On small oscillations of a compressible stratified liquid
We study the structure of the spectrum and the completeness and basis property of a system of eigenvectors.
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2006
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3559 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509672998436864 |
|---|---|
| author | Vronskii, B. M. Вронский, Б. М. Вронский, Б. М. |
| author_facet | Vronskii, B. M. Вронский, Б. М. Вронский, Б. М. |
| author_sort | Vronskii, B. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:57:46Z |
| description | We study the structure of the spectrum and the completeness and basis property of a system of eigenvectors. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:44:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9:532
B. M. Vronskyj (Tavryç. nac. un-t, Symferopol\)
O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ
STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY
We study the character of the spectrum of small oscillations, the completeness and the basis property of a
system of eigenvectors.
Vyvçeno xarakter spektra, povnotu i bazysnist\ systemy vlasnyx vektoriv.
1. Postanovka zadaçy y pryvedenye ee k operatornoj forme. 1.1. Posta-
novka naçal\no-kraevoj zadaçy. Pust\ nepodvyΩn¥j sosud celykom zapolnen
ydeal\noj sΩymaemoj Ωydkost\g. Ûydkost\ predpolahaetsq stratyfycyro-
vannoj, t. e. ee plotnost\ v sostoqnyy pokoq yzmenqetsq vdol\ vertykal\noj
osy Oz po zakonu ρ ρ0 0= ( )z . Oblast\, zanqtug Ωydkost\g, oboznaçym çerez
Ω, a ee hranycu (tverdug stenku) — çerez S. Sçytaem, çto systema naxodytsq
pod dejstvyem syl¥ tqΩesty s uskorenyem
� �
g gk= − , hde
�
k — ort osy Oz.
Budem rassmatryvat\ sluçaj ustojçyvoj stratyfykacyy; ona ymeet mesto
pry v¥polnenyy uslovyj (sm. [1 – 4])
0 < N−
2 ≤ N z2( ) ≤ N+
2 < ∞ ,
(1)
N z2( ) : = N z
g
c0
2
2
( ) −
, N z0
2( ) : = – g z(ln ( ))ρ0 ′ ,
hde c — skorost\ zvuka v Ωydkosty. Velyçynu N z2( ) prynqto naz¥vat\ çasto-
toj plavuçesty yly çastotoj Vqjsqlq – Brenta.
Yz πtyx uslovyj sleduet, çto plotnost\ qvlqetsq ohranyçennoj, stroho po-
loΩytel\noj funkcyej.
Mal¥e dvyΩenyq system¥ opys¥vagtsq uravnenyqmy (sm. [1])
∂
∂
2
2
�
w
t
= –
1 1
0 0ρ ρ
ρ∇ −p g k
�
( v Ω ) , (2)
ρ ρ ρ+ ′ +w wz 0 0 div
�
= 0 ( v Ω ) , (3)
ρ ρ+ ′wz 0 = c p gwz
− −2
0( )ρ ( v Ω ) , (4)
kraev¥m uslovyem
� �
w n⋅ = 0 ( na S ) (5)
y naçal\n¥my uslovyqmy
� �
w x( , )0 =
� �
w x0( ), ∂
∂
� �
w x
t
( , )0 =
� �
w x1( ). (6)
Zdes\
� � �
w w x t= ( , ) — pole smewenyq çastyc Ωydkosty ot sostoqnyq ravnove-
syq, p p x t= ( , )
�
— otklonenye polq davlenyq ot ravnovesnoho, ρ ρ= ( , )
�
x t —
otklonenye polq plotnosty ot ravnovesnoho,
�
n — vneßnqq normal\ k S,
�
x =
= ( , , )x x z1 2
— toçka v R
3.
V zadaçe (2) – (6) uravnenye (2) qvlqetsq lynearyzovann¥m uravnenyem dvy-
Ωenyq stratyfycyrovannoj Ωydkosty, uslovye (3) — uravnenyem nerazr¥vnos-
ty, uravnenye (4) — uravnenyem sostoqnyq ydeal\noho barotropnoho haza, krae-
voe uslovye (5) v¥raΩaet uslovye neprotekanyq ydeal\noj Ωydkosty çerez
tverdug stenku.
1.2. Metod ortohonal\noho proektyrovanyq. Naçal\no-kraevug zadaçu
(2) – (6) pryvedem k dyfferencyal\nomu uravnenyg v nekotorom hyl\bertovom
prostranstve.
© B. M. VRONSKYJ, 2006
1614 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY 1615
Vvedem v rassmotrenye prostranstvo vektor-funkcyj
→
L 2 0( ; )Ω ρ so skalqr-
n¥m proyzvedenyem
( , )
� �
v u L2
=
ρ0( )z u d
� �
v ⋅∫ Ω
Ω
. (7)
Oboznaçym çerez
→
J0 0( ; )Ω ρ podprostranstvo
→
L2 0( ; )Ω ρ , poluçagweesq zam¥-
kanyem po norme
→
L2 0( ; )Ω ρ mnoΩestva hladkyx funkcyj
→
J0 0( ; )Ω ρ =
� � � �
u C u u n S∈ = ⋅ ={ }1 0 0( ) : ,Ω Ωdiv v na . (8)
Vvedem takΩe podprostranstvo kvazypotencyal\n¥x polej
→
G( ; )Ω ρ0 =
→
∈ = ∇
� �
v vL2 0
0
1( , ) :Ω Φρ
ρ
. (9)
Skalqrn¥e funkcyy Φ Φ= ( , )
�
x t , poroΩdagwye podprostranstvo
→
G( ; )Ω ρ0 , obrazugt prostranstvo, kotoroe budem oboznaçat\ W2
1
0
1( );Ω ρ− . Ska-
lqrnoe proyzvedenye v nem zadaetsq formuloj
( ), ,Φ Ψ Ω1 = ρ0
1− ∇ ⋅∇∫ Φ Ψ Ω
Ω
d , (10)
pryçem na funkcyy Φ Ω∈ −W2
1
0
1( );ρ nalahaetsq normyrugwee uslovye
Φ Ω
Ω
d∫ = 0.
