvosti system vidnosno zminnoho konusa [5]. Dynamiçna sys-
tema, wo ma[ invariantnyj konus K
t
, pozytyvna vidnosno danoho konusa. Sys-
tema nazyva[t\sq monotonnog vidnosno konusa K
t, qkwo dlq bud\-qkoho t0 ≥ 0
X10 ≤
K 0
X20 ⇒ X1 ( t ) ≤
K t
X2 ( t ), t > t0 , (1.1)
de Xk
( t ) = Φ ( t, t0 , Xk
0 ), k = 1, 2. Klasy pozytyvnyx i monotonnyx system pozna-
çymo symvolamy M 0 i M . Dlq klasiv system, wo magt\ vlastyvist\ (1.1) pry
dodatkovyx obmeΩennqx X20 ∈ K 0 , X10 ∈ K 0 , X10 ∈ – K 0 i X20 ∈ – K 0 , vyko-
rystovu[mo vidpovidni poznaçennq M1
+
, M 2
+
, M1
−
i M 2
−
. NaleΩnist\ dyfe-
rencial\no] systemy
Ẋ = F ( X, t ), X ∈ E , t ≥ 0, (1.2)
vkazanym klasam moΩna vstanovyty za dopomohog elementiv sprqΩenoho konu-
sa. Zokrema, systema (1.2) [ pozytyvnog i monotonnog vidnosno tilesnoho konu-
sa K
t
, qkwo t < τ ⇒ K
t ⊆ K τ i vykonugt\sq vidpovidni umovy [5]
X ≥
K t
0, ϕ ∈ K t
*
, ϕ ( X ) = 0 ⇒ ϕ ( F ( X, t ) ) ≥ 0, (1.3)
X ≤
K t
Y, ϕ ∈ K t
*
, ϕ ( X – Y ) = 0 ⇒ ϕ ( F ( Y, t ) – F ( X, t ) ) ≥ 0, (1.4)
de K t
*
, t ≥ 0, — sprqΩenyj konus.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1448 A. M. ALILUJKO, O. H. MAZKO
Izol\ovanyj stan rivnovahy X ≡ 0 dynamiçno] systemy nazyva[mo stijkym v
K
t
, qkwo dlq dovil\nyx ε > 0 i t0 ≥ 0 moΩna vkazaty take δ > 0, wo iz umovy
X0 ∈ Sδ ( t0 ) vyplyva[ X ( t ) ∈ Sε ( t ) pry t > t0 , de Sε ( t ) = X Xt∈ ≤{ }K : ε . Qk-
wo pry c\omu dlq pevnoho δ0 > 0 iz X0 ∈
Sδ0
( t0 ) vyplyva[ || X ( t ) || → 0 pry
t → ∞, to stan X ≡ 0 systemy [ asymptotyçno stijkym u K
t
. Qkwo stan X ≡ 0
systemy z invariantnym konusom K
t stijkyj (asymptotyçno stijkyj) za Lqpu-
novym, to vin stijkyj (asymptotyçno stijkyj) u K
t .
Analohiçno oznaçagt\sq invariantni mnoΩyny, vlastyvosti pozytyvnosti i
monotonnosti vidnosno konusa i stijkosti v K
t dlq dynamiçnyx system iz dysk-
retnym çasom.
2. Konusy kruhovoho ta elipso]dal\noho typiv. Rozhlqnemo u prostori
R
n
+
1
mnoΩynu
K ( Q, h ) = z R z Qz z Qhn T T∈ ≥ ≥{ }+1 0 0: , , (2.1)
de Q = Q
T
— symetryçna matrycq z inerci[g i ( Q ) = {1, n, 0}, h — dovil\nyj
vektor takyj, wo hT
Q h > 0. Hiperplowyna P = z z QhT: ={ }0 rozdilq[ mno-
Ωyny K ( Q, h ), – K ( Q, h ) i proxodyt\ çerez ]x [dynu spil\nu toçku z = 0. Oçe-
vydno, wo K ( Q, h ) = K ( Q, h 1 ) dlq dovil\noho vnutrißn\oho vektora
h1 ∈ int K ( Q, h ). Zokrema, h moΩe buty vlasnym vektorom matryci Q, wo
vidpovida[ ]] [dynomu dodatnomu vlasnomu znaçenng [6].
Lema 2.1. MnoΩyna K ( Q, h ) [ konusom.
Dovedennq. Vidomo, wo i+ ( Q ) = 1 lyße todi, koly [7]
S = Q –
1
ω
Qhh QT ≤ 0,
de ω = hT
Q h > 0. Qkwo z1 ∈ K ( Q, h ) i z 2 ∈ K ( Q, h ), to, vykorystovugçy
rozklad S = – R
T
R i nerivnist\ Koßi, otrymu[mo spivvidnoßennq
1
1 1ω
z Qhh QzT T + z S zT
1 1 = α2 – a
T
a ≥ 0,
α =
1
1ω
z QhT ≥ 0, a = R z1 ,
1
2 2ω
z Qhh QzT T + z S zT
2 2 = β
2
– b
T
b ≥ 0,
β =
1
2ω
z QhT ≥ 0, b = R z2 ,
1
ω
z Qhh QzT T + z SzT = α2 – a
T
a + β2 – b
T
b + 2 ( α β – a
T
b ) ≥ 0,
de z = z1 + z2
. OtΩe, z1 + z2 ∈ K ( Q, h ).
Qkwo z ∈ ± K ( Q, h ), to zT
Q h = 0, zT
Q z = zT
S z = 0, Q z = S z = 0 i z = 0.
Tut vraxovano nevyrodΩenist\ Q j ekvivalentnist\ spivvidnoßen\ zT
S z = 0 i
S z = 0 dlq matryci S ≤ 0.
Vlastyvist\ konusa α K ( Q, h ) ⊂ K ( Q, h ) pry α ≥ 0 oçevydna.
Lemu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
INVARIANTNI KONUSY TA STIJKIST| LINIJNYX DYNAMIÇNYX SYSTEM 1449
MnoΩyna vnutrißnix toçok konusa K ( Q, h ), joho hranycq ta sprqΩenyj
konus vidpovidno magt\ vyhlqd
int K ( Q, h ) =
z Q h z Qz z QhT T∈ > >{ }K ( , ): ,0 0 ,
∂ K ( Q, h ) =
z Q h z QzT∈ ={ }K ( , ): 0 , K
*
( Q, h ) = Q K ( Q, h ).
Nexaj T — nevyrodΩena matrycq peretvorennq
T
T
Q T = ∆ =
∆
diag { – 1, … , – 1, 1 }, h = T g.
Todi K ( Q, h ) = T K ( ∆, g ), pryçomu K ( ∆, e ) , de e = [ 0, … , 0, 1 ]
T
, zbiha[t\sq z
kruhovym konusom Minkovs\koho
K ( ∆ ) = z R z x u x un T T∈ = [ ] ≤{ }+1: , , , (2.2)
de || x || = x xT
. OtΩe, K ( Q, h ) = α T K ( ∆ ), de α = eT
T
–
1
h, tobto K ( Q, h )
zbiha[t\sq z T K ( ∆ ) ( – T K ( ∆ ) ), qkwo α > 0 ( α < 0 ).
