Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided improved scale of spaces
We study a regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous differential equation in a bounded domain. We prove that the operator of this problem is a Fredholm (Noether) operator in a two-sided improved scale of functional Hilbert spaces. The elements of this scale are Hörmander-Volevich-Pa...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3553 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509666143895552 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлець, В. А. Мурач, О. О. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлець, В. А. Мурач, О. О. |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:57:29Z |
| description | We study a regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous differential equation in a bounded domain. We prove that the operator of this problem is a Fredholm (Noether) operator in a two-sided improved scale of functional Hilbert spaces. The elements of this scale are Hörmander-Volevich-Paneyakh isotropic spaces. We establish an a priori estimate for a solution and investigate its regularity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.944
В. А. Михайлец (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
А. А. Мурач (Чернигов. технол. ун-т)
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА
ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ В ДВУСТОРОННЕЙ
УТОЧНЕННОЙ ШКАЛЕ ПРОСТРАНСТВ∗
We study a regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous differential equation in a bounded
domain. We prove that an operator of this problem possesses the properties of the Fredholm (Noether)
operator in a two-sided refined scale of the functional Hilbert spaces. The Hörmander – Volevich –
Paneyakh isotropic spaces are elements of this scale. We establish a priory estimate of a solution
and investigate its regularity.
Вивчається регулярна елiптична гранична задача для однорiдного диференцiального рiвняння в
обмеженiй областi. Доведено, що оператор цiєї задачi є фредгольмовим (нетеровим) у двобiчнiй
уточненiй шкалi функцiональних гiльбертових просторiв. Елементами цiєї шкали є iзотропнi прос-
тори Хермандера – Волевiча – Панеяха. Встановлено апрiорну оцiнку розв’язку та дослiджено його
регулярнiсть.
Введение. В настоящей работе рассматривается регулярная эллиптическая гранич-
ная задача для однородного дифференциального уравнения в ограниченной глад-
кой евклидовой области. Оператор, соответствующий этой задаче, исследуется
в двусторонней уточненной шкале гильбертовых функциональных пространств,
введенной авторами в [1 – 3]. Элементами этой шкалы являются некоторые изо-
тропные пространства Хермандера – Волевича – Панеяха. Гладкостные свойства
функций этих пространств определяются двумя параметрами — числовым s и
функциональным ϕ. Параметр ϕ является медленно меняющейся на +∞ функ-
цией одной вещественной переменной и позволяет более тонко охарактеризовать
гладкость функции по свойствам ее преобразования Фурье вблизи бесконечности.
В частном случае ϕ ≡ 1 получается известная шкала гильбертовых пространств
Соболева.
Основной результат работы — теорема о фредгольмовости (нетеровости) ука-
занного оператора в уточненной шкале при произвольном вещественном s. В ка-
честве приложения приведены априорная оценка решения задачи и утверждение о
повышении гладкости решения вплоть до границы области.
1. Постановка задачи и формулировка основного результата. Пусть Ω —
ограниченная область в Rn, n ≥ 2, с границей Γ, которая является бесконечно
гладким многообразием без края размерности n − 1. Предполагается, что область
Ω локально расположена по одну сторону от Γ. Обозначим Ω = Ω ∪ Γ.
Рассмотрим следующую граничную задачу для однородного уравнения в облас-
ти Ω:
Lu = 0 в Ω, Bj u = gj на Γ при j = 1, . . . , q. (1.1)
Здесь и всюду далее L — линейное дифференциальное выражение в Ω произволь-
ного четного порядка 2q ≥ 2, а Bj , j = 1, . . . , q, — граничное линейное дифферен-
циальное выражение на Γ порядка mj ≤ 2q − 1. Все коэффициенты выражений L
∗ Поддержана Государственным фондом фундаментальных исследований Украины (грант
01.07/00252).
c© В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ, 2006
1536 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ... 1537
и Bj являются комплекснозначными функциями, бесконечно гладкими в Ω и на Γ
соответственно.
Далее будем предполагать, что граничная задача (1.1) является регулярной эл-
липтической. Это означает [4, с. 137, 138; 5, с. 167], что выражение L правиль-
но эллиптическое в Ω, а система {Bj : j = 1, . . . , q} нормальна и удовлетворяет
условию дополнительности Лопатинского по отношению к L на Γ. Из условия
нормальности следует, что порядки mj граничных дифференциальных выражений
различны.
Наряду с (1.1) рассмотрим граничную задачу
L+ v = 0 в Ω, B+
j v = hj на Γ при j = 1, . . . , q. (1.2)
Она формально сопряжена к задаче (1.1) относительно формулы Грина:
(Lu, v)Ω +
q∑
j=1
(Bj u, C+
j v)Γ = (u, L+ v)Ω +
q∑
j=1
(Cj u, B+
j v)Γ, u, v ∈ C∞( Ω ).
Здесь L+ — сопряженное к L линейное дифференциальное выражение порядка
2q с коэффициентами из класса C∞( Ω ), а {B+
j }, {Cj} и {C+
j } — некоторые
нормальные системы линейных дифференциальных граничных выражений с коэф-
фициентами из класса C∞(Γ). Их порядки удовлетворяют условию
ordBj + ordC+
j = ordCj + ordB+
j = 2q − 1.
Кроме того, здесь через (·, ·)Ω и (·, ·)Γ обозначены скалярные произведения в прос-
транствах L2(Ω) и L2(Γ) функций, квадратично суммируемых в Ω и на Γ соот-
ветственно, а также (см. далее) расширения по непрерывности этих скалярных
произведений.
Известно [3 – 5], что поскольку задачи (1.1) и (1.2) являются одновременно
регулярными эллиптическими, их ядра
N := {u ∈ C∞( Ω ): Lu = 0 в Ω, Bj u = 0 на Γ для каждого j = 1, . . . , q},
N+ := {v ∈ C∞(Ω ): L+ v = 0 в Ω,
B+
j v = 0 на Γ для каждого j = 1, . . . , q}
конечномерны.
Исследуем оператор, соответствующий задаче (1.1). Положим
K∞
L (Ω) := {u ∈ C∞( Ω ): Lu = 0 в Ω }
и рассмотрим линейное отображение
u 7→ Bu = (B1 u, . . . , Bq u), u ∈ K∞
L (Ω). (1.3)
Мы будем изучать его продолжения в специально подобранных парах гильбертовых
пространств из уточненных шкал в области Ω и на Γ. Эти шкалы введены авторами
в [1 – 3] и обозначены соответственно через
{Hs,ϕ(Ω): s ∈ R, ϕ ∈M} и {Hs,ϕ(Γ) : s ∈ R, ϕ ∈M} . (1.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1538 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Их определения будут даны в п. 2. Здесь отметим лишь, что гладкость в простран-
ствах
Hs,ϕ(Ω) и Hs,ϕ(Γ) (1.5)
задается с помощью двух параметров — числового s, который определяет основ-
ную (степенную) гладкость, и функционального ϕ, который пробегает достаточно
широкое множество M, состоящее из медленно меняющихся на +∞ функций, и
уточняет основную гладкость. Гильбертовы пространства (1.5) непрерывно вло-
жены в D′(Ω) и D′(Γ) соответственно и при ϕ ≡ 1 совпадают с классическими
гильбертовыми пространствами Соболева в Ω и на Γ. Здесь, как обычно, D′(Ω) и
D′(Γ) — линейные топологические пространства распределений в области Ω и на
Γ. Отметим, что эти распределения мы трактуем как антилинейные функционалы.
Обозначим
Ks,ϕ
L (Ω) := {u ∈ Hs,ϕ(Ω): Lu = 0 в Ω }, s ∈ R, ϕ ∈M.
Поскольку вложение Hs,ϕ(Ω) ↪→ D′(Ω) непрерывно, Ks,ϕ
L (Ω) — замкнутое под-
пространство в Hs,ϕ(Ω).
Напомним, что линейный ограниченный оператор T : X → Y, где X,Y —
банаховы пространства, называется фредгольмовым (или нетеровым), если его
ядро конечномерно, а область значений T (X) замкнута в Y и имеет там конечную
коразмерность. Полуфредгольмов оператор T имеет конечный индекс indT =
= dim kerT − dim(Y/T (X)).
Основным результатом статьи является следующая теорема о разрешимости
задачи (1.1) в уточненной шкале пространств.
Теорема 1.1. Для произвольных s ∈ R, ϕ ∈ M множество K∞
L (Ω) плотно в
Ks,ϕ
L (Ω), а отображение (1.3) продолжается по непрерывности до ограниченного
фредгольмового оператора
B : Ks,ϕ
L (Ω) →
q∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ). (1.6)
Этот оператор имеет ядро N, область значений{(
g1, . . . , gq
)
∈
q∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ) :
q∑
j=1
(
gj , C
+
j v
)
Γ
= 0
для любого v ∈ N+
}
(1.7)
и конечный индекс, не зависящий от s и ϕ.
Отметим, что в формуле (1.7) величина
(
gj , C
+
j v
)
Γ
— это значение антилиней-
ного функционала gj на основной функции C+
j v. Следовательно, множество (1.7)
замкнуто в правом пространстве соотношения (1.6). Далее, согласно теореме 1.1
множество
G :=
{(
C+
1 v, . . . , C
+
q v
)
: v ∈ N+
}
(1.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ... 1539
является дефектным подпространством оператора (1.6): оно ортогонально области
значений этого оператора относительно расширения по непрерывности скалярного
произведения в
(
L2(Γ)
)q
. Индекс оператора (1.6) равен dimN − dimG. Ясно,
что dimG ≤ dimN+, где возможно и строгое неравенство, как это следует из [6,
с. 257].
В частном случае ϕ ≡ 1, s /∈ {−1/2, −3/2, . . .} теорема 1.1 содержится в ре-
зультате Ж.-Л. Лионса и Э. Мадженеса [4, с. 216, 217] о разрешимости регулярной
эллиптической граничной задачи для неоднородного эллиптического уравнения в
двусторонней шкале. Общий случай ϕ ∈ M, s ∈ R мы получим из этого ре-
зультата с помощью интерполяции с подходящим функциональным параметром и
последующего сужения оператора задачи на пространство решений однородного
дифференциального уравнения.
В связи с теоремой 1.1 упомянем также исследование Р. Сили [7] (см. также [8],
§ 5.4) данных Коши решений однородного эллиптического уравнения в двусторон-
ней шкале пространств бесселевых потенциалов.
2. Уточненные шкалы пространств. В этом пункте мы сформулируем опре-
деления и некоторые свойства уточненных шкал пространств, введенных и изучен-
ных авторами в [1 – 3].
Обозначим через M совокупность таких функций ϕ : [1,+∞) → (0,+∞), что:
а) ϕ измерима по Борелю на [1,+∞);
б) функции ϕ и 1/ϕ ограничены на каждом отрезке [1, b], 1 < b < +∞;
в) функция ϕ является медленно меняющейся на +∞.
Напомним [9, с. 9, 10], что условие в) означает следующее:
ϕ(λt)
ϕ(t)
→ 1 при t→ +∞ для произвольного λ > 0.
Пусть s ∈ R, ϕ ∈ M и целое число n ≥ 1. Обозначим через Hs,ϕ(Rn) со-
вокупность всех распределений u медленного роста, заданных на Rn, таких, что
преобразование Фурье û распределения u является локально суммируемой по Ле-
бегу на Rn функцией, удовлетворяющей условию∫
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉) |û(ξ)|2 dξ <∞.
Здесь интеграл берется по Rn, а 〈ξ〉 = (1 + ξ21 + . . .+ ξ2n)
1/2 — сглаженный модуль
вектора ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn. В пространстве Hs,ϕ(Rn) в качестве скалярного
произведения используем величину
(
u, v
)
Hs,ϕ(Rn)
=
∫
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉) û(ξ) v̂(ξ)dξ.
Она естественным образом порождает норму.
ПространствоHs,ϕ(Rn) — частный изотропный гильбертов случай пространств,
введенных Л. Хермандером [10, с. 54; 6, с. 18] и Л. Р. Волевичем, Б. П. Панеяхом
[11, с. 14]. В случае ϕ ≡ 1 пространство Hs,ϕ(Rn) будем обозначать также через
Hs(Rn). Это известное гильбертово пространство Соболева на Rn порядка s.
Пространство Hs,ϕ(Rn) тесно связано со шкалой пространств бесселевых по-
тенциалов. В частности,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1540 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ⋃
ε>0
Hs+ε(Rn) =: Hs+(Rn) ⊂ Hs,ϕ(Rn) ⊂ Hs−(Rn) :=
⋂
ε>0
Hs−ε(Rn).
Отсюда следует, что в семействе {Hs,ϕ(Rn) : s ∈ R, ϕ ∈M} функциональный па-
раметр ϕ уточняет основную s-гладкость пространства. Поэтому данное семейство
будем называть уточненной шкалой на Rn. Из нее строятся уточненные шкалы в
Ω и на Γ следующим стандартным образом.
Обозначим черезHs,ϕ(Ω) фактор-пространство пространстваHs,ϕ(Rn) по замк-
нутому подпространству
{w ∈ Hs,ϕ(Rn) : suppw ⊆ Rn \ Ω} . (2.1)
Пространство Hs,ϕ(Ω) гильбертово сепарабельное; в нем скалярное произведение
классов смежности распределений u1, u2 ∈ Hs,ϕ(Rn) равно(
u1 −Πu1, u2 −Πu2
)
Hs,ϕ(Rn)
,
где Π — ортопроектор в Hs,ϕ(Rn) на подпространство (2.1). Отметим, что Hs,ϕ(Ω)
естественно трактовать как пространство сужений на Ω всех распределений из
Hs,ϕ(Rn). Для такого сужения v имеем∥∥v∥∥
Hs,ϕ(Ω)
= inf
{∥∥u∥∥
Hs,ϕ(Rn)
: u = v на Ω
}
.
Перейдем к пространству Hs,ϕ(Γ). Возьмем какой-нибудь конечный атлас αj :
Rn−1 ↔ Uj , j = 1, . . . , r, из C∞-структуры на Γ. Здесь Uj , j = 1, . . . , r, — открытое
покрытие многообразия Γ. Возьмем также какое-нибудь разбиение единицы χj ∈
∈ C∞(Γ), j = 1, . . . , r, на Γ, удовлетворяющее условию suppχj ⊆ Uj . Обозначим
через Hs,ϕ(Γ) пространство всех распределений f на Γ таких, что
(χjf) ◦ αj ∈ Hs,ϕ(Rn−1) для каждого j = 1, . . . , r.
Здесь (χjf) ◦ αj — представление распределения χjf в локальной карте αj . В
Hs,ϕ(Γ) определим скалярное произведение и норму по формулам
(
f, g
)
Hs,ϕ(Γ)
=
r∑
j=1
(
(χjf) ◦ αj , (χj g) ◦ αj
)
Hs,ϕ(Rn−1)
,
∥∥f∥∥2
Hs,ϕ(Γ)
=
r∑
j=1
∥∥ (χjf) ◦ αj
∥∥2
Hs,ϕ(Rn−1)
.
Пространство Hs,ϕ(Γ) гильбертово сепарабельное и с точностью до эквивалент-
ности норм не зависит от выбора атласа и разбиения единицы.
Таким образом, уточненные шкалы (1.4) определены. В случае ϕ ≡ 1 прос-
транства (1.5) будем обозначать через Hs(Ω) и Hs(Γ). Это классические гильбер-
товы пространства Соболева в области Ω и на Γ.
Отметим следующие свойства уточненной шкалы в Ω.
Предложение 2.1 [3, с. 362]. Пусть s ∈ R и ϕ, ϕ1 ∈M. Тогда:
а) множество C∞(Ω ) плотно в Hs,ϕ(Ω);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ... 1541
б) справедливы компактные плотные вложения
Hs+ε(Ω) ↪→ Hs,ϕ(Ω) ↪→ Hs−ε(Ω) и Hs+ε,ϕ1(Ω) ↪→ Hs,ϕ(Ω) при ε > 0;
в) если ϕ(t) ≤ c ϕ1(t) при t � 1 для некоторого числа c > 0, то справедливо
непрерывное вложение Hs, ϕ 1(Ω) ↪→ Hs,ϕ(Ω); это вложение компактно, если
ϕ(t)/ϕ1(t) → 0 при t→ +∞;
г) если
+∞∫
1
d t
t ϕ 2(t)
<∞, (2.2)
то справедливо компактное вложение
Hk+n/2, ϕ(Ω) ↪→ C k( Ω ) для любого вещественного k ≥ 0;
здесь C k( Ω ) — пространство Гельдера на Ω порядка k.
Уточненная шкала на Γ имеет аналогичные свойства: предложение 2.1 остается
в силе, если в нем заменить Ω и Ω на Γ, а n на n − 1. Кроме того, пространства
Hs,ϕ(Γ) иH−s, 1/ϕ(Γ) взаимно сопряжены с эквивалентностью норм относительно
расширения по непрерывности скалярного произведения в L 2(Γ). (Заметим здесь,
что ϕ ∈M⇔ 1/ϕ ∈M.)
3. Интерполяция в уточненных шкалах. Между уточненной и классической
соболевской шкалами существует тесная связь. А именно, интерполяция с подхо-
дящим функциональным параметром пар пространств Соболева дает пространства
уточненной шкалы. Этот факт, установленный авторами в [3], будет использо-
ван ниже для доказательства теоремы 1.1. Перед тем как его сформулировать,
напомним определение интерполяции с функциональным параметром.
Упорядоченную пару X = [X 0, X1] гильбертовых пространств X 0 и X1 бу-
дем называть допустимой, если эти пространства комплексные сепарабельные и
справедливо непрерывное плотное вложение X1 ↪→ X 0.
Пусть X = [X 0, X1] — допустимая пара гильбертовых пространств. Как из-
вестно [4, c. 22], для X существует изометрический изоморфизм A : X1 ↔ X 0
такой, что A является самосопряженным положительно определенным оператором
в пространстве X 0 с областью определения X1. Оператор A называется порожда-
ющим для пары X; этот оператор определяется парой X однозначно.
Обозначим через B множество всех положительных функций, заданных и изме-
римых по Борелю на (0,+∞). Пусть ψ ∈ B. Поскольку спектр оператора A являет-
ся подмножеством полуоси (0,+∞), в пространстве X0 определен как функция от
A оператор ψ(A) . Область определения оператора ψ(A) есть линейное множество,
плотное в X0. Обозначим через [X0, X1]ψ или, короче, Xψ область определения
оператора ψ(A), наделенную скалярным произведением графика:
(u, v)Xψ = (u, v)X0 + (ψ(A)u, ψ(A)v)X0 .
Пространство Xψ гильбертово сепарабельное.
Будем называть функцию ψ ∈ B интерполяционным параметром, если для
произвольных допустимых пар X = [X0, X1], Y = [Y0, Y1] гильбертовых прост-
ранств и для любого линейного отображения T, заданного на X0, выполняется
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1542 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
следующее условие. Если при j = 0, 1 сужение отображения T на пространство
Xj является ограниченным оператором T : Xj → Yj , то и сужение отображения T
на пространство Xψ является ограниченным оператором T : Xψ → Yψ.
Иначе говоря, функция ψ является интерполяционным параметром тогда и толь-
ко тогда, когда отображение X 7→ Xψ является интерполяционным функтором, за-
данным на категории допустимых парX гильбертовых пространств [12, c. 18]. Это
отображение и будем называть интерполяцией с функциональным параметром ψ.
Отметим, что для интерполяционного параметра ψ ∈ B справедливы непрерыв-
ные плотные вложения X1 ↪→ Xψ ↪→ X 0.
Классический результат [5, с. 253; 4, с. 41] теории интерполяции гильбертовых
пространств состоит в том, что степенная функция ψ(t) = tθ, 0 < θ < 1, является
интерполяционным параметром. В [13, 2, 14] найдены значительно более широкие
классы интерполяционных функциональных параметров.
Сформулируем необходимый нам далее результат об интерполяции пространств
Соболева с функциональным параметром. Предварительно примем следующее
обозначение. Для гильбертовых пространств H0 и H1 будем писать H0
∼= H1, если
эти пространства равны, как множества, и нормы в них эквивалентны.
Предложение 3.1 [3, с. 359]. Пусть заданы функция ϕ ∈ M и положитель-
ные числа ε, δ. Положим
ψ(t) = t ε/(ε+δ) ϕ(t1/(ε+δ)) при t ≥ 1 и ψ(t) = ϕ(1) при 0 < t < 1.
Тогда:
а) функция ψ является интерполяционным параметром;
б) для любого s ∈ R[
Hs−ε(Ω),Hs+δ(Ω)
]
ψ
∼= Hs,ϕ(Ω) и
[
Hs−ε(Γ),Hs+δ(Γ)
]
ψ
∼= Hs,ϕ(Γ).
Нам также понадобятся два утверждения об интерполяции фредгольмовых опе-
раторов и прямых произведений пространств (см. [14], п. 3).
Предложение 3.2. Пусть заданы две допустимые пары X = [X 0, X1] и
Y = [Y 0, Y1] гильбертовых пространств. Пусть, кроме того, на X 0 задано
линейное отображение T, для которого существуют ограниченные фредгольмовы
операторы T : Xj → Yj , j = 0, 1, имеющие общее ядро N и одинаковый конеч-
ный индекс κ. Тогда для произвольного интерполяционного параметра ψ ∈ B
ограниченный оператор T : Xψ → Yψ фредгольмов с ядром N , областью значений
Yψ ∩ T (X 0) и тем же индексом κ.
Предложение 3.3. Пусть задано конечное число допустимых пар [X(k)
0 , X
(k)
1 ],
k = 1, . . . , r, гильбертовых пространств. Тогда для любой функции ψ ∈ B[
r∏
k=1
X
(k)
0 ,
r∏
k=1
X
(k)
1
]
ψ
=
r∏
k=1
[
X
(r)
0 , X
(r)
1
]
ψ
с равенством норм.
4. Один результат об интерполяции подпространств. В этом пункте мы
сформулируем и докажем одно (несколько громоздкое по формулировке) утвержде-
ние об интерполяции некоторых подпространств, связанных с линейным операто-
ром. Оно наряду с предложением 3.1 сыграет решающую роль в доказательстве
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ... 1543
основного результата статьи. Для случая голоморфной (комплексной) интерполя-
ции это утверждение сформулировано и доказано в [4, с. 119 – 121]. Мы покажем,
что оно справедливо и для интерполяции гильбертовых пространств с функцио-
нальным параметром. При этом в отличие от цитированной работы при доказа-
тельстве мы не будем использовать конструкцию интерполяционного функтора.
Введем следующее обозначение. Пусть H, Φ и Ψ — гильбертовы пространства,
причем непрерывно Φ ↪→ Ψ. Пусть также задан линейный ограниченный оператор
T : H → Ψ. Обозначим
(H)T,Φ = {u ∈ H : Tu ∈ Φ}.
Пространство (H)T,Φ гильбертово относительно скалярного произведения графика(
u, v
)
(H)T,Φ
=
(
u, v
)
H
+
(
Tu, Tv
)
Φ
и не зависит от Ψ.
Теорема 4.1. Пусть заданы шесть гильбертовых пространств X 0, Y0, Z 0,
X1, Y1, Z1 и три линейных отображения T, R, S, которые удовлетворяют сле-
дующим условиям:
а) пары X = [X0, X1] и Y = [Y0, Y1] являются допустимыми;
б) Z 0 и Z1 являются подпространствами некоторого линейного пространст-
ва E;
в) справедливы непрерывные вложения Yj ↪→ Zj при j = 0, 1;
г) отображение T задано на X0 и определяет ограниченные операторы T :
Xj → Zj при j = 0, 1;
д) отображение R задано на E и определяет ограниченные операторы R :
Zj → Xj при j = 0, 1;
е) отображение S задано на E и определяет ограниченные операторы S :
Zj → Yj при j = 0, 1;
ж) для любого ω ∈ E справедливо TRω = ω + Sω.
Тогда пара пространств
[
(X 0)T,Y0 , (X1)T,Y1
]
является допустимой и для
произвольного интерполяционного параметра ψ ∈ B справедливо равенство
[ (X 0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]ψ ∼= (Xψ)T,Yψ . (4.1)
Доказательство. В силу условий в), г) пространства (Xj)T,Yj , j = 0, 1, опре-
делены корректно. Покажем, что пространство в правой части (4.1) также опреде-
лено корректно. Согласно условию а) определены пространства Xψ и Yψ; для них
справедливы непрерывные вложения Xψ ↪→ X 0 и Yψ ↪→ Y0. Теперь первое вложе-
ние и условие г) при j = 0 влекут ограниченность оператора T : Xψ → Z 0. Кроме
того, второе вложение и условие в) влекут непрерывность вложения Yψ ↪→ Z 0. Та-
ким образом, пространство в правой части (4.1) определено корректно и является
гильбертовым пространством, как и пространства (Xj)T,Yj , j = 0, 1.
Далее нам понадобится отображение
Pu = −RTu+ u, u ∈ X 0. (4.2)
В силу условий г), д) при любом j = 0, 1 оператор P : Xj → Xj ограничен. Более
того, условия е), ж) влекут для произвольного u ∈ Xj следующее:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1544 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
TPu = −TRTu+Tu = −(Tu+STu)+Tu = −STu ∈ Yj , т. е. Pu ∈ (Xj)T,Yj .
Кроме того, из ограниченности оператора P : Xj → Xj и условий г), е) следует
оценка∥∥Pu∥∥2
(Xj)T,Yj
=
∥∥Pu∥∥2
Xj
+
∥∥TPu∥∥2
Yj
=
∥∥Pu∥∥2
Xj
+
∥∥−STu∥∥2
Yj
≤ c1
∥∥u∥∥2
Xj
,
в которой число c1 > 0 не зависит от u. Таким образом, отображение (4.2) задает
ограниченные операторы
P : Xj → (Xj)T,Yj при каждом j = 0, 1. (4.3)
Рассмотрим также сужение отображения R на Yj при j = 0, 1. В силу усло-
вий в), д) существует ограниченный оператор R : Yj → Xj . Более того, из усло-
вий е), ж) вытекает, что для любого ω ∈ Yj выполняется TRω = ω + Sω ∈ Yj ,
т. е. Rω ∈ (Xj)T,Yj . Кроме того, из условий в), е), ж) и ограниченности оператора
R : Yj → Xj следует оценка∥∥Rω∥∥2
(Xj)T,Yj
=
∥∥Rω∥∥2
Xj
+
∥∥TRω∥∥2
Yj
=
∥∥Rω∥∥2
Xj
+
∥∥ω + Sω
∥∥2
Yj
≤
≤
∥∥Rω∥∥2
Xj
+
(∥∥ω∥∥
Yj
+
∥∥Sω∥∥
Yj
)2
≤
≤ c 2
∥∥ω∥∥2
Yj
+
(∥∥ω∥∥
Yj
+ c 3
∥∥ω∥∥
Zj
)2
≤ c 4
∥∥ω∥∥2
Yj
с постоянными c 2, c 3, c 4, не зависящими от ω. Таким образом, ограничены опе-
раторы
R : Yj → (Xj)T,Yj при каждом j = 0, 1. (4.4)
Теперь с помощью операторов (4.3), (4.4) покажем, что пара
[
(X 0)T,Y0 ,
(X1)T,Y1
]
является допустимой. Установим сначала сепарабельность пространства
(Xj)T,Yj при каждом j = 0, 1. В силу условия а) пространства Xj и Yj сепара-
бельные. Возьмем любые счетные множества X0
j и Y 0
j , лежащие и плотные в Xj
и Yj соответственно. Построим по ним счетное множество
Q = {Pu0 +Rv0 : u0 ∈ X0
j , v0 ∈ Y 0
j }
и аппроксимируем его элементами произвольное u ∈ (Xj)T,Yj . Поскольку u ∈ Xj
и Tu ∈ Yj , найдутся последовательности элементов uk ∈ X0
j и vk ∈ Y 0
j такие, что
uk → u в Xj и vk → Tu в Yj при k → ∞. Отсюда с помощью операторов (4.3),
(4.4) и равенства (4.2) получаем
wk = Puk +Rvk → Pu+RTu = u в (Xj)T,Yj при k →∞, (4.5)
причем wk ∈ Q. Значит, счетное множество Q плотно в пространстве (Xj)T,Yj ,
т. е. последнее сепарабельно.
Для доказательства того, что эта пара является допустимой, остается установить
плотность непрерывного вложения (X1)T,Y1 ↪→ (X 0)T,Y0 . Выберем произвольное
u ∈ (X 0)T,Y0 ; тогда u ∈ X 0 и Tu ∈ Y0. В силу условия а) пространство X1 плотно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ... 1545
в X 0, а пространство Y1 — в Y0. Следовательно, существуют последовательности
элементов uk ∈ X1 и vk ∈ Y1 такие, что uk → u в X 0 и vk → Tu в Y0 при k →∞.
Отсюда с помощью операторов (4.3), (4.4) и равенства (4.2) имеем (4.5) для j = 0
и wk ∈ (X1)T,Y1 . Таким образом, (X1)T,Y1 плотно в (X 0)T,Y0 .
Перейдем к доказательству формулы (4.1). Установим сначала вложение ле-
вого пространства из этой формулы в правое. В силу определения пространства
(Xj)T,Yj операторы
I : (Xj)T,Yj → Xj и T : (Xj)T,Yj → Yj при каждом j = 0, 1
ограничены. Здесь, как обычно, через I обозначено тождественное отображение.
Отсюда, поскольку параметр ψ интерполяционный, получаем ограниченность опе-
раторов
I : [ (X 0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]ψ → Xψ и T : [ (X 0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]ψ → Yψ.
Следовательно, если u ∈ [ (X 0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]ψ , то u ∈ Xψ, Tu ∈ Yψ, причем∥∥u∥∥2
Xψ
+
∥∥Tu∥∥2
Yψ
≤ c
∥∥u∥∥2
[ (X 0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]
ψ
с некоторой постоянной с, не зависящей от u. Иными словами, справедливо непре-
рывное вложение
[ (X 0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]ψ ↪→ (Xψ)T,Yψ . (4.6)
Теперь в силу теоремы Банаха об обратном операторе остается доказать вклю-
чение, обратное к (4.6). Для этого применим к (4.3) и (4.4) интерполяцию с пара-
метром ψ. В результате получим ограниченные операторы
P : Xψ → [ (X 0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]ψ и R : Yψ → [ (X 0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]ψ .
Следовательно, если u ∈ (Xψ)T,Yψ , т. е. u ∈ Xψ, Tu ∈ Yψ , то в силу (4.2)
u = Pu+RTu ∈ [ (X 0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]ψ .
Тем самым справедливо включение, обратное к (4.6).
Теорема 4.1 доказана.
5. Задача в шкалах соболевских пространств. Для доказательства основного
результата нам понадобятся два известных утверждения об операторе регулярной
эллиптической граничной задачи
Lu = f в Ω, Bj u = gj на Γ при j = 1, . . . , q.
Здесь в отличие от (1.1) рассматривается неоднородное уравнение в области Ω.
Предложение 5.1 [4, с. 191; 5, с. 169, 170]. Отображение
u 7→ Λu = (Lu,B1 u, . . . , Bq u), u ∈ C∞(Ω ), (5.1)
продолжается по непрерывности до ограниченного фредгольмового оператора
Λ: Hs(Ω) → Hs−2q(Ω)×
q∏
j=1
Hs−mj−1/2(Γ) = Hs(Ω,Γ)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1546 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
при любом вещественном s ≥ 2q. Этот оператор имеет ядроN, область значений{(
f, g1, . . . , gq
)
∈ Hs(Ω,Γ):
(
f, v
)
Ω
+
q∑
j=1
(
gj , C
+
j v
)
Γ
= 0
для любого v ∈ N+
}
и конечный индекс, равный dimN − dimN+.
Предложение 5.1 было распространено на случай произвольного веществен-
ного значения s в [4] (гл. 2) и [15] (ч. 5). При этом оператор Λ исследовался в
пространствах, построенных различным образом с помощью пространств бессе-
левых потенциалов соответствующих порядков. Нам понадобится конструкция [4]
(гл. 2, § 6, 7), которая в отличие от [15] остается в рамках пространств распреде-
лений в области Ω. Для простоты изложения ограничимся случаем целого s (этого
будет достаточно).
Возьмем функцию ρ ∈ C∞( Ω ), положительную в Ω и равную нулю на Γ,
такую, что
lim
x→x0
ρ(x)
dist(x,Γ)
= d 6= 0 для любого x0 ∈ Γ.
Пусть целое число σ ≥ 0. Обозначим
Ξσ(Ω) :=
{
u ∈ D′(Ω): ρ |α|D αu ∈ L2(Ω) для любого α такого, что |α| ≤ σ
}
.
Здесь α = (α1, . . . , αn) — мультииндекс с неотрицательными целыми компонента-
ми, |α| = α1 + . . . + αn и D α = D α1
1 . . . D αn
n , где Dj , j = 1, . . . , n, — оператор
взятия обобщенной частной производной по j-й переменной. Пространство Ξσ(Ω)
гильбертово относительно скалярного произведения(
u, v
)
Ξσ(Ω)
=
∑
|α|≤σ
(
ρ |α|D αu, ρ |α|D αv
)
Ω
.
Справедливы непрерывные плотные вложения
Hσ
0 (Ω) ↪→ Ξσ(Ω) ↪→ L2(Ω). (5.2)
Здесь Hσ
0 (Ω) — замыкание множества C∞0 (Ω) = {u ∈ C∞( Ω ): suppu ⊂ Ω} в
топологии пространства Hσ(Ω).
Обозначим через Ξ−σ(Ω) гильбертово пространство, сопряженное к Ξσ(Ω)
относительно скалярного произведения в L2(Ω).Поскольку [12, с. 414] пространст-
ва Hσ
0 (Ω) и H−σ(Ω) взаимно сопряжены относительно этого же скалярного про-
изведения, то (5.2) влечет непрерывность плотных вложений
L2(Ω) ↪→ Ξ−σ(Ω) ↪→ H−σ(Ω), где целое σ > 0. (5.3)
Из правого вложения следует, что пространство Ξ−σ(Ω) состоит из распределений
в области Ω.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ... 1547
Теперь с выражением L свяжем пространство
D s
L(Ω) :=
{
u ∈ Hs(Ω): Lu ∈ Ξ s−2q(Ω)
}
, где целое s < 2q.
Это пространство гильбертово относительно скалярного произведения графика(
u, v
)
D s
L(Ω)
=
(
u, v
)
Hs(Ω)
+
(
Lu,Lv
)
Ξ s−2q(Ω)
.
Множество C∞(Ω ) плотно в D s
L(Ω). (Заметим, что в работе [4] через Hs(Ω) для
s < 0 обозначено пространство, сопряженное к H−s
0 (Ω) относительно скалярного
произведения в L2(Ω). Как отмечено выше, это сопряженное пространство сов-
падает с используемым нами пространством Hs(Ω) для целых s < 0.) В силу
(5.3) и ограниченности оператора L : H2q(Ω) → L2(Ω) справедливы непрерывные
плотные вложения
H2q(Ω) ↪→ D s
L(Ω) ↪→ Hs(Ω) при целом s < 2q. (5.4)
Предложение 5.2 [4, с. 206, 207, 216]. Отображение (5.1) продолжается по
непрерывности до ограниченного фредгольмового оператора
Λ : D s
L(Ω) → Ξs−2q(Ω)×
q∏
j=1
Hs−mj−1/2(Γ) = Ks(Ω,Γ)
при любом целом s < 2q. Этот оператор имеет ядро N, область значений{(
f, g1, . . . , gq
)
∈ Ks(Ω,Γ):
(
f, v
)
Ω
+
q∑
j=1
(
gj , C
+
j v
)
Γ
= 0
для любого v ∈ N+
}
и конечный индекс, равный dimN − dimN+.
Нам также понадобится одно утверждение об изоморфизме, который осуществ-
ляет оператор, соответствующий некоторой однородной граничной задаче Дирихле.
Зафиксируем произвольное целое число r ≥ 1 и возьмем r-ю степень (итерацию)
Lr выражения L. Пусть Lr+ — выражение, формально сопряженное к Lr. Рассмо-
трим линейное дифференциальное выражение LrLr+ + 1 порядка 4qr с коэффи-
циентами класса C∞( Ω ). Положим
Hσ
D(Ω) := {u ∈ Hσ(Ω) : γju = 0 на Γ, j = 0, . . . , 2qr − 1}
при любом целом σ ≥ 2qr.
Здесь γj — оператор следа на Γ нормальной к границе Γ производной порядка j;
этот оператор понимается в смысле теоремы о следах для пространств бесселевых
потенциалов [5, с. 82]. Мы рассматриваем Hσ
D(Ω) как замкнутое подпространство
в Hσ(Ω).
Лемма 5.1. Пусть число r ≥ 1. Тогда справедлив топологический изомор-
физм
LrLr+ + 1 : Hσ
D(Ω) ↔ Hσ−4qr(Ω) при любом целом σ ≥ 2qr. (5.5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1548 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Доказательство. Дифференциальное выражение LrLr+ +1 правильно эллип-
тическое в Ω, поскольку таковым является выражение L. Рассмотрим неоднород-
ную граничную задачу Дирихле
LrLr+ u+ u = f в Ω, γj u = gj на Γ при j = 0, . . . , 2qr − 1.
Она эллиптическая и, как установлено в [4, с. 223, 227], оператор этой задачи
является ограниченным и фредгольмовым с нулевым индексом в паре пространств(
LrLr+ + 1; γ0, . . . , γ2qr−1
)
:
Hσ(Ω) → Hσ−4qr(Ω)×
2qr−1∏
j=0
Hσ−j−1/2(Γ) при целом σ ≥ 2qr. (5.6)
Ядро ND оператора (5.6) лежит в C∞(Ω). С помощью интегрирования по частям
нетрудно вывести, что оно является тривиальным:
u ∈ ND ⇒
(
u, u
)
Ω
= −
(
LrLr+u, u
)
Ω
= −
(
Lr+u, Lr+u
)
Ω
≤ 0 ⇒ u = 0.
Заметим, что при перебрасывании дифференциального выражения Lr порядка 2qr
с помощью интегрирования по частям появятся выражения вида ( · , γju)Γ, j =
= 0, . . . , 2qr − 1, а они равны нулю для u ∈ ND. Следовательно, оператор (5.6) —
топологический изоморфизм. Поэтому его сужение на подпространство Hσ
D(Ω)
определяет топологический изоморфизм (5.5), что и требовалось доказать (см.
также [12, с. 506]).
6. Доказательство основного результата. В этом пункте мы докажем основ-
ной результат статьи — теорему 1.1.
Пусть s ∈ R, ϕ ∈M. Возьмем такое целое число r ≥ 1, что
2q(1− r) < s < 2qr, (6.1)
и воспользуемся предложением 5.2 для целого s = 2q(1−r) ≤ 0 и предложением 5.1
для s = 2qr ≥ 2q. Тогда отображение (5.1) продолжается по непрерывности до
ограниченных фредгольмовых операторов
Λ: D 2q(1−r)
L (Ω) → Ξ−2qr(Ω)×
q∏
j=1
H2q(1−r)−mj−1/2(Γ) =: K 2q(1−r)(Ω,Γ), (6.2)
Λ: H2qr(Ω) → H2q(r−1)(Ω)×
q∏
j=1
H2qr−mj−1/2(Γ) =: H2qr(Ω,Γ), (6.3)
имеющих общее ядро N и одинаковый конечный индекс. Заметим здесь, что пары
пространств[
D
2q(1−r)
L (Ω), H2qr(Ω)
]
и
[
Ξ−2qr(Ω), H2q(r−1)(Ω)
]
(6.4)
являются допустимыми. В самом деле, в силу (5.3), (5.4) справедливы непрерыв-
ные плотные вложения
H2qr(Ω) ↪→ H2q(Ω) ↪→ D
2q(1−r)
L (Ω) и H2q(r−1)(Ω) ↪→ L2(Ω) ↪→ Ξ−2qr(Ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ... 1549
Следовательно, правые пространства пар (6.4) непрерывно и плотно вкладываются
в левые пространства. Отсюда, поскольку правые пространства бесселевых потен-
циалов сепарабельны, вытекает, что и левые пространства сепарабельны. Значит,
пары (6.4) являются допустимыми. Из допустимости второй пары следует, что
пара [
K 2q(1−r)(Ω,Γ), H2qr(Ω,Γ)
]
также допустимая. Теперь в силу (6.1) положим
ε = s− 2q(1− r) > 0, δ = 2qr − s > 0 (6.5)
и возьмем для ϕ, ε, δ интерполяционный параметр ψ из предложения 3.1. Приме-
нив к пространствам, в которых действуют фредгольмовы операторы (6.2) и (6.3),
интерполяцию с параметром ψ, получим, согласно предложению 3.2, ограничен-
ный фредгольмов оператор
Λ:
[
D
2q(1−r)
L (Ω), H2qr(Ω)
]
ψ
→
[
K 2q(1−r)(Ω,Γ), H2qr(Ω,Γ)
]
ψ
. (6.6)
Отметим, что в силу предложений 3.3 и 3.1, где вместо s следует взять значение
s−mj − 1/2, а также соотношений (6.5) справедливы равенства[
K 2q(1−r)(Ω,Γ), H2qr(Ω,Γ)
]
ψ
=
=
Ξ−2qr(Ω)×
q∏
j=1
H2q(1−r)−mj−1/2(Γ), H2q(r−1)(Ω)×
q∏
j=1
H2qr−mj−1/2(Γ)
ψ
=
=
[
Ξ−2qr(Ω), H2q(r−1)(Ω)
]
ψ
×
q∏
j=1
[
H2q(1−r)−mj−1/2(Γ), H2qr−mj−1/2(Γ)
]
ψ
=
= Z(Ω)×
q∏
j=1
[
Hs−mj−1/2−ε(Γ), Hs−mj−1/2+δ(Γ)
]
ψ
∼=
∼= Z(Ω)×
q∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ),
где
Z(Ω) :=
[
Ξ−2qr(Ω), H2q(r−1)(Ω)
]
ψ
. (6.7)
Следовательно, в таких пространствах оператор (6.6) является ограниченным
фредгольмовым
Λ:
[
D
2q(1−r)
L (Ω), H2qr(Ω)
]
ψ
→ Z(Ω)×
q∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ). (6.8)
Этот оператор имеет то же ядро N и тот же конечный индекс, что и операто-
ры (6.2), (6.3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1550 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
Опишем с помощью Z(Ω) левое интерполяционное пространство в (6.8). Это
будет сделано на основании теоремы 4.1, в которой полагаем
X0 = H2q(1−r)(Ω), Y0 = Ξ−2qr(Ω), Z0 = E = H−2qr(Ω),
X1 = H2qr(Ω), Y1 = Z1 = H2q(r−1)(Ω), T = L.
Из того, что вторая пара (6.4) является допустимой, и из правого вложения (5.3)
следует, что условия а) – в) теоремы 4.1 выполняются. Условие г) этой теоремы
также выполняется, поскольку ограничен оператор L : Hσ(Ω) → Hσ−2q(Ω) для
произвольного σ ∈ R. Нам, кроме того, нужны линейные отображения R и S,
удовлетворяющие условиям д) – ж). Определим их следующим образом. Вос-
пользуемся леммой 5.1 и рассмотрим отображение (LrLr+ + 1)−1, обратное к
изоморфизму (5.5). Имеем линейный ограниченный оператор
(LrLr+ + 1)−1 : Hσ−4qr(Ω) → Hσ(Ω) при любом целом σ ≥ 2qr. (6.9)
Положим
R = Lr−1Lr+(LrLr+ + 1)−1 и S = −(LrLr+ + 1)−1.
В силу (6.9) при σ = 2qr и при σ = 2q(3r − 1) получаем ограниченные операторы
R : Z0 = H−2qr(Ω) → H2qr−2q(2r−1)(Ω) = X0,
R : Z1 = H2q(r−1)(Ω) → H2q(3r−1)−2q(2r−1)(Ω) = X1,
S : Z0 = H−2qr(Ω) → H2qr(Ω) ↪→ H0(Ω) ↪→ Ξ−2qr(Ω) = Y0,
S : Z1 = H2q(r−1)(Ω) → H2q(3r−1)(Ω) ↪→ H2qr(Ω) = X1.
Кроме того, на E = H−2qr(Ω) справедливы равества
TR = LLr−1Lr+(LrLr+ + 1)−1 = (LrLr+ + 1− 1)(LrLr+ + 1)−1 = 1− S.
Таким образом, все условия теоремы 4.1 выполняются. Согласно этой теореме для
интерполяционного параметра ψ запишем[
(X0)L,Y0 , (X1)L,Y1
]
ψ
∼= (Xψ)L,Yψ . (6.10)
Здесь
(X0)L,Y0 =
{
u ∈ H2q(1−r)(Ω): Lu ∈ Ξ−2qr(Ω)
}
= D
2q(1−r)
L (Ω),
причем нормы в крайних пространствах равны. Далее, в силу ограниченности
оператора L : H2qr(Ω) → H2q(r−1)(Ω) справедливо равенство
(X1)L,Y1 =
{
u ∈ H2qr(Ω): Lu ∈ H2q(r−1)(Ω)
}
= H2qr(Ω)
с эквивалентностью норм в крайних пространствах. Кроме того, согласно предло-
жению 3.1 с учетом (6.5) имеем
Xψ =
[
H2q(1−r)(Ω), H2qr(Ω)
]
ψ
=
[
Hs−ε(Ω), Hs+δ(Ω)
]
ψ
∼= Hs,ϕ(Ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ... 1551
Таким образом, соотношение (6.10) принимает вид[
D
2q(1−r)
L (Ω), H2qr(Ω)
]
ψ
∼=
{
u ∈ Hs,ϕ(Ω): Lu ∈ Z(Ω)
}
, (6.11)
причем в последнем пространстве рассматривается скалярное произведение графи-
ка (мы также воспользовались обозначением (6.7), согласно которому Yψ = Z(Ω)).
Подставив теперь (6.11) в (6.8), получим, что (6.11) — это оператор
Λ = (L,B1, . . . , Bq) : {u ∈ Hs,ϕ(Ω): Lu ∈ Z(Ω)} →
→ Z(Ω)×
q∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ) = Z(Ω,Γ). (6.12)
Согласно доказанному, он ограниченный фредгольмов и имеет ядро N. Кроме
того, поскольку оператор (6.12) получен с помощью интерполяции, примененной
к фредгольмовым операторам (6.2) и (6.3), на основании предложений 3.2 и 5.2
область значений оператора (6.12) принимает вид
Z(Ω,Γ) ∩ Λ
(
D
2q(1−r)
L (Ω)
)
=
=
{(
f, g1, . . . , gq
)
∈ Z(Ω,Γ):
(
f, v
)
Ω
+
+
q∑
j=1
(
gj , C
+
j v
)
Γ
= 0 для любого v ∈ N+
}
. (6.13)
Сужение оператора (6.12) на подпространство
Ks,ϕ
L (Ω) =
{
u ∈ Hs,ϕ(Ω): Lu = 0 в Ω
}
определяет ограниченный оператор
B = (B1, . . . , Bq) : Ks,ϕ
L (Ω) →
q∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ). (6.14)
Его ядро равно N ∩ Ks,ϕ
L (Ω) = N и, значит, конечномерно, а область значений в
силу (6.13) совпадает с (1.7) и, следовательно, замкнута и имеет конечную кораз-
мерность, равную размерности пространства G, определенного по формуле (1.8).
Таким образом, оператор (6.14) фредгольмов с ядром N, областью значений (1.7)
и конечным индексом dimN − dimG, не зависящим от s, ϕ.
Осталось показать, что множество K∞
L (Ω) плотно в Ks,ϕ
L (Ω) и оператор (6.14)
является продолжением по непрерывности отображения (1.3). В связи с этим за-
метим следующее: поскольку (6.12) является продолжением отображения (5.1), в
силу определения оператора (6.14) последний является продолжением отображе-
ния (1.3). Поэтому, для того чтобы завершить доказательство, надо установить
плотность множества K∞
L (Ω) в Ks,ϕ
L (Ω). Выполним это с помощью топологиче-
ского изоморфизма
B : Ks,ϕ
L (Ω)/N ↔ R, (6.15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1552 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ
который порожден фредгольмовым оператором (6.14). Здесь через R обозначена
область значений (1.7) оператора (6.14). Рассмотрим изоморфизм B−1, обратный
к (6.15). Он каждому вектору g = (g1, . . . , gq) ∈ R ставит в соответствие класс
смежности
B−1g = [u ] = {u+ w : w ∈ N}
элемента u ∈ Ks,ϕ
L (Ω) такого, что Bu = g.
Покажем предварительно, что (6.15) имеет следующее свойство повышения
гладкости:
g ∈ R ∩
(
C∞(Γ)
)q ⇒ B−1g = [u ] для некоторого u ∈ K∞
L (Ω). (6.16)
Пусть
g = (g1, . . . , gq) ∈ R ∩
(
C∞(Γ)
)q
.
Поскольку R — множество (1.7), в силу предложения 5.1 эллиптическая граничная
задача (1.1) имеет решение u ∈ H2q(Ω). Правые части этой задачи бесконечно
гладкие; следовательно [4, с. 191], u ∈ C∞( Ω ). Таким образом, u ∈ K∞
L (Ω) и
Bu = g в смысле оператора (6.14), что и доказывает (6.16).
Теперь нетрудно установить упомянутую плотность. Возьмем произвольное
u ∈ Ks,ϕ
L (Ω) и по нему образуем вектор
g = Bu ∈ R ⊂
q∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ). (6.17)
Поскольку множество C∞(Γ) плотно в Hσ,ϕ(Γ), σ ∈ R, для g существует такая
последовательнось векторов g(k), что
g(k) ∈ (C∞(Γ)
)q
и g(k) → g в
q∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ) при k →∞.
(6.18)
Заметим далее следующее: так как R и G — замкнутые подпространства в
q∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ), (6.19)
удовлетворяющие условиям R∩G = {0} и codimR = dimG, (6.19) является пря-
мой суммой этих подпространств с ограниченными операторами проектирования
на них. Из этой суммы получаем разложения
g = g + 0, g(k) = h(k) + ω(k), h(k) ∈ R, ω(k) ∈ G.
Отсюда и из (6.18) следуют два утверждения:
h(k) = g(k) − ω(k) ∈ R ∩
(
C∞(Γ)
)q
и h(k) → g в R (т. е. в (6.19)) при k →∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ... 1553
Первое в силу (6.16) влечет B−1h(k) = [uk ] для некоторого uk ∈ K∞
L (Ω). Из
второго вследствие (6.15) и (6.17) вытекает
[uk ] = B−1h(k) → B−1g = [u ],
т. е. [uk − u ] → 0 в Ks,ϕ
L (Ω)/N при k →∞.
Последнее означает, что
uk − u+ wk → 0 в Ks,ϕ
L (Ω) при k →∞
для некоторой последовательности функций wk ∈ N ⊂ K∞
L (Ω). Таким образом,
произвольное u ∈ Ks,ϕ
L (Ω) аппроксимировано в Ks,ϕ
L (Ω) последовательностью
функций uk + wk ∈ K∞
L (Ω). Значит, множество K∞
L (Ω) плотно в Ks,ϕ
L (Ω).
Теорема 1.1 доказана.
7. Некоторые приложения. Из теоремы 1.1 следует, что в случае тривиально-
сти ядра N и дефектного подпространства G оператор (1.6) задачи (1.1) является
топологическим изоморфизмом. В общем случае этот оператор определяет топо-
логический изоморфизм
B = (B1, . . . , Bq) : Ks,ϕ
L (Ω)/N ↔ R, s ∈ R, ϕ ∈M, (7.1)
а R — подпространство (1.7). (Заметим, что оператор, обратный к (7.1), ограничен
согласно теореме Банаха об обратном операторе.) Набор изоморфизмов (7.1) будем
называть уточненным. Он дает решение задачи (1.1) для произвольных распреде-
лений g1, . . . , gq ∈ D′(Γ), удовлетворяющих условию(
g1, C
+
1 v
)
Γ
+ . . .+
(
gq, C
+
q v
)
Γ
= 0 для любого v ∈ N+.
При этом справедлива следующая априорная оценка решения u.
Теорема 7.1. Пусть s ∈ R, ϕ ∈ M и число ε > 0. Существует такое число
c > 0, что для любого u ∈ Ks,ϕ
L (Ω) выполняется оценка
∥∥u ∥∥
Hs,ϕ(Ω)
≤ c
q∑
j=1
∥∥Bju ∥∥
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ)
+ c
∥∥u ∥∥
Hs−ε(Ω)
. (7.2)
Доказательство. Для произвольного u ∈ Ks,ϕ
L (Ω) в силу изоморфизма (7.1)
имеем
inf
{ ∥∥u+ w
∥∥
Hs,ϕ(Ω)
: w ∈ N
}
≤ c 0
q∑
j=1
∥∥Bju ∥∥
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ)
, (7.3)
где c 0 — норма оператора, обратного к (7.1). Далее, поскольку N — конечномер-
ное подпространство в Hs,ϕ(Ω) и в Hs−ε(Ω), нормы в этих двух пространствах
эквивалентны на N. В частности, для любого w ∈ N∥∥w ∥∥
Hs,ϕ(Ω)
≤ c1
∥∥w ∥∥
Hs−ε(Ω)
с постоянной c1, не зависящей от u,w. Кроме того,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
1554 В. А. МИХАЙЛЕЦ, А. А. МУРАЧ∥∥w ∥∥
Hs−ε(Ω)
≤
∥∥u+ w
∥∥
Hs−ε(Ω)
+
∥∥u ∥∥
Hs−ε(Ω)
≤
≤ c2
∥∥u+ w
∥∥
Hs,ϕ(Ω)
+
∥∥u ∥∥
Hs−ε(Ω)
,
где c2 — норма оператора вложения Hs,ϕ(Ω) ↪→ Hs−ε(Ω). Следовательно,∥∥u ∥∥
Hs,ϕ(Ω)
≤
∥∥u+ w
∥∥
Hs,ϕ(Ω)
+
∥∥w ∥∥
Hs,ϕ(Ω)
≤
≤
∥∥u+ w
∥∥
Hs,ϕ(Ω)
+ c1
∥∥w ∥∥
Hs−ε(Ω)
≤
≤ (1 + c1c2)
∥∥u+ w
∥∥
Hs,ϕ(Ω)
+ c1
∥∥u ∥∥
Hs−ε(Ω)
.
Перейдем теперь к инфимуму по w ∈ N и воспользуемся неравенством (7.3). В
результате получим
∥∥u ∥∥
Hs,ϕ(Ω)
≤ (1 + c1c2) c 0
q∑
j=1
∥∥Bju ∥∥
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ)
+ c1
∥∥u ∥∥
Hs−ε(Ω)
,
т. е. оценку (7.2), если положить c = max{(1 + c1c2)c0, c1}, что и требовалось
доказать.
Если в неравенстве (7.2) правая часть конечна, то конечна и левая часть. А
именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 7.2. Пусть s ∈ R, ϕ ∈ M и число ε > 0. Предположим, что
распределение u ∈ Hs−ε(Ω) является решением задачи (1.1), в которой
Bju = gj ∈ Hs−mj−1/2, ϕ(Γ) для каждого j = 1, . . . , q. (7.4)
Тогда u ∈ Hs,ϕ(Ω).
Доказательство. Согласно условию u ∈ Ks−ε, 1
L (Ω) и Bu = g, где g =
= (g1, . . . , gq). Следовательно, в силу свойства (7.4) и теоремы 1.1 (описание облас-
ти значений) справедливо
g ∈ B
(
Ks−ε, 1
L (Ω)
)
∩
q∏
j=1
Hs−mj−1/2, ϕ(Γ) = B
(
Ks,ϕ
L (Ω)
)
.
Поэтому существует u0 ∈ Ks,ϕ
L (Ω) такое, что Bu0 = g. Отсюда с учетом теоре-
мы 1.1 (описание ядра) последовательно получаем
B(u− u 0) = 0, w = u− u 0 ∈ N ⊂ C∞( Ω ), u = u 0 + w ∈ Hs,ϕ(Ω),
что и требовалось доказать.
Теорема 7.2 — это утверждение о повышении глобальной (т. е. во всей замкну-
той области Ω ) гладкости решения u задачи (1.1). При этом, как видим, уточненная
гладкость ϕ правых частей задачи наследуется в решении. Отметим (см., напри-
мер, [10, с. 237] ), что первое уравнение задачи (1.1) влечет u ∈ C∞(Ω). Поэтому
в теореме 7.2 существенно то, что гладкость решения u повышается вплоть до
границы области Ω.
Следствие 7.1. Пусть σ ∈ R. Предположим, что распределение u ∈ Hσ(Ω)
является решением задачи (1.1), в которой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
РЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ... 1555
gj ∈ Hm−mj+(n−1)/2, ϕ(Γ) для каждого j = 1, . . . , q, (7.5)
где m = max{m1, . . . ,mq}, а функция ϕ ∈M удовлетворяет условию (2.2). Тогда
u принадлежит Cm(Ω ) и, поскольку u принадлежит и C∞(Ω), является класси-
ческим решением задачи (1.1).
Доказательство. Условие (7.5) совпадает с (7.4), если положить s = m+n/2.
Следовательно, согласно теореме 7.2 и в силу п. г) предложения 2.1 имеем
u ∈ Hm+n/2 ,ϕ(Ω) ↪→ Cm( Ω ),
что и требовалось доказать.
Отметим, что для классического решения u левые части задачи (1.1) вычисля-
ются с помощью классических производных, при этом Bju ∈ C(Γ).
1. Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных
пространств // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 5. – С. 689 – 696.
2. Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. I
// Там же. – 2006. – 58, № 2. – С. 217 – 235.
3. Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые зада-
чи. II // Там же. – № 3. – С. 352 – 370.
4. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир,
1971. – 372 с.
5. Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
6. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными:
В 4 т. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. – М.: Мир, 1986.
– 456 с.
7. Seeley R. T. Singular integrals and boundary value problems // Amer. J. Math. – 1966. – 88, № 4. –
P. 781 – 809.
8. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci. Part. Different. Equat. – Berlin:
Springer, 1997. – P. 1 – 144.
9. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 142 с.
10. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.:
Мир, 1965. – 380 с.
11. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложе-
ния // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
12. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные опера-
торы. – М.: Мир, 1980. – 664 с.
13. Шлензак Г. Эллиптические задачи в уточненной шкале пространств // Вестн. Моск. ун-та.
Сер. 1. Мат., мех. – 1974. – 29, № 4. – С. 48 – 58.
14. Михайлец В. А., Мурач А. А. Интерполяция с функциональным параметром и пространства
дифференцируемых функций // Допов. НАН України. – 2006. – № 6. – С. 13 – 18.
15. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer
Acad. Publ., 1996. – 427 p.
Получено 29.06.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-3553 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:43Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/56/bc1f9d72ff8bd0c5b502baf88339e456.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35532020-03-18T19:57:29Z Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided improved scale of spaces Регулярная эллиптическая граничная задача для однородного уравнения в двусторонней уточненной шкале пространств Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлець, В. А. Мурач, О. О. We study a regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous differential equation in a bounded domain. We prove that the operator of this problem is a Fredholm (Noether) operator in a two-sided improved scale of functional Hilbert spaces. The elements of this scale are Hörmander-Volevich-Paneyakh isotropic spaces. We establish an a priori estimate for a solution and investigate its regularity. Вивчається регулярна еліптична гранична задача для однорідного диференціального рівняння в обмеженій області. Доведено, що оператор цієї задачі є фредгольмовим (нетеровим) у двобічній уточненій шкалі функціональних гільбертових просторів. Елементами цієї шкали є ізотропні простори Хермандера - Волевіча - Панеяха. Встановлено апріорну оцінку розв'язку та досліджено його регулярність. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3553 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 11 (2006); 1536–1555 Український математичний журнал; Том 58 № 11 (2006); 1536–1555 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3553/3841 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3553/3842 Copyright (c) 2006 Mikhailets V. A.; Murach A. A. |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Murach, A. A. Михайлець, В. А. Мурач, О. О. Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided improved scale of spaces |
| title | Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided improved scale of spaces |
| title_alt | Регулярная эллиптическая граничная задача для однородного уравнения в двусторонней уточненной шкале пространств |
| title_full | Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided improved scale of spaces |
| title_fullStr | Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided improved scale of spaces |
| title_full_unstemmed | Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided improved scale of spaces |
| title_short | Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided improved scale of spaces |
| title_sort | regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided improved scale of spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3553 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva regularellipticboundaryvalueproblemforahomogeneousequationinatwosidedimprovedscaleofspaces AT murachaa regularellipticboundaryvalueproblemforahomogeneousequationinatwosidedimprovedscaleofspaces AT mihajlecʹva regularellipticboundaryvalueproblemforahomogeneousequationinatwosidedimprovedscaleofspaces AT muračoo regularellipticboundaryvalueproblemforahomogeneousequationinatwosidedimprovedscaleofspaces AT mikhailetsva regulârnaâélliptičeskaâgraničnaâzadačadlâodnorodnogouravneniâvdvustoronnejutočnennojškaleprostranstv AT murachaa regulârnaâélliptičeskaâgraničnaâzadačadlâodnorodnogouravneniâvdvustoronnejutočnennojškaleprostranstv AT mihajlecʹva regulârnaâélliptičeskaâgraničnaâzadačadlâodnorodnogouravneniâvdvustoronnejutočnennojškaleprostranstv AT muračoo regulârnaâélliptičeskaâgraničnaâzadačadlâodnorodnogouravneniâvdvustoronnejutočnennojškaleprostranstv |