Lemma+1. Prostranstvo
→
L 2 0( ; )Ω ρ dopuskaet ortohonal\noe razloΩenye
→
L2 0( ; )Ω ρ =
→
J0 0( ; )Ω ρ �
→
G( ; )Ω ρ0 . (11)
Dokazatel\stvo pryvedeno v [2].
Yz (11) sleduet, çto lgboj vektor
�
w ∈
→
L2 0( ; )Ω ρ moΩno predstavyt\ v vyde
�
w =
�
u z+ ∇−ρ0
1( ) Φ ,
�
u ∈
→
J0 0( ; )Ω ρ , ρ0
1− ∇( )z Φ ∈
→
G( ; )Ω ρ0 . (12)
V dal\nejßem yskom¥e funkcyy
� �
w x t( , ), ρ0
1− ∇p x t( , )
�
pry lgbom t ≥ 0 budem
sçytat\ πlementamy prostranstva
→
L2 0( ; )Ω ρ . Funkcyg
�
w budem yskat\ v vyde
(12), a ρ0
1− ∇p — sçytat\ πlementom
→
G( ; )Ω ρ0 . Uslovye
� �
w n⋅ = 0 na S pozvo-
lqet zaklgçyt\, çto
∂
∂
Φ
n
= 0 na S.
Ysklgçym yz system¥ uravnenyj (2) – (4) vse funkcyy, krome
� �
w x t( , ) (s po-
mow\g sootnoßenyj (3), (4) v¥razym p y ρ çerez
� �
w x t( , )). Posle πtoho spro-
ektyruem obe çasty uravnenyq (2) na
→
J0 0( ; )Ω ρ y
→
G( ; )Ω ρ0 . V rezul\tate polu-
çym
d u
dt
P N z u k P
N z
z z
k P g z kz
2
2 0 0
2
0
0
2
0
0 0
1
� � � �
+ + ∂
∂
+ − ∇−( ) ( ( ) )( )
( )
( )
( )
ρ
ρΦ Φdiv = 0,
d
dt
z P N z u k
N z
z z
k g z kG z
2
2 0
1
0
2 0
2
0
0
1( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )ρ
ρ
ρ− −∇ + + ∂
∂
− ∇
Φ Φ Φ
� � �
div +
+ ρ ρ ρ ρ0
1
0
2
0 0
1− −∇ + ∂
∂
− ∇
g u g
z
c zz
Φ Φdiv( )( ) = 0,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
1616 B. M. VRONSKYJ
hde P0 y PG — proektor¥ na podprostranstva
→
J0 0( ; )Ω ρ y
→
G( ; )Ω ρ0 sootvet-
stvenno. Vvedem v poslednem uravnenyy funkcyy Ψi , i = 1, 2, 3, takye, çto
ΨiL∈ W2
1
0
1( );Ω ρ−
y
ρ0
1
1
− ∇Ψ = P g z kG( ( ) )( )− ∇−div ρ0
1 Φ
�
, ρ0
1
2
− ∇Ψ =
P
N z
z z
kG
0
2
0
( )
( )ρ
∂
∂
Φ �
,
ρ0
1
3
− ∇Ψ = P N z u kG z( )( )0
2
�
.
Tohda poluçym systemu
d u
dt
P N z u kz
2
2 0 0
2
� �
+ ( )( ) +
+
P
N z
z z
k P g z k0
0
2
0
0 0
1( )
( )
( )( ( ) )
ρ
ρ∂
∂
+ − ∇−Φ Φ
� �
div = 0, (13)
d
dt
g uz
2
2 0
Φ + ρ +
+ g
z
c z
∂
∂
− ∇ + + +−Φ Φ Ψ Ψ Ψ2
0 0
1
1 2 3ρ ρdiv( )( ) = 0. (14)
1.3. Operatornoe uravnenye zadaçy. Dlq perexoda ot system¥ (13), (14) k
dyfferencyal\nomu uravnenyg v hyl\bertovom prostranstve vvedem operator¥
Aij y Bij , i, j = 1, 2, sledugwym obrazom:
A u11
�
= P N z u kG z( )( )0
2
�
, A12Φ =
P
N z
z z
k0
0
2
0
( )
( )ρ
∂
∂
Φ �
,
A u21
�
= Ψ3 , A22Φ = Ψ2 , B u11
�
= 0,
B12Φ = P g z k0 0
1( ( ) )( )− ∇−div ρ Φ
�
, B u21
�
= g uzρ0 ,
B22Φ = g
z
∂
∂
+Φ Ψ1, B0Φ = – c z2
0 0
1ρ ρdiv( )( )− ∇Φ .