Oskil\ky K ( ∆ ) [ normal\nym konusom iz stalog normal\nosti 1, to konus
K ( Q, h ) takoΩ normal\nyj, joho stala normal\nosti ne perevywu[ t t− +/ , de
t t− +( ) — minimal\ne (maksymal\ne) vlasne znaçennq matryci T T
T
.
Pobudu[mo matrycg T za dopomohog spektral\noho rozkladu
Q = γ h hT – H Γ H
T = G D GT
, σ ( Q ) = − … −{ }γ γ γ1, , ,n , (2.3)
de γ > 0, Γ = diag {
γ1
, … , γn
} > 0, D = diag {
–
γ1
, … , –
γn
, γ
}, G = [
H, h
], h
Th = 1,
H
TH = I, h
TH = 0, G G
T = G
T
G = I. Konus (2.1) vyznaça[mo u vyhlqdi
K ( Q ) = z R z Qz z hn T T∈ ≥ ≥{ }+1 0 0: , , (2.4)
de h — normovanyj vlasnyj vektor matryci Q, wo vidpovida[ ]] [dynomu dodat-
nomu vlasnomu znaçenng γ. Pry c\omu vykonugt\sq spivvidnoßennq
K
*
( Q ) = K ( Q
–1
) = Q K ( Q ), K ( Q ) = G K ( D ) = T K ( ∆ ),
K ( D ) = L K ( ∆ ), T = G L, L = diag γ γ γ1
1 2 1 2 1 2− − −/ / /…{ }, , ,n .
Zaznaçymo, wo naleΩnist\ vektora z konusu K ( Q ), zokrema K ( ∆ ), opysu-
[t\sq v terminax nevid’[mno vyznaçenyx matryc\:
z ∈ K ( Q ) ⇔ uz ≥ 0, γ uz
2 1Γ− ≥ U Uz z
T ⇔
u U
U u
z z
z
T
z
Γ−
1
γ
≥ 0,
de uz = h
T
z, Uz = H
T
z.
Klasu konusiv typu K ( Q ) naleΩyt\ tak zvanyj svitlovyj konus [8]
K
a = z R z a zn∈ ≤{ }+1: ( , ) , (2.5)
de ( a, z ) = a
T
z — skalqrnyj dobutok, a — zadanyj vektor iz normog || a || > 1.
Dijsno, mnoΩyna (2.5) opysu[t\sq u vyhlqdi (2.4), qkwo poklasty Q = a a
T – I i
h = || a || –1
a. Pry c\omu γ = a
T
a – 1, i ( Q ) = { 1, n, 0 }. Oskil\ky Q
–1
=
1
γ
a aT – I,
to K a
* = K
b
, de b =
1
γ
a . U vypadku || a || = 2 konus K
a samosprqΩenyj.
Rozhlqnemo u prostori R
n + m
mnoΩyny vektoriv [9]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1450 A. M. ALILUJKO, O. H. MAZKO
K
p ( µ α ) = z R z x u u R x un m T T T m
p∈ = [ ] ∈ ≤{ }+
+: , , , ( )µα , (2.6)
K
q ( σ β ) =
w R w y R yn m T T T m
q∈ = [ ] ∈ ≤{ }+
+: , , , ( )v v vσβ , (2.7)
de µ α ( u ) = α mink uk , σ β ( v ) = β
k k∑ v , Rm
+ ⊂ R
m
— konus vektoriv iz nevid’[m-
nymy elementamy, || a ||p — odna z takyx vektornyx norm:
|| x ||1 =
k
kx∑ , || x ||p =
k
k
p
p
x∑
/1
, || x ||∞ = max
k
kx .
Nexaj parametry α, β, p i q zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq
α β = 1, α > 0, β > 0, p
–1 + q
–1 = 1, p ≥ 1, q ≥ 1. (2.8)
Todi dlq koΩno] iz uvedenyx norm mnoΩyny (2.6) i (2.7) [ tilesnymy konusamy,
pryçomu vykonugt\sq nerivnosti
| y
T
x | ≤ || x ||p || y ||q , v
T
u ≥ µ α ( u ) σ β ( v ). (2.9)
U vypadku p > 1 ( q > 1 ) perßa nerivnist\ (2.9) — nerivnist\ Hel\dera.
Lema 2.2. Pry umovax (2.8) K p
* ( )µα = K
q ( σ β ).
Dovedennq. Qkwo z ∈ K
p ( µ α ) i w ∈ K
q ( σ β ), to zhidno z (2.8) i (2.9) ma[mo
y
T
x + v
T
u ≥ – || x ||p || y ||q + µ α ( u ) σ β ( v ) ≥ 0.
Ce oznaça[, wo K
q ( σ β ) ⊂ K p
* ( )µα .
Zvorotne vklgçennq K
q ( σ β ) ⊃ K p
* ( )µα takoΩ vykonu[t\sq. Dijsno, nexaj
y
T
x + v
T
u ≥ 0 dlq dovil\noho vektora z ∈ K
p ( µ α ). Todi, oçevydno, v ∈ Rm
+ i
dlq vstanovlennq nerivnosti || y ||q ≤ σ β ( v ) slid rozhlqnuty taki vypadky:
1) p = 1, q = ∞, xk =
− =
≠
y k s
k s
s , ,
, ,0
u = β || x ||1
e;
2) p = ∞, q = 1, xk =
− ≥
<
1 0
1 0
, ,
, ,
y
y
k
k
u = β || x ||∞
e;
3) p > 1, q > 1, xk =
− ≥
<
/
/
y y
y y
k
q p
k
k
q p
k
, ,
, ,
0
0
u = β || x ||p
e,
de | ys | = || y ||∞ , e = [ 1, … , 1 ] T. Dlq koΩnoho z nyx vykonu[t\sq spivvidnoßennq
y
T
x + v
T
u = – || x ||p || y ||q + || x ||p σ β ( v ) ≥ 0,
zvidky vyplyva[, wo || y ||q ≤ σ β ( v ), tobto w ∈ K
q ( σ β ).
Lemu dovedeno.
3. Umovy pozytyvnosti ta stijkosti linijnyx system. Linijna dyferen-
cial\na systema u banaxovomu prostori
ż = M z, z ∈ E , t ≥ 0, (3.1)
de M : E → E — obmeΩenyj operator, ma[ invariantnyj konus K , tobto [ po-
zytyvnog vidnosno K , qkwo e
M t
K ⊂ K dlq bud\-qkoho t ≥ 0. Linijna
riznyceva systema
zk + 1 = M zk , zk ∈ E , k = 0, 1, … , (3.2)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
INVARIANTNI KONUSY TA STIJKIST| LINIJNYX DYNAMIÇNYX SYSTEM 1451
ma[ invariantnyj konus K , qkwo operator M ≥
K
0 — pozytyvnyj vidnosno K .
