On the correct solvability of the Dirichlet problem for operator differential equations in a Banach space
We investigate the structure of solutions of an equation $y″(t) = By(t)$, where $B$ is a weakly positive operator in a Banach space B, on the interval $(0, \infty)$ and establish the existence of their limit values as $t → 0$ in a broader locally convex space containing $B$ as a dense set. The analy...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3547 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509657754238976 |
|---|---|
| author | Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. |
| author_facet | Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. |
| author_sort | Gorbachuk, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:57:29Z |
| description | We investigate the structure of solutions of an equation $y″(t) = By(t)$, where $B$ is a weakly positive operator in a Banach space B, on the interval $(0, \infty)$ and establish the existence of their limit values as $t → 0$ in a broader locally convex space containing $B$ as a dense set. The analyticity of these solutions on $(0, \infty)$ is proved and their behavior at infinity is studied. We give conditions for the correct solvability of the Dirichlet problem for this equation and substantiate the applicability of power series to the determination of its approximate solutions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. М. Горбачук (Нац. тех. ун-т України „КПI”, Київ),
М. Л. Горбачук (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО КОРЕКТНУ РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ
ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ
У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI∗
For the equation of the form y′′(t) = By(t), where B is a weakly positive operator in a Banach space
B, we investigate the structure of solutions inside the interval (0,∞) and establish the existence of their
boundary values for t → 0 in a wider locally convex space containing B as a dense set. We prove the
analyticity of such solutions on (0,∞) and study their behavior at infinity. We also give the conditions
under which the Dirichlet problem for considered equation is correctly solvable and justify the possibility
to use power series for finding approximate solutions of this problem.
Дослiджено структуру розв’язкiв всерединi iнтервалу (0,∞) рiвняння вигляду y′′(t) = By(t), де B
— слабко позитивний оператор у банаховому просторi B, встановлено iснування їхнiх граничних
значень при t → 0 у бiльш широкому локально-опуклому просторi, що мiстить B як щiльну мно-
жину, доведено аналiтичнiсть таких розв’язкiв на (0,∞), вивчено їх поведiнку на нескiнченностi,
наведено умови коректної розв’язностi задачi Дiрiхле для цього рiвняння i обґрунтовано можливiсть
застосування степеневих рядiв до знаходження її наближених розв’язкiв.
Нехай B — банахiв простiр з нормою ‖ · ‖, E(B) — множина всiх щiльно визна-
чених у B замкнених лiнiйних операторiв, L(B) — алгебра обмежених лiнiйних
операторiв у B, I — одиничний оператор, D(·) i R(·) — областi визначення та
значень оператора, ρ(·), σ(·), σc(·) i σp(·) — його резольвентна множина, спектр,
неперервний та точковий спектри вiдповiдно.
1. Простори гладких векторiв замкненого оператора. Нехай A ∈ E(B). Для
числа β ≥ 0 покладемо
G{β}(A) = {x ∈ C∞(A)
∣∣∃α > 0 ∃c = c(x) > 0 ∀k ∈ N0 : ‖Akx‖ ≤ cαkkkβ},
G(β)(A) = {x ∈ C∞(A)
∣∣ ∀α > 0 ∃c = c(x, α) > 0 ∀k ∈ N0 :
‖Akx‖ ≤ cαkkkβ},
де
C∞(A) =
⋂
n∈N0={0}∪N
D(An)
— простiр нескiнченно диференцiйовних векторiв оператора A.
Очевидно, що G{β}(A) i G(β)(A) — лiнiйнi простори, для довiльних λ 6= 0,
µ ∈ C
G{β}(A) = G{β}(λA + µI), G(β)(A) = G(β)(λA + µI),
i якщо β1 < β2, то
G{β1}(A) ⊆ G(β2)(A) ⊆ G{β2}(A).
∗ Виконано за пiдтримки Державного фонду фундаментальних дослiджень України (Програма
спiльних українських i бiлоруських проектiв, проект 10.01//004).
c© В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК, 2006
1462 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
ПРО КОРЕКТНУ РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ ... 1463
У просторах G{β}(A) i G(β)(A) введемо топологiю iндуктивної i, вiдповiдно,
проективної границi (див. [1]) банахових просторiв
Gα
β(A) =
{
x ∈ C∞(A)
∣∣∃c = c(x) > 0 ∀k ∈ N0 : ‖Akx‖ ≤ cαkkkβ
}
, α > 0,
з нормою
‖x‖Gα
β (A) = sup
k∈N0
‖Akx‖
αkkkβ
.
Отже,
G{β}(A) = ind lim
α→∞
Gα
β(A) =
⋃
α>0
Gα
β(A),
G(β)(A) = proj lim
α→0
Gα
β(A) =
⋂
α>0
Gα
β(A).
Нагадаємо, що збiжнiсть у G{β}(A) (G(β)(A)) означає збiжнiсть у Gα
β(A) при
деякому α > 0 (при всiх α ∈ (0, δ) з достатньо малим δ). Якщо оператор A
обмежений, то для довiльного β > 0
G{0}(A) = G{β}(A) = G(β)(A) = B.
У конкретному випадку, коли
B = C([a, b]), −∞ < a < b < ∞,
Ax(t) =
dx(t)
dt
, D(A) = C1([a, b]),
C∞(A) є не що iнше, як множина нескiнченно диференцiйовних на [a, b] функцiй,
G{1}(A), G(1)(A) i G{0}(A) — множини всiх аналiтичних на [a, b], цiлих i цiлих
експоненцiального типу функцiй вiдповiдно. Простори G{β}(A) i G(β)(A) з β > 1
вiдомi як класи Жевре типу Рум’є i Бьорлiнга. За аналогiєю i в абстрактнiй ситуацiї
G{1}(A), G(1)(A) i G{0}(A) називаються просторами аналiтичних [2], цiлих [3] i
цiлих експоненцiального типу [4] векторiв оператора A вiдповiдно.