Teper\ systemu (13), (14) moΩno zapysat\ v vyde
d U
dt
AU BU
2
2 + + = 0, U( )0 = U0
, ′U ( )0 = U1
,
(15)
U : = ( ),
�
u TΦ ∈ H : =
→
J0 0( ; )Ω ρ � W2
1
0
1( );Ω ρ− ,
U0 = ( ),
�
u T0 0Φ , U
1 = ( ),
�
u T1 1Φ .
Skalqrnoe proyzvedenye v prostranstve H zadaetsq po formule
( ),U U H1 2 = ( ) ( ), , ,
� �
u u L1 2 1 2 12
+ Φ Φ Ω = ( )( ) ( )ρ ρ0 1 2 0
1
1 2z u u z d
� �⋅ + ∇ ⋅∇−∫ Φ Φ Ω
Ω
.
Operator¥ A y B yz (15) ymegt vyd
A =
A A
A A
11 12
21 22
, B =
0 12
21 22 0
B
B B B+
.
Kak budet pokazano nyΩe, operator A ohranyçen y, sledovatel\no, moΩet
b¥t\ rasßyren na vse prostranstvo. Oblast\g Ωe opredelenyq operatora B
qvlqetsq ortohonal\naq summa D B D B( ) ( )21 0� , hde
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY 1617
D B( )21 = {
�
u ∈
→
J0 0( ; )Ω ρ : u Wz ∈ 2
1( )}Ω , D B( )0 = W W2
1
0
1
2
3( ); ( )Ω Ωρ− ∩ .
1.4. Svojstva operatorov.
Lemma+2. Operator A : H → H qvlqetsq ohranyçenn¥m y neotryca-
tel\n¥m, pryçem A N z N
z
= =max ( ) :0
2
0
2
.
Dokazatel\stvo sostoyt v postroenyy bylynejnoj form¥ ( ),AU U H1 2 ,
hde U1 , U2 — proyzvol\n¥e πlement¥ yz H, y prymenenyy opredelenyj opera-
torov Aij , i, j = 1, 2, vektorov Ui y sootvetstvugwyx skalqrn¥x proyzvede-
nyj. V rezul\tate moΩno poluçyt\ v¥raΩenye
( , )AU U H =
ρ ρ0 0
2
0
1
2
( ) ( ) ( )z N z u z
z
dz
�
+ ∂
∂
−∫ Φ Ω
Ω
≥ 0,
ysxodq yz kotoroho lehko pokazat\, çto A N≤ 0
2 . Vospol\zovavßys\ ravenst-
vom σ ( )A11 = [ ],0 0
2N [5], poluçym A N= 0
2 .
Lemma+3. Operator B 0 qvlqetsq neohranyçenn¥m, samosoprqΩenn¥m y
poloΩytel\no opredelenn¥m v prostranstve W2
1
0
1( );Ω ρ− , D B( )0 = {Φ ∈
∈ W2
3( ):Ω
∂
∂
=
Φ
n
S0 ( )na .
Dokazatel\stvo. Sostavym bylynejnug formu ( ), ,B0 1 2 1Φ Φ Ω , hde Φ1 , Φ2L∈
∈ D ( B0 ) . Ymeem
( ), ,B0 1 2 1Φ Φ Ω = ρ ρ ρ0
1 2
0 0
1
1 2
− −∇ − ∇ ⋅∇∫ ( ) ( ) ( )( ( ))z c z z ddiv Φ Φ Ω
Ω
=
= c z z z d2
0 0
1
1 0
1
2− ∇ ⋅ ∇( )
− −∫ div divρ ρ ρ( ) ( ) ( )( )Φ Φ Ω
Ω
+
+ ρ ρ ρ0 0
1
1 0
1
2( ) ( ) ( )( ) ( )z z z ddiv div− −∇ ∇
∫ Φ Φ Ω
Ω
=
= c z z z d2
0 0
1
1 0
1
2ρ ρ ρ( ) ( ) ( )( ) ( )div div− −∇ ∇∫ Φ Φ Ω
Ω
–
– c z
n
dS
S
2
0
1
1
2div( )( )ρ− ∇ ∂
∂
∫ Φ Φ
=
= c z z z d2
0 0
1
1 0
1
2ρ ρ ρ( ) ( ) ( )( ) ( )div div− −∇ ∇∫ Φ Φ Ω
Ω
= … = ( ), ,Φ Φ Ω1 0 2 1B .
V v¥raΩenyy dlq ( ), ,B0 1 2 1Φ Φ Ω poloΩym Φ1 = Φ2 = ΦL∈ D B( )0 . V rezul\ta-
te poluçym
( ), ,B0 1Φ Φ Ω = c z z d2
0 0
1 2
ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω
Ω
.
Netrudno ubedyt\sq v tom, çto operator B0 qvlqetsq πllyptyçeskym. Dlq
takyx operatorov v¥polnqetsq neravenstvo [6, c. 539]
c
W1
2
2
2Φ
Ω( )
≤ B L0
2
2 0
Φ Ω( ; )ρ ≤ c
W2
2
2
2Φ
Ω( )
, c1 , c2 > 0. (16)
V¥raΩenye dlq B L0
2
2 0
Φ Ω( ; )ρ ymeet vyd
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
1618 B. M. VRONSKYJ
B L0
2
2 0
Φ Ω( ; )ρ = c z z d4
0
3
0
1 2
ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω
Ω
.
Sravnyvaq v¥raΩenyq dlq ( ), ,B0 1Φ Φ Ω y B L0
2
2 0
Φ Ω( ; )ρ , a takΩe yspol\zuq
pryvedennoe neravenstvo, pryxodym k v¥vodu, çto norma v πnerhetyçeskom
prostranstve operatora B0 πkvyvalentna odnoj yz norm prostranstva W2
2( )Ω .
Otsgda y yz teorem vloΩenyq S.LL. Soboleva sleduet, çto, vo-perv¥x,
( ), ,B0 1Φ Φ Ω = Φ B0
2 ≥ γ2
1
2Φ Ω, , t. e. operator B0 poloΩytel\no opredelen,
y, vo-vtor¥x, lgboe mnoΩestvo, ohranyçennoe v norme πnerhetyçeskoho prost-
ranstva operatora B0 , kompaktno v norme prostranstva W2
1
0
1( );Ω ρ− .
Zameçanye. V processe dokazatel\stva lemm¥L3 m¥ prymenyly formulu
Hryna v vyde
div( )
�
aF dΩ
Ω
∫ =
div div( )F a a F d
� �
+ ⋅∇∫ Ω
Ω
= Fa dSn
S
∫
dlq vektornoj
�
a = ∇−ρ0
1
1Φ y skalqrnoj F = ∇−div( )ρ0
1
2Φ funkcyj y uslo-
vye
∂
∂
=Φ
n
0 na S.
Opredelenye+1. � p — klass vpolne neprer¥vn¥x operatorov, s-çysla ko-
tor¥x summyruem¥ so stepen\g p.
Lemma+4. Operator B0
1−
prynadleΩyt klassu � p pry p > 3 2/ .
Dokazatel\stvo. Kompaktnost\ sleduet yz pred¥duwej lemm¥. Krome
toho, yzvestno (sm. [7]), çto sobstvenn¥e znaçenyq operatora B0
1−
ymegt asymp-
totyçeskoe povedenye:
λn B( )0
1− = c n o
B0
1
2 3 1 1−
− +/ ( ( )) pry n → ∞ , (17)
t. e. operator B0
1−
prynadleΩyt klassu � p pry p > 3 2/ .
Lemma+5. Operator D A B:= + neotrycatelen.
Dokazatel\stvo sleduet yz vyda kvadratyçnoj form¥ ( , )DU U :
( , )DU U =
ρ ρ0 0
2
0
1
2
( ) ( ) ( )z N z u z
z
dz
�
+ ∂
∂
−∫ Φ Ω
Ω
–
– 2 0 0 0
1g z u z
z
z dzρ ρ ρ( ) ( ) ( )( )+ ∂
∂
∇−∫ Φ Φ Ω
Ω
div +
+ c z z d2
0 0
1 2
ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω
Ω
=
= ρ ρ ρ ρ0
2
0
2
0 0
1
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ ( )z N z u z
z
g c u z
z
c z dz z+ ∂
∂
+ + ∂
∂
− ∇
−∫ Φ Φ Φ Ω
Ω
div ,
v¥raΩenye dlq kotoroj poluçaetsq sposobom, analohyçn¥m yspol\zovannomu
pry sostavlenyy formul dlq ( , )AU U y ( , )B0Φ Φ . Yz poluçennoho v¥raΩenyq
sleduet, çto ( , )DU U ≥ 0 ∀ ∈U H , a πto oznaçaet, çto operator D ≥ 0 .
2. Sobstvenn¥e kolebanyq. Perejdem k yssledovanyg sobstvenn¥x kole-
banyj system¥, t. e. k yzuçenyg svojstv reßenyj zadaçy (15), zavysqwyx ot vre-
meny po zakonu exp( )i tω . V rezul\tate poluçym spektral\nug zadaçu
λU AU BU= + , λ ω= 2 . (18)
Poluçenn¥j operator D A B= + qvlqetsq, stroho hovorq, nezamknut¥m.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY 1619
NyΩe m¥ pryvedem yssleduemug zadaçu k zadaçe dlq zamknutoho operatora,
kotor¥j qvlqetsq samosoprqΩenn¥m rasßyrenyem dlq operatora D.
Dlq πtoho vmesto zadaçy (18) rassmotrym „smewennug” spektral\nug zadaçu
vyda
( ) ( )λ + = +a U D aI U , λ µ+ =a : , D D aIa := + . (19)
Zdes\ a — proyzvol\naq poloΩytel\naq konstanta.
Operator Da qvlqetsq poloΩytel\no opredelenn¥m y dopuskaet rasßyre-
nye do samosoprqΩennoho po Frydryxsu. UkaΩem konstrukcyg πtoho rasßyre-
nyq. Lehko vydet\, çto ymeet mesto faktoryzacyq
Da =
A aI A B
A B A B B aI
11 12 12
21 21 22 22 0
+ +
+ + + +
=
I
B
A aI Q
Q I G
I
Ba
t
a
0
0
0
01 2
11
1 2/ /
+
+
,
(20)
hde
Q A B Ba= + −( ) /
12 12
1 2 , Q B A Bt
a= +−1 2
21 21
/ ( ) ,
G B A B Ba a= +− −1 2
22 22
1 2/ /( ) , B aI Ba = + 0.
Sledugwee utverΩdenye v¥tekaet neposredstvenno yz svojstv vvedenn¥x
v¥ße operatorov.
Lemma+6. 1. Q Qt
D B= ∗
( )21
.
2. Operator G qvlqetsq neotrycatel\n¥m, symmetryçn¥m y, sledova-
tel\no, dopuskagwym rasßyrenye do samosoprqΩennoho Ĝ .