Umovy isnuvannq invariantnyx tilesnyx konusiv u prostorax skinçennovymir-
nyx system (3.1) i (3.2) opysugt\sq za dopomohog spektra σ ( M ) [10, 11]. Sys-
tema (3.1) pozytyvna vidnosno deqkoho tilesnoho konusa todi i til\ky todi, koly
vykonugt\sq umovy
α ( M ) =
∆
max Re : ( )λ λ σ∈{ }M ∈ σ ( M ),
λ ∈ σ ( M ), Re λ = α ( M ) ⇒ d ( λ ) ≤ d ( α ( M ) ),
de d ( ⋅ ) — kratnist\ vlasnoho znaçennq matryci qk korenq ]] minimal\noho poli-
noma. Analohiçno, systema (3.2) pozytyvna vidnosno deqkoho tilesnoho konusa
todi i til\ky todi, koly
ρ ( M ) =
∆
max : ( )λ λ σ∈{ }M ∈ σ ( M ),
λ ∈ σ ( M ), | λ | = ρ ( M ) ⇒ d ( λ ) ≤ d ( ρ ( M ) ).
Qkwo ostanni umovy dopovnyty nerivnistg d ( ρ ( M ) ) ≤ 3 ( d ( ρ ( M ) ) ≤ 2 u vy-
padku ρ ( M ) = 0 ) i vymahaty, wob Ωordanova kanoniçna forma matryci M mala
ne bil\ße odnoho bloka porqdku ≥ 2 z vlasnymy znaçennqmy λ ∈ σ ( M ) pry
| λ | = ρ ( M ), to otryma[mo kryterij isnuvannq inariantnoho elipso]dal\noho
konusa (2.4) dlq systemy (3.2) [12].
Umovy stijkosti system (3.1) i (3.2), pozytyvnyx vidnosno normal\nyx vidtvo-
rggçyx konusiv, opysugt\sq v terminax pozytyvnyx rozv’qzkiv alhebra]çnyx
rivnqn\ (dyv., napryklad, [13, 14]). Zokrema, kryteri[m asymptotyçno] stijkosti
pozytyvno] systemy (3.2) [ vklgçennq K ⊂ ( E – M ) K . Dlq systemy (3.1) ma[
misce nastupne tverdΩennq [15].
Teorema 3.1. Pozytyvna systema (3.1) eksponencial\no stijka todi i
til\ky todi, koly operator – M [ pozytyvno oborotnym: K ⊂ – M K . Qkwo
K ⊂ ( γ E – M ) K ∀ γ ≥ 0, to systema (3.1) eksponencial\no stijka i pozytyvna
vidnosno K .
Vstanovymo dostatni umovy eksponencial\no] stijkosti systemy (3.1) u vyh-
lqdi pozytyvno] oborotnosti dvox operatoriv.
Teorema 3.2. Qkwo dlq deqkoho γ0 vykonugt\sq umovy
K ⊂ – M K ∩ ( γ0 E – M ) K , γ0 >
ρ2 2
2
( ) ( )
( )
M r M
r M
−
, (3.3)
de ρ ( M ) — spektral\nyj radius operatora M, r ( M ) =
∆
min : ( )λ λ σ∈{ }M ,
to systema (3.1) [ eksponencial\no stijkog.
Dovedennq. Iz (3.3) vyplyva[, wo operatory – M
–1
i ( γ0 E – M )
–1
magt\ in-
variantnyj konus K . }xni spektry skladagt\sq z vidpovidnyx çysel – 1 / λ i
1 / ( γ0 – λ ) pry λ ∈ σ ( M ). Za teoremog pro spektral\nyj radius pozytyvnoho
operatora ma[mo nerivnosti
| λ | ≥ – α, | γ0 – λ | ≥ γ0 – β, λ ∈ σ ( M ),
de α, β ∈ σ ( M ) — deqki dijsni toçky spektra. Qkwo 0 ≤ γ ≤ γ0 , to – M ≤
K
γ E –
– M ≤
K
γ0 E – M i koΩnyj operator γ E – M povynen buty pozytyvno oborotnym
(teorema pro dvostoronng ocinku pozytyvno oborotnoho operatora [1]). OtΩe, v
rozhlqduvanomu vypadku α i β zbihagt\sq i dorivnggt\ çyslu – r ( M ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1452 A. M. ALILUJKO, O. H. MAZKO
λ
γ0ρ(M )r(M )0
Λ
Λ — oblast\ rozmiwennq spektra σ ( M ).
Qkwo vykonu[t\sq ocinka dlq γ0 v (3.3), to spektr operatora M naleΩyt\
deqkij oblasti Λ, wo roztaßovana zliva vid uqvno] osi (dyv. rysunok). Ce [ kry-
teri[m eksponencial\no] stijkosti systemy (3.1).
Teoremu dovedeno.
Vstanovymo umovy pozytyvnosti system (3.1) i (3.2) vidnosno elipso]dal\nyx
konusiv K ( Q ) typu (2.4) i navedemo ]x zastosuvannq v zadaçi analizu stijkosti.
Lema 3.1. Qkwo P = P
T
, to z
T
P z ≥ 0 ∀z ∈ K ( Q ) ⇔ ∃ α ≥ 0 : P ≥ α Q.
Dovedennq. Vidomo, wo w
T
P w ≥ 0 pry w ∈ K ( ∆ ) lyße todi, koly isnu[
take α ≥ 0, wo vykonu[t\sq nerivnist\ P ≥ α ∆ [16]. Oskil\ky K ( Q ) = T K ( ∆ ),
to, pokladagçy z = T w i vykorystovugçy zakon inerci], otrymu[mo kryterij ne-
vid’[mnosti kvadratyçno] formy z
T
P z na konusi K ( Q ) u vyhlqdi matryçno] ne-
rivnosti P ≥ α Q.
Lemu dovedeno.
Vvedemo taki poznaçennq:
M = [ R, l ] =
A b
c dT
, R = [ r1 , … , rn ] =
A
cT
, l =
b
d
,
A = [ a1 , … , an ], bT = [ b1 , … , bn ], cT = [ c1 , … , cn ].
Teorema 3.3. K ( Q ) [ invariantnym konusom systemy (3.2) todi i til\ky
todi, koly vykonugt\sq umovy
M
T
Q M ≥ α Q, hT
M h ≥ 0, hT
M Q
–1
M
T
h ≥ 0, (3.4)
de α ≥ 0 — deqke nevid’[mne çyslo.
Dovedennq. Spoçatku pokaΩemo, wo K ( ∆ ) [ invariantnym konusom matry-
ci M todi i til\ky todi, koly vykonugt\sq umovy
l ∈ K ( ∆ ), M ∆ M
T ≥ α ∆, (3.5)
de α ≥ 0 — deqke nevid’[mne çyslo. Vklgçennq M K ( ∆ ) ⊂ K ( ∆ ) oznaça[, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
INVARIANTNI KONUSY TA STIJKIST| LINIJNYX DYNAMIÇNYX SYSTEM 1453
Sz =
uI x
x uT
≥ 0 ⇒ SM z =
( )c x du I Ax bu
x A ub c x du
T
T T T T
+ +
+ +
≥ 0,
tobto dlq dovil\nyx z ∈ K ( ∆ ) i g ∈ R
n
+
1
povynni vykonuvatys\ spivvidno-
ßennq
gT
SM z g = l zg
T ≥ 0, lg
T = g S g g S g g S gT
r
T
r
T
ln1
, , ,…[ ],
Sl =
d I b
b dT
, Sri
=
c I a
a c
i i
i
T
i
, i = 1, … , n.
