Problems for partial differential equations with nonlocal conditions. Metric approach to the problem of small denominators

A survey of works of the authors and their disciples devoted to the investigation of problems with nonlocal conditions with respect to a selected variable in cylindrical domains is presented. These problems are considered for linear equations and systems of partial differential equations that, in ge...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2006
Main Authors:	Il'kiv, V. S., Ptashnik, B. I., Ільків, В. С., Пташник, Б. Й.
Format:	Article
Language:	Ukrainian English
Published:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006
Online Access:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3560
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Download file:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509673942155264
author	Il'kiv, V. S. Ptashnik, B. I. Ільків, В. С. Пташник, Б. Й.
author_facet	Il'kiv, V. S. Ptashnik, B. I. Ільків, В. С. Пташник, Б. Й.
author_sort	Il'kiv, V. S.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:57:46Z
description	A survey of works of the authors and their disciples devoted to the investigation of problems with nonlocal conditions with respect to a selected variable in cylindrical domains is presented. These problems are considered for linear equations and systems of partial differential equations that, in general, are ill posed in the Hadamard sense and whose solvability in certain scales of functional spaces is established for almost all (with respect to Lebesgue measure) vectors composed of the coefficients of the problem and the parameters of the domain.
first_indexed	2026-03-24T02:44:51Z
format	Article
fulltext	УДК 517.95 В. С. Iлькiв (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”), Б. Й. Пташник (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв) ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ. МЕТРИЧНИЙ ПIДХIД ДО ПРОБЛЕМИ МАЛИХ ЗНАМЕННИКIВ∗ A review of works of the authors and their students concerning the investigation of problems with nonlocal conditions with respect to a chosen variable is presented. These problems are considered in tube domains and formulated for linear equations and for systems of partial equations that, in general, are incorrect according to Hadamard and whose solvability in certain scales of functional spaces are established for almost all vectors (with respect to the Lebesgue measure) composed of coefficients of the problem and parameters of the domain. Наведено огляд робiт авторiв статтi та їхнiх учнiв, що стосуються дослiдження в цилiндричних областях задач з нелокальними умовами за видiленою змiнною для лiнiйних рiвнянь та систем рiвнянь iз частинними похiдними, якi, взагалi, є некоректними за Адамаром, а їх розв’язнiсть у певних шкалах функцiональних просторiв встановлено для майже всiх (щодо мiри Лебега) векторiв, складених iз коефiцiєнтiв задачi та параметрiв областi. 1. Вступ. Серед некласичних крайових задач для рiвнянь iз частинними похiдни- ми та диференцiально-операторних рiвнянь важливе мiсце займають задачi з нело- кальними умовами, зокрема такими, що пов’язують значення шуканих розв’язкiв та їх похiдних у двох або бiльше граничних чи внутрiшнiх точках розглядуваної областi; найпростiшими серед цих умов є умови перiодичностi. Загальне означен- ня нелокальних умов та їх класифiкацiя були введенi, зокрема, А. М. Нахушевим [1]. Прикладами нелокальних задач є задачi з iнтегральними умовами, а також задачi, якi виникають у теорiї плазми (А. В. Бiцадзе i О. А. Самарський [2]) для елiптичних i параболiчних рiвнянь другого порядку з умовами u(Sx) = u(x) та u(Sx, t) = u(x, t) вiдповiдно, де S — неперервно диференцiйовне вiдображення частини σ межi областi у деяку гладку поверхню Sσ всерединi областi, та задачi з умовами z(ω) = ρz(0), z′(ω) = ρz′(0), де ρ ∈ C, що виникають у теорiї перi- одичних хвилеводiв i коливних систем. Нелокальнi умови використовують також при дослiдженнi зворотних задач для рiвняння теплопровiдностi (П. Н. Вабiщевич [3]), мiшаних задач для гiперболiчних рiвнянь (С. П. Лавренюк, I. Я. Кмiть [4, 5]), обернених задач для параболiчних рiвнянь (М. I. Iванчов [6]). О. О. Дезiн [7] уперше показав, що для опису всiх розв’язних розширень ди- ференцiальних операторiв, породжених загальною диференцiальною операцiєю зi сталими коефiцiєнтами, необхiдно використовувати поряд з локальними i нело- кальнi умови. Задачi з нелокальними умовами за видiленою змiнною для диференцiальних та диференцiально-операторних рiвнянь вивчали В. М. Борок, I. Л. Вiленць, П. I. Ка- ленюк, А. А. Макаров, М. I. Матiйчук, З. М. Нитребич, I. Д. Пукальський, Г. Б. Сав- ченко, В. К. Романко, Л. В. Фардiгола, В. I. Чесалiн, М. Юнусов, М. Й. Юрчук. У роботах цих авторiв видiлено випадки коректно поставлених задач шляхом на- ∗ Частково пiдтримано Фондом фундаментальних дослiджень України (проект № Ф10/21- 2005). c© В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК, 2006 1624 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1625 кладання додаткових обмежень, що забезпечують вiдокремленiсть вiд нуля спектра задачi. Однак нелокальнi задачi для рiвнянь iз частинними похiдними, взагалi, є неко- ректними, а їх розв’язнiсть (у випадку обмеженої областi) пов’язана з проблемами малих знаменникiв i є нестiйкою стосовно малих змiн коефiцiєнтiв задачi та пара- метрiв областi. З проблемою малих знаменникiв ученi вперше зустрiлися в небеснiй механiцi ще у 18 столiттi при математичному дослiдженнi диференцiальних рiвнянь, що описують рух планетних i супутникових систем у ньютонiвських гравiтацiйних полях [8]. Математично ефект малих знаменникiв проявляється в тому, що у розв’язки рiв- нянь руху, зображених рядами Фур’є, входить нескiнченне число членiв iз коефiцi- єнтами, знаменники яких як завгодно близькi до нуля, що обумовлює розбiжнiсть цих рядiв; з динамiчної точки зору це означає, що в рухах планет з’являються резонанснi ефекти. Дослiдження А. Пуанкаре з якiсної теорiї диференцiальних рiвнянь показали, що проблема малих знаменникiв виникає також у таких задачах: про траєкторiї на торi, про вiдображення кола на себе, про стiйкiсть особливої точки типу центр. Питання подолання негативного впливу малих знаменникiв, про збiжнiсть ря- дiв, пов’язаних iз розв’язанням вказаних вище задач, мало принциповий теоретич- ний характер i довгий час залишалося не розв’язаним. Першi результати щодо розв’язання проблеми малих знаменникiв на основi метричного пiдходу були отриманi Д. Боржином i Р. Даффiном [9] при дослiдженнi задачi Дiрiхле для рiвняння коливання струни та К. Л. Зiгелем [10] для задачi про стiйкiсть особливої точки типу центр. У 1953 – 1954 рр. А. М. Колмогоров [11] запропонував метричну концепцiю i в усiй повнотi застосував її до задачi про рухи на торi та в теорiї динамiчних систем. Ця концепцiя успiшно застосовувалася при дослiдженнi стiйкостi розв’язкiв нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь (В. I. Арнольд [12], Ю. Мозер [13]) та в теорiї апроксимацiї функцiй наближеннями Паде [14]. У задачах небесної механiки малi знаменники мають вигляд лiнiйних форм (ω, k) = ω1k1 + . . . + ωpkp, ω ∈ Rp, k ∈ Zp. Iдея метричного пiдходу полягала в тому, що враховувалось виконання оцiнок [12]∣∣(ω, k)∣∣ ≥ C ( \|k1\|+ . . .+ \|kp\| )−δ , C > 0, δ > p− 1, (1) для майже всiх (стосовно мiри Лебега в Rp) векторiв ω, а пiдсумовування рядiв з ма- лими знаменниками проводилось лише для тих ω, якi задовольняють нерiвностi (1). Встановлення оцiнок вигляду (1) є задачею метричної теорiї чисел (див. [15 – 17]). У данiй працi висвiтлено результати дослiджень авторiв статтi, що стосуються розв’язностi та побудови розв’язкiв задач з нелокальними дво- та багатоточковими умовами за видiленою змiнною для лiнiйних рiвнянь та систем рiвнянь з частин- ними похiдними в цилiндричних областях. При дослiдженнi цих задач виникли малi знаменники складної нелiнiйної струк- тури, якi ранiше не розглядались у метричнiй теорiї чисел. На основi метричного пiдходу було доведено теореми про оцiнки знизу малих знаменникiв та встановле- но умови розв’язностi розглядуваних задач для майже всiх (стосовно мiри Лебега) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1626 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК векторiв, складених iз коефiцiєнтiв задачi та параметрiв областi, або для всiх таких векторiв, крiм множини малої (наперед заданої) мiри Лебега. Цi результати були отриманi завдяки спiвпрацi зi школою з метричної теорiї чисел в Iнститутi матема- тики НАН Бiлорусi, створеною академiком В. Г. Спринджуком i очолюваною нинi професором В. I. Бернiком. 2. Основнi позначення. Допомiжнi вiдомостi з теорiї чисел. Нехай x = = (x1, . . . , xp) ∈ Rp, (t, x) = (t, x1, . . . , xp), де t ∈ R, x ∈ Rp; D = (D1, . . . , Dp) = = ( 1 i ∂ ∂x1 , . . . , 1 i ∂ ∂xp ) , Ds = Ds1 1 . . . D sp p ; D̃ = √ 1 +D2 1 + . . .