3. Operator Ba ymeet te Ωe svojstva, çto y operator B0 .
Yz predstavlenyq (20) sleduet, çto samosoprqΩennoe rasßyrenye operatora
Da ymeet vyd
ˆ
ˆ/ /D
I
B
A aI Q
Q I G
I
B
a
a a
=
+
+
∗
0
0
0
01 2
11
1 2 . (21)
Oblast\ opredelenyq πtoho operatora sostoyt yz vektorov ( , )
�
u TΦ takyx, çto
Φ ∈D Ba( )/1 2 , Q u I G B D Ba a
∗ + + ∈
�
( ˆ ) / /( )1 2 1 2Φ .
V dal\nejßem vmesto zadaçy (19) budem rassmatryvat\ spektral\nug zadaçu
dlq operatora D̂a :
I
B
A aI Q
Q I G
I
B
u
a a
0
0
0
01 2
11
1 2/ /ˆ
+
+
∗
�
Φ
= µ
�
u
Φ
. (22)
Zametym, çto operator Da (v otlyçye ot D ) qvlqetsq zamknut¥m. ∏to sle-
duet yz ohranyçennoj obratymosty sostavlqgwyx eho mnoΩytelej.
Yz fyzyçeskyx soobraΩenyj sleduet oΩydat\, çto spektr zadaçy sostoyt yz
dvux çastej. Odna yz nyx (dyskretnaq çast\) obuslovlena sΩymaemost\g Ωyd-
kosty y zanymaet promeΩutok [ ],N0
2 +∞ , druhaq (neprer¥vnaq) poroΩdena
stratyfykacyej y raspoloΩena na otrezke [ ],0 0
2N .
2.1. Akustyçeskye kolebanyq. B udem sçytat\, çto λ > N0
2 . Uravnenye
(22) zapyßem pokomponentno
( ) /aI A u QB ua+ + =11
1 2� �
Φ µ ,
(23)
B Q u I G Ba a
1 2 1 2/ /( )( ˆ )∗ + + =
�
Φ Φµ .
Ot πtyx ravenstv s pomow\g zamen¥ Φ = −Ba
1 2/ ζ perejdem k systeme uravnenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
1620 B. M. VRONSKYJ
( )aI A u Q u+ + =11
� �
ζ µ ,
(24)
Q u I G Ba
∗ −+ + =
�
( ˆ )ζ µ ζ1 .
Poskol\ku λ > N0
2 , dlq „smewennoho” spektral\noho parametra µ v¥polneno
uslovye
µ > N a0
2 + : = Na
2 .
Pry v¥polnenyy πtoho uslovyq operator-funkcyq ( )µI Aa− 11 , A aI Aa
11 11:= +
ohranyçenno obratyma. Poπtomu yz system¥ (24) moΩno ysklgçyt\ funkcyg
�
u s pomow\g sootnoßenyq
�
u I A Qa= − −( )µ ζ11
1 . V rezul\tate poluçym zadaçu
na sobstvenn¥e znaçenyq:
L ( µ ) ζ : = ( ˆ ( ))I G B Fa+ − +−µ µ ζ1 = 0, (25)
hde F Q I A Qa( ) : ( )µ µ= −∗ −
11
1
— analytyçeskaq operator-funkcyq.
Lemma+7. Operator-funkcyq F ( µ ) yz (25) pry µ > Na
2
prynymaet zna-
çenyq na mnoΩestve ohranyçenn¥x y samosoprqΩenn¥x operatorov.
Dokazat\ nuΩno tol\ko ohranyçennost\. Dlq πtoho pokaΩem, çto operator¥
Q D Ba= −
12
1 2/
y Q B Da
∗ −= 1 2
21
/
ohranyçen¥. Poskol\ku ony vzaymno soprq-
Ωen¥, dostatoçno dokazat\ ohranyçennost\ Q. Ymeem Q A Ba= −
12
1 2/ +
+ B Ba12
1 2− / . Pervoe slahaemoe ohranyçeno (y daΩe kompaktno) v sylu svojstv
operatorov A y Ba
−1 2/
. PokaΩem, çto B Ba12
1 2− /
takΩe ohranyçen. Dlq πtoho
v¥çyslym B Ba12
1 2 2− / ζ :
B Ba12
1 2 2− / ζ = ( )/ /,B B B Ba a12
1 2
12
1 2− −ζ ζ = ( ),B B12 12Φ Φ =
= g z z d2
0 0
1 2
ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω
Ω
,
ζ 2 = ( ),BaΦ Φ = c z z d2
0 0
1 2
ρ ρ( ) ( )( )div − ∇∫ Φ Ω
Ω
.
Otsgda sleduet
B Ba12
1 2 2− / =
g
c
2
2 .
Sledovatel\no, operator¥ Q y Q∗
ohranyçen¥ y dlq yx norm spravedlyv¥
ocenky
Q = Q∗ ≤ λ1
1 2 1 2/ ( )B N
g
ca a
− + ,
hde λ1
1( )Ba
−
— pervoe sobstvennoe znaçenye operatora Ba
−1. Takym obrazom, oh-
ranyçennost\ operator-funkcyy F( )µ dokazana.
Lemma+8. Operator Ĝ qvlqetsq samosoprqΩenn¥m y kompaktn¥m.
Dokazatel\stvo. SamosoprqΩennost\ sleduet yz struktur¥ operatora Ĝ
y svojstv vxodqwyx v neho operatorov. PokaΩem eho polnug neprer¥vnost\.
Dlq πtoho predstavym Ĝ v vyde summ¥ ˆ ˆ ˆG G GA B= + , hde ˆ : / /G B A BA a a= − −1 2
22
1 2,
ˆ : / /G B B BB a a= − −1 2
22
1 2 . Operator ĜA neotrycatelen y prynadleΩyt prostran-
stvu � p pry p > 3 2/ . Yzuçym svojstva operatora ĜB . Dlq πtoho sostavym
v¥raΩenye dlq ( )ˆ ,GBζ ζ :
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY 1621
( )ˆ ,GBζ ζ = – 2 0
1g z
z
ddiv( )( )ρ− ∇ ∂
∂
∫ Φ Φ Ω
Ω
.
Yspol\zovav neravenstvo Koßy – Bunqkovskoho, poluçym
( )ˆ ,GBζ ζ ≤ 2 1g Baζ ζ ζ( ),− .
V¥berem posledovatel\nost\ { }ζn n=
∞
1 takug, çto ζn → 0 (slabo) pry n → ∞ .
Dlq nee suwestvuet c > 0 takoe, çto dlq vsex n ∈ N
ζn = c z z dn
2
0 0
1 2
1 2
ρ ρ( ) ( )( )
/
div − ∇
∫ Φ Ω
Ω
< c
y v sylu polnoj neprer¥vnosty operatora Ba
−1
v¥polneno uslovye
( ),Ba n n
−1ζ ζ =
Ω
Φ Ω∫ − ∇ρ0
1 2( ) )z dn → 0 pry n → ∞ .
Teper\ v sylu ocenky dlq ( )ˆ ,GBζ ζ poluçym, çto ( )ˆ ,GBζ ζ → 0 pry n → ∞
dlq lgboj slabosxodqwejsq k nulg posledovatel\nosty { }ζn n=
∞
1, otkuda sle-
duet, çto ĜB prynadleΩyt �∞ . Krome toho, dokazano neravenstvo
ĜB ≤ 2
2 1
1 2 1g
c
Baλ / ( )− .
2.2. Faktoryzacyq operatornoho puçka. Dlq yssledovanyq operator-
funkcyy L ( µ ) yz (25) vospol\zuemsq teoremoj o faktoryzacyy yz [8, c. 178].
Pered tem kak prymenyt\ πtu teoremu, v¥polnym v (25) zamenu µ ν= 1/ spekt-
ral\noho parametra. V rezul\tate poluçym operatorn¥j puçok
M( )ν : = ν ν ν ν νI B G G Fa A B− + + +− −1 2
1
1ˆ ˆ ( ), ν∈ −[ ],0 2Na , (26)
F1
1( )ν− : = Q I A Qa∗ −−( )ν 11
1 .
Yspol\zovav ocenky dlq norm operatorov Q, Q∗, ĜB , ĜA , vxodqwyx v πtot
puçok, y obwug teoremu o faktoryzacyy yz [8, c. 178], prydem k sledugwemu
utverΩdenyg.
Teorema+1 (dostatoçnoe uslovye faktoryzacyy). Pry v¥polnenyy uslovyq
λ1( )Ba > max ,N
g
c
g
c
g
c
a
2
2
4 2
2
2
44+ −
(27)
operator-funkcyq M( )ν dopuskaet faktoryzacyg vyda M( )ν = M+( )ν ×
× ( )νI Z− , hde M+( )ν holomorfna y holomorfno obratyma v nekotoroj ok-
restnosty otrezka [ ( ) ],− + −ε ε1
2
2
1Na , a operator Z podoben samosoprqΩen-
nomu y takoj, çto σ( )Z ⊂ [ ( ) ],− + −ε ε1
2
2
1Na pry nekotorom v¥bore çysel ε1
y ε2 .
S pomow\g metoda neopredelenn¥x koπffycyentov lehko proveryt\, çto
Z M B I T Ba a= = +− − −
0
1 1 1( ) , hde T ∈ ∞� , t. e. Z — slabovozmuwenn¥j kompakt-
n¥j operator, pryçem Ker Z = { }0 .
2.3. O polnote system¥ mod akustyçeskyx voln.
Teorema+2. Esly v¥polneno uslovye faktoryzacyy (27), to zadaça (25) pry
λ > N0
2
ymeet dyskretn¥j spektr { }λk k=
∞
1, λ µ νk k ka Z a= − = −−( ) ( ( ) )1 , so-
stoqwyj yz koneçnokratn¥x sobstvenn¥x znaçenyj s edynstvennoj predel\noj
toçkoj λ = + ∞ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
1622 B. M. VRONSKYJ
Sootvetstvugwye ym sobstvenn¥e vektor¥ { }ζk k=
∞
1 obrazugt polnug y
mynymal\nug systemu v prostranstve W2
1
0
1( );Ω ρ− .
Dokazatel\stvo. Poskol\ku operator-funkcyq M+( )ν obratyma, pry v¥-
polnenyy uslovyq faktoryzacyy zadaça (25) πkvyvalentna zadaçe na sobstven-
n¥e znaçenyq dlq slabovozmuwennoho vpolne neprer¥vnoho operatora Z. Os-
talos\ prymenyt\ teoremu M.LV.LKeld¥ßa o slabovozmuwennom operatore
(sm.L[9]) y sootnoßenyq meΩdu spektral\n¥my parametramy λ, µ y ν.
Teorema+3. Esly v¥polneno uslovye faktoryzacyy (27), to reßenyqm zada-
çy (24) { }λk k=
∞
1 y { }ζk k=
∞
1 pry λ > N0
2
sootvetstvugt mod¥ kolebanyj Uk =
= ( , )
�
uk k
TΦ , k = 1, 2, … , ymegwye xarakter akustyçeskyx voln. A ymenno:
pry normyrovke
�
uk L k2
2
1
2+ Φ Ω, = 1, k = 1, 2, … ,
ymegt mesto asymptotyçeskye formul¥
�
uk L2
→ 0, B k
k
k0
1
1
1− −Φ Φ
Ωλ ,
→ 0, k → ∞ . (28)
Dokazatel\stvo. Zapyßem systemu (24), poloΩyv Φ Φ= k y λ λ= k , k =
= 1, 2, … ( πlement¥ Φk y çysla λk postroen¥ po sobstvenn¥m vektoram y
sobstvenn¥m znaçenyqm zadaçy (25)), y v¥polnyv zamenu Φk kB= −
0
1 2/ ζ . Posle
nekotor¥x preobrazovanyj poluçym
�
uk = λ λk k kI A Q− − −−1 1
11
1( ) Φ ,
λ ζ ζk k kB0
1− − = Q u Sk k
∗ +
�
ζ ,
posle çeho perejdem k predelu pry k → ∞ . Yz pervoho yz sootnoßenyj ymeem
�
uk L2
0→ , a yz vtoroho — B k k k0
1 1
1
0− −− →ζ λ ζ
,Ω
. Perexodq ot ζ k k Φ k ,
poluçaem utverΩdenye teorem¥.
2.4. Symmetryzator spektral\noj zadaçy. Vvedem v rassmotrenye ope-
rator F po formule
F = 1
2
1
π
ν ν
ν
i
M d
t
−
=
∫ ( ) , λ1
1( )Ba
− < t < Na
−2 , (29)
hde operator-funkcyq M ( ν ) opredelena v (26). V rabote [8] dlq operator-
funkcyj takoho vyda dokazano sledugwee utverΩdenye.
Lemma+9. Operator F qvlqetsq samosoprqΩenn¥m, ohranyçenn¥m y sym-
metryzugwym sprava operator Z, t. e. ( )ZF ZF∗ = .
Krome toho, rassuΩdenyq, analohyçn¥e pryvedenn¥m v [8], pozvolqgt doka-
zat\ sledugwee utverΩdenye.
Lemma+10. Operator F qvlqetsq poloΩytel\no opredelenn¥m y ymeet
strukturu F I F= + 1, hde F p1 ∈� (pry p > 3).
2.5. Bazysnost\ system¥ mod akustyçeskyx voln. Predvarytel\no
pryvedem sledugwee opredelenye.
Opredelenye+2. Systema vektorov { }yk k=
∞
1 naz¥vaetsq p -bazysom hyl\-
bertova prostranstva H, esly vxodqwye v nee vektor¥ yk ymegt vyd
y I K xk k= +( ) , hde K — vpolne neprer¥vn¥j operator yz klassa � p pry ne-
kotorom p > 0, pryçem operator ( )I K+ ohranyçenno obratym, a vektor¥
{ }xk k=
∞
1 obrazugt ortonormyrovann¥j bazys prostranstva H .
Nalyçye symmetryzatora F (y eho struktura, opysannaq v¥ße) operatora Z
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
O MALÁX KOLEBANYQX SÛYMAEMOJ STRATYFYCYROVANNOJ ÛYDKOSTY 1623
pozvolqet, pry v¥polnenyy uslovyq (27), dokazat\ sledugwee utverΩdenye.
Teorema+4. Pry v¥polnenyy uslovyq (27) systema sobstvenn¥x vektorov
zadaçy (25) obrazuet p-bazys (pry p > 3) prostranstva W2
1
0
1( );Ω ρ− .
Dokazatel\stvo sleduet yz πkvyvalentnosty, pry v¥polnenyy uslovyj
πtoj teorem¥, zadaçy (25) zadaçe na sobstvenn¥e znaçenyq dlq slabovozmuwen-
noho vpolne neprer¥vnoho operatora Z. Nalyçye Ωe symmetryzatora dlq Z
pozvolqet pryvesty πtu zadaçu k zadaçe na sobstvenn¥e znaçenyq dlq samoso-
prqΩennoho vpolne neprer¥vnoho operatora.
2.6. Voln¥, poroΩdenn¥e stratyfykacyej. Budem sçytat\, çto µ L∈
∈ [ ],a Na
2 . Vernemsq k yssleduemoj systeme (24).
Na otrezke [ ],a Na
2
operator b ( µ ) : = I G Ba+ − −ˆ µ 1
obratym vsgdu, za ys-
klgçenyem koneçnoho çysla toçek. ∏to sleduet yz toho, çto po teoreme
M.LV.LKeld¥ßa (sm. [8]) operator-funkcyq b ( µ ) obratyma vsgdu, za ysklgçe-
nyem ne bolee çem sçetnoho mnoΩestva yzolyrovann¥x toçek s predel\noj toç-
koj µ = ∞ . Na otrezke [ ],a Na
2
πtyx toçek ne bolee koneçnoho çysla, t. e. ut-
verΩdenye ob obratymosty operatora b ( µ ) dokazano.