Vraxovugçy samosprqΩenist\ konusa K ( ∆ ), ma[mo lg ∈ K ( ∆ ), tobto
gT
Sl g = wT
l ≥ 0, ( gT
Sl g )
2
–
i
n
T
rg S g
i
=
∑ ( )
1
2
= w
T
S w ≥ 0,
de
g =
y
v
, w = Φ ( g ) =
2
2
v
+ v
y
y yT
, S = l l
T – R R
T = M ∆ M
T
.
Lehko vstanovyty, wo nelinijne peretvorennq Φ : R
n
+
1
→ R
n
+
1
zberiha[
konus K ( ∆ ), bil\ß toho, Φ ( K ( ∆ ) ) = K ( ∆ ). Tomu moΩna skorystatys\ le-
mogO3.1.
OtΩe, kryterij invariantnosti konusa K ( ∆ ) dlq matryci M ma[ vy-
hlqdO(3.5).
Oskil\ky K ( Q ) = T K ( ∆ ), to umovy M K ( Q ) ⊂ K ( Q ) i MT K ( ∆ ) ⊂ K ( ∆ ), de
MT = T
–
1
M T, ekvivalentni. Ostannij stovpçyk matryci MT zhidno z rozkladom
(2.3) ma[ vyhlqd lT = γ
–
1
/
2
T
–
1
M h. Tomu umovy (3.5) dlq vektora lT i matryci
MT zvodqt\sq do vyhlqdu
h
T
M h ≥ 0, h
T
M
T
Q M h ≥ 0, M Q
–
1
M
T
≥ α Q
–
1
. (3.6)
Vidomo, wo matrycq M ma[ invariantnyj konus K todi i til\ky todi, koly
matrycq M
T
ma[ invariantnyj konus K
*
. V danomu vypadku K *( Q ) = K ( Q
–
1
).
OtΩe, otrymanyj kryterij invariantnosti konusa K ( Q ) typu (3.6) na osnovi za-
konu inerci] zobraΩu[t\sq u vyhlqdi (3.4), pryçomu parametr α naleΩyt\ in-
tervalu 0 ≤ α ≤ γ
–
1
h
T
M
T
Q M h.
Teoremu dovedeno.
Zaznaçymo, wo teorema 3.3 uzahal\ng[ osnovnyj rezul\tat roboty [6] dlq
elipso]dal\nyx konusiv typu K ( Q ).
Teorema 3.4. K ( Q ) [ invariantnym konusom systemy (3.1) todi i til\ky
todi, koly dlq deqkoho α ∈ R
1
vykonu[t\sq matryçna nerivnist\
M
T
Q + Q M ≥ α Q. (3.7)
Dovedennq. Kryterij pozytyvnosti systemy v terminax sprqΩenoho konusa
K *( Q ) = K ( Q
–
1
) zhidno z (1.3) ma[ vyhlqd
z ∈ K ( Q ), w ∈ K *( Q ), w
T
z = 0 ⇒ w
T
M z ≥ 0. (3.8)
PokaΩemo, wo z ortohonal\nosti nenul\ovyx vektoriv z ∈ K ( Q ) i w ∈
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1454 A. M. ALILUJKO, O. H. MAZKO
∈ K *( Q ) vyplyva[ w = β Q z, de β > 0. Nexaj w = Q g, de g — deqkyj vektor,
i vykonugt\sq spivvidnoßennq
z
T
Q z ≥ 0, w
T
Q
–
1
w = g
T
Q g ≥ 0, w
T
z = g
T
Q z = 0.
Todi qkwo V = [ z, g ] — matrycq povnoho ranhu 2, to dlq dovil\noho ε > 0
Gε = V
T
( Q + ε I ) V =
z Qz
g Qg
T
T
0
0
+ ε V
T
V > 0.
Zvidsy vyplyva[, wo vektory z i g povynni buty linijno zaleΩnymy. U proty-
leΩnomu vypadku dlq deqkoho ε > 0 ma[mo supereçnist\:
1 = i+ ( Q ) = i+ ( Q + ε I ) ≥ i+ ( Gε ) = 2.
OtΩe, w = β Qz, pryçomu β > 0, oskil\ky z
T
h > 0 i w
T
h > 0.
Umova (3.8) oznaça[, wo z
T
( M
T
Q + Q M ) z ≥ 0 dlq dovil\noho z ∈ K ( Q ), wo
zhidno z lemog 3.1 ekvivalentno umovi (3.7).
ZauvaΩymo, wo v danomu vypadku z ∈ ∂ K ( Q ), tobto z
T
Q z = 0. Tomu umova
(3.7) zabezpeçu[ invariantnist\ konusa K ( Q ) dlq systemy (3.1) pry deqkomu
α ∈ R
1
. MoΩna vstanovyty, wo α ≤ 2 h
T
M h.
Teoremu dovedeno.
Uzahal\nymo teoremu 3.4 dlq neavtonomno] systemy
ż = M ( t ) z, t ≥ 0, (3.9)
u fazovomu prostori qko] zadano zminnyj elipso]dal\nyj konus K ( Qt ). Nexaj
elementy matryc\ M ( t ) i Qt = Qt
T
[ neperervnymy funkciqmy çasu t.
Teorema 3.5. K ( Qt ) [ invariantnym konusom systemy (3.9) todi i til\ky
todi, koly vykonu[t\sq matryçna nerivnist\
Q̇t + M
T
( t ) Qt + Qt M ( t ) ≥ α ( t ) Qt , t ≥ 0. (3.10)
de α ( t ) — deqka funkciq.
Dovedennq. Nexaj T ( t ) — taka nevyrodΩena matrycq, wo T
T
( t ) Qt T ( t ) ≡ ∆.
Todi za dopomohog peretvorennq z = T ( t ) w otrymu[mo systemu
ẇ = N ( t ) w, N ( t ) = T
–
1
( t ) M ( t ) T ( t ) – T
–
1
( t ) ˙( )T t , (3.11)
qka ma[ invariantnyj kruhovyj konus K ( ∆ ) lyße todi, koly K ( Qt ) [ invari-
antnym konusom poçatkovo] systemy (3.9). Za teoremog 3.4 kryterij pozytyv-
nosti systemy (3.11) vidnosno K ( ∆ ) ma[ vyhlqd
N
T
( t ) ∆ + ∆ N ( t ) ≥ α ( t ) ∆,
de α ( t ) — deqka funkciq. Ostannq nerivnist\ pislq mnoΩennq zliva i sprava
vidpovidno na T
–
1
T
( t ) i T
–
1
( t ) z vykorystannqm totoΩnosti
Q̇t + T
–
1
T
( t ) ˙ ( )T tT Qt + Qt
˙( )T t T
–
1
( t ) ≡ 0
zvodyt\sq do vyhlqdu (3.10).
Teoremu dovedeno.