У наведеному вище прикладi всi розглянутi простори є щiльними в C([a, b]). Це,
взагалi кажучи, не так у загальному випадку. Тому постає питання: за яких умов
на оператор A i число β G(β)(A) = B або, принаймнi, G{β}(A) = B? Ця задача у
рiзних конкретних ситуацiях цiкавила багатьох математикiв (див. огляд [5]).
Вiдмiтимо також, що в нерiвностi в означеннi просторiв G{β}(A) та G(β)(A)
kkβ можна замiнити на k!β .
2. Декiлька тверджень з теорiї пiвгруп. Наведемо необхiднi для подальшого
факти з теорiї однопараметричних пiвгруп операторiв (див. [6, 7]).
Сiм’я (T (t))t≥0 лiнiйних неперервних операторiв в B утворює C0-пiвгрупу,
якщо: a) T (0) = I; b) ∀t1, t2 ≥ 0: T (t1 + t2) = T (t1)T (t2); c) ‖T (t)x− x‖ → 0 при
t → 0. Генератор C0-пiвгрупи (T (t))t≥0 визначається як
Ax = lim
t→0
T (t)x− x
t
, x ∈ D(A),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1464 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
де D(A) — сукупнiсть векторiв x ∈ B, для яких ця границя iснує. Генератор A
завжди належить до E(B). C0-пiвгрупу (T (t))t≥0 з генератором A позначатимемо
через (etA)t≥0.
Пiвгрупа (etA)t≥0 називається рiвномiрно обмеженою, якщо iснує стала M ≥ 1
така, що
∀t ≥ 0: ‖etA‖ ≤ M.
Пiд типом C0-пiвгрупи (etA)t≥0 розумiємо число
ω = ω(A) = lim
t→∞
‖etA‖
t
.
Спектр σ(A) генератора A лежить у пiвплощинi <λ ≤ ω.
C0-пiвгрупа (etA)t≥0 називається обмеженою аналiтичною з кутом θ ∈
(
0,
π
2
]
,
якщо etA допускає продовження до оператор-функцiї ezA, аналiтичної в секторi
Σθ = {z ∈ C : | arg z| < θ} i сильно неперервної в нулi на будь-якому променi
цього сектора, i для довiльного θ′ < θ iснує стала cθ′ > 0 така, що
‖ezA‖ ≤ cθ′ при z ∈ Σθ′ = {z ∈ C : | arg z| ≤ θ′}.
Оператор A ∈ E(B) є генератором обмеженої аналiтичної пiвгрупи (etA)t≥0 з
кутом θ тодi i тiльки тодi, коли Σθ+π/2 ⊂ ρ(A) i для довiльного θ′ ∈ (0, θ)
∃Mθ′ > 0 ∀z ∈ Σθ′+π/2 :
∥∥RA(z)
∥∥ ≤ Mθ′
|z|
,
де RA(z) = (A− zI)−1 — резольвента оператора A.
Твердження 1 (див. [7, с. 233]). C0-пiвгрупа (etA)t≥0 є обмеженою аналiтич-
ною тодi i тiльки тодi, коли вона диференцiйовна на (0,∞) i iснує стала c > 0
така, що
∀t > 0: ‖AnetA‖ ≤ cnnnt−n.
Зауважимо, що якщо C0-пiвгрупа (etA)t≥0 є обмеженою аналiтичною, то
R(etA) = B для кожного t ≥ 0 i оператор etA має обернений, який позначати-
мемо через e−tA. На множинi Bt(A) = R(etA) введемо норму
‖x‖t = ‖e−tAx‖, x ∈ Bt(A).
Оскiльки e−tA належить E(B), то лiнiйна множина Bt(A) утворює банахiв простiр
вiдносно норми ‖x‖t, причому при t > t′ ≥ 0 має мiсце щiльне i неперервне
вкладення Bt(A) ⊆ Bt′(A). Покладемо
B{+}(A) = ind lim
t→0
Bt(A), B(+)(A) = proj lim
t→∞
Bt(A).
Як показано у [8, с. 280 – 283], справджується таке твердження.
Твердження 2. Якщо оператор A ∈ E(B) генерує обмежену аналiтичну
C0-пiвгрупу, то
B{+}(A) = G{1}(A), B(+)(A) = G(1)(A),
тобто простiр аналiтичних (цiлих) векторiв оператора A збiгається з B{+}(A)
(B(+)(A)), причому цей збiг є не лише теоретико-множинним, але й топологiчним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
ПРО КОРЕКТНУ РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ ... 1465
Що ж до щiльностi B(+)(A) або, принаймнi, B{+}(A) в B, то для довiльної
C0-пiвгрупи вона, взагалi кажучи, не має мiсця. Але для обмежених аналiтичних
C0-пiвгруп, як показано в [9], має мiсце наступне твердження.
Твердження 3. Нехай (etA)t≥0 — обмежена аналiтична C0-пiвгрупа з кутом
θ. Тодi
G(β)(A) = B, якщо β > 1− 2θ
π
.
При β = 1− 2θ
π
можливi випадки, коли G{β}(A) = {0}.
3. Експонента вiд оператора. Припустимо, що множина цiлих векторiв опе-
ратора A ∈ E(B) є щiльною в B : G(1)(A) = B. Простiр G(1)(A) є злiченно-
нормованим [10] i, внаслiдок замкненостi A, повним. Збiжнiсть xm → x, m →∞,
в цьому просторi означає, що
∀α > 0: sup
n∈N0
lim
m→∞
‖An(xm − x)‖
αnnn
= 0.
Теорема 1. Оператор-функцiя
exp(zA) =
∞∑
k=0
zk
k!
Ak
є цiлою в просторi G(1)(A). Сiм’я (exp(zA))z∈C утворює групу лiнiйних неперерв-
них операторiв у G(1)(A). Якщо (etA)t≥0 — C0-пiвгрупа з генератором A, то
∀x ∈ G(1)(A) : exp(tA)x = etAx, t ≥ 0.
У випадку, коли ця пiвгрупа є обмеженою аналiтичною, остання рiвнiсть викону-
ється для всiх t ∈ R1.
Доведення. Нехай x ∈ G(1)(A). Тодi
∀α > 0 ∃c = c(x, α) ∀n ∈ N0 : ‖Anx‖ ≤ cαnnn.
Тому ∥∥∥∥∥An
(
exp(zA)x−
m∑
k=0
zk
k!
Akx
)∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥An
∞∑
k=m+1
zk
k!
Akx
∥∥∥∥∥ ≤
≤
∞∑
k=m+1
|z|k
k!
‖An+kx‖ ≤ c
∞∑
k=m+1
|z|k
k!
αn+k(n + k)n+k =
= cαnnn
∞∑
k=m+1
kk |αz|k
k!
(
1 +
k
n
)n (
1 +
n
k
)k
.
Враховуючи, що
∀k ∈ N ∀n ∈ N :
(
1 +
k
n
)n
< ek,
одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1466 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК∥∥∥∥∥An
(
exp(zA)x−
m∑
k=0
zk
k!
Akx
)∥∥∥∥∥ ≤ c(αe)nnn
∞∑
k=m+1
(αe2|z|)k.
З цiєї нерiвностi випливає, що, яким би великим не було δ > 0, при |z| ≤ δ ряд∑∞
k=0
zk
k!
Akx, x ∈ G(1)(A), збiгається у просторi G1
α(A) з довiльним α <
1
e2δ
, а
отже, i в просторi G(1)(A). Таким чином, exp(zA) вiдображає G(1)(A) в G(1)(A).
А оскiльки (exp(zA)x)′ = A exp(zA)x, то для будь-яких n ∈ N0, z0 ∈ C
‖An[(exp(zA)x)′ − (exp(z0A)x)′]‖ = ‖An+1[exp(zA)x− exp(z0A)x]‖ ≤
≤
∞∑
k=0
|zk − zk
0 |
k!
‖An+k+1x‖ ≤ c|z − z0|
∞∑
k=1
k
k!
αn+k+1µk(n + k + 1)n+k+1 =
= c|z − z0|αnnn
∞∑
k=1
(k + 1)k+1αk+1µk
(k − 1)!
(
1 +
n
k + 1
)k+1(
1 +
k + 1
n
)n
≤
≤ c|z − z0|(αen)n
∞∑
k=1
(k + 1)k+1
(k − 1)!
ek+1αk+1µk ≤
≤ c1|z − z0|(αen)n
∞∑
k=1
(e1+εµα)k+1 = cα|z − z0|(αen)n,
де ε > 1, 0 < c1 = const,
µ = 1 + max{|z|, |z0|}, cα = c1
∞∑
k=1
(e1+εµα)k+1.
Пiдбираючи достатньо мале α, можна добитись, що cα < ∞, i тодi нерiвнiсть
‖An[(exp(zA)x)′ − (exp(z0A)x)′]‖ ≤ cα|z − z0|(αen)n
дає змогу зробити висновок, що вектор-функцiя exp(zA)x є цiлою в просторi
G(1)(A).
Припустимо тепер, що A — генератор C0-пiвгрупи (etA)t≥0 у просторi B. Тодi
(див. [7, с. 253]) задача Кошiy′(t) = Ay(t), t ∈ (0,∞),
y(0) = x, x ∈ D(A),
однозначно розв’язна, i її розв’язок має вигляд etAx. Оскiльки при x ∈ G(1)(A)
вектор-функцiя exp(tA)x є розв’язком цiєї задачi, то exp(tA)x = etAx при t > 0.
Для t ∈ R1 рiвнiсть зумовлюється груповою властивiстю exp(tA) на G(1)(A).
Теорему доведено.
У просторi G(1)(A) введемо цiлi операторнi функцiї
cosh(zA) =
1
2
[exp(zA) + exp(−zA)] =
∞∑
k=0
z2k
(2k)!
A2k,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
ПРО КОРЕКТНУ РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ ... 1467
sinh(zA)
A
=
z∫
0
cosh(zA) dz =
∞∑
k=0
z2k+1
(2k + 1)!
A2k.
Якщо 0 ∈ ρ(A), то
sinh(zA)
A
=
1
2
A−1[exp(zA)− exp(−zA)]. (1)
При x1, x2 ∈ G(1)(A) задача Кошi
y′′(t) = A2y(t), t ∈ (0,∞),
y(0) = x1, y′(0) = x2,
однозначно розв’язна у класi цiлих вектор-функцiй у G(1)(A), i її розв’язок запи-
сується як
y(t) = cosh(tA)x1 +
sinh(tA)
A
x2.
Неважко також переконатися, що
z∫
0
exp((z − 2s)A) ds =
sinh(zA)
A
. (2)
4. Опис розв’язкiв всерединi iнтервалу для диференцiально-операторного
рiвняння першого порядку. В цьому пунктi вважатимемо A генератором C0-
пiвгрупи (etA)t≥0 в B з властивiстю ker etA = {0} для будь-якого t > 0.
Позначимо через B−t(A) поповнення B по нормi
‖x‖−t = ‖etAx‖, t > 0.
Цi норми узгодженi i порiвняльнi (див. [10]). При t < t′ маємо щiльне i неперервне
вкладення B−t(A) ⊂ B−t′(A). Покладемо
B−(A) = proj lim
t→0
B−t(A).
Лiнiйна множина B−(A) — повний злiченно-нормований простiр. Неважко пере-
конатись, що оператор e−tA допускає неперервне розширення S(t) з B на B−t(A),
причому при t < t′ S(t′) �B−t(A)= S(t).
Визначимо на B−(A) оператори êtA, t ≥ 0, як êtAx = S(t)x. В [11] доведено,
що сiм’я (êtA)t≥0 утворює C0-пiвгрупу в B−(A) з властивостями:
1) êtAB−(A) ⊆ B;
2) êtAx = etAx для x ∈ B;
3) ∀x ∈ B−(A) ∀t, s > 0: ê(t+s)Ax = etAêsAx = esAêtAx.
Вектор-функцiю y(t) : (0,∞) 7→ D(A) називають розв’язком рiвняння
y′(t) = Ay(t), t ∈ (0,∞), (3)
на (0,∞), якщо вона сильно неперервно диференцiйовна на (0,∞) i там задо-
вольняє це рiвняння. Зауважимо, що жодних умов на поведiнку y(t) в нулi не
накладається. Взагалi кажучи, в точцi нуль y(t) може бути невизначеним. Як
показано в [11, с. 294], має мiсце таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1468 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Твердження 4. Якщо оператор A генерує C0-пiвгрупу (etA)t≥0 в B таку, що
ker etA = {0} для будь-якого t > 0, то вектор-функцiя y(t) є розв’язком рiвняння
(3) тодi i тiльки тодi, коли вона може бути зображена у виглядi
y(t) = êtAy0, y0 ∈ B−(A).
Твердження 5 (див. [8, с. 294]). Нехай оператор −A є генератором обме-
женої аналiтичної C0-пiвгрупи. Вектор-функцiя y(t) є розв’язком рiвняння (3)
тодi i тiльки тодi, коли
y(t) = exp(tA)y0, y0 ∈ G(1)(A).
Iз тверджень 4, 5 i властивостi 1 пiвгрупи êtA випливає, що якщо оператор
A генерує обмежену аналiтичну C0-пiвгрупу, то кожний розв’язок рiвняння (3) є
аналiтичною вектор-функцiєю на (0,∞) в B i має граничне значення при t → 0 у
просторi B−(A). Якщо ж оператор −A є генератором обмеженої аналiтичної C0-
пiвгрупи, то будь-який розв’язок цього рiвняння допускає продовження до цiлої
вектор-функцiї зi значеннями в G(1)(A).
5. Опис розв’язкiв всерединi iнтервалу для диференцiально-операторного
рiвняння другого порядку. Розглянемо рiвняння вигляду
y′′(t) = By(t), t ∈ (0,∞), (4)
де B — слабко позитивний оператор у просторi B. Останнє означає (див. [12, 13]),
що B ∈ E(B), ρ(B) ⊃ (−∞, 0) та iснує стала M > 0 така, що
∀λ > 0: ‖RB(−λ)‖ ≤ M
λ
. (5)
Якщо додатково 0 ∈ ρ(B), то оператор B називається позитивним.
Згiдно з [12] оператор B ∈ E(B) має тип (ω, M(θ)), якщо ρ(−B) мiстить
сектор Σπ−ω = {z ∈ C : | arg z| ≤ π − ω} i оцiнка (5) виконується на кожному
променi z = reiθ, 0 < r < ∞, |θ| < π−ω з константою M = M(θ). Якщо оператор
B має тип (ω, M(θ)) з ω <
π
2
, то −B генерує аналiтичну пiвгрупу в B з кутом
π
2
− ω, рiвномiрно обмежену в секторi Σπ/2−ω−ε, 0 < ε <
π
2
− ω.
Для слабко позитивного оператора B визначено степенi Bα, 0 ≤ α ≤ 1, i за
умови, що (ω, M(θ)) — тип оператора B, тип оператора Bα дорiвнює (αω,Mα(θ)).
Звiдси випливає таке твердження.
Твердження 6 (див. [12, 13]). Якщо B — слабко позитивний оператор у B
з типом (ω, M(θ)), то оператор A = −B1/2 генерує обмежену аналiтичну C0-
пiвгрупу з кутом
π − ω
2
.
Пiд розв’язком рiвняння (4) на (0,∞) розумiтимемо вектор-функцiю y(t):
(0,∞) 7→ D(B), двiчi неперервно диференцiйовну в B, яка задовольняє (4). Нiяких
умов на поведiнку розв’язку в околi нуля не вимагається.
Теорема 2. Вектор-функцiя y(t) є розв’язком рiвняння (4) на (0,∞) тодi i
тiльки тодi, коли її можна подати у виглядi
y(t) = êtAf +
sinh(tA)
A
x, f ∈ B−(A), x ∈ G(1)(A), (6)
де A = −B1/2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
ПРО КОРЕКТНУ РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ ... 1469
Доведення. Нехай y(t) — розв’язок рiвняння (4) на (0,∞). З огляду на те, що
A2 = B, рiвняння (4) можна записати як(
d
dt
+ A
)(
d
dt
−A
)
y(t) = 0.
Покладемо z(t) =
(
d
dt
−A
)
y(t). Тодi z(t) — розв’язок рiвняння
dz(t)
dt
= −Az(t), t ∈ (0,∞),
з оператором A = −(−A), котрий генерує обмежену аналiтичну C0-пiвгрупу. За
твердженням 5
z(t) = exp(−tA)x, x ∈ G(1)(A),
а тому вектор-функцiя y(t) на (0,∞) задовольняє рiвняння(
d
dt
−A
)
y(t) = exp(−tA)x, t ≥ 0, x ∈ G(1)(A).
На основi твердження 4 i рiвностi (2) одержуємо
y(t) = êtAf +
t∫
0
e(t−s)A exp(−sA)x ds =
= êtAf +
t∫
0
exp((t− 2s)A)x ds = êtAf +
sinh(tA)
A
x,
де f ∈ B−(A), x ∈ G(1)(A).
Безпосередньою перевiркою неважко переконатися, що вектор-функцiя вигляду
(6) є розв’язком рiвняння (4) на (0,∞).
Наслiдок 1. Будь-який розв’язок рiвняння (4) на (0,∞) має граничне значен-
ня при t → 0 у просторi B−(A) i є аналiтичною на (0,∞) вектор-функцiєю
в просторi B. Для того щоб розв’язок допускав продовження до цiлої вектор-
функцiї в B, необхiдно й достатньо, щоб y(0) ∈ G(1)(A).
6. Єдинiсть розв’язку задачi Дiрiхле. Задача Дiрiхле для рiвняння (4) поля-
гає у вiдшуканнi для заданого f ∈ B−(A) розв’язку y(t) цього рiвняння, котрий
задовольняє умову
y(t) → f у просторi B−(A) при t → 0. (7)
Теорема 2 показує, що у випадку слабко позитивного B ця задача має безлiч
розв’язкiв. Усi вони описуються формулою (6), тобто розглядувана задача розв’язу-
ється однозначно з точнiстю до розв’язкiв однорiдної задачi
y(t) → 0 у просторi B−(A) при t → 0,
розв’язки якої мають вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1470 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
y(t) =
sinh(tA)
A
x, x ∈ G(1)(A). (8)
Природно постає питання: якi умови потрiбно накласти на поведiнку розв’язку
задачi (4), (7) на нескiнченностi, щоб гарантувати його єдинiсть? Вiдповiдь дає
наступна теорема.
Теорема 3. Нехай B — позитивний оператор з типом (ω, M(θ)). Якщо роз-
в’язок y(t) однорiдної задачi Дiрiхле для рiвняння (4) задовольняє умову
∃a > 0 ∃ca > 0: ‖y(t)‖ ≤ caeatβ
, t ∈ (0,∞), (9)
де β <
π
π + ω
, то y(t) ≡ 0.
Доведення. Припустимо, що для розв’язку y(t) однорiдної задачi Дiрiхле ви-
конується умова (9). Оскiльки 0 ∈ ρ(A), A = −B1/2, i A−1G(1)(A) ⊆ G(1)(A), то,
беручи до уваги формулу (1), отримуємо
y(t) =
sinh(tA)
A
x =
exp(tA)− exp(−tA)
2
A−1x =
exp(tA)x0 − exp(−tA)x0
2
,
де x0 = A−1x ∈ G(1)(A). Обмежена аналiтичнiсть пiвгрупи (etA)t≥0 зумов-
лює оцiнку (9) (можливо, з iншою константою ca) i для вектор-функцiї z(t) =
= exp(−tA)x0. Зафiксуємо довiльне t0 > 0. Тодi з групової властивостi exp(tA)
випливає
z(t) = e(t0−t)Az(t0), t ∈ [0, t0],
звiдки
z(n)(t) = Ane(t0−t)Az(t0).
За твердженням 1 маємо
‖z(n)(t)‖ = ‖Ane(t0−t)Az(t0)‖ ≤ cnnn(t0 − t)−n‖z(t0)‖. (10)
Покладаючи t = 0, t0 = n1/β , приходимо до висновку, що
‖z(n)(0)‖ = ‖Anx0‖ ≤ cnnncaeann−n/β ≤ cacneann(1−1/β)n.
Ця оцiнка показує, що вектор-функцiя
h(z) = (I − zA)−1x0 =
∞∑
k=0
zkAkx0
є цiлою. Порядок її росту ρ := lim
r→∞
ln lnM(r)
ln r
(M(r) = max
|z|=r
‖h(z)‖) обчислюється
за формулою (див. [14] )
ρ = lim
n→∞
lnn
ln( n
√
‖Anx0‖)−1
≤ lim
n→∞
lnn
ln((ce)−1n
1
β−1)
=
=
β
1− β
<
π
π + ω
1− π
π + ω
=
π
ω
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
ПРО КОРЕКТНУ РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ ... 1471
Оскiльки A — генератор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи з кутом
π − ω
2
, то його
резольвента RA(z) є аналiтичною в секторi Σπ−ω
2
, i якщо 0 < ε < 2π − ω, то
‖h(z)‖ = ‖z−1(A− zI)−1x0‖ ≤ Mε, z ∈ Σπ−ω+ε
2
. (11)
Але порядок росту ρ вектор-функцiї h(z) менший за
π
ω
. Тому в (11) ε можна
вибрати так, щоб ρ <
π
ω + ε
.
З нерiвностi (11) випливає, що цiла вектор-функцiя h(z) з ρ <
π
ω + ε
є обме-
женою на сторонах кута | arg(−z)| <
ω + ε
2
. За теоремою Фрагмена – Лiндельофа
(див. [14, с. 67]) ‖h(z)‖ < Mε всерединi цього кута. Тодi нерiвнiсть (11) обумовлює
обмеженiсть h(z) у всiй комплекснiй площинi, i за теоремою Лiувiлля
h(z) = (I − zA)−1x0 ≡ x1 ∈ D(A),
тобто x0 = x1 − zAx1, що можливо лише при Ax1 = 0. Враховуючи включення
0 ∈ ρ(A), приходимо до висновку, що x1 = 0, звiдки x0 = 0, а отже, y(t) ≡ 0.
Теорему доведено.
У випадку, коли B — нормальний оператор у гiльбертовому просторi, теорема
3 допускає уточнення.
Теорема 4. Нехай B — позитивний нормальний оператор у гiльбертовому
просторi H з типом (ω, M(θ)). Якщо для розв’язку y(t) однорiдної задачi Дiрiхле
для рiвняння (4) виконується умова
∀ε > 0 ∃c = c(ε) > 0: ‖y(t)‖ ≤ ceεt, t ∈ (0,∞), (12)
то y(t) ≡ 0.
Доведення. Як i в теоремi 3, умова (12) для розв’язку y(t) еквiвалентна умовi
∀ε > 0 ∃c = c(ε) > 0: ‖z(t)‖ ≤ ceεt, t ∈ (0,∞),
на доданок z(t) = e−tAx0 iз зображення
y(t) =
etAx0 − e−tAx0
2
, x0 ∈ G(1)(A).
Використавши спектральний розклад функцiй вiд нормального оператора, дiста-
немо
e−2εt‖z(t)‖2 ≤
∫
| arg λ|≤ω
2
e2(<λ−ε)t d(Eλx0, x0) ≤ c
(Eλ — розклад одиницi оператора −A, (·, ·) — скалярний добуток в H). При всiх
λ : <λ > ε пiдiнтегральна функцiя прямує до нескiнченностi при t →∞. За теоре-
мою Фату про граничний перехiд пiд знаком iнтеграла в нерiвностях (E∆x0, x0) =
= 0 для довiльної борельової множини ∆ ∈ {λ : <λ > ε}. Беручи до уваги, що
ker A = {0} i ε можна вибрати як завгодно малим, отримуємо (E∆x0, x0) ≡ 0 для
будь-якої борельової множини ∆ ∈ R2.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1472 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Зауважимо, що теореми 3, 4 можна узагальнити на випадок слабко позитивного
B, тiльки тепер iз вiдповiдних оцiнок випливатиме, що y(t) = tx, де x ∈ ker B.
Наступна теорема вказує на точнiсть у певному сенсi оцiнок (9) та (12).
Теорема 5. Нехай B — позитивний оператор у B, а y(t) — розв’язок однорiд-
ної задачi Дiрiхле для рiвняння (4). Тодi при α ≥ 1 справджуються спiввiдношення
еквiвалентностi
y′(0) ∈ G{β}(A) ⇔ ∃a > 0 ∃c = c(a) > 0: ‖y(t)‖ ≤ ceatα
, t ∈ [0,∞),
та
y′(0) ∈ G(β)(A) ⇔ ∀a > 0 ∃c = c(a) > 0: ‖y(t)‖ ≤ ceatα
, t ∈ [0,∞),
де α i β пов’язанi мiж собою рiвнiстю β =
α− 1
α
.
Доведення. Припустимо, що
∀a > 0 ∃c = c(a) > 0: ‖y(t)‖ ≤ ceatα
, t ∈ [0,∞).
Як i в доведеннi теореми 3, можна зробити висновок, що для довiльного a > 0
iснує стала c̃a > 0 така, що вектор-функцiя
z(t) = exp(−tA)x0, x0 = A−1y′(0) ∈ G(1)(A),
задовольняє нерiвнiсть
‖z(t)‖ ≤ c̃aeatα
, t > 0. (13)
Звiдси приходимо до оцiнки
‖Anx0‖ ≤ cnnnt−n
0 ‖z(t0)‖
з деякою сталою c > 0. Покладаючи в (10) t0 =
(n
a
)1/α
, отримуємо
‖Anx0‖ ≤ c̃acn(a1/αe)nnn α−1
α .
Оскiльки a довiльне, то ca1/αe також можна вибрати яким завгодно, а тому x0 ∈
∈ G(β)(A) з β =
α− 1
α
i, отже, y′(0) = Ax0 ∈ G(β)(A).
Навпаки, нехай y′(0) ∈ G(β)(A), 0 ≤ β < 1. Тодi
∀a > 0 ∃ca > 0: ‖Any′(0)‖ ≤ caannnβ ,
звiдки
‖exp(−tA)y′(0)‖ ≤
∞∑
k=0
tk
k!
‖Aky′(0)‖ ≤ ca
∞∑
k=0
tk
k!
akkkβ при t > 0. (14)
Розглянемо цiлу функцiю
ϕ(z) =
∞∑
n=0
zn
n!
annnβ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
ПРО КОРЕКТНУ РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ ... 1473
порядку
ρ = ρ(ϕ) = lim
n→∞
lnn
ln(n!1/n/anβ)
=
1
1− β
= α.
Її тип
σ = σ(ϕ) = lim
n→∞
(
n
1
α
n
√
annnβ
)
= a.
З нерiвностi (14) випливає, що
∀ε > 0 ∃cε > 0: ‖ exp(−tA)y′(0)‖ ≤ cεe
(a+ε)tα
.
Оскiльки
y(t) =
exp(tA)− exp(−tA)
2
A−1y′(0)
i ‖ exp(tA)A−1y′(0)‖ ≤ c при t > 0, то
‖y(t)‖ ≤ c̃εe
(a+ε)tα
.
Аналогiчно доводиться перше твердження теореми. Доведення завершено.
З теореми 5 випливає, що в теоремi 4 не можна вiдмовитись вiд того, що ε є
довiльним.
7. Поведiнка на нескiнченностi обмежених розв’язкiв неоднорiдної задачi
Дiрiхле. У цьому пунктi розглядаються розв’язки y(t) рiвняння (4) на (0,∞), для
яких y(t) → f у просторi B−(A) i виконується умова (9). За теоремами 2, 3 вони
зображуються у виглядi
y(t) = êtAf,
де êtA — розширення оператора etA на B−(A). Ставиться питання про бiльш точну
оцiнку поведiнки таких розв’язкiв при t →∞.
Лема 1. Нехай (etA)t≥0 — обмежена аналiтична C0-пiвгрупа вB, (êtA)t≥0 —
її розширення на B−(A). Тодi:
1) ∀f ∈ B−(A) ∃cf > 0: ‖êtAf‖ ≤ cf при достатньо великих t > 0;
2) для того щоб
∀f ∈ B−(A) : ‖êtAf‖ → 0 при t →∞,
достатньо, щоб таке прямування вiдбувалось для будь-якого f ∈ G(1)(A);
3) для того щоб iснувало число δ > 0 таке, що
∀f ∈ B−(A) ∃cf > 0: ‖êtAf‖ ≤ cfe−δt,
достатньо, щоб ця нерiвнiсть виконувалась лише для f ∈ G(1)(A).
Доведення. Доведення випливає з того, що при f ∈ B−(A), t0 > 0, на основi
властивостей 1 – 3 з п. 4 i твердження 2, êt0Af ∈ G{1}(A) i
êtAf = e(t−t0)Aêt0Af при t ≥ t0.
Наступна теорема дає бiльш детальну характеристику поведiнки y(t) на нескiн-
ченностi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1474 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Теорема 6. Будь-який розв’язок неоднорiдної задачi Дiрiхле для рiвняння (4),
який при великих t > 0 задовольняє (9), є обмеженим на нескiнченностi. Ко-
жен такий розв’язок прямує до нуля на нескiнченностi тодi i тiльки тодi, коли
0 ∈ σc(A) ∪ ρ(A). Для того щоб це спадання було експоненцiальним, необхiдно i
достатньо, щоб 0 ∈ ρ(A).
Доведення. Перше твердження випливає безпосередньо з леми 1.
Припустимо, що розв’язок y(t) = êtAf, f ∈ B−(A), прямує до нуля при t →∞.
Очевидно тодi, що 0 /∈ σp(A). Тотожнiсть
∀f ∈ D(A) : etAf − f = A
t∫
0
etξAf dξ
вказує на те, що R(A) = B, а отже, 0 ∈ σc(A) ∪ ρ(A).
Нехай, навпаки, 0 ∈ σc(A) ∪ ρ(A). Тодi з твердження 1 випливає, що
∀f ∈ D(A) : etAAf → 0 при t →∞.
Беручи до уваги обмеженiсть ‖etA‖ на [0,∞) i щiльнiсть R(A) в B, робимо вис-
новок, що для довiльного f ∈ B etAf → 0 при t → ∞. За лемою 1 êtAf → 0,
t →∞, i для будь-якого f ∈ B−(A).
За умови, що 0 ∈ ρ(A), внаслiдок обмеженої аналiтичностi (etA)t≥0, множина
{z : <z > −δ} з деяким δ > 0 належить до ρ(A) i, отже, iснує ω > 0 таке, що
eωtetAf → 0 при t → ∞ для довiльного f ∈ B, а за лемою 1 i для будь-якого
f ∈ B−(A).
Якщо розв’язок y(t) розглядуваної задачi спадає на нескiнченностi експоненцi-
ально, тобто
∃ω > 0 ∀f ∈ B : ‖etAf‖ ≤ cfe−ωt,
то {z ∈ C : <z > −ω} ⊂ ρ(A).
Теорему доведено.
8. Метод степеневих рядiв у наближеному розв’язаннi задачi Дiрiхле. Пока-
жемо, що у випадку, коли неоднорiдна задача Дiрiхле для рiвняння (4) однозначно
розв’язна, для знаходження наближених розв’язкiв можна застосувати метод сте-
пеневих рядiв. Дiйсно, за теоремою 2 розв’язок y(t) цiєї задачi зображується у
виглядi
y(t) = etAf, f = y(0) ∈ B−(A),
де оператор A = −B1/2 генерує обмежену аналiтичну пiвгрупу з кутом
π − ω
2
((ω, Mθ) — тип слабко позитивного оператора B).
Припустимо, що f ∈ G(β)(A) з
ω
π
< β < 1. Тодi y(t) можна подати як
y(t) =
∞∑
k=0
tk
k!
Akf, t ∈ [0,∞).
За наближений розв’язок розглядуваної задачi вiзьмемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
ПРО КОРЕКТНУ РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ ... 1475
yn(t) =
n∑
k=0
tk
k!
Akf, t ∈ [0,∞).
Оскiльки f ∈ G(β)(A), то
∀α > 0 ∃c = c(α) : ‖Akf‖ ≤ cαkk!kβ .
Тому для 0 ≤ t ≤ b < ∞ маємо
‖y(t)− yn(t)‖ ≤
∞∑
k=n+1
tk
k!
‖Akf‖ ≤ c
∞∑
n+1
tkαkk!β−1 =
= ctn+1αn+1(n + 1)!β−1
∞∑
k=n+1
tk−n−1αk−n−1
(
k!
(n + 1)!
)β−1
=
= ctn+1αn+1(n + 1)!β−1
∞∑
i=0
tiαii!β−1
(
(i + n + 1)!
i!(n + 1)!
)β−1
≤
≤ ctn+1αn+1(n + 1)!β−1
∞∑
i=0
tiαi
i!1−β
= c(b, α)(n + 1)!β−1.
Враховуючи, що α > 0 довiльне, виберемо його настiльки малим, щоб c(b, α) було
достатньо малим. Таким чином, для довiльного фiксованого b > 0
sup
t∈[0,b]
‖yn(t)− y(t)‖ ≤ c(b, α)(n + 1)!β−1 (15)
з як завгодно малою константою c(b, α). Крiм того, yn(0) = f. Отже, якщо f ∈
∈ G(β)(A), 0 ≤ β < 1, то yn(t) — конструктивна апроксимацiя розв’язку задачi (4),
(7) i чим менше β, тим менша похибка наближення.
Для нев’язки ‖y′′n(t)−Byn(t)‖ на промiжку [0, b] одержуємо оцiнку
‖y′′n(t)−Byn(t)‖ =
∥∥∥∥∥
n∑
k=2
tk−2
(k − 2)!
Akf −
n∑
k=0
tk
k!
Ak+2f
∥∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥ tn−1An+1f
(n− 1)!
+
tnAn+2f
n!
∥∥∥∥ ≤ c̃(b, α)(n− 1)!β−1,
де сталу c̃(b, α) при фiксованому b можна зробити як завгодно малою.
Нехай тепер f — довiльний елемент з B. За твердженням 3 при β >
ω
π
G(β)(A) = B. Тому iснує послiдовнiсть fm ∈ G(β)(A) така, що fm → f в B при
m → ∞. Внаслiдок обмеженостi пiвгрупи (etA)t≥0, послiдовнiсть ym(t) = etAfm
збiгається рiвномiрно на [0,∞) до etAf. У свою чергу, ym(t) можна наблизити
полiномами вигляду
nm∑
k=0
tk
k!
Akfm. (16)
Як показує оцiнка (15), порядок цiєї апроксимацiї дорiвнює nβ−1
m . Тодi полi-
номи (16) наближають розв’язок y(t) у метрицi простору B на [0, b]. Якщо ж
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1476 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
f ∈ B−(A), то полiноми (16) здiйснюють наближення y(t) в топологiї просто-
ру B−(A) на довiльному компактi з [0,∞) i по нормi простору B на будь-якому
компактi з (0,∞).
1. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. –
М.: Физматгиз, 1959. – 684 с.
2. Nelson E. Analytic vectors // Ann. Math. – 1959. – 70, № 3. – P. 572 – 615.
3. Goodman R. W. Analytic and entire vectors for representations of the Lie groups // Trans. Amer.
Math. Soc. – 1969. – 143. – P. 55 – 76.
4. Радыно Я. В. Пространство векторов экспоненциального типа // Докл. АН БССР. – 1983. – 27,
№ 9. – С. 791 – 793.
5. Горбачук В. И., Князюк А. В. Граничные значения решений дифференциально-операторных
уравнений // Успехи мат. наук. – 1989. – 44, № 3. – С. 55 – 91.
6. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1962. – 895 с.
7. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 383 с.
8. Gorbachuk V. I., Gorbachuk M. L. Boundary value problems for operator differential equations. –
Dordrecht etc.: Kluwer Acad. Publ., 1991. – 347 p.
9. Gorbachuk M. L., Mokrousov Yu. G. On density of some sets of infinitely differentiable vectors of
a closed operator on a Banach space // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2002. – 8, № 1. – P. 23 – 29.
10. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций: В 2 т. – М.:
Физматгиз, 1958. – Т. 2. – 307 с.
11. Горбачук М. Л., Горбачук В. I. Про одне узагальнення еволюцiйного критерiю Березанського
самоспряженостi оператора // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 5. – С. 608 – 615.
12. Komatsu H. Fractional powers of operators // Pacif. J. Math. – 1966. – 19, № 2. – P. 285 – 346.
13. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука,
1967. – 464 с.
14. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. – М.: Гостехтеориздат, 1956. – 632 с.
Одержано 10.07.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-3547 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:35Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5a/f5a08760c0ae5b8e2b861fb1fb3e965a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35472020-03-18T19:57:29Z On the correct solvability of the Dirichlet problem for operator differential equations in a Banach space Про коректну розв'язність задачі Діріхле для диференціально-операторних рівнянь у банаховому просторі Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. We investigate the structure of solutions of an equation $y″(t) = By(t)$, where $B$ is a weakly positive operator in a Banach space B, on the interval $(0, \infty)$ and establish the existence of their limit values as $t → 0$ in a broader locally convex space containing $B$ as a dense set. The analyticity of these solutions on $(0, \infty)$ is proved and their behavior at infinity is studied. We give conditions for the correct solvability of the Dirichlet problem for this equation and substantiate the applicability of power series to the determination of its approximate solutions. Досліджено структуру розв'язків всередині інтервалу $(0, \infty)$ рівняння вигляду $y" (t) = By(t)$, де $B$ — слабко позитивний оператор у банаховому просторі $\mathfrak{B}$, встановлено існування їхніх граничних значень при $t \rightarrow 0$ у більш широкому локально-опуклому просторі, що містить $\mathfrak{B}$ як щільну множину, доведено аналітичність таких розв'язків на ($(0, \infty)$ , вивчено їх поведінку на нескінченності, наведено умови коректної розв'язності задачі Діріхле для цього рівняння i обґрунтовано можливість застосування степеневих рядів до знаходження її наближених розв'язків. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3547 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 11 (2006); 1462–1476 Український математичний журнал; Том 58 № 11 (2006); 1462–1476 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3547/3829 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3547/3830 Copyright (c) 2006 Gorbachuk V. M.; Gorbachuk M. L. |
| spellingShingle | Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. On the correct solvability of the Dirichlet problem for operator differential equations in a Banach space |
| title | On the correct solvability of the Dirichlet problem for operator differential equations in a Banach space |
| title_alt | Про коректну розв'язність задачі Діріхле для диференціально-операторних рівнянь у банаховому просторі |
| title_full | On the correct solvability of the Dirichlet problem for operator differential equations in a Banach space |
| title_fullStr | On the correct solvability of the Dirichlet problem for operator differential equations in a Banach space |
| title_full_unstemmed | On the correct solvability of the Dirichlet problem for operator differential equations in a Banach space |
| title_short | On the correct solvability of the Dirichlet problem for operator differential equations in a Banach space |
| title_sort | on the correct solvability of the dirichlet problem for operator differential equations in a banach space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3547 |
| work_keys_str_mv | AT gorbachukvm onthecorrectsolvabilityofthedirichletproblemforoperatordifferentialequationsinabanachspace AT gorbachukml onthecorrectsolvabilityofthedirichletproblemforoperatordifferentialequationsinabanachspace AT gorbačukvm onthecorrectsolvabilityofthedirichletproblemforoperatordifferentialequationsinabanachspace AT gorbačukml onthecorrectsolvabilityofthedirichletproblemforoperatordifferentialequationsinabanachspace AT gorbachukvm prokorektnurozv039âznístʹzadačídíríhledlâdiferencíalʹnooperatornihrívnânʹubanahovomuprostorí AT gorbachukml prokorektnurozv039âznístʹzadačídíríhledlâdiferencíalʹnooperatornihrívnânʹubanahovomuprostorí AT gorbačukvm prokorektnurozv039âznístʹzadačídíríhledlâdiferencíalʹnooperatornihrívnânʹubanahovomuprostorí AT gorbačukml prokorektnurozv039âznístʹzadačídíríhledlâdiferencíalʹnooperatornihrívnânʹubanahovomuprostorí |