+D2 p; k = (k1, . . . . . . , kp) ∈ Zp, \|k\| = \|k1\| + . . . + \|kp\|, ‖k‖ = √ k2 1 + · · ·+ k2 p, k̃ = √ 1 + ‖k‖2; (k, x) = k1x1+· · ·+kpxp; Ωp 2π = ( R/2πZ )p — p-вимiрний тор, Qp = (0, T )×(0, π)p — (p + 1)-вимiрний паралелепiпед; Dp = (0, T ) × Ωp 2π, Q = (0, T ) × G, де G ⊂ R — обмежена однозв’язна область; O ⊂ C — круг одиничної площi з центром у початку координат; ‖A‖ = √ tr (A∗A) — евклiдова норма матрицi A, де A∗ — ер- мiтово спряжена до A матриця, trB — слiд матрицi B; Im — одинична матриця порядку m; mesM, M ⊂ S, — мiра Лебега у просторi S множини M ; мiру в просторi Cl будемо розумiти як мiру Лебега у просторi R2l; dimM — розмiрнiсть Хаусдорфа множини M ; [a] та {a} — цiла i дробова частини числа a ∈ R; T — простiр тригонометричних за змiнною x многочленiв, T ′ — спряжений до T прос- тiр формальних тригонометричних рядiв [18]; Hq(Ω p 2π), q ∈ R; Eh,l(Ω p 2π), h ∈ ∈ R, l ≥ 0, — гiльбертовi простори функцiй ϕ(x) = ∑ k∈Zp ϕ̂(k)ei(k,x) зi скiнчен- ними нормами ∥∥ϕ;Hq(Ω p 2π) ∥∥ = √∑ k∈Zp k̃2q\|ϕ̂(k)\|2, ∥∥ϕ;Eh,l(Ω p 2π) ∥∥ = √∑ k∈Zp exp(2hk̃l)\|ϕ̂(k)\|2 вiдповiдно; Hn q (Dp) — банахiв простiр функцiй u(t, x) таких, що ∂ju ∂tj ∈ Hq−j(Ω p 2π), j = 0, 1, . . . , n, є неперервними по t у нормi простору Hq−j(Ω p 2π), ∥∥u;Hn q (Dp) ∥∥2 = = ∫ T 0 ∑n j=0 ∥∥∥∥∂ju ∂tj ;Hq−j(Ω p 2π) ∥∥∥∥2 dt; Cr(P ) — банахiв простiр функцiй v(x1, . . . . . . , xp), неперервних з усiма похiдними до порядку r включно в компактнiй областi P ⊂ Rp, ‖v;Cr(P )‖ = ∑ \|s\|≤r max x∈P ∣∣∣∣ ∂\|s\|v(x) ∂xs1 1 . . . ∂x sp p ∣∣∣∣ ; C(q,r)(Q) — банахiв простiр функцiй u(t, x), якi в областi Q неперервно диференцiйовнi q разiв по t i r разiв по x, ‖u;C(q,r)(Q)‖ = ∑ \|s\|≤r, s0≤q max (t,x)∈Q ∣∣∣∣ ∂\|ŝ\|u(t, x) ∂ts0∂xs1 1 . . . ∂x sp p ∣∣∣∣ ; Cn ( [0, T ],Hq(Ω p 2π) ) — простiр функцiй u(t, x) таких, що ∂ju/∂tj , j = 0, 1, . . . , n, є неперервними по t у нормi простору Hq(Ω p 2π); ∥∥u;Cn ( [0, T ],Hq(Ω p 2π) )∥∥ = ∑n j=0 max 0≤t≤T ∥∥∥∥∂ju ∂tj ; Hq(Ω p 2π) ∥∥∥∥; Hq(Ω p 2π) — простiр вектор-функцiй ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm), компоненти яких належать Hq(Ω p 2π), ‖ϕ;Hq(Ω p 2π)‖2 = ∑m j=1 ‖ϕj ;Hq(Ω p 2π)‖2; аналогiчнi позначен- ня використовуємо також для iнших просторiв вектор-функцiй; F (D) — псевдоди- ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1627 ференцiальний оператор, що дiє на функцiю ϕ(x) = ∑ k∈Zp ϕ̂(k)eikx за формулою F (D)ϕ(x) = ∑ k∈Zp F (k)ϕ̂(k)eikx, де F (k) ∈ C — задана послiдовнiсть. Незалежну змiнну t будемо називати часовою координатою, а x1, . . . , xp — просторовими координатами. Лема 1 (Борель – Кантеллi [16]). Нехай Aq, q = 1, 2, . . . , — послiдовнiсть ви- мiрних множин iз Rn, причому ∑∞ q=1 mesAq < ∞. Тодi мiра Лебега множини точок iз Rn, що потрапляють у нескiнченну кiлькiсть множин Aq, дорiвнює нулю. Теорема 1 (Хiнчин [19]). Нехай f(x) — додатна неперервна функцiя додат- ного аргументу x, причому xf(x) — функцiя незростаюча. Тодi нерiвнiсть∣∣∣α− p q ∣∣∣ < f(q) q , α ∈ R, (2) має для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R) чисел α нескiнченну множину розв’язкiв у цiлих числах p i q, q > 0, якщо при деякому c > 0 iнтеграл ∞∫ c f(x) dx (3) розбiгається; навпаки, нерiвнiсть (2) для майже всiх α має не бiльше нiж скiнченну кiлькiсть розв’язкiв у цiлих числах p i q, q > 0, якщо iнтеграл (3) збiгається. Теорема 2 (Грошев [15]). Нехай m, p — додатнi цiлi числа, f(x) — додатна неперервна функцiя, визначена при x > c, xp−1fm(x) — монотонно спадна функцiя, причому xpfm(x) → 0 при x → ∞. Тодi для майже всiх (стосовно мiри Лебега в Rmp) точок ω = (ωjr), j = 1, . . . ,m, r = 1, . . . , p, mp-вимiрного евклiдового простору система нерiвностей∣∣ωj1a1 + . . .+ ωjpap − bj ∣∣ < f(a), a = max 1≤r≤p \|ar\|, j = 1, . . . ,m, (4) має нескiнченну кiлькiсть розв’язкiв у цiлих числах a1, . . . , ap, b1, . . . , bm, якщо iн- теграл ∞∫ c xp−1fm(x)dx (5) є розбiжним; навпаки, система нерiвностей (4) має для майже всiх ω не бiль- ше нiж скiнченну кiлькiсть розв’язкiв у цiлих числах a1, . . . , ap, b1, . . . , bm, якщо iнтеграл (5) збiгається. Теорема 3 (Спринджук [16]). Нехай P ≡ P(y1, . . . , yp) = ∑ 1≤\|r\|≤d ary r1 1 . . . . . . yrp p — многочлен з дiйсними коефiцiєнтами, p ≥ 1, d ≥ 2, λ(q1, . . . , qp) — невiд’ємна дiйсна функцiя, визначена на цiлих точках Rp, яка набуває значень, що не перевищують 1. Тодi для майже всiх (стосовно мiри Лебега) многочленiв P iснує нескiнченна кiлькiсть розв’язкiв нерiвностi {P(q1, . . . , qp)} ≤ λ(q1, . . . , qp) в цiлих числах q1, . . . , qp, якщо ряд ∑ q1,...,qp λ(q1, . . . , qp) є розбiжним, i лише скiнченна кiлькiсть розв’язкiв, якщо цей ряд збiгається. Надалi замiсть фрази „для майже всiх (стосовно мiри Лебега)” будемо писати „для майже всiх”. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1628 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК Теорема 4 (Ярнiк [20], Безiкович [21]). Нехай A(ω) — множина чисел α ∈ R, для яких нерiвнiсть \|α− p/q\| < q−ω, ω > 2, має нескiнченну кiлькiсть розв’язкiв у цiлих числах p i q > 0. Тодi dimA(ω) = 2/ω. 3. Перiодичнi крайовi задачi для рiвнянь i систем рiвнянь з частинними похiдними. Перiодичнi умови є найпростiшими нелокальними крайовими умо- вами. Вперше задачу з перiодичними по t умовами для рiвнянь iз частинними похiдними ∂2z ∂t2 − a2 ∂ 2z ∂x2 = Ψ(x, t) + µf(z), (x, t) ∈ (0, 1)2, (6) z(x, 0) = z(x, 1), ∂z ∂t (x, 0) = ∂z ∂t (x, 1), x ∈ [0, 1]; z(0, t) = 0, z(1, t) = 0, t ∈ [0, 1], (7) було дослiджено в роботi [22]. Тут для рацiональних чисел a = (2p + 1)/q при певних обмеженнях на праву частину рiвняння (6) доведено iснування єдино- го розв’язку задачi (6), (7) у класi функцiй, що зображуються рядами z(x, t) = = ∑∞ k=0 z2k+1(t) sin(2k + 1)πx. Для iррацiональних a розв’язок лiнiйної задачi (µ = 0) буде iснувати, якщо для всiх рацiональних чисел m/k число a задовольняє нерiвнiсть∣∣∣a− m k ∣∣∣ > c kγ , γ > 0, c = c(a) > 0, (8) а нелiнiйна задача (6), (7) буде розв’язною, якщо оцiнка (8) справджується при γ = 2. Зауважимо, що оцiнка (8) при γ = 2 справджуються для тих iррацiональних a, якi розкладаються в ланцюговий дрiб з обмеженими елементами, зокрема для квадратичних iррацiональностей [19] (теорема 23). Якщо γ > 2, то нерiвнiсть (8), згiдно з теоремою 1, справджується для майже всiх a ∈ R. Детальний огляд робiт, присвячених дослiдженню перiодичних крайових задач для рiвнянь з частинними похiдними другого порядку, можна знайти в [23 – 27]. Перiодична крайова задача в областi Q1 для строго гiперболiчного рiвняння ∂2nu ∂t2n + n∑ j=1 aj ∂2nu ∂t2(n−j)∂x2j = f(t, x), (t, x) ∈ (0, T )× (0, π), (9) ∂ru ∂tr ∣∣∣ t=0 − ∂ru ∂tr ∣∣∣ t=T = 0, r = 0, 1, . . . , 2n− 1, x ∈ [0, π], (10) ∂2lu ∂x2l ∣∣∣ x=0 = ∂2lu ∂x2l ∣∣∣ x=π = 0, l = 0, 1, . . . , n− 1, t ∈ [0, T ], (11) де aj ∈ R, j = 1, . . . , n, а функцiя f(t, x) неперервна за аргументом t, достатньо гладка за змiнною x i задовольняє умови вигляду (11), вивчалася в роботах [25, 28]. Для єдиностi класичного розв’язку задачi (9) – (11) з простору C2n(Q 1 ) необ- хiдно i достатньо, щоб усi числа λ1T/2π, . . . , λnT/2π були iррацiональними, де λ1, . . . , λn — додатнi коренi рiвняння λ2n+a1λ 2n−2+. . .+an = 0. За умов єдиностi iснує формальний розв’язок задачi у виглядi ряду u(t, x) = ∑ k∈N uk(t) sin kx, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1629 збiжнiсть якого пов’язана з проблемою малих знаменникiв, оскiльки вирази 1 − − exp(ikλjT ), якi входять знаменниками в uk(t), будучи вiдмiнними вiд нуля, можуть ставати як завгодно малими за модулем для нескiнченного числа значень k ∈ N. Оскiльки для всiх k ∈ N справджується нерiвнiсть ∣∣1 − exp(ikλjT ) ∣∣ > > k ∣∣λjT/2π−m/k ∣∣, m = m(λj , k) ∈ N, то мализна знаменникiв у розглядуваному рядi залежить вiд швидкостi наближення чисел λjT/2π рацiональними числами. Якщо для деяких сталих M > 0 i γ ∈ N нерiвностi∣∣∣∣λjT 2π − m k ∣∣∣∣ ≥Mk−γ−ε, j = 1, . . . , n, (12) де 0 < ε < 1, виконуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) пар (k,m) ∈ N2, а f ∈ C(0,γ+2)(Q 1 ), ∂2lf/∂x2l ∣∣ x=0 = ∂2lf/∂x2l ∣∣ x=π = 0, l = 0, 1, . . . , [(γ + 1)/2], то iснує розв’язок u ∈ C2n(Q 1 ) задачi (9) – (11), який неперервно залежить вiд f. З теореми 1 випливає, що для довiльних фiксованих коефiцiєнтiв рiвняння (9) мiра Лебега множини тих значень T > 0, для яких не виконуються нерiвностi (12), дорiвнює нулевi для всiх γ ≥ 2, а отже, задача (9) – (11) є коректною для майже всiх чисел T > 0, якщо f ∈ C(0,4)(Q 1 ). На пiдставi теореми 4 за допомогою розмiрностi Хаусдорфа можна розрiзняти множиниMγ лебегової мiри нуль тих чисел T, якi не справджують нерiвностей (12) при рiзних значеннях γ ≥ 2. Враховуючи, що dimMγ = 2/γ, шляхом пiдвищен- ня гладкостi функцiї f(t, x) встановлюється коректнiсть задачi (9) – (11) для всiх значень T, крiм множини, розмiрнiсть Хаусдорфа якої не перевищує будь-якого наперед заданого додатного числа. Цi результати перенесено [25, 29] на випадок нестрого гiперболiчного рiвняння з багатьма просторовими змiнними в областi Qp ∑ \|ŝ\|=n aŝ ∂2nu ∂t2s0∂x2s1 1 . . . ∂x 2sp p = f(t, x), an,0,...,0 6= 0, (13) для якого розглядається задача з умовами вигляду (10), де x ∈ (0, π)p, та умовами ∂2lu ∂x2l j ∣∣∣ xj=0 = ∂2lu ∂x2l j ∣∣∣ xj=π = 0, l = 0, 1, . . . , n− 1, j = 1, . . . , p. (14) У припущеннi, що для всiх k ∈ Zp \ {0} рiвняння ∑ \|ŝ\|=n aŝλ 2s0 ( k/‖k‖ )2s = = 0 не має нульових коренiв, а λj(k), j = 1, . . . ,m, — його рiзнi додатнi коренi кратностей nj , n1 + . . .+ nm = n, встановлено такi твердження. Для єдиностi розв’язку задачi (10), (13), (14) у просторi C2n(Q p ) необхiдно i достатньо, щоб жодне з рiвнянь λ2 j (k)‖k‖2− ( 2π/T )2 w2 = 0, j = 1, . . . ,m, не мало розв’язкiв у натуральних числах k1, . . . , kp, w. Нехай виконуються умови єдиностi розв’язку задачi (10), (13), (14) та iснують такi додатнi сталi M1, M2, M3 i натуральнi числа γ1, γ2, γ3, що нерiвностi∣∣∣λj(k)− 2π T w ‖k‖ ∣∣∣ ≥M1\|k\|−γ1−ε, j = 1, . . . ,m, (15) \|λnj j (k)\| ≥M2\|k\|−γ2−ε, j = 1, . . . ,m, (16) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1630 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК m∏ ν=1, ν 6=j \|λ2 ν(k)− λ2 j (k)\|nν ≥M3\|k\|−γ3−ε, j = 1, . . . ,m, (17) де 0 < ε < 1/(n + 2), справджуються для всiх (крiм скiнченного числа) векторiв (k,w) ∈ Np+1 та векторiв k ∈ Np вiдповiдно. Якщо f ∈ C(0,N)(Q p ), N = n̄γ1 + +γ2+γ3+p+1, n̄ = max(n1, . . . , nm), i задовольняє умови ∂2rf/∂x2r j ∣∣ xj=0,xj=π = = 0, j = 1, . . . , p, 0 ≤ r < [N/2], то iснує розв’язок задачi (10), (13), (14) з простору C2n(Q p ), який неперервно залежить вiд f(t, x). Доведено, що оцiнки (15) справджуються при γ1 ≥ p+ 1 для майже всiх чисел π/T, оцiнки (16) — при γ2 ≥ p для майже всiх векторiв, складених iз коефiцiєнтiв a0,s, \|s\| = n, а оцiнки (17) — при γ3 ≥ p(n−1)/2 для майже всiх векторiв, складених iз усiх коефiцiєнтiв aŝ рiвняння (13). Зауважимо, що лiвi частини нерiвностей (15) – (17) мають складну нелiнiйну структуру вiдносно k ∈ Zp i не розглядалися ранiше в метричнiй теорiї чисел. Перiодичнi задачi для гiперболiчних та строго гiперболiчних рiвнянь з молод- шими членами у випадку сталих коефiцiєнтiв розглядалися в роботах [25, 30 – 33]. Розглянемо задачу m∏ j=1 ( ∂ ∂t − p∑ r=1 λrj ∂ ∂xr − bj )nj u = f(t, x), (t, x) ∈ Dp, (18) ∂r−1u ∂tr−1 ∣∣∣ t=0 − ∂r−1u ∂tr−1 ∣∣∣ t=T = 0, r = 1, . . . , n, x ∈ Ωp 2π, (19) де n = n1 + . . .