Teorema 3.6. Nexaj isnugt\ symetryçna matrycq Q z inerci[g i ( Q ) = {1,
n, 0} i stali α ∈ R
1
i β > 0, dlq qkyx vykonugt\sq nerivnosti
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
INVARIANTNI KONUSY TA STIJKIST| LINIJNYX DYNAMIÇNYX SYSTEM 1455
M
T
Q + Q M ≥ α Q, M
T
Q M ≤ β Q,
(3.12)
h
T
M
–
1
h ≤ 0, h
T
( M
T
Q M )
–
1
h ≥ 0,
de h — vlasnyj vektor matryci Q, wo vidpovida[ ]] [dynomu dodatnomu vlas-
nomu znaçenng. Todi dyferencial\na systema (3.1) eksponencial\no stijka i
ma[ invariantnyj konus K ( Q ).
Danyj rezul\tat [ naslidkom teorem 3.1, 3.3 i 3.4. Analohiçne tverdΩennq
ma[ misce dlq systemy (3.2).
Teorema 3.7. Nexaj isnugt\ symetryçna matrycq Q z inerci[g i ( Q ) = {1,
n, 0} i stali α > 0 i β > 0, dlq qkyx razom z (3.4) vykonugt\sq nerivnosti
M QMT
1 1 ≤ β Q, h M hT
1
1− ≥ 0, h M QM hT T
1 1
1( )− ≥ 0, (3.13)
de M1 = I – M . Todi riznyceva systema (3.2) asymptotyçno stijka i ma[ inva-
riantnyj konus K ( Q ).
Pryklad 3.1. Rozhlqnemo dyferencial\nu systemu
ż = M z, M =
0 1 0
0 0 1
5 4 5 4a a a− −
, (3.14)
de a — dijsnyj parametr. Oskil\ky σ ( M ) = { – 2 ± i, a }, to systema ma[ invari-
antnyj elipso]dal\nyj konus K ( Q ) lyße todi, koly α ( M ) = a ∈ σ ( M ). Razom z
matryçnog nerivnistg (3.7) rozhlqnemo matryçne rivnqnnq
M
T
Q + Q M – α Q = I. (3.15)
Zhidno z teoremog inerci] joho rozv’qzok povynen zadovol\nqty umovy
i Mα
+ ( ) = i+ ( Q ), i Mα
− ( ) = i– ( Q ), i0 ( Q ) = 0,
de i Mα
+ ( ) ( i Mα
− ( )) — kil\kist\ vlasnyx znaçen\ matryci M, roztaßovanyx
sprava (zliva) vid prqmo] 2 Re λ = α. Budemo vvaΩaty, wo α = a – 2, todi i ( Q ) =
= {1, 2, 0}.
Qkwo a = – 1, to α = – 3 i z rivnqnnq (3.15) znaxodymo
Q =
27 17 8
17 3 8 1 2
8 1 2 0 2
−
, ,
, ,
, h =
0 89719
0 38737
0 21211
,
,
,
, i ( Q ) = {1, 2, 0}.
Rozv’qzugçy systemu nerivnostej (3.12) vidnosno a, α i β pry znajdenyx Q i
h, otrymu[mo a = – 0,81697, α = – 2,9682, β = 1,07585. OtΩe, vykonugt\sq umo-
vy teoremy 3.6, pry qkyx systema (3.14) [ eksponencial\no stijkog i ma[ invari-
antnyj konus K ( Q ).
Vstanovymo umovy invariantnosti konusiv typu K p ( µ α ) dlq systemy (3.2),
vykorystovugçy bloçne zobraΩennq matryci
M =
A B
C D
, A = aij
n
1
, B = bij
n m
1
,
,
C = cij
m n
1
,
, D = dij
m
1
.
Dlq poznaçennq k-ho stovpçyka i s-ho rqdka dovil\no] matryci X budemo vyko-
rystovuvaty vidpovidni symvoly typu x * k i xs
T
*
. Znajdemo umovy toho, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1456 A. M. ALILUJKO, O. H. MAZKO
|| x ||p ≤ µ α ( u ) ⇒ || A x + B u ||p ≤ µ α ( C x + D u ).
Z ohlqdu na spivvidnoßennq
|| A x + B u ||p ≤ || A ||p || x ||p +
j
m
j jb u
=
∑
1
*
≤ h
T
u, || A ||p = sup
x
p
p
Ax
=1
,
h
T
=
α α
m
A b
m
A bp p p m p+ … +
* *
, ,1 , K p
* ( )µα = K q ( σ β )
namahatymemosq zadovol\nyty nerivnosti
αc xs
T
*
+ ( α ds * – h )
T
u ≥ 0, α || cs * ||q ≤ σβ (αds * – h ), s = 1, m .
OtΩe, umovy invariantnosti konusa K p ( µ α ) dlq systemy (3.2) magt\ vyhlqd
|| A ||p + β
j
m
j p
b
=
∑
1
*
+ α || cs * ||q ≤
j
m
sjd
=
∑
1
,
dsj ≥
1
m
A p + β b j p*
, s = 1, m , j = 1, m ,
de p > 1, q > 1, α β =1, 1 / p + 1 / q = 1, A p — uzhodΩena matryçna norma z
vektornog normog || x ||p
. Zokrema,
|| A ||1 = max
j i
ija∑ , || A ||2 =
i j
ija
,
∑
/
2
1 2
, || A ||∞ = max
i j
ija∑ .
U vypadkax p = 2 i p = ∞ ma[mo kryteri]
M K 2 ( µ α ) ⊂ K 2 ( µ α ) ⇔ lj ∈ K 2 ( µ α ), Mk ∆Mk
T ≥ αk
∆,
M K ∞ ( µ α ) ⊂ K ∞ ( µ α ) ⇔ dk j ≥ β | bs j |,
i
n
ki sic a
=
∑ ±
1
α ≤
j
m
kj sjd b
=
∑ ±
1
( )β ,
de
lj =
b
d
j
j
*
*
, Mk =
A b
c d
j
j
k
T
j
kj
β
α
∑
∑
*
*
, αk ≥ 0, s = 1, n, j, k = 1, m .
U vypadku p = 2 moΩna vstanovyty takoΩ taki dostatni umovy:
Qk > 0, Qk ≥
i
n
ki k kiP Q P
=
−∑
1
1
, k = 1, m ⇒ M K 2 ( µ α ) ⊂ K 2 ( µ β ),
de
Qk = β
j
m
kjQ
=
∑
1
, Pk i =
α
α
c I a
a c
ki i
i
T
ki
*
*
, Qk j =
α
α
d I b
b d
kj j
j
T
kj
*
*
.
Pry dovedenni vykorystovugt\ zobraΩennq konusiv K 2 ( µ α ) i K 2 ( σ β ) u ter-
minax nevid’[mno vyznaçenyx matryc\, zokrema
K 2 ( µ α ) =
x
u
u I x
x uT
≥
:
( )
( )
µ
µ
α
α
0 .
Umovy pozytyvnosti i monotonnosti nelinijnyx dyferencial\nyx system vid-
nosno konusa K 2 ( µ α ) navedeno v [17].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
INVARIANTNI KONUSY TA STIJKIST| LINIJNYX DYNAMIÇNYX SYSTEM 1457
4. Pozytyvnist\ ta stijkist\ linijnyx dyferencial\nyx rivnqn\ s-ho
porqdku. Rozhlqnemo dyferencial\nu systemu s-ho porqdku
A0 x ( t ) + A1 x
(
1
)
( t ) + … + As x
(
s
)
( t ) = 0, x
(
i
)
( 0 ) = x i
0
( )
, i = 0 1, s − , (4.1)
de x ( t ) ∈ R
n
— vektor fazovyx koordynat, t ≥ 0, Ai ∈ R
n
×
n
— koefici[nty rehu-
lqrnoho matryçnoho polinoma F ( λ ) = A0 + λ A1 + … + λ
s
As . Povnyj stan syste-
my (4.1) xarakteryzu[ vektor-funkciq y ( t ), wo [ rozv’qzkom dyferencial\no]
systemy perßoho porqdku
A y ( t ) = B ˙( )y t , y ( 0 ) = y0 , t ≥ 0, (4.2)
de
A =
− …
…
…
A
I
I
0 0 0
0 0
0 0
� � � �
,
B =
A A A
I
I
s s1 1
0 0
0 0
…
…
…
−
� � � �
, y ( t ) =
x t
x t
x ts
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
�
−
.
Tomu invariantni mnoΩyny i vlastyvosti pozytyvnosti dano] systemy vidnosno
konusiv budemo vyznaçaty u fazovomu prostori R
n s
:
y ( 0 ) =
x
x
x s
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0
1
1
�
−
∈ K̂ ⇒ y ( t ) =
x t
x t
x ts
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
�
−
∈ K̂ ,
K̂ =
K
K
K
0
1
1
�
s−
, t ≥ 0.
Pry c\omu znaçennq x ( t ) budut\ naleΩaty mnoΩyni K 0 .
Nexaj ( U, T ) — dovil\na (prava) vlasna para matryçnoho polinoma F ( λ ),
wo vyznaça[t\sq z umov [4]
A0 T + A1 T U + … + As T U
s
= 0, rank E = m, E =
∆
T
TU
TUs
�
−
1
, (4.3)
de T ∈ C
n
×
m
, U ∈ C
m
×
m
. Todi spektr matryci U [ pidmnoΩynog spektra σ ( F )
matryçnoho polinoma F ( λ ). Vidomo takoΩ, wo ( U, T ) [ vlasnog parog F ( λ )
todi i til\ky todi, koly ( U, E ) — vlasna para linijno] v’qzky L ( λ ) = A – λ B,
tobto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1458 A. M. ALILUJKO, O. H. MAZKO
A E = B E U, rank E = m. (4.4)
Zaznaçymo, wo spektry σ ( L ) i σ ( F ) zbihagt\sq.
Vlasnu paru ( U, T ) matryçnoho polinoma F ( λ ) budemo nazyvaty maksy-
mal\nog, qkwo u spivvidnoßennqx (4.3) çyslo m nabuva[ maksymal\no moΩly-
voho znaçennq. Qkwo ( U, T ) — maksymal\na vlasna para matryçnoho polinoma
F ( λ ), to m zbiha[t\sq z kil\kistg vlasnyx znaçen\ F ( λ ) z uraxuvannqm
kratnosti.
Lema 4.1. Vlasna para ( U, T ) matryçnoho polinoma F ( λ ) [ maksymal\-
nog todi i til\ky todi, koly vykonugt\sq umovy
rank F( ), ( )λ λΦ[ ] ≡ n, Φ ( λ ) =
∆
i
s
i
j i
s
j
j iA T U
=
−
=
−∑ ∑
1
1λ , λ ∈ σ ( F ). (4.5)
Dovedennq. Nexaj ( U, T ) — maksymal\na vlasna para matryçnoho polino-
ma F ( λ ). Todi ( U, E ) [ maksymal\nog vlasnog parog v’qzky L ( λ ). Vykorys-
ta[mo kanoniçnu formu Kronekera rehulqrno] v’qzky [18] i strukturu matryci
E v (4.4):
P ( A – λ B ) Q =
J I
I N
−
−
λ
λ
0
0
, E = Q
R
0
, J R = R U, (4.6)
de J ∈ C
m
×
m
, σ ( J ) = σ ( L ), P i Q — nevyrodΩeni matryci, N — nil\potentna
matrycq, vsi elementy qko] [ nulqmy za vynqtkom moΩlyvo, odynyc\, roztaßo-
vanyx na holovnij naddiahonali. U danomu vypadku R [ kvadratnog nevyrodΩe-
nog matryceg i nevaΩko vstanovyty totoΩnist\
rank [ A – λ B, B E ] ≡ n s, λ ∈ C
1
,
qka za dopomohog ekvivalentnyx bloçnyx peretvoren\ zvodyt\sq do vyhlq-
duO(4.5).
Umovy (4.5) moΩna perepysaty u vyhlqdi
vT
F ( λ ) = 0, v ≠ 0 ⇒ vT
Φ ( λ ) ≠ 0, λ ∈ F ( λ ),
a matryçne rivnqnnq v (4.3) ekvivalentne totoΩnosti
F ( λ ) T ≡ Φ ( λ ) ( λ I – U ), λ ∈ C
1
.
Nexaj vT
— livyj vlasnyj vektor matryçnoho polinoma F ( λ ), wo vidpovida[
vlasnomu znaçenng λ ∈ σ ( F ). Todi z ostann\o] totoΩnosti pry umovax (4.5) vy-
plyva[, wo uT = vT
Φ ( λ ) [ livym vlasnym vektorom matryci U, wo vidpovida[ ]]
vlasnomu znaçenng λ ∈ σ ( U ). Ce oznaça[, wo ( U, T ) — maksymal\na vlasna
para matryçnoho polinoma F ( λ ).
Lemu dovedeno.
Nastupne tverdΩennq moΩe buty korysnym dlq çysel\noho znaxodΩennq
vlasnyx par matryçnoho polinoma.
Lema 4.2. Qkwo ( n × m )-matryci R0 , … , Rs zadovol\nqgt\ umovy
A0 R0 + A1 R1 + … + As Rs = 0, (4.7)
rank S0 = rank [ S0 , S1 ] = m ≤ sn, S0 =
∆
R
Rs
0
1
�
−
, S1 =
∆
R
Rs
1
�
, (4.8)
to matryci
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
INVARIANTNI KONUSY TA STIJKIST| LINIJNYX DYNAMIÇNYX SYSTEM 1459
U = S S S ST T
0 0
1
0 1( )− , T = R0 , (4.9)
skladagt\ vlasnu paru matryçnoho polinoma F ( λ ), tobto zadovol\nqgt\
spivvidnoßennq (4.3).
Dovedennq. Pry umovax (4.8) isnu[ [dynyj rozv’qzok rivnqnnq S0 U = S1 ,
wo vyznaçenyj v (4.9). Pry c\omu S0 zbiha[t\sq z E, a matryçne rivnqnnq (4.7)
zvodyt\sq do vyhlqdu (4.3).
Lemu dovedeno.
Lema 4.3. Nexaj ( U, T ) — vlasna para matryçnoho polinoma F ( λ ). Todi
K̂ = E K [ invariantnog mnoΩynog systemy (4.1) todi i til\ky todi, koly K
— invariantna mnoΩyna systemy
ż = U z, z ( 0 ) = z0
, t ≥ 0. (4.10)
Zokrema, systema (4.1) [ pozytyvnog vidnosno konusa K̂ = E K lyße todi,
koly systema (4.10) pozytyvna vidnosno konusa K .
Dovedennq. Budu[mo rozv’qzok systemy (4.2) u vyhlqdi y ( t ) = E z ( t ). Vraxo-
vugçy (4.4) i (4.6), otrymu[mo spivvidnoßennq
BE z Uz˙ −( ) = 0, B E = P
R−
1
0
.
Oskil\ky rank ( B E ) = rank E = m, to y ( t ) [ rozv’qzkom systemy (4.2) todi i til\-
ky todi, koly z ( t ) zadovol\nq[ (4.10). Tomu systema (4.2) (a razom z neg i (4.1))
ma[ invariantnyj konus typu E K lyße todi, koly K [ invariantnym konusom
systemy (4.10).
Lemu dovedeno.
Nastupne tverdΩennq [ naslidkom teoremy 3.1 i toho faktu, wo maksymal\na
vlasna para matryçnoho polinoma povnistg vyznaça[ joho spektr, tobto σ ( U ) =
= σ ( F ).
Teorema 4.1. Nexaj ( U, T ) — maksymal\na vlasna para matryçnoho polino-
ma F ( λ ) taka, wo systema (4.10) pozytyvna vidnosno normal\noho tilesnoho
konusa K . Todi nastupni tverdΩennq [ ekvivalentnymy:
1) systema (4.1) eksponencial\no stijka;
2) Re λ < 0 ∀ λ ∈ σ ( U );
3) K ⊂ – U K ;
4) ∃ z0 ∈ int K : U z0 ∈ – int K .
Sformulg[mo dostatni umovy pozytyvnosti j eksponencial\no] stijkosti
systemy (4.1). Prypustymo, wo vykonu[t\sq vklgçennq
B K̂ ⊂ ( γ B – A ) K̂ ∀ γ ≥ 0, (4.11)
de K̂ ⊂ R
n
s
— deqka mnoΩyna. Todi zhidno z (4.6) ma[mo taki vklgçennq:
K̂ 1 ⊂ ( γ I – J ) K̂ 1, – ( N + γ N
2
+ … + γ
ν
–
2
N
ν
–
1
) K̂ 2 ⊂ K̂ 2 ,
de K̂ = Q1 K̂ 1 + Q2 K̂ 2 , Q = [ Q1, Q2 ], ν — indeks nil\potentnosti matryci N.
MnoΩyna K̂ bude invariantnog dlq systemy (4.2) lyße todi, koly K̂ 2 = { 0 }.
Qkwo K̂ 1 — normal\nyj vidtvorggçyj konus, to za teoremog 3.1 perße vklg-
çennq zabezpeçu[ pozytyvnist\ vidnosno K̂ 1 j eksponencial\nu stijkist\ syste-
mi ż = J z. U c\omu vypadku systema (4.2) [ eksponencial\no stijkog i ma[ inva-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
1460 A. M. ALILUJKO, O. H. MAZKO
riantnu mnoΩynu K̂ = Q1 K̂ 1, wo [ konusom rozmirnosti dim K̂ = m lyße
todi, koly K̂ 1 — vidtvorggçyj konus. Analohiçnu strukturu ma[ mnoΩyna
K̂ = Mα
νK = Q1 ( α I – J )
–
νK 1 , de Mα =
∆
( α B – A )
–
1
B , K = Q1 K 1 + Q2 K 2 ,
α ∉σ ( F ). Zokrema, moΩna poklasty α = 0.
Na osnovi teoremy 3.2 i navedenyx mirkuvan\ otrymu[mo nastupni tverd-
Ωennq.
Teorema 4.2. Qkwo dlq deqkoho γ 0 vykonugt\sq umovy
B K̂ ⊂ –A K̂ ∩ ( γ 0 B – A ) K̂ , γ 0 >
ρ2 2
2
( ) ( )
( )
F r F
r F
−
, (4.12)
de ρ ( F ) =
∆
max : ( )λ λ σ∈{ }F , r ( F ) =
∆
min : ( )λ λ σ∈{ }F , K̂ = Mα
νK —
normal\nyj konus rozmirnosti m, to systema (4.1) [ eksponencial\no
stijkog.
Teorema 4.3. Qkwo dlq deqko] maksymal\no] vlasno] pary ( U, T ) matryç-
noho polinoma F ( λ ) vykonu[t\sq vklgçennq
K ⊂ ( γ I – U ) K ∀ γ ≥ 0, (4.13)
de K — normal\nyj vidtvorggçyj konus, to systema (4.1) [ eksponencial\no
stijkog i ma[ invariantnyj konus K̂ = E K .
ZauvaΩymo, wo vklgçennq (4.13) vyplyva[ iz (4.11), qkwo poklasty K̂ =
= E K = Q1 R K i vraxuvaty rivnist\ J R = R U.
Pryklad 4.1. Rozhlqnemo dyferencial\nu systemu druhoho porqdku
A0 x + A1 ẋ + A2 ˙̇x = 0, (4.14)
de
A0 =
8 1
9 1−
, A1 =
4 1
4 1−
, A2 =
1 0
0 0
.
}j vidpovida[ matryçna kvadratyçna v’qzka
F ( λ ) = A0 + λ A1 + λ
2
A2 =
λ λ λ
λ λ
2 4 8 1
4 9 1
+ + +
− − +
,
spektr qko] σ ( F ) = { – 4 ± i, – 1 }. Vykorystavßy v systemi MATHCAD kon-
strukcig „Given…Find”, znajdemo maksymal\nu vlasnu paru ci[] v’qzky
U =
−
−
−
1 525 0 53 0
0 688 3 686 1 595
3 448 0 3 79
, ,
, , ,
, ,
, T =
− −
−
0 13 0 26 0 103
3 299 1 309 0 073
, , ,
, , ,
.
Pozadiahonal\ni elementy matryci U nevid’[mni, a obernena do ne]
U
–
1
=
− − −
− − −
− − −
0 822 0 118 0 05
0 476 0 34 0 143
0 748 0 108 0 309
, , ,
, , ,
, , ,
≤
K
0,
de K = R+
3
— konus nevid’[mnyx vektoriv.
OtΩe, vykonugt\sq umovy teoremy 4.1 i systema (4.14) [ eksponencial\no
stijkog. Bil\ß toho, zhidno z lemog 4.3 vona ma[ invariantnyj konus
K̂ =
K
K
0
1
, K 0 = T K , K 1 = T U K . (4.15)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
INVARIANTNI KONUSY TA STIJKIST| LINIJNYX DYNAMIÇNYX SYSTEM 1461
Na osnovi teoremy 3.4 znajdemo maksymal\nu vlasnu paru ( U, T ) kvadratyç-
no] v’qzky F ( λ ) i parametry elipso]dal\noho konusa K ( Q ) ⊂ R
3
, wo zadovol\-
nqgt\ teoremu 4.1. Systemu nerivnostej
U
T
Q + Q U ≥ α Q, U
T
Q U ≤ β Q, h
T
U
–
1
h ≤ 0, h
T
( U
T
Q U )
–
1
h ≥ 0
zadovol\nqgt\ taki znaçennq parametriv:
U =
−
−
−
1 67 0 479 0 037
0 071 3 343 1 028
7 627 0 245 3 987
, , ,
, , ,
, , ,
, T =
0 148 0 022 0 066
2 208 0 395 0 027
, , ,
, , ,
−
−
,
Q =
27 17 8
17 3 8 1 2
8 1 2 0 2
−
, ,
, ,
, h =
0 897
0 387
0 212
,
,
,
, α = – 2,96, β = 1,115.
Tut ( U, T ) [ maksymal\nog vlasnog parog F ( λ ), i ( Q ) = {1, 2, 0}, a h — vlas-
nyj vektor matryci Q, wo vidpovida[ ]] [dynomu dodatnomu vlasnomu znaçenng.
OtΩe, zhidno z teoremog 4.1 systema (4.14) [ eksponencial\no stijkog i ma[
invariantnyj konus typu (4.15), de K = K ( Q ) — elipso]dal\nyj konus.
1. Krasnosel\skyj M. A., Lyfßyc E. A., Sobolev A. V. Pozytyvn¥e lynejn¥e system¥. – M.:
Nauka, 1985. – 256 s.
2. Hirsch M. W., Smith H. Competitive and cooperative systems: mini-review. Positive systems //
Lect. Notes in Control and Inform. Sci. – 2003. – 294. – P. 183 – 190.
3. Martynyuk A. A. Qualitative methods in nonlinear dynamics: novel approaches to Liapunov’s
matrix functions. – New York: Marcel Dekker, Inc., 2002. – 301 p.
4. Mazko A. H. Lokalyzacyq spektra y ustojçyvost\ dynamyçeskyx system // Pr. In-tu mate-
matyky NAN Ukra]ny. – 1999.– 28. – 216 s.
5. Mazko A. H. Ustojçyvost\ y sravnenye sostoqnyj dynamyçeskyx system otnosytel\no
peremennoho konusa // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 2. – S. 198 – 213.
6. Stern R. J., Wolkowicz H. Exponential nonnegativity on the ice cream cone // SIAM J. Matrix
Anal. Appl. – 1991. – 12, # 1. – P. 160 – 165.
7. Mazko A. H. Poluobrawenye y svojstva ynvaryantov matryc // Ukr. mat. Ωurn. – 1988. – 40,
# 4. – S. 525 – 528.
8. Hirsch M. W. Stability and convergence in strongly monotone dynamical systems // J. reine und
angew. Math. – 1988. – 383. – P. 1 – 53.
9. Alilujko A. M., Mazko O. H. Invariantni konusy ta stijkist\ bahatozv’qznyx system // Zb.
prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2005. – 2, # 1. – S. 28 – 45.
10. Vandergraft J. S. Spectral properties of matrices which have invariant cones // SIAM J. Appl.
Math. – 1968. – 16. – P. 1208 – 1222.
11. Elsner L. Monotone und Randspektrum bei vollstetigen Operatoren // Arch. Ration. Mech. and
Anal. – 1970. – 36. – P. 356 – 365.
12. Stern R. J., Wolkowicz H. Invariant ellipsoidal cones // Linear Algebra and Appl. – 1991. – 150. –
P. 81–106.
13. Myl\ßtejn H. N. ∏ksponencyal\naq ustojçyvost\ poloΩytel\n¥x poluhrupp v lynejnom
topolohyçeskom prostranstve // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1975. – # 9. – S. 35 – 42.
14. Mazko A. H. Ustojçyvost\ lynejn¥x pozytyvn¥x system // Ukr. mat. Ωurn. – 2001. – 53,
#O3. – S. 323 – 330.
15. Mazko A. H. Pozytyvn¥e y monotonn¥e system¥ v poluuporqdoçennom prostranstve // Tam
Ωe. – 2003. – 55, # 2. – S. 164 – 173.
16. Loewy R., Schneider H. Positive operators on the ice-cream cone // J. Math. Anal. and Appl. –
1075. – 49. – P. 375 – 392.
17. Mazko A. H. Pozytyvnaq stabylyzacyq mnohosvqzn¥x system // Zb. prac\ In-tu matematyky
NAN Ukra]ny. – 2004. – 1, # 2. – S. 130 – 142.
18. Hantmaxer F. R. Teoryq matryc. – M.: Nauka, 1988. – 552 s.
OderΩano 14.12.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11
|
| id | umjimathkievua-article-3546 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:33Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3a/d2f0c44b8e0665328f9c555c59ecb93a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35462020-03-18T19:57:29Z Invariant cones and stability of linear dynamical systems Інваріантні конуси та стійкість лінійних динамічних систем Aliluiko, A. M. Mazko, A. G. Алілуйко, А. М. Мазко, О. Г. We present a method for the investigation of the stability and positivity of systems of linear differential equations of arbitrary order. Conditions for the invariance of classes of cones of circular and ellipsoidal types are established. We propose algebraic conditions for the exponential stability of linear positive systems based on the notion of maximal eigenpairs of a matrix polynomial. Викладено методику дослідження стійкості та позитивності систем лінійних диференціальних рівнянь довільного порядку. Встановлено умови інваріантності класів конусів типу кругових та еліпсоїдальних. Запропоновано алгебраїчні умови експоненціальної стійкості лінійних позитивних систем на основі поняття максимальних власних пар матричного полінома. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3546 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 11 (2006); 1446–1461 Український математичний журнал; Том 58 № 11 (2006); 1446–1461 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3546/3827 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3546/3828 Copyright (c) 2006 Aliluiko A. M.; Mazko A. G. |
| spellingShingle | Aliluiko, A. M. Mazko, A. G. Алілуйко, А. М. Мазко, О. Г. Invariant cones and stability of linear dynamical systems |
| title | Invariant cones and stability of linear dynamical systems |
| title_alt | Інваріантні конуси та стійкість лінійних динамічних систем |
| title_full | Invariant cones and stability of linear dynamical systems |
| title_fullStr | Invariant cones and stability of linear dynamical systems |
| title_full_unstemmed | Invariant cones and stability of linear dynamical systems |
| title_short | Invariant cones and stability of linear dynamical systems |
| title_sort | invariant cones and stability of linear dynamical systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3546 |
| work_keys_str_mv | AT aliluikoam invariantconesandstabilityoflineardynamicalsystems AT mazkoag invariantconesandstabilityoflineardynamicalsystems AT alílujkoam invariantconesandstabilityoflineardynamicalsystems AT mazkoog invariantconesandstabilityoflineardynamicalsystems AT aliluikoam ínvaríantníkonusitastíjkístʹlíníjnihdinamíčnihsistem AT mazkoag ínvaríantníkonusitastíjkístʹlíníjnihdinamíčnihsistem AT alílujkoam ínvaríantníkonusitastíjkístʹlíníjnihdinamíčnihsistem AT mazkoog ínvaríantníkonusitastíjkístʹlíníjnihdinamíčnihsistem |