V tex Ωe toçkax, hde operator b ( µ ) obratym, ymeem spektral\nug zadaçu
λ
�
u = ( ( ))A QQ B u11 − +∗ λ
�
, (30)
hde operator-funkcyq B ( µ ) prynymaet znaçenyq na mnoΩestve samosoprqΩen-
n¥x vpolne neprer¥vn¥x operatorov.
Dalee nam snova ponadobytsq rezul\tat rabot¥ [5] o predel\nom spektre
operatora A11 y svqz\ meΩdu spektral\n¥my parametramy λ y µ . Opyraqs\
na nyx y na teorem¥ o kompaktnom y ohranyçennom vozmuwenyqx, moΩno doka-
zat\ sledugwug teoremu.
Teorema+5. Predel\n¥j spektr zadaçy (18) leΩyt na otrezke
[ / ], ( )0 0
2 2N g c+ .
Takym obrazom, provedenn¥e v dannoj stat\e yssledovanyq pokaz¥vagt, çto
v sΩymaemoj stratyfycyrovannoj Ωydkosty suwestvugt vnutrennye voln¥
dvux typov. Perv¥e voln¥ poroΩden¥ sΩymaemost\g (sm. teoremu 2), a vtor¥e
— stratyfykacyej (sm. teoremu 5).
Avtor v¥raΩaet blahodarnost\ professoru N.LD.LKopaçevskomu za vnymanye
k rabote y cenn¥e obsuΩdenyq.
1. Brexovskyx L. M., Honçarov V. V. Vvedenye v mexanyku sploßn¥x sred. – M.: Nauka, 1982. –
335 s.
2. Kopaçevskyj N. D., Temnov A. N. Kolebanyq stratyfycyrovannoj Ωydkosty v bassejne
proyzvol\noj form¥ // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1986. – 26, # 5. –
S.L734 – 753.
3. Kopaçevskyj N. D., Temnov A. N. Kolebanyq stratyfycyrovannoj Ωydkosty v cylyndry-
çeskom bassejne pry postoqnnoj çastote plavuçesty // Vopros¥ volnov¥x dvyΩenyj Ωyd-
kosty (sb. nauçn. tr.). – Krasnodar: Kuban. un-t, 1987. – S.L48 – 71.
4. Kopaçevskyj N. D., Temnov A. N. Kolebanyq stratyfycyrovannoj Ωydkosty v cylyndry-
çeskom bassejne pry proyzvol\noj çastote plavuçesty // Dyfferenc. uravnenyq. – 1988. –
24, # 10. – S. 1784 – 1796.
5. Kopaçevskyj N. D., Car\kov M. G. K voprosu o spektre operatora plavuçesty // Ûurn. v¥-
çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1987. – # 3. – S. 548 – 551.
6. Berezanskyj G. M., Us H. F., Íeftel\ Z. H. Funkcyonal\n¥j analyz. – Kyev: Vywa ßk.,
1990. – 600 s.
7. Suslyna T. A. Asymptotyka spektra nekotor¥x zadaç, svqzann¥x s kolebanyqmy Ωydkos-
tej. – L., 1985. – 79Ls. – Dep. v VYNYTY, #L8058-V.
8. Markus A. S. Vvedenye v spektral\nug teoryg polynomyal\n¥x operatorn¥x puçkov. –
Kyßynev: Ítyynca, 1986. – 260 s.
9. Keld¥ß M. V. O polnote sobstvenn¥x funkcyj nekotor¥x klassov nesamosoprqΩenn¥x
lynejn¥x operatorov // Uspexy mat. nauk. – 1971. – 24, v¥p.L4 (160). – S. 15 – 41.
Poluçeno 18.11.2005,
posle dorabotky — 13.06.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 12
|
| id | umjimathkievua-article-3559 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:44:50Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a3/64fbc988421cccc56ec0877b979280a3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-35592020-03-18T19:57:46Z On small oscillations of a compressible stratified liquid О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости Vronskii, B. M. Вронский, Б. М. Вронский, Б. М. We study the structure of the spectrum and the completeness and basis property of a system of eigenvectors. Вивчено характер спектра, повноту i базисність системи власних вeктopів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3559 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 12 (2006); 1614–1623 Український математичний журнал; Том 58 № 12 (2006); 1614–1623 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3559/3852 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3559/3853 Copyright (c) 2006 Vronskii B. M. |
| spellingShingle | Vronskii, B. M. Вронский, Б. М. Вронский, Б. М. On small oscillations of a compressible stratified liquid |
| title | On small oscillations of a compressible stratified liquid |
| title_alt | О малых колебаниях сжимаемой стратифицированной жидкости |
| title_full | On small oscillations of a compressible stratified liquid |
| title_fullStr | On small oscillations of a compressible stratified liquid |
| title_full_unstemmed | On small oscillations of a compressible stratified liquid |
| title_short | On small oscillations of a compressible stratified liquid |
| title_sort | on small oscillations of a compressible stratified liquid |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3559 |
| work_keys_str_mv | AT vronskiibm onsmalloscillationsofacompressiblestratifiedliquid AT vronskijbm onsmalloscillationsofacompressiblestratifiedliquid AT vronskijbm onsmalloscillationsofacompressiblestratifiedliquid AT vronskiibm omalyhkolebaniâhsžimaemojstratificirovannojžidkosti AT vronskijbm omalyhkolebaniâhsžimaemojstratificirovannojžidkosti AT vronskijbm omalyhkolebaniâhsžimaemojstratificirovannojžidkosti |