+ nm, λrj , bj ∈ R, r = 1, . . . , p, j = 1, . . . ,m. Розв’язнiсть задачi (18), (19) iстотно залежить вiд молодших членiв рiвнян- ня (18), зокрема, якщо b1 . . . bm 6= 0, то задача (18), (19) не може мати двох рiзних розв’язкiв iз простору Hn n(Dp); якщо при цьому числа b1, . . . , bm всi рiзнi, то проб- лема малих знаменникiв вiдсутня i розв’язок задачi iснує в просторi Hn n(Dp) для довiльних коефiцiєнтiв рiвняння (18) та довiльного T > 0 для всiх f ∈ H0 N (Dp), N = q + (m− 2)(n̄− 1), n̄ = max(n1, . . . , nm). Якщо серед чисел bj є нульовi, а саме bq1 = . . . = bql = 0, то для того, щоб два розв’язки задачi (18), (19) з простору Hn q (Dp) вiдрiзнялися лише на адитивну сталу, необхiдно i достатньо, щоб рiвняння ∑p r=1 λrjkr − 2πw/T = 0, j = q1, . . . , ql, не мали нетривiальних розв’язкiв у цiлих числах k1, . . . , kp, w. Якщо bl0 = 0, то виникає малий знаменник 1− exp ( iT ∑p r=1 λrl0kr ) , а якщо bl1 = bl2 — малий знаменник ∑p r=1 ( λrl1 − λrl2 ) kr. У цих випадках встановле- но розв’язнiсть (iснування розв’язку з точнiстю до адитивної сталої) задачi (18), (19) для майже всiх чисел Tλ1l0/2π, . . . , Tλpl0/2π та λ1l1 − λ1l2 , . . . , λpl1 − λpl2 вiдповiдно, якщо f(t, x) є достатньо гладкою за змiнною x i задовольняє умову∫ Dp f(t, x) dxdt = 0. Аналогiчнi результати отримано стосовно задач iз умовами (19) для рiвнянь гiперболiчного типу зi змiнними по t коефiцiєнтами [34] ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1631 m∏ j=1 ( ∂ ∂t − p∑ r=1 λrj(t) ∂ ∂xr − bj(t) )nj u = f(t, x), n1 + . . .+nm = n, (t, x) ∈ Dp, (20) де λrj(t), bj(t) — дiйснi достатньо гладкi на вiдрiзку [0, T ] функцiї, що задоволь- няють умови ∑p r=1 ( λrj(t) − λrl(t) )2 + ( bj(t) − bl(t) )2 6≡ 0, λ(ν) rj (0) = λ (ν) rj (T ), ν = 0, 1, . . . , n1 + . . .+ nj − 1, b(l)j (0) = b (l) j (T ), l = 0, 1, . . . , n. Доведено, що у випадку ∏m j=1 ∫ T 0 bj(t) dt 6= 0 iснує єдиний розв’язок u ∈ ∈ Hn q (Dp) задачi (19), (20), якщо f ∈ H0 q(Dp). Якщо ж ∏m j=1 ∫ T 0 bj(t) dt = 0, то iснування розв’язку задачi (19), (20) пов’язане з оцiнкою знизу малих знаменникiв вигляду ∑p r=1 kr ∫ T 0 λrl(t) dt− 2πw, k ∈ Zp, w ∈ Z. З теореми 2 випливає, що цi вирази для майже всiх чисел ∫ T 0 λrl(t) dt прямують до нуля не швидше, нiж \|k\|−γ при довiльному γ > p. Задачi вигляду (18), (19) та (19), (20) у нелiнiйному випадку, коли права час- тина рiвняння має вигляд F (t, x) + εf(t, x, u), розглянуто в [35, 36]. Розв’язнiсть цих задач для малих \|ε\| встановлено шляхом їх зведення до операторних рiвнянь другого роду i застосування принципiв Каччопполi – Банаха та Шаудера. Задачi про вiдшукання перiодичних за всiма змiнними розв’язкiв гiперболiчних (за Петровським та за Гордiнгом), а також безтипних систем лiнiйних диферен- цiальних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами вивчалися в роботах [24, 37, 38] та [25] (п. 6.2). 4. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними похiдними. У роботах [25, 39] для гiперболiчного рiвняння (20) в областi Dp розглянуто задачу з умовами ∑ \|ŝ\|≤n s0≤n−1 Al ŝ ∂\|ŝ\|u(t, x) ∂ts0∂xs1 1 . . . ∂x sp p ∣∣∣∣∣ t=0 − −µ ∑ \|ŝ\|≤n s0≤n−1 Al ŝ ∂\|ŝ\|u(t, x) ∂ts0∂xs1 1 . . . ∂x sp p ∣∣∣∣∣ t=T = ϕl(x), l = 1, . . . , n, (21) де µ та Al ŝ, l = 1, . . . , n, \|ŝ\| ≤ n, s0 ≤ n − 1, — комплекснi числа. Для єдиностi розв’язку задачi (20), (21) у просторi Hn n(Dp) необхiдно i достатньо, щоб рiвняння A(k) = 0, 1− µ exp T∫ 0 ( i p∑ r=1 krαrj(t) + βj(t) ) dt = 0, j = 1, . . . ,m, не мали розв’язкiв у цiлих числах k1, . . . , kp, де ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1632 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК A(k) ≡ det ∥∥∥∥∥∥ ∑ \|ŝ\|≤n Al ŝ(ik1)s1 . . . (ikp)sp ∥∥∥∥∥∥ l=1,...,n, s0=0,1,...,n−1 ≡ ≡ ∑ \|r\|≤n(n+1)/2 Bri \|r\|ks1 1 . . . ksp p . Теорема 5. Нехай виконано умови єдиностi розв’язку задачi (20), (21) та iснують додатнi сталiM1, M2 i числа γ1, γ2 ∈ N такi, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k ∈ Zp справджуються нерiвностi∣∣∣∣∣∣1− µ exp T∫ 0 ( i p∑ r=1 krαrj(y) + βj(y) ) dy ∣∣∣∣∣∣ ≥M1\|k\|γ1−ε/(2n), j = 1, . . . ,m, (22) ∣∣A(k) ∣∣ ≥M2\|k\|γ2−ε/2, 0 < ε < 1. (23) Якщо f(t, x) ∈ H0 q+nγ1+1(Dp), ϕl(x) ∈ Hq+n(n+1)/2+nγ1+γ2(Ω p 2π), l = 1, . . . , n, то iснує розв’язок задачi (20), (21) з простору Hn q (Dp), q ≥ n, який неперервно залежить вiд функцiй f(t, x) та ϕl(x), l = 1, . . . , n. Встановлено, що оцiнки (22) для малих знаменникiв виконуються для майже всiх чисел ∫ T 0 αrj(y) dy i arctg(Imµ/Reµ) при γ1 ≥ p + 1, а оцiнки (23) — для майже всiх векторiв, складених iз коефiцiєнтiв Br, при γ2 ≥ p. Подiбну задачу для гiперболiчних рiвнянь зi змiнними по x коефiцiєнтами до- слiджено в роботi [40]: n∑ j=0 aj ( ∂ ∂t )2j Ln−ju = f(t, x), (t, x) ∈ Q, (24) ∑ j+2s≤2n, j<2n bljs(−L)s ( ∂ju ∂tj ∣∣∣∣ t=0 − µ ∂ju ∂tj ∣∣∣∣ t=T ) = ϕl(x), l = 1, . . . , 2n, x ∈ G, (25) Lru ∣∣ ∂G = 0, r = 0, 1, . . . , n− 1, (26) де aj ∈ R, j = 0, 1, . . . , n, a0an 6= 0, bljs ∈ C, µ ∈ C \ {0}, L ≡ ∑p i,j=1 ∂ ∂xi × × ( pij(x) ∂ ∂xj ) − q(x), q ≥ 0, — елiптичний диференцiальний вираз iз дiйснознач- ними достатньо гладкими коефiцiєнтами в областi G ⊂ Rp з гладкою межею ∂G. Розв’язок задачi (24) – (26) побудовано у виглядi ряду Фур’є за власними функ- цiями задачi LX = −λX, X\|∂G = 0, для якої оцiнки власних значень λk i власних функцiй Xk(x) та їх похiдних є вiдомими [41, 42]; при цьому власнi значення є простими i додатними, а послiдовнiсть {k−2/pλk} — обмеженою i вiдокремленою вiд нуля. Якщо \|µ\| 6= 1, то в розглядуванiй задачi проблема малих знаменникiв вiдсутня. У випадку \|µ\| = 1 малими знаменниками є вирази 1− µ exp ( i √ λkσjT ) , де σ1, . . . , σ2n — коренi рiвняння ∑n j=0 ajσ 2j = 0; якщо виконуються оцiнки ∣∣1− −µ exp(i √ λkσjT ) ∣∣ ≥ Mλ−γ k , k ∈ N, то за умов достатньої гладкостi на функцiї ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1633 f i ϕl, l = 1, . . . , 2n, задача (24) – (26) має єдиний розв’язок у просторi C2n(Q̄). Доведено, що згаданi оцiнки виконуються при γ > p/2 для майже всiх чисел T > 0. Цi результати поширено [43] на системи рiвнянь вигляду (24) зi змiнними по x коефiцiєнтами. Задачу з нелокальними за часовою координатою крайовими умовами для лiнiй- них безтипних операторiв факторизованого вигляду зi змiнними по t коефiцiєнтами розглянуто в роботi [44]. Для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь задачi з не- локальними умовами вивчено в [45 – 47]. На вiдмiну вiд гiперболiчних рiвнянь, для параболiчних рiвнянь [48 – 50] вирази 1 − µeλj(k)T , де λj(k) — коренi вiдповiдного характеристичного рiвняння, при жодному значеннi сталої µ не є малими знаменниками. У таких задачах малими є рiзницi \|λα(k) − λβ(k)\| та деякi многочлени вiд k ∈ Zp, породженi нелокальними умовами. Нового типу малi знаменники виникли в задачi з iнтегральними умовами ви- гляду ∫ T 0 u(t, x)tj−1 dt = ϕj(x), j = 1, . . . , n, для строго гiперболiчного рiвняння зi сталими коефiцiєнтами ∑ ŝ≤n aŝ∂ nu/∂ts0∂xs1 1 . . . ∂xsp p = 0; цi знаменники не факторизуються, i для їх оцiнок П. I. Штабалюк [25] (п. 7.4) розробив нову загаль- ну методику, що знайшла також застосування i розвиток в iнших умовно коректних задачах [51 – 54]. Деякi новi аспекти, що стосуються оцiнок знизу малих знаменникiв, висвiтлено в роботах [55 – 57], де вивчалися нелокальнi задачi для рiвнянь, нерозв’язних сто- совно старшої похiдної за часом, а також в роботах [58, 59] — для диференцiальних рiвнянь з дробовою похiдною за часом. У працях [25, 60, 61] дослiджено розв’язнiсть у просторах Hn q (Dp), а також питання про можливiсть продовження розв’язку за змiнною t за межi промiжку [0, T ] задач iз багатоточковими нелокальними умовами для безтипних рiвнянь iз частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами; при цьому розглянуто також випадок, коли коефiцiєнти диференцiального рiвняння є алгебраїчно залежними. Метричнi леми, якi використано при цьому, узагальнено в [62]. Багато цiкавих результатiв отримано при дослiдженнi (в рiзних аспектах) нело- кальних задач для рiвнянь нескiнченного порядку [24, 25], псевдодиференцiальних рiвнянь [63 – 67] та диференцiальних рiвнянь i систем рiвнянь з операторними коефiцiєнтами [24, 25]; тут виникли новi труднощi при побудовi розв’язкiв та ви- рiшеннi проблем малих знаменникiв. 5. Нелокальнi крайовi задачi для систем рiвнянь. У цьому пунктi висвiтлено новi пiдходи при дослiдженнi задач з нелокальними умовами для систем безтипних рiвнянь з частинними похiдними зi сталими та змiнними коефiцiєнтами, якi про- водились в останнi роки [68]. Отриманi при цьому результати узагальнюють, до- повнюють та уточнюють ранiше встановленi для гiперболiчних [69], параболiчних [70] та безтипних [24, 71] систем лiнiйних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами. Розв’язки розглядуваних задач шукаються в рiзних функцiональних просторах i будуються у виглядi векторних рядiв u = ∑ k uk(t)Yk(x) за повними системами {Yk(x)} ортогональних функцiй, де uk(t) є класичними розв’язками нелокальних задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1634 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК 5.1. Системи рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами. В областi Dp розглядаєть- ся нелокальна задача [25, 72] L ( ∂ ∂t ,D ) u ≡ ∂nu ∂tn − n∑ j=1 Aj(D) ∂n−ju ∂tn−j = 0, u = u(t, x), (t, x) ∈ Dp, (27) ν ∂ju ∂tj ∣∣∣ t=0 − µ ∂ju ∂tj ∣∣∣ t=T = ϕj , j = 0, 1, . . . , n− 1, ϕj = ϕj(x), x ∈ Ωp 2π, (28) де n ≥ 1, ν, µ ∈ C \ {0}, Aj(D) = ∑ \|s\|≤j An−j,sD s, An−j,s — комплекснозначнi матрицi порядку m, ϕj = (ϕj1, . . . , ϕjm), j = 0, 1, . . . , n − 1, — заданi, а u = = (u1, . . . , um) — шукана вектор-функцiї. Задача (27), (28) зводиться до еквiвалентної їй нелокальної задачi для системи диференцiальних рiвнянь (першого порядку за змiнною t) ∂v ∂t = A(D)v, v = v(t, x), (t, x) ∈ Dp, (29) νv\|t=0 − µv\|t=T = ϕ, ϕ = ϕ(x), x ∈ Ωp 2π, (30) де вектори v = col ( u, ∂u/∂t, . . . , ∂n−1u/∂tn−1 ) i ϕ = col ( ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn−1 ) ма- ють nm компонент, а A(D) = ( Ai,j(D) ) i,j=1,...,n — блочна матриця, ненульови- ми блоками якої є лише блоки Ai,i+1(D) = Im, i = 1, . . . , n − 1, та An,i(D) = = −An−i+1(D), i = 1, . . . , n. Якщо для всiх k ∈ Zp iснує розв’язок vk = vk(t) задачi dvk dt = A(k)vk, (31) νvk(0)− µvk(T ) = ϕ̂(k), (32) де ϕ̂(k) — коефiцiєнти Фур’є 2π-перiодичної вектор-функцiї ϕ(x), то вектор-функцiя v(t, x) = ∑ k∈Zp vk(t)eikx (33) є формальним розв’язком задачi (29), (30). Перш нiж сформулювати умови розв’яз- ностi задач (31), (32), введемо наступнi позначення. Нехай λj(k), j = 1, . . . , γ(k), — коренi характеристичного рiвняння det ( λInm− −A(k) ) = 0 кратностей αj(k) вiдповiдно, ∑γ(k) j=1 αj(k) = nm. Позначимо через β(k) ≥ 0 число тих коренiв λj(k), якi справджують рiвнiсть ν = µ exp(λj(k)T ), i при β(k) > 0 цi коренi занумеруємо так: λ1(k), . . . , λβ(k)(k). Нехай γj(k) ≤ m, Jjs(k) =  λj(k) 1 . . . . . . . . . 1 λj(k)  , s = 1, . . . , γj(k), є жордановими клiтками порядкiв αjs(k), ∑γj(k) s=1 αjs(k) = αj(k),що вiдповiдають кореню λj(k). Цi клiтки впорядкуємо так, щоб αj1(k) ≥ αj2(k) ≥ . . . ≥ αj,γj(k)(k). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1635 Нехай Ejs(k) — матриця розмiру nm × αjs(k), складена з власного Ejs(1, k) i приєднаних Ejs(2, k), . . . , Ejs(αjs(k), k) векторiв, що вiдповiдають жордановiй клiтцi Jjs(k), Ej(k) = ( Ej1(k), . . . , Ej,γj(k)(k) ) — матриця розмiру nm × αj(k), Jj(k) = diag ( Jj1(k), . . . , Jj,γj(k)(k) ) — матриця порядку αj(k), E(k) = ( E1(k), . . . . . . , Eγ(k)(k) ) , J(k) = diag ( J1(k), . . . , Jγ(k)(k) ) . У введених позначеннях матриця A(k) має таку форму Жордана: A(k) = E(k)J(k)T ∗(k) = γ(k)∑ j=1 γj(k)∑ s=1 Ejs(k)Jjs(k)T ∗js(k), T (k) = ( E−1(k) )∗ . (34) Розiб’ємо матрицю T (k) на блоки вiдповiдно до розбиття матрицi E(k), а саме: T (k) = ( T1(k), . . . , Tγ(k)(k) ) , Tj(k) = ( Tj1(k), . . . , Tj,γj(k)(k) ) , Tjs(k) = = ( Tjs(1, k), . . . , Tjs(αjs(k), k) ) ; тут Tjs(1, k) — власний, а Tjs(2, k), . . . . . . , Tjs(αjs(k), k) — приєднанi вектори матрицi A∗(k), що вiдповiдають жорда- новiй клiтцi J∗js(k). Для довiльної функцiї f одного аргументу f ( A(k) ) визначається формулою [73] f ( A(k) ) = E(k)f ( J(k) ) T ∗(k), (35) де f ( J(k) ) = diag ( f ( J1(k) ) , . . . , f ( Jγ(k)(k) )) , f ( Jj(k) ) = diag ( f ( Jj1(k) ) , . . . . . . , f ( Jj,γj(k)(k) )) , f ( Jjs(k) ) — матриця порядку αjs(k) з елементами fab ( Jjs(k) ) =  f (b−a) ( λj(k) ) /(b− a)!, 1 ≤ a ≤ b ≤ αjs(k), 0, 1 ≤ b < a ≤ αjs(k). Отже, матриця f ( A(k) ) визначається за допомогою значень функцiї f(λ) та її похiдних до порядку αj1(k)−1 в точках λ = λj(k), j = 1, . . . , γ(k).МножникиE(k) i T ∗(k) у формулi (35) визначаються матрицею A(k) i не залежать вiд функцiї f. Нехай для t ∈ [0, T ] функцiї f(t, λ) i f̃(t, λ) в околi точки λj(k) задаються формулами f(t, λ) = { eλt/(ν − µeλT ), β(k) < j ≤ γ(k), 0, 1 ≤ j ≤ β(k), f̃(t, λ) =  0, β(k) < j ≤ γ(k), exp ( λj(k)t ) (λ− λj(k))αj1(k)−1, 1 ≤ j ≤ β(k). Теорема 6. Для iснування розв’язку задачi (31), (32) необхiдно i достатньо, щоб T ∗js(αjs(k), k)ϕ̂(k) = 0, j = 1, . . . , β(k), s = 1, . . . , γj(k). (36) При цьому розв’язок зображується формулою vk(t)=f(t, A(k))ϕ̂(k)− − 1 µ β(k)∑ j=1 γj(k)∑ s=1 Ejs(k) exp ( Jjs(k)(t− T ) ) Θ(αjs(k)− 1)T ∗js(k)ϕ̂(k); (37) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1636 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК ядро задачi (31), (32) має розмiрнiсть ∑β(k) j=1 γj(k), а його елементами є функцiї ṽk(t) = β(k)∑ j=1 eλj(k)t γj(k)∑ s=1 Ejs(1, k)Cjs(1, k), (38) де Cjs(1, k) — довiльнi комплекснi числа, Θ(α) = ( 0 0 Φ−1(α) 0 ) , Φ(α) = ( Φab(α) ) — матриця порядку α, в якiй Φab(α) = 0 при 1 ≤ b < a ≤ α, Φab(α) = = T b−a+1/(b− a+ 1)! при 1 ≤ a ≤ b ≤ α. Доведення. Згiдно з формулами (34) i (35) загальний розв’язок системи рiв- нянь (31) має вигляд vk(t) = exp ( A(k)t ) C(k) = γ(k)∑ j=1 γj(k)∑ s=1 Ejs(k) exp ( Jjs(k)t ) T ∗js(k)C(k), (39) де exp ( Jjs(k)t ) = ( exp ( λj(k)t ) zir(t) ) i,r=1,...,αjs(k) , а zir(t) = tr−i/(r − i)! при r ≥ i та zir(t) = 0 при r < i, C(k) — довiльний сталий вектор. Тому з умови (32) отримуємо, що для β(k) = 0 i β(k) = n справджуються вiдповiдно рiвностi( ν − µ exp ( Jjs(k)T )) T ∗js(k)C(k) = T ∗js(k)ϕ̂(k), (40) 0 −µeλj(k)T Φ(αjs(k)− 1) 0 0 T ∗js(k)C(k) = T ∗js(k)ϕ̂(k), αjs(k) > 1, (41) в яких j = 1, . . . , γ(k), s = 1, . . . , γj(k); якщо 0 < β(k) < n, то справджуються спiввiдношення (41) при 1 ≤ j ≤ β(k) та спiввiдношення (40) при β(k) < j ≤ γ(k). Якщо αjs(k) = 1, то вiдповiдне спiввiдношення (41) для довiльних T ∗js(k)C(k) ∈ C набирає вигляду T ∗js(k)ϕ̂(k) ≡ T ∗js(1, k)ϕ̂(k) = 0. На пiдставi спiввiдношень (41) отримуємо умови (36) та формулу (38), а з (39) – (41) випливає формула (37). Теорему доведено. Формули (36) – (38) показують, що нi розв’язки задачi (31), (32), нi умови iсну- вання цих розв’язкiв не можна, взагалi, записати у виглядi добутку деякої функцiї вiд матрицi A(k) на вектор, як це є у формулi (39). Необхiднi та достатнi умови такого зображення наведено у наслiдках 1 – 4, якi випливають з теореми 1. Наслiдок 1. Щоб записати умови (36) у виглядi функцiї вiд матрицi A(k), необхiдно i достатньо, щоб T ∗j (k)ϕ̂(k) = 0, j = 1, . . . , β(k); у цьому випадку умови (36) набирають вигляду f̃ ( 0, A(k) ) ϕ̂(k) = 0. (42) Наслiдок 2. Щоб записати ядро (38) задачi (31), (32) у виглядi функцiї вiд матрицi A(k), необхiдно i достатньо, щоб αj1(k) = αj,γj(k)(k), j = 1, . . . , β(k); при цьому елементи ядра зображуються формулою ṽk(t) = f̃ ( t, A(k) ) C(k), де C(k) — довiльний сталий вектор. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1637 Наслiдок 3. Щоб записати частинний розв’язок (37) задачi (31), (32) у виг- лядi функцiї вiд матрицi A(k), необхiдно i достатньо, щоб αj1(k) = 1, j = = 1, . . . , β(k). Цей розв’язок vk(t) зображується формулою vk(t) = f ( t, A(k) ) ϕ̂(k). (43) Наслiдок 4. Розв’язок задачi (31), (32) iснує, єдиний i визначений для довiль- них правих частин умов (32) тодi i тiльки тодi, коли алгебраїчне рiвняння det (( ln ν µ + i2πq )Inm T −A(k) ) = 0 (44) не має q-коренiв на множинi цiлих чисел, тобто коли β(k) = 0; цей розв’язок зображується формулою (43), де f(t, λ) ≡ eλt/(ν − µeλT ). Для довiльної функцiї f добуток матрицi f ( A(k) ) на вектор C(k) можна ви- разити через власнi числа λj(k) матрицi A(k), не використовуючи при цьому її власних та приєднаних векторiв. Нехай g(λ, k) = ( λ− σ1(k) )N1(k) . . . ( λ− σκ(k)(k) )Nκ(k)(k) — мiнiмальний мно- гочлен вектора C(k) щодо матрицi A(k) [73], степiнь якого позначимо через N(k) (очевидно, що множина {σj(k) : j = 1, . . . ,κ(k)} є пiдмножиною множи- ни {λj(k) : j = 1, . . . , γ(k)}),( R(k) ) C(k) = ( C(k), A(k)C(k), . . . , AN(k)−1(k)C(k) ) , ( W (k) ) C(k) = (( W1(k) ) C(k) , . . . , ( Wκ(k)(k) ) C(k) ) , ( Wj(k) ) C(k) = (( Wj1(k) ) C(k) , . . . , ( Wj,Nj(k)(k) ) C(k) ) , ( Wjs(k) ) C(k) = 1 (s− 1)! ( d dσ )s−1 col(1, σ, . . . , σN(k)−1) ∣∣∣ σ=σj(k) , ( f(λ) ) C(k) = col (( f(σ1(k)) ) C(k) , . . . , ( f(σκ(k)(k)) ) C(k) ) , ( f ( σj(k) )) C(k) = col ( f ( σj(k) ) , f ′ ( σj(k) ) , . . . , f (Nj(k)−1) ( σj(k) ) (Nj(k)−1)! ) , матриця ( W (k) ) C(k) є матрицею Вандермонда, побудованою за коренями полiно- ма g(λ, k), а вектор ( f(λ) ) C(k) — вектор значень функцiї f(λ) на коренях цього полiнома [74]. Тодi f ( A(k) ) C(k) = ( R(k) ) C(k) ( W (k) )−T C(k) ( f(λ) ) C(k) , (45) ( W (k) )−T C(k) ≡ (( W (k) )−1 C(k) )T . Зауважимо, що формула (45) буде справедливою, якщо в якостi многочлена g(λ, k) використати довiльний анулюючий многочлен вектора C(k) щодо матрицi A(k), зокрема мiнiмальний чи характеристичний многочлени матрицi A(k) [73]. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1638 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК Якщо g(λ, k) — мiнiмальний многочлен матрицi A(k), N(k) — його степiнь, W (k) — матриця Вандермонда, побудована за коренями g(λ, k), f(λ(k)) — вектор значень деякої функцiї f(λ) на коренях g(λ, k), то справедлива формула f ( A(k) ) = N(k)∑ j=1 eT j,N(k)W −T (k)f ( λ(k) ) Aj−1(k), (46) де ej,N(k) позначає j-й стовпець матрицi IN(k). Теорема 7. Для iснування та єдиностi розв’язку задачi (29), (30) у просторi Cn([0, T ]; T ′) необхiдно i достатньо, щоб рiвняння (44) не мало розв’язкiв у цiлих числах q, k1, . . . , kp. Цей розв’язок зображується формулою v(t, x) = ∑ k∈Zp ( R(k) ) ϕ̂(k) ( W (k) )−T ϕ̂(k) ( eλt ν − µeλT ) ϕ̂(k) eikx = = ∑ k∈Zp N(k)∑ j=1 eT j,N(k)W −T (k)f ( t, λ(k) ) Aj−1(k)ϕ̂(k)eikx. (47) Встановимо умови розв’язностi задачi (27), (28) у просторi H n n(Dp). Оскiльки для розв’язку задачi (27), (28) виконуються нерiвностi∥∥∥∥∂nu ∂tn ;H 0 0(Dp) ∥∥∥∥2 ≤ n∑ j=1 ∥∥∥∥Aj(D) ∂n−ju ∂tn−j ;H 0 0(Dp) ∥∥∥∥2 ≤ C1 n∑ j=1 ∥∥∥∥D̃j ∂ n−ju ∂tn−j ;H 0 0(Dp) ∥∥∥∥2 , де C1 > 0 — деяка стала, то ∥∥u;Hn n(Dp) ∥∥2 ≤ (C1 + 1) n∑ j=1 ∥∥∥∥D̃j ∂ n−ju ∂tn−j ;H 0 0(Dp) ∥∥∥∥2 = = T∫ 0 ∑ k∈Zp ∥∥Zvk(t) ∥∥2 dt, (48) де Z = diag (k̃nIm, k̃ n−1Im, . . . , k̃Im), а вектор Zvk(t) зображується формулою Zvk(t) = Q(t, k/k̃, 1/k̃) ∥∥ρ(t, k/k̃, 1/k̃)∥∥Zϕ̂(k), (49) в якiй Q(t, ξ̂) = N(ξ̂)∑ j=1 eT j,N(ξ̂) W−T (ξ̂) ρ(t, ξ̂) ‖ρ(t, ξ̂)‖ Aj−1(ξ̂), ξ̂ = (ξ, ξp+1) ∈ Rp+1, ξ = (ξ1, . . . , ξp) ∈ Rp. Блочна матриця A(ξ̂) визначається ненульовими блоками Li,i+1(ξ̂) = Im та Ln,n−j+1(ξ̂) = Lj(ξ̂) ≡ ∑ \|s\|≤j An−j,sξ sξ j−\|s\| p+1 , тому ZA(k)Z−1 = k̃A(k/k̃, 1/k̃). Розмiри та кiлькiсть жорданових клiток матриць A(k) та A(k/k̃, 1/k̃) збiгаються. Якщо λj(ξ̂) — власне значення матрицi A(ξ̂), то λj(k/k̃, 1/k̃) = λj(k)/k̃. Матриця ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1639 Вандермонда W (ξ̂) будується за коренями мiнiмального многочлена матрицi A(ξ̂), а вектори ρ(t, ξ̂), ρ(t, k) визначаються формулами ρ(t, ξ̂) = col ( ρ1(t, ξ̂), . . . , ργ(ξ̂)(t, ξ̂) ) , ρj(t, ξ̂) = Zαj1(ξ̂) (ξ−1 p+1)fj ( t, ξ−1 p+1λ(ξ̂) ) , ρ(t, k) = col ( ρ1(t, k), . . . , ργ(k)(t, k) ) , ρj(t, k) = Zαj1(k)(k̃)fj ( t, λ(k) ) , де Zα(η) = diag (1, η, . . . , ηα−1); при цьому ρ(t, k/k̃, 1/k̃) = ρ(t, k). Оскiльки функцiя ∥∥Q(t, ξ̂ ) ∥∥2 є обмеженою, то з формул (48), (49) i оцiнки для∥∥ρ(t, k)∥∥2 випливає нерiвнiсть ∥∥u;Hn n(Dp) ∥∥2 ≤ C2 ∑ k∈Zp n−1∑ j=0 ∥∥∥θs̃(k)k̃n−j+s̃−1ϕ̂j(k) ∥∥∥2 , (50) де C2 > 0, s̃ — максимальна кратнiсть коренiв мiнiмального многочлена g(λ, k) матрицi A(k), яка досягається для безлiчi векторiв k, θ(k) ≥ sup t,r ∣∣∣∣ eλr(k)t ν − µeλr(k)T ∣∣∣∣ . Для знаходження величини θ(k) оцiнюється знизу модуль величини ν−µeλr(k)T , яка, взагалi кажучи, є малим знаменником у формулi для розв’язку задачi (27), (28). Таку оцiнку для всiх чисел ν i µ неможливо отримати, тому що для довiльної по- слiдовностi θ(k) можна пiдiбрати такi числа ν i µ, що нескiнченно часто буде виконуватися протилежна до бажаної нерiвнiсть. Для розв’язання проблеми малих знаменникiв використано метричний пiдхiд; при цьому вважалось (без обмежен- ня загальностi), що вектор (ν, µ) належить одиничнiй кулi B4 ⊂ R4 iз центром у початку координат. Лема 2. Для довiльного ε > 0 iснує така множина Bε ⊂ B4, mesBε ≤ ε, що для всiх векторiв (ν, µ) ∈ B4 \Bε та довiльного ε1 > 0 виконуються оцiнки ∣∣ν − µeλr(k)T ∣∣ ≥√ ε C3(ε1) max ( 1, eRe λr(k)T ) k̃−(p+ε1)/2, r = 1, . . . , γ, k ∈ Zp, де C3 = C3(ε1) = ∑ k∈Zp k̃−p−ε1 . Iз леми 2 випливає рiвнiсть θ2(k) = C3k̃ p+ε1/ε, яка разом iз оцiнкою (50) дає можливiсть сформулювати наступну теорему. Теорема 8. Нехай ϕj ∈ Hl−j(Ω p 2π), l > n−1+s̃+ps̃/2, j = 0, 1, . . . , n−1. Тодi для всiх векторiв (ν, µ) ∈ B4 \ Bε, mesBε ≤ ε, iснує єдиний розв’язок u = u(t, x) задачi (27), (28) з простору H n n(Dp), що неперервно залежить вiд вектор-функцiй ϕj(x), j = 0, 1, . . . , n− 1, та справджує оцiнку ∥∥u;Hn n(Dp) ∥∥2 ≤ C4 εs̃ n−1∑ j=0 ∥∥ϕj ;Hl−j(Ω p 2π) ∥∥2 , де s̃ — число iз формули (50), C4 = C4(l) > 0. Результати, отриманi при дослiдженнi задачi (27), (28), поширено [25, 75] на випадок задачi з умовами (28) для анiзотропних стосовно порядку диференцiю- вання за просторовими змiнними систем рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами. При цьому розроблено нову методику, яка базується на використаннi подiлених рiзниць ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1640 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК [76] при оцiнюваннi малих знаменникiв i мероморфних функцiй, що виникли при побудовi розв’язку задачi. В областi Dp розглянуто задачу для нормальної системи диференцiальних рiв- нянь L ( ∂ ∂t ,D ) u = ∑ \|ŝ\|≤N s0≤n AŝD s ( ∂ ∂t )s0 u = 0 (51) iз умовами (28), деAŝ — квадратнi матрицi порядкуm iз комплексними елементами. Максимальнi порядки похiдних за змiнними xj , що входять у систему (51), можуть бути довiльними, не залежать один вiд одного та вiд n (анiзотропнiсть системи). Вивчено розв’язнiсть задачi (28), (51) на множинi функцiй u = u(t, x) зi значен- нями u(t, ·) у шкалi соболєвських просторiв Hq(Ω p 2π). При цьому, як i у випадку системи (27), задача (28), (51) зводиться до еквiва- лентної їй задачi з умовами (30) для системи рiвнянь (першого порядку за змiнною t) ∂v/∂t = B(D)v, v = v(t, x), (t, x) ∈ Dp, де B(D) = ( Bij(D) )nm i,j=1 . Нехай lϕ(λ, k) — мiнiмальний многочлен вектора ϕ̂(k) щодо матрицi B(k), λj(k), j = 1, . . . , γ(k), — корiнь кратностi αj(k), α1(k) + . . . + αγ(k)(k) = n(k), многочлена l(λ, k) ≡ det ( λInm −B(k) ) = λnm + nm∑ i=1 li(k)λnm−i, b = lim k̃→∞ n(k), b1 = lim k̃→∞ min j=1,...,γ(k) αj(k), b2 = lim k̃→∞ max j=1,...,γ(k) αj(k), ni — степiнь многочлена li(k) = ∑ s aisk s, а nij — степiнь многочлена Bij(k), nl = max ni≥0 ni i ≥ 0 — зведений порядок системи (51), d1, . . . , dnm−1, dnm = 0 — такi дiйснi числа, що вираз max nij≥0 (di − dj + nij) набуває мiнiмального значення, яке позначимо nB . Для єдиностi розв’язку задачi (28), (51) необхiдно i достатньо, щоб число ν не належало до точкового спектра оператора µ exp ( B(D)T ) , тобто щоб алгебраїчне рiвняння l(κ1 + iκ2k0, k) = 0, де κ1 = ln(ν/µ)/T, κ2 = 2π/T, не мало розв’язкiв у цiлих числах k0, k1, . . . , kp. Необхiдну умову iснування розв’язку задачi дає на- ступна теорема. Теорема 9. Для iснування розв’язку задачi (28), (51) у шкалi просторiв Hq(Ω p 2π) для довiльного вектора ϕ, компоненти якого належать до шкали просто- рiв Hq(Ω p 2π), необхiдно, щоб для деяких сталих K > 0 i L ∈ R для всiх векторiв k ∈ Zp виконувались нерiвностi \|ν − µeλj(k)\| ≥ Kk̃L, j = 1, . . . , γ(k). Для встановлення достатнiх умов iснування розв’язку задачi (28), (51) викорис- тано нове зображення розв’язку vk(t) задачi з умовами (32) для системи рiвнянь dvk/dt = B(k)vk за допомогою подiлених рiзниць RΛ(k) ( eλt ν − µeλT ) за набором Λ(k) всiх коренiв многочлена lϕ(λ, k) у виглядi vk(t) = 1∫ 0 l′ϕ ( τ ∂ ∂t + (1− τ)B(k), k ) dτ ·RΛ(k) ( eλt ν − µeλT ) ϕ̂(k), ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1641 де l′ϕ(λ, k) = dlϕ(λ, k)/dλ. Для розв’язання проблеми малих знаменникiв потрiбно було встановити оцiнки зверху для подiлених рiзниць та оцiнки знизу для рiзниць коренiв многочлена l(λ, k). Нехай λj(ξ̂) = λj(ξ, ξp+1), ξ = (ξ1, . . . , ξp) ∈ Rp, ξp+1 ≥ 0, — коренi рiвняння l(λ, ξ̂) = λnm + nm∑ j=1 ∑ \|s\|≤nj ajsξ sξ jnl−\|s\| p+1 λnm−j = γ(ξ̂)∏ j=1 (λ− λj(ξ̂))αj(ξ̂) = 0 i при k̃ > K1 виконуються нерiвностi n(k) ≤ b, min j=1,...,γ(k) αj(k) ≥ b1, max j=1,...,γ(k) αj(k) ≤ b2. Лема 3. Нехай S(ω; ξ̂) = ∏γ(ξ̂) s=1 ( dωl ( λs(ξ̂), ξ̂ ) /dλω )αs(ξ̂) є результантом (за змiнною λ) многочленiв l(λ, ξ̂) i dωl(λ, ξ̂)/dλω й iснують сталi K2 > K1 та C5 > 0 такi, що ∀k̃ > K2 : ∣∣S(Nj ; k/k̃, 1/k̃) ∣∣ ≥ C5k̃ βj , j = 1, . . . , h, де b2 < N1 < N2 < . . . < Nh < b, −pb1/2 − nlb1 ≤ β1 < β2 < . . . < βh ≤ 0, 1 ≤ h ≤ b − b1. Тодi серед довiльного набору iз (Nj + 1)-го кореня (враховуючи кратнiсть) многочлена l(λ, k) iснують коренi λ∗(k) i λ∗∗(k) такi, що∣∣λ∗(k)− λ∗∗(k) ∣∣ ≥ C6k̃ nl+βj/b1 ≥ C6k̃ −p/2, k̃ > K2, j = 1, . . . , h, де стала C6 не залежить вiд k. Лема 4. Нехай Λ(k) є деяким s-елементним набором коренiв многочлена lϕ(λ, k). Тодi∥∥∥∥∥∥ 1∫ 0 l′ϕ ( τ ∂ ∂t + (1− τ)ZkB(k)Z−1 k , k ) dτRΛ(k)(ρ0(λ, t)) ∥∥∥∥∥∥ ≤ C7k̃ nB(n(k)−1)−sr, де Zk = diag ( k̃d1 , . . . , k̃dnm ) , ρ0(λ, t) = eλt/(ν − µeλT ), r < −p/2, а стала C7 = = C7(r) не залежить вiд k. На пiдставi лем 3 i 4 доведено наступну теорему iснування розв’язку. Позначи- мо через ϕ0, ϕ1, . . . , ϕnm−1 скалярнi компоненти вектора правих частин умов (30). Теорема 10. Нехай µ ∈ O — фiксоване число, ϕj ∈ Hqj (Ω p 2π), j = 0, 1, . . . . . . , nm − 1. Тодi для всiх ν ∈ O \ Bε, mesBε ≤ ε, де ε > 0 — довiльне мале число, iснує єдиний розв’язок u задачi (28), (51) такий, що ∂jus/∂t j ∈ Hqsj (Ω p 2π) для всiх t ∈ [0, T ], де qsj = max s=1,...,nm (qs−1 − ds) + djm+s + d, s = 1, . . . , nm, j = 0, 1, . . . , n− 1, а число d лiнiйно залежить вiд nl, nB та p. Аналогiчнi результати щодо розв’язностi задачi (28), (51) отримано [77] i для анiзотропних просторiв Соболєва Hq̄ iз векторним iндексом q̄ = (q1, . . . , qp) ∈ Rp, якi є поповненнями множини T тригонометричних полiномiв ϕ (x) = ∑ ϕ̂ (k) eikx за нормою ‖ϕ‖q̄ = √∑ k∈Zp k̄2q̄ \|ϕ̂ (k)\|2, де k̄2q̄ = k̄2q1 1 · · · k̄2qp p , k̄j = √ 1 + k2 j , j = 1, . . . , p. В роботах [78, 79] вивчено розв’язнiсть нелокальної двоточкової задачi в областi Dp для рiвнянь та систем рiвнянь з частинними похiдними нескiнченного порядку ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1642 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК ∞∑ \|ŝ\|=0 AŝD s ∂ s0u ∂ts0 = f(t, x), (52) ∂αu ∂tα ∣∣∣ t=0 − µ ∂αu ∂tα ∣∣∣ t=T = 0, α = 0, 1, . . . , (53) де Aŝ — сталi комплекснi матрицi порядку m ≥ 1, µ ∈ C \ {0}. Введено пов’язанi з цiєю задачею простори Соболєва нескiнченного порядку W∞{Aŝ}, дослiджено їх властивостi та встановлено умови однозначної розв’язностi задачi (52), (53). При встановленнi теорем вкладення просторiв W∞{Aŝ} у простори Соболєва скiнчен- ного порядку виникає проблема малих знаменникiв; тому умови iснування такого вкладення просторiв мають метричний характер. Нелокальнi задачi для систем рiвнянь iз частинними похiдними, не розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом, та систем диференцiальних рiвнянь iз псев- додиференцiальними коефiцiєнтами з аналiтичними символами розглянуто в робо- тах [80, 81]. 5.2. Системи рiвнянь iз змiнними коефiцiєнтами. В областiDp розглядаєть- ся задача знаходження розв’язку u = u(t, x) системи диференцiальних рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами [82] L ( ∂ ∂t ,D ) u ≡ ∂nu ∂tn − n∑ j=1 Aj(t,D) ∂n−ju ∂tn−j = f, u = u(t, x), f = f(t, x), (t, x) ∈ Dp, (54) який задовольняє двоточковi нелокальнi крайовi умови ν ∂ju ∂tj ∣∣∣ t=0 − µ ∂ju ∂tj ∣∣∣ t=T = ϕj , j = 0, 1, . . . , n− 1, ϕj = ϕj(x), x ∈ Ωp 2π, (55) де ν, µ ∈ C \ {0}, Aj(t,D) = ∑ \|s\|≤j An−j,s(t)Ds, An−j,s(t) — комплекснозначнi матрицi порядку m з неперервними на вiдрiзку [0, T ] елементами, n ≥ 1 — порядок системи. На вiдмiну вiд результатiв щодо розв’язностi (у шкалах просторiв Соболє- ва, для яких є характерним полiномiальний рiст коефiцiєнтiв Фур’є) задачi (27), (28), розв’язнiсть задачi (54), (55) для системи iз змiнними коефiцiєнтами вима- гає використання просторiв Eh,l(Ω p 2π) — просторiв функцiй iз експоненцiальним зростанням (спаданням) їхнiх коефiцiєнтiв Фур’є. Наприклад, нелокальна задача для одного рiвняння зi змiнним коефiцiєнтом ∂u ∂t = a ∂u ∂x − cos t ∂2u ∂x2 , νu(0, x)− µu(π, x) = ϕ(x) має розв’язок u(t, x) = ∑ k∈Zp uk(t)ei(k,x) = exp(iaDt+sin t·D2) ( ν−µeiaπD )−1× ×ϕ(x) такий, що ∣∣∣uk (π 2 )∣∣∣ = ek2 \|ν − µeikaπ\| \|ϕk\|, k ∈ Z, тому при \|ν\| 6= \|µ\| ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1643 ∥∥∥u(π 2 , · ) ;L2(Ω1 2π) ∥∥∥ ≥ (\|ν\| − \|µ\|)−1 (2π)p ∞∑ \|k\|=0 e2k2 \|ϕk\|2 1/2 . Iз останньої нерiвностi випливає, що u(t, ·) не є функцiєю зi значеннями у просторi L2(Ω1 2π), якщо коефiцiєнти Фур’є ϕk функцiї ϕ(x) не спадають швидше, нiж e−k2 при k → ±∞. Позначимо через Eh(Ωp 2π) простiр Eh,l(Ω p 2π) при l = 1. Якщо u(t, x) є розв’язком задачi (54), (55), то справджується нерiвнiсть n∑ j=0 ∥∥∥∥D̃n−j ∂ ju ∂tj ;Eh(Ωp 2π) ∥∥∥∥2 ≤ C8‖v;Eh(Ωp 2π)‖2 + ‖f ;Eh(Ωp 2π)‖2, (56) в якiй C8 > 0 — деяка стала, вектор v = col (v0, v1, . . . , vn−1), vj = D̃n−j∂ju/∂tj , j = 0, 1, . . . , n− 1, є розв’язком нелокальної крайової задачi для системи першого порядку ∂v ∂t = D̃l(t, D̂)v + D̃Φ, νv(0, x)− µv(T, x) = Zϕ(x), (57) де Z = diag (D̃nIm, . . . , D̃ 2Im, D̃Im), Φ = col (0, . . . , 0, f), D̂ = (D/D̃, I/D̃), а неперервна за змiнною t матриця l(t, ξ̂) є формою степеня n щодо компонент вектора ξ̂ = (ξ1, . . . , ξp, ξp+1). Нехай E(t, ξ̂) — фундаментальна матриця системи звичайних диференцiальних рiвнянь dE dt = l(t, ξ̂)E ξp+1 , ξp+1 > 0, t ∈ [0, T ], така, що E(0, ξ̂) = Inm. Тодi справд- жується наступне твердження. Теорема 11. Для єдиностi розв’язку задачi (54), (55) у просторi Cn([0, T ], T ′) необхiдно i достатньо, щоб число ν не належало точковому спектру операто- ра µE(T, D̂). За умови теореми 9 задача (57) має формальний розв’язок v(t, x) = E(t, D̂) [ νInm − µE(T, D̂) ]−1× × Zϕ(x) + νD̃ t∫ 0 Y (0, τ, D̂)Φ(τ, x) dτ + µD̃ T∫ t Y (T, τ, D̂)Φ(τ, x) dτ , причому ‖v;Eh(Ωp 2π)‖2 ≤ \|ν\| t∫ 0 ∥∥∥D̃√F (t, D̂)F1(D̂)F (0, τ, D̂)f(τ, ·);Eh(Ωp 2π) ∥∥∥2 dτ+ + ∥∥∥√F (t, D̂)F1(D̂)Zϕ;Eh(Ωp 2π) ∥∥∥2 + +\|µ\| T∫ t ∥∥∥D̃√F (t, D̂)F1(D̂)F (T, τ, D̂)f(τ, ·);Eh(Ωp 2π) ∥∥∥2 dτ, (58) де ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1644 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК Y (t, τ, ξ̂) = E(t, ξ̂)E−1(τ, ξ̂), F (t, D̂) = tr [ E∗(t, D̂)E(t, D̂) ] , F (t, τ, D̂) = tr[Y ∗(t, τ, D̂)y(t, τ, D̂)], F1(D̂) = tr [( νInm − µE∗(T, D̂) )−1( νInm − µE(T, D̂) )−1] . Оператор F1(D̂) оцiнюється зверху (з точнiстю до сталого множника) дробовим виразом max ( F (0, D̂), F (T, D̂) )nm−1 /\|νInm − µE(T, D̂)\|2. Лема 5. Для довiльних ε > 0 i ν ∈ O\Bε, mesBε ≤ ε, справджується оцiнка \|det(νInm − µE(T, D̂))\| ≥ C9(r)εnm/2D̃−r, (59) де r > pnm/2, C9(r) = ( nmπ ∑ k∈Zp k̃−2r/nm )−nm/2 . Нехай λ(t, ξ̂) i Λ(t, ξ̂) — мiнiмальне i максимальне власнi значення ермiтової матрицi ( l∗(t, ξ̂ ) + l(t, ξ̂) ) /2, Λ1 = nmmax τ, k ∫ τ 0 Λ(θ, k/k̃, 1/k̃) dθ, Λ2 = Λ1 + max τ, k − τ∫ 0 λ(θ, k/k̃, 1/k̃) dθ, T∫ τ Λ(θ, k/k̃, 1/k̃) dθ  . Теорема 12. Якщо D̃n−j+rϕj ∈ Eh+Λ1(Ω p 2π), j = 0, 1, . . . , n − 1, i для всiх t ∈ [0, T ] D̃r+1f(t, ·) ∈ Eh+Λ2(Ω p 2π), f(t, ·) ∈ Eh(Ωp 2π), то для кожного ν ∈ O\Bε, mesBε ≤ ε, ε > 0, iснує єдиний розв’язок u(t, x) задачi (54), (55), який належить простору Eh(Ωp 2π) для всiх t ∈ [0, T ]. Для однорiдної системи диференцiальних рiвнянь вигляду (54) задачу з умова- ми (55) дослiджено в роботi [83]. Новий пiдхiд до вивчення задачi (54), (55) за допомогою методу мiнiмiзацiї в гiльбертових просторах запропоновано в [84 – 86]. 6. Задачi iз загальними дво- та багатоточковими нелокальними умова- ми. В роботах [87, 88] в областi Dp вивчено задачу iз загальними двоточковими нелокальними за змiнною t умовами для системи лiнiйних рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами ∂nu ∂tn = n∑ j=1 Aj(t,D) ∂n−ju ∂tn−j + f, u = (u1, . . . , um), f = (f1, . . . , fm), (60) n∑ j=1 [ Bj0(D) ∂n−ju ∂tn−j ∣∣∣ t=0 +BjT (D) ∂n−ju ∂tn−j ∣∣∣ t=T ] = ϕ, ϕ = (ϕ1, . . . , ϕnm), (61) де Aj(t, k) = ∑ s Ajs(t)ks, Bj0(k) = ∑ s Bj0sk s, BjT (k) = ∑ s BjTsk s є по- лiномами змiнної k = (k1, . . . , kp) з матричними коефiцiєнтами Ajs(t), Bj0s та BjTs, квадратна матриця Ajs(t) має порядок m, а її елементи є комплекснознач- ними неперервними на t ∈ [0, T ] функцiями, матрицi Bj0s i bjTs з комплексними елементами мають розмiр nm×m. Як i при дослiдженнi задачi (27), (28), задача (60), (61) зводиться до еквiвалент- ної їй задачi для системи диференцiальних рiвнянь першого порядку за змiнною t для функцiї v = col (u, ∂u/∂t, . . . , ∂n−1u/∂tn−1), а саме ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1645 ∂v ∂t = A(t,D)v + F, (62) B0(D)v ∣∣ t=0 +BT (D)v ∣∣ t=T = ϕ, (63) де B0(k) = ( Bn0(k), . . . , B10(k) ) , BT (k) = ( BnT (k), . . . , B1T (k) ) , F = col (0, . . . . . . , 0, f). Вважається, що координати вектора (b1, . . . , bκ), складеного зi (спецiальним чином упорядкованих) елементiв усiх матриць Bj0s та BjTs, належать кругу O. Нехай Et,τ (k) — еволюцiйний оператор системи dEt,τ (k)/dt = A(t, k)Et,τ (k), причомуEτ,τ (k) = Inm, τ ∈ [0, T ], а ∆(k) = B0(k)+BT (k)ET,0(k). Справджується наступне твердження. Теорема 13. Для єдиностi розв’язку задачi (60), (61) необхiдно i достатньо, щоб ∀k ∈ Zp : det∆(k) 6= 0. (64) За умови (64) розв’язок задачi (62), (63) формально визначається рiвнiстю v(t, x) = Et,0(D)∆−1(D)ψ(t, x), (65) де ψ(t, x) = ϕ(x) +B0(D) t∫ 0 E0,τ (D)F (τ, x)dτ +BT (D) t∫ T ET,τ (D)F (τ, x)dτ. Для встановлення розв’язностi задачi (62), (63), а отже, i задачi (60), (61), у просторах Eh,l(Ω p 2π) необхiдно оцiнити зверху норми матриць Et,τ (k) та ∆−1(k). Нехай Λt(k) i λt(k) — найбiльше i найменше власнi значення матрицi ( A∗(t, k)+ +A(t, k) ) /2, тодi ‖Et,τ (k)‖ ≤  √ nm exp  t∫ τ Λs(k)ds  , t ≥ τ, √ nm exp  t∫ τ λs(k)ds  , t ≤ τ. Визначники ∆(k), k ∈ Zp, для деяких матриць B0(k) i BT (k) можуть дорiв- нювати нулю; тому матрицi ∆−1(k) можуть не iснувати, а отже, не для довiльних коефiцiєнтiв умов (61) iснують потрiбнi оцiнки зверху для ‖∆−1(k)‖. Для встановлення таких оцiнок використано метричний пiдхiд, при якому функцiю ‖∆−1(k)‖, яка є функцiєю аргументiв (b1, . . . , bκ), оцiнюємо на мно- жинi векторiв b = (b1, . . . , br) ∈ O r \ V, mesV < ε, при довiльних фiксованих (br+1, . . . , bκ), де число r i множина V вибранi належним чином, а ε > 0 — довiль- не наперед задане мале число. При цьому встановлено ∀b ∈ O r \ V : ∥∥∆−1(k) ∥∥ ≤ ε−nm/2C10k̃ σ+nmd, d > p 2 , k ∈ Zp. Аналогiчнi оцiнки отримано також для норм матриць ∆−1(k)B0(k) та ∆−1(k)BT (k). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1646 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК Крiм того, показано, що iснують такi невiд’ємнi на [0, T ] функцiї U(t), F (t) i числа l1, l2 ∈ R, що t∫ 0 Λτ (k)dτ ≤ U(t)k̃l1 , − T∫ t λτ (k)dτ ≤ F (t)k̃l2 . На пiдставi вказаних вище оцiнок та формули (65) доведено наступне тверд- ження. Теорема 14. Якщо D̃l3ϕ ∈ E0,0(Ω p 2π), D̃l3f(t, ·) ∈ EF (t),l2(Ω p 2π), l3 = σ + +nmd, то для кожного вектора b ∈ O r \ V, mesV < ε, iснує єдиний розв’язок v(t, ·) ∈ E−U(t),l1(Ω p 2π) задачi (62), (63), який визначається формулою (65) i справд- жує оцiнку ‖v;E−U(t),l1(Ω p 2π)‖2 ≤ ≤ C11ε −nm ∥∥D̃l3ϕ;E0,0(Ω p 2π) ∥∥2 + T∫ 0 ∥∥D̃l3f(τ, ·);EF (t),l2(Ω2π)p ∥∥2 dτ  . На прикладi задачi ∂2u ∂t2 = −a2(t) ( D2 1 + . . .+D2 p ) u,( a b c d )( u ∂u/∂t )∣∣∣∣ t=0 + ( a1 b1 c1 d1 )( u ∂u/∂t )∣∣∣∣ t=T = ( ϕ1 ϕ2 ) показано, що умови на f i ϕ в теоремi 14 можна послабити, використовуючи перетворення Ляпунова [73], що задається невиродженими неперервно диференцi- йовними на вiдрiзку [0, T ] матрицями Ляпунова. Перетворення Ляпунова використовувалося [89] при дослiдженнi нелокальної задачi з багатоточковими умовами M∑ r=1 n∑ j=1 Bjr(D) ∂n−ju ∂tn−j ∣∣∣ t=tr = ϕ, 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tM ≤ T, для системи рiвнянь (60), де Bjr(k) = ∑ Bjrsk s є полiномами змiнної k з комп- лексними матричними коефiцiєнтами Bjrs розмiру nm×m. Розв’язнiсть задачi з iнтегральними умовами ∫ T 0 µ(t)∂ju/∂tj dt = ϕj , j = = 0, 1, . . . , n−1, для системи рiвнянь (60) у шкалах просторiв Hq(Ω p 2π) та Eh(Ωp 2π) дослiджено в роботi [90]. На завершення вкажемо на можливi напрями подальших дослiджень у теорiї нелокальних задач для рiвнянь iз частинними похiдними: 1) визначення класiв нелокальних задач, для яких можна встановити необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв у певних функцiональних просторах; 2) встановлення розв’язностi нелокальних задач для диференцiально-функцi- ональних рiвнянь, а також для ширших класiв нелiнiйних рiвнянь та рiвнянь iз дробовими похiдними; ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1647 3) розробка методики дослiдження нелокальних задач для лiнiйних рiвнянь з частинними похiдними, в яких вектор, складений iз усiх коефiцiєнтiв рiвняння, належить деякому алгебраїчного многовиду; 4) використання розмiрностi Хаусдорфа для опису класiв некоректних задач. 1. Нахушев А. М. О нелокальных задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения. – 1985. – 21, № 1. – С. 92 – 101. 2. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптичес- ких краевых задач// Докл. АН СССР. – 1969. – 185, № 4. – С. 739 – 740. 3. Вабищевич П. Н. Нелокальная параболическая задача и обратная задача теплопроводности // Дифференц. уравнения. – 1981. – 17, № 7. – С. 1193 – 1199. 4. Кмiть I. Я. Пpо одну нелокальну задачу для квазiлiнiйної гiпеpболiчної системи пеpшого поpядку з двома незалежними змiнними // Укp. мат. жуpн. – 1993. – 45, № 9. – С. 1307 – 1311. 5. Кмить И. Я., Лавpенюк С. П. О нелокальных задачах для двумеpных гипеpболических систем // Успехи мат. наук. – 1991. – 46, № 6. – С. 149. 6. Ivanchov M. Inverse problem for equations of parabolic type. – VNTL Publ., 2003. – 238 p. 7. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. – М.: Наука, 1980. – 208 с. 8. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. – М.: Наука, 1978. – 128 с. 9. Bourghin D. G., Duffin R. J. The Dirichlet problem for the vibrating string equation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1939. – 45, № 12. – P. 851 – 858. 10. Siegel C. L. Iterations of analytic functions // Ann. Math. – 1942. – 43, № 4. – P. 607 – 612. 11. Колмогоров А. Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // Докл. АН СССР. – 1953. – 93, № 5. – С. 763 – 766. 12. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. – 1963. – 18, № 6(114). – С. 91 – 192. 13. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения // Там же. – 1968. – 23, вып. 4. – С. 179 – 238. 14. Бейкер Дж. (мл.), Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. – М.: Мир, 1986. – 502 с. 15. Грошев А. В. Теорема о системе линейных форм // Докл. АН СССР. – 1938. – 19, № 3. – С. 151 – 152. 16. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений. – М.: Наука, 1977. – 143 с. 17. Bernik V., Beresnevich V. On a metrical theorem of W. Schmidt // Acta arithm. – 1996. – 75, № 3. – P. 219 – 233. 18. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных урав- нений. – Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с. 19. Хинчин А. Я. Цепные дроби. – М.: Наука, 1978. – 112 с. 20. Jarnik V. Diophantische Approximationen und Hausdorffsches Mass // Mat. Sb. – 1929. – 36, № 3/4. – S. 371 – 382. 21. Besicovitch A. S. Sets of fractional dimensions on rational approximations to real numbers // J. London Math. Soc. – 1934. – 9. – P. 126 – 131. 22. Аpтемьев H. А. Пеpиодические pешения одного класса уpавнений в частных пpоизводных // Изв. АH СССР. Сеp. мат. – 1937. – № 1. – C. 15 – 50. 23. Митpопольский Ю. А., Хома Г. П., Гpомяк М. И. Асимптотические методы исследования квазиволновых уpавнений гипеpболического типа. – Киев: Hаук. думка, 1991. – 232 c. 24. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с част- ными производными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с. 25. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними похiдними. – Киев: Наук. думка, 2002. – 416 с. 26. Самойленко А. М., Ткач Б. П. Численно-аналитические методы в теоpии пеpиодических pе- шений уpавнений с частными пpоизводными. – Киев: Hаук. думка, 1992. – 208 c. 27. Vejvoda O. Partial differential equations: time periodic solutions. – USA: Sijthoff: Noordhoff, 1981. – XIII+358 p. 28. Пташник Б. И. Периодическая краевая задача для линейных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами // Мат. физика. – 1972. – Вып. 12. – С. 117 – 121. 29. Полiщук В. М., Пташник Б. Й. Перiодична крайова задача для гiперболiчних рiвнянь // Друга конф. мол. науковцiв Захiдного наук. центру АН УРСР: Мат. конф. Секц. мат. наук. – Ужгород, 1975. – С. 55 – 59. – Деп. в ВИНИТИ, № 1734-76. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1648 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК 30. Полищук В. Н. Периодическая краевая задача для линейных гиперболических уравнений // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1975. – Вып. 2. – С. 158 – 160. 31. Полищук В. Н., Пташник Б. И. О периодической краевой задаче для гиперболических операто- ров, распадающихся на линейные множители первого порядка с постоянными коэффициентами // Там же. – 1976. – Вып. 3. – С. 6 – 12. 32. Пташник Б. И. Периодическая краевая задача для гиперболического оператора, распадающе- гося на линейные множители первого порядка // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1973. – № 11. – С. 985 – 989. 33. Пташник Б. Й. Перiодична крайова задача для полiхвильових операторiв // Проекцiйно- iтеративнi методи розв’язування диференцiальних та iнтегральних рiвнянь. – Київ: Наук. думка, 1974. – С. 147 – 154. 34. Полищук В. Н. Периодическая краевая задача для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Теоретические и прикладные вопросы алгебры и дифференциальных урав- нений. – Киев: Наук. думка, 1976. – С. 60 – 65. 35. Полiщук В. М., Пташник Б. Й. Задача з перiодичними за часовою змiнною умовами для слабко нелiнiйних гiперболiчних рiвнянь // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 2003. – 46, № 3. – С. 7 – 14. 36. Полiщук В. М., Пташник Б. Й. Перiодична крайова задача для слабко нелiнiйних гiперболiчних рiвнянь зi змiнними в лiнiйнiй частинi оператора коефiцiєнтами // Там же. – 2005. – 48, № 2. – С. 25 – 31. 37. Полищук В. Н., Пташник Б. И. О периодической краевой задаче для системы гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами // Укр. мат. журн. – 1978. – 30, № 3. – С. 326 – 333. 38. Полищук В. Н., Пташник Б. И. Периодические решения системы дифференциальных уравне- ний в частных производных с постоянными коэффициентами // Там же. – 1980. – 32, № 2. – С. 239 – 243. 39. Полищук В. Н. Задача с нелокальными краевыми условиями для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Приближенные и качественные методы теории диффе- ренциальных и дифференциально-функциональных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1979. – С. 54 – 65. 40. Гой Т. П., Полiщук В. М., Пташник Б. Й. Нелокальна двоточкова крайова задача для гi- перболiчного рiвняння зi змiнними коефiцiєнтами в цилiндричнiй областi // Математичнi методи в науково-технiчних дослiдженнях. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. – С. 62 – 70. 41. Ильин В. А., Шишмарев И. А. Равномерные в замкнутой области оценки для собственных функций эллиптического оператора и их производных // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1960. – 24, № 6. – С. 883 – 896. 42. Михайлов В. П. Дифференциальные уpавнения в частных производных. – М.: Hаука, 1976. – 391 c. 43. Гой Т. П., Пташник Б. Й. Нелокальнi крайовi задачi для систем лiнiйних рiвнянь iз частинними похiдними зi змiнними коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 11. – C. 1478 – 1487. 44. Власiй О. Д., Пташник Б. Й. Задача з нелокальними умовами для рiвнянь iз частинними похiдними зi змiнними коефiцiєнтами // Там же. – 2001. – 53, № 10. – C. 1328 – 1336. 45. Гой Т. П., Пташник Б. Й. Задача з нелокальними умовами для слабко нелiнiйного гiпер- болiчного рiвняння зi сталими коефiцiєнтами // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1996. – С. 74 – 76. 46. Гой Т. П., Пташник Б. Й. Задача з нелокальними умовами для слабконелiнiйних гiперболiчних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 2. – C. 186 – 195. 47. Пташник Б. Й., Симотюк М. М., Задорожна Н. М. Задача з нелокальними умовами для квазiлiнiйних гiперболiчних рiвнянь // Нелинейные граничные задачи. – 2001. – Вып. 11. – С. 161 – 167. 48. Задорожна Н. М., Мельник О. М., Пташник Б. Й. Нелокальна крайова задача для параболiчних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 12. – С. 1621 – 1627. 49. Задорожна Н. М., Пташник Б. Й. Нелокальна крайова задача для параболiчних рiвнянь зi змiнними коефiцiєнтами // Там же. – 1995. – 47, № 7. – С. 913 – 919. 50. Пташник Б. Й., Задорожна Н. М. Нелокальна крайова задача для параболiчного рiвняння зi змiнними коефiцiєнтами // Нелинейные краевые задачи математической физики и их прило- жения. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1994. – С. 164 – 166. 51. Медвiдь О. М. Задача з розподiленими даними для факторизованих рiвнянь iз частинними похiдними // Мат. вiсн. НТШ. – 2005. – 2. – С. 135 – 146. 52. Медвiдь О. М., Симотюк М. М. Задача з iнтегральними умовами для лiнiйних рiвнянь iз частинними похiдними // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 2003. – 46, № 4. – С. 92 – 101. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ УМОВАМИ ДЛЯ РIВНЯНЬ IЗ ЧАСТИННИМИ ... 1649 53. Медвiдь О. М., Симотюк М. М. Задача з розподiленими даними для рiвнянь iз частинними похiдними // Там же. – 2004. – 47, № 4. – С. 155 – 159. 54. Симотюк М. М. Багатоточковi задачi для лiнiйних диференцiальних та псевдодиференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними: Автореф. дис. ... канд. фiз.-мат. наук. – Львiв, 2005. – 17 с. 55. Власiй О. Д., Пташник Б. Й. Задача з нелокальними умовами для рiвнянь з частинними похiдними, не розв’язаних стосовно старшої похiдної // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 8. – C. 1022 – 1034. 56. Комарницька Л. I. Нелокальна крайова задача для рiвняння зi змiнними коефiцiєнтами, не розв’язаного вiдносно старшої похiдної // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1994. – Вип. 40. – С. 17 – 23. 57. Комарницька Л. I., Пташник Б. Й. Задача з нелокальними умовами для диференцiального рiвняння з частинними похiдними, яке не розв’язане вiдносно старшої похiдної по часу // Крайовi задачi з рiзними виродженнями i особливостями. – Чернiвцi, 1990. – С. 86 – 95. 58. Симотюк М. М., Задорожна Н. М. Нелокальна крайова задача для нелiнiйних рiвнянь з дробовою похiдною за часом зi змiнними коефiцiєнтами // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1998. – Вип. 51. – С. 61 – 70. 59. Симотюк М. М., Задорожна Н. М. Нелокальна крайова задача для диференцiального рiвняння з дробовою похiдною за часом зi змiнними коефiцiєнтами // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 1998. – 41, № 4. – С. 89 – 94. 60. Илькив В. С. Многоточечная нелокальная задача для уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. – 1987. – 23, № 3. – С. 487 – 492. 61. Iлькiв В. С. Продовження за часовою змiнною розв’язку нелокальної багатоточкової задачi для диференцiального рiвняння з частинними похiдними i сталими коефiцiєнтами // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 1998. – 41, № 4. – С. 78 – 82. 62. Iлькiв В. С. Аналоги леми Пяртлi iз абсолютними константами // Там же. – 1999. – 42, № 4. – С. 68 – 74. 63. Илькив В. С. Возмущения нелокальной задачи для дифференциальных уравнений с псевдо- дифференциальными коэффициентами // Дифференц. уравнения. – 1990. – 26, № 11. – С. 1962 – 1971. 64. Iлькiв В. С. Задача з формальними початковими умовами для диференцiальних рiвнянь зi сталими псевдодиференцiальними коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 7. – С. 877 – 888. 65. Илькив В. С., Полищук В. Н., Пташник Б. И., Салыга Б. О. Нелокальная многоточечная задача для псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами // Там же. – 1986. – 38, № 5. – С. 582 – 587. 66. Симотюк М. М. Задача з нелокальними багатоточковими умовами для псевдодиференцi- альних рiвнянь // Вiсник Держ. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Прикл. мат. – 2000. – № 411. – С. 280 – 285. 67. Симотюк М. М. Задача з нелокальними умовами для рiвняння з псевдодиференцiальними операторами // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 2000. – 43, № 4. – С. 37 – 41. 68. Iлькiв В. С. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь з частинними похiдними та диференцiаль- но-операторних рiвнянь: Автореф. дис. ... д-ра фiз.-мат. наук. – Київ, 2006. – 32 с. 69. Полiщук В. М. Задача з нелокальними крайовими умовами для гiперболiчних систем дифе- ренцiальних рiвнянь iз сталими коефiцiєнтами // Допов. АН УРСР. Сер. А. – 1979. – № 3. – С. 171 – 175. 70. Задорожна Н. М. Задача для систем параболiчних рiвнянь довiльного порядку // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1997. – Вип. 47. – С. 48 – 55. 71. Илькив В. С., Пташник Б. И. Задача с нелокальными краевыми условиями для системы дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами // Дифференц. уравнения. – 1984. – 20, № 6. – С. 1012 – 1023. 72. Iлькiв В. С., Пташник Б. Й. Зображення та дослiдження розв’язкiв нелокальної задачi для систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 2. – С. 184 – 194. 73. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 552 с. 74. Казiмiрський П. С. Розклад матричних многочленiв на множники. – Київ: Наук. думка, 1981. – 224 с. 75. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для нормальних анiзотропних систем iз частинними похiдними i сталими коефiцiєнтами // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1999. – Вип. 54. – С. 84 – 95. 76. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12 1650 В. С. IЛЬКIВ, Б. Й. ПТАШНИК 77. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для систем iз частинними похiдними в анiзотропних просторах // Нелинейные граничные задачи. – 2001. – Вып. 11. – С. 57 – 64. 78. Iлькiв В. С. Нелокальна задача для систем рiвнянь iз частинними похiдними у просторах Соболєва нескiнченного порядку // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 2004. – 47, № 4. – С. 115 – 119. 79. Илькив В. С. Нелокальная краевая задача для систем дифференциальных уравнений в частных производных бесконечного порядка // Дифференц. уравнения. – 2005. – 41, № 2. – С. 250 – 257. 80. Власiй О. Д., Пташник Б. Й. Задача з нелокальними умовами для систем рiвнянь iз частинними похiдними, не розв’язаних вiдносно старшої похiдної за часом // Укр. мат. вiсн. – 2004. – 1, № 4. – C. 501 – 517. 81. Илькив В. С., Полищук В. Н., Пташник Б. И. Нелокальная краевая задача для систем псев- додифференциальных уравнений // Методы исследования дифференциальных и интегральных операторов. – Киев: Наук. думка, 1989. – С. 75 – 79. 82. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для неоднорiдної системи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними та змiнними коефiцiєнтами // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000. – Вип. 58. – С. 139 – 143. 83. Iлькiв В. С., Пелех Я. М., Салига Б. О. Нелокальна двоточкова задача для систем з частинними похiдними i змiнними коефiцiєнтами // Вiсн. Держ. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Прикл. мат. – 2000. – № 407. – С. 245 – 252. 84. Iлькiв В. С. Дослiдження нелокальної крайової задачi для рiвнянь з частинними похiдними за допомогою методу мiнiмiзацiї в соболєвських просторах // Мат. студiї. – 1999. – 11, № 2. – С. 167 – 176. 85. Il’kiv V. Incorrect nonlocal boundary value problem for partial differential equations // Funct. Analysis and Appl. – 2004. – 197. – P. 115 – 121. 86. Илькив В. С., Пташник Б. И. Некорректная нелокальная двухточечная задача для систем уравнений с частными производными // Сиб. мат. журн. – 2005. – 46, № 1. – С. 119 – 129. 87. Дасюк Я. I., Iлькiв В. С., Пукач П. Я. Крайова двоточкова нелокальна задача для лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними // Вiсн. Держ. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Прикл. мат. – 2000. – № 411. – С. 102 – 106. 88. Iлькiв В. С. Двоточкова нелокальна крайова задача для системи неоднорiдних рiвнянь iз частинними похiдними // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 2002. – 45, № 4. – С. 87 – 94. 89. Iлькiв В. С. Багатоточкова нелокальна неоднорiдна задача для систем рiвнянь з частинними похiдними зi змiнними за t коефiцiєнтами // Мат. вiсн. НТШ. – 2004. – 1. – С. 47 – 58. 90. Iлькiв В. С. Задача з iнтегральними умовами для системи диференцiальних рiвнянь з частин- ними похiдними i змiнними коефiцiєнтами // Вiсн. Держ. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Прикл. мат. – 1999. – № 364. – С. 318 – 323. Одержано 06.07.2006 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 12
id	umjimathkievua-article-3560
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:44:51Z
publishDate	2006
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/61/58187a2eb8b064f21df4297ed960c761.pdf
spelling	umjimathkievua-article-35602020-03-18T19:57:46Z Problems for partial differential equations with nonlocal conditions. Metric approach to the problem of small denominators Задачі з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними. Метричний підхід до проблеми малих знаменників Il'kiv, V. S. Ptashnik, B. I. Ільків, В. С. Пташник, Б. Й. A survey of works of the authors and their disciples devoted to the investigation of problems with nonlocal conditions with respect to a selected variable in cylindrical domains is presented. These problems are considered for linear equations and systems of partial differential equations that, in general, are ill posed in the Hadamard sense and whose solvability in certain scales of functional spaces is established for almost all (with respect to Lebesgue measure) vectors composed of the coefficients of the problem and the parameters of the domain. Наведено огляд робіт aвтopiв статті та їхніх учнів, що стосуються досліджєння в циліндричних областях задач з нелокальними умовами за виділеною змінною для лінійних рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними, які, взагалі, є некоректними за Адамаром, а їх розв'язність у певних шкалах функціональних просторів встановлено для майже всіх (щодо міри Лебега) векторів, складених із коефіцієнтів задачі та параметрів області. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2006-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3560 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 58 No. 12 (2006); 1624–1650 Український математичний журнал; Том 58 № 12 (2006); 1624–1650 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3560/3854 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3560/3855 Copyright (c) 2006 Il'kiv V. S.; Ptashnik B. I.
spellingShingle	Il'kiv, V. S. Ptashnik, B. I. Ільків, В. С. Пташник, Б. Й. Problems for partial differential equations with nonlocal conditions. Metric approach to the problem of small denominators
title	Problems for partial differential equations with nonlocal conditions. Metric approach to the problem of small denominators
title_alt	Задачі з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними. Метричний підхід до проблеми малих знаменників
title_full	Problems for partial differential equations with nonlocal conditions. Metric approach to the problem of small denominators
title_fullStr	Problems for partial differential equations with nonlocal conditions. Metric approach to the problem of small denominators
title_full_unstemmed	Problems for partial differential equations with nonlocal conditions. Metric approach to the problem of small denominators
title_short	Problems for partial differential equations with nonlocal conditions. Metric approach to the problem of small denominators
title_sort	problems for partial differential equations with nonlocal conditions. metric approach to the problem of small denominators
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3560
work_keys_str_mv	AT il039kivvs problemsforpartialdifferentialequationswithnonlocalconditionsmetricapproachtotheproblemofsmalldenominators AT ptashnikbi problemsforpartialdifferentialequationswithnonlocalconditionsmetricapproachtotheproblemofsmalldenominators AT ílʹkívvs problemsforpartialdifferentialequationswithnonlocalconditionsmetricapproachtotheproblemofsmalldenominators AT ptašnikbj problemsforpartialdifferentialequationswithnonlocalconditionsmetricapproachtotheproblemofsmalldenominators AT il039kivvs zadačíznelokalʹnimiumovamidlârívnânʹízčastinnimipohídnimimetričnijpídhíddoproblemimalihznamennikív AT ptashnikbi zadačíznelokalʹnimiumovamidlârívnânʹízčastinnimipohídnimimetričnijpídhíddoproblemimalihznamennikív AT ílʹkívvs zadačíznelokalʹnimiumovamidlârívnânʹízčastinnimipohídnimimetričnijpídhíddoproblemimalihznamennikív AT ptašnikbj zadačíznelokalʹnimiumovamidlârívnânʹízčastinnimipohídnimimetričnijpídhíddoproblemimalihznamennikív

Problems for partial differential equations with nonlocal conditions. Metric approach to the problem of small denominators

Institution